Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
В работе предложен метод решения задач теории вязкоупругости, основанный на построении матриц уравнений закона Гука исходя из интегральных уравнений состояния. Элементы этих матриц строятся с использованием дробно-экспоненциальных функций Ю.Н. Работнова и зависят от времени. Это позволяет решать зад...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124234 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 114-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124234 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Нескородев, Р.Н. 2017-09-22T16:41:24Z 2017-09-22T16:41:24Z 2015 Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 114-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124234 531.376 В работе предложен метод решения задач теории вязкоупругости, основанный на построении матриц уравнений закона Гука исходя из интегральных уравнений состояния. Элементы этих матриц строятся с использованием дробно-экспоненциальных функций Ю.Н. Работнова и зависят от времени. Это позволяет решать задачи вязкоупругости в любой момент времени как обычные задачи теории упругости. Приведены результаты численных исследований. The paper presents a method for solving the problems of the theory of viscoelasticity, based on the construction of the matrix equations of Hooke’s law on the basis of integral equations of state.The elements of these matrices are constructed using fractional exponential functions Yu.N. Rabotnova and time-dependent. This allows you to solve the problems of viscoelasticity at any time as normal elasticity problem. The results of numerical studies. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости Method of variable elasticity coefficients solving problems of viscoelasticity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| spellingShingle |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости Нескородев, Р.Н. |
| title_short |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| title_full |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| title_fullStr |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| title_full_unstemmed |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| title_sort |
метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости |
| author |
Нескородев, Р.Н. |
| author_facet |
Нескородев, Р.Н. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Method of variable elasticity coefficients solving problems of viscoelasticity |
| description |
В работе предложен метод решения задач теории вязкоупругости, основанный на построении матриц уравнений закона Гука исходя из интегральных уравнений состояния. Элементы этих матриц строятся с использованием дробно-экспоненциальных функций Ю.Н. Работнова и зависят от времени. Это позволяет решать задачи вязкоупругости в любой момент времени как обычные задачи теории упругости. Приведены результаты численных исследований.
The paper presents a method for solving the problems of the theory of viscoelasticity, based on the construction of the matrix equations of Hooke’s law on the basis of integral equations of state.The elements of these matrices are constructed using fractional exponential functions Yu.N. Rabotnova and time-dependent. This allows you to solve the problems of viscoelasticity at any time as normal elasticity problem. The results of numerical studies.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124234 |
| citation_txt |
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2015. — Т. 29. — С. 114-126. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT neskorodevrn metodperemennyhkoéfficientovuprugostirešeniâzadačvâzkouprugosti AT neskorodevrn methodofvariableelasticitycoefficientssolvingproblemsofviscoelasticity |
| first_indexed |
2025-11-26T22:51:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:51:49Z |
| _version_ |
1850779070889984000 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2015. Том 29
УДК 531.376
c©2015. Р.Н. Нескородев
МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ УПРУГОСТИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
В работе предложен метод решения задач теории вязкоупругости, основанный на построении мат-
риц уравнений закона Гука исходя из интегральных уравнений состояния. Элементы этих матриц
строятся с использованием дробно-экспоненциальных функций Ю.Н. Работнова и зависят от вре-
мени. Это позволяет решать задачи вязкоупругости в любой момент времени как обычные задачи
теории упругости. Приведены результаты численных исследований.
Ключевые слова: ползучесть, релаксация, резольвентный оператор, метод Вольтерра, орто-
тропный вязкоупругий материал, переменные коэффициенты упругости.
Введение. Непосредственное применение принципа Вольтерра к анализу напря-
женно деформированного состояния анизотропных сред является весьма затрудни-
тельным. Это связано с тем, что существует лишь незначительное число задач тео-
рии упругости, для которых известна явная зависимость от упругих постоянных,
если использовать упругое решение в обычной форме. В общем случае это реше-
ние может содержать иррациональные или трансцендентные функции от упругих
постоянных. Это делает невозможным непосредственное использование алгебры ре-
зольвентных операторов к решению таких задач. Поэтому, для решения упругих
задач, применяются приближенные методы, идея которых состоит в поиске реше-
ния, когда его зависимость от упругих постоянных устанавливается в явном виде.
Широкое применение нашло использование рядов по малому параметру. Этим ме-
тодом решен ряд задач для изотропных и анизотропных сред [14].
Степенные ряды, в которые раскладываются иррациональные и трансцендент-
ные функции, как правило, сходятся медленно. Чтобы обойти эту проблему в рабо-
тах [5–6] предлагается использование цепных дробей, которые обеспечивают быстро
сходящийся процесс последовательных приближений.
Методом переменных модулей названы способы решения задач вязкоупругости
с использованием функций времени вместо интегральных операторов [1, 3].
