О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов
Для плюс-операторов в банаховом индефинитном пространстве рассмотрено дробно-линейное отношение. Описаны классы операторов, для которых область определения такого отношения пуста. Даны условия достаточные (и в некотором смысле и необходимые) для выполнения цепного правила....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124409 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 1-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859650600965242880 |
|---|---|
| author | Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. |
| author_facet | Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. |
| citation_txt | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 1-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Для плюс-операторов в банаховом индефинитном пространстве рассмотрено дробно-линейное отношение. Описаны классы операторов, для которых область определения такого отношения пуста. Даны условия достаточные (и в некотором смысле и необходимые) для выполнения цепного правила.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:33:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 1, 1 – 16
О дробно-линейных отношениях и образах
угловых операторов
Томас Азизов, Виктор Хацкевич,
Валерий Сендеров
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Для плюс-операторов в банаховом индефинитном
пространстве рассмотрено дробно-линейное отношение. Описаны
классы операторов, для которых область определения такого отно-
шения пуста. Даны условия достаточные (и в некотором смысле и
необходимые) для выполнения цепного правила.
2010 MSC. 46C20, 47B50.
Ключевые слова и фразы. Индефинитное пространство, плюс-
оператор, дробно-линейное отношение, цепное правило.
1. Введение
Топологическая (т.е. с непрерывными проекторами) прямая сум-
ма
X = X1 +̇ X2 ≡ P1X +̇P2X
комплексных банаховых пространств X1 и X2, где min{dimX1,
dimX2} > 0, называется индефинитным пространством, если в ней
выделены множества всех неотрицательных векторов
p+ = {x ∈ X: x = x1 + x2, x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ‖x1‖ ≥ ‖x2‖}
и всех неположительных векторов
p− = {x ∈ X: x = x1 + x2, x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ‖x1‖ ≤ ‖x2‖}.
Статья поступила в редакцию 23.12.2010
Работа Т. Я. Азизова поддержана грантом РФФИ 08-01-00566-a
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
2 О дробно-линейных отношениях...
Все используемые ниже геометрические и операторные понятия
и утверждения, связанные с индефинитными пространствами, содер-
жатся, для частного случая пространств Крейна, в монографии [1].
Пусть K (K) — открытый (замкнутый) единичный шар пространс-
тва B(X1, X2). Формула
A21 + A22K+ = K ′
+(A11 + A12K+),
где K+, K ′
+ ∈ K и Aij ∈ L(Xj , Xi) при i, j = 1, 2, определяет в K
дробно-линейное отношение (д.л.о.) F = FA = {K+, K ′
+}. Исследую-
тся множества FA(K), где K ∈ K, и FA(K).
В разделе 2 изучается область определения общих д.л.о.; в ча-
стности, показано существование широкого класса пространств X,
в которых область определения д.л.о. FA, порожденного некоторым
плюс-оператором A, пуста. В то же время, как хорошо известно, в
случае гильбертова пространства X = H для любого плюс-оператора
A д.л.о. FA определено на всем шаре K.
Этот случай изучается в разделах 3 и 4.
В разделе 3 для случая общих д.л.о. рассмотрено т.н. “цепное пра-
вило”: FA ◦FB = FAB (автоматически выполненное в случае дробно-
линейных преобразований FA и FB). Изучение цепного правила было
начато (при несколько ином, нежели у нас, определении д.л.о.) в ра-
боте [2].
В разделе 3 получены как необходимые, так и достаточные усло-
вия на плюс-оператор A(B), при выполнении которых цепное правило
справедливо при любом плюс-операторе B(A).
В разделе 4 рассматриваются некоторые приложения полученных
результатов. Основное содержание этого раздела — получение для ли-
нейных операторов и д.л.о. новых факторизационных теорем. В слу-
чае строгого плюс-оператора A эти теоремы, с помощью обобщения
результатов предыдущего раздела, переносятся и на д.л.о. FA∗ (хотя
оператор A∗ не является, вообще говоря, даже плюс-оператором).
Отметим, что генетически восходящий к работе [3] метод факто-
ризации отношений постоянно находит новые приложения. В частно-
сти, с помощью этого метода в работах [4, 5] дано простое и нагля-
дное доказательство того, что для любого строгого плюс-оператора
A с условием
A11A
∗
11 − A12A
∗
12 ≥ 0 (1.1)
множество ImFA выпукло и компактно в сильной операторной топо-
логии.
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 3
Кроме того, в работе [5] именно метод факторизации отношений
позволяет получить новые условия того, что данный оператор явля-
ется плюс-оператором.
