Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор
Рассматривается задача изгибных колебаний конструкций несущих опор, которые имеют форму конических труб. Учитывается переменная изгибная жесткость и распределенная масса для случая, когда их отношение выражается квадратичной зависимостью от безразмерного радиуса инерции поперечного сечения. В качест...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124251 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 140-146. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859810925781975040 |
|---|---|
| author | Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. |
| author_facet | Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. |
| citation_txt | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 140-146. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Рассматривается задача изгибных колебаний конструкций несущих опор, которые имеют форму конических труб. Учитывается переменная изгибная жесткость и распределенная масса для случая, когда их отношение выражается квадратичной зависимостью от безразмерного радиуса инерции поперечного сечения. В качестве примера рассмотрены свободные поперечные колебания, вызванные начальным отклонением продольной оси стержня от действия нагрузки переменной интенсивности. Исследовано влияние параметра поперечного сечения на значение первой собственной частоты с учетом наличия инерционной нагрузки. Получены выражения для динамических коэффициентов по прогибам и изгибающим моментам в основании стержня.
The problems of bending vibrations of metal structures, which have the form of conical pipes, are considered. For example, free transverse vibrations of the initial displacement of the longitudinal axis of the rod of the load of variable intensity, are considered. Effect of parameter cross-section at the first natural frequency value considering the availability of inertial load is investigated. Expressions in the displacements and bending moments at the base of the rod for dynamic coefficients obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:19:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ. 2016. Том 30
УДК 539.4:534.1
c©2016. Г.М. Улитин, С.Н. Царенко
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ, МОДЕЛИРУЮЩЕГО
КОНСТРУКЦИИ НЕСУЩИХ ОПОР
Рассматривается задача изгибных колебаний конструкций несущих опор, которые имеют фор-
му конических труб. Учитывается переменная изгибная жесткость и распределенная масса для
случая, когда их отношение выражается квадратичной зависимостью от безразмерного радиуса
инерции поперечного сечения. В качестве примера рассмотрены свободные поперечные коле-
бания, вызванные начальным отклонением продольной оси стержня от действия нагрузки пере-
менной интенсивности. Исследовано влияние параметра поперечного сечения на значение первой
собственной частоты с учетом наличия инерционной нагрузки. Получены выражения для дина-
мических коэффициентов по прогибам и изгибающим моментам в основании стержня.
Ключевые слова: изгибные колебания, метод Фурье, стержни переменного сечения, функции
Бесселя.
1. Введение.При исследовании напряженно-деформированного состояния раз-
личного рода конструкций и оборудования используются модели упругого стерж-
ня. Так, на основе модели упругого стержня исследовались динамические процес-
сы в бурильных колонах [1, 2], с использованием модели стержней переменной
жесткости рассмотрены задачи устойчивости и продольно-поперечного изгиба [3,
4]. Общие подходы к построению математических моделей поперечных колебаний
стержней известны и рассмотрены в литературе [5, 6], тем не менее, аналитиче-
ские решения получены преимущественно для стержней однородной структуры.
Для практического расчета неоднородных стержней используются численные [7,
8] и численно-аналитические методы [9].
Поиск аналитических решений задач колебаний стержней с переменной струк-
турой позволит не только определить динамические характеристики объекта на
стадии проектных работ, но и может быть использован для построения эталонной
модели при проведении проверочных расчетов в программных комплексах на базе
метода конечных элементов.
2. Постановка задачи и основные соотношения. В работах [10, 11] рас-
смотрен общий подход к построению математической модели колебаний стержней,
площадь поперечного сечения и изгибная жесткость которых изменяется по сте-
пенным зависимостям от продольной координаты. Для случая конической трубы
уравнение изгибных колебаний будет иметь вид [11]
z3y′′′′ + 6z2y′′′ + 6zy′′ =
p(z, t)l4
EJ2(1− k)4
− γF2l
4
EJ2(1− k)4
zÿ,
This work was supported, in part, by the International Soros Science Education Program (ISSEP)
through grant N EPU0xx037
140
Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения ...
где z = (1 − k)x/l + k, k = h1/h2, h1 и h2 – радиусы инерции верхнего и нижнего
сечений, l – длина стержня, y(x, t) – уравнение изогнутой оси стержня γ – плот-
ность, E – модуль упругости, F2 и J2 – площадь поперечного сечения и момент
инерции основания стержня, p(z, t) – внешняя нагрузка (рис. 1).
