О минимизации одного функционала методом Ритца
Исследуется вариационным методом одна нелинейная проблема, когда на свободной границе задано условие Бернулли в виде неравенства. Приводится теорема существования. Доказывается сходимость приближенного решения, основанного на методе Ритца, к точному решению в определенных метриках. One nonlinear pro...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124249 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О минимизации одного функционала методом Ритца / А.С. Миненко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 120-131. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859535572196917248 |
|---|---|
| author | Миненко, А.С. |
| author_facet | Миненко, А.С. |
| citation_txt | О минимизации одного функционала методом Ритца / А.С. Миненко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 120-131. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Исследуется вариационным методом одна нелинейная проблема, когда на свободной границе задано условие Бернулли в виде неравенства. Приводится теорема существования. Доказывается сходимость приближенного решения, основанного на методе Ритца, к точному решению в определенных метриках.
One nonlinear problem with the Bernoulli condition on a free boundary given by an inequality is studied by the variational method. The existence theorem is obtained. It is proved that approximate solutions based on the Ritz method convergent to an exact solution in certain metrics.
|
| first_indexed | 2025-11-25T23:28:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 517.9
c©2016. А.С. Миненко
ОМИНИМИЗАЦИИ ОДНОГОФУНКЦИОНАЛАМЕТОДОМРИТЦА
Исследуется вариационным методом одна нелинейная проблема, когда на свободной границе за-
дано условие Бернулли в виде неравенства. Приводится теорема существования. Доказывается
сходимость приближенного решения, основанного на методе Ритца, к точному решению в опре-
деленных метриках.
Ключевые слова: свободная граница, функционал, метод Ритца, сходимость, закон Бернулли,
теорема существования.
В работах [1–6] изучается нелинейная гидродинамическая задача, когда на сво-
бодной границе задано условие типа Бернулли в виде неравенства. Анализ имею-
щихся результатов по этой проблеме и библиографию можно найти в работе [3]. В
[7–10] изложен метод минимизации нелинейного функционала, возникающего при
решении теплофизической задачи типа Стефана. В настоящей работе эти резуль-
таты получили дальнейшее развитие при решении следующей гидродинамической
задачи.
1. Постановка задачи. Пусть G – область, ограниченная снизу отрезком
A = (0 ≤ x ≤ a, y = 0), по бокам вертикалями Q1 = (x = 0, 0 6 y 6 c),
Q2 = (x = 0, 0 6 y 6 b) и сверху кривой P : y = g(x), 0 ≤ x ≤ a, где c < b,
g(0) = c, g(a) = b. Относительно функции g(x) предполагается, что g(x) ∈ C2[0, a]
и кривая y = g(x) имеет горизонтальные участки Γ1 : y = c при x ∈ [0, a1],
Γ2 : y = b при x ∈ [a2, a], где числа a1 и a2 такие, что a1 < a2 и, кроме того,
g(x) – монотонно возрастающая кривая. Пусть далее S : y = g(x) при x ∈ [a1, a2]
и γ – достаточно гладкая кривая, расположенная в G ∪ S. При этом одним кон-
цом γ служит точка (a1, c), а другим – (a2, b). Через Gγ ⊂ G будем обозначать
односвязную область, ограниченную отрезками A,Q1, Q2 и кривой Γ = Γ1∪γ∪Γ2.
Рассмотрим нелинейную краевую задачу со свободной границей γ. Требует-
ся определить пару (ψ, γ), где ψ(x, y) – функция тока, по следующим условиям:
функция ψ(x, y) в области Gγ удовлетворяет в классическом смысле уравнению
ψxx + ψyy = 0, (x, y) ∈ Gγ (1)
непрерывна в Ḡγ , непрерывно дифференцируема в Ḡγ , исключая, может быть,
угловые точки, и удовлетворяет условиям
ψ(x, y) = 0, (x, y) ∈ A, (2)
ψx(x, y) = 0, (x, y) ∈ Q1 ∪Q2, (3)
ψ(x, y) = 1, (x, y) ∈ Γ; ψ2
x(x, y) + ψ2
y(x, y) > ν2, (x, y) ∈ γ, (4)
120
О минимизации одного функционала методом Ритца
(здесь ν = const > 0), причем, на части γ, лежащей внутри G, всегда выполняется
равенство.
Настоящая статья посвящена приближенному решению задачи (1)–(4) методом
Ритца и исследованию сходимости приближений Ритца к решению задачи (1)–(4).
