О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей
В работе используется один известный подход к изучению разрешимости и получению коэрцитивных оценок решений начально-краевых задач для параболических и вырождающихся параболических уравнений второго порядка в области с особыми точками на границе. В весовых классах гладких функций изучаются краевые з...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Series: | Український математичний вісник |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124297 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 1. — С. 59-82. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124297 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1242972025-02-10T00:37:41Z О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей Дегтярев, С.П. В работе используется один известный подход к изучению разрешимости и получению коэрцитивных оценок решений начально-краевых задач для параболических и вырождающихся параболических уравнений второго порядка в области с особыми точками на границе. В весовых классах гладких функций изучаются краевые задачи в области с конической (или угловой) точкой для параболического уравнения, для уравнения с вырождением в конической точке, а также для уравнения, вырождающегося на всей нерегулярной границе. Доказана разрешимость упомянутых задач и получены коэрцитивные оценки решений. Автор выражает глубокую благодарность Б. В. Базалию, привлекшему его внимание к данной проблематике и имевшему с ним полезные обсуждения. Автор также искренне благодарен рецензенту за его труд и несколько очень ценных замечаний. 2008 Article О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 1. — С. 59-82. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1810-3200 2001 MSC. 35K20, 35K65. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124297 ru Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе используется один известный подход к изучению разрешимости и получению коэрцитивных оценок решений начально-краевых задач для параболических и вырождающихся параболических уравнений второго порядка в области с особыми точками на границе. В весовых классах гладких функций изучаются краевые задачи в области с конической (или угловой) точкой для параболического уравнения, для уравнения с вырождением в конической точке, а также для уравнения, вырождающегося на всей нерегулярной границе. Доказана разрешимость упомянутых задач и получены коэрцитивные оценки решений. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| spellingShingle |
Дегтярев, С.П. О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей Український математичний вісник |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| title_short |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| title_full |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| title_fullStr |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| title_full_unstemmed |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| title_sort |
о разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124297 |
| citation_txt |
О разрешимости первой начально-краевой задачи для вырождающихся параболических уравнений в областях с нерегулярной границей / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 1. — С. 59-82. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp orazrešimostipervoinačalʹnokraevoizadačidlâvyroždaûŝihsâparaboličeskihuravneniivoblastâhsneregulârnoigranicei |
| first_indexed |
2025-12-02T05:37:58Z |
| last_indexed |
2025-12-02T05:37:58Z |
| _version_ |
1850373704829108224 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 1, 59 – 82
О разрешимости первой начально-краевой
задачи для вырождающихся параболических
уравнений в областях с нерегулярной границей
Сергей П. Дегтярев
(Представлена С. Д. Ивасишеним)
Аннотация. В работе используется один известный подход к изу-
чению разрешимости и получению коэрцитивных оценок решений
начально-краевых задач для параболических и вырождающихся па-
раболических уравнений второго порядка в области с особыми точ-
ками на границе. В весовых классах гладких функций изучаются
краевые задачи в области с конической (или угловой) точкой для
параболического уравнения, для уравнения с вырождением в кони-
ческой точке, а также для уравнения, вырождающегося на всей не-
регулярной границе. Доказана разрешимость упомянутых задач и
получены коэрцитивные оценки решений.
2001 MSC. 35K20, 35K65.
Ключевые слова и фразы. Нерегулярная граница, коническая
область, гладкое решение.
Введение
К настоящему времени имеется значительный прогресс в изуче-
нии эллиптических задач в областях с нерегулярной границей, в том
числе в весовых классах гладких функций. Не претендуя на полноту
обзора в этом направлении, отсылаем читателя к работам [1–15] и
имеющимся там ссылкам.
Исследования параболических задач в областях с особенностями
при этом насчитывают заметно меньшую библиографию. Среди ра-
бот в этом направлении, содержащих точные оценки решения в весо-
вых классах гладких функций (которые и будут основным предметом
нашего интереса в данной статье), опять же не претендуя на полноту,
отметим работы [16–23].
Статья поступила в редакцию 15.01.2008
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
60 О разрешимости...
Если же в постановке задачи дополнительно к особенности грани-
цы области добавляется еще и особенность или вырождение самого
эллиптического или параболического уравнения в особых точках гра-
ницы, то такие задачи изучены в основном в эллиптическом случае,
причем отметим большой вклад, внесенный в изучение таких задач
работами [13–15]. Отметим также работу [24], где получены точные
коэрцитивные оценки решения в весовых классах Гельдера. В пара-
болическом же случае работы с коэрцитивными оценками решения
в случае наличия обеих сингулярностей (границы области и уравне-
ния) автору вообще неизвестны. Отметим, тем не менее, работу [26].
Что касается методов исследования, то в подавляющем большин-
стве случаев в перечисленных выше работах ключевым моментом в
изучении задачи являлось рассмотрение так называемых модельных
задач в сингулярной точке, то есть простейших задач, составляю-
щих суть проблемы и рассматриваемых в характерной простейшей
области с угловой или иной особенностью (например, в бесконечном
конусе или угле). При этом обычно для таких задач, либо методом ин-
тегральных преобразований либо иным методом строится более или
менее явное решение. В случае же задачи, соединяющей в себе выро-
ждение или особенность уравнения и нерегулярность области, даже
простейшая модельная задача (например, в плоском угле) станови-
тся чрезвычайно сложной для исследования. Тем более, если целью
является получение точных коэрцитивных оценок решения.
В то же время имеется и иной подход к задачам с особенностью
на границе, содержащийся еще в работе [1] (метод колец В. А. Конд-
ратьева), а также в работах [2–4] при изучении эллиптических урав-
нений. А именно, как, по существу, подсказывает сам факт исполь-
зования весовых классов в такой ситуации, необходимо проконтро-
лировать поведение решения не в самой именно особой точке, а в
любой сколь угодно малой ее окрестности. При этом в указанных ра-
ботах [2–4] применялось сглаживание границы вблизи особой точки,
которое и мы используем ниже в данной работе. Далее, в работе [27],
в другой ситуации, где нет особенности границы области, но уравне-
ние вырождается на границе, использовались нормы решения, скон-
струированные по как угодно малым шарам, касающимся границы,
с центрами близкими к поверхности вырождения, а не лежащими на
ней (впрочем, эти нормы были видоизменены в [28]). В работе [29]
также был успешно применен этот подход — автор этой работы ис-
следует задачу Коши во всем пространстве для неравномерно па-
раболического уравнения, рассматривая решение как угодно близко
к точке, где нарушается параболичность. При этом, безусловно, во
всех четырех перечисленных случаях естественным образом возни-
С. П. Дегтярев 61
кают весовые классы функций. Но именно весовые классы, как это
хорошо известно, отражают существо вопроса в случае особой точки
на границе области.
Целью данной работы является продемонстрировать применение
указанного выше подхода к параболическим уравнениям в области с
особенностью и показать, что в случае наличия особых точек у гра-
ницы и особенностей уравнения, указанный выше подход при опре-
деленных ограничениях на параметры задачи позволяет без рассмо-
трения соответствующих модельных задач в самой особой точке по-
лучать результаты о разрешимости параболических краевых задач в
весовых классах гладких функций, а также получать точные коэрци-
тивные оценки решения. Подчеркнем при этом еще раз, что попытка
избежать рассмотрения точной модельной задачи приводит к опре-
деленным ограничениям на данные задачи.
1. Параболическое уравнение в области с угловой
или конической точкой на границе
Пусть T > 0, t ∈ [0, T ] и пусть Ω — односвязная область в R
N ,
причем начало координат точка O ≡ {0} ∈ ∂Ω, ΩT ≡ Ω× [0, T ]. Пусть
вне точки O граница ∂Ω представляет собой гладкую поверхность
класса H2+α, α ∈ (0, 1). Определение стандартных классов Гельде-
ра H l и H l,l/2 см., например, в [30]. В окрестности самой же то-
чки O область Ω представляет собой коническую область следующе-
го вида. Пусть d — односвязная область в пространстве переменных
x′ = (x2, . . . , xN ) ∈ R
N−1 с границей класса H2+α. Пусть, далее, для
r0 > 0, e(x1) — строго монотонная (только лишь для простоты) фун-
кция класса H2+α([0, r0]), такая, что e(0) = 0, e(x1)/x1 → k > 0 при
x1 → 0, e′(x1) ≥ ν > 0. Для x1 ∈ [0, r0] обозначим d(x1) = e(x1)d =
{e(x1)x
′ : x′ ∈ d} — сжатие области d в 1/e(x1) раз. Обозначим, нако-
нец,
Ω0 = {x = (x1, x
′) : x1 ∈ (0, r0), x
′ ∈ d(x1)} — (1.1)
область конического вида с вершиной в точке O (отметим, что при
e(x1) ≡ kx1, k > 0, область Ω0 представляет собой обычный прямой
конус с телесным углом, определяемым областью d). Обозначим так-
же Ω1 = Ω \ Ω0. Таким образом, мы предполагаем, что Ω ∩ {|x| <
r0} = Ω0.
