Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа
Доказано, что специальные линейные комбинации бесселевых функций плотны в C∞-топологии в пространстве функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса в произвольной открытой области U ⊂ Rⁿ. Получены обобщения этого результата для решений некоторых уравнений свёртки вида f * T = 0, T -...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124416 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа / Д. А. Зарайский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 144-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124416 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Зарайский, Д.А. 2017-09-25T18:42:09Z 2017-09-25T18:42:09Z 2011 Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа / Д. А. Зарайский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 144-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1810-3200 2010MSC. 33C05, 33C10, 33C55, 33C80, 35P10, 42A65, 42A75, 42A85, 42C30, 43A45, 43A85, 43A90. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124416 Доказано, что специальные линейные комбинации бесселевых функций плотны в C∞-топологии в пространстве функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса в произвольной открытой области U ⊂ Rⁿ. Получены обобщения этого результата для решений некоторых уравнений свёртки вида f * T = 0, T - радиально. Рассмотрены аналогичные результаты для симметрических пространств ранга 1 некомпактного типа. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа |
| spellingShingle |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа Зарайский, Д.А. |
| title_short |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа |
| title_full |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа |
| title_fullStr |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа |
| title_full_unstemmed |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа |
| title_sort |
аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора лапласа |
| author |
Зарайский, Д.А. |
| author_facet |
Зарайский, Д.А. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Доказано, что специальные линейные комбинации бесселевых функций плотны в C∞-топологии в пространстве функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса в произвольной открытой области U ⊂ Rⁿ. Получены обобщения этого результата для решений некоторых уравнений свёртки вида f * T = 0, T - радиально. Рассмотрены аналогичные результаты для симметрических пространств ранга 1 некомпактного типа.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124416 |
| citation_txt |
Аппроксимация функций с нулевымиинтегралами по шарам линейными комбинациями собственных функцийоператора Лапласа / Д. А. Зарайский // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 1. — С. 144-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT zaraiskiida approksimaciâfunkciisnulevymiintegralamipošaramlineinymikombinaciâmisobstvennyhfunkciioperatoralaplasa |
| first_indexed |
2025-11-25T20:43:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:43:31Z |
| _version_ |
1850530882115338240 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 1, 144 – 153
Аппроксимация функций с нулевыми
интегралами по шарам линейными
комбинациями собственных функций
оператора Лапласа
Даниил А. Зарайский
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. Доказано, что специальные линейные комбинации
бесселевых функций плотны в C∞-топологии в пространстве фун-
кций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса
в произвольной открытой области U ⊂ R
n. Получены обобщения
этого результата для решений некоторых уравнений свёртки вида
f ∗ T = 0, T — радиально. Рассмотрены аналогичные результаты
для симметрических пространств ранга 1 некомпактного типа.
2010 MSC. 33C05, 33C10, 33C55, 33C80, 35P10, 42A65, 42A75, 42A85,
42C30, 43A45, 43A85, 43A90.
Ключевые слова и фразы. Уравнения свёртки, симметрические
пространства ранга один, собственные функции оператора Лапласа,
обобщённые сферические функции, приближение.
1. Введение
Пусть BR — открытый шар радиуса R в R
n с центром в на-
чале координат, BR1,R2
= {x ∈ R
n : R1 < |x| < R2}, BR(x0) =
{x ∈ R
n : |x − x0| 6 R}; (ρ, σ) — полярные координаты в R
n \ {0},
ρ(x) = |x|, σ(x) = x/|x|. Обозначим D′ (U) — пространство распреде-
лений на открытом множестве U ⊂ R
n, снабжённое ∗-слабой тополо-
гией, E ′
♮(R
n) — пространство радиальных (т.е. инвариантных относи-
тельно вращений) распределений на R
n с компактными носителями.
Для T ∈ E ′
♮(R
n) пусть r(T ) — радиус наименьшего замкнутого шара
Br(0), r > 0, содержащего suppT . Для открытого множества U ⊂ R
n
положим D′
T (U) = {f ∈ D′(U) : f ∗ T = 0 на Ur(T )}, C
∞
T (U) = {f ∈
Статья поступила в редакцию 3.11.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Д. А. Зарайский 145
C∞(U) : f ∗ T = 0 на Ur(T )}, где Ur = {x ∈ U : Br(x) ⊂ U} (очеви-
дно, Ur открыто), f ∗ g — свёртка f и g; область определения f ∗ T
содержит Ur(T ), но не обязательно совпадает с ним. Если T = χBr
—
индикатор шара, обозначим C∞
T (U) через V∞
r (U); тогда V∞
r (U) будет
множеством функций из C∞(U) с нулевыми интегралами по замкну-
тым шарам радиуса r, лежащим в U .
