О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева

Рассматриваются минимальные дифференциальные полиномы с квазиоднородными главными частями, символы которых зависят от двух переменных. Получен критерий существования слабо коэрцитивных неквазиэллиптических операторов в анизотропных пространствах Соболева, а также построен пример широкого класса таки...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Труды Института прикладной математики и механики
Datum:	2016
1. Verfasser:	Лиманский, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2016
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124248
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева / Д.В. Лиманский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 109-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124248
record_format	dspace
spelling	Лиманский, Д.В. 2017-09-22T18:38:34Z 2017-09-22T18:38:34Z 2016 О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева / Д.В. Лиманский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 109-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124248 517.983.36 Рассматриваются минимальные дифференциальные полиномы с квазиоднородными главными частями, символы которых зависят от двух переменных. Получен критерий существования слабо коэрцитивных неквазиэллиптических операторов в анизотропных пространствах Соболева, а также построен пример широкого класса таких операторов. Minimal differential polynomials with quasihomogeneous principal parts which symbols depend on two variables are considered. The criterion of existence of weakly coercive non-quasielliptic operators in the anisotropic Sobolev spaces is obtained and also the example of a wide class of such operators is constructed. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева On minimal differential polynomials in two variables weakly coercive in the anisotropic Sobolev spaces Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева
spellingShingle	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева Лиманский, Д.В.
title_short	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева
title_full	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева
title_fullStr	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева
title_full_unstemmed	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева
title_sort	о минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах соболева
author	Лиманский, Д.В.
author_facet	Лиманский, Д.В.
publishDate	2016
language	Russian
container_title	Труды Института прикладной математики и механики
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	On minimal differential polynomials in two variables weakly coercive in the anisotropic Sobolev spaces
description	Рассматриваются минимальные дифференциальные полиномы с квазиоднородными главными частями, символы которых зависят от двух переменных. Получен критерий существования слабо коэрцитивных неквазиэллиптических операторов в анизотропных пространствах Соболева, а также построен пример широкого класса таких операторов. Minimal differential polynomials with quasihomogeneous principal parts which symbols depend on two variables are considered. The criterion of existence of weakly coercive non-quasielliptic operators in the anisotropic Sobolev spaces is obtained and also the example of a wide class of such operators is constructed.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124248
