О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах
Изучается проблема обращения локального преобразования Помпейю на симметрических пространствах X некомпактного типа ранга один. Получено восстановление функции в шаре BR ⊂ X, если известны ее средние по всем шарам двух фиксированных радиусов из BR....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124399 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах / В.В. Волчков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 453-466. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124399 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волчков, В.В. 2017-09-24T17:34:57Z 2017-09-24T17:34:57Z 2010 О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах / В.В. Волчков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 453-466. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 26B15, 43A85, 44A15, 53C65, 53C35. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124399 Изучается проблема обращения локального преобразования Помпейю на симметрических пространствах X некомпактного типа ранга один. Получено восстановление функции в шаре BR ⊂ X, если известны ее средние по всем шарам двух фиксированных радиусов из BR. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| spellingShingle |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах Волчков, В.В. |
| title_short |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| title_full |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| title_fullStr |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| title_full_unstemmed |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| title_sort |
о функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах |
| author |
Волчков, В.В. |
| author_facet |
Волчков, В.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Изучается проблема обращения локального преобразования Помпейю на симметрических пространствах X некомпактного типа ранга один. Получено восстановление функции в шаре BR ⊂ X, если известны ее средние по всем шарам двух фиксированных радиусов из BR.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124399 |
| citation_txt |
О функциях с заданными шаровыми средними на симметрических пространствах / В.В. Волчков // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 4. — С. 453-466. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv ofunkciâhszadannymišarovymisredniminasimmetričeskihprostranstvah |
| first_indexed |
2025-11-25T21:20:40Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:20:40Z |
| _version_ |
1850556942118813696 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 4, 453 – 466
О функциях с заданными шаровыми средними
на симметрических пространствах
Виталий В. Волчков
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Изучается проблема обращения локального преобра-
зования Помпейю на симметрических пространствах X некомпакт-
ного типа ранга один. Получено восстановление функции в шаре
BR ⊂ X, если известны ее средние по всем шарам двух фиксирован-
ных радиусов из BR.
2010 MSC. 26B15, 43A85, 44A15, 53C65, 53C35.
Ключевые слова и фразы. Преобразование Помпейю, теоремы о
двух радиусах, симметрические пространства.
Введение
Пусть X — евклидово или симметрическое пространство неком-
пактного типа ранга один [1, гл. 1, § 4, п. 3], G — группа изометрий
X, F = {Ti}s
i=1 — заданное семейство распределений с компактным
носителем в X. При фиксированном g ∈ G рассмотрим распределе-
ние gTi, действующее на C∞ (X) по правилу 〈gTi, f〉 = 〈Ti, f ◦ g−1〉,
f ∈ C∞ (X). Для любого открытого множества U ⊂ X такого, что
каждое из множеств Λ (U , Ti) = {g ∈ G : supp gTi ⊂ U}, i = 1, . . . , s,
непусто, преобразование Помпейю PF ,U отображает C∞ (U) в декар-
тово произведение C∞ (Λ (U , T1)) × · · · × C∞ (Λ (U , Ts)) следующим
образом: PF ,U (f) = (f1, . . . , fs) , где fi(g) = 〈gTi, f〉, g ∈ Λ (U , Ti),
i = 1, . . . , s. Для заданных F и U возникают следующие проблемы
(см., например, [2, § 3]):
(i) выяснить, является ли преобразование PF ,U инъективным, и
если не является , то описать его ядро;
(ii) если PF ,U инъективно, то найти обратное отображение.
Статья поступила в редакцию 9.11.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
454 О функциях с заданными шаровыми средними...
Помимо самостоятельного интереса, эти задачи имеют глубокие
связи с периодичностью в среднем, теорией гармонических функций,
рядами экспонент, теорией аппроксимации, микролокальным анали-
зом, с оценками плотности упаковок в комбинаторной геометрии, а
также различными вопросами комплексного анализа, теории диффе-
ренциальных уравнений в частных производных, теории отображе-
ний, сохраняющих меру, и теории графов (см. обзоры [2–6], а так-
же [7]).