2. Плюс-операторы A с пустой областью определения
дробно-линейного отношения FA
Построению таких операторов мы предпошлем построение неот-
рицательных подпространств L′, не допускающих расширения до ма-
ксимальных неотрицательных подпространств L̃′, принадлежащих
множеству M+, т.е. таких, что P1L̃
′ = X1.
Такой пример для случая конкретного конечномерного пространс-
тва был впервые построен И. С. Иохвидовым [6]. В настоящем разделе
мы докажем существование таких подпространств для весьма широ-
ких классов банаховых пространств. Так, в качестве L+ может вы-
ступать любое не изоморфное гильбертову (в вещественном случае —
любое не являющееся гильбертовым такое, что dimL+ ≥ 3) банахово
пространство.
Пусть L и L — банаховы пространства, L ⊂ L. Обозначим
α(L) = inf ‖A‖,
где A ∈ L(L,L), A
∣∣
L
= I
∣∣
L
.
Лемма 2.1. Пусть L — вещественное банахово пространство, не
являющееся гильбертовым; dimL ≥ 3. Тогда существует подпро-
странство L такое, что α(L) > 1.
Доказательство. Легко показать, что в L существует не являющее-
ся гильбертовым трехмерное подпространство L′ (это сразу следует,
например, из [7]). Без ограничения общности будем считать L = L′.
По известной теореме Какутани [8] имеем ‖A‖ > 1 для любого прое-
ктора A на некоторое подпространство L (т.е. для любого оператора
A, фигурирующего в утверждении леммы). Зафиксируем такое L и
докажем, что α(L) > 1.
Пусть ‖An‖ → α(L) при n → ∞, ‖xn‖ = 1 при n ∈ N, Anxn = 0
при n ∈ N. Без ограничения общности будем считать xn → x0 при
n → ∞. Очевидно, найдется константа C такая, что
‖Anxn − Anx0‖ ≤ ‖An‖ · ‖xn − x0‖ ≤ C‖xn − x0‖ → 0
при n → ∞. Отсюда Anx0 → 0 при n → ∞. Таким образом, An → A
при n → ∞, где Ax0 = 0, A
∣∣
L
= I
∣∣
L
. Отсюда ‖An‖ → ‖A‖ при n → ∞.
Но ‖A‖ > 1 по выбору L.
4 О дробно-линейных отношениях...
Теорема 2.1. Пусть L+ — то же, что в лемме 2.1. Тогда сущест-
вует банахово пространство L = L+ +̇ L−, в котором существует
двумерное равномерно положительное подпространство L′, не ра-
сширяемое до подпространства L̃′ ∈ M+.
Доказательство. Пусть L — подпространство леммы 2.1. Возьмем в
качестве L− изометричное L пространство: L− = UL, где U — уни-
тарный оператор; зададим на пространстве L угловой оператор K(L′)
равенством K(L′) = βU , где 1 > β > 1
α(L) .
Предположим, что оператор K(L′) допускает расширение до за-
данного на всем пространстве L+ сжатия K̃. Тогда оператор P =
1
β U−1K̃ — проектор на подпространство L, ‖P‖ ≤ 1
β . Поскольку
‖P‖ ≥ α(L), получаем β ≤ 1
α(L) . Противоречие.
Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 в пространстве L существу-
ет (плюс-)оператор A с Im A = L′ такой, что FA = ∅.
Доказательство. Пусть P ∈ L(L1) — некоторый (ограниченный)
проектор на двумерное пространство P1L
′. Положим Ax = (I +
K(L′))Px+ при x = x+ + x−, x+ ∈ L1, x− ∈ L2. Очевидно, AL′′ = L′
при любом L′′ ∈ M+. Вследствие теоремы 2.1 отсюда сразу следует
доказываемое утверждение.
Замечание 2.1. В условиях теорем 2.1 и 2.2 двумерное равномерно
положительное подпространство можно заменить нейтральным под-
пространством L′ таким, что dimL+ / P+L
′ < ∞.
Это нетрудно доказать с помощью теоремы Какутани [8].
Теорема 2.3. Пусть L+ — вещественное или комплексное прост-
ранство, не изоморфное гильбертову. Тогда существует пространс-
тво L = L+ +̇ L−, в котором существует равномерно положитель-
ное подпространство L′, не расширяемое до подпространства L̃′ ∈
M+. При этом угловой оператор K(L′) можно считать компакт-
ным с произвольно малой нормой.
Для доказательства нам понадобится следующее обобщение хоро-
шо известной теоремы Линденштрауса–Цафрири.
