О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах

Представлено прямое доказательство теоремы Пуанкаре об инвариантных торах.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Український математичний вісник
Datum:	2011
1. Verfasser:	Беляев, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124425
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 343-355. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124425
record_format	dspace
spelling	Беляев, А.В. 2017-09-26T11:31:56Z 2017-09-26T11:31:56Z 2011 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 343-355. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 70H08. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124425 Представлено прямое доказательство теоремы Пуанкаре об инвариантных торах. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах
spellingShingle	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах Беляев, А.В.
title_short	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах
title_full	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах
title_fullStr	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах
title_full_unstemmed	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах
title_sort	о прямом доказательстве теоремы пуанкаре об инвариантных торах
author	Беляев, А.В.
author_facet	Беляев, А.В.
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Український математичний вісник
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	Представлено прямое доказательство теоремы Пуанкаре об инвариантных торах.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124425
citation_txt	О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах / А.В. Беляев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 343-355. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT belâevav oprâmomdokazatelʹstveteoremypuankareobinvariantnyhtorah
first_indexed	2025-11-24T02:27:45Z
last_indexed	2025-11-24T02:27:45Z
_version_	1850836833163804672
fulltext	Український математичний вiсник Том 8 (2011), № 3, 343 – 355 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах Александр В. Беляев (Представлена А. М. Самойленко) Аннотация. Представлено прямое доказательство теоремы Пуан- каре об инвариантных торах. 2010 MSC. 70H08. Ключевые слова и фразы. КАМ-теория, инвариантные торы, квазипериодические функции, ряды Линдштедта. Введение Одним из интригующих вопросов гамильтоновых систем является вопрос существования инвариантных торов при малом возмущении интегрируемой системы. Впервые этот вопрос был рассмотрен Пу- анкаре [1], причем формулировался он как задача о представлении решений возмущенной вполне интегрируемой гамильтоновой систе- мы в виде рядов, члены которых квазипериодичны (периодичны) по времени и являются степенными рядами по параметру возмущения (ряды Линдштедта). При этом было доказано, что существуют ряды Линдштедта, которые формально удовлетворяют уравнениям возму- щенной гамильтоновой системы, причем доказательство было полу- чено из “общих соображений” ([1, п. 127]) методом формального ре- шения уравнения Гамильтона – Якоби, поскольку “непосредственное доказательство ... нелегко” (там