Следуя классическим работам Минковского, Функа, Радона и
Помпейю (см., например, [8, Приложение, п. 6], [2, § 3]), многие ав-
торы изучали проблемы (i), (ii), когда Ti равно χri
или σri
, где χri
является индикатором открытого шара Bri
радиуса ri, а σri
— по-
верхностная дельта-функция сферы ∂Bri
, i = 1, . . . , s. Однако, даже
в этих модельных случаях полное решение сформулированных задач
далеко от завершения и известно лишь при s = 1 [7, часть 2], [9]. Боль-
шой интерес представляет изучение случая F = {χr1
, χr2
} и U = BR.
Необходимые и достаточные условия инъективности P{χr1
,χr2
},BR
уже
получены и состоят в следующем [7, часть 2], [9]: преобразование
P{χr1
,χr2
},BR
инъективно в том и только том случае, когда R > r1 +r2
и множество N(r1, r2) общих положительных нулей сферических пре-
образований индикаторов χri
является пустым. Проблема обраще-
ния P{χr1
,χr2
},BR
является более сложной и была решена лишь для
классических пространств X [10–14]. В данной работе мы рассматри-
ваем случай произвольного симметрического пространства некомпа-
ктного типа ранга один. Отметим, что в отличие от работ [10–14]
принципиальную роль при этом играет техника, развитая автором
в [15, часть 1]. В частности, мы существенно используем реализации
X, найденные в [15, часть 1, гл. 2]. Кроме того, в наших построени-
ях важное значение имеет интерпретация неприводимых компонент
квазирегулярного представления групп, транзитивных на сферах, по-
лученная в [15, часть 1, гл. 4], а также явные представления для ин-
тегралов Эйзенштейна из [15, часть 1, гл. 5].
1. Обозначения
В работе используются следующие стандартные обозначения: R,
C, N, Z, Z+ — соответственно множества вещественных, комплекс-
ных, натуральных, целых и целых неотрицательных чисел; [t] — це-
лая часть числа t ∈ R; λ — комплексное сопряжение к числу λ ∈ C;
(λ)l — символ Похгаммера ((λ)0 = 1 и (λ)l = λ(λ+1) · · · (λ+ l−1) при
l ∈ N); δ0 — дельта-функция в нуле; Γ — гамма-функция; F (a, b; c; z) —
Вит. В. Волчков 455
гипергеометрическая функция Гаусса;
ϕ
(α,β)
λ (t) = F ((α+ β + 1 + iλ)/2, (α+ β + 1 − iλ)/2;α+ 1;−(sh t)2).
Пусть X — симметрическое пространство некомпактного типа
ранга один. Дальнейшие построения опираются на классификацию
пространств X и их реализации. Как известно (см. [1, гл. 1, § 4, п. 3]),
все такие пространства состоят из гиперболических пространств Hn
K
(K обозначает поля R, C, или тело кватернионов Q) и гиперболиче-
ской плоскости Кэли H2
Ca. Будем считать, что максимум секционной
кривизны X равен −1. Тогда X можно рассматривать как риманово
многообразие (D, ds2), где область D и риманова метрика ds2 задают-
ся следующим образом (см. [15, часть 1, гл. 2]):
1) X = Hn
R: D = {x ∈ Rn : |x| < 1}, ds2 = (1 − |x|2)−2|dx|2;
2) X = Hn
C: D = {z ∈ Cn : |z| < 1},
ds2 = (1 − |z|2)−1|dz|2 + (1 − |z|2)−2F1(z, dz),
где
F1(z, dz) =
n∑
i,j=1
zizj dzi dzj ;
3) X = Hn
Q: D = {z ∈ C2n : |z| < 1},
ds2 = (1 − |z|2)−1|dz|2 + (1 − |z|2)−2F2(z, dz),
где
F2(z, dz) =
n∑
i,j=1
((
zizj + zn+izn+j
)
dzi dzj
+
(
zizn+j − zn+izj
)
dzi dzn+j +
(
zn+izj − zizn+j
)
dzn+i dzj
+
(
zizj + zn+izn+j
)
dzn+i dzn+j
)
;
4) X = H2
Ca: D = {x ∈ R16 : |x| < 1},
ds2 = (1 − |x|2)−1|dx|2 + 2−1(1 − |x|2)−2F3(x, dx),
где
F3(x, dx) =
16∑
i,j=1
∂2
∂yi∂yj
(
Φ(x, y)
)
dxi dxj ,
Φ(x, y) = 2
(
p1(x)p1(y) + · · · + p8(x)p8(y)
)
+ p9(x)p9(y) + p10(x)p10(y),
p1(x) = x1x2−x3x4−x5x6−x7x8−x9x10−x11x12−x13x14−x15x16,
456 О функциях с заданными шаровыми средними...
