Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею
Встановлено умови локального iснування та єдиностi розв’язку оберненої задачi для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомими залежними вiд часу старшим та молодшими коефiцiєнтами в областi з невiдомою дiлянкою межi....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелинейные граничные задачи |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124281 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею / М.І. Іванчов, Г.А. Снітко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 28-44. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860009392072556544 |
|---|---|
| author | Іванчов, М.І. Снітко, Г.А. |
| author_facet | Іванчов, М.І. Снітко, Г.А. |
| citation_txt | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею / М.І. Іванчов, Г.А. Снітко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 28-44. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелинейные граничные задачи |
| description | Встановлено умови локального iснування та єдиностi розв’язку оберненої задачi для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомими залежними вiд часу старшим та молодшими коефiцiєнтами в областi з невiдомою дiлянкою межi.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
28 Нелинейные граничные задачи 20, 28-44 (2011)
c©2011. М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
ВИЗНАЧЕННЯ ЗАЛЕЖНИХ ВIД ЧАСУ
КОЕФIЦIЄНТIВ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
Встановлено умови локального iснування та єдиностi розв’язку оберненої задачi для
одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомими залежними вiд часу старшим та молод-
шими коефiцiєнтами в областi з невiдомою дiлянкою межi.
Ключовi слова: обернена задача, параболiчне рiвняння, вiльна межа, функцiя Грiна
MSC (2000): 35R30
В областi з невiдомою дiлянкою межi дослiджується обернена задача од-
ночасного визначення залежних вiд часу старшого та молодших коефiцiєнтiв
одновимiрного параболiчного рiвняння. Ця задача поєднує два типи задач –
коефiцiєнтнi оберненi задачi та задачi з вiльною межею. Коефiцiєнтнi оберненi
задачi, в яких до невiдомих належить один або декiлька коефiцiєнтiв рiвняння,
в областях з вiдомими межами достатньо повно вивченi. Зокрема, дослiджен-
ню задач для одновимiрних параболiчних рiвнянь з невiдомими залежними вiд
часу старшим та молодшими коефiцiєнтами в областях з вiдомими межами при-
свячено роботи [1]–[5]. Задачi з вiльною межею, типовим представником яких є
задача Стефана, можна трактувати як оберненi задачi, бо замiною змiнних за-
дачi з вiльною межею зводяться до коефiцiєнтних обернених задач в областях
з фiксованими межами. Це дозволяє об’єднати два типи задач – коефiцiєнтнi
оберненi задачi та задачi з вiльною межею – в один. Зауважимо, що в [6], [7]
знайдено умови однозначної розв’язностi обернених задач для одновимiрних
параболiчних рiвнянь з невiдомим залежним вiд часу старшим коефiцiєнтом в
областi, частина або вся межа якої є невiдомою. На сучасному етапi розвитку
теорiї обернених задач привернули до себе увагу оберненi задачi для рiвнянь
з виродженням. Випадок параболiчних рiвнянь зi степеневим виродженням в
областях з вiльними межами розглянуто в [8], [9].
В областi ΩT = {(x, t) : 0 < x < h(t), 0 < t < T}, де h = h(t) – невiдома
функцiя, розглядаємо обернену задачу визначення коефiцiєнтiв a(t), b(t), c(t)
параболiчного рiвняння
ut = a(t)uxx + b(t)ux + c(t)u + f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, h(0)], (2)
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 29
крайовими умовами
u(0, t) = µ1(t), u(h(t), t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (3)
та умовами перевизначення
a(t)ux(0, t) = µ3(t),
h(t)∫
0
u(x, t)dx = µ4(t),
h(t)∫
0
xu(x, t)dx = µ5(t),
h(t)∫
0
x2u(x, t)dx = µ6(t), t ∈ [0, T ]. (4)
Замiною змiнних y =
x
h(t)
, t = t задачу (1)–(4) зводимо до оберненої за-
дачi з невiдомими (h(t), a(t), b(t), c(t), v(y, t)), де v(y, t) = u(yh(t), t), в областi з
вiдомою межею QT = {(y, t) : 0 < y < 1, 0 < t < T} :
vt =
a(t)
h2(t)
vyy +
b(t) + y h′(t)
h(t)
vy + c(t) v + f(yh(t), t), (y, t) ∈ QT , (5)
v(y, 0) = ϕ(yh(0)), y ∈ [0, 1], (6)
v(0, t) = µ1(t), v(1, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (7)
a(t)vy(0, t) = h(t)µ3(t), t ∈ [0, T ], (8)
h(t)
1∫
0
v(y, t)dy = µ4(t), t ∈ [0, T ], (9)
h2(t)
1∫
0
y v(y, t)dy = µ5(t), t ∈ [0, T ], (10)
h3(t)
1∫
0
y2v(y, t)dy = µ6(t), t ∈ [0, T ]. (11)
Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови:
1) f ∈ C1,0([0,∞) × [0, T ]), ϕ ∈ C2[0, h0], µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 2, 4, 5, 6,
µ3 ∈ C[0, T ];
30 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
2) f(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ [0,∞) × [0, T ], ϕ(x) ≥ ϕ0 > 0, x ∈ [0,∞),
ϕ′(x) > 0, ϕ′′(x) > 0, x ∈ [0, h0], µi(t) > 0, i = 1, 6, t ∈ [0, T ],
де h(0) = h0 > 0 є розв’язком рiвняння
h(0)∫
0
ϕ(x)dx = µ4(0);
3) умови узгодження нульового та першого порядкiв.
