Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи
В работе исследованы большие собственные функции нелинейной периодической краевой задачи для собственных значений, находящихся в окрестности двумерного собственного значения линеаризованной задачи....
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124258 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи / Д.Н. Непийпа // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 116-132. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124258 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Непийпа, Д.Н. 2017-09-23T09:44:34Z 2017-09-23T09:44:34Z 2008 Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи / Д.Н. Непийпа // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 116-132. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 35P30, 47J10 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124258 В работе исследованы большие собственные функции нелинейной периодической краевой задачи для собственных значений, находящихся в окрестности двумерного собственного значения линеаризованной задачи. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи Eigenfunctions with large norms for quasilinear periodic boundary-value problem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| spellingShingle |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи Непийпа, Д.Н. |
| title_short |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| title_full |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| title_fullStr |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| title_full_unstemmed |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| title_sort |
собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи |
| author |
Непийпа, Д.Н. |
| author_facet |
Непийпа, Д.Н. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Eigenfunctions with large norms for quasilinear periodic boundary-value problem |
| description |
В работе исследованы большие собственные функции нелинейной периодической краевой задачи для собственных значений, находящихся в окрестности двумерного собственного значения линеаризованной задачи.
|
| issn |
0236-0497 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124258 |
| citation_txt |
Собственные функции большой нормы квазилинейной краевой периодической задачи / Д.Н. Непийпа // Нелинейные граничные задачи. — 2008. — Т. 18. — С. 116-132. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nepiipadn sobstvennyefunkciibolʹšoinormykvazilineinoikraevoiperiodičeskoizadači AT nepiipadn eigenfunctionswithlargenormsforquasilinearperiodicboundaryvalueproblem |
| first_indexed |
2025-11-25T23:28:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:28:35Z |
| _version_ |
1850581148484239360 |
| fulltext |
116 Нелинейные граничные задачи 18, 116-132 (2008)
c©2008. Д.Н. Непийпа
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ БОЛЬШОЙ НОРМЫ
КВАЗИЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧИ
В работе исследованы большие собственные функции нелинейной пери-
одической краевой задачи для собственных значений, находящихся в окрест-
ности двумерного собственного значения линеаризованной задачи.
Ключевые слова: бифуркации, собственные функции, квазилинейное
отображение
MSC (2000): 35P30, 47J10
Введение.
Теории бифуркаций собственных функций нелинейных кра-
евых задач посвящена обширная литература (классические ре-
зультаты теории изложены в [5], [6], [9]). В зависимости от типа
краевой задачи применяются топологические, аналитические, ва-
риационные, конусные и другие методы. Как правило исследуют-
ся бифуркации нулевого решения соответствующего дифферен-
циального уравнения, то есть отыскиваются малые собственные
функции нелинейной краевой задачи.
В последние десятилетия после работ Е. Ландесмана, А. Ла-
зера, С. Фучика и др. (см. [7]), в которых описаны большие ре-
шения неоднородных нелинейных краевых задач, возрос интерес
к большим собственным функциям этих задач. Важные резуль-
таты в этом направлении получены А. М. Красносельским [4].
Важнейшей характеристикой возможной точки бифуркации
является размерность ядра соответствующей линеаризованной за-
дачи. Согласно с классической теоремой М. А. Красносельского
[5], в случае ядра нечетной кратности мы имеем явление бифур-
кации. Для ядер четной кратности в общем случае это не так. При
этом выяснилось, что исследование вырождений высокой размер-
ности практически неосуществимо. Поэтому особую роль играют
задачи с двукратным вырождением. Оказывается (см. [2]), что
они достаточно богаты решениями. Не более, чем двукратное вы-
рождение имеют периодические краевые задачи. Указанные при-
чины стимулируют к ним постоянный интерес.
В настоящей работе, опираясь на результаты работы [3], до-
Собственные функции большой нормы краевой задачи 117
казано существование собственных функций большой нормы не-
линейной периодической краевой задачи так называемого квази-
линейного вида.
Автор благодарен Я. М. Дымарскому за постоянную помощь
в работе над статьей.
1. Формулировка основной теоремы.
Обозначим, как обычно, L2(0, 2π) = L2 – пространство веще-
ственных суммируемых с квадратом функций, W i
2(0, 2π) = W i
2 –
пространство Соболева 2π-периодических функций y ∈ L2, кото-
рые имеют обобщенные производные из L2 до порядка i вклю-
чительно, C i[0, 2π] = C i, (i = 0, 1, 2, . . .) – пространство i раз
непрерывно дифференцируемых функций. Пусть ||.|| – это норма
в пространстве L2, ||.||i,2 – норма в пространстве W i
2, ||.||i – норма
в пространстве C i (i = 0, 1, 2, . . .).