Пусть {Y
(k)
j (σ)}dk
j=1 — некоторый ортонормированный базис в про-
странстве Hk сферических гармоник степени k на единичной сфере
S
n−1 в R
n, n > 2, см., например, [1, § 1.5.1]. Следуя [1], обозначим
при z ∈ C \ (−∞, 0], η ∈ Z+
Φz,η,k,j(x) =
( ∂
∂z
)η Jn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
Y
(k)
j (σ),
Ψz,η,k,j(x) =
( ∂
∂z
)ηNn/2+k−1(zρ)
(zρ)n/2−1
Y
(k)
j (σ),
где Jλ, Nλ — функции Бесселя первого и второго рода, [2], и при
η ∈ Z+
Φ0,η,k,j(x) = ρk+2ηY
(k)
j (σ),
Ψ0,η,k,j(x) =
ρ2η−n−k+2Y
(k)
j (σ), если n нечётно или
2η < 2k + n− 2,(
ρ2η−n−k+2 ln ρ
)
Y
(k)
j (σ), в противном случае.
Тогда (∆ + λ2)η+1Φλ,η,k,j = 0 на R
n, и (∆ + λ2)η+1Ψλ,η,k,j = 0 на
R
n \ {0}, см. [1], ∆ — оператор Лапласа в R
n.
Сферическое преобразование распределения T ∈ E ′
♮(R
n) опреде-
ляется равенством T̃ (z) = T̂ (ze) =
〈
T, e−iz(·,e)
〉
, T̂ — преобразование
Фурье–Лапласа T , e — единичный вектор в R
n. Обозначим nλ(T̃ ) —
кратность нуля λ функции T̃ , и
n(λ, T ) = nλ(T̃ ) − 1 при λ 6= 0, n(0, T ) = n0(T̃ )/2 − 1. (1.1)
Пусть Z(u) — множество нулей функции u, лежащих в [0,+∞) ∪
{λ ∈ C : Imλ > 0}. Обозначим, следуя [1], N(Rn) — класс распреде-
лений T ∈ E ′
♮(R
n), T 6= 0, таких, что для λ ∈ Z(T̃ ) выполнены нера-
венства
| Imλ| 6 γ1 ln(2 + |λ|), |T̃ (nλ(T̃ ))(λ)| > (2 + |λ|)nλ(T̃ )−γ2 (1.2)
с положительными константами γ1, γ2, не зависящими от λ. Класс
N(Rn) содержится в классе обратимых распределений, то есть любое
распределение T ∈ N(Rn) имеет фундаментальное решение E, E∗T =
146 Аппроксимация функций...
δ0, δ0 — дельта-функция Дирака. Класс N(Rn) достаточно широк [1,
§ 3.2.1], он содержит, в частности, индикатор шара χBr
.
Если T ∈ N(Rn), 0 6 R1 < R2 6 ∞, R2 − R1 > r(T ), f ∈
C∞(BR1,R2
), и f(x) ∼
∑∞
k=0
∑dk
j=1 fk,j(ρ)Y
(k)
j (σ) — ряд Фурье по сфе-
рическим гармоникам функции f , то f принадлежит C∞
T (BR1,R2
) то-
гда и только тогда [1, теорема. 3.2.6], когда
fk,j(ρ)Y
(k)
j (σ) =
∑
λ∈Z(T̃ )
n(λ,T )∑
η=0
(αλ,η,k,jΦλ,η,k,j + βλ,η,k,jΨλ,η,k,j) , (1.3)
и аналогичное утверждение имеет место для функций на BR,
R > r(T ), где в разложении (1.3) присутствуют только члены с Φλ,η,k,j
[1, теорема. 3.2.3]. Таким образом, при T ∈ N(Rn) для семейств
ΦT = {Φλ,η,k,j}, ΨT = {Ψλ,η,k,j},
где λ пробегает множество Z(T̃ ), η = 0, . . . , n(λ, T ), k ∈ Z+, j =
1, . . . , dk, имеем:
ΦT ⊂ C∞
T (Rn), spanC∞(BR) ΦT = C∞
T (BR), ∀R > r(T ), (1.4)
ΨT ⊂ C∞
T (Rn \ {0}), spanC∞(Bε,∞)(ΦT ∪ ΨT ) = C∞
T (Bε,∞), ∀ ε > 0,
(1.5)
через spanC∞(U) обозначена замкнутая линейная оболочка в C∞(U).