В настоящей работе предлагается метод решения задач теории вязкоупругости,
основанный на построении матриц уравнений закона Гука исходя из интегральных
уравнений состояния. Элементы этих матриц строятся с использованием дробно-
экспоненциальных функций Ю.Н. Работнова и зависят от времени. Это позволяет
решать задачи вязкоупругости в любой момент времени как обычные задачи теории
упругости [9, 12, 13].
1. Уравнения состояния. Функции ползучести и релаксации. Рассмотрим
упругое равновесие анизотропного тела, отнесенного к системе координат Ox1x2x3.
Для определения перемещений, напряжений и деформаций, возникающих в теле
при его длительном нагружении внешними усилиями, используются уравнения со-
114
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
стояния, учитывающие свойства материала деформироваться во времени [4]
s (t) = R (0) e(t) +
t∫
0
dR (t− τ)
d (t− τ)
e (τ) dτ, (1)
e (t) = P (0) s(t) +
t∫
0
dP (t− τ)
d (t− τ)
s (τ) dτ. (2)
Здесь принято: s (t) = sm = [s1, s2, s3, s4, s5, s6], e (t) = en = [e1, e2, e3, e4, e5, e6] – век-
торы напряжений и деформаций в произвольный момент времени t; R (t) = Rmn (t)
и P (t) = Pmn (t) (m,n = 1, 6) – регулярные части матриц функций релаксации и
ползучести. Они характеризуют вязкоупругий материал так же, как их упругие ана-
логи, матрицы модулей упругости R (0) = A = Amn и коэффициентов деформации
P (0) = a = amn – характеризуют свойства упругого материала.
Закон Гука для упругой задачи получаем из уравнений (1) и (2) в предполо-
жении, что t = 0. В момент приложения внешних усилий или деформаций (вре-
мя t = 0) упругие постоянные материала характеризуются матрицей A – модулей
упругости, или a – коэффициентов деформации, а решение является упругим. Даль-
нейшее поддержание усилий или деформаций (время t > 0), приводит к тому, что
материал продолжает деформироваться. Мгновенные значения функций ползучести
P (0) = a, релаксации R (0) = A, напряжений s(0) = σ и деформаций e(0) = ε пока-
зывают, что функции времени наделяются начальными значениями, являющимися
решением упругой задачи.
Представим функции R и P в виде произведения R (t) = Rmn (t) = Amnrmn (t),
P (t) = Pmn (t) = amnpmn(t), где rmn (t), pmn (t) – матрицы функций релаксации и
ползучести. Уравнения состояния (1) и (2) легко преобразовать к виду
sm (t) = Amnen (t) = Amn (1− r∗mn) en, r
∗
mnen = −
t∫
0
drmn (t− τ)
d (t− τ)
en (τ) dτ, (3)
em (t) = amnsn (t) = amn (1 + p∗mn) sn, p
∗
mnsn =
t∫
0
dpmn (t− τ)
d (t− τ)
sn (τ) dτ. (4)
При использовании принципа Вольтерра, существенное значение имеет аналити-
ческое задание ядер ползучести и релаксации. Ю.Н. Работнов [10] построил класс
функций
Эα (β; t− τ) =
∞∑
n=0
(t− τ)α+n(1+α) βn/Γ [(n+ 1) (1 + α)]. (5)
Эти функции названы дробно-экспоненциальными. Операторы с ядрами вида
(5) обладают специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того
115
Р.Н. Нескородев
же класса. Если принять dpmn (t− τ) /d (t− τ) = λЭα (β; t− τ), то интегральный
оператор amn представлений (4) станет таким
amn = amn [1 + λmnЭ∗
α (−βmn)] . (6)
Уравнения состояния (3) и (4) имеют такой же вид, что и обычный закон Гука,
только матрицы упругих постоянных Amn и amn заменены упругими операторами
Amn и amn, которые зависят от времени.
Функции P (t) и R (t) определяются из эксперимента. В опыте на ползучесть
мгновенно прикладываются и поддерживаются постоянными напряжения [4]. Если
нагрузки постоянны, то напряжения s (τ) в (2) можно принять зависимыми от верх-
него предела и вынести из под знака интеграла. Интегрирование уравнения (2) в
этом случае дает
e (t) = P (t) s (t) . (7)
В опыте на релаксацию мгновенно прикладываются и поддерживаются постоян-
ными деформации [4]. Полагаем их зависимыми от верхнего предела и выносим из
под знака интеграла в уравнении (1). Интегрирование уравнения (1) в этом случае
дает
s (t) = R (t) e (t) . (8)
Опыты на ползучесть и релаксацию осуществляются при одноосном растяже-
нии, сжатии, изгибе или сдвиге. Они являются базовыми экспериментами, которые
необходимы для определения ядер ползучести и релаксации. В одномерном случае
при одноосном усилии sn матричное уравнение (7) состоит из элементов
emn = Pmnsn = amnpmnsn, (9)
где emn – деформация em от воздействия усилия sn.