Определим, далее, те весовые пространства Гельдера, в которых
мы будем рассматривать данные задачи и ее решение. Пусть γ ∈ R
1,
r = r(x) = |x|. Через H
2+α, 2+α
2
γ (ΩT ) мы будем обозначать пространст-
62 О разрешимости...
во функций u(x, t), определенных в ΩT при γ ≤ 0 и в ΩT \O при γ > 0
с конечной нормой
|u|
(2+α)
γ,ΩT
≡ |rγu|
(0)
ΩT
+ |rγ+1Du|
(0)
ΩT
+ |rγ+2D2u|
(0)
ΩT
+ |rγ+2ut|
(0)
ΩT
+
〈
rγ+2+αDu
〉((1+α)/2)
t,ΩT
+
〈
rγ+2+αD2u
〉(α)
x,ΩT
+
〈
rγ+2+αD2u
〉(α/2)
t,ΩT
+
〈
rγ+2+αut
〉(α)
x,ΩT
+
〈
rγ+2+αut
〉(α/2)
t,ΩT
, (1.2)
где |v|
(0)
ΩT
= maxΩT
|v(x, t)|, а угловые скобки означают соответству-
ющие весовые константы Гельдера, то есть, например, для a ∈ R
1
весовая константа Гельдера по x равна
〈rav〉
(α)
x,ΩT
= sup
(x,t),(x,t)∈ΩT
(min{r(x)a, r(x)a})
|v(x, t) − v(x, t)|
|x− x|α
,
и аналогично для весовой константы Гельдера по t.
Аналогично определяется пространство H2+α
γ (Ω) функций, зави-
сящих только от x с нормой
|u|
(2+α)
γ,Ω ≡ |rγu|
(0)
Ω +|rγ+1Du|
(0)
Ω +|rγ+2D2u|
(0)
Ω +
〈
rγ+2+αD2u
〉(α)
x,Ω
. (1.3)
Определим также пространство H
α,α/2
γ (ΩT ) функций f(x, t) с ко-
нечной нормой
|f |
(α)
γ,ΩT
≡ |rγf |
(0)
ΩT
+
〈
rγ+αf
〉(α)
x,ΩT
+
〈
rγ+αf
〉(α/2)
t,ΩT
. (1.4)
Отметим, что для введенных пространств функций, аналогично
обычным невесовым пространствам, справедливы следующие интер-
поляционные неравенства (0 < l′ < l ≤ 2 + α в нашем случае)
|u|
(l′)
γ,ΩT
≤ ε|u|
(l)
γ,ΩT
+ Cε|r
γu|
(0)
ΩT
, (1.5)
где ε > 0 произвольно, а Cε — некоторая константа, зависящая от ε.
Доказательство неравенств (1.5) см., например, в [29].
Договоримся также обозначать одним символом C или ν все аб-
солютные константы либо константы, зависящие только от раз и нав-
сегда зафиксированных параметров задачи.
Рассмотрим в области ΩT следующую первую начально-краевую
задачу для неизвестной функции u(x, t), причем только лишь ради
С. П. Дегтярев 63
простоты краевое условие Дирихле на ΓT = ∂Ω × [0, T ] будем пред-
полагать нулевым
∂u
∂t
−
N∑
i,j=1
aij(x, t)
∂2u
∂xi∂xj
−
N∑
i=1
bi(x, t)
∂u
∂xi
+ c(x, t)u = f(x, t),
(x, t) ∈ ΩT , (1.6)
u(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΓT , (1.7)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (1.8)
где aij ∈ H
α,α/2
0 (ΩT ), bi ∈ H
α,α/2
1 (ΩT ), c ∈ H
α,α/2
2 (ΩT ), f и u0 — задан-
ные функции, причем для ξ ∈ R
N выполнено νξ2 ≤
∑N
i,j=1 aijξiξj ≤
ν−1ξ2.
Теорема 1.1. Пусть выполнены указанные выше условия на об-
ласть Ω и коэффициенты уравнения (1.6) и пусть при заданном
γ ∈ R
1 размер области d из определения конической области Ω0 до-
статочно мал в каком-либо одном из направлений (эта малость
определяется только нормами коэффициентов уравнения (1.6), кон-
стантой эллиптичности ν и параметром γ). Тогда для любой пра-
вой части f(x, t) ∈ H
α,α/2
γ+2 (ΩT ) и любых начальных данных u0(x) ∈
H2+α
γ (Ω) задача (1.6)–(1.8) имеет единственное решение из про-
странства H
2+α, 2+α
2
γ (ΩT ), причем справедлива оценка
|u|
(2+α)
γ,ΩT
≤ C
(
|f |
(α)
γ+2,ΩT
+ |u0|
(2+α)
γ,Ω
)
, (1.9)
где константа C зависит только от γ, α, области Ω, коэффициен-
тов уравнения и величины T .
Доказательство. Отметим сразу же, что, не ограничивая общности,
мы можем считать u0(x) ≡ 0, так как общий случай сводится к ука-
занному простой заменой неизвестной функции v = u − u0, причем
для получающейся в уравнении для v правой части f̃ , в силу свойств
коэффициентов уравнения (1.6) и функции u0, справедлива, как лег-
ко видеть, оценка
|f̃ |
(α)
γ+2,ΩT
≤ C
(
|f |
(α)
γ+2,ΩT
+ |u0|
(2+α)
γ,Ω
)
.
Мы определим сейчас некоторую последовательность начально-
краевых задач в гладких областях, приближающих задачу (1.6)–(1.8).
Пусть для n ≥ 1 Dn = Ω \ (Ω0 ∩ {x1 ≤ rn = 4−nr0}) — область Ω с
отрезанным маленьким конусом. Продолжим получившийся гладкий
64 О разрешимости...
кусок границы ∂Ω, то есть поверхность ∂Dn \{x1 = rn} до некоторой
поверхности класса H2+α, ограничивающей односвязную область Ωn.
Нетрудно видеть, что такое продолжение может быть выполнено та-
ким образом, чтобы продолженный кусок поверхности, который мы
обозначим σn, лежал в области rn+1 ≤ x1 ≤ rn и чтобы вся сгла-
женная поверхность конуса ∂Ωn \ ∂(Ω \ Ω0) задавалась бы уравне-
нием x1 = gn(x′), x′ ∈ d(r0) с выпуклой функцией gn(x′), |Dg| ≤ C,
|D2g| ≤ C/rn. Возможность такого продолжения следует из строгой
монотонности функции e(x1) и, по существу, может быть сведена к
продолжению функции одной переменной e(x1) с множества [rn, r0]
на множество [rn+1, rn] до функции, равной нулю при x1 = rn+1 и
имеющей в этой точке бесконечную производную (вертикальную ка-
сательную) достаточного порядка. Мы не останавливаемся на этом
подробно (по существу, как убедится читатель ниже, способ сглажи-
вания конической поверхности не имеет большого значения и ука-
занное выше представление сглаженной поверхности будет использо-
вано только лишь в четвертом параграфе статьи для продолжения
вырождающихся там коэффициентов уравнения и только лишь для
простоты.)
Продолжим еще функцию f(x, t) с Dn,T = Dn × [0, T ] на всю
Ωn,T = Ωn× [0, T ] до функции fn(x, t), положив ее нулем на σn× [0, T ]
и полагая ее, например, линейной по x1 в области Ωn \Dn. Нетрудно
проверить, что для такой функции fn(x, t) справедлива оценка
|rγ+2fn|
(0)
Ωn,T
≤ C
(
|f |
(α)
γ+2,ΩT
)
.
Обозначая Ωn,T = Ωn × [0, T ], видим, что в силу наших построений,
для следующей задачи выполнены условия согласования до первого
порядка включительно
∂un
∂t
−
N∑
i,j=1
aij
∂2un
∂xi∂xj
−
N∑
i=1
bi
∂un
∂xi
+ c(x, t)un = fn(x, t), (x, t) ∈ Ωn,T ,
(1.10)
un(x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ωn × [0, T ]; un(x, 0) = 0.
