Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах
Доводиться, що кожне вiдображення першого класу Бера, визначене на лiнделефовому G -пiдпросторi нормального простору i набуває значень у сильно -метризовному просторi зi спецiальним вичерпуванням, можна продовжити до вiдображення першого класу Бера на весь простiр....
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124341 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах / Т.О. Золотухіна, О.О. Карлова, О.В. Собчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 280-287. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236770157789184 |
|---|---|
| author | Золотухіна, Т.О. Карлова, О.О. Собчук, О.В. |
| author_facet | Золотухіна, Т.О. Карлова, О.О. Собчук, О.В. |
| citation_txt | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах / Т.О. Золотухіна, О.О. Карлова, О.В. Собчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 280-287. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Доводиться, що кожне вiдображення першого класу Бера, визначене на лiнделефовому G -пiдпросторi нормального простору i набуває значень у сильно -метризовному просторi зi спецiальним вичерпуванням, можна продовжити до вiдображення першого класу Бера на весь простiр.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:25:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 5 (2008), № 2, 280 – 287
Про продовження функцiй
першого класу Бера зi значеннями в
σ-метризовних просторах
Тетяна О. Золотухiна, Олена О. Карлова,
Олександр В. Собчук
(Представлена В. В. Шарко)
Анотацiя. Доводиться, що кожне вiдображення першого класу Бе-
ра, визначене на лiнделефовому Gδ-пiдпросторi нормального просто-
ру i набуває значень у сильно σ-метризовному просторi зi спецiаль-
ним вичерпуванням, можна продовжити до вiдображення першого
класу Бера на весь простiр.
2000 MSC. 54C20, 54H05.
Ключовi слова та фрази. Функцiя першого класу Бера, продов-
ження, σ-метризовний простiр.
1. Вступ
Згiдно з класичною теоремою Тiтце–Урисона [1, c. 116], кожну не-
перервну функцiю f : F → R, визначену на замкненiй пiдмножинi F
нормального простору X, можна продовжити до неперервної функцiї
на весь простiр. Теорема Дуґунджi [2] твердить, що кожну неперерв-
ну функцiю зi значеннями в локально опуклому просторi i визначену
на замкненiй пiдмножинi метричного простору можна продовжити
до неперервної функцiї.
Для топологiчних просторiв X i Y ми позначатимемо через
B1(X, Y ) сукупнiсть всiх вiдображень f : X → Y першого класу Бера,
тобто поточкових границь послiдовностей неперервних вiдображень.
Добре вiдомо, що дiйснозначну функцiю першого класу Бера, ви-
значену на Gδ-пiдмножинi метричного простору, можна продовжи-
ти до функцiї першого класу Бера, визначеної на всьому просторi
(див. [3, c. 445]). В. Маслюченко i О. Собчук у [4] встановили, зокре-
ма, що якщо E — замкнений Gδ-пiдпростiр нормального простору
Стаття надiйшла в редакцiю 5.06.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Т. О. Золотухiна, О. О. Карлова, О. В. Собчук 281
X, то кожну функцiю f ∈ B1(E, R) можна продовжити до функцiї
g ∈ B1(X, R). А. Каланча, В. Маслюченко i В. Михайлюк у [5] дове-
ли, що функцiю першого класу Бера, визначену на замкненому пiд-
просторi метризовного простору зi значеннями у локально опуклому
просторi, можна продовжити до функцiї першого класу Бера на весь
простiр.
О. Календа i Дж. Спурний у своїй працi [6] довели наступний
результат.
Теорема А. Нехай X — топологiчний простiр, M ⊆ X i
(a) M — функцiонально вiдкрита пiдмножина простору X, або
(б) X — цiлком регулярний, M — лiнделефовий Gδ-пiдпростiр прос-
тору X.
Тодi для кожної функцiї f ∈ B1(M, R) iснує функцiя g ∈ B1(X, R),
така, що f(x) = g(x) на M .
