Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью
В данной работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения нормальных волн в радиально неоднородных трансверсально изотропных цилиндрах секторного поперечного сечения. Модули упругости и плотность задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Для компо...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124233 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 100-113. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860098671874408448 |
|---|---|
| author | Моисеенко, И.А. |
| author_facet | Моисеенко, И.А. |
| citation_txt | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 100-113. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | В данной работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения нормальных волн в радиально неоднородных трансверсально изотропных цилиндрах секторного поперечного сечения. Модули упругости и плотность задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензора напряжений получены разложения в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник симметричных и антисимметричных нормальных волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе с идеально гибким нерастяжимым мембранным покрытием граничной поверхности секторного выреза и свободным или жестко закрепленным цилиндрическим участком боковой поверхности. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородности и угловой меры секторного выреза на топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяющихся нормальных волн.
In this paper, of constructing solutions for the propagation of normal waves in radially non-homogeneous transversely isotropic cylinder with sector-shaped cross section problems is investigated. The elastic modules and density are taken as an exponential-power function of the radial coordinate. Expansions in uniformly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describing the spectra of harmonics for symmetric and antisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous cylindrical waveguide with perfectly flexible inextensible membrane covering boundary surfaces of the channel and free or rigidly fixed of the cylindrical portion of the lateral surface made of transversely isotropic material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratios and angular channel measure on the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal propagating waves studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:27:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29
УДК 539.3:534.1
c©2015. И.А. Моисеенко
СПЕКТРЫ НОРМАЛЬНЫХ УПРУГИХ ВОЛН
В ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ ВОЛНОВОДАХ
СЕКТОРНОГО СЕЧЕНИЯ С ФУНКЦИОНАЛЬНО-
ГРАДИЕНТНОЙ РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ
В данной работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения нормаль-
ных волн в радиально неоднородных трансверсально изотропных цилиндрах секторного попереч-
ного сечения. Модули упругости и плотность задаются экспоненциально-степенной функцией от
радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензора напряжений получены
разложения в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены
также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник симметричных и антисим-
метричных нормальных волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе с идеально
гибким нерастяжимым мембранным покрытием граничной поверхности секторного выреза и сво-
бодным или жестко закрепленным цилиндрическим участком боковой поверхности. Изучены эф-
фекты влияния параметров радиальной неоднородности и угловой меры секторного выреза на
топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяющихся нор-
мальных волн.
Ключевые слова: цилиндрический волновод, секторное сечение, нормальные волны, функцио-
нально-градиентный, трансверсально-изотропный, дисперсионное уравнение.
Введение. Задачи динамики деформируемых сред, связанные с проблемами по-
лучения дисперсионных спектров нормальных упругих волн в цилиндрических те-
лах с варьируемыми геометрией и физико-механическими свойствами приобретают
все большую актуальность в связи с появлением новых приложений в ультрааку-
стической дефектоскопии и акустоэлектронике. Одним из направлений анализа ука-
занного класса задач является поиск возможностей целенаправленного изменения
структуры спектра.
Вопросы теоретического и численно-аналитического исследования эффектов вли-
яния фактора наличия в трансверсально-изотропном цилиндрическом волноводе
кругового и кольцевого сечения секторного выреза варьируемой угловой меры с
нанесенным на участки границы секторного выреза идеально гибким нерастяжи-
мым мембранным покрытием, рассматривались в работах [1–3]. Влияние радиаль-
ной функционально-градиентной неоднородности анизотропных материалов цилин-
дрических волноводов на характеристики дисперсионных спектров распространя-
ющихся нормальных волн применительно к осесимметричным волнам продольно-
сдвигового и крутильного типа в трансверсально-изотропных цилиндрах кругового
и кольцевого сечения рассматривались в работах [4–6]. В данной работе методика
построения и исследования дисперсионных соотношений для нормальных волн в ци-
линдрах из трансверсально-изотропных материалов с функционально-градиентной
радиальной неоднородностью распространена на случай наличия секторного выре-
за, участки границы которого покрыты идеально гибкой нерастяжимой мембранной.
100
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
1. Постановка задачи. Рассматривается протяженный трансверсально-изо-
тропный цилиндрический волновод радиуса R, в поперечном сечении которого име-
ется секторный вырез произвольной угловой меры. Волновод занимает в отнесенных
к нормирующему параметру R∗ = R безразмерных цилиндрических координатах
область
V = {r ∈ [0, 1] , θ ∈ [−α,α] , z ∈ (−∞,∞)} .
Задача анализа спектров нормальных упругих волн вдоль рассматриваемого вол-
новода формулируется с использованием соотношений пространственной линейной
математической модели динамического напряженно-деформированного состояния
упругих тел с усложненными физико-механическими свойствами в системе нор-
мированных безразмерных цилиндрических координат. Данные соотношения фор-
мулируются для проекций безразмерного вектора динамических упругих волно-
вых перемещений на оси цилиндрической системы координат {ur, uθ, uz}, отнесен-
ных к нормирующему параметру R∗, а также для безразмерных характеристик
напряженно-деформированного состояния рассматриваемого объекта на основных
площадках цилиндрической координатной системы {σrr, σθθ, σzz, σθz, σrz, σrθ}, отне-
сенных к нормирующему параметру c∗.