Тодi можна вказати таке число T0, 0 < T0 ≤ T , яке визначається вихiд-
ними даними, що iснує єдиний розв’язок (h, a, b, c, v) ∈ C1[0, T0] × (C[0, T0])
3 ×
C2,1(QT0
), a(t) > 0, h(t) > 0, t ∈ [0, T0], задачi (5)–(11).
Доведення. Визначимо значення функцiї, що задає невiдому дiлянку ме-
жi, в початковий момент часу. Згiдно з умовами теореми iснує єдиний розв’язок
h(0) = h0 > 0 рiвняння
h(0)∫
0
ϕ(x)dx = µ4(0).
Зведемо задачу (5)–(11) до еквiвалентної системи рiвнянь. Позначимо
w(y, t) = vy(y, t), p(t) = h′(t). Припустимо тимчасово, що функцiї
h(t) > 0, a(t) > 0, t ∈ [0, T ], b(t), c(t) вiдомi. Пряма задача (5)–(7) еквiва-
лентна наступнiй системi рiвнянь:
v(y, t) = v0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)
(
b(τ) + ηp(τ)
h(τ)
w(η, τ)+
+c(τ)v(η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT , (12)
w(y, t) = w0(y, t) +
t∫
0
1∫
0
G1y(y, t, η, τ)
(
b(τ) + ηp(τ)
h(τ)
w(η, τ)+
+c(τ)v(η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT , (13)
де Gk(y, t, η, τ), k = 1, 2, – функцiї Грiна першої (k = 1) та другої (k = 2)
крайових задач для рiвняння
vt =
a(t)
h2(t)
vyy + f(yh(t), t). (14)
Вони визначаються формулою
Gk(y, t, η, τ) =
1
2
√
π(θ(t) − θ(τ))
∞∑
n=−∞
(
exp
(
−
(y − η + 2n)2
4(θ(t) − θ(τ))
)
+
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 31
+(−1)k exp
(
−
(y + η + 2n)2
4(θ(t) − θ(τ))
))
, k = 1, 2,
де θ(t) =
t∫
0
a(τ)
h2(τ)
dτ. Через v0(y, t) позначено розв’язок рiвняння (14) з умовами
(6), (7), який має наступний вигляд
v0(y, t) =
1∫
0
G1(y, t, η, 0)ϕ(ηh0)dη +
t∫
0
G1η(y, t, 0, τ)
a(τ)
h2(τ)
µ1(τ)dτ−
−
t∫
0
G1η(y, t, 1, τ)
a(τ)
h2(τ)
µ2(τ) dτ +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)f(ηh(τ), τ)dηdτ.
Продиференцiювавши v0(y, t) за змiнною y, використавши властивостi функ-
цiї Грiна G1y(y, t, η, τ) = −G2η(y, t, η, τ), G2τ = −
a(τ)
h2(τ)
G2ηη та iнтегрування
частинами, одержуємо
w0(y, t) = h0
1∫
0
G2(y, t, η, 0)ϕ′(ηh0)dη −
t∫
0
G2(y, t, 0, τ)µ′
1(τ)dτ+
+
t∫
0
G2(y, t, 1, τ)µ′
2(τ) dτ +
t∫
0
1∫
0
G1y(y, t, η, τ)f(ηh(τ), τ)dηdτ.
Встановимо оцiнки функцiй v(y, t), w(y, t) знизу. Використовуючи прин-
цип максимуму [10] для розв’язку задачi (14), (6), (7), одержуємо
v0(y, t) ≥ M0 > 0, (y, t) ∈ QT ,
де стала M0 визначається вихiдними даними задачi. З (12) можемо зробити
висновок про iснування такого числа t1, 0 < t1 ≤ T , що
v(y, t) ≥
M0
2
≡ M1 > 0, (y, t) ∈ Qt1
. (15)
З умов 2) теореми випливає оцiнка
h0
1∫
0
G2(y, t, η, 0)ϕ′(ηh0)dη ≥ h0 min
[0,1]
ϕ′(yh0) > 0, (y, t) ∈ QT .