Природно виникає питання про розширення класу просторiв зна-
чень функцiй першого класу Бера, якi можна продовжити до фун-
кцiї першого класу Бера на весь простiр. Тут ми встановлюємо, що
вiдображення f ∈ B1(M, Y ) можна продовжити до вiдображення
g ∈ B1(X, Y ), якщо M — лiнделефовий Gδ-пiдпростiр нормального
простору X, а Y — сильно σ-метризовний простiр з вичерпуванням
(Yn)∞n=1, де Yn — польськi зв’язнi i локально зв’язнi простори.
2. Допомiжнi твердження
Нагадаємо [7], що топологiчний простiр Y називається рiвномiрно
зв’язним, якщо iснує неперервне вiдображення λ : Y ×Y × [0, 1] → Y ,
яке для всiх y′, y′′ ∈ Y i t ∈ [0, 1] задовольняє наступнi умови:
(i) λ(y′, y′′, 0) = y′,
(ii) λ(y′, y′′, 1) = y′′,
(iii) λ(y′, y′, t) = y′.
Лема 2.1. Нехай X — нормальний простiр, Y — рiвномiрно зв’я-
зний простiр, (Fi)
n
i=1 — диз’юнктнi замкненi в X множини i вiд-
ображення gi : X → Y , неперервнi для кожного 1 ≤ i ≤ n. Тодi iснує
неперервне вiдображення g : X → Y , таке, що g(x) = gi(x) на Fi для
кожного 1 ≤ i ≤ n.
282 Про продовження функцiй першого класу Бера...
Доведення. Нехай n = 2. Оскiльки множини F1 i F2 диз’юнктнi i
замкненi, то згiдно з лемою Урисона [1, c. 75] iснує неперервне вiд-
ображення ϕ : X → [0, 1], таке, що ϕ(x) = 0, якщо x ∈ F1, i ϕ(x) = 1,
якщо x ∈ F2. Простiр Y рiвномiрно зв’язний, тодi iснує неперервне
вiдображення λ : Y × Y × [0, 1] → Y , яке задовольняє умови (i)–(iii).
Для кожного x ∈ X покладемо
g(x) = λ(g1(x), g2(x), ϕ(x)).
Зрозумiло, що вiдображення g : X → Y неперервне. Якщо x ∈ F1, то
ϕ(x) = 0 i g(x) = g1(x). Якщо ж x ∈ F2, то ϕ(x) = 1 i g(x) = g2(x).
Припустимо, що твердження леми виконується для всiх 1 ≤ k < n,
i доведемо, що воно виконується при k = n. Згiдно з припущенням,
iснує неперервне вiдображення g̃ : X → Y , таке, що g̃|Fi
= gi для
кожного 1 ≤ i < n. Оскiльки множини F =
⋃n−1
i=1
Fi i Fn диз’юнктнi
i замкненi в X, то, згiдно з припущенням, iснує таке неперервне вiд-
ображення g : X → Y , що виконуються рiвностi g|F = g̃ i g|Fn = gn.
Тодi g|Fi
= gi для кожного 1 ≤ i ≤ n.
Для топологiчних просторiв X i Y символом H1(X, Y ) ми буде-
мо позначати сукупнiсть усiх вiдображень f : X → Y першого класу
Лебеґа, тобто таких, що для довiльної вiдкритої в Y множини G про-
образ f−1(G) є множиною типу Fσ в X.
Пiдмножину A топологiчного простору X ми називаємо двосто-
ронньою, якщо вона одночасно є типу Fσ i Gδ в X.
Лема 2.2. Нехай X — нормальний простiр, Y — рiвномiрно зв’я-
зний простiр, (En)∞n=1 — послiдовнiсть диз’юнктних двостороннiх
множин в X, така, що
X =
∞
⊔
n=1
En, Y =
∞
⋃
n=1
Yn,
H1(X, Yn) ⊆ B1(X, Yn)
i вiдображення f : X → Y таке, що f |En ∈ H1(En, Yn). Тодi f ∈
B1(X, Y ).
