Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності
У статтi розглянуто деяку нелiнiйну параболiчну варiацiйну нерiвнiсть в обмеженiй областi. Доведено, що ця нерiвнiсть ма№ №диний слабкий розв'язок. При виконаннi певних умов показано додаткову гладкiсть цього розв'язку, а також доведено, що цей розв'язок стабiлiзу№ться за скiнченний п...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124253 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності / О.М. Бугрій // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 20-34. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859914251231035392 |
|---|---|
| author | Бугрій, О.М. |
| author_facet | Бугрій, О.М. |
| citation_txt | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності / О.М. Бугрій // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 20-34. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | У статтi розглянуто деяку нелiнiйну параболiчну варiацiйну нерiвнiсть в обмеженiй областi. Доведено, що ця нерiвнiсть ма№ №диний слабкий розв'язок. При виконаннi певних умов показано додаткову гладкiсть цього розв'язку, а також доведено, що цей розв'язок стабiлiзу№ться за скiнченний промiжок часу.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:04:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
20 Нелинейные граничные задачи 18, 20-34 (2008)
c©2008. Бугрiй О.М.
ДЕЯКI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОЇ
ВАРIАЦIЙНОЇ НЕРIВНОСТI
У статтi розглянуто деяку нелiнiйну параболiчну варiацiйну нерiвнiсть
в обмеженiй областi. Доведено, що ця нерiвнiсть має єдиний слабкий розв’язок.
При виконаннi певних умов показано додаткову гладкiсть цього розв’язку,
а також доведено, що цей розв’язок стабiлiзується за скiнченний промiжок
часу.
Ключовi слова: параболiчна варiацiйна нерiвнiсть, iснування та єди-
нiсть розв’язку
MSC (2000): 35R45
Вступ.
Параболiчним варiацiйним нерiвностям присвячено
багато публiкацiй (див. [1]-[4]). Iснування розв’язку нелiнiйної
параболiчної варiацiйної нерiвностi, що вiдповiдає оператору р-
Лапласа, та умови його додаткової гладкостi встановлено в [5].
При вивченнi задач для параболiчних рiвнянь значну увагу при-
дiляється дослiдженню поведiнки носiя розв’язкiв цих задач. Цим
питанням, зокрема, присвяченi працi [6]-[9]. Еволюцiю носiя
розв’язку деяких лiнiйних та нелiнiйних параболiчних варiацiй-
них нерiвностей вивчено в [10]-[12]. Скiнченнiсть часу стабiлiзацiї
розв’язку деякої параболiчної варiацiйної нерiвностi в узагальне-
них просторах Соболєва встановлено в [13].
У данiй роботi розглянуто параболiчну варiацiйну нерiвнiсть
на функцiю u наступного вигляду:
∫
Q0,τ
[
vt(v − u) +
∑n
i=1 ai(x)|uxi
|p−2uxi
(vxi
− uxi
)+
+c(x)u(v − u) + g(x)|u|q−2u(v − u) − f(x, t)(v − u)
]
dxdt ≥
≥ 1
2
∫
Ωτ
|v − u|2dx− 1
2
∫
Ω0
|v − u0|
2dx,
(1)
де τ ∈ (0, T ], v – деяка функцiя, Q0,τ ⊂ R
n+1, Ω0,Ωτ ⊂ R
n. Вста-
новлено умови iснування розв’язку цiєї нерiвностi. Показано, що
при певних умовах на коефiцiєнти (1) розв’язок стабiлiзується за
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 21
скiнченний промiжок часу. Дослiджено залежнiсть змiни гладко-
стi розв’язку нерiвностi (1) вiд вихiдних даних задачi.
Основна частина.
Нехай p, q ∈ (1,+∞), T > 0 – фiксованi числа, Ω ⊂ R
n –
обмежена область з межею ∂Ω ⊂ C1, яка складається з гладких
гiперповерхонь Γ1, Γ2 таких, що mesn−1{Γ1 ∩ Γ2} = 0, Qt1 ,t2 =
Ω × (t1, t2), t1, t2 ∈ [0, T ], t1 < t2, Ωτ = {(x, t) : x ∈ Ω, t = τ},
τ ∈ [0, T ]. Нехай X = {w ∈ W 1,p(Ω) : w|Γ1 = 0}, V = X ∩ Lq(Ω) ∩
L2(Ω), K – опукла замкнена пiдмножина V , 0 ∈ K, U(Q0,T ) =
Lp(0, T ;X) ∩ Lq(Q0,T ) ∩ L2(Q0,T ). Норму банахового простору B
позначатимемо через || · ;B||, декартовий степiнь цього простору
– Bn, а спряжений до B простiр – B∗. Скалярний добуток мiж B∗
та B позначатимемо 〈·, ·〉B. Для спрощення замiсть, наприклад,
u(·, t), писатимемо просто u(t).
Нехай f ∈ L2(Q0,T ), u0 ∈ L2(Ω), функцiї a1, . . . , an, c, g задо-
вольняють умови:
(A): ai ∈ L∞(Ω), ai(x) ≥ a0 > 0 для майже всiх x ∈ Ω,
i = 1, n;
(C): c ∈ L∞(Ω), c(x) ≥ c0 для майже всiх x ∈ Ω, де c0 ∈ R;
(G): g ∈ L∞(Ω), g(x) ≥ g0 > 0 для майже всiх x ∈ Ω.