Рассмотрим краевую периодическую задачу на собственные
функции y ∈ W 2
2 большой нормы и собственные значения λ ∈ R,
которая имеет вид
− y′′ + p(y, y′, ||y||, x)y + b(x) = λ y,
y(0) − y(2π) = y′(0) − y′(2π),
(1)
где функция b(x) ∈ C0, а функция p(y, y′, ||y||, x) удовлетворяет
следующим условиям:
1. функция p является ограниченной и непрерывной на R ×
R × R × [0, 2π];
2. существуют такие (малые) ε, µ > 0 и постоянная K > 0,
что для любой функции y ∈ W 2
2 имеет место равномерно на
[0, 2π] оценка
|p(y(x), y′(x), ||y||, x)| < K||y||−µ при ||y|| >
1
ε
. (2)
Пару (λ, y), удовлетворяющую задаче (1), назовем решением.
Определение 1. [5]. Число λ0 называется асимптотической точ-
кой бифуркации для задачи (1), если для любого ε > 0 данная
задача имеет решение (λ, y), которое удовлетворяет неравенствам
|λ − λ0| < ε, ||y||2,2 > ε−1.
118 Д.Н. Непийпа
Ниже краевая задача (1) будет переформулирована в опера-
торном виде (12) с вполне непрерывным оператором. Точки би-
фуркации операторной задачи присутствуют (см. [2]) только сре-
ди характеристических значений линеаризованного в нуле опера-
тора. Ниже мы убедимся, что эти характеристические значения
совпадают с собственными значениями краевой задачи
− y′′ = λ y, y(0) − y(2π) = y′(0) − y′(2π). (3)
Собственные значения задачи (3) равны: λ0 = 0, λ2n−1 = λ2n = n2,
n = 1, 2, . . . . Собственному значению λ2n−1 отвечает пара орто-
нормированных в L2 собственных функций y2n−1 = (1/
√
π cos nx),
y2n = (1/
√
π sin nx). Зафиксируем номер n. Двумерное подпрост-
ранство, образованное собственными функциями y2n−1, y2n, обо-
значим через H0, а ортогональное дополнение к нему в L2 обо-
значим через H1. Обозначим через Sρ = {y : ||y|| = ρ} ⊂ L2
сферу. Радиус ρ впоследствии будем брать большим. Ищем ре-
шения (λ, y) задачи (1) такие, что y ∈ Sρ ∩W 2
2 , λ – в окрестности
λ2n−1. Каждая собственная функция может быть представлена
единственным образом в виде:
y = r(y2n−1 cos ϕ + y2n sin ϕ) + ν,
где r > 0, ν ∈ H1 в L2, r2 + ||ν||2 = ρ2
(4)
Обозначим:
a(y) =
2π
∫
0
p(y, y′, ||y||, x)y2
2n−1dx,
b(y) =
2π
∫
0
p(y, y′, ||y||, x)y2n−1y2ndx,
c(y) =
2π
∫
0
p(y, y′, ||y||, x)y2
2ndx,
d(y) =
1
2
(a(y) − c(y)).
(5)
В дальнейшем пределы интегрирования от 0 до 2π будем опус-
кать. Пусть ϕ ∈ [0, 2π) – параметризация единичной окружности
S1. Функционалы a(y), b(y), c(y), d(y), опираясь на (4), обозна-
чим соответственно через a(r, ϕ, ν), b(r, ϕ, ν), c(r, ϕ, ν), d(r, ϕ, ν).
Пусть для некоторых r, ν и для всех ϕ выполняется неравенство:
d2(ϕ, r, ν) + b2(ϕ, r, ν) > 0. Тогда формулы
cos α = d/
√
d2 + b2, sin α = b/
√
d2 + b2
Собственные функции большой нормы краевой задачи 119
определяют отображение α = f(ϕ; r, ν) окружности S1 в окруж-
ность S2, где (r, ν) выступают в качестве параметров. Через deg(f)
обозначим ориентированную степень этого отображения (см. [1]).
Сформулируем основную теорему настоящей работы.
Теорема 1.Пусть b(x) ∈ H1 и существуют такие ε и µ > 0,
что равномерно для всех ||y|| = ρ ∈ [ε−1, +∞) выполняется усло-
вие: для любого N > 0 найдется такое положительное число κ,
что имеет место неравенство
√
d2(y) + b2(y) > κ||y||−µ, при ||ν|| < N ||y||1−µ. (6)
Пусть deg(f(ϕ, r, 0) 6= 2 для некоторого r ∈ (ε−1, +∞). Тогда
∃ δ > 0, для которого справедливы следующие утверждения.
10. Если (λ, y) - произвольное решение задачи (1), которое удо-
влетворяет неравенствам ||y|| > δ−1, |λ − λ2n−1| < δ, то
собственная функция y ∈ C2, и ∃ N, Λ > 0, что ||ν|| <
N ||y||1−µ, |λ − n2| < Λ||y||−µ.