Теорема 2.4 ([9]). Пусть X — такое банахово пространство, что
для каждого замкнутого подпространства Y ⊂ X и для каждого
компактного оператора U : Y → Y существует ограниченное расши-
рение Û : X → Y . Тогда пространство X изоморфно гильбертову
пространству.
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 5
Доказательство теоремы 2.3. Пусть Y ⊂ L+, U : Y → Y — ком-
пактный оператор, не допускающий ограниченного расширения на
все пространство L+. Пусть, как при доказательстве теоремы 2.1,
L− = V Y , где V — унитарный оператор. При произвольном 0 < ε < 1
зададим на пространстве Y угловой оператор K = ε
‖U‖V U . Оконча-
ние доказательства проводится по той же схеме, что и в случае тео-
ремы 2.1.
Теорема 2.5. Пусть в условиях теоремы 2.3 пространство L1 сепа-
рабельно. Тогда в пространстве L теоремы 2.3 существует (плюс-)
оператор A такой, что Im A = L′, FA = ∅.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая
ниже теорема 2.6, доказательство которой нам любезно предоставил
В. Шульман. Мы не исключаем, что этот факт был известен и ранее.
Теорема 2.6. Пусть X — произвольное банахово пространство,
Y — его сепарабельное подпространство. Тогда на X существует
ограниченный линейный оператор T такой, что TX = Y .
Доказательство. Заметим прежде всего, что если F ⊂ L — коне-
чномерные подпространства в банаховом пространстве и если P —
непрерывный проектор на F , то найдется непрерывный проектор Q
на L, для которого QP = P = PQ (мы это будем записывать в ви-
де P ≤ Q). В самом деле, пусть K = KerP , выберем непрерывный
проектор R пространства K на K ∩L и положим Q = P +R ◦ (1−P ).
Пусть X — банахово пространство, Y — его сепарабельное под-
пространство. Тогда существует плотная последовательность en в Y ;
рассматривая линейные оболочки первых n векторов ei (и выбра-
сывая лишнее), получим возрастающую последовательность конечно-
мерных подпространств Zn ⊂ Y с плотным в Y объединением:
∪nZn = Y .
Используя сказанное выше, построим последовательность непре-
рывных проекторов Pn на подпространства Zn такую, что Pn ≤ Pn+1
для всех n. Полагая Qn = Pn − Pn−1, получим последовательность
проекторов Qn такую, что QnQm = 0 при m 6= n, причем линейная
оболочка их образов плотна в Y . Положим αn = ‖Qn‖ и рассмотрим
оператор T =
∑
n
1
2nαn
Qn. Его образ содержит все QnX, поскольку
Tx = 1
2nαn
x при x ∈ QnX. Значит, Y = TX.
Доказательство теоремы 2.5. Рассуждая как при доказательстве
теоремы 2.2, положим Ax = (I + K(L′))Tx+ при x = x+ + x−, где
T — оператор, существующий в силу теоремы 2.6.
6 О дробно-линейных отношениях...
3. Дробно-линейные отношения и цепное правило
В этом разделе мы будем рассматривать плюс-операторы T , дей-
ствующие в сепарабельном гильбертовом пространстве
H = H+ ⊕ H− (3.1)
со скалярным произведением (·, ·) и снабженным индефинитной ме-
трикой [·, ·] = (J ·, ·), где J = P+ − P−, P± — ортопроекторы на
H±, соответственно. Такие пространства называют пространствами
Крейна, или J-пространствами. Если dimH+ = κ < ∞, то такое J-
пространство называется пространством Понтрягина.
Напомним, что между сжатиями K, действующими из H+ в H−,
и неотрицательными линеалами L+ существует взаимно-однозначное
соответствие:
L+ = {x = x+ + Kx+ | x+ ∈ P+L+}.
Такие операторы K называются угловыми операторами соответству-
ющих подпространств L+. При этом K определен на всем H+, или,
что то же, K ∈ K(H+, H−), тогда и только тогда, когда L+ — макси-
мальное неотрицательное подпространство, что будет обозначаться
так: L+ ∈ M+. Напомним, что неотрицательное подпространство
L+ называется равномерно положительным, если существует такая
постоянная α > 0, что [x, x] ≥ α(x, x) при всех x ∈ L+, или, что
эквивалентно, если угловой оператор K имеет норму меньше 1, т.е.
K ∈ K(H+, H−).
