Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения
Изучается явление мгновенной компактификации носителя для параболического вырождающегося уравнения с двойной нелинейностью и неоднородной абсорбцией в случае медленной диффузии, когда начальные данные Коши являются, вообще говоря, радоновскими мерами и могут расти на бесконечности. В терминах локаль...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124363 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 338-370. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124363 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дегтярев, С.П. 2017-09-24T13:02:41Z 2017-09-24T13:02:41Z 2009 Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 338-370. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35K55, 35K65. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124363 Изучается явление мгновенной компактификации носителя для параболического вырождающегося уравнения с двойной нелинейностью и неоднородной абсорбцией в случае медленной диффузии, когда начальные данные Коши являются, вообще говоря, радоновскими мерами и могут расти на бесконечности. В терминах локального поведения массы начальных данных и поведения неоднородности абсорбции на бесконечности для неотрицательного решения получено необходимое и достаточное условие наличия явления мгновенной компактификации носителя и в тех же терминах получены точные по порядку двусторонние оценки размеров носителя решения. Автор хотел бы выразить свою искреннюю благодарность А. Е. Шишкову и А. Ф. Тедееву за внимание к данной работе и ценные обсуждения в ходе ее выполнения. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| spellingShingle |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения Дегтярев, С.П. |
| title_short |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| title_full |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| title_fullStr |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| title_full_unstemmed |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| title_sort |
влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче коши для квазилинейного вырождающегося уравнения |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Изучается явление мгновенной компактификации носителя для параболического вырождающегося уравнения с двойной нелинейностью и неоднородной абсорбцией в случае медленной диффузии, когда начальные данные Коши являются, вообще говоря, радоновскими мерами и могут расти на бесконечности. В терминах локального поведения массы начальных данных и поведения неоднородности абсорбции на бесконечности для неотрицательного решения получено необходимое и достаточное условие наличия явления мгновенной компактификации носителя и в тех же терминах получены точные по порядку двусторонние оценки размеров носителя решения.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124363 |
| citation_txt |
Влияние неоднородности абсорбции на процесс мгновенной компактификации носителя в задаче Коши для квазилинейного вырождающегося уравнения / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 3. — С. 338-370. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp vliânieneodnorodnostiabsorbciinaprocessmgnovennoikompaktifikaciinositelâvzadačekošidlâkvazilineinogovyroždaûŝegosâuravneniâ |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| _version_ |
1850603210019962880 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 6 (2009), № 3, 338 – 370
Влияние неоднородности абсорбции на процесс
мгновенной компактификации носителя в
задаче Коши для квазилинейного
вырождающегося уравнения
Сергей П. Дегтярев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Изучается явление мгновенной компактификации но-
сителя для параболического вырождающегося уравнения с двойной
нелинейностью и неоднородной абсорбцией в случае медленной диф-
фузии, когда начальные данные Коши являются, вообще говоря, ра-
доновскими мерами и могут расти на бесконечности. В терминах ло-
кального поведения массы начальных данных и поведения неодноро-
дности абсорбции на бесконечности для неотрицательного решения
получено необходимое и достаточное условие наличия явления мгно-
венной компактификации носителя и в тех же терминах получены
точные по порядку двусторонние оценки размеров носителя реше-
ния.
2000 MSC. 35K55, 35K65.
Ключевые слова и фразы. Мгновенная компактификация носи-
теля, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, двусто-
ронние оценки носителя.
1. Постановка задачи и основной результат
В области R
N × [0, T ], N — размерность пространства R
N , T >
0, рассмотрим следующую задачу Коши для неизвестной функции
u(x, t)
∂
∂t
(|u|β−1 u(x, t)) −∇(|∇u|p−2 ∇u) + h(x, t) |u|λ−1 u(x, t) = 0,
x ∈ R
N , t > 0, (1.1)
|u|β−1 u(x, 0) = |u0|
β−1 u0(x), x ∈ R
N , (1.2)
Статья поступила в редакцию 30.06.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
С. П. Дегтярев 339
где ∇ = ( ∂
∂x1
, . . . , ∂
∂xN
), β > 0, p > 0, λ > 0 — заданные парамет-
ры, h(x, t) — заданная строго положительная функция, а заданные
начальные данные |u0|
β−1 u0(x) могут быть локально конечной ра-
доновской мерой. Мы рассматриваем случай медленной диффузии
и сильной абсорбции, что выражается в следующем ограничении на
параметры задачи
β > 0, p > 1 + β, λ < β. (1.3)
Строго положительная функция h(x, t), растущая либо убываю-
щая на бесконечности, предполагается, для простоты, непрерывной
и удовлетворяющей следующему условию удвоения
C−1h(k−1x, τ) ≤ h(x, t) ≤ Ch(kx, τ), k ∈ [1, 2], τ ∈ [0, t], (1.4)
где здесь и всюду ниже через C, γ, b мы будем обозначать все разли-
чные абсолютные константы либо константы, зависящие только от
параметров задачи β, p, λ, N, u0.
Кроме того, на протяжении всего текста статьи мы используем
обозначения
d = p − 1 − β > 0, dλ = p − 1 − λ, ∆ = β − λ,
k = Nd + βp, kλ = Ndλ + βp. (1.5)
В случае однородной абсорбции, то есть когда h(x, t) ≡ 1, из
работ, например, [1–12, 17] известно, что, если начальная функция
|u0|
β−1 u0(x) является достаточно регулярной и убывающей на бе-
сконечности (возможно, в некотором интегральном смысле), а также
выполнено (1.3), то задача (1.1), (1.2) разрешима в слабом смысле и
наблюдается явление мгновенной компактификации носителя реше-
ния, когда, несмотря на то, что носитель начальной функции может
совпадать со всем пространством R
N , у решения он становится ком-
пактным в любой сколь угодно малый момент времени t > 0.
При этом точные локальные энергетические методы, которые и
мы применяем в данной работе, впервые были применены в рабо-
тах [1, 2], что позволило рассмотреть широкий класс локально сум-
мируемых с некоторой степенью начальных данных (в отличие от
рассматривавшихся ранее непрерывных данных) и получить конкре-
тные оценки размеров носителя решения. Более того, в работах [1,2]
был поставлен вопрос о поведении носителя решения в случае на-
чальных данных, представляющих собой локально конечные меры
Радона. Именно рассмотрение этого вопроса позволило в дальнейшем
340 Влияние неоднородности абсорбции...
получить точные по порядку двусторонние оценки размеров носите-
ля.
Настоящая работа посвящена изучению данного явления для за-
дачи (1.1), (1.2) в случае неоднородной абсорбции (неоднородность
моделируется наличием в уравнении растущего либо убывающего по-
тенциала h(x, t)) и получению точных по порядку оценок размеров
носителя слабого решения указанной задачи в терминах поведения
начальной функции и потенциала, когда начальные данные являю-
тся локально конечными мерами.
Вопрос влияния неоднородности абсорбции на процесс мгновен-
ной компактификации носителя решения рассматривался ранее в ря-
де работ. Отметим работы [5,8,12,13], где изучалась рассматриваемая
нами ситуация неоднородной абсорбции и было при этом, в частно-
сти, выяснено то замечательное обстоятельство, что при растущем
на бесконечности потенциале h(x, t) явление мгновенной компакти-
фикации носителя наблюдается даже при растущих начальных дан-
ных. Однако эти результаты не содержат точных по порядку оценок
размеров носителя в рассматриваемой нами ситуации, получение ко-
торых является, как отмечено, одной из целей данной работы.
Таким образом, целью данной работы является изучение влияния
неоднородности абсорбции h(x, t) на явление мгновенной компакти-
фикации носителя решения и при этом, с одной стороны, максималь-
но расширить класс возможных начальных функций до локально ко-
нечных радоновских мер, а с другой стороны, получить точную по
порядку двустороннюю оценку размера носителя решения с учетом
поведения на бесконечности потенциала h(x, t).
Что касается метода, применяемого нами в данной работе, то мы
используем метод локальных интегральных оценок, развитый в ра-
ботах [14–16].
Чтобы сформулировать основной результат введем еще несколько
определений и обозначений.
Под слабым решением задачи (1.1), (1.2) на интервале времени
[0, T ] мы понимаем измеримую функцию, обладающую следующими
свойствами:
1) для любой функции ζ ∈ C∞
0 (RN ) отображение
t ∈ [0, T ] →
∫
RN
|u|β−1 u(x, t)ζ(x) dx
непрерывно;
С. П. Дегтярев 341
2) для любой финитной по x достаточно гладкой функции η(x, t)
выполнено интегральное тождество
∫
RN
|u|β−1 u(x, t)η dx
+
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
|∇u|p−2 uxi
ηxi
dx dτ +
t∫
0
∫
RN
h(x, τ) |u|λ−1 uη dx dτ
=
∫
RN
|u0|
β−1 u0(x)η(x, 0) dx +
t∫
0
∫
RN
|u|β−1 u(x, τ)ητ (x, τ) dx dτ.