20. Число λ2n−1 = n2 является асимптотической точкой би-
фуркации для задачи (1), причем для каждого ρ > δ−1 за-
дача (1), (4) имеет по крайней мере два решения (λ, y), у
которых собственные функции имеют 2n нулей.
Прежде чем перейти к доказательству, обсудим требования
предъявляемые к нелинейному слагаемому задачи (1). Во-первых,
нелинейность содержит неизвестную функцию y в виде сомно-
жителя. Это обстоятельство позволяет трактовать в дальнейшем
собственную функцию нелинейной задачи как таковую для неко-
торой ассоциированной линейной задачи. (Отсюда термин “ква-
зилинейная” задача, который будет уточнен ниже.) Оценка (2)
означает, что нелинейность на бесконечности является исчезаю-
щей. Наконец, оценка (6) означает (см. [3]), что ассоциированная
линейная задача имеет только простые собственные значения в
окрестности точки бифуркации.
Доказательству теоремы посвящены пп. 2 и 3.
2. Операторное уравнение.
Доказательство теоремы осуществляется в пять этапов. На
первом этапе мы осуществляем замену, которая преобразует за-
дачу о больших собственных функциях в задачу о малых соб-
ственных функциях (последняя исследована весьма подробно в
120 Д.Н. Непийпа
[5], [6]). На втором этапе мы переписываем задачу в квазили-
нейном виде. На третьем этапе аппроксимируем краевую зада-
чу и для полученных уравнений доказываем априорные оценки
решений равномерно по всем аппроксимациям. Затем переходим
к операторному уравнению в L2, также имеющему квазилиней-
ный вид. Далее применяем к этому уравнению топологическую
конструкцию, описанную в работе [2]. И, наконец, переходим к
пределу в аппроксимационном уравнении.
Сделаем следующую замену y = y1/||y1||2. Если ||y|| > 1/ε,
тогда ||y1|| < ε. Представление (4) для y1 приобретает вид
y1 =
y
||y||2 =
r
ρ2
(y2n−1 cos ϕ + y2n sin ϕ) +
ν
ρ2
Обозначим ν1 := ν/ρ2 ∈ H⊥ и, в силу (6), получаем:
||ν1|| =
||ν||
ρ2
<
Nρ1−µ
ρ2
= Nρ1+µ
1 , (7)
где ρ1 = ||y1||. Требования, налагаемые на функцию p в окрестно-
сти бесконечности, превращаются в требования к функции p̃ :=
p (y/||y||2, y′/||y||2, 1/||y||, x) в окрестности нуля:
1. функция p̃ является ограниченной и непрерывной на R ×
R × R × [0, 2π];
2. |p̃(y, y′, ||y||, x)| < K|y|µ, при ||y|| < ε равномерно на [0, 2π].
Перейдем от задачи (1) к эквивалентной задаче на собственные
функции малой нормы, в обозначениях которой по-прежнему бу-
дем использовать y, а не y1, ν, а не ν1, ρ, а не ρ1. Итак, рассмотрим
задачу
−y′′ + p̃ (y, y′, ||y||, x) y + b(x)||y||2 = λy,
y(0) − y(2π) = y′(0) − y′(2π).
(8)
Условие (6) примет вид:
∀N > 0 ∃κ > 0, что
√
d̃2(y) + b̃2(y) > κ||y||µ
, при||y|| < ε, ||ν|| < N ||y||1+µ.
В силу требований, налагаемых на функцию p̃, линеаризация за-
дачи (8) имеет вид (3). Поэтому точки бифуркации ищем по-
прежнему только среди собственных значений задачи (3).
Собственные функции большой нормы краевой задачи 121
Перепишем задачу (8) в квазилинейном виде. Обозначим че-
рез L(W 2
2 , L2) пространство линейных симметрических операто-
ров, действующих из W 2
2 в L2, а через L(L2, L2) пространство
самосопряженных операторов, действующих из L2 в L2. Опреде-
лим нелинейное отображение B : W 2
2 /0 → L(W 2
2 , L2) следующим
образом: для любого v ∈ W 2
2
B(y)v =
∫
yvdx b(x)+
∫
bvdx y(x)−
(
∫
y2dx
)−1∫
yvdx
∫
bydx y(x).
Тогда B(y)y = b(x)||y||2. Компактность оператора B(y) вытекает
из того, что при каждом y значения оператора B(y) есть линей-
ные комбинации двух функций b и y.
Докажем симметричность оператора B(y): для любых u, v ∈
W 2
2
(B(y)v, u) =
∫
yvdx
∫
budx +
∫
bvdx
∫
yudx−
−
(
∫
y2dx
)−1 ∫
yvdx
∫
bydx
∫
yudx = (v, B(y)u).
