Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости

В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствую...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Український математичний вісник
Дата:	2010
Автор:	Закора, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124389
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124389
record_format	dspace
spelling	Закора, Д.А. 2017-09-24T16:06:37Z 2017-09-24T16:06:37Z 2010 Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 45K05, 58C40, 76R99. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124389 В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. Доказаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изолированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
spellingShingle	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Закора, Д.А.
title_short	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_full	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_fullStr	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_full_unstemmed	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
title_sort	симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости
author	Закора, Д.А.
author_facet	Закора, Д.А.
publishDate	2010
language	Russian
container_title	Український математичний вісник
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	В настоящей работе предложено реологическое соотношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросистемы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. Доказаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изолированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124389
citation_txt	Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости / Д.А. Закора // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 2. — С. 258-288. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT zakorada simmetričnaâmodelʹidealʹnoivraŝaûŝeisârelaksiruûŝeižidkosti
first_indexed	2025-11-27T03:09:51Z
last_indexed	2025-11-27T03:09:51Z
_version_	1850793845392932864
fulltext	Український математичний вiсник Том 7 (2010), № 2, 258 – 288 Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости Дмитрий Закора (Представлена Н. Д. Копачевским) Аннотация. В настоящей работе предложено реологическое соот- ношение, приводящее к симметричной модели идеальной релаксиру- ющей жидкости в ограниченной области. Для построенной модели исследована эволюционная задача о малых движениях гидросисте- мы. Приведена теорема об однозначной сильной разрешимости со- ответствующей начально-краевой задачи. В работе изучена также спектральная задача, ассоциированная с исследуемой моделью. До- казаны утверждения о локализации спектра, изучен существенный спектр задачи, найдены асимптотические формулы для ветвей изо- лированных собственных значений, исследованы вопросы полноты и базисности корневых элементов задачи. 2010 MSC. 45K05, 58C40, 76R99. Ключевые слова и фразы. сжимаемая жидкость, существова- ние, единственность, спектральная задача, операторный пучок, су- щественный спектр, асимптотика. Введение Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости в ограниченной области без учета вращения, а также при отсутствии силы тяжести и при некоторых модельных ограничениях на грани- чные условия для динамической плотности, изучалась в [1, с. 390–410] (см. также [2]). В указанной монографии доказана теорема о сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи, а также исследована спектральная задача о нормальных колебаниях. В рабо- тах [3, 4] изучена задача о малых движениях идеальной релаксиру- ющей жидкости, заполняющей ограниченную область и находящей- ся под действием гравитационного поля. При этом предполагалось, Статья поступила в редакцию 17.03.2010 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України Д. А. Закора 259 что в состоянии относительного равновесия плотность жидкости по- стоянна. Оказывается, что пренебрежение изменением стационарной плотности приводит к нарушению симметрии в задаче, а также к некомпактным возмущениям в операторном пучке, отвечающем спе- ктральной задаче (даже в случае баротропной модели). В настоящей работе предлагается реологическое соотношение, ко- торое, вместе с учетом точного стационарного состояния жидкости, приводит к симметричной модели идеальной релаксирующей жид- кости. Для этой модели исследуются эволюционная и спектральная задачи. 1. Малые движения вращающейся идеальной релаксирующей жидкости 1.1. Постановка задачи Рассмотрим контейнер, равномерно вращающийся вокруг оси, со- направленной с действием силы тяжести, и полностью заполненный идеальной неоднородной жидкостью. Будем считать, что жидкость занимает ограниченную область Ω ⊂ R 3. Обозначим через ~n едини- чный вектор, нормальный к границе S := ∂Ω и направленный вне области Ω. Введем систему координат Ox1x2x3, жестко связанную с контейнером, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат на- ходится в области Ω. В этом случае равномерная скорость вращения контейнера запишется в виде ~ω0 := ω0~e3, где ~e3 — орт оси вращения Ox3, а ω0 > 0, для определенности. Будем считать, что внешнее ста- ционарное поле сил ~F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, то есть ~F0 = −g~e3, g > 0. Рассмотрим состояние относительного равновесия жидкости. Из уравнения Эйлера движения идеальной жидкости, записанного в по- движной системе координат, найдем формулу для градиента стацио- нарного давления: ∇P0 = ρ0(−~ω0 × (~ω0 × ~r) − g~e3) = ρ0∇(2−1\|~ω0 × ~r\|2 − gx3), (1.1) где ~r — радиус-вектор текущей точки области Ω, а ρ0 — стационарная плотность жидкости. В состоянии относительного равновесия динамические составля- ющие давления и плотности, отвечающие за эффекты релаксации в жидкости, отсутствуют. Поэтому будем считать, что в состоянии относительного равновесия жидкость баротропна и удовлетворяет следующему уравнению состояния: ∇P0 = a2 ∞∇ρ0, где a∞ — скорость 260 Симметричная модель... звука в жидкости. Из этого уравнения и соотношения (1.1) заключа- ем, что ρ0 и a2 ∞ могут быть в общем случае функциями параметра z := 2−1ω2 0(x 2 1 + x2 2) − gx3. Таким образом, будем считать далее, что для жидкости определена функция скорости звука a2 ∞ = a2 ∞(z) (это может быть и константа), тогда стационарная плотность может быть найдена как функция параметра z. При этом стационарная плотность ρ0 будет постоянной, только если в системе отсутствует вращение и гравитационное поле. Представим теперь полное давление и плотность жидкости в виде: P̂ (t, x) = P0(z) + p(t, x), ρ̂(t, x) = ρ0(z) + ρ(t, x), где p(t, x) и ρ(t, x) — это динамическое давление и плотность соответственно, возникаю- щие при малых движениях жидкости относительно стационарного состояния. Предположим, что динамические составляющие удовле- творяют следующему реологическому соотношению: Pm ( ∂ ∂t ) ∇p(t, x) = a2 ∞(z) ( Pm ( ∂ ∂t ) + ρ0(z)Qm−1 ( ∂ ∂t )) ∇ρ(t, x), (1.2) где Pm(x), Qm−1(x) — полиномы степеней m и m−1, соответственно. При этом, очевидно, можно считать, что коэффициент при старшей степени в многочлене Pm(x) — единичный. Следуя рассуждениям и идеям из монографии [5], будем предполагать, что все корни поли- нома Pm(x) вещественны, различны и отрицательны; обозначим их через −bl (l = 1, m), а корни полинома Qm−1(x) вещественны, отрица- тельны и чередуются с корнями Pm(x). В этом случае из (1.2) можно вывести следующее уравнение состояния: ∇p(t, x) = a2 ∞(z) ( ∇ρ(t, x) − ρ0(z) t∫ 0 ∇K(t − s)ρ(s, x) ds ) , (1.3) где K(t) = ∑m l=1 kl exp(−blt). Числа b−1 l имеют смысл времен рела- ксации в системе, а kl > 0 (l = 1, m) — некоторые структурные постоянные. В качестве математического обобщения описанных по- строений будем считать в эволюционной задаче, что K = K(t, x) — достаточно гладкое положительное ядро, а в спектральной задаче, что kl = kl(x) — достаточно гладкие положительные функции (если это не вызовет принципиальных изменений в структуре спектра). Осуществим линеаризацию уравнения Эйлера, записанного в по- движной системе координат, относительно состояния относительного равновесия. С использованием уравнения состояния (1.3) получим задачу о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, за- Д. А. Закора 261 полняющей равномерно вращающееся твердое тело: ∂2 ~w(t, x) ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t ( ~w(t, x) × ~e3 ) = −a2 ∞(z)∇ ( ρ−1 0 (z)ρ(t, x) ) + a2 ∞(z) t∫ 0 ∇ ( K(t − s, x)ρ(s, x) ) ds + ~f(t, x) (в Ω), (1.4) ρ(t, x) + div ( ρ0(z)~w(t, x) ) = 0 (в Ω), ~w(t, x) · ~n = 0 (на S), (1.5) где ~w(t, x) — поле смещений в жидкости, p(t, x), ρ(t, x) — динамиче- ское давление и плотность жидкости, ~f(t, x) — малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное поле. Выразим из уравнения неразрывности в (1.5) динамическую пло- тность ρ(t, x) и подставим ее в (1.4). Осуществим в полученном урав- нении замену a−2 ∞ (z)~w = ~u, в результате получим основную задачу: ∂2~u(t, x) ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t ( ~u(t, x) × ~e3 ) = ∇ ( ρ−1 0 (z) div ( δ(z)~u(t, x) )) − t∫ 0 ∇ ( K(t − s, x) div ( δ(z)~u(s, x) )) ds + a−2 ∞ (z)~f(t, x) (в Ω), (1.6) δ(z) := ρ0(z)a2 ∞(z), ~u(t, x) · ~n = 0 (на S), (1.7) ~u(0, x) = ~u0(x), ∂ ∂t ~u(0, x) = ~u1(x). (1.8) 1.2. Проектирование уравнений движения Для перехода к операторному уравнению в изучаемой задаче при- меним метод ортогонального проектирования уравнений движения на специальные подпространства [6]. Введем векторное пространство ~L2(Ω, δ) со скалярным произведением и нормой следующего вида: (~v1, ~v2)~L2(Ω,δ) := ∫ Ω δ(z)~v1 · ~v2 dΩ, ‖~v‖2 ~L2(Ω,δ) = ∫ Ω δ(z)\|~v\|2 dΩ. (1.9) Очевидно, в силу свойств функции δ(z), что нормы в пространс- твах ~L2(Ω, δ) и ~L2(Ω) эквивалентны, а значит ~L2(Ω, δ) — гильбертово. Можно проверить, что имеет место разложение (аналог разложения Г. Вейля пространства векторных полей ~L2(Ω) (см. [6, с. 103])): ~L2(Ω, δ) = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), (1.10) 262 Симметричная модель... ~J0(Ω, δ) := {~v ∈ ~L2(Ω, δ) ∣∣ div(δ(z)~v) = 0 (в Ω), vn := ~v · ~n = 0 (на S)}, ~G(Ω, δ) := { ~v ∈ ~L2(Ω, δ) ∣∣ ~v = ∇Φ, ∫ Ω Φ dΩ = 0 } . Здесь операции div~v и vn понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [6, с. 100–102]. Введем ортопроекторы P0 и PG пространства ~L2(Ω, δ) на ~J0(Ω, δ) и ~G(Ω, δ), соответственно. Будем разыскивать поле ~u в виде: ~u = ~v + ∇Φ, где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ). (1.11) Подставим представление (1.11) в уравнение (1.6) и применим к его правой и левой частям ортопроекторы P0 и PG, отвечающие ра- зложению (1.10). Преобразуем также граничное условие (1.7) и на- чальные условия (1.8). В результате получим следующую задачу: ∂2~v ∂t2 − 2ω0 ∂ ∂t [ P0(~v × ~e3) + P0(∇Φ × ~e3) ] = P0a −2 ∞ ~f (в Ω), (1.12) ∂2 ∂t2 ∇Φ − 2ω0 ∂ ∂t [ PG(~v × ~e3) + PG(∇Φ × ~e3) ] = ∇ ( ρ−1 0 div(δ∇Φ) ) − t∫ 0 ∇ ( K(t − s) div(δ∇Φ(s)) ) ds + PGa−2 ∞ ~f, ∂Φ ∂n = 0 (на S), (1.13) ~v(0, x) = P0~u 0(x) =: ~v0(x), ∂ ∂t ~v(0, x) = P0~u 1(x) =: ~v1(x), ∇Φ(0, x) = PG~u0(x) =: ∇Φ0(x), ∂ ∂t ∇Φ(0, x) = PG~u1(x) =: ∇Φ1(x). (1.14) 1.3. Вспомогательные операторы и их свойства Для перехода к операторной формулировке задачи (1.12)–(1.14) введем ряд операторов и изучим их свойства. Введем гильбертово пространство H := ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), состоящее из пар ξ := (~v;∇Φ)t (здесь символ t обозначает операцию транспонирования), где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ). Скалярное произведение и норма в H опре- деляются следующим образом: (ξ1, ξ2)H := (~v1, ~v2)~L(Ω,δ) + (∇Φ1,∇Φ2)~L(Ω,δ), ‖ξ‖2 H := (ξ, ξ)H. Д. А. Закора 263 Введем операторы S1,1, S1,2, S2,1, S2,2 и операторный блок S: Sξ := ( S1,1 S1,2 S2,1 S2,2 )( ~v ∇Φ ) := ( iP0(~v × ~e3) iP0(∇Φ × ~e3) iPG(~v × ~e3) iPG(∇Φ × ~e3) ) . (1.15) Имеет место лемма, доказательство которой подобно доказате- льству аналогичной леммы о свойствах кориолисова оператора из [6]. Лемма 1.1. Оператор S является самосопряженным и ограничен- ным в H: S = S∗, S ∈ L(H); более того, ‖S‖ = 1. Спектр оператора S1,1 существенный (см. [7]) и заполняет отрезок [−1, 1]: σ(S1,1) = = σess(S1,1) = [−1, 1] (здесь через σess(S1,1) обозначен существенный (предельный) спектр оператора S1,1). Будем считать далее, что функции K(t, x) и a2 ∞(z) (напомним, что z := 2−1ω2 0(x 2 1 + x2 2) − gx3) непрерывно дифференцируемы по прост- ранственным переменным, а граница S области Ω — класса C2. Лемма 1.2. Введем пространство HA := { ∇Φ ∈ ~W 1 2 (Ω) ∣∣∣ ∂Φ ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ dΩ = 0 } с нормой, порожденной скалярным произведением следующего вида: (∇Φ1,∇Φ2)A := ∫ Ω ρ−1 0 div(δ∇Φ1)div(δ∇Φ2) dΩ. Пространство HA является гильбертовым; оно компактно вло- жено в пространство ~G(Ω, δ): HA ⊂→⊂→ ~G(Ω, δ). Порождающий опе- ратор A гильбертовой пары (HA; ~G(Ω, δ)), являющийся самосопря- женным и положительно определенным в ~G(Ω, δ), обладает дис- кретным спектром. Для каждого поля ∇q ∈ ~G(Ω, δ) существует и единственно обобщенное решение задачи −∇(ρ−1 0 (z) div(δ(z)∇Φ)) = ∇q (в Ω), ∂Φ ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ dΩ = 0, выражаемое формулой ∇Φ = A−1∇q. Более того, A−1 ∈ Sp(~G(Ω, δ)) при p > 3/2 и справедлива следующая асимптотическая формула: λk(A) = ( 1 6π2 ∫ Ω ρ −3/2 0 (z)a−6 ∞ (z) dΩ )−2/3 k2/3(1 + o(1)) (k → ∞). 264 Симметричная модель... Доказательство. Покажем, что HA гильбертово пространство. Для каждого поля ∇Φ из HA можно вывести следующее неравенство: ‖∇Φ‖2 A ≤ 2 max x∈Ω ρ−1 0 (z) · max { ‖∇δ‖2 ~L2(Ω) , 2 max x∈Ω δ(z) } ‖∇Φ‖2 ~W 1 2 (Ω) . (1.16) Выведем противоположное неравенство, которое вместе с (1.16) обеспечит эквивалентность указанных норм. Рассмотрим задачу LΦ := −div(δ∇Φ) = f (в Ω), BΦ := ∂Φ ∂n = ϕ (на S). (1.17) Можно проверить, что дифференциальное выражение L правильно эллиптично, а граничное условие B накрывает его (см. [8, с. 222]). Таким образом, задача (1.17) эллиптична, а ее ядро (т.