Означення 1. Функцiю u ∈ U(Q0,T ) ∩ C([0, T ];L2(Ω)), u(t) ∈
K майже для всiх t ∈ (0, T ), називатимемо слабким розв’язком
параболiчної варiацiйної нерiвностi (1), якщо u задовольняє (1)
для всiх τ ∈ (0, T ] i для всiх v ∈ U(Q0,T ) таких, що v(t) ∈ K
майже для всiх t ∈ (0, T ), vt ∈ [U(Q0,T )]∗.
Легко показати, що слабкий розв’язок нерiвностi (1) задо-
вольняє умову
u(x, 0) = u0(x) для майже всiх x ∈ Ω. (2)
Визначимо оператор A : V → V ∗ так:
〈Aw, v〉V =
∫
Ω
[ n∑
i=1
ai|wxi
|p−2wxi
vxi
+cwv+g|w|q−2wv
]
dx, w, v ∈ V.
Можна вважати, щоA : U(Q0,T ) → [U(Q0,T )]∗. Тодi 〈Az, y〉U(Q0,T ) =∫ T
0
〈Az(t), y(t)〉V dt, z, y ∈ U(Q0,T ).
Лема 1. Нехай виконуються умови (A)-(G), f1, f2 ∈ L2(Q0,T ),
u1
0, u
2
0 ∈ K. Якщо u1, u2 – розв’язки параболiчної варiацiйної не-
рiвностi (1) з функцiями f1, u
1
0 та f2, u
2
0 вiдповiдно, то для всiх
22 Бугрiй О.М.
τ ∈ (0, T ] виконується оцiнка
1
2
∫
Ωτ
|u1 − u2|2dx+
τ∫
0
〈Au1 − Au2, u1 − u2〉V dt ≤
≤ 1
2
∫
Ω
|u1
0 − u2
0|
2dx+
∫
Q0,τ
(f1 − f2)(u
1 − u2)dxdt.
(3)
Доведення. Доведення леми проводиться стандартним методом.
Якщо u1, u2 – розв’язки варiацiйної нерiвностi (1), то розгляне-
мо для елемента w = (u1 + u2)/2 регуляризацiйну послiдовнiсть
{wε} (див., наприклад, [2, c. 59]). Вибираючи в (1) замiсть пробної
функцiї v елементи цiєї послiдовностi, пiсля нескладних перетво-
рень отримаємо (3). �
Теорема 1. Нехай виконуються умови (A)-(G), f1,f2 ∈L
2(Q0,T ),
u1
0, u
2
0 ∈ K. Якщо u1, u2 – розв’язки нерiвностi (1) з функцiями
f1, u
1
0 та f2, u
2
0 вiдповiдно, то
max
t∈[0,T ]
∫
Ωt
|u1−u2|2dx ≤ C1
(∫
Ω
|u1
0−u
2
0|
2dx+
∫
Q0,T
|f1−f2|
2dxdt
)
, (4)
де стала C1 не залежить вiд u1, u2, f1, u
1
0, f2, u
2
0, тобто, розв’язок
параболiчної варiацiйної нерiвностi (1) у вказаному сенсi непере-
рвно залежить вiд вихiдних даних.
Доведення. Нехай виконуються умови теореми. З оцiнки (3),
властивостей оператора A та нерiвностi ab ≤ (a2 + b2)/2, a, b ≥ 0,
матимемо, що
∫
Ωτ
|u1 − u2|2dx ≤
∫
Ω
|u1
0 − u2
0|
2dx+
∫
Q0,τ
|f1 − f2|
2dxdt+
+|2c0 + 1|
τ∫
0
dt
∫
Ωt
|u1 − u2|2dx, τ ∈ (0, T ].
Використавши лему Гронуола [14, c. 191], звiдси отримаємо (4).
�
Наслiдок 1. Якщо виконуються умови (A)-(G), f ∈ L2(Q0,T ),
u0 ∈ K, то параболiчна варiацiйна нерiвнiсть (1) не може мати
бiльше одного слабкого розв’язку.
Доведення. Нехай u1, u2 – розв’язки нерiвностi (1). З оцiнки (4)
при f1 = f2, u
1
0 = u2
0, одержимо, що max
t∈[0,T ]
∫
Ωt
|u1−u2|2dx = 0. Тому
u1 = u2. �
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 23
Теорема 2. Нехай виконуються умови (A)-(G), f ∈ L2(Q0,T ),
u0 ∈ K. Тодi iснує слабкий розв’язок u варiацiйної нерiвностi (1),
i вiн задовольняє нерiвнiсть
∫
Qt1,t2
[
vt(v − u) +
n∑
i=1
ai|uxi
|p−2uxi
(vxi
− uxi
) +
+ (cu+ g|u|q−2u− f)(v − u)
]
dxdt ≥
≥
1
2
∫
Ωt2
|v − u|2dx−
1
2
∫
Ωt1
|v − u|2dx, (5)
для всiх t1, t2 ∈ [0, T ], t1 < t2, i для всiх v ∈ U(Q0,T ), vt ∈
[U(Q0,T )]∗, v(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Доведення. Доведення проведемо методом штрафу (див. [1]).