Найдем оценку для нормы линейного оператора B(y):
||B(y)||2W 2
2→L2
= sup
||v||
W2
2
=1
||B(y)v||2 = sup
||v||
W2
2
=1
∫
(
∫
yvdxb+
+
∫
bvdxy −
(
∫
y2dx
)−1 ∫
yvdx
∫
bydx
)2
dx =
= sup
||v||
W2
2
=1
(
(
∫
yvdx
)
2
∫
b2dx +
(
∫
bvdx
)2 ∫
y2dx−
−
(
∫
yvdx
)2(∫
bydx
)2(∫
y2dx
)−1
)
< 3||y||2||b||2,
||B(y)||W 2
2→L2
<
√
3||b||||y||. (9)
Определим нелинейное отображение
P̃ : W 2
2 → L(W 2
2 , L2), ∀v P̃ (y)v := p̃(y, y′, ||y||, x) · v.
122 Д.Н. Непийпа
Норма линейного оператора P̃ (y) допускает оценку:
||P̃ (y)||W 2
2→L2
=
= sup
||v||(2,2)=1
√
∫
p̃2(y)v2dx < sup
x∈[0,2π]
|p̃(y)| < K||y||µ.
(10)
Пусть C = ||P̃ (y)||W 2
2→L2
+ ||B(y)||W 2
2→L2
. Очевидно, следую-
щая задача эквивалентна задаче (8):
−y′′ + P̃ (y)y + B(y)y + 2Cy = (λ + 2C)y,
y(0) − y(2π) = y′(0) − y′(2π).
(11)
Полученная задача имеет квазилинейный (см. [10]) вид
A(y)y = (λ + 2C)y, (12)
где A : W 2
2 → L(W 2
2 , L2). То есть отображение A ставит в соот-
ветстие функции y линейный симметрический оператор A(y) :=
(−d2/dx2 + P̃ (y) + B(y) + 2C). Покажем, что линейный оператор
A(y) : W 2
2 → L2 является положительным. В самом деле, для
произвольного вектора v 6= 0 имеем
∫
[(
− d2
dx2
+ P̃ (y) + B(y) + 2C
)
v
]
vdx =
∫
(v′)2dx+
+
∫
p(y, y′, ||y||, x)v2dx +
∫
(B(y)v)vdx + 2
∫
Cv2dx >
>
∫
(v′)2dx + 2
∫
Cv2dx − ||P̃ (y)||W 2
2→L2
−
−||B(y)||W 2
2→L2
>
∫
(v′)2dx +
∫
Cv2dx > 0
Таким образом, оператор A(y) является непрерывным изомор-
физмом пространства W 2
2 на пространство L2.
Операторное уравнение (12) связано с парой пространств: W 2
2
и L2. Нам удобно работать в одном пространстве L2. Чтобы прий-
ти к операторному уравнению в L2, мы аппроксимируем задачу
(12) следующим образом. Обозначим через πk ортопроектор в L2
на первые 2k + 1 собственных функций задачи (3). Аппроксима-
ция задачи (12) имеет вид
A(πky)y = (λ + 2C)y, (13)
Собственные функции большой нормы краевой задачи 123
где A(πky) := − d2/dx2 + p̃(πky, (πky)′, ||y||, x) + B(πky) + 2C :=
Ak(y). Оператор Ak по указанной формуле может быть доопреде-
лен с W 2
2 на L2. Не изменяя обозначения, считаем, что Ak : L2 →
L(W 2
2 , L2). Для удобства обозначений, по определению положим,
что уравнение (13) совпадает с уравнением (12), если k = ∞.
Чтобы свести поиски малых в W 2
2 собственных функций к
поиску малых в L2 собственных векторов задачи (13), мы по-
кажем, что нормы малых собственных функций в W 2
2 , L2 и C2
эквивалентны.
Лемма 1. Любые собственные функции y ∈ W 2
2 задачи (13) яв-
ляются классическими (то есть y ∈ C2) для всех 1 6 k 6 ∞.
Доказательство. Из вложения W 2
2 ⊂ C1, свойств функции
p̃ и непосредственно задачи (13) получим, что y ′′ ∈ C0. А это и
означает, что y ∈ C2. 2
Лемма 2. Равномерно для всех 1 6 k 6 ∞ и для всех решений
(λ, y) задачи (13), близких к (n2, 0) в R × L2, существует такая
постоянная C1, что ||y||0 6 C1||y||.
Доказательство. Умножим скалярно левую и правую части
тождества (13) на y, тогда получим:
−
∫
y′′ y dx +
∫
p̃(πky, (πky)′, ||y||, x)y2 dx+
+
∫
(B(πky)y)y dx = λ
∫
y2 dx
.