Разделяя переменные, получаем уравнение для
Рис. 1. Расчетная схема кониче-
ской опоры
собственных функций, решение которого имеет вид
[11]
Zn(z) =
1√
z
(C1J1(λn
√
z) + C2Y1(λn
√
z)+
+C3I1(λn
√
z) + C4K1(λn
√
z)), (1)
где
λ2
n =
4ωnl2
(1− k)2
√
γF2
EJ2
,
ωn – собственные частоты колебаний, J1(z) и Y1(z) –
функции Бесселя, I1(z) и K1(z) – модифицирован-
ные функции Бесселя.
3. Модальный анализ консольной конст-
рукции. Граничные условия в соответствии с при-
нятой схемой (рис. 1) имеют вид
y(l, t) = 0, y′(l, t) = 0, Q(0, t) = 0, (2)
M(0, t) = 0. (3)
Удовлетворив граничным условиям (2), выра-
жение для собственных функций (1) получим в виде
Zn = π(J1(λn
√
z)(Y1(λn)− αnY2(λn))− Y1(λn
√
z)(J1(λn)− αnJ2(λn)))+
+2(I1(λn
√
z)(K1(λn)− αnK2(λn))−K1(λn
√
z)(I1(λn) + αnI2(λn))), (4)
где
αn =
π(J2(λn
√
k)Y1(λn)− Y2(λn
√
k)J1(λn)) + 2(I2(λn
√
k)K1(λn) + K2(λn
√
k)I1(λn))
π(J2(λn
√
k)Y2(λn)− Y2(λn
√
k)J2(λn)) + 2(I2(λn
√
k)K2(λn)−K2(λn
√
k)I2(λn))
.
Найдем выражения для углов поворота, изгибающих моментов и поперечных
сил. Определим производные от собственных функций (4):
Z ′z =
λ
2z
(
π(−J2(λ
√
z)(Y1(λ)− αY2(λ)) + Y2(λ
√
z)(J1(λ)− αJ2(λ)))+
+2(I2(λ
√
z)(K1(λ)− αK2(λ)) + K2(λ
√
z)(I1(λ) + αI2(λ))
)
;
141
Г.М. Улитин, С.Н. Царенко
z3Z ′′zz =
λz
4
(
π((4J2(λ
√
z)− λ
√
zJ1(λ
√
z))(Y1(λ)− αY2(λ))−
−(4Y2(λ
√
z)− λ
√
zY1(λ
√
z))(J1(λ)− αJ2(λ)))−
−2((4I2(λ
√
z)− λ
√
zI1(λ
√
z))(K1(λ)− αK2(λ))+
+(4K2(λ
√
z) + λ
√
zK1(λ
√
z))(I1(λ) + αI2(λ))
)
;
(z3Z ′′zz)
′
z =
λ3z
8
(
π(J2(λ
√
z)(Y1(λ)− αY2(λ))− Y2(λ
√
z)(J1(λ)− αJ2(λ)))+
+2(I2(λ
√
z)(K1(λ)− αK2(λ)) + K2(λ
√
z)(I1(λ) + αI2(λ)))
)
.
Из условия (3) получаем уравнение для нахождения собственных значений
Z ′′n(λn
√
k) = 0. (5)
С учетом того, что во многих упрощенных методах динамического расчета
используется значение первой собственной частоты, оценим влияние параметра k
на значение первого собственного числа уравнения (5)
ω1 =
λ̃2
1
l2
√
EJ2
γF2
, λ̃n =
λn
2
(1− k).
Аналогичное выражение используется для нахождения собственных частот
стержней постоянной жесткости [5, 6]. Численные исследования зависимости λ̃1 от
параметра относительного поперечного размера k представлены на рис. 2. Видно,
что λ̃1 = 1.875 при k = 1 (это соответствует собственному значению для консоль-
ной балки постоянной жесткости [6]).
4. Динамический расчет конструкции.
Рис. 2. Зависимость λ̃1 от параметра от-
носительного поперечного размера k
Собственные функции будут ортогональны с
весом ρ(z) = z [12]
1∫
k
zZn(z)Zm(z)dz = 0. (6)
Для нахождения квадрата нормы собствен-
ных функций поступим аналогично как в ра-
боте [5] для собственных функций с различ-
ными индексами
142
Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения ...
λ4
n − λ4
m
16
1∫
k
zZn(z)Zm(z)dz =
(
(z3Z ′′n)′Zm − (z3Z ′′m)′Zn − z3Z ′′nZ ′m + z3Z ′′mZ ′n
)∣∣∣
1
k
.