Из соотношения (9) находим значения элементов матрицы P (t) по величине из-
меренных деформаций во времени
Pmn = amnpmn = emn/sn. (10)
При усилиях sn, для которых свойства материала остаются линейными, величина
Pmn (t) = emn/sn не зависит от sn.
Аналогично, матричное уравнение (8) в одномерном случае при одноосной де-
формации en распадается на элементы
smn = Rmnen = Amnrmnen, (11)
где smn – усилия sm от воздействия деформации en.
Из соотношения (11) находим значения элементов матрицы R (t) по величине
измеренных напряжений во времени
Rmn = Amnrmn = smn/en. (12)
116
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
При деформациях en, для которых свойства материала остаются линейными,
величина Rmn (t) = smn/en не зависит от en.
Экспериментальные данные emn/sn и smn/en позволяют вычислить функции
ползучести pmn (t) и релаксации rmn (t) и сформировать матрицы P (t) и R (t). От-
метим, что экспериментально найденные данные задаются таблично, дискретным
набором значений, соответствующим некоторым фиксированным временам. При ис-
пользовании таких данных в вычислениях, для обеспечения точности расчетов необ-
ходимо осуществить математическую обработку табличных данных. Такая обработ-
ка включает в себя сглаживание кривых ползучести или релаксации и восполнение
табличных данных путем увеличения числа точек разбиения временного отрезка
[0, t]. Эти вопросы рассмотрены в работе [13].
Связь между матрицами P (t) и R (t) установлена в работах [9, 12]. Имеют место
соотношения
Rk =
(
I−
k∑
i=1
Rk−i (Pi −Pi−1)
)
A (k = 0, 1, ... , N); (13)
Pk =
(
I−
k∑
i=1
Pk−i (Ri −Ri−1)
)
a (k = 0, 1, ... , N) , (14)
где I – единичная матрица, Pi = P(ti),Ri = R(ti),Pk−i = P(tk−ti),Rk−i = R(tk−ti)
– значения функций в соответствующие моменты времени.
С помощью представлений (13) по экспериментально полученным значениям
функции ползучести в точках сетки находим функции релаксации, а с помощью
(14) – наоборот. Таким образом, соотношения (13) и (14) полностью решают задачу
обращения уравнений (1) или (2).
Опытные данные по ползучести и релаксации, которые позволили бы опреде-
лить все величины, входящие в правые части соотношений (10) и (12), в литературе
отсутствуют. Поэтому, для уменьшения числа параметров, находящихся из экспе-
риментов, при решении конкретных задач применяются различные допущения от-
носительно реологического поведения материала [6, 10]. Симметрия матриц P (t) и
R (t) показывает, что должны выполняться равенства Pik = Pki, Rik = Rki. Отсю-
да следует, что не все параметры должны определяться из эксперимента. В случае
изотропного материала часто используется допущение об упруго сжимаемом мате-
риале. Это позволяет по заданному интегральному оператору ν определять оператор
E и наоборот [10].
Для ортотропного материала, принимаются допущения, аналогичные принятым
допущениям для изотропного материала. Вводится величина обратная модулю объ-
емной деформации при гидростатическом давлении [2]
1
K
=
1− ν12 − ν13
E1
+
1− ν21 − ν23
E2
+
1− ν31 − ν32
E3
. (15)
Упругие постоянные, входящие в представление (15), для всякого однородного
117
Р.Н. Нескородев
анизотропного тела удовлетворяют условию [8]
2
K
=
1− 2ν12
E1
+
1− 2ν21
E2
+
1− 2ν23
E2
+
1− 2ν32
E3
+
1− 2ν31
E3
+
1− 2ν13
E1
≥ 0. (16)
Следуя Работнову [10], потребуем, чтобы оператор, соответствующий величине
(15) был постоянным. Это значит, что
1/K = 1/K = const. (17)
Считая объемную деформацию упругой, полагаем приведенные ниже слагаемые
представления (16) постоянными
1− 2ν12
E1
+
1− 2ν21
E2
=
1− 2ν12
E1
+
1− 2ν21
E2
,
1− 2ν23
E2
+
1− 2ν32
E3
=
1− 2ν23
E2
+
1− 2ν32
E3
,
1− 2ν13
E1
+
1− 2ν31
E3
=
1− 2ν13
E1
+
1− 2ν31
E3
. (18)
Условия (18) дают постоянство соотношению (17), а из условия (16) следует, что
анизотропное тело в условиях ползучести находится в упругом состоянии. Соотно-
шения (18) позволяют определить величины νik по известному значению операторов
Ei и наоборот.