citation_txt	О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева / Д.В. Лиманский // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 109-119. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT limanskiidv ominimalʹnyhdifferencialʹnyhpolinomahotdvuhperemennyhslabokoércitivnyhvanizotropnyhprostranstvahsoboleva AT limanskiidv onminimaldifferentialpolynomialsintwovariablesweaklycoerciveintheanisotropicsobolevspaces
first_indexed	2025-11-26T03:03:17Z
last_indexed	2025-11-26T03:03:17Z
_version_	1850609716397342720
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30 УДК 517.983.36 c©2016. Д.В. Лиманский О МИНИМАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛИНОМАХ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ, СЛАБО КОЭРЦИТИВНЫХ В АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА Рассматриваются минимальные дифференциальные полиномы с квазиоднородными главными частями, символы которых зависят от двух переменных. Получен критерий существования сла- бо коэрцитивных неквазиэллиптических операторов в анизотропных пространствах Соболева, а также построен пример широкого класса таких операторов. Ключевые слова: дифференциальный полином, слабая коэрцитивность, квазиэллиптичность. 1. Введение. Пусть Ω – произвольная область в Rn, p ∈ [1,∞], l := (l1, . . . , ln) – вектор с натуральными компонентами, \|α : l\| := α1/l1 + · · ·+ αn/ln. Рассмотрим в Lp(Ω) систему дифференциальных операторов вида Pj(x,D) = ∑ \|α:l\|≤1 ajα(x)Dα, j ∈ {1, . . . , N}, (1) с коэффициентами ajα(·) ∈ L∞loc(Ω). Пусть далее P l j(x,D) := ∑ \|α:l\|=1 ajα(x)Dα – l-главная часть оператора Pj(x,D), а P l j(x, ξ) := ∑ \|α:l\|=1 ajα(x)ξα – его главный l-квазиоднородный символ. Напомним следующие определения. Определение 1 [1, 2]. Систему дифференциальных операторов вида (1) назы- вают l-квазиэллиптической, если (P l 1(x, ξ), . . . , P l N (x, ξ)) 6= 0, (x, ξ) ∈ Ω× (Rn \ {0}), и, в частности, эллиптической порядка l, если l1 = · · · = ln = l. Определение 2 [1]. Система дифференциальных операторов вида (1) называ- ется коэрцитивной в (анизотропном) пространстве Соболева W̊ l p(Ω), p ∈ [1,∞], если справедлива априорная оценка ‖f‖W l p(Ω) := ∑ \|α:l\|≤1 ‖Dαf‖Lp(Ω) ≤ C1 N∑ j=1 ‖Pj(x,D)f‖Lp(Ω) + C2‖f‖Lp(Ω), (2) в которой C1 и C2 не зависят от f ∈ C∞ 0 (Ω). Хорошо известно [1–4], что при некоторых ограничениях на коэффициенты ajα(·) и область Ω, система (1) l-квазиэллиптична в точности тогда, когда она коэр- цитивна в W̊ l p(Ω) при p ∈ (1,∞). При p = 1;∞ оценка (2) для l-квазиэллиптической 109 Д.В. Лиманский системы утрачивает силу. Так, в случае p = ∞ М.М. Маламудом [5] было доказа- но, что из априорной оценки ‖Q(x,D)f‖L∞(Ω) ≤ C1 N∑ j=1 ‖Pj(x,D)f‖L∞(Ω) + C2‖f‖L∞(Ω), f ∈ C∞ 0 (Ω) вытекает тождество Ql(x, ξ) = N∑ j=1 λj(x)P l j(x, ξ), x ∈ Ω, ξ ∈ Rn для l-главных символов операторов Q(x,D) и Pj(x,D) (в случае операторов с по- стоянными коэффициентами это утверждение доказано еще ранее де Лю и Мир- килом [6]). Отсюда следует, что l-квазиэллиптическая система является коэрци- тивной в W̊ l∞(Ω) лишь в исключительных случаях. Тем не менее для l-квазиэллиптической системы {Pj(x,D)}N 1 верна более сла- бая оценка ∑ \|α:l\|<1 ‖Dαf‖Lp(Ω) ≤ C1 N∑ j=1 ‖Pj(x,D)f‖Lp(Ω) + C2‖f‖Lp(Ω), f ∈ C∞ 0 (Ω), (3) при p ∈ (1,∞) вытекающая из оценки (2), а при p = ∞ доказанная в [5]. Отметим также, что невозможность оценки вида (2) при p = 1 вытекает из результатов Орнстейна [7]. В то же время наличие оценки (3) при p = 1 доказано (для случая операторов с постоянными коэффициентами) в работах [8, 9]. Эти результаты делают естественным следующее введенное в [9] определение. Определение 3 [9]. Систему дифференциальных операторов вида (1) называют слабо коэрцитивной в (анизотропном) пространстве Соболева W̊ l p(Ω), p ∈ [1,∞], если справедлива оценка (3), в которой C1 и C2 не зависят от f . В случае изотропного пространства Соболева W̊ l p(Ω), т. е. при l1 = · · · = ln = l, неравенство \|α : l\| < 1 в (3) принимает обычный вид: \|α\| < l. Для случая одного оператора еще ранее де Лю и Миркил [6] показали, что при n ≥ 3 эллиптический оператор P (D) = P1(D) может быть охарактеризован при помощи априорных оценок в L∞(Rn). Теорема де Лю и Миркила [6]. При n ≥ 3 эллиптичность дифференциаль- ного полинома порядка l ≥ 2 эквивалентна его слабой коэрцитивности в W̊ l∞(Rn). Условие n ≥ 3 в теореме существенно. Так, в [6] приведен принадлежащий Мальгранжу пример слабо коэрцитивного в W̊ 2∞(R2), но не эллиптического опера- тора P (D) = (D1 + i)(D2 + i). В работе [10] автором и М.М. Маламудом теорема де Лю и Миркила распро- странена на систему операторов с постоянными коэффициентами, а также был получен ее аналог для оператора P (x,D) с переменными коэффициентами. Кроме 110 Слабо коэрцитивные дифференциальные полиномы от двух переменных этого, в той же работе дано полное описание слабо коэрцитивных в изотропном пространстве Соболева W̊ l∞(R2) операторов от двух переменных и построены при- меры широких классов слабо коэрцитивных, но не эллиптических операторов в шкале изотропных пространств W̊ l p(Rn) при p ∈ [1,∞]. В настоящей работе рассматривается случай одного оператора P (D1, D2) с по- стоянными коэффициентами от двух переменных с l-однородной главной частью, l = (l1, l2), l1 > l2. Ясно, что l-квазиэллиптические операторы существуют для любых l, например, P (D) = Dl1 1 + iDl2 2 . Изучается вопрос, при каких условиях: 1) l-квазиэллиптичность оператора от двух переменных эквивалентна его слабой коэрцитивности в анизотропном пространстве W̊ l∞(R2), т. е. справедлив аналог теоремы де Лю и Миркила; 2) существуют слабо коэрцитивные в W̊ l∞(R2), но не l-квазиэллиптические операторы. На эти вопросы в статье получены исчерпываю- щие ответы. Оказалось, что: 1) утверждение справедливо в том и только том слу- чае, когда l1 не кратно l2 (теорема 1); 2) в случае, когда l1 кратно l2, построены при- меры широких классов слабо коэрцитивных в W̊ l∞(R2), но не l-квазиэллиптических операторов (теорема 2). Отметим, что часть результатов работы анонсирована (без доказательств) в работах автора и М.М. Маламуда [9, 11]. 2. Обозначения и вспомогательные утверждения. Обозначения. Пусть Z+ := N ∪ {0}, Zn + := Z+ × · · · × Z+ (n сомножителей), Z2 := {0, 1}. Далее, Dk := −i∂/∂xk, D = (D1, . . . , Dn); для мультииндекса α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn + полагают \|α\| := α1 + · · · + αn, Dα := Dα1 1 . . . Dαn n . Если l = (l1, . . . , ln) ∈ Nn и α ∈ Zn +, то \|α : l\| := α1/l1 + · · · + αn/ln. Пусть также \|x\| := ( ∑n k=1 x2 k) 1/2, 〈x, y〉 := ∑n k=1 xkyk для x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Для натуральных чисел m,n обозначим через (m,n) их