(1.6)
Из работ [18, 19] следует, что задача (1.1), (1.2) при заданном со-
отношении параметров (1.3) разрешима для начальных функций из
L1,loc(R
N ) или для локально конечных радоновских мер в качестве
начальных данных, не слишком растущих на бесконечности. А имен-
но, пусть для R > 0
|||u0|||R ≡ sup
ρ>R
ρ−
k
d
∫
Bρ(0)
∣∣∣|u0|
β−1 u0(x)
∣∣∣ dx < ∞,
где здесь и всюду ниже Bρ(x0) означает шар радиуса ρ с центром в
x0, а интеграл по Bρ(x0) от модуля начальной функции в случае, если
эта функция представляет собой радоновскую меру, означает полную
вариацию этой меры по шару Bρ(x0). Тогда известно ( [18,19]), что на
некотором интервале времени [0, T ] для решения задачи (1.1), (1.2)
справедлива оценка
|||u(x, t)|||R ≤ C |||u0|||R . (1.7)
Более того, из результатов работ [18, 19] следует, что слабое ре-
шение задачи локально ограничено при t > 0 и, кроме того, uxi
∈
Lp,loc(R
N × (0, T )), а также выполнена следующая оценка максимума
модуля решения
sup |u(·, t)|Bρ(0) ≤ Ct−N/kρp/d |||u0|||R , ρ ≥ R. (1.8)
Это, в частности, означает, что интегральное тождество (1.6) спра-
ведливо для финитных по x пробных функций η(x, t) ∈ Lp,loc((0, T ),
W 1
p,loc(R
N )). Отметим также, что автору неизвестна единственность
слабого решения задачи (1.1), (1.2) когда одновременно β 6= 1 и p 6= 2
342 Влияние неоднородности абсорбции...
и начальные данные не принадлежат L1(R
N ) (как в нашем случае,
когда они принадлежат только L1,loc(R
N )). В то же время единствен-
ность сильных решений рассматриваемой задачи следует из результа-
тов работы [20]. В связи с этим, ниже при доказательстве оценки сни-
зу (1.15) размеров носителя решения мы считаем наше решение тем
слабым решением, которое является пределом решений с гладкими
финитными начальными данными (как и получается слабое решение
в работах [18,19]).
Чтобы сформулировать основной результат введем важный для
нас показатель
κ =
p − 1 − λ
p(β − λ)
=
dλ
p∆
> 0. (1.9)
Введем также другой показатель, связанный с неоднородностью
абсорбции и присутствием в уравнении потенциала
µ = κ −
1
p
=
p − 1 − β
p(β − λ)
=
d
p∆
> 0. (1.10)
Введем еще важный для нас “характерный радиус”, связанный
с заданной точкой x0 ∈ R
N и t > 0. Зафиксируем ε0 ∈ (0, 1/4) и
положим здесь и всюду далее
D ≡ D(x0, t) = min{tκhµ(x0, t), ε0|x0|}. (1.11)
Отметим, что, так как мы рассматриваем только достаточно большие
|x0|, то при функциях h(x, t), убывающих или не слишком сильно
растущих на бесконечности, мы имеем D = tκhµ(x0, t).
Кроме того, определим функцию
ϕt(x0) = h
− β
β−λ (x0, t)
1
ωNDN
∫
|x−x0|<D
|u0(x)|β dx
≡ h
− β
β−λ (x0, t)
∮
BD(x0)
|u0(x)|β dx, (1.12)
где ωN объем единичного шара в R
N , а также функцию
ϕt(ρ) ≡ sup
|x0|=ρ
ϕt(x0). (1.13)
С. П. Дегтярев 343
Теорема 1.1. Если начальная функция в (1.2) неотрицательна (не-
положительна), то решение задачи (1.1), (1.2) обладает свойством
мгновенной компактификации носителя тогда и только тогда, ко-
гда для начальной функции |u0|
β−1u0(x) (которая может быть ра-
доновской мерой) выполнено условие
ϕt(ρ) → 0, ρ → ∞
при каком-либо t > 0 (в этом случае, как легко проверить, сформу-
лированное условие выполнено при любом t > 0). При этом суще-
ствуют такие, зависящие от u0(x) константы t0, γ0, γ1 M1, что
на интервале времени [0, t0] справедливы следующие оценки сверху и
снизу размеров носителя решения
S(t) ≤ Cϕ−1
t (γ0t
β
β−λ ), (1.14)
S(t) ≥ ϕ−1
M1t(γ1t
β
β−λ ), (1.15)
где при нестрого монотонной функции ϕt(ρ)
ϕ−1
t (s) ≡ inf
ρ
{ρ : ϕt(k) < s, k > ρ} . (1.16)
Если же начальная функция, удовлетворяющая указанным выше
условиям, произвольно меняет знак, то оценка (1.14) размера носи-
теля сверху имеет место и в этом случае.
Замечание 1.1. Из определения функции ϕt(ρ) и из оценки (1.14)
следует, что при растущей на бесконечности функции h(x, t) мгновен-
ная компактификация носителя решения наблюдается даже при на-
чальных данных, растущих на бесконечности — точное соотношение
возможного роста дается формулой (1.14). Кроме того, если h(x, t)
убывает на бесконечности, то от начальных данных требуется доста-
точно быстрое убывание, чтобы мгновенная компактификация имела
место. Например, если h(x, t) и u0(x) имеют степенное поведение на
бесконечности, то есть h(x, t) ∼ |x|q, u0(x) ∼ |x|a, q, a ∈ R, то явление
мгновенной компактификации носителя решения наблюдается тогда
и только тогда, когда −q + a(β − λ) < 0, при этом S(t) ∼ t
1
−q+a(β−λ) .
Замечание 1.2. Переходя к доказательству теоремы 1.1, отметим,
что в соответствии с формулировкой этой теоремы мы будем в па-
раграфах 2–5 данной статьи считать начальные данные, а, следо-
вательно, и решение неотрицательными, не оговаривая это каждый
раз отдельно. (При этом все приведенные в п. 2–4 доказательства и
рассуждения не меняются для начальных данных и решений прои-
звольного знака и остаются справедливыми.)
344 Влияние неоднородности абсорбции...
Отметим также, что при получении нужных нам интегральных
соотношений мы будем умножать уравнение (1.1) на различные про-
бные функции с последующим интегрированием. Эти операции оп-
равдываются выбором в интегральном тождестве (1.6) в качестве
пробных функций срезок от стекловских усреднений решения, прои-
зведением нужных промежуточных операций и последующим пре-
дельным переходом по параметру усреднения в окончательном соо-
тношении. Этот процесс вполне стандартен и описан, например, в [21],
поэтому мы не останавливаемся на этом подробно.
Последующие параграфы статьи посвящены доказательству тео-
ремы 1.1.
2. Условие на локальную энергию для
локального обращения решения в ноль
В этом пункте мы докажем следующую лемму.
Лемма 2.1. Пусть R > 0, σ ∈ (0, 1), x0 ∈ R
N , D = D(x0, t) опре-
делено в (1.11). Пусть 0 < R1 < R2, R2 = RD, R1 = (1 − σ)R2,
BRi
= BRi
(x0) = {x : |x − x0| < Ri}, и пусть здесь и ниже для
краткости h = h(x0, t). Тогда существует константа γ2 = γ2(R, σ),
такая, что, если
Y (t/2, R2) ≡ sup
t/2<τ<t
∫
BR2
u1+β(x, τ) dx +
t∫
t/2
∫
BR2
|∇u|p dx dτ
+
t∫
t/2
∫
BR2
h(x, τ)u1+λ dx dτ ≤ γ2t
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) h
Nd+p(1+β)
p(β−λ) , (2.1)
то u(x, t) ≡ 0 на множестве BR1(x0) × [3t/4, t].
Доказательство. Пусть (для n = 0, 1, . . . ) Rn = R1 + (R2 − R1)2
−n,
Rn = (Rn + Rn+1)/2, tn = 3t
4 − t
42−n, tn = (tn + tn+1)/2, Bn = BRn —
сужающиеся концентрические шары с центром в x0, Bn = BRn
, Qn =
Bn × [tn, t], Qn = Bn × [tn, t]. Пусть, далее, ζn ∈ C∞(RN × [0, T ]) —
срезающая функция для цилиндра Qn, такая, что ζn ≡ 1 на Qn+1,
ζn ≥ 1/2 на Qn, ζn ≡ 0 вне Qn, |∇ζ| ≤ C2n(R2 − R1)
−1, |ζt| ≤ C2nt−1.
Пусть еще ξn такие гладкие срезающие функции цилиндра Qn, что
ξn ≡ 1 на Qn+1, ξn ≡ 0 вне Qn, |∇ξ| ≤ C2n(R2 −R1)
−1, |ξt| ≤ C2nt−1.
С. П. Дегтярев 345
Умножим обе части уравнения (1.1) на u(x, τ)ξs
n(x, τ), s > p, и
проинтегрируем по Qn. Получим после интегрирования по частям:
1
1 + β
∫
Bn
u1+β(x, t)ξs
n dx +
t∫
tn
∫
Bn
|∇u|p ξs
n dx dτ
+
t∫
tn
∫
Bn
h(x, τ)u1+λξs
n dx dτ =
s
1 + β
t∫
tn
∫
Bn
u1+βξs−1
n ξnτ dx dτ
− s
N∑
i=1
t∫
tn
∫
Bn
|∇u|p−2 uxi
uξnxi
ξs−1
n dx dτ ≡ I1 + I2.