Нехай B : V → V ∗ – оператор штрафу, пов’язаний з K. Згiдно [1,
c. 384]B є монотонним обмеженим i семiнеперервним оператором.
Для кожного натурального параметра k розглянемо задачу
〈uk
t (t) + Auk(t) + kBuk(t), v〉V = 〈f(t), v〉V , t ∈ (0, T ), v ∈ V, (6)
uk(0) = u0. (7)
Можна показати (див. [15]), що iснує розв’язок uk ∈ U(Q0,T ) ∩
C([0, T ]; L2(Ω)) задачi (6), (7), який задовольняє включення uk
t ∈
[U(Q0,T )]∗. Вибираючи k = 1, 2, 3, . . ., одержимо послiдовнiсть
функцiй {uk}k∈N – розв’язкiв (6), (7). Крiм того,
∫
Ωτ
|uk|2dx+
∫
Q0,τ
[ n∑
i=1
|uk
xi
|p + |uk|2 + |uk|q
]
dxdt ≤ C2,
τ∫
0
〈Buk(t), uk(t)〉V dt ≤
C2
k
, τ ∈ (0, T ], (8)
де стала C2 не залежить вiд τ, k. Тому iснує пiдпослiдовнiсть
(нехай це буде сама {uk}k∈N) така, що
uk −→
k→∞
u, *-cлабко в L∞(0, T ;L2(Ω)) i слабко в U(Q0,T ).
Користуючись методикою [16] показуємо, що {uk}k∈N – одностай-
но неперервна на вiдрiзку [0, T ]. Тому з цiєї послiдовностi мож-
на вибрати пiдпослiдовнiсть (нехай це знову буде сама {uk}k∈N),
24 Бугрiй О.М.
збiжну в C([0, T ];L2(Ω)). Оскiльки функцiї uk – неперервнi, то
u ∈ C([0, T ];L2(Ω)). Аналогiчно як в [1, с. 397] показуємо, що
u(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Нехай v ∈ U(Q0,T ), v(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ), vt ∈
[U(Q0,T )]∗. Використовуючи монотоннiсть оператора B та форму-
лу iнтегрування частинами за змiнною t, для всiх t1, t2 ∈ [0, T ],
t1 < t2, та k ∈ N з (6) отримаємо нерiвнiсть (5) з замiною u на
uk. Спрямувавши в нiй k → ∞, отримаємо нерiвнiсть (5), яка при
t1 = 0 спiвпадає з (1). Отже, u – розв’язок нерiвностi (1). Мож-
ливiсть граничного переходу встановлюється так як в твердженнi
1.6 з [2, c. 58]. �
Дослiдимо тепер деякi властивостi розв’язку нерiвностi (1).
Почнемо з того, що покажемо, що цей розв’язок за певних умов
стабiлiзується з часом.
Лема 2. Нехай −∞ < α < β < +∞, функцiї w, v ∈ C([α, β])
задовольняють спiввiдношення
w(t2) − w(t1) + γ
t2∫
t1
wb(t)dt ≤ F (t1, t2),
v(t2) − v(t1) + γ
t2∫
t1
vb(t)dt = F (t1, t2),
(9)
для всiх чисел t1, t2 ∈ [α, β], t1 < t2, де γ ≥ 0, b ≥ 0 – деякi сталi,
F : [α, β] × [α, β] → R – деяка функцiя. Якщо w(α) = v(α), то
w(t) ≤ v(t) для всiх t ∈ [α, β].
Лема 3. Нехай виконуються всi умови леми 2, F має вигляд
F (t1, t2) =
∫ t2
t1
z(t)dt, α ≤ t1 < t2 ≤ β,
де z ∈ L1((α, β)). Тодi функцiя v з (9) є абсолютно неперервною
i задовольняє рiвняння
v′(t) + γvb(t) = z(t) майже для всiх t ∈ (α, β). (10)
Доведення цих лем опускаємо.
Зауваження 1. Якщо mesn−1Γ1 > 0 i W 1,p(Ω) неперервно вкла-
дається в L2(Ω), то, використавши нерiвнiсть Фрiдрiгса, з [14, c.
50] одержимо iснування такого M0 > 0, що
(∫
Ω
|w|2dx
)p/2
≤
1
M0
·
∫
Ω
n∑
i=1
|wxi
|pdx для всiх w ∈ V. (11)
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 25
Теорема 3. Нехай T > 0 – досить велике число, q ∈ (1,+∞),
виконуються умови (A)-(G), u0 ∈ K, f ∈ L2(Q0,T ),
c0 ≥ 0, mesn−1Γ1 > 0, 1 < p < 2 при n = 1, 2,
2n
n+ 2
≤ p < 2 при n ≥ 3,
(12)
(вiдмiтимо, що при цих умовах виконується (11)), iснує таке
число df ≥ 0, що
f(x, t) =
{
f1(x, t), x ∈ Ω, t < df ,
0, x ∈ Ω, t ≥ df ,
f1 6= 0,
u – розв’язок (1), mu = ||u(df);L
2(Ω)||. Тодi iснує момент часу
du ≥ df такий, що
u(x, t) = 0 майже для всiх (x, t) ∈ Qdu,T .
