Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем

Наведено короткий огляд праць Я.Б. Лопатинського з теорiї елiптичних систем i праць iнших авторiв з теорiї параболiчних систем, в яких iдеї Я.Б. Лопатинського одержали найбiльший розвиток....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Author:	Івасишен, С.Д
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Series:	Нелинейные граничные задачи
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124282
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем / С.Д Івасишен // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 45-53. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124282
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1242822025-02-09T20:11:48Z Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем On the influence of the ideas of Ya. B. Lopatynsky on development of the parabolic system theory Івасишен, С.Д Наведено короткий огляд праць Я.Б. Лопатинського з теорiї елiптичних систем i праць iнших авторiв з теорiї параболiчних систем, в яких iдеї Я.Б. Лопатинського одержали найбiльший розвиток. 2010 Article Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем / С.Д Івасишен // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 45-53. — Бібліогр.: 41 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35A08; 35J55; 35K50 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124282 uk Нелинейные граничные задачи application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Наведено короткий огляд праць Я.Б. Лопатинського з теорiї елiптичних систем i праць iнших авторiв з теорiї параболiчних систем, в яких iдеї Я.Б. Лопатинського одержали найбiльший розвиток.
format	Article
author	Івасишен, С.Д
spellingShingle	Івасишен, С.Д Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем Нелинейные граничные задачи
author_facet	Івасишен, С.Д
author_sort	Івасишен, С.Д
title	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
title_short	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
title_full	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
title_fullStr	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
title_full_unstemmed	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
title_sort	про вплив ідей я.б. лопатинського на розвиток теорії параболічних систем
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124282
citation_txt	Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем / С.Д Івасишен // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 45-53. — Бібліогр.: 41 назв. — укр.
series	Нелинейные граничные задачи
work_keys_str_mv	AT ívasišensd provplivídeiâblopatinsʹkogonarozvitokteorííparabolíčnihsistem AT ívasišensd ontheinfluenceoftheideasofyablopatynskyondevelopmentoftheparabolicsystemtheory
first_indexed	2025-11-30T09:31:26Z
last_indexed	2025-11-30T09:31:26Z
_version_	1850207200361840640
fulltext	Нелинейные граничные задачи 20, 45-53 (2010) 45 c©2010. С.Д. Iвасишен ПРО ВПЛИВ IДЕЙ Я.Б. ЛОПАТИНСЬКОГО НА РОЗВИТОК ТЕОРIЇ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ Наведено короткий огляд праць Я.Б. Лопатинського з теорiї елiптичних систем i пра- ць iнших авторiв з теорiї параболiчних систем, в яких iдеї Я.Б. Лопатинського одержали найбiльший розвиток. Ключовi слова: елiптична система, параболiчна система, крайова задача, умова Лопа- тинського, фундаментальна матриця розв’язкiв, нетерова задача, коректна розв’язнiсть MSC (2000): 35A08; 35J55; 35K50 Я. Б. Лопатинський став всесвiтньо вiдомим математиком у першу чергу завдяки його фундаментальним результатам в теорiї елiптичних систем рiвнянь iз частинними похiдними та крайових задач для таких систем. Цi результати вiн одержав у Львiвський перiод свого життя (1946 – 1963 рр.). Працi Ярослава Борисовича з теорiї елiптичних систем багато в чому визна- чили напрям розвитку цiєї галузi математики, а закладенi в них iдеї мали благотворний вплив на розвиток теорiї параболiчних систем рiвнянь. У цiй статтi робиться короткий огляд праць як самого Я.