К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C

В статье выясняется связь между теоремами о мультипликаторах Белинского–Двейрина–Маламуда и некоторыми другими ранее известными теоремами о мультипликаторах в пространствах L¹ и C. Показано, что теорема Белинского–Двейрина–Маламуда может быть получена из них. Приведены также соответствующие примеры...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний вісник
Дата:	2010
Автор:	Двейрин, М.З.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124385
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 176-196. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124385
record_format	dspace
spelling	Двейрин, М.З. 2017-09-24T16:02:25Z 2017-09-24T16:02:25Z 2010 К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 176-196. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 42A35, 42A48. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124385 В статье выясняется связь между теоремами о мультипликаторах Белинского–Двейрина–Маламуда и некоторыми другими ранее известными теоремами о мультипликаторах в пространствах L¹ и C. Показано, что теорема Белинского–Двейрина–Маламуда может быть получена из них. Приведены также соответствующие примеры мультипликаторов в пространствах L¹ и C, показывающие неравносильность сравниваемых теорем. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C
spellingShingle	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C Двейрин, М.З.
title_short	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C
title_full	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C
title_fullStr	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C
title_full_unstemmed	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C
title_sort	к вопросу о мультипликаторах в l¹ и c
author	Двейрин, М.З.
author_facet	Двейрин, М.З.
publishDate	2010
language	Russian
container_title	Український математичний вісник
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	В статье выясняется связь между теоремами о мультипликаторах Белинского–Двейрина–Маламуда и некоторыми другими ранее известными теоремами о мультипликаторах в пространствах L¹ и C. Показано, что теорема Белинского–Двейрина–Маламуда может быть получена из них. Приведены также соответствующие примеры мультипликаторов в пространствах L¹ и C, показывающие неравносильность сравниваемых теорем.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124385
citation_txt	К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C / М.З. Двейрин // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 176-196. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT dveirinmz kvoprosuomulʹtiplikatorahvl1ic
first_indexed	2025-11-24T16:36:39Z
last_indexed	2025-11-24T16:36:39Z
_version_	1850486634525491200
fulltext	Український математичний вiсник Том 7 (2010), № 2, 176 – 196 К вопросу о мультипликаторах в L 1 и C Михаил З. Двейрин (Представлена М. М. Маламудом) Аннотация. В статье выясняется связь между теоремами о муль- типликаторах Белинского–Двейрина–Маламуда и некоторыми дру- гими ранее известными теоремами о мультипликаторах в пространс- твах L 1 и C. Показано, что теорема Белинского–Двейрина–Маламу- да может быть получена из них. Приведены также соответствующие примеры мультипликаторов в пространствах L 1 и C, показывающие неравносильность сравниваемых теорем. 2010 MSC. 42A35, 42A48. Ключевые слова и фразы. Мультипликатор, преобразование Фу- рье, суммируемость преобразования Фурье, пространство L 1, про- странство C. Введение Хорошо известно (см. [2–4,6,13]), что теорема Михлина–Лизорки- на о мультипликаторах в Lp, 1 < p < ∞, играет существенную роль в теории дифференциальных операторов в Lp. В недавней работе [1] доказана теорема (см. ниже теорему 1.2) о мультипликаторах в шкале Lp при p ∈ [1,∞], которую можно рассматривать как аналог теоремы Михлина–Лизоркина [7, 11]. Эта теорема столь же удобна для применений в теории диффе- ренциальных операторов, действующих в C(Rn) или L1(Rn), сколь и теоремы Михлина и Лизоркина в применении к операторам, дей- ствующим в Lp(Rn) при p ∈ (1,∞). Причина этого в том, что возни- кающие здесь мультипликаторы — это, как правило, рациональные функции вещественных переменных. Более того, теорема 1.2 уже на- шла применения как к оценкам для систем дифференциальных моно- мов {Dα}α∈A, так и для систем квазиэллиптических операторов, дей- ствующих в L1(Rn) (см. [1]). Отметим также, что в недавней работе Статья поступила в редакцию 13.08.2009 Cчитаю своим долгом выразить признательность М. М. Маламуду за полезные обсуждения. ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України М. З. Двейрин 177 (см. [9]) теорема 1.2 была использована для описания систем слабо коэрцитивных, но не эллиптических операторов в L1(Rn) и C(Rn). С другой стороны, в ряде работ (см. [3,8,14,15] и литературу в [2]) получены результаты типа теоремы Бернштейна о суммируемости преобразования Фурье F−1Φ функции Φ, которые сформулированы в других терминах. В связи с этим возникает вопрос о соотношении достаточных условий, полученных в работах разных авторов. В на- стоящей заметке приводится вывод теоремы 1.2 из некоторых ранее известных теорем и приведены примеры, показывающие их неравно- сильность (формулировки и соответствующие ссылки будут приведе- ны далее после введения необходимых обозначений). Обозначения R — поле вещественных чисел, N — множество натуральных чи- сел, Z+ := N∪{0}, Z n + := Z+×· · ·×Z+ (n сомножителей), Z2 := {0, 1}; Nα (⊂ {1, 2, . . . , n}) — носитель мультииндекса α = (α1, . . . , αn) (∈ Z n +), т. е. множество индексов j ∈ {1, . . . , n}, для которых αj > 0. Далее, Dk := −i∂/∂xk, D = (D1, D2, . . . , Dn); для каждого мультиин- декса α = (α1, . . . , αn) ∈ Z n + полагают Dα := Dα1 1 Dα2 2 . . . Dαn n . 1. Некоторые сведения о мультипликаторах в пространствах L p 1.1. Мультипликаторы в Lp Как обычно, преобразование Фурье F(µ) (F(φ)) конечной боре- левской меры µ(∈ BV (Rn)) (функции φ ∈ L1(Rn)) определяется ра- венством (Φ(µ))(x) := ∫ Rn ei〈t,x〉dµ(t) (=: µ̂(x)), (Φ(φ))(x) := ∫ Rn ei〈t,x〉φ(t) dt, (1.1) в котором 〈t, x〉 := t1x1+· · ·+tnxn — скалярное произведение векторов t, x ∈ R n. Преобразование Фурье расширяется на класс Шварца S ′ медленно растущих распределений (см. [3, 13]). Именно, для Φ ∈ S ′ полагают (FΦ)(φ) := Φ̂(φ) := Φ(φ̂), φ ∈ S, где S — это класс Шварца основных функций. 178 К вопросу о мультипликаторах... Определение 1.1. Пусть S — преобразование Фурье в L2(Rn), f̂ := Ff . Ограниченную измеримую (по Лебегу) функцию Φ : R n → C называют мультипликатором в Lp (или мультипликатором из Lp в Lp), если оператор свертки f → TΦf =: F−1ΦFf отображает Lp(Rn) ∩ L2(Rn) в Lp(Rn) и ограничен в Lp(Rn). Совокупность всех мультипликаторов из Lp в Lp обозначается Mp. Хорошо известно ( [6, 13]), что TΦ — оператор свертки с обоб- щенной функцией u ∈ S′ медленного роста, TΦf = u ∗ f , и Φ = û. При каждом p ∈ [1,∞] пространство Mp является банаховой алге- брой, в которой норма элемента Φ определяется равенством ‖Φ‖Mp := ‖TΦ‖Lp→Lp . Простое описание пространств Mp известно лишь при p = 1, 2, ∞. Так, алгебра M2 изометрически отождествляется с L∞(Rn) : ‖Φ‖M2 = ‖Φ‖L∞ , и, значит, M2 ⊂ L∞(Rn). Для остальных значений p ∈ (1,∞) известны лишь достаточные условия включения Φ ∈ Mp (см. [4, 6, 13]). Одними из наиболее полезных и употреби- тельных в теории дифференциальных операторов и в теории сингу- лярных интегральных уравнений являются теоремы Михлина [11] и Лизоркина [7] (см. также [3]). Приведем вторую из них. Теорема 1.1 ([7]). Пусть Φ ∈ L∞(Rn) и непрерывна на множестве R n ∗ = {x : x ∈ R n, xi 6= 0, i ∈ {1, . . . , n}} вместе с производными DαΦ, α ∈ Z n 2 := Z2 × · · · × Z2. Если sup{\|xαDαΦ\| : x ∈ R n ∗ , α ∈ Z n 2} = A < ∞, (1.2) то Φ ∈ Mp при p ∈ (1,∞) и ‖Φ‖Mp ≤ Cp,nA, где константа Cp,n не зависит от Φ. Теорема 1.1 доказана Лизоркиным [7]. Условия Михлина получа- ются заменой в (1.2) xα на \|x\|\|α\|. Так как \|xα\| ≤ \|x\|\|α\|, то теорема Лизоркина обобщает теорему Михлина [3, 11]. Обе теоремы выводя- тся из теоремы Марцинкевича о множителях (см. [13]). 