Как хорошо известно (см., например, [30]), задача (1.10) имеет един-
ственное решение из класса H2+α, 2+α
2 (Ωn,T ). Мы покажем, что спра-
ведлива следующая оценка.
Лемма 1.1. Пусть Dn,T = Dn × [0, T ]. Для решения задачи (1.10)
справедливо неравенство
|un|
(2+α)
γ,Dn−1,T
≤ C
(
|f |
(α)
γ+2,ΩT
+ |rγun|
(0)
Ωn,T
)
, (1.11)
С. П. Дегтярев 65
где константа C не зависит от n.
Доказательство. Во-первых, в силу известных локальных оценок,
|un|
(2+α)
Ω1
T
≤ C
(
|f |
(α)
D1,T
+ |un|
(0)
D1,T
)
,
или, так как на D1 ⊃ Ω1 r0/4 ≤ r ≤ C,
|un|
(2+α)
γ,Ω1
T
≤ C(|f |
(α)
γ+2,ΩT
+ |rγun|
(0)
Ωn,T
). (1.12)
Поэтому для доказательства (1.11) достаточно рассмотреть только
область Gn,T = Ω0,T ∩Dn−1,T , где Gn = Ω0 ∩Dn−1, Ω0,T = Ω0 × [0, T ],
учитывая при этом, что в этой области величины x1 и r эквивален-
тны, то есть
1 ≤ x1/r ≤ C. (1.13)
Пусть λ достаточно мало и фиксировано и пусть (x0, t0) ∈ Gn,T .
Обозначим сейчас r = |x0| и рассмотрим цилиндр
q̃λ(x0, t0) =
{
(x, t) : |x− x0| < λr, t0 − λ2r2 < t < t0 + λ2r2
}
. (1.14)
В зависимости от расположения точки (x0, t0) мы имеем разли-
чное расположение цилиндра q̃λ(x0, t0) относительно ∂Gn,T . Если шар
|x−x0| < λr в определении q̃λ(x0, t0) находится от ∂Ω на расстоянии,
не меньше, чем λr, то положим
qλ(x0, t0) = q̃λ(x0, t0) ∩ {t ≥ 0}.
В противном случае положим
qλ(x0, t0) = q̃4λ(x0, t0) ∩ ΩT ∩ {t ≥ 0},
где x0 — точка на ∂Ω, ближайшая к x0. Мы предполагаем (хотя это
и не является принципиально важным, и делается для простоты),
что λ < 1/8 выбрано настолько малым, что в этом втором случае
qλ(x0, t0) содержит только одну связную компоненту поверхности ∂Ω,
которая задается функцией соответствующей гладкости в локальных
координатах с центром в точке x0. Такой выбор λ возможен равно-
мерно по n, так как поверхности ∂Ω ∩ {r/2 < |x| < 2r} при замене
x = ry в переменных y имеют, как нетрудно проверить исходя из
определения Ω0, ограниченную равномерно по r кривизну и вообще
ограниченную равномерно по r H2+α-норму. Кроме того, при достато-
чно малом фиксированном λ и в первом, и во втором случае области
qλ(x0, t0) лежат в Dn,T .
66 О разрешимости...
Рассмотрим сужение задачи (1.10) и ее решения un на множество
qλ(x0, t0). Перейдем в задаче (1.10) на этом множестве от переменных
(x, t) к переменным (y, τ) в соответствии с соотношениями
x = x0 + ry (x = x0 + ry), t = t0 + r2τ, (1.15)
обозначая все функции после замены переменных теми же символа-
ми. Уравнение примет вид
∂un
∂τ
−
N∑
i,j=1
aij
∂2un
∂yi∂yj
−
N∑
i=1
rbi
∂un
∂yi
+ r2c(y, τ)un = r2f(y, τ), (1.16)
а область qλ(x0, t0) перейдет в область Qλ, которая либо является ци-
линдром Qλ = {|y| < λ,−τ0 < τ < λ2} (где 0 ≤ τ0 ≤ λ2 в зависимости
от t0), либо является частью указанного цилиндра, ограниченной с
одной из сторон поверхностью, являющейся образом при указанном
преобразовании поверхности ∂Ω× [0, T ] и имеющей равномерно огра-
ниченную по r H2+α-норму (как отмечено выше), причем на этой
поверхности выполнено граничное условие un = 0.
Кроме того, нетрудно проверить, что в силу наших предполо-
жений о коэффициентах уравнения (1.6), коэффициенты уравнения
(1.16) имеют Hα,α/2-нормы, равномерно ограниченные по r.
Ввиду хорошо известных локальных оценок решения (см. [30]),
справедлива оценка (напомним, что мы считаем начальное условие в
задаче (1.10) нулевым)
|un(y, τ)|
(2+α)
Qλ/2
≤ C|f(y, τ)|
(α)
Qλ
+ C|u(y, τ)|
(0)
Qλ
. (1.17)
Выполняя в этом неравенстве обратную замену переменных (y, τ) →
(x, t) и умножая обе части получающегося соотношения на rγ , ви-
дим, что, так как при λ < 1/8 величины |x| и |x0| эквивалентны на
qλ(x0, t0),
|un(x, t)|
(2+α)
γ,qλ/2(x0,t0) ≤ C|f(x, t)|
(α)
γ+2,qλ(x0,t0) + C||x|γu(x, t)|
(0)
qλ(x0,t0),
(1.18)
где константа C не зависит ни от n, ни от (x0, t0).
Поскольку (x0, t0) — произвольная точка из Dn−1 × [0, T ], то, та-
ким образом, беря sup по всем рассматриваемым точкам (x0, t0), мы
получаем оценку (1.11), но только с тем ограничением, что в опреде-
лении норм в (1.2)–(1.4) выполнено |x−x| ≤ λ
2 r(x) и |t−t| ≤ (λ
2 )2r2(x)
(мы, не ограничивая общности, считаем r(x) ≤ r(x)). Чтобы снять
С. П. Дегтярев 67
это ограничение, заметим, что если, например, |x − x| > λ
2 r(x), то,
например, для константы Гельдера производной unxi ,
r(x)γ+1+α |unxi(x, t) − unxi(x, t)|
|x− x|α
≤ Cr(x)γ+1|unxi(x, t)| + Cr(x)γ+1|unxi(x, t)|.
Воспользовавшись теперь интерполяционным неравенством (1.5), по-
лучаем, что с произвольно малым ε > 0
sup
Dn−1,T
r(x)γ+1|unxi(x, t)| ≤ ε|u|
(2+α)
γ,Dn−1,T
+ Cε|r
γu|
(0)
Dn−1,T
.
То есть, отсюда и из (1.18) вытекает (1.11) со слагаемым ε|u|
(2+α)
γ,Dn−1,T
в правой части. Выбирая ε < 1/2 достаточно малым и перенося это
слагаемое в левую часть, получаем неравенство (1.11). Лемма 1.1 до-
казана.
Пока что мы не использовали ограничения теоремы 1.1 на разме-
ры области d, мы используем их ниже при оценке величины |rγu|
(0)
Dn,T
.
Лемма 1.2. Пусть 0 < ρ < r0 фиксировано и пусть Ω1,ρ,T ≡ ΩT ∩
{|x| > ρ}. Если размер области d достаточно мал в каком-либо из
направлений, то
|rγu|
(0)
Ωn,T
≤ C|rγ+2f |
(0)
Ωn,T
+ CT |u|
(2+α)
γ,Ω1,ρ,T
. (1.19)
Доказательство. Во-первых, отметим, что на множестве (x, t) ∈
Ω1,ρ,T ≡ ΩT ∩ {|x| > ρ}, где ρ ≤ r(x) ≤ C , эта оценка очевидна,
так как |u(x, t)| ≤ T |ut(x, t)|
(0)
Ω1,ρ,T
ввиду нулевых начальных условий.
Поэтому рассмотрим только множество (x, t) ∈ Ωn,ρ,T = Ωn,T \Ω1,ρ,T .
Для того, чтобы получить оценку на этом множестве, перейдем
в этой области, как это сделано в [1], к полярным координатам (r =
|x|, ω1, . . . , ωN−1) с центром в точке O и, кроме того, как и в [1],
выполним замену переменной r на ω0 в соответствии с равенством
r = e−ω0 . При этом, как хорошо известно (см. [1]), уравнение в (1.10),
после деления обеих его частей на e2ω0 , примет вид
e−2ω0
∂un
∂t
−
N−1∑
i,j=0
ãij
∂2un
∂ωi∂ωj
−
N−1∑
i=0
b̃i
∂un
∂ωi
+ c̃un = fe−2ω0 , (1.20)
причем, в силу наших предположений о коэффициентах исходного
уравнения, коэффициенты ãij , b̃i и c̃ ограничены, причем
N−1∑
i,j=0
ãijξiξj ≥ νξ2, ξ ∈ R
N . (1.21)
68 О разрешимости...