же). Далее ([1, п. 148]) Пуанкаре рассматривает возможность сходимо- сти рядов Линдштедта и приходит к выводу, что эти ряды, вообще говоря, не сходятся во всех случаях, кроме случая, когда квазипе- риоды рядов Линштедта не зависят от параметра возмущения. И в этом случае он допускает возможность сходимости рядов, если на- чальные условия таковы, что невозмущенный тор имеет несоизмери- мые частоты и выполнены еще некоторые условия (например, для Статья поступила в редакцию 11.05.2011 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 344 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... двух степеней свободы “отношение частот иррационально, а квадрат его, напротив, рационален”). Впрочем, Пуанкаре полагает, что “такой случай маловероятен” (там же). В 1954 г. Колмогоров анонсирует теорему [2], полное доказатель- ство которой затем публикует Арнольд [3] (1965), о существовании инвариантных торов возмущенной гамильтоновой системы. Доказа- тельство этой теоремы не использует рядов Линдштедта, что дает дополнительные основания считать эти ряды весьма “плохими” с то- чки зрения доказательства их сходимости для данной задачи. Тем не менее Мозер [4] (1967) рассматривает задачу, используя прямые мето- ды построения рядов, описывающих квазипериодические движения, а в 1988 г. Эльяссон публикует в препринте [5] полное доказатель- ство сходимости рядов Линдштедта возмущенной гамильтоновой си- стемы. Основываясь на идее Эльяссона, в 1994 году Черчиа и Фаль- колини [7], а в 1995 году Галлавотти и Джентиле [6] публикуют свои варианты доказательства. Из последующих работ отметим работы [8–10], впрочем, этот спи- сок можно расширить. Известно, что теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера не позво- ляет получить даже приближенно частный интеграл, задающий ин- вариантный тор с заданными частотами в исходных координатах. К сожалению, доказательство сходимости соответствующих рядов Линдштедта не улучшает ситуацию принципиально, так как сходи- мость этих рядов очень плохая. Поэтому устройство возмущенной интегрируемой гамильтоновой системы остается во многом непоня- тным. Это есть причина, по которой мы пытаемся получить результа- ты, дополняющие названные выше, а именно, мы предлагаем прямое доказательство существования формального решения возмущенной задачи для гамильтониана общего вида. Заметим, что в работах [4–10] рассматриваются гамильтонианы специального вида с тем, чтобы делать по возможности простым доказательство сходимости рядов Линдштедта. Нас же интересует возмущение гамильтониана общего вида, но при этом вопроса сходи- мости мы пока не касаемся. 1. О теореме Пуанкаре об инвариантных торах Мы рассматриваем возмущение вполне интегрируемой консерва- тивной гамильтоновой системы. Это значит, что невозмущенная га- мильтонова система задается гамильтонианом H(x) на симплектиче- ском многообразии M2n (с невырожденной скобкой Пуассона) имеет А. В. Беляев 345 вид ẋ = sgrad H(x) = ({x1, H(x)}, . . . , {x2n, H(x)}), и обладает набором n функционально независимых первых интегра- лов J1, . . . , Jn, находящихся в инволюции, то есть удовлетворяющих условиям {Jk, H} = {Jk, Jl} = 0, k, l = 1, . . . , n и задающих компактные инвариантные поверхности как поверхности уровня интегралов. Согласно теореме Лиувилля–Арнольда [11] почти все поверхности уровня первых интегралов являются n-мерными то- рами, на которых гамильтонова система задает условно-периодичес- кую обмотку. Более того, на фазовом пространстве можно ввести новые коор- динаты, называемые каноническими координатами “действие-угол”, в которых гамильтонова структура с помощью скобки Пуассона за- дается следующим образом: {F (I, ϕ), G(I, ϕ)} = ∂F ∂I ∂G ∂ϕ − ∂F ∂ϕ ∂G ∂I , здесь I ∈ R n — координаты действия, ϕ ∈ (R/Z)n — угловые коорди- наты. Гамильтониан в этих координатах имеет вид H(I), и, следова- тельно, гамильтонова система имеет максимально простой вид:    İ = 0, ϕ̇ = ∂H ∂I = α. (1.1) Решение системы (1.1) очевидно: I(t) = I(0), ϕ(t) = αt + ϕ(0). Естественно, что рассматривать возмущение интегрируемой задачи удобнее всего именно в координатах “действие-угол”. Итак, мы рассматриваем однопараметрическое семейство гамиль- тоновых систем с гамильтонианом H(I, ϕ) = H0(I) + εH1(I, ϕ), где функции H0, H1 аналитичны, I = I(I1, . . . Im), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) — координаты “действие-угол”,      İ = −ε ∂H1 ∂ϕ , ϕ̇ = ∂H0 ∂I + ε ∂H1 ∂I . (1.2) При нулевом значении параметра возмущения ε система (1.2) вполне интегрируема: I(t) = I0, ϕ(t) = ϕ0 + αt, где α = ∂H0 ∂I \|I=I0 . 346 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... Далее мы применяем метод Пуанкаре [1] малого параметра. Вве- дем обозначения: In = dn dεn I ∣ ∣ ∣ ε=0 , ϕn = dn dεn ϕ ∣ ∣ ∣ ε=0 . Для нахождения I1(t), ϕ1(t) имеем систему:      İ1 = − ∂H1 ∂ϕ , ϕ̇1 = ∂2H0 ∂I2 I1 + ∂H1 ∂I . (1.3) здесь и далее в аналогичных ситуациях мы подразумеваем, что аргу- менты I, ϕ в правой части (1.3) равны I0, αt, соответственно. Система (1.3) легко решается: I(t) = I1(0) − t ∫ 0 ∂H1 ∂ϕ dτ, ϕ(t) = ϕ1(0) − t ∫ 0 ( ∂2H0 ∂I2 I1 + ∂H1 ∂I ) dτ, причем функция I1(t) будет квазипериодической, если отношение ча- стот α = (α1, . . . , αm) достаточно плохо аппроксимируется рацио- нальными числами. В самом деле, m-периодическая функция от 2m переменных H1(I, ϕ), будучи к тому же аналитической, разлагается в ряд Фурье H1(I, ϕ) = ∑ k∈Zm hk(I)ei(k,ϕ). Ряд Фурье функции ∂H1 ∂ϕ из правой части (1.3) будет равен ∂H1 ∂ϕ (I0, αt) = i ∑ k∈Zm\{0} hk(I)ei(k, α)t k, (1.4) а первообразная от нее t ∫ 0 ∂H1 ∂ϕ dτ = h0(I) + ∑ k∈Zm\{0} hk(I) (k, α) ei(k, α)tk, (1.5) Ряд в правой части (1.5), вообще говоря, не суммируется, из-за знаменателей (k, α), которые могут быть сколь угодно малыми, даже А. В. Беляев 347 если частоты α = (α1, . . . , αm) несоизмеримы. Но, как известно из теории диофантовых приближений [11], для большинства α малые знаменатели (k, α) допускают оценку снизу вида (k, α) ≥ K\|k\|−(n+1). Эта оценка позволяет доказать сходимость рядов (1.4) и (1.5). Нако- нец, благодаря дифференцированию по ϕ, в правой части (1.4) нет константы, поэтому первообразная в (1.5) не имеет слагаемого с t, то есть является квазипериодической. Функцию ϕ(t) можно выбрать квазипериодической, если среднее значение квазипериодической функции ∂2H0 ∂I2 I1 + ∂H1 ∂I равно нулю. Здесь мы используем невырожденность оператора ∂2H0 ∂I2 , благодаря чему всегда можно выбрать значение I1(0) так, чтобы все подынте- гральное выражение в представлении ϕ(t) имело нулевое среднее. Итак, на первом шаге можно специальным образом выбрать I1(0) и произвольным образом ϕ1(0) так, что первое приближение возму- щенного решения будет задавать тор с такими же периодами, что и у невозмущенного решения. Теперь мы можем сформулировать проблему, связанную с возму- щением интегрируемой гамильтоновой системы: все ли функции İn(t) имеют нулевое среднее и сходятся ли полученные ряды по ε Iε(t) = I0 + ∞ ∑ n=1 In(t)εn n! , ϕε(t) = ϕ0 + αt + ∞ ∑ n=1 ϕn(t)εn n! . В принципе обе проблемы решены, но непрямыми методами. Как уже было отмечено, вопрос формального существования ряда решен Пуанкаре ([1, п. 127]) методом формального решения уравнения Га- мильтона–Якоби. Другая часть проблемы решена Колмогоровым и Арнольдом ( [2,3]), а именно, доказана сходимость замен, приводящих к системе вида (1.1) в некоторых новых координатах. Естественно, такие результаты стали сильным продвижением в решении проблемы о сохраняющихся торах, но все же не прекра- щался поиск прямых доказательств в КАМ-теории (Колмогорова– Арнольда–Мозера). Новое прямое доказательство теоремы Колмогорова–Арнольда представил Эльяссон [5]. Его доказательство касалось возмущения гамильтониана не самого общего вида: H = 〈ω, y〉 + 1 2 〈Qy, y〉 + ǫh(x, y, ǫ), (x, y) ∈ T n × R n, где det Q 6= 0, с фиксированными диофантовыми частотами ω. Эльяс- сон показал, что получающиеся в рассматриваемой им задаче ряды 348 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... Линдштедта не являются абсолютно сходящимися, но сходятся услов- но. Это-то и было причиной всех проблем, связанных с прямыми до- казательствами теоремы. Метод доказательства содержал очень тща- тельное слежение за коэффициентами всех рассматриваемых рядов. При этом надо помнить, что в ходе вычислений тригонометрические ряды и дифференцируются, и интегрируются, и умножаются друг на друга. Ввиду сложности представленного доказательства далее после- довали доказательства Галлавотти и Джентиле [6], Черчиа и Фаль- колини [7], в которых авторы пытались сделать имеющееся доказа- тельство более ясным. Отметим, что гамильтонианы в их работах отличались от гамильтониана [5], и имели вид ([6]): 1 2 J−1A · A + εf(α), где J — диагональный оператор инерции, A = (A1, . . . , Al) ∈ R l — угловые моменты, α = (α1, . . . , αl) ∈ T l — углы, описывающие поло- жение системы, и 1 2 y · y + εf(x) ([7]), заданный в координатах “действие-угол”. Итак, несмотря на очень серьезные результаты, проблема прямо- го доказательства теоремы Колмогорова–Арнольда остается актуаль- ной. Далее мы предлагаем прямое доказательство существования фор- мального решения возмущенной задачи для гамильтониана общего вида. Теорема 1.1. Пусть возмущенная гамильтонова система задается гамильтонианом H(I, ϕ) = H0(I) + εH1(I, ϕ), где функции H0, H1 аналитичны в окрестности тора, I = I(I1, . . . , Im), ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) — координаты “действие-угол”, Пусть на торе I = I0 выполнено соотношение (α, k) > β \|k\|γ , k ∈ Z m, β, γ > 0, α = ∂H0 ∂I ∣ ∣ ∣ I=I0 , (1.6) а также невырожден оператор ∂2H0 ∂I2 , тогда существуют формаль- ные ряды по ε Iε(t) = I0 + ∞ ∑ n=1 In(t)εn n! , ϕε(t) = ϕ0 + αt + ∞ ∑ n=1 ϕn(t)εn n! , (1.7) А. В. Беляев 349 задающие решение возмущенной гамильтоновой системы sgrad H, причем все функции In(t), ϕn(t) квазипериодичны и их явный вид мо- жет быть представлен в квадратурах. 