Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки
Доведено наступнi два результати. 1. Якщо X такий цiлком регулярний простiр, що для довiльного топологiчного простору Y кожна нарiзно неперервна функцiя f : X×Y → R є функцiєю першого класу Бера, то кожний лiнделефовий пiдпростiр простору X можна неперервно бiєктивно вiдобразити на сепарабельний мет...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124337 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 203-218. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859928478987583488 |
|---|---|
| author | Михайлюк, В.В. |
| author_facet | Михайлюк, В.В. |
| citation_txt | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 203-218. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Доведено наступнi два результати. 1. Якщо X такий цiлком регулярний простiр, що для довiльного топологiчного простору Y кожна нарiзно неперервна функцiя f : X×Y → R є функцiєю першого класу Бера, то кожний лiнделефовий пiдпростiр простору X можна неперервно бiєктивно вiдобразити на сепарабельний метризовний простiр. 2. Якщо X берiвський простiр, Y компактний простiр i f : X × Y → R нарiзно неперервна функцiя, яка є функцiєю першого класу Бера, то iснує щiльна в X Gδ-множина A така, що f сукупно неперервна в кожнiй точцi множини A × Y (це дає позитивну вiдповiдь на одне питання Ґ. Вери).
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:08:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 2, 203 – 218
Берiвська класифiкацiя нарiзно неперервних
функцiй i властивiсть Намiоки
Володимир В. Михайлюк
(Представлена В. В. Шарко)
Анотацiя. Доведено наступнi два результати.
1. Якщо X такий цiлком регулярний простiр, що для довiльного
топологiчного простору Y кожна нарiзно неперервна функцiя f :
X×Y → R є функцiєю першого класу Бера, то кожний лiнделефовий
пiдпростiр простору X можна неперервно бiєктивно вiдобразити на
сепарабельний метризовний простiр.
2. Якщо X берiвський простiр, Y компактний простiр i f : X ×
Y → R нарiзно неперервна функцiя, яка є функцiєю першого класу
Бера, то iснує щiльна в X Gδ-множина A така, що f сукупно непе-
рервна в кожнiй точцi множини A × Y (це дає позитивну вiдповiдь
на одне питання Ґ. Вери).
2000 MSC. C08, 54C30, 54C05.
Ключовi слова та фрази. Нарiзно неперервнi функцiї, лiнделефо-
вi простори, функцiї першого класу Бера, властивiсть Намiоки.
1. Вступ
Функцiя f : X → R, визначена на топологiчному просторi X,
називається функцiєю першого класу Бера, якщо iснує послiдовнiсть
(fn)∞n=1 неперервних функцiй fn :X→ R така, що f(x) = limn→∞ fn(x)
для кожного x ∈ X. Для довiльного не бiльш, нiж злiченного орди-
нала α функцiя f : X → R називається функцiєю берiвського класу
α, якщо iснує послiдовнiсть (fn)∞n=1 функцiй fn : X → R, якi є бе-
рiвського класу, меншого, нiж α, така, що f(x) = limn→∞ fn(x) для
кожного x ∈ X. Функцiї берiвського класу α, де α — деякий не бiльш,
нiж злiченний ординал, називаються вимiрними за Бером.
Стаття надiйшла в редакцiю 30.08.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
204 Берiвська класифiкацiя
Функцiя f : X → R називається функцiєю першого класу Лебеґа,
якщо f−1(G) є Fσ-множиною в X для довiльної вiдкритої множини
G ⊆ R.
Питання берiвської i лебеґiвської класифiкацiй нарiзно неперерв-
них функцiй, тобто функцiй двох (чи бiльшої кiлькостi) змiнних, не-
перервних вiдносно кожної змiнної зокрема, беруть свiй початок з
класичної роботи А. Лебеґа [1] i були продовженi в працях багатьох
математикiв (дивись, наприклад, [2] i вказану там лiтературу).
Зокрема, В. Моран i А. Розенталь [3, 4] довели, що для компакту
X наступнi умови рiвносильнi:
(i) для довiльного компактного простору Y кожна нарiзно непе-
рервна функцiя f : X×Y → R є функцiєю першого класу Бера;
(ii) X має властивiсть злiченностi ланцюжкiв, тобто довiльна систе-
ма попарно неперетинних вiдкритих в X непорожнiх множин є
не бiльш, нiж злiченною.
Топологiчний простiр X називається морановим (слабко морановим),
якщо для довiльного компактного простору Y кожна нарiзно непе-
рервна функцiя f : X × Y → R є функцiєю першого класу Бера
(вимiрною за Бером). Цi поняття були введенi в [5], де було одержано
наступний результат.
Теорема 1.1. Нехай X — цiлком регулярний простiр з умовою злi-
ченностi ланцюжкiв, Y — компакт, f : X × Y → R — нарiзно не-
перервна функцiя i ϕ : Y → Cp(X), ϕ(y)(x) = f(x, y). Тодi наступнi
умови рiвносильнi:
(i) f першого класу Бера;
(ii) простiр ϕ(Y ) метризовний.
Для топологiчного простору X через Cp(X) ми позначаємо про-
стiр неперервних на X функцiй з топологiєю поточкової збiжностi.
Крiм того, в [5] дослiджувався зв’язок мiж морановими просто-
рами i властивiстю Намiоки. Вiдображення f : X × Y → R, визна-
чене на добутку X × Y топологiчних просторiв X i Y , має власти-
вiсть Намiоки, якщо iснує всюди щiльна в X Gδ-множина A ⊆ X
така, що f неперервна за сукупнiстю змiнних в кожнiй точцi множи-
ни A×Y . Топологiчний простiр X називається намiоковим, якщо для
довiльного компактного простору Y кожна нарiзно неперервна фун-
кцiя f : X × Y → R має властивiсть Намiоки. В [5] було поставлене
наступне питання.
В. В. Михайлюк 205
Питання 1.1. Чи обов’язково берiвський морановий простiр є на-
мiоковим простором?
