Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту
Для системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i точкою звороту, одержанi умови, при яких ї ї розв’язки - це розв’язки системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних. Матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124392 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 331-354. — Бібліогр.:16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124392 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. 2017-09-24T16:51:06Z 2017-09-24T16:51:06Z 2010 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 331-354. — Бібліогр.:16 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 34A34. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124392 Для системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i точкою звороту, одержанi умови, при яких ї ї розв’язки - це розв’язки системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних. Матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають асимптотичнi розвинення при |ε| ≤ ε₀ з коефiцiєнтами голоморфними при |x| ≤ x₀. А також доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу при наявностi точки звороту. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| spellingShingle |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| title_short |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| title_full |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| title_fullStr |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| title_full_unstemmed |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| title_sort |
лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту |
| author |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| author_facet |
Ключник, I.Г. Завiзiон, Г.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Для системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i точкою звороту, одержанi умови, при яких ї ї розв’язки - це розв’язки системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних. Матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають асимптотичнi розвинення при |ε| ≤ ε₀ з коефiцiєнтами голоморфними при |x| ≤ x₀. А також доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу при наявностi точки звороту.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124392 |
| citation_txt |
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу i точкою звороту / I.Г. Ключник, Г.В. Завiзiон // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 331-354. — Бібліогр.:16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT klûčnikig liniinasistemadiferencialʹnihrivnânʹzmalimparametrompričastinipohidnihzvidhilennâmargumentuitočkoûzvorotu AT zaviziongv liniinasistemadiferencialʹnihrivnânʹzmalimparametrompričastinipohidnihzvidhilennâmargumentuitočkoûzvorotu |
| first_indexed |
2025-11-24T15:48:46Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:48:46Z |
| _version_ |
1850848717779763200 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 3, 331 – 354
Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з
малим параметром при частинi похiдних з
вiдхиленням аргументу i точкою звороту
Iнна Г. Ключник, Геннадiй В. Завiзiон
(Представлена М. О. Перестюком)
Анотацiя. Для системи диференцiальних рiвнянь з малим параме-
тром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i то-
чкою звороту, одержанi умови, при яких її розв’язки — це розв’язки
системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi
похiдних. Матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають асим-
птотичнi розвинення при |ε| ≤ ε0 з коефiцiєнтами голоморфними
при |x| ≤ x0. А також доведено iснування i нескiнченну диференцi-
йовнiсть розв’язку системи диференцiальних рiвнянь з малим пара-
метром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу при
наявностi точки звороту.
2010 MSC. 34A34.
Ключовi слова та фрази. Лiнiйна система, малий параметр, вiд-
хилення аргументу, точка звороту.
Вступ
Основними методами побудови асимптотичних розв’язкiв сингу-
лярно збурених лiнiйних диференцiальних рiвнянь з точкою звороту,
в яких використовуються функцiї Ейрi, є методи Р. Лангера [1, 2],
В. Вазова [3,4], А. А. Дороднiцина [5], Цваана–Федорюка [6], регуля-
ризацiї [7], зшивання i узгодження асимптотик [8–10]. За допомогою
функцiй сплеска в [11] побудовано асимптотичний розв’язок сингу-
лярно збуреного диференцiального рiвняння другого порядку з то-
чкою звороту, а в [12] розроблений асимптотичний метод iнтегруван-
ня системи диференцiальних рiвнянь з повiльно змiнними коефiцiєн-
тами з точкою звороту в елементарних функцiях.
Вперше в [13] розглянута лiнiйна система диференцiальних рiв-
нянь з малим параметром при частинi похiдних з точкою звороту, для
Стаття надiйшла в редакцiю 30.11.2009
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
332 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
якої запропоновано асимптотичний метод iнтегрування. А в [14] для
розглядуваної системи доведено iснування i нескiнченну диференцi-
йовнiсть матричних функцiй, якi мають асимптотичнi розвинення
формальних рядiв, одержаних запропонованим асимптотичним мето-
дом. Використовуючи асимптотичний метод iнтегрування [13] в [15]
розробляється асимптотичний метод iнтегрування системи лiнiйних
диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похiдних
при наявностi кратної точки звороту. В [16] вперше розглядається
лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при
частинi похiдних, що мiстить квадратну матрицю порядку бiльше
двох, для якої виконуються умови задачi з простою точкою зворо-
ту. За допомогою нескiнченно диференцiйовної матрицi перетворен-
ня розглядувана система зводиться до системи простiшого вигляду з
нескiнченно диференцiйовними за параметром матрицями.
Вперше розглядається система диференцiальних рiвнянь з малим
параметром при похiднiй з лiнiйним вiдхиленням аргументу з точкою
звороту. Для такої системи одержанi умови, при яких розв’язками
розглядуваної системи з вiдхиленням аргументу є розв’язки системи
диференцiальних рiвнянь з малим параметром при похiднiй, в якiй
одна iз матриць подiбна матрицi Ейрi ( 0 1
x 0 ) , а iншi матрицi мають
асимптотичнi розвинення на компактi |ε| ≤ ε0 з коефiцiєнтами голо-
морфними при |x| ≤ x0. За допомогою отриманої системи диференцi-
альних рiвнянь з малим параметром при похiднiй з вiдхиленням ар-
гументу i точкою звороту одержано асимптотичний метод iнтегрува-
ння i доведено iснування i нескiнченну диференцiйовнiсть матричної
функцiї, яка має асимптотичним розвинення при ε → 0 формальний
ряд, одержаний запропонованим в [13] асимптотичним методом.
1. Cистема рiвнянь з вiдхиленням аргументу
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з вiдхиленням ар-
гументу вигляду
y′1 = A1(x)y1(x, ε) + A2(x)y2(x, ε) + A3(x)y1((1 − ε2∆)x, ε)
+ A4(x)y2((1 − ε2∆)x, ε), (1.1)
εy′2 = (B0(x) + εB1(x))y2(x, ε) + εB2(x)y1(x, ε)
+ εB3(x)y1((1 − ε2∆)x, ε) + (B4(x) + εB5(x))y2((1 − ε2∆)x, ε),
де y1 ∈ R
p, y2 ∈ R
2; Ai(x), Bj(x), i = 1, 4, j = 0, 5 — голомор-
фнi матрицi за дiйсною змiнною x при |x| ≤ x0; ε — малий дiйсний
параметр; ∆ — дiйсна додатня стала.
