Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь
Встановлено iснування та єдинiсть узагальнених розв’язкiв задачi без початкових умов для лiнiйних та нелiнiйних анiзотропних елiптично-параболiчних рiвнянь другого порядку в необмежених за просторовими змiнними областях. При цьому накладаються умови на поведiнку розв’язкiв задачi та зростання ї ї ви...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124411 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь / М.М. Бокало // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 55-86. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124411 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бокало, М.М. 2017-09-25T18:29:24Z 2017-09-25T18:29:24Z 2011 Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь / М.М. Бокало // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 55-86. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35D30, 35J25, 35J60, 35K10, 35K55, 35K65, 35M12. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124411 Встановлено iснування та єдинiсть узагальнених розв’язкiв задачi без початкових умов для лiнiйних та нелiнiйних анiзотропних елiптично-параболiчних рiвнянь другого порядку в необмежених за просторовими змiнними областях. При цьому накладаються умови на поведiнку розв’язкiв задачi та зростання ї ї вихiдних даних на нескiнченностi. Рiвняння мають показники нелiнiйностi, якi залежать вiд точок областi визначення рiвнянь та напрямку диференцiювання, а їх узагальненi розв’язки беруться з узагальнених просторiв Лебега–Соболєва. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| spellingShingle |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь Бокало, М.М. |
| title_short |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| title_full |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| title_fullStr |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| title_sort |
однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь |
| author |
Бокало, М.М. |
| author_facet |
Бокало, М.М. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Встановлено iснування та єдинiсть узагальнених розв’язкiв задачi без початкових умов для лiнiйних та нелiнiйних анiзотропних елiптично-параболiчних рiвнянь другого порядку в необмежених за просторовими змiнними областях. При цьому накладаються умови на поведiнку розв’язкiв задачi та зростання ї ї вихiдних даних на нескiнченностi. Рiвняння мають показники нелiнiйностi, якi залежать вiд точок областi визначення рiвнянь та напрямку диференцiювання, а їх узагальненi розв’язки беруться з узагальнених просторiв Лебега–Соболєва.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124411 |
| citation_txt |
Однозначна розв'язність задачі без початкових умов для лінійних та нелінійних еліптично-параболічних рівнянь / М.М. Бокало // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 55-86. — Бібліогр.: 30 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bokalomm odnoznačnarozvâznístʹzadačíbezpočatkovihumovdlâlíníinihtanelíníinihelíptičnoparabolíčnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-11-25T23:46:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:46:39Z |
| _version_ |
1850583747908337664 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 1, 55 – 86
Однозначна розв’язнiсть задачi
без початкових умов для лiнiйних та
нелiнiйних елiптично-параболiчних рiвнянь
Микола М. Бокало
(Представлена А. Є. Шишковим)
Анотацiя. Встановлено iснування та єдинiсть узагальнених розв’яз-
кiв задачi без початкових умов для лiнiйних та нелiнiйних анiзотро-
пних елiптично-параболiчних рiвнянь другого порядку в необмеже-
них за просторовими змiнними областях. При цьому накладаються
умови на поведiнку розв’язкiв задачi та зростання її вихiдних даних
на нескiнченностi. Рiвняння мають показники нелiнiйностi, якi зале-
жать вiд точок областi визначення рiвнянь та напрямку диференцiю-
вання, а їх узагальненi розв’язки беруться з узагальнених просторiв
Лебега–Соболєва.
2010 MSC. 35D30, 35J25, 35J60, 35K10, 35K55, 35K65, 35M12.
Ключовi слова та фрази. Лiнiйне рiвняння, нелiнiйне рiвняння,
елiптично-параболiчне рiвняння, вироджене параболiчне рiвняння,
задача без початкових умов, узагальнений простiр Лебега–Соболєва,
необмежена область.
1. Вступ
Нехай Ω — необмежена область в арифметичному просторi R
n
(n ∈ N) з евклiдовою нормою | · | (|x| := (|x1|2 + · · · + xn|2)1/2 для
x = (x1, . . . , xn) ∈ R
n). Припускаємо, що межа ∂Ω областi Ω є C1 мно-
говидом розмiрностi n−1. Нехай Γ0 — замикання вiдкритої множини
на ∂Ω (зокрема, Γ0 може бути порожньою множиною або збiгатися з
∂Ω), Γ1 := ∂Ω\Γ0; ν = (ν1, . . . , νn) — одиничний вектор зовнiшньої до
∂Ω нормалi. Позначаємо S := (−∞, 0], Q := Ω×S, Σ0 := Γ0×S, Σ1 :=
Γ1 × S.
Стаття надiйшла в редакцiю 13.12.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
56 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Розглядаємо питання про вiдшукання функцiй u : Q → R, якi
задовольняють (в певному сенсi) рiвняння
∂
∂t
(b(x)u)−
n∑
i=1
d
dxi
ai(x, t, u,∇u)+a0(x, t, u,∇u) = f(x, t), (x, t) ∈ Q,
(1.1)
та крайовi умови
u
∣∣
Σ0
= 0,
∂u
∂νa
∣∣∣
Σ1
= 0, (1.2)
де b(x) ≥ 0, x ∈ Ω, ai(x, t, s, ξ), (x, t, s, ξ) ∈ Q×R×R
n, f(x, t), (x, t) ∈
Q, — заданi дiйснозначнi функцiї,
∂u(y, t)
∂νa
:=
n∑
i=1
ai(y, t, u,∇u) νi(y), (y, t) ∈ Σ1.
Ми вважаємо, що рiвнiсть b = 0 може виконуватися на будь-якiй
пiдмножинi областi Ω, а просторова частина диференцiального вира-
зу в лiвiй частинi рiвняння (1.1) є елiптичною, тобто рiвняння (1.1) є
елiптично-параболiчним [7, 30].
Зауваження 1.1. Нехай Ω = (0,+∞), Γ0 = {0}, Γ1 = ∅, i розгляда-
ємо рiвняння теплопровiдностi
ut − uxx = 0, (x, t) ∈ (0,+∞) × (−∞, 0] (1.3)
та крайову умову
u(0, t) = 0. (1.4)
Очевидно, що функцiї uλ,A(x, t) = Ae−λt sin
√
λx, (x, t) ∈ (0,+∞) ×
(−∞, 0], де λ > 0, A — довiльнi числа, є розв’язками рiвняння (1.3),
якi задовольняють його в класичному сенсi i для яких виконується
умова (1.4). Також очевидно, що функцiї uA(x, t) = Ax, де A — до-
вiльна стала, теж є розв’язками рiвняння (1.3) i задовольняють умову
(1.4).
Отож, для єдиностi розв’язку рiвняння (1.3) з крайовою умовою
(1.4) потрiбнi додатковi умови на його поведiнку при |x| → +∞ та
t → −∞, якi можна трактувати як аналоги крайової умови на не-
скiнченностi та початкової умови в початковий момент −∞. Як по-
казано в роботi [15], такими умовами може бути вимога обмеженостi
розв’язку.
М. М. Бокало 57
На пiдставi цього зауваження напрошується такий висновок.
Оскiльки умова єдиностi розв’язку є визначальною для коректної
постановки задачi у випадку еволюцiйних рiвнянь, то було б при-
родно задачу для рiвняння (1.1) в областi Q формулювати так: зна-
йти розв’язок цього рiвняння, який задовольняє крайову умову (1.2)
та деяку умову на його поведiнку на нескiнченностi, зокрема, умо-
ву належностi розв’язку до певного вагового функцiйного просто-
ру [1, 4, 6, 8, 10, 16, 17, 29]. Але, виявляється, серед нелiнiйних рiвнянь
вигляду (1.1) є такi, для яких їх розв’язки визначаються однозначно
тiльки крайовими умовами (1.2) [2, 3, 13,18–20].
У данiй роботi, зробивши додатковi припущення на вихiднi данi,
видiлено класи елiптично-параболiчних рiвнянь вигляду (1.1), еле-
ментами яких є як лiнiйнi, так i нелiнiйнi анiзотропнi рiвняння, для
яких задача без початкових умов при певних обмеженнях на нескiн-
ченностi є однозначно розв’язною. Здобутi тут результати є узагаль-
неннями i доповненнями результатiв робiт [1, 9]. Ми використовуємо
метод дослiдження, який базується на аналозi вiдомого в механiцi
принципу Сен-Венана i розроблений в роботах [9,16,21,22] та iнших,
i адаптований до задачi без початкових умов в [1,9]. Крiм того, при до-
веденнi розв’язностi нашої задачi опираємося ще i на метод монотон-
ностi [12].
Прикладами рiвнянь типу (1.1), якi тут вивчаються, є анiзотропнi
рiвняння
∂
∂t
(b(x)u) −
n∑
i=1
(
âi(x, t)|uxi
|pi(x)−2uxi
)
xi
+ â0(x, t)|u|p0(x)−2u = f(x, t),
(1.5)
де âi (i = 0, n) — деякi вимiрнi додатнi й вiддiленi вiд нуля функцiї,
pi > 1 (i = 0, n) — вимiрнi обмеженi функцiї (так званi показники
нелiнiйностi), f, u — вiдповiдно задана i невiдома функцiї. Якщо по-
казники нелiнiйностi є сталими, то такi рiвняння розглядалися в ба-
гатьох роботах, зокрема, в [13,25,26] (див. також бiблiографiю там).
В останнi десятилiття дуже активно вивчаються нелiнiйнi дифе-
ренцiальнi рiвняння зi змiнними показниками нелiнiйностi, прикла-
дами яких є рiвняння (1.5) (див., наприклад, [3, 5, 14]). Це пов’язано
з тим, що такi рiвняння виникають при математичному моделюваннi
рiзних типiв фiзичних процесiв i, зокрема, описують потоки електро-
реологiчних речовин, процеси вiдновлення зображень, електричний
струм у кондукторi пiд впливом змiнного температурного поля [27].