Оценим сумму I2 по неравенству Юнга с ε = 1/2 следующим образом
|I2| ≤ C
∫∫
Qn
|∇u|p−1 ξs
nu |∇ξn| ξ
−1
n dx dτ
≤
1
2
∫∫
Qn
|∇u|p ξs
n dx dτ + C
∫∫
Qn
upξs−p
n |∇ξn|
p dx dτ.
Подставляя эту оценку в предыдущее неравенство, с учетом свойств
функции ξn(x, τ), ввиду произвольности t, получаем соотношение
sup
tn+1<τ<t
∫
Bn+1
u1+β(x, τ) dx +
∫∫
Qn+1
|∇u|p dx dτ +
∫∫
Qn+1
h(x, τ)u1+λ dx dτ
≤ C2n
(
t−1
∫∫
Qn
u1+β dx dτ + (R2 − R1)
−p
∫∫
Qn
up dx dτ
)
. (2.2)
Определим функции vn(x, τ) = ζn(x, τ)u(x, τ). Заметим, что ввиду
свойств функции ζn(x, τ),
∫∫
Qn+1
|∇vn+1|
p dx dτ ≤ C
∫∫
Qn+1
|∇u|p dx dτ +C2np(R2−R1)
−p
∫∫
Qn
up dx dτ.
Таким образом, учитывая то, что ζn ≥ 1/2 на Qn, из последних двух
соотношений получаем, вводя величины Yn:
346 Влияние неоднородности абсорбции...
Yn+1 ≡ sup
tn+1<τ<t
∫
Bn+1
v1+β
n+1(x, τ) dx
+
∫∫
Qn+1
|∇vn+1|
p dx dτ +
∫∫
Qn+1
h(x, τ)v1+λ
n+1 dx dτ
≤ C2np
(
t−1
∫∫
Qn
v1+β
n dx dτ + (R2 − R1)
−p
∫∫
Qn
vp
n dx dτ
)
≡ C2np(I1 + I2). (2.3)
Рассмотрим отдельно случаи D = tκh(µ) < ε0|x0| и D = ε0|x0| ≤
tκh(µ). Пусть сначала D = tκh(µ).
Рассмотрим сначала величину I1 в правой части последнего нера-
венства. Оценим эту величину следующим образом
I1 ≤ t−1
(
sup
tn<τ<t
∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)1−α t∫
tn
( ∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)α
dτ,
(2.4)
где α ∈ (0, 1) выберем ниже. Применим к интегралу по Bn в кон-
це последнего соотношения неравенство Ниренберга–Гальярдо и про-
должим получающееся неравенство с учетом (1.4):
( ∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)α
≤ C
( ∫
Bn
|∇vn|
p dx
)αω0
1+β
p
( ∫
Bn
v1+λ
n (x, τ) dx
)α(1−ω0) 1+β
1+λ
≤ Ch−α(1−ω0) 1+β
1+λ
( ∫
Bn
|∇vn|
p dx
)αω0
1+β
p
×
( ∫
Bn
h(x, τ)v1+λ
n (x, τ) dx
)α(1−ω0) 1+β
1+λ
, (2.5)
где ω0 определяется из равенства
1
1 + β
= ω0
(1
p
−
1
N
)
+ (1 − ω0)
1
1 + λ
.
С. П. Дегтярев 347
Подчиним теперь α условию, чтобы сумма степеней интегралов в пра-
вой части (2.5) была равна 1:
αω0
1 + β
p
+ α(1 − ω0)
1 + β
1 + λ
= 1.
Непосредственные вычисления показывают, что
α =
(
1 + ω0
1 + β
N
)−1
=
Ndλ + p(1 + λ)
Ndλ + p(1 + β)
, 1 − α =
p(β − 1)
Ndr + p(1 + β)
,
α(1 − ω0)
1 + β
1 + λ
=
Nd + p(1 + β)
Ndλ + p(1 + β)
.
Учитывая, что сумма степеней интегралов в правой части (2.5)
равна 1, проинтегрировав неравенство (2.5) по времени и применяя
сначала неравенство Гельдера, а затем неравенство Юнга, получим
t∫
tn
( ∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)α
dτ
≤ Ch
Nd+p(1+β)
Ndλ+p(1+β)
( t∫
tn
∫
Bn
|∇vn|
p dx dτ +
t∫
tn
∫
Bn
h(x, τ)v1+λ
n (x, τ) dx dτ
)
.
Таким образом, из последнего неравенства, примененного к оцен-
ке (2.4), следует, что
I1 ≤ Ct−1h
Nd+p(1+β)
Ndλ+p(1+β) Y 1+(1−α)
n = Ct−1h
Nd+p(1+β)
Ndλ+p(1+β) Y
1+
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
n . (2.6)
Рассмотрим теперь величину I2 в (2.3). Для оценки I2 применим
к интегралу по dx по Bn неравенство Ниренберга–Гальярдо вида (оно
является простым следствием обычного неравенства Ниренберга–Га-
льярдо)
∫
Bn
vp
n dx ≤ C
( ∫
Bn
|∇vn|
p dx
)ω1
×
( ∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)ω2
p
1+β
( ∫
Bn
v1+λ
n (x, τ) dx
)ω3
p
1+λ
348 Влияние неоднородности абсорбции...
≤ Ch−ω3
p
1+λ
( ∫
Bn
|∇vn|
p dx
)ω1
( ∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)ω2
p
1+β
×
( ∫
Bn
h(x, τ)v1+λ
n (x, τ) dx
)ω3
p
1+λ
, (2.7)
где числа ωi ∈ (0, 1), i = 1, 2, 3 определяются неоднозначно и подчи-
нены условиям
{
ω1 + ω2 + ω3 = 1,
1
p = ω1(
1
p − 1
N ) + ω2
1
1+β + ω3
1
1+λ .
(2.8)
Как и выше при оценке I1, подчиним числа ωi условию, чтобы сумма
степеней первого и последнего интегралов в (2.7) была равна 1:
ω1 + ω3
p
1 + λ
= 1. (2.9)
Из системы (2.8)–(2.9) числа ωi определяются уже однозначно и удов-
летворяют условию ωi ∈ (0, 1). При этом, как показывают непосред-
ственные вычисления,
ω2
p
1 + β
=
pdλ
Ndλ + p(1 + β)
, ω3
p
1 + λ
=
p(1 + β)
Ndλ + p(1 + β)
.
Интегрируя (2.7) по времени, вынося (suptn<τ<t
∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx)
ω2
p
1+β
и применяя неравенства Гельдера и Юнга, с учетом (2.9) получаем
t∫
tn
∫
Bn
vp
n dx dτ ≤ Ch
−
p(1+β)
Ndλ+p(1+β)
(
sup
tn<τ<t
∫
Bn
v1+β
n (x, τ) dx
)ω2
p
1+β
×
( t∫
tn
∫
Bn
|∇vn|
p dx dτ +
t∫
tn
∫
Bn
h(x, τ)v1+λ
n dx dτ
)
.
Следовательно, используя определение R1 и R2, для величины I2 в
правой части (2.3), имеем оценку
I2 ≤ C(Rσ)−pt−dλ/(β−λ)h
−
p(1+β)
Ndλ+p(1+β)
− d
β−λ Y
1+
pdλ
Ndλ+p(1+β)
n . (2.10)
Из (2.3), (2.6) и (2.10) следует, что
С. П. Дегтярев 349
Yn+1 ≤ C2np
(
t−1h
−
Nd+p(1+β)
Ndλ+p(1+β) Y
1+
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
n
+ (Rσ)−pt−dλ/(β−λ)h
−
p(1+β)
Ndλ+p(1+β)
− d
β−λ Y
1+
pdλ
Ndλ+p(1+β)
n
)
.
На основании итеративной леммы 5.6 из [21] из последнего неравен-
ства заключаем, что Yn → 0 при n → ∞, если достаточно мала вели-
чина
C
(
t−1h
−
Nd+p(1+β)
Ndλ+p(1+β) Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
0
+ (Rσ)−pt−dλ/(β−λ)h
−
p(1+β)
Ndλ+p(1+β)
− d
β−λ Y
pdλ
Ndλ+p(1+β)
0
)
= C
{[
t−1h
− k+p
kλ+p Y
p(β−λ)
kλ+p
0
]
+ (Rσ)−p
[
t−1h
− k+p
kλ+p Y
p(β−λ)
kλ+p
0
] dλ
β−λ
}
.
Ясно, что указанная величина будет малой тогда и только тогда, ко-
гда мала величина в квадратных скобках t−1h
− k+p
kλ+p Y
p(β−λ)
kλ+p
0 , то есть,
когда
Y0 ≤ γ2t
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ , (2.11)
где число γ2 = γ2(R, σ) достаточно мало.
Тем самым, ввиду определения величин Yn, утверждение лем-
мы 2.1 доказано в случае D = tκhµ.