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 333
Припустимо виконання умов:
1) визначник матрицi det C220(x) 6=0 при x 6= 0, де матриця C220(x)
визначається рiвнiстю
C220(x) = B0(x) + B4(x);
2) detC220(0) = 0 i C220(0) подiбна жордановiй формi ( 0 1
0 0 ) ;
3) d
dx
(det C220(x))|x=0 6= 0.
Запишемо систему рiвнянь (1.1) у виглядi однiєї системи диферен-
цiальних рiвнянь з лiнiйним вiдхиленням аргументу блочного вигля-
ду з залежною вiд ε i виродженою при ε = 0 матрицею при похiднiй.
Застосовуючи iдеї iз [17], для цiєї системи отриманi умови, при яких
розв’язками одержаної системи з вiдхиленням аргументу є розв’яз-
ки системи диференцiальних рiвнянь з залежною вiд ε i виродженою
при ε = 0 матрицею при похiднiй з точкою звороту.
Вiрною є теорема.
Теорема 1.1. Нехай матрицi Ai(x), Bj(x), i = 1, 4, j = 0, 5 голо-
морфнi в областi |x| ≤ x0, x ∈ R, i можна вказати ε0 таке, що
виконуються нерiвностi
‖Ai(x)‖0 ≤ αi, ‖Bj(x)‖0 ≤ βj , i = 1, 4, j = 0, 5, (1.2)
ε0(α6 + ε0(β3 + β5))∆x0e
ε0(α5+ε0(β1+β2))∆x0+1 < 1, (1.3)
а також справедливi умови 1)–3). Тодi при |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0, x ∈
R кожен розв’язок системи звичайних диференцiальних рiвнянь з
малим параметром при частинi похiдних вигляду
y′1 = C11(x, ε)y1(x, ε) + C12(x, ε)y2(x, ε),
εy′2 = C21(x, ε)y1(x, ε) + C22(x, ε)y2(x, ε)
(1.4)
є розв’язком системи диференцiальних рiвнянь iз малим параме-
тром при частинi похiдних з вiдхиленням аргументу (1.1). Знайду-
ться матрицi Cml(x, ε), m, l = 1, 2, такi, що мають мiсце розвине-
ння
Cml(x, ε) = Cml0(x) + εCml1(x) + · · · + εkCmlk(x) + εk+1Cml,k+1(x, ε).
(1.5)
Матрицi Cmli(x), Cml,k+1(x, ε), i = 0, k, m, l = 1, 2 голоморфнi при
|x| ≤ x0 i матрицi Cml,k+1(x, ε) мають неперервну похiдну за змiн-
ною ε при |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0. Кожен ряд
∑∞
n=0 εnCmln(x), m, l = 1, 2
334 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
є рiвномiрним при |x| ≤ x0 асимптотичним розвиненням при ε → 0
i |ε| ≤ ε0 вiдповiдної матрицi Cml(x, ε), m, l = 1, 2, i мають мiсце
нерiвностi
∥
∥
∥
∥
Cml(x, ε) −
k
∑
n=0
εnCmln(x)
∥
∥
∥
∥
≤ M |ε|k+1,
|x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0, m, l = 1, 2.
(1.6)
Доведення. Систему (1.1) перепишемо у виглядi
K(ε)y′ = (F0(x) + εF1(x))y(x, ε) + (G0(x) + εG1(x))y((1 − ε2∆)x, ε),
(1.7)
де y ∈ R
p+2 i має вигляд
y(x, ε) =
(
y1(x, ε)
y2(x, ε)
)
;
блочнi матрицi K(ε), Fi(x), Gi(x), i = 0, 1 мають вигляд
K(ε) =
(
Ip 0
0 εI2
)
,
F0(x) =
(
A1(x) A2(x)
0 B0(x)
)
, F1(x) =
(
0 0
B2(x) B4(x)
)
,
G0(x) =
(
A3(x) A4(x)
0 B4(x)
)
, G1(x) =
(
0 0
B3(x) B5(x)
)
;
Ip — одинична матриця p-го порядку.
При |x| ≤ x0 i ε 6= 0 матриця Ωx
0(K1(ε)C(x,ε)
ε
), яка визначається
рiвнiстю
Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
= Ip+2 +
K1(ε)
ε
x
∫
0
C(s, ε) ds
+
K1(ε)
ε2
x
∫
0
C(s, ε)K1(ε)
s
∫
0
C(s1, ε) ds1 ds + · · ·
+
K1(ε)
εn
x
∫
0
C(s, ε)K1(ε)
s
∫
0
C(s1, ε)K1(ε) · · ·
× K1(ε)
sn−2
∫
0
C(sn−1, ε) dsn−1 · · · ds1 ds + · · · , (1.8)
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 335
є матрицантом системи диференцiальних рiвнянь
K(ε)y′ = C(x, ε)y(x, ε), (1.9)
де блочнi матрицi C(x, ε), K1(ε) мають вигляд
C(x, ε) = (Cml(x, ε)), K1(ε) = {εIp, I2}, m, l = 1, 2,
причому матриця C(x, ε) визначена при |x| ≤ x0 i ε 6= 0. Зауважимо,
що ряд (1.8) збiгається рiвномiрно по x i ε при |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
Загальний розв’язок рiвняння (1.9) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 визначає-
ться за формулою
y(x, ε) = Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
y0, (1.10)
де y0 ∈ R
p+2 i не залежить вiд x. Функцiя (1.10) буде задовольняти
рiвнянню (1.7) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0, коли виконується рiвнiсть
K(ε)
dy
dx
= C(x, ε)Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
y0
= (F0(x) + εF1(x))Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
y0
+ (G0(x) + εG1(x))Ω
(1−ε2∆)x
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
y0. (1.11)
Якщо при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 виконується наступна рiвнiсть:
C(x, ε)Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
= (F0(x) + εF1(x))Ωx
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
+ (G0(x) + εG1(x))Ω
(1−ε2∆)x
0
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
, (1.12)
то рiвнiсть (1.11) буде справедливою для довiльного вектора y0.
З властивостi матрицi Ωx
0(K1(ε)C(x,ε)
ε
) випливає, що рiвнiсть (1.12)
при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 виконується лише тодi, коли
C(x, ε) = F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)C(x, ε)
ε
)
.
(1.13)
Таким чином, якщо всi розв’язки системи рiвнянь (1.9) при |x| ≤
x0 i ε 6= 0 є розв’язками системи рiвнянь (1.7), то на вказанiй множинi
матриця C(x, ε) задовольняє рiвнянню (1.13). Очевидне i зворотнє.