Ми розглядатимемо узагальненi розв’язки рiвняння (1.1), що за-
довольняють умови (1.2), а для їх означення та дослiдження нам бу-
58 Однозначна розв’язнiсть задачi...
дуть потрiбнi деякi лiнiйнi локально опуклi простори. Тому спочатку
дамо означення цих просторiв.
Нехай G — довiльна область в R
m, де m = n або m = n + 1.
Для будь-якої функцiї r ∈ L∞(G) такої, що r(z) ≥ 1 для м.в. z ∈
G, на просторi Cc(G) := {v ∈ C(G) | supp v — обмежена множина}
вводимо норму
‖v‖Lr(·)
:= inf{λ > 0 | ρG,r(v/λ) ≤ 1},
де ρG,r(v) :=
∫
G |v(z)|r(z) dz. (Зауважимо, що коли r(z) = r0 ≡ const ≥
1 для м.в. z ∈ G, то ‖ · ‖Lr(·)(G) = ‖ · ‖Lr0 (G).) Поповнення здобутого
нормованого лiнiйного простору — так званий узагальнений простiр
Лебега (див., наприклад, [23, 24]) — позначимо через Lr(·)(G). Заува-
жимо, що якщо ess infz∈Ω r(z) > 1, то спряжений до Lr(·)(G) можна
ототожнити з Lr∗(·)(G), де r∗(z), z ∈ G, є функцiя, яка визначена
рiвнiстю 1
r(z) + 1
r∗(z) = 1, z ∈ G.
Якщо G є необмеженою областю, то через Lr(·), loc(G) позначати-
мемо поповнення C(G) в топологiї, що породжена системою пiвнорм:
{‖ · ‖Lr(·)(G
′) |G′ ∈ Bd(G)}, де пiд Bd(G) розумiємо множину всемо-
жливих обмежених пiдобластей областi G. Зауважимо, що послiдов-
нiсть {vl}∞l=1 слабко збiгається до v в Lr(·), loc(G), якщо для будь-якої
областi G′ ∈ Bd(G) послiдовнiсть {vl|G′}∞l=1 збiгається до v|G′ слабко
в Lr(·)(G
′).
Визначимо
C(S;L2,loc(Ω)) :=
{
v : S → L2,loc(Ω) | v ∈ C([−l, 0];L2(Ω
′))
∀ l ∈ N, ∀Ω′ ∈ Bd(Ω)
}
з системою пiвнорм {‖ · ‖C([−l,0];L2(Ω′)) | l ∈ N, Ω′ ∈ Bd(Ω)}.
Нехай p = (p0, . . . , pn) — вектор-функцiя, яка задовольняє умову:
P) для кожного i ∈ {0, 1, . . . , n} функцiя pi : Ω → R — вимiрна,
ess inf
x∈Ω′
pi(x) > 1, ess sup
x∈Ω′
pi(x) <∞
для будь-яких Ω′ ∈ Bd(Ω).
Позначимо черезW 1
p(·), loc
(Ω,Γ0) поповнення простору C1(Ω,Γ0) :={
v ∈ C1(Ω)
∣∣ v
∣∣
Γ0
= 0
}
в топологiї, яка породжена системою пiвнорм:{
‖v‖Lp0(·)(Ω
′) +
∑n
i=1 ‖vxi
‖Lpi(·)
(Ω′) | Ω′ ∈ Bd(Ω)
}
.
Нехай W 1
p(·), c(Ω,Γ0) — пiдпростiр простору W 1
p(·), loc(Ω,Γ0), скла-
дений з функцiй з обмеженими носiями.
М. М. Бокало 59
Нехай b ∈ L∞,loc(Ω), b ≥ 0 на Ω. Введемо лiнiйний локально
опуклий простiр U
b
p,loc як замикання простору C1,0(Q,Σ0) := {u ∈
C(Q) |uxi
∈ C(Q) (i = 1, n), u|Σ0 = 0} за топологiєю, породженою
системою пiвнорм
{
‖u‖Lp0(·)(Ω
′×(−l,0)) +
n∑
i=1
‖uxi
‖Lpi(·)
(Ω′×(−l,0))
+ sup
t∈[−l,0]
‖b1/2(·)u(·, t)‖L2(Ω′)
∣∣∣ l ∈ N, Ω′ ∈ Bd(Ω)
}
.
Очевидно, що для будь-якого u ∈ U
b
p,loc маємо
u ∈ (S →W 1
p(·), loc(Ω,Γ0)) ∩ Lp0(·), loc(Q),
uxi
∈ Lpi(·), loc(Q) (i = 1, n), b1/2u ∈ C(S;L2,loc(Ω)).
Визначимо ще один простiр
U
∗
p,c :=
{
v ∈ U
b
p,loc | supp v — обмежена множина,
vt ∈ L2(Q), v(·, 0) = 0
}
.
2. Формулювання задачi й основних результатiв
Спочатку дамо означення узагальненого розв’язку рiвняння (1.1),
що задовольняє крайовi умови (1.2), а для цього введемо вiдповiднi
обмеження на вихiднi данi (класи вихiдних даних).
Нехай p = (p0, p1, . . . , pn) — вектор-функцiя, яка задовольняє умо-
ву P. Пiд Ap розумiтимемо множину впорядкованих наборiв дiйсно-
значних функцiй (a0, a1, . . . , an), якi визначенi на Ω × R × R
n i задо-
вольняють умови:
A1) для кожного i ∈ {0, 1, . . . , n} функцiя ai(x, t, s, ξ), (x, t, s, ξ) ∈
Q× R × R
n, є каратеодорiвською, тобто для майже всiх (x, t) ∈
Q функцiя ai(x, t, ·, ·) : R
1+n ≡ R × R
n → R — неперервна i для
будь-яких (s, ξ) ∈ R
1+n функцiя ai(·, ·, s, ξ) : Q→ R — вимiрна;
A
∗
1
) ai(x, t, 0, 0) = 0 (i = 0, n) для майже всiх (x, t) ∈ Q;
A2) для кожного i ∈ {0, 1, . . . , n}, майже всiх (x, t) ∈ Q i будь-яких
(s, ξ) ∈ R
1+n виконується нерiвнiсть
|ai(x, t, s, ξ)| ≤ ha
1,i(x, t)
(
|s|p0(x)/p∗i (x) +
n∑
j=1
|ξj |pj(x)/p∗i (x)
)
+ ha
2,i(x, t),
60 Однозначна розв’язнiсть задачi...
де ha
1,i ∈ L∞, loc(Q), ha
2,i ∈ Lp ∗
i (·), loc(Q), 1/pi(x) + 1/p∗i (x) = 1.
Зауваження 2.1. Умова A
∗
1
не є принциповою, ми її вводимо лише
для спрощення викладення матерiалу.
Нехай
Floc := L2, loc(Q).
Означення 2.1. Нехай b ∈ L∞,loc(Ω), b ≥ 0 на Ω, (a0, a1, . . . , an) ∈
Ap, f ∈ Floc. Скажемо, що функцiя u ∈ U
b
p,loc є узагальненим розв’яз-
ком рiвняння (1.1), що задовольняє крайовi умови (1.2), якщо вико-
нується iнтегральна рiвнiсть
∫∫
Q
{ n∑
i=1
ai(x, t, u,∇u) vxi
+ a0(x, t, u,∇u) v − b u vt
}
dx dt
=
∫∫
Q
f v dx dt (2.1)
для будь-яких v ∈ U
∗
p,c.
Мета нашої роботи — при додаткових умовах на вихiднi данi, якi
не виключають з розгляду лiнiйнi рiвняння, вказати “аналоги крайо-
вої та початкової умов на нескiнченностi” такi, що задача, яка полягає
в знаходженнi узагальненого розв’язку рiвняння (1.1), який задоволь-
няє крайовi умови (1.2) та цi “аналоги . . .”, є однозначно розв’язною.
Нехай k ∈ {1, . . . , n} — число таке, що множина Ω ∩ {x ∈ R
n :
x2
1 + · · · + x2
k < τ2} обмежена для будь-якого τ > 0. Зокрема, коли
Ω = Ω1 × Ω2, де Ω1 — необмежена область в R
k, Ω2 — обмежена
область в R
n−k, то k — саме те, про яке тiльки що говорилося.
Вважатимемо, що 0 ∈ Ω i позначимо для будь-якого τ > 0 через
Ωτ зв’язну компоненту множини Ω∩{x ∈ R
n : x2
1 + · · ·+ x2
k < τ2}, що
мiстить 0.
Стосовно вектор-функцiї p = (p0, . . . , pn) додатково до умови P
зробимо ще таке припущення:
P
∗) p0(x) = p1(x) = · · · = pk(x) = 2 для м.в. x ∈ Ω.
Далi для кожних τ ≥ 1, t0 ≤ −1 позначимо:
Γj,τ := Γj ∩ ∂Ωτ (j = 0, 1), Γ∗,τ := Ω ∩ ∂Ωτ , Qτ,t0 := Ωτ × (t0, 0],
Σj,τ,t0 := Γj,τ × (t0, 0] (j = 0, 1), Σ∗,τ,t0 := Γ∗,τ × (t0, 0].
М. М. Бокало 61
Нехай K — множина впорядкованих наборiв (b, g, q, µ), де b ∈
L∞,loc(Ω), b ≥ 0 на Ω, g :=
(
(g1,1, g2,1), . . . , (g1,k, g2,k)) — вектор-функ-
цiя, компонентами якої є пари невiд’ємних функцiй з простору C(Q),
q := (q1, q2) — вектор-функцiя, компоненти якої q1, q2 ∈ C(Q) такi,
що q1(x, t) > 0 при (x, t) ∈ Q i для деякого дiйсного числа µ маємо
q2(x, t) + µb(x) > 0 для м.в. (x, t) ∈ Q.
