О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди
Доказана эквивалентность специальных модулей гладкости и K-функционалов дробного порядка в пространстве Hp, p > 0. В качестве приложений получен аналог теоремы Харди–Литтльвуда, а также точные оценки приближения функций обобщенными средними Бохнера–Рисса....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Український математичний вісник |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124429 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди / Ю.С. Коломойцев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 421-446. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124429 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1244292025-02-23T18:07:17Z О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди Коломойцев, Ю.С. Доказана эквивалентность специальных модулей гладкости и K-функционалов дробного порядка в пространстве Hp, p > 0. В качестве приложений получен аналог теоремы Харди–Литтльвуда, а также точные оценки приближения функций обобщенными средними Бохнера–Рисса. 2011 Article О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди / Ю.С. Коломойцев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 421-446. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 30H10, 30E10. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124429 ru Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Доказана эквивалентность специальных модулей гладкости и K-функционалов дробного порядка в пространстве Hp, p > 0. В качестве приложений получен аналог теоремы Харди–Литтльвуда, а также точные оценки приближения функций обобщенными средними Бохнера–Рисса. |
| format |
Article |
| author |
Коломойцев, Ю.С. |
| spellingShingle |
Коломойцев, Ю.С. О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди Український математичний вісник |
| author_facet |
Коломойцев, Ю.С. |
| author_sort |
Коломойцев, Ю.С. |
| title |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди |
| title_short |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди |
| title_full |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди |
| title_fullStr |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди |
| title_full_unstemmed |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди |
| title_sort |
о модулях гладкости и k-функционалах дробного порядка в пространствах харди |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124429 |
| citation_txt |
О модулях гладкости и K-функционалах дробного порядка в пространствах Харди / Ю.С. Коломойцев // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 3. — С. 421-446. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT kolomojcevûs omodulâhgladkostiikfunkcionalahdrobnogoporâdkavprostranstvahhardi |
| first_indexed |
2025-11-24T06:18:45Z |
| last_indexed |
2025-11-24T06:18:45Z |
| _version_ |
1849651495716257792 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 3, 421 – 446
О модулях гладкости и K-функционалах
дробного порядка в пространствах Харди
Юрий С. Коломойцев
(Представлена Р. М. Тригубом)
Аннотация. Доказана эквивалентность специальных модулей
гладкости и K-функционалов дробного порядка в пространстве Hp,
p > 0. В качестве приложений получен аналог теоремы Харди–Лит-
тльвуда, а также точные оценки приближения функций обобщен-
ными средними Бохнера–Рисса.
2010 MSC. 30H10, 30E10.
Ключевые слова и фразы. Пространства Харди, K-функционал,
модули гладкости, дробная производная.
1. Введение
Единичный круг обозначим через D = { z ∈ C : |z| < 1}. Анали-
тическая в единичном круге D функция f принадлежит пространс-
тву Hp, если
‖f‖Hp = sup
0<ρ<1
( 2π∫
0
|f(ρeit)|p dt
) 1
p
<∞.
Хорошо известно, что каждая функция f ∈ Hp, p > 0, имеет не-
касательный предел f(eit) для почти всех t ∈ [0, 2π), принадлежащий
пространству Lp. Здесь и далее Lp обозначает пространство измери-
мых, 2π-периодических функций с конечной (квази-)нормой
‖f‖p = ‖f(eit)‖p =
( 2π∫
0
|f(eit)|p dt
) 1
p
.
Имеет место равенство: ‖f‖Hp = ‖f‖p (см. [11]).
Статья поступила в редакцию 21.03.2011
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
422 О модулях гладкости и K-функционалах...
Любая функция из Hp, p > 0, раскладывается в круге D в абсо-
лютно сходящийся степенной ряд
f(z) =
∞∑
k=0
ckz
k,
где zk = ρkeikt, ck = ck(f) — коэффициенты ряда Тейлора функции f .
Пусть r ∈ N, всюду далее:
fr(z) =
∞∑
k=r
ckz
k,
x+ = max(x, 0) и [x] — целая часть числа x.
Биномиальные коэффициенты дробного порядка β > 0 обозначим
через (
β
k
)
=
β(β − 1) · · · (β − k + 1)
k!
, k ∈ N
и
(
β
0
)
= 1. Мы будем неоднократно использовать следующую, хорошо
известную, оценку (см., например, [29, гл. 1, §1]):
∣∣∣∣
(
β
k
)∣∣∣∣ ≤
C(β)
kβ+1
. (1.1)
Всюду далее C и Cj , j = 1, 2, . . . , — некоторые положительные
константы, зависящие от указанных параметров. Запись A(f, ε) ≍
B(f, ε) будет обозначать двустороннее неравенство с положитель-
ными константами, не зависящими от f и ε.