32 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
Тодi з (13) можемо вважати, що iснує таке число t2, 0 < t2 ≤ T, що
w(y, t) ≥
h0
2
min
[0,1]
ϕ′(yh0) ≡ M2 > 0, (y, t) ∈ Qt2
. (16)
Виконання нерiвностей (15), (16) надає можливiсть записати (8), (9) у виглядi
a(t) =
h(t)µ3(t)
w(0, t)
, t ∈ [0, t2], (17)
h(t) =
µ4(t)
1∫
0
v(y, t)dy
, t ∈ [0, t1]. (18)
Продиференцiювавши умови (9)–(11) за змiнною t i використавши рiвнян-
ня (5), одержуємо
b(t) =
[
a(t)
(
w(0, t)(h(t)µ5(t) − µ6(t)) + µ2(t)µ6(t) − µ1(t)µ6(t) + 2µ4(t)µ5(t)−
− 2h(t)µ2(t)µ5(t) − 2h(t)µ2
4(t) + h2(t)µ1(t)µ4(t) + h2(t)µ2(t)µ4(t)
)
−
− h2(t)
1∫
0
(
h(t)y2(h(t)µ4(t) − µ5(t)) + y(µ6(t) − h2(t)µ4(t)) + h(t)µ5(t)−
− µ6(t)
)
f(yh(t), t)dy + µ′
4(t)h(t)(h(t)µ5(t) − µ6(t)) + µ′
5(t)(µ6(t)−
− h2(t)µ4(t)) + µ′
6(t)(h(t)µ4(t) − µ5(t))
](
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t)+
+ h2(t)µ2
4(t) + h(t)µ1(t)µ6(t) − 2h(t)µ4(t)µ5(t) − h2(t)µ1(t)µ5(t)
)
−1
,
t ∈ [0, T ], (19)
c(t) =
[
a(t)
(
w(0, t)(h(t)µ4(t) − 2µ5(t)) + 2µ2(t)µ5(t) − 2µ1(t)µ5(t) + 2µ2
4(t)−
− 2h(t)µ2(t)µ4(t) − 2h(t)µ1(t)µ4(t) + h2(t)µ1(t)µ2(t) + h2(t)µ2
1(t)
)
+
+ h2(t)
1∫
0
(
2µ5(t) − h(t)µ4(t) + h(t)y2(µ4(t) − h(t)µ1(t)) + y(h2(t)µ1(t)−
− 2µ5(t))
)
f(yh(t), t)dy + µ′
4(t)h(t)(h(t)µ4(t) − 2µ5(t)) + µ′
5(t)(2µ5(t)−
− h2(t)µ1(t)) + µ′
6(t)(h(t)µ1(t) − µ4(t))
](
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t)+
+ h(t)µ1(t)µ6(t) − 2h(t)µ4(t)µ5(t) + h2(t)µ2
4(t) − h2(t)µ1(t)µ5(t)
)
−1
,
t ∈ [0, T ], (20)
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 33
p(t) =
[
a(t)
(
w(0, t)
h(t)
(h(t)µ2(t)µ6(t) − h2(t)µ2(t)µ5(t) + 2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t))+
+
w(1, t)
h(t)
(−2µ2
5(t) + µ4(t)µ6(t) − h(t)µ1(t)µ6(t) + 2h(t)µ4(t)µ5(t)−
− h2(t)µ2
4(t) + h2(t)µ1(t)µ5(t)) + 2µ1(t)µ2(t)µ6(t) + 2h(t)µ2
2(t)µ5(t)−
− h2(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t) − h2(t)µ2
2(t)µ4(t) − µ2
2(t)µ6(t) + 4h(t)µ2(t)µ
2
4(t)−
− 4µ2(t)µ4(t)µ5(t) − µ2
1(t)µ6(t) − 2h(t)µ1(t)µ2(t)µ5(t) + 4µ1(t)µ4(t)µ5(t)−
− 2µ3
4(t)
)
+ h(t)
1∫
0
(
h2(t)µ2(t)µ5(t) − h(t)µ2(t)µ6(t) − 2µ2
5(t)+
+ µ4(t)µ6(t) + h2(t)y2(h(t)µ2(t)µ4(t) + µ1(t)µ5(t) − µ2(t)µ5(t) − µ2
4(t))+
+ h(t)y(µ2(t)µ6(t) − µ1(t)µ6(t) − h2(t)µ2(t)µ4(t) + 2µ4(t)µ5(t))
)
×
× f(yh(t), t)dy + µ′
4(t)(h(t)µ2(t)µ6(t) − h2(t)µ2(t)µ5(t) + 2µ2
5(t)−
− µ4(t)µ6(t)) + µ′
5(t)(h
2(t)µ2(t)µ4(t) − µ2(t)µ6(t) + µ1(t)µ6(t)−
− 2µ4(t)µ5(t)) + µ′
6(t)(µ2(t)µ5(t) − h(t)µ2(t)µ4(t) − µ1(t)µ5(t) + µ2
4(t))
]
×
×
(
(2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t) + h(t)µ1(t)µ6(t) + h2(t)µ2
4(t) − 2h(t)µ4(t)µ5(t)−
− h2(t)µ1(t)µ5(t))µ2(t)
)
−1
, t ∈ [0, T ]. (21)
Зведемо знаменник в (19)–(21) до вигляду
2µ2
5(t)−µ4(t)µ6(t)+h(t)µ1(t)µ6(t)−2h(t)µ4(t)µ5(t)+h2(t)µ2
4(t)−h2(t)µ1(t)µ5(t) =
= 2µ5(t)(µ5(t)−h(t)µ4(t))+µ4(t)(h
2(t)µ4(t)−µ6(t))+h(t)µ1(t)(µ6(t)−h(t)µ5(t)) =
= h4(t)
(
2
1∫
0
yv(y, t)dy
1∫
0
(y − 1)v(y, t)dy +
1∫
0
v(y, t)dy
1∫
0
(1 − y2)v(y, t)dy+
+v(0, t)
1∫
0
y(y − 1)v(y, t)dy
)
= h4(t)
( 1∫
0
(1 − y)w(y, t)dy
1∫
0
y(1 − y)v(y, t)dy+
+
1∫
0
(1 − y)v(y, t)dy
1∫
0
(1 − 2y)v(y, t)dy
)
.
34 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
Подамо вираз
1∫
0
(1 − 2y)v(y, t)dy у виглядi
1∫
0
(1 − 2y)v(y, t)dy =
1
2∫
0
(1 − 2y)(v(y, t) − v(1 − y, t))dy =
= −
1
2∫
0
(1 − 2y)dy
1−y∫
y
vz(z, t)dz.