p2(x) = x1x4−x9x12−x5x8−x13x16+x3x2+x11x10+x7x6+x15x14,
p3(x) = x1x6−x9x14+x5x2+x13x10+x3x8+x11x16−x7x4−x15x12,
p4(x) = x1x8+x9x16+x5x4−x13x12−x3x6+x11x14+x7x2−x15x10,
p5(x) = x1x10+x9x2+x5x14−x13x6+x3x12−x11x4−x7x16+x15x8,
p6(x) = x1x12+x9x4−x5x16+x13x8−x3x10+x11x2−x7x14+x15x6,
p7(x) = x1x14+x9x6−x5x10+x13x2+x3x16−x11x8+x7x12−x15x4,
p8(x) = x1x16−x9x8+x5x12+x13x4−x3x14−x11x6+x7x10+x15x2,
p9(x) = x2
1 + x2
3 + · · · + x2
15, p10(x) = x2
2 + x2
4 + · · · + x2
16.
Отметим, что многочлены p1, . . . , p8 и форма Φ(x, y) наглядно интер-
претируются в терминах чисел Кэли (см. [15, часть 1, гл. 1, п. 1.1]).
Расстояние на X в указанных выше моделях определяется равен-
ством
d(0, x) = arth |x|, x ∈ X (1.1)
и условием инвариантности d относительно группы изометрий G про-
странства X. Пусть aX — вещественная размерность X. Соотноше-
ние (1.1) показывает, что геодезический шар BR =
{
x ∈ X : d(0, x) <
R
}
совпадает с открытым евклидовым шаром из RaX с центром в
нуле и радиусом thR.
Положим αX = −1+aX/2, а βX = n/2−1, 0, 1, 3, соответственно,
в каждом из следующих четырех случаев:
1) X = Hn
R;
2) X = Hn
C;
3) X = Hn
Q;
4) X = H2
Ca.
Риманова мера на X имеет вид
dµ(x) = (1 − |x|2)−ρX−1dx, (1.2)
где dx — мера Лебега в RaX , ρX = αX + βX + 1. Площадь сферы
радиуса r в X равна
AX(r) = bX(sh r)2αX+1(ch r)2βX+1, где bX =
2πaX/2
Γ(aX/2)
.
Вит. В. Волчков 457
2. Формулировка основного результата
Пусть k ∈ Z+ и m ∈
{
0, . . . ,MX(k)
}
, где
MX(k) =
{
0, X = Hn
R
[k/2] , X 6= Hn
R.
Определим Hk,m
X = Hk
aX
в случае X = Hn
R и
Hk,m
X =
{
f ∈ Hk
aX
: (Lf)(x) = 4(βX −m)(k −m)(1 − |x|2)f(x)
}
в случае X 6= Hn
R, где Hk
aX
— пространство однородных гармониче-
ских многочленов степени k в RaX , L — оператор Лапласа–Бельтрами
на X. Обозначим через O(aX) ортогональную группу в RaX . По-
сле отождествления Hk,m
X с пространством сужений его элементов
на сферу SaX−1 = {x ∈ RaX : |x| = 1}, Hk,m
X становится инва-
риантным подпространством квазирегулярного представления T(τ)
группы K = G ∩ O(aX) на L2
(
SaX−1
)
. Если Tk,m(τ) — сужение T(τ)
на Hk,m
X , то T(τ) является ортогональной прямой суммой попарно
неэквивалентных неприводимых унитарных представлений Tk,m(τ),
k ∈ Z+, m ∈
{
0, . . . ,MX(k)
}
(см. [15, часть 1, гл. 4]).