Гладкость функций измеряют модулями гладкости разных поряд-
ков. См., например, работы [4,7,8,25,32,34,35,37,38], в которых изуча-
ются и применяются к целому ряду задач анализа различные модули
гладкости целого и дробного порядка.
В настоящей работе рассматриваются следующие модули гладко-
сти дробного порядка β > 0:
1. Контурный (граничный) модуль гладкости определяют следу-
ющим образом:
ωβ(f, ε)p = sup
0<δ<ε
( 2π∫
0
∣∣∣∣
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νf(ei(t+νδ))
∣∣∣∣
p
dt
) 1
p
. (1.2)
При целых β > 0 свойства модуля гладкости (1.2) хорошо известны
(см., например, [14, гл. 4]). Основные свойства данного модуля в слу-
чае дробных β > 0 см. в [4, 25].
Ю. С. Коломойцев 423
2. Радиальный модуль гладкости определяют по формуле:
ωβ(f,R, ε)p =
( 2π∫
0
∣∣∣∣
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νf(e−νεeit)
∣∣∣∣
p
dt
) 1
p
. (1.3)
Заметим, что величину (1.3) можно рассматривать как (квази-)норму
разности функции f и ее обобщенных средних Абеля–Пуассона
P β
ε (f, z) =
∞∑
ν=1
(
β
ν
)
(−1)ν+1f(e−νεz),
т.е.
ωβ(f,R, ε)p = ‖f − P β
ε ‖p.
Изучению двусторонних оценок приближения функций обобщенны-
ми средними Абеля–Пуассона в пространствах Hp посвящены рабо-
ты [25, 27, 31, 32]. Приведем здесь теорему об эквивалентности кон-
турного модуля гладкости (1.2) и радиального модуля гладкости (1.3)
(другими словами, теорему об эквивалентности погрешности прибли-
жения функций обобщенными средними Абеля–Пуассона и модуля
гладкости (1.2) в пространстве Hp).
Теорема A (cм. [25, 27]). Пусть f ∈ Hp, 0 < p < ∞, β ∈ N ∪
((1/p− 1)+,∞). Тогда
ωβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1).
Мы покажем (см. теорему 2.2), что если вместо модуля (1.2) в те-
ореме A использовать соответствующий K-функционал (см. (1.11)),
то ограничение β > 1/p − 1 можно заменить на β > 0. Аналогичное
утверждение, дополняющее основные результаты работы [26], выпол-
няется и в случае приближения функции обобщенными средними
Бохнера–Рисса (см. теорему 5.2 ниже).
3. Модифицированный радиальный модуль гладкости введем сле-
дующим образом:
ωβ(f,J , ε)p =
( 2π∫
0
∣∣∣∣
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νe−νεf(e−νεeit)
∣∣∣∣
p
dt
) 1
p
. (1.4)
С помощью данного модуля гладкости мы получим двусторонние
оценки для K-функционала, соответствующего дробной производной
424 О модулях гладкости и K-функционалах...
в смысле Римана–Лиувилля (см. (1.7)). Модуль (1.4) можно также
рассматривать как разность функции f и ее средних
P̃ β
ε (f, z) =
∞∑
ν=1
(
β
ν
)
(−1)ν+1e−νεf(e−νεz). (1.5)
Перейдем к определению K-функционалов. Сначала рассмотрим
K-функционал, соответствующий дробной производной в смысле Ри-
мана–Лиувилля. Пусть β > 0, дробная производная в смысле Рима-
на–Лиувилля, определяется следующим образом:
f (β)(z) =
∞∑
k=[β]
Γ(k − [β] + 1 + β)
Γ(k − [β] + 1)
ckz
k−[β]. (1.6)
Если β ∈ N, то f (β) — обычная производная. Определение (1.6) можно
найти в работе А. А. Пекарского [24]. K-функционал, соответствую-
щий производной (1.6), определяют по формуле:
Kβ(f, ε)p = inf
g
{‖f − g‖p + εβ‖g(β)‖p}. (1.7)
Отметим, что при β ∈ N имеет место соотношение (см. [8, 35]):
Kβ(f, ε)p ≍ ωβ(f[β], ε)p, ε ∈ (0, 1). (1.8)
Мы покажем (см. теорему 2.3 и следствие 2.2 ниже), что соотноше-
ние (1.8) имеет место и для дробных β > (1/p− 1)+.
Отметим также, что в терминах K-функционала (1.7) в работе [8]
была получена следующая теорема типа Харди–Литтльвуда о росте
дробной производной функции при подходе к границе.