При этом область Ωn,ρ = Ωn∩{|x| < ρ} перейдет в трубчатую область
Tn (в цилиндр при e(x1) ≡ x1) с осью Oω0, ограниченную слева по-
верхностью ω0 = − ln ρ, а справа — некоторой другой поверхностью.
Поскольку мы оцениваем функцию v = rγun, или, в новых перемен-
ных v = e−γω0un, то произведем в уравнении (1.19) замену неизве-
стной функции un = veγω0 , после чего оно примет вид
e−2ω0
∂v
∂t
−
N−1∑
i,j=0
˜̃aij
∂2v
∂ωi∂ωj
−
N−1∑
i=0
˜̃
bi(γ)
∂v
∂ωi
+ ˜̃c(γ)v = fe−(2+γ)ω0 (1.22)
с нулевым начальным условием и нулевым граничным условием, кро-
ме поверхности ω0 = − ln ρ.
Отметим, что толщина трубчатой области Tn определяется ра-
змерами области d в различных направлениях. Пусть толщина обла-
сти Tn достаточно мала в направлении (не ограничивая общности)
оси Oω1 и не превосходит величины d1. Оценка max |v| производи-
тся для тонкой области стандартной заменой неизвестной функции
v = (2 − e−ω1/d1)w (см., например, [31, 32]). При этой замене, ввиду
того, что ˜̃a11 ≥ ν, коэффициент при самой функции w в уравнении
(1.22) для w, как легко подсчитать, становится положительным, если
d1 достаточно мало. Поэтому из классического принципа максимума
следует, что
|w| ≤ C
(
max
Tn×[0,T ]
|fe−(2+γ)ω0 | + max
{ω0=− ln ρ}×[0,T ]
|u|
)
, (1.23)
откуда, ввиду определения функций w и v следует, как и выше, что
|rγu|
(0)
Ωn,ρ,T
≤ C|rγ+2f |
(0)
Ωn,T
+ CT |u|
(2+α)
γ,Ω1,ρ,T
. (1.24)
Последнее неравенство, ввиду вышесказанного, доказывает лемму 1.2.
Продолжим доказательство теоремы 1.1. Из двух доказанных вы-
ше лемм вытекает, что справедлива оценка
|un|
(2+α)
γ,Dn−1,T
≤ C|f |
(α)
γ+2,ΩT
+ CT |u|
(2+α)
γ,Dn−1,T
, (1.25)
откуда при достаточно малом T ≤ T0 легко вытекает, что
|un|
(2+α)
γ,Dn−1,T
≤ C|f |
(α)
γ+2,ΩT
, (1.26)
причем величина T0 не зависит, очевидно, от нормы функции f . Дви-
гаясь вверх по оси Ot по шагам величины T0/2, как это сделано в [30],
С. П. Дегтярев 69
получаем оценку (1.26) для любого T > 0 с константой, зависящей,
вообще говоря, от T .
Таким образом, из оценки (1.26) следует, что на любом компа-
кте Dk,T последовательность {un}, n ≥ k + 1, ограничена в про-
странстве H2+α, 2+α
2 (Dk,T ) и, следовательно, компактна в пространс-
тве H2+α′, 2+α′
2 (Dk,T ) с любым α′ < α. Используя диагональный про-
цесс, мы можем из последовательности {un} выделить подпоследова-
тельность, сходящуюся в пространстве H2+α′, 2+α′
2 на любом компакте
Dk,T , причем предельная функция, как легко видеть, определена на
всей области ΩT , принадлежит пространству H2+α, 2+α
2 на каждом
Dk,T , удовлетворяет уравнению (1.6), начальным и граничным усло-
виям. Таким образом, построенная предельная функция дает реше-
ние задачи (1.6)–(1.8) и удовлетворяет, как легко видеть в силу (1.26),
оценке (1.9).
Что же касается самой точки O, то при γ > 0 начальные данные
и правая часть уравнения в задаче (1.6)–(1.8), а, соответственно, и
решение этой задачи, могут иметь особенность в этой точке. С другой
стороны при γ < 0 решение равно нулю в точке O, и, следовательно,
граничные условия выполняются и в этой точке. (См. работы [17,18]
по поводу возможной асимптотики решения в конической точке.)
Мы не останавливаемся подробно на доказательстве единствен-
ности полученного решения из указанного класса, так как она легко
следует из принципа максимума путем оценок, полностью аналоги-
чных оценкам леммы 1.2 с применением на бесконечности барьера
вида W = εω2
0, как это сделано, например, в [24]. Теорема 1.1 доказа-
на.
Отметим, что если коэффициенты и правая часть уравнения (1.6)
обладают большей регулярностью, чем требуется в теореме 1.1, то
при некоторых условиях ограничение на размер области d можно
снять. Например, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.2. Пусть область d имеет произвольные размеры. Если
γ = 0, коэффициент c(x, t) уравнения (1.6) и его правая часть f огра-
ничены, то задача (1.6)–(1.8) имеет единственное решение, которое
удовлетворяет оценке
|u|
(2+α)
0,ΩT
≤ C
(
|f |
(α)
2,ΩT
+ |u0|
(2+α)
0,Ω + |f |
(0)
ΩT
)
, (1.27)
где константа C зависит только от γ, α, области Ω, коэффициен-
тов уравнения и величины T .
70 О разрешимости...
(Отметим, что оценка (1.27) не является, к сожалению, коэрци-
тивной.)
Мы не приводим подробного доказательства этой теоремы, так
как оно полностью аналогично доказательству теоремы 1.1. Един-
ственное небольшое отличие заключается в доказательстве леммы 1.2
при оценке |rγun|
(0)
Ωn,ρ,T
. В отличие от доказательства леммы 1.2 по-
сле перехода к координатам (ω0, ω1, . . . , ωN−1) не следует делить обе
части уравнения на величину e2ω0 . При этом, как и в лемме 1.2, мы по-
лучаем параболическое уравнение вида (1.20), но без коэффициента
e−2ω0 при ∂un/∂t и с ограниченным коэффициентом c̃. Следователь-
но, стандартной заменой неизвестной функции un = weµt с выбором
параметра µ достаточно большим мы можем сделать коэффициент
при w в соответствующем уравнении положительным и воспользова-
ться принципом максимума.
2. Параболическое уравнение,
вырождающееся в конической точке O
Сохраним в этом параграфе статьи все те же обозначения, что и
в предыдущем параграфе.
В области ΩT рассмотрим задачу вида (1.6)–(1.8), где уравнение
(1.6) заменено вырождающимся уравнением
∂u
∂t
− r2
N∑
i,j=1
aij(x, t)
∂2u
∂xi∂xj
−
N∑
i=1
bi(x, t)
∂u
∂xi
+ c(x, t)u = f(x, t),
(x, t) ∈ ΩT , (2.1)
где коэффициенты aij — такие же, как в теореме 1.1, а коэффициенты
bi и c имеют конечные нормы |bi|
(α)
−1,ΩT
и |c|
(α)
0,ΩT
.
Частный случай такой задачи, когда Ω есть угол на плоскости
и уравнение является простейшим, то есть aij = δij , bi = 0, c = 0,
был рассмотрен в [26] в некоторых классах суммируемых функций с
применением операторных методов.
Определим нормы решений, адекватные рассматриваемой задаче
(2.1), (1.7), (1.8). Положим
|u|
(2+α)
2,γ,ΩT
≡ |rγu|
(0)
ΩT
+ |rγ+1Du|
(0)
ΩT
+ |rγ+2D2u|
(0)
ΩT
+ |rγut|
(0)
ΩT
+
〈
rγ+1Du
〉((1+α)/2)
t,ΩT
+
〈
rγ+2+αD2u
〉(α)
x,ΩT
+
〈
rγ+2D2u
〉(α/2)
t,ΩT
+ +
〈
rγ+αut
〉(α)
x,ΩT
+ 〈rγut〉
(α/2)
t,ΩT
,
С. П. Дегтярев 71
и аналогично определим норму для функций, не зависящих от t
|u|
(2+α)
2,γ,Ω — без соответствующих слагаемых, зависящих от t, — она,
как легко видеть, совпадает с нормой |u|
(2+α)
γ,Ω . Пусть, кроме того,
|f |
(α)
γ,ΩT
— такая же, как и выше.