Произвольная точка x ∈ RaX \{0} представима в виде x = ̺σ, где
̺ = |x|, σ = x/|x|. Всякой функции f ∈ L1,loc(BR) соответствует ряд
Фурье
f(x) ∼
∞∑
k=0
MX(k)∑
m=0
dk,m
X∑
j=1
fk,m,j(̺)Y
k,m
j (σ), (2.3)
где dk,m
X — размерность Hk,m
X , {Y k,m
j } — фиксированный ортонор-
мированный базис в Hk,m
X относительно поверхностной меры dω на
SaX−1 и
fk,m,j(̺) =
∫
SaX−1
f(̺σ)Y k,m
j (σ) dω(σ). (2.4)
Далее будем считать, что Y 0,0
1 = 1/
√
bX . Если f ∈ C∞(BR), то ряд
(2.3) сходится к f в пространстве C∞(BR). Таким образом, восста-
новление функции f сводится к нахождению коэффициентов fk,m,j .
Основным результатом данной работы является следующая тео-
рема.
Теорема 2.1. Пусть r1, r2 > 0, N(r1, r2) = ∅ и r1+r2 < R. Тогда для
любых k ∈ Z+, m ∈
{
0, . . . ,MX(k)
}
, j ∈ {1, . . . , dk,m
X } и r ∈ (0, R) су-
ществуют распределения {Vl,i} (l ∈ N, i = 1, 2) с компактными носи-
телями в BR−ri
такие, что для произвольной функции f ∈ C∞(BR)
458 О функциях с заданными шаровыми средними...
имеет место равенство
fk,m,j(th r) = lim
l→∞
(〈Vl,1, f × χr1
〉 + 〈Vl,2, f × χr2
〉) ,
где символ × обозначает свертку на X.
Сделаем несколько замечаний. Построение распределений Vl,i яв-
ляется довольно сложным. Их явный вид содержится в доказатель-
стве теоремы 2.1 (см. § 4 ниже). Поскольку f × χr является средним
по шару радиуса r, в теореме 2.1 содержится конструкция восста-
новления функции по ее шаровым средним на X. Отметим также,
что метод доказательства теоремы 2.1 позволяет получить подобные
утверждения и для других семейств распределений на X (см. [14]).
3. Вспомогательные утверждения
Пусть T — распределение (соответственно, радиальное распреде-
ление) с компактным носителем на X. Как обычно, обозначим через
T̃ его преобразование Фурье (соответственно, сферическое преобра-
зование) (см. [15, часть 2, гл. 10]).
Лемма 3.1. Пусть
Tr,k,m(x) =
{
h
(
th2 r−|x|2
1−|x|2
)
χr(x), если k ∈ N
σr(x), если k = 0,
где
h(t) =
2Γ(αX + k + 1)
Γ(k)Γ(αX + 1)
(th r)tk−1F (k −m+ βX ,m; k; t).
Тогда
T̃r,k,m(λ) = bX(sh r)2αX+2k+1(ch r)2βX+1−2mϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (r). (3.5)
Доказательство. При k = 0 соотношение (3.5) легко следует из опре-
деления сферического преобразования. Предположим теперь, что k ∈
N. В этом случае мы имеем (см. [16, 2.9 (3)])
T̃r,k,m(λ) =
∫
Br
h
(
th2 r − |x|2
1 − |x|2
)
(1 − |x|2)νX(λ)
× F (νX(λ), νX(λ) − βX ;αX + 1; |x|2) dµ(x)
= bX
r∫
0
h
(
th2 r − th2 t
1 − th2 t
)
F (νX(λ), νX(−λ);αX + 1;− sh2 t)
× (sh t)2αX+1(ch t)2βX+1dt, (3.6)
Вит. В. Волчков 459
где νX(λ) = (ρX + iλ)/2. Делая в (3.6) замену u = sh2 t/sh2 r, полу-
чаем
T̃r,k,m(λ) =
bX(sh r)2αX+2
2
1∫
0
h((1 − u) th2 r)
× F (νX(λ), νX (−λ);αX + 1; εu)uαX (1 − εu)βXdu,
где ε = − sh2 r. Отсюда и из [16, 2.9 (2), 2.8 (22)] имеем
T̃r,k,m(λ) =
bX(sh r)2αX+2
2
1∫
0
F (νX(λ)−βX , νX(−λ)−βX ;αX +1; εu)
× h((1 − u) th2 r)uαXdu =
bX(sh r)2αX+2
2(αX + 1)k−m
1∫
0
h((1 − u) th2 r)
( d
du
)k−m
× (uαX+k−mF (νX(λ) − βX , νX(−λ) − βX ;αX + k −m+ 1; εu)) du.