Теорема B (cм. [8]). Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда:
1) имеет место неравенство
‖f (β)(reit)‖p ≤ C(1 − r)−βKβ(f, 1 − r)p, 0 < r < 1,
где C — константа, не зависящая от f и r;
2) пусть ω(t) — неубывающая непрерывная функция на [0, 1] та-
кая, что ω(+0) = 0 и
ε∫
0
ω(u)
u
du ≤ Cω(ε), ε ∈ (0, 1),
Ю. С. Коломойцев 425
где C — константа, не зависящая от ε. Тогда из неравенства
‖f (β)(reit)‖p ≤ C(1 − r)−βω(1 − r), r → 1 − 0,
следует, что
Kβ(f, ε)p ≤ Cω(ε), ε ∈ (0, 1).
Мы покажем (см. теорему 2.3), что K-функционал в теореме B
можно заменить на специальный модуль гладкости, а также докажем
аналог теоремы B для производных в смысле Вейля.
В настоящей работе мы будем рассматривать следующие произво-
дные в смысле Вейля
Rβf(z) =
∞∑
k=0
kβckz
k (1.9)
и
J βf(z) =
∞∑
k=0
(k + 1)βckz
k. (1.10)
K-функционалы, соответствующие производным (1.9) и (1.10), опре-
деляют по следующим формулам:
Kβ(f,R, ε)p = inf
g
{‖f − g‖p + εβ‖Rβg‖p} (1.11)
и
Kβ(f,J , ε)p = inf
g
{‖f − g‖p + εβ‖J βg‖p}. (1.12)
В работе [9] (см. также [1,17]) было доказано, что при β ∈ N имеет
место соотношение:
Kβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1). (1.13)
Ниже (см. теорему 2.4) мы докажем соотношение (1.13) для дробных
β > (1/p− 1)+.
Следует отметить статью [38], а также монографию [14], в кото-
рых содержится достаточно полный обзор результатов, касающихся
свойств различных модулей гладкости и K-функционалов.
Настоящая статья имеет следующую структуру. В § 2 излагаются
основные результаты работы. В § 3 приводятся вспомогательные те-
оремы о мультипликаторах степенных рядов в пространствах Харди
Hp, а также доказываются вспомогательные леммы, используемые в
последующих параграфах. В § 4 доказываются основные результа-
ты работы. В § 5, в качестве приложений, получен аналог теоремы
426 О модулях гладкости и K-функционалах...
Харди–Литтльвуда о росте производной функции при подходе к гра-
нице, а также получены двусторонние оценки приближения функций
обобщенными средними Бохнера–Рисса.
Доказательство основных результатов настоящей статьи основано
на методах и теоремах о мультипликаторах из работы [37].
2. Формулировка основных результатов
2.1. Модули гладкости и K-функционалы в Hp, p > 0
Следующие теоремы обобщают результаты работы [17] на случай
дробных β > 0.
Теорема 2.1. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
Kβ(f,J , ε)p ≍ ωβ(f,J , ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.1)
Теорема 2.2. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
Kβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f,R, ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.2)
Из теорем 2.1 и 2.2, а также леммы 3.5 (см. ниже) получаем:
Следствие 2.1. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
ωβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f1,J , ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.3)
В следующей теореме приводится соотношение между K-функ-
ционалом, соответствующим дробной производной в смысле Римана–
Лиувилля (1.6), и модулем гладкости (1.4).
Теорема 2.3. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
Kβ(f, ε)p ≍ ωβ(f[β],J , ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.4)
Для обычного контурного модуля гладкости (1.2) имеет место сле-
дующая теорема.
Теорема 2.4. Пусть f ∈ Hp, 0 < p < ∞, β ∈ N ∪ ((1/p − 1)+,∞).
Тогда
Kβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1).
Комбинируя теоремы 2.1–2.4 и следствие 2.1, можно получить со-
отношения эквивалентности между различными модулями гладкости
и K-функционалами. Например, имеет место следующее утвержде-
ние.
Следствие 2.2. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β ∈ N ∪ ((1/p− 1)+,∞).
Тогда
ωβ(f, ε)p ≍ ωβ(f1,J , ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.5)
Ю. С. Коломойцев 427
2.2. Модули гладкости и K-функционалы в Lp, 0 < p < 1
Отметим, что обычныйK-функционал в пространстве Lp, 0 < p <
1, тождественно равен 0 (см. [7]). Однако, как было показано в работе
[7], в этом случае K-функционал можно заменить его реализацией,
которую принято обозначать через K̃. Чтобы определить объект K̃
введем необходимые обозначения.
Множество всех тригонометрических полиномов порядка не выше
n обозначим символом Tn. Пусть
Tn(eit) =
∑
k
ake
ikt ∈ Tn.