е. решение задачи (1.17) при f ≡ 0, ϕ ≡ 0), как несложно проверить, состоит из констант. Из леммы 6.3 из [8, c. 226] следует, что ∃ c > 0 : ‖LΦ‖2 L2(Ω) ≥ c‖Φ‖2 W 2 2 (Ω) ∀Φ ∈ W 2 2 (Ω, B), где W 2 2 (Ω, B) := { Φ ∈ W 2 2 (Ω) ∣∣∣ ∂Φ ∂n = 0 (на S), (Φ, 1)L2(Ω) = 0 } . (1.18) Из (1.18) для каждого поля ∇Φ из HA выведем следующее неравен- ство: ‖∇Φ‖2 A ≥ c min x∈Ω ρ−1 0 (z)‖Φ‖2 W 2 2 (Ω) ≥ c min x∈Ω ρ−1 0 (z)‖∇Φ‖2 ~W 1 2 (Ω) . (1.19) Из (1.16), (1.19) получаем, что HA — гильбертово пространство. Пространство HA является плотным множеством в ~G(Ω, δ). Из неравенства (1.19), с учетом того, что ‖∇Φ‖ ~G(Ω,δ) ≤ ‖∇Φ‖ ~W 1 2 (Ω) для каждого ∇Φ ∈ ~W 1 2 (Ω) ∩ ~G(Ω, δ), следует, что HA и ~G(Ω, δ) образуют гильбертову пару (HA; ~G(Ω, δ)). Найдем порождающий оператор A указанной гильбертовой пары; он определяется из тождества (см. [6, с. 33]) (A∇Φ1,∇Φ2) ~G(Ω,δ) = (∇Φ1,∇Φ2)A, ∇Φ1 ∈ D(A), ∇Φ2 ∈ HA. (1.20) Для дважды дифференцируемого поля ∇Φ1, с использованием формулы Грина для оператора Лапласа, тождество (1.20) можно пре- Д. А. Закора 265 образовать следующим образом: (A∇Φ1,∇Φ2) ~G(Ω,δ) = ∫ Ω ρ−1 0 div(δ∇Φ1) div(δ∇Φ2) dΩ = − ∫ Ω ∇(ρ−1 0 div(δ∇Φ1)) · δ∇Φ2 dΩ + ∫ S a2 ∞ div(δ∇Φ1) ∂Φ2 ∂n dS = (−∇(ρ−1 0 div(δ∇Φ1),∇Φ2) ~G(Ω,δ). (1.21) Отсюда следует, что дважды дифференцируемое решение уравнения A∇Φ1 = ∇q является решением задачи −∇(ρ−1 0 (z) div(δ(z)∇Φ1)) = ∇q (в Ω), ∂Φ1 ∂n = 0 (на S), ∫ Ω Φ1 dΩ = 0. Эта задача имеет единственное обобщенное решение ∇Φ1 = A−1∇q для каждого поля ∇q ∈ ~G(Ω, δ). Из неравенства (1.16) и компактности вложения пространства ~W 1 2 (Ω) в ~L2(Ω, δ) следует, что HA ⊂→⊂→ ~G(Ω, δ). Это влечет ком- пактность оператора A−1, а значит оператор A обладает дискретным спектром. Асимптотическая формула для собственных значений опе- ратора A следует из общих формул из работы [9]. Аналогично оператору A, заменяя ρ−1 0 (z) на K(t, x), введем опе- ратор-функцию K(t), при этом D(A) = D(K(t)) для каждого t ≥ 0. 1.4. Переход к операторному уравнению. Исследование интегродифференциального уравнения второго порядка. Разрешимость исходной начально-краевой задачи С использованием введенных операторов задачу (1.12)–(1.14) за- пишем в виде задачи Коши для интегродифференциального уравне- ния второго порядка в гильбертовом пространстве H = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ): d2ξ dt2 + 2ω0iS dξ dt = −PGAξ + t∫ 0 K(t − s)ξ(s) ds + F(t), ξ(0) = ξ0, ξ′(0) = ξ1, (1.22) где PG := diag(0, IG), A := diag(I0, A), K(t) := diag(0, K(t)), 266 Симметричная модель... F(t) := (P0a −2 ∞ ~f(t); PGa−2 ∞ ~f(t))t, ξ0 := (~v0;∇Φ0)t, ξ1 := (~v1;∇Φ1)t. Таким образом, если поле ~u — такое решение задачи (1.6)–(1.8) о малых движениях вращающейся идеальной релаксирующей жидко- сти в ограниченной области, что все проведенные до сих пор рассу- ждения законны, тогда функция ξ является решением задачи Коши для интегродифференциального уравнения второго порядка (1.22). Дадим следующее определение. Определение 1.1. Назовем сильным решением исходной начально- краевой задачи (1.6)–(1.8) такое поле ~u, для которого функция ξ яв- ляется сильным решением задачи Коши (1.22). В свою очередь силь- ным решением задачи Коши (1.22) (см. [10, с. 291]) назовем функцию ξ(t) такую, что ξ(t) ∈ D(A), ξ′(t) ∈ D(A1/2) для любого t из R+, Aξ(t), A1/2ξ′(t) ∈ C(R+;H), ξ(t) ∈ C2(R+;H), выполнены начальные условия и уравнение из (1.22) для любого t ∈ R+ := [0, +∞). Осуществим в задаче (1.22) замену A1/2ξ(t) = η′(t), η(0) = 0 и преобразуем ее к системе двух уравнений с начальными условиями: d2ξ dt2 = −2ω0iS dξ dt − PGA1/2 dη dt + t∫ 0 K(t − s)A−1/2 dη(s) ds ds + F(t), d2η dt2 = A1/2 dξ dt , ξ′(0) = ξ1, η′(0) = A1/2ξ0. (1.23) Очевидно, что PGA1/2 = A1/2 − P0, K(t)A−1/2 = Kb(t)A1/2, где P0 ∈ L(H) и Kb(t) ∈ L(H) при каждом t ∈ R+. С использованием проведенных преобразований запишем систему (1.23) в виде одного интегродифференциального уравнения первого порядка в гильберто- вом пространстве H(2) := H⊕H: dy dt = Ây + R̂y + t∫ 0 K̂(t − s)Ĉy(s) ds + F̂(t), y(0) = y0, (1.24) где y := (ξ′; η′)t, y0 := (ξ1;A1/2ξ0)t, Ĉ := diag(0,A1/2), F̂(t) := (F(t); 0)t, Â := ( −2ω0iS −A1/2 A1/2 0 ) , R̂ := ( 0 P0 0 0 ) , K̂(t) := ( 0 Kb(t) 0 0 ) ; при этом R̂ ∈ L(H(2)) и K̂(t) ∈ L(H(2)) при каждом t ∈ R+, а обла- сти определения операторов Â и Ĉ, очевидно, связаны включением D(Â) ⊂ D(Ĉ). Д. А. Закора 267 Определение 1.2 ([10, с. 38]). Сильным решением задачи Коши (1.24) назовем функцию y(t) такую, что y(t) ∈ D(Â) для любого t из R+, Ây(t) ∈ C(R+;H(2)), y(t) ∈ C1(R+;H(2)), y(0) = y0 и выполнено уравнение из (1.24) для любого t ∈ R+. Имеют место следующие теоремы. Теорема 1.1. Пусть K̂(t) ∈ C1(R+;L(H(2))), F̂(t) ∈ C1(R+;H(2)), тогда для любого y0 ∈ D(Â) существует и единственно сильное ре- шение задачи Коши (1.24). Теорема 1.2. Пусть ядро K(t, x) интегрального оператора Воль- терра и поле ~f(t, x) непрерывно дифференцируемы по переменной t ∈ R+ со значениями в C1(Ω) и ~L2(Ω, δ), соответственно, тогда для любых ~u0(x) и ~u1(x) таких, что P0~u 0, P0~u 1 ∈ ~J0(Ω, δ), PG~u0 ∈ D(A), PG~u1 ∈ D(A1/2), существует и единственно сильное (в смысле опре- деления 1.1) решение начально-краевой задачи (1.6)–(1.8). Подобные теоремы доказаны в [1,3, 4]. 2. Нормальные колебания вращающейся идеальной релаксирующей жидкости 2.1. Вывод основного операторного пучка Задача (1.6)–(1.8) о малых движениях идеальной релаксирующей жидкости, заполняющей вращающееся твердое тело, приводится к задаче Коши (1.22). Будем считать далее, что ядро K(t, x) определя- ется по следующей формуле K(t, x) = ∑m l=1 kl(x) exp(−blt), где kl(x) (l = 1, m) — некоторые положительные и непрерывно дифференци- руемые в Ω функции (см. после (1.3)). Тогда однородное уравнение из (1.22), записанное в виде системы, примет вид:    d2~v dt2 + 2ω0i ( S1,1 d~v dt + S1,2 d∇Φ dt ) = 0, d2∇Φ dt2 + 2ω0i ( S2,1 d~v dt + S2,2 d∇Φ dt ) = −A∇Φ + m∑ l=1 t∫ 0 exp (−bl(t − s))Kl∇Φ(s) ds, (2.1) где Kl (l = 1, m) — операторы, которые строятся аналогично опера- тору A (заменой ρ−1 0 (z) на kl(x) в лемме 1.2). 268 Симметричная модель... Систему интегродифференциальных операторных уравнений (2.1) можно свести к системе дифференциально-операторных уравнений второго порядка. А именно, осуществим в системе (2.1) замены: ∇Φl := t∫ 0 exp (−bl(t − s))Kl∇Φ(s) ds (l = 1, m). (2.2) Рассматривая продифференцированные соотношения (2.2) как систему дифференциальных уравнений, присоединенных к системе (2.1), получим следующую задачу:    d2~v dt2 + 2ω0i ( S1,1 d~v dt + S1,2 d∇Φ dt ) = 0, d2∇Φ dt2 + 2ω0i ( S2,1 d~v dt + S2,2 d∇Φ dt ) = −A∇Φ + m∑ l=1 ∇Φl, d∇Φl dt = Kl∇Φ − bl∇Φl (l = 1, m). (2.3) Разыскивая решения системы (2.3) в виде: (~v(t);∇Φ(t);∇Φ1(t); . . . ;∇Φm(t))t = exp(−λt)(~v;∇Φ;∇Φ1; . . . ;∇Φm)t, получим следующую спектральную задачу:    λ2~v − 2ω0iλ(S1,1~v + S1,2∇Φ) = 0, λ2∇Φ − 2ω0iλ(S2,1~v + S2,2∇Φ) = −A∇Φ + m∑ l=1 ∇Φl, (bl − λ)∇Φl = Kl∇Φ (l = 1, m), (2.4) где ~v ∈ ~J0(Ω, δ), ∇Φ ∈ D(A) = D(Kl), ∇Φl ∈ ~G(Ω, δ) (l = 1, m). Всюду далее будем считать, что b1 < · · · < bm. Покажем, что чи- сла λ = bl (l = 1, m) не являются собственными значениями зада- чи (2.4). В самом деле, положим λ = bk в системе (2.4). Тогда, в силу положительной определенности оператора Kk, получим, что ∇Φ = 0. Отсюда следует, что ∇Φl = 0 (l 6= k). При этих условиях из первого уравнения системы (2.4) следует, что ~v = 0. Тогда из второго урав- нения системы (2.4) получим, что ∇Φk = 0. Полученные равенства противоречат тому, что λ = bk собственное значение задачи (2.4). Учитывая это обстоятельство, преобразуем систему (2.4) следующим образом: Д. А. Закора 269    λ2~v − 2ω0iλ(S1,1~v + S1,2∇Φ) = 0, λ2∇Φ − 2ω0iλ(S2,1~v + S2,2∇Φ) = −A∇Φ + m∑ l=1 (bl − λ)−1Kl∇Φ. Осуществим здесь замену A1/2∇Φ = ϕ (здесь и далее для кра- ткости опущен знак градиента). В результате придем к следующей системе операторных уравнений:    λ2I0~v − 2ω0iλ(S1,1~v + Ŝ1,2ϕ) = 0, λ2A−1ϕ − 2ω0iλ(Ŝ2,1~v + Ŝ2,2ϕ) + ( IG − m∑ l−1 (bl − λ)−1K̂l ) ϕ = 0, (2.5) где Ŝ1,2 := S1,2A −1/2, Ŝ2,1 := A−1/2S2,1, Ŝ2,2 := A−1/2S2,2A −1/2, K̂l := A−1/2KlA −1/2 (l = 1, m). Операторы Ŝ1,2, Ŝ2,1 и Ŝ2,2 компактны, а I0, IG — единичные операторы в ~J0(Ω, δ) и ~G(Ω, δ). Для вывода окончательной системы операторных уравнений по- лучим удобное для дальнейшего представление для операторов K̂l (l = 1, m). С этой целью рассмотрим гильбертово пространство L2(Ω) функций, суммируемых со своими квадратами