Основные соотношения модели включают:
– систему уравнений связи между компонентами тензора малых деформаций
{εrr, εθθ, εzz, εθz , εrz, εrθ} и компонентами безразмерного вектора динамических
упругих волновых перемещений в цилиндрической системе координат
εrr = ∂rur, εθθ = r−1ur + r−1∂θuθ, εzz = ∂zuz,
εθz = ∂zuθ + r−1∂θuz, εrz = ∂zur + ∂ruz, (1)
εrθ = r−1∂θur + ∂ruθ − r−1uθ;
– систему соотношений обобщенного линейного закона Гука для трансверсально-
изотропного материала
σrr = c11εrr + c12εθθ + c13εzz,
σθθ = c12εrr + c11εθθ + c13εzz,
σzz = c13εrr + c13εθθ + c33εzz, (2)
σθz = c44εθz, σrz = c44εrz, σrθ = c66εrθ;
– систему дифференциальных уравнений движения рассматриваемого тела в ци-
линдрической системе координат
∂rσrr + r−1∂θσrθ + ∂zσrz + r−1 (σrr − σθθ)−
(
ρR2
∗/c∗
)
∂2t ur = 0,
∂rσrθ + r−1∂θσθθ + ∂zσθz + 2r−1σrθ −
(
ρR2
∗/c∗
)
∂2t uθ = 0, (3)
∂rσrz + r−1∂θσθz + ∂zσzz + r−1σrz −
(
ρR2
∗/c∗
)
∂2t uz = 0.
101
И.А. Моисеенко
Во введенных представлениях {c11, c12, c13, c33, c44, c66 = (c11 − c12)/2 } – отнесенные
к нормирующему параметру c∗ ненулевые модули упругости трансверсально-изот-
ропного материала волновода; ρ – плотность материала волновода; t – время;
∂q = ∂/∂q (q = r, θ, z, t).
Поставленная спектральная задача наряду с моделью (1)–(3) включает также
граничные условия:
– на участках граничной поверхности секторного выреза рассматриваются гра-
ничные условия, моделирующие нанесение абсолютно гибкого микропанцирного по-
крытия
uq|r∈[0,1], θ=±α, z∈(−∞,∞) = 0 (q = r, z) ,
σθθ|r∈[0,1], θ=±α, z∈(−∞,∞) = 0; (4)
– на цилиндрическом участке граничной поверхности рассматривается альтер-
нативная форма классических граничных условий:
uq|r=1, θ∈[−α,α], z∈(−∞,∞) = 0 (q = r, θ, z) (5)
либо
σq|r=1, θ∈[−α,α], z∈(−∞,∞) = 0 (q = rr, rθ, rz) . (6)
Полагается, что материал волновода является функционально-неоднородным в
радиальных направлениях по всем своим физико-механическим свойствам, а его
плотность и нормированные модули упругости описываются представлениями
cq = c̃q exp (fλ,p (r)) (q ∈ {11, 12, 13, 33, 44, 66}) ,
ρ = ρ̃ exp (fλ,p (r)) , fλ,p (r) = λrp, (7)
в которых λ (λ ∈ R) и p (p ∈ {0} ∪N \ {1}) – параметры функциональной неодно-
родности.
2. Интегрирование уравнений волнового деформирования и получение
дисперсионных соотношений. Для функций колебательных упругих перемеще-
ний в исследуемых нормальных волнах вдоль цилиндра секторного поперечного
сечения с круговой частотой ω и нормированным продольным волновым числом k,
следуя методу разделения переменных и с учетом граничных условий (4) вводятся
комплексные представления
ur (r, θ, z, t) = ũr (r) exp (−fλ,p (r)/2 ) cos (τθ + β) exp (−iω t+ ikz) ,
uθ (r, θ, z, t) = ũθ (r) exp (−fλ,p (r)/2 ) sin (τθ + β) exp (−iω t+ ikz) , (8)
uz (r, θ, z, t) = i ũz (r) exp (−fλ,p (r)/2 ) cos (τθ + β) exp (−iω t+ ikz)
(τ ∈ R, β ∈ {0, π/2 }) .