Позначимо
d1(τ, t0) := sup
Σ∗,τ,t0
( k∑
i=1
g2
1,i/q1
)1/2
, d2(τ, t0) := sup
Σ∗,τ,t0
( k∑
i=1
g2
2,i
)1/2
.
Покладемо
Ek,µ(v) := q1
k∑
i=1
v2
xi
+ (q2 + µb)v2,
λ(τ, t0) := inf
t,v
{[ ∫
Γ∗,τ
Ek,µ(v) dΓ
][ ∫
Γ∗,τ
v2 dΓ
]−1}
,
де iнфiмум береться по всiх неперервно-диференцiйовних в околi Γ∗,τ
функцiях v, якi рiвнi нулю на ∂Γ∗,τ ∩ Γ0, i всiх t ∈ [t0, T ];
Θ(τ, t0) := sup
v
{[ ∫
Ωτ
Ek,µ(v)
∣∣
t=t0
dx
]−1
·
[ ∫
Ωτ
b v2 dx
]}
,
де супремум береться по всiх функцiях v ∈ C1(Ωτ ), якi рiвнi нулю в
околi Γ0,τ .
Через K
∗ позначимо пiдмножину множини K, для кожного еле-
мента (b, g, q, µ) якої iснують неперервнi додатнi функцiї A1(τ, t0),
A2(τ, t0), (τ, t0) ∈ Π := [1,+∞) × (−∞,−1] такi, що для будь-яких
(τ, t0) ∈ Π виконуються нерiвностi
d1(τ, t0)λ
−1/2(τ, t0) + d2(τ, t0)λ
−1(τ, t0) ≤ A1(τ, t0), (2.2)
Θ−1(τ, t0) ≤ 2A2(τ, t0), (2.3)
i задача Кошi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь
dτ
dα
= A1(τ, t0),
dt0
dα
= −A2(τ, t0), (2.4)
τ(0) = 1, t0(0) = −1 (2.5)
62 Однозначна розв’язнiсть задачi...
має єдиний розв’язок τ(α), t0(α), α ∈ [0,+∞), i цей розв’язок задо-
вольняє умову:
τ(α) → +∞, t0(α) → −∞ при α→ +∞.
Далi всюди вважаємо, що (b, g, q, µ) — який-небудь елемент K
∗.
Нехай A
1
p(b, g, q, µ) — пiдмножина Ap, будь-який елемент якої за-
довольняє ще двi умови, якi ми зараз сформулюємо:
A3) для кожного i ∈ {1, . . . , k} i для майже всiх (x, t) ∈ Q та будь-
яких (s1, ξ
1), (s2, ξ
2) ∈ R
1+n
|ai(x, t, s1, ξ
1) − ai(x, t, s2, ξ
2)|
≤ g1,i(x, t)
( k∑
i=1
|ξ1i − ξ2i |
)1/2
+ g2,i(x, t)|s1 − s2|;
A4) для майже всiх (x, t) ∈ Q i будь-яких (s1, ξ
1), (s2, ξ
2) ∈ R
1+n
n∑
i=1
(ai(x, t, s1, ξ
1) − ai(x, t, s2, ξ
2))(ξ1i − ξ2i )
+ (a0(x, t, s1, ξ
1) − a0(x, t, s2, ξ
2))(s1 − s2)
≥ q1(x, t)
k∑
i=1
|ξ1i − ξ2i |2 + q2(x, t)|s1 − s2|2.
Нехай τ(α), t0(α), α ∈ [0,+∞), — розв’язок задачi (2.4), (2.5).
Введемо ще такi позначення
Ωα := Ωτ(α), Γα
j := Γj,τ(α) (j = 0, 1), Γα
∗ := Γ∗,τ(α),
Qα := Qτ(α),t0(α), Σα
j := Σj,τ(α),t0(α) (j = 0, 1), Σα
∗ := Σ∗,τ(α),t0(α)
при α ≥ 0.
Покладемо
〈v〉α :=
( ∫∫
Qα
Ek,µ(v)e−2µt dx dt
)1/2
для всiх α ≥ 0.
М. М. Бокало 63
А тепер сформулюємо основнi результати роботи. Вони стосую-
ться однозначної розв’язностi задачi на знаходження узагальненого
розв’язку рiвняння (1.1), що задовольняють умови (1.2) та умову
〈v〉R = o(1)eR/2 при R→ +∞ (2.6)
(аналог початково-крайової умови на нескiнченностi).
Далi цю задачу коротко будемо називати задачею (1.1), (1.2),
(2.6), а шукану функцiю u — узагальненим розв’язком цiєї задачi.
Теорема 2.1 (єдинiсть розв’язку). Нехай (a0, . . . , an) ∈ A
1(b, g,
q, µ). Тодi задача (1.1), (1.2), (2.6) має не бiльше одного узагальненого
розв’язку.
Перейдемо до формулювання теореми iснування розв’язку задачi
(1.1), (1.2), (2.6).
Нехай A
2
p(b, g, q, µ) — пiдмножина множини A
1
p(b, g, q, µ), кожний
елемент якої (a0, a1, . . . , an) додатково задовольняє умову
A5) для майже всiх (x, t) ∈ Q i будь-яких (s, ξ) ∈ R
1+n
n∑
i=1
ai(x, t, s, ξ)ξi + a0(x, t, s, ξ)s
≥ q1(x, t)
k∑
i=1
|ξi|2 + q2(x, t)|s|2 + qa
3(x, t)
n∑
i=k+1
|ξi|pi(x),
де qa
3 ∈ L∞(Q), ess infx∈Qm qa
3(x, t) > 0 для кожного m ∈ N.
Для кожного натурального m покладемо
Λm = inf
t,v
{[ ∫
Ωm
Ek,µ(v) dx
]
·
[ ∫
Ωm
v2 dx
]−1}
, (2.7)
де iнфiмум береться по всiх функцiях v з C1(Ωm), якi рiвнi нулю на
Γm
0 , i всiх t ∈ [t0(m), 0].
Позначимо через F
∗
loc пiдмножину множини Floc, яка складається
з тих функцiй f , для яких iснують сталi C1 > 0, ε ∈ (0, 1) такi, що
∫∫
Qm
|f(x, t)|2e−2µt dx dt ≤ C1 Λm e(1−ε)m, m ∈ N. (2.8)
64 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Теорема 2.2 (iснування розв’язку). Припустимо, що (a0, a1, . . . ,
an) ∈ A
2
p(b, g, q, µ) та f ∈ F
∗
loc
, тобто виконується нерiвнiсть (2.8) з
деякими сталими ε ∈ (0, 1), C1 > 0. Тодi iснує (єдиний) узагальнений
розв’язок задачi (1.1), (1.2), (2.6) i вiн задовольняє оцiнку
〈u〉m ≤ C2 e
(1−ε)m/2, m ∈ N, (2.9)
де C2 > 0 — стала, яка залежить тiльки вiд ε та C1.
Зауваження 2.2. Розглянемо рiвняння
(bu)t −
k∑
i,j=1
(âij(x, t)uxj
)xi
−
n∑
i=k+1
(âi(x, t)|uxi
|pi(x)−2uxi
)xi
+ â0(x, t)u = f(x, t), (x, t) ∈ Q.
Для цього рiвняння правильнi твердження теорем 2.1 i 2.2, якщо âij ∈
L∞,loc(Q), âij = âji, |âij | ≤ g1,i (i, j = 1, k) i для майже всiх (x, t) ∈ Q
k∑
i,j=1
âij(x, t)ηiηj ≥ q1(x, t)
k∑
i=1
|ηi|2 ∀ ηi ∈ R (i = 1, k),
â0 ∈ L∞,loc(Q), â0 ≥ q2, âi ∈ L∞,loc(Q) (i = k + 1, n),
ess inf
(x,t)∈Qm
âi(x, t) > 0
для кожного i ∈ {k + 1, . . . , n} та m ∈ N, f ∈ F
∗
loc.
3. Допомiжнi твердження
У цьому пунктi ми сформулюємо i доведемо твердження, якi вi-
дiграють важливу роль при доведеннi теорем 2.1 i 2.2, але мають
технiчний характер.
Лема 3.1 (аналог принципу Сен-Венана). Нехай R > 0 — деяке
число i u1, u2 — функцiї з U
b
p,loc, якi задовольняють рiвнiсть (2.1)
для всiх v ∈ U
∗
p,c, supp v ⊂ QR. Тодi для будь-яких R1, R2 таких, що
0 < R1 < R2 6 R, виконується оцiнка
〈u1 − u2〉R1 6 e(R1−R2)/2 · 〈u1 − u2〉R2 . (3.1)
Зауваження 3.1. Нерiвнiсть вигляду (3.1) отримано в [9] для уза-
гальнених розв’язкiв iз W 1,1
2,loc лiнiйних параболiчних рiвнянь у до-
вiльних областях, а в [16,21,22] для узагальнених розв’язкiв iз W 1,0
2,loc
лiнiйних i квазiлiнiйних параболiчних рiвнянь в обмежених за часо-
вою змiнною областях. Така нерiвнiсть є аналогом вiдомого в теорiї
пружностi принципу Сен-Венана.
М. М. Бокало 65
Зауваження 3.2. Далi будуть потрiбнi усереднення за Стєкловим
i деякi властивостi цих усереднень. Нагадаємо їх (див., наприклад,
[11]). Нехай v ∈ L2
loc(R). Покладемо для кожного h > 0
vh(t) =
1
h
t∫
t−h
v(θ) dθ, vh(r) =
1
h
t+h∫
t
v(θ) dθ, t ∈ R.
Легко перевiрити справедливiсть рiвностей
b∫
a−h
vϕh dt =
b∫
a
vhϕdt,
b∫
a−h
v(ϕh)t dt = −
b∫
a
(vh)tϕdt (3.2)
для будь-яких v, ϕ ∈ L2
loc(R), якщо ϕ = 0 поза [a, b].