2. Доказательство теоремы Пуанкаре об инвариантных торах Доказательство. Для нахождения ряда (1.7) мы дифференцируем по ε систему (1.2). Выясним сначала, чему равны In, ϕn.                İn = dn dεn ( −ε ∂H1 ∂ϕ ) ε=0 = −n dn−1 dεn−1 ( ∂H1 ∂ϕ ) ε=0 , ϕ̇n = dn dεn ( ∂H0 ∂I I1 + ε ∂H1 ∂I ) ε=0 = dn dεn ( ∂H0 ∂I ) ε=0 + n dn−1 dεn−1 ( ∂H1 ∂I ) ε=0 . (2.1) Для удобства в выкладках введем формальный оператор диффе- ренцирования D D(F (I, ϕ, I1, ϕ1, I2, ϕ2, . . . , )) = ∂F ∂I I1 + ∂F ∂ϕ ϕ1 + ∑ k ( ∂F ∂Ik Ik+1 + ∂F ∂ϕk ϕk+1 ) (2.2)        İn = −nD n−1 ( ∂H1 ∂ϕ ) , ϕ̇n = nD n−1 ( ∂H1 ∂I ) + D n ( ∂H0 ∂I ) . (2.3) Для n = 1 система (2.3) есть (1.3), для n = 2 — примет вид:        İ2 = −2 ( ∂2H1 ∂I∂ϕ I1 + ∂2H1 ∂2ϕ ϕ1 ) , ϕ̇2 = ∂3H0 ∂I3 I2 1 + ∂2H0 ∂I2 I2 + 2 ∂2H1 ∂2I I1 + 2 ∂2H1 ∂I∂ϕ ϕ1. (2.4) Как и система (1.3) система (2.4) легко интегрируется. Покажем, что функция I2 квазипериодична. Вначале заметим, что квазипериодические функции I1, ϕ1 опреде- ляют функции Ĩ1, ϕ̃1, заданные на торе I = I0 такие, что I1 = Ĩ1(αt), ϕ1 = ϕ̃1(αt). Именно, если ∑ k∈Zm hk(I)ei(k, α)t, то ∑ k∈Zm hk(I)ei(k, ϕ), и тогда на производные İ1, ϕ̇1 в левой части (2.4) можно смотреть 350 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... как на производные по направлению векторного поля sgrad H0; кро- ме того, имеют смысл частные производные ∂Ĩ1 ∂ϕ , ∂ϕ̃1 ∂ϕ . Для простоты в записях далее мы опускаем тильду в Ĩ1, ϕ̃1, поскольку это не при- водит к недоразумению. В таком случае первое уравнение системы (2.4) может быть запи- сано в виде: İ2 = ( ∂I1 ∂ϕ ϕ1 + ∂ϕ1 ∂ϕ I1 )· − ∂ ∂ϕ ( ∂H1 ∂I I1 + ∂H1 ∂ϕ ϕ1 ) , откуда видно, что функция İ2 имеет нулевое среднее. Далее необходимо показать, что аналогичное представление мо- жно получить для всех функций İn. Мы покажем, что искомое пред- ставление имеет вид: İn = n−1 ∑ k=1 Ck nEk n − ∂ ∂ϕ ( nD n−1H1 + Gn ) , (2.5) где Ek n = m ∑ p=1 ( (ϕ̇n−k)p ∂(Ik)p ∂ϕ − ( İn−k ) p ∂(ϕk)p ∂ϕ ) , G2 = ∂2H0 ∂I2 I2 1 , Gn+1 = DGn + ∂2H0 ∂I2 I1In. Этого достаточно, поскольку Ek n + En−k n имеет нулевое среднее. Для упрощения записей далее Ek n будем записывать в виде Ek n = ϕ̇n−k ∂Ik ∂ϕ − İn−k ∂ϕk ∂ϕ . Ek n + En−k n = ϕ̇n−k ∂Ik ∂ϕ − İn−k ∂ϕk ∂ϕ + ϕ̇k ∂In−k ∂ϕ − İk ∂ϕn−k ∂ϕ = ∂ ∂ϕ (ϕ̇n−k Ik − İn−k ϕk) + ( ϕk ∂In−k ∂ϕ − Ik ∂ϕn−k ∂ϕ )· . При n = 2 истинность (2.5) проверяется непосредственно. Индукционный шаг разобьем на 2 этапа. Поскольку при вычисле- нии İn функции H0 и H1 только дифференцируются, но не перемно- жаются, то сначала докажем формулу (2.5) по модулю H0, а затем по модулю H1. Итак, предполагаем, что (12) верно и доказываем, что верно İn+1 = n ∑ k=1 Ck n+1E k n+1 − ∂ ∂ϕ ((n + 1)DnH1 + Gn+1) . (2.6) А. В. Беляев 351 Применим оператор D