2. Теорема существования. Задача (1)–(4) эквивалентна проблеме мини-
мума функционала
I(ψ, γ) =
∫∫
Gγ
(ψ2
x + ψ2
y + ν2) dxdy (5)
на множестве R допустимых пар (ψ, γ), удовлетворяющих следующим условиям:
γ – жорданова дуга, расположенная в G∪S, концами которой служат точки (a1, c)
и (a2, b), причем, все точки γ, исключая точку (a1, c), расположены выше горизон-
тали y = c; функция ψ(x, y) непрерывна в замыкании области Gγ , равна единице
на Γ, нулю на отрезке , имеет непрерывно дифференцируемые производные в Gγ ,
при этом I(ψ, γ) < ∞.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть выполнены условия
νb < 1, ν
a2∫
a1
√
1 + g2
xdx +
a− a2
b
>
a− a1
c
(6)
и пусть g(x) ∈ C2[0, a], g(x) = c при x ∈ [0, a1], g(x) = b при x ∈ [a2, a], где
a1 < a2 и, кроме того, g(x) – монотонно возрастающая кривая при x ∈ [0, a].
Тогда существует пара (ψ, γ), являющаяся решением задачи (1)–(4) и удовлетво-
ряющая следующим условиям: ψ(x, y) – функция непрерывная в Ḡγ, непрерывно
дифференцируемая в Ḡγ, ψy(x.y) > 0 в Gγ; γ – монотонно возрастающая кривая,
аналитическая в окрестности каждой своей точки, лежащей внутри G.
Доказательство. Пусть d – точная нижняя грань функционала (5) на множе-
стве R. Используя вариационную природу задачи (1)–(4), метод симметризации
Штейнера и внутренних вариаций Шиффера [11], устанавливается существова-
ние пары (ψ, γ) ∈ R, удовлетворяющей условиям (1)–(4) и такой, что I(ψ, γ) = d,
ψ ∈ C2(Gγ)∩C1(Ḡγ). Доказательство проводится аналогично тому, как это сделано
в работе [3] (см. теорему 1).
Покажем теперь, что область Gγ не может целиком совпадать с G. Предполо-
жим противное. Пусть Gγ совпадает с G. Тогда из формулы Грина следует, что
∫∫
G
∆ψdxdy =
a1∫
0
ψy(x, c)dx +
∫
γ
∂ψ
∂n
ds +
a∫
a2
ψy(x, b)dx−
a∫
0
ψy(x, 0)dx = 0.
Далее справедливы представления:
ψ(x, y) = (y − c)α1(x, y) + 1, (x, y) ∈ Π1 = {0 6 x 6 a1, c− δ1 6 y 6 c},
121
А.С. Миненко
ψ(x, y) = yα(x, y), (x, y) ∈ Π = {0 6 x 6 a, 0 6 y 6 δ},
ψ(x, y) = (y − b)α2(x, y) + 1, (x, y) ∈ Π2 = {a2 6 x 6 a, b− δ2 6 y 6 b},
где α(x, y), α1(x, y) и α2(x, y) – достаточно гладкие функции, а δ, δ1 и δ2 – неко-
торые малые величины. Тогда имеем
a1∫
0
α1(x, c)dx + ν
a2∫
a1
√
1 + g2
xdx +
a∫
a2
α2(x, b)dx =
a∫
0
α(x, 0)dx.
Применяя затем принцип максимума для гармонических функций, можно полу-
чить следующие оценки: α1(x, c) > 1/c при 0 6 x 6 a1, α2(x, b) > 1/b при
a2 6 x 6 a и α(x, 0) 6 1/c при 0 6 x 6 a. Действительно, имеем: ψ(x, y)−
−ψ0(x, y) 6 0 при (x, y) ∈ Π0 = {0 6 x 6 a, 0 6 y 6 c}, где ψ0(x, y) = y/c.
Тогда ψ(x, y) − ψ0(x, y) = (y − c)α1(x, y) + 1 − y/c при x ∈ [0; a1]. Откуда следует,
что α1(x, c) > 1/c при 0 6 x 6 a1. Аналогичным образом получим другие оцен-
ки. Отсюда следует неравенство a1/c + ν
a2∫
a1
√
1 + g2
xdx + (a− a2)/b 6 a/c, которое
противоречит второму неравенству в (6).