по области Ω, а также его подпространство L2,ρ0 (Ω) := {f ∈ L2(Ω)\| (f, ρ 1/2 0 )L2(Ω) = 0}. Опре- делим операторы Πf := f − ∫ Ω ρ 1/2 0 (z)f(x) dΩ (∫ Ω ρ 1/2 0 (z) dΩ )−1 , Π⊥ := I − Π, где I — единичный оператор в L2(Ω). Несложно проверить, что вве- денные операторы Π и Π⊥ являются ортопроекторами пространства L2(Ω) на L2,ρ0 (Ω) и L⊥ 2,ρ0 (Ω), соответственно. Имеет место следующая лемма. Лемма 2.1. Для операторов K̂l (l = 1, m) справедливо следующее представление: K̂l = U∗MΠ(pl)U , pl(x) := kl(x)ρ0(z) (l = 1, m), где U : ~G(Ω, δ) → L2,ρ0 (Ω) — унитарный оператор, а MΠ(pl) — суже- ние на подпространство L2,ρ0 (Ω) оператора умножения на функцию pl(x) в пространстве L2(Ω). Операторы K̂l (l = 1, m) являются огра- ниченными, самосопряженными в ~G(Ω, δ) и max x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) ≥ (K̂l∇Φ,∇Φ) ~G(Ω,δ) ≥ min x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) . (2.6) 270 Симметричная модель... Доказательство. Определим оператор T∇Φ := ρ −1/2 0 div(δ∇Φ), D(T ) = D(A1/2) = HA (см. лемму 1.2). Оператор T замкнут из ~G(Ω, δ) в L2,ρ0 (Ω). Сопряженный к T оператор T ∗ϕ = −∇(ρ −1/2 0 ϕ) задан на плотном множестве D(T ∗) ⊂ L2,ρ0 (Ω) и имеет нулевое ядро. Отсюда следует, что замыкание образа оператора T совпадает со всем пространством L2,ρ0 (Ω). Из этих рассуждений и равенства A = T ∗T на D(A) следует, что имеет место полярное представление T = UA1/2 (см. [11, с. 420]), где U : ~G(Ω, δ) → L2,ρ0 (Ω) — унитарный оператор. Теперь операторы Kl (l = 1, m) с помощью введенных операторов T и U могут быть представлены в следующей форме: Kl = T ∗ΠM(pl)ΠT = A1/2U∗ΠM(pl)ΠUA1/2. Следовательно, K̂l = A−1/2KlA −1/2 = U∗ΠM(pl)ΠU = U∗MΠ(pl)U , где MΠ(pl) := ΠM(pl)Π — сужение на подпространство L2,ρ0 (Ω) опе- ратора умножения на функцию pl(x) в пространстве L2(Ω). Ограниченность и самосопряженность операторов K̂l (l = 1, m) очевидна. Докажем оценки (2.6). Пусть ∇Φ ∈ ~G(Ω, δ), тогда max x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) = max x∈Ω pl(x)‖U∇Φ‖2 L2,ρ0 (Ω) ≥ (M(pl)U∇Φ, U∇Φ)L2,ρ0 (Ω) = (M(pl)ΠU∇Φ, ΠU∇Φ)L2,ρ0 (Ω) = (K̂l∇Φ,∇Φ) ~G(Ω,δ) ≥ · · · ≥ min x∈Ω pl(x)‖∇Φ‖2 ~G(Ω,δ) . Здесь была использована унитарность оператора U , свойство ортого- нальности проектора Π, а также равенство U = ΠU . С помощью полученного представления для операторов K̂l пре- образуем систему (2.5) и придем к следующей основной спектраль- ной задаче, записанной в векторно-матричной форме в гильбертовом пространстве H = ~J0(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ): L(λ)ξ := λ2Aξ − 2ω0iλSξ + Q(λ)ξ = 0, (2.7) где ξ := (~v; ϕ)t ∈ H, A := diag(I0, A −1), S1,1 := S1,1, S1,2 := Ŝ1,2, S2,1 := Ŝ2,1, S2,2 := Ŝ2,2, Q(λ) := diag(0, IG − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U). Задача (2.7), которую мы назовем спектральной задачей, ассоции- рованной с задачей о нормальных колебаниях идеальной релаксиру- ющей жидкости, заполняющей вращающееся твердое тело, и будет предметом дальнейших исследований. Д. А. Закора 271 2.2. Предельный спектр задачи и локализация спектра Определим вспомогательную оператор-функцию M(λ) и фун- кцию pλ(x) (x ∈ Ω) по формулам: M(λ) := IG − m∑ l=1 U∗MΠ(pl)U bl − λ , pλ(x) := 1 − m∑ l=1 pl(x) bl − λ (x ∈ Ω). (2.8) Введем следующие условия на физические параметры системы: (a) : p0(x) = 1 − m∑ l=1 kl(x)ρ0(z) bl > 0 ∀x ∈ Ω; (2.9) (b) : ∃ al > 0 (l = 1, m) : m∑ l=1 al = 1, al − kl(x)ρ0(z) bl > 0 ∀x ∈ Ω. (2.10) Очевидно, что из условия (2.10) следует (2.9), а значит условие (b) более жесткое. Эти ограничения предполагают, что времена рела- ксации b−1 l в системе и корректирующие функции kl(x) достаточно малы в сравнении со стационарной плотностью ρ0(z). Отметим здесь также, что функции kl(x) > 0 (l = 1, m) предполагаются непрерывно дифференцируемыми в Ω. Пусть выполнено условие (2.9). Рассмотрим уравнение pλ(x) = 0. При каждом фиксированном x ∈ Ω, как несложно проверить, это уравнение имеет ровно m действительных положительных кор- ней, которые разделены числами bl (l = 1, m) (напомним, что 0 < b1 < · · · < bm). В силу непрерывности функции pλ(x) по про- странственным переменным при изменении x ∈ Ω корни уравнения будут меняться непрерывно и в совокупности образовывать ровно m отрезков ∆l ⊂ (bl−1, bl) (b0 := 0, l = 1, m). Лемма 2.2. Весь спектр оператор-функции M(λ) существенный (предельный) и состоит из объединения m отрезков ∆l (l = 1, m): σ(M(λ)) = σess(M(λ)) = ∪m l=1∆l. Доказательство. Рассмотрим спектральную задачу M(λ)ϕ = 0. Осуществляя замену Uϕ =: f ∈ L2,ρ0 (Ω), преобразуем ее к эквива- лентной спектральной задаче MΠ(pλ)f = ΠM(pλ)Πf = 0. Дальней- шее доказательство основано на построении некомпактной последо- вательности Вейля для последней задачи. 272 Симметричная модель... Отметим, что совокупность тех значений λ, для которых функция pλ(x) имеет нули в Ω, является плотным множеством в ∪m l=1∆l. Пусть теперь λ0 из этого плотного в ∪m l=1∆l множества и x0 ∈ Ω — один из нулей функции pλ0 (x). Рассмотрим шар Sr := {x ∈ R 3\| \|x − x0\| ≤ r} и Sr,+ := {\|x − x0\| ≤ r, x3 > x0,3}, Sr,− := {\|x − x0\| ≤ r, x3 ≤ x0,3} — верхнюю и нижнюю его половины. Определим семейство функций fr(x) := ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−1 L2(Ω)ρ −1/2 0 (z)(χSr,+ (x) − χSr,− (x)), r > 0, (2.11) где χS(x) — индикатор множества S. Пусть r таково, что Sr ⊂ Ω, тогда построенные функции обладают свойствами: (f, ρ 1/2 0 )L2(Ω) = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−1 L2(Ω) ∫ Ω (χSr,+ (x) − χSr,− (x)) dΩ = 0, ‖fr‖2 L2(Ω) = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Ω ρ−1 0 (z)χSr (x) dΩ = 1, а значит fr ∈ L2,ρ0 (Ω), ‖fr‖L2(Ω) = 1 (при достаточно малых r > 0). Из вида построенных функций следует, что множество {fr} не- компактно в L2,ρ0 (Ω). Осуществим следующие оценки ‖ΠM(pλ0 )Πfr‖2 L2(Ω) ≤ ‖M(pλ0 )Πfr‖2 L2(Ω) = ‖M(pλ0 )fr‖2 L2(Ω) = ∫ Ω \|pλ0 (x)fr(x)\|2 dΩ = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Ω ρ−1 0 (z)p2 λ0 (x)χSr (x) dΩ = ‖ρ−1/2 0 χSr ‖−2 L2(Ω) ∫ Sr ρ−1 0 (z) dSr · p2 λ0 (y) ∣∣ y∈Sr = p2 λ0 (y) ∣∣ y∈Sr → 0 (r → 0), где последнее соотношение следует из непрерывности функции pλ0 (x) и равенства pλ0 (x0) = 0. Таким образом, λ0 ∈ σess(M(λ)). Из свойства замкнутости спектра следует утверждение леммы. Для дальнейшего понадобится следующая лемма (см. [12]). Лемма 2.3 (Г. В. Радзиевский [12], см. также [13]). Пусть H — гильбертово пространство, 0 ≤ A = A∗, B ∈ S∞, 0 ≤ β < 1, тогда ‖(I − λA)−1Aβ‖ ≤ C(β, arg λ)\|λ\|−β , λ ∈ Λε := {λ ∈ C\| \| arg λ\| > ε}, Д. А. Закора 273 lim η→∞ sup \|λ\|>η, \| arg λ\|>ε \|λ\|β‖(I − λA)−1AβB‖ = 0. (2.12) Имеет место следующая теорема. Теорема 2.1. Для любого как угодно малого ε > 0 существует R = R(ε) > 2ω0 такое, что весь спектр пучка L(λ) принадлежит множеству σR := Λ+ R,ε ∪ Λ− R,ε ∪ CR, где Λ± R,ε := {λ ∈ C\| \|λ\| > R, \| arg λ ∓ π/2\| < ε}, −π < arg λ ≤ π, (2.13) CR — круг радиуса R с центром в начале координат. Спектр, лежа- щий вне множества Λ := [−2ω0i, 2ω0i] ∪ {∪m l=1∆l}, состоит из изо- лированных конечнократных собственных значений (дискретный). Возможными предельными точками спектра могут быть только точки указанного множества и бесконечно удаленная точка. Доказательство. Установим прежде, что точки λ = bl (l = 1, m), ко- торые не являются собственными значениями L(λ), не являются та- кже и предельными точками спектра пучка L(λ). Для этого до- статочно доказать, что пучок L(λ) непрерывно обратим в некото- рой окрестности