Таким образом, если положить K угловым оператором подпро-
странства L, то определенное выше д.л.о. FT (·) отображает K на
множество FT (K) угловых операторов всех подпространств из M+,
являющихся расширениями неотрицательного линеала TL. Такая ин-
терпретация упростит нам в дальнейшем объяснение некоторых фа-
ктов. В частности, из такого определения немедленно следует вклю-
чение
FU (FV (K)) ⊂ FUV (K) при всех K ∈ K. (3.2)
Будем говорить, что имеет место цепное правило для операторов
U и V , если
FU (FV (K)) = FUV (K) при всех K ∈ K. (3.3)
Целью этого раздела является изучение случаев, когда имеет ме-
сто цепное правило. Следует отметить, что в случае пространства
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 7
Понтрягина каждый J-несжимающий оператор является J-бинесжи-
мающим и потому цепное правило выполнено при всех J-несжимаю-
щих операторах U и V . Поэтому ниже мы будем предполагать, что
подпространство H+ бесконечномерно и сепарабельно.
Отметим, что так же, как и в случае гильбертова пространства,
для операторов, действующих в J-пространствах, вводится понятие
J-сопряженного оператора T c к ограниченному оператору T по фор-
муле: [Tx, y] = [x, T cy] при всех x, y ∈ H. Из этой формулы прямо
следует связь между J-сопряженным оператором и сопряженным:
T c = JT ∗J .
Далее нам понадобятся следующие ниже лемма 3.1 и лемма 3.2.
Первую мы приводим без доказательства, а вторую доказываем, хотя,
как нам кажется, она хорошо известна, но мы не нашли ее доказа-
тельство в доступной нам литературе.
Все следующие ниже матричные представления операторов при-
водятся относительно разложения (3.1).
Лемма 3.1 ([3]). Пусть T — J-несжимающий оператор. Тогда най-
дется такая пара операторов {T1, U1}, где T1 — верхне-треугольный
J-несжимающий оператор, т.е.
T1 =
[
T
(1)
11 T
(1)
12
0 T
(1)
22
]
,
U1 — J-унитарный оператор, т.е. U1H = H и [U1x, U1x] = [x, x] для
всех x ∈ H, или, что эквивалентно, U c
1 = U−1
1 , и T = U1T1. Если при
этом T — J-бинесжимающий оператор, то найдется также та-
кая пара {T2, U2}, где T2 — J-бинесжимающий нижне-треугольный
оператор, т.е.
T2 =
[
T
(2)
11 0
T
(2)
21 T
(2)
22
]
,
U2 — J-унитарный и T = T2U2.
Лемма 3.2. Пусть T − J-бинесжимающий оператор. Тогда следу-
ющие условия эквивалентны:
(i) оператор T c, или что эквивалентно, T ∗ — J-полуунитарный
оператор, т.е. [T cx, T cx] = [x, x] = [T ∗x, T ∗x] при всех x ∈ H.
(ii)
FT (K) = K, (3.4)
(iii)
FT (K) = K. (3.5)
8 О дробно-линейных отношениях...
Доказательство. Предположим сперва, что T — J-унитарный опера-
тор. Из определения такого оператора прямо следует, что он взаимно-
однозначно преобразует множество максимальных неотрицательных
подпространств, а потому порожденное им дробно-линейное преобра-
зование отображает взаимно-однозначно как K на K, так и K на K.
Пусть теперь T c является J-полуунитарным. Так как он является
и J-бинесжимающим, то согласно лемме 3.1 он допускает представ-
ление T c = U2T2, где U2 — J-унитарный оператор. Следовательно, T c
является J-полуунитарным точно тогда, когда этим свойством обла-
дает верхне-треугольный оператор T2. Учитывая то, что к тому же
T2 — J-бинесжимающий оператор, получим его диагональность. В
силу сделанного в начале доказательства замечания о J-унитарных
операторах, можно без нарушения общности считать, что в матрич-
ном представлении оператора T :
T =
[
T11 T12
T21 T22
]
(3.6)
оператор T11 унитарен, T22 является сопряженным к полуунитарному,
а T12 = T21 = 0, или, что эквивалентно, T c = T ∗. Пусть Q ∈ K. Тогда
уравнение Q = T22KT−1
11 имеет решение K = T ∗
22QT11 ∈ K. Более
того, если Q ∈ K, то и K ∈ K. Следовательно, выполнены равенства
(3.4) и (3.5).
Пусть теперь выполнено равенство (3.5) для некоторого J-бине-
сжимающего оператора T (для случая выполнения равенства (3.4)
рассуждения дословно повторяются). Тогда согласно лемме 3.1 он
допускает факторизацию T = T1U , где T1 — нижне-треугольный би-
несжимающий оператор, а U — J-унитарный оператор. Поскольку
J-унитарный оператор порождает д.л.п., отображающее K на K, то
равенства (3.5) и FT1
(K) = K эквивалентны. Кроме того, операторы
T и T1 являются сопряженными к J-полуунитарному одновременно.