Наконец, используя метод внутренних вариаций Шиффера [11], аналогично
тому как это сделано в работе [16] (см. теорему 2), устанавливается аналитичность
свободной границы γ. Построенное решение (ψ, γ) является единственным в силу
[12] в классе функций ψy > 0 в Gγ . Таким образом, теорема доказана.
Замечание. Рассмотрим случай a1 = 0, a2 = a, тогда второе неравенство в (6)
запишется в таком виде
νc
a∫
0
√
1 + g2
xdx > a.
Решив теперь неравенство
νc [g(a)− g(0)] > a
относительно c, заключаем, что если величины (a − a2) и a1 достаточно малы, а
параметры a и c выбираются из условий
b
2
−
√
b2
4
− a
ν
< c <
b
2
+
√
b2
4
− a
ν
, νb2 > 4a,
тогда второе неравенство в (6) будет всегда удовлетворяться.
3. Приближенное решение задачи (1)–(4). Согласно известной методи-
ке Фридрихса [12] представим функционал (5) в классе функций ψγ > 0 в Gγ
следующим образом:
I1(z) =
∫∫
∆
[(
zx +
gx
g
z
)2
+
1
g2
+ ν2z2
ϕ
]
g
zϕ
dxdϕ, (7)
122
О минимизации одного функционала методом Ритца
где ∆ = (0 < x < a, 0 < ϕ < 1), ϕ(x, z) = ψ(x, zg(x)), а z(x, ϕ) – решение уравнения
ϕ(x, z)−ϕ = 0. Функционал (7) будем минимизировать на множестве допустимых
функций
Dz =
{
z : z ∈ C1(∆̄), z(a1, 1) = 1, z(x, 0) = 0, min
(x,ϕ)∈∆̄
zϕ > 0
}
. (8)
Далее, пусть z0(x, ϕ) – функция соответствующая классическому решению (ψ, γ)
задачи (1)–(4). Очевидно, что z0 ∈ Dz и z0(x, ϕ) ∈ W 1
2 (∆).
Лемма 1. Элемент z0(x, ϕ) доставляет наименьшее значение функционалу
(7) на множестве (8).
Доказательство. Из формулы Фридрихса [12] следует, что
I1(z) = I1(z0) +
d
dε
I1(zε)
∣∣∣∣
ε=0
+
1∫
0
(1− ε)
d2I1(zε)
dε2
dε, (9)
где
d2I1(zε)
dε2
= 2
∫∫
∆
{[
z0ϕ
(
δzx +
gx
g
δz
)
− δzϕ
(
z0x +
gx
g
z0
)]2
+
δz2
ϕ
g2
}
g
z3
εϕ
dxdϕ,
(10)
z – произвольный элемент из Dz, zε = z0 + ε(z − z0), 0 6 ε 6 1. Второе слагае-
мое справа в (9), являющееся первой вариацией функционала (7), вычисленной на
элементе z0, неотрицательно согласно [3]. Следовательно, элемент z0 доставляет
наименьшее значение функционалу (7) на множестве (8), так как d2I1(zε)/dε2 –
положительно определенный функционал на вариациях δε = z − z0. Лемма дока-
зана.
В терминах функции z(x, ϕ) задача (1)–(4) перепишется следующим образом:
−
(
zx
zϕ
+
gx
g
· z
zϕ
)′
x
+
1
g2
·
(
1
zϕ
)′
ϕ
= 0, (x, ϕ) ∈ ∆,
z(x, 0) = 0, x ∈ [0, a],
(
zx
zϕ
+
gx
g
· z
zϕ
) ∣∣∣∣∣ x=0
= 0,
(
zx
zϕ
+
gx
g
· z
zϕ
) ∣∣∣∣∣ x=a
= 0, ϕ ∈ [0, 1],
(
zx
zϕ
+
gx
g
· z
zϕ
)2
+
1
g2
· 1
z2
ϕ
> ν2, x ∈ [0, a], ϕ = 1.
Очевидно, что решение этой задачи будет зависеть от g(x) : z = z(x, ϕ; g(x)),
(x, ϕ) ∈ ∆̄. Непосредственно проверяется, что при g(x) = b, x ∈ [0, a] решением
последней задачи является функция z(x, ϕ) = ϕ, (x, ϕ) ∈ ∆̄.