После преобразований придем к следующему неравенству:
||y′||2 =
∫
(λy2 − p̃(πky, (πky)′, ||y||, x)y2)dx−
−
∫
(B(πky)y)ydx 6 G||y||2 +
√
3||b||||y||3 6 C2
1 ||y||2,
где G = max
x
|λ − p̃(y, y′, ||y||, x)|. С другой стороны известно, что
||y||0 6
√
2π||y′||, что доказывает лемму. 2
Лемма 3. Равномерно для всех 1 6 k 6 ∞ и для всех решений
(λ, y) задачи (13), близких к (n2, 0) в R × L2, существует такая
постоянная C2, что верна следующая оценка: sup
x
|y′′| < C2||y||.
Доказательство. Следует из лемм 1 и 2. 2
Замечание 1. Для всех достаточно малых собственных функций
задачи (13), имеющих фиксированную осцилляцию, мы получили
эквивалентность норм C2 и L2.
124 Д.Н. Непийпа
Теперь мы можем перейти к абстрактному уравнению на соб-
ственные функции малой нормы из пространства L2.
Оператор Ak(y) для любого малого y в L2 имеет ограничен-
ный обратный A−1
k (y) : L2 → W 2
2 . Его суперпозиция im · A−1
k (y) с
компактным оператором вложения im : W 2
2 → L2 является ком-
пактным линейным оператором. Будем обозначать этот оператор
через Ac
k(y) := im · A−1
k (y).
Итак, мы получили аппроксимирующее операторное уравне-
ние
(λ + 2C)Ac
k(y)y = y, 1 6 k < ∞ (14)
в пространстве L2. Каждый собственный вектор y этого уравне-
ния, в силу наших рассуждений, является элементом простран-
ства W 2
2 .
Переобозначим λ + 2C снова как λ. Окончательно аппрокси-
мирующее абстрактное уравнение примет вид:
λAc
k(y)y = y, λ ∈ (λ2n−1 + 2C − ε, λ2n−1 + 2C + ε),
||y|| = ε, 1 6 k < ∞.
(15)
Отметим, что для решений аппроксимирующей задачи (15) рав-
номерно по k справедливы априорные оценки лемм 1-3. Также
обратим внимание, что уравнение (15) имеет квазилинейный вид,
то есть при фиксированном y∗ под знаком оператора Ac
k уравне-
ние λAc
k(y
∗)y = y является линейным по y ∈ L2. Для применения
топологической конструкции работы [2] нам потребуется
Лемма 4. Отображение Ac
k : L2 → L(L2, L2) является вполне
непрерывным.
Доказательство. Проектирование πk является компактным
отображением. Отображение Ac
k – это суперпозиция πk и несколь-
ких непрерывных отображений. Последнее утверждение (см. [5])
доказывает лемму. 2
3. Доказательство разрешимости операторно-
го уравнения.
Выделим в квазилинейном операторе Ac
k постоянную (ли-
нейную) составляющую и собственно квазилинейную составля-
ющую. Пусть Ãc
k(y) = Ac
k(y)−A, где A = im (−d2/dx2 + 2C)
−1 ∈
L(L2, L2). Отображение Ãc
k – вполне непрерывно ввиду леммы 4.
Квазилинейная задача (15) может быть переписана в виде:
λ(A + Ãc
k(y))y = y, y 6= 0, λ ∈ R, Ãc
k(0) = 0 ∈ L(L2, L2). (16)
Собственные функции большой нормы краевой задачи 125
Отметим, что Ãc
k(y)y = o(y). Пару (λ, y), удовлетворяющую (16)
по-прежнему будем называть решением. По построению, все λ >
0. Определим номер и кратность решения задачи (16).
Определение 2. [10] Решение (λ0, y0) задачи (16) называется
простым (двукратным), если таким является λ0 как характери-
стическое значение линейной задачи:
λ Ac
k(y
0)y = y; (17)
Припишем паре (λ0, y0) те номер и кратность, которыми обладает
λ0, как собственное значение задачи (17).
Определение 2 без изменений переносится на все квазилиней-
ные задачи с номерами от (12) до (15).
Отметим, что характеристическое число λ2n−1 оператора A
(и только оно) выступает в качестве возможной точки бифурка-
ции уравнения (16) (см. [5]). Обозначим (сравните с (5))
ak(y) = (Ãc
k(y)y2n−1, y2n−1), bk(y) = (Ãc
k(y)y2n−1, y2n),
ck(y) = (Ãc
k(y)y2n, y2n), dk(y) =
1
2
(ak(y) − ck(y)).