Если U выпукло, то из аппроксимационной теоремы Хёрмандера–
Мальгранжа [3, теорема 16.4.1] следует, что spanC∞(U) ΦT = C∞
T (U),
см. [1, § 2.4]. В связи с этим в [1] для случая, когда T = χBr
—
индикатор шара, поставлены следующие вопросы:
1. Для каких областей U ⊂ R
n множество линейных комбинаций
функций
Φ1,0,k,l(νmx/r), k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk, m ∈ N, (1.6)
где νm, m ∈ N, — положительные корни Jn/2, плотно в V∞
r (U)
в C∞-топологии?
2. Пусть r > 0, R2−2r > R1 > 0, ν > 0 — ноль функции Jn/2. Вер-
но ли тогда, что функция N(n−2)/2(ν|x|/r) является пределом
в C∞(BR1,R2
) последовательности линейных комбинаций фун-
кций (1.6)?
Д. А. Зарайский 147
3. Для каких областей U ⊂ R
n множество линейных комбинаций
функций
c1Φ1,0,k,l(νmx/r) + c2Ψ1,0,k,l(νm(x− h)/r),
k ∈ Z+, l = 1, . . . , dk, m ∈ N, c1, c2 ∈ C, h ∈ R
n \ U,
(1.7)
плотно в V∞
r (U) в C∞-топологии?
По теореме 2.1 настоящей работы (см. ниже) линейные комбина-
ции функций (1.7) плотны в V∞
r (U) для произвольной области U .
Если дополнение U связно, то также и линейные комбинации фун-
кций вида (1.6) плотны в V∞
r (U). Теорема 2.2 даёт примеры обла-
стей U , для которых линейные комбинации функций (1.6) не плотны
в V∞
r (U), и отрицательный ответ на второй вопрос.
Доказательства теорем 2.1, 3.1 аналогичны доказательству теоре-
мы Рунге для эллиптического дифференциального оператора с по-
стоянными коэффициентами [3, теорема 4.4.5], при этом вместо те-
оремы единственности для вещественно-аналитических функций мы
используем теорему единственности для решений уравнения свёртки
вида f ∗ T = 0, T ∈ E ′
♮(R
n), [1, теорема 3.2.1] (либо, соответственно,
вида f × T = 0, T ∈ E ′
♮(X), для случая симметрического пространст-
ва). Как и в случае теоремы Рунге [3, замечание к теореме 4.4.5], для
уравнения свёртки с радиальным обратимым распределением можно
доказать обратное утверждение (теоремы 2.2, 3.3).
2. Случай евклидова пространства
Для a ∈ R
n положим τaf = f(· − a), ΨT,a = τaΨT = {f(· − a) : f ∈
ΨT }. Имеет место следующий результат:
Теорема 2.1. Пусть T ∈ N(Rn), n > 2, U ⊂ R
n открыто, A ⊂
R
n \ U — множество, пересекающееся с каждой ограниченной ком-
понентой связности R
n \ U . Тогда
spanC∞(U)
(
ΦT ∪
⋃
a∈A
ΨT,a
)
= C∞
T (U),
то есть линейные комбинации функций Ψλ,η,k,j(· − a) и Φλ,η,k,j(·),
λ ∈ Z(T̃ ), 0 6 η 6 n(λ, T ), k ∈ Z+, 1 6 j 6 dk, a ∈ A, плотны в
множестве C∞
T (U) в топологии пространства C∞(U).
Заметим, что теорема 2.1 остаётся в силе для любых семейств
ΦT , ΨT , удовлетворяющих (1.4), (1.5), и распределения T ∈ E ′
♮(R
n),
имеющего фундаментальное решение.
148 Аппроксимация функций...