Теорема 2.1. Пусть γ ∈ R
1 произвольно и пусть конечны нормы
|u0|
(2+α)
γ,Ω и |f |
(α)
γ,ΩT
. Тогда (независимо от размеров области d в опре-
делении Ω) задача (2.1), (1.7), (1.8) имеет единственное решение,
для которого справедлива оценка
|u|
(2+α)
2,γ,ΩT
≤ C(|f |
(α)
γ,ΩT
+ |u0|
(2+α)
γ,Ω ), (2.2)
где константа C зависит только от γ, α, области Ω, коэффициен-
тов уравнения и величины T .
Доказательство. Мы не будем подробно приводить все рассужде-
ния, так как они полностью повторяют доказательство теоремы 1.1.
Отметим лишь два главных отличия, вытекающих из самого вида
уравнения (2.1).
Во-первых, в качестве малых цилиндров q̃λ(x0, t0) для (x0, t0) ∈
Dn−1,T нужно брать цилиндры, немасштабируемые по t (r = |x0|) :
q̃λ(x0, t0) =
{
(x, t) : |x− x0| ≤ λr, |t− t0| ≤ λ2
}
, (2.3)
при этом qλ(x0, t0) определяются аналогично теореме 1.1. Соответ-
ствующая замена переменных, переводящая области qλ(x0, t0) в обла-
сти стандартных размеров, имеет вид
x = x0 + ry, t = t0 + τ —
без масштабирования по переменной t. Легко видеть, что при такой
замене переменных уравнение (2.1) переходит в стандартное парабо-
лическое уравнение, допускающее стандартные локальные оценки.
Второе отличие возникает при оценке величины |rγun|
(0)
Ωn,T
и за-
ключается в следующем, аналогично теореме 1.2. В отличие от урав-
нения (1.22), где, ввиду множителя e−2ω0 при ∂v/∂t, мы вынуждены
были использовать эллиптическую часть уравнения для оценки |v|(0)
(что привело к требованию малости размера области d в каком-либо
из направлений), при преобразовании уравнения (2.1) нет необходи-
мости делить обе части на e2ω0 , и мы получаем уравнение с ограни-
ченными коэффициентами, но без множителя e−2ω0 при ∂v/∂t. По-
этому, как и в теореме 1.2, коэффициент при неизвестной функции
в уравнении может быть сделан положительным с помощью хоро-
шо известной замены неизвестной функции v = weµt с достаточно
72 О разрешимости...
большим µ > 0. Применение принципа максимума после этого дает
оценку |v|(0) = |rγun|
(0) гораздо проще, чем в теореме 1.1.
Так как все остальные шаги доказательства полностью аналогич-
ны теореме 1.1, то этим мы завершим доказательство теоремы 2.1.
В заключение данного пункта отметим, что уравнение (2.1) при-
ведено нами как простейшее, так как его частный случай рассматри-
вался в [26]. Полностью аналогично теореме 2.1 (и теореме 1.1 может
быть рассмотрен случай уравнения, более общего, чем (2.1), когда
множитель r2 при эллиптической части уравнения заменен на мно-
житель ra, a ∈ R. При этом при a 6= 2 возникает соответствующее
масштабирование по переменной t в определении областей qλ(x0, t0),
как это делалось в теореме 1.1, и, соответственно, меняются есте-
ственные весовые пространства функций и требования на младшие
коэффициенты уравнения. Оценка же младшей нормы решения при
a ≥ 2 проводится точно так же, как в теореме 2.1 без ограничения
на область d (см. по этому поводу следующий пункт статьи), а при
a < 2 — точно так же, как в лемме 1.2 теоремы 1.1 с требованием
малости размера области d в каком-либо направлении.
3. Параболическое уравнение, вырождающееся
на всей границе нерегулярной области Ω
При изучении квазилинейного вырождающегося уравнения филь-
трации, выраженного в терминах давления, и после линеаризации
этого уравнения на финитных начальных данных возникает линей-
ная краевая задача вида
∂u
∂t
− ϕ(x, t)
N∑
i,j=1
aij(x, t)
∂2u
∂xi∂xj
−
N∑
i=1
bi(x, t)
∂u
∂xi
+ c(x, t)u
= f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (3.1)
u(x, 0) = u0(x), x ∈ Ω, (3.2)
где заданная функция ϕ(x, t) > 0 при (x, t) ∈ ΩT и имеет ноль пер-
вого порядка на всей границе ∂Ω при t ∈ [0, T ], а коэффициенты
уравнения (3.1) достаточно регулярны и удовлетворяют некоторым
дополнительным условиям, сформулированным ниже.
Отметим, что характерной особенностью вырождающейся задачи
(3.1), (3.2) является то, что мы будем рассматривать ее при таких
С. П. Дегтярев 73
условиях на коэффициенты bi (унаследованных от задачи фильтра-
ции), что, при постановке ее в определенных ниже достаточно глад-
ких классах решений, граничные условия на ∂Ω отсутствуют (см.
условия Фикеры в [33]).
Чтобы сформулировать требования на коэффициенты и данные
уравнения нам нужны несколько определений и для нас важным яв-
ляется то, что задача (3.1), (3.2) в гладкой области Ω была иссле-
дована в [28, 34, 35]. Следуя работам [34, 35] определим “взвешенное”
расстояние в Ω, относительно которого будут вычисляться константы
Гельдера (x, x ∈ Ω):
s(x, x) =
|x− x|√
d(x) +
√
d(x) +
√
|x− x|
, (3.3)
где d(x) и d(x) — расстояния до ∂Ω от точек x и x, соответственно.
Определим, далее, весовую константу Гельдера функции u(x) отно-
сительно этого расстояния (b ∈ R):
〈rbu〉
(α)
x,s,Ω = sup
x,x∈Ω
min{r(x)b, r(x)b}
|u(x) − u(x)|
s(x, x)α
. (3.4)
Определим еще следующие весовые нормы функций, заданных в
ΩT . Пусть a ∈ R — параметр. Тогда
‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
= |rγf |
(0)
ΩT
+ 〈rγ+α/2f〉
(α)
x,s,ΩT
+ 〈rγ−α
2
(a−2)f〉
(α
2
)
t,ΩT
, (3.5)
‖u‖
(2+α)
γ,a,ΩT
= |rγ+(a−2)u|
(0)
ΩT
+ |rγ+(a−1)Du|
(0)
ΩT
+ |rγ+(a−1)d(x)D2u|
(0)
ΩT
+ |rγut|
(0)
ΩT
+ 〈rγ+(a−1)− 1+α
2
(a−2)d(x)Du〉
( 1+α
2
)
t,ΩT
+ 〈rγ+(a−1)+α/2d(x)D2u〉
(α)
x,s,ΩT
+ 〈rγ+(a−1)−α
2
(a−2)d(x)D2u〉
(α/2)
t,ΩT
+ 〈rγ+α/2ut〉
(α)
x,s,ΩT
+ 〈rγ−α
2
(a−2)ut〉
(α/2)
t,ΩT
. (3.6)
Норма ‖u0(x)‖
(2+α)
γ,a,Ω определяется полностью аналогично (3.6) выбра-
сыванием из (3.6) слагаемых, отвечающих за гладкость по перемен-
ной t.
Сформулируем теперь требования на коэффициенты уравнения
(3.1). Пусть aij равномерно в ΩT удовлетворяют условию эллиптич-
ности и ‖aij‖
(α)
0,a,ΩT
< ∞. Пусть, далее, ‖bi‖
(α)
−(a−1),a,ΩT
< ∞ и
74 О разрешимости...
‖c(x, t)‖
(α)
−(a−2),a,ΩT
< ∞. Кроме того, мы предполагаем, что вектор
b = {b1, . . . , bN} обладает тем свойством, что
(b(x, t),−→n ) ≥ νra−1, x ∈ ∂Ω, (3.7)
где −→n — нормаль к ∂Ω, направленная внутрь Ω.
Относительно функции ϕ(x, t) в уравнении (3.1) мы предполага-
ем, что, как уже упоминалось, ϕ(x, t) > 0 в ΩT и ϕ(x, t) = 0 при
x ∈ ∂Ω. Кроме того, пусть ‖ϕ‖
(α)
−a,a,ΩT
< ∞, а градиент ∇ϕ фун-
кции ϕ обладает такими же свойствами, что и вектор b, то есть
‖∇ϕ‖
(α)
−(a−1),a,ΩT
< ∞ и для ∇ϕ выполнено условие (3.7), а кроме
того, ϕ(x, t) ≥ νr(x)a−1 dist(x, ∂Ω).