Доведення. Для кожного n виберемо довiльну точку yn ∈ Yn i покла-
демо fn(x) = f(x), якщо x ∈ En, i fn(x) = yn, якщо x 6∈ En. Оскiльки
fn|En ∈ H1(En, Yn) i множина En двостороння, то fn ∈ H1(X, Yn). То-
дi fn ∈ B1(X, Yn). Тому для кожного n iснує послiдовнiсть (gn,m)∞m=1
Т. О. Золотухiна, О. О. Карлова, О. В. Собчук 283
неперервних вiдображень gn,m : X → Yn, така, що gn,m(x) →
m→∞
fn(x)
для кожного x ∈ X. Зокрема, limm→∞ gn,m(x) = f(x) на En. Оскiльки
множини En є типу Fσ, то En =
⋃∞
m=1
Bn,m, де (Bn,m)∞m=1 — зростаю-
ча послiдовнiсть замкнених в X множин. Покладемо Fn,m = Ø, якщо
n > m, i Fn,m = Bn,m, якщо n ≤ m. Тодi з леми 2.1 випливає, що
для кожного m ∈ N iснує неперервне вiдображення gm : X → Y ,
таке, що gm|Fn,m = gn,m, адже система множин {Fn,m : n ∈ N} скiн-
ченна для кожного m ∈ N. Залишилось показати, що gm(x) → f(x)
на X. Нехай x ∈ X. Тодi iснує n ∈ N, таке, що x ∈ En. З того, що
послiдовнiсть (Fn,m)∞m=1 зростаюча, випливає, що iснує номер mo, та-
кий, що x ∈ Fn,m для всiх m ≥ mo. Тодi gm(x) = gn,m(x) для всiх
m ≥ mo. Отже, limm→∞ gm(x) = limm→∞ gn,m(x) = f(x). Таким чи-
ном, f ∈ B1(X, Y ).
Лема 2.3. Нехай X, Y — топологiчнi простори, (Yn)∞n=1 — зроста-
юча послiдовнiсть функцiонально замкнених пiдпросторiв простору
Y , така, що для кожної збiжної послiдовностi (yk)
∞
k=1
в Y iснує
номер n, такий, що {yk : k ∈ N} ⊆ Yn, i f ∈ B1(X, Y ). Тодi iснує по-
слiдовнiсть (Fn)∞n=1 функцiонально замкнених в X множин, така,
що X =
⋃∞
n=1
Fn, f(Fn) ⊆ Yn i f |Fn ∈ B1(Fn, Yn) для кожного n ∈ N.
Доведення. Вiдображення f належить до першого класу Бера, то-
му iснує послiдовнiсть неперервних вiдображень fn : X → Y , яка
поточково збiгається до вiдображення f на X. Для кожного n ∈ N
позначимо Gn =
⋃
k≥1
f−1
k (Y \ Yn) i покажемо, що
⋂∞
n=1
Gn = Ø.
Припустимо, що iснує x ∈
⋂∞
n=1
Gn. Тодi iснує послiдовнiсть номерiв
(kn)∞n=1, така, що fkn
(x) 6∈ Yn для кожного n. Оскiльки послiдовнiсть
(fn(x))∞n=1 збiжна в Y , то iснує такий номер m, що fn(x) ∈ Ym для
всiх n. Тодi i fkm
(x) ∈ Ym, що приводить до суперечностi. Таким чи-
ном,
⋂∞
n=1
Gn = Ø. Для кожного n ∈ N покладемо Fn = X \ Gn. Тодi
⋃∞
n=1
Fn = X \
⋂∞
n=1
Gn = X. Якщо x ∈ Fn, то fk(x) ∈ Yn для кожного
k ≥ 1. Оскiльки Yn — замкнений пiдпростiр Y i limk→∞ fk(x) = f(x),
то i f(x) ∈ Yn. З того, що множини Y \ Yk функцiонально вiдкритi у
просторi Y i вiдображення fk неперервнi, випливає, що множини Fn
функцiонально замкненi в X.
Нехай X — топологiчний простiр i A ⊆ X. Ми кажемо, що мно-
жина A є типу F ∗
σ /G∗
δ/ в X, якщо iснує послiдовнiсть (An)∞n=1 фун-
кцiонально замкнених /функцiонально вiдкритих/ в X множин An,
така, що A =
⋃∞
n=1
An /A =
⋂∞
n=1
An/. Якщо множина A є одночасно
типу F ∗
σ i G∗
δ у просторi X, то ми називаємо її двосторонньою* або
функцiонально двосторонньою.
284 Про продовження функцiй першого класу Бера...