Топологiчний простiр X називатимемо простором з B-властивiс-
тю (L-властивiстю), якщо для довiльного топологiчного простору
Y кожна нарiзно неперервна функцiя f : X × Y → R є функцiєю
першого класу Бера (Лебеґа).
Стандартнi мiркування (див. [6, с. 394]) показують, що кожна
функцiя першого класу Бера є функцiєю першого класу Лебеґа. То-
му довiльний простiр з B-властивiстю має L-властивiсть. Зауважимо,
що в [7] простори з B-властивiстю названi просторами Рудiна, але ця
назва не зовсiм виправдана, адже В. Рудiн у своїй працi [8] викори-
став технiку розбиттiв одиницi для доведення того, що кожне нарiзно
неперервне вiдображення, визначене на добутку топологiчного i ме-
тризовного просторiв i зi значеннями в локально опуклому просторi, є
вiдображенням першого класу Бера, не розглядаючи окремо функцiї
зi значеннями в R.
Розвиток результату В. Рудiна привiв до виникнення наступних
понять, пов’язаних iз просторами з B-властивiстю.
Топологiчний простiр X називається PP -простором, якщо iсну-
ють послiдовнiсть ((hn,i : i ∈ In))∞n=1 локально скiнченних розбиттiв
одиницi (hn,i : i ∈ In) на просторi X i послiдовнiсть (αn)∞n=1 сiмей
αn = (xn,i : i ∈ In) точок xn,i ∈ X такi, що для довiльних x ∈ X i око-
лу U точки x в X iснує номер n0 ∈ N такий, що xn,i ∈ U , якщо n ≥ n0
i x ∈ supphn,i, де через supph ми позначаємо носiй {x ∈ X : h(x) 6= 0}
функцiї h.
Це поняття було введене в [9], а в [10, теорема 1] було встановлено,
що кожний PP -простiр має B-властивiсть.
Топологiчний простiр X з топологiєю T називається чверть-ви-
черпним, якщо iснує функцiя g : N × X → T така, що
(i) X =
⋃
x∈X g(n, x) для кожного n ∈ N;
(ii) якщо x ∈ g(n, xn) для кожного n ∈ N, то xn → x.
Якщо в чверть-вичерпному просторi X iснує слабша за вихiдну ме-
тризовна топологiя T така, що всi покриття Un = {g(n, x) : x ∈ X}
можна вибрати T -вiдкритими, то простiр X називається метрично
чверть-вичерпним.
Цi поняття були введенi в [7], де, зокрема показано (теоре-
ма 6.2(3)), що кожний метрично чверть-вичерпний простiр має B-
властивiсть.
206 Берiвська класифiкацiя
У зв’язку з дослiдженнями просторiв iз B-властивiстю в [7, питан-
ня 6.3] були поставленi наступнi питання.
Питання 1.2. Чи iснує простiр з B-властивiстю, який не є чверть-
вичерпним? Чи має (компактний) простiр X B-властивiсть, якщо
множина {(x, y) : y(x) = 0} є Gδ-множиною в X × Cp(X)? Чи ко-
жний компактний простiр з B-властивiстю є метризовним?
Зрозумiло, що аналогiчнi питання можна ставити i для просторiв з
L-властивiстю. Зокрема, оскiльки з [11, твердження 2.1] випливає, що
довiльний чверть-вичерпний простiр має L-властивiсть, то природно
виникає наступне питання.
Питання 1.3. Чи iснує простiр з L-властивiстю, який не є чверть-
вичерпним?
Зауважимо, що в [7]( [12]) показано, що довiльний топологiчний
простiр X має B-властивiсть (L-властивiсть) тодi i тiльки тодi, коли
функцiя обчислення cX : X × Cp(X) → R, cX(x, y) = y(x), є фун-
кцiєю першого класу Бера (Лебеґа). Оскiльки простiр Cp(X) має
властивiсть злiченностi ланцюжкiв, то з теореми 1.1 випливає, що
кожний компактний пiдпростiр цiлком регулярного простору iз B-
властивiстю є метризовним (це дає позитивну вiдповiдь на третю ча-
стину питання 1.2) або, iншими словами, кожний компактний пiд-
простiр цiлком регулярного простору з B-властивiстю є субметри-
зовним, тобто неперервно бiєктивно вiдображається на деякий ме-
тризовний простiр. Крiм того, довiльний лiнделефовий простiр з B-
властивiстю є сепарабельним [7, теорема 6.2.(6)], чи загальнiше, до-
вiльний лiнделефовий пiдпростiр M цiлком регулярного простору
X з L-властивiстю мiститься в замиканнi деякої злiченної множи-
ни A ⊆ X [13, твердження 4.7]. Тому природно виникає наступне
питання.
Питання 1.4. Нехай Z — цiлком регулярний простiр з B-власти-
вiстю i X ⊆ Z — лiнделефовий пiдпростiр простору Z. Чи можна
простiр X за допомогою неперервної бiєкцiї вiдобразити на сепара-
бельний метризовний простiр?
У данiй статтi ми, використовуючи технiку залежностi функцiй
вiд певної кiлькостi координат, дамо позитивнi вiдповiдi на питан-
ня 1.1 i 1.4.
В. В. Михайлюк 207
2.
У даному пунктi ми встановимо деякi властивостi просторiв iз
B-властивiстю i L-властивiстю.
Множина G ⊆ X у топологiчному просторi X називається фун-
кцiонально вiдкритою, якщо iснує неперервна функцiя ϕ : X → [0, 1]
така, що G = ϕ−1((0, 1]), i множина E ⊆ X має функцiональний тип
Gδ, якщо E =
⋂
n∈N
Gn, де (Gn)∞n=1 — послiдовнiсть функцiонально
вiдкритих в X множин. Множини X \ G i X \ E називаються фун-
кцiонально замкненою i функцiонального типу Fσ, вiдповiдно.
