Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням
Встановлено необхiднi та достатнi умови вибору оптимального керування системи, що описується нелокальною параболiчною крайовою задачею з обмеженим внутрiшнiм i фiнальним керуванням. Критерiй якостi задано сумою об’ємного i поверхневого iнтегралiв....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Нелинейные граничные задачи |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124287 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням / І.Д. Пукальський // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 116-128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859876289097236480 |
|---|---|
| author | Пукальський, І.Д. |
| author_facet | Пукальський, І.Д. |
| citation_txt | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням / І.Д. Пукальський // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 116-128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Нелинейные граничные задачи |
| description | Встановлено необхiднi та достатнi умови вибору оптимального керування системи, що описується нелокальною параболiчною крайовою задачею з обмеженим внутрiшнiм i фiнальним керуванням. Критерiй якостi задано сумою об’ємного i поверхневого iнтегралiв.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:51:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
116 Нелинейные граничные задачи 20, 116-128 (2010)
c©2010. I. Д. Пукальський
НЕЛОКАЛЬНА ПАРАБОЛIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА
З ВНУТРIШНIМ I ФIНАЛЬНИМ КЕРУВАННЯМ
Встановлено необхiднi та достатнi умови вибору оптимального керування системи, що
описується нелокальною параболiчною крайовою задачею з обмеженим внутрiшнiм i фiналь-
ним керуванням. Критерiй якостi задано сумою об’ємного i поверхневого iнтегралiв.
Ключовi слова: крайова задача, функцiя Грiна, нелокальна умова, оптимальне керу-
вання, функцiонал якостi
MSC (2000): 93С20, 93С30, 35K40, 35К60
В сучасних прикладних i теоретичних дослiдженнях дуже часто зустрiча-
ються задачi, пов’язанi з вiдшуканням оптимальних значень певних величин.
Зокрема, задачам мiнiмiзацiї функцiоналiв на траєкторiях систем рiвнянь з
частинними похiдними присвячено працi [1, 2, 5 – 9].
Необхiднiсть оптимального керування процесами, що описуються рiвнян-
нями параболiчного типу, виникає при розв’язаннi багатьох задач. Зокрема,
при дослiдженнi процесiв нагрiвання i охолодження масивних елементiв кон-
струкцiй, поширення полiв температури або концентрацiї. Вивчення таких за-
дач проводилося в [3, 4, 11].
У цiй статтi розглядається задача вибору оптимального керування систе-
мами, що описуються параболiчною крайовою задачею з нелокальною умовою
за часовою змiнною i обмеженими внутрiшнiм i фiнальним керуваннями. Функ-
цiонал якостi визначається сумою об’ємного i поверхневого iнтегралiв.
1. Постановка задачi та основнi обмеження.
Нехай T , T1 – заданi додатнi числа, 0 < T ≤ T1, D – обмежена область
в R
n з межею ∂D. В областi Q = (0, T1) × D розглянемо задачу знаходження
функцiй (u, u2b, ω2b), на яких функцiонал
I(u2b, ω2b) =
T
∫
0
dt
∫
D
F1(t, x;−→u )dx +
∫
D
F2(x;−→ω )dx (1)
досягає мiнiмуму в класi функцiй V = {u2b(t, x) ∈ Cα(Q), p1(t, x) ≤ u2b ≤
p2(t, x);ω2b(x) ∈ C(D), q1(x) ≤ ω2b(x) ≤ q2(x)}, iз яких u(t, x;u2b, ω2b) є розв’яз-
ком нелокальної параболiчної крайової задачi
(Lu)(t, x) ≡
∂t −
∑
|k|≤2b
Ak(t, x)∂k
x
u = f(t, x, u2b), (2)
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 117
u(0, x;u2b(0, x), ω2b(0, x)) + Ru(T, x;u2b(T, x), ω2b(x)) = ϕ(x, ω2b), (3)
(Biu)(t, x)|Γ ≡
∑
|k|≤ri
b
(i)
k (t, x)∂k
xu
∣
∣
∣
∣
∣
Γ
= gi(t, x), (4)
де
0 ≤ ri ≤ 2b − 1, i ∈ {1, . . . , b},
−→u = (u, ∂xu, . . . , ∂2b−1
x u, u2b) ≡ (u0, u1, . . . , u2b−1, u2b),
−→ω = (u0|t=T , . . . , u2b−1|t=T , ω2b) ≡ (ω0, . . . , ω2b),
Ru ≡
∑
|k|≤2b−1
dk(T, x)∂k
xu(T, x;u2b(T, x), ω2b(x)), Γ = [0, T ) × ∂D.