к левой и правой частям (2.5), учитывая, что по определению D DIn = In+1, Dϕn = ϕn+1, и согласно (10) Dİn = n n + 1 İn+1, Dϕ̇n = n n + 1 ϕ̇n+1 (mod H0). Мы получим n n + 1 İn+1 = n−1 ∑ k=1 Ck nD ( ϕ̇n−k ∂Ik ∂ϕ − İn−k ∂ϕk ∂ϕ ) − D ∂ ∂ϕ ( nD n−1H1 + Gn ) . (2.7) Как видим, для вычисления (2.7) надо находить результат дей- ствия оператора D на функции вида ∂Ik ∂ϕ , ∂ϕk ∂ϕ . Учитывая, что правой части İ2 таких слагаемых нет (в представлении (2.5) такие слагаемые взаимно уничтожаются), положим D ∂Ik ∂ϕ = ∂Ik+1 ∂ϕ , D ∂ϕk ∂ϕ = ∂ϕk+1 ∂ϕ . С учетом сказанного, имеем по модулю H0 n n + 1 İn+1 + D ∂ ∂ϕ ( nD n−1H1 ) = n−1 ∑ k=1 Ck n ( n − k n + 1 − k Ek n+1 + Ek+1 n+1 ) . В сумме полученного представления изменим индексы суммиро- вания n n + 1 İn+1 + D ∂ ∂ϕ ( nD n−1H1 ) = n−1 ∑ k=1 Ck n n − k n + 1 − k Ek n+1 + n ∑ k=2 Ck−1 n Ek n+1 = (n − 1)E1 n+1 + n−1 ∑ k=2 ( Ck n n − k n + 1 − k + Ck−1 n ) Ek n+1 + nEn n+1 = (n − 1)E1 n+1 + n n + 1 n−1 ∑ k=2 Ck n+1E k n+1 + nEn n+1 = n n + 1 n ∑ k=1 Ck n+1E k n+1 − E1 n+1 352 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... и в результате получаем İn+1 = n ∑ k=1 Ck n+1E k n+1 − n + 1 n E1 n+1 − D ∂ ∂ϕ ( (n + 1)Dn−1H1 ) . Сравнивая полученное соотношение с (2.6), видим, что по модулю H0 остается доказать, что ∂ ∂ϕ ((n + 1)DnH1) = n + 1 n E1 n+1 + D ∂ ∂ϕ ( (n + 1)Dn−1H1 ) или [ ∂ ∂ϕ ,D ] (Dn−1H1) − 1 n E1 n+1 = 0. (2.8) Простая проверка показывает, что если функция F состоит из слагаемых вида ∂α+βH1 ∂Iα∂ϕβ Is1 1 . . . ϕt1 1 . . . , то [ ∂ ∂ϕ ,D ] F = ∂I1 ∂ϕ P1F + ∂ϕ1 ∂ϕ P2F, (2.9) где P1 ( ∂α+βH1 ∂Iα∂ϕβ Is1 1 . . . ϕt1 1 . . . ) = ∂α+β+1H1 ∂Iα+1∂ϕβ Is1 1 . . . ϕt1 1 . . . , P2 ( ∂α+βH1 ∂Iα∂ϕβ Is1 1 . . . ϕt1 1 . . . ) = ∂α+β+1H1 ∂Iα∂ϕβ+1 Is1 1 . . . ϕt1 1 . . . . Кроме того, очевидно, что [D,Pi] = 0, для i = 1, 2. Применим теперь полученные результаты к левой части (2.8), мы получим по модулю H0, что ∂I1 ∂ϕ P1(D n−1H1) + ∂ϕ1 ∂ϕ P2(D n−1H1) − 1 n ( ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ − İn ∂ϕ1 ∂ϕ ) = ∂I1 ∂ϕ (P1(D n−1H1) − D n−1ϕ̇1) + ∂ϕ1 ∂ϕ (P2(D n−1H1) + D n−1İ1) = ∂I1 ∂ϕ D n−1 ( ∂H1 ∂I − ϕ̇1 ) + ∂ϕ1 ∂ϕ D n−1 ( ∂H1 ∂ϕ + İ1 ) = 0. Теперь докажем, что из (2.5) следует (2.6) по модулю H1. Мы имеем согласно определению D DIn = In+1, Dϕn = ϕn+1, А. В. Беляев 353 и согласно (2.3) İn = 0 (mod H1), Dϕ̇n = ϕn (mod H1). Итак, мы должны доказать, что из n−1 ∑ k=1 Ck n ϕ̇n−k ∂Ik ∂ϕ − ∂Gn ∂ϕ = 0 (mod H1) следует n ∑ k=1 Ck n+1 ϕ̇n+1−k ∂Ik ∂ϕ − ∂Gn+1 ∂ϕ (mod H1) = 0. (2.10) Применим оператор D к (2.9): n−1 ∑ k=1 Ck n ( D(ϕ̇n−k) ∂Ik ∂ϕ + ϕ̇n−k D ∂Ik ∂ϕ ) − D ∂Gn ∂ϕ = 0 (mod H1), n−1 ∑ k=1 Ck n ( ϕ̇n+1−k ∂Ik ∂ϕ + ϕ̇n−k ∂Ik+1 ∂ϕ ) − D ∂Gn ∂ϕ = 0 (mod H1), n−1 ∑ k=1 Ck n ϕ̇n+1−k ∂Ik ∂ϕ + n ∑ k=2 Ck−1 n ϕ̇n+1−k ∂Ik ∂ϕ − D ∂Gn ∂ϕ = 0 (mod H1), −ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ + n ∑ k=1 Ck n+1 ϕ̇n+1−k ∂Ik ∂ϕ − ϕ̇1 ∂In ∂ϕ − D ∂Gn ∂ϕ = 0 (mod H1), и, сравнивая полученный результат с (2.10), видим, что необходимо доказать, что ∂Gn+1 ∂ϕ = ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ + ϕ̇1 ∂In ∂ϕ + D ∂Gn ∂ϕ (mod H1). Учитывая (2.5), получим ∂ ∂ϕ ( DGn + ∂2H0 ∂I2 I1In ) = ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ + ϕ̇1 ∂In ∂ϕ + D ∂Gn ∂ϕ (mod H1), [ ∂ ∂ϕ ,D ] Gn + ∂ ∂ϕ ∂2H0 ∂I2 I1In − ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ − ϕ̇1 ∂In ∂ϕ = 0 (mod H1), Подставим значение ϕ̇1 (modH1) [ ∂ ∂ϕ ,D ] Gn + ∂ ∂ϕ ∂2H0 ∂I2 I1In − ϕ̇n ∂I1 ∂ϕ − ∂2H0 ∂I2 I1 ∂In ∂ϕ = 0 (mod H1), 354 О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре... Коммутатор операторов [ ∂ ∂ϕ ,D ] по модулю H1 имеет вид [ ∂ ∂ϕ ,D ] F = ∂I1 ∂ϕ P1F, поэтому ( P1Gn + ∂2H0 ∂I2 In − ϕ̇n ) ∂I1 ∂ϕ = 0 (mod H1). То, что полученное в скобках выражение равно нулю, докажем по индукции. При n = 2 оно, очевидно, выполняется (см. (1.3), (2.5) и (2.9)). Далее в силу определения D и свойств P1 имеем D ( P1Gn + ∂2H0 ∂I2 In − ϕ̇n ) = 0 (mod H1), P1DGn + ∂3H0 ∂I3 I1In + ∂2H0 ∂I2 In+1 − ϕ̇n+1 = 0 (mod H1), P1 ( DGn + ∂2H0 ∂I2 I1In ) + ∂2H0 ∂I2 In+1 − ϕ̇n+1 = 0 (mod H1), P1Gn+1 + ∂2H0 ∂I2 In+1 − ϕ̇n+1 = 0 (mod H1). Что и требовалось доказать. Литература [1] А. Пуанкаре, Новые методы небесной механики. Избранные труды. Т. 1, Наука, Москва, 1971. [2] А. Н. Колмогоров, О сохранении условно-периодических движений при ма- лом изменении функции Гамильтона // Доклады АН СССР, 98 (1954), No. 4, 527–530. [3] В. И. Арнольд, Малые знаменатели II. Доказательство теоремы А. Н. Кол- могорова о сохранении условно-периодических движений при малом измене- нии функции Гамильтона // Успехи матем. наук, 18 (1965), No. 5, 13–40. [4] Ю. Мозер, О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды // Успехи матем. наук, 24 (1969), No. 2, 165–211. [5] L. H. Eliasson, Absolutely convergent series for quasy-periodic motions, Report 2-88, Department of Mathematics, University of Stockholm, (1988), Preprint of University of Stockholm. [6] G. Gallavotti, G. Gentile, Majorant series convergence for twistless KAM tori // Ergod. Th. and Dynam. Sys, 15 (1995), 857–869. [7] L. Chierchia, C. Falcolini, A direct proof of a theorem by Kolmogorov in hami- ltonian systems // Annali della Scuola Normale Superiore di Piza, 21 (1995), No. 4, 541–593. А. В. Беляев 355 [8] À. Jorba, R. de la Llave, M. Zou, Lindstedt series for lower-dimensional tori, “Hamiltonian systems with three or more degrees of freedom”, (S’Agaro, 1995), 151—167, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 533, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, (1999). [9] M. V. Bartuccelli, G. Gentile, Lindstedt series for perturbations of isochronous systems: a review of the general theory // Rev. Math. Phys., 14 (2002), No. 2, 121—171. [10] M. V. Bartuccelli, G. Gentile, K. V. Georgiou, KAM theory, Lindstedt series and the stability of the upside-down pendulum // Discrete and continuous dynamical systes, 9 (2003), No. 2, 413—426. [11] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, Наука, Москва, 1989. [12] В. И. Левитан, В. В. Жиков, Почти-периодические функции и дифференци- альные уравнения, МГУ, Москва, 1978. Сведения об авторах Александр Владимирович Беляев Донецкий государственный университет управления ул. Челюскинцев, 163А 83015 Донецк Украина E-Mail: nika@vnet.dn.ua

О прямом доказательстве теоремы Пуанкаре об инвариантных торах

Institution

Ähnliche Einträge