Аналогичным образом, с помощью разложения (4), определяют-
ся функции ak(ϕ; , r, ν), bk(ϕ; , r, ν), ck(ϕ; , r, ν), dk(ϕ; , r, ν). Если
b2
k(ϕ; r, ν) + d2
k(ϕ; r, ν) > 0, то формулы
cos α =
dk(ϕ; r, ν)
(d2
k(ϕ; r, ν) + b2
k(ϕ; r, ν))1/2
,
sin α =
bk(ϕ; r, ν)
(d2
k(ϕ; r, ν) + b2
k(ϕ; r, ν))1/2
определяют отображение fk : S1 → S2 окружности S1 в окруж-
ность S2, параметризованную углом α. Переменные r и ν в отоб-
ражении fk мы понимаем как параметры. Для доказательства
разрешимости полученного операторного уравнения (14) восполь-
зуемся утверждением работы [2], которое относится к отображе-
нию Ac
k в случае выполнения для него леммы 4.
Пусть существуют такие положительные постоянные ε и µ,
для которых выполняются следующие оценки:
1. существует такое положительное число K̃, что
||Ãc
k(y)|| < K̃||y||µ (18)
как только ||y|| < ε;
126 Д.Н. Непийпа
2. для любого N > 0 найдется такое положительное число κ̃,
что
√
d2
k(y) + b2
k(y) > κ̃||y||µ (19)
как только ||y|| < ε, ||ν|| < N ||y||1+µ.
Пусть степень
deg(fk(ϕ, r, 0)) 6= 2 (20)
для некоторого r ∈ (0, ε).
Тогда существует такое малое δ > 0, для которого справедливы
следующие утверждения.
10. Если (λ, y) — произвольное решение задачи (15), которое
удовлетворяет неравенству |λ − λ2n−1| + ||y|| < δ, то суще-
ствуют такие постоянные N и Λ̃, для которых
||ν|| < N ||y||1+µ, |λ − λ2n−1| < Λ̃||y||µ.
20. Все решения задачи (15), для которых выполнено неравен-
ство |λ − λ2n−1| + ||y|| < δ, являются простыми.
30. Степень deg(fk(ϕ; r, 0)) не зависит от выбора параметра r ∈
(0, δ).
40. Число λ2n−1 является точкой бифуркации для уравнения
(15), причем для каждого ρ < δ задача (15) имеет по край-
ней мере одно решение (λ, y) с номером 2n−1 и одно решение
с номером 2n, у которых ||y|| = ρ.
Убедимся, что все условия предложения 1. в условиях теоремы
1. выполнены.
1. Докажем (18). Для этого воспользуемся неравенствами (9)
и (10). Обозначим T (y) = (−d2/dx2 + 2C)
−1
(
P̃ (πky) + B(πky)
)
.
Нетрудно проверить, что ||T (y)||L2→L2 < 1, если y достаточно ма-
Собственные функции большой нормы краевой задачи 127
ло. Итак, имеем
||Ãc
k(y)|| =
=
∥
∥
∥
∥
(
−d2
dx2 + 2C + P̃ (πky) + B(πky)
)−1
−
(
− d2
dx2 + 2C)
)−1
∥
∥
∥
∥
=
=
∥
∥
∥
∥
[
(
− d2
dx2 + 2C + P̃ (πky) + B(πky)
)−1 (
− d2
dx2 + 2C
)
− I
]
×
×
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
∥
∥
∥
∥
= ||
[
(I + T (y))−1 − I
]
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
|| =
= || (−T (y) + T 2(y) − T 3(y) + . . .)
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
|| 6
6
∥
∥
∥
∥
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
∥
∥
∥
∥
||T (y)||
1−||T (y)||
6
6 2
∥
∥
∥
∥
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
∥
∥
∥
∥
· ||P̃ (πky) + B(πky)|| < K̃||y||µ,
где K̃ – некоторая постоянная. Мы получили оценку (18).
2. Докажем (19). Эта оценка получается из (6) условия тео-
ремы 1.
Найдем формулы для определения функций bk и dk:
bk = (Ãc
k(y)y2n−1, y2n) =
= 1
n2+2C
(−(T (y)y2n−1, y2n) + (T 2(y)y2n−1, y2n) − . . .) ;
dk = ak−ck
2
=
(Ãc
k
(y)y2n−1 ,y2n−1)−(Ãc
k
(y)y2n ,y2n)
2
=
= 1
2(n2+2C)
(−(T (y)y2n−1, y2n−1) + (T (y)y2n, y2n)+
+(T 2(y)y2n−1, y2n−1) − (T 2(y)y2n, y2n) − . . .) .