(3.7)
Поскольку F (−α, β;β;−λ) = (1 + λ)α, повторное интегрирование по
частям в (3.7) и применение [16, 2.8 (22)] дает при m > 1 и m = 0,
соответственно, следующие равенства
T̃r,k,m(λ) =
bXΓ(αX + k + 1)
Γ(m)Γ(αX + k −m+ 1)
(sh r)2αX+2k+1
× (ch r)2βX+1−2m
1∫
0
uαX+k−m(1 − u)m−1(1 − εu)−k+m−βX
× F (νX(λ) − βX , νX(−λ) − βX ;αX + k −m+ 1; εu) du,
T̃r,k,m(λ) = bX(sh r)2αX+2k+1(ch r)1−2k
× F (νX(λ) − βX , νX(−λ) − βX ;αX + k + 1;− sh2 r).
Теперь используя [16, 2.9 (2), 2.4 (2)], мы завершаем доказательство.
Лемма 3.2. При H ∈ Hk,m
X имеет место равенство
H̃(∂)δ0(λ, ξ) = (−2)k(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)mH(ξ). (3.8)
460 О функциях с заданными шаровыми средними...
Доказательство. По определению преобразования Фурье на X
H̃(∂)δ0(λ, ξ) = (−1)kH(∂)((1 − |x|2)−ρX−1eX,λ,ξ(x))|x=0, (3.9)
где eX,λ,ξ — “экспонента” на X (см. [15, часть 1, гл. 5]). Ввиду [15,
часть 1, гл. 5, лемма 5.1], равенство (3.9) можно переписать в виде
H̃(∂)δ0(λ, ξ) = (H(∂)eX,λ,ξ)(0)(−1)k. Соотношение (3.8) теперь следу-
ет из [15, часть 1, леммы 5.2–5.6].
Лемма 3.3. Если H ∈ Hk,m
X , то
Hσr =
1
(−2)k(αX + 1)k
(H(∂)δ0) × Tr,k,m. (3.10)
Доказательство. Из определения преобразования Фурье и [15,
часть 1, формулы (5.21), (5.23), (5.40), (5.42)] имеем
H̃σr(λ, ξ)
=
∫
SaX−1
H((th r)η)eX,λ,ξ((th r)η) dω(η)(sh r)2αX+1(ch r)2βX+1
=
bX
(αX + 1)k
(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m(sh r)2αX+2k+1
× (ch r)2βX+1−2k(1 − th2 r)νX(λ)
× F (νX(λ) + k −m, νX(−λ) +m− βX ;αX + k + 1; th2 r)H(ξ). (3.11)
Отсюда (см. [16, 2.9 (3)])
H̃σr(λ, ξ) =
bX
(αX + 1)k
(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m
× (sh r)2αX+2k+1(ch r)2βX+1−2mϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (r)H(ξ). (3.12)
Комбинируя (3.12), (3.5) и (3.8), получаем
H̃σr(λ, ξ) =
1
(−2)k(αX + 1)k
H̃(∂)δ0(λ, ξ)T̃r,k,m(λ)
=
1
(−2)k(αX + 1)k
(H(∂)δ0 × Tr,k,m)∼(λ, ξ).
Это доказывает (3.10).
Следствие 3.1. Пусть f ∈ C∞(BR). Тогда
fk,m,j(th r) =
(sh r)−2αX−k−1(ch r)k−1−2βX
(−2)k(αX + 1)k
〈(Y k,m
j (∂)δ0) × Tr,k,m, f〉.
(3.13)
Вит. В. Волчков 461
Доказательство. Требуемое соотношение выводится из (2.4), (3.10)
с помощью простых преобразований.
Лемма 3.4. Функция ϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (r) удовлетворяет нера-
венству
|ϕ(αX+k,βX+k−2m)
λ (r)| 6
(αX + 1)k
(sh r)k(ch r)k−2m
e(ρX+| Im λ|)r
|(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m| .