Б. Лопатинсь- кого, так i праць з теорiї параболiчних систем рiвнянь, в яких iдеї Ярослава Борисовича отримали найбiльший розвиток. Стаття доповнює i розширює по- передню статтю автора [1]. 1. Працi Я.Б. Лопатинського, що стосуються фундаменталь- них матриць розв’язкiв (ФМР) елiптичних систем. У працях [2 – 6] побудованi та дослiдженi ФМР i нормальнi ФМР загальних елiптичних систем. Цi результати застосованi Ярославом Борисовичем до до- слiдження можливих iзольованих особливостей розв’язкiв елiптичних систем. Доведено, що розв’язок елiптичної системи в околi iзольованої особливої точки виражається через похiднi ФМР. Результати Я.Б. Лопатинського, якi стосу- ються нормальних ФМР, були використанi далi для доведення того, що всякий узагальнений розв’язок елiптичної системи насправдi є класичним розв’язком. 46 С.Д. Iвасишен 2. Працi Я.Б. Лопатинського, присвяченi крайовим задачам для загальних елiптичних систем. У працях [7, 8] уперше в свiтовiй лiтературi було знайдено умову узгод- ження коефiцiєнтiв крайових умов, яка достатня для звiдностi крайової за- дачi загального вигляду до регулярних iнтегральних рiвнянь. Ця умова на- звана умовою Лопатинського. В указаних працях Я.Б. Лопатинський описав метод зведення крайової задачi в обмеженiй опуклiй областi до системи ре- гулярних iнтегральних рiвнянь за допомогою побудованих i дослiджених ним потенцiалiв. Ранiше схожий метод застосувала З.Я. Шапiро [9] для систем зi сталими коефiцiєнтами в тривимiрнiй областi. Тому вищезазначену умову на- зивають ще умовою Шапiро-Лопатинського. Пiзнiше Я.Б. Лопатинський за допомогою розроблених ним методiв до- слiджував задачу Дiрiхле для системи елiптичних рiвнянь другого порядку, вивчивши розв’язнiсть задачi, неперервну залежнiсть розв’язкiв вiд правих ча- стин, коефiцiєнтiв системи та областi їх задання, властивостi гладкостi розв’язкiв аж до межi областi. У подальшому розвитку теорiї елiптичних рiвнянь i систем рiвнянь цен- тральним було питання нетеровостi вiдповiдної крайової задачi. З крайовою задачею природним способом пов’язується деякий оператор у пiдхожих бана- хових просторах. Оператор називається нетеровим, якщо його ядро скiнчен- новимiрне, образ замкнений i має скiнченну корозмiрнiсть. Доведено, що для того, щоб крайова задача для елiптичної системи була нетеровою, необхiдно й досить, щоб виконувалась умова Лопатинського. Дальшi дослiдження показа- ли, що умова Лопатинського є також необхiдною i достатньою для нетеровостi крайової задачi для елiптичних псевдодиференцiальних рiвнянь. Сформулюємо умову Лопатинського в тому виглядi, який вона має у пра- цях [7, 8]. Розглядається крайова задача в обмеженiй областi Ω ⊂ R n з межею S A(x, ∂x)u(x) = 0, x ∈ Ω, (1) lim x→y B(x, ∂x)u(x) = f(y), y ∈ S, (2) де A(x, ∂x) – квадратна матриця порядку N , елементами якої є лiнiйнi дифе- ренцiальнi вирази порядку m; B(x, ∂x) – матриця розмiрностi (Nm/2) × N , елементами k-го рядка якої є лiнiйнi диференцiальнi вирази порядку mk < m. Припускається, що система (1) елiптична. Нехай A0 i B0 – головнi за порядком диференцiювання частини диферен- цiальних виразiв A i B вiдповiдно, ν(y) – орт внутрiшньої нормалi до S у точцi y, I – одинична матриця порядку N . Умова Лопатинського: ∀y ∈ S ∀ξ ∈ R n \ {0}, ξ ⊥ ν(y) : Про вплив iдей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорiї параболiчних систем 47 rank ∫ + B0(y, ξ + λν(y))A−1 0 (y, ξ + λν(y))(I, . . . , λm−1I)dλ = Nm/2 (3) ( ∫ + означає iнтегрування у верхнiй λ-площинi по простому замкненому конту- ру, який охоплює λ-коренi рiвняння detA0(y, ξ + λν(y)) = 0), (4) при цьому можна вибрати такi стовпчики цiєї матрицi, що вiдповiдний мiнор порядку Nm/2 не дорiвнює нулевi для всiх y i ξ. Пiзнiше було доведено, що умову (3) можна подати в такому виглядi. Алгебраїчна умова Лопатинського: ∀y ∈ S ∀ξ ∈ R n \ {0}, ξ ⊥ ν(y) : рядки матрицi B0(y, ξ + λν(y))Â0(y, ξ + λν(y)), як λ-многочлени, лiнiйно неза- лежнi за модулем λ-многочлена Nm/2 ∏ s=1 (λ − λ+ s (y, ξ)), (5) де Â0 – матриця, взаємна для матрицi A0, λ+ s (y, ξ) – λ-коренi рiвняння (4) з додатною уявною частиною. 