Нехай для задачi (1) – (4) виконуються умови:
1) крайова задача
(Lv)(t, x) = f0(t, x), v(0, x) = 0, (Biv)(t, x)|Γ = gi(t, x) (5)
є параболiчною [10] i Ak(t, x) ∈ Cα(Q), b
(i)
k ∈ C2b−ri+α(Γ), ∂D ∈ C2b+α, p1 ∈
Cα(Q), p2 ∈ Cα(Q), f(t, x, u2b(t, x)) як функцiя (t, x) належить простору Cα(Q)
i має гельдерову похiдну другого порядку за u2b, неперервну як функцiю (t, x);
2) функцiя ϕ(x, ω2b) як функцiя x належить простору C(D) i має гель-
дерову похiдну другого порядку за ω2b, неперервну як функцiю змiнної x,
q1(x) ∈ C(D), q2(x) ∈ C(D), gi(t, x) ∈ C2b−ri+α(Γ), gi(0, x) = 0, dk(T, x) ∈ C(D);
3) функцiї F1(t, x;−→u ) та F2(x,−→ω ) визначенi вiдповiдно в областях M1 =
Q × R2b × [p1, p2], M2 = D × R2b × [q1, q2] мають гельдеровi похiднi другого
порядку за uj , ωj , j = {0, 1, . . . , 2b}, як функцiї змiнних (t, x) i x належать
вiдповiдно до просторiв C(Q), C(D).
2. Коректна розв’язнiсть нелокальної параболiчної крайової за-
дачi..
Для встановлення розв’язностi задачi (1) – (4) потрiбно встановити корект-
ну розв’язнiсть параболiчної крайової задачi з нелокальною диференцiальною
умовою за часовою змiнною.
Розглянемо в областi Q задачу знаходження розв’язку рiвняння
(Lv)(t, x) = f0(t, x), (6)
який задовольняє нелокальну умову
v(0, x) + Rv(T, x) = ϕ0(x), (7)
118 I. Д. Пукальський
а на бiчнiй поверхнi крайову умову
(Biv)(t, x)|Γ = gi(t, x), (8)
Нехай G(t, x, τ, ξ) – функцiї Грiна однорiдної крайової задачi
(Lu)(t, x) = f0(t, x), u(0, x) = ϕ(x), (Biu)(t, x)|Γ = 0 (9)
побудованої в [11]. Позначимо
r(x) =
∫
D
|RG(T, x, 0, ξ)|dξ.
Правильна така теорема.
Теорема 1. Нехай для коефiцiєнтiв операторiв L, Bi, функцiй gi(t, x) i
поверхнi ∂D виконанi умови 1), 2). Функцiї f0(t, x) ∈ Cα(Q), ϕ0(x) ∈ C(D),
r(x) ≤ K < 1. Тодi iснує розв’язок задачi (6) – (8) i для нього правильна оцiнка
∣
∣
∣
∣
∣
tj+
|k|
2b ∂
j
t ∂
k
xu
∣
∣
∣
∣
∣
≤ c(‖f0‖Cα(Q) + ‖ϕ0‖C(D) +
b
∑
i=1
‖gi‖C2b−ri+α(Γ)), (10)
(|k| + 2bj ≤ 2b).