Наступнi твердження уточнюють характеристичнi властивостi
просторiв iз B-властивiстю i L-властивiстю, викладенi в [7, теоре-
ма 6.2.(1)] i [12, твердження 2.3], якi дають можливiсть розглядати
лише функцiю обчислення.
Твердження 2.1. Нехай X — топологiчний простiр. Тодi наступнi
умови рiвносильнi:
(i) X має B-властивiсть;
(ii) множина E = {(x, y) : y(x) = 0} є множиною функцiонального
типу Gδ в X × Cp(X).
Доведення. (i) ⇒ (ii). Оскiльки X має B-властивiсть, то iснує по-
слiдовнiсть (fn)∞n=1 неперервних функцiй fn : X × Y → R, де Y =
Cp(X), яка поточково на X збiгається до нарiзно неперервної фун-
кцiї обчислення f = cX . Для довiльних m, n ∈ N покладемо Gmn =
f−1
n ((− 1
m
, 1
m
)) i Emn =
⋃
k≥n Gmk. Оскiльки множини Emn функцiо-
нально вiдкритi i E =
⋂
m,n∈N
Emn, то має мiсце (ii).
(ii) ⇒ (i). Згiдно з [7, теорема 6.2.(1)] достатньо довести, що фун-
кцiя обчислення f = cX є функцiєю першого класу Бера на X×Cp(X).
Нехай a, b ∈ R, a < b i g : R → R – така неперервна функцiя, що
g−1(0) = (−∞, a]∪ [b, +∞). Зрозумiло, що вiдображення ϕ : Cp(X) →
Cp(X), ϕ(y)(x) = g(y(x)), i h : X × Cp(X) → X × Cp(X), h(x, y) =
(x, ϕ(y)), є неперервними. Оскiльки f−1((−∞, a]∪ [b, +∞)) = h−1(E),
то множина f−1((a, b)) є множиною функцiонального типу Fσ. Тому
згiдно з [11, теорема 3.8] функцiя f першого класу Бера.
Твердження 2.2. Нехай X — топологiчний простiр. Тодi наступнi
умови рiвносильнi:
(i) X має L-властивiсть;
(ii) множина E = {(x, y) : y(x) = 0} є множиною типу Gδ в X ×
Cp(X).
208 Берiвська класифiкацiя
Доведення. Iмплiкацiя (i) ⇒ (ii) є очевидною, а iмплiкацiя (ii) ⇒ (i)
доводиться аналогiчно, як у попередньому твердженнi, використову-
ючи [12, твердження 2.3].
Зауваження 2.1. Як випливає з тверджень 2.1 i 2.2 друга частина
питання 1.2 є певним варiантом задачi про iдентичнiсть берiвської
i лебеґiвської класифiкацiй нарiзно неперервних функцiй двох змiн-
них (з фiксованим першим множником i довiльним — другим). Згiдно
з [13, теорема 4.12] добуток сiм’ї (Xs : s ∈ S) нетривiальних сепара-
бельних лiнiйно впорядкованих просторiв Xs має L-властивiсть тодi
i тiльки тодi, коли |S| ≤ 2ℵo . Тому компактний простiр [0, 1][0,1] є
прикладом компактного простору з L-властивiстю, який не має B-
властивостi, адже всi компактнi простори з B-властивiстю є метри-
зовними. Це дає негативну вiдповiдь на другу частину питання 1.2.
Зауваження 2.2. Простiр X = [0, 1][0,1] також є прикладом просто-
ру з L-властивiстю, який не є чверть-вичерпним, i це дає негативну
вiдповiдь на питання 1.3. Справдi, припустивши чверть-вичерпнiсть
простору X, ми, згiдно з [7, теорема 2.3], одержуємо, що X метрично
чверть-вичерпний, а отже, має B-властивiсть.
Наступне твердження уточнює внутрiшню структуру просторiв iз
B-властивiстю.
Твердження 2.3. Нехай X — довiльний цiлком регулярний простiр
з B-властивiстю. Тодi кожна одноточкова множина є Gδ-множи-
ною в X.
Доведення. Нехай (fn)∞n=1 — послiдовнiсть неперервних функцiй fn :
X ×Y → R, де Y = Cp(X), яка поточково на X збiгається до нарiзно
неперервної функцiї обчислення f = cX i x0 ∈ X — фiксована точка.
Враховуючи неперервнiсть функцiй fn i те, що простiр Y задовольняє
умову злiченностi ланцюжкiв, для кожного n ∈ N побудуємо послi-
довностi (Unm)∞m=1 вiдкритих околiв точки x0 ∈ X i (Vnm)∞m=1 вiдкри-
тих множин у просторi Y такi, що множина
⋃∞
m=1 Vnm щiльна в Y i
|fn(x′, y′)−fn(x′′, y′′)| < 1
n
для довiльних m ∈ N, x′, x′′ ∈ Unm i y′, y′′ ∈
Vnm. Тодi |fn(x, y) − fn(x0, y)| ≤ 1
n
для довiльних x ∈
⋂∞
m=1 Unm i
y ∈ Y . Отже, f(x, y) = f(x0, y) для довiльних x ∈
⋂∞
n=1
⋂∞
m=1 Unm i
y ∈ Y . Оскiльки X цiлком регулярний, то {x0} =
⋂∞
n=1
⋂∞
m=1 Unm.
В. В. Михайлюк 209
3.
У даному пунктi ми покажемо, що метрично чверть-вичерпнi про-
стори — це, в точностi, гаусдорфовi PP -простори.
Поняття чверть-вичерпного простору має також iнше рiвносиль-
не переформулювання (див. [7, теорема 1.4]), яке близьке до означе-
ння PP -простору. Топологiчний простiр X є чверть-вичерпним тодi
i тiльки тодi, коли iснують послiдовнiсть (Un)∞n=1 вiдкритих покрит-
тiв Un = (Un,i : i ∈ In) простору X i послiдовнiсть (αn)∞n=1 сiмей
αn = (xn,i : i ∈ In) точок xn,i ∈ X такi, що для довiльних x ∈ X i
околу U точки x в X iснує номер n0 ∈ N такий, що xn,i ∈ U , якщо
n ≥ n0 i x ∈ Un,i.