123
А.С. Миненко
Будем минимизировать функционал (7) на множестве (8) при помощи сумм
zn(x, ϕ; akj(g)) = zn(x, ϕ; g) = zn(x, ϕ) =
m∑
k=1
mk∑
j=0
akj(g)xjϕk, sup
16k6m
(k + mk) = n.
(11)
Выделим в пространстве Er коэффициентов akj область допустимости Dr, где
r =
m∑
k=1
(mk + 1), Dr = E0
r ∩G+
r , E0
r :
m∑
k=1
mk∑
j=0
akja
j
1 − 1 = 0,
G+
r =
{
akj : min
(x,ϕ)∈∆̄
znϕ(x, ϕ) > 0
}
,
неизвестные коэффициенты akj и множитель Лагранжа λ определяются из нели-
нейной системы Ритца
∂I2(akj)
∂apq
+ λaq
1 = 0, q = 0, 1, 2...mp, p = 1, 2, ...m,
m∑
k=1
mk∑
j=0
akja
j
1 − 1 = 0, I2(akj) = I1
m∑
k=1
mk∑
j=0
akjx
jϕk
. (12)
Нетрудно проверить, что функция I2(akj) принимает свое наименьшее значение в
некоторой внутренней точке a∗kj множества Dr, лежащей на конечном расстоянии
от начала координат пространства Er [3]. Тогда в точке a∗kj частные производ-
ные первого порядка соответствующей функции Лагранжа обращаются в ноль.
Следовательно, система уравнений (12) имеет решение.
Исследуем теперь зависимость коэффициентов Ритца akj от g(x).
Лемма 2. Пусть система Ритца имеет решение при некотором y = g0(x) ∈
∈ C2[0, a]. Тогда решение akj(g), λ(g) системы (12) непрерывно зависит от g(x) в
некоторой окрестности элемента g0(x).
Доказательство. Выберем размерность пространства Er произвольным обра-
зом, обозначив левую часть системы уравнений (12) через Rpq(akj , λ; g), а решение,
соответствующее элементу g0(x), через apq, λ. Тогда имеют место следующие ра-
венства:
Rpq(akj , λ; g0) = 0, g = 0, 1, ..., mp, p = 1, 2, ..., m; Roo(akj , g0) = 0,
где
Roo(akj , g0) =
m∑
k=1
mk∑
j=0
akja
j
1 − 1.
Положим также
L =
∂ (Rpq(akj , λ, g0), Roo(akj , g0))
∂(aαβ, λ)
, L =
(
bαβ 1
aβ
1 0
)
,
124
О минимизации одного функционала методом Ритца
здесь
bαβ = 2
∫∫
∆
[(
∂znx
∂aαβ
+
gx
g
· ∂zn
∂aαβ
) (
∂znx
∂apq
+
gx
g
∂zn
∂apq
)
z2
nϕ −
−
(
znx +
gx
g
zn
)(
∂znx
∂apq
+
gx
g
· ∂zn
∂apq
)
znϕ
∂znϕ
∂aαβ
−
−
(
znx +
gx
g
zn
)(
∂znx
∂aαβ
+
gx
g
· ∂zn
∂aαβ
)
znϕ
∂znϕ
∂apq
+
+
∂znϕ
∂aαβ
· ∂znϕ
∂apq
(
znx +
gx
g
zn
)2
+
1
g2
· ∂znϕ
∂aαβ
· ∂znϕ
∂apq
]
gdxdϕ
z3
nϕ
.
Квадратная матрица L имеет порядок (r + 1). Покажем, что det L 6= 0. Пред-
положим противное. Пусть det L = 0. Тогда система линейных алгебраических
уравнений
Lη = 0
имеет ненулевое решение η = (ηoo, ηαβ) = (ηoo, η1), η1 = (ηαβ). Умножая теперь
систему линейных уравнений соответственно на ηαβ · ηpq, а затем, произведя сум-
мирование по p, q, α и β, получим, учитывая что
m∑
α=1
mα∑
β=0
ηαβaβ
1 = 0,
следующее выражение
∫∫
∆
{[
znϕ
(
zx +
gx
g
z
)
− zϕ
(
znx +
gx
g
zn
)]2
+
z2
ϕ
g2
}
g
z3
nϕ
dxdϕ = 0,
где
zn =
m∑
k=1
mk∑
j=0
akjx
jϕk, z =
m∑
k=1
mk∑
j=0
ηkjx
jϕk.