1.2. Мультипликаторы в L1 и L∞ Хорошо известно ([13]), что M1 = M∞ = B(Rn) := F ( BV (Rn) ) , где BV (Rn) — пространство конечных борелевских мер в R n. Дру- гими словами, Φ ∈ M1 = B(Rn), если Φ является преобразованием Фурье меры µ ∈ BV (Rn), т. е. допускает представление (1.1), при этом отображение F : BV (Rn) → M1 — изометрическое, т. е. ‖F(µ)‖M1 = ‖F(µ)‖M∞ = ‖µ‖ := V ar(µ), где V ar(µ) — полная вариация меры µ. М. З. Двейрин 179 1.3. Некоторые теоремы о мультипликаторах в L1 В недавней работе [1] доказана следующая теорема о мультипли- каторах в L1 и, значит, — во всей шкале Lp, p ∈ [1,∞] (здесь она приводится в эквивалентной формулировке, более удобной для при- менений). Теорема 1.2 ([1]). Пусть Φ ∈ C (Rn) и удовлетворяет следующим условиям: 1. для всех мультииндексов α ∈ Z n 2 существуют (классические) производные DαΦ и lim \|xj \|→∞ \|Dα1 1 · · ·Dαn n Φ(x1, . . . , xn)\| = 0, 1 ≤ j ≤ n; 2. смешанная производная D = (D1, D2, . . . , Dn) существует и c некоторыми постоянными δ ∈ (0; 1) и Aδ > 0 удовлетворяет условию n ∏ j=1 \|xj \| 1−δ ( 1 + \|xj \| 2δ ) \|D1 · · ·DnΦ(x1, . . . , xn)\| ≤ Aδ. Тогда Φ ∈ M1 (и, значит, Φ ∈ Mp для p ∈ [1;∞]) и верна оценка ‖Φ‖M1 ≤ C1Aδ с некоторой постоянной C1, не зависящей от Φ и δ. Иначе говоря, ‖TΦf‖Lp ≤ C1Aδ‖f‖Lp , f ∈ Lp(R n), p ∈ [1;∞], где C1 не зависит от f,Φ. Более того, из доказательства теоремы 1.2 вытекает, что F−1Φ ∈ L1(Rn), т.е. Φ является (классическим) преобразованием Фурье сум- мируемой функции. Для формулировки следующей теоремы введем еще некоторые обозначения. Следуя [3], обозначим через C0b 〈1/2〉 2,1 = C0b 〈1/2〉 2,1 (Rn) про- странство непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконе- чности и имеющих конечную норму ‖Φ\| C0b 〈1/2〉 2,1 ‖ = ‖Φ‖C0(Rn) + ‖Φ\| b 〈1/2〉 2,1 ‖, где ‖ · \| b 〈1/2〉 2,1 ‖ — полунорма, определяемая равенством ‖Φ\| b 〈1/2〉 2,1 ‖ := ∞ ∫ 0 · · · ∞ ∫ 0 ‖∆t1 · · ·∆tnΦ(x1, . . . , xn)‖L2 dt1 t 3/2 1 · · · dtn t 3/2 n . (1.3) 180 К вопросу о мультипликаторах... Здесь ∆tiΦ(x1, . . . , xn) := Φ(x1, . . . , xi−1, xi + ti, xi+1, . . . , xn) − Φ(x1, . . . , xn) — первая разность Φ(x1, . . . , xn) по переменной xi с ша- гом ti. Теорема 1.3. Пусть f ∈ C0b 〈1/2〉 2,1 (Rn). Тогда F−1f ∈ L1(Rn) и спра- ведлива оценка ‖F−1f‖1 ≤ C‖f \|b 〈1/2〉 2,1 (Rn)‖ с константой C > 0, не зависящей от f . Теорема 1.4. Если для любого x ∈ R n Φ(x) = ∫ \|xj \|6\|uj \|<∞ g(u) du, ∫ Rn ess sup \|vj \|6\|uj \| \|g(u)\| dv < ∞, то Φ ∈ A(Rn) (A(Rn) — алгебра функций с абсолютно сходящимся интегралом Фурье). Теорема 1.5. Пусть f ∈ C0(R n), т.е. непрерывна на R n и стреми- тся к нулю на бесконечности. 1. Если ∞ ∑ s1=−∞ · · · ∞ ∑ sn=−∞ 2 1 2 ∑n j=1 sj ‖∆t1 . . .∆tnf(x1, . . . , xn)‖L2 < ∞, где tj = π 2sj (j = 1, . . . , n), то f ∈ A(Rn). 2. Если f = ĝ с g ∈ L(Rn) и при \|uj \| ≥ \|vj \|, signuj = sign vj (1 ≤ j ≤ n) выполняется неравенство \|g(u)\| ≤ \|g(v)\|, то ряд в пун- кте 1 теоремы сходится. Теоремы 1.4 и 1.5 получены Р. М. Тригубом и опубликованы в [14] в 1980 г. (см. также монографию [15]). Теорема 1.3 опубликована О. В. Бесовым в 1986г. и представляет собой непрерывный аналог теоремы Р. М. Тригуба 1.5. Более обстоятельное изложение истории вопроса можно найти в обзоре [18] и дополняющей его статье обзор- ного характера [16], содержащей также новые условия того, что Φ является преобразованием Фурье суммируемой функции. 2. Вывод теоремы 1.2 из теоремы 1.3 Мы покажем, что теорема 1.2 может быть получена из теоремы 1.3 ( [3, теорема 3]), ограничиваясь случаем n = 2. Для этого до- статочно установить, что из условий, накладываемых на Φ(x1, x2) в М. З. Двейрин 181 теореме 1.2, следует, что ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ‖∆t1∆t2Φ(x1, x2)‖L2 dt1 t 3/2 1 dt2 t 3/2 2 < ∞. Введем функции Φ±(x1, x2) := Φ(x1,−x2), Φ∓(x1, x2) := Φ(−x1, x2), Φ=(x1, x2) := Φ(−x1,−x2). Очевидно, что для них также выполнены условия теоремы 1.2. Положим φ(t1, t2) := ‖∆t1∆t2Φ(x1, x2)‖ 2 L2 = ∞ ∫ −∞ ∞ ∫ −∞ \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 2 dx1dx2 = ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 + 0 ∫ −∞ ∞ ∫ 