Якщо mu = 0, то du = df . Якщо mu > 0, то du = df+
m2−p
u
(2 − p)a0M0
,
i, крiм того, справедлива оцiнка
||u(t);L2(Ω)|| ≤
(
m2−p
u −(2−p)a0M0(t−df)
) 1
2−p
при t ∈ (df , du). (13)
Доведення. Нехай виконуються умови теореми, u – розв’язок
нерiвностi (1). Вiзьмемо в нерiвностi (5), яка, згiдно теореми 2,
виконується при наших припущеннях, елемент v = 0. Пiсля еле-
ментарних перетворень отримаємо
1
2
∫
Ωt2
|u|2dx− 1
2
∫
Ωt1
|u|2dx + a0
∫
Qt1,t2
n∑
i=1
|uxi
|pdxdt ≤
≤
∫
Qt1,t2
fudxdt, 0 ≤ t1 < t2 ≤ T.
(14)
При t1 ≥ df права частина цiєї нерiвностi стане нулем. Нехай
y(t) =
∫
Ωt
|u|2dx, t ∈ (0, T ). Використавши (11), з оцiнки (14)
одержимо, що
y(t2) − y(t1) + 2a0M0
t2∫
t1
yp/2(t)dt ≤ 0, df ≤ t1 < t2 ≤ T.
26 Бугрiй О.М.
Гладкiсть розв’язку u гарантує, що y ∈ C([0, T ]). З лем 2 та 3
випливає, що y(t) ≤ v(t), t ∈ [df , T ], де v – розв’язок задачi Кошi
для рiвняння з вiдокремлюваними змiнними
v′(t) + 2a0M0v
p/2(t) = 0, t ∈ (df , T ), v(df) = y(df). (15)
Якщо mu = 0, то y(df) = mu = 0 i розв’язком задачi (15), зокре-
ма, є тотожнiй нуль. Якщо mu > 0, то розв’язком задачi (15) є
функцiя v, яка визначається спiввiдношенням
v(2−p)/2(t)−y(2−p)/2(df)+(2−p)a0M0(t−df ) = 0, t ∈ [df , T ]. (16)
Якщо du взято з умови теореми, то для всiх t ∈ [du, T ] виконується
нерiвнiсть
v(2−p)/2(t) = y(2−p)/2(df) − (2 − p)a0M0(t− df) ≤
≤ m2−p
u − (2 − p)a0M0(du − df) = 0.
Отже, v(t) = 0 при t ≥ du, а тому y(t) = 0 для всiх t ∈ [du, T ]. З
формули (16) при t ∈ [df , du] знаходимо, що
√
v(t) = (m2−p
u − (2−
p)a0M0(t− df))
1/(2−p). Оскiльки y(t) ≤ v(t) при t ≥ df , то теорему
доведено. �
Знайдемо тепер умови, за яких розв’язок нерiвностi (1) має
додаткову гладкiсть.
Означення 2. Сильним розв’язком параболiчної варiацiйної не-
рiвностi (1) називатимемо такий слабкий розв’язок u цiєї нерiв-
ностi, що ut ∈ L2(Q0,T ).
Теорема 4. Нехай виконуються умови (A)-(G), p, q ∈ (1,+∞),
u0 ∈ K, Au0 ∈ L2(Ω), f, ft ∈ L2(Q0,T ). Тодi iснує сильний роз-
в’язок u нерiвностi (1) i вiн задовольняє нерiвнiсть
∫
Qt1,t2
[
ut(v − u) +
∑n
i=1 ai|uxi
|p−2uxi
(vxi
− uxi
)+
+(cu+ g|u|q−2u− f)(v − u)
]
dxdt ≥ 0
(17)
для всiх τ ∈ (0, T ], v ∈ U(Q0,T ), v(t) ∈ K майже для всiх t ∈
(0, T ).
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 27
Доведення. Нехай u та {uk}k∈N такi як в теоремi 2. За наших
умов f ∈ C([0, T ];L2(Ω)). Пiсля нескладних перетворень, з (6)
отримаємо оцiнку
∫
Q0,τ
|uk
t |
2dxdt ≤
≤ C3
(
||f(0) − Au0;L
2(Ω)||2 +
∫
Q0,τ
|ft|
2dxdt
)
, τ ∈(0, T ],
(18)
де стала C3 не залежить вiд k, τ . Враховуючи її, можна вважати,
що uk
t −→
m→∞
ut слабко в L2(Q0,T ). Отже, u – сильний розв’язок не-
рiвностi (1). Тодi законним є iнтегрування
∫
Qt1,t2
vt(v − u)dxdt =
∫
Qt1,t2
ut(v − u)dxdt+
1
2
∫
Ωt
|v − u|2dx
∣∣∣∣
t=t2
t=t1
,
де v таке, як в (1). Використавши цю формулу, з (5) отримаємо
(17). �
Нагадаємо, що, згiдно до [17, c. 76], функцiя w ∈ W 1,r(Ω), де
r ∈ (1,+∞), має слiд w|∂Ω ∈ Lr(∂Ω), який ми надалi позначати-
мемо просто w.