наибольший общий дели- тель (НОД), а через [m,n] – их наименьшее общее кратное (НОК). Через Mp = Mp(Rn) будет обозначаться алгебра мультипликаторов в Lp(Rn), p ∈ [1,∞]; через f̂ (µ̂) – преобразование Фурье (Фурье – Стилтьеса) функции f (меры µ); через δ – дельта-мера Дирака, а через χ(t) – функция Хевисайда в R. Через C∞(Ω) обозначается множество функций, бесконечно дифференцируемых в области Ω ⊂ Rn, а через C∞ 0 (Ω) – его подмножество функций, финитных (с компактным носителем) в Ω. Замыкание множества C∞ 0 (Ω) в норме ‖f‖W l p(Ω) := := ∑ \|α:l\|≤1 ‖Dαf‖Lp(Ω) пространства Соболева W l p(Ω) обозначается как W̊ l p(Ω). Определение 4 [12]. Пусть F – преобразование Фурье в L2(Rn), f̂ := Ff . Ограниченную измеримую (по Лебегу) функцию Φ : Rn → C называют мульти- пликатором в Lp(Rn), p ∈ [1,∞], если оператор свертки f 7→ TΦf =: F−1ΦFf отображает Lp(Rn) ∩ L2(Rn) в Lp(Rn) и ограничен в Lp(Rn). Мультипликаторы в Lp(Rn) образуют алгебру Mp = Mp(Rn). Очевидно, фи- нитные функции являются мультипликаторами, т. е. C∞ 0 (Rn) ⊂ Mp(Rn), p ∈ [1,∞]. 111 Д.В. Лиманский Известно полное описание алгебры Mp при p = 1, 2,∞ (см. [12]). Нас интересует описание алгебры M∞(Rn), обозначаемой далее просто M (Rn) или M . Предложение 1 [12]. Алгебра M есть множество образов конечных борелев- ских мер в Rn относительно преобразования Фурье–Стилтьеса: Φ ∈ M ⇐⇒ Φ(ξ) = µ̂(ξ) := ∫ Rn ei〈x,ξ〉 dµ(x), µ(Rn) < ∞. Из предложения 1 следует, что все функции Φ ∈ M ограничены и равномерно непрерывны в Rn. Кроме того, из свойств преобразования Фурье вытекает, что ал- гебра мультипликаторов M инвариантна относительно отражений Φ(x) 7→ Φ(−x), сдвигов Φ(x) 7→ Φ(x − h), h ∈ Rn и растяжений Φ(x) 7→ Φ(rx), r > 0. Наконец, отметим, что M (Rm) ⊂ M (Rn) при m < n [12]. Предложение 1 также дает возможность указать примеры "элементарных" мультипликаторов в L∞, для которых порождающая их мера µ строится явно. Так, функция 1 ξ1 + i ∈ M (R), поскольку является преобразованием Фурье–Стилтьеса конечной меры µ(t) на прямой с плотностью dµ(t) = −iχ(t)e−t dt, где χ(t) = { 1, t ≥ 0 0, t < 0 – функция Хевисайда: µ̂(ξ1) = ∫ +∞ −∞ eiξ1t dµ(t) = −i ∫ +∞ 0 eitξ1e−t dt = − −i iξ1 − 1 = 1 ξ1 + i . Далее, для ω ∈ C \R функция 1 ξ1 + ω получается из 1 ξ1 + i суперпозицией сдвига, растяжения и отражения и, следовательно, 1 ξ1 + ω ∈ M (R). Наконец, функция ξ1 ξ1 + ω ∈ M (R) как разность мультипликаторов 1 = δ̂ и ω ξ1 + ω (здесь δ – дельта- мера Дирака на прямой). В работе [8] получены достаточные условия принадлежности функции Φ(·) ал- гебре мультипликаторов M (Rn). Там же, в [8], из этого результата выведено сле- дующее утверждение. Предложение 2 [8]. Пусть l = (l1, . . . , ln) ∈ Nn и P (ξ) – l-квазиэллиптический полином. Тогда функции mα(ξ) := χ(ξ) ξα P (ξ) , \|α : l\| < 1 являются мультипликаторами в M (Rn). Здесь χ(·) ∈ C∞(Rn) – "срезающая" функция, 0 ≤ χ(ξ) ≤ 1, χ(ξ) = 0 при \|ξ\| ≤ r и χ(ξ) = 1 при \|ξ\| > R, где 0 ≤ r < R. Отметим, что "срезающая" функция χ(·) в предложении 2 определена коррект- но, так как множество нулей {ξ ∈ Rn : P (ξ) = 0} l-квазиэллиптического полинома P (ξ) компактно (см. [8, 10]). 