Следовательно, не ограничивая общности, будем сразу считать, что
T = ‖Tij‖
2
i,j=1 является нижне-треугольным, т.е. T12 = 0. Отсюда
FT (K) = (T21 + T22K)T−1
11 . (3.7)
Пусть при любом Q ∈ K уравнение
Q = (T21 + T22K)T−1
11 (3.8)
имеет решение K ∈ K Из того, что T является J-бинесжимающим,
следует, что операторы T−1
11 , T21T
−1
11 и T22 являются сжатиями, бо-
лее того, −T21T
−1
11 ∈ K. Полагая в (3.8) Q = −T21T
−1
11 , получим, что
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 9
−2T21T
−1
11 ∈ K и по индукции −nT21T
−1
11 ∈ K для произвольного на-
турального n. Отсюда T21 = 0.
Из (3.8) в этом случае следует
Q∗Q = T−1∗
11 K∗T ∗
22T22KT−1
11 ≤ T−1∗
11 T−1
11 .
Так как Q ∈ K произвольно, то это неравенство возможно только
при T−1∗
11 T−1
11 = I, т.е. когда T−1
11 является полуунитарным. Поскольку
этот оператор всюду обратим, то он унитарен.
Из тех же соображений получаем, что T ∗
22 является полуунитар-
ным. Следовательно, T c — J-полуунитарный оператор.
Ниже нам потребуется следующий результат для случая гильбер-
товых пространств.
Лемма 3.3. Пусть
H = H1 ⊕ H2, (3.9)
G = G1 ⊕ G2 (3.10)
являются сепарабельными гильбертовыми пространствами. Пусть
U — оператор, сопряженный с полуунитарным, причем G1 = kerU ,
G2 = Im U∗. Пусть K =
[
K11
K21
]
: H1 → G — сжатие, действующее
из H1 в G. Обозначим через {K̃} множество сжатий, действую-
щих из H в G и являющихся расширениями для K, а через {ŨK} —
множество сжатий, действующих из H в G и являющихся расши-
рениями для UK.
Тогда множества U{K̃} и {ŨK} совпадают.
Доказательство. Из определения множеств {K̃} и {ŨK} прямо сле-
дует включение U{K̃} ⊂ {ŨK}. Проверим обратное утверждение,
т.е. для произвольного S ∈ {ŨK} существует такое T ∈ {K̃}, что
UT = S. (3.11)
Для этого представим операторы в матричном виде относительно ра-
зложений (3.9) и (3.10):
U =
[
0 U12
0 U22
]
, T =
[
K11 T12
K21 T22
]
, S =
[
U12K21 S12
U22K21 S22
]
,
UT =
[
U12K21 U12T22
U22K21 U22T22
]
.
Из равенства (3.11) после умножения обеих его частей на полуунитар-
ный оператор U∗ следует, что T22 = U∗
12S12+U∗
22S22. Теперь проблема
10 О дробно-линейных отношениях...
в выборе подходящего T12. Непосредственным вычислением проверя-
ются равенства
T ∗T =
[
K∗
11
T ∗
12
] [
K11 T12
]
+ S∗S =
[
K∗
11
T ∗
12
] [
K11 T12
]
+
[
K∗
21K21 K∗
21U
∗
12S12 + K∗
21U
∗
22S22
S∗
12U12K21 + S∗
22U22K21 S∗
12S12 + S∗
22S22
]
. (3.12)
Следовательно, T является сжатием тогда и только тогда, когда
[
K∗
11
T ∗
12
] [
K11 T12
]
≤ I − S∗S,
или, что эквивалентно, когда найдется такое сжатие L =
[
L11 L12
]
:
H → G1, что [
K11 T12
]
= L(I − S∗S)1/2. (3.13)
Запишем оператор F := (I − S∗S)1/2 в матричном виде:
F =
[
F11 F12
F ∗
12 F22
]
.
Тогда из представления операторов F и I − S∗S (см. (3.12)) следует,
что
[
F ∗
11 F12
] [
F11
F ∗
12
]
= I − K∗
21K21.
Так как оператор K по условию является сжатием, то отсюда следует,
что
K∗
11K11 ≤
[
F ∗
11 F12
] [
F11
F ∗
12
]
,
а потому существует такое сжатие L =
[
L11 L12
]
: H → G1, что
K11 = L
[
F11
F ∗
12
]
.