Здесь β – параметр, задающий тип волновых движений, а именно, условно симмет-
ричные (волны S-типа) ur (r,−θ, z, t) = ur (r, θ, z, t), uθ (r,−θ, z, t) = −uθ (r, θ, z, t),
102
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
uz (r,−θ, z, t) = uz (r, θ, z, t) (β = 0) и условно антисимметричные (волны A-типа)
ur (r,−θ, z, t) = −ur (r, θ, z, t), uθ (r,−θ, z, t) = uθ (r, θ, z, t), uz (r,−θ, z, t) =
= −uz (r, θ, z, t) (β = π/2 ); τ – параметр, полученный из спектральной подзадачи
(1)–(4)
τ = τn =
{
(n− 1/2 ) π/α если β = 0
nπ/α если β = π/2
(n ∈ Z) . (9)
Последовательная подстановка представлений (7), (8) в соотношения модели (1), (2),
(3) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с переменны-
ми коэффициентами относительно амплитудных составляющих функций смещений(
c̃11
(
r2∂2r + r∂r − 1
)
+
(
Ω2 − k2c̃44
)
r2−
−λprp (p (λrp/2 + 1) c̃11/2 − c̃12)− τ2c̃66
)
ũr+
+τ (((c̃11 + c̃12)/2 ) r∂r − (λprp (c̃11 − 3c̃12) + 2 (3c̃11 − c̃12))/4 ) ũθ−
−kr ((c̃44 + c̃13) r∂r − λprp (c̃44 − c̃13)/2 ) ũz = 0, (10)
−τ (((c̃11 + c̃12)/2 ) r∂r + (λprp (c̃11 − 3c̃12) + 2 (3c̃11 − c̃12))/4 ) ũr+
+
(
c̃66
(
r2∂2r + r∂r − 1
)
+
(
Ω2 − k2c̃44
)
r2−
−λprp (p (λrp/2 + 1)/2 + 1) c̃66 − τ2c̃11
)
ũθ + kτ (c̃44 + c̃13) rũz = 0,
kr ((c̃44 + c̃13) (r∂r + 1) + λprp (c̃44 − c̃13)/2 ) ũr + kτ (c̃44 + c̃13) rũθ+
+
(
c̃44
(
r2∂2r + r∂r
)
+
(
Ω2 − k2c̃33
)
r2 −
− (
λp2rp (λrp/2 + 1)/2 + τ2
)
c̃44
)
ũz = 0.
В уравнениях (10) Ω2 = ρ̃R2∗ω2/c∗ .
В качестве метода построения базисных решений системы (10) используется под-
ход, основанный на представлениях искомых решений в виде рядов. С учетом физи-
ческих аспектов модели волнового процесса, а также структуры дифференциальных
уравнений (10), для искомых решений вводятся представления
ũr (r) =
∞∑
m=0
am r
m+1−η+δ, ũθ (r) =
∞∑
m=0
bm r
m+1−η+δ ,
ũz (r) =
∞∑
m=0
dm r
m+η+δ (δ ∈ R, η ∈ {0, 1}) (11)
и рассматривается подзадача определения разрешающих условий {(ηj, δj)}3j=1 для
трех независимых базисных решений уравнений (10) при заданном значении пара-
метра τ (9). В результате подстановки разложений (11) в уравнения (10) получается
система рекуррентных уравнений, в матричной форме имеющая следующий вид:
A(1)
m ·Xm +A(2)
m ·Xm−2 +A(3) ·Xm−p +A(4) ·Xm−p−2+
103
И.А. Моисеенко
+A(5) ·Xm−2p = O (m = 0, 1, ...) . (12)
В записи уравнений (12) используются обозначения векторно-матричных объектов
размерности 3: Xm = [am, bm, dm]
trans (
m = 0,∞)
– вектор-столбцы с неизвестными
коэффициентами разложений (11); Xn = O
(
n = −max (p+ 2, 2p) ,−1
)
;O – нулевой
вектор-столбец; A(n)
m
(
n = 1, 2
)
и A(n)
(
n = 3, 5
)
– квадратные матрицы, ненулевые
элементы которых имеют представления:(
A(1)
m
)
1,1
= (δ +m− η) (δ +m+ 2− η) c̃11 − τ2c̃66,(
A(1)
m
)
1,2
= τ ((δ +m− 2− η) c̃11 + (δ +m+ 2− η) c̃12)/2 ,(
A(1)
m
)
1,3
= −k (δ +m) (1− η) (c̃44 + c̃13) ,(
A(1)
m
)
2,1
= −τ ((δ +m+ 4− η) c̃11 + (δ +m− η) c̃12)/2,(
A(1)
m
)
2,2
= (δ +m− η) (δ +m+ 2− η) c̃66 − τ2c̃11,(
A(1)
m
)
2,3
= kτ (1− η) (c̃44 + c̃13) ,
(
A(1)
m
)
3,2
= kτη (c̃44 + c̃13) ,(
A(1)
m
)
3,1
= kη (δ +m+ η) (c̃44 + c̃13) ,(
A(1)
m
)
3,3
=
(
(δ +m+ η)2 − τ2
)
c̃44,(
A(2)
m
)
1,1
=
(
A(2)
m
)
2,2
= Ω2 − k2c̃44,(
A(2)
m
)
1,3
= −kη (δ +m− 1) (c̃44 + c̃13) ,(
A(2)
m
)
3,1
= k (δ +m) (1− η) (c̃44 + c̃13) ,(
A(2)
m
)
2,3
= kτη (c̃44 + c̃13) ,
(
A(2)
m
)
3,2
= kτ (1− η) (c̃44 + c̃13) ,(
A(2)
m
)
3,3
= Ω2 − k2c̃33,
(
A(3)
)
1,1
= λp (2c̃12 − pc̃11)/2 ,(
A(3)
)
1,2
=
(
A(3)
)
2,1
= τλp (3c̃12 − c̃11)/4,(
A(3)
)
1,3
=
(
A(4)
)
3,1
= kλp (1− η) (c̃44 − c̃13)/2,(
A(3)
)
2,2
= −λp (p+ 2) c̃66/2,(
A(3)
)
3,1
=
(
A(4)
)
1,3
= kλpη (c̃44 − c̃13)/2,
104
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения(
A(3)
)
3,3
= −λp2c̃44/2,
(
A(5)
)
1,1
= −λ2p2c̃11/4,(
A(5)
)
2,2
= −λ2p2c̃66/4,
(
A(5)
)
3,3
= −λ2p2c̃44/4.