128 Д.Н. Непийпа
Следовательно,
b2
k + d2
k = 1
(k2+2C)2
∞
∑
i,j=1
(−1)i+j ((T i(y)y2n−1, y2n)×
×(T j(y)y2n−1, y2n) + 1/4[(T i(y)y2n−1, y2n−1)(T
j(y)y2n−1, y2n−1)+
+(T i(y)y2n, y2n) · (T j(y)y2n, y2n) − (T i(y)y2n−1, y2n−1)×
×(T j(y)y2n, y2n)]) = 1
(n2+2C)2
(
1
(n2+2C)2
(b2 + d2)+
∞
∑
i,j=1, i·j>2
((T i(y)y2n−1, y2n)(T j(y)y2n−1, y2n)+
+1/4[T i(y)y2n−1, y2n−1)(T
j(y)y2n−1, y2n−1) + +(T i(y)y2n, y2n)×
×(T j(y)y2n, y2n) − (T i(y)y2n−1, y2n−1) · (T j(y)y2n, y2n)])
)
>
>
κ
(n2+2C)2
||y||2µ +
∞
∑
i,j=1, i·j>2
7
4
||T (y)||i+j = 7
4
∞
∑
i=2
i||T (y)||i+1 =
= 7
4
||T (y)||2
∞
∑
i=2
i||T (y)||i−1 >
7
4
D||T (y)||2 > κ̃2||y||2µ.
В силу доказанного выше, из того, что b(y) отличается от
bk(y) и d(y) отличается от dk(y) на слагаемые более высокого по-
рядка малости, степень
deg(f(ϕ, r, 0)) = deg(fk(ϕ, r, 0)) 6= 2.
Итак, для произвольного k ∈ N предложение 1 справедли-
во. Отметим, что предложение 1 относится одновременно к урав-
нению (15) и равносильному ему при k < ∞ уравнению (13).
Для доказательства теоремы 1 осуществим предельный переход
в уравнении (13) при k → ∞.
Пусть (λ(k), y(k)) – произвольное решение с номером 2n − 1
уравнения (15) для некоторого k ∈ N. Рассмотрим последователь-
ность решений (λ(1), y(1)), (λ(2), y(2)), . . . . Поскольку собственные
функции yk ∈ W 2
2 и равномерно ограничены в W 2
2 (см. замечание
Собственные функции большой нормы краевой задачи 129
после леммы 3), а собственные значения локализованы в окрест-
ности λ2n−1 = n2, то существует подпоследовательность решений
(для которой мы оставляем прежние обозначения), сходящаяся в
пространстве R×W 1
2 при k → ∞ : (λ(k), y(k)) → (λ∗, y∗). Покажем,
что пара (λ∗, y∗) является решением уравнения (13) при k = ∞.
Уравнение (13) для любого 1 6 k 6 ∞ равносильно уравнению
y −
(
− d2
dx2
+ 2C
)−1
(−p̃(πky, (πky)′, ||y||, x)y−
−B(πky)y + λy + 2Cy) = 0,
(21)
где пара (λ, y) ∈ R × W 2
2 , а оператор (−d2/dx2 + 2C)
−1
опре-
делен на пространстве L2. Последнее уравнение рассмотрим на
пространстве W 1
2 . Покажем, что левая часть уравнения (21) об-
ращается в ноль 0 ∈ W 1
2 на паре (λ∗, y∗) ∈ R × W 1
2 .
Справедлива цепочка неравенств:
∣
∣
∣
∣
∣
∣
y∗ −
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
(−p̃(y∗, (y∗)′, ||y∗||, x)y∗−
−B(y∗)y∗ + λ∗y∗ + 2Cy∗)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1,2
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(y∗ − y(k)) −
(
− d2
dx2 + 2C
)−1
(p̃(πky
(k), (πky
(k))′, ||y(k)||, x)y(k)−
−p̃(y∗, (y∗)′, ||y∗||, x)y∗ + B(y(k))y(k) − B(y∗)y∗ + λ∗y∗−
−λ(k)y(k) + 2Cy∗ − 2Cy(k))
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1,2
6 ||y∗ − y(k)||1,2+
+||(−d2/dx2 + 2C)−1||L2→W 1
2
(||p̃(πky
(k), (πky
(k))′, ||y(k)||, x)y(k)−
−̃p(y∗, (y∗)′, ||y∗||, x)y∗|| + ||B(y(k))y(k) − B(y∗)y∗||+
+||(λ∗ + 2C)y∗ − (λ(k) + 2C)y(k)||1,2).
(22)
В силу определения функции y∗, первое и последнее слагаемые в
(22) стремятся к нулю при k → ∞. Далее заметим, что для лю-
бого фиксированного k ∈ N последовательность πly
(k) сходится
к y(k) при l → ∞ в пространстве W 1
2 (см. [8]). Поэтому после-
довательность πky
(k) → y∗ при k → ∞ также в пространстве
W 1
2 . Теперь, из непрерывности по y оператора суперпозиции p̃
130 Д.Н. Непийпа
[5] и непрерывности отображения B (при фиксированной норме
||y|| = const = ρ) следует, что остальные слагаемые также стре-
мятся к нулю при k → ∞. Последнее означает, что пара (λ∗, y∗)
является решением уравнения (21) для k = ∞ из пространства
R × W 1
2 .