Перейдя к пределу при m → n, получаем
λ3
n
4
1∫
k
zZ2
n(z)dz =
(
Zn
∂(z3Z ′′n)′
∂λn
− (z3Z ′′n)′
∂Zn
∂λn
+ z3Z ′′n
∂Z ′n
∂λn
− Z ′n
∂(z3Z ′′n)
∂λn
)∣∣∣∣
1
k
. (7)
Тогда из соотношения (7), принимая во внимание граничные условия (2), (3)
квадрат нормы собственных функций будет определяться по формуле
∆2
n =
8
λ4
n
Z ′′n(1)2 − k2
2
Z2
n(k).
В процессе эксплуатации конструкции несущих опор подвергаются воздействию
переменных и ударных нагрузок: нагрузки, связанные с работой оборудования,
сейсмические возмущения, а также нагрузки, возникающие в процессе монтажных
работ и при аварийных ситуациях. Одним из видов такого воздействия является
ветровая нагрузка, которая носит импульсный характер, что приводит к чередова-
нию собственных и вынужденных колебаний конструкции. Остановимся на случае
собственных колебаний, вызванных отклонением продольной оси распределенной
нагрузкой интенсивностью p(z) = pmaxz (k ≤ z ≤ 1), которая в начальный момент
времени исчезает (рис. 1). Для этого найдем решение y(z, t) однородного уравне-
ния
(z3y′′)′′ + βÿ = 0; β =
l4γF2
(1− k)4EJ2
(8)
с начальными условиями
y(z, 0) = f(z); ÿ(z, 0) = 0, (9)
где
f(z) =
pmaxl4
12(1− k)4EJ2
(2k3
z
+ 6k2 ln z + 2(k3 − 3k2 − 1)z + z2 + 1− 4k3 + 6k2
)
−
уравнение начальных прогибов.
Решение уравнения (8) представим в виде ряда по собственным функциям,
принимая во внимание соотношение λ4
n = βω2
n, из второго начального условия (9)
получим уравнение перемещений сечений стержня
y(z, t) =
∞∑
n=1
AnZn(z) cos ωnt, (10)
143
Г.М. Улитин, С.Н. Царенко
где An – коэффициенты разложения.
Постоянные An определим из первого начального условия (9)
∞∑
n=1
AnZn(z) = f(z). (11)
Умножив обе части равенства (11) на zZm(z) и проинтегрировав на участке
[k; 1], с учетом свойства (6) получим
An∆2
n =
1∫
k
zZn(z)f(z)dz. (12)
Для определения интеграла из правой части равенства (12) учтем, что
zZn = 16
λ4
n
(z3Z ′′n)′′, интегрируя по частям, получим выражение для нахождения
коэффициентов An
An =
16
∆2
nλ4
n
(
f(z)(z3Z ′′n)′ − f ′(z)(z3Z ′′n) + (z3f ′′(z))Z ′n − (z3f ′′(z))′Zn
)∣∣∣
1
k
+
+
16
∆2
nλ4
n
1∫
k
(z3f ′′(z))′′Zn(z)dz. (13)
С учетом граничных условий (2), (3), а также, что
(z3f ′′(z))′′ =
pmaxl4
(1− k)4EJ2
z
из уравнения (13) получим
An =
256pmaxl4
∆2
nλ8
n(1− k)4EJ2
(z3Z ′′n)′
∣∣
z=1
.
Продифференцировав уравнение прогибов (10), получаем выражение для из-
гибающих моментов
M(z, t) =
(1− k)2EJ2
l2
∞∑
n=1
Anz3Z ′′n(z) cos ωnt. (14)
При статическом действии нагрузки изгибающий момент определяется зави-
симостью
M0(z) =
pmaxl2
6(1− k)2
(z3 − 3k2z + 2k3).
Введем обозначение для безразмерного времени
τ =
t
l2
√
EJ2
γF2
.
144
Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения ...
Рис. 3. Изменение динамических коэффициентов в зависимости от безразмерного параметра вре-
мени τ
Зависимости динамических коэффициентов по прогибу и изгибающему момен-
ту в основании опоры для конструкции с параметром относительного поперечного
размера k = 0.5, за период τ = 2 представлены на графиках рис. 3.
Ky(τ) =
y(k, τ)
f(k)
, KM (τ) =
M(1, τ)
M0
. (15)
На рис. 3 показаны зависимости от значений коэффициентов (15) для кон-
струкции с параметром относительного поперечного размера k = 0.5. Максималь-
ное значение коэффициента по прогибам составило Ky = 1.053, а по изгибающим
моментам KM = 1. Расчеты при разных значениях параметра показали, что дина-
мический коэффициент по прогибам увеличивается для конструкций остроконеч-
ной формы.
1. Гуляев В.И., Луговой П.З., Борщ Е.И. Самовозбуждение колебаний долота бурильной ко-
лонны // Прикл. механика. – 2013. – 49, № 3. – С. 114–124.