Змiнивши порядок iнтегрування в отриманому виразi, одержуємо
1∫
0
(1 − 2y)v(y, t)dy = −
1
2∫
0
(
1
2
− z
)2
vz(z, t)dz +
1∫
1
2
(
1
2
− z
)2
vz(z, t)dz =
=
1
2∫
0
(
1
2
− z
)2
(vz(1 − z, t) − vz(z, t))dz =
1
2∫
0
(
1
2
− z
)2
dz
1−z∫
z
vξξ(ξ, t)dξ.
Отже,
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t) + h(t)µ1(t)µ6(t) − 2h(t)µ4(t)µ5(t) + h2(t)µ2
4(t)−
−h2(t)µ1(t)µ5(t) = h4(t)
( 1∫
0
(1 − y)w(y, t)dy
1∫
0
y(1 − y)v(y, t)dy+
+
1
4
1∫
0
(1 − y)v(y, t)dy
1
2∫
0
(1 − 2y)2dy
1−y∫
y
vzz(z, t)dz
)
.
Враховуючи (15), (16), отримуємо
1∫
0
y(1 − y)v(y, t)dy > 0,
1∫
0
(1 − y)v(y, t)dy > 0, t ∈ [0, t1],
1∫
0
(1 − y)w(y, t)dy > 0, t ∈ [0, t2].
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 35
Для оцiнки vyy(y, t) знизу введемо функцiю
ṽ(y, t) = v(y, t) − ϕ(yh0) − y(µ2(t) − µ2(0)) + (y − 1)(µ1(t) − µ1(0)).
Для функцiї ṽ(y, t) одержуємо задачу
ṽt =
a(t)
h2(t)
ṽyy +
b(t) + yh′(t)
h(t)
(ṽy +d(y, t))+c(t)(ṽ +z(y, t))+F (y, t), (y, t) ∈ QT ,
ṽ(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1],
ṽ(0, t) = ṽ(1, t) = 0, t ∈ [0, T ], (22)
де d(y, t) = h0ϕ
′(yh0) + µ2(t) − µ2(0) − µ1(t) + µ1(0),
z(y, t) = ϕ(yh0) + y(µ2(t) − µ2(0)) − (y − 1)(µ1(t) + µ1(0)),
F (y, t) = h2
0ϕ
′′(yh0)
a(t)
h2(t)
+ f(yh(t), t) − yµ′
2(t) + µ′
1(t)(y − 1).
За допомогою функцiї Грiна G1(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiв-
няння (14) задачу (22) зводимо до рiвняння
ṽ(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)
(
b(τ) + ηh′(τ)
h(τ)
(ṽη(η, τ) + d(η, τ))+
+ c(τ)(ṽ(η, τ) + z(η, τ)) + F (η, τ)
)
dηdτ.
Продиференцiювавши останню рiвнiсть двiчi за змiнною y, одержуємо
vyy(y, t) = h2
0ϕ
′′(yh0) +
t∫
0
dτ
1∫
0
G1yy(y, t, η, τ)
(
b(τ) + ηh′(τ)
h(τ)
vη(η, τ)+
+c(τ)v(η, τ) + F (η, τ)
)
dη.
Звiдси можемо зробити висновок про iснування такого числа t3, 0 < t3 ≤ T , що
vyy(y, t) ≥
h2
0
2
min
[0,1]
ϕ′′(yh0) > 0, (y, t) ∈ Qt3
.
Таким чином,
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t) + h(t)µ1(t)µ6(t) − 2h(t)µ4(t)µ5(t) + h2(t)µ2
4(t)−
−h2(t)µ1(t)µ5(t) ≥ C0h
4(t), t ∈ [0, t4], t4 = min{t1, t2, t3}, (23)
де C0 визначається вихiдними даними задачi.
36 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
Таким чином, якщо (h, a, b, c, v) ∈ C1[0, T ]× (C[0, T ])3 ×C2,1(QT ) є розв’яз-
ком задачi (5)–(11), то (v,w, a, h, b, c, p) є неперервним розв’язком системи рiв-
нянь (12), (13), (17)–(21). Покажемо, що правильним є обернене твердження.
Нехай (v,w, a, h, b, c, p) є неперервним розв’язком системи рiвнянь (12),
(13), (17)–(21). Продиференцiюємо (12) за змiнною y. Правi частини отрима-
ної рiвностi та рiвностi (13) спiвпадають, тому можемо зробити висновок, що
w(y, t) = vy(y, t). Отже, функцiя v ∈ C2,1(QT ) задовольняє рiвняння
vt =
a(t)
h2(t)
vyy +
b(t) + yp(t)
h(t)
vy + c(t) v + f(yh(t), t), (y, t) ∈ QT , (24)
та умови (6), (7) для довiльних неперервних на [0, T ] функцiй a(t), b(t), c(t), h(t),
p(t). З рiвностей (17), (18) випливають умови (8), (9). Подамо (19)–(21) у
виглядi
p(t)µ2(t) + b(t)(µ2(t) − µ1(t)) + c(t)µ4(t) =
a(t)
h(t)
(w(0, t) − w(1, t)) + µ′
4(t)−
− h(t)
1∫
0
f(yh(t), t)dy, (25)
p(t)h(t)µ2(t) + b(t)(h(t)µ2(t) − µ4(t))+c(t)µ5(t) = a(t)(µ2(t) − µ1(t) − w(1, t))−
− h2(t)
1∫
0
yf(yh(t), t)dy + µ′
5(t), (26)
p(t)h2(t)µ2(t) + b(t)(h2(t)µ2(t) − 2µ5(t)) + c(t)µ6(t) = a(t)(2h(t)µ2(t) − 2µ4(t)−
− h(t)w(1, t)) − h3(t)
1∫
0
y2f(yh(t), t)dy + µ′
6(t). (27)
Продиференцiюємо (18) за змiнною t, використовуючи те, що v(y, t) є розв’язком
рiвняння (24). Вiднявши вiд отриманої рiвностi рiвнiсть (25), одержуємо
(h′(t) − p(t))
µ4(t)
h(t)
= 0.