2. Установление связи между интегральными операторами и функци-
ями ползучести и релаксации.Матричные уравнения (8) и (7) запишем в форме
sm (t) = Amnrmn (t) en (t) и em (t) = amnpmn (t) sn (t)
(
m,n = 1, 6
)
, (19)
и сравним с уравнениями состояния (3) и (4). В результате получим равенства
(1− r∗mn) = rnm (t) , (1 + p∗mn) = pnm (t) . (20)
Рассмотрим случай, когда из эксперимента на ползучесть определена матрица
функций ползучести Pmn = amnpmn (t). В этом случае второе равенство (20) с учетом
представления (6) будет таким
pmn (t) = 1 + p∗mn = 1 + λmnЭ∗
α (−βmn) . (21)
Соотношение (21) позволяет, путем аппроксимации, по заданной функции пол-
зучести pmn (t), определить значение интегрального оператора λmnЭ∗
α (−βmn). Вре-
менные матрицы уравнений закона Гука определяется соотношениями
amn = amn [1 + λmnЭ∗
α (−βmn)] , Amn = (amn)
−1 . (22)
Аналогичным образом рассматривается случай, когда из эксперимента на релак-
сацию определена матрица функций релаксации Rmn (t). В этом случае имеем
rmn (t) = 1− r∗mn = 1− λmnЭ∗
α (−βmn) . (23)
118
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
Соотношение (23) позволяет, путем аппроксимации, по заданной функции релак-
сации rmn (t), определить значение интегрального оператора λmnЭ∗
α (−βmn). Времен-
ные матрицы уравнений закона Гука определяются соотношениями
Amn = Amn [1− λmnЭ∗
α (−βmn)] , amn =
(
Amn
)−1
. (24)
Дальнейшее решение задач теории вязкоупругости в любой момент времени ни-
чем не отличается от решения задач теории упругости.
Из представлений P (t) = amnpmn (t) и R (t) = Amnrmn (t) и связи между ними,
отмеченную соотношениями (13) и (14) следует, что если экспериментально найде-
на матрица функций ползучести P (t) (или релаксации R (t)), то матрица функций
релаксации R (t) (или ползучести P (t)) может быть найдена аналитически по фор-
мулам (13) (или (14)) или экспериментально.
3. Обобщенное плоское напряженное состояние анизотропной пласти-
ны.
3.1. Представление решения. Рассмотрим упругое равновесие анизотропной
пластины толщиной 2h. Отнесем ее к декартовой системе координат Ox1x2x3 так,
чтобы ее срединная плоскость совпала с плоскостью Ox1x2, а ось Ox3 направим по
нормали к срединной плоскости. Предполагаем, что пластина находится в условиях
обобщенного плоского напряженного состояния [7]. Уравнения закона Гука для сред-
них напряжений и деформаций в этом случае можно записать в форме (3) или (4),
когда t = 0 и введены векторы напряжений и деформаций sn (0) = σn = [σ1, σ2, σ6],
em (0) = εm = [ε1, ε2, ε6], а матрицы коэффициентов деформации и модулей упруго-
сти будут такими
amn =
⎛⎝ a11 a12 a16
a21 a22 a26
a61 a62 a66
⎞⎠ , Amn = (amn)
−1 =
⎛⎝ A11 A12 A16
A21 A22 A26
A61 A62 A66
⎞⎠ . (25)
Указанные уравнения закона Гука вместе с уравнениями равновесия без учета
объемных сил ∂1σ1 + ∂2σ6 = 0, ∂1σ6 + ∂2σ2 = 0, и уравнениями связи между со-
ставляющими деформации и перемещений ε1 = ∂1u1, ε2 = ∂2u2, ε6 = ∂1u2 + ∂2u1,
∂i = ∂/∂xi, образуют полную систему дифференциально-алгебраических соотноше-
ний, описывающих упругие процессы в анизотропной пластине.
Общее решение этой системы уравнений выражается через две аналитические
функции Φj (zj) обобщенных комплексных переменных zj = x1 + µjx2 [13]
u∗k = 2Re
2∑
j=1
RkjΦj(zj). (26)
В соответствии с решением (26), представление для напряжений примут вид:
σ∗1 = 2Re
(
µ21Φ
′
1 + µ22Φ
′
2
)
, σ∗2 = 2Re
(
Φ′
1 +Φ′
2
)
, σ∗6 = −2Re
(
µ1Φ
′
1 + µ2Φ
′
2
)
. (27)
119
Р.Н. Нескородев
Комплексные параметры µj = αj + iβj являются решением характеристического
уравнения четвертого порядка
l11 (µ) l22 (µ)− l12 (µ) l21 (µ) = 0. (28)
Величины lik (µ) и коэффициенты Rkj находятся из соотношений
l11 = A11 + 2A16µ+A66µ
2, l12 = l21 = A16 + (A12 +A66)µ+A26µ
2,
l22 = A66 + 2A26µ+A22µ
2, R1j = l22 (µj) /∆j , R2j = −l21 (µj) /∆j, (29)
∆j = A21l22 (µj)−A26l21 (µj) + µj [A26l22 (µj)−A22l21 (µj)] .