3. Працi Я.Б. Лопатинського з теорiї iнтегральних рiвнянь. Працi [10 – 12] стосуються iнтегральних рiвнянь – як регулярних, з аналi- тичним ядром, так i сингулярних, якi вiдповiдають крайовiй задачi для елiп- тичної системи в плоскiй областi, межа якої має кутовi точки. Я.Б.Лопатинський був одним iз перших математикiв, хто почав у загальнiй постановцi дослiджу- вати такi задачi. Вiн майстерно використав результати тiльки що створеної теорiї нетерових операторiв, показавши, що в деякому спецiально пiдiбраному функцiйному просторi система iнтегральних рiвнянь, яка вiдповiдає крайовiй задачi з кутовими точками, породжує нетеровий оператор. При цьому вiн ука- зав формули для обчислення iндексу такого оператора, а також формулу для радiуса Фредгольма, яка ранiше iншими методами знайдена Радоном. 4. Побудова та дослiдження ФМР параболiчних систем. Результати Я.Б. Лопатинського, що стосуються ФМР елiптичних систем, стимулювали дослiдження ФМР параболiчних систем в першу чергу С.Д. Ейдельмана та його учнiв. З 1950 р. Самуїл Давидович, який тодi працю- вав у Чернiвецькому унiверситетi, почав регулярно спiлкуватися з Я.Б. Лопа- тинським. С.Д. Ейдельман неодноразово згадував, що чудовi працi Ярослава 48 С.Д. Iвасишен Борисовича та його розповiдi були для нього джерелом роздумiв над рiзними проблемами теорiї рiвнянь iз частинними похiдними. Я.Б. Лопатинський був опонентом на захистi кандидатської дисертацiї С.Д. Ейдельмана в 1953 р. у Львiвському унiверситетi. Уже в дисертацiї мi- стилися першi результати побудови, дослiдження та застосування ФМР пара- болiчних систем. У пiзнiших працях С.Д. Ейдельмана та його учнiв проведене всебiчне вивчення ФМР параболiчних систем, знайденi рiзноманiтнi важливi застосування результатiв цього вивчення (див. [13 – 21]). Основнi результати цих праць стосуються загальних параболiчних за Пет- ровським i за Ейдельманом ( −→ 2b-параболiчних) систем i є такими: 1) побудова, точнi оцiнки як на обмежених, так i необмежених часових iнтервалах, рiзноманiтнi властивостi ФМР задачi Кошi у випадках, коли система: а) рiвномiрно параболiчна, її коефiцiєнти задовольняють умову Гельдера як класичну, так i узагальнену (умову Дiнi); б) з необмежено зростаючими при \|x\| → ∞ коефiцiєнтами, яка є дисипативною або зводиться до такої; в) мiстить виродження на початковiй гiперплощинi; 2) зв’язок мiж ФМР параболiчних i вiдповiдних елiптичних систем; 3) поведiнка розв’язкiв в околi iзольованої особливої точки; 4) коректна розв’язнiсть задачi Кошi в рiзних просторах функцiй; 5) iнтегральне зображення розв’язкiв задачi Кошi та розв’язкiв, визначе- них у вiдкритому шарi; 6) локальна розв’язнiсть задачi Кошi та продовження її розв’язкiв на ширший часовий iнтервал для квазiлiнiйних i нелiнiйних систем; 7) теореми типу Лiувiлля i про стiйкiсть розв’язкiв задачi Кошi, коректна розв’язнiсть задачi Кошi на напiвобмеженому часовому iнтервалi та задачi без початкових умов. 5. Параболiчнi крайовi задачi. Найзначнiший вплив дослiдження Я.Б. Лопатинського мали на побудову теорiї параболiчних крайових задач. Загальними крайовими задачами для параболiчних за Петровським систем першого порядку за часовою змiнною t вперше почав займатися Т.