Доведення. Розв’язок задачi (6) – (8) шукаємо у виглядi
v(t, x) =
∫
D
G(t, x, 0, ξ)v(0, ξ)dξ + ω(t, x), (11)
де ω(t, x) – розв’язок задачi (5). За теоремою 2.3 [11, стор. 61] для ω(t, x) вико-
нується оцiнка
‖ω‖C2b+α(Q) ≤ c(‖f0‖Cα(Q) +
b
∑
i=1
‖gi‖C2b−ri+α(Γ)) ≡ cB(f0,
−→g ). (12)
Задовольнивши нелокальну умову (7), маємо
v(0, x) +
∫
D
RG(T, x, 0, ξ)v(0, ξ)dξ = ϕ0(x) − Rω(T, x) ≡ F (x). (13)
Розв’язок iнтегрального рiвняння (13) шукаємо методом послiдовних наб-
лижень. Враховуючи обмеження на функцiю r(x), зазначенi у теоремi 1, визна-
чаємо розв’язок рiвняння (13) у виглядi
v(0, x) = F (x) +
∫
D
Φ(x, y)F (y)dy, (14)
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 119
де Φ(x, y) – резольвента, яка задовольняє iнтегральне рiвняння
Φ(x, y) = RG(T, x, 0, ξ) +
∫
D
RG(T, x, 0, ξ)Φ(ξ, y)dξ,
з якого отримуємо оцiнки
∣
∣
∣
∣
∣
∫
D
Φ(x, y)dy
∣
∣
∣
∣
∣
≤
K
1 − K
, |Φ(x, y)| ≤ C(T ) exp
{
− c
n
∑
i=1
(xi − yi
T 1/2b
) 2b
2b−1
}
. (15)
Отже, з урахуванням (15), для розв’язку iнтегрального рiвняння (13) одер-
жуємо оцiнку
|v(0, x)| ≤ c|F |C(Q). (16)
Пiдставляючи (14) у (11) i враховуючи нерiвнiсть (16) i оцiнки функцiї
Грiна G(t, x, τ, ξ)
|∂k
xG(t, x, τ, ξ)| ≤ c(t − τ)−
n+|k|
2b exp
{
− c
n
∑
i=1
( xi − ξi
(t − τ)1/(2b)
)
2b
2b−1
}
, (17)
будемо мати v(T, x) ∈ C2b+α(Q ∩ (t = T )) i
|∂k
xv(T, x)| ≤ c(T )(‖ϕ0‖C(D) + B(f0,
−→g )), |k| ≤ 2b. (18)
Для доведення нерiвностей (10) задачу (6) – (8) запишемо у вигляi
(Lv)(t, x) = f0(t, x), (Biv)(t, x)|Γ = gi(t, x),
v(0, x) = ϕ0(x) − Rv(T, x).
Використовуючи оцiнки функцiї Грiна (17) i зображення
v(t, x) =
∫
D
G(t, x, 0, ξ)[ϕ0(ξ) − Rv(T, ξ)]dξ + ω(t, x),
отримаємо оцiнки (10).
Встановимо зображення розв’язку однорiдної нелокальної крайової задачi
(6) – (8) при gi(t, x) ≡ 0. Правильна така теорема.
Теорема 2. Якщо виконанi умови теореми 1, gi(t, x) = 0, i ∈ {1, 2, . . . , b},
то iснує функцiя Грiна (G,E,E1) однорiдної задачi (6) – (8) i розв’язок цiєї
задачi визначається формулою
v(t, x) =
t
∫
0
dτ
∫
D
G(t, x, τ, ξ)f0(τ, ξ)dξ +
∫
D
E(t, x, 0, ξ)ϕ0(ξ)dξ−
120 I. Д. Пукальський
−
T
∫
0
dτ
∫
D
E1(T, t, x, τ, ξ)f0(τ, ξ)dξ. (19)
Доведення. Пiдставляючи у формулу (13) замiсть F (x) значення
F (x) = ϕ0(x) −
T
∫
0
dτ
∫
D
RG(T, x, τ, ξ)f0(τ, ξ)dξ
i змiнюючи порядок iнтегрування, отримуємо
v(0, x) = ϕ0(x) +
∫
D
Φ(x, y)ϕ0(y)dy −
T
∫
0
dτ
∫
D
[
RG(T, x, τ, ξ)+
+
∫
D
Φ(ξ, y)RG(T, y, τ, ξ)dy
]
f0(τ, ξ)dξ.
Пiдставляючи значення v(0, x) у поверхневий iнтеграл рiвностi (11) i змi-
нивши порядок iнтегрування, одержимо зображення (19), де
E(t, x, 0, ξ) = G(t, x, 0, ξ) +
∫
D
G(t, x, 0, y)Φ(y, ξ)dy, (20)
E1(T, t, x, τ, ξ) =
∫
D
G(t, x, 0, y)
[
RG(T, y, τ, ξ) +
∫
D
Φ(y, z)RG(T, z, τ, ξ)dz
]
dy.
3. Задача оптимального керування.
Позначимо через
λ(τ, ξ) =
2b−1
∑
|k|=0
{ T
∫
τ
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u )∂k
xG(t, x, τ, ξ)dx−
−
T
∫
0
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u )∂k
xE1(T, t, x, τ, ξ)dx+
+
∫
D
∂ωk
F2(x;−→ω )(∂k
xG(T, x, τ, ξ) − ∂k
xE1(T, T, x, τ, ξ))dx
}
,
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 121
µ(ξ) =
2b−1
∑
|k|=0
{ T
∫
0
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u )∂k
xE(T, x, 0, ξ)dx+
+
∫
D
∂ωk
F2(x;−→ω )∂k
xE(T, x, 0, ξ)dx
}
,
H1(
−→u , λ) = F1(t, x;−→u ) + λ(t, x)f(t, x, u2b),
H2(
−→ω , µ) = F2(x;−→ω ) + µ(x)ϕ(x, ω2b).