Отметим, что решение (26) выписано для случая, когда параметры µj различны.
В случае, когда пластина изотропна или уравнение (28) имеет равные комплексные
параметры µ1 = µ2 при решении граничных задач можно использовать соотношения
(26), (27) с учетом методики, предложенной в работе [15].
Плоскость Ox1x2, в которой определены функции Φj(zj) и их производные Φ′
j(zj) =
dΦj/dzj , обозначим буквой S. Функции Φj (zj) можно рассматривать как функции
обычных комплексных переменных zj = xj + iyj, где
xj = x1 + αjx2, yj = βjx2, µj = αj + iβj . (30)
При этом, функции Φj (zj) должны быть определены не в области S, а в областях
Sj
(
j = 1, 2
)
, полученных из области S аффинными преобразованиями (30).
3.2. Упругая задача для пластины с отверстиями.Рассмотрим решение
задачи для пластины с отверстиями, когда на бесконечности заданы усилия
σ01 = p, σ02 = q, σ06 = l. (31)
Перемещения и деформации в пластине без отверстий представляются в форме
u01 = ε01x1 +
ε06
2
x2, u02 =
ε06
2
x1 + ε02x2, (32)
ε01 = a11p+ a12q + a16l, ε02 = a21p+ a22q + a26l, ε06 = a61p+ a62q + a66l.
Поле перемещений и напряжений, которое формируется за счет отверстий, опи-
сываются функциями (26), (27). Определение этих функций осуществляется из гра-
ничных условий на контурах отверстий. Рассмотрим два вида таких условий.
Контур не подкреплен. Граничные условия на контуре для определения функ-
ций Φj (zj) будут такими [7]:
2Re [µ1Φ1 + µ2Φ2] = lx− py + c1, 2Re [Φ1 +Φ2] = ly − qx+ c2. (33)
Контур жестко подкреплен. При жестко подкрепленном контуре на его боко-
вой поверхности нужно положить равными нулю перемещения. Условия для опре-
деления функций Φj (zj) будут такими
2Re
2∑
j=1
RkjΦj(zj) = −u0k
(
k = 1, 2
)
. (34)
120
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
3.3. Пластина с одним отверстием эллиптического сечения.Рассмотрим
случай, когда пластина ослаблена одним отверстием эллиптического сечения. Полу-
оси эллипса a и b. Функция, отображающая внешность единичного круга на внеш-
ность эллиптического контура Lj будет такой [13]
zj = Rjςj +mj/ςj (35)
Rj = (a− iµjb) /2, mj = (a+ iµjb) /2, ςj = rjσ, rj ≥ 1, σ = cos (θ) + i sin (θ) .
Представим функцию Φj (zj) в виде:
Φj(zj) = aj/ςj . (36)
Методом рядов из граничных условий (33) и (34) найдем системы алгебраических
уравнений относительно коэффициентов функции (36):
для неподкрепленного контура
µ1a1 + µ2a2 = (la− pbi) /2, a1 + a2 = (lbi− qa) /2; (37)
для жестко подкрепленного контура
R11a1 +R12a2 = − (
ε01a+ ε06bi/2
)
/2, R21a1 +R22a2 = − (
ε06a/2 + ε02bi
)
/2. (38)
Решение вязкоупругой задачи проводится аналогичным образом, но вместо урав-
нений состояния (3) или (4), когда t = 0, выбирается случай, когда t – произвольно.
При этом, если контур не подкреплен, выбирается уравнение состояния (4), при
жестком подкреплении используется уравнение состояния (3).
4. Формирование матриц уравнений состояния, меняющихся во време-
ни. Рассмотрим задачу определения значений интегральных операторов, входящих
в уравнения состояния для случая обобщенного плоского напряженного состояния
ортотропной пластинки. Матрицы amn и Amn представлений (25) формируются с
помощью технических упругих постоянных, которые в процессе длительного нагру-
жения пластинки заменяются временными интегральными операторами. Отметим,
что из экспериментов на ползучесть или релаксацию определяются операторы имен-
но технических упругих постоянных. Из упругих постоянных матриц amn и Amn
формируется матрица интегральных операторов amn и Amn
amn =
⎛⎜⎝
1
E1
−ν21
E2
0
−ν12
E1
1
E2
0
0 0 1
G12
⎞⎟⎠ , Amn =
⎛⎜⎝ E1
1−ν12ν21
E2ν12
1−ν12ν21 0
E1ν21
1−ν12ν21
E2
1−ν12ν21 0
0 0 G12
⎞⎟⎠ . (39)
Здесь модули Юнга Ei, коэффициенты Пуассона νik, модуль сдвига G12, входя-
щие в уравнения закона Гука, заменены линейными интегральными операторами
Ei, νik, и G12. Для сохранения симметрии матрицы уравнений состояния, необходи-
мо чтобы выполнялись условия
ν12E2 = ν21E1. (40)
121
Р.Н. Нескородев
В работе [5] приведены результаты экспериментов по ползучести полимерного
композитного материала на основе эпоксидного связующего (материал 1). Операто-
ры 1/Ei и 1/G12 аппроксимировались с помощью операторов
1
Ei
=
1
Ei
[1 + λiЭ∗
α (−βi)] ,
1
G12
=
1
G12
[1 + λ6Э∗
α (−β6)] , (41)
где интегральные операторы Э∗
α (−βi) содержат ядро Работнова (5).