Зауваження 2. Нехай ν – зовнiшня одинична нормаль до ∂Ω,
∇v = (vx1 , . . . , vxn
), w = (w1, . . . , wn), divw = w1
∂x1
+ . . .+ wn
∂xn
. Якщо
v ∈ W 1,p(Ω), w ∈ [W 1,p′(Ω)]n, де p, p′ > 1, 1/p + 1/p′ = 1, то з [17,
c. 77] випливає, що
∫
Ω
(w,∇v) dx =
∫
∂Ω
(w, ν) v dS −
∫
Ω
divw v dx. (19)
Якщо z ∈ W 1,p(Ω), ai|zxi
|p−2zxi
∈ W 1,p′(Ω), i = 1, n, то з (19) для
всiх v ∈ W 1,p(Ω) отримаємо формулу
∫
Ω
n∑
i=1
ai|zxi
|p−2zxi
vxi
dx =
∫
∂Ω
∂z
∂νA
v dS −
∫
Ω
∆a
pz v dx, (20)
де ∆a
pz =
n∑
i=1
(ai|zxi
|p−2zxi
)xi
, ∂z
∂νA
=
n∑
i=1
ai|zxi
|p−2zxi
νi.
Зауваження 3. Нехай K1 – опукла замкнена множина в L2(Ω),
0 ∈ K1. Тодi K1 ∩ V – опукла замкнена множина в V . Дiйсно,
28 Бугрiй О.М.
опуклiсть очевидна, а замкненiсть випливає з неперервного вкла-
дення V в L2(Ω) та замкненостi K1. Якщо в теоремi 2 множина
K має вигляд K = K1 ∩ V , то замiсть оператора штрафу, що дiє
з V в V ∗ можна розглядати звуження на K оператора штрафу,
пов’язаного з K1 i який дiє з простору L2(Ω) в L2(Ω) (див. [1, c.
388]).
Далi припускатимемо, що виконується умова
(K): K = K1∩V , де K1 = {v ∈ L2(Ω) : ψ1 ≤ v ≤ ψ2 майже скрiзь
в Ω}, ψ1, ψ2 ∈ V .
Теорема 5. Нехай Γ1 = ∂Ω, p, q ∈ (1,+∞), f, ft ∈ L2(Q0,T ),
виконуються умови (A)-(G), (K), u0 ∈ H2(Ω)∩K, Au0 ∈ L2(Ω),
ai|ψj,xi
|p−2ψj,xi
∈ W 1,p′(Ω), i = 1, n, j = 1, 2,
−∆a
pψ1 + cψ1 + g|ψ1|
q−2ψ1 ≤ 0,
−∆a
pψ2 + cψ2 + g|ψ2|
q−2ψ2 ≥ 0 майже скрiзь в Ω.
(21)
Тодi варiацiйна нерiвнiсть (1) має сильний розв’язок u такий,
що Au ∈ L2(Q0,T ).
Доведення. Нехай виконуються умови теореми,
w± = max{±w, 0}, w ∈ R. Враховуючи зауваження 3, замiсть
оператора B в теоремi 2 вiзьмемо оператор штрафу, пов’язаний з
K1, який дiє з L2(Ω) в L2(Ω), тобто скрiзь далi Bw = (w−ψ2)
+ −
(w − ψ1)
−, w ∈ L2(Ω). В теоремах 2, 4 ми показали, що послi-
довнiсть {uk}k∈N розв’язкiв задач (6), (7) збiгається до сильного
розв’язку u варiацiйної нерiвностi (1).
Вiзьмемо в (6) v = e2c0tBuk(t), що законно, та зiнтегруємо за
t ∈ (0, T ). Матимемо
〈uk
t + Auk + kBuk, e2c0tBuk〉U(Q0,T ) = 〈f, e2c0tBuk〉U(Q0,T ). (22)
З умови u0 ∈ K одержимо, що (u0 − ψ2)
+ = (u0 − ψ1)
− = 0.
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 29
Оскiльки ψ1, ψ2 не залежать вiд t, то
∫
Q0,T
uk
t e
2c0tBukdxdt =
=
∫
Q0,T
[(uk − ψ2)t(u
k − ψ2)
+ − (uk − ψ1)t(u
k − ψ1)
−]e2c0tdxdt =
= 1
2
∫
ΩT
(|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2)e2c0Tdx−
−1
2
∫
Ω
(|(u0 − ψ2)
+|2 + |(u0 − ψ1)
−|2)dx−
−c0
∫
Q0,T
(|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2)e2c0tdxdt ≥
≥ −c0
∫
Q0,T
(|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2)e2c0tdxdt.