0 + ∞ ∫ 0 0 ∫ −∞ + 0 ∫ −∞ 0 ∫ −∞ =:I1 + I2 + I3 + I4. (2.1) Для доказательства теоремы 1.2 нам нужно оценить φ(t1, t2), для чего мы будем оценивать слагаемые в правой части равенства (2.1). Для удобства изложения приведем оценки некоторых вспомогатель- ных интегралов в виде простых лемм. Лемма 2.1. Пусть t > 0, x ∈ [0; t], δ ∈ (0; 1). Тогда I := t ∫ 0 du \|u − x\|1−δ (1 + \|u − x\|2δ) ≤ { C(δ), t ≥ 1; C(δ)tδ, 0 < t < 1. Доказательство. I = t−x ∫ −x du \|u\|1−δ(1 + \|u\|2δ) ≤ t ∫ −t du \|u\|1−δ(1 + \|u\|2δ) . При t ≥ 1 I ≤ 2 ∞ ∫ 0 du u1−δ(1 + u2δ) =: C1(δ) < ∞. Далее, I ≤ 2 ∫ t 0u −1+δdu = 2δ−1tδ при t ∈ (0, 1). Полагая C(δ) = min { C1(δ), 2δ−1 } и объединяя оценки, получим требуемое. Лемма 2.2. Пусть t > 0, x > 0 и δ ∈ (0; 1). Тогда I=: t ∫ 0 du (u + x)1−δ(1 + (u + x)2δ) ≤ { C(δ)x−δ, x ≥ 1; C(δ), 0 < x < 1. 182 К вопросу о мультипликаторах... Доказательство. I = x+t ∫ x du u1−δ(1 + u2δ) < x+t ∫ x du u1+δ < 1 δ x−δ. (2.2) При x ∈ (0; 1) I ≤ 1 ∫ x du u1−δ + ∞ ∫ 1 du u1+δ < 2 δ . (2.3) Из (2.2) и (2.3) получаем требуемое. Лемма 2.3. Пусть t ∈ (0; 1], δ ∈ (0; 1), x ∈ [0; t]. Тогда t ∫ 0 du \|u − x\|1−δ ≤ 2 δ tδ. Лемма 2.4. Пусть t > 0, δ ∈ (0; 1). Тогда t ∫ 0 dx (1 + x)δ ≤ { C, t ≤ 1; Ct1−δ, t > 1. Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство. 1. Оценим I1, рассматривая отдельно случаи (a) t1 ≤ 1, t2 ≤ 1; (b) t1 ≤ 1, t2 ≥ 1; (c) t1 ≥ 1, t2 ≤ 1; (d) t1 ≥ 1, t2 ≥ 1. (a) В этом случае мы получим I1 := ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 1−δ · \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 1+δ dx1 dx2 ≤ ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 [ 4Aδ (1 + x1)δ(1 + x2)δ ]1−δ М. З. Двейрин 183 × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Φ′′ x1x2 (x1 + u1, x2 + u2) du1 du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1+δ dx1 dx2 ≤ (4Aδ) 1−δ ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 1 ((1 + x1)(1 + x2))δ(1−δ) × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Aδ dt1 dt2 (x1x2)1−δ(1 + x2δ 1 )(1 + x2δ 2 ) )1+δ dx1 dx2 = 41−δA2 δ(t1t2) 1+δ ( ∞ ∫ 0 dx1 x1−δ2 1 (1 + x1)δ−δ2(1 + x2δ 1 )1+δ )2 ≤ C1A 2 δ(t1t2) 1+δ. (2.4) (b) Пусть t1 ≤ 1, t2 ≥ 1. Тогда I1 = ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 1−δ × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 [ Φ′ x1 (x1 + u1, x2 + t2) − Φ′ x1 (x1 + u1, x2) ] du1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2δ × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Φ′′ x1x2 (x1 + u1, x2 + u2) du1 du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1−δ dx1 dx2 ≤ ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 (4Aδ) 1−δ ((1 + x1)(1 + x2)) δ−δ2 t2δ 1 (2Aδ) 2δ ( x1−δ 1 (1 + x2δ 1 )(1 + xδ 2) )2δ × (t1t2) 1−δ · A1−δ δ ( (x1x2)1−δ(1 + x2δ 1 )(1 + x2δ 2 ) )1−δ dx1 dx2 ≤ C2(δ)A 2 δt 1+δ 1 t1−δ 2 . (2.5) (c) В случае t1 ≥ 1, t2 ≤ 1 требуемая оценка вытекает из (2.5) после переобозначения переменных t1 и t2 I1 ≤ C2(δ)A 2 δt 1−δ 1 t1+δ 2 . (2.6) (d) Пусть t1 ≥ 1, t2 ≥ 1. Тогда записывая I1 в виде I1 = ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 1+δ 184 К вопросу о мультипликаторах... × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Φ′′ x1x2 (x1 + u1, x2 + u2) du1 du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1−δ dx1 dx2 (2.7) и повторяя рассуждения, использованные на шаге (a), придем к оцен- ке I1 ≤ 41+δA2 δ(t1t2) 1−δ ( ∞ ∫ 0 dx1 (1 + x1)δ+δ2x (1−δ)2 1 (1 + x2δ 1 )1−δ )2 ≤ C3(δ)A 2 δ(t1t2) 1−δ. (2.8) 2. Оценим I2. Предварительно заметим, что I2 можно представить в виде I2 = ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ∓(x1, x2)\| 2 dx1 dx2+ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(−x1, x2)\| 2 dx2=:I21 + I22. (2.9) Интеграл I21 представляет собой I1, записанный для функции Φ∓(x1, x2). Следовательно, для I1 также справедливы оценки (2.4)– (2.8). Остается оценить I22. (a) В этом случае I22 = t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(−x1, x2)\| 1−δ\|∆t1∆t2Φ(−x1, x2)\| 1+δ dx2 ≤ A1−δ δ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 ( 1 (1 + \|t1 − x1\|)δ(1 + t2 + x2)δ + 1 (1 + \|t1 − x1\|)δ(1 + x2)δ + 1 (1 + x1)δ(1 + t2 + x2)δ + 1 (1 + x1)δ(1 + x2)δ )1−δ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Φ′′ u1u2 (u1 − x1, u2 + x2) du1 du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1+δ ≤ A2 δ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 ( 2 (1 + \|t1 − x1\|)δ(1 + t2 + x2) + 2 (1 + x1)δ(1 + x2)δ )1−δ М. З. Двейрин 185 × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 1 \|u1 − x1\|1−δ(u2 + x2)1−δ(1 + \|x1 − u1\|2δ) du1du2 (1 + u2 + x2)2δ )1+δ dx2 ≤ 21−δA2 δ t1 ∫ 0 ( 1 (1 + \|t1 − x1\|)δ + 1 1 + (x1)δ ) ( t1 ∫ 0 du1 \|u1 − x1\|1−δ )1+δ dx1 × ∞ ∫ 0 1 (1 + x2)δ−δ2(1 + x2δ 2 )1+δx1−δ2 2 t1+δ 2 dx2 ≤ CA2 δ(t1t2) 1+δ. (2.10) (b) Пусть теперь t1 ≤ 1, t2 ≥ 1. Тогда I22 ≤ A1−δ δ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 ( Φ′ u(u − x1, x2 + t2) − Φ′ u(u − x1, x2) du ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2δ × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 \|Φ′′ u1u2 (u1 − x1, u2 + x2)\| du1 du2 )1−δ dx2 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 ( t1 ∫ 0 ( 1 \|u1 − x1\|1−δ(1 + \|u − x1\|2δ)(1 + t2 + x2)δ + + 1 \|u1 − x1\|1−δ(1 + \|u − x1\|2δ)(1 + x2)δ ) du )2δ ×   t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 1 \|u1 − x1\|1−δ(u2 + x2)1−δ(1 + \|u1 − x1\|2δ) × du1du2 (1 + (u2 + x2)2δ) )1−δ dx2 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 1 (1 + x2)2δ2 ( t1 ∫ 0 2du \|u − x1\|1−δ )2δ × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 du1du2 \|u1 − x1\|1−δx1−δ 2 (1 + x2δ 2 ) )1−δ dx2 ≤ CA2 δt 1+δ+δ2 1 t1−δ 2 ≤ CA2 δt 1+δ 1 t1−δ 2 . (2.11) (c) При t1 ≥ 1, t2 ≤ 1 мы имеем 186 К вопросу о мультипликаторах... I22 = t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(−x1, x2)\| 1−δ × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t2 ∫ 0 ( Φ′ x2 (t1 − x1, u2 + x2) − Φ′ x2 (−x1, u2 + x2) ) du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2δ × ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 Φ′′ u1u2 (u1 − x1, u2 + x2) du1 du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1−δ dx2 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 ∞ ∫ 0 1 (1 + x2)δ−δ2 ( 2 (1 + \|t1 − x1\|)δ + 2 (1 + x1)δ )1−δ × ( t2 ∫ 0 1 x1−δ 2 (1 + x2δ 2 ) ( 1 (1 + \|t1 − x1\|)δ + 1 (1 + x1)δ ) du2 )2δ × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 du1du2 x1−δ 2 (1 + x2δ 2 )\|u1 − x1\|1−δ(1 + \|u1 − x1\|2δ) )1−δ dx2 ≤ CA2 δt 1−δ 1 t1+δ 2 . (2.12) (d) В оставшемся случае t1 ≥ 1, t2 ≥ 1 имеем I22 ≤ t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|∆t1∆t2Φ(−x1, x2)\| 1+δ × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 \|Φ′′ u1u2 (u1 − x1, u2 + x2)\| du1 du2 )1−δ dx2 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 ∞ ∫ 0 1 (1 + x2)δ+δ2 ( 2 (1 + \|t1 − x1\|)δ + 2 (1 + x1)δ )1+δ × ( t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 du1du2 \|u1 − x1\|1−δ(1 + \|u1 − x1\|2δ)x1−δ 2 (1 + x2δ 2 ) )1−δ dx2 ≤ CA2 δt 1−δ 1 t1−δ 2 . (2.13) Из оценок (2.10)–(2.13) и равенства (2.9) следует, что для I2 вы- полняются неравенства (2.4)–(2.8). 3. Ввиду соображений симметрии эти неравенства справедливы также для I3. М. З. Двейрин 187 4. Для оценки интеграла I4 предварительно преобразуем его. I4 = 0 ∫ −∞ 0 ∫ −∞ \|∆t1∆t2Φ(x1, x2)\| 2 dx1 dx2 = ∞ ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∣ ∣Φ=(x1 − t1, x2 − t2) − Φ=(x1 − t1, x2) − Φ=(x1, x2 − t2) + Φ=(x1, x2) ∣ ∣ 2 dx1 dx2 = ∞ ∫ t1 ∞ ∫ t2 + t1 ∫ 0 ∞ ∫ t2 + ∞ ∫ t1 t2 ∫ 0 + t1 ∫ 0 t2 ∫ 0 =:I41 + I42 + I43 + I44. Рассмотрим интеграл I41 = ∞ ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|Φ=(x1, x2) − Φ=(x1, x2 + t2) − Φ=(x1 + t1, x2) + Φ=(x1 + t1, x2 + t2)\| 2 dx2. (2.14) Из (2.1) и (2.14) видим, что I41 есть интеграл I1, записанный для функции Φ=(x1, x2) и для него также справедливы оценки (2.4)–(2.8). Рассмотрим интеграл I42 := t1 ∫ 0 dx1 ∞ ∫ 0 \|Φ±(t1 − x1, x2) − Φ±(t1 − x1, t2 + x2) − Φ±(−x1, x2) + Φ±(−x1, t2 + x2)\| 2 dx2. (2.15) Выражение (2.15) совпадает с интегралом I22, записанным для фун- кции Φ±(x1, x2) и, следовательно, для I42 справедливы оценки (2.4)– (2.8). Они также справедливы для