Операторный коэффициент Пуассона принят равным мгновенному значению.
Упругие и реологические характеристики указанного материала приведены ниже.
Материал 1.
E1 = 23 · 103МПа, λ1 = 0.0323 cδ , β1 = 0.1570 cδ , ν12 = 0.11,
E2 = 16 · 103МПа, λ2 = 0.1295 cδ , β2 = 0.2745 cδ , ν21 = 0.0765, (42)
G12 = 3.08 · 103МПа, λ6 = 0.0717 cδ , β6 = 0.0276 cδ ,
λ12 = β12 = λ21 = β21 = 0, δ = −(1 + α), α = −0.846.
Исходные операторы имеют вид (41) и
ν12 = ν12 [1 + λ12Э∗
α (−β12)] , ν21 = ν21 [1 + λ21Э∗
α (−β21)] .
Требование одновременного равенства операторов ν12 и ν21, мгновенному значе-
нию, как это указано в соотношениях (42) приводит к нарушению равенства (40).
Укажем несколько возможных выходов из создавшегося положения.
1. Полагаем ν12 = ν12 = const. Тогда из равенства (40) находим ν21. Затем пола-
гаем ν21 = ν21 = const. Из равенства (40) определяем ν12. Комбинируя полученные
соотношения, получим
ν12 = ν12 [1 + (1− γ)λ12Э∗
α (−β2)− (1− γ)λ11Э∗
α (−β1 − λ1)] ,
ν21 = ν21 [1 + γλ21Э∗
α (−β1)− γλ22Э∗
α (−β2 − λ2)] (0 ≤ γ ≤ 1) , (43)
λ12 = λ2 − λ1λ2
λ1 + β1 − β2
, λ11 = λ1 − λ1λ2
λ1 + β1 − β2
,
λ21 = λ1 − λ1λ2
λ2 + β2 − β1
, λ22 = λ2 − λ1λ2
λ2 + β2 − β1
.
2. Из первого соотношения (18) находим
ν12
E1
=
ν21
E2
=
1
4
[
1
E1
− 1
E1
+
1
E2
− 1
E2
+
4ν12
E1
]
=
=
ν12
E1
[
1 +
λ1
4ν12
Э∗
α (−β1) +
λ2
4ν21
Э∗
α (−β2)
]
. (44)
Представление (44) позволяет, используя алгебру операторов Работнова, опре-
делить операторы ν12 и ν21.
122
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
3. Полагаем
ν12
E1
=
ν12
E1
,
ν21
E2
=
ν21
E2
. (45)
Таким образом, для приведенного выше материала можно сформировать сим-
метричную матрицу amn уравнений состояния (39).
Для изотропного материала имеем E1 = E2 = E, ν12 = ν21 = ν, G12 = G =
= E/2/ (1 + ν).
В работе [11] приведены опытные данные об изменении коэффициента Пуассона
во времени в медных образцах. Оператор ν аппроксимировался с помощью дробно-
экспоненциального оператора с ядром Работнова (5)
ν = ν [1 + λνЭ∗
α (−βν)] . (46)
Упругие и реологические характеристики для меди приведены ниже.
Материал 2 – медь
G = 4.51 × 104МПа, E = 2 (1 + ν)G, λν = 6.65 × 10−3c−(1+α),
βν = 9.2× 10−3c−(1+α), ν = 0.25, α = −0.5. (47)
Приведенные в работе [11] опытные данные не содержат информации для опре-
деления операторов E или G. Используем предположение об упруго сжимаемом
материале. Тогда, на основании первого равенства (18), соотношений алгебры опе-
раторов, а также известных зависимостей 1/G = 2 (1 + ν) /E, последовательно най-
дем
1
E
=
1
E
[1 + λeЭ∗
α (−βe)] , λe = 2νλν/ (1− 2ν) , βe = βν − λe,
1
G
=
1
G
[1 + λgЭ∗
α (−βe)] , λg =
3λνν
(1− 2ν) (1 + ν)
, (48)
ν
E
=
ν
E
[1 + λνeЭ∗
α (−βe)] , λνe =
λν
1− 2ν
.
Реологические постоянные приведенных операторов, выразились через извест-
ные величины ν, α, λν и βν , которые найдены в результате эксперимента.
Операторы (43)–(45) и (48) могут восполнить недостающие данные для пред-
ставленных выше материалов.