Крiм того,
〈Auk, e2c0tBuk〉U(Q0,T ) =
=
∫
Q0,T
[ n∑
i=1
ai(|u
k
xi
|p−2uk
xi
− |ψ2,xi
|p−2ψ2,xi
)[(uk − ψ2)
+]xi
+
+
n∑
i=1
ai|ψ2,xi
|p−2ψ2,xi
[(uk − ψ2)
+]xi
+ c(uk − ψ2)(u
k − ψ2)
+ +
+ cψ2(u
k − ψ2)
+ + g(|uk|q−2uk − |ψ2|
q−2ψ2)(u
k − ψ2)
+ +
+ g|ψ2|
q−2ψ2(u
k − ψ2)
+
]
e2c0tdxdt+
+
∫
Q0,T
[ n∑
i=1
ai(|u
k
xi
|p−2uk
xi
− |ψ1,xi
|p−2ψ1,xi
)[−(uk − ψ1)
−]xi
+
+
n∑
i=1
ai|ψ1,xi
|p−2ψ1,xi
[−(uk − ψ1)
−]xi
− c(uk − ψ1)(u
k − ψ1)
− −
− cψ1(u
k − ψ1)
− − g(|uk|q−2uk − |ψ1|
q−2ψ1)(u
k − ψ1)
− −
− g|ψ1|
q−2ψ1(u
k − ψ1)
−
]
e2c0tdxdt ≥
≥
∫
Q0,T
[ n∑
i=1
ai|ψ2,xi
|p−2ψ2,xi
[(uk − ψ2)
+]xi
+ cψ2(u
k − ψ2)
+ +
+ g|ψ2|
q−2ψ2(u
k − ψ2)
+
]
e2c0tdxdt−
−
∫
Q0,T
[ n∑
i=1
ai|ψ1,xi
|p−2ψ1,xi
[(uk − ψ1)
−]xi
+
+ cψ1(u
k − ψ1)
− + g|ψ1|
q−2ψ1(u
k − ψ1)
−
]
e2c0tdxdt +
30 Бугрiй О.М.
+ c0
∫
Q0,T
[|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2]e2c0tdxdt.
Використавши (20), (21) та те, що uk|∂Ω = ψj|∂Ω = 0, отримаємо
оцiнку
〈Auk, e2c0tBuk〉U(Q0,T ) ≥
≥
∫
Q0,T
(−∆a
pψ2 + cψ2 + g|ψ2|
q−2ψ2)(u
k − ψ2)
+e2c0tdxdt−
−
∫
Q0,T
(−∆a
pψ1 + cψ1 + g|ψ1|
q−2ψ1)(u
k − ψ1)
−e2c0tdxdt+
+ c0
∫
Q0,T
[|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2]e2c0tdxdt ≥
≥ c0
∫
Q0,T
[|(uk − ψ2)
+|2 + |(uk − ψ1)
−|2]e2c0tdxdt.
Тому з (22) та нерiвностi Гельдера одержимо нерiвнiсть
k
∫
Q0,T
|Buk|2e2c0tdxdt ≤ ||fec0t;L2(Q0,T )|| · ||ec0tBuk;L2(Q0,T )||.
Пiсля нескладних перетворень матимемо оцiнку
||kBuk;L2(Q0,T )|| ≤ C4(c0) · ||f ;L2(Q0,T )||. (23)
З рiвняння (6) отримаємо Auk = f − uk
t − kBuk ∈ L2(Q0,T ).
Тому з умов теореми та оцiнок (18), (23) випливає iснування не
залежної вiд k такої сталої C5, що
||Auk;L2(Q0,T )||2 ≤ C5(||f ;L2(Q0,T )||2 + ||ft;L
2(Q0,T )||2+
+||f(0) − Au0;L
2(Ω)||2).
(24)
Враховуючи оцiнку (24), можна вважати, що Auk −→
k→∞
Au слабко в
L2(Q0,T ). �
Означення 3. Розв’язком параболiчної варiацiйної нерiвностi (1)
у сенсi "майже скрiзь", називатимемо такий сильний розв’язок u
цiєї нерiвностi, що ∆a
pu ∈ L2(Q0,T ).
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 31
Зауваження 4. Нехай L2
div(Ω) = {w = (w1, . . . , wn) ∈ [L2(Ω)]n :
divw ∈ L2(Ω)}, H1/2(∂Ω) – простiр Соболєва з дробовим показни-
ком, H−1/2(∂Ω) = [H1/2(∂Ω)]∗, (див. [3, c. 91, 372]). З [3, c. 105, 106,
375] вiдомо, що якщо v ∈ H1(Ω), w ∈ L2
div(Ω), то v|∂Ω ∈ H1/2(∂Ω),
(w|∂Ω, ν) ∈ H−1/2(∂Ω) в сенсi слiдiв. Тому для наших функцiй
v та w з формули (18.31) [3, c. 375] також одержимо формулу
(19), в якiй iнтеграл по ∂Ω розумiється як дiя мiж H1/2(∂Ω) та
H−1/2(∂Ω). Зрозумiло, що якщо v ∈ H1
0 (Ω), то цей iнтеграл рiвний
нулю.
Зауваження 5. Нехай w̃ = (a1|zx1|
p−2zx1, . . . , an|zxn
|p−2zxn
),
де a1, . . . , an ∈ C1(Ω), z ∈ W 1,p(Ω), ∆a
pz ∈ L2(Ω). Оскiльки z ∈
W 1,p(Ω), то при p ≤ 2 отримаємо p′ ≥ 2 i тому w̃ ∈ [Lp′(Ω)]n ⊂
[L2(Ω)]n, div w̃ = ∆a
pu ∈ L2(Ω). Враховуючи зауваження 4, для
всiх v ∈ H1(Ω) можна у (19) замiсть w пiдставити w̃. При цьому
отримаємо (20) для наших z i для всiх v ∈ H1(Ω). Нехай v|∂Ω = 0.