2. Улитин Г.М. Продольные колебания упругого стержня, моделирующего буровую установку
// Прикл. механика. – 2000. – 36, № 10. – С. 125–128.
3. Tsarenko S.N., Ulitin G.M. Investigation of strained deformed state of variable stiffness rod //
SpringerPlus. – 2014. – 3. – P. 367.
4. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 983 с.
5. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Физматгиз, 1959. – 440 с.
6. Филиппов А.П. Колебания механических систем. – Киев: Наукова думка, 1965. – 716 с.
7. Егорова А.А., Москвитин С.С., Самохина Т.И. и др. Стержни переменных размеров по-
перечных сечений в методе конечных элементов // Дальний восток: проблемы развития
архитектурно-строительного комплекса. – 2013. – 1. – С. 183–188.
8. Халилова Л.Г. Спектральная задача для изгибных колебаний стержня переменного сечения
в вертикальной плоскости // Изв. Моск. индустр. ун-та. – 2011. – 4 (24). – С. 76–83.
9. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний
неоднородного стержня // ПММ. – 2003. – 67, № 4. – С. 588–602.
10. Динник А.Н. Избранные труды. Т. 2. Приложение функций Бесселя к задачам теории упру-
гости. – Киев.: Изд-во АН УССР, 1955. – 223 с.
11. Улитин Г.М., Царенко С.Н. Изгибные колебания стержня с переменной жесткостью и рас-
145
Г.М. Улитин, С.Н. Царенко
пределенной массой // ПММ. 2015. – 79, № 6. – С. 817–823.
12. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость соору-
жений. – М.: Стройиздат, 1964. – 332 с.
G.M. Ulitin, S.N. Tsarenko
Transverse vibrations of elastic rods of variable section that simulate metal structures.
The problems of bending vibrations of metal structures, which have the form of conical pipes, are
considered. For example, free transverse vibrations of the initial displacement of the longitudinal axis
of the rod of the load of variable intensity, are considered. Effect of parameter cross-section at the first
natural frequency value considering the availability of inertial load is investigated. Expressions in the
displacements and bending moments at the base of the rod for dynamic coefficients obtained.
Keywords: bending vibrations, Fourier method, variable cross-section rods, Bessel functions.
ГОУ ВПО «ДонНТУ», Донецк
tzarenko@rambler.ru
Получено 17.06.16
146
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124251 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:19:22Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. 2017-09-22T18:42:05Z 2017-09-22T18:42:05Z 2016 Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор / Г.М. Улитин, С.Н. Царенко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ, 2016. — Т. 30. — С. 140-146. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124251 539.4:534.1 Рассматривается задача изгибных колебаний конструкций несущих опор, которые имеют форму конических труб. Учитывается переменная изгибная жесткость и распределенная масса для случая, когда их отношение выражается квадратичной зависимостью от безразмерного радиуса инерции поперечного сечения. В качестве примера рассмотрены свободные поперечные колебания, вызванные начальным отклонением продольной оси стержня от действия нагрузки переменной интенсивности. Исследовано влияние параметра поперечного сечения на значение первой собственной частоты с учетом наличия инерционной нагрузки. Получены выражения для динамических коэффициентов по прогибам и изгибающим моментам в основании стержня. The problems of bending vibrations of metal structures, which have the form of conical pipes, are considered. For example, free transverse vibrations of the initial displacement of the longitudinal axis of the rod of the load of variable intensity, are considered. Effect of parameter cross-section at the first natural frequency value considering the availability of inertial load is investigated. Expressions in the displacements and bending moments at the base of the rod for dynamic coefficients obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор Transverse vibrations of elastic rods of variable section that simulate metal structures Article published earlier |
| spellingShingle | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор Улитин, Г.М. Царенко, С.Н. |
| title | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| title_alt | Transverse vibrations of elastic rods of variable section that simulate metal structures |
| title_full | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| title_fullStr | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| title_full_unstemmed | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| title_short | Поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| title_sort | поперечные колебания упругого стержня переменного сечения, моделирующего конструкции несущих опор |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124251 |
| work_keys_str_mv | AT ulitingm poperečnyekolebaniâuprugogosteržnâperemennogosečeniâmodeliruûŝegokonstrukciinesuŝihopor AT carenkosn poperečnyekolebaniâuprugogosteržnâperemennogosečeniâmodeliruûŝegokonstrukciinesuŝihopor AT ulitingm transversevibrationsofelasticrodsofvariablesectionthatsimulatemetalstructures AT carenkosn transversevibrationsofelasticrodsofvariablesectionthatsimulatemetalstructures |