5. Решение для изотропной пластинки с круговым отверстием. Решение
упругой задачи для изотропной пластины с круговым отверстием радиуса R, когда
на бесконечности заданы усилия σ01 = p, σ02 = q представлены в работах [9, 12]. Ниже
представлено решение, когда на бесконечности заданы усилия σ06 = l
σθ = −
(
l +
3b3i
r4
)
f1, σr =
(
l − 4a1i
r2
+
3b3i
r4
)
f1, τrθ =
(
l − 3b3i
r4
+
2a1i
r2
)
f2,
ur =
1
2G
[
rl+
a1i (κ+ 1)
r
− b3i
r3
]
f1, uθ =
r
2G
[
l +
a1i (κ− 1)
r
+
b3i
r3
]
f2, (49)
123
Р.Н. Нескородев
κ = (3− ν) / (1 + ν) , f1 = sin (2θ) , f2 = cos (2θ) .
Решение для свободного контура. Коэффициенты a1i и b3i определяются из
граничных условий на контуре неподкрепленного отверстия σr = τrθ = 0 при r = R.
Они будут такими
a1i = lR2, b3i = lR4. (50)
Из соотношений (50) видно, что найденные коэффициенты от упругих постоян-
ных не зависят. Тогда и напряжения, определенные соотношениями (49), от упругих
постоянных также не зависят и во времени не меняются. В представления для пере-
мещений входят величины 1/G и κ/G. Операторы, соответствующие этим величинам
будут входить в выражения для перемещений.
Решение для жестко подкрепленного контура. Если контур отверстия
жестко подкреплен, то из граничных условий ur = uθ = 0 при r = R, находим
коэффициенты a1i и b3i. Они будут такими
a1i = −R
2
κ
l, b3i = −R
4
κ
l. (51)
Из соотношений (51) видно, что коэффициенты представлений (49) зависят от
упругих постоянных. Этот факт свидетельствует об изменении в этом случае во
времени как перемещений, так и напряжений. При этом, кроме приведенных вы-
ше, возникают и другие комбинации упругих постоянных: 1/k, 1/ (Gk). Операторы,
соответствующие этим величинам будут входить в выражения для напряжений и
перемещений.
6. Численные исследования. Апробация предложенного метода осуществле-
на проведением численных исследований для изотропной и ортотропной пластин с
неподкрепленным и жестко подкрепленным контуром. Результаты для изотропной
пластины были получены методом, предложенным в данной работе при использова-
нии методики, изложенной в работе [15]. Решение упругой задачи для бесконечной
изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием радиуса R, когда на беско-
нечности заданы усилия (31), представлено в виде явной зависимости перемещений
и напряжений от упругих постоянных [9, 12] и (49). Это дает возможность постро-
ить точное решение вязкоупругой задачи методом Вольтерра и провести численные
исследования. Результаты исследований, в случае, когда контур не подкреплен или
жестко подкреплен, использованы в виде теста при решении этих же задач методом,
предложенным в настоящей работе. Сравнение результатов, полученных методом
Вольтерра и предложенным в настоящей работе, показало их полное совпадение.
В табл. 1 приведены значения перемещений ur и uθ в характерных точках кру-
гового отверстия изотропной медной пластинки в различные моменты времени для
случая когда σ01 = 0, σ02 = 0, σ06 = l. Результаты, полученные методом Вольтер-
ра и предложенными в данной работе полностью совпадают. Как видно из табл. 1
стабилизация перемещений с течением времени происходит довольно медленно.
124
Метод переменных коэффициентов упругости решения задач вязкоупругости
Таблица 1
Перемещения t, час
0 100 500 1000 5000
ur ·G/(lR)(θ = 45◦) 1.6 4.4509 5.1107 5.2958 5.5559
uθ ·G/(lR)(θ = 0◦) 1.6 4.4509 5.1107 5.2958 5.5559
Исследования, проведенные для ортотропного материала с упругими и реологи-
ческими параметрами (42) показали, что напряжения, возникающие на контуре сво-
бодного отверстия, зависят от времени. Максимальные значения напряжений σθ/l
возникают в точках близких к θ = 60◦ и растут со временем. В табл. 2 эти напряже-
ния приведены для точек контура кругового отверстия в условиях предположения
ν12/E1 = ν12/E1 и ν21/E2 = ν21/E2. Таблица 2
Напряжения t, сек.
0 10 100 300 600
σθ/l 3.5514 3.6001 3.6104 3.6150 3.6183
Сравнение результатов, полученных по предложенной методике переменных ко-
эффициентов, с результатами, полученными по методу Вольтерра, для случая жест-
кого подкрепления кругового отверстия в медной пластинке представлены в табл. 3.