Следствием свойств опорных матричных коэффициентов A
(1)
m уравнений (12)
det
(
A(1)
m
∣∣∣
η=0
)
= c̃11c̃44c̃66
(
(δ +m+ 2)2 − τ2
)(
(δ +m)2 − τ2
)2
, (13)
det
(
A(1)
m
∣∣∣
η=1
)
= c̃11c̃44c̃66
(
(δ +m− 1)2 − τ2
)(
(δ +m+ 1)2 − τ2
)2
(14)
в случае η = 0 из требования det
(
A
(1)
0
)
= 0 для двух искомых независимых базис-
ных решений определяются:
– двукратное разрешающее условие (η1, δ1) = (η2, δ2) = (0, τ) при котором из (13)
следуют свойства
det
(
A(1)
m
)
= 0
(
m = 1,∞)
; (15)
– ограничения на параметр τ в представлениях (9)
τ = τn > 1/2 (n ∈ N) ; (16)
– начальные условия
Υ1 = {η = 0, δ = τ, a0 = 0, b0 = kτ (c̃44 + c̃13) ,
d0 = τ ((τ − 2) c̃11 + (τ + 2) c̃12)/2 } ,
Υ2 = {η = 0, δ = τ, a0 = kτ (c̃44 + c̃13) , (17)
b0 = 0, d0 = τ ((τ + 4) c̃11 + τ c̃12)/2 } ;
– рекуррентные соотношения отдельно для случая p = 0
X2n = −
(
A
(1)
2n
)−1 ·A(2)
2n ·X2(n−1), X2n−1 = O (n = 1, 2, ...) , (18)
для случая p = 2l (l ∈ N)
X2n = −
(
A
(1)
2n
)−1 ·
(
A
(2)
2n ·X2(n−1) +A(3) ·X2(n−l)+
+A(4) ·X2(n−l−1) +A(5) ·X2(n−2l)
)
, X2n−1 = O (n = 1, 2, ...) , (19)
для случая p = 2l − 1 (l ∈ N)
Xm = −
(
A(1)
m
)−1
·
(
A(2)
m ·Xm−2 +A(3) ·Xm−p+
105
И.А. Моисеенко
+A(4) ·Xm−p−2 +A(5) ·Xm−2p
)
(m = 1, 2, ...) . (20)
При η = 1 аналогично из требования det
(
A
(1)
0
)
= 0 определяется третье разреша-
ющее условие
(η3, δ3) =
{
(1, 1 − τ) если 1/2 < τ < 1
(1, τ − 1) если τ ≥ 1
.
В случае (η3, δ3) = (1, 1− τ) из (14) также следует свойство (15) с учетом которого
определяется начальное условие
Υ3 = {η = 1, δ = 1− τ, a0 = (τ + 2) c̃11 + (τ − 2) c̃12,
b0 = (τ − 4) c̃11 + τ c̃12, d0 = −2k (c̃44 + c̃13) c̃66/c̃44 } (21)
для рекуррентных соотношений (18)–(20), генерирующих Xm
(
m = 1,∞)
. В случае
(η3, δ3) = (1, τ − 1) из (14) следуют свойства
det
(
A
(1)
2
)
= 0, det
(
A(1)
m
)
= 0
(
m = 1, 3,∞)
,
непосредственным следствием которых становится зависимость структуры порож-
дающих соотношений для определения начального условия от параметра функци-
ональной неоднородности p. При p = 0 получается однородная система линейных
уравнений [
A
(1)
0 Θ
A
(2)
2 A
(1)
2
]
·
[
X0
X2
]
=
[
O
O
]
,
в результате решения которой определяется начальное условие
Υ3 = {η = 1, δ = τ − 1, a0 = −1, b0 = 1,
d0 = −(
Ω2 − k2c̃44
)
/(kτ (c̃44 + c̃13)) , a2 = 0, b2 = 0, (22)
d2 =
(
Ω2 − k2c̃33
) (
Ω2 − k2c̃44
)
/(4kτ (τ + 1) c̃44 (c̃44 + c̃13))
}
.