Якщо v ∈ L2(a, b), то пiд vh i vh будемо розумiти вiдповiднi усере-
днення за Стєкловим продовження функцiї v нулем поза [a, b].
Доведення леми 3.1. Доведення розiб’ємо на два етапи.
1 етап. Для будь-якого елемента x ∈ R
n покладемо x = (x′, x′′), де
x′ = (x1, . . . , xk) ∈ R
k, i побудуємо сiм’ю зрiзаючих функцiй ψδ(·, τ) :
R
k → R, τ ∈ [1,+∞), δ ∈ (0, 1/2), таких, що для кожних δ ∈ (0, 1/2),
τ ∈ [0,∞) функцiя x′ → ψδ(x
′, τ) належить простору C∞(Rk) i задо-
вольняє умови: 0 ≤ ψδ(x
′, τ) ≤ 1 для будь-якого x′ ∈ R
k, ψδ(x
′, τ) = 1,
коли |x′| ≤ τ−2δ, ψδ(x
′, τ) = 0, коли |x′| ≥ τ, i |∂ψδ(x
′, τ)/∂xj | ≤ C3/δ
для будь-яких x′ ∈ R
k та j ∈ {1, . . . , k}, де C3 > 0 — стала, яка вiд τ
i δ не залежить. Для цього розглянемо функцiю (див. [9])
gδ(ξ, η) =
ξ−δ∫
−∞
ω
(η − θ
δ
)dθ
δ
, (ξ, η) Im R
2,
де ω — функцiя з простору C∞(−∞,+∞) така, що ω(σ) = 0 при
|σ| > 1, 0 < ω(σ) 6 1 при |σ| < 1 i
∫ +∞
−∞ ω(σ) dσ = 1. Очевидно, що
gδ(ξ, η) = 1 при η 6 ξ − 2δ, gδ(ξ, η) = 0 при η > ξ, 0 6 gδ 6 1 при
ξ − 2δ ≤ η ≤ ξ. Простi обчислення дають оцiнку: |∂gδ(ξ, η)/∂η| ≤
δ−1
∫ +∞
−∞ |ω′(σ)| dσ ≡ C3/δ, де C3 > 0 — стала, яка вiд δ не залежить.
Тодi для довiльних τ ∈ [0,+∞), δ ∈ (0, 1/2) покладемо ψδ(x
′, τ) =
gδ(τ, |x′|), x′ ∈ R
k.
Нехай {u1m}∞m=1, {u2m}∞m=1 — послiдовностi функцiй з C1,0(Q,Σ0)
такi, що для j ∈ {0, 1} маємо ujm −→
m→∞
uj в топологiї простору U
b
p,loc.
Позначимо w := u1 − u2, wm := u1m − u2m, m ∈ N. Тепер вiднi-
мемо вiд iнтегральної тотожностi (2.1), записаної для u1, цю ж то-
тожнiсть, але записану для u2. Вiзьмемо довiльнi τ, t0, 1 < τ <
66 Однозначна розв’язнiсть задачi...
τ(R), t0(R) < t0 < 0, i покладемо в здобуту (пiсля вiднiмання) iн-
тегральну тотожнiсть v(x, t) = (ŵmhχ)h(x, t)ψδ(x
′, τ), (x, t) ∈ Q, де
0 < h < t0 − t0(R), ŵmh = wmh на Qτ,t0 i ŵmh = 0 поза Qτ,t0 , δ —
довiльне число з промiжку (0, 1/2), χ(t) = e−2µt, t ∈ R. Тодi, врахо-
вуючи властивостi усереднень (3.2), отримаємо
∫∫
Qτ,t0
[
bwh,twmhψδ +
n∑
i=1
(ai(u1) − ai(u2))hwmh,xi
ψδ
+
k∑
i=1
(ai(u1) − ai(u2))hwmhψδ,xi
+ (a0(u1) − a0(u2))hwmhψδ
]
e−2µt dx dt = 0. (3.3)
Тут i далi використовується позначення
ai(v)(x, t) := ai(x, t, v(x, t),∇v(x, t)), (x, t) ∈ Q, i = 0, n. (3.4)
Перепишемо рiвнiсть (3.3) так
∫∫
Qτ,t0
[
bwmh,twmh +
n∑
i=1
(ai(u1mh) − ai(u2mh))wmh,xi
+ (a0(u1mh) − a0(u2mh))wmh
]
e−2µt dx dt
= Emhδ(τ, t0) + Gmhδ(τ, t0), (3.5)
де
Emhδ(τ, t0) :=
∫∫
Qτ,t0
[
bwmh,twmh − bwh,twmhψδ
+
n∑
i=1
(ai(u1mh) − ai(u2mh))wmh,xi
−
n∑
i=1
(aih(u1) − aih(u2))wmh,xi
ψδ
+ (a0(u1mh)− a0(u2mh))wmh − (a0h(u1)− a0h(u2))wmhψδ
]
e−2µt dx dt,
Gmhδ(τ, t0) = −
∫∫
Qτ,t0
k∑
i=1
(aih(u1) − aih(u2))wmhψδ,xi
e−2µt dx dt.
Поклавши Dδ
τ,t0 = Qτ,t0 \ Qτ−2δ,t0 , перетворимо Gmhδ(τ, t0) таким
чином.
М. М. Бокало 67
Покладемо
aiρ(ujmh)(x, t) =
∫∫
Q
ai(ujmh)(z, s)ωρ(x− z, t− s) dz ds, (x, t) ∈ Q
(i = 0, . . . , n, j = 1, 2), де {ωρ, ρ > 0} — ядра усереднень (див.,
наприклад, [11]), тобто для кожного ρ > 0 маємо ωρ ∈ C∞(Rn+1),
ωρ(x, t) = 0, коли |x|2 + |t|2 ≥ ρ2, ωρ(x, t) ≥ 0, коли |x|2 + |t|2 < ρ2,∫∫
Rn+1 ωρ dx dt = 1. Тодi
Gmhδ(τ, t0)
=
∫∫
Dδ
τ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
k∑
i=1
[
aiρ(ujmh) − aih(uj)
]
wmhψδ,xi
e−2µt dx dt
+
∫∫
Dδ
τ,t0
k∑
i=1
[(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmh]xi
ψδe
−2µt dx dt
−
∫∫
Σ1,τ,t0\Σ1,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνiψδe
−2µt dΓ dt
+
∫∫
Σ∗,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2hm))wmhνie
−2µt dΓ dt
−
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt
+
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt
≡ G∗
mhδρ(τ, t0) +
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt,
(3.6)
де ν = (ν1, . . . , νn) — одиничний вектор зовнiшньої нормалi до ∂Ωτ .
Тепер перетворимо лiву частину (3.5), iнтегруючи частинами i ви-
користовуючи умову A4. У результатi, врахувавши (3.6), отримаємо
1
2
∫
Ωτ
bw2
mh
∣∣
t=0
dx+
∫∫
Qτ,t0
Ek,µ(wmh)e−2µt dx dt
68 Однозначна розв’язнiсть задачi...
≤
∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt
+
1
2
∫
Ωτ
bw2
mh
∣∣
t=t0
e−2µt0 dx+ Emhδ(τ, t0) + G∗
mhδρ(τ, t0). (3.7)
Вiдмiтимо, що в силу умови A3 для кожних i ∈ {1, . . . , k}, (x, t) ∈
Q маємо
|aiρ(u1mh)(x, t) − aiρ(u2mh)(x, t)|
=
∣∣∣
∫∫
Q
[ai(u1mh)(z, s) − ai(u2mh)(z, s)]ωρ(x− z, t− s) dz ds
∣∣∣
≤
∫∫
Q
∣∣ai(z, s, u1mh(z, s),∇u1mh(z, s))
− ai(z, s, u2mh(z, s),∇u2mh(z, s))
∣∣ωρ(x− z, t− s) dz ds
≤
∫∫
Q
(g1,i(z, s)|∇kwmh(z, s)|+ g2,i(z, s)|wmh(z, s)|)ωρ(x− z, t− s) dz ds
≡ (g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|)ρ(x, t),
де ∇kwmh := (wmh,x1 , . . . , wmh,xk
). Звiдси та з нерiвностi Кошi–Буня-
ковського випливає
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt
≤
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
∣∣(g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|)ρ
− (g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|)
∣∣|wmh||νi|e−2µt dΓ dt
+
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
∣∣(g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|
)∣∣|wmh||νi|e−2µt dΓ dt
≤
( ∫∫
Σ∗,τ,t0
( k∑
i=1
g2
1,i
)
|∇kwmh|2e−2µt dΓ dt
)1/2( ∫∫
Σ∗,τ,t0
w2
mhe
−2µt dΓ dt
)1/2
+
∫∫
Σ∗,τ,t0
( k∑
i=1
g2
2,i
)1/2
w2
mhe
−2µt dΓ dt+ Lρ(mh)(τ, t0), (3.8)
М. М. Бокало 69
де
Lρ(mh) :=
∫∫
Σ∗,τ,t0
bmhρ dΓ dt,
bmhρ :=
k∑
i=1
∣∣(g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|)ρ
− (g1,i|∇kwmh| + g2,i|wmh|)
∣∣|wmh|e−2µt.