Тодi ця формула набуде вигляду
∫
Ω
n∑
i=1
ai|zxi
|p−2zxi
vxi
dx =
∫
Ω
(−∆a
pz) v dx. (25)
Якщо Γ1 = ∂Ω, p ≤ 2, то простiр H1
0 (Ω) щiльний в V . Тому, ви-
користовуючи злiва в формулi (25) граничний перехiд в просторi
W 1,p(Ω), а справа – в L2(Ω), отримаємо виконання (25) для всiх
v ∈ V i всiх z ∈ W 1,p(Ω), ∆a
pz ∈ L2(Ω).
Визначимо оператори
A0 : X → X∗, , C : L2(Ω) → L2(Ω), G : Lq(Ω) → Lq′(Ω)
так:
〈A0w, v〉X =
∫
Ω
∑n
i=1 ai|wxi
|p−2wxi
vxi
dx, w, v ∈ X,
(Cz)(x) = c(x)z(x), x ∈ Ω, z ∈ L2(Ω),
(Gy)(x) = g(x)|y(x)|q−2y(x), x ∈ Ω, y ∈ Lq(Ω).
Теорема 6. Нехай Γ1 = ∂Ω, p ≤ 2, q ≤ 2, виконуються всi умови
теореми 5 i a1, . . . , an ∈ C1(Ω). Тодi варiацiйна нерiвнiсть (1)
має розв’язок u у сенсi майже скрiзь i вiн задовольняє нерiвнiсть
(ut − ∆a
pu+ cu+ g|u|q−2u− f)(v − u) ≥ 0 м. с. в Q0,T (26)
32 Бугрiй О.М.
для всiх v ∈ L2(Q0,T ), v(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Доведення. Нехай виконуються умови теореми, u – сильний роз-
в’язок варiацiйної нерiвностi (1), знайдений в теоремi 5. Тодi u ∈
U(Q0,T ), Au ∈ L2(Q0,T ). Оскiльки Au = A0u + Cu + Gu, i Cu ∈
L2(Q0,T ), Gu ∈ Lq′(Q0,T ) ⊂ L2(Q0,T ) при q ≤ 2, то A0u ∈ L2(Q0,T ).
Пам’ятаючи, що u|∂Ω = 0, матимемо, що A0u = −∆a
pu. Тодi в
формулi (20) можна взяти z = u(t). Тому з (17), зауваження 5 та
(20) отримаємо, що
∫
Qt1,t2
(ut − ∆a
pu+ cu+ g|u|q−2u− f)(v − u)dxdt ≥ 0 (27)
для всiх t1, t2 ∈ [0, T ], t1 < t2, та всiх v ∈ U(Q0,T ), v(t) ∈ K майже
для всiх t ∈ (0, T ), v ∈ [U(Q0,T )]∗, а тому i для всiх v ∈ L2(Q0,T ),
v(t) ∈ K майже для всiх t ∈ (0, T ).
Нехай в (27) t1 = 0, t2 = T . Позначимо пiдiнтегральний вираз
в цiй нерiвностi через ξ = ξ(x, t; u, v). Нехай z ∈ L2(Q0,T ), z(t) ∈ K
майже для всiх t ∈ (0, T ). Для майже всiх точок (x0, t0) ∈ Q0,T (цi
точки називаються точками Лебега функцiї ξ) з [18, c. 68] вип-
ливає iснування такої послiдовностi околiв цiєї точки {Oj}j∈N ⊂
Q0,T , дiаметр яких прямує до нуля при j → ∞, що
1
mes Oj
∫
Oj
ξ(x, t; u, z)dxdt−→
j→∞
ξ(x0, t0; u, z). (28)
Вiзьмемо в отриманiй з (27) нерiвностi v = χOjz+(1−χOj )u, j ∈ N,
що законно, бо K – опукла множина. Тут χOj – характеристична
функцiя множини Qj. Оскiльки v − u = χOjz + (1 − χOj)u− u =
χOj(z−u), то нерiвнiсть (27) набуде вигляду
∫
Oj ξ(x, t; u, z)dxdt ≥
0. Подiливши її на mes Oj, спрямувавши j → ∞ та використав-
ши формулу (28), одержимо нерiвнiсть ξ(x0, t0; u, z) ≥ 0, яка з
точнiстю до перепозначень спiвпадає з (26). �
Приклад. Нехай виконуються умови теореми 5, u – сильний
розв’язок нерiвностi (1), Ψj = {(x, t) ∈ Q0,T : u(x, t) = ψj(x)},
j = 1, 2. Тодi при виконаннi додаткових умов, як i в [1, c. 293],
можна показати, що u є узагальненим розв’язком задачi
ut − ∆a
pu+ cu+ g|u|q−2u = f в Q0,T \ (Ψ1 ∪ Ψ2),
Деяки властивостi розв’язку варiацiйної нерiвностi 33
u = 0 на ∂Ω × (0, T ), u|t=0 = u0,
Зауваження 6. Iснування слабкого розв’язку параболiчної варiа-
цiйної нерiвностi типу (1) при c ≡ 0, q = p встановлено в [1]. Якщо
c ≡ 0, q = p > 2, то в [5] показано iснування сильного розв’язку
нерiвностi (1), та знайдено умови його додаткової гладкостi, схо-
жi до умов теореми 5. Скiнченнiсть часу стабiлiзацiї розв’язку
нерiвностi (1) при c ≡ 0, q ≡ 0, p = p(x) отримано в [13], а для
деякого узагальнення нерiвностi (1), але з q ≡ 0 – в [12].