Я. Загорсь- кий, який починаючи з 1956 р. опублiкував ряд праць i монографiю [22]. У цих працях крайовi задачi розглядаються в опуклих обмежених обла- стях. Припускається, що порядки крайових диференцiальних виразiв меншi за порядок системи. Умова розв’язностi, яку крайовi диференцiальнi вирази ма- ють задовольняти, береться у тiй самiй формi, в якiй вона записана в Я.Б. Лопатинського. Як i в Я.Б. Лопатинського, для доведення розв’язностi за- гальної крайової задачi використовується теорiя потенцiалу, яка узагальнює теорiю теплових потенцiалiв. Розв’язок задачi виражається у виглядi суми по- Про вплив iдей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорiї параболiчних систем 49 тенцiалiв, густини яких визначаються iз системи iнтегральних рiвнянь, а ядра будуються за допомогою ядер Пуассона, тобто ядер потенцiалiв, якi дають точ- ний розв’язок модельних крайових задач. Щоб дослiдити систему iнтеграль- них рiвнянь, треба одержати точнi оцiнки ядер Пуассона. Як помiтив В.О. Солонников [23], при одержаннi таких оцiнок у [22] допущенi iстотнi помилки в мiркуваннях. Бiльш загальна теорiя потенцiалу будується у працях С.Д. Ейдельмана (1962 – 1963 рр.) i монографiї [13], а також у замiтках [24, 25]. У цих пра- цях загальна схема цiєї теорiї та сама, що й в Т.Я. Загорського, але кiнцевi результати загальнiшi, нiж у [22]. У працi [24] крайовi задачi для параболiчних за Петровським систем пер- шого порядку за t дослiджуються в неопуклих цилiндричних областях, в неци- лiндричних областях та в необмежених областях частинного вигляду. При цьо- му припускається, так само як у [22], що порядки крайових умов меншi за порядок системи. У вказаних працях С.Д. Ейдельмана одержанi сильнiшi, нiж у [22], оцiнки ядер Пуассона модельних крайових задач. При цьому не накладається жодних обмежень на порядки крайових умов. Дослiдження ядер Пуассона С.Д. Ейдельман проводить за допомогою цiкавого методу, в основi якого ле- жить теорема Я.Б. Лопатинського про факторизацiю полiномiальних матриць [26]. У працi М.С. Аграновича й М.Й. Вишика [27] розглянутi загальнi елiп- тичнi задачi, залежнi вiд параметра. Найважливiшим частинним випадком цих задач є задачi, якi виникають при перетвореннi Лапласа загальних крайових задач для параболiчних за Петровським систем у цилiндричних областях, коли в останнiх коефiцiєнти не залежать вiд t i початковi умови нульовi. На крайовi диференцiальнi вирази накладається так звана умова доповняльностi, анало- гiчна умовi Лопатинського. Доводяться теореми про коректну розв’язнiсть та- ких задач у вiдповiдних просторах W l 2 для досить великих за модулем значень параметра. Цi теореми використовуються для доведення вiдповiдних теорем про коректну розв’язнiсть загальних крайових задач для параболiчних за Пет- ровським систем у випадку, коли жодних обмежень на порядки крайових умов не накладається i виконується вiдповiдна умова доповняльностi. У працi В.О. Солонникова [23] означується досить широкий клас пара- болiчних систем, так званих систем, параболiчних за Солонниковим. Для та- ких систем розглядаються загальнi крайовi задачi, розв’язок яких повинен за- довольняти певнi початковi умови при t = 0 i крайовi умови на бiчнiй поверхнi областi. Початковi умови для систем Солонникова можуть не зводитися до за- дання окремих функцiй або їх похiдних за t при t = 0. У загальному випадку як початковi, так i крайовi умови задаються у виглядi довiльних диференцiальних виразiв, якi повиннi задовольняти певнi алгебраїч- нi умови. Для крайових виразiв ця алгебраїчна умова, яка називається, як i 50 С.