336 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
Якщо матриця C(x, ε) неперервна при |x| ≤ x0, ε 6= 0 задовольняє
(1.13), то вектор-функцiя (1.10) є розв’язком системи рiвнянь (1.7)
при |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
За допомогою замiни змiнних в рiвняннi (1.13) за формулою
C(x, ε) = F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Z(x, ε) (1.14)
одержимо рiвняння
(G0(x) + εG1(x))
(
Z(x, ε) − Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)
ε
(F0(x) + εF1(x))
+ (G0(x) + εG1(x))Z(x, ε)
))
= 0. (1.15)
Згiдно рiвняння (1.15) виберемо Z(x, ε) наступним чином:
Z(x, ε) = Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)
ε
(F0(x)+ εF1(x))+(G0(x)+ εG1(x))Z(x, ε)
)
.
(1.16)
Визначимо оператор
SZ(x, ε) = Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)
ε
(F0(x)+εF1(x))+(G0(x)+εG1(x))Z(x, ε)
)
(1.17)
у просторi C(m, J0) матриць Z(x, ε) заданих i неперервних за двома
змiнними x i ε на множинi
J0 = {(x, ε)||x| ≤ x0, δ ≤ |ε| ≤ ε0}
i такi, що
‖Z‖0 = max
(x,ε)∈J0
‖Z(x, ε)‖ ≤ m,
де δ — додатне число таке, що δ < ε0.
Скориставшись нерiвнiстю (1.2) i використовуючи вигляд блочних
матриць Fi(x), Gi(x), i = 0, 1, знайдемо норми таких матриць
‖F0(x)‖0 ≤ α5, ‖F1(x)‖0 ≤ β1 + β2,
‖G0(x)‖0 ≤ α6, ‖G1(x)‖0 ≤ β3 + β5,
(1.18)
де
α5 = max(α1 + α2, β0), α6 = max(α3 + α4, β4).
Матриця SZ(x, ε) неперервна на множинi J0. Згiдно нерiвностей
(1.2), (1.3), (1.18) вiрною є оцiнка
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 337
‖SZ‖0 ≤ sup
(x,ε)∈J0
∣
∣
∣
Ω(1−ε2∆)x
x
×
(‖K1(ε)‖
|ε|
(‖F0(x) + εF1(x)‖ + ‖G0(x) + εG1(x)‖m)
)
∣
∣
∣
≤ eε0(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m)∆x0 .
Тодi, якщо виконується нерiвнiсть
eε0(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m)∆x0 ≤ m, (1.19)
то оператор S переводить простiр C(m, J0) у себе.
Оцiнимо рiзницю SZ1(x, ε)−SZ2(x, ε) для матриць Zi(x, ε) ∈ C(m,
J0), i = 1, 2. Позначимо
Pi(x, ε) =
K1(ε)(F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Zi(x, ε))
ε
, i = 1, 2
i розглянемо рiзницю
Ω(1−ε2∆)x
x (P1(x, ε)) − Ω(1−ε2∆)x
x (P2(x, ε)).
Маємо
∥
∥
∥
∥
∥
(1−ε2∆)x
∫
x
P1(s, ε) ds −
(1−ε2∆)x
∫
x
P2(s, ε) ds
∥
∥
∥
∥
∥
≤
∥
∥
∥
∥
∥
(1−ε2∆)x
∫
x
(P1(s, ε) − P2(s, ε)) ds
∥
∥
∥
∥
∥
≤ (α6 + ε0(β3 + β5))ε0∆x0‖Z1 − Z2‖0;
∥
∥
∥
∥
∥
(1−ε2∆)x
∫
x
P1(s, ε)
s
∫
x
P1(s1, ε) ds1 ds
−
(1−ε2∆)x
∫
x
P2(s, ε)
s
∫
x
P2(s1, ε) ds1 ds
∥
∥
∥
∥
∥
≤
(α6 + ε0(β3 + β5))
|ε|
(∣
∣
∣
∣
∣
(1−ε2∆)x
∫
x
s
∫
x
‖P1(s1, ε)‖ ds1 ds
338 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
+
(1−ε2∆)x
∫
x
‖P2(s, ε)‖
s
∫
x
ds1 ds
∣
∣
∣
∣
∣
)
‖Z1 − Z2‖0
≤ (α6 + ε0(β3 + β5))(α5 + ε0(β1 + β2)
+ (α6 + ε0(β3 + β5))m)ε2
0∆
2x2
0‖Z1 − Z2‖0;
∥
∥
∥
∥
∥
(1−ε2∆)x
∫
x
P1(s, ε)
s
∫
x
P1(s1, ε) . . .
sn−2
∫
x
P1(sn−1, ε) dsn−1 · · · ds1 ds
−
(1−ε2∆)x
∫
x
P2(s, ε)
s
∫
x
P2(s1, ε) · · ·
sn−2
∫
x
P2(sn−1, ε) dsn−1 · · · ds1 ds
∥
∥
∥
∥
∥
≤
(α6 + ε0(β3 + β5))n(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n−1
|ε|n
×
∣
∣
∣
∣
∣
(1−ε2∆)x
∫
x
s
∫
x
· · ·
sn−2
∫
x
dsn−1 · · · ds1 ds
∣
∣
∣
∣
∣
‖Z1 − Z2‖0
≤ (α6 + ε0(β3 + β5))∆
n|ε|n|x|n
×
(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n−1
(n − 1)!
‖Z1 − Z2‖0
≤ (α6 + ε0(β3 + β5))∆x0ε0∆
n−1xn−1
0 εn−1
0
×
(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n−1
(n − 1)!
‖Z1 − Z2‖0.
Тому при (x, ε) ∈ J0 одержимо
‖SZ1(x, ε) − SZ2(x, ε)‖
= ‖Ω(1−ε2∆)x
x (P1(x, ε)) − Ω(1−ε2∆)x
x (P2(x, ε))‖ ≤ (α6 + ε0(β3 + β5))
× ∆x0ε0e
(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m)∆x0ε0‖Z1 − Z2‖0.
При виконаннi нерiвностi
(α6 + ε0(β3 +β5))∆x0ε0e
(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m)∆x0ε0 < 1, (1.20)
оператор S є оператором стиску в просторi C(m, J0).