Положив
T12 = L
[
F12
F22
]
,
получим искомое равенство (3.13).
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 11
Прежде чем перейти к формулировке основной теоремы этого
раздела, напомним понятие дефекта J-несжимающего оператора V .
Пусть L ∈ M+. Тогда V L — неотрицательное подпространство, ко-
торое будет максимальным тогда и только тогда, когда V — J-бине-
сжимающий оператор. Пусть M — какое-либо расширение V L до
максимального неотрицательного подпространства. Коразмерность
подпространства V L в M не зависит от выбора L и M и называ-
ется дефектом V .
Теорема 3.1. Пусть U — J-бинесжимающий оператор. Для того,
чтобы при любом J-несжимающем операторе V имело место цеп-
ное правило (3.3), необходимо и достаточно, чтобы оператор U∗ был
J-полуунитарным.
Доказательство. Необходимость вытекает из того, что
(A) если для всех J-несжимающих V выполнено цепное правило, то
FU отображает K на K,
а потому в силу леммы 3.2 оператор U c является J-полуунитарным.
Проверим утверждение (A), переформулированное следующим обра-
зом:
(B) Для каждого подпространства L ∈ M+ найдется такое подпро-
странство Ñ ∈ M+, что UÑ = L.
Сперва докажем, что для любого подпространства L ∈ M+, L =
{x = x+ + Kx+}, существует подпространство N ∈ M+, такое, что
dimL ∩ UN = ∞. (3.14)
В силу леммы 3.1 без ограничения общности можно считать опе-
ратор U верхне-треугольным. Пусть V — J-несжимающий, опреде-
ленный следующим образом: V H+ ⊂ H+ и V |H+ — такой полуунитар-
ный оператор, что коразмерность V H+ в H+ бесконечна, а V |H− = 0.
Тогда V — J-несжимающий оператор с бесконечным дефектом. Та-
ким же будет и оператор UV . Рассмотрим подпространство UV H+ ⊂
H+. Оно имеет бесконечную коразмерность в H+. Расширим его до
максимального неотрицательного подпространства M̃ ∈ M+, доба-
вив бесконечномерное подпространство L1 = {x = x+ + Kx+ | x+ ⊥
UV H+}. По построению L1 ⊂ M̃∩L и потому последнее бесконечно-
мерно. Из цепного правила следует, что найдется такое N ∈ M+, что
UN = M̃, что и доказывает (3.14).
12 О дробно-линейных отношениях...
Обозначим L0 = L∩UN . Тогда существует бесконечномерное под-
пространство N0 ⊂ N такое, что UN0 = L0. Пусть Q — угловой опе-
ратор подпространства N0 и V1 — полуунитарный оператор в H+ с
областью значений, совпадающей с областью определения оператора
Q. Введем в рассмотрение максимальное неотрицательное подпро-
странство L2 = {x = x+ + QV1x+} и определим линейный оператор
V следующей матрицей:
V =
[
V1 0
0 I
]
.
Тогда V — J-несжимающий оператор, причем V L2 = N0. Следова-
тельно, UV L2 = L0⊂L. Отсюда, в силу цепного правила, имеем (B).
Докажем теперь достаточность. Пусть U — J-бинесжимающий
оператор, J-сопряженный с J-полуунитарным, V — произвольный
J-несжимающий оператор и L — произвольное максимальное нео-
трицательное подпространство. В силу леммы 3.1 без ограничения
общности можно считать оператор U , с учетом того, что он сопря-
жен с J-полуунитарным, диагональным, и даже более, U |H+ = I:
U =
[
I 0
0 U22
]
.
Пусть K — угловой оператор подпространства V L, определенный
на подпространстве H1 ⊂ H+. Тогда равенство (3.3) эквивалентно
тому, что для каждого оператора S во множестве {Ũ22K} найдется
оператор T ∈ {K̃} такой, что U22T = S. Справедливость последнего
следует из леммы 3.3.
Теорема 3.2. Пусть V — плюс-оператор, K ∈ K. Если множество
(V11 +V12K)H1 плотно в H1, то при любом плюс-операторе U равен-
ство (3.3) справедливо. Если неплотно, то уже при J-бинесжимаю-
щем операторе U = diag {I, 0} равенство (3.3) не имеет места.
Доказательство. Обозначим M = (V11 + V12K)H1. Пусть M = H1.
Тогда из [2, предложение 4.20] следует, что равенство (3.3) справе-
дливо.
Пусть M 6= H1. Тогда M допускает различные продолжения до
M̂ ∈ M+. Но M = UV L, где K = K(L). С другой стороны, UL1 = H1
для всякого L1 ∈ M+.