Выражение стоящее слева обращается в ноль тогда и только тогда, когда
z(x, ϕ) =
m∑
k=1
mk∑
j=0
ηkjx
jϕk ≡ 0, (x, ϕ) ∈ ∆̄.
Отсюда следует, что ηαβ = 0, β = 0, 1, . . . ,mα, α = 1, 2, . . . ,m. Тогда из того, что
Lη = 0, следует, что ηoo = 0. Таким образом, η = (ηαβ , ηoo) является нулевым
решением системы линейных алгебраических уравнений. Получаем противоречие.
Следовательно, det L 6= 0. Применяя теперь теорему о неявных функциях, полу-
чим утверждение леммы. Лемма доказана.
Итак, решив систему уравнений (12) при каждом n, можно затем построить
последовательность приближений (11) в виде zn(x, ϕ; a∗kj) = z∗n. Приближения z∗n
125
А.С. Миненко
образуют минимизирующую последовательность для функционала (7) на множе-
стве (8) (доказательство проводится аналогично тому, как это сделано в работе
[3]).
Последовательность функций zn(x, ϕ) позволяет приближенно для задачи (1)–
(4) найти свободную границу γn и линии уровня yn(x, c) функций ψn(x, y), яв-
ляющихся линиями тока. Здесь значения постоянной величины c принадлежат
промежутку [0; 1]. При этом имеем:
γn : yn(x, 1) = g(x)zn(x, 1) = g(x)
m∑
k=1
mk∑
j=0
akjx
j ,
yn(x, c) = g(x)zn(x, c) = g(x)
m∑
k=1
mk∑
j=0
akjx
jck,
где n = sup
16k6m
(k + mk), c ∈ [0, 1], (ψn, γn) – приближенное решение задачи (1)–(4).
4. Сходимость приближений Ритца z∗n в C(∆̄). Установим теперь схо-
димость приближенных решений (11), построенных по методу Ритца, к точному
решению z0(x, ϕ), соответствующему решению (ψ, γ) задачи (1)–(4). Справедлива
лемма.
Лемма 3. Пусть функция z0(x, ϕ) ∈ W l
2(∆), где l > 2. Тогда можно постро-
ить допустимый многочлен
un(x, ϕ) =
n∑
k=1
m∑
j=0
akjx
jϕk, n 6 m
такой, что
‖z0 − un‖2
W 1
2 (∆) = O
(
1
n2(l−2)
)
. (13)
Доказательство. Введем новые переменные (ξ, ς) следующим образом:
x = 2a(τ − t2), cos
ξ
2
= 1− τ2, ϕ = 2(θ − t1), cos
ς
2
= 1− θ2,
где t1, t2 – произвольные числа из интервала (0; 1/2). Тогда прямоугольник ∆ пе-
рейдет в прямоугольник ∆1 = (ξ1 < ξ < ξ2, ς1 < ς < ς2), где
ξ1 = 2 arccos
(
1− t22
)
, ξ2 = 2 arccos
[
1−
(
t2 +
1
2
)2
]
,
ς1 = 2 arccos
(
1− t21
)
, ς2 = 2arccos
[
1−
(
t1 +
1
2
)2
]
.
Положим теперь z0(x(ξ), ϕ(ς)) = u(ξ, ς). Очевидно, что u(ξ, ς) ∈ W l
2(∆1). Про-
должим затем функцию u(ξ, ς) на прямоугольник ∆∗ = (0 < ξ < π, 0 < ς < π) с
126
О минимизации одного функционала методом Ритца
сохранением класса [13] и обозначим продолженную функцию через u∗(ξ, ς). Это
продолжение всегда можно осуществить таким образом, чтобы функция u∗ и все ее
производные до порядка l включительно обращались в ноль в некоторой пригра-
ничной полоске области ∆∗. Разложим функцию u∗(ξ, ς) в ряд Фурье по косинусам
u∗(ξ, ς) =
∞∑
k=0
bk(ξ) cos kς, bk(ξ) =
2
π
π∫
0
u∗(ξ, ς) cos kςdς.
Положим
σn(ξ, ς) =
n∑
k=0
bk(ξ) cos kς, ρn(ξ, ς) = u∗(ξ, ς)− σn(ξ, ς)
и оценим интеграл
F (ρn) =
π∫
0
π∫
0
[(
∂ρn
∂ξ
)2
+
(
∂ρn
∂ς
)2
+ ρ2
n
]
dξdς,
пользуясь равенством Парсеваля. Тогда получим F (ρn) 6 1
(n+1)2(l−1) ‖u∗‖2
W l
2(∆∗).