Дробную производную в смысле Вейля полинома Tn определяют сле-
дующим образом:
DβTn(eit) =
∑
k
(ik)βake
ikt, (ik)β = |k|βe
iπβ
2
sign k.
Положим
K̃β(f, ε)p = inf
T∈T[1/ε]
{‖f − T‖p + εβ‖DβT‖p}. (2.6)
Следующая теорема при β ∈ N была получена в работе [7], а для
дробных β является, по-видимому, новой.
Теорема 2.5. Пусть f ∈ Lp, 0 < p < 1, β ∈ N ∪ (1/p− 1,∞). Тогда
K̃β(f, ε)p ≍ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1). (2.7)
3. Вспомогательные утверждения
Для доказательства основных результатов мы будем использовать
теоремы о мультипликаторах из работы [37] (см. также [14, гл.7]).
Числовая последовательность {λk}k∈Z+ называется мультиплика-
тором в Hp (будем писать {λk} ∈ Mp), если для любой функции
f ∈ Hp с коэффициентами Тейлора {ck}
(Λf)(z) =
∞∑
k=0
λkckz
k ∈ Hp
и существует константа γ такая, что для любой функции f ∈ Hp
‖Λf‖Hp ≤ γ‖f‖Hp , ‖{λk}‖Mp = inf γ.
428 О модулях гладкости и K-функционалах...
Если ϕ : R+ 7→ C, (R+ = [0,∞)), то будем писать ϕ ∈Mp, если
‖ϕ‖Mp = sup
ε>0
‖{ϕ(εk)}‖Mp <∞.
Приведем здесь несколько свойств мультипликаторов (см., напри-
мер, [14, гл. 7], [37]):
1) Mp ⊂Mq ⊂Mr при 0 < p < q ≤ 1 ≤ r ≤ ∞;
2) ‖{λkµk}‖Mp ≤ ‖λk‖Mp‖µk‖Mp при p > 0;
3) ‖{λk + µk}‖
s
Mp
≤ ‖λk‖
s
Mp
+ ‖µk‖
s
Mp
при s = min(1, p).
Лемма 3.1 (принцип сравнения [37]). Пусть {λk} и {λ̃k} — две
такие последовательности, что из λk = 0 следует λ̃k = 0, а K =
inf ‖{λ̃k/λk}‖Mp < ∞ (нижняя грань относится к выбору значений
дробей 0/0), p > 0. Тогда для любой функции f такой, что Λf ∈ Hp
выполняется неравенство ‖Λ̃f‖Hp ≤ K‖Λf‖Hp .
Приведем одно достаточное условие для мультипликаторов сте-
пенных рядов.
Лемма 3.2. Пусть 0 < p ≤ ∞, а ϕ ∈ Cr(R+) при некотором нату-
ральном r > 1/s− 1/2, s = min(1, p). Если
|ϕ(x)| ≤
A
1 + xa
,
∣∣∣∣
∂rϕ
∂xr
(x)
∣∣∣∣ ≤
B
1 + xb
,
где b = a > 1/s− 1/2, то
‖ϕ‖Mp ≤ C(r, p, a, b)(A+B).
Доказательство. При 0 < p ≤ 1 доказательство леммы 3.2 можно
найти в [37]. В случае p ≥ 1 продолжим ϕ на R с сохранением ее
свойств, например, по методу Хестенса (см. [30]). Тогда по теореме 1
из статьи [23] получим, что продолженная функция представляется в
виде абсолютно сходящегося интеграла Фурье. Таким образом, при-
менив теорему 1 из статьи [36], а также неравенство
‖{λk}‖Mp ≤ ‖{λk}‖M∞
,
которое имеет место для любого p∈ [1,∞) (см., например, [39, c. 284]),
мы докажем лемму 3.2.
Следующая лемма доказана в статье [8].
Ю. С. Коломойцев 429
Лемма 3.3. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
‖J βf(reit)‖p ≤ C(1 − r)−β‖f‖p, 0 < r < 1, (3.1)
где C — константа, не зависящая от f и r.
Из леммы 3.3 нетрудно получить неравенство типа Бернштейна
для аналитических полиномов (см. [2, 19]). Далее множество анали-
тических полиномов порядка не выше n обозначаем символом T +
n ,
т.е.
T +
n = span{ eikt : 0 ≤ k ≤ n, k ∈ Z }.
Лемма 3.4. Пусть 0 < p < ∞, β > 0, n ∈ N. Тогда для любого
полинома T ∈ T +
n имеет место неравенство
‖J βT‖p ≤ Cnβ‖T‖p, (3.2)
где C — константа, не зависящая от T и n.
В следующей лемме приведены соотношения между производны-
ми (1.6), (1.9) и (1.10).