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 13
4. Приложения
Теорема 4.1. Пусть A — строгий плюс-оператор. Тогда он пред-
ставим в виде
A = UT, (4.1)
где U — J-унитарный оператор, T — плюс-оператор, T21 = 0. При
этом
FA = FU ◦ FT . (4.2)
Если к тому же справедливо неравенство (1.1), то оператор A
представим в виде
A = T̃ Ũ , (4.3)
где Ũ — J-унитарный оператор, T̃ — плюс-оператор, T̃12 = 0. При
этом
FA = F
T̃
◦ F
Ũ
. (4.4)
Лемма 4.1. Пусть T ∈ L(H), T12 = T11Γ
∗, ‖Γ‖ < 1. Тогда T = BV ,
где B12 = 0, а V — J-унитарный оператор.
Доказательство. Рассмотрим оператор U ∈ L(H), блок-матрица ко-
торого в базисе {H1, H2} имеет вид:
U =
(I − Γ∗Γ)−
1
2 −Γ∗(I − ΓΓ∗)−
1
2
−Γ(I − Γ∗Γ)−
1
2 (I − ΓΓ∗)−
1
2
.
Оператор U (а, значит, и U−1) J-унитарен (см. [1, теорема 2.5.10]).
Полагая B = TU , получаем: B12 = 0, T = BV , где V = U−1.
Лемма 4.2. Пусть A — строгий плюс-оператор, L = A∗H1. Тогда
L⊥ и L[⊥] — равномерно отрицательные подпространства.
Доказательство. Пусть x ∈ L⊥. Тогда (x,L) = (Ax,H1) = 0. Таким
образом, x ∈ Ker(P1A), где P1A — строгий плюс-оператор. Вслед-
ствие [1, предложение 2.4.14] подпространство Ker(P1A) равномерно
отрицательно. Окончание доказательства очевидно.
Лемма 4.3. Строгий плюс-оператор A = T удовлетворяет услови-
ям леммы 4.1 в точности, если D = A11A
∗
11 − A12A
∗
12 ≥ 0.
Доказательство. В условиях леммы 4.1 линеал A∗H1 равномерно по-
ложителен. Отсюда, очевидно, D ≥ 0.
Пусть D ≥ 0, т.е. A∗H1 ⊂ p+. Из леммы 4.2 имеем L̄ ∈ M+. Далее,
‖K∗‖ < 1, где K — угловой оператор подпространства L̄. Следова-
тельно, линеал L равномерно положителен, что эквивалентно дока-
зываемому утверждению.
14 О дробно-линейных отношениях...
Лемма 4.4. Пусть T — строгий плюс-оператор. Тогда T = V B, где
B21 = 0, а V — J-унитарный оператор.
Доказательство. Поскольку TH1 — равномерно положительный ли-
неал, то существует сжатие Γ ∈ K такое, что T21 = ΓT11. Рассмотрим
оператор U ∈ L(H), блок-матрица которого в базисе {H1, H2} имеет
вид:
U =
(I − Γ∗Γ)−
1
2 −(I − Γ∗Γ)−
1
2 Γ∗
−(I − ΓΓ∗)−
1
2 Γ (I − ΓΓ∗)−
1
2
.
Оператор U (а, значит, и U−1) J-унитарен (см. [1, теорема 2.5.10]).
Полагая B = UT , получаем: B21 = 0, T = V B, где V = U−1.
Доказательство теоремы 4.1. Равенство (4.3) следует из лемм 4.3
и 4.1, равенство (4.1) — из леммы 4.4. Отсюда равенство (4.2) спра-
ведливо вследствие теоремы 3.1, а равенство (4.4) — вследствие тео-
ремы 3.2.
Хорошо известно, что оператор, сопряженный к строгому плюс-
оператору, может не быть даже плюс-оператором. Покажем однако,
что в условиях теоремы 4.1 утверждения этой теоремы допускают
распространение и на операторы A∗.
Ниже, как и во всей статье, области определений и значений
д.л.о. — подмножества шара; K ∈ K. Однако U, V ∈ L(H) — не обя-
зательно плюс-операторы.
Лемма 4.5. Для всяких U, V ∈ L(H) и для всякого K ∈ K имеем
FU (FV (K)) ⊆ FUV (K).
Доказательство этой леммы аналогично доказательству [2, пред-
ложение 4.20,а].
Лемма 4.6. Если U, V ∈ L(H), K ∈ K, FV (K) 6= ∅ и (V11 + V12K)H1
= H1, то справедливо цепное правило:
FU (FV (K)) = FUV (K). (4.5)
Доказательство этой леммы аналогично доказательству [2, пред-
ложение 4.20,b].