Звiдси робимо висновок, що p(t) = h′(t) i, отже, v(y, t) задовольняє рiвняння
(5).
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 37
Залишилося довести виконання умов (10), (11). Подамо (26), (27) у виглядi
2h(t)h′(t)
1∫
0
yv(y, t)dy + h2(t)
1∫
0
y
(
a(t)
h2(t)
vyy(y, t) +
b(t) + yp(t)
h(t)
vy(y, t)+
+c(t)v(y, t) + f(yh(t), t)
)
dy = µ′
5(t), (28)
3h2(t)h′(t)
1∫
0
y2v(y, t)dy + h3(t)
1∫
0
y2
(
a(t)
h2(t)
vyy(y, t) +
b(t) + yp(t)
h(t)
vy(y, t)+
+c(t)v(y, t) + f(yh(t), t)
)
dy = µ′
6(t). (29)
Використавши рiвняння (5) та проiнтегрувавши (28), (29) вiд 0 до t, отримуємо
умови (10), (11).
Отже, еквiвалентнiсть задачi (5)–(11) i системи рiвнянь (12), (13), (17)–(21)
доведено.
Для доведення iснування розв’язку системи рiвнянь (12), (13), (17)–(21)
застосуємо теорему Шаудера про нерухому точку цiлком неперервного опера-
тора. Для цього встановимо апрiорнi оцiнки розв’язкiв системи.
Враховуючи нерiвностi (15), (16), для розв’язкiв рiвнянь (18), (17) справ-
джуються оцiнки
h(t) ≤
1
M1
max
[0,T ]
µ4(t) ≡ H1 < ∞, t ∈ [0, t1], (30)
a(t) ≤
H1
M2
max
[0,T ]
µ3(t) ≡ A1 < ∞, t ∈ [0, t5], t5 = min{t1, t2}. (31)
Позначимо V (t) = max
y∈[0,1]
|v(y, t)|, W (t) = max
y∈[0,1]
|w(y, t)|. Використавши вище
встановленi оцiнки, з (19)–(21) отримуємо
|b(t)| ≤
C1
h4(t)
, |c(t)| ≤
C2
h4(t)
, |p(t)| ≤
1
h4(t)
(
C3 + C4
W (t)
h(t)
)
, t ∈ [0, t4].
(32)
З (18), (17) одержуємо
h(t) ≥
1
V (t)
min
[0,T ]
µ4(t), t ∈ [0, T ], (33)
a(t) ≥
C5
V (t)W (t)
, t ∈ [0, T ]. (34)
38 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
Оскiльки для функцiї v(y, t) виконується рiвнiсть
v(y, t) = µ1(t) +
y∫
0
w(ξ, t)dξ,
то звiдси маємо
V (t) ≤ C6 + C7W (t), t ∈ [0, T ]. (35)
Для оцiнки w(y, t) використаємо оцiнки функцiї Грiна
|G2(y, t, η, τ)| ≤ C8
(
1 +
1√
θ(t) − θ(τ)
)
,
1∫
0
|G1η(y, t, η, τ)|dη ≤
C9√
θ(t) − θ(τ)
.
З (13) отримуємо нерiвнiсть
W (t) ≤ C10 + C11
t∫
0
dτ√
θ(t) − θ(τ)
+ C12
t∫
0
(
|b(τ)| + |p(τ)|
h(τ)
W (τ) + |c(τ)|V (τ)
)
×
×
dτ√
θ(t) − θ(τ)
, t ∈ [0, T ]. (36)
Пiдставивши одержанi оцiнки (30)–(35) у (36) i ввiвши позначення
W1(t) = W (t) + 1, приходимо до нерiвностi
W1(t) ≤ C13 + C14
t∫
0
a(τ)W 4
1 (τ)dτ
h2(τ)
√
θ(t) − θ(τ)
, t ∈ [0, t4]. (37)
Пiднесемо обидвi частини нерiвностi до четвертого степеня, застосовуючи при
цьому нерiвнiсть Гельдера:
W 4
1 (t) ≤ C15 + C16
t∫
0
a(τ)W 16
1 (τ)dτ
h2(τ)
√
θ(t) − θ(τ)
.
Замiнивши t на σ, домножимо попередню нерiвнiсть на
a(σ)
h2(σ)
√
θ(t) − θ(σ)
та
проiнтегруємо вiд 0 до t:
t∫
0
a(σ)W 4
1 (σ)dσ
h2(σ)
√
θ(t) − θ(σ)
≤ C17 + C16
t∫
0
a(σ)dσ
h2(σ)
√
θ(t)− θ(σ)
σ∫
0
a(τ)W 16
1 (τ)dτ
h2(τ)
√
θ(σ) − θ(τ)
.