Наступне твердження є аналогом добре вiдомих теорем редукцiї
i вiдокремностi [3].
Лема 2.4. Нехай X — топологiчний простiр.
а) [9, лема 3.2] Якщо (An)∞n=1 — послiдовнiсть F ∗
σ -множин в
X, причому X =
⋃∞
n=1
An, то iснує послiдовнiсть (Bn)∞n=1 ди-
з’юнктних двостороннiх* множин, таких, що Bn ⊆ An i X =
⋃∞
n=1
Bn.
б) [10, лема 2.3] Якщо A i B — диз’юнктнi G∗
δ-множини в X, то
iснує двостороння* множина C, така, що A ⊆ C i C ∩B = Ø.
Лема 2.5 ([6, Proposition 4]). Нехай X — цiлком регулярний прос-
тiр. Тодi
а) кожна лiнделефова Gδ-множина в X є типу G∗
δ;
б) для кожної G∗
δ-пiдмножини A у лiнделефовому пiдпросторi M
простору X iснує множина A∗ типу G∗
δ в X, така, що A =
A∗ ∩ M .
Лема 2.6. Нехай M — лiнделефовий Gδ-пiдпростiр цiлком регуляр-
ного простору X. Тодi
а) для кожної двосторонньої* в M множини A iснує двосторон-
ня* в X множина A∗, така, що A = A∗ ∩ M ;
б) для кожної послiдовностi (An)∞n=1 диз’юнктних двостороннiх*
в M множин, такої, що M =
⊔∞
n=1
An, iснує послiдовнiсть
(A∗
n)∞n=1 диз’юнктних двостороннiх* в X множин, така, що
X =
⊔∞
n=1
A∗
n i An = A∗
n ∩ M .
Доведення. а) Iз леми 5а) випливає, що множина M є типу G∗
δ в X.
Оскiльки множина A двостороння* в M , то множини A i B = M \ A
є типу G∗
δ в M . Згiдно з лемою 5б), iснують G∗
δ в X множини C i D,
такi, що A = C ∩M i B = D∩M . Тодi множини A i B є типу G∗
δ в X.
Iз леми 4б) випливає, що iснує двостороння* в X множина A∗, така,
що A ⊆ A∗ i A∗ ∩ B = Ø. Тодi A∗ ∩ M = A.
б) Згiдно з твердженням а) цiєї леми, для кожного n ∈ N iснує
двостороння* в X множина Dn, така, що An = Dn ∩ M . Покладемо
Bn = Dn \
(
⋃
k<n Dk
)
для n ≥ 2 i B1 = D1. Тодi множини Bn також
двостороннi* в X, An = Bn∩M i Bn∩Bm = Ø при n 6= m. З леми 4а)
випливає, що iснує послiдовнiсть (En)∞n=1 диз’юнктних двостороннiх*
в X множин, така, що X \M =
⊔∞
n=1
En. Для кожного n ∈ N позначи-
Т. О. Золотухiна, О. О. Карлова, О. В. Собчук 285
мо Cn = En ∪Bn. Тодi множини Cn двостороннi* в X i
⋃∞
n=1
Cn = X.
Покладемо A∗
1 = C1 i A∗
n = Cn \
(
⋃
k<n Ck
)
для n ≥ 2. Зрозумiло, що
A∗
n — диз’юнктнi двостороннi* в X i
⊔∞
n=1
A∗
n =
⋃∞
n=1
Cn = X.
Залишилось показати, що A∗
n ∩ M = An. Нехай x ∈ A∗
n ∩ M . Тодi
x ∈ (Cn ∪ Bn) ∩ M = (En ∩ M) ∪ (Bn ∩ M) = An,
адже En∩M = Ø. Якщо x ∈ An, то x ∈ M i x ∈ Bn ⊆ Cn. Нехай x ∈ Ck
для деякого k < n. Тодi x ∈ Ek або x ∈ Bk. Оскiльки M ∩Ek = Ø, то
x ∈ Bk, що проводить до суперечностi, бо Bn∩Bk = Ø. Таким чином,
x 6∈
⋃
k<n Ck, тому x ∈ A∗
n.
Лема 2.7. Нехай X — топологiчний простiр, Y — досконало нор-
мальний простiр. Тодi B1(X, Y ) ⊆ H1(X, Y ).