Зауваження 3.1. Для метрично чверть-вичерпного простору X, ви-
користовуючи паракомпактнiсть простору (X, T ), можна вибрати T -
локально скiнченнi T -вiдкритi покриття Vn = (Vn,j : j ∈ Jn) прос-
тору X, якi вписанi в покриття Un. Тепер поклавши yn,j = xn,i, де
i ∈ In — такий iндекс, що Vn,j ⊆ Un,i, i врахувавши, що всi мно-
жини Vn,j є функцiонально вiдкритими в X, одержимо, що кожний
метрично чверть-вичерпний простiр є PP -простором. Крiм того, згi-
дно з [14, лема 5.1.8], аналогiчнi мiркування показують, що умова
локальної скiнченностi розбиттiв одиницi в означеннi PP -просторiв
не є iстотною.
Наступнi твердження показують, що кожний гаусдорфовий PP -
простiр є метрично чверть-вичерпним.
Твердження 3.1. Нехай X — топологiчний простiр i (hi : i ∈
I) — розбиття одиницi на X. Тодi функцiя p : X2 → R, p(x, y) =∑
i∈I |hi(x) − hi(y)| є неперервною псевдометрикою на X.
Доведення. Оскiльки hi(x) ≥ 0 для довiльних i ∈ I та x ∈ X i∑
i∈I hi(x) = 1 для кожного x ∈ X, то функцiя p означена коректно,
причому p(x, y) ≤ 2 для довiльних x, y ∈ X.
Легко бачити, що p задовольняє всi аксiоми псевдометрики. За-
лишилось перевiрити, що p неперервна. Для цього достатньо пока-
зати, що для довiльних x0 ∈ X i ε > 0 множина Bε(x0) = {x ∈
X : p(x0, x) < ε} є околом точки x0 в X. Виберемо скiнченну мно-
жину I0 ⊆ I таку, що
∑
i∈I0
hi(x0) > 1 − ε
4 . Використовуючи не-
перервнiсть функцiй hi, знайдемо окiл U точки x0 в X такий, що∑
i∈I0
|hi(x0)−hi(x)| < ε
4 для кожного x ∈ U . Тодi
∑
i∈I0
hi(x) > 1− ε
2
i
210 Берiвська класифiкацiя
p(x0, x) ≤
∑
i∈I0
|hi(x0)−hi(x)|+
∑
i∈I\I0
hi(x0)+
∑
i∈I\I0
hi(x) <
ε
4
+
ε
4
+
ε
2
= ε
для кожного x ∈ U , тобто U ⊆ Bε(x0).
Твердження 3.2. Нехай X — топологiчний простiр i ((hn,i : i ∈
In))∞n=1 — послiдовнiсть розбиттiв одиницi на X. Тодi iснує непе-
рервна псевдометрика p на X, вiдносно якої всi функцiї hn,i непе-
рервнi.
Доведення. Для довiльних x, y ∈ X покладемо
p(x, y) =
∑
n∈N
1
2n
∑
i∈In
|hn,i(x) − hn,i(y)|.
Iз твердження 3.1 випливає, що p — неперервна псевдометрика на
X. Крiм того, для довiльних n ∈ N, i ∈ In i x, y ∈ X виконується
нерiвнiсть |hn,i(x) − hn,i(y)| ≤ 2np(x, y). Тому всi функцiї hn,i є p-
неперервними.
Наслiдок 3.1. Довiльний гаусдорфовий PP -простiр є метрично
чверть-вичерпним.
4.
У даному пунктi ми вивчатимемо властивостi лiнделефових пiд-
множин просторiв iз B-властивiстю. Основним технiчним iнструмен-
том при доведеннi основних результатiв виступає поняття залежностi
функцiй вiд певної кiлькостi координат.
Нехай X ⊆ R
S , Y — довiльна множина i f : X × Y → R. Гово-
рять, що f зосереджена на множинi T ⊆ S вiдносно першої змiнної,
якщо f(x′, y) = f(x′′, y) для довiльних x′, x′′ ∈ X з x′|T = x′′|T i
y ∈ Y ; i f залежить вiд ℵ координат вiдносно першої змiнної, де
ℵ — нескiнченний кардинал, якщо iснує множина T ⊆ S така, що
f зосереджена на T i |T | ≤ ℵ. Аналогiчно вводяться поняття зале-
жностi функцiї вiдносно другої змiнної чи просто залежностi, якщо
розглядати вiдображення f : X → R.
Зрозумiло, що для лiнделефового простору X ⊆ R
S кожна нарiзно
неперервна функцiя f : X → R залежить вiд злiченної кiлькостi
координат.
В. В. Михайлюк 211
Наступний результат займає центральне мiсце у вивченнi власти-
востей лiнделефових пiдмножин просторiв iз B-властивiстю.
Теорема 4.1. Нехай X ⊆ R
S — лiнделефовий простiр, Z — цiлком
регулярний простiр, Y = Cp(Z), B ⊆ Y — щiльна в Y множина
i f : X × Y → R — функцiя, неперервна вiдносно другої змiнної i
неперервна за сукупнiстю змiнних у кожнiй точцi множини X×B.
Тодi f залежить вiд злiченної кiлькостi координат вiдносно першої
змiнної.
Доведення. Припустимо, що це не так, тобто для довiльної злiченної
множини T ⊆ S iснують x′, x′′ ∈ X i y ∈ Y такi, що x′|T = x′′|T
i f(x′, y) 6= (x′′, y). Зауважимо, що оскiльки f неперервна вiдносно
другої змiнної i B щiльна в Y , то без обмежень загальностi ми можемо
вважати, що y ∈ B.