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 39
Змiнивши порядок iнтегрування у другому доданку правої частини нерiвностi
та використавши рiвнiсть
t∫
τ
a(σ)dσ
h2(σ)
√
(θ(t) − θ(σ))(θ(σ) − θ(τ))
= π,
одержуємо
t∫
0
a(σ)W 4
1 (σ)dσ
h2(σ)
√
θ(t) − θ(σ)
≤ C17 + C18
t∫
0
a(τ)W 16
1 (τ)dτ
h2(τ)
. (38)
Беручи до уваги (38), надамо нерiвностi (37) вигляду
W1(t) ≤ C19 + C20
t∫
0
a(τ)W 16
1 (τ)dτ
h2(τ)
.
Використавши (31), (33), (35) i позначивши W2(t) = W1(t)+1, попередню нерiв-
нiсть подамо у виглядi
W2(t) ≤ C21 + C22
t∫
0
W 18
2 (τ)dτ.
Метод розв’язування останньої нерiвностi подано в [11]. Звiдси отримуємо оцiн-
ку
W (t) ≤ M3, t ∈ [0, T0],
де 0 < T0 ≤ t4, визначається сталими C21, C22. Тодi
|v(y, t)| ≤ C6 + C7M3 ≡ M4, h(t) ≥
1
M4
min
[0,T ]
µ4(t) ≡ H0 > 0,
a(t) ≥
C5
M3M4
≡ A0 > 0, |b(t)| ≤
C1
H4
0
≡ B1, |c(t)| ≤
C2
H4
0
≡ B2,
|p(t)| ≤
1
H4
0
(
C3 + C4
M3
H0
)
≡ B3, (y, t) ∈ QT0
.
Подамо систему (12), (13), (17)–(21) у виглядi операторного рiвняння
ω = Pω,
де ω = (v(y, t), w(y, t), a(t), h(t), b(t), c(t), p(t)), а оператор P визначається пра-
вими частинами рiвнянь (12), (13), (17)–(21). За допомогою встановлених апрiор-
них оцiнок розв’язкiв системи рiвнянь (12), (13), (17)–(21), аналогiчно як в [12],
40 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
побудуємо множину N ∈ (C(QT0
))2 × (C[0, T0])
5 таку, що оператор P перево-
дить її в себе. Те, що оператор P цiлком неперервний на N , доводиться як в
[11]. Отже, за теоремою Шаудера iснує розв’язок системи рiвнянь (12), (13),
(17)–(21) i, вiдповiдно, розв’язок задачi (5)–(11) при y ∈ [0, 1], t ∈ [0, T0].
Доведемо єдинiсть розв’язку задачi (5)–(11). Припустимо, що (hi(t), ai(t),
bi(t), ci(t), vi(y, t)), i = 1, 2, – два розв’язки задачi (5)–(11). Позначимо
ai(t)
h2
i (t)
= si(t),
bi(t)
hi(t)
= qi(t),
h′
i(t)
hi(t)
= ri(t), i = 1, 2,
s(t) = s1(t) − s2(t), q(t) = q1(t) − q2(t), r(t) = r1(t) − r2(t),
c(t) = c1(t) − c2(t) v(y, t) = v1(y, t) − v2(y, t).
Функцiї s(t), q(t), r(t), c(t), v(y, t) задовольняють рiвняння
vt =s1(t)vyy + (q1(t) + yr1(t))vy + c1(t)v + s(t)v2yy + (q(t) + yr(t))v2y + c(t)v2+
+ f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t), (y, t) ∈ QT , (39)
та умови
v(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1], v(0, t) = v(1, t) = 0, t ∈ [0, T ], (40)
s(t)v2y(0, t) + s1(t)vy(0, t) = µ3(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
, t ∈ [0, T ], (41)
1∫
0
v(y, t)dy = µ4(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
, t ∈ [0, T ], (42)
1∫
0
yv(y, t)dy = µ5(t)
(
1
h2
1(t)
−
1
h2
2(t)
)
, t ∈ [0, T ], (43)
1∫
0
y2v(y, t)dy = µ6(t)
(
1
h3
1(t)
−
1
h3
2(t)
)
, t ∈ [0, T ]. (44)
За допомогою функцiї Грiна G∗
1(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiв-
няння
vt = s1(t)vyy + (q1(t) + yr1(t))vy + c1(t)v
з урахуванням умов (40) функцiю v(y, t) подамо у виглядi
v(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G∗
1(y, t, η, τ)(s(τ)v2ηη (η, τ) + (q(τ) + ηr(τ))v2η(η, τ) + c(τ)v2(η, τ)+
+ f(ηh1(τ), τ) − f(ηh2(τ), τ))dηdτ, (y, t) ∈ QT . (45)
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 41
Продиференцiюємо (45) за змiнною y