Возвратимся затем к старым переменным (x, ϕ). Для этого рассмотрим функцию
R(x, ϕ) = z0(x, ϕ)− S(x, ϕ) = ρn(ξ(x), ς(ϕ)), (ξ, ς) ∈ ∆1,
где
S(x, ϕ) = σn(ξ(x), ς(ϕ)) =
n∑
k=0
bk(ξ(x)) cos kς(ϕ) =
=
n∑
k=0
bk(ξ(x)) cos{2k arccos[1− θ2(ϕ)]} =
4n∑
k=0
fk(x)ϕk.
Далее, разложив функцию σn(ξ, ς) в ряд Фурье по косинусам
σn(ξ, ς) =
∞∑
i=0
di(ς) cos iξ, di(ς) =
2
π
π∫
0
σn(ξ, ς) cos iξdξ
и вновь повторив проделанные выше преобразования, построим многочленQn(x, ϕ).
Однако он может оказаться недопустимым. Поэтому представим его в следующем
виде:
Qn(x, ϕ) = Tn(x, ϕ) + p(x),
где
Tn(x, ϕ) =
n∑
k=1
m∑
i=0
akjx
iϕk, p(x) =
m∑
i=0
a0ix
i.
127
А.С. Миненко
Тогда из оценок
a∫
0
p2(x)dx = O
(
1
n2(l−1)
)
,
a∫
0
(
dp
dx
)2
dx = O
(
1
n2(l−2)
)
следует, что условие (13) выполняется и Tn(x, 0) = 0, Tn(a1, 1) = 1; если по-
следнее условие не выполняется, необходимо рассмотреть многочлен T̃n(x, ϕ) =
= Tn(x, ϕ)/Tn(a1, 1). Полагая теперь un(x, ϕ) = Tn(x, ϕ), можно для всякого ε > 0
указать номер N степени многочлена Qn(x, ϕ), начиная с которого ‖z0 −Qn‖C1(∆̄) <
< ε, а тогда и ‖z0 − un‖C1(∆̄) < 2ε. Поэтому minTnϕ > 0 при (x, ϕ) ∈ ∆̄. Лемма
доказана.
Перейдем к исследованию сходимости приближений (11).
Теорема 2.Пусть выполнены все предположения теоремы 1 и пусть z0(x, ϕ) ∈
∈ W l
2(∆), когда l > 6. Тогда последовательность приближений Ритца (11) схо-
дится к точному решению z0(x, ϕ) по норме в C(∆̄) и W 1
2 (∆).
Доказательство. Последовательность многочленов (11), коэффициенты кото-
рых удовлетворяют системе (12), образуют минимизирующую последовательность
z∗n для функционала (7) на множестве (8). Следовательно, имеем
εn = I1(z∗n)− I1(z0) → 0
при n →∞, так как, согласно лемме 1, элемент z0 доставляет наименьшее значение
функционалу I1(z) на множестве Dz.
Далее, для второй вариации функционала (10) справедлива оценка
d2I1(zε)
dε2
6 α ‖δz‖2
W 1
2 (∆)
при некоторой постоянной α, когда δz = z − z0, а z – произвольный элемент из
Dz. Поэтому, если un(x, ϕ) – многочлен, определенный в лемме 3, тогда, используя
формулу (9) и неотрицательность первой вариации функционала (7) на элементе
z0, получим
εn = I1(z∗n)− I1(z0) 6 I1(un)− I1(z0) = O
(
1
n(l−2)
)
,
так как
dI1(zε)
dε
∣∣∣∣
ε=0
=
a∫
a1
ν2 −
(
z0x + gx
g z0
z0ϕ
)2
− 1
g2z2
0ϕ
gδz(x, 1)dx 6 β ‖δz‖W 1
2 (∆)
при некоторой постоянной β и zε = z0 + ε(z∗n − z0).