Для кожного y ∈ B i ε > 0, використовуючи неперервнiсть f
за сукупнiстю змiнних у кожнiй точцi множини X × {y} i лiнделе-
фовiсть простору X, знайдемо покриття (U(y, ε, n) : n ∈ N) про-
стору X вiдкритими базисними множинами U(y, ε, n) i послiдовнiсть
(V (y, ε, n) : n ∈ N) околiв точки y в Y такi, що |f(x′, y′)−f(x′′, y′′)| < ε
для довiльних n ∈ N i (x′, y′), (x′′, y′′) ∈ U(y, ε, n) × V (y, ε, n). Вра-
ховуючи структуру вiдкритих базисних множин у просторi X ⊆ R
S ,
знайдемо злiченну множину T (y, ε) ⊆ S таку, що для довiльних n ∈ N
i x′, x′′ ∈ X з умов x′|T (y,ε) = x′′|T (y,ε) i x′ ∈ U(y, ε, n) випливає
x′′ ∈ U(y, ε, n). Покладемо T (y) =
⋃∞
m=1 T (y, 1
m
). Зрозумiло, що T (y)
злiченна i, зокрема, функцiя fy : X → R, fy(x) = f(x, y), зосереджена
на множинi T (y).
Нехай ω1 — перший незлiченний ординал. Використовуючи метод
трансфiнiтної iндукцiї, побудуємо зростаючу послiдовнiсть (Tα : α <
ω1) злiченних множин Tα ⊆ S, послiдовнiсть (εα : α < ω1) додатних
чисел εα, послiдовностi (x′
α : α < ω1), (x′′
α : α < ω1) i (yα : α < ω1)
точок x′
α, x′′
α ∈ X i yα ∈ Y i послiдовнiсть (Vα : α < ω1) околiв Vα
точок yα в Y такi, що для кожного α < ω1 виконуються умови:
(a) x′
α|Tα = x′′
α|Tα ;
(b) T (yα) ⊆ Tα+1;
(c) |f(x′
α, y) − f(x′′
α, y)| > εα для кожного y ∈ Vα.
212 Берiвська класифiкацiя
Нехай T1 — довiльна злiченна множина. Використовуючи наше
припущення, виберемо x′
1, x
′′
1 ∈ X i y1 ∈ B такi, що f(x′
1, y1) 6=f(x′′
1, y1).
Позначивши ε1 = 1
2 |f(x′
1, y1)−f(x′′
1, y1)| i використавши неперервнiсть
f вiдносно другої змiнної, виберемо окiл V1 точки y1 в Y такий, що
виконується умова (c) при α = 1.
Припустимо, що послiдовностi (Tα : α < β), (εα : α < β), (x′
α : α <
β), (x′′
α : α < β), (yα : α < β) i (Vα : α < β), де β < ω1, задовольняють
умови (a), (b) i (c). Якщо β — граничний ординал, то покладемо Tβ =⋃
α<β Tα. Якщо ж β = γ + 1 для деякого не бiльш, нiж злiченного
ординала γ, то покладемо Tβ = Tγ ∪ T (yγ). Далi, використавши наше
припущення аналогiчно, як при α = 1, знаходимо x′
β, x′′
β ∈ X, yβ ∈ B,
εβ > 0 i окiл Vβ точки yβ в Y такi, що виконуються умови (a) i (c).
Для кожного α < ω1 виберемо скiнченну множину Cα ⊆ Z i δα > 0
такi, що Ṽα = {y ∈ Y : |y(z) − yα(z)| < δα для кожного z ∈ Cα} ⊆
Vα. Оскiльки ℵ1 = |ω1| регулярний кардинал, то використавши, крiм
того, лему Шанiна [14, c. 185], одержимо, що iснують ε0 > 0, δ0 > 0,
скiнченна множина C ⊆ Z i множина Γ ⊆ [1, ω1) такi, що |Γ| = ℵ1,
εγ ≥ ε0 i δγ ≥ δ0 для кожного γ ∈ Γ i Cγ′ ∩ Cγ′′ = C для довiльних
рiзних γ′, γ′′ ∈ Γ. Розглянемо неперервне вiдображення ϕ : {yγ : γ ∈
Γ} → R
C , ϕ(yγ) = (yγ(z))z∈C . Оскiльки R
C сепарабельний метричний
простiр, то iснує γ0 ∈ Γ таке, що |Γ0| = ℵ1, де Γ0 = {γ ∈ Γ : |yγ(z) −
yγ0
(z)| < δ0 для кожного z ∈ C}.
Покажемо, що для довiльного околу V точки y0 = yγ0
множина
Γ(V ) = {γ ∈ Γ0 : V ∩ Ṽγ = Ø} скiнченна. Нехай C ′ ⊆ Z — скiнченна
множина, δ′ > 0 i V = {y ∈ Y : |y(z)−y0(z)| < δ′ для кожного z ∈ C ′}.
Оскiльки Z цiлком регулярний простiр, то з умови V ∩ Ṽγ = Ø для
деякого γ ∈ Γ0 випливає, що iснує zγ ∈ C ′ ∩ Cγ таке, що |yγ(z) −
y0(z)| ≥ δγ + δ′ > δ0. З означення множини Γ0 випливає, що zγ 6∈ C.
Врахувавши, що Cγ′ ∩ Cγ′′ = C для довiльних рiзних γ′, γ′′ ∈ Γ0,
одержимо, що zγ′ 6= zγ′′ для довiльних рiзних γ′, γ′′ ∈ Γ(V ). Отже,
|Γ(V )| ≤ |C ′ \ C| < ℵ0.