Якщо виконуються нерiвностi (1.2), (1.3), то для m, що задоволь-
няють оцiнки
m <
1
∆x0(α6 + ε0(β3 + β5))ε0
,
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 339
справедлива нерiвнiсть (1.20). Рiвняння
eε0(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m)∆x0 = m
має два розв’язки m1 i m2 такi, що
∆x0(α6 + ε0(β3 + β5))ε0m1 < 1 < ∆x0(α6 + ε0(β3 + β5))ε0m2.
Звiдси випливає, що для
m1 ≤ m <
1
∆x0(α6 + ε0(β3 + β5))ε0
(1.21)
будуть виконуватися одночасно обидвi нерiвностi (1.19), (1.20).
Отже, при виконаннi нерiвностей (1.2), (1.3) для значень m, що
задовольняють оцiнки (1.21), оператор S, заданий рiвнiстю (1.17),
вiдображає C(m, J0) у себе i є оператором стиску.
Таким чином, у просторi C(m, J0) оператор S має єдину нерухому
точку, яка i є єдиним розв’язком рiвняння (1.16). А, отже, рiвняння
(1.13) має єдиний неперервний розв’язок на множинi J0. В силу до-
вiльностi числа δ рiвняння (1.13) має єдиний неперервний розв’язок
для |x| ≤ x0 i ε 6= 0.
Згiдно нерiвностей (1.2) при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 маємо оцiнку норми
‖Z(x, ε)‖ ≤ 1+
∞
∑
n=1
|ε|n∆nxn
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n
n!
.
(1.22)
Перейшовши в (1.22) до границi при ε → 0, а також з вигляду ма-
трицi Z(x, ε) i оцiнки на множинi J0 для норми ‖Z(x, ε)‖, якi заданi
вiдповiдно формулами (1.16), (1.22), маємо, що
lim
ε→0
Z(x, ε) = I, |x| ≤ x0,
де I — одинична матриця вiдповiдного порядку. Довизначимо матри-
цю Z(x, ε) при |x| ≤ x0 в точцi ε = 0 до неперервної за змiнними x i
ε на множинi
J = {(x, ε)| |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0},
поклавши
Z(x, 0) = I.
Тодi, перейшовши до границi в (1.14), знайдемо, що
lim
ε→0
C(x, ε) = C0(x), |x| ≤ x0.
340 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
Тепер довизначимо C(x, ε) при |x| ≤ x0 в точцi ε = 0 до неперервної
за змiнними x i ε на множинi J, поклавши
C(x, 0) = C0(x) = F0(x) + G0(x).
Користуючись (1.8) i записавши при ε 6= 0 явний вигляд матри-
цанта
Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)(F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Z(x, ε))
ε
)
, (1.23)
приведемо його до iншого вигляду. Для цього в першому iнтегралi,
який входить в матрицант (1.23), введемо замiну змiнних за форму-
лою
τ =
x − ε
ε2∆
,
одержимо
T0 =
1
ε
(1−ε2∆)x
∫
x
K1(ε)(F0(s) + εF1(s) + (G0(s) + εG1(s))Z(s, ε)) ds
= −ε∆K1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε)) dτ. (1.24)
Припустимо виконання наступної рiвностi для n-кратного iнтегралу
K1(ε)
εn
(1−ε2∆)x
∫
x
(F0(s) + εF1(s) + (G0(s) + εG1(s))Z(s, ε))
× K1(ε)
s
∫
x
(F0(s1) + εF1(s1) + (G0(s1) + εG1(s1))Z(s1, ε)) · · ·
× K1(ε)
sn−2
∫
x
(F0(sn−1) + εF1(sn−1) + (G0(sn−1) + εG1(sn−1))
× Z(sn−1, ε)) dsn−1 dsn−2 · · · ds1 ds
= (−1)nεn∆nK1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε))
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 341
× K1(ε)
τ
∫
0
(F0(x − ε2∆τ1) + εF1(x − ε2∆τ1)
+ (G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1))Z(x − ε2∆τ1, ε)) · · ·
× K1(ε)
τn−2
∫
0
(F0(x − ε2∆τn−1) + εF1(x − ε2∆τn−1)
+ (G0(x − ε2∆τn−1) + εG1(x − ε2∆τn−1))
× Z(x − ε2∆τn−1, ε) dτn−1 · · · dτ1 dτ, (1.25)
де змiннi τi, i = 1, n − 1 задаються рiвнiстю
τi =
x − si
ε2∆
. (1.26)
Тодi (n + 1)-iнтеграл вигляду (1.25) набуде вигляду
Tn+1 =
K1(ε)
εn+1
(1−ε2∆)x
∫
x
(F0(s) + εF1(s) + (G0(s) + εG1(s))Z(s, ε))
× K1(ε)
s
∫
x
(F0(s1) + εF1(s1) + (G0(s1) + εG1(s1))Z(s1, ε)) · · ·
×K1(ε)
sn−1
∫
x
(F0(sn)+εF1(sn)+(G0(sn)+εG1(sn))Z(sn, ε)) dsn · · · ds1 ds
= εn(−1)n∆nK1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε)) · · ·
× K1(ε)
τn−2
∫
0
(F0(x − ε2∆τn−1) + εF1(x − ε2∆τn−1)
+ (G0(x − ε2∆τn−1) + εG1(x − ε2∆τn−1))Z(x − ε2∆τn−1, ε))
×
K1(ε)
ε
sn−1
∫
x
(F0(sn) + εF1(sn) + (G0(sn) + εG1(sn))
× Z(sn, ε)) dsn dτn−1 · · · dτ1 dτ. (1.27)
Ввiвши в (1.27) замiну за формулою
τn =
x − sn
ε2∆
342 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
i скориставшись (1.25), (1.26), отримаємо, що (n + 1) iнтеграл Tn+1
можна записати у виглядi
Tn+1 = (−1)n+1εn+1∆n+1K1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε)) · · ·
× K1(ε)
τn−1
∫
0
(F0(x − ε2∆τn) + εF1(x − ε2∆τn)
+ (G0(x − ε2∆τn) + εG1(x − ε2∆τn))
× Z(x − ε2∆τn, ε)) dτn dτn−1 · · · dτ. (1.28)
Iз спiввiдношень (1.24), (1.25), (1.28) i методу математичної iндукцiї
випливає справедливiсть (1.25) для n ∈ N.