Д. Iвасишен ранiше, умовою доповняльностi, записується так само, як для елiптичних си- стем у виглядi (5). Вирази, що задають початковi данi, також задовольняють умову, близьку за формою до умови доповняльностi. Отже, крайова задача в цилiндричнiй областi QT := (0, T ] × Ω, Ω ⊂ R n, з бiчною межею ΓT має вигляд A(t, x, ∂t, ∂x)u = f на QT , (6) B(t, x, ∂t, ∂x)u = g на ΓT , (7) C(x, ∂t, ∂x)u ∣ ∣ ∣ t=0 = ϕ на Ω. (8) Основним результатом працi [23] є доведення однозначної розв’язностi за- дачi (6) – (8) у гельдерових класах функцiй i для деякого вужчого класу систем також у класах W 2bs,s p x t (QT ). Крiм того, доводяться також точнi за показниками норм оцiнки розв’язкiв. Пiзнiше було доведено (див., наприклад, [28]), що для правильностi таких оцiнок умова доповняльностi є необхiдною. У працi [23] розглядаються також крайовi задачi в нецилiндричних областях. 6. Узагальнення параболiчних крайових задач. Розглянемо два найпростiшi узагальнення параболiчних крайових задач. 1. Параболiчнi задачi спряження. Нехай QT – цилiндрична або нецилiнд- рична область у просторi R n+1 з бiчною межею Γ2 T . Припускається, що область QT роздiлена внутрiшньою гiперповерхнею Γ1 T на двi неперетиннi пiдобластi Q1 T i Q2 T та в них заданi параболiчнi за Петровським системи, взагалi кажучи, рiзних порядкiв. Задача полягає у знаходженнi розв’язкiв цих систем, якi на Γ1 T задовольняють загальнi умови спряження, на Γ2 T – загальнi крайовi умови i при t = 0 – звичайнi початковi умови. Отже, задача має такий вигляд: Aνuν = f ν , ν ∈ {1, 2}, 2 ∑ ν=1 Sνuν ∣ ∣ ∣ Γ1 T = g1, Bu2 ∣ ∣ ∣ Γ2 T = g2, Cν 0 uν \|t=0 = ϕν , ν ∈ {1, 2}. (9) Частинним випадком задачi (9), очевидно, є крайова задача в областi QT для параболiчних за Петровським системи з коефiцiєнтами, якi мають розриви першого роду на гiперповерхнi Γ1 T , на якiй задаються умови спряження. Задача (9) називається параболiчною задачею спряження, якщо диферен- цiальний вираз B пов’язаний з диференцiальним виразом A2 звичайною умо- вою доповняльностi, а диференцiальнi вирази S1 i S2 пов’язанi з диференцiаль- ними виразами A1 i A2 аналогiчною умовою сумiсного накривання. Задачами вигляду (9) займалося чимало математикiв. Найзагальнiшi ре- зультати одержанi в працях М.В. Житарашу, серед яких видiлимо працю [29]. Про вплив iдей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорiї параболiчних систем 51 У нiй доведено, що при вiдповiдних припущеннях про гладкiсть коефiцiєн- тiв задачi та поверхонь Γ1 T i Γ2 T виконання умов доповняльностi та сумiсного накривання необхiдне i достатнє, щоб задача (9) була коректно розв’язною у просторах Гельдера i Соболєва-Слободецького. 2. Нелокальнi параболiчнi крайовi задачi. У працi [30] вивчена нелокальна параболiчна крайова задача такого типу. Зберiгаються вищенаведенi припу- щення щодо структури областi QT , але додатково припускається, що мiж по- верхнями Γ1 T i Γ2 T встановлено дифеоморфiзм спецiального типу. В пiдобластях Q1 T i Q2 T задаються загальнi параболiчнi системи. Задача полягає в знаходженнi розв’язкiв цих систем, якi при t = 0 задовольняють звичайнi початковi умови, а на Γ2 T – нелокальнi крайовi умови. Цi умови задаються лiнiйними диферен- цiальними спiввiдношеннями, якi зв’язують значення шуканих функцiй та їх похiдних у точках межi Γ2 T з їх значеннями на межi Γ1 T . Основною алгебраїчною умовою в цiй задачi є умова нелокального сумiсного накривання або нелокальна умова доповняльностi. 7. Матрицi Грiна параболiчних задач. Я.Б. Лопатинський заохочував i всебiчно пiдтримував дослiдження мат- риць Грiна крайових задач, тобто ядер iнтегральних операторiв, за допомогою яких зображуються розв’язки задач через їхнi правi частини. Такої пiдтримки зазнавали, зокрема, дослiдження матриць Грiна параболiчних крайових задач, задач спряження i нелокальних задач, якi проводили С.Д. Ейдельман, автор цiєї статтi та їхнi учнi (див., наприклад, працi [31 – 38]). 