Пусть теперь D = ε0|x0| ≤ tκhµ. Этот случай рассматривается
аналогично предыдущему с применением итеративной леммы 5.6 из
[21]. При этом интеграл I1 в (2.3) оценивается точно так же, как и
выше, что дает условие (2.1). Интеграл же I2 в (2.3) мы в этом случае
оценим так
(R2 − R1)
−p
∫∫
Qn
vp
n dx dτ ≤ |u|d0 (R2 − R1)
−p
∫∫
Qn
v1+β
n dx dτ,
где
|u|0 = sup
BR2
×[t/2,t]
|u(x, τ)| ≤ C(u0, R, σ, ε0)t
−N
k D
p
d , (2.12)
в силу оценки (1.8). Оценивая теперь последний двойной интеграл от
v1+β
n так же, как и выше при оценке I1, приходим, в результате, к
условию
|u|d0 D−ph
− k+p
kλ+p Y
p∆
kλ+p
0 ≤ γ2.
350 Влияние неоднородности абсорбции...
Усиливая теперь последнее условие посредством оценки (2.12),
приходим к условию
(
t−
N
k D
p
d
)d
D−ph
− k+p
kλ+p Y
p∆
kλ+p
0 ≤ γ2,
или, как легко видеть, к условию
Y0 ≤ γ2t
(Nd
k
)
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ .
Так как мы рассматриваем значения t ≤ 1 и Nd
k < 1, то показатель
степени t в последнем условии меньше, чем в (2.1), и, следовательно,
последнее условие заведомо выполнено, если выполнено условие (2.1)
с достаточно малым γ2 = γ2(R, σ, u0).
Тем самым лемма 2.1 доказана.
3. Условия локального обращения
решения в ноль в терминах локальной
массы решения
В этом пункте мы получим оценки энергии решения, фигуриро-
вавшей в лемме 2.1 предыдущего пункта, через массу решения мето-
дом работ [14–16].
Лемма 3.1. Пусть 0 < r1 < r2, 0 < t2 < t1 < t, Bri
— шары
с центром в x0 радиуса ri. Тогда для решения u(x, τ) задачи (1.1),
(1.2) справедлива оценка
Y (t1, r1) ≡ sup
t1<τ<t
∫
Br1
u1+β(x, τ) dx
+
t∫
t1
∫
Br1
|∇u|p dx dτ +
t∫
t1
∫
Br1
hu1+r dx dτ
≤ C
[
t − t2
(t − t2)
k+N
k
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβ dx
) k+p
k
+
t − t2
(r2 − r1)
k+N
β
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
uβ dx
) p
β
]
. (3.1)
Если же с некоторым γ > 0 выполнены условия r2− r1 > γ(|x0|+
r2) и 1 > t2 > γ(t1 − t2), то второе слагаемое в оценке (3.1) можно
отбросить.
С. П. Дегтярев 351
Доказательство. Определим величины tn = t2 + (t1 − t2)2
−n, tn =
(tn+tn+1)/2, rn = r2−(r2−r1)2
−n, rn = (rn+rn+1)/2 и последователь-
ность расширяющихся (в отличие от леммы 2.1) областей Bn = Brn ,
Bn = Brn , Qn = Bn × [tn, t], Qn = Bn × [tn, t]. Пусть, далее, ζn(x, τ) —
гладкие срезающие функции, такие, что ζn ≡ 1 на Qn, ζn ≥ 1/2 на
Qn, ζn ≡ 0 вне Qn+1, |ζnt| ≤ C2n(t1 − t2)
−1, |∇ζn| ≤ C2n(r2 − r1)
−1.
Полностью аналогично доказательству леммы 2.1, вводя вспомо-
гательные функции vn(x, τ) = ζn(x, τ)u(x, τ), и учитывая, что
|∇vn|
p ≤ C (|∇u|p + 2npup) , (3.2)
так же, как мы получили неравенство (2.3) в доказательстве лем-
мы 2.1, из уравнения (1.1) получаем для этих функций оценку
Yn ≡ sup
tn+1<τ<t
∫
Bn+1
v1+β
n (x, τ) dx
+
∫∫
Qn+1
|∇vn|
p dx dτ +
∫∫
Qn+1
hv1+r
n dx dτ
≤ Cbn
(
(t1 − t2)
−1
∫∫
Qn+2
v1+β
n+1 dx dτ + (r2 − r1)
−p
∫∫
Qn+2
vp
n+1 dx dτ
)
≡ I1 + I2, (3.3)
где b — некоторая константа.
Оценим выражения I1 и I2 в правой части (3.3), применяя к инте-
гралам по dx по Bn+2 неравенство Ниренберга–Гальярдо. Имеем для
I1:
∫
Bn+2
v1+β
n+1(x, τ) dx ≤ C
( ∫
Bn+2
|∇vn+1|
p dx
)ω1
1+β
p
×
( ∫
Bn+2
vβ
n+1(x, τ) dx
)(1−ω1) 1+β
β
,
где ω1 определяется из соотношения
1
1 + β
= ω1
(1
p
−
1
N
)
+ (1 − ω1)
1
β
.
352 Влияние неоднородности абсорбции...
Интегрируя последнее неравенство по времени, вынося
suptn+2<τ<t
∫
Bn+2
vβ
n+1(x, τ) dx и применяя неравенство Гельдера, по-
лучаем
I1 ≤ C
( ∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx
)ω1
1+β
p
bn
×
(t − tn+2)
1−ω1
1+β
p
(t1 − t2)
(
sup
tn+2<τ<t
∫
Bn+2
vβ
n+1 dx
)(1−ω1) 1+β
β
.
Применяя теперь к правой части последнего соотношения неравен-
ство Юнга с ε = δ/2 (где δ достаточно мало и будет выбрано ниже),
получаем
I1 ≤
δ
2
∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx
+ Cδ
(
b
1
1−ω1
1+β
p
)n (t − tn+2)
(t1 − t2)
1
1−ω1
1+β
p
(
sup
tn+2<τ<t
∫
Bn+2
vβ
n+1 dx
) (1−ω1)
1+β
β
1−ω1
1+β
p
≤
δ
2
∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx + Cδb
n (t − t2)
(t1 − t2)
1
1−ω1
1+β
p
EM1 , (3.4)
где обозначено E = supt2<τ<t
∫
Br2
uβ(x, τ) dx, M1 =
(1−ω1) 1+β
β
1−ω1
1+β
p
.
Производя аналогичные оценки для выражения I2 в правой части
(3.3), имеем последовательно:
∫
Bn+2
vp
n+1 dx ≤ C
( ∫
Bn+2
|∇vn+1|
p dx
)ω2
( ∫
Bn+2
vβ
n+1 dx
)(1−ω2) p
β
,
где ω2 определяется из соотношения
1
p
= ω2
(1
p
−
1
N
)
+ (1 − ω2)
1
β
.
Далее, интегрируя по времени:
I2 = bn(r2 − r1)
−p
∫∫
Qn+2
vp
n+1 dx dτ ≤
( ∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx dτ
)ω2
С. П. Дегтярев 353
× bn (t − tn+1)
1−ω2
(r2 − r1)p
(
sup
tn+2<τ<t
∫
Bn+2
vβ
n+1 dx
)(1−ω2) p
β
.
Применяя, наконец, неравенство Юнга с δ/2, получаем, как и выше,
I2 ≤
δ
2
∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx dτ + Cδb
n (t − tn+1)
(r2 − r1)
p
1−ω2
EM2 , (3.5)
где M2 = p
β .
Таким образом, применяя оценки (3.4) и (3.5) к неравенству (3.3),
получаем
Yn ≡ sup
tn+1<τ<t
∫
Bn+1
v1+β
n (x, τ) dx
+
∫∫
Qn+1
|∇vn|
p dx dτ +
∫∫
Qn+1
v1+r
n dx dτ
≤ δ
∫∫
Qn+2
|∇vn+1|
p dx dτ + Cδb
nA, (3.6)
где
A ≡
(t − t2)
(t1 − t2)
1
1−ω1
1+β
p
EM1 +
(t − tn+1)
(r2 − r1)
p
1−ω2
EM2 .
Применяя далее неравенство (3.6) последовательно по n, начиная с
Y0, получаем, что
Y0 ≤ δn
∫∫
Qn+1
|∇vn+1|
p dx dτ +
( n∑
k=0
(bδ)k
)
CδA. (3.7)
Заметим теперь, что
∫∫
Qn+1
|∇vn+1|
p dx dτ ≤ Cbn
( t∫
t2
∫
Br2
(|∇u|p + up) dx dτ
)
≤ C(u)bn.
Выбирая, наконец, δ из условия δb = 1/2 и переходя к пределу в (3.7),
получаем, что
Y0 ≤ CA.
Вычисляя теперь явным образом числа ω1 и ω2 из соответству-
ющих соотношений и вычисляя показатели M1 = k+p
k , M2 = p
β ,
354 Влияние неоднородности абсорбции...
1/(1−ω1
1+β
p ) = k+N
k , p/(1−ω2) = k+N
β , получаем первое утверждение
леммы.