Доведення. Розглянемо вiдображення f ∈ B1(X, Y ). Тодi iснує по-
слiдовнiсть (fn)∞n=1 неперервних вiдображень f : X → Y , така, що
limn→∞ fn(x) = f(x) для кожного x ∈ X. Нехай F — замкнена в
Y множина. Оскiльки простiр Y досконало нормальний, то iснує
послiдовнiсть (Gm)∞m=1 вiдкритих в Y множин Gm, така, що F =
⋂∞
m=1
Gm =
⋂∞
m=1
Gm i Gm+1 ⊆ Gm для кожного m.
Покажемо, що
f−1(F ) =
∞
⋂
n=1
∞
⋃
m=n
f−1
n (Gm).
Справдi, нехай x ∈ f−1(F ) i m ∈ N. Тодi f(x) ∈ Gm. Оскiльки fn(x) →
f(x), то iснує номер n ≥ m, такий, що fn(x) ∈ Gm.
Нехай тепер точка x належить до правої частини рiвностi. Тодi
iснує зростаюча послiдовнiсть номерiв (nm)∞m=1, така, що fnm(x) ∈
Gm для кожного m. З того, що fnm(x) → f(x) випливає, що f(x) =
⋂∞
m=1
Gm, тобто f(x) ∈ F .
Оскiльки множини Gm є вiдкритими в Y , а вiдображення fn непе-
рервнi, то множина f−1(F ) є Gδ-множиною в X. Отже, f ∈ H1(X, Y ).
Лема 2.8 ( [8, Theorem 3.7]). Нехай X — нормальний простiр,
Y — метризовний лiнiйно зв’язний i локально лiнiйно зв’язний се-
парабельний простiр. Тодi H1(X, Y ) = B1(X, Y ).
286 Про продовження функцiй першого класу Бера...
3. Основний результат
Нагадаємо, що топологiчний простiр Y називається сильно σ-мет-
ризовним, якщо його можна подати у виглядi злiченного об’єднання
зростаючої послiдовностi своїх замкнених метризовних пiдпросторiв
Yn, причому для кожної збiжної в Y послiдовностi (yk)
∞
k=1
iснує номер
n, такий, що {yk : k ∈ N} ⊆ Yn. Послiдовнiсть пiдпросторiв (Yn)∞n=1
називається вичерпуванням простору Y .
Теорема 3.1. Нехай X — нормальний простiр, M — лiнделефовий
Gδ-пiдпростiр простору X, Y — сильно σ-метризовний рiвномiрно
зв’язний простiр з вичерпуванням (Yn)∞n=1, де Yn — польський зв’я-
зний i локально зв’язний простiр для кожного n, i f ∈ B1(M, Y ).
Тодi iснує f∗ ∈ B1(X, Y ), таке, що f∗|M = f .
Доведення. Згiдно з лемою 3 iснує послiдовнiсть (Fn)∞n=1 функцiо-
нально замкнених в M множин, така, що M =
⋃∞
n=1
Fn, f(Fn) ⊆ Yn
i f |Fn ∈ B1(Fn, Yn) для кожного n ∈ N. Iз леми 2.4 а) випливає,
що iснує послiдовнiсть (En)∞n=1 диз’юнктних двостороннiх* в M мно-
жин, така, що M =
⊔∞
n=1
En i En ⊆ Fn. Згiдно з лемою 2.6 б)
iснує послiдовнiсть (E∗
n)∞n=1 диз’юнктних двостороннiх* в X множин,
така, що X =
⊔∞
n=1
E∗
n i En = E∗
n ∩ M . Позначимо hn = f |En .
Оскiльки f |Fn ∈ B1(Fn, Yn), то, застосовуючи лему 2.7, маємо, що
f |Fn ∈ H1(Fn, Yn). Тому hn ∈ H1(En, Yn). Для кожного n ∈ N зафi-
ксуємо точку yn ∈ Yn i покладемо gn(x) = hn(x), якщо x ∈ En, i
gn(x) = yn, якщо x 6∈ En. Легко бачити, що gn ∈ H1(M, Yn), адже
множина En двостороння в M . Згiдно з [6, Theorem 29] для кожного
n iснує функцiя g∗n ∈ H1(X, Yn), така, що g∗n|M = gn.