Затем, опять воспользовавшись формулой (9), приходим к неравенству
1∫
0
(1− ε)
d2I1(zε)
dε2
dε 6 εn. (14)
128
О минимизации одного функционала методом Ритца
Применяя теперь теорему А.А. Маркова [14], согласно которой максимум моду-
ля производной многочлена n-ой степени на промежутке длины h не превосходит
произведения 2n2/h на максимум модуля самого многочлена, получим, полагая
ηn(x, ϕ) = z∗n(x, ϕ)− z0(x, ϕ), следующие оценки:
max
(x,ϕ)∈∆̄
zεϕ(x, ϕ) 6 2M0 + 2εn2(A0 + Mn),
где
A0 = max
(x,ϕ)∈∆̄
z0(x, ϕ), M0 = max
(x,ϕ)∈∆̄
z0ϕ(x, ϕ),
Mn = max
(x,ϕ)∈∆̄
|ηn(x, ϕ)| , max
(x,ϕ)∈∆̄
znϕ 6 2(A0 + Mn)n2.
Тогда из неравенства (14) следует, что
1∫
0
(1− ε)dε
b [2M0 + 2εn2(A0 + Mn)]3
∫∫
∆
η2
nϕdxdϕ 6
1∫
0
(1− ε)
∫∫
∆
δz2
ϕ
gz3
εϕ
dεdxdϕ 6 εn
2
,
где ηn = δz = z∗n − z0. Отсюда, после интегрирования по ε, вытекает оценка
∫∫
∆
η2
nϕ(x, ϕ)dxdϕ 6 µn, (15)
где
µn = 8M2
0 b[M0 + n2(A0 + Mn)]εn.
Используя неравенство Коши с ε и первое слагаемое в подынтегральном выра-
жении (10), можно получить
(1− ε1)
∫∫
∆
z2
0ϕ
(
ηnx +
gx
g
ηn
)2
dxdϕ 6 µn
cb
+
(
1
ε1
− 1
) ∫∫
∆
η2
nϕ
(
z0x +
gx
g
z0
)2
dxdϕ,
где ε1 – некоторое достаточно малое число. Вновь применяя неравенство Коши и
учитывая, что min z0ϕ > 0 при (x, ϕ) ∈ ∆̄, приходим к оценке
∫∫
∆
η2
nxdxdϕ 6 R1
∫∫
∆
η2
ndxdϕ + R2
∫∫
∆
η2
nϕdxdϕ
при некоторых постоянных R1 и R2. Тогда из (14) и (15) следуют соотношения
∫∫
∆
η2
n(x, ϕ)dxdϕ 6 c1µn,
∫∫
∆
η2
nx(x, ϕ)dxdϕ 6 c2µn, (16)
129
А.С. Миненко
где c1 и c2 – постоянные. Для завершения доказательства теоремы применим ре-
зультаты Л.В. Канторовича по минимизации квадратичных функционалов мето-
дом Ритца (см. [14, стр. 358–362] и [15, стр. 32–35]). При этом учтем порядок
величины εn, если l = 6. Тогда получим неравенство
√
Mn 6 A1
√
1
n2
lnn +
1
n2
ln Mn +
1
n
A2, (17)
здесь A1 и A2 некоторые постоянные. Из последнего неравенства следует, что
Mn → 0 при n → ∞. Отсюда и из неравенств (15) и (16) будет следовать утвер-
ждение теоремы.
Замечание. В случае g(x) = b, x ∈ [0, a], получим, что z0(x, ϕ; b) = ϕ ∈ W l
2(∆),
l > 6, хотя на самом деле l может быть любым целым числом, т.е. получим схо-
димость zn(x, ϕ; b) к z0(x, ϕ; b) по норме в C(∆̄). Учитывая, что zn(x, ϕ; g) непре-
рывно зависит от g(x) ∈ C2[0, a] в некоторой окрестности элемента g0(x) = b, то-
гда и предельная функция z0(x, ϕ; g) будет непрерывно зависеть от g(x) в этой
же окрестности. Следовательно, и неравенство (17) сохранит смысл в некото-
рой малой окрестности U(b; g) элемента g0(x) = b. Итак, установлена сходимость
zn(x, ϕ; g) к z0(x, ϕ; g) по норме в C(∆̄) для всех g ∈ U(b; g).
1. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной нелинейной задачи потенциаль-
ного течения жидкости // Нелинейн. граничн. задачи. – 1991. – 3. – С. 60–66.
2. Миненко А.С. Проблема минимума одного класса интегральных функционалов с неизвест-
ной областью интегрирования // Мат. физика и нелиней. механика. – 1991. – 16. – С. 48–52.