Теорема 2.2. Пусть T ∈ E ′
♮(R
n), n > 2, T 6= 0, U ⊂ R
n открыто,
V — объединение U и некоторого семейства ограниченных компо-
нент связности множества R
n \ Ur(T ) (очевидно, V — открыто).
Тогда:
(i) Если T имеет фундаментальное решение E, E ∗ T = δ0, и f ∈
D′(U) аппроксимируется в ∗-слабой топологии пространства
D′(U) распределениями из D′
T (V ), то и само f продолжается
до распределения из D′
T (V ), причём единственным образом.
(ii) Если λ ∈ Z(T̃ ), Ψλ — решение уравнения (∆ + λ2)n(λ,T )+1f =
0 на U , не продолжающееся до решения этого уравнения на
V , то Ψλ не лежит в замкнутой линейной оболочке в D′(U)
ограничений на U функций из D′
T (V ) и решений уравнений (∆+
µ2)n(µ,T )+1f = 0 на U , µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
Мы опустим доказательства теорем 2.1 и 2.2, получающиеся из
доказательств теорем 3.1, 3.3 ниже очевидным изменением обозначе-
ний.
3. Случай некомпактного симметрического
пространства ранга один
В этом параграфе X = G/K — симметрическое пространство не-
компактного типа ранга один, o = eK ∈ X — отмеченная точка.
Пусть E ′
♮(X) — пространство инвариантных относительно K распре-
делений на X с компактными носителями. Для открытого множе-
ства U ⊂ X обозначим f × T свёртку распределений f ∈ D′(U) и
T ∈ E ′
♮(X), D′
T (U) — множество f ∈ D′(U) таких, что f × T = 0 на
Ur(T ), где r(T ) и Ur определяются так же, как и в евклидовом случае,
C∞
T (U) = D′
T (U) ∩ C∞(U). Пусть G = KAN — разложение Иваса-
вы, M — централизатор A в K, K̂M — множество представлений δ
группы K таких, что существует инвариантный относительно груп-
пы M ⊂ K ненулевой вектор. Множество a∗
C
комплексных линейных
функционалов на алгебре Ли a группы A посредством формы Кил-
линга стандартным образом отождествляется с C, пусть ρ ∈ a∗
C
—
полусумма положительных корней с учётом кратности [4, Гл. I]. При
T ∈ E ′
♮(X) обозначим через T̃ (λ) — сферическое преобразование ра-
спределения T , λ ∈ a∗
C
, [4, Гл. IV]. Аналогично евклидову случаю,
пусть N(X) — множество распределений T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, для
которых выполнено (1.2), и n(λ, T ) определим формулой (1.1). При
λ ∈ C, η ∈ Z+, δ ∈ K̂M , j = 1, . . . , d(δ) можно определить функции
Φλ,η,δ,j ∈ C∞(X), Ψλ,η,δ,j ∈ C∞(X \{o}) такие, что при T ∈ N(X) для
Д. А. Зарайский 149
семейств ΦT = {Φλ,η,δ,j}, ΨT = {Ψλ,η,δ,j}, где λ пробегает множество
Z(T̃ ), 0 6 η 6 n(λ, T ), δ ∈ K̂M , 1 6 j 6 d(δ), выполнены следующие
аналоги соотношений (1.4), (1.5), см. [5, Chap. 10]:
ΦT ⊂ C∞
T (X), spanC∞(BR) ΦT = C∞
T (BR), ∀R > r(T ), (3.1)
ΨT ⊂ C∞
T (X \ {o}), spanC∞(Bε,∞)(ΦT ∪ ΨT ) = C∞
T (Bε,∞), ∀ ε > 0.
(3.2)
Для a ∈ G положим τaf = f(a−1 ·), ΨT,a = τaΨT = {f(a−1 ·) : f ∈ ΨT }.
Теорема 3.1. Пусть T ∈ N(X), U ⊂ X открыто, A ⊂ G — мно-
жество такое, что A · o ⊂ X \ U , и A · o пересекается с каждой
компактной компонентой связности множества X \ U . Тогда
spanC∞(U)
(
ΦT ∪
⋃
a∈A
ΨT,a
)
= C∞
T (U).