112 Слабо коэрцитивные дифференциальные полиномы от двух переменных Пусть l = (l1, l2) ∈ N2 и l1 > l2. Рассмотрим полином от двух переменных P (ξ) = ∑ \|α:l\|≤1 aαξα = ∑ \|α:l\|≤1 aα1,α2ξ α1 1 ξα2 2 , aα ∈ C с l-однородной главной частью P l(ξ) = ∑ \|α:l\|=1 aαξα. Пусть d := [l1, l2] – НОК чисел l1 и l2, k := (l1, l2) – их НОД. Обозначим также m1 := d l1 , m2 := d l2 . Ясно, что (m1, m2) = 1 и d = km1m2. Соотношение α1 l1 + α2 l2 = 1, определяющее l-главную часть P l(ξ), можно перепи- сать в виде 〈α, m〉 := α1m1 +α2m2 = d. Для всех остальных мономов ξα, входящих в P (ξ), справедливо соотношение 〈α, m〉 ≤ d− 1. Обозначим P l−1(ξ) = ∑ 〈α,m〉=d−1 aαξα. Следующая лемма показывает, что множество {α : 〈α,m〉 = d− 1} не пусто и, зна- чит, P l−1(ξ) определен корректно. Лемма 1. Пусть l1, l2 ∈ N, d = [l1, l2], mi = d/li, i = 1, 2. Тогда уравнение x1m1 + x2m2 = d− 1 (4) имеет целое неотрицательное решение. Доказательство. При m1 = m2 = 1 утверждение леммы очевидно. Поэтому предполагаем, что m1m2 > 1. Так как m1 и m2 взаимно просты, то уравнение (4) имеет целые решения. Пусть x1 = x0 1, x2 = x0 2 – одно из них. Тогда совокупность всех целых решений этого уравнения имеет вид x1 = x0 1 − nm2, x2 = x0 2 + nm1, n ∈ Z. Если x1 и x2 – неотрицательные целые числа, то x0 1 − nm2 ≥ 0 и x0 2 + nm1 ≥ 0, откуда − x0 2 m1 ≤ n ≤ x0 1 m2 , n ∈ Z. Т.е. уравнение (4) имеет целое неотрицательное решение, когда промежуток[ − x0 2 m1 ; x0 1 m2 ] содержит по крайней мере одно целое число. Длина этого промежутка 113 Д.В. Лиманский равна ∣∣∣∣ x0 1 m2 + x0 2 m1 ∣∣∣∣ = d− 1 m1m2 = k− 1 m1m2 . Если k ≥ 2, то k− 1 m1m2 > 1 и требуемое n найдется. Пусть k = 1. Предположим противное, т.е. что n < − x0 2 m1 ≤ x0 1 m2 < n + 1 для некоторого целого n. Тогда − x0 2 m1 − n ≥ 1 m1 , n + 1− x0 1 m2 ≥ 1 m2 и 1 = (n + 1)− n ≥ x0 1 m2 + 1 m2 + x0 2 m1 + 1 m1 = 1 + m1 + m2 − 1 m1m2 > 1. Противоречие. Лемма доказана. ¤ Пусть αi, ai ∈ R, i = 1, 2. Рассмотрим теперь, каков будет результат подстанов- ки функций ξi = ξi(t) = αit mi + ai, t > 0, i = 1, 2, в полиномы P l(ξ) и P l−1(ξ). Применяя формулу Тейлора в точке (α1t m1 , α2t m2) с приращениями a1, a2, имеем P l(α1t m1+a1, α2t m2+a2) = tdP l(α1, α2)+ 2∑ i=1 ait d−mi ∂P l ∂ξi (α1, α2)+o(td−1), t → +∞. Аналогично P l−1(α1t m1 + a1, α2t m2 + a2) = td−1P l−1(α1, α2) + o(td−1), t → +∞. Поясним написанное. В полином P l(ξ) входят мономы вида bβξβ , для которых 〈β,m〉 = β1m1 + β2m2 = d. Поэтому P l(α1t m1 , α2t m2) = ∑ 〈β,m〉=d bβ (α1t m1)β1 (α2t m2)β2 = = ∑ 〈β,m〉=d bβαβ1 1 αβ2 2 t〈β,m〉 = tdP l(α1, α2). Далее, ∂P l ∂ξ1 (α1t m1 , α2t m2) = ∑ 〈β,m〉=d bββ1 (α1t m1)β1−1 (α2t m2)β2 = td−m1 ∂P l ∂ξ1 (α1, α2). Аналогично обосновываются формулы ∂P l ∂ξ2 (α1t m1 , α2t m2) = td−m2 ∂P l ∂ξ2 (α1, α2) и P l−1(α1t m1 , α2t m2) = td−1P l−1(α1, α2). 114 Слабо коэрцитивные дифференциальные полиномы от двух переменных Приведем несколько утверждений, касающихся априорных оценок в L∞. Лемма Эберлейна [6]. Пусть µ – конечная мера в Rn и c = µ(0). Тогда функция f(x) ≡ c равномерно приближается выпуклыми комбинациями сдвигов функции M(ξ) := µ̂(ξ), т. е. m∑ i=1 ciM(ξ − ξi) ⇒ c, где ci > 0, m∑ i=1 ci = 1, ξi ∈ Rn. Предложение 3 [6]. Пусть Q(D) и P (D) – дифференциальные полиномы в L∞(Rn). Тогда априорная оценка ‖Q(D)f‖L∞(Rn) ≤ C1‖P (D)f‖L∞(Rn) + C2‖f‖L∞(Rn), f ∈ C∞ 0 (Rn) (5) эквивалентна тождеству для их символов Q(ξ) = M(ξ)P (ξ) + N(ξ), ξ ∈ Rn, (6) где M(ξ), N(ξ) – мультипликаторы в L∞(Rn). Предложение 4 [5, 6]. Пусть l = (l1, . . . , ln) ∈ Nn, Q(D) и P (D) – дифферен- циальные полиномы в L∞(Rn) с l-главными символами Ql(ξ) и P l(ξ). Тогда из априорной оценки (5) вытекает тождество Ql(ξ) = cP l(ξ), ξ ∈ Rn, причем c = µ(0), где µ – конечная мера, порождающая функцию M(ξ) из тожде- ства (6), т.