Поскольку оператор (−d2/dx2 + 2C)
−1
действует из L2 в W 2
2 ,
то из (21) следует, что y∗ ∈ W 2
2 . Итак, мы получили решение
уравнения (13) из класса R ×W 2
2 . Лемма 1 гарантирует, что соб-
ственная функция y∗ ∈ C2, а пара (λ∗, y∗) является решением
задачи (8).
Решение (λ∗, y∗) является простым с номером 2n − 1 в силу
неравенства (6). Аналогичным образом доказывается существо-
вание хотя бы одного простого решения с номером 2n. Эти реше-
ния различны, поскольку имеют разные номера. Однако количе-
ство нулей полученных собственных функций одинаково и равно
2n. При возвращении от малых собственных функций к большим
(то есть к решению неоднородной задачи (1)) понятие номера
собственной функции исчезает. Но количество нулей остается не-
изменным.
Теорема 1 полностью доказана.
4. Пример.
Рассмотрим квазилинейную задачу:
−y′′ + cos(mx + ||y||) sin
(
|y|
||y||2
)
y + b(x) = λy,
y(0) − y(2π) = y′(0) − y′(2π) = 0,
(23)
где m ∈ N – фиксированный параметр. В этом случае
p(y, y′, ||y||, x) = cos(mx + ||y||) sin
( |y|
||y||2
)
при y(x) 6≡ 0.
При µ = 1 неравенство (2) имеет место. Выясним, будет ли яв-
ляться точкой бифуркации собственное значение λ1 = 1. Найдем
значения функционалов b(ϕ, r, 0) и d(ϕ, r, 0).
Для нечетных m функции d(ϕ, r, 0) ≡ b(ϕ, r, 0) ≡ 0 и, следо-
Собственные функции большой нормы краевой задачи 131
вательно, условия теоремы 1 не выполняются. Для четных m
b(ϕ, r, ν) =
1
rπ3/2
sin
(m − 1)π
2
(C1 sin (mϕ + ρ) cos 2ϕ−
−C2 cos (mϕ + ρ) sin 2ϕ) + O1(
||ν||
ρ2 ),
d(ϕ, r, ν) = − 1
rπ3/2
sin
(m − 1)π
2
(C2 cos (mϕ + ρ) cos 2ϕ+
+C1 sin (mϕ + ρ) sin 2ϕ) + O2(
||ν||
ρ2 ),
где
ρ2 = r2 + ||ν||2, |Oi(||ν||/ρ2)| < const
||ν||
ρ2
, i = 1, 2,
C1 =
8m + 6
(m2 − 1)(m2 − 9)
, C2 =
2m2 + 6
(m2 − 1)(m2 − 9)
.
При условиях ||y|| > δ−1, ||ν|| < N получаем оценку снизу (6), где
постоянная κ зависит от C1, C2, δ, N . Следовательно, отображе-
ние fk определено. Производная этого отображения равна:
d
dϕ
fk(ϕ, r, 0) = 2 − (2m2+6)(8m+6)m
(2m2+6)2 cos2(mϕ+ρ)+(8m+6)2 sin2(mϕ+ρ)
Приращение fk(2π, r, 0) − fk(0, r, 0) = (2 − m)2π, а степень
отображения deg(fρ) = 2 − m 6= 2 для четных натуральных m.
Таким образом, точка λ1 = 1 – это асимптотическая точка би-
фуркации и при каждом достаточно большом ρ задача (23), (4)
имеет по крайней мере два решения, собственные функции кото-
рых имеют на полуинтервале [0, 2π) в точности два нуля.
1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия:
Методы и приложения. – М.: Наука, 1986.
2. Дымарский Я.М. О типичных бифуркациях в одном классе операторных
уравнений// Докл. РАН. - 1994. - 338, №4 - С. 446-449.
3. Димарський Я.М. Про малi перiодичнi власнi функцiї. Серiя: фiзико-
математичнi науки// Вiсник Київського унiверситету - 2002 -№1. - С. 33-
42.
4. Красносельский А. М. О числе неограниченных ветвей решений в окрест-
ности асимптотической точки бифуркации// Функц. анал. прил. - 2005. -
39, №3 - С. 194-206.
5. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа. "На-
ука", М., 1975.
132 Д.Н. Непийпа
6. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных ин-
тегральных уравнений. – Москва: ГИТТЛ, 1956.
7. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: На-
ука, 1998, 300 с.
8. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Главная
редакция физико-математической литературы, Изд-во "Наука", 1973.
9. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. Сб. под
редакцией Келлер Дж., Антман С. — М.: Мир, 1974. — 254 с.
10. Dymarsky Ya. M. Intersection number and eigenvectors of quasilinear Hilbert-
Schmidt operators // Математ. физика, анализ, геометрия – 2002. - 9, №4.
– С. 604-621.
Луганский национальный
педагогический университет
имени Тараса Шевченко
nepiypa@yandex.ru
Получено 28.02.2007
|