Iз (1.25) i вигляду матрицантiв (1.23) i (1.8) отримаємо, що на
множинi |x| ≤ x0 i ε 6= 0 виконується рiвнiсть
Ω(1−ε2∆)x
x
(K1(ε)(F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Z(x, ε))
ε
)
= Ωx
0(−∆εK1(ε)(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε))). (1.29)
Неперервнiсть матриць Ai(x), Bj(x), Z(x, ε), i = 1, 4, j = 0, 5 на мно-
жинi J i рiвнiсть (1.29) дають можливiсть матрицант правої частини
(1.29) довизначити в точцi ε = 0, |x| ≤ x0, поклавши його рiвному
одиничнiй матрицi. Тодi враховуючи довизначенiсть Z(x, ε) при ε = 0
i рiвнiсть (1.16), одержимо, що на множинi J виконується рiвнiсть
Z(x, ε) = Ωx
0(−∆εK1(ε)(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε))). (1.30)
Позначимо через F (x, ε, Z) матрицю вигляду
F (x, ε, Z) = Z(x, ε) − Ωx
0(−∆εK1(ε)(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε))), (1.31)
яка визначена на множинi J.
Згiдно (1.30), (1.31) неперервна на множинi J матриця Z(x, ε) за-
довольняє рiвняння
F (x, ε, Z) = 0. (1.32)
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 343
Iз (1.30) знайдемо частинну похiдну матрицi F (x, ε, Z) за змiнною Z
вигляду
F ′
Z(x, ε, Z) = I + ∆εK1(ε)
x
∫
0
(G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ)) dτ
− ∆2ε2K1(ε)
x
∫
0
(G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))
× K1(ε)
τ
∫
0
(F0(x − ε2∆τ1) + εF1(x − ε2∆τ1)
+ (G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1))Z(x − ε2∆τ1), ε) dτ dτ1
− ∆2ε2K1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ, ε))
× K1(ε)
τ
∫
0
(G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1)) dτ dτ1 + · · · , (1.33)
де 3-iй член ряду (1.33) при ε → 0 має порядок малостi O((∆ε)3).
Оцiнивши норми елементiв членiв ряду (1.33), отримаємо мажоранту
для ряду (1.33), сума якого має вигляд
1 + ∆ε0(α6 + ε0(β3 + β5))x0e
∆ε0x0(α5+ε0(β1+β2)+(α6+ε0(β3+β5))m),
що доводить рiвномiрну збiжнiсть ряду (1.33) на множинi J. Викори-
стовуючи явний вигляд матрицi F (x, ε, Z), яка задана рiвнiстю (1.31),
знайдемо частинну похiдну F ′
ε(x, ε, Z) за змiнною ε вигляду
F ′
ε(x, ε, Z) = ∆K ′
1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ)) dτ
+ ∆εK1(ε)
x
∫
0
(F̃ (x, ε, τ) + G̃(x, ε, τ)Z(x − ε2∆τ)) dτ
− ∆2(εK ′
1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
344 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ)
× K1(ε)
τ
∫
0
(F0(x − ε2∆τ1) + εF1(x − ε2∆τ1)
+ (G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1))Z(x − ε2∆τ1)) dτ dτ1
+ ε2K1(ε)
x
∫
0
(F̃ (x, ε, τ) + G̃(x, ε, τ)Z(x − ε2∆τ))
× K1(ε)
τ
∫
0
(F0(x − ε2∆τ1) + εF1(x − ε2∆τ1)
+ (G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1))Z(x − ε2∆τ1)) dτ dτ1
+ εK1(ε)
x
∫
0
(
F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ)
× K ′
1(ε)
τ
∫
0
(F0(x − ε2∆τ1) + εF1(x − ε2∆τ1)
+ (G0(x − ε2∆τ1) + εG1(x − ε2∆τ1))Z(x − ε2∆τ1)) dτ dτ1
+ ε2K1(ε)
x
∫
0
(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))Z(x − ε2∆τ))
× K1(ε)
τ
∫
0
(F̃ (x, ε, τ1) + G̃(x, ε, τ1)Z(x − ε2∆τ1)) dτ dτ1
)
+ · · · ,
(1.34)
де
F̃ (x, ε, τ) = −2ε∆τ
dF0(t)
dt
∣
∣
∣
t=x−ε2∆τ
+ F1(x − ε2∆τ) − 2ε2∆τ
dF1(t)
dt
∣
∣
∣
t=x−ε2∆τ
,
G̃(x, ε, τ) = −2ε∆τ
dG0(t)
dt
∣
∣
∣
t=x−ε2∆τ
+ G1(x − ε2∆τ) − 2ε2∆τ
dG1(t)
dt
∣
∣
∣
t=x−ε2∆τ
.
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 345
З вигляду матрицi K1(ε) отримаємо оцiнки норм наступних матриць:
‖K ′
1(ε)‖ = max(2|ε|, 1), ‖εK1(ε)‖ = |ε|max(|ε|, 1) = |ε|. (1.35)
У результатi оцiнки членiв ряду (1.34), з урахуванням (1.35), отри-
маємо мажоранту для ряду (1.34) вигляду
(α7(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5)))m + ε0(F̃ + G̃m))
×
∞
∑
n=0
xn+1
0 ∆n+1
0 εn
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n
(n + 1)!
,
де
α7 = max(2ε0, 1),
F̃ = sup
τ∈[0;x],
(x,ε)∈J
‖F̃ (x, ε, τ)‖, G̃ = sup
τ∈[0;x],
(x,ε)∈J
‖G̃(x, ε, τ)‖.
З (1.33) i малостi ε випливає, що при (x, ε) ∈ J визначник detF ′
Z(x, ε,
Z) 6= 0. Тодi iз збiжностi рядiв (1.33), (1.34) i (1.32) випливає iсну-
вання неперервної похiдної Z ′
ε(x, ε) за змiнною ε матрицi Z(x, ε) на
множинi J. Отже, з рiвностi (1.14) випливає iснування неперервної
частинної похiдної C ′
ε(x, ε) за змiнною ε матрицi C(x, ε).
Розглянемо при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 рiзницю
C1(x, ε) =
C(x, ε) − C0(x)
ε
. (1.36)
Враховуючи, що C(x, ε) диференцiйовна за змiнною ε на множинi J
i C(x, 0) = C0(x), перетворимо рiзницю матриць
C(x, ε) − C0(x) = ε
1
∫
0
C ′
ε(x, θε) dθ, (x, ε) ∈ J. (1.37)
Пiдставляючи (1.37) в (1.36), отримаємо при |x| ≤ x0 i ε 6= 0 вигляд
матрицi
C1(x, ε) =
1
∫
0
C ′
ε(x, θε) dθ. (1.38)
Довизначимо C1(x, ε) при ε = 0. Для цього використовуючи непе-
рервнiсть за змiнною ε похiдної C ′
ε(x, ε) при |ε| ≤ ε0 i враховуючи
граничний перехiд вiд iнтеграла, залежного вiд параметру, iз рiвно-
стi (1.38) отримаємо
346 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
C1(x, 0) = lim
ε→0
1
∫
0
C ′
ε(x, θε) dθ =
1
∫
0
lim
ε→0
C ′
ε(x, θε) dθ
=
1
∫
0
C ′
ε(x, 0) dθ = C ′
ε(x, 0). (1.39)
З рiвностей (1.38), (1.39) випливає, що для (x, ε) ∈ J матриця C1(x, ε)
має вигляд (1.38).