е. M(ξ) = µ̂(ξ). 3. Случай, когда l1 не кратно l2. Предложение 5. Пусть l = (l1, l2) ∈ N2, l1 > l2 и l1 не делится на l2; P (D) – оператор, слабо коэрцитивный в W̊ l∞(R2). Тогда его главный символ P l(ξ) не может иметь вещественных нулей α = (α1, α2), для которых α1 6= 0 и α2 6= 0. Доказательство. Предположим противное, т.е. что существует точка α = (α1, α2) ∈ R2, α1 6= 0, α2 6= 0, такая, что P l(α) = 0. Выберем моном Q(ξ) = ξβ с условиями 〈β,m〉 = d− 1 и Q(α) = 1 (такой моном существует в силу леммы 1). Так как P (D) слабо коэрцитивен в W̊ l∞(R2), то в силу предложения 3 найдутся мультипликаторы M(ξ) и N(ξ) в L∞(R2) такие, что справедливо тождество Q(ξ) = M(ξ)P (ξ) + N(ξ) = M(ξ) [ P l(ξ) + P l−1(ξ) + . . . ] + N(ξ), ξ ∈ R2. (7) Подставим в тождество (7) вектор-функцию ξ = ξ(t) = (ξ1(t), ξ2(t)) := (α1t m1 + a1, α2t m2 + a2) , t > 0, (8) где ai ∈ R – произвольные числа. С учетом вычислений п. 2 при t → +∞ имеем td−1 = M (ξ(t)) [ tdP l(α) + 2∑ i=1 ait d−mi ∂P l ∂ξi (α) + td−1P l−1(α) + o(td−1) ] + N (ξ(t)) . (9) 115 Д.В. Лиманский Проанализируем последнее тождество. По нашему предположению, P l(α) = 0. Так как l1 не делится на l2, то d > l1 > l2, откуда 1 < m1 < m2 и, значит, d− 1 > > d−mi, i = 1, 2. Поэтому выражение в (9) под знаком суммы есть o(td−1). Если и P l−1(α) = 0, то вся правая часть (9) есть o(td−1), и мы получаем противоречие. Значит, c−1 := P l−1(α) 6= 0, и тождество (9) принимает вид td−1 = M (ξ(t)) [ c−1td−1 + o(td−1) ] + N (ξ(t)) . (10) Разделив обе части (10) на td−1 и устремив t → +∞, получим lim t→+∞M(ξ(t)) = c (6= 0) для всех ξ(t) вида (8). (11) Покажем, что последнее соотношение невозможно. В силу леммы Эберлейна, найдутся числа m ∈ N, ci > 0, c1 + ... + cm = 1 и векторы ξ1, ..., ξm ∈ R2 такие, что ∣∣∣∣∣ m∑ i=1 ciM(ξ − ξi) ∣∣∣∣∣ ≤ \|c\| 2 для всех ξ ∈ R2. Подставим в это неравенство функции ξ = ξ(t) вида (8). Тогда функции ξ̃(t) := := ξ(t)− ξi будут также иметь вид (8). Переходя в полученном неравенстве ∣∣∣∣∣ m∑ i=1 ciM(ξ̃(t)) ∣∣∣∣∣ ≤ \|c\| 2 , t > 0, к пределу при t → +∞ с учетом (11), имеем \|c\| ≤ \|c\| 2 , что неверно при c 6= 0. Полученное противоречие завершает доказательство предложения. ¤ Предложение 6. Пусть l = (l1, l2) ∈ N2, l1 > l2 и l1 не делится на l2; P (D) – оператор, слабо коэрцитивный в W̊ l∞(R2). Тогда его главный символ P l(ξ) не может иметь вещественных нулей вида α = (α1, 0) и α = (0, α2), αi 6= 0. Доказательство. (i) Пусть, от противного, P l(α1, 0) = 0 для некоторого α1 6= 0. Тогда моном ξl1 1 не входит в запись P l(ξ). Будем говорить, что точка β ∈ Z2 + соот- ветствует полиному P (ξ), если в его запись входит моном ξβ . Проведем в плоскости (α1, α2) вертикальную прямую α1 = l1− 1. В полуплоскости α1 ≥ l1− 1 нет точек, соответствующих P (ξ), кроме, возможно, точки (l1 − 1, 0). В самом деле, на пря- мой α1 = l1 такой точкой могла быть лишь (l1, 0), но она не соответствует P (ξ) по нашему предположению. Если же α1 = l1− 1 и α1/l1 + α2/l2 ≤ 1, то α2 ≤ l2/l1. По условию, l2/l1 < 1, поэтому α2 = 0. Будем поворачивать прямую α1 = l1−1 около точки (l1−1, 0) в сторону против положительного направления оси α1 (против часовой стрелки) до тех пор, пока на ней не появится хотя бы одна точка, отличная от (l1 − 1, 0), соответствующая P (ξ). Обозначим через l′ вектор, соответствующий этой прямой. По построению, 116 Слабо коэрцитивные дифференциальные полиномы от двух переменных эта прямая будет l′-главной для P (ξ). Тогда l′-главная часть символа P (ξ) имеет вид P l′(ξ) = al1−1,0 ξl1−1 1 + ∑ \|β:l′\|=1, β 6=(l1−1,0) aβξβ, где одно из чисел aβ в сумме отлично от нуля. Ясно, что если Q(ξ) = ξl1−1 1 , то Ql′(ξ) = Q(ξ). Поскольку Q(D) подчинен P (D) (в смысле оценки (5)), то, согласно предложению 4, Ql′(ξ) ≡ cP l′(ξ), т. е. ξl1−1 1 ≡ c  al1−1,0 ξl1−1 1 + ∑ \|β:l′\|=1, β 6=(l1−1,0) aβξβ   , откуда следуют соотношения cal1−1,0 ≡ 1, ∑ \|β:l′\|=1, β 6=(l1−1,0) caβξβ ≡ 0, противоречивые ввиду сделанных выше предположений на числа aβ . Таким обра- зом, P l(ξ) не может иметь нулей вида (α1, 0), где α1 6= 0. (ii) Пусть теперь P l(0, α2) = 0 для некоторого α2 6= 0. Доказательство для этого случая совершенно аналогично и получается заменой в предыдущем рассуждении оси α1 на ось α2 и наоборот. Изменения этого рассуждения состоят в следующем. Прямая α2 = l2− 1 пересекает l-главную прямую в точке (l1/l2, l2− 1), которая не может соответствовать символу P (ξ), поскольку по условию число l1/l2 не целое. Выберем на прямой α2 = l2 − 1 целую точку с максимальной абсциссой, соответ- ствующую P (ξ). Эта точка, как уже было отмечено, не лежит на l-главной прямой. Теперь будем поворачивать прямую α2 = l2 − 1 по часовой стрелке, но не около точки (0, l2 − 1), а около выбранной точки. Далее точно так же, как в пункте (i), получаем противоречие с предложением 4. ¤ Доказанные предложения 5 и 6 означают, что в случае, когда l1 не кратно l2, l-главный символ P l(ξ) слабо коэрцитивного в W̊ l∞(R2) оператора P (D) обраща- ется в нуль лишь при ξ = 0. Отсюда следует теорема. Теорема 1. Пусть l = (l1, l2) ∈ N2, l1 > l2. Если [l1, l2] > l1, то слабая коэрци- тивность оператора P (D) в W̊ l∞(R2) эквивалентна его l-квазиэллиптичности. 4. Случай, когда l1 кратно l2. Теорема 2. Пусть l := (km, k) ∈ N2, k,m ≥ 2; l′ := ((k − 1)m, k − 1), R(D) – l′-квазиэллиптический оператор, S(D1) – обыкновенный дифференциальный опе- ратор порядка m, полный символ которого невырожден, т.е. S(ξ1) 6= 0 при всех ξ1 ∈ R. Тогда оператор P (D) вида P (D) = S(D1)R(D) слабо коэрцитивен в W̊ l∞(R2). 117 Д.В. Лиманский Доказательство. Покажем, что функции Φγ(ξ) := χ(ξ) ξγ P (ξ) ∈ M (R2), если \|γ : l\| < 1. (12) Здесь χ(ξ) – соответствующая "срезающая" функция (см. предложение 2). Пусть сначала γ2 < k − 1 и γ1 ≥ m. Вместе с неравенством γ1 km + γ2 k < 1 это дает γ1 −m (k − 1)m + γ2 k − 1 < 1. Тогда Φγ ∈ M как произведение мультипликаторов m1(ξ) := ξm 1 S(ξ1) и m2(ξ) := χ(ξ) ξγ1−m 1 ξγ2 2 R(ξ) . Действительно, так как S1(ξ1) 6= 0 при ξ1 ∈ R, т.е. S1(ξ1) = A(ξ1 − ω1) . . . (ξ1 − ωm), где A 6= 0 и ωk ∈ C \ R, k = 1,m, то m1(ξ) = ξm 1 S(ξ1) = 1 A m∏ k=1 ξ1 ξ1 − ωk ∈ M как произведение "элементарных" мультипликаторов (см. п. 2). Функция m2 ∈ M , так как γ̃ := (γ1 − m, γ2) удовлетворяет условию \|γ̃ : l′\| < 1 и R(ξ) – l′-квазиэллиптический полином (предложение 2). Таким образом, Φγ ∈ M при γ1 ≥ m, γ2 < k − 1. Если γ2 < k − 1 и γ1 < m, то, аналогично предыдущему, Φγ ∈ M как произве- дение двух мультипликаторов m1(ξ) := ξγ1 1 S(ξ1) и m2(ξ) := χ(ξ) ξγ2 2 R(ξ) . Наконец, рассмотрим случай γ2 = k − 1. Тогда γ1 < m. Пусть R(ξ) = c0ξ k−1 2 + + . . . , c0 6= 0, где многоточием обозначена сумма мономов