В записи представленной системы линейных уравнений для нулевой матрицы раз-
мерности 3 использовалось обозначение Θ. Рекуррентные соотношения для опреде-
ления Xm
(
m = 1, 3,∞)
получаются в таком виде
X2n = −
(
A
(1)
2n
)−1
·A(2)
2n ·X2(n−1), X2n−3 = O (n = 2, 3, ...) . (23)
При p = 2 для получающейся системы[
A
(1)
0 Θ
A
(2)
2 +A(3) A
(1)
2
]
·
[
X0
X2
]
=
[
O
O
]
определяется начальное условие
Υ3 =
{
η = 1, δ = τ − 1, a0 = −1, b0 = 1, d0 = − (
Ω2 − k2c̃44+
106
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
+λ ((τ − 4) c̃11 − (3τ − 4) c̃12)/2 )/(kτ (c̃44 + c̃13)) , a2 = 0,
b2 = 0, d2 = kλ (1− c̃13/c̃44 )/(4 (τ + 1)) + (24)
+
(
Ω2 − k2c̃44 + λ ((τ − 4) c̃11 − (3τ − 4) c̃12)/2
) ∗
∗ (Ω2 − k2c̃33 − 2λc̃44
)
/(4kτ (τ + 1) (c̃44 + c̃13) c̃44)
}
и записываются определяющие Xm
(
m = 3,∞)
рекуррентные соотношения в таком
виде
X2n = −
(
A
(1)
2n
)−1
·
((
A
(2)
2n +A(3)
)
·X2(n−1) +
(
A(4) +A(5)
)
·X2(n−2)
)
,
X2n−3 = O (n = 2, 3, ...) . (25)
Наконец, при p ≥ 3 начальное условие задается представлением (22), а рекуррент-
ные соотношения для определения Xm
(
m = 1, 3,∞)
записываются так:
– для случая p = 2l (l ∈ N \ {1})
X2n = −
(
A
(1)
2n
)−1 ·
(
A
(2)
2n ·X2(n−1) +A(3) ·X2(n−l)+
+A(4) ·X2(n−l−1) +A(5) ·X2(n−2l)
)
, X2n−3 = O (n = 2, 3, ...) ; (26)
– для случая p = 2l + 1 (l ∈ N)
X1 = O, Xm = −
(
A(1)
m
)−1 ·
(
A(2)
m ·Xm−2 +A(3) ·Xm−p+
+A(4) ·Xm−p−2 +A(5) ·Xm−2p
)
(m = 3, 4, ...) . (27)
Для введенных векторно-матричных обозначений получаются представления
U (r) =
⎡⎣ũr (r)ũθ (r)
ũz (r)
⎤⎦ =
⎡⎣rδ+1−η 0 0
0 rδ+1−η 0
0 0 rδ+η
⎤⎦ ·
∞∑
m=0
rmXm. (28)
По аналогии с (8) вводятся представления
σq (r, θ, z, t) = σ̃q (r) exp (fλ,p (r)/2 ) cos (τθ + β) exp (−iω t+ ikz)
(q = rr, θθ, zz) ,
σθz (r, θ, z, t) = iσ̃θz (r) exp (fλ,p (r)/2 ) sin (τθ + β) exp (−iω t+ ikz) ,
σrz (r, θ, z, t) = iσ̃rz (r) exp (fλ,p (r)/2 ) cos (τθ + β) exp (−iω t+ ikz) ,
σrθ (r, θ, z, t) = σ̃rθ (r) exp (fλ,p (r)/2 ) sin (τθ + β) exp (−iω t+ ikz)
107
И.А. Моисеенко
и на основании (1), (2), (7), (8), (11) с целью постановки и решения спектральной
задачи определяются функциональные векторно-матричные объекты
S (r) =
⎡⎣σ̃rr (r)σ̃rθ (r)
σ̃rz (r)
⎤⎦ = r−1
∞∑
m=0
rmQm (r) ·Xm. (29)
Здесь Qm (r) – квадратные функциональные матрицы размерности 3, ненулевые
элементы которых имеют представления
(Qm (r))1,1 = ((−λprp/2 + δ +m+ 1− η) c̃11 + c̃12) r
δ+1−η,
(Qm (r))2,2 = (−λprp/2 + δ +m− η) c̃66r
δ+1−η ,
(Qm (r))3,3 = (−λprp/2 + δ +m+ η) c̃44r
δ+η,
(Qm (r))1,2 = τ c̃12r
δ+1−η, (Qm (r))1,3 = −kc̃13rδ+1+η,
(Qm (r))2,1 = −τ c̃66rδ+1−η , (Qm (r))3,1 = kc̃44r
δ+2−η.