Лемма 3.5. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
C−1‖J βf[β]‖p ≤ ‖f (β)‖p ≤ C‖J βf[β]‖p (3.3)
и
C−1‖J βf1‖p ≤ ‖Rβf‖p ≤ C‖J βf‖p, (3.4)
где C — константа, не зависящая от функции f .
Доказательство. Неравенства (3.3) вытекают из леммы 1 ста-
тьи [24]. Докажем нижнее неравенство в (3.4). В силу принципа срав-
нения (лемма 3.1) достаточно показать, что последовательность
λk =
{(
k+1
k
)β
− 1, k ≥ 1;
0, k = 0
является мультипликатором в пространстве Hp.
Пусть функция h ∈ C∞(R+) и
h(x) =
{
0, x ≤ 1/4;
1, x > 1/2.
Рассмотрим функцию ϕ(x) = h(x)((1 + 1/x)β − 1). Используя лем-
му 3.2, нетрудно проверить, что ϕ ∈Mp, а поскольку ϕ(k) = λk, то и
{λk} ∈Mp.
Верхнее неравенство в (3.4) доказывается аналогично.
Лемма 3.5 доказана.
430 О модулях гладкости и K-функционалах...
Используя леммы 3.3 и 3.5, получаем следующее утверждение.
Лемма 3.6. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
‖Rβf(reit)‖p ≤ C(1 − r)−β‖f‖p, 0 < r < 1, (3.5)
где C — константа, не зависящая от f и r.
Из лемм 3.5 и 3.6 получаем также, что для любого полинома T ∈
T +
n и β > 0
‖RβT‖p ≤ Cnβ‖T‖p, (3.6)
где C — константа, не зависящая от T и n.
Отметим, что для тригонометрических полиномов с полным спе-
ктром неравенство вида (3.6) с производной Вейля Dβ было получено
в работах [3, 13]. Однако, в отличие от случая аналитических поли-
номов, при β 6∈ N и 0 < p < 1 данное неравенство имеет место только
для β > 1/p− 1 (см. [3]).
Лемма 3.7. Пусть 0 < p < ∞, β > 0 и ρε, j(x) = (x + jε)βh(x), где
j = 0, 1, h ∈ C∞(R+), supph ⊂ [0, 2) и h(x) = 1 при x ≤ 1. Тогда
sup
ε∈(0,1)
‖{ρε, j(εk)}‖Mp <∞.
Доказательство. Пусть функция f(z) =
∑
k ckz
k ∈ Hp. Применяя
неравенства типа Бернштейна (3.2) и (3.6), а также учитывая, что
функция h ∈Mp, находим:
∥∥∥∥
∞∑
k=0
(εk + jε)βh(εk)cke
ikt
∥∥∥∥
p
≤ C1
∥∥∥∥
∞∑
k=0
h(εk)cke
ikt
∥∥∥∥
p
≤ C2‖f‖p.
Лемма 3.7 доказана.
Лемма 3.8. Пусть f ∈ Lp, 0 < p <∞, β ∈ N∪ ((1/p−1)+,∞). Тогда
1) ωβ(f, ε)p ≤ C1‖f‖p, (3.7)
2) если λ > 0, то
ωβ(f, λε)p ≤ C1(λ+ 1)C2ωβ(f, ε)p,
где C1 и C2 — константы, не зависящие от f , ε и λ.
Доказательство леммы 3.8 можно найти в работе [25] (см. также
в [4] случай p ≥ 1).
В следующей лемме показано, что для специальных модулей глад-
кости (1.3) и (1.4) свойство (3.7) имеет место для любого β > 0.
Ю. С. Коломойцев 431
Лемма 3.9. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0 и ε ∈ (0, 1). Тогда:
1) ωβ(f,J , ε)p ≤ C‖f‖p; (3.8)
2) ωβ(f,R, ε)p ≤ C‖f‖p, (3.9)
где C — константа, не зависящая от f и ε.
Доказательство. Для доказательства утверждения 1) введем функ-
цию
ϕε(x) = (1 − e−(x+ε))β . (3.10)
Заметим, что
∞∑
ν=0
(
β
ν
)
(−1)νe−ενf(e−ενz) =
∞∑
k=0
ϕε(εk)ckz
k.