Для завершения доказательства леммы заметим теперь, что, если
выполнены условия второй части леммы r2 − r1 > γ(|x0| + r2) и 1 >
t2 > γ(t1 − t2), то интеграл в I2 в соотношении (3.3) можно оценить,
используя оценку (1.8) и обозначая
|vn+1|0 = sup
Qn+2
|vn+1(x, τ)| ,
следующим образом
(r2 − r1)
−p
∫∫
Qn+2
vp
n+1 dx dτ ≤ (r2 − r1)
−p |vn+1|
d
0
∫∫
Qn+2
v1+β
n+1 dx dτ
≤ C(u0)(r2 − r1)
−p(t
−N
k
2 (|x0| + r2)
p
d )d
∫∫
Qn+2
v1+β
n+1 dx dτ
≤ Ct
−Nd
k
2
(
|x0| + r2
r2 − r1
)∫∫
Qn+2
v1+β
n+1 dx dτ ≤ C(t1 − t2)
−1
∫∫
Qn+2
v1+β
n+1 dx dτ,
где мы учли, что −Nd
k > −1. Таким образом, в этом случае величи-
ну I2 в соотношении (3.3) можно отбросить, изменив константу C в
неравенстве.
Тем самым лемма 3.1 доказана.
Теперь мы докажем лемму, дающую условие локального обраще-
ния решения в ноль в терминах локальной массы решения.
Лемма 3.2. Пусть x0, R, σ, R1, R2 и Y (t/2, R2) — такие же, как
в лемме 2.1, R3 = R2(1 + σ), h = h(x0, t), D = D(x0, t). Тогда суще-
ствует константа γ3 = γ3(R, σ) > 0, такая, что условие леммы 2.1
выполнено, то есть Y (t/2, R2) ≤ γ2t
kλ+p
p∆ h
k+p
p(β−λ) , если
E ≡ E(t, R, σ) ≡ sup
t/4<τ<t
∫
BR(1+σ)D(x0)
uβ dx
≤ γ3t
β
β−λ h
β
β−λ {ωN (R(1 + σ)D)N},
то есть
h
− β
β−λ (x0, t) sup
t/4<τ<t
∮
BR(1+σ)D
uβ(x, τ) dx ≤ γ3t
β
β−λ .
С. П. Дегтярев 355
Доказательство. Для доказательства воспользуемся леммой 3.1.
При этом, как и в леммах 2.1, 3.1, мы рассмотрим отдельно два слу-
чая возможных значений радиуса D = D(x0, t).
Пусть сначала D = D(x0, t) = tκhµ < ε0|x0|.
Положим в оценке (3.1) r1 = R2 = RD, r2 = R3 = R(1 + σ)D,
t1 = t/2, t2 = t/4. Тогда оценка (3.1) примет вид
Y (t/2, r1) ≤ C
(
t−
N
k E
k+p
k + tD
− k+N
β E
p
β
)
≡ I1 + I2.
Найдем условия на E, при которых выполнено
I1 ≤
γ2
2
t
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ , I2 ≤ t
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ . (3.8)
Первое из условий (3.8) выполнено, если при достаточно малом γ3
E
k+p
k ≤ γ3t
N
k
+
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ ,
то есть при некотором γ3
E ≤ γ3ωN [R(1 + σ)]N t
(N
k
+
kλ+p
p∆
) k
k+p h
k+p
p∆
k
k+p
= γ3t
β
β−λ h
β
β−λ ωN [R(1 + σ)D]N , (3.9)
как показывают элементарные вычисления с использованием опреде-
лений k, µ, κ, D.
Аналогично второе из условий (3.8) имеет вид
E
p
β ≤ γ̃3t
−1D
k+N
β t
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ ,
с некоторым достаточно малым γ̃3. Следовательно, второе из условий
(3.8) выполнено, если при достаточно малом γ3
E ≤ γ3ωN [R(1 + σ)]N t
β
p
[−1+κ
k+N
β
+
kλ+p
p∆
]
h
β
p
[ k+P
p∆
+µ k+N
β
]
= γ3t
β
β−λ h
β
β−λ [ωN (R(1 + σ))N ],
как показывает элементарный подсчет показателя степени. Умень-
шая, если необходимо, константу γ3 в (3.9), видим, что при выполне-
нии этого условия справедливы обе оценки в (3.8). Тем самым лем-
ма 3.2 доказана для случая D = tκhµ < ε0|x0|.
Пусть теперь D = ε0|x0| ≤ tκhµ. Тогда, как легко проверить, при
нашем выборе r1, r2, t1, t2 в лемме 3.1 выполнены условия второй
356 Влияние неоднородности абсорбции...
части этой леммы, когда второе слагаемое в оценке (3.1) можно от-
бросить, и мы имеем такую оценку энергии
Y (t/2, r1) ≤ Ct−
N
k E
k+p
k .
Таким образом, достаточным для выполнения условий леммы 2.1
является условие
E
k+p
k ≤ γ3t
N
k t
kλ+p
p∆ h
k+p
p∆ ,
то есть
E ≤ γ̃3t
(N
k
+
kλ+p
p∆
) k
k+p h
k
p∆ = γ̃3t
(N
k
+
kλ+p
p∆
) k
k+p hNµh
β
∆ .
Усилим это условие, пользуясь тем, что в рассматриваемом случае
значений D
hµ ≥ Dt−κ.
В результате получим условие
E ≤ γ̃3t
(N
k
+
kλ+p
p∆
) k
k+p
−Nκ
DNh
β
∆ .
Непосредственный подсчет показателя степени t показывает, что он
равен в точности β
β−λ , то есть условие на E принимает вид
E ≤ γ̃3D
N t
β
∆ h
β
∆ = γ3t
β
∆ h
β
∆ [ωN (R(1 + σ)D)N ]
с некоторым достаточно малым γ3 = γ3(R, σ).
Лемма 3.2 доказана.
4. Оценка максимума модуля решения
через массу решения
Оценки данного пункта носят вспомогательный характер и по-
требуются нам в следующем пункте при оценке массы решения через
массу начальной функции. Содержащиеся в этом пункте утвержде-
ния аналогичны леммам 1–3 из [15] и поэтому мы приводим их без
доказательства.
Лемма 4.1. Пусть 0 < R1 < R2, 0 < t2 < t1 < t, 0 < H2 < H1,
(u − H)+ ≡ max{u − H, 0}, BRi
шары соответствующего радиуса с
центром в некоторой точке x0. Тогда справедлива оценка
sup
t1<τ<t
∫
BR1
(u − H1)
1+β
+ dx
С. П. Дегтярев 357
+
t∫
t1
∫
BR1
|∇(u − H1)+|
p dx dτ +
t∫
t1
∫
BR1
h(u − H1)
1+λ
+ dx dτ
≤ C
[
A−|1−β|
t1 − t2
t∫
t2
∫
BR2
(u − H2)
1+β
+ dx dτ
+
A−(1−β)+
(R2 − R1)p
t∫
t2
∫
BR2
(u − H2)
p
+ dx dτ
]
, (4.1)
где A = H1−H2
H1
.
Лемма 4.2. Пусть, как и выше в лемме 4.1, 0 < H2 < H1, 0 < t2 <
t1 < t, A = (H1 − H2)/H1 и пусть 0 < r1 < r2. Тогда
sup
t1<τ<t
∫
Br1
(u − H1)
1+β
+ dx
+
t∫
t1
∫
Br1
|∇(u − H1)+|
p dx dτ +
t∫
t1
∫
Br1
h(u − H1)
1+λ
+ dx dτ
≤ C[A−|1−β| k+N
k
t − t2
(t1 − t2)
k+N
k
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
(u − H2)
β
+ dx
) p+k
k
+
+ A
−(1−β)+
k+N
βp
t − t2
(r2 − r1)
k+N
β
(
sup
t2<τ<t
∫
Br2
(u − H2)
β
+ dx
) p
β
]. (4.2)
Лемма 4.3. Пусть 0 < t2 < t1 < t, 0 < R1 < R2, BRi
= BRi
(x0).
Тогда
sup
[t1,t]×BR1
|u| ≤ C
[
t − t2
(t1 − t2)
k+N
k
E
p
k (t2, R2)
+
t − t2
(R2 − R1)
k+N
β
E
p
β
−1
(t2, R2)
]
, (4.3)
где
E(θ, R) ≡ sup
θ<τ<t
∫
BR
uβ(x, τ) dx. (4.4)
358 Влияние неоднородности абсорбции...
Мы будем использовать оценку (4.3) в случае, когда t1 = t/2,
t2 = t/4, R1 = R, R2 = R(1 + σ). В этом случае упомянутая оценка
приобретает вид
|u|∞,[t/2.t]×BR
≤ Cσ
[
t−
N
k E(t/4, R(1 + σ))
p
k
+
t
R
k+N
β
E(t/4, R(1 + σ))
p
β
−1
]
. (4.5)
5. Оценка локальной массы решения
через локальную массу
начальной функции
В этом пункте мы получим оценку локальной массы решения
E(0, R) через локальную массу начальной функции.
В дальнейшем нам понадобится следующая простая вспомога-
тельная лемма.
Лемма 5.1. Пусть x0 ∈ R
N , 0 < r < R. Для неотрицательной
интегрируемой функции v(x)
∮
BR
v(x) dx ≡
1
|BR|
∫
BR
v(x) dx ≤ C(N) sup
y∈BR
∮
Br(y)
v(x) dx. (5.1)
Доказательство этой леммы элементарно и легко вытекает из то-
го, что любой шар радиуса R можно покрыть шарами меньшего ра-
диуса r в количестве не более, чем C(N)(R
r )N штук.