Отже, з (3.7) i (3.8), використовуючи введенi вище позначення,
отримаємо
∫∫
Qτ,t0
Ek,µ(wmh)e−2µt dx dt
≤
[
d1(τ, t0)λ
−1/2(τ, t0) + d2(τ, t0)λ
−1(τ, t0)
]
×
∫∫
Σ∗,τ,t0
Ek,µ(wmh)e−2µt dΓ dt+
1
2
Θ−1(τ, t0)
∫
Ωτ
Ek,µ(wmh)
∣∣∣
t=t0
e−2µt0 dx
+ Emhδ(τ, t0) + G∗
mhδρ(τ, t0) + Lρ(mh)(τ, t0). (3.9)
Покладемо
Fmh(τ, t0) :=
∫∫
Qτ,t0
Ek,µ(wmh)e−2µt dx dt
для будь-яких (τ, t0) ∈ Π. Тодi з (3.9) на пiдставi (2.2)–(2.5) отримаємо
Fmh(τ(α), t0(α)) ≤ ∂Fmh
∂τ
dτ
dα
+
∂Fmh
∂t0
dt0
dα
+ Emhδ(τ(α), t0(α)) + G∗
mhδρ(τ(α), t0(α)) + Lρ(mh)(τ(α), t0(α)),
звiдки
0 ≤ −Fmh(τ(α), t0(α)) +
dFmh(τ(α), t0(α))
dα
+ Emhδ(τ(α), t0(α))
+ G∗
mhδρ(τ(α), t0(α)) + Lρ(mh)(τ(α), t0(α)). (3.10)
Помножимо (3.10) на e−α i проiнтегруємо отриману нерiвнiсть по α
вiд R1 до R2, 0 < R1 < R2 ≤ R. У результатi пiсля простих перетво-
рень здобудемо
70 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Fmh(τ(R1), t0(R1)) ≤ eR1−R2Fmh(τ(R2), t0(R2))
+
R2∫
R1
[
Emhδ(τ, t0) + G∗
mhδρ(τ, t0) + Lρ(mh)(τ, t0)
]
eR1−α dα. (3.11)
2 етап. Покажемо, що другий член правої частини нерiвностi
(3.11) можна зробити як завгодно малим за рахунок вибору доста-
тньо малих значень h, δ, ρ i великих m.
Перетворимо вираз Emhδ(τ, t0), поклавши ∂iv = vxi
, коли i ∈
{1, . . . , n}, i ∂0v = v, таким чином:
Emhδ(τ, t0) =
∫∫
Qτ,t0
[
bwh,twmh(1 − ψδ) + b(wmh,t − wh,t)wmh
+
n∑
i=0
(aih(u1) − aih(u2))(1 − ψδ)∂iwmh
+
2∑
j=1
(−1)j+1
n∑
i=0
{(
ai(ujmh) − ai(ujh)
)
+
(
ai(ujh) − ai(uj)
)
+
(
ai(uj) − aih(uj)
)}
∂iwmh
]
e−2µt dx dt
≡ E(m)
h (τ, t0) + Em(h)(τ, t0) + Eδ(mh)(τ, t0), (3.12)
де
E(m)
h (τ, t0) :=
∫∫
Qτ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
n∑
i=0
[(
ai(ujh) − ai(uj)
)
+
(
ai(uj) − aih(uj)
)
]∂iwmhe
−2µt dx dt, (3.13)
Em(h)(τ, t0) :=
∫∫
Qτ,t0
b(wmh,t − wh,t)wmhe
−2µt dx dt
+
∫∫
Qτ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
n∑
i=0
(
ai(ujmh) − ai(ujh)
)
∂iwmhe
−2µt dx dt, (3.14)
Eδ(m,h)(τ, t0) :=
∫∫
Qτ,t0
[
bwh,twmh
+
n∑
i=0
(
aih(u1) − aih(u2)
)
∂iwmh
]
(1 − ψδ)e
−2µt dx dt. (3.15)
М. М. Бокало 71
Тепер перетворимо вираз G∗
mhδρ(τ, t0) так:
G∗
mhδρ(τ, t0) =
∫∫
Dδ
τ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
k∑
i=1
[(
aiρ(ujmh) − ai(ujmh)
)
+
(
ai(ujmh) − ai(ujh)
)
+
(
ai(ujh) − ai(uj)
)
+
(
ai(uj) − aih(uj)
)]
wmhψδ,xi
e−2µt dx dt
+
∫∫
Dδ
τ,t0
k∑
i=1
[(
aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh)
)
wmh]xi
ψδe
−2µt dx dt
−
∫∫
Σ1,τ,t0\Σ1,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(
aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh)
)
wmhνiψδe
−2µt dΓ dt
+
∫∫
Σ∗,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(
aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh)
)
wmhνie
−2µt dΓdt
−
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(
aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh)
)
wmhνie
−2µt dΓ dt
≡ G∗(mδ)
h (τ, t0) + G∗(δ)
m(h)(τ, t0) + G∗(δ)
ρ(mh)(τ, t0) + G∗
δ(mhρ)(τ, t0), (3.16)
де
G∗(mδ)
h (τ, t0) =
∫∫
Dδ
τ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
k∑
i=1
[(
ai(ujh) − ai(uj)
)
+
(
ai(uj) − aih(uj)
)]
wmhψδ,xi
e−2µt dx dt,
G∗(δ)
m(h)(τ, t0) =
∫∫
Dδ
τ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
k∑
i=1
(
ai(ujmh)
− ai(ujh)
)
wmhψδ,xi
e−2µt dx dt, (3.17)
G∗(δ)
ρ(mh)(τ, t0) =
∫∫
Dδ
τ,t0
2∑
j=1
(−1)j+1
k∑
i=1
(
aiρ(ujmh)
− ai(ujmh)
)
wmhψδ,xi
e−2µt dx dt, (3.18)
72 Однозначна розв’язнiсть задачi...
G∗
δ(mhρ)(τ, t0) =
∫∫
Dδ
τ,t0
k∑
i=1
[(
aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh)
)
wmh]xi
ψδe
−2µt dx dt
−
∫∫
Σ1,τ,t0\Σ1,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνiψδe
−2µt dΓ dt
+
∫∫
Σ∗,τ−2δ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt
−
∫∫
Σ∗,τ,t0
k∑
i=1
(aiρ(u1mh) − aiρ(u2mh))wmhνie
−2µt dΓ dt. (3.19)
Далi нам будуть потрiбнi два допомiжнi твердження.
Твердження 3.1. Для будь-яких фiксованих R1 та R2, 0<R1<R2,
маємо оцiнку
R2∫
R1
|ψδ,xi
(x′, τ(α))| dα ≤ C4, i = 1, k, (3.20)
де C4 > 0 — стала, яка не залежить вiд x′ ∈ R
k i δ ∈ (0, 1/2).
Доведення. Оцiнка (3.20) практично встановлена в роботi [9], але для
повноти картини наведемо тут її доведення.
Маємо
R2∫
R1
∣∣ψδ,xi
(x′, τ(α))
∣∣ dα =
R2∫
R1
∣∣∣
∂
∂xi
gδ(τ(α), |x′|)
∣∣∣ dα
≤ C5
τ(R2)∫
τ(R1)
∣∣∣
∂
∂xi
gδ(ξ, |x′|)
∣∣∣ dξ ≤ C5
τ(R2)∫
τ(R1)
∣∣∣
∂
∂η
gδ(ξ, η)
∣∣∣ dξ
≤ C5
η+2δ∫
η
∣∣∣
∂
∂η
gδ(ξ, η)
∣∣∣ dξ, i = 1, k, (3.21)
де C5 > 0 — стала, яка не залежить вiд x′ i δ, а η = |x′|. Так як функцiя
∂
∂ηgδ(ξ, η) при фiксованому η рiвна нулю поза вiдрiзком [η, η + 2δ] осi
ξ i
∣∣∂gδ(ξ, η)/∂η
∣∣ ≤ C3/δ, де C3 > 0 — стала, яка не залежить вiд δ, то
останнiй iнтеграл у нерiвностi (3.21) обмежений рiвномiрно вiдносно
δ ∈ (0, 1/2). Твердження 3.1 доведено.
М. М. Бокало 73
Твердження 3.2. Нехай P ∈ L1,loc(Q), P ≥ 0 на Q. Тодi для будь-
яких R1, R2, 0 < R1 < R2,
R2∫
R1
dα
∫∫
Dδ
τ(α),t0(α)
P |ψδ,xi
(x′, τ(α))| dx dt ≤ C6
∫∫
QR2
P dx dt, i = 1, k,
де C6 > 0 — cтала, яка вiд δ не залежить.
Доведення. Нехай i ∈ {1, . . . , k}. Використовуючи твердження 3.1,
маємо
R2∫
R1
dα
∫∫
Dδ
τ(α),t0(α)
P |ψδ,xi
(x′, τ(α))| dx dt
≤
R2∫
R1
dα
∫∫
QR2
P |ψδ,xi
(x′, τ(α))| dx dt
=
∫∫
QR2
P
( R2∫
R1
|ψδ,xi
(x′, τ(α))| dα
)
dx dt ≤ C6
∫∫
QR2
P dx dt.
Твердження 3.2 доведено.
Зауважимо, що
R2∫
R1
Lρ(mh)(τ(α), t0(α)) dα ≤
0∫
t0(R2)
dt
R2∫
R1
∫
Γ
∗,τ(α)
bmhρ dΓ dα,
i зробимо в iнтегралах
∫ R2
R1
∫
Γ
∗,τ(α)
bmhρ dΓ dα замiну τ = τ(α). У ре-
зультатi отримаємо
R2∫
R1
Lρ(mh)(τ(α), t0(α)) dα ≤ C7
∫∫
QR2
bmhρ dx dt, (3.22)
де C7 > 0 — стала, яка вiд m,h i ρ не залежить.
Легко переконатися, що iснує стала C7 > 0 така, що
n∑
i=0
‖∂iwmh‖Lpi(·)
(QR) ≤ C7 (3.23)
74 Однозначна розв’язнiсть задачi...
для всiх m ∈ N, h ∈ (0;h0], де h0 = 1
2(t0(R2) − t0(R)).