Сформулюємо умови оптимальностi (u2b, ω2b).
Теорема 3. Якщо функцiї H1(
−→u , λ), H2(
−→ω , µ) вiдповiдно за аргументами
u2b i ω2b є монотонно зростаючими, то оптимальне керування u
(0)
2b = p1(t, x),
ω
(0)
2b = q1(x), а оптимальним розв’язком задачi (2) – (4) є u(t, x; p1, q1).
Якщо функцiї H1(
−→u , λ), H2(
−→ω , µ) вiдповiдно за аргументами u2b i ω2b є
монотонно спадними, то оптимальне керування u
(0)
2b = p2(t, x), ω
(0)
2b = q2(x),
а оптимальним розв’язком задачi (2) – (4) є u(t, x; p2, q2).
Якщо функцiя H1(
−→u , λ) за аргументом u2b є монотонно спадною, а H2(
−→ω , µ)
за аргументом ω2b є монотонно зростаючою, то оптимальним є керування
(p2, q1), а оптимальним розв’язком задачi (2) – (4) є u(t, x; p2, q1).
Якщо функцiя H2(
−→ω , µ) за аргументом ω2b є монотонно спадною, а H1(
−→u , λ)
за аргументом u2b є монотонно зростаючою, то оптимальним є керування
(p1, q2), а оптимальним розв’язком задачi (2) – (4) є u(t, x; p1, q2).
Доведення. Нехай ∆u2b – деякий допустимий прирiст керування u2b(t, x),
в ∆ω2b – деякий допустимий прирiст керування ω2b(x). Позначимо через ∆uu0
вiдповiдний прирiст розв’язку u0(t, x;u2b, ω2b) за керуванням u2b(t, x), а ∆ωu0
– вiдповiдний прирiст розв’язку u0(t, x;u2b, ω2b) за керуванням ω2b(x).
Прирiст ∆uu0 є розв’язком крайової задачi
(L∆uu)(t, x) = f(t, x, u2b + ∆u2b) − f(t, x, u2b) ≡ ∆f(t, x),
∆uu(0, x;u2b(0, x), ω2b(x)) + R∆uu(T, x;u2b(T, x), ω2b(x)) = 0, (21)
(Bi∆uu)(t, x)|Γ = 0.
Використовуючи формулу (19) маємо зображення розв’язку задачi (21):
∆uu0 =
t
∫
0
dτ
∫
D
G(t, x, τ, ξ)∆f(τ, ξ)dξ−
−
T
∫
0
dτ
∫
D
E1(T, t, x, τ, ξ)∆f(τ, ξ)dξ. (22)
122 I. Д. Пукальський
Враховуючи оцiнки (15), (17) i формули (20), продиференцiюємо рiвнiсть
(22) за змiнною x до порядку 2b − 1. Маємо
∆uuk =
t
∫
0
dτ
∫
D
∂k
xG(t, x, τ, ξ)∆f(τ, ξ)dξ−
−
T
∫
0
dτ
∫
D
∂k
xE1(T, t, x, τ, ξ)∆f(τ, ξ)dξ (23)
(|k| ≤ 2b − 1).
Прирiст ∆ωu0 є розв’язком крайової задачi
(L∆ωu)(t, x) = 0, (Bi∆ωu)(t, x)|Γ = 0,
∆ωu(0, x;u2b(0, x), ω2b(x)) + R∆ωu(T, x;u2b(T, x), ω2b(x)) =
= ϕ(x, ω2b + ∆ω2b) − ϕ(x, ω2b) ≡ ∆ϕ(x). (24)
Використовуючи формулу (19) маємо зображення розв’язку задачi (24):
∆ωu0 =
∫
D
E(t, x, 0, ξ)∆ϕ(ξ)dξ. (25)
Враховуючи оцiнки (15), (17) i формули (20), продиференцiюємо рiвнiсть
(25) за змiнною x до порядку 2b − 1. Маємо
∆ωuk =
∫
D
∂k
xE(t, x, 0, ξ)∆ϕ(ξ)dξ (26)
(|k| ≤ 2b − 1).