Лемма 4.7. Если U — J-унитарный оператор, V ∈ L(H), K ∈ K,
то справедливо (4.5).
Доказательство леммы фактически содержится в доказательстве
теоремы 3.1.
Т. Я. Азизов, В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров 15
Теорема 4.2. Пусть A — строгий плюс-оператор. Тогда оператор
A∗ представим в виде
A∗ = TU,
где U — J-унитарный оператор, T12 = 0. При этом
FA∗ = FT ◦ FU .
Если к тому же справедливо неравенство (1.1), то оператор A∗
представим в виде
A∗ = Ũ T̃ ,
где Ũ — унитарный оператор, T̃21 = 0. При этом
FA∗ = F
Ũ
◦ F
T̃
.
Доказательство сразу следует из представлений (4.1) и (4.3), лем-
мы 4.6 и леммы 4.7.
Замечание 4.1. Поскольку в условиях теоремы 4.1 A∗H1 ⊂ p+,
то FA∗ 6= ∅. Кроме того, FA∗ — однозначное отношение. В самом
деле, достаточно доказать однозначность FAC . Пусть ACL ⊂ p+,
[x+, ACL] = 0. Тогда Ax+ /∈ p++, x+ = 0.
Однако легко показать, что дробно-линейным отображением ша-
ра отношение FA∗ может оказаться лишь в случае бистрогого плюс-
оператора A.
Литература
[1] Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов, Основы теории линейных операторов в про-
странствах с индефинитной метрикой, М.: Наука, 1986.
[2] V. Khatskevich, M. Ostrovskii, V. Shulman, Linear fractional relations for Hilbert
space operators // Math. Nachr., 279 (2006), No. 8, 875–890.
[3] Т. Я. Азизов, О расширениях инвариантных дуальных пар // Укр. мат. ж.,
41 (1989), No. 7, 958–961.
[4] В. А. Сендеров, В. А. Хацкевич, О факторизации операторов и о свойствах
образов дробно-линейных отношений, Воронежская зимняя математическая
школа С. Г. Крейна–2010. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГу, 2010, 132–133.
[5] В. А. Хацкевич, В. А. Сендеров, О порождаемых плюс-операторами опера-
торных множествах // Вестник ВГУ, в печати.
[6] И. С. Иохвидов, О банаховых пространствах с J-метрикой и некоторых
классах линейных операторов в этих пространствах // Известия АН Молд.
ССР, сер. физ.-техн. наук, 1 (1968), 60–80.
[7] M. M. Day, Normed Linear Spaces, Springer-Verlag, Berlin-Gottingen-Heidelberg,
1958.
[8] S. Kakutani, Some characterizations of Euclidean space // Jap. J. Math.
16(1939), No. 2, 93–98.
16 О дробно-линейных отношениях...
[9] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, On complemented subspace problem // Isr. J.
Math. 9 (1971), 263–269.
Сведения об авторах
Томас Яковлевич
Азизов
Воронежский государственный
университет
Университетская пл., 1
Воронеж, 394006
Россия
E-Mail: azizov@math.vsu.ru
Виктор А.
Хацкевич
Department of Mathematics
ORT Braude Academic College
College Campus, P.O.Box 78
Karmiel 21982
Israel
E-Mail: victor_kh@hotmail.com
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124409 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:33:01Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. 2017-09-25T18:27:35Z 2017-09-25T18:27:35Z 2011 О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов / Т.Я. Азизов, В.А. Сендеров, В.А. Хацкевич // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 1-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 46C20, 47B50. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124409 Для плюс-операторов в банаховом индефинитном пространстве рассмотрено дробно-линейное отношение. Описаны классы операторов, для которых область определения такого отношения пуста. Даны условия достаточные (и в некотором смысле и необходимые) для выполнения цепного правила. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов Article published earlier |
| spellingShingle | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов Азизов, Т.Я. Сендеров, В.А. Хацкевич, В.А. |
| title | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| title_full | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| title_fullStr | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| title_full_unstemmed | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| title_short | О дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| title_sort | о дробно-линейных отношениях и образах угловых операторов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124409 |
| work_keys_str_mv | AT azizovtâ odrobnolineinyhotnošeniâhiobrazahuglovyhoperatorov AT senderovva odrobnolineinyhotnošeniâhiobrazahuglovyhoperatorov AT hackevičva odrobnolineinyhotnošeniâhiobrazahuglovyhoperatorov |