На основе построенных базисных решений{
U
(baz)
j (r) = U (r)|Υj
}3
j=1
,
{
S
(baz)
j (r) = S (r)|Υj
}3
j=1
определяются спектральные решения
U(sp) (r) = M1 (r) ·Y, S(sp) (r) = M2 (r) ·Y,
M1 (r) =
[
U
(baz)
1 (r) U
(baz)
2 (r) U
(baz)
3 (r)
]
,
M2 (r) =
[
S
(baz)
1 (r) S
(baz)
2 (r) S
(baz)
3 (r)
]
,
в представлениях которых вектор-столбец Y неизвестных определяется из спек-
тральной задачи, полученной на основе альтернативных граничных условий (5) и
(6):
det
(
Mj (1)|(k,Ω)=(k∗,Ω∗)
)
= 0 (j = 1, 2) ; (30)
Mj (1)|(k,Ω)=(k∗,Ω∗) ·Y = O (j = 1, 2) .
На основании представленных спектральных решений можно сделать вывод о на-
личии в поле напряжений особенностей вида rτ−1 и r−τ при τ ∈ (1/2 , 1) для волн
S-типа, а также вида rτ−2 при τ ∈ (1, 2) для волн S и A-типов.
Таким образом, в зависимости от значений параметров p и τ соотношениями (17),
(21), (22), (24) определены начальные условия формирования трех независимых ба-
зисных решений; в явном виде (18)–(20), (23), (25)–(27) получены рекуррентные со-
отношения для построения искомых базисных решений; определены дисперсионные
соотношения спектральной задачи (30) соответственно для жестко закрепленного
108
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
(j = 1) и свободного (j = 2) цилиндрического участка граничной поверхности вол-
новода. Специальный вид комплексных представлений для функций колебательных
упругих перемещений в форме (8) обеспечивает при m→ ∞ справедливость оценок∥∥∥∥(A(1)
m
)−1
·A(2)
m
∥∥∥∥ ≤ κ1/m,
∥∥∥∥(A(1)
m
)−1
·Aj
∥∥∥∥ ≤ κ2/m
2
(
j = 3, 5
)
,
непосредственным следствием которых является вывод об абсолютной и равномер-
ной сходимости разложений (28), (29) на отрезке r ∈ [0, 1].
3. Результаты вычислительного эксперимента. В процессе численных ис-
следований с целью верификации построенных в работе аналитических решений
реализован расчет фрагмента спектра мод распространяющихся нормальных волн
в однородном (λ = 0, p = 0) трансверсально-изотропном цилиндре секторного попе-
речного сечения угловой меры α = π/2 из кобальта в случае второй спектраль-
ной задачи (30) (j = 2) для волн S-типа (β = 0), характеризуемых спектральным
параметром τ = 1. Особенностью описанной модели волнового процесса являет-
ся ее полная идентичность модели распространения нормальных волн с окружным
волновым числом равным единице вдоль сплошного цилиндрического волновода со
свободной граничной поверхностью. Результаты ранее проводившихся исследований
для аналогичного волновода представлены в работе [7]. Сопоставление результатов
выполненных расчетов обнаруживает их полное соответствие.
При исследовании факторов влияния величины показателей радиальной неод-
нородности (λ, p) и угловой меры сектора α на топологическую картину спектра
бегущих нормальных волн при численном эксперименте в качестве базовых одно-
родных (λ = 0, p = 0) были выбраны конкретные трансверсально-изотропные мате-
риалы, волноводные свойства которых характеризуются различными альтернатив-
ными величинами введенного в [8] приведенного параметра волновой анизотропии
∆. Из групп материалов с отрицательными и положительными значениями это-
го параметра взяты Zn(λ=0, p=0) и Co(λ=0, p=0) соответственно с характеристиками(
c∗ = 1010 Па
)
{
c̃11 = 16.35, c̃12 = 2.64, c̃13 = 5.17, c̃33 = 5.31, c̃44 = 3.78, ρ = 7134 кг/м3
}
,{
c̃11 = 30.7, c̃12 = 16.5, c̃13 = 10.27, c̃33 = 35.8, c̃44 = 7.55, ρ = 8836 кг/м3
}
.