Перейдем теперь непосредственно к локальным оценкам массы
решения.
Лемма 5.2. Пусть R1 = R > 0, R2 = R(1 + σ), x0 ∈ R
N , Bρ =
Bρ(x0), ρ > 0, и пусть, далее,
Eρ = sup
0<τ<t
∫
Bρ(x0)
uβ(x, τ) dx, E1 = ER1 , E2 = ER2 , (5.2)
µρ =
∫
Bρ(x0)
uβ
0 (x) dx. (5.3)
Пусть еще для заданных t и R
A =
(
t−
N
k E
p
k
2 +
t
R
k+N
β
E
p
β
−1
2
) d
p t
1
p
R
. (5.4)
С. П. Дегтярев 359
Тогда
E1 ≤ µR2 + Cσ−CE2(A + Ap). (5.5)
Доказательство. Пусть R = R(1 + σ/4), ζ(x) — гладкая срезающая
функция шара BR, равная 1 на BR и равная нулю вне BR, |∇ζ| ≤
C/σR. Умножим уравнение (1.1) на ζ(x) и проинтегрируем по частям.
Получим:
∫
B
R
uβ(x, t)ζ(x) dx +
t∫
0
∫
B
R
huλζ(x) dx dτ
=
∫
B
R
uβ
0 (x)ζ(x) dx +
N∑
i=1
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p−2 uxi
ζxi
dx dτ
≤
∫
B
R
uβ
0 (x)ζ(x) dx + Cσ−1R−1
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p−1 dx dτ,
и, таким образом,
E1 ≤ µR2 + Cσ−1I, I ≡ R−1
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p−1 dx dτ, (5.6)
где мы использовали определения (5.2) и (5.3).
Нашей дальнейшей задачей будет оценка интеграла I в правой
части (5.6) в терминах величины E2. Оценим этот интеграл следую-
щим образом (аналогично [20, 25]). Пусть µ, θ > 0 достаточно малы
(будут выбраны ниже). Тогда, по неравенству Гельдера
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p−1 dx dτ
=
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p−1 τ
µ p−1
p u
−θ p−1
p τ
−µ p−1
p u
θ p−1
p dx dτ ≤
≤
( t∫
0
∫
B
R
|∇u|p τµu−θ dx dτ
) p−1
p
( t∫
0
∫
B
R
τ−µ(p−1)uθ(p−1) dx dτ
) 1
p
≡ J
p−1
p
1 J
1
p
2 . (5.7)
360 Влияние неоднородности абсорбции...
Выберем θ из условия β/(p − 1) ≤ θ < 1 и оценим J2 следующим
образом, используя оценку (4.5):
J2 ≤
t∫
0
τ−µ(p−1)dτ
∫
B
R
|u|
θ(p−1)−β
∞,[τ/2,τ ]×B
R
uβ(x, τ) dx
≤ C
t∫
0
τ−µ(p−1)dτ
[
τ−N
k E
p
k
2 + σ
− k+N
β
τ
R
k+N
β
E
p
β
−1
2
]θ(p−1)−β∫
B
R
uβ(x, τ) dx
≤ Cσ−Ct−µ(p−1)+1
[
t−
N
k E
p
k
2 + σ
− k+N
β
t
R
k+N
β
E
p
β
−1
2
]θ(p−1)−β
E2
≡ Cσ−C |u|
θ(p−1)−β
0 t−µ(p−1)+1E2, (5.8)
где мы воспользовались очевидным неравенством
C1(a)(ya + za) ≤ (y + z)a ≤ C2(a)(ya + za), y, z, a ≥ 0, (5.9)
обозначили
|u|0 ≡ t−
N
k E
p
k
2 +
t
R
k+N
β
E
p
β
−1
2 , (5.10)
и считаем θ и µ выбранными так, что −µ(p−1)− N
k [θ(p−1)−β] > −1.
Выберем, например, здесь и для дальнейшего
θ =
β
p − 1
,
Nd
k
1
p − 1
< µ <
1
p − 1
. (5.11)
Оценим теперь интеграл J1, используя уравнение (1.1). Умножим
уравнение (1.1) на u1−θ(x, τ)ζ1(x)τµ и проинтегрируем по B
R
× [0, t],
где R = R(1+σ/2), ζ1(x) — гладкая срезающая функция, равная 1 на
BR и равная нулю вне B
R
, |∇ζ1| ≤ C/σR. После оценок, аналогичных
оценке (2.1) леммы 2.1, получим
t∫
0
∫
B
R
|∇u|p τµu−θ dx dτ
≤ Cσ−C
( t∫
0
∫
B
R
τµ−1u1+β−θ dx dτ +
1
Rp
t∫
0
∫
B
R
τµup−θ dx dτ
)
≡ Cσ−C(J11 + J12). (5.12)
С. П. Дегтярев 361
Интегралы J11 и J12 оценим аналогично оценке (5.8) интеграла J2
с использованием оценки (4.5) и неравенства (5.9). При этом легко
проверить, что интегралы по dτ сходятся ввиду условий (5.11). Имеем
в результате
J11 ≤ Cσ−C |u|1−θ
0 tµE2, J12 ≤ Cσ−C |u|p−θ−β
0 tµ+1R−pE2. (5.13)
Таким образом, из полученных оценок (5.6)–(5.8), (5.12), (5.13) сле-
дует, что в оценке (5.6)
I ≤
1
R
J
p−1
p
1 J
1
p
2 ≤ Cσ−C(J11 + J12)
p−1
p J
1
p
2
≤ Cσ−C E2
R
(
|u|
(1−θ) p−1
p
0 t
µ p−1
p + |u|
(p−θ−β) p−1
p
0 t
(µ+1) p−1
p R
−p p−1
p
)
×
(
|u|
[θ(p−1)−β] 1
p
0 t
[−µ(p−1)+1] 1
p
)
= Cσ−C E2
R
(
|u|
p−1−β
p
0 t
1
p + |u|p−1−β
0 R−(p−1)t
)
= Cσ−CE2(A + Ap), (5.14)
где A определено в (5.4). Тем самым лемма 5.2 доказана.
Лемма 5.3. Обозначим l = β/(β − r), h = h(x0, t) и пусть σ ∈ (0, 1)
задано. Существуют такие константы t0 = t0(u0), γ4 = γ4(u0), что
для t < t0 если x0 таково, что при всех y ∈ Bε0|x0|(x0) выполнено
∮
BD(y)
uβ
0 (x) dx ≡
1
ωNDN
∫
BD(y)
uβ
0 (x) dx ≤ γ4t
lhl, (5.15)
то тогда выполнено
ED,x0 ≡ sup
0<τ<t
∫
BD(x0)
uβ(x, τ) dx ≤ 2
∫
BD(1+σ)(x0)
uβ
0 (x) dx ≡ 2µD(1+σ)(x0).
(5.16)
Доказательство. Пусть ρ1 = R > 0, ρ2 = R(1+σ). Определим после-
довательность сужающихся шаров Bn = Bρn = Bρn(x0) с радиусами
ρn = ρ1 + (ρ2 − ρ1)2
−n. Применим неравенство (5.5) леммы 5.2 к со-
362 Влияние неоднородности абсорбции...
седним шарам Bn и Bn+1, обозначив при этом
En ≡ sup
0<τ<t
∫
Bn
uβ dx,
E0 ≡ ER2 ≡ sup
0<τ<t
∫
BR2
uβ dx,
E∞ ≡ ER1 ≡ sup
0<τ<t
∫
BR1
uβ dx.
(5.17)
Получим с некоторыми Cσ и b:
En+1 ≤ µR2(x0) + CσbnEn(An + Ap
n), (5.18)
где
An =
(
t−
N
k E
p
k
n +
t
R
k+N
β
E
p
β
−1
n
) d
p t
1
p
R
.
Из упоминавшейся уже леммы 5.6 из [21] следует, что будет выпол-
нено неравенство
E∞ ≤ 2µR2(x0), (5.19)
если A0 достаточно мало. Действительно, предположим противное,
то есть E∞ > 2µR2(x0). Тогда, так как последовательность En не
возрастает, µR2 < En+1/2 для всех n и из (5.18), и мы выводим, что
En+1 ≤ 2CσbnEn(An + Ap
n),
то есть, ввиду упомянутой итеративной леммы, En → 0 при n → ∞,
если A0 достаточно мало, что противоречит нашему предположению.
Итак, существует такое γ5 = γ5(σ), что при выполнении условия
(
t−
N
k E
p
k
0 +
t
R
k+N
β
E
p
β
−1
0
) d
p t
1
p
R
≤ γ5 (5.20)
выполнено
ER ≤ 2µR(1+σ). (5.21)
Пользуясь (5.9), запишем условие (5.20) в виде
t
−N
k
d
p
+ 1
p R−1E
d
k
0 + t
d
p
+ 1
p R
− k+N
β
d
p
−1
E
p−β
β
d
p
0 ≤ γ6.
После элементарного подсчета показателей, ввиду определений вели-
чин d и k, последнее неравенство можно записать в виде
[
t
β
k R−1E
d
k
0
]
+
[
t
β
k R−1E
d
k
0
] (p−β)k
βp
≤ γ6.