Для знаходження приросту ∆I(u2b, ω2b) скористаємося формулою Тейлора
для функцiй F1(t, x;−→u ), F2(x;−→ω ) за аргументами uj , ωj. Враховуючи, що
∆ωuk|t=T = ∆ωωk (|k| ≤ 2b − 1),
маємо
∆I(u2b, ω2b) =
2b−1
∑
|k|=0
{ T
∫
0
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u )(∆uuk + ∆ωuk)
}
dx+
+
T
∫
0
dt
∫
D
{∂u2b
F1(t, x;−→u )∆u2b + O(|∆−→u |2)}dx+
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 123
+
2b−1
∑
|k|=0
{
∫
D
∂ωk
F2(x;−→ω )(∆uωk + ∆ωωk)
}
dx+
+
∫
D
{∂ω2b
F2(x;−→ω )∆ω2b + O(|∆−→ω |2)}dx,
де |∆−→u |2 =
2b
∑
|k|=0
(∆uuk)
2, |∆−→ω |2 =
2b
∑
|k|=0
(∆ωωk)
2.
Пiдставимо ∆uuk, ∆ωuk, ∆uωk, ∆ωωk iз формул (22), (23), (25), (26) у
лiнiйну частину приросту функцiоналу (27) i помiняємо порядок iнтегрування.
Отримаємо зображення ∆I(u2b, ω2b) за допомогою функцiй H1(
−→u , λ), H2(
−→ω , µ):
∆I(u2b, ω2b) =
T
∫
0
dt
∫
D
{∂u2b
H1(
−→u , λ)∆u2b + O(|∆−→u |2)}dx+
+
∫
D
{∂ω2b
H2(
−→ω , µ)∆ω2b + O(|∆−→ω |2)}dx. (28)
Якщо функцiї H1(
−→u , λ), H2(
−→ω , µ) задовольняють умови теореми 3 i опти-
мальним керуванням є (u
(0)
2b , ω
0(
2b), то пiдставивши у формулу (28) u2b = u
(0)
2b ,
ω2b = ω
(0)
2b при досить малих ∆u2b i ∆ω2b дiстанемо ∆I > 0.
Нехай (u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) – оптимальне керування, тобто ∆I > 0. Перевiримо ви-
конання умов теореми 3. Якщо H1(
−→u , λ) i H2(
−→ω , µ) не є монотонними за аргу-
ментами u2b, ω2b вiдповiдно, то ∂u2b
H1(
−→u , λ) i ∂ω2b
H2(
−→ω , µ) – знакозмiннi вели-
чини. Нехай ∂u2b
H1(
−→u , λ) > 0 в Q+ ⊂ Q i ∂u2b
H1(
−→u , λ) < 0 в Q− = Q \ Q+, а
∂ω2b
H2(
−→ω , µ) > 0 в D+ ⊂ D i ∂ω2b
H2(
−→ω , µ) < 0 в D− = D\D+. Використовуючи
теорему про середнє значення, маємо
∆I = ∂u2b
H+
1 (−→u , λ)
∫∫
Q+
∆u2bdxdt − |∂u2b
H−
1 (−→u , λ)|
∫ ∫
Q\Q+
∆u2bdxdt+
+∂ω2b
H+
2 (−→ω , µ)
∫
D+
∆ω2bdx − |∂ω2b
H−
2 (−→ω , µ)|
∫
D\D+
∆ω2bdx+
+
∫∫
Q
O(|∆−→u |2)dxdt +
∫
D
O(|∆−→ω |2)dx.
При досить малих ∆u2b, ∆ω2b знак ∆I визначається першими двома пара-
ми доданкiв. Рiзниця перших двох доданкiв змiнює знак ∆I в залежностi вiд
124 I. Д. Пукальський
величини значень mesQ+, mesQ−, ∆u2b. Рiзниця наступних двох доданкiв змi-
нює знак ∆I в залежностi вiд величини значень mesD+, mesD−, ∆ω2b. Отже,
функцiонал не досягає мiнiмуму.
Теорема 4. Нехай функцiї H1(
−→u , λ), H2(
−→ω , µ) немонотоннi за аргумен-
тами u2b i ω2b вiдповiдно. Для того, щоб керування (u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) i вiдповiдний
розв’язок крайової задачi (2) – (4) u(t, x;u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) були оптимальними, необ-
хiдно та достатньо, щоб виконувалися умови:
а) функцiя H1(
−→u , λ) за аргументом u2b має в точцi u
(0)
2b мiнiмальне зна-
чення;
б) функцiя H2(
−→ω , µ) за аргументом ω2b має в точцi ω
(0)
2b мiнiмальне зна-
чення;
в) для довiльного вектора e = (e0, . . . , e2b) 6= 0 i (t, x) ∈ Q виконується
нерiвнiсть
K1(t, x; e) =
2b−1
∑
i=0
2b
∑
j=0
∂2
uiuj
F1(t, x,−→u (0))eiej − λ(t, x)∂2
u2b
f(t, x, u
(0)
2b )e2
2b ≥ 0;
г) для довiльного вектора ν = (ν0, . . . , ν2b) 6= 0 i x ∈ D виконується нерiв-
нiсть
K2(x; ν) =
2b−1
∑
i=0
2b
∑
j=0
∂2
uiuj
F2(x;−→ω (0))νiνj − µ(x)∂2
ω2b
ϕ(x, ω
(0)
2b )ν2
2b ≥ 0.