интеграла I43, получающегося из I42 переобозначением переменных x1 и x2. Перейдем к оценке I44. (a) Пусть t1 ≤ 1, t2 ≤ 1. Тогда I44 = t1 ∫ 0 dx1 t2 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 du1 t2 ∫ 0 Φ′′ u1u2 (u1 − x1, u2 − x2) du2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 dx2 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 dx1 t2 ∫ 0 ( t1 ∫ 0 du1 \|u1 − x1\|1−δ(1 + \|u1 − x1\|2δ) 188 К вопросу о мультипликаторах... × t2 ∫ 0 du2 \|u2 − x2\|1−δ(1 + \|u2 − x2\|2δ) )2 dx2 ≤ CA2 δ(t1t2) 1+δ. (b) При t1 ≤ 1, t2 ≥ 1 получаем I44 = t1 ∫ 0 dx1 × t2 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t1 ∫ 0 ( Φ′ u1 (u1 − x1, t2 − x2) − Φ′ u1 (u1 − x1,−x2) ) du1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 dx2 ≤ 2A2 δ t1 ∫ 0 dx1 t2 ∫ 0 ( 2 (1 + \|t2 − x2\|)2δ + 2 (1 + x2)2δ ) × ( t1 ∫ 0 du1 \|u1 − x1\|1−δ )2 dx2 ≤ CA2 δt 1+δ 1 t1−δ 2 . (2.16) (c) Случай t1 ≥ 1, t2 ≤ 1 следует из оценки (2.16) переобозначе- нием переменных. (d) В случае t1 ≥ 1, t2 ≥ 1 I44 ≤ A2 δ t1 ∫ 0 dx1 × t2 ∫ 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 (1 + \|x1 − t1\|)δ(1 + \|x2 − t2\|)δ + 1 (1 + \|x1 − t1\|)δ(1 + x2)δ + 1 (1 + x1)δ(1 + \|x2 − t2\|)δ + 1 (1 + x1)δ(1 + x2)δ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 dx2 ≤ 4A2 δ t1 ∫ 0 dx1 (1 + x1)2δ t2 ∫ 0 dx2 (1 + x2)2δ ≤ CA2 δt 1−δ 1 t1−δ 2 . (2.17) Таким образом, мы получили, что для φ(t1, t2) верны оценки φ(t1, t2) ≤ C            (t1t2) 1+δ, 0 < t1, t2 ≤ 1; t1+δ 1 t1−δ 2 , t1 ≤ 1, t2 ≥ 1; t1−δ 1 t1+δ 2 , t1 ≥ 1, t2 ≤ 1; (t1t2) 1−δ, t1, t2 ≥ 1 М. З. Двейрин 189 с постоянной C, не зависящей от t1 и t2, из которых вытекает сходи- мость интеграла в (1.3) и справедливость теоремы 1.2 Замечание 2.1. Теорема 1.2, вообще говоря, не следует из соответ- ствующей теоремы П. И. Лизоркина [8] о мультипликаторах, т.к. в ([8]) от функции Φ требуется, чтобы Φ ∈ L2(R n), что не предпола- гается в условии теоремы 1.2. Однако она может быть легко распро- странена и на функции Φ, рассматриваемые в теореме 1.2 (в этом случае ее утверждение очень близко к утверждению теоремы 1.3) и тогда теорема 1.2 может быть получена из теоремы П. И. Лизоркина аналогично вышеизложенному. 3. Вывод теоремы 1.2 из теоремы 1.4 С согласия Р. М. Тригуба приведем изложение принадлежащего ему доказательства того, что теорема 1.2 может быть получена из его теоремы 1.4 о мультипликаторах ( [14, теорема 4], [15, с. 208]). Доказательство. Ограничимся случаем n = 2. Пусть сперва фун- кция Φ := Φ(x, y) четна по x и y . Тогда в условиях теоремы 1.2 ее можно представить в виде Φ(x, y) = ∞ ∫ \|x\| ∞ ∫ \|y\| Φ′′ uv(u, v) du dv. Из теоремы 1.4 в этом случае следует, что Φ(x, y) ∈ A(R2). Теперь рассмотрим общую ситуацию. Любую функцию Φ(x, y) можно пред- ставить в виде суммы четырех функций Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4, каждая из которых будет четной или нечетной по переменным x и y по отдельности. Поэтому достаточно показать принадлежность A(R2) каждой из функций Φi. Очевидно, что функции Φi можно выбрать удовлетворяющими условию теоремы 1.2. Случай, когда Φi четна, следует из предшествующих рассуждений. Покажем, как убедиться в принадлежности A(R2) функции Φi, если она является нечетной по одной или обоим переменным. Пусть, например, Φ1(x, y) нечетна по x и четна относительно y . Возьмем достаточно малое положительное ε, ε < δ (где δ из условия теоремы 1.2) и рассмотрим функцию fε(x) = { \|x\|εsgn x, \|x\| ≤ 1; \|x\|−ε sgn x, \|x\| ≥ 1. Очевидно, что функция fε ∈ A(R) и, следовательно, является пре- образованием Фурье конечной борелевской плоской меры. Функция 190 К вопросу о мультипликаторах... Φ1(x, y)/fε(x) является четной по x и y и удовлетворяет условию тео- ремы 1.4. Ввиду приведенного в начале доказательства рассуждения она принадлежит A(R2). Представляя Φ1 в виде Φ1 = (Φ1/fε) · fε ви- дим, что Φ1 ∈ A(R2) ⊂ B(R2), так как произведение функций из A и B принадлежит A. Рассуждения для остальных ситуаций с четно- стью и нечетностью функций Φi аналогичны. Замечание 3.1. Теорема 1.2 также может быть получена и из ре- зультатов И. Р. Лифлянда [17]. 