этих точек. Рассмотрим уравнение L(λ)ξ1 = ξ2, где ξ2 := (~v2; ϕ2) t из H — заданный элемент, а ξ1 := (~v1; ϕ1) t — искомый. Если λ близко к bl0 то из первого соотношения системы, через кото- рую можно записать последнее уравнение, можно с помощью огра- ниченных оператор-функций выразить ~v1 через ϕ1 и ~v2: ~v1 = λ−1S(λ) ( 2ω0iλŜ1,2ϕ1+~v2 ) , где S(λ) := (λI0−2ω0iS1,1) −1. (2.14) Подставим это представление во второе уравнение системы: ( λ2A−1−2ω0iλŜ2,2 +M(λ) ) ϕ1−2ω0iŜ2,1S(λ) ( 2ω0iλŜ1,2ϕ1 +~v2 ) = ϕ2. (2.15) Учитывая вид оператор-функции M(λ), из последнего соотношения можно с помощью ограниченных оператор-функций выразить ϕ1 че- рез ϕ2 и ~v2, если только λ достаточно близко к bl0 . Это означает, что точка bl0 не является предельной для спектра пучка L(λ). Зафиксируем ε > 0 и покажем, что существует R > 2ω0 такое, что σ(L(λ)) ⊂ σR. Для этого достаточно показать, что пучок L(λ) не- прерывно обратим при λ ∈ C\σR. В связи с этим опять рассмотрим уравнение L(λ)ξ1 = ξ2. Будем считать, что \|λ\| > 2ω0 = ‖2ω0iS1,1‖, то- гда в последней задаче можно с помощью ограниченных оператор- функций исключить ~v1 и прийти к задаче (2.15), которую представим в форме: l(λ)ϕ1 = 2ω0iŜ2,1S(λ)~v2 + ϕ2, l(λ) := IG + λ2A−1 + G(λ), (2.16) 274 Симметричная модель... G(λ) := − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U − 2ω0iλŜ2,2 + 4ω2 0λŜ2,1S(λ)Ŝ1,2. Нужно показать, что оператор-функция l(λ) непрерывно обрати- ма при λ ∈ C\σR (при достаточно большом R > 2ω0), тогда из (2.14)– (2.16) будет следовать, что пучок L(λ) непрерывно обратим при λ ∈ C\σR. В самом деле, представим оператор-функцию l(λ) в ви- де: l(λ) = (IG + iλA−1/2) ( IG + (IG + iλA−1/2)−1 × G(λ)(IG − iλA−1/2)−1 ) (IG − iλA−1/2). Здесь крайние скобки — непрерывно обратимые при λ ∈ C\σR опера- торы. Таким образом, для непрерывной обратимости l(λ) достаточно показать, что ‖(IG + iλA−1/2)−1G(λ)(IG − iλA−1/2)−1‖ → 0 (λ → ∞). (2.17) Несложно проверить, что ‖S(λ)‖ = O(\|λ\|−1) при λ → ∞. Отсюда и из оценки (2.12) (при β = 0) следует, что в (2.17) в оценке нуждается лишь следующее (наиболее сильное) выражение: ‖(IG + iλA−1/2)−1Ŝ2,2(IG − iλA−1/2)−1‖ = ‖(IG + iλA−1/2)−1A−1/2S2,2A −1/2(IG − iλA−1/2)−1‖ ≤ ‖(IG + iλA−1/2)−1A−1/4(A−1/4S2,2A −1/4)‖ × ‖(IG − iλA−1/2)−1A−1/4‖ = o(\|λ\|−1) (λ → ∞, λ ∈ C\σR). (2.18) Здесь использованы оценки из леммы 2.3. Из (2.18) и предыдущих рассуждений следует, что для каждого ε > 0 существует R = R(ε) > 2ω0 такое, что пучок L(λ) непрерывно обратим при λ ∈ C\σR, а зна- чит σ(L(λ)) ⊂ σR = Λ+ R,ε ∪ Λ− R,ε ∪ CR. Перейдем от задачи (2.7) к задаче для фредгольмовой оператор- функции: LF (λ)ξ := ( λ(λI0 − 2ω0iS1,1) 0 0 M(λ) )−1 L(λ)ξ =: (I + F(λ))ξ = 0, (2.19) где I — это единичный оператор в H, а оператор-функция F(λ), как несложно проверить, принимает компактные значения при λ ∈ C\Λ. Д. А. Закора 275 На множестве C\Λ спектры пучков LF (λ) и L(λ) совпадают. Посколь- ку точки, достаточно близкие к числам bl, являются регулярными точками для L(λ), то из (2.19) заключаем, что они же будут регу- лярными и для LF (λ), а значит пучок LF (λ) является регулярным в C\Λ. Отсюда следует (см. [14], а также [6, с. 74]), что все точки спе- ктра, не принадлежащие множеству Λ, являются изолированными собственными значениями оператор-функции задачи (2.19), а значит и L(λ). Собственные элементы, отвечающие этим собственным значе- ниям, имеют конечные кратности. Точками сгущения могут являться только особенности оператор-функции F(λ), то есть множество Λ и бесконечно удаленная точка. Основываясь на доказанном утверждении, установим теорему о дискретном и существенном спектре задачи (2.7). Теорема 2.2. Предельный (существенный) спектр пучка L(λ) сов- падает с множеством Λ: σess(L(λ)) = Λ. Доказательство. Пусть λ принимает значения из окрестности мно- жества ∪m l=1∆l, тогда в уравнении L(λ)ξ = 0 с помощью ограничен- ных оператор-функций можно исключить ~v и прийти к задаче ( M(λ) + F1(λ) ) ϕ := ( λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + M(λ) + 4ω2 0λŜ2,1(λI0 − 2ω0iS1,1) −1Ŝ1,2 ) ϕ = 0, (2.20) где F1(λ) ∈ S∞. Пусть λ0 ∈ ∪m l=1∆l, тогда {λ = 0} ⊂ σess(M(λ0)). Оператор M(λ0) самосопряжен, а F1(λ0) ∈ S∞. По теореме Г. Вейля {λ = 0} ⊂ σess(M(λ0) + F1(λ0)). Следовательно, существует неком- пактная последовательность Вейля {ϕn}∞n=1 такая, что ‖M(λ0)ϕn + F1(λ0)ϕn‖ ~G(Ω,δ) → 0 при n → ∞. Это означает, что λ0 ∈ σess(L(λ)), а значит ∪m l=1∆l ⊂ σess(L(λ)). Рассмотрим теперь пучок l1(λ) := λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + M(λ). Пу- чок M−1(λ)l1(λ) имеет вид фредгольмовой оператор-функции, ре- гулярной в C\ ∪m l=1 ∆l, а значит в некоторой окрестности отрезка [−2ω0i, 2ω0i] может иметь лишь конечное количество изолированных собственных значений конечной кратности. Это же утверждение вер- но и для пучка l1(λ). Пусть теперь λ принимает значения из некоторой окрестности отрезка [−2ω0i, 2ω0i] и не совпадает ни с одним собственным значени- ем пучка l1(λ). Тогда в уравнении L(λ)ξ = 0 с помощью ограниченных оператор-функций можно исключить ϕ и прийти к задаче 276 Симметричная модель... ( λI0−2ω0iS1,1+F2(λ) ) ~v := ( λI0−2ω0iS1,1+4ω2 0λŜ1,2l −1 1 (λ)Ŝ2,1 ) ~v = 0, где F2(λ) ∈ S∞. Осуществим в этой задаче замену спектрального па- раметра λ = iµ и умножим обе части уравнения на мнимую единицу: (2ω0S1,1 − µI0 + iF2(iµ))~v = 0. Применяя к этой задаче рассуждения из первой части теоремы и используя свойство замкнутости спектра, получим, что [−2ω0i, 2ω0i] ⊂ σess(L(λ)). Из проведенных рассуждений следует, что Λ ⊂ σess(L(λ)). В силу теоремы 2.1 вне множества Λ спектр пучка L(λ) — дискретен, следо- вательно, имеет место не включение, а равенство Λ = σess(L(λ)). Докажем, что спектр задачи (2.7) лежит в правой замкнутой по- луплоскости. Запишем задачу L(λ)ξ = 0, где ξ := (~v; ϕ)t ∈ H, в виде L(λ)ξ := ( λ2A− 2ω0iλS + P − m∑ l=1 (bl − λ)−1Kl ) ξ = 0, (2.21) где P := diag(0, IG), Kl := diag(0, U∗MΠ(pl)U) = diag(0, K̂l). Теорема 2.3. Пусть выполнено условие (b) (см. (2.10)), тогда весь спектр задачи (2.21) лежит в полосе {0 ≤ Re λ < bm}. Доказательство. Из теоремы 2.2 следует, что существенный спектр задачи (2.21) попадает в указанную полосу. Осталось доказать, что все изолированные собственные значения задачи попадают туда же. Пусть λ 6= 0 — собственное значение задачи (2.21), а ξ = (~v; ϕ)t — отвечающий ему собственный элемент, тогда λ(Aξ, ξ) − 2ω0i(Sξ, ξ) + 1 λ (Pξ, ξ) − m∑ l=1 1 λ(bl − λ) (Klξ, ξ) = 0. (2.22) Выделив действительную часть из (2.22) получим, что Re λ [ (Aξ, ξ) + (Pξ, ξ) \|λ\|2 + m∑ l=1 \|λ\|2 − \|bl − λ\|2 \|λ\|2\|bl − λ\|2 · (Klξ, ξ) bl ] = m∑ l=1 (Klξ, ξ) \|bl − λ\|2 . (2.23) Выберем теперь положительные числа al (l = 1, m), как в условии (b) (см. (2.10)), тогда из леммы 2.1 получим, что (Pξ, ξ)albl − (Klξ, ξ) = ‖ϕ‖2 ~G(Ω,δ) albl − (K̂lϕ, ϕ) ~G(Ω,δ) ≥ ‖ϕ‖2 ~G(Ω,δ) (albl − max x∈Ω pl(x)) ≥ 0 Д. А. Закора 277 и m∑ l=1 [ \|λ\|2 − \|bl − λ\|2 \|λ\|2\|bl − λ\|2 · (Klξ, ξ) bl + al(Pξ, ξ) \|λ\|2 ] = m∑ l=1 (Klξ, ξ)\|λ\|2 + \|bl − λ\|2((Pξ, ξ)albl − (Klξ, ξ)) bl\|λ\|2\|bl − λ\|2 ≥ 0. Отсюда и из (2.23) следует, что Re λ ≥ 0. Если Re λ > 0, то из после- днего неравенства и из (2.23) можно вывести, что Re λ < bm. 2.3. Об асимптотике собственных значений Из теоремы 2.1 следует, что бесконечно удаленная точка являе- тся возможной предельной точкой для некоторых ветвей собствен- ных значений пучка L(λ), локализованных у мнимой оси. Для дока- зательства существования этих