З (1.36)–(1.39) випливає можливiсть представлення при (x, ε) ∈ J
матрицi C(x, ε) у виглядi
C(x, ε) = C0(x) + εC1(x, ε), (1.40)
де матриця C1(x, ε) задається рiвнiстю (1.38).
При виведеннi вигляду (1.12) для матрицi C(x, ε) при ε 6= 0,
розв’язок диференцiального рiвняння (1.9) брався при ε 6= 0, тоб-
то саме рiвняння (1.9) розглядається при |x| ≤ x0 i ε 6= 0. В си-
лу того, що матриця C(x, ε) довизначена при ε = 0 i правi частини
диференцiально-функцiонального рiвняння (1.7) i диференцiального
рiвняння (1.9) спiвпадають при ε = 0, то можна вважати, що всi
розв’язки диференцiального рiвняння (1.9) при (x, ε) ∈ J є розв’яз-
ками диференцiально-функцiонального рiвняння (1.7) при (x, ε) ∈ J.
Дослiдимо питання про голоморфнiсть за змiнною x матрицi
C(x, ε), яка задана рiвностями (1.14), (1.16). З голоморфностi ма-
триць Ai(x), Bj(x), i = 0, 4, j = 0, 5 випливає голоморфнiсть ма-
триць Fs(x), Gs(x), s = 0, 1 а, отже, матрицi Fs(x), Gs(x) є нескiн-
ченно-диференцiйовними. Тодi згiдно [17] матриця Z(x, ε), яка задана
неявно рiвнiстю (1.16), є нескiнченно-диференцiйовна за змiнною x.
Згiдно [3] матрицю Z(x, ε) можна розвинути в формальний степе-
невий ряд за змiнною x. Вiдомо, що iз неперервностi за змiнною x
матрицi
K1(ε)(F0(x) + εF1(x) + (G0(x) + εG1(x))Z(x, ε))
випливає, що матрицант цiєї матрицi розвивається в збiжний фун-
кцiональний ряд. Тодi, користуючись (1.16), одержимо, що формаль-
ний степеневий ряд за змiнною x матрицi Z(x, ε) є збiжним. А тому,
згiдно (1.14), матрицi Z(x, ε), C(x, ε) є голоморфними за змiнною x
при (x, ε) ∈ J.
Аналогiчно до одержаної рiвностi (1.40) можна показати iснуван-
ня неперервної за змiнною ε матрицi Z1(x, ε) на множинi J вигляду
Z1(x, ε) =
∫ 1
0 Z ′
ε(x, θε) dθ такої, що справедлива рiвнiсть
Z(x, ε) = I + εZ1(x, ε). (1.41)
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 347
Врахувавши (1.41), введемо позначення
M(τ, ε, Z1) = K1(ε)(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))(I + εZ1(x − ε2∆τ, ε))). (1.42)
Пiдставивши (1.8) в (1.30) i врахувавши (1.42), отримаємо рiвняння
вiдносно Z1(x, ε) у виглядi
Z1(x, ε) = −∆
x
∫
0
M(τ, ε, Z1)Ω
τ
0(−∆εM(τ, ε, Z1)) dτ. (1.43)
Тодi матриця F1(x, ε, Z1) вигляду
F1(x, ε, Z1) = Z1(x, ε) + ∆
x
∫
0
M(τ, ε, Z1)Ω
τ
0(−∆εM(τ, ε, Z1)) dτ (1.44)
визначена на множинi J. Згiдно (1.43), (1.44) неперервна на множинi
J матриця Z1(x, ε) задовольняє рiвняння
F1(x, ε, Z1) = 0.
Пiдставляючи вигляд матрицанта iз (1.8) в (1.44), одержимо розви-
нення матрицi F1(x, ε, Z1) в рiвномiрно збiжний функцiональний ряд.
Причому ряди, якi складаються з частинної похiдної за змiнними Z1
i ε елементiв одержаного ряду, мажоруються вiдповiдно рядами
1 + (α6 + ε0(β3 + β5))
×
∞
∑
n=0
∆n+1εn+1
0 xn+1
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n
n!
,
∆x0(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m
+ F̃ + G̃m + (α6 + ε0(β3 + β5))m1)
+
∞
∑
n=2
∆nxn
0εn−2
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n−1
n!
× ((α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)(α7(n − 1) + ε0)
+ nε0(F̃ + G̃m + (α6 + ε0(β3 + β5))m1)),
де m1 = sup(x,ε)∈J ‖Z1(x, ε)‖. З розвинення матрицi (F1(x, ε, Z1))
′
Z1
в
рiвномiрно збiжний функцiональний ряд випливає, що (F1(x, ε, Z1))
′
Z1
можна зобразити у виглядi
(F1(x, ε, Z1))
′
Z1
= I + O(ε). (1.45)
348 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
В силу малостi ε i iз (1.45) отримаємо, що визначник det(F1(x, ε, Z1))
′
Z1
6= 0 i iснує неперервна на множинi J частинна похiдна (Z1(x, ε))′ε. А,
отже, на множинi J матрицю Z1(x, ε) можна представити у виглядi
Z1(x, ε) = Z1(x, 0) + εZ2(x, ε), (1.46)
де
Z2(x, ε) =
1
∫
0
(Z1(x, θε))′ε dθ, Z1(x, 0) = −∆x(F0(x) + G0(x)).