4. Некоторые примеры мультипликаторов в L1(R n) В этой части статьи приводятся примеры мультипликаторов, удовлетворяющих условиям теорем 1.3 и 1.4, но не удовлетворяющих условиям теоремы 1.2. Тем самым доказана неравносильность этих теорем. Рассмотрим функцию Φ(x1, x2) = 1 (1 + ln(1 + x2 1))(1 + ln(1 + x2 2)) . Очевидно, Φ не удовлетворяет условиям теоремы 1.2, т.к. не вы- полнено условие 1. Убедимся, что Φ удовлетворяет условиям теоремы Р. М. Тригуба 1.4. Φ′′ x1x2 (x1, x2) = 4x1x2 (1 + x2 1)(1 + x2 2)(1 + ln(1 + x2 1)) 2(1 + ln(1 + x2 2)) 2 . Положим ϕ(x) = 2x (1 + x2)(1 + ln(1 + x2))2 . Отметим некоторые простые свойства ϕ(x): 1. \|ϕ(x)\| — четная функция; 2. ϕ(x) непрерывна на R; 3. \|ϕ(x)\| ≤ 1 при всех x ∈ R; 4. ϕ(x) монотонно убывает к нулю при x ≥ 1. Действительно, при x ≥ 1 имеем 2 · ( 1 ϕ(x) )′ = [( 1 − 1 x2 ) (1 + ln(1 + x2))2 М. З. Двейрин 191 + x2 + 1 x · 2(1 + ln(1 + x2)) 2x 1 + x2 ] = (1 + ln(1 + x2)) [( 1 − 1 x2 ) (1 + ln(1 + x2)) + 4 ] > 0. 5. \|Φ′′ x1x2 (x1, x2)\| = \|ϕ(x1)\|\|ϕ(x2)\|. Покажем, что функция g(u1, u2) := Φ′′ u1,u2 (u1, u2) удовлетворяет условиям теоремы 1.4. ∞ ∫ \|x1\| du1 ∞ ∫ \|x2\| g(u1, u2) du2 = ∞ ∫ \|x1\| du1 ∞ ∫ \|x2\| ϕ(u1)ϕ(u2) du2 = ∞ ∫ \|x1\| 2u1du1 (1 + u2 1)(1 + ln(1 + u2 1)) 2 ∞ ∫ \|x2\| 2u2du2 (1 + u2 2)(1 + ln(1 + u2 2)) 2 = 1 1 + ln(1 + u2 1) ∣ ∣ ∣ ∣ ∞ \|x1\| 1 1 + ln(1 + u2 2) ∣ ∣ ∣ ∣ ∞ \|x2\| = 1 (1 + ln(1 + x2 1))(1 + ln(1 + x2 2)) = Φ(x1, x2). Таким образом, условие представимости Φ в виде Φ(x1, x2) = ∞ ∫ \|x1\| du1 ∞ ∫ \|x2\| g(u1, u2) du2 выполнено. Убедимся, что выполнено и второе условие теоремы 1.4. ∫ R2 ess sup \|ui\|≥\|vi\| \|g(u1, u2)\| dv1 dv2 < ∞. Действительно, ∫ R2 ess sup \|ui\|≥\|vi\| \|g(u1, u2)\| dv1 dv2 = ∫ R2 ess sup \|ui\|≥\|vi\| \|Φu1u2 (u1, u2)\| dv1 dv2 = 4 ∞ ∫ 0 dv1 ∞ ∫ 0 ess sup \|ui\|≥vi \|ϕ(u1)ϕ(u2)\| dv2 = 4 ( ∞ ∫ 0 ess sup \|u\|≥v \|ϕ(u)\| dv )2 = 4 ( 1 ∫ 0 ess sup u≥v \|ϕ(u)\| dv + ∞ ∫ 1 ess sup u≥v \|ϕ(u)\| dv )2 192 К вопросу о мультипликаторах... ≤ 4 ( 1 ∫ 0 1 · dv + ∞ ∫ 0 ϕ(v) dv )2 = 4 ( 1 + 1 1 + ln 2 )2 < ∞. Таким образом, функция Φ(x1, x2) представляет собой мультиплика- тор, удовлетворяющий условиям теоремы Р. М. Тригуба 1.4 и неу- довлетворяющий условиям теоремы 1.2 из [1]. Отметим также, что подобный пример легко обобщить, заменив множители в знаменате- ле функции Φ(x1, x2) на множители вида (1 + ln ln · · · ln(c + x2)) с произвольным натуральным количеством операций логарифмиро- вания и подходящей положительной постоянной c. Теперь приведем подобный пример мультипликатора, удовлетво- ряющего условиям теоремы 1.3 и неудовлетворяющего условиям те- оремы 1.2. Полагая n = 1, Φ(x) = 1 1 + ln(1 + x2) , имеем ‖Φ(x + 1) − Φ(x)‖2 = ‖△tΦ(x)‖2 = ∞ ∫ −∞ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 + ln(1 + (x + t)2) − 1 1 + ln(1 + x2) ∣ ∣ ∣ ∣ 2 dx = ∞ ∫ 0 + 0 ∫ −∞ =: I1 + I2, t > 0. Оценим I1. (a) При t ∈ (0; 1] имеем: I1 = ∞ ∫ 0 ln2 1 + (x + t)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (x + t)2))2(1 + ln(1 + x2))2 ≤ ∞ ∫ 0 ln2 ( 1 + 2x + t 1 + x2 t ) dx (1 + ln(1 + x2))4 ≤ ∞ ∫ 0 (2x + t)2 (1 + x2)2 t2 dx ≤ t2 ∞ ∫ 0 4x2 + 4x + 1 (1 + x2)2 dx ≤ t2 ∞ ∫ 0 6x2 + 3 (1 + x2)2 dx ≤ 6t2 ∞ ∫ 0 dx 1 + x2 = 3πt2. М. З. Двейрин 193 (b) При t > 1 имеем: I1 ≤ t ∫ 0 ln2 1 + (x + t)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (x + t)2))2(1 + ln(1 + x2))2 + ∞ ∫ t ( 2x + t 1 + x2 )2 t2 dx (1 + ln(1 + x2))4 ≤ 1 (1 + ln(1 + t2))2 t ∫ 0 ln2 1 + 4t2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + x2))2 + 9t2 ∞ ∫ t dx (1 + x2)(1 + ln(1 + x2))4 =: I11 + I12. Применяя правило Лопиталя, нетрудно убедиться, что lim t→∞ I11 ln4 t t = ln2 4 16 + ln 4 4 + 1 2 , lim t→∞ I12 ln4 t t = 9 16 , следовательно, при t > 1 имеет место неравенство I11 + I12 ≤ C t ln4 t с некоторой постоянной C > 0. Для оценки I2 мы его предварительно преобразуем: I2 = 0 ∫ −∞ [ 1 1 + ln(1 + (x + t)2) − 1 1 + ln(1 + x2) ]2 dx = ∞ ∫ 0 [ 1 1 + ln(1 + (t − x)2) − 1 1 + ln(1 + x2) ]2 dx = ∞ ∫ t + t ∫ 0 = ∞ ∫ 0 [ 1 1 + ln(1 + x2) − 1 1 + ln(1 + (x + t)2) ]2 dx + t ∫ 0 [ 1 1 + ln(1 + (t − x)2) − 1 1 + ln(1 + x2) ]2 dx =: I1 + I3. 