ветвей и отыскания асимптотических формул понадобится следующий абстрактный результат (см. [13]), опирающийся на результаты работы [15]. Лемма 2.4 ( [13]). Пусть 0 < C = C∗ ∈ S∞, причем собственные значения оператора C имеют степенную асимптотику. Введем обо- значения: l(λ) := I + λ2C + G(λ), T (λ) := (I − λC1/2)−1G(λ)(I + λC1/2)−1. Пусть оператор-функция G(λ) аналитична в секторах Λ+ R,ε и Λ− R,ε, а оператор-функция T (λ) удовлетворяет следующему условию: T (λ) → 0 (λ → ∞, λ ∈ Λ± R,ε). Тогда λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ 1/2 k (C−1)(1 + o(1)) (k → ∞). Для исследуемой задачи имеет место теорема. Теорема 2.4. Для любого как угодно малого ε > 0 и достаточно большого R = R(ε) задача (2.7) имеет две ветви {λ(±i) k } ∞ k=1 соб- ственных значений, расположенных в секторах Λ+ R,ε и Λ− R,ε, со сле- дующей асимптотикой: λ (±i) k (L(λ)) = ±iλ 1/2 k (A)(1 + o(1)) (k → ∞). Доказательство. Будем считать, что \|λ\| > 2ω0 и исключим ~v из за- дачи L(λ)ξ = 0, в результате получим задачу l(λ)ϕ = 0, где пучок l(λ) определен в (2.16). Из леммы 1.2 следует, что оператор A−1 > 0 имеет степенную асимптотику собственных значений. Для пучка l(λ) построим оператор-функцию T (λ) из леммы 2.4. При помощи оценок, аналогичных тем, что были проведены в (2.18), можно убедиться, что T (λ) → 0 (λ → ∞, λ ∈ Λ± R,ε). 278 Симметричная модель... 2.4. О двукратной полноте с дефектом части собственных и присоединенных элементов Поступим далее как в теореме 2.1 при выводе задачи (2.15) (или (2.16)). А именно, будем считать, что λ ∈ C\[−2ω0i, 2ω0i] и исключим ~v из задачи L(λ)ξ = 0. В результате получим задачу l(λ)ϕ = 0, ϕ ∈ ~G(Ω), l(λ) := IG + λ2A−1 − 2ω0iλŜ2,2 + G1(λ), G1(λ) := − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U + 4ω2 0λŜ2,1S(λ)Ŝ1,2. (2.24) В задаче (2.24) осуществим замену λA−1/2ϕ = ϕ̂. Полученную систему запишем в векторно-матричной форме: M(λ)η = 0, где η := (ϕ; ϕ̂)t ∈ ~G(2) := ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ), M(λ) := ( IG 0 0 IG ) + λ ( −2ω0iŜ2,2 A−1/2 −A−1/2 0 ) + ( G1(λ) 0 0 0 ) . Относительно пучков M(λ) и l(λ) имеет место лемма. Лемма 2.5. Набор элементов ηk := (ϕk; ϕ̂k) t (k = 0, n − 1) является цепочкой из собственного и присоединенных к нему элементов пучка M(λ), отвечающей собственному значению λ0 ∈ C\[−2ω0i, 2ω0i], тогда и только тогда, когда ϕk (k = 0, n − 1) — цепочка из собствен- ного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ), отвечающая собственному значению λ0 и ϕ̂0 = λ0A −1/2ϕ0, ϕ̂k = λ0A −1/2ϕk + A−1/2ϕk−1, k = 1, . . . , n − 1. (2.25) Опираясь на лемму 2.5, докажем теорему о двукратной полноте с дефектом части системы собственных и присоединенных элементов операторного пучка l(λ). Теорема 2.5. Пусть ϕ (l) k (k = 0, k(λl)) — цепочка из собствен- ного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ) из (2.24), отвечающая собственному значению λl. Тогда система элементов η (l) k := (ϕ (l) k ; ϕ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвеча- ющие собственным значениям λl пучка l(λ), лежащим вне круга радиуса R (R > max{2ω0, bm}), а ϕ (l) k и ϕ̂ (l) k связаны соотношения- ми (2.25) для каждого l, образует полную в ~G(2) систему с точно- стью до конечного дефекта. Д. А. Закора 279 Доказательство. В силу леммы 2.5 нужно доказать, что система собственных и присоединенных элементов пучка M(λ), отвечающая собственным значениям, лежащим вне круга некоторого радиуса R, полна в ~G(2) с точностью до конечного дефекта. Осуществим в за- даче M(λ)η = 0 замену спектрального параметра: λ = −iµ−1, где µ — новый спектральный параметр. Умножив правую и левую части полученного выражения на −µ, придем к следующей спектральной задаче: −µM(−iµ−1)η = ( Â − µÎ − µĜ(µ) ) η = 0, (2.26) где Â := ( 2ω0Ŝ2,2 iA−1/2 −iA−1/2 0 ) , Ĝ(µ) := ( G1(−iµ−1) 0 0 0 ) , а Î — единичный оператор в ~G(2). Здесь Â = Â∗ ∈ Sp(~G(2)) (p > 3), KerÂ = {0}, а Ĝ(µ) — голоморфная в круге \|µ\| < R−1 оператор-функ- ция, принимающая значения из L(~G(2)). По теореме из [6, с. 78] по- лучаем, что система собственных и присоединенных элементов опе- ратор-функции −µM(−iµ−1), отвечающих собственным значениям из круга \|µ\| < R−1, имеет не более конечного дефекта в ~G(2). По- сле обратной замены спектрального параметра получим, что система собственных и присоединенных элементов оператор-функции M(λ), отвечающих собственным значениям, лежащим вне круга \|λ\| < R, имеет не более конечного дефекта в ~G(2) = ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ). Из леммы 2.5 и теоремы 2.5 как следствие получаем следующее главное утверждение о двукратной полноте с дефектом для исходного операторного пучка L(λ). Теорема 2.6. Обозначим через PG ортопроектор пространства H на ~G(Ω, δ). Пусть ξ (l) k (k = 0, k(λl)) — цепочка из собственного и при- соединенных к нему элементов пучка L(λ), отвечающая собствен- ному значению λl. Тогда система элементов η (l) k := (PGξ (l) k ; ξ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвечающие собствен- ным значениям λl пучка L(λ), лежащим вне круга радиуса R (R > max{2ω0, bm}), а ξ (l) k и ξ̂ (l) k связаны соотношениями ξ̂0 = λ0A −1/2PGξ0, ξ̂k = λ0A −1/2PGξk + A−1/2PGξk−1, k = 1, . . . , k(λl), для каждого l, образует полную в ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ) систему с то- чностью до конечного дефекта. 280 Симметричная модель... Отметим здесь, что если ω0 = 0, то, как будет показано далее, при некоторых условиях система элементов η (l) k (k = 0, k(λl)) из тео- ремы 2.6, где l пробегает все индексы, отвечающие собственным зна- чениям λl пучка L(λ), лежащим у мнимой оси, будет образовывать полную в ~G(2) = ~G(Ω, δ) ⊕ ~G(Ω, δ) систему. 2.5. Свойства спектральной задачи при ω0 = 0 Если ω0 = 0, то задача L(λ)ξ = 0 расщепляется на два независи- мых уравнения (первое уравнение тривиально: λ2~v = 0) и число λ = 0 формально является бесконечнократным собственным значением за- дачи, которому отвечают собственные элементы вида ξ = (~v; 0)t, где ~v ∈ ~J0(Ω, δ). В этом случае будем считать, что с изучаемой спектраль- ной задачей ассоциировано второе нетривиальное уравнение из систе- мы L(λ)ξ = 0, которое принимает вид l(λ)ϕ = 0, l(λ) := IG + λ2A−1 − m∑ l=1 (bl − λ)−1U∗MΠ(pl)U. (2.27) Рассуждая, как в теореме 2.3, можно показать, что спектр за- дачи (2.27) лежит в правой открытой полуплоскости симметрично относительно действительной оси. Далее будет показано, что спра- ведливо более сильное утверждение. В этом случае удается также доказать двукратную полноту без дефекта для некоторой системы, построенной по корневым элементам задачи. В задаче (2.27) осуществим замену λA−1/2ϕ = ϕ̂. Полученную систему запишем в векторно-матричной форме: M(λ)η = 0, где η := (ϕ; ϕ̂)t ∈ ~G(2), M(λ) := Î + λÂ + ∑m l=1(λ − bl) −1K̂l, Â := ( 0 A−1/2 −A−1/2 0 ) , K̂l := ( U∗MΠ(pl)U 0 0 0 ) . Относительно связи собственных и присоединенных элементов пу- чков M(λ) и l(λ) имеет место утверждение, аналогичное лемме 2.5 с ω0 = 0. А также справедлива следующая Теорема 2.7. Пусть существует r: bm < r < b1 + a−1(1 − 2 √ ab), где a := ‖A−1/2‖, b := mmaxl=1,m, x∈Ω pl(x), и ϕ (l) k (k = 0, k(λl)) — це- почка из собственного и присоединенных к нему элементов пучка l(λ) из (2.27), отвечающая собственному значению λl. Тогда систе- ма элементов η (l) k := (ϕ (l) k ; ϕ̂ (l) k )t (k = 0, k(λl)), где l пробегает все индексы, отвечающие собственным значениям λl пучка l(λ), лежа- щим вне круга \|λ − r\| ≤ r, а