(3.14)
Доказательство. Возьмем H ∈ Hk,m
X \ {0} и выберем ζ ∈ SaX−1 так,
что max{|H(η)| : η ∈ SaX−1} = |H(ζ)|. Сравнивая (3.11) с (3.12),
имеем
ϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (r)
=
(αX + 1)k
bX(sh r)k(ch r)k−2m
1
(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m
×
∫
SaX−1
eX,λ,η((th r)ζ)
H(η)
H(ζ)
dω(η). (3.15)
Используя определение eX,λ,ξ, легко проверить, что
|eX,λ,ξ(x)| 6 e(ρX+| Im λ|)arth|x|, x ∈ X, ξ ∈ SaX−1. (3.16)
Соотношения (3.15) и (3.16) влекут (3.14).
Лемма 3.5. Пусть
ϕ(λ) = ϕ
(αX+1,βX+1)
λ (a1)ϕ
(αX+1,βX+1)
λ (a2)ϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (a3),
где a1, a2, a3 — положительные числа. Тогда существуют положи-
тельные константы c1 и c2, не зависящие от λ, со следующими
свойствами:
1) если | Imλ| > 1 и |λ| > c2, то
|ϕ(λ)| >
c1
|λ|3αX+k+7/2
e(a1+a2+a3)|∈λ|; (3.17)
2) для любого целого l > c2 существует ̺l ∈ (l, l + 1) такое, что
оценка (3.17) справедлива на окружности |λ| = ̺l.
Кроме того, если δ > 0 и a1, a2, a3 ∈ [δ, δ−1] , то c1, c2 можно
выбрать зависящими только от δ, k,m, αX , βX .
462 О функциях с заданными шаровыми средними...
Доказательство. Достаточно установить 1) и 2) при Reλ > 0, по-
скольку функция ϕ является четной. В этом случае мы имеем
ϕ(λ) = cλ−3αX−k−7/2 cos(a1λ− π
4
(2αX + 3)) cos(a2λ− π
4
(2αX + 3))
× cos(a3λ− π
4
(2αX + 2k + 1)) +O(|λ|−3αX−k−9/2e(a1+a2+a3)| Im λ|),
где
c =
23αX+k+ 7
2 Γ(αX + k + 1)(Γ(αX + 2))2
π
3
2 (ch a1 ch a2)ρX+2(ch a3)ρX+2k−2m(th a1 th a2)
αX+ 3
2 (th a3)
αX+k+ 1
2
(см. [16, 2.3 (17)]). Теперь применяя неравенство Лоясевич (см., на-
пример, [10]), нетрудно получить требуемое утверждение.
Лемма 3.6. Пусть r1, r2 > 0, N(r1, r2) = ∅, r1 +r2 < R, {εM}∞M=1 —
строго возрастающая последовательность положительных чисел с
пределом R/(r1+r2)−1, RM = (r1+r2)(1+εM ), R0 = 0. Тогда для лю-
бых k ∈ Z+, m ∈ {0, . . . ,MX(k)}, M ∈ N и r ∈ [RM−1, RM ) существу-
ют две последовательности радиальных распределений {µl,1}, {µl,2}
со следующими свойствами:
1) suppµl,i ⊂ BRM−ri
, i = 1, 2;
2) существуют положительные константы c3 = c3(k,m, r1, r2,
R, ε1, αX , βX) и c4 = c4(r1, r2, R, ε1, αX , βX), зависящие от ука-
занных параметров, такие, что для всех l > c3
|Gk,m(λ, r) −G1,0(λ, r1)µ̃l,1(λ) −G1,0(λ, r2)µ̃l,2(λ)|
6
c4
l
1
(sh r)k(ch r)k−2m
‖ λ ‖s eRM | Im λ|
|(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m| , (3.18)
где Gk,m(λ, r) = ϕ
(αX+k,βX+k−2m)
λ (r)/Γ(αX + k + 1),
‖λ‖ = max(1, |λ|), s = [3αX + 9/2].
Доказательство. Будем использовать обозначения из леммы 3.5 при
a1 = r1, a2 = r2, a3 = ε′M = (r1 + r2)εM . Рассмотрим четную целую
функцию
hl(λ) =
1
2πi
∫
|ζ|=ρl
Gk,m(ζ, r)
ζs+1θ(ζ)
ζs+1θ(ζ) − λs+1θ(λ)
ζ − λ
dζ, l > c2, (3.19)
Вит. В. Волчков 463
где θ(λ) = ϕ(λ)/
(
Γ(αX + k + 1)Γ2(αX + 2)
)
. По формуле Коши
hl(λ) +
1
2πi
λs+1θ(λ)
∫
|ζ|=ρl
Gk,m(ζ, r)
ζs+1θ(ζ)
dζ
ζ − λ
=
{
Gk,m(λ, r), |λ| < ρl
0, |λ| > ρl.