8. Параболiчнi початковi задачi Солонникова-Ейдельмана. У працях [39, 40] означено клас систем рiвнянь, якi природно узагальню- ють параболiчнi за Солонниковим системи [23] i системи, параболiчнi в сенсi Ейдельмана [14], сформульовано початковi задачi для таких систем (їх названо параболiчними початковими задачами Солонникова-Ейдельмана), тобто розг- лянуто задачi вигляду A(t, x, ∂t, ∂x)u = f, (t, x) ∈ (0, T ] × R n, C(x, ∂t, ∂x)u\|t=0 = ϕ, x ∈ R n, (10) де диференцiальний вираз C(x, ∂t, ∂x) задовольняє умову, аналогiчну умовi Ло- патинського. Встановлено однозначну розв’язнiсть задачi (10) в просторах Гельдера швидкозростаючих функцiй; точнi оцiнки норм розв’язкiв через вiдповiднi нор- ми f i ϕ; необхiднiсть умов параболiчностi системи i умови доповняльностi для правильностi таких оцiнок; коректну розв’язнiсть задачi (10) у просторах Соболєва-Слободецького. Зауваження. Усi статтi Я.Б. Лопатинського, на якi ми вище посилалися, увiй- шли до збiрника його вибраних праць [41]. 52 С.Д. Iвасишен 1. Iвасишен С.Д. Про розвиток iдей Я.Б. Лопатинського в теорiї параболiчних рiвнянь // Мат. студiї. – 2007. – 27, №1. – C. 70 – 76. 2. Лопатинский Я.Б. Фундаментальная система решений системы линейных дифферен- циальных уравнений эллиптического типа // Докл. АН СССР. – 1950. – 71, №3. – C. 433 – 436. 3. Лопатинский Я.Б. Фундаментальная система решений эллиптической системы линей- ных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 1951. – 3, №1. – C. 3 – 38. 4. Лопатинский Я.Б. Фундаментальные решения системы дифференциальных уравнений эллиптического типа // Укр. мат. журн. – 1951. – 3, №3. – C. 290 – 316. 5. Лопатинский Я.Б. Нормальные фундаментальные решения системы линейных диффе- ренциальных уравнений эллиптического типа // Докл. АН СССР. – 1951. – 78, №5. – C. 865 – 867. 6. Лопатинский Я.Б. Поведение решений линейной эллиптической системы в окрестности изолированной особой точки // Докл. АН СССР. – 1951. – 79, №5. – C. 727 – 730. 7. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы диф- ференциальных уравнений эллиптического типа к системе регулярных интегральных уравнений // Докл. АН УССР. – 1952. – №5. – C. 381 – 388. 8. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы диффе- ренциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953. – 5, №2. – C. 123 – 151. 9. Шапиро З.Я. Первая краевая задача для эллиптической системы дифференциальных уравнений // Мат. сб. – 1951. – 28, №1. – C. 55 – 78. 10. Лопатинский Я.Б. Формулы Фредгольма для систем линейных интегральных уравне- ний // Научн. зап. Львов. политехн. ин-та. Сер. физ.-мат. – 1956. – 38, №2. – C. 8 – 12. 11. Лопатинский Я.Б. Интегральные уравнения с аналитическим ядром // Научн. зап. Львов. ун-та. Сер. мех.-мат. – 1957. – 44, №8. – C. 200 – 203. 12. Лопатинский Я.Б. Об одном типе сингулярных интегральных уравнений // Теор. и прикл. мат. – Львов, 1963. – Вып. 2. – C. 53 – 57. 13. Эйдельман С.Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с. 14. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. −→ 2b-параболические системы // Тр. семинара по функц. анализу. – К.: Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3 – 175. 15. Возняк О.Г., Iвасишен С.Д. Задача Кошi для параболiчних систем з виродженням на початковiй гiперплощинi // Доп. АН України. – 1994. – №6. – С. 7 – 11. 16. Мединський I.П., Iвасишен С.Д. Про коректну розв’язнiсть параболiчних систем з ви- родженням на початковiй гiперплощинi // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 76. Математика. – Чернiвцi: Рута, 2000. – С. 71 – 76. 17. Iвасишен С.Д., Пасiчник Г.С. Про задачу Кошi для −→ 2b-параболiчних систем зi зростаю- чими коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, №11. – C. 1484 – 1496. 18. Балабушенко Т.М., Iвасишен С.Д. Про властивостi розв’язкiв −→ 2b-параболiчних систем у необмежених за часовою змiнною областях // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2002. – 45, №4. – C. 19 – 26. 19. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. – Basel etc: Birkhäuser, 2005. – 390 p. – (Oper. Theory: Adv. and Appl. Vol. 152). 20. Iвасишен С.Д. Самуїл Давидович Ейдельман. Життєвий шлях. Основнi здобутки. – Чер- нiвцi: Рута, 2006. – 87 с. 21. Матiйчук М.I. Параболiчнi та елiптичнi задачi у просторах Дiнi. – Чернiвцi, 2010. – 248 с. 22. Загорский Т.Я. Смешанные задачи для систем дифференциальных уравнений с частны- Про вплив iдей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорiї параболiчних систем 53 ми производными параболического типа. – Львов, 1961. – 115 с. 23. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифферен- циальных уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3 – 163. 24. Эйдельман С.Д., Липко Б.Я. О краевых задачах для параболических систем в областях общего вида // Докл. АН СССР. – 1963. – 150, №1. – C. 58 – 61. 25. Липко Б.Я., Эйдельман С.Д. К теории параболических потенциалов // Докл. АН СССР. – 1966. – 166, №5. – C. 1050 – 1053. 26. Лопатинский Я.Б. Разложение полиномиальной матрицы на множители // Научн. зап. Львов. политехн. ин-та. Сер. физ.-мат. – 1956. – 38, №2. – C. 3 – 7. 27. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, №3. – C. 53 – 161. 28. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные урав- нения параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с. 29. Житарашу Н.В. Шаудеровские оценки и разрешимость общих краевых задач для общих параболических систем с разрывными коэффициентами // Докл. АН СССР. – 1966. – 169, №3. – C. 511 – 514. 30. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. Об одной нелокальной параболической граничной задаче // Мат. исследования. – Кишинев, 1970. – 5, №3. – C. 83 – 100. 31. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболиче- ской граничной задачи // Тр. Моск. Мат. о-ва. – 1970. – 23. – С. 179 – 234. 32. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – К.: Выща школа, 1990. – 200 с. 33. Дринь М.М., Ивасишен С.Д. Матрица Грина общей граничной задачи для параболиче- ской по И.Г.Петровскому системы с разрывными коэффициентами // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1984. – №11. – C. 7 – 10. 34. Дринь М.М., Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических задач сопряжения // Чер- новиц. ун-т. – Черновцы, 1984. – 95 с. – Деп. в УкрНИИНТИ 07.02.85, № 252Ук-85Деп. 35. Дубровская А.П. Об операторах Грина нелокальной параболической граничной задачи // Операторные методы в дифференциальных уравнениях. – Воронеж, 1979. – С. 40 – 45. 36. Матiйчук М.I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. – Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. – 176 с. 37. Матiйчук М.I. Параболiчнi та елiптичнi крайовi задачi з особливостями. – Чернiвцi: Прут, 2003. – 248 с. 38. Пукальський I.Д. Крайовi задачi для нерiвномiрно параболiчних та елiптичних рiвнянь з виродженнями i особливостями. – Чернiвцi: Рута, 2008. – 253 с. 39. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Коректна розв’язнiсть параболiчних початкових задач Солон- никова-Ейдельмана // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, №5. – С. 650 – 671. 40. Iвасишен С.Д., Iвасюк Г.П. Про коректну розв’язнiсть параболiчних початкових задач Солонникова-Ейдельмана в узагальнених просторах Соболєва // Доп. НАН України. – 2010. – №10. – С. 14 – 17. 41. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач. Избр. тр. – Киев: Наук. думка, 1984. – 316 с. Нацiональний технiчний унiверситет України ”Київський полiтехнiчний iнститут”, пр. Перемоги, 37, 03056, м. Київ ivasyshen_sd@mail.ru Отримано 8.02.11

Про вплив ідей Я.Б. Лопатинського на розвиток теорії параболічних систем

Institution

Similar Items