Виберемо m0 ∈ N так, що 1
m0
< ε0. Оскiльки множина Γ′ =⋃
n∈N
Γ(V (y0,
1
m0
, n)) не бiльш, нiж злiченна, то |Γ0 \ Γ′| = ℵ0. То-
му iснує β ∈ Γ0 таке, що β > γ0 i V (y0,
1
m0
, n) ∩ Ṽβ 6= Ø для кожного
n ∈ N. Нагадаємо, що (U(y0,
1
m0
) : n ∈ N) є покриттям простору X.
Вiзьмемо n0 ∈ N таке, що x′
β ∈ U(y0,
1
m0
n0)). Оскiльки, врахувавши
(b), T (y0,
1
m0
) ⊆ T (y0) = T (yγ0
) ⊆ Tβ i x′
β|Tβ
= x′′
β|Tβ
згiдно з (a), то
x′′
β ∈ U(y0,
1
m0
, n0). Тепер взявши y ∈ Ṽβ ∩V (y0,
1
m0
, n0), одержимо, що
з одного боку згiдно з (c)
В. В. Михайлюк 213
|f(x′
β , y) − f(x′′
β , y)| > εβ ≥ ε0,
а з iншого,
|f(x′
β , y) − f(x′′
β , y)| <
1
m0
< ε0
згiдно з вибором множин U(y0,
1
m0
, n0) i V (y0,
1
m0
, n0).
Таким чином, ми прийшли до суперечностi, i теорема доведена.
Наступний результат дає позитивну вiдповiдь на питання 1.4.
Теорема 4.2. Нехай Z — цiлком регулярний простiр iз B-власти-
вiстю i X ⊆ Z — лiнделефова пiдмножина простору Z. Тодi iснують
сепарабельний метризовний простiр H i неперервне бiєктивне вiд-
ображення ϕ : X → H.
Доведення. Без обмежень загальностi ми можемо вважати, що Z ⊆
R
S . Позначимо Y = Cp(Z) i розглянемо нарiзно неперервну функцiю
g : Z × Y → R, g(z, y) = y(z). Оскiльки Z має B-властивiсть, то iснує
послiдовнiсть неперервних функцiй gn : Z ×Y → R така, що g(z, y) =
limn→∞ gn(z, y) для довiльних (z, y) ∈ Z×Y . Покладемо fn = gn|X×Y .
Згiдно з теоремою 4.1 для кожного n ∈ N iснує не бiльш, нiж злiченна
множина Tn ⊆ S така, що fn зосереджена на Tn вiдносно першої
змiнної. Тодi функцiя f , як поточкова границя послiдовностi (fn)∞n=1,
зосереджена на не бiльш, нiж злiченнiй множинi T =
⋃∞
n=1 Tn.
Залишилось розглянути неперервне вiдображення ϕ : X → R
T ,
ϕ(x) = X|T , яке є бiєкцiєю на сепарабельний метризовний простiр
H = ϕ(X). Справдi, якщо ϕ(x1) = ϕ(x2), то y(x1) = y(x2) для кожно-
го y ∈ Y , тому x1 = x2, адже Z цiлком регулярний.
Зауваження 4.1. Оскiльки довiльний злiченний простiр X має B-
властивiсть, адже простiр Cp(X) — метризовний, то довiльний неме-
тризовний злiченний простiр є прикладом, який показує, що теорему
4.2 не можна пiдсилити до метризовностi лiнделефових пiдпросто-
рiв просторiв iз B-властивiстю, аналогiчно, як це можна зробити для
компактних просторiв.
5.
Тепер перейдемо до вивчення зв’язкiв мiж намiоковими просто-
рами i морановими (слабко морановими) просторами.
Ми будемо використовувати наступнi два допомiжнi результати
з [15], якi дають можливiсть використовувати технiку залежностi
214 Берiвська класифiкацiя
функцiй вiд певної кiлькостi координат для встановлення властивостi
Намiоки.
Твердження 5.1. Нехай Y ⊆ R
T — компактний простiр, (Z,
| · − · |) — метричний простiр, f : Y → Z — неперервне вiдобра-
ження, ε ≥ 0 i множина S ⊆ T такi, що |f(y′) − f(y′′)|Z ≤ ε для
довiльних y′, y′′ ∈ Y з y′|S = y′′|S. Тодi для довiльного ε′ > ε iснують
скiнченна множина S0 ⊆ S i δ > 0 такi, що |f(y′)− f(y′′)|Z ≤ ε′ для
довiльних y′, y′′ ∈ Y з |y′(s) − y′′(s)| < δ для кожного s ∈ S0.
Твердження 5.2. Нехай X — берiвський простiр, Y ⊆ R
T — ком-
пактний простiр, f : X×Y → R — нарiзно неперервна функцiя. Тодi
наступнi твердження рiвносильнi:
(i) f має властивiсть Намiоки;
(ii) для довiльної вiдкритої в X непорожньої множини U i числа
ε > 0 iснують вiдкрита в X непорожня множина U0 ⊆ U i
не бiльш, нiж злiченна множина S0 ⊆ T такi, що |f(x, y′) −
f(x, y′′)| ≤ ε для довiльних x ∈ U0 i y′, y′′ ∈ Y з y′|S0
= y′′|S0
.
Нехай X — топологiчний простiр. Нагадаємо означення гри Шоке
на X, в якiй беруть участь гравцi α i β. На першому кроцi спочатку
гравець β вибирає вiдкриту в X непорожню множину U0, а гравець
α — вiдкриту в X непорожню множину V1 ⊆ U0. Далi гравець β
вибирає вiдкриту непорожню множину U1 ⊆ V1, а гравець α вибирає
вiдкриту непорожню множину V2 ⊆ U1 i так далi. На n-му кроцi
гравець β вибирає вiдкриту непорожню множину Un−1 ⊆ Vn−1, а
гравець α — вiдкриту непорожню множину Vn ⊆ Un−1. Гравець α
виграє, якщо
⋂∞
n=1 Un 6= Ø. Iнакше виграє β.