3. Миненко А.С. Осесимметрическое течение со свободной границей // Укр. мат. журн. – 1995.
– 47, № 4. – С. 477–488
4. Minenko A.S. Axially symmetric flow // Fifth SIAM conference on optimization (Victoria, British
Columbia, May 20–22, 1996). – Victoria, 1996. – P. 12.
5. Миненко А.С. О вариационном методе исследования одной задачи вихревого течения жид-
кости со свободной границей // Нелинейн. граничн. задачи. – 1993. – 5. – С. 58–64.
6. Миненко А.С. Вариационная задача со свободной границей. – Киев: Наук. думка, 2005. –
354 с.
7. Данилюк И.И., Миненко А.С. О методе Ритца в одной нелинейной задаче со свободной
границей // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1978. – № 4. – С. 291–294.
8. Данилюк И.И., Миненко А.С. Об одной вариационной теплофизической задаче со свободной
границей // Сб. докл. конф. по смешанным граничным задачам для дифференциальных
уравнений с частными производными и задачам со свободными границами (Штутгарт, 5–10
сент. 1978). – Штутгарт, 1978. – С. 9–18.
9. Миненко А.С. Об одной теплофизической задаче со свободной границей // Докл. АН УССР.
Сер. А. – 1979. – № 6. – С. 413–416.
10. Данилюк И.И., Миненко А.С. О вариационном методе изучения квазистационарной задачи
Стефана // Успехи мат. наук. – 1981. – 43, № 5. – С. 228.
11. Garabedian P.R., Lewy H., Schiffer M. Axially symmetric cavitational flow // Ann. Math. – 1952.
– 56, № 3. – P. 560–602.
12. Friedrichs K.O. Uber ein Minimumproblem fur Potentialstromungen mit freiem Rande // Math.
Ann. – 1933. – 109. – P. 60–82.
13. Бабич В.М. К вопросу о распространении функций // Успехи мат. наук. – 1953. – 8, № 2 –
С. 111–113.
14. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. – М.: Изд-во физ.-
мат. лит., 1962. – 708 с.
130
О минимизации одного функционала методом Ритца
15. Власова З.А. О методе приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Тр.
Мат. ин-та АН СССР. – 1959. – 53. – С. 16–37.
16. Миненко А.С. Аналитичность свободной границы в одной задаче осесимметричного течения
// Укр. мат. журн. – 1998. – 50, № 12. – С. 1692–1700.
A. S. Minenko
On the minimization of one functional by Ritz method.
One nonlinear problem with the Bernoulli condition on a free boundary given by an inequality is
studied by the variational method. The existence theorem is obtained. It is proved that approximate
solutions based on the Ritz method convergent to an exact solution in certain metrics.
Keywords: free boundary, functional, Ritz method, convergence, Bernoulli’s law, existence theorem.
ГОУ ВПО «Донецкий национальный технический ун-т»
sam_dntu@mail.ru
Получено 24.06.16
131
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124249 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T23:28:35Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Миненко, А.С. 2017-09-22T18:39:35Z 2017-09-22T18:39:35Z 2016 О минимизации одного функционала методом Ритца / А.С. Миненко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 120-131. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124249 517.9 Исследуется вариационным методом одна нелинейная проблема, когда на свободной границе задано условие Бернулли в виде неравенства. Приводится теорема существования. Доказывается сходимость приближенного решения, основанного на методе Ритца, к точному решению в определенных метриках. One nonlinear problem with the Bernoulli condition on a free boundary given by an inequality is studied by the variational method. The existence theorem is obtained. It is proved that approximate solutions based on the Ritz method convergent to an exact solution in certain metrics. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О минимизации одного функционала методом Ритца On the minimization of one functional by Ritz method Article published earlier |
| spellingShingle | О минимизации одного функционала методом Ритца Миненко, А.С. |
| title | О минимизации одного функционала методом Ритца |
| title_alt | On the minimization of one functional by Ritz method |
| title_full | О минимизации одного функционала методом Ритца |
| title_fullStr | О минимизации одного функционала методом Ритца |
| title_full_unstemmed | О минимизации одного функционала методом Ритца |
| title_short | О минимизации одного функционала методом Ритца |
| title_sort | о минимизации одного функционала методом ритца |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124249 |
| work_keys_str_mv | AT minenkoas ominimizaciiodnogofunkcionalametodomritca AT minenkoas ontheminimizationofonefunctionalbyritzmethod |