Враховуючи (3.13)–(3.15), (3.17)–(3.19) i використовуючи оцiнки
(3.22), (3.23), твердження 3.2 та неперервнiсть оператора Немицького
(див. [23, Theorem 1.16, p. 435]), побудуємо послiдовностi {hj}, {ρj},
{δj}, якi монотонно прямують до нуля, та монотонно зростаючу до
+∞ послiдовнiсть {mj} таким чином.
Нехай j — довiльне натуральне число. Виберемо hj ∈ (0;h0] таким,
щоб виконувалися нерiвностi
k∑
i=0
‖∂iwhj
− ∂iw‖Lpi(·)
(QR) ≤
1
2j
, (3.24)
R2∫
R1
∣∣E(m)
hj
(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
∀m ∈ N, (3.25)
R2∫
R1
∣∣G∗(mδ)
hj
(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
∀m ∈ N, ∀ δ ∈ (0, 1/2). (3.26)
Tодi значення mj вибираємо таким, щоб виконувалися нерiвностi
k∑
i=0
‖∂iwmjhj
− ∂iwhj
‖Lpi(·)
(QR) ≤
1
2j
, (3.27)
R2∫
R1
∣∣Emj(hj)(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
, (3.28)
R2∫
R1
∣∣G∗(δ)
mj(hj)
(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
∀ δ ∈ (0, 1/2). (3.29)
Пiсля цього вибираємо значення ρj таким, щоб виконувалися нерiв-
ностi
R2∫
R1
∣∣G∗(δ)
ρj(mjhj)
(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
∀ δ ∈ (0, 1/2), (3.30)
R2∫
R1
Lρj(mjhj)(τ(α), t0(α)) dα ≤ 1
8j
, (3.31)
М. М. Бокало 75
а тодi значення δj вiзьмемо таким, щоб виконувалися нерiвностi
R2∫
R1
∣∣Eδj(mjhj)(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
, (3.32)
R2∫
R1
∣∣G∗
δj(mjhjρj)
(τ(α), t0(α))
∣∣ dα ≤ 1
8j
. (3.33)
Очевидно, що hj → 0, mj → ∞, ρj → 0, δj → 0 при j → ∞.
Тепер покладемо в нерiвностi (3.11) h = hj , m = mj , ρ = ρj , δ =
δj i перейдемо до границi при j → ∞. У результатi, враховуючи (3.12),
(3.16), (3.23)–(3.33), отримаємо нерiвнiсть
F (τ(R1), t0(R1)) ≤ eR1−R2F (τ(R2), t0(R2)),
що нам i потрiбно.
Лема 3.2. Нехай R > 0, τ1, τ2 (τ1 < τ2) — довiльнi фiксованi числа.
Припустимо, що функцiя
v ∈
(
(τ1, τ2) →W 1
p(·), loc(Ω,Γ0)
)
∩ Lp0(·),loc
(
Ω × (τ1, τ2)
)
,
vxi
∈ Lpi(·),loc
(
Ω × (τ1, τ2)
)
(i = 1, n),
така, що для деяких функцiй b ∈ L∞,loc(Ω), b ≥ 0 на Ω,
g0 ∈ Lp∗0(·),loc
(
Ω × (τ1, τ2)
)
,
gi ∈ Lp∗i (·),loc
(
Ω × (τ1, τ2)
)
(i = 1, n)
виконується рiвнiсть
τ2∫
τ1
∫
ΩR
{ n∑
i=1
gi ψxi
ϕ+ g0 ψ ϕ− b v ψ ϕ′
}
dx dt = 0 (3.34)
для всiх ϕ ∈ C1
0 (τ1, τ2), ψ ∈W 1
p(·), c(Ω,Γ0), suppψ ⊂ ΩR.
Тодi b1/2v ∈ C([τ1, τ2];L2(ΩR′)) для кожного R′ ∈ (0, R). Крiм
того, для довiльних функцiй θ ∈ C1([τ1, τ2]), w ∈ C1(Ω), suppw ⊂
ΩR, w ≥ 0 i будь-яких чисел t1, t2 таких, що τ1 ≤ t1 < t2 ≤ τ2,
виконується рiвнiсть
76 Однозначна розв’язнiсть задачi...
θ(t)
∫
ΩR
b(x)|v(x, t)|2w(x) dx
∣∣∣
t=t2
t=t1
−
t2∫
t1
∫
ΩR
b |v|2w θ′ dx dt
+ 2
t2∫
t1
∫
ΩR
{ n∑
i=1
gi(vw)xi
+ g0 v w
}
θ dx dt = 0. (3.35)
Якщо ж додатково вiдомо, що v|Γ∗,R×(τ1,τ2) = 0, то b1/2v ∈ C([τ1, τ2];
L2(ΩR)) i в рiвностi (3.35) можна взяти w = 1.
Дане твердження доводиться аналогiчно, як лема 1 роботи [2].
4. Доведення основних результатiв
Доведення теореми 2.1. Доводимо вiд супротивного. Нехай u1, u2 —
(рiзнi) узагальненi розв’язки даної задачi. Тодi з умови (2.6) i того,
що для довiльного R > 0 функцiонал 〈·〉R є пiвнормою в просторi
U
b
p,loc, маємо 〈u1 − u2〉R ≤ 〈u1〉R + 〈u2〉R = β(R)eR/2, де β(R) → 0 при
R → +∞. Звiдси та з леми 3.1 (див. (3.1)) маємо для довiльних R1 i
R2, R1 < R2, оцiнку
〈u1 − u2〉R1 ≤ e(R1−R2)/2〈u1 − u2〉R2 = eR1/2β(R2). (4.1)
Фiксуючи R1 i спрямувавши R2 до +∞, з (4.1) отримаємо 〈u1 −
u2〉R1 = 0, тобто u1 = u2 майже всюди на QR1 . В силу довiльностi
значення R1 маємо u1 = u2 майже всюди на Q.
Доведення теореми 2.2. Доведення проведемо в три етапи.
1 етап (наближення розв’язку). Нехай α > 0 — довiльне число.
Позначимо Γ̃α
0 := ∂Ωα \ Γα
1 , Σ̃α
0 := Γ̃α
0 × [t0(α), 0]. Пiд W 1
p(·)(Ω
α, Γ̃α
0 )
розумiтимемо замикання простору C1
(
Ωα, Γ̃α
0
)
:= {v ∈ C1
(
Ωα
)
| v = 0
в околi Γ̃α
0 } за нормою ‖v‖W 1
p(·)
(Ωα) :=
∑n
i=1 ‖vxi
‖Lpi(·)
(Ωα)+‖v‖Lp0(·)(Ω
α).
Введемо в розгляд також простiр U
b,α
p , здобутий замиканням прос-
тору C1,0
(
Qα, Σ̃α
0
)
:= {v ∈ C
(
Qα
)
| vxi
∈ C
(
Qα
)
(i = 1, n), v = 0
в околi Σ̃α
0 } за нормою ‖w‖
U
b,α
p
:=
∑n
i=1 ‖wxi
‖Lpi(·)
(Qα)+‖w‖Lp0(·)(Q
α)+
maxt∈[t0(α),0] ‖b1/2(·)w(·, t)‖L2(Ωα).
Тепер для кожного l ∈ N розглянемо задачу: знайти функцiю ul ∈
U
b,l
p , яка задовольняє початкову умову (bu)|t=t0(l) = 0 та iнтегральну
рiвнiсть
М. М. Бокало 77
∫∫
Ql
{ n∑
i=1
ai(x, t, ul,∇ul) vxi
+ a0(x, t, ul,∇ul) v − b ul vt
}
dx dt
=
∫∫
Ql
fv dx dt (4.2)
для будь-яких v ∈ U
∗
p,c, supp v ⊂ Ql.
Доведення iснування розв’язку ul ∈ U
b,l
p цiєї задачi проводиться
методом Гальоркiна з використанням методу параболiчної регуляри-
зацiї (див., наприклад, [12,14]). Єдинiсть розв’язку ul легко довести,
використовуючи умову A3.
2 етап (збiжнiсть послiдовностi наближень розв’язку). Для ко-
жного l ∈ N функцiю ul продовжимо нулем на Q, залишивши за
цим продовженням позначення ul. Очевидно, що ul ∈ U
b
p,loc. Покаже-
мо, що послiдовнiсть {ul}∞l=1 мiстить пiдпослiдовнiсть, яка збiгається
в певному сенсi до узагальненого розв’язку задачi (1.1), (1.2), (2.6).
При цьому будемо використовувати вiдповiдну методику роботи [16].
Спочатку оцiнимо 〈ul〉l для довiльного фiксованного l ∈ N. З iн-
тегральної тотожностi (4.2) на пiдставi леми 3.2 з Ωl замiсть Ω, t1 =
t0(l), t2 = 0, θ(t) = e−2µt, t ∈ R, та w = 1, використовуючи позначе-
ння (3.4), отримаємо
∫
Ωl
b|ul|2
∣∣
t=0
dx+
∫∫
Ql
{ n∑
i=1
ai(ul)ul,xi
+ a0(ul)ul + µb|ul|2
}
e−2µt dx dt
=
∫∫
Ql
f ul e
−2µt dx dt.
Звiдси на пiдставi умови A5 i нерiвностi Кошi–Буняковського мати-
мемо
∫∫
Ql
{
q1
k∑
i=1
|ul,xi
|2 + (q2 + µb)|ul|2 + qa
3
n∑
i=k+1
|ul,xi
|pi(x)
}
e−2µt dx dt
≤ ε1
2
∫∫
Ql
|ul|2e−2µt dx dt+
1
2ε1
∫∫
Ql
|f |2e−2µt dx dt,
де ε1 — довiльна додатна стала.
Поклавши в цiй нерiвностi ε1 = Λl, де Λl визначено в (2.7), здобу-
демо ∫∫
Ql
Ek,µ(ul)e
−2µt dx dt ≤ Λ−1
l
∫∫
Ql
|f |2e−2µt dx dt.