Расчет фрагментов дисперсионных спектров бегущих нормальных волн осуществ-
лялся в диапазонах изменения параметров приведенной частоты Ω ∈ [0, 45] и про-
дольного нормализованного волнового числа k a ∈ [0, 30] (a = R∗) для значений уг-
ловой меры сектора α = π/3 (τ = 3/2 , β = 0) и α = 5π/6 (τ = 3/5, β = 0 ) в
случаях однородного (λ = 0, p = 0) и неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндров
со свободным участком цилиндрической граничной поверхности. С целью анализа
влияния радиальной неоднородности материала волновода на топологию получа-
емых спектров введена нормализованная частота ω a/ct, нормирующий параметр
ct с размерностью скорости в представлении которой при визуализации парных
109
И.А. Моисеенко
Рис. 1. Расчет дисперсионного спектра для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Co(λ=0, p=0) (α = π/3 , τ = 3/2 , β = 0)
Рис. 2. Расчет дисперсионного спектра для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Zn(λ=0, p=0) (α = π/3 , τ = 3/2 , β = 0)
Рис. 3. Расчет дисперсионного спектра для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Co(λ=0, p=0) (α = 5π/6 , τ = 3/5 , β = 0)
Рис. 4. Расчет дисперсионного спектра для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Zn(λ=0, p=0) (α = 5π/6 , τ = 3/5 , β = 0)
(однородный-неоднородный) спектров на рис. (1–6) определялся из условия равен-
ства единице низшей ненулевой нормализованной критической частоты в соответ-
ствующем однородном волноводе. Характерной отличительной особенностью пред-
ставленных на рис. (1–4) распределений является существенная локализация в длин-
новолновом диапазоне двух первых мод в окрестности первой критической частоты
для неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра из Zn(λ=0, p=0) при угловой мере
сектора в его поперечном сечении α = π/3.
На рис. 5 и рис. 6 представлены результаты сравнительного количественно-
го анализа различий в поведении первых шести мод спектров для однородного
(λ = 0, p = 0) и неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндров из Zn(λ=0, p=0) для
110
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
Рис. 5. Сравнительный анализ дисперсионных спектров для однородного (λ = 0, p = 0) и
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндров из Zn(λ=0, p=0) при α = π/3 (τ = 3/2 , β = 0)
Рис. 6. Сравнительный анализ дисперсионных спектров для однородного (λ = 0, p = 0) и
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндров из Zn(λ=0, p=0) при α = 5π/6 (τ = 3/5, β = 0 )
различных значений угловой меры сектора в его поперечном сечении. В качестве ко-
личественной меры отличий в распределениях ветвей сопоставляемых спектров ис-
пользовалась функция сравнения двух парных по номеру в соответствующих спек-
трах мод ∆ω (x) =
(
ω(λ=λ∗, p=p∗) (x)− ω(λ=0, p=0) (x)
)
a/ct, характеризующая эффек-
ты уменьшения либо увеличения нормализованной частоты волны в парной моде
неоднородного волновода при рассматриваемой относительной ее длине. Здесь мож-
но отметить общую закономерность понижения нормализованной частоты для пер-
вых шести мод спектра в неоднородном волноводе в длинноволновом диапазоне со-
ответственно k a < 10.0 (α = π/3, τ = 3/2, β = 0) и k a < 4.8 (α = 5π/6, τ = 3/5,
β = 0) при сохранении указанной тенденции для первой моды и в оставшейся части
волнового диапазона.
111
И.А. Моисеенко
Рис. 7. Расчет фазовых скоростей для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Zn(λ=0, p=0) (α = π/3 , τ = 3/2 , β = 0)
Рис. 8. Расчет фазовых скоростей для
неоднородного (λ = ln (2) , p = 6) цилиндра
из Zn(λ=0, p=0) (α = 5π/6 , τ = 3/5 , β = 0)
Результаты расчетов нормализованных фазовых скоростей для нормальных рас-
пространяющихся упругих волн в неоднородном (λ = ln (2) , p = 6) цилиндре из
Zn(λ=0, p=0) при различных значениях угловой меры сектора в его поперечном сече-
нии представлены на рис. 7 и рис. 8, в которых использовался нормирующий пара-
метр c0 =
√
c∗/ρ с размерностью скорости. В качестве различающих при переходе
от α = π/3 к α = 5π/6 отмечается: увеличение более чем в два раза асимпто-
тического значения для нормализованной фазовой скорости низшей моды спектра;
“сдвиг” устойчивого асимптотического поведения всех исследованных мод спектров
в более высокочастотную область; переход эффекта взаимного влияния третьей и
четвертой мод при ωa/c0 ≈ 11 к первой и второй модам при ωa/c0 ≈ 5.
Выводы. В результате проведенных исследований в форме абсолютно и равно-
мерно сходящихся степенных рядов с определяемыми из рекуррентных соотношений
коэффициентами получено решение системы дифференциальных уравнений, описы-
вающее распространение симметричных и антисимметричных нормальных упругих
волн в протяженных цилиндрах с вырезом секторной формы, изготовленных из
трансверсально-изотропных материалов с экспоненциально-степенной радиальной
неоднородностью. Построенное решение использовано для получения дисперсион-
ных уравнений, определяющих спектры указанных волн для цилиндров со свобод-
ным и жестко закрепленным участком цилиндрической граничной поверхности. На
основе предложенной модели проанализирована зависимость топологии распреде-
лений действительных ветвей спектров и фазовых скоростей бегущих нормальных
волн от параметров радиальной неоднородности и угловой меры сектора в попе-
речном сечении волновода. Областями использования результатов представленного
исследования являются прочностные расчеты деталей машин, технологии ультра-
акустической диагностики, акустоэлектроника.