Доведення. Достатнiсть. Нехай керування (u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) задовольняє умови
а) – г). Покажемо його оптимальнiсть. Використовуючи формули (27), (28) i
умову гельдеровостi других похiдних функцiй F1, F2, f , ϕ за змiнними ui, ωi,
знаходимо прирiст функцiоналу I(u2b, ω2b):
∆I =
T
∫
0
dt
∫
D
{
∂u2b
H1(
−→u (0), λ)∆u2b +
1
2
∂2
u2b
H1(
−→u (0), λ)(∆u2b)
2 +
1
2
K1(t, x;∆u)+
+O(|∆−→u |2+α)}dx +
∫
D
{
∂ω2b
H2(
−→ω (0), µ)∆ω2b +
1
2
∂2
ω2b
H2(
−→ω (0), µ)(∆ω2b)
2+
+
1
2
K2(x;∆ω) + O(|∆−→ω |2+α)}dx. (29)
Оцiнимо прирiст ∆I(u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) знизу. За умовами а), б) теореми 4
∂u2b
H1(
−→u , λ) = 0, ∂ω2b
H2(
−→ω , µ) = 0 i ∂2
u2b
H1(
−→u , λ) > 0, ∂2
ω2b
H2(
−→ω , µ) > 0.
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 125
Тому, враховуючи умови в), г), правильнi нерiвностi
N1(t, x; e) ≡ ∂2
u2b
H1(
−→u (0), λ)e2
2b + K1(t, x; e) =
2b
∑
i,j=0
∂2
uiuj
F1(t, x;−→u (0))eiej > 0,
N2(x; ν) ≡ ∂2
ω2b
H2(
−→ω (0), µ)ν2
2b + K2(x; ν) =
2b
∑
i,j=0
∂2
ωiωj
F2(x;−→ω (0))νiνj > 0. (30)
Отже, для квадратичних форм N1(t, x; e) i N2(x; ν) iснують додатнi функ-
цiї δ1(t, x) = inf
|z|=1
N1(t, x; z) > 0 i δ2(x) = inf
|z|=1
N2(x; z) > 0, внаслiдок чого
∆I(u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) ≥
1
2
T
∫
0
dt
∫
D
[δ1(t, x) − O(|∆−→u |α)]|∆−→u |2dx+
+
1
2
∫
D
[δ2(x) − O(|∆−→ω |α)]|∆−→ω |2dx > 0
при досить малих ∆u2b i ∆ω2b.
Необхiднiсть. Нехай (u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) – оптимальне керування, тобто ∆I > 0. Пе-
ревiримо виконання умов а) – г) теореми 4. Якщо ∂u2b
H1(
−→u , λ) 6= 0, ∂ω2b
H2(
−→ω , µ) 6=
0, то вибираючи досить малi рiзнi за знаком в областi Q прирости ∆u2b i рiзнi
за знаком в областi D прирости ∆ω2b, iз формули
∆I(u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) =
T
∫
0
dt
∫
D
[∂u2b
H1(
−→u (0), λ)∆u2b + O(|∆−→u |2)]dx+
+
∫
D
[∂ω2b
H2(
−→ω (0), µ)∆ω2b + O(|∆−→ω |2)]dx
одержимо, що ∆I змiнює знак в залежностi вiд знакiв величин ∆u2b, ∆ω2b. Це
суперечить умовi ∆I > 0. Визначимо знак функцiй ∂u2b
H1(
−→u , λ) i ∂ω2b
H2(
−→ω , µ)
в околi значень u
(0)
2b i ω
(0)
2b вiдповiдно. Запишемо прирiст ∆I у виглядi
∆I(u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) =
T
∫
0
dt
∫
D
∂u2b
H1(u0, . . . , u2b−1, u2b + ε1∆u2b, λ)∆u2bdx+
+
∫
D
∂ω2b
H2(ω0, . . . , ω2b−1, ω2b + ε2∆ω2b, µ)∆ω2bdx,
де ε1 ∈ (0, 1), ε2 ∈ (0, 1).