Таким образом, для доказательства неравенства (3.8) достаточно
показать, что
sup
ε∈(0,1)
‖{ϕε(εk)}‖Mp <∞. (3.11)
Положим ϕε,j = h2
j · ϕε, где функции hj ∈ C∞(R), j = 1, 2, опре-
делены следующими равенствами:
h1(x) =
{
1, |x| ≤ 1,
0, |x| > 2,
h2(x) = 1 − h1(x). (3.12)
Проверим сначала, что
sup
ε∈(0,1)
‖{ϕε,1(εk)}‖Mp <∞. (3.13)
Для этого представим функцию ϕε,1 в виде следующего произве-
дения:
ϕε,1 = ρε · σε,
где
ρε(x) = (x+ ε)βh1(x) и σε(x) =
ϕε(x)h1(x)
(x+ ε)β
.
Функция σε ∈ C∞(R+) имеет компактный носитель, а модуль ка-
ждой ее производной ограничен некоторой константой, не зависящей
от ε. Следовательно, supε∈(0,1) ‖σε‖Mp < ∞ (см. лемму 3.2). Таким
образом, применяя лемму 3.7 к функции ρε, получаем (3.13).
Теперь проверим, что
sup
ε∈(0,1)
‖ϕε,2‖Mp <∞. (3.14)
432 О модулях гладкости и K-функционалах...
Для этого представим функцию ϕε,2 в виде следующей суммы:
ϕε,2 = ψ + χε,
где
ψ(x) = (h2(x))
2 и χε(x) = (ϕε(x) − 1)(h2(x))
2.
Используя лемму 3.2, а также очевидные свойства мультипликаторов
нетрудно проверить, что функция ψ ∈ Mp. Функция χε ∈ C∞(R+)
и при x → ∞ убывает к нулю вместе с каждой своей производной
как O(e−
x
2 ), причем константы в O не зависят от ε. Таким образом,
применяя лемму 3.2 к функции χε, получаем, что supε∈(0,1) ‖χε‖Mp <
∞. Следовательно, имеет место (3.14).
Объединяя (3.13) и (3.14), получаем (3.11).
Доказательство утверждения 2) аналогично доказательству ут-
верждения 1). Нужно лишь вместо функции ϕε рассмотреть функцию
ϕ = ϕ0 и применить соответствующие леммы.
Лемма 3.9 доказана.
4. Доказательства основных результатов
Доказательство теоремы 2.1. Проверим сначала, что
ωβ(f,J , ε)p ≤ C1ε
β‖J βf‖p (4.1)
и
εβ‖J βP̃ β
ε (f)‖p ≤ C2ωβ(f,J , ε)p, (4.2)
где C1 и C2 — константы, не зависящие от f и ε, а операторы P̃ β
ε
определены в (1.5).
Для доказательства (4.1) и (4.2), в силу принципа сравнения (лем-
ма 3.1), достаточно показать, что
sup
ε∈(0,1)
∥∥∥∥
{
ϕε(εk)
(εk + ε)β
}∥∥∥∥
Mp
<∞ (4.3)
и
sup
ε∈(0,1)
∥∥∥∥
{
(εk + ε)β(1 − ϕε(εk))
ϕε(εk)
}∥∥∥∥
Mp
<∞, (4.4)
где ϕε(x) = (1 − e−(x+ε))β .
Введем функции
ξε(x) =
ϕε(x)
(x+ ε)β
и ηε(x) =
(x+ ε)β(1 − ϕε(x))
ϕε(x)
.
Ю. С. Коломойцев 433
Обозначим: ξε,j = hj · ξε, ηε,j = hj · ηε, j = 1, 2, где hj — функции,
определенные в доказательстве леммы 3.9 равенствами (3.12).
Функция ξε,1 принадлежит пространству C∞(R+) и имеет компа-
ктный носитель, а модуль каждой производной ξε,1 ограничен кон-
стантой, не зависящей от ε; применяя к этой функции лемму 3.2,
получаем, что
sup
ε∈(0,1)
‖ξε,1‖Mp <∞. (4.5)
Представим функцию ξε,2 в виде следующего произведения
ξε,2 = ρε · ϕε,
где ρε(x) = h2(x)(x + ε)−β . Применяя лемму 3.2 (см. также приме-
ры в [37]), нетрудно проверить, что supε∈(0,1) ‖ρε‖Mp <∞. Используя
утверждение 1) леммы 3.9 и элементарные свойства мультипликато-
ров, получаем, что
sup
ε∈(0,1)
‖{ξε,2(εk)}‖Mp <∞. (4.6)
Объединяя (4.5) и (4.6), имеем (4.3).
Исследуем теперь функцию ηε. Представим ηε,1 в виде произведе-
ния:
ηε,1 = ψε · χε,
где
ψε(x) = 1 − ϕε(x) и χε(x) = h1(x)(x+ ε)β(ϕε(x))
−1.
В силу утверждения 1) леммы 3.9 имеем supε∈(0,1) ‖{ψε(εk)}‖Mp <∞.