ϕ (l) k и ϕ̂ (l) k связаны соотношениями (2.25) для каждого l, образует полную в ~G(2) систему. Д. А. Закора 281 Доказательство. Как и в теореме 2.5, здесь нужно доказать, что си- стема собственных и присоединенных элементов пучка M(λ), отве- чающая собственным значениям, лежащим вне некоторого круга \|λ − r\| ≤ r, полна в ~G(2). Осуществим в задаче M(λ)η = 0 замену спе- ктрального параметра: λ = r2µ−1 + r, где r > bm пока произвольно, а µ — новый спектральный параметр. Умножив правую и левую ча- сти полученного выражения на µ, придем к следующей спектральной задаче: µM( r2 µ + r)η = [ µ(I + rÂ)+ r2Â+ m∑ l=1 µ2 r2 + µ(r − bl) K̂l ] η = 0. (2.28) Применив к правой и левой части (2.28) оператор (I + rÂ)−1 и проведя несложные преобразования, придем к спектральной задаче µ(I + rÂ)−1M( r2 µ + r)η = [ µI + r2(I + rÂ)−1Â + (I + rÂ)−1 µ2 r2 +∞∑ n=0 (−1)nµn ( m∑ l=1 (r − bl r2 )n K̂l )] η = 0 (2.29) в области \|µ\| < r2(r − b1) −1. Наша цель — установить, что пучок задачи (2.29) допускает фа- кторизацию. Используя оценку ‖(I + rÂ)−1‖ ≤ 1, запишем условие, достаточное для факторизации пучка задачи (2.29): ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : r2 t ‖Â‖ + +∞∑ n=0 tn+1 r2 ∥∥∥∥ m∑ l=1 (r − bl r2 )n K̂l ∥∥∥∥ < 1. (2.30) Учитывая, что ‖Â‖ ≤ a, ‖K̂l‖ = ‖K̂l‖ = maxx∈Ω pl(x) (l = 1, m), условие (2.30) будет выполнено, если ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : r2a t + b r2 +∞∑ n=0 tn+1 (r − b1 r2 )n < 1. (2.31) Просуммировав в (2.31) геометрическую прогрессию и проделав простые алгебраические преобразования, найдем, что условие (2.31) эквивалентно следующему: ∃ t ∈ ( 0, r2 r − b1 ) : t2(b+(r− b1))− tr2(1+a(r− b1))+ar4 < 0. (2.32) Дискриминант в квадратичном выражении из (2.32) будет по- ложительным, если (r − b1) /∈ [a−1(1 − 2 √ ab), a−1(1 + 2 √ ab)]. В этом 282 Симметричная модель... случае меньший корень квадратичного выражения будет меньше, чем r2(r − b1) −1, если a(r − b1) < 1. Отсюда получаем, вспомнив усло- вие r > bm, что r должно удовлетворять неравенствам bm < r < b1 +a−1(1−2 √ ab). В силу условий теоремы такое число r существует, а значит условие (2.30) выполнено. По теореме 23.4 из [16, с. 130], пучок задачи (2.29) допускает фак- торизацию в форме µ(I + rÂ)−1M(r2µ−1 + r) =: (I + rÂ)−1Mr(µ) = A+(µ)(µI − Z), где оператор-функция A+(µ) — голоморфна и го- ломорфно обратима при \|µ\| < t. При этом спектр оператора Z ле- жит в круге \|µ\| < t. В этой области задача для операторного пучка (I + rÂ)−1Mr(µ) сводится к задаче на собственные значения для опе- ратора Z. Из равенства µ(I+rÂ)−1M(r2µ−1 +r) = ( A+(0)+ A′ +(0)µ 1! + · · · ) · (µI−Z), (2.33) приравнивая коэффициенты при нулевой степени µ, получим, что r2(I + rÂ)−1Â = −A+(0)Z, откуда следует, что Z = −r2A−1 + (0)(I + rÂ)−1Â ∈ Sp(~G(2)) (p > 3). Приравнивая в (2.33) коэффициенты при первой степени µ, получим, что I = A+(0) − A′ +(0)Z, откуда следует, что A+(0) = I + A′ +(0)Z, A−1 + (0) = I + T1, T1 ∈ S∞(~G(2)). Из прове- денных рассуждений следует, что Z = (I + T2)Â, где T2 ∈ S∞(~G(2)). Таким образом, оператор Z есть слабое возмущение оператора Â. Учитывая, что Ker Â = {0} и Â — нормальный оператор со спе- ктром на двух лучах, по теореме 4.2 из [16, с. 20], получаем, что система корневых элементов оператора Z, а, следовательно, и пучка (I + rÂ)−1Mr(µ) в указанной области, полна в гильбертовом про- странстве ~G(2). Остается заметить, что собственные и присоединен- ные элементы пучков (I + rÂ)−1Mr(µ) и Mr(µ), отвечающие одному и тому же собственному значению, совпадают. Оказывается, что имеет место “раздельная” полнота с дефектом для ветвей спектра из Λ+ 0,ε и Λ− 0,ε (см. определение областей в (2.13)) по отдельности. Точнее, справедлива следующая Теорема 2.8. Система собственных и присоединенных элементов пучка l(λ) из (2.27), отвечающая собственным значениям из обла- сти Λ+ 0,ε (или Λ− 0,ε), образует полную в ~G(Ω, δ) систему с точностью до конечного дефекта. Доказательство. Заметим, что собственные и присоединенные эле- менты пучков l(λ) и l+(λ) := (IG − iλA−1/2)−1l(λ), отвечающие соб- ственным значениям из области Λ+ 0,ε, совпадают. Осуществим в зада- Д. А. Закора 283 че l+(λ)ϕ = 0 замену спектрального параметра λ = iµ. Тогда полу- чим, что задача l(λ)ϕ = 0 (λ ∈ Λ+ 0,ε) эквивалентна задаче l+(iµ)ϕ = 0 (µ ∈ −iΛ+ 0,ε). Можно проверить, что l+(iµ) = IG − µA−1/2 − S+(µ), где оператор-функция S+(µ) аналитична в −iΛ+ 0,ε и S+(µ) = O(\|µ\|−1) при µ → ∞ (µ ∈ −iΛ+ 0,ε). По теореме 2 из [17, с. 40] получаем, с учетом того, что оператор A−1/2 положителен и имеет степенную асимпто- тику собственных значений, что система собственных и присоединен- ных элементов пучка l+(iµ), отвечающая собственным значениям из области −iΛ+ 0,ε, полна в ~G(Ω, δ) с точностью до конечного дефекта. Отсюда, после обратной замены спектрального параметра, следует утверждение теоремы для области Λ+ 0,ε. Для области Λ− 0,ε рассуждения аналогичны. Докажем теперь утверждение о локализации спектра задачи в случае, когда ω0 = 0. Справедлива следующая Теорема 2.9. Пусть выполнено условие (b) (см. (2.10)), то- гда спектр задачи (2.27), лежащий в окрестности множества ∪m l=1(bl−1, bl), действительный, а две комплексно сопряженные ве- тви попадают в полосу {α1 ≤ Re λ ≤ α2}, где 0 < α1 < α2 < bm. Доказательство. Для пучка M(λ) (см. (2.8)), в силу леммы 2.2 и свойств функции pλ(x), справедливы свойства M(λ) ≫ 0 при λ ∈ (bl−1, inf ∆l) и M(λ) ≪ 0 при λ ∈ (sup ∆l, bl) (l = 1, m, b0 := 0). Рассмотрим уравнение pl(x) + λ2‖A−1‖ = 0. Если выполнено усло- вие (2.10), то при каждом фиксированном x ∈ Ω, как несложно про- верить, это уравнение имеет два комплексно сопряженных корня и ровно m действительных положительных корней, которые разделе- ны числами bl (l = 1, m). В силу непрерывности функции pλ(x) по пространственным переменным при изменении x ∈ Ω действитель- ные корни уравнения будут меняться непрерывно и в совокупно- сти образовывать ровно m отрезков ∆l,a ⊂ (bl−1, bl) (b0 := 0, l = 1, m). При этом inf ∆l ≤ inf ∆l,a, sup ∆l ≤ sup ∆l,a. Отсюда следует, что λ−2l(λ) ≫ 0 при λ ∈ (bl−1, inf ∆l) и λ−2l(λ) ≪ 0 при λ ∈ (sup ∆l,a, bl) (b0 := 0, l = 1, m). Докажем теперь, что [λ−2l(λ)]′ ≪ 0 при λ > 0, λ 6= bl (l = 1, m). Этот факт, вместе со сказанным выше, позволит применить утвер- ждение о факторизации к пучку −λ−2l(λ). В самом деле, выберем, согласно условию (b) (см. (2.10)), числа al (l = 1, m) и проведем вычи- сления: [λ−2l(λ)]′ = m∑ l=1 λ−3(bl − λ)−2 [ (2bl − 3λ)K̂l − 2(bl − λ)2alIG ] . 