194 К вопросу о мультипликаторах... Для I1 оценки уже получены выше. Оценим I3 при t ∈ (0; 1]: I3 = t ∫ 0 ln2 1 + (x − t)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (t − x)2))2(1 + ln(1 + x2))2 ≤ t ∫ 0 ln2 1 + (x − t)2 1 + x2 dx = t 2 ∫ 0 ln2 1 + (t − x)2 1 + x2 dx + t ∫ t 2 ln2 1 + x2 1 + (t − x)2 dx ≤ t 2 ∫ 0 ln2(1 + t2) dx + t ∫ t 2 ln2(1 + t2) dx = t ln2(1 + t2) ≤ t5. (4.1) Оценим I3 при t > 1: I3 = t ∫ 0 ln2 1 + (x − t)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (t − x)2))2(1 + ln(1 + x2))2 = 2 t ∫ t 2 ln2 1 + (x − t)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (t − x)2))2(1 + ln(1 + x2))2 ≤ 2 (1 + ln(1 + t2 4 ))2 t ∫ t 2 ln2 1 + (t − x)2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + (t − x)2))2 ≤ 2 (1 + ln(1 + t2 4 ))2 t ∫ t 2 ln2 1 + t2 1 + (t − x)2 dx (1 + ln(1 + (t − x)2))2 = 2 (1 + ln(1 + t2 4 ))2 t 2 ∫ 0 ln2 1 + t2 1 + x2 dx (1 + ln(1 + x2))2 . Поскольку выражение, стоящее в правой части неравенства (обозна- чим его I4 =: I4(·)), равно удвоенному значению рассмотренного выше выражения I11 =: I11(·) в точке t 2 , то для него при t ≥ 1 также верна оценка I4 ≤ C t ln4 t М. З. Двейрин 195 с некоторой постоянной C > 0. Из полученных оценок следует, что ‖Φ(x + t) − Φ(x)‖ ≤ C { t ln4 t , t ∈ (0; 1]; 1, t > 1. Следовательно, функция Φ(x) = 1 1+ln(1+x2) представляет собой муль- типликатор, для которого выполнено условие теоремы 1.3 ∞ ∫ 0 ‖∆tΦ(x)‖L2 t 3 2 dt < ∞ в отличие от условия теоремы 1.2 из работы [1]. Литература [1] E. S. Belinsky, M. Z. Dvejrin, M. M. Malamud, Multipliers in L1 and Estimates for systems of differential operators // Russian Journ. Math. Physics, 12 (2005), N 1, 6–16. [2] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен- ных операторов, Киев: Наукова думка, 1965, 798 с. [3] О. В. Бесов, К теореме Хермандера о мультипликаторах Фурье // Труды МИАН СССР. 173 (1986), 3–13. [4] О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: Наука, 1996, 480 с. [5] Л. Р. Волевич, Локальные свойства решений квазиэллиптических систем // Матем. сб., 59 (101) (1962), 3–52. [6] L. Hörmander, Estimates for translation invariant operators in L p-space // Acta Math., 104 (1960), 93–140. [7] П. И. Лизоркин, Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функцио- нальные пространства Lp(En). Теоремы вложения // Матем. сб., 60 (102) (1963), 325–353. [8] П. И. Лизоркин, Предельные случаи теорем о FLp мультипликаторах // Труды МИАН СССР, 173 (1986), 164–180. [9] Д. В. Лиманский, М. М. Маламуд, Эллиптические и слабо коэрцитивные си- стемы операторов в пространствах Соболева // Матем. сб., 199:11 (2008), 75–112. [10] М. М. Маламуд, Оценки для систем минимальных и максимальных опера- торов в Lp(Ω) // Труды Моск. Матем. Об-ва, 56 (1995), 206–261. [11] С. Г. Михлин, О мультипликаторах интегралов Фурье // ДАН СССР, 109 (1956) N 4, 701–703. [12] И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М.: Мир, 1973, 342 с. [13] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про- странствах, М.: Мир, 1974, 332 с. 196 К вопросу о мультипликаторах... [14] Р. М. Тригуб, Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость интегралов Фурье и приближение полиномами функций на торе // Изв. АН СССР, сер. матем., 44 (1980), N 6, 1378–1409. [15] R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht; Boston MA; London, 2004, 585 p. [16] E. Liflyand, R. Trigub, Known and new results on absolute convergence of Fourier integrals // CRM, preprint num. 859, June 2009, 29 p. [17] E. R. Liflyand, On asymtotics of Fourier transform for functions of certain classes // Analysis Math., 19 (1993), N 2, 151–168. [18] S. G. Samko, G. S. Kostetskaya, Absolute integrability of Fourier integrals // Вестник РУДН, сер. Математика, (1994), N 1, 138–168. Сведения об авторах Михаил Захарович Двейрин Донецкий национальный университет, ул. Университетская 24, Донецк 83055, Украина E-Mail: strannik35@telenet.dn.ua

К вопросу о мультипликаторах в L¹ и C

Репозитарії

Схожі ресурси