78 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Звiдси та нерiвностi (2.8) випливає оцiнка
〈ul〉l ≤ C1e
(1−ε)l/2. (4.3)
Нехай m ∈ N — фiксоване число, а l, r — довiльнi натуральнi
числа, причому l ≥ m. Маємо
〈ul+r − ul〉m ≤
r−1∑
i=0
〈ul+i+1 − ul+i〉m. (4.4)
З леми 3.1 при R = l + i для функцiй ul+i+1, ul+i випливає оцiнка
〈ul+i+1 − ul+i〉m ≤ e−1/2〈ul+i+1 − ul+i〉m+1 ≤ · · ·
≤ e−(l+i−m)/2〈ul+i+1 − ul+i〉l+i. (4.5)
З (4.3) отримаємо
〈ul+i+1 − ul+i〉l+i ≤ 〈ul+i+1〉l+i+1 + 〈ul+i〉l+i ≤ C8e
(1−ε)(l+i)/2, (4.6)
де C8 > 0 — стала, яка залежить тiльки вiд C1 та ε. На основi (4.4)–
(4.6) здобудемо
〈ul+r − ul〉m ≤ C8e
(m−εl)/2
r−1∑
i=0
(e−ε/2)i ≤ C9e
(m−εl)/2, (4.7)
де C9 > 0 — стала, яка залежить тiльки вiд C3 та ε.
З (4.7) випливає, що 〈ul+r − ul〉m → 0 при l → ∞ для будь-яких
r ∈ N, тобто послiдовностi {ul}, {ul,xi
} (i = 1, k) є фундаментальними
в просторi L2(Q
m) для кожного m ∈ N. Тому iснує функцiя u ∈
L2, loc(Q), така, що uxi
∈ L2, loc(Q) (i = 1, k) i
ul−→
l→∞
u сильно в L2, loc(Q), (4.8)
ul,xi
−→
l→∞
uxi
сильно в L2, loc(Q), i = 1, k. (4.9)
На пiдставi умови A3 з (4.8), (4.9) маємо
ai(ul)−→
l→∞
ai(u) сильно в L2, loc(Q), i = 1, k. (4.10)
Нехай m ∈ N — довiльне число, δ := min{τ(m+ 1) − τ(m), t0(m+
1) − t0(m)}, w(x) = ψδ(x
′,m + 1), x ∈ Ω, де функцiя x′ → ψδ(x
′, τ)
визначена в доведеннi леми 3.1, θ — функцiя з простору C1(R), яка
задовольняє умови: θ(t) = 1, коли t ≥ t0(m), θ(t) = 0, якщо t ≤
М. М. Бокало 79
t0(m + 1), i 0 ≤ θ′(t) ≤ 2/δ, θ′(t), t ∈ R. З iнтегральної тотожностi
(4.2) для ul при l ≥ m + 1 на пiдставi леми 3.2 (R = τ(m + 1), t1 =
t0(m+ 1), t2 = 0) пiсля простих перетворень отримаємо
∫
Ωm+1
(b|ul|2wθ)|t=0 dx+
∫∫
Qm+1
[ n∑
i=1
ai(ul)ul,xi
+ a0(ul)ul
]
wθ dx dt
=
∫∫
Qm+1
fulwθ dx dt−
∫∫
Qm+1
k∑
i=1
ai(ul)ul wxi
θ dx dt+
∫∫
Qm+1
b|ul|2wθ′ dx dt.
(4.11)
Оцiнимо доданки рiвностi (4.11), використовуючи умови A3 i A5,
нерiвностi Кошi–Буняковського та Юнга. У результатi, врахувавши,
що |∇w| обмежена на R
k, матимемо
∫∫
Qm+1
[
q1
k∑
i=1
|ul,xi
|2 + q2|ul|2 + qa
3
n∑
i=k+1
|ul,xi
|pi(x)
]
wθ dx dt
≤ C10(m)
∫∫
Qm+1
[
|ul|2 +
k∑
i=1
|ul,xi
|2
]
dx dt+
∫∫
Qm+1
|f |2 dx dt, (4.12)
де C10(m) > 0 — стала, яка не залежить вiд l > m.
На пiдставi (4.8)–(4.10) з (4.12) одержимо
∫∫
Qm
n∑
i=k+1
|ul,xi
|pi(x) dx dt ≤ C11(m), (4.13)
де C11(m) > 0 — стала, яка вiд l не залежить. Згiдно з умовою A2 та
на пiдставi (4.8), (4.9) i (4.13) для кожного i = 0, k + 1, . . . , n маємо
∫∫
Qm
|ai(ul)|p
∗
i(x) dx dt
≤ C12(m)
∫∫
Qm
{ k∑
j=1
|ul,xj
|2 +
n∑
j=k+1
|ul,xj
|p j(x) + |ul|2
}
dx dt
+ C13(m) ≤ C14(m), (4.14)
де C12(m), C13(m), C14(m) > 0 — сталi, якi вiд l не залежать (але
можуть залежати вiд m).
80 Однозначна розв’язнiсть задачi...
З (4.8), (4.9), (4.13), (4.14), врахувавши рефлексивнiсть просторiв
Lpi( · )(Q
R), Lp∗i ( · )(Q
R) (i = k + 1, n, R > 0), отримаємо iснування
пiдпослiдовностi послiдовностi
{
ul
}∞
l=1
(за якою залишимо те ж саме
позначення) та функцiй χ0 ∈ L2, loc(Q), χi ∈ Lp∗i(·), loc(Q) (i = k +
1, . . . , n) таких, що
ul,xi
−→
l→∞
uxi
слабко в Lpi(·), loc(Q), i = k + 1, n, (4.15)
a0
(
ul
)
−→
l→∞
χ0 слабко в L2, loc(Q), (4.16)
ai
(
ul
)
−→
l→∞
χi слабко в Lp∗i(·), loc(Q), i = k + 1, . . . , n. (4.17)
Тепер треба показати, що
χ0 = a0(u), (4.18)
χi = ai
(
u), i = k + 1, . . . , n. (4.19)
Зробимо це трохи пiзнiше, а зараз припустимо, що вказанi рiвно-
стi правильнi. Нехай v ∈ U
∗
p,c. Для кожного l ≥ ν, де ν ∈ N таке,
що supp v ⊂ Qν , з означення ul маємо рiвнiсть (4.2). Перейдемо в
нiй до границi при l → +∞, врахувавши (4.8), (4.10), (4.16)–(4.19). У
результатi отримаємо рiвнiсть (2.1) для заданої функцiї v. Оскiльки
v — довiльна, то ми маємо iнтегральну тотожнiсть (2.1) для функцiї u.
Звiдси на пiдставi леми 3.2 отримаємо, що b1/2u ∈ C(S;L2,loc(Ω)). От-
же, функцiя u належить U
b
p,loc i задовольняє iнтегральну тотожнiсть
(2.1), тобто u є узагальненим розв’язком рiвняння (1.1), що задоволь-
няє умови (1.2). Oцiнка (2.9) одержується з (4.3) i (4.7) таким чином:
〈u〉m ≤ 〈u− um〉m + 〈um〉m = lim
l→∞
〈ul − um〉m + 〈um〉m ≤ C2e
(1−ε)m/2.
Тепер легко переконатися, що функцiя u задовольняє умову (2.6).
Справдi, нехай R > 0 — довiльне число i m — натуральне число таке,
що m− 1 < R ≤ m. Отож, на пiдставi (2.9) маємо
〈u〉R ≤ 〈u〉m ≤ C2e
(1−ε)m/2 = C2e
(1−ε)(m−R)/2e(1−ε)R/2
≤ C2e
(1−ε)/2e−εR/2eR/2 = o(1)eR/2 при R→ +∞.
Отже, ми довели, що u — узагальнений розв’язок задачi (1.1), (1.2),
(2.6) i для нього виконується оцiнка (2.9).
3 етап (правильнiсть рiвностей (4.18), (4.19)). Для перевiрки
правильностi рiвностей (4.18), (4.19)) використаємо метод монотон-
ностi [12]. Нехай v ∈ Lp0(·), loc(Q) — довiльна функцiя така, що vxi
∈
М. М. Бокало 81
Lpi(·), loc(Q) (i = 1, n), а w(x′), x′ = (x1, . . . , xk) ∈ R
k, — невiд’єм-
нa, неперервно диференцiйовнa функцiя з обмеженим носiєм i θ ∈
C1
0 (−∞, 0), θ ≥ 0.
На пiдставi умови A4 для всiх l ∈ N маємо
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(ai(ul) − ai(v))(ul,xi
− vxi
) + (a0(ul) − a0(v))(ul − v)
+ µb(ul − v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0, (4.20)
де тут i далi використовується позначення (3.4).
Тодi
∫∫
Q
[ n∑
i=1
ai(ul)ul,xi
+ a0(ul)ul
]
wθe−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(
ai(ul)vxi
+ ai(v)(ul,xi
− vxi
)
)
+ a0(ul)v
+ a0(v)(ul − v) + µb(ul − v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0 (4.21)
для всiх l ∈ N.
Нагадаємо, що за означенням функцiї ul (l ∈ N) (див. (4.2)) маємо
тотожнiсть
∫∫
Q
[ n∑
i=1
ai(ul)ψxi
ϕ+
(
a0(ul) − f
)
ψϕ− bulψϕ
′
]
dx dt = 0 (4.22)
для довiльних ψ ∈W 1
p(·),c(Ω,Γ0), suppψ ⊂ Ωl, ϕ ∈ C1
0 (−∞, 0), suppϕ
⊂ [t0(l), 0].
Нехай m таке, що suppw ⊂ {x′ | |x′| ≤ τ(m)}, supp θ ⊂ [t0(m), 0].