(3.20)
Используя (3.19), (3.20), (3.14) и (3.17), находим положительные кон-
станты c3 = c3(k,m, r1, r2, R, ε1, αX , βX) и c4 = c4(r1, r2, R, ε1, αX , βX)
такие, что
|hl(λ) −Gk,m(λ, r)| 6
c4
l
1
(sh r)k(ch r)k−2m
‖ λ ‖s eRM | Im λ|
|(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m|
(3.21)
для всех l > c3. Теперь достаточно показать, что hl можно предста-
вить в виде hl(λ) = G1,0(λ, r1)µ̃l,1(λ) +G1,0(λ, r2)µ̃l,2(λ), где µl,i — не-
которые радиальные распределения с носителем в шаре BRM−ri
, i =
1, 2. Положим
hl,1(λ) =
∑
α∈E1,
|α|<ρl
Gk,m(λ, ε′M )Gk,m(α, r)
(λ− α)αs+1G1,0(λ, r1)G1,0(λ, r2)
×
( d
dζ
(
Gk,m(ζ, ε′M )
) ∣∣∣
ζ=α
)−1
,
hl,i(λ) =
∑
α∈Ei,
|α|<ρl
G1,0(λ,ri−1)Gk,m(α,r)
(λ−α)αs+1G1,0(α,r4−i)Gk,m(α,ε′
M
)
(
d
dζ (G1,0(ζ, ri−1))|ζ=α
)−1
,
i = 2, 3
∑
α∈Ei,
|α|<ρl
G1,0(λ, ri−3)Gk,m(λ, ε′M ) d
dζ
( (ζ−α)2Gk,m(ζ,r)
ζs+2θ(ζ)(λ−ζ)
)
|ζ=α,
i = 4, 5,
где
E1 = N (αX + k, βX + k − 2m, ε′M )\(N (αX + 1, βX + 1, r1)
∪N (αX + 1, βX + 1, r2)),
Ei =
N (αX + 1, βX + 1, ri−1)\N (αX + k, βX + k − 2m, ε′M ),
i = 2, 3
N (αX + 1, βX + 1, ri−3) ∩N (αX + k, βX + k − 2m, ε′M ),
i = 4, 5
464 О функциях с заданными шаровыми средними...
и N (α, β, t) — множество нулей λ функции ϕα,β
λ (t). По теореме о выче-
тах
hl(λ) = G1,0(λ, r1)f1(λ) +G1,0(λ, r2)f2(λ),
где f1(λ) = λs+1(Gk,m(λ, ε′M )hl,3(λ) +G1,0(λ, r2)hl,1(λ) + hl,5(λ)),
f2(λ) = (Gk,m(λ, ε′M )hl,2(λ) + hl,4(λ))λs+1 +G1,0(λ, r1)Gk,m(λ, ε′M )
× Res
(
Gk,m(ζ, r)(ζs+1θ(ζ))
−1
(λs + λs−1ζ + · · · + ζs)
)
|ζ=0.
Определяя по теореме Винера–Пэли µl,i соотношением µ̃l,i(λ) = fi(λ),
λ ∈ C, получаем требуемое представление. Таким образом, лемма 3.6
доказана.
4. Доказательство теоремы 2.1
Рассмотрим радиальные распределения µl,i из (3.18). Положим
Vl,i = γi(Y
k,m
j (∂)δ0) × µl,i,
где γi = (sh r)k(ch r)k−2m(2k−1(sh ri)
2αX+2(ch ri)
2βX+2)−1(−1)k. Ис-
пользуя (3.13), находим
fk,m,j(th r)−〈Vl,1, f×χr1
〉−〈Vl,2, f×χr2
〉 = 〈(Y k,m
j (∂)δ0)×Ul, f〉, (4.22)
где
Ul = (sh r)−2αX−k−1(ch r)k−2βX−1(−2)−k((αX + 1)k)
−1Tr,k,m
− γ1 µl,1 × χr1
− γ2 µl,2 × χr2
.