С. П. Дегтярев 363
Таким образом, условие (5.20) эквивалентно условию
t
β
k R−1E
d
k
0 ≤ γ7, (5.22)
где γ7 достаточно мало.
Зафиксируем этот результат наших рассуждений в виде утвер-
ждения: если R таково, что выполнено условие (5.22), то выполнена
оценка (5.21).
Нашей целью является показать, что, как утверждается в лемме,
оценка (5.21) справедлива для R = D.
Пусть сначала D = ε0|x0| ≤ tκhµ и положим R = D. Тогда левую
часть (5.22) можно оценить так
t
β
k R−1E
d
k
0 = t
β
k
(
sup
0<τ<t
D− k
d
∫
|x−x0|<D(1+σ)
uβ(x, τ) dx
) d
k
≤ t
β
k
(
1 + 2ε0
ε0
)[
sup
0<τ<t
|(1 + 2ε0)x0|
− k
d
∫
|x|<(1+2ε0)|x0|
uβ(x, τ) dx
] d
k
≤ t
β
k
(
1 + 2ε0
ε0
)
sup
0<τ<t
∣∣∣
∣∣∣
∣∣∣uβ(·, τ)
∣∣∣
∣∣∣
∣∣∣
d
k
1
≤ t
β
k
(
1 + 2ε0
ε0
)
C
d
k
0
∣∣∣
∣∣∣
∣∣∣uβ
0
∣∣∣
∣∣∣
∣∣∣
d
k
1
.
Поэтому ясно, что если t достаточно мало, t ≤ t0(ε0, u0), то при R ≥
D = ε0|x0| условие (5.22) выполнено и, следовательно, выполнено
(5.21), что доказывает утверждение леммы для таких D и оценку
(5.21) для R ≥ ε0|x0|.
Пусть теперь D = tκhµ < ε0|x0|. Обозначим R0 = ε0|x0| и пока-
жем, что при выполнении (5.15) оценка (5.21) выполнена для ради-
усов, меньших, чем R0. А именно, при R < R0 оценим E0 в левой
части (5.22) так:
E0 = sup
0<τ<t
∫
BR(1+σ)
uβ(x, τ) dx
≤ sup
0<τ<t
∫
BR0(1+σ)
uβ(x, τ) dx ≤ 2µR0(1+σ)2
≤ 2ωN
[
R0(1 + σ)2
]N
∮
B
R0(1+σ)2
uβ
0 dx
≤ 2ωN
[
R0(1 + σ)2
]N
C(N)γ4t
lhl,
364 Влияние неоднородности абсорбции...
где C(N) — константа из неравенства (5.1).
Применяя эту оценку к (5.22), видим, что достаточным для вы-
полнения (5.22) является условие
t
β
k R−1
{
2ωN (1 + σ)2NC(N)γ4
} d
k R
Nd
k
0 tl
d
k hl d
k ≤ γ7.
Пусть γ4 настолько мало, что выражение в фигурных скобках
удовлетворяет неравенству
{
2ωN (1 + σ)2NC(N)γ4
} d
k ≤ γ7. (5.23)
Тогда (5.22) выполнено для радиусов R1:
R1 = Rω
0 t
ld+β
k h
ld
k ,
где обозначено ω = Nd/k. Отметим, что, ввиду условия tκhµ <
ε0|x0| = R0, выполнено, как легко проверить, неравенство
R1 ≤ R0.
Таким образом, условие (5.23) позволяет нам описанным выше
способом определить последовательность радиусов Rn, n = 0, 1, . . . ,
таких, что для n = 1, 2, . . .
Rn = Rω
n−1t
ld+β
k h
ld
k (5.24)
и для которых выполнено условие (5.22), а, тем самым, и оценка
(5.21), то есть
ERn ≤ 2µRn(1+σ). (5.25)
При этом нетрудно проверить, что, ввиду условия tκhµ < R0, указан-
ная последовательность монотонно убывает и, следовательно, имеет
конечный предел R∞, который может быть найден из условия (5.24),
то есть
R∞ = R
Nd
k
∞ t
ld+β
k h
ld
k ,
откуда
R∞ =
(
t
ld+β
k h
ld
k
) k
βp
= tκhµ.
Таким образом, переходя к пределу при n → ∞ в соотношении
(5.25), получаем утверждение леммы для D = tκhµ.
Лемма доказана.
С. П. Дегтярев 365
6. Доказательство теоремы 1.1
6.1. Оценка размеров носителя сверху
Пусть сначала для определенности u0(x) ≥ 0 и ϕt(ρ) → 0 при
ρ → ∞. Зафиксируем какое-либо одно число σ ∈ (0, 1) в леммах
5.3, 3.2 и 2.1 и зафиксируем число R в леммах 2.1 и 3.2 так, чтобы
R(1 + σ) = 1. Зафиксируем t < t0 и пусть x0 ∈ R
N таково, что
|x0| ≥ 4ϕ−1
t (γ0t
β
β−λ ), где γ0 достаточно мало и будет выбрано ниже.
Тогда для y ∈ Bε0|x0|(x0) будет выполнено
∮
|x−y|<D
uβ
0 (x) dx ≤ C(N)γ0t
β
β−λ h
β
β−λ ≤ γ4t
β
β−λ h
β
β−λ , (6.1)
если γ0 ≤ γ4/C(N). Тогда условия леммы 5.3 для этого x0 будут
выполнены и, следовательно, согласно (6.1)
ED,x0 ≤ 2
∫
|x−x0|<(1+σ)D
uβ
0 (x) dx ≤ 2CσC(N)γ0t
β
β−λ ωNDN .
Уменьшая, если нужно, число γ0, видим, что тогда для нашего x0
выполнены условия леммы 3.2 и
sup
t/4<τ<t
∮
|x−x0|<D
uβ(x, τ) dx ≤ γ3t
β
β−λ h
β
β−λ .
Но тогда, в силу леммы 3.2, выполнены условия леммы 2.1 с R1 =
(1 − σ)(1 + σ)−1D, R2 = (1 + σ)−1D и, таким образом, u ≡ 0 на
множестве [3t/4, t] × B(1−σ)(1+σ)−1D(x0). Таким образом, для верхней
границы носителя решения получаем оценку S(t) ≤ 4ϕ−1
t (γ0t
β
β−λ ), то
есть требуемую оценку (1.14), если t достаточно мало.
Если же начальные данные u0(x) произвольного знака, то
−|u0(x)|β ≤ |u0(x)|β−1u0(x) ≤ |u0(x)|β
и оценка размеров носителя сверху следует из уже доказанного в силу
принципа сравнения (см. по этому поводу также следующий пункт).
Таким образом, оценка (1.14) доказана.
366 Влияние неоднородности абсорбции...
6.2. Оценка размеров носителя снизу
Приступая к доказательству оценки (1.15) размеров носителя сни-
зу отметим, что мы будем пользоваться принципом сравнения реше-
ний задачи Коши (1.1), (1.2). При этом для p = 2 или β = 1 он хорошо
известен (см., например, [22–24] для случая p = 2 и [25] для β = 1),
а для произвольного случая p 6= 2 и одновременно β 6= 1 он следует
из результатов работы [20]. Таким образом, мы пользуемся тем, что
для двух начальных данных в (1.2) |u0(x)|β−1u0(x) и |v0(x)|β−1v0(x)
таких, что |u0(x)|β−1u0(x) ≤ |v0(x)|β−1v0(x), для соответствующих
решений задачи Коши (1.1), (1.2) выполнено u(x, t) ≤ v(x, t).
Пусть |u0(x)|β−1u0(x) — произвольная неотрицательная локаль-
но суммируемая функция или локально конечная радоновская ме-
ра. Пусть t > 0 достаточно мало и фиксировано и пусть |x0| ≤
ϕ−1
t (γ0t
β
β−λ ), то есть
∫
|x−x0|<D
uβ
0 (x) dx ≥ ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN .
Обозначим
vβ
0 (x) = vβ
0,t(x) =
{
uβ
0 (x), |x − x0| ≤ D,
0, |x − x0| > D,
и пусть v(x, τ) — соответствующее решение задачи Коши (1.1), (1.2) с
начальной функцией vβ
0 (x). Тогда, по принципу сравнения, u(x, τ) ≥
v(x, τ). Более того, не ограничивая общности (уменьшая, если нужно,
vβ
0 (x)), мы будем считать, что
∫
|x−x0|<D
vβ
0 (x) dx = ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN .
Тогда для всех точек y0 ∈ R
N (в качестве x0) и функции vβ
0 (x)
выполнены условия леммы 5.3, а, следовательно, и оценка (5.16).
Отсюда, ввиду определения функции vβ
0 (x), следует, что v(x, τ) ≡ 0
на множестве [0, t]×{|x−x0| > D+(1+σ)D = (2+σ)D}, то есть при τ ∈
[0, t] носитель функции v(x, τ) содержится в шаре Bt ≡ B(2+σ)D(x0).