Топологiчний простiр X називається α-сприятливим у грi Шоке
або просто α-сприятливим, якщо гравець α має виграшну стратегiю
в цiй грi, тобто якщо iснує правило, яке забезпечує виграш гравцю α у
випадку, коли α грає згiдно з цим правилом. Вiдповiдно топологiчний
простiр X називатимемо β-несприятливим, якщо гравець β не має
виграшної стратегiї в цiй грi.
Вiдомо (див. [17]), що β-несприятливiсть простору X у грi Шоке
рiвносильна беровостi простору X (топологiчний простiр X називає-
ться берiвським, якщо довiльна вiдкрита в X множина є множиною
другої категорiї).
Центральне мiсце в даному пунктi займає наступний результат.
В. В. Михайлюк 215
Теорема 5.1. Нехай X — берiвський простiр, Y ⊆ R
T — компа-
ктний простiр i f : X × Y → R — нарiзно неперервна вимiрна за
Бером функцiя. Тодi f має властивiсть Намiоки.
Доведення. Оскiльки f вимiрна за Бером, то iснує така злiченна сiм’я
F неперервних на X × Y функцiй, що функцiя f одержується за до-
помогою функцiй з F шляхом переходу до поточкової границi вiдпо-
вiдно не бiльш, нiж злiченну кiлькiсть разiв. Занумеруємо елементи
даної сiм’ї в послiдовнiсть F = (fn : n ∈ N).
Припустимо, що f не має властивостi Намiоки. Тодi |T | > ℵ0 i згi-
дно з твердженням 5.2 iснують вiдкрита в X непорожня множина U0
i ε0 > 0 такi, що для довiльних вiдкритої в X непорожньої множини
U ⊆ U0 i не бiльш, нiж злiченної множини S ⊆ T iснують x ∈ U i
y′, y′′ ∈ Y такi, що y′|S = y′′|S i |f(x, y′) − f(x, y′′)| > ε0.
Побудуємо стратегiю τ для гравця β у грi Шоке на просторi X.
Множина U0 — це перший хiд гравця β. Нехай V1 ⊆ U0 — непоро-
жня вiдкрита в X множина, яка є першим ходом гравця α. Оскiльки
неперервна функцiя f1 має властивiсть Намiоки, то згiдно з твер-
дженням 5.2 iснують вiдкрита в X непорожня множина Ũ1 ⊆ V1 i
злiченна множина S1 ⊆ T такi, що
|f1(x, y′) − f1(x, y′′)| < 1
для довiльних x ∈ Ũ1 i y′, y′′ ∈ Y з y′|S1
= y′′|S1
. Використовуючи
наше припущення, знайдемо точки x1 ∈ Ũ1 i y′1, y
′′
1 ∈ Y такi, що
y′1|S1
= y′′1 |S1
i
|f(x1, y
′
1) − f(x1, y
′′
1)| > ε0.
Оскiльки f неперервна вiдносно другої змiнної, то iснує вiдкритий в
X окiл U1 ⊆ Ũ1 точки x1 такий, що
|f(x, y′1) − f(x, y′′1)| > ε0
для довiльного x ∈ U1. Тепер покладемо U1 = τ(U0, V1) — другий хiд
гравця β.
Далi, нехай V2 ⊆ U1 — непорожня вiдкрита в X множина, яка є
другим ходом гравця α. Виберемо вiдкриту в X непорожню множину
Ũ2 ⊆ V2 i злiченну множину S2 ⊆ T , яка мiстить множину S1, такi,
що
216 Берiвська класифiкацiя
|f2(x, y′) − f2(x, y′′)| <
1
2
для довiльних x ∈ Ũ2 i y′, y′′ ∈ Y з y′|S2
= y′′|S2
. Використовуючи
наше припущення i неперервнiсть f вiдносно першої змiнної знайдемо
вiдкриту в X непорожню множину U2 ⊆ Ũ2 i точки y′2, y
′′
2 ∈ Y такi,
що y′2|S2
= y′′2 |S2
i
|f(x, y′2) − f(x, y′′2)| > ε0
для кожного x ∈ U2, i покладемо U2 = τ(U0, V1, U1, V2).
Продовжуючи цей процес до нескiнченностi, одержимо послiдов-
ностi (Un)∞n=1 i (Vn)∞n=1 вiдкритих в X непорожнiх множин Un i Vn,
(y′n)∞n=1 i (y′′n)∞n=1 точок y′n, y′′n ∈ Y i зростаючу послiдовнiсть (Sn)∞n=1
злiченних множин Sn ⊆ T такi, що для кожного n ∈ N виконуються
умови:
(a) Un ⊆ Vn ⊆ Un−1;
(b) y′n|Sn = y′′n|Sn ;
(c) |fn(x, y′) − fn(x, y′′)| < 1
n
для довiльних x ∈ Un i y′, y′′ ∈ Y з
y′|Sn = y′′|Sn ;
(d) |f(x, y′n) − f(x, y′′n)| > ε0 для кожного x ∈ Un.
Оскiльки простiр X берiвський, тобто β-несприятливий у грi Шо-
ке, то стратегiя τ не є виграшною для гравця β. Отже, iснує така
партiя, в якiй гравець β, граючи згiдно з τ , програє. Iншими слова-
ми, iснують згаданi вище послiдовностi з властивостями (a), (b),(c) i
(d) такi, що
⋂∞
n=1 Un 6= Ø.
Вiзьмемо довiльну точку x0 ∈
⋂∞
n=1 Un i позначимо S0 =
⋃∞
n=1 Sn.