Теорема 3.1. Пусть a ≥ 2 и с этим параметром a выполнены
сформулированные выше требования на коэффициенты уравнения
(3.1) и пусть γ ∈ R произвольно. Тогда для любых f и u0 таких,
что ‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
< ∞ и ‖u0‖
(2+α)
γ,a,Ω < ∞, задача (3.1), (3.2) имеет един-
ственное решение, причем
‖u‖
(2+α)
γ,a,ΩT
≤ C(‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
+ ‖u0‖
(2+α)
γ,a,Ω ), (3.8)
где константа C зависит только от γ, α, a, области Ω, коэффици-
ентов уравнения и величины T .
Доказательство. Доказательство этой теоремы получается в точно-
сти по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.1, причем, как
и выше, ввиду возможной замены неизвестной функции u(x, t) →
u(x, t) − u0(x), мы можем, не ограничивая общности, считать, что
u0(x) ≡ 0 в Ω.
Для того, чтобы определить последовательность задач в Ωn,T
(Ωn,T — такие же, как и выше в доказательстве теоремы 1.1, сгла-
женные области, rn = 4−nr0 — также из доказательства теоремы
1.1), нам нужна следующая лемма.
Лемма 3.1. Существует такая последовательность функций
ϕn(x, t) и векторов bn(x, t), определенных в Ωn,T , что
ϕn(x, t) ≡ ϕ(x, t), bn(x, t) ≡ b(x, t), (x, t) ∈ Dn,T ,
‖ϕn‖
(α)
−a,a,Ωn,T
+ ‖∇ϕn‖
(α)
−(a−1),a,Ωn,T
+ ‖bn‖
(α)
−(a−1),a,Ωn,T
≤ C(ϕ, b, ∂Ω),
и, кроме того, ϕn = 0 на ∂Ωn, а векторы ∇ϕn и bn равномерно по
n удовлетворяют условию (3.7) на ∂Ωn и, кроме того, ϕn(x, t) ≥
νr(x)a−1 dist(x, ∂Ωn).
С. П. Дегтярев 75
Доказательство. Во-первых, как было указано в параграфе 1, об-
ласть Ωn получается из Ω следующей деформацией области Ω0. Пусть
h(x1) — строго монотонно возрастающая (h′(x1) ≥ ν > 0) достаточно
гладкая при x1 > rn+1 = rn/4 функция, определенная на [rn+1, rn], та-
кая, что h(x1) ≡ e(x1) при x1 ∈ [θ3rn, rn] (где θ3 ∈ (0, 1), θ3 достаточно
близко к единице), h(rn+1) = 0 и h′(x1) имеет в точке x1 = rn+1 беско-
нечность достаточно высокого порядка. Кроме того, мы предполага-
ем функцию h построенной таким образом, что при θ2rn ≤ x1 ≤ rn
(где 1/4 < θ2 < θ3) выполнено ν ≤ e(x1)/h(x1) ≤ C. Как отмечалось
в параграфе 2, область ωn ≡ ∪x1∈[rn+1,rn](x1, h(x1)d) представляет со-
бой гладкую область с гладкой границей σn ≡ ∂ωn ∩ {x1 < rn} =
∪x1∈[rn+1,rn)(x1, h(x1)∂d), которая также может быть представлена в
виде x1 = g(x′), x′ ∈ dn ≡ e(rn)d, с некоторой гладкой функцией
g(x′).
Построим сначала функцию ϕn(x, t). Пусть η1(x1) — гладкая сре-
зающая функция, такая, что η1 ≡ 0 при rn+1 ≤ θ1rn и η1 ≡ 1 при
x1 ≥ θ2rn, где 1/4 < θ1 < θ2 < θ3. Положим ϕ(1) = ϕ(x, t)η1(x1), так
что ϕ(1) = 0 при x1 ∈ [rn+1, θ1rn]. При x = (x1, x
′) ∈ ωn положим, да-
лее, (деформация функции ϕ) ϕ(2) = ϕ(1)(x1, x
′e(x1)/h(x1), t) — фун-
кция, определенная в ωn,T = ωn × [0, T ], такая, что ϕ(2) = 0 при
x1 ≤ θ1rn, причем ϕ(2) > 0 в ωn,T при x1 > θ1rn, ϕ(2) = 0 на σn.
Далее, пусть θ4 таково, что θ2 < θ4 < θ3, и пусть ζ1(x1), такая
гладкая срезающая функция, что ζ1 ≡ 1 при x1 ≤ θ4rn, ζ1 ≡ 0 при
x1 ≥ θ3rn. Положим в области ωn,T ψ(x) ≡ ra−1
n (x1 − g(x′))ζ1(x1),
причем ψ > 0 в ωn,T ∩ {x1 < θ3rn} и ψ = 0 на σn. Положим, наконец,
ϕn = ϕ(2) + ψ.
Функция ϕn обладает всеми нужными свойствами. Во-первых,
ϕn ≡ ϕ при x1 ≥ θ3rn и функция ϕn обладает, в силу своего по-
строения, всеми необходимыми свойствами гладкости, как легко про-
верить. Кроме того, ϕn > 0 внутри ωn,T (и внутри Ωn,T ) и ϕn = 0
на ∂Ωn × [0, T ]. Далее, легко проверить, что, в силу того, что ν ≤
e/h ≤ C при θ2rn ≤ x1 ≤ rn, и того, что ϕ ≥ νr(x)a−1 dist(x, ∂Ω), при
θ2rn ≤ x1 ≤ rn выполнено
ϕ(2) ≥ νra−1 dist(x, ∂Ω) ≥ νra−1 dist(x, ∂Ωn),
а, тем самым, тем более ϕn = ϕ(2) + ψ ≥ νra−1 dist(x, ∂Ωn). Если же
rn+1 ≤ x1 ≤ θ2rn, то
ϕn ≥ ψ ≥ ra−1
n (x1 − g(x′)) ≥ νra−1 dist(x, ∂Ωn).
Таким образом, в Ωn,T выполнено ϕn ≥ νra−1 dist(x, ∂Ωn). Отсюда,
в частности, следует, так как градиент ϕn направлен по внутренней
76 О разрешимости...
нормали к ∂Ωn, что (∇ϕn,
−→n ) = |∇ϕn| ≥ νra−1 на ∂Ωn, то есть выпол-
нено условие (4.7) для ∇ϕn.
Свойства же гладкости функции ϕn легко следуют из ее постро-
ения, причем
‖ϕn‖
(α)
−a,a,Ωn,T
+ ‖∇ϕn‖
(α)
−(a−1),a,Ωn,T
≤ C(ϕ, ∂Ω),
и, таким образом, требуемая функция ϕn построена.
Обратимся теперь к построению вектора bn. Этот вектор строи-
тся по аналогичной схеме, с учетом того, что его свойства гладкости
ограничиваются только весовой гельдеровостью.
Пусть θ3 — величина из предыдущих рассуждений и пусть ρ1 и
ρ2 таковы, что θ3 < ρ1 < ρ2 < 1 (напомним, что при θ3rn ≤ x1 ≤
rn поверхность σn совпадает с ∂Ω). Пусть, далее, η2(x1) — гладкая
срезающая функция, такая, что η2 ≡ 1 при x1 ≥ ρ2rn и η2 ≡ 0 при
x1 ≤ ρ1rn. Положим b
(1)
= b(x, t)η2(x1).
Построим, далее, вектор ξ(x) в ωn, положив ξ(x) = −→n ra−1
n на σn
(−→n — нормаль к σn, направленная внутрь ωn) и продолжив его глад-
ким образом внутрь ωn. Мы не останавливаемся подробно на этом
продолжении, так как оно сводится к продолжению координат ni ве-
ктора −→n в область ωn и способ такого продолжения с сохранением
класса хорошо известен — мы не требуем внутри ωn от вектора ξ ни-
каких свойств, кроме непрерывности по Гельдеру. Пусть еще ζ2(x1) —
гладкая срезающая функция, такая, что ζ2 ≡ 1 при x1 ≤ ρ2rn и ζ2 ≡ 0
при x1 ≥ θ3rn.
Положим, наконец,
bn(x, t) = b(x, t)η2(x1) + ξ(x)ζ2(x1).
Нетрудно проверить исходя непосредственно из определений, что
bn(x, t) ≡ b(x, t) при x1 ≥ rn и bn(x, t) обладает всеми требуемыми в
лемме свойствами. Лемма 3.1 доказана.