126 I. Д. Пукальський
При досить малих ∆u2b i ∆ω2b iз умови ∆I > 0 випливає, що
∂u2bH1(u0, . . . , u2b−1, u2b + ε1∆u2b, λ)∆u2b > 0
i
∂ω2bH2(ω0, . . . , ω2b−1, ω2b + ε2∆ω2b, µ)∆ω2b > 0.
Тобто ∂u2bH1 < 0 при u2b < u
(0)
2b i ∂u2bH1 > 0 при u2b > u
(0)
2b , а також ∂ω2bH2 < 0
при ω2b < ω
(0)
2b i ∂ω2bH2 > 0 при ω2b > ω
(0)
2b . Тому при значеннi u2b = u
(0)
2b функцiя
H1(
−→u , λ) досягає мiнiмуму i функцiя H2(
−→ω , µ) досягає мiнiмуму при значеннi
ω2b = ω
(0)
2b .
Якщо N1(t, x;∆u) < 0 i N2(x;∆ω) < 0, то з формули (29) одержуємо
∆I ≤ 0, що неможливо.
Нехай N1(t, x;∆u) > 0 в областi Q1 ⊂ Q i N1(t, x;∆u) < 0 в Q2 = Q \Q1, а
N2(x;∆ω) > 0 в областi D1 ⊂ D i N2(x;∆ω) < 0 в D2 = D\D1. Використовуючи
теорему про середнє для приросту ∆I маємо
∆I =
1
2
N+
1 (t, x;∆u)mesQ1 −
1
2
|N−
1 (t, x;∆u)|mesQ2 +
1
2
N+
2 (x;∆ω)mesD1−
−
1
2
|N−
2 (x;∆ω)|mesD2 +
T
∫
0
dt
∫
D
O(|∆−→u |2+α)dx +
∫
D
O(|∆−→ω |2+α)dx.
При досить малих ∆u2b i ∆ω2b знак ∆I(u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) визначається перши-
ми двома парами доданкiв. Рiзниця цих пар змiнює знак залежно вiд величи-
ни значень mesQ1, mesQ2, mesD1, mesD2. Отже, при знакозмiнних величинах
K1(t, x;∆u), K2(x;∆ω) функцiонал I(u2b, ω2b) не досягає мiнiмуму.
Iснування (u
(0)
0 , u
(0)
2b , ω
(0)
2b ) встановлюється наступним чином. Нехай (u
(0)
2b , ω
(0)
2b )
– оптимальнi, тобто ∂u2b
H1(
−→u (0), λ) = 0, ∂ω2b
H2(
−→ω (0), µ) = 0 i ∂2
u2b
H1(
−→u (0), λ) >
0, ∂2
ω2b
H2(
−→ω (0), µ) > 0. Застосовуючи теореми про неявну функцiю до рiвнянь
∂u2b
H1(
−→u (0), λ) = 0, ∂ω2b
H2(
−→ω (0), µ) = 0, одержуємо
u
(0)
2b = Φ1(u
(0)
0 , . . . , u
(0)
2b−1, λ).
ω
(0)
2b = Φ2(ω
(0)
0 , . . . , ω
(0)
2b−1, µ). (31)
Використовуючи функцiю Грiна (G,E,E1), формули (19), (23), (31), поста-
вимо у вiдповiднiсть задачi (1) – (4) систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь
u
(0)
k =
T
∫
0
dt
∫
D
∂k
xG(t, x, τ, ξ)[f(τ, ξ,Φ1(u
(0)
0 , . . . , u
(0)
2b−1, λ)) − f(τ, ξ, 0)]dξ+
Нелокальна параболiчна крайова задача з внутрiшнiм i фiнальним керуванням 127
+
∫
D
∂k
xE(t, x, 0, ξ)ϕ(ξ,Φ2(ω
(0)
1 , . . . , ω
(0)
2b−1, µ))dξ + ∂k
xW (t, x) −
∫
D
∂k
xE(t, x, 0, ξ)×
×RW (T, ξ)dξ +
T
∫
0
dτ
∫
D
∂k
xE1(T, t, x, τ, ξ)[f(τ, ξ,Φ1(u
(0)
0 , . . . , u
(0)
2b−1, λ))−
−f(τ, ξ, 0)]dξ, ω
(0)
k = u
(0)
k |t=T , (|k| ≤ 2b − 1),
λ(τ, ξ) =
2b−1
∑
|k|=0
{ T
∫
τ
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u (0))∂k
xG(t, x, τ, ξ)dx−
−
T
∫
0
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x
−→u (0))∂k
xE1(T, t, x, τ, ξ)dx −
∫
D
∂ωk
F2(x;−→ω (0))×
×[∂k
xG(T, x, τ, ξ)dx − ∂k
xE1(T, t, x, τ, ξ)]dx
}
, (32)
µ(ξ) =
2b−1
∑
|k|=0
{ T
∫
0
dt
∫
D
∂uk
F1(t, x;−→u (0))∂k
xE(t, x, 0, ξ)dx+
+
∫
D
∂ωk
F2(x;−→ω (0))∂k
xE(T, x, 0, ξ)dx
}
,
де W (t, x) – розв’язок крайової задачi
(LW )(t, x) = f(t, x, 0), W (0, x) = 0, (BiW )(t, x)|Γ = gi(t, x).