Таблица 3
t, c Метод Вольтерра Метод переменных коэффициентов
σr/l(45
◦) σθ/l(45
◦) τrθ/l(0
◦) σr/l(45
◦) σθ/l(45
◦) τrθ/l(0
◦)
0 1.4545 0.3636 1.4545 1.4537 0.3634 1.4545
100 1.4638 0.3913 1.4638 1.4630 0.3914 1.4639
300 1.4697 0.4091 1.4697 1.4691 0.4099 1.4700
600 1.4749 0.4248 1.4749 1.4747 0.4264 1.4756
Максимальные значения напряжений |σr/l| в ортотропной пластинке с круговым
жестко подкрепленным отверстием возникают в точках θ = ±45◦ и θ = ±135◦. Мак-
симальные значения напряжений |σθ/l| получаются вблизи θ = ±73◦ и
θ = ±107◦. Максимальные значения касательных напряжений τrθ/l возникают при
θ = 0◦ и θ = 180◦ и минимальные при θ = 90◦ и θ = 270◦. В табл. 4 даны соответ-
ствующие значения напряжений, изменяющиеся во времени.
Таблица 4
t, c |σr/l| |σθ/l| τrθ/l(0
◦) τrθ/l(90
◦)
0 1.8367 1.7836 1.7255 -1.9478
100 1.8557 1.9819 1.7074 -2.0040
300 1.8622 2.0191 1.7100 -2.0144
600 1.8671 2.0460 1.7124 -2.0218
Проведенные испытания метода переменных коэффициентов упругости выявили
его высокую эффективность и сравнительную, с другими методами, простоту реше-
ний задач вязкоупругости. Метод не требует решения, представленного в явном виде
от упругих коэффициентов. Достаточно сформировать матрицу операторов пред-
ставлений (39). Компоненты этой матрицы зависят от времени. Поэтому последую-
щее решение задачи вязкоупругости сводится к решению задач теории упругости в
необходимый момент времени.
125
Р.Н. Нескородев
1. Айталиев Ш.М. Развитие механики подземных и специальных сооружений в Казахстане за
последние 49 лет // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 10. – С. 3–35.
2. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов: Справочник. – Л.: Ма-
шиностроение. – 1980. – 247 c.
3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений в примерах и задачах. – М.: Недра, 1989. –
270 c.
4. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. – М.: На-
ука, 1970. – 280 c.
5. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных матери-
алов с трещинами. – К.: Наук. думка, 1992. – 248 c.
6. Каминский А.А. Разрушение вязко-упругих тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1990. – 312 c.
7. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – М.: Гостехиздат, 1957. – 464 c.
8. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 415 c.
9. Нескородев Р.Н. О новом численно-аналитическом методе решения задач теории вязкоупру-
гости анизотропных сред // Вестник Донецкого нац. университета. Сер. А: Естеств. науки. –
2009. – Вып. 2. – С. 7–15.
10. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 c.
11. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий – К.: Наук. думка, 1968. – 887 c.
12. Шевченко В.П., Нескородев Р.Н. Новый метод решения задач вязкоупругости анизотропных
сред // Доповiдi НАН України. – 2010. – № 11. – С. 51–58; 2009. – Вып. 2. – С. 7–15.
13. Шевченко В.П., Нескородев Р.Н. Численно-аналитический метод решения задач линейной тео-
рии вязкоупругости // Прикл. механика. – 2014. – 50, № 3. – С. 42–53.
14. Kaloerov S.A., Kolomiets M.A. Determination of the Viscoelastic State of an Anisotropic Plate with
Rigid Inclusions // J. Math. Sciences. – 2010. – 167, № 2. – P. 242–254.
15. Kosmodamianskii A.S., Neskorodev N.M. The Relation Between the Equations of the Two-dimensio-
nal Theory of Elasticity for Anisotropic and Isotropic Bodies // J. Appl. Maths Mechs. – 1998. – 62,
№ 2. – P. 319–321.
16. Podil’chuk I.Yu. Stress Concentration in Viscoelastic Ortotropic Plate with Rigid Circular Inclusion
// Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, № 8. – P. 660–668.
17. Podil’chuk I.Yu. Study of Stress Concentration in a Viscoelastic Ortotropic Plate with an Elliptical
Hole // Int. Appl. Mech. – 1997. – 33, № 9. – P. 731–739.
R.N. Neskorodev
Method of variable elasticity coefficients solving problems of viscoelasticity.
The paper presents a method for solving the problems of the theory of viscoelasticity, based on the
construction of the matrix equations of Hooke’s law on the basis of integral equations of state.The
elements of these matrices are constructed using fractional exponential functions Yu.N. Rabotnova and
time-dependent. This allows you to solve the problems of viscoelasticity at any time as normal elasticity
problem. The results of numerical studies.
Keywords: creep, relaxation, resolvent operator, method Volterra, orthotropic viscoelastic material,
variable elasticity coefficients.
Донецкий национальный ун-т
nromn@i.ua
Получено 04.09.15
126
|