vy(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G∗
1y(y, t, η, τ)(s(τ)v2ηη (η, τ) + (q(τ) + ηr(τ))v2η(η, τ)+
+ c(τ)v2(η, τ) + f(ηh1(τ), τ) − f(ηh2(τ), τ))dηdτ, (y, t) ∈ QT . (46)
Враховуючи те, що для v2y(y, t) справджується умова (8), маємо
v2y(0, t) > 0, t ∈ [0, T ]. Тодi з умови (41) знаходимо
s(t) = −s1(t)
vy(0, t)
v2y(0, t)
+
µ3(t)
v2y(0, t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
, t ∈ [0, T ]. (47)
Оскiльки для bi(t), ci(t), pi(t), i = 1, 2, справджуються рiвностi, аналогiчнi до
(19)–(21), то звiдси отримуємо
r(t)µ2(t) + q(t)(µ2(t) − µ1(t)) + c(t)
µ4(t)
h2(t)
= s(t)(v2y(0, t) − v2y(1, t))+
+ s1(t)(vy(0, t) − vy(1, t)) − c1(t)µ4(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
−
1∫
0
(f(yh1(t), t)−
− f(yh2(t), t))dy + µ′
4(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
, t ∈ [0, T ], (48)
q(t)
(
µ1(t) −
µ4(t)
h2(t)
)
+
c(t)
h2(t)
(
µ5(t)
h2(t)
− µ4(t)
)
= s(t)(µ2(t) − µ1(t) − v2y(0, t))+
+ (q1(t) + c1(t))µ4(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
− c1(t)µ5(t)
(
1
h2
1(t)
−
1
h2
2(t)
)
−
−
1∫
0
(y − 1)(f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t))dy − µ′
4(t)
(
1
h1(t)
−
1
h2(t)
)
+
+ s1(t)vy(0, t) + µ′
5(t)
(
1
h2
1(t)
−
1
h2
2(t)
)
, t ∈ [0, T ], (49)
c(t) = (h1(t) − h2(t))((µ1(t)µ5(t) − µ2
4(t))(h1(t) + h2(t)) + 2µ4(t)µ5(t)−
− µ1(t)µ6(t))
[
s1(t)
(
v1y(0, t)(h
3
1(t)µ4(t) − 2h2
1(t)µ5(t)) + 2h2
1(t)µ2(t)µ5(t)−
− 2h2
1(t)µ1(t)µ5(t) − 2h3
1(t)µ2(t)µ4(t) + 2h2
1(t)µ
2
4(t) − 2h3
1(t)µ1(t)µ4(t)+
+ h4
1(t)µ1(t)µ2(t) + h4
1(t)µ
2
1(t)
)
+ h2
1(t)
1∫
0
(
2µ5(t) − h1(t)µ4(t) + h1(t)y
2(µ4(t)−
− h1(t)µ1(t)) + y(h2
1(t)µ1(t) − 2µ5(t))
)
f(yh1(t), t)dy + µ′
4(t)h1(t)(h1(t)µ4(t)−
42 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
− 2µ5(t)) + µ′
5(t)(2µ5(t) − h2
1(t)µ1(t)) + µ′
6(t)(h1(t)µ1(t) − µ4(t))
]((
2µ2
5(t)−
− µ4(t)µ6(t) + h1(t)µ1(t)µ6(t) − 2h1(t)µ4(t)µ5(t) − h2
1(t)µ1(t)µ5(t)+
+ h2
1(t)µ
2
4(t)
)(
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t) + h2(t)µ1(t)µ6(t) + h2
2(t)µ
2
4(t)−
− 2h2(t)µ4(t)µ5(t) − h2
2(t)µ1(t)µ5(t)
))
−1
+
[
s(t)
(
v1y(0, t)(h
3
1(t)µ4(t)−
− 2h2
1(t)µ5(t)) + 2h2
1(t)µ2(t)µ5(t) − 2h2
1(t)µ1(t)µ5(t) − 2h3
1(t)µ2(t)µ4(t)−
− 2h3
1(t)µ1(t)µ4(t) + 2h2
1(t)µ
2
4(t) + h4
1(t)µ1(t)µ2(t) + h4
1(t)µ
2
1(t)
)
+
+ s2(t)
(
vy(0, t)(h
3
1(t)µ4(t) − 2h2
1(t)µ5(t)) + (h3
1(t) − h3
2(t))µ4(t)(v2y(0, t)−
− 2µ1(t) − 2µ2(t)) + µ1(t)(µ1(t) + µ2(t))(h
4
1(t) − h4
2(t)) + 2(h2
1(t) − h2
2(t))×
× (µ5(t)(µ2(t) − µ1(t)) − µ5(t)v2y(0, t) + µ2
4(t))
)
+ h2
1(t)
1∫
0
(
2µ5(t) − h1(t)µ4(t)+
+ h1(t)y
2(µ4(t) − h1(t)µ1(t)) + y(h2
1(t)µ1(t) − 2µ5(t))
)
(f(yh1(t), t)−
− f(yh2(t), t))dy +
1∫
0
(1 − y)(2µ5(t)(h
2
1(t) − h2
2(t)) + yµ1(t)(h
4
1(t) − h4
2(t))−
− µ4(t)(1 + y)(h3
1(t) − h3
2(t)))f(yh2(t), t)dy + (h2
1(t) − h2
2(t))(µ4(t)µ
′
4(t)−
− µ1(t)µ
′
5(t)) + (h1(t) − h2(t))(µ1(t)µ
′
6(t) − 2µ5(t))
](
2µ2
5(t) − µ4(t)µ6(t)+
+ h2(t)µ1(t)µ6(t) + h2
2(t)µ
2
4(t) − 2h2(t)µ4(t)µ5(t) − h2
2(t)µ1(t)µ5(t)
)
−1
,
t ∈ [0, T ]. (50)
Зауважимо, що згiдно з (23) маємо
2µ2
5(t)−µ4(t)µ6(t) + hi(t)µ1(t)µ6(t) − 2hi(t)µ4(t)µ5(t) + h2
i (t)µ
2
4(t)−
− h2
i (t)µ1(t)µ5(t) ≥ C0h
4
i (t), i = 1, 2, t ∈ [0, t4].