Используя лемму 3.2, нетрудно проверить, что и supε∈(0,1) ‖χε‖Mp <
∞. Таким образом,
sup
ε∈(0,1)
‖{ηε,1(εk)}‖Mp <∞. (4.7)
Функция ηε,2 ∈ C∞(R+) и при x → ∞ убывает к нулю вместе с
каждой своей производной как O(e−
x
2 ), причем константы в O не
зависят от ε. Применяя лемму 3.2, получаем, что
sup
ε∈(0,1)
‖{ηε,2(εk)}‖Mp <∞. (4.8)
Объединяя (4.7) и (4.8), имеем (4.4).
Таким образом неравенства (4.1) и (4.2) доказаны. Выведем те-
перь из этих неравенств двустороннее неравенство (2.1).
434 О модулях гладкости и K-функционалах...
Находим:
Kβ(f,J , ε)p ≤ ‖f − P̃ β
ε (f)‖p + εβ‖J βP̃ β
ε (f)‖p
≤ (1 + C2)ωβ(f,J , ε)p. (4.9)
Докажем оценку снизу. При произвольной функции g такой, что
J βg ∈ Hp и s = min(1, p), имеем:
ωβ(f,J , ε)s
p = ‖f − P̃ β
ε (f)‖s
p
≤ ‖(f − g) − P̃ β
ε (f − g)‖s
p + ‖g − P̃ β
ε (g)‖s
p
≤ (1 + ‖P̃ β
ε ‖
s
Hp→Hp
)‖f − g‖s
p + Cs
1ε
βp‖J βg‖s
p. (4.10)
Осталось перейти к нижней грани по g и учесть, что
sup
ε∈(0,1)
‖P̃ β
ε ‖Hp→Hp = sup
ε∈(0,1)
‖{1 − ϕε(εk)}‖Mp <∞
(см. утверждение 1) леммы 3.9).
Теорема 2.1 доказана.
Доказательство теоремы 2.2 аналогично доказательству теоре-
мы 2.1.
Доказательство теоремы 2.3. Докажем оценку сверху. Используя
неравенства (3.3) и (4.2), находим:
Kβ(f, ε)p = Kβ(f[β], ε)p
≤ ‖f[β] − P̃ β
ε (f[β])‖p + εβ‖(P̃ β
ε (f[β]))
(β)‖p
≤ ωβ(f[β],J , ε)p + C1ε
β‖J βP̃ β
ε (f[β])‖p
≤ C2ωβ(f[β],J , ε)p. (4.11)
Докажем оценку снизу. Пусть s = min(1, p). Применяя неравен-
ство
|ck(f)| ≤ C(p)(k + 1)
1
s
−1‖f‖p
(см., например, [28]), неравенства (4.1) и (3.3), а также учитывая, что
sup
ε∈(0,1)
‖P̃ β
ε ‖Hp→Hp = sup
ε∈(0,1)
‖{1 − ϕε(εk)}‖Mp <∞,
находим:
ωβ(f[β],J , ε)
s
p = ‖f[β] − P̃ β
ε (f[β])‖
s
p
≤ ‖(f[β] − g) − P̃ β
ε (f[β] − g)‖s
p + ‖g − P̃ β
ε (g)‖s
p
Ю. С. Коломойцев 435
≤ (1 + ‖P̃ β
ε ‖
s
Hp→Hp
)‖f[β] − g‖s
p + Cs
3ε
βs‖J βg‖s
p
≤ C4(‖f[β] − g‖s
p + εβs‖J βg[β]‖
s
p)
≤ C5(‖f[β] − g‖s
p + εβs‖g(β)‖s
p).
Остается только перейти к нижней грани по g.
Теорема 2.3 доказана.
Доказательство теоремы 2.4 сразу следует из теоремы A и теоре-
мы 2.2.
Доказательство теоремы 2.5. Основным инструментом для доказа-
тельства теоремы 2.5 является следующее неравенство типа Никольс-
кого–Стечкина–Боаса, полученное в работе [21].
Лемма 4.1. Пусть 0 < p < 1, β > 0, n ∈ N и 0 < h, δ ≤ π
n . Тогда
найдется константа C > 0, зависящая только от p и β такая, что
для каждого полинома Tn ∈ Tn имеют место неравенства
C−1h−β‖∆β
hTn‖p ≤ ‖DβTn‖p ≤ Cδ−β‖∆β
δ Tn‖p, (4.12)
где
∆β
δ Tn(x) =
∞∑
ν=0
(−1)ν
(
β
ν
)
Tn(x+ (β − ν)δ).