112
Спектры нормальных волн в неоднородных цилиндрах секторного сечения
1. Космодамианский А.С., Моисеенко И.А., Троян Р.Р. Дисперсионный спектр анизотропного вол-
новода секторного сечения с закрепленной границей // Прикладная механика. – 2005. – 41, № 9.
– С. 46–51.
2. Моисеенко И.А., Троян Р.Р. Нормальные волны в трансверсально-изотропном цилиндрическом
волноводе с сечением в форме кольцевого сектора // Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36.
– С. 127–133.
3. Моисеенко И.А., Троян Р.Р. Нормальные волны в трансверсально-изотропном цилиндрическом
волноводе с секторным вырезом: случай свободных участков цилиндрических границ // Вест-
ник ДонНУ. Сер. А: Естественные науки. – 2007. – Вып. 1. – С. 52–60.
4. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспоненциально-неоднородного трансверсаль-
но-изотропного цилиндра с закрепленными границами // Механика твердого тела. – 2014. –
Вып. 44. – С. 132–139.
5. Моисеенко И.А. Продольные волны в экспоненциально-неоднородных трансверсально-изотроп-
ных цилиндрах // Вiсник Запорiзького нацiонального унiверситету. Серiя: Фiзико-математичнi
науки. – 2015. – № 3. – С. 179–189.
6. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-неоднород-
ных трансверсально-изотропных цилиндрах // Теоретическая и прикладная механика. – 2014.
– №. 9 (55). – С. 139–145.
7. Honarvar F., Enjilela E., Sinclair A.N., Mirnezami S.A.Wave propagation in transversely isotropic
cylinders // International Journal of Solids and Structures. – 2007. – 44. – P. 5236–5246.
8. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизо-
тропных сред – К.: Наукова думка, 1985. – 176 с.
I. A. Moiseyenko
The spectra of normal elastic waves in transversely isotropic waveguides with sector-shaped
cross section and functionally graded radial non-homogeneity.
In this paper, of constructing solutions for the propagation of normal waves in radially non-homogene-
ous transversely isotropic cylinder with sector-shaped cross section problems is investigated. The elastic
modules and density are taken as an exponential-power function of the radial coordinate. Expansions
in uniformly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector
displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describing the
spectra of harmonics for symmetric and antisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous
cylindrical waveguide with perfectly flexible inextensible membrane covering boundary surfaces of the
channel and free or rigidly fixed of the cylindrical portion of the lateral surface made of transversely
isotropic material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratios and angular channel measure on
the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal propagating
waves studied.
Keywords: cylindrical waveguide, sector-shaped cross section, normal waves, functionally graded, trans-
versely isotropic, frequency equation.
Донецкий национальный ун-т
mian@i.ua
Получено 01.10.15
113
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124233 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:27:44Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Моисеенко, И.А. 2017-09-22T16:40:14Z 2017-09-22T16:40:14Z 2015 Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 100-113. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124233 539.3:534.1 В данной работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения нормальных волн в радиально неоднородных трансверсально изотропных цилиндрах секторного поперечного сечения. Модули упругости и плотность задаются экспоненциально-степенной функцией от радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензора напряжений получены разложения в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник симметричных и антисимметричных нормальных волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе с идеально гибким нерастяжимым мембранным покрытием граничной поверхности секторного выреза и свободным или жестко закрепленным цилиндрическим участком боковой поверхности. Изучены эффекты влияния параметров радиальной неоднородности и угловой меры секторного выреза на топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяющихся нормальных волн. In this paper, of constructing solutions for the propagation of normal waves in radially non-homogeneous transversely isotropic cylinder with sector-shaped cross section problems is investigated. The elastic modules and density are taken as an exponential-power function of the radial coordinate. Expansions in uniformly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describing the spectra of harmonics for symmetric and antisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous cylindrical waveguide with perfectly flexible inextensible membrane covering boundary surfaces of the channel and free or rigidly fixed of the cylindrical portion of the lateral surface made of transversely isotropic material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratios and angular channel measure on the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal propagating waves studied. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью The spectra of normal elastic waves in transversely isotropic waveguides with sector-shaped cross section and functionally graded radial non-homogeneity Article published earlier |
| spellingShingle | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью Моисеенко, И.А. |
| title | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_alt | The spectra of normal elastic waves in transversely isotropic waveguides with sector-shaped cross section and functionally graded radial non-homogeneity |
| title_full | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_fullStr | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_full_unstemmed | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_short | Спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_sort | спектры нормальных упругих волн в трансверсально изотропных волноводах секторного сечения с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124233 |
| work_keys_str_mv | AT moiseenkoia spektrynormalʹnyhuprugihvolnvtransversalʹnoizotropnyhvolnovodahsektornogosečeniâsfunkcionalʹnogradientnoiradialʹnoineodnorodnostʹû AT moiseenkoia thespectraofnormalelasticwavesintransverselyisotropicwaveguideswithsectorshapedcrosssectionandfunctionallygradedradialnonhomogeneity |