На пiдставi леми 3.2 з тотожностi (4.22) при l ≥ m отримаємо
∫∫
Q
[ n∑
i=1
ai(ul)ul,xi
+ a0(ul)ul
]
wθe−2µt dx dt
=
∫∫
Q
b|ul|2w(θ′/2 − µθ)e−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ k∑
i=1
ai(ul)ul wxi
− f ul w
]
θe−2µt dx dt. (4.23)
82 Однозначна розв’язнiсть задачi...
З (4.21) та (4.23) здобудемо
∫∫
Q
b|ul|2w(θ′/2 − µθ)e−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ k∑
i=1
ai(ul)ul wxi
− f ul w
]
θe−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(
ai(ul)vxi
+ ai(v)(ul,xi
− vxi
)
)
+ a0(ul)v
+ a0(v)(ul − v) + µb(ul − v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0. (4.24)
Перейдемо в (4.24) до границi при l → ∞. На пiдставi (4.8)–(4.10),
(4.15)–(4.17), прийнявши для зручностi записiв
χi := ai(u), i = 1, k,
отримаємо
∫∫
Q
b|u|2w(θ′/2 − µθ)e−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ k∑
i=1
χi uwxi
− f uw
]
e−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(
χivxi
+ ai(v)(uxi
− vxi
)
)
+ χ0v
+ a0(v)(u− v) + µb(u− v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0. (4.25)
Тепер в (4.22) перейдемо до границi при l → ∞. У результатi на
пiдставi (4.8), (4.10), (4.16), (4.17) отримаємо
∫∫
Q
[ n∑
i=1
χiψxi
ϕ+
(
χ0 − f
)
ψϕ− buψϕ′
]
dx dt = 0 (4.26)
для довiльних ψ ∈W 1
p(·),c(Ω,Γ0), ϕ ∈ C1
0 (−∞, 0).
Звiдси на пiдставi леми 3.2 одержуємо
М. М. Бокало 83
∫∫
Q
[ n∑
i=1
χi uxi
+ χ0 u
]
wθe−2µt dx dt
=
∫∫
Q
b|u|2w(θ′/2 − µθ)e−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ k∑
i=1
χi uwxi
− f uw
]
θe−2µt dx dt. (4.27)
З (4.25) та (4.27) здобудемо
∫∫
Q
[ n∑
i=1
χi uxi
+ χ0 u
]
wθe−2µt dx dt
−
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(
χivxi
+ ai(v)(uxi
− vxi
)
)
+ χ0v
+ a0(v)(u− v) + µb(u− v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0,
тобто
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(χi − ai(v))(uxi
− vxi
) + (χ0 − a0(v))(u− v)
+ µb(u− v)2
]
wθe−2µt dx dt ≥ 0. (4.28)
Вiзьмемо в (4.28) v = u − λg, де λ > 0 — довiльне число, g ∈
Lp0(·), loc(Q) — будь-яка функцiя така, що gxi
∈ Lpi(·), loc(Q) (i = 1, n).
У результатi пiсля дiлення на λ i врахування довiльностi функцiї g
здобудемо
∫∫
Q
[ n∑
i=1
(
χi − ai(u− λg)
)
gxi
+ (χ0 − a0(u− λg))g
+ λµbg2
]
wθe−2µt dx dt = 0.
У цiй рiвностi спрямуємо λ до 0. У результатi отримаємо
∫∫
Q
{ n∑
i=1
(
ai(u) − χi
)
gxi
+ (a0(u) − χ0)g
}
wθe−2µt dx dt = 0. (4.29)
84 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Тепер покладемо в (4.29) спочатку g(x, t) = 1, а потiм g(x, t) = xi для
кожного i ∈ {k + 1, . . . , n}. У результатi отримаємо
∫∫
Q
(
a0(u) − χ0
)
wθe−2µt dx dt = 0,
∫∫
Q
(
ai(u) − χi
)
wθe−2µt dx dt = 0, i = k + 1, n.
(4.30)
Оскiльки рiвностi (4.30) виконуються для довiльних неперервно-
диференцiйовних невiд’ємних фiнiтних функцiй w, θ, то правильними
є рiвностi (4.18), (4.19)).
Лiтература
[1] Н .М. Бокало, Энергетические оценки решений и однозначная разрешимость
задачи Фурье для линейных и квазилинейных параболических уравнений //
Дифференц. уравнения, 30 (1994), No. 8, 1325–1334.
[2] М. М. Бокало, I. Б. Паучок, Про коректнiсть задачi Фур’є для нелiнiйних
параболiчних рiвнянь вищих порядкiв зi змiнними показниками нелiнiйно-
стi // Математичнi студiї, 24 (2006), No. 1, 25–48.
[3] M. Bokalo, O. Domanska, On well-posedness of boundary problems for elliptic
equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Математичнi студiї,
28 (2007), No. 1, 77–91.
[4] M. Bokalo and A. Lorenzi, Linear evolution first-order problems without initial
conditions // Milan Journal of Mathematics, 77 (2009), 437–494.
[5] O. M. Buhrii, R. A. Mashiyev, Uniqueness of solutions of the parabolic variational
inequality with variable exponent of nonlinearity // Nonlinear Analysis, 70 (2009),
2325–2331.
[6] О. В. Доманська, Нелiнiйнi елiптичнi рiвняння в квазiцилiндричних обла-
стях // Вiсник Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат., (2007), вип. 67, 104–118.
[7] А. В. Иванов, Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптиче-
ские и параболические уравнения второго порядка // Труды Мат. ин-та им.
В. А. Стеклова АН СССР, 160 (1982), 3–285.
[8] С. Д. Ивасишен, О параболических граничных задачах без начальных усло-
вий // Укр. мат. ж., 34 (1982), No. 5, 547–552.
[9] О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, Аналог принципа Сен-Венана и единствен-
ность решений краевых задач в неограниченных областях для параболиче-
ских уравнений // Успехи мат. наук, 31 (1976), No, 6, 142–166.
[10] А. С. Калашников, Задача без начальных условий в классах растущих
функций для некоторых линейных вырождающихся параболических систем
второго порядка // Вестник МГУ. Сер. матем., I (1971), No. 2, 42–48; II,
No. 3, 3–8.
[11] О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева, В. А. Солонников, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1967.
М. М. Бокало 85
[12] Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, M.:
Мир, 1972, 608 с.
[13] I. Медвiдь, Задачi для нелiнiйних елiптичних i параболiчних рiвнянь в
анiзотропних просторах // Вiсник Львiв. ун-ту. Cерiя мех.-мат., (2005),
вип. 64, 149–166.
[14] В. Н. Самохин, Об одном классе уравнений, обобщающих уравнения поли-
тропной фильтрации // Дифференц. уравнения, 32 (1996), No. 5, 643–651.
[15] А. Н. Тихонов, Теоремы единственности для уравнения теплопроводно-
сти // Мат. сб., (1935), No, 2, 199–216.
[16] А. Е. Шишков, Разрешимость граничных задач для квазилинейных
эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях в
классах функций, растущих на бесконечности // Укр. мат. журн., 47 (1995),
No. 2, 277–289.
[17] С.Д. Эйдельман, О некоторых свойствах решений параболических уравне-
ний // Укр. мат. журн., 8 (1956), No. 2, 191–207.
[18] L. Boccardo, T. Gallouët, J. L. Vázquez, Nonlinear elliptic equations in R
n wi-
thout growth restrictions on the data // J. Differential Equations, 105 (1993),
No. 2, 334–363.
[19] H. Brézis, Semilinear equations in R
N without condition at infinity // Appl. Math.
Optim., 12 (1984), No. 3, 271–282.
[20] F. Bernis , Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infi-
nity // Arch. Rational Mech. Anal., 106 (1989), No. 3, 217–241.
[21] V. A. Galactionov, A. E. Shishkov, Saint-Venant’s principle in blow-up for higher-
order quasilinear parabolic equations // Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A, Math., 133
(2003), No. 5, 1075–1119.
[22] V. A. Galactionov, A. E. Shishkov, Structure of boundary blow-up for higher-order
quasilinear parabolic equations // Proc. R. Soc. Lond. A., 460 (2004), 1–27.
[23] X. Fan, D. Zhao, On the space Lp(x)(Ω) and W m,p(x)(Ω) // Journal of Mathemati-
cal Analysis and Applications, 263 (2001), 424–446.
[24] O. Kovác̆ik, J. Rákosńic, On spaces Lp(x)(Q) and W 1, p(x) // Czechosl. Math. J.,
41 (1991), No. 4, 592–618.
[25] Yu. V. Namlyeyeva, A. E. Shishkov, I. I.Skrypnik, Isolated singularities of soluti-
ons of quasilinear anisotropic elliptic equations // Advanced Nonlinear Studies,
6 (2006), 617–641.
[26] Yu. V. Namlyeyeva, A. E. Shishkov, I. I.Skrypnik, Removable isolated singularities
for solutions of doubly nonlinear anisotropic parabolic equations // Applicable
Analysis, 89 (2010), No. 10, 1559–1574.
[27] M. Ru̇žička, Electroreological fluids: modeling and mathematical theory, Berlin:
Springer-Verlag, 2000, 168 p.
[28] A. E. Shishkov, Quasilinear divergence elliptic equations in unbounded domains //
Differ. Equations, 24 (1988), No. 8, 924–933.
[29] R. E. Showalter, Singular nonlinear evolution equations // Rocky Mountain J.
Math., 10 (1980), No. 3, 499–507.
[30] R. E. Showalter, Monotone operators in Banach space and nonlinear partial di-
fferential equations, Amer. Math. Soc., Vol. 49, Providence, 1997, 282 p.
86 Однозначна розв’язнiсть задачi...
Вiдомостi про авторiв
Микола
Михайлович
Бокало
Механiко-математичний факультет,
Львiвський нацiональний унiверситет
iменi Iвана Франка,
вул. Унiверситетська, 1,
Львiв, 79000, Україна
E-Mail: mm.bokalo@gmail.com
|