Висновки.
У данiй роботi розглянуто деяку нелiнiйну параболiчну варiа-
цiйну нерiвнiсть в слабкому формулюваннi. Встановлено умови
iснування розв’язку цiєї нерiвностi. Показано, що за певних умов
на коефiцiєнти нерiвностi розв’язок стабiлiзується за скiнченний
промiжок часу. Дослiджено залежнiсть змiни гладкостi розв’язку
нерiвностi при накладаннi додаткових умов на вихiднi данi зада-
чi.
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейних краевых задач. –
М.: Мир. – 1972. – 608 с.
2. Панков А.А. Ограниченные и почти периодические решения нелинейных
дифференциальных операторных уравнений. – К.: Наук. думка. – 1985.
– 184 с.
3. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравен-
ства. Приложения к задачам со свободной границей. – М.: Наука, 1988.
– 448 с.
4. Лавренюк С.П. Параболические вариационные неравенства без началь-
ных условий // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т.32, №10. – С. 1-5.
5. Garroni M. G., Vivaldi M. A. Regularite de la solution forte de problemes
non lineaires d’evolution // Czechoslovak Math. J. – 1979. – 29 (104). – P.
430-450.
6. Антонцев С.Н. О характере возмущений, описываемых решениями мно-
гомерных вырождающихся параболических уравнений //Динамика жид-
кости со свободными границами. – 1979. – Вып. 40. – С. 114-122.
7. Antontsev S.N., Shmarev S.I. A model porous medium equation with variable
exponent of nonlinearity: existence, uniqueness and localization properties of
solutions // Nonlinear Analysis. – 2005. – Vol. 60 – P. 515-545.
8. Шишков A. Е. Эволюция носителя решения с неограниченой энерги-
ей квазилинейного вырождающегося параболического уравнения произ-
вольного порядка. // Мат. сборник. – 1995. – Т. 186, №12. – C. 151-172.
9. Тедеев А. Ф. Начально краевые задачи для квазилинейных вырождаю-
щихся параболических уравнений в областях с некомпактной границей.
Диссертация на соискание ученой степ. доктора физ.-мат. наук. – До-
нецк. – 1998. – 252 с.
34 Бугрiй О.М.
10. Brezis H., Friedman A. Estimates on the support of solutions of parabolic
variational inequalities // Ill. J. Math. – 1976. – Vol.20. – P. 82-97.
11. Diaz J.I., Mossino J. Inegalite isoperimetrique dans un probleme d’obstacle
parabolique // C. r. Acad. Sc. Paris. – Serie 1. – 1987. – Vol.305. – P. 737-740.
12. Бугрiй О.М., Панат О.Т. Деякi властивостi розв’язкiв параболiчних
варiацiйних нерiвностей зi змiнним степенем нелiнiйностi. // Мат. ме-
тоди та фiз.-мех. поля. – 2006. – 49, №2. – C. 99-107.
13. Бугрiй О.М. Скiнченнiсть часу стабiлiзацiї розв’язку нелiнiйної пара-
болiчної варiацiйної нерiвностi зi змiнним степенем нелiнiйностi. // Ма-
тематичнi студii. – 2005. – Т.24, №2. – С. 167-172.
14. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения
и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир. - 1978. - 336 с.
15. Бугрiй О., Лавренюк С. Мiшана задача для параболiчного рiвняння, яке
узагальнює рiвняння полiтропної фiльтрацiї // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 33-43.
16. Бугрiй О.М., Лавренюк С.П. Параболiчна варiацiйна нерiвнiсть, що уза-
гальнює рiвняння полiтропної фiльтрацiї // Укр. мат. журн. – 2001. –
Т.53, N7. – С. 867-878.
17. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. – М.:
Наука. – 1988. – 304 с.
18. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми урав-
нениями с частными производными. – М.: Мир. – 1972. – 414 с.
вул. Унiверситетська 1,
ЛНУ iм. I.Франка,
79000, Львiв, Україна
ol_buhrii@i.ua
Отримано 22.02.07
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124253 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0236-0497 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:04:18Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бугрій, О.М. 2017-09-23T09:44:09Z 2017-09-23T09:44:09Z 2008 Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності / О.М. Бугрій // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 20-34. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35R45 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124253 У статтi розглянуто деяку нелiнiйну параболiчну варiацiйну нерiвнiсть в обмеженiй областi. Доведено, що ця нерiвнiсть ма№ №диний слабкий розв'язок. При виконаннi певних умов показано додаткову гладкiсть цього розв'язку, а також доведено, що цей розв'язок стабiлiзу№ться за скiнченний промiжок часу. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності Some properties of the solution of a parabolic variational inequality Article published earlier |
| spellingShingle | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності Бугрій, О.М. |
| title | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| title_alt | Some properties of the solution of a parabolic variational inequality |
| title_full | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| title_fullStr | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| title_full_unstemmed | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| title_short | Деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| title_sort | деякі властивості розв'язку параболічної варіаційної нерівності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124253 |
| work_keys_str_mv | AT bugríiom deâkívlastivostírozvâzkuparabolíčnoívaríacíinoínerívností AT bugríiom somepropertiesofthesolutionofaparabolicvariationalinequality |