Из (3.5) и (3.18) имеем
|Ũl(λ)| 6
παX+1
2k−1
c4
l
‖λ‖seRM | Im λ|
|(νX(λ))k−m(νX(λ) − βX)m| (4.23)
при l > c3. Рассмотрим радиальную функцию ψM со следующими
свойствами (см., например, [17, гл. 4, п. 4.5]):
1) ψM ∈ C∞(X);
2) ψM = 1 в B 1
3
R+ 2
3
RM
;
3) suppψM = BR′
M
;
4) max |
(
∂
∂x
)α
ψM (p)| 6
cj(R)
(R−RM )j при x ∈ BR′
M
и |α| 6 j.
Вит. В. Волчков 465
Применим к ψMf формулу обращения для преобразования Фурье на
X (см. [15, часть 2, гл. 10]) и используем (3.8), (4.22) и (4.23). Тогда
получим, что для l > c3 и любой функции f ∈ C∞(BR) имеет место
оценка
|fk,m,j(th r) − 〈Vl,1, f × χr1
〉 − 〈Vl,2, f × χr2
〉|
6
c5
l
1
(R−RM )2N
max
∣∣∣
( ∂
∂x
)α
f(x)
∣∣∣,
где N = [1 + [5αX + 13/2]/2], R′
M = (2R + RM )/3, максимум бе-
рется по x ∈ BR′
M
и |α| 6 2N , а константа c5 зависит только от
r1, r2, R, ε1, αX , βX . Отсюда получаем утверждение теоремы 2.1.
Литература
[1] С. Хелгасон, Группы и геометрический анализ, Мир, М., 1987.
[2] К. А. Беренстейн, Д. Струппа, Комплексный анализ и уравнения в свёр-
тках // Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. направления,
ВИНИТИ, М., 54 (1989), 5–111.
[3] L. Zalcman, A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation
by solutions of partial differential equations (ed. Fuglede B. et. al), Kluwer,
Dordrecht, (1992), 185–194.
[4] L. Zalcman, Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu
problem” // Contemp. Math. / Radon Transform and Tomography, 278 (2001),
69–74.
[5] I. Netuka, J. Vesely, Mean value property and harmonic functions // Classical and
modern potential theory and applications, Kluwer, Dordrecht, (1994), 359–398.
[6] В. В. Волчков, Вит. В. Волчков, Экстремальные задачи интегральной гео-
метрии // Математика сегодня, 12 (2001), 51—79.
[7] V. V. Volchkov, Integral geometry and convolution equations, Kluwer, Dordrecht,
2003.
[8] С. Хелгасон, Преобразование Радона, Мир, М., 1983.
[9] В. В. Волчков, Локальная теорема о двух радиусах на симметрических про-
странствах // Матем. сб., 198:11 (2007), 21–46.
[10] C. A. Berenstein, R. Gay, A. Yger, Inversion of the local Pompeiu transform //
J. Analyse Math., 54 (1990), 259–287.
[11] M. El Harchaoui, Inversion de la transformation de Pompéiu locale dans les
espaces hyperboliques réel et complexe (Cas de deux boules) // J. Analyse Math.,
67 (1995), 1–37.
[12] M. Berkani, M. El Harchaoui, R. Gay, Inversion de la transformation de Pompéiu
locale dans l’espace hyperbolique quaternique — Cas des deux boules // J. Complex
Variables, 43 (2000), 29–57.
[13] Вит. В. Волчков, Н. П. Волчкова, Обращение локального преобразования
Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве // Докл. РАН,
379:5 (2001), 587–590.
466 О функциях с заданными шаровыми средними...
[14] Вит. В. Волчков, Н. П. Волчкова, Теоремы об обращении локального пре-
образования Помпейю на кватернионном гиперболическом пространстве //
Алгебра и анализ, 15:5 (2003), 169–197.
[15] V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Harmonic analysis of mean periodic functions
on symmetric spaces and the Heisenberg group, Springer-Verlag, London, 2009.
[16] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, I, II: Наука, М.,
1973.
[17] Г. Бремерман, Распределения, комплексные переменные и преобразования
Фурье, Мир, М., 1968.
Сведения об авторах
Виталий
Владимирович
Волчков
Донецкий национальный университет
Университетская 24,
Донецк, 34001,
Украина
E-Mail: valeriyvolchkov@gmail.com
|