Возвращаясь к доказательству теоремы 3.1, рассмотрим последо-
вательность задач с нулевыми начальными данными для неизвестных
функций un(x, t) в Ωn,T :
∂un
∂t
−ϕn
N∑
i,j=1
aij
∂2un
∂xi∂xj
−
N∑
i=1
bn,i
∂un
∂xi
+ cun = f, (x, t) ∈ Ωn,T . (3.9)
В силу результатов [34,35], задача (3.9) имеет единственное решение
un в весовых классах гладких функций в Ωn,T , и нашей задачей будет
получить для un оценку вида (3.8) по Dn−1,T .
С. П. Дегтярев 77
Получение такой оценки также аналогично доказательству тео-
ремы 1.1. Одним из небольших отличий является то, что в качестве
“стандартных” цилиндров q̃λ(x0, t0) мы берем цилиндры с другим мас-
штабом по t вида (r = |x0|)
q̃λ(x0, t0) = {|x− x0| ≤ λr} × {|t− t0| ≤ λr−(a−2)}, (3.10)
считая при этом все данные задачи (3.1) продолженными в область
t > 0 с сохранением норм и свойств (способ такого продолжения через
плоскость t = T описан, например, в [30, 32]). Области же qλ(x0, t0)
определяются полностью аналогично доказательству теоремы 1.1 в
зависимости от расположения q̃λ(x0, t0). Остальные рассуждения та-
кже аналогичны. Например, если мы имеем приграничную область
qλ(x0, t0), то совершим замену (x0 ∈ ∂Ω)
x = x0 + ry, t = t0 + r−(a−2)τ.
Такая замена переводит область qλ(x0, t0) = q̃λ(x0, t0)∩Ωn,T в область
Q4λ стандартных размеров порядка 4λ, причем соответствующий ку-
сок границы ∂Ω переходит в некоторую поверхность Γ(x0, t0) (явля-
ющийся частью ∂Q4λ) с ограниченной H2+α-нормой. Уравнение (3.9)
при этом принимает вид
∂un
∂τ
− d(y)
N∑
i,j=1
ãij
∂2un
∂yi∂yj
−
N∑
i=1
b̃n,i
∂un
∂yi
+ c̃un = fr−(a−2), (3.11)
где d(y) = dist(y,Γ(x0, t0)) — расстояние от точки y до поверхности
Γ(x0, t0),
ãij = aij
ϕ
rad(y)
, b̃n,i = bn,i/r
a−1, c̃ = c/ra−2.
Из свойств коэффициентов уравнения (3.9) следует, что коэффици-
енты уравнения (3.11) имеют все нужные свойства для применения
результатов [34, 35]. Обозначая через Q2λ часть Q4λ, где |y| < 2λ,
|τ | < 2λ, из результатов указанных работ выводим, что справедлива
оценка
|un|
(0)
Q2λ
+ |Dun|
(0)
Q2λ
+ |d(y)D2un|
(0)
Q2λ
+ 〈d(y)Dun〉
( 1+α
2
)
t,Q2λ
+ 〈Dun〉
(α)
y,sy ,Q2λ
+ 〈Dun〉
(α/2)
τ,Q2λ
+ 〈d(y)D2un〉
(α)
y,sy ,Q2λ
+ 〈d(y)D2un〉
(α/2)
τ,Q2λ
+ |unτ |
(0)
Q2λ
+ 〈unτ 〉
(α)
y,sy ,Q2λ
+ 〈unτ 〉
(α/2)
τ,Q2λ
≤ C(r−(a−2)|f |
(0)
Q4λ
+ r−(a−2)〈f〉
(α)
y,sy ,Q4λ
+ r−(a−2)〈f〉
(α/2)
τ,Q4λ
+ |un|
(0)
Q4λ
). (3.12)
78 О разрешимости...
Заметим теперь, что при выполняемой нами замене переменных
расстояние (3.3) преобразуется по формуле
s(x, x) = r1/2s(y, y). (3.13)
Умножая обе части оценки (3.12) на rγ+(a−2) и совершая в этой оценке
обратную замену (y, τ) → (x, t), получаем, что
‖un‖
(2+α)
γ,a,qλ/2(x0,t0) ≤ C
(
‖f‖
(α)
γ,a,qλ(x0,t0) + |rγ+(a−2)un|
(0)
qλ(x0,t0)
)
. (3.14)
Цилиндры qλ(x0, t0), не примыкающие к границе ∂Ω, рассматри-
ваются совершенно аналогично. При этом, ввиду свойств коэффици-
ентов уравнения (3.9), мы получаем внутри таких qλ(x0, t0) обычное
(не вырождающееся) параболическое уравнение и необходимо учесть,
что для таких цилиндров при выполняемой нами замене перемен-
ных расстояние s(x, x) переходит в расстояние, эквивалентное просто
r1/2|y − y|
s(x, x) =
|x− x|√
d(x) +
√
d(x) +
√
|x− x|
∼
r|y − y|
Cr1/2 + Cr1/2 + r1/2
√
|y − y|
∼ Cr1/2|y − y|,
так как 0 ≤ |y − y| ≤ 2, d(x) ∼ r1/2, d(x) ∼ r1/2 для таких ци-
линдров, и константы Гельдера, определенные по расстоянию s(x, x),
в переменных y становятся обычными константами Гельдера с соо-
тветствующим весом, зависящим от r (и, соответственно, обратно).
Ввиду этого мы легко получаем оценки (3.14) для таких цилиндров,
действуя так же, как и выше.
Собирая оценки (3.14) по всем (x0, t0) ∈ Dn−1,T , мы получаем, что
‖un‖
(2+α)
γ,a,Dn−1,T
≤ C
(
‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
+ |rγ+(a−2)un|
(0)
Ωn,T
)
. (3.15)
Отметим, что до сих пор мы не использовали ограничение a ≥ 2.
Оно необходимо нам для оценки |rγ+(a−2)un|
(0)
Ωn,T
, причем его смысл
тот же, что и в предыдущем параграфе в случае уравнения, выро-
ждающегося в точке. При этом на самом деле мы получим из
принципа максимума более сильную оценку, чем оценка величины
|rγ+(a−2)un|
(0)
Ωn,T
, а именно мы оценим величину |rγun|
(0)
Ωn,T
(такая оцен-
ка является более сильной именно для a− 2 ≥ 0).
Перейдем в задаче (3.9) сначала к полярным координатам, а затем
к координатам (ω0, ω) в точности так же, как это было сделано при
С. П. Дегтярев 79
доказательстве теоремы 1.1, обозначая получающуюся из Ωn область
через Ω̃n. При этом уравнение (3.9) приобретет вид
∂un
∂t
− e−ω0(a−2)ϕ̃
N−1∑
i,j=0
ãij
∂2un
∂ωi∂ωj
− e−ω0(a−2)
N−1∑
i=0
b̃i
∂un
∂ωi
+ e−ω0(a−2)c̃un = f, (3.16)
причем область изменения (ω0, ω) такова, что ω0 ≥ −C, а коэффици-
енты этого уравнения ãij , b̃i, c̃ и функция ϕ̃ ограничены, причем ϕ̃ = 0
на ∂Ω̃n, а ãij удовлетворяют условию эллиптичности. Обозначая, как
и выше, unr
γ = une
−ω0γ = v, то есть v = une
ω0γ , для функции v из
(3.16) получаем уравнение
∂v
∂t
− e−ω0(a−2)ϕ̃
N−1∑
i,j=0
ãij
∂2v
∂ωi∂ωj
− e−ω0(a−2)
N−1∑
i=0
˜̃
bi
∂v
∂ωi
+ e−ω0(a−2)˜̃cv = fe−ω0γ = f̃ , (3.17)
с нулевым начальным условием и некоторым вектором
˜̃
b = {
˜̃
bi}, удов-
летворяющим, как нетрудно проверить, на границе области Ω̃n усло-
вию вида (3.7) (необходимо учесть, что все слагаемые в
˜̃
b, приходящие
в
˜̃
b при замене переменных и неизвестной функции из старшей элли-
птической части уравнения, равны нулю на ∂Ω̃n, так как ϕn равна ну-
лю на ∂Ωn). Отметим также, что |f̃ |
(0)
Ω̃n×[0,T ]
= |rγf |
(0)
Ωn,T
≤ ‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
.