Доказательство. Положим r = r(T ). Нам потребуется далее следу-
ющая теорема единственности, см. [5, Th. 15.1]:
Теорема 3.2. Если f ∈ D′
T (BR(x)), и f = 0 на Br+ε(x) для некото-
рого 0 < ε < R− r, то f = 0 на BR(x).
Поскольку T на протяжении доказательства фиксировано, обо-
значим, ΦT и ΨT (либо любые другие семейства функций, удовлетво-
ряющие (3.1), (3.2)) просто через Φ и Ψ, обозначим также Φa = τaΦ,
Ψa = τaΨ. Выберем некоторое E ∈ D′
♮(X), E × T = δo.
Возьмём произвольное w ∈ E ′(U) ⊂ E ′(X), ортогональное Φ и Ψa,
a ∈ A. Положим v = w × E, тогда w = v × T . Зафиксируем R, ε > 0,
0 < ε < dist(suppw,X \ U), (3.3)
suppw ⊂ BR, R > 0. (3.4)
Покажем теперь, что распределение v обладает следующими свой-
ствами:
(i) v = 0 на Br+ε/2(a · o), ∀ a ∈ A;
(ii) v = 0 на BR,∞;
(iii) Если v = 0 на Br+ε/2(s), s ∈ X \ U , то v = 0 на Br+ε(s).
(i) Пусть ψ ∈ C∞
♮ (X) — произвольная функция, такая что
suppψ ⊂ Bε/2. (3.5)
150 Аппроксимация функций...
Для произвольного x ∈ Br+ε/2(a · o) = a ·Br+ε/2 имеем:
x = ag · o для некоторого g ∈ G, g · o ∈ Br+ε/2, (3.6)
(v×ψ)(x) = (w×E×ψ)(ag·o) = 〈w, τagE × ψ〉 = 〈w, τaτgE × ψ〉 . (3.7)
Но (τgE ×ψ)× T = τgE × T ×ψ = τgψ. В силу (3.5), (3.6), supp τgψ =
g · suppψ ⊂ g ·Bε/2 = Bε/2(g · o) ⊂ Br+ε. Значит,
τgE × ψ ∈ C∞
T (Bε,∞) = spanC∞(Bε,∞) Φ ∪ Ψ,
τaτgE × ψ ∈ spanC∞(Bε,∞(a·o)) Φa ∪ Ψa = spanC∞(Bε,∞(a·o)) Φ ∪ Ψa.
Поскольку a · o ∈ X \U , то из (3.3) следует, что w ∈ E ′(Bε,∞(a · o)), и,
так как w ортогонально Φ и Ψa, по непрерывности имеем 〈w, τaτgE×
ψ〉 = 0. В силу (3.6), (3.7), теперь v×ψ = 0 на Br+ε/2(a ·o). Устремляя
ψ, удовлетворяющее (3.5), к δo, видим, что v = 0 на Br+ε/2(a · o).
(ii) Пусть функция ψ ∈ C∞
♮ (X), suppψ ⊂ Br, — произвольна. Для
x = g · o ∈ BR,∞ имеем: (v×ψ)(x) = 〈w, τgE × ψ〉. Но (τgE×ψ)×T =
τgψ, supp τgψ ⊂ g · Br = Br(x) ⊂ {y ∈ X : dist(y, o) > R − r}, значит
τgE × ψ ∈ C∞
T (BR) = spanC∞(BR) Φ. Согласно (3.4), w ∈ E ′(BR), и,
значит, как и в предыдущем рассуждении, v×ψ = 0 на BR,∞. Поэтому
и v = 0 на BR,∞, в силу произвольности ψ.
(iii) Из (3.3) получаем, что v × T = w = 0 на Bε(s). Значит v ∈
D′
T (Br+ε(s)), и, если v = 0 на Br+ε/2(s), то, по теореме 3.2, v = 0 на
Br+ε(s).
Рассмотрим теперь множество {s ∈ X\U : v = 0 на Br+ε(s)}. Вме-
сте с каждым s0 ∈ X \U оно содержит все s ∈ X \U , dist(s0, s) < ε/2,
по свойству (iii). Поэтому оно является как открытым, так и замкну-
тым в X \ U . Кроме того, согласно (i) и (ii), указанное множество
содержит A · o и BR+r+ε ∩ (X \ U). Таким образом, оно содержит
как все ограниченные, так и все неограниченные компоненты X \ U ,
то есть совпадает с X \ U . Итак, v = 0 на
⋃
s∈X\U Br+ε(s), то есть
supp v ⊂ {x ∈ X : dist(x,X \ U) ≥ r + ε} ⊂ Ur. Так как supp v ⊂ Br
(свойство (ii)), то v ∈ E ′(Ur).