Проинтегрируем теперь уравнение (1.1) по шару Bt, учитывая,
что решение равно нулю в окрестности границы этого шара. Инте-
грирование по частям в диффузионном слагаемом дает
С. П. Дегтярев 367
d
dτ
∫
Bt
vβ dx +
∫
Bt
h(x, τ)vλ dx = 0, τ ∈ [0, t]. (6.2)
Оценка (1.4) и применение неравенства Гельдера дают (h = h(x0, t))
∫
Bt
h(x, τ)vλ dx ≤ Ch
∫
Bt
vλ dx
≤ Ch
( ∫
Bt
vβ dx
)λ
β
( ∫
Bt
dx
)1−λ
β
=
( ∫
Bt
vβ dx
)λ
β
MD
N β−λ
β h, (6.3)
где M — некоторая константа. Обозначая теперь E(τ)=
∫
Bt
vβ(x, τ) dx,
из (6.1) и (6.2) получаем, что
dE
dτ
≥ −MhD
N β−λ
β E
λ
β ,
причем E(0) =
∫
Bt
uβ
0 (x) dx = ωNγ0t
β
β−λ h
β
β−λ DN ≡ γt
β
β−λ h
β
β−λ DN .
Интегрируя это дифференциальное неравенство, приходим к оценке
E(τ)
β−λ
β ≥ E(0)
β−λ
β −
(β − λ
β
)
MD
N β−λ
β hτ
≥ hDN β−λ
β
[
γ
β−λ
β t −
(β − λ
β
)
Mτ
]
.
Положим τ0 = 1
2
γ
β−λ
β
M
β
β−λ t ≡ m0t. Тогда
E(m0t) ≥
(
γ
β−λ
β /2
)
hD
N β−λ
β t > 0.
Таким образом, получаем, что для некоторого m0 = m0(N, σ, β, λ)
E(m0t) ≡
∫
Bt(x0)
vβ(x, m0t) > 0.
Следовательно, u(x, m0t) ≥ v(x, m0t) > 0 в окрестности точки x0.
Отсюда следуют два вывода.
368 Влияние неоднородности абсорбции...
С одной стороны, в случае, когда ϕt(x0) не стремится к нулю при
|x0| → ∞ и мы имеем точки x0 с рассмотренным свойством при лю-
бом малом t как угодно далеко от начала координат, это доказывает
отсутствие мгновенной компактификации носителя: для любого ма-
лого момента времени вида m0t найдется точка x0 = x0(t) как угодно
далеко от начала координат, такая, что u(x, τ) > 0 в окрестности этой
точки.
С другой стороны, если ϕt(x0) → 0 при |x0| → ∞, то положим
x0 = x0(t), где |x0| = ϕ−1
t (γ0t
β
β−r ). Тогда
∮
|x−x0|<D(x0,m−1
0 (m0t))
uβ
0 (x) dx ≥ γ0m
− β
β−λ
0 (m0t)
β
β−λ h
β
β−λ
≡ M0(m0t)
β
β−λ h
β
β−λ ,
и в то же время для всех y ∈ R
N , таких, что |y| > |x0|, по определению
функции ϕ−1
t (s) выполнено
∮
|x−y|<D(x0,m−1
0 (m0t))
uβ
0 (x) dx < γ0m
− β
β−λ
0 (m0t)
β
β−λ h
β
β−λ
= M0(m0t)
β
β−λ h
β
β−λ ,
то есть, по определению, |x0| = ϕ−1
m−1
0 (m0t)
(M0(m0t)
β
β−λ ), причем
u(x0, m0t) 6= 0. Ввиду произвольности t, обозначая m0t снова через t,
видим, что для любого малого t > 0 найдется точка x0 = x0(t/m0)
такая, что
|x0(t/m0)| = ϕ−1
m−1
0 t
(M0t
β
β−λ ), u(x0(t/m0), t) 6= 0.
Следовательно, доказана оценка (1.15) с M1 = m−1
0 и γ1 = M0, а
вместе с ней доказана и теорема 1.1.
Благодарности. В заключение автор хотел бы выразить свою
искреннюю благодарность А. Е. Шишкову и А. Ф. Тедееву за внима-
ние к данной работе и ценные обсуждения в ходе ее выполнения.
С. П. Дегтярев 369
Литература
[1] R. Kersner, A. Shishkov, Instantaneous shrinking of the support of energy soluti-
ons // Journal of Math. Anal. and Appl., 198 (1996), 729–750.
[2] А. Е. Шишков, Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей
энергетических решений квазилинейных параболических уравнений прои-
звольного порядка // Матем. сб., 190 (1999), N 12, 129–156.
[3] S. N. Antontsev, J. I. Diaz, S. I. Shmarev, Energy methods for the free boundary
problems. Applications to nonlinear PDEs and fluid mechanics, 2002, Birkhauser,
334 p.
[4] S. N. Antontsev, J. I. Diaz, S. I. Shmarev, The support shrinking properties for
solutions of quasilinear parabolic equations with strong absorption terms // Ann.
Fac. Sci. Toulouse Math. 4 (6) (1995), N 1, 5–30.
[5] S. N. Antontsev, J. I. Diaz, S. I. Shmarev, The support shrinking in solutions of
parabolic equations with non-homogeneous absorption terms // Bandle, C. (ed.) et
al, Elliptic and parabolic problems, Proceedings of the 2nd European conference,
Pont-a-Mousson, June 1994. Harlow: Longman Scientific & Technical, Pitman
Res. Notes Math., 1995, Ser. 325, 24–39.
[6] А. С. Калашников, О зависимости свойств решений параболических урав-
нений в неограниченных областях от поведения коэффициентов на бесконе-
чности // Матем. сб., 125 (167) (1984), N 3(11), 398–409.
[7] А. С. Калашников, О поведении вблизи начальной гиперплоскости решений
задачи Коши для параболических систем с нелинейной диссипацией // Тр.
сем. им. И. Г. Петровского, Изд-во Моск. ун-та, М., 16 (1992), 106–113.
[8] А. С. Калашников, О квазилинейных вырождающихся параболических урав-
нениях с сингулярными младшими членами и растущими начальными дан-
ными // Дифференциальные уравнения, 29 (1993), N 6, 999–1009.
[9] У. Г. Абдуллаев, О мгновенном сжатии носителя решения нелинейного
вырождающегося параболического уравнения // Мат. заметки, 63 (1998), N 3,
323–331.
[10] У. Г. Абдуллаев, О точных локальных оценках носителя решений в задачах
для нелинейных параболических уравнений // Матем. сб., 186 (1995), N 8,
3–24.
[11] M. Ughi, Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with
strong absorption // Advances in Math. Sciences and Applications, Gakkotosho,
Tokyo, 11 (2001), N 1, 333–345.
[12] Li Jun-Jie, Instantaneous shrinking of the support of solutions to certain parabolic
equations with unbounded initial data // Nonlinear Analysis, 48 (2002), 1–12.
[13] Li Jun-Jie, Jing-jun, Instantaneous shrinking of the support for solutions of
parabolic variational inequalities // Appl. Math., Ser. A, 20 (2005), N 3, 303–
312.
[14] D. Andreucci, A. F. Tedeev, Universal bounds at the blow-up time for nonlinear
parabolic equations // Advances in Differential Equations, 10 (2005), N 1, 89–120.
[15] D. Andreucci, A. F. Tedeev, Finite speed of propagation for the thin film equation
and other higher order parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces
and free boundaries, 3 (2001),N 3, 233–264.
370 Влияние неоднородности абсорбции...
[16] D. Andreucci, A. F. Tedeev, A Fujita type result for a degenerate Neumann
problem in domains with non compact boundary // J. Math. Anal. Appl., 231
(1999), 543–567.
[17] С. П. Дегтярев, Об условиях мгновенной компактификации носителя ре-
шения и о точных оценках носителя в задаче Коши для параболического
уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией // Матем. сб., 199 (2008),
N 4, 37–64.
[18] Kazuhiro Ishige, On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly
nonlinear parabolic equation // SIAM J. Math. Anal., 27 (1996), N 5, 1235–1260.
[19] H. J. Fan, Cauchy Problem of Some doubly degenerate parabolic equations with
initial datum a measure // Acta Mathematica Sinica, English Series, 20 (2004),
N 4, 663–682.
[20] M. Tsutsumi, On solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equati-
ons with absorption // J. Math. Anal. Appl, 132 (1988), 187–212.
[21] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: “Наука”, 1967.
[22] M. Bertsch, A class of degenerate diffusion equations with a singular nonlinear
term // Nonlinear Analysis, Methods&Applications, 7 (1983), N 1, 117–127.
[23] M. Bertsch, R. Kersner, L. A. Peletier, Positivity versus localization in degenerate
diffusion equations // Nonlinear Analysis, Methods&Applications, 9 (1985), N 9,
987–1008.
[24] D. Aronson, M. G. Crandall, L. A. Peletier, Stabilization of soluti-
ons of a degenerate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Analysis,
Methods&Applications, 6 (1982), N 10, 1001–1022.
[25] E. Di Benedetto, M. A. Herrero, On the Cauchy problem and initial traces for
a degenerate parabolic equation // Transaction of the AMS, 314 (1989), N 1,
187–224.
Сведения об авторах
Сергей Петрович
Дегтярев
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Розы Люксембург, 74
83114, Донецк
Украина
E-Mail: spdegt@yahoo.com
|