Учитывая то, что a − 2 ≥ 0 и делая стандартную для параболиче-
ских уравнений замену неизвестной функции v = eλtw с выбором
λ достаточно большим, мы можем добиться того, чтобы в уравне-
нии (3.17) было выполнено ˜̃c ≥ c0 > 0. Поэтому можно считать, не
ограничивая общности, что это условие выполнено для уравнения
(3.17). При этом условии оценка для |v| следует стандартным обра-
зом из принципа максимума для уравнения (3.17). При этом в нашей
ситуации вырождающегося уравнения, если положительный макси-
мум (например) достигается на границе ∂Ω̃n, то в этой точке, во пер-
вых, старшее эллиптическое слагаемое уравнения стремится к нулю,
e−ω0(a−2)ϕ̃
∑N−1
i,j=0 ãij
∂2v
∂ωi∂ωj
→ 0 (см. [34, 35]), причем vt ≥ 0 в этой то-
чке и e−ω0(a−2)
∑N−1
i=0
˜̃
bi
∂v
∂ωi
≤ 0 в силу условия (3.7) на вектор
˜̃
b на
∂Ω̃n. Поэтому в такой граничной точке положительного максимума,
аналогично внутренним точкам, ˜̃cv ≤ f̃ , и, следовательно, v ≤ f̃/c0.
Аналогичные рассуждения для отрицательного минимума функции
80 О разрешимости...
v приводят стандартным образом к оценке |v| ≤ C|f̃ |
(0)
Ω̃n×[0,T ]
, то есть
к оценке
|rγun|
(0)
Ωn,T
≤ C‖f‖
(α)
γ,a,ΩT
. (3.18)
Ввиду оценок (3.15), (3.18) доказательство разрешимости в тео-
реме 3.1 и оценка (3.8) получаются абсолютно точно так же, как и в
теореме 1.1. Единственность решения следует из принципа максиму-
ма также аналогично теореме 1.1. Теорема 3.1 доказана.
Благодарности. В заключение автор выражает глубокую благодар-
ность Б. В. Базалию, привлекшему его внимание к данной проблема-
тике и имевшему с ним полезные обсуждения. Автор также искренне
благодарен рецензенту за его труд и несколько очень ценных замеча-
ний.
Литература
[1] В. А. Кондратьев, Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях
с коническими или угловыми точками // Труды московского мат. общества,
16 (1967), 209–292.
[2] V. Maz’ya, S. Nazarov, B. Plamenevskii, Asymptotic theory of elliptic boundary
value problems in singularly perturbed domains. Vol. I., Basel: Birkhauser, 2000,
xxiii, 435 pp.
[3] V. Maz’ya, S. Nazarov, B. Plamenevskii, Asymptotic theory of elliptic boundary
value problems in singularly perturbed domains. Vol. II., Basel: Birkhauser, 2000
xxiii, 323 p.
[4] V. G. Maz’ya, R. Mahnke, Asymptotics of the solution of a boundary integral
equation under a small perturbation of a corner // Z. Anal. Anwend., 11 (1992),
N 2, 173–182.
[5] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип
максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в
областях с особыми точками на границе // Math. Nachr., 81 (1978), 25–82.
[6] В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, Оценки функций Грина и шаудеровские
оценки решений эллиптических краевых задач в двугранном угле // Сиб.
мат. журнал, (1978), N 5, 1065–1082.
[7] В. Зайончковский, В. А. Солонников, О задаче Неймана для эллиптических
уравнений второго порядка в областях с ребрами на границе // Записки
научн. семинаров ЛОМИ, 127 (1983), N 1, 7–48.
[8] С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский. Эллиптические задачи в областях с
кусочно-гладкой границей, М.: “Наука”, 1991, 335 c.
[9] V. A. Kozlov, V. G. Maz’ya and J. Rossman, Elliptic Boundary Value Problems in
Domains with Point Singularities, AMS, Math. Surveys and Monographs, v. 52,
1997, 414 p.
[10] V. A. Kozlov, V. G. Maz’ya and J. Rossman, Spectral problems associated with
corner singularities of solutions to elliptic equations, AMS, Math. Surveys and
Monographs, v. 85, 2001.
С. П. Дегтярев 81
[11] В. А. Солонников, Е. В. Фролова, Исследование задачи для уравнения Лапла-
са с краевым условием специального вида в плоском угле // Записки научн.
семинаров ЛОМИ, 182 (1990), 149–167.
[12] P. Grisvard. Elliptic problems in nonsmooth domains, Boston: Pitman, 1985.
[13] M. Bochniak and M. Borsuk, Dirichlet problem for linear elliptic equations
degenerating at a conical boundary point, Analysis. Munchen, Germany, 23 (2003),
N 3, 225–248.
[14] M. Borsuk, V. Kondratiev, Elliptic Boundary Value Problems of Second Order in
Piecewise Smooth Domains // North-Holland Mathematical Library, 69 (2006),
ELSEVIER, 531 p.
[15] M. Borsuk, Degenerate elliptic boundary-value problems of second order in
nonsmooth domains // Journal of Mathematical Sciences, 146 (2007), N 5, 6071–
6212.
[16] В. А. Солонников, О разрешимости классических начально-краевых задач
для уравнения теплопроводности в двугранном угле // Записки научн. се-
минаров ЛОМИ, 138 (1984), 146–180.
[17] В. А. Козлов, В. Г. Мазья, Об особенностях решения первой краевой задачи
для уравнения теплопрводности в областях с коническими точками, I //
Известия ВУЗов, Математика, (1987), N 2, 38–46.
[18] В. А. Козлов, В. Г. Мазья, Об особенностях решения первой краевой задачи
для уравнения теплопрводности в областях с коническими точками, II //
Известия ВУЗов, Математика, (1987), N 3, 37–44.
[19] В. А. Солонников, Е. В. Фролова, О задаче с третьим краевым условием
для уравнения Лапласа в плоском угле и ее применении к параболическим
задачам // Алгебра и анализ, (1990), N 11, 7–12.
[20] M. G. Garroni, V. A. Solonnikov, M. A. Vivaldi, On the oblique derivative problem
in an infinite angle // Topol. Methods Nonlinear Anal., 7 (1996), 299–325.
[21] V. A. Solonnikov, E. V. Frolova, On a certain nonstationary problem in a dihedral
angle II // J. Soviet Math., 70 (1994), 1841–6.
[22] M. G. Garroni, V. A. Solonnikov, M. A. Vivaldi, Existence and regularity results
for oblique derivative problem for heat equations in an angle // Proceedings of
the Royal Society of Edinburgh, 128A (1998), 47–79.
[23] В. Н. Арефьев, Л. А. Багиров, О решениях уравнения теплопроводности в
областях с особенностями // Мат. заметки, 64 (1998), N 2, 163–179.
[24] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, Об одной граничной задаче для сильно выро-
ждающегося эллиптического уравнения второго порядка в угловой обла-
сти, // Укр. мат. журнал, 59 (2007), N 7, 867–883.
[25] D. Gubelidze, On a generalized solution of the second order degenerate elliptic
equation in an angular domain // Proc. A. Razmadze Math. Inst., 133 (2003),
37–61.
[26] A. Venni, Maximal regularity for a singular parabolic problem // Rend. Sem. Mat.
Univ. Pol. Torino, 52 (1994), N 1, 87–101.
[27] S. Shmarev, Differentiability and Analyticity of Solutions and Interfaces
in Multidimensional Reaction-Diffusion Equation // Universidad de Oviedo,
Departamento de Matematicas, Prepublicacion N 1, Junio 2001, 1–51.
82 О разрешимости...
[28] S. I. Shmarev, Interfaces in multidimensional diffusion equations with absorption
terms // Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., 53 (2003), N 6(A), 791–828.
[29] I. D. Pukal’s’kyi, Cauchy problem for nonuniformly parabolic equations with
degeneracy // Ukr. Math. Journal, 55 (2003), N 11, 1828–1840.
[30] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: “Наука”, 1967.
[31] Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с
частными производными второго порядка, М.: “Наука”, 1989, 463 c.
[32] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа, М.: “Наука”, 1973, 576 c.
[33] О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Уравнения второго порядка с неотрицатель-
ной характеристической формой, Итоги науки и техники. Мат. анализ, 1969,
М.: ВИНИТИ, 1971, 252 c.
[34] P. Daskalapoulos, R. Hamilton, Regularity of the free boundary for the porous
medium equation // J. Amer. Math. Soc., 11 (1998), N 4, 899–965.
[35] Б. В. Базалий, Н. В. Краснощек, Регулярность решения многомерной задачи
со свободной границей для уравнения пористой среды // Мат. труды, 5 (2002),
N 2, 38–91.
Сведения об авторах
Сергей Петрович
Дегтярев
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Розы Люксембург, 74
83114, Донецк
Украина
E-Mail: spdegt@yahoo.com
|