Припустимо, що матрицю Zk−1(x, ε), яка визначається з рiвняння
Zk−1(x, ε) = (−1)k−1∆k−1
x
∫
0
M(τ, ε, Zk−1)
τ
∫
0
· · ·
τk−3
∫
0
M(τk−2, ε, Zk−1)
× Ω
τk−2
0 (−∆εM(τk−2, ε, Zk−1)) dτk−2 · · · dτ1 dτ
+ (−1)k−2∆k−2
1
∫
0
x
∫
0
(M(τ, θε, Zk−1)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−4
∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1) dτk−3 · · · dτ1)
′
ε dτ dθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
(1.47)
можна представити у виглядi
Zk−1(x, ε) = Zk−1(x, 0) + εZk(x, ε), (1.48)
де
Zk(x, ε) =
1
∫
0
(Zk−1(x, θε))′ε dθ,
M(τ, ε, Zk) = K1(ε)(F0(x − ε2∆τ) + εF1(x − ε2∆τ)
+ (G0(x − ε2∆τ) + εG1(x − ε2∆τ))(I + εZ1(x − ε2∆τ, 0) + · · ·
+ εk−1Zk−1(x − ε2∆τ, 0) + εkZk(x − ε2∆τ, ε))).
Пiдставивши (1.48) в (1.47), одержимо рiвняння вiдносно матрицi
Zk(x, ε) вигляду
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 349
εZk(x, ε) = −Zk−1(x, 0) + (−1)k∆kε
x
∫
0
M(τ, ε, Zk)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−2
∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk)) dτk−1 · · · dτk−1 dτ
+ (−1)k−2∆k−2
1
∫
0
x
∫
0
(
M(τ, θε, Zk−1)
×
τ
∫
0
. . .
τk−4
∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1) dτk−3 · · · dτ1
)′
ε
dτ dθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
+(−1)k−1∆k−1
x
∫
0
M(τ, ε, Zk)
τ
∫
0
. . .
τk−3
∫
0
M(τk−2, ε, Zk) dτk−2 · · · dτ1 dτ.
(1.49)
Використовуючи (1.47), знаходимо Zk−1(x, 0) i спрощуємо наступний
вираз
(−1)k−1∆k−1
x
∫
0
M(τ, ε, Zk)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−3
∫
0
M(τk−2, ε, Zk) dτk−2 · · · dτ1 dτ
− Zk−1(x, 0) + (−1)k−2∆k−2
1
∫
0
x
∫
0
(
M(τ, θε, Zk−1)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−4
∫
0
M(τk−3, θε, Zk−1) dτk−3 · · · dτ1
)′
ε
dτ dθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
= (−1)k−1∆k−1ε
1
∫
0
x
∫
0
(
M(τ, θε, Zk)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−3
∫
0
M(τk−2, θε, Zk) dτk−2 · · · dτ1
)′
ε
dτ dθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
. (1.50)
Пiдставивши (1.50) в (1.49) одержимо, рiвняння вiдносно матрицi
Zk(x, ε) вигляду
350 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
Zk(x, ε) = (−1)k∆k
x
∫
0
M(τ, ε, Zk)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−2
∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk)) dτk−1 · · · dτ1 dτ
+ (−1)k−1∆k−1
1
∫
0
x
∫
0
(
M(τ, θε, Zk)
×
τ
∫
0
M(τk−2, θε, Zk) dτk−2 · · · dτ1
)′
ε
dτdθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
. (1.51)
Позначимо через Fk(x, ε, Zk) матрицю вигляду
Fk(x, ε, Zk) = Zk(x, ε) + (−1)k+1∆k
x
∫
0
M(τ, ε, Zk)
×
τ
∫
0
· · ·
τk−2
∫
0
M(τk−1, ε, Zk)Ω
τk−1
0 (−∆εM(τk−1, ε, Zk)) dτk−1 · · · dτ1 dτ
+ (−1)k∆k−1
1
∫
0
x
∫
0
(
M(τ, θε, Zk)
×
τ
∫
0
. . .
τk−3
∫
0
M(τk−2, θε, Zk) dτk−2 · · · dτ1
)′
ε
dτ dθ
∣
∣
∣
∣
∣
ε=0
. (1.52)
Пiдставляючи вигляд матрицанта iз (1.8) в (1.52), одержимо розвине-
ння матрицi Fk(x, ε, Zk) в рiвномiрно збiжний функцiональний ряд.
Причому ряди, якi складаються з частинної похiдної за змiнними Zk
i ε елементiв одержаного ряду, мажоруються вiдповiдно рядами
1 + (α6 + ε0(β3 + β5))
×
∞
∑
n=k+1
∆n+1εn+1
0 xn+1
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n
n!
,
xk
0∆
k(α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)k−1
(k − 1)!
(α5 + ε0(β1 + β2)
+ (α6 + ε0(β3 + β5))m + F̃ + G̃m + (α6 + ε0(β3 + β5))mk)
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 351
+
∞
∑
n=k+1
∆nxn
0εn−k−1
0 (α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)n−1
n!
× ((α5 + ε0(β1 + β2) + (α6 + ε0(β3 + β5))m)(α7(n − k) + kε0)
+ nε0(F̃ + G̃m + (α6 + ε0(β3 + β5))mk)),
де
mk = sup
(x,ε)∈J
∥
∥
∥
∥
k−1
∑
i=1
iεi−1Zi(x, 0) + kεk−1Zk(x, ε)
∥
∥
∥
∥
.
З розвинення матрицi (Fk(x, ε, Zk))
′
Zk
в рiвномiрно збiжний функцiо-
нальний ряд випливає, що (Fk(x, ε, Zk))
′
Zk
можна зобразити у виглядi
(Fk(x, ε, Zk))
′
Zk
= I + O(ε). (1.53)
В силу малостi ε i iз (1.53) отримаємо, що визначник det(Fk(x, ε,
Zk))
′
Zk
6= 0 i iснує неперервна на множинi J частинна похiдна (Zk(x,
ε))′ε. А, отже, на множинi J матрицю Zk(x, ε) можна представити у
виглядi
Zk(x, ε) = Zk(x, 0) + εZk+1(x, ε), (1.54)
де Zk+1(x, ε) визначається за формулою
Zk+1(x, ε) =
1
∫
0
(Zk(x, θε))′ε dθ.
Згiдно математичної iндукцiї випливає справедливiсть (1.54) для до-
вiльного k ∈ N, причому матрицi Zi(x, ε), i = 1, k + 1 є голоморфни-
ми при |x| ≤ x0 i мають неперервну похiдну за змiнною ε на множинi
J. Iз (1.54), (1.48), (1.46) одержимо, що на множинi J матрицю Z(x, ε)
можна представити у виглядi
Z(x, ε) = I + εZ1(x, 0) + · · · + εkZk(x, 0) + εk+1Zk+1(x, ε). (1.55)
Пiдставляючи (1.55) в (1.14), одержимо, що матрицю C(x, ε) можна
представити у виглядi
C(x, ε) = C0(x) + εC1(x) + · · · + εkCk(x) + εk+1Ck+1(x, ε), (1.56)
де C1(x), Ci(x), Ck+1(x, ε), i = 2, k визначаються за формулами
C1(x) = F1(x) + G1(x) + G0(x)Z1(x, 0),
Ci(x) = G0(x)Zi(x, 0) + G1(x)Zi−1(x, 0),
352 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
Ck+1(x, ε) = G0(x)Zk+1(x, ε) + G1(x)Zk(x, 0).