Покладемо f∗(x) = g∗n(x), якщо x ∈ E∗
n. Якщо x ∈ M , то iснує
номер n, такий, що x ∈ En = E∗
n ∩ M . Тодi f∗(x) = g∗n(x) = gn(x) =
hn(x) = f(x). Iз леми 2.8 випливає, що H1(X, Yn) = B1(X, Yn). Зали-
шилось застосувати лему 2.2, з якої маємо, що f∗ ∈ B1(X, Y ).
Лiтература
[1] Р. Энгелькинг, Общая топология. М.: Мир, 1986, 752 с.
[2] J. Dugundji, An extension of Tietze’s theorem // Pacif. J. Math. 1 (1951), 353–
367.
[3] К. Куратовский, Топология. Т. 1. Москва: Мир, 1966, 596 с.
[4] В. К. Маслюченко, О. В. Собчук, Берiвська класифiкацiя i σ-метризовнi
простори // Мат. студiї. 3 (1994), 95–101.
[5] А. К. Каланча, В. К. Маслюченко, В. В. Михайлюк, Застосування теоре-
ми Дуґунджi до питань берiвської класифiкацiї векторнозначних вiдобра-
жень // Мат. методи i фiз.-мех. поля. 43 (2000), N 4, 12–17.
Т. О. Золотухiна, О. О. Карлова, О. В. Собчук 287
[6] O. Kalenda, J. Spurný, Extending Baire-one functions on topological spaces //
Topol. Appl. 149 (2005), 195–216.
[7] J. Dugundji, Locally equiconnected spaces and absolute neghborhood retracts //
Fund. Math. 57 (1965), 187–193.
[8] L. Veselý, Characterization of Baire-one functions between topological spaces //
Acta Univ. Carol., Math. Phys. 33 (1992), N 2, 143–156.
[9] О. О. Карлова, Перший функцiональний лебеґiвський клас i берiвська класи-
фiкацiя нарiзно неперервних вiдображень // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту.
Вип. 191–192. Математика. Чернiвцi: Рута, 2004, 52–60.
[10] О. О. Карлова, Берiвська класифiкацiя вiдображень, неперервних вiдносно
першої змiнної i функцiонального класу α вiдносно другої // Математичний
вiсник НТШ. 2 (2005), 98–114.
Вiдомостi про авторiв
Тетяна
Олександрiвна
Золотухiна,
Олена Олексiївна
Карлова,
Олександр
Васильович
Собчук
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича,
вул. Коцюбинського, 2,
м. Чернiвцi 58012
Україна
E-Mail: mathan@ukr.net
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124341 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:25:44Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Золотухіна, Т.О. Карлова, О.О. Собчук, О.В. 2017-09-23T18:11:02Z 2017-09-23T18:11:02Z 2008 Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах / Т.О. Золотухіна, О.О. Карлова, О.В. Собчук // Український математичний вісник. — 2008. — Т. 5, № 2. — С. 280-287. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1810-3200 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124341 2000 MSC. 54C20, 54H05. Доводиться, що кожне вiдображення першого класу Бера, визначене на лiнделефовому G -пiдпросторi нормального простору i набуває значень у сильно -метризовному просторi зi спецiальним вичерпуванням, можна продовжити до вiдображення першого класу Бера на весь простiр. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах Article published earlier |
| spellingShingle | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах Золотухіна, Т.О. Карлова, О.О. Собчук, О.В. |
| title | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| title_full | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| title_fullStr | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| title_full_unstemmed | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| title_short | Про продовження функцій першого класу Бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| title_sort | про продовження функцій першого класу бера зі значеннями в σ-метризовних просторах |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124341 |
| work_keys_str_mv | AT zolotuhínato proprodovžennâfunkcíiperšogoklasuberazíznačennâmivσmetrizovnihprostorah AT karlovaoo proprodovžennâfunkcíiperšogoklasuberazíznačennâmivσmetrizovnihprostorah AT sobčukov proprodovžennâfunkcíiperšogoklasuberazíznačennâmivσmetrizovnihprostorah |