Розв’язок системи (32) знаходимо методом послiдовних наближень.
Зауваження. Використовуючи методику доведення теорем 3, 4 можна
встановити умови iснування розв’язку задачi (1) – (4) у випадку монотонностi
однiєї iз функцiй H1, H2 за аргументом u2b i ω2b вiдповiдно i немонотонностi
iншої.
1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – М.: Наука, 1980. – 383 с.
2. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. – М.: Наука,
1975. – 478 с.
3. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. – Киев: На-
ук. думка, 1988. – 312 с.
4. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с част-
ными производными. – М.: Мир, 1972. – 614 с.
5. Ильин В.А., Мойсеев Е.И. Оптимизация за произвольный достаточно большой проме-
жуток времени T управления упругими граничными силами на двух концах струны //
Докл. РАН. – 2007. – Т. 417, № 4. – С. 456 – 463.
128 I. Д. Пукальський
6. Rösch A., Tröltzsch F. Existence of regular Lagrange multipliers for a nonlinear elliptic
optimal control problem win pointwise control-state constraints // SIAM J. Contr. and
Optimiz. – 2006. – 45, № 2. – P. 548 – 564.
7. Wang Gengsheng, Wang Lijuan, Yang Donghui. Shape optimization of an elliptic equation in
an exterior domain // SIAM J. Contr. and Optimiz. – 2006. – 45, № 2. – P. 532 – 547.
8. Majewski M. On the existence of optimal solution to an optimal control problem // J. Optimiz.
Theory and Appl. – 2006. – 126, № 3. – P. 635 – 651.
9. Yanlei Kou, Shijin Ding. Solutions of Ginzburg-Landau equations with weight and minimizers
of the renormlized energy // Appl. Math J. Chin Univ. B. – 2007. – 22, № 1. – P. 48 – 60.
10. Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N. Analytic methods in the theory of differential
and pseudodifferential equations of parabolic type. – Basel-Boston-Berlin: Birkhausep. – 2004.
– 390 p. (Operator Theory: Advances and Applications. Vol. 152).
11. Матiйчук М.I. Параболiчнi та елiптичнi задачi з особливостями. – Чернiвцi: Прут, 2003.
– 248 с.
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича
Отримано 8.02.11
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124287 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0236-0497 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:51:43Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пукальський, І.Д. 2017-09-23T14:48:16Z 2017-09-23T14:48:16Z 2010 Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням / І.Д. Пукальський // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 116-128. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0236-0497 MSC (2000): 93С20, 93С30, 35K40, 35К60 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124287 Встановлено необхiднi та достатнi умови вибору оптимального керування системи, що описується нелокальною параболiчною крайовою задачею з обмеженим внутрiшнiм i фiнальним керуванням. Критерiй якостi задано сумою об’ємного i поверхневого iнтегралiв. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Нелинейные граничные задачи Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням Nonlocal parabolic boundary problem with limited internal and final control Article published earlier |
| spellingShingle | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням Пукальський, І.Д. |
| title | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| title_alt | Nonlocal parabolic boundary problem with limited internal and final control |
| title_full | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| title_fullStr | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| title_full_unstemmed | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| title_short | Нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| title_sort | нелокальна параболічна крайова задача з внутрішнім і фінальним керуванням |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124287 |
| work_keys_str_mv | AT pukalʹsʹkiiíd nelokalʹnaparabolíčnakraiovazadačazvnutríšnímífínalʹnimkeruvannâm AT pukalʹsʹkiiíd nonlocalparabolicboundaryproblemwithlimitedinternalandfinalcontrol |