Теперь для любой f ∈ C∞
T (U) имеем:
〈w, f〉 = 〈v × T, f〉 = 〈v, f × T 〉 = 0,
так как f × T = 0 на Ur и supp v ⊂ Ur. Поэтому, по теореме Хана–
Банаха, C∞
T (U) ⊂ spanC∞(U) Φ ∪
⋃
a∈A Ψa.
Обратное включение очевидно: Φ ⊂ C∞
T (X), Ψa ⊂ C∞
T (X \{a ·o}),
значит Φ|U ,Ψa|U ⊂ C∞
T (U).
Д. А. Зарайский 151
Теорема 3.3. Пусть T ∈ E ′
♮(X), T 6= 0, U ⊂ X открыто, V — объе-
динение U и некоторого семейства компактных компонент связно-
сти множества X \ Ur(T ). Тогда:
(i) Если T обладает фундаментальным решением E ∈ D′(X), E×
T = δo, и f ∈ D′(U) аппроксимируется в ∗-слабой топологии
D′(U) распределениями из D′
T (V ), то и само f единственным
образом продолжается до распределения из D′
T (V ).
(ii) Пусть L — оператор Лапласа–Бельтрами на X. Если λ∈Z(T̃ ),
Ψλ — решение уравнения (L + |ρ|2 + λ2)n(λ,T )+1f = 0 на U , не
продолжающееся до его решения на V , то Ψλ не лежит в замк-
нутой линейной оболочке в D′(U) ограничений на U функций из
D′
T (V ) и решений уравнений (L + |ρ|2 + µ2)n(µ,T )+1f = 0 на U ,
µ ∈ Z(T̃ ) \ {λ}.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 3.1, положим r =
r(T ).
(i) Если x, y ∈ X\U принадлежат различным компонентам свя-
зности X\Ur, то, в силу связности шара в X, Br(x) и Br(y) не пересе-
каются, и dist(x, y) > 2r. X\Ur =
⋃
x∈X\U Br(x). Если S — компонен-
та связности X\Ur, то S =
⋃
x∈S\U Br(x) (в частности, S\U непусто)
и U ∪S = U ∪
⋃
x∈S\U Br(x) — открыто, поэтому V — открыто; очеви-
дно также, что S и S\U замкнуты. Кроме того, Vr = Ur ∪
⋃
S∈S
S, по-
скольку x ∈ Vr тогда и только тогда, когда Br(x) ⊂ U ∪
⋃
S∈S
S = U ∪⋃
S∈S
(S\U), то есть, когда либо x ∈ Ur, либо Br(x)∩
⋃
S∈S
(S\U) 6= ∅
и x ∈
⋃
x∈S\U Br(x) = S для некоторого S ∈ S.
Пусть S ∈ S, 0 < 4ε ≤ dist(S\U, (X\U)\S) − 2r. Выберем η ∈
D(X), равную 1 на {x : dist(x, S\U) ≤ r+2ε} и 0 на {x : dist(x, S\U) ≥
r + 3ε} и fε ∈ D′(U ∪ S), равное f на {x ∈ U : dist(x, S\U) > ε}.
Тогда supp fε × T ⊂ {x : dist(x, S\U) ≤ r + ε} = {x : dist(x, S) ≤
ε}, поскольку f ∈ D′
T (U). Пусть Fε ∈ E ′(X) — образ fε × T при
естественном вложении E ′((U ∪ S)r) в E ′(X).
Если h ∈ C∞(X), h × T = 0 в окрестности Bε(S\U), то ηh ∈
D((U ∪ S)r), supp(ηh) × T ⊂ {x : ε < dist(x, S\U) ≤ 2r + 3ε}, тогда
〈Fε, h〉 = 〈Fε, ηh〉 = 〈fε × T, ηh〉 = 〈fε, (ηh) × T 〉 = 〈f, (ηh) × T 〉 = 0,
последнее равенство получается по непрерывности из условия тео-
ремы, поскольку (ηh) × T ∈ D(U) и 〈u, (ηh) × T 〉 = 〈u× T, ηh〉 = 0
при u ∈ D′
T (V ). Поэтому при ψ ∈ E♮(X) имеем: (Fε × E × ψ)(x) =
〈Fε × E × ψ, δx〉 = 〈Fε, δx × E × ψ〉 = 0, если dist(x, S\U) > ε + r(ψ),
152 Аппроксимация функций...