Нехай функцiя g : X×Y → R є поточковою границею деякої пiдпослi-
довностi (fnk
)∞k=1 послiдовностi (fn)∞n=1. Врахувавши, що Snk
⊆ S0 i
x0 ∈ Unk
для кожного k ∈ N, i перейшовши в умовi (c) до границi при
k → ∞, одержимо, що g(x0, y
′) = g(x0, y
′′) для довiльних y′, y′′ ∈ Y
з y′|S0
= y′′|S0
. Отже, для довiльної поточкової границi g послiдов-
ностi (fnk
)∞k=1 її вертикальний розрiз gx0 : Y → R, gx0(y) = g(x0, y),
зосереджений на множинi S0. Оскiльки поточкова границя (не обо-
в’язково неперервних) функцiй gn : Y → R, зосереджених на множинi
S0, також зосереджена на множинi S0, то i неперервний вертикаль-
ний розрiз fx0 : Y → R, fx0(y) = f(x0, y), функцiї f зосереджений
на множинi S0. Згiдно з твердженням 5.1 iснує скiнченна множина
В. В. Михайлюк 217
T0 ⊆ S0 така, що |f(x0, y
′)− f(x0, y
′′)| ≤ ε0 для довiльних y′, y′′ ∈ Y з
y′|T0
= y′′|T0
. Оскiльки послiдовнiсть (Sn)∞n=1 зростає, то iснує номер
n0 ∈ N такий, що T0 ⊆ Sn0
. Тодi, з одного боку, з умови (b) i вибору
T0 випливає, що |f(x0, y
′
n0
) − f(x0, y
′′
n0
)| ≤ ε0. А з iншого боку, згiдно
з (d) |f(x0, y
′
n0
) − f(x0, y
′′
n0
)| > ε0, що приводить до суперечностi.
Наступний наслiдок дає позитивну вiдповiдь на питання 1.1.
Наслiдок 5.1. Довiльний берiвський слабко морановий простiр є
намiоковим простором.
Лiтература
[1] H. Lebesgue, Sur l’approximation des fonctions // Bull. Sci. Math. 22 (1898),
278–287.
[2] O. V. Maslyuchenko, V. K. Maslyuchenko, V. V. Mykhaylyuk, O. V. Sobchuk,
Paracompactness and separately continuous mappings // General Topology in
Banach spaces. Nova Sci. Publ. Nantintong, New-York. (2001), 147–169.
[3] W. Moran, Separate continuity and support of measures // J. London. Math. Soc.
44 (1969), 320–324.
[4] H. P. Rosental, On injective Banach spaces and the L∞(µ) for finite measure µ //
Acte Math. 124 (1970), 205–247.
[5] G. Vera, Baire measurability of separately continuous functions // Quart. J. Math.
Oxford. 39 (1988), N 153, 109–116.
[6] К. Куратовский, Топология. Т.1. М.:Мир, 1966, 594 с.
[7] T. O. Banakh, (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications in the
theory of separately continuous functions // Mat. studii. 18 (2002), N 1, 10–28.
[8] W. Rudin, Lebesgue first theorem // Math. Analysis and Applications, Part B.
Adv. in Math. Supplem Studies, Academic Press, 7B (1981), 741–747.
[9] O. V. Sobchuk, PP -spaces and Baire classifications // Internat. Conf. on Funct.
Analysis and its Appl. Dedic. to the 110-th ann. of Stefan Banach. May 28–31,
2002, Lviv, p. 189.
[10] О. В. Собчук, Берiвська класифiкацiя i простори Лебеґа // Наук. вiсн. Чер-
нiвецького ун-ту: Зб. наук. праць. Математика. Чернiвцi: Рута, Вип. 111,
(2001), 110–112.
[11] О. О. Карлова, Перший функцiональний лебегiвський клас i берiвська класи-
фiкацiя нарiзно неперервних вiдображень // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту:
Зб. наук. праць. Математика. Чернiвцi: Рута, Вип. 191–192, (2004), 52–60.
[12] M. Burke, Borel measurability of separately continuous functions // Top. Appl.
129 (2003), N 1, 29–65.
[13] M. Burke, Borel measurability of separately continuous functions II // Top. Appl.
134 (2003), N 3, 159–188.
[14] Р. Энгелькинг, Общая топология. М.:Мир, 1986, 752 с.
[15] V. V. Mykhaylyuk, Namioka spaces and topological games // Bull. Austral. Math.
Soc. 73 (2006), 263–272.
218 Берiвська класифiкацiя
[16] I. Namioka, Separate continuity and joint continuity // Pacif. J. Math. 51 (1974),
N 2, 515–531.
[17] J. Saint-Raymond,Jeux topologiques et espaces de Namioka // Proc. Amer. Math.
Soc. 87 (1983), N 3, 409–504.
Вiдомостi про авторiв
Володимир
Васильович
Михайлюк
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича
вул. Коцюбинського, 2
58012 Чернiвцi
Україна
E-Mail: mathan@chnu.cv.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124337 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:08:06Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлюк, В.В. 2017-09-23T18:05:29Z 2017-09-23T18:05:29Z 2008 Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки / В.В. Михайлюк // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 203-218. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. C08, 54C30, 54C05. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124337 Доведено наступнi два результати. 1. Якщо X такий цiлком регулярний простiр, що для довiльного топологiчного простору Y кожна нарiзно неперервна функцiя f : X×Y → R є функцiєю першого класу Бера, то кожний лiнделефовий пiдпростiр простору X можна неперервно бiєктивно вiдобразити на сепарабельний метризовний простiр. 2. Якщо X берiвський простiр, Y компактний простiр i f : X × Y → R нарiзно неперервна функцiя, яка є функцiєю першого класу Бера, то iснує щiльна в X Gδ-множина A така, що f сукупно неперервна в кожнiй точцi множини A × Y (це дає позитивну вiдповiдь на одне питання Ґ. Вери). uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки Article published earlier |
| spellingShingle | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки Михайлюк, В.В. |
| title | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки |
| title_full | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки |
| title_fullStr | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки |
| title_full_unstemmed | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки |
| title_short | Берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість Наміоки |
| title_sort | берівська класифікація нарізно неперервних функцій і властивість наміоки |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124337 |
| work_keys_str_mv | AT mihailûkvv berívsʹkaklasifíkacíânaríznoneperervnihfunkcíiívlastivístʹnamíoki |