284 Симметричная модель... Если λ > 2bl/3, то [λ−2l(λ)]′ ≪ 0, очевидно. Если λ ∈ (0, 2bl/3], то до- статочным условием для того, чтобы [λ−2l(λ)]′ ≪ 0, как несложно установить, будет свойство K̂l − blalIG ≪ 0, которое справедливо в силу условия (b). Таким образом, согласно следствию 30.8 из [16, с. 179], для каждого l = 1, m рассматриваемый пучок допускает фак- торизацию −λ−2l(λ) = ll,+(λ)(λIG − Zl), где Zl ограничен и по- добен самосопряженному оператору, σ(Zl) ⊂ (inf ∆l − ε, sup∆l,a + ε) для любого 0 < ε < min {inf ∆l − bl−1, bl − sup ∆l,a}, а ll,+(λ) голо- морфна и голоморфно обратима в некоторой окрестности отрезка [bl−1 + ε, bl − ε]. Отсюда следует, что спектр задачи (2.27), лежащий в окрестности множества ∪m l=1(bl−1, bl) (b0 := 0) — действительный. Пусть теперь λ(±i) — пара комплексно сопряженных собственных значений пучка l(λ) и ϕ(±i) (‖ϕ(±i)‖ ~G(Ω,δ) = 1) — отвечающие им соб- ственные элементы. Тогда λ(+i) является корнем уравнения 1 + λ2(A−1ϕ(+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) − m∑ l=1 (K̂lϕ (+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) bl − λ = 0, (2.34) которое можно переписать в форме ( λ2 + (A−1ϕ(+i), ϕ(+i))−1 ~G(Ω,δ) ) m∏ l=1 (bl − λ) − (A−1ϕ(+i), ϕ(+i))−1 ~G(Ω,δ) × m∑ l=1 (K̂lϕ (+i), ϕ(+i)) ~G(Ω,δ) m∏ j=1, j 6=l (bj − λ) = 0. Раскроем здесь скобки и соберем слагаемые с λm+2 и λm+1, получим (−1)mλm+2 + (−1)m+1λm+1 m∑ l=1 bl + · · · = 0. (2.35) Из геометрических соображений ясно, что уравнение (2.34), кро- ме числа λ(+i), имеет также корни λ(−i) и λ(l) ∈ ∆l,A := ∆l ∪ ∆l,a (l = 1, m). Следовательно, оно может быть записано в форме: (−1)m ( λ − λ(+i) )( λ − λ(−i) ) m∏ l=1 ( λ − λ(l) ) = 0. Д. А. Закора 285 Собрав здесь слагаемые с λm+2 и λm+1, получим (−1)mλm+2 + (−1)m+1λm+1 ( 2 Re λ(±i) + m∑ l=1 λ(l) ) + · · · = 0. (2.36) Из (2.35) и (2.36) следует, что Re λ(±i) = 2−1 ∑m l=1(bl−λ(l)). Отсю- да, учитывая, что λ(l) ∈ ∆l,A := ∆l ∪ ∆l,a (l = 1, m), следуют оцен- ки 0 < α1 < Re λ(±i) < α2 < bm, где α1 := 2−1 ∑m l=1(bl − sup ∆l,a), α2 := 2−1 ∑m l=1(bl − inf ∆l) < bm. 2.6. Асимптотики всех ветвей собственных значений в случае, когда g = 0, ω0 = 0 и характеристики модели постоянны Рассмотрим случай, когда g = 0, ω0 = 0. В этом случае ста- ционарная плотность ρ0(z) постоянна. Будем считать далее, что kl(x) (l = 1, m) также постоянны. Тогда функции pl(x) постоянны и pl(x) ≡ pl, где pl > 0 — некоторые константы, удовлетворяющие условию (a) (см. (2.9)). В этом случае функция pλ (см. (2.8)) будет зависеть только от λ. Обозначим корни уравнения pλ = 0 через γl (l = 1, m), при этом γl ∈ (bl−1, bl) (l = 1, m). Из теоремы 2.9 следует, что в рассматриваемом случае спектр пучка l(λ) из (2.27) попадает в некоторую вертикальную полосу, ра- сположенную в правой полуплоскости, и является действительным в некоторой окрестности действительной положительной полуоси. Из теоремы 2.1 следует, что возможными предельными точками спе- ктральной задачи могут быть только бесконечно удаленная точка и точки γl (l = 1, m). Таким образом, спектр задачи (2.27) в рас- сматриваемом случае может состоять из (m + 2)-х ветвей изолиро- ванных конечнократных собственных значений с предельными то- чками в бесконечности и в точках γl (l = 1, m). В самом деле, пусть {λk(A −1)}∞k=1 — последовательность собственных значений операто- ра A−1, занумерованных по убыванию и с учетом их кратности, а {ϕk(A −1)}∞k=1 — последовательность соответствующих собственных элементов. Тогда все собственные значения пучка l(λ) из (2.27) могут быть найдены как корни последовательности скалярных уравнений pλ + λ2λk(A −1) = 0 (k ∈ N). Для исследования асимптотики корней этих уравнений определим функции fl(λ) := (λ − γl)p −1 λ (l = 1, m). Можно проверить, что функции fl(λ) голоморфны в некоторых окре- стностях точек γl, fl(γl) 6= 0, signfl(γl) = −1 (l = 1, m). 286 Симметричная модель... Имеет место следующая теорема. Теорема 2.10. Пусть pl(x) ≡ pl, где pl > 0 — некоторые констан- ты, удовлетворяющие условию (a) (см. (2.9)), а γl (l = 1, m) — корни уравнения pλ = 0 (при этом γl ∈ (bl−1, bl)). Тогда спектр пу- чка l(λ) из (2.27) состоит из (m + 2)-х серий изолированных соб- ственных значений; точнее — из двух комплексно сопряженных ве- твей {λ(±i) k (l)}∞k=1 и m действительных ветвей {λ(l) k (l)}∞k=1 ⊂ (γl, bl) (l = 1, m), для которых справедливы асимптотические формулы: λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ −1/2 k (A−1) + 1 2 m∑ l=1 pl ∓ iλ 1/2 k (A−1) [ 1 4 ( m∑ l=1 pl )2 − 1 2 m∑ l=1 plbl ] + O(λk(A −1)) (k → ∞), λ (l) k (l(λ)) = γl − λk(A −1)γ2 l fl(γl) + 2λ2 k(A −1)γ3 l fl(γl) ( fl(γl) + γlf ′ l (γl) ) + O(λ3 k(A −1)) (k → ∞), где функции fl(λ) (l = 1, m) определены перед теоремой. Для двух ветвей {λ(±i) k (l)}∞k=1 при каждом фиксированном k ∈ N справедлива также следующая асимптотическая формула: λ (±i) k (l(λ)) = ±iλ −1/2 k (A−1) ( 1 − m∑ l=1 pl bl )1/2 + o ( 1 b1 ) (b1 → +∞). Доказательство. Доказательство формул в теореме сводится к применению асимптотических методов к скалярным уравнениям pλ + λ2λk(A −1) = 0 (k ∈ N). Здесь можно отметить, что из последней формулы в теореме сле- дует, что если наибольшее из времен релаксации b−1 1 стремится к ну- лю, то комплексно сопряженные ветви “садятся” в пределе на мнимую ось. Эта ситуация отвечает случаю баротропной жидкости. В рассма- триваемой же ситуации спектр задачи смещен с мнимой оси в пра- вую полуплоскость. Кроме того, в отличие от баротропной жидкости, здесь возникают ветви собственных значений с конечными предель- ными точками. Эти ветви и связаны с наличием памяти в системе. Д. А. Закора 287 Литература [1] N. D. Kopachevsky, S. G. Krein, Operator Approach to Linear Problems of Hydrodynamics. Vol. 2: Nonself-adjoint Problems for Viscous Fluids, Basel– Boston–Berlin: Birkhäuser Verlag, 2003, 444 p. (Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 146). [2] L. D. Bolgova (Orlova), N. D. Kopachevsky, Boundary value problems on small oscillations of an ideal relaxing fluid and its generalizations // Спектральные и эволюционные задачи. Вып. 3: Тез. лекц. и докл. III Крымской осенней матем. школы-симпоз. Симферополь, (1994), 41–42. [3] Д. А. Закора, Задача о малых движениях идеальной релаксирующей жидко- сти // Динамические системы, (2006), вып. 20, 104–112. [4] Д. А. Закора, Задача о малых движениях вращающейся идеальной релакси- рующей жидкости // Динамические системы, (2009), вып. 26, 31–42. [5] А. А. Ильюшин, Б. Е. Победря, Основы математической теории термовяз- ко-упругости, Наука, 1970, 280 с. [6] Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан, Операторные методы в линей- ной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи, М.: Наука, 1989, 416 с. [7] J. V. Ralston, On stationary modes in inviscid rotating fluids // J. Math. Analysis and Appl., 44 (1973), 366–383. [8] Ю. М. Березанский, Разложение по собственным функциям самосопряжен- ных операторов, Киев: “Наукова думка”, 1965, 800 с. [9] М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники, математический анализ, 14 (1977), 5– 58. [10] С. Г. Крейн, Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространс- тве, Москва: Наука, 1967, 464 с. [11] Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, М.: Мир, 1972, 740 с. [12] Г. В. Радзиевский, Квадратичный пучок операторов, 1976 (Препринт). [13] М. Б. Оразов, Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряжен- ных операторов и связанные с ними задачи из механики, Дис. д-ра. физ.-мат. наук: 01.01.02, Ашхабат, 1982. [14] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряжен- ных операторов в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1965, 448 с. [15] В. А. Авакян, Асимптотическое распределение спектра линейного пучка, во- змущенного аналитической оператор-функцией // Функциональный анализ и его приложения, 12 (1978), N 2, 66–67. [16] А. С. Маркус, Введение в спектральную теорию полиномиальных оператор- ных пучков, Кишинев: Штиинца, 1986, 260 с. [17] Г. В. Радзиевский, О полноте производных цепочек // Математический сбор- ник, 100(142) (1976), N 1(5), 37–58. 288 Симметричная модель... Сведения об авторах Дмитрий Закора Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, пр. Вернадского 4, 95007, Симферополь, Крым, Украина E-Mail: dmitry_@crimea.edu

Симметричная модель идеальной вращающейся релаксирующей жидкости

Репозитарії

Схожі ресурси