так как в этом случае δx × E × ψ × T = 0 в окрестности Bε(S\U).
Устремляя ψ к δo а r(ψ) к 0, получаем:
suppFε × E ⊂ {x : dist(x, S\U) ≤ ε}.
Положим
gS,ε = fε − Fε × E ∈ D′
T (U ∪ S).
Тогда gS,ε = f на {x ∈ U : dist(x, S \ U) > ε}. Но g = gS,ε не зависит
от ε. Действительно, если 0 < ε′ < ε, то gS,ε × T = gS,ε′ × T = 0 на⋃
x∈S B4ε(x) = {x : dist(x, S \ U) < r + 4ε} ⊂ (U ∪ S)r. И gS,ε′ = gS,ε
на Br+ε(x0) для x0 ∈ X, таких что dist(x0, S \ U) = r + 2ε. Посколь-
ку
⋃
x∈S B4ε(x) связно, применяя теорему 3.2, получаем gS,ε′ = gS,ε.
Поэтому существует и по теореме 3.2 единственно gS ∈ D′
T (U ∪ S),
равное f на U .
Первое утверждение теоремы следует теперь из свойств локаль-
ности распределений: поскольку gS и gS′ , S, S′ ∈ S, совпадают на
пересечении их областей определения, существует g ∈ D′(V ), равное
gS на U ∪ S при S ∈ S. Так как (g × T )|Ur∪S = (gS × T )|(U∪S)r
= 0,
то g × T = 0 на Vr =
⋃
S∈S
(Ur ∪ S) (мы не рассматриваем триви-
альный случай S = ∅). Распределение g ∈ D′
T (V ), равное f на U ,
единственно, поскольку на U ∪ S оно совпадает с gS .
(ii) Предположим противное. Существует [5, Chap. 10.9] такое ра-
спределение Tλ ∈ E ′
♮(X), r(Tλ) = r(T ), что
f × Tλ = 0 на Ur,
если (L+ ρ2 + µ2)n(µ,T )+1f = 0 на U , для некоторого µ ∈ ZT \{λ}, и
f × Tλ = f на Ur,
если (L + ρ2 + λ2)n(λ,T )+1f = 0 на U . Отображение f 7→ f × Tλ из
D′(U) в D′(Ur) непрерывно в ∗-слабой топологии пространства D′,
и Ψλ аппроксимируется в D′(Ur) решениями уравнения (L + ρ2 +
λ2)n(λ,T )+1f = 0 на Vr = Ur ∪
⋃
S∈S
S. Поэтому Ψλ продолжается
до решения уравнения (L + ρ2 + λ2)n(λ,T )+1f = 0 на Vr (аналоги-
чный факт для евклидова пространства вытекает из утверждения,
обратного к теореме Рунге для эллиптического дифференциально-
го оператора с постоянными коэффициентами [3, замечание к теоре-
ме 4.4.5], в случае симметрического пространства мы можем приме-
нить уже доказанное утверждение (i) настоящей теоремы к распре-
делению T = (L+ρ2+λ2)n(λ,T )+1δo). Поскольку Vr∪U = V , приходим
к противоречию.
Д. А. Зарайский 153
Литература
[1] V. V. Volchkov, Integral geometry and convolution equations, Kluwer Academic
Publishers, 2003.
[2] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Том 1, Наука,
1973; Том 2, Наука, 1974.
[3] Л. Хёрмандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными
производными, Том 1, Мир, 1986; Том 2, Мир, 1986.
[4] С. Хелгасон, Группы и геометрический анализ, Мир, 1987.
[5] V. V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions
on Symmetric Spaces and the Heisenberg Group, Springer, 2009.
Сведения об авторах
Даниил
Анатольевич
Зарайский
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Розы Люксембург, 74,
Донецк, 83114
Украина
E-Mail: d.zaraisky@gmail.com
|