З явного вигляду матриць Ci(x), Ck+1(x, ε) випливає, що матрицi
Ci(x), Ck+1(x, ε), i = 1, k є голоморфними при |x| ≤ x0 i матриця
Ck+1(x, ε) має неперервну похiдну за змiнною ε при (x, ε) ∈ J.
Враховуючи [3] i обмеженiсть матрицi Ck+1(x, ε) при (x, ε) ∈ J
випливає iз рiвностi (1.56), що ряд
∑∞
s=0 εsCs(x) є рiвномiрним при
|x| ≤ x0 асимптотичним розвиненням при ε → 0 i |ε| ≤ ε0 матрицi
C(x, ε) i має мiсце нерiвнiсть
∥
∥
∥
∥
C(x, ε) −
k
∑
n=0
εnCn(x)
∥
∥
∥
∥
≤ M |ε|k+1, |x| ≤ x0, |ε| ≤ ε0, (1.57)
де M = sup(x,ε)∈J ‖Ck+1(x, ε)‖.
Пiдставляючи явний вигляд матрицi K(ε) i вигляд блочної матри-
цi C(x, ε) = (Cml(x, ε)), m, l = 1, 2 в диференцiальне рiвняння (1.9),
в рiвнiсть (1.56) i нерiвнiсть (1.57), одержимо, що диференцiальне
рiвняння (1.9) має вигляд (1.4) i мають мiсце (1.5), (1.6).
Теорема доведена.
Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з малим параме-
тром при частинi похiдних вигляду (1.4), в якому матрицi Cml(x, ε),
m, l = 1, 2 мають зображення (1.5), а також x — комплексне i |x| ≤
x0; ε0 — малий дiйсний параметр i |ε| ≤ ε0. Згiдно умов 1)–3) i методу
iз [3] систему (1.4) можна привести до системи, з матрицею рiвняння
Ейрi.
Будемо вважати, що
C220 =
(
0 1
x 0
)
, trC221(x) = trC110(x) = 0.
Тодi до системи (1.4) можна застосувати метод iз [14]. Звiдки випли-
ває, що система диференцiальних рiвнянь з малим параметром при
частинi похiдних з точкою звороту зводиться до системи простiшо-
го вигляду, доведення нескiнченної диференцiйовностi залежних вiд
параметру матриць отриманої системи, доведення iснування її непе-
рервного розв’язку, а також доведення нескiнченної диференцiйовно-
стi матрицi перетворення.
Висновки
Таким чином, для системи диференцiальних рiвнянь з малим па-
раметром при частинi похiдних з лiнiйним вiдхиленням аргументу i
I. Г. Ключник, Г. В. Завiзiон 353
точкою звороту, одержанi умови, при яких її розв’язки — це розв’язки
системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi
похiдних. Причому матрицi системи диференцiальних рiвнянь мають
асимптотичнi розвинення при |ε| ≤ ε0 з коефiцiєнтами, голоморфни-
ми при |x| ≤ x0 i, до системи (1.4) можна застосувати результати
iз [14].
Лiтература
[1] R. E. Langer, The asymptotic solutions of a linear differential equations of the
second order with two turning points // Trans. Amer. Math. Soc., 90 (1959),
113–142.
[2] R. E. Langer, The solutions of the differential equations v′′′
+λ2zv′
+3µλ2v = 0 //
Duke Math. J., 22 (1955), 525–542.
[3] В. Вазов, Асимптотические разложения решений обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, М.: Мир, 1968, 464 с.
[4] W. Wasow, Linear turning point theory, Springer–Verlag New York Ins., 1985,
243 p.
[5] А. А. Дородницын, Асимптотические законы распределения собственных
значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго
порядка // УМН, 27 (1952), вып. 6(52), 3–96.
[6] М. Ф. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1983, 352 с.
[7] С. А. Ломов, Введение в общую теорию сингулярных возмущений, М.: Наука,
1981, 398 с.
[8] А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых
задач, М.: Наука, 1989, 336 с.
[9] А. Найфэ, Методы возмущений, М.: Мир, 1976, 456 с.
[10] Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, М.: Наука, 1990, 528 с.
[11] В. К. Дзядык, Некоторые специальные функции и их роль при решений нео-
днородных дифференциальных уравнений, в кн. Теория функций и её прило-
жение, Киев: Наукова думка, 1979, 61–81.
[12] Н. И. Шкиль, О периодических решениях систем линейных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка // Archivum mathematicum, Brno., 23 (1987),
N 1, 53–62.
[13] А. М. Самойленко, Об асимптотическом интегрировании одной системы
линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при части
производных // УМЖ, 54 (2002), N 11, 1505–1516.
[14] А. М. Самойленко, I. Г. Ключник, Про асимптотичне iнтегрування лiнiйної
системи диференцiальних рiвнянь з малим параметром при частинi похi-
дних // Нелiнiйнi коливання, 12 (2009), N 2, 208–234.
[15] I. Г. Ключник, Асимптотичнi розв’язки системи диференцiальних рiвнянь
з кратною звороту // Укр. мат. журн., 61 (2009), N 11, 1516–1530.
[16] I. Г. Ключник, Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь з точкою зворо-
ту // Укр. мат. журн., 62 (2010), N 5, 625–642.
354 Лiнiйна система диференцiальних рiвнянь...
[17] А. М. Самойленко, Об одной задаче исследования глобальных решений линей-
ных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Укр.
мат. журн., 55 (2003), N 5, 631–640.
Вiдомостi про авторiв
Iнна Геннадiївна
Ключник
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
вул. Володимирська, 64,
Київ, 01033
Україна
E-Mail: Klyuchnyk.i@mail.ru
Геннадiй
Вiталiйович
Завiзiон
Кiровоградський державний
педагогiчний унiверситет
iм. Володимира Винниченка
вул. Шевченка, 1,
Кiровоград, 25006
Україна
E-Mail: ZavizionG@mail.ru
|