aαξα1 1 ξα2 2 , для которых α2 < k−1. Тогда, вычитая из Φγ мультипликатор m1(ξ) := c−1 0 χ(ξ) ξγ1 1 S(ξ1) , получим: Φγ(ξ)−m1(ξ) = χ(ξ) ξγ1 1 S(ξ1) · ξk−1 2 − c−1 0 R(ξ) R(ξ) . Числитель последней дроби содержит ξ2 в степени, меньшей k − 1, и поэтому функция m2(ξ) := χ(ξ) ξk−1 2 − c−1 0 R(ξ) R(ξ) – произведение функций вида χ(ξ) ξα1 1 ξα2 2 R(ξ) , для которых \|α : l′\| < 1 и α2 < k − 1. По доказанному выше, m2 ∈ M . Поэтому Φγ = m1(1 + c0m2) ∈ M . Теперь покажем, что из включений (12) вытекает оценка ∑ \|γ:l\|<1 ‖Dγf‖L∞(R2) ≤ C1‖P (D)f‖L∞(R2) + C2‖f‖L∞(R2), f ∈ C∞ 0 (R2), (13) означающая слабую коэрцитивность P (D) в W̊ l∞(R2). Рассмотрим тождество ξγ = Φγ(ξ)P (ξ) + (1− χ(ξ)) ξγ , \|γ : l\| < 1. Функция Ψγ(ξ) := (1− χ(ξ))ξγ ∈ C∞ 0 (Rn) ⊂ M . Тогда ξγ = Φγ(ξ)P (ξ) + Ψγ(ξ), где Φγ ,Ψγ ∈ M , \|γ : l\| < 1. Оценка (13) вытекает теперь из предложения 3. ¤ 118 Слабо коэрцитивные дифференциальные полиномы от двух переменных 1. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. – М.: Наука, 1996. – 480 с. 2. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Метод многогранника Ньютона в теории дифференциальных уравнений в частных производных. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 312 с. 3. Бесов О.В. О коэрцитивности в анизотропном пространстве С.Л. Соболева // Матем. сбор- ник. – 1967. – 73 (115), № 4. – С. 585–599. 4. Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – М.: Мир, 1959. – 252 с. 5. Маламуд М.М. Оценки для систем минимальных и максимальных дифференциальных опе- раторов в Lp(Ω) // Труды ММО. – 1995. – 56. – С. 206–261. 6. De Leeuw K., Mirkil H. A priori estimates for differential operators in L∞ norm // Illinois J. Math. – 1964. – 8. – P. 112–124. 7. Ornstein D. A non-equality for differential operators in the L1 norm // Arch. Rational Mech. Anal. – 1962. – 11. – P. 40–49. 8. Belinsky E.S., Dvejrin M.Z., and Malamud M.M. Multipliers in L1 and estimates for systems of differential operators // Russian J. of Math. Phys. – 2005. – 12, № 1. – P. 6–16. 9. Лиманский Д.В., Маламуд М.М. О слабой коэрцитивности систем дифференциальных опе- раторов в L1 и L∞ // ДАН. – 2004. – 397, № 4. – С. 453–458. 10. Лиманский Д.В., Маламуд М.М. Эллиптические и слабо коэрцитивные системы операторов в пространствах Соболева // Матем. сборник. – 2008. – 199, № 11. – С. 75–112. 11. Лиманский Д.В., Маламуд М.М. Слабо коэрцитивные неквазиэллиптические системы диф- ференциальных операторов в W l p(Rn) // ДАН. – 2007. – 415, № 5. – С. 583–588. 12. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – М.: Мир, 1973. – 344 с. D.V. Limanskii On minimal differential polynomials in two variables weakly coercive in the anisotropic Sobolev spaces. Minimal differential polynomials with quasihomogeneous principal parts which symbols depend on two variables are considered. The criterion of existence of weakly coercive non-quasielliptic operators in the anisotropic Sobolev spaces is obtained and also the example of a wide class of such operators is constructed. Keywords: differential polynomial, weak coercivity, quasiellipticity. ГОУ ВПО «Донецкий национальный ун-т», ГУ «Ин-т прикл. математики и механики», Донецк 4125aa@gmail.com Получено 20.07.16 119

О минимальных дифференциальных полиномах от двух переменных, слабо коэрцитивных в анизотропных пространствах Соболева

Institution

Ähnliche Einträge