Виразимо hi(t) через ri(t)
hi(t) = hi(0) exp
t∫
0
ri(τ)dτ
, i = 1, 2,
де h1(0) = h2(0) = h0.
Звiдси, використовуючи рiвнiсть
ex − ey = (x − y)
1∫
0
ey+τ(x−y)dτ,
Визначення коефiцiєнтiв параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею 43
отримуємо
1
h1(t)
−
1
h2(t)
= −
1
h0
t∫
0
r(τ)dτ
1∫
0
exp
−
t∫
0
(σr(τ) + r2(τ))dτ
dσ. (51)
Рiвнiсть (51) можемо аналогiчно використати для зображення рiзниць
1
h2
1(t)
−
1
h2
2(t)
, h1(t) − h2(t), h2
1(t) − h2
2(t), h3
1(t) − h3
2(t), h4
1(t) − h4
2(t).
Припущення теореми забезпечують правильнiсть рiвностi
f(yh1(t), t) − f(yh2(t), t) =
= y(h1(t) − h2(t))
1∫
0
fx(y(h2(t) + σ(h1(t) − h2(t))), t)dσ. (52)
Пiдставивши (45), (46), (51), (52) в (47)–(50), одержимо систему однорiд-
них iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду вiдносно невiдомих s(t), q(t),
r(t), c(t) з ядрами, що мають iнтегровнi особливостi. Внаслiдок єдиностi розв’яз-
ку системи рiвнянь (47)–(50) одержуємо r(t) = 0, s(t) = 0, q(t) = 0,
c(t) = 0, t ∈ [0, t4]. Звiдси отримуємо, що r1(t) = r2(t), s1(t) = s2(t),
q1(t) = q2(t), c1(t) = c2(t), t ∈ [0, t4], а, отже, h1(t) = h2(t), b1(t) = b2(t),
a1(t) = a2(t), t ∈ [0, t4]. Враховуючи це в задачi (39)–(41), знаходимо, що
v1(y, t) = v2(y, t), (y, t) ∈ Qt4
, що завершує доведення теореми.
1. Пабирiвська Н. В. Оберненi задачi з iнтегральними умовами перевизначення // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 1. – С. 51–58.
2. Пабирiвська Н. В. Тепловi моменти в оберненiй задачi для параболiчного рiвняння //
Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 142–149.
3. Ang D. D., Trong D. D. Coefficient identification for a parabolic equation // Inverse Problems.
– 1994. – V. 10, N. 3. – P. 733–752.
4. Cannon J., Lin, Y., Wang S. Determination of a control parameter in a parabolic partial
differential equation // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. – 1991. – V.33. – P. 149–163.
5. Cannon J., Perez-Esteva S. Determination of the coefficient of ux in a linear parabolic equation
// Inverse Problems. – 1994. – V. 10, N. 3. – P. 521–531.
6. Баранська I. Визначення старшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi в областi з
невiдомими межами // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 20–38.
7. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi. // Укр.
мат. журн. – 2003. – 55, № 7. – С. 901–910.
8. Гринцiв Н. М. Обернена задача для параболiчного рiвняння з виродженням в областi з
вiльною межею // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2006. – Вип. 66. – С. 20–59.
9. Гринцiв Н. М. Обернена задача для рiвняння теплопровiдностi з виродженням в областi
з вiльною межею // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2006. – 49, № 4. – С. 28–39.
10. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные
уравнения параболического типа // Москва: Наука, 1967. – 736 с.
11. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Lviv: VNTL Publ., 2003. –
238 p. – (Math. Studies: Monograph Ser. – Vol. 10.)
44 М.I. Iванчов, Г.А. Снiтко
12. Снiтко Г. А. Коефiцiєнтна обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з
вiльною межею // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. – С. 37–47.
Львiвcький нацiональний унiверситет
iменi Iвана Франка
вул. Унiверситетська 1, 79000, Львiв,
ivanchov@franko.lviv.ua
Iнститут прикладних проблем механiки i
математики iм. Я. С. Пiдстригача НАН України
вул. Наукова 3б, 79060, Львiв
snitkog@ukr.net
Отримано 20.05.11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124281 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0236-0497 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:40Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Іванчов, М.І. Снітко, Г.А. 2017-09-23T14:40:34Z 2017-09-23T14:40:34Z 2010 Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею / М.І. Іванчов, Г.А. Снітко // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 28-44. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35R30 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124281 Встановлено умови локального iснування та єдиностi розв’язку оберненої задачi для одновимiрного параболiчного рiвняння з невiдомими залежними вiд часу старшим та молодшими коефiцiєнтами в областi з невiдомою дiлянкою межi. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Нелинейные граничные задачи Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею Determination of time-dependent coefficients of a parabolic equation in a free boundary domain Article published earlier |
| spellingShingle | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею Іванчов, М.І. Снітко, Г.А. |
| title | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_alt | Determination of time-dependent coefficients of a parabolic equation in a free boundary domain |
| title_full | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_fullStr | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_full_unstemmed | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_short | Визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_sort | визначення залежних від часу коефіцієнтів параболічного рівняння в області з вільною межею |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124281 |
| work_keys_str_mv | AT ívančovmí viznačennâzaležnihvídčasukoefícíêntívparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû AT snítkoga viznačennâzaležnihvídčasukoefícíêntívparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû AT ívančovmí determinationoftimedependentcoefficientsofaparabolicequationinafreeboundarydomain AT snítkoga determinationoftimedependentcoefficientsofaparabolicequationinafreeboundarydomain |