Докажем оценку сверху в неравенствах (2.7). Пусть n = [1/ε] и
Tn ∈ Tn. Используя утверждение 1) леммы 3.8 и лемму 4.1, находим:
ωβ(f, ε)p
p ≤ C1{‖f − Tn‖
p
p + ωβ(Tn, ε)
p
p}
≤ C2{‖f − Tn‖
p
p + εβ‖DβTn‖
p
p}.
Остается только перейти к нижней грани по Tn.
Докажем оценку снизу. Пусть f ∈ Lp, β > 1/p− 1 и n = [1/ε]. Из
теоремы 1 статьи [20] (см. также [33]), равенства ∆β+α
h = ∆α
h(∆β
h) и
утверждения 1) леммы 3.8 вытекает существование полинома T ∗
n ∈ Tn
такого, что
‖f − T ∗
n‖p ≤ Cωβ(f, 1/n)p, (4.13)
где C — константа, зависящая только от p и β. Неравенство (4.13)
называется теоремой типа Джексона. Используя лемму 4.1, неравен-
ство (4.13), а также утверждение 2) леммы 3.8, находим:
Kβ(f, ε)p ≤ ‖f − T ∗
n‖p + εβ‖DβT ∗
n‖p
≤ C3{ωβ(f, 1/n)p + ‖∆β
1/nT
∗
n‖p}
436 О модулях гладкости и K-функционалах...
≤ C4{ωβ(f, 1/n)p + ‖∆β
1/nf‖p}
≤ C5ωβ(f, 1/n)p ≤ C6ωβ(f, ε)p. (4.14)
Теорема 2.5 доказана.
5. Приложения
5.1. Аналог теоремы Харди–Литтльвуда
Следующий классический результат был получен Г. Х. Харди и
Дж. Е. Литтльвудом в работе [6]:
Пусть f ∈ Hp, f
〈β〉(z) =
∑
(Γ(k+ 1)/Γ(k+ 1− β))ck(f)zk−β. Если
f ∈ Lip(α, p), −1 + α < β < α, то f 〈β〉 ∈ Lip(α− β, p).
Этот результат в различных направлениях обобщали А. Зигмунд
[15], Ю. А. Брудный и И. Е. Гопенгауз [18], Э. А. Стороженко [32],
М. Павлович [10], А. В. Товстолис и Р. М. Тригуб [35], [14, гл. 8],
Ю. Крякин и В. Требелс [8] и др.
Следующая теорема является обобщением теоремы 2.3 статьи [10]
на случай дробных β > 0, а также является аналогом теоремы B в
случае производной в смысле Вейеля Rβ .
Теорема 5.1. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда:
1) имеет место неравенство
‖Rβf(reit)‖p ≤ C(1 − r)−βωβ(f,R, 1 − r)p, 0 < r < 1, (5.1)
где C — константа, не зависящая от f и r;
2) пусть ω(t) — неубывающая непрерывная функция на [0, 1] та-
кая, что ω(+0) = 0 и
ε∫
0
ω(u)
u
du ≤ Cω(ε), ε ∈ (0, 1), (5.2)
где C — константа, не зависящая от ε. Тогда из неравенства
‖Rβf(reit)‖p ≤ C(1 − r)−βω(1 − r), r → 1 − 0, (5.3)
следует
ωβ(f,R, ε)p ≤ Cω(ε), ε ∈ (0, 1). (5.4)
Замечание 5.1. Из теорем 2.2 и 2.4 сразу получаем, что модуль
гладкости в формулировке теоремы 5.1 можно заменить на соответ-
ствующий K-функционал (1.11) и модуль гладкости (1.2) при β >
(1/p− 1)+.
Ю. С. Коломойцев 437
Замечание 5.2. Отметим, что условие (5.2) в формулировке тео-
ремы 5.1 ослабить нельзя. Другими словами, теорема 5.1 является
точной. Этот факт можно доказать, рассуждая по аналогии с дока-
зательством теоремы 3.11 статьи [8].
В качестве вспомогательного объекта для доказательства теоре-
мы 5.1 мы будем использовать следующую интегро-дифференциаль-
ную характеристику функции f :
wβ(f, ε)p =
∥∥∥∥∥
1∫
1−ε
(
log
1
ρ
)β−1 1
ρ
· Rβf(ρeit) dρ
∥∥∥∥∥
p
. (5.5)
Лемма 5.1. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
wβ(f, ε)p ≍ ωβ(f,R, ε)p, ε ∈ (0, 1/2).
Доказательство. Нам понадобятся некоторые свойства неполной
гамма-функции
γ(α, x) =
x∫
0
tα−1e−t dt.
Лемма 5.2 ([16, гл. 9]). Пусть α > 0. Тогда:
a) имеет место сходящееся разложение
γ(α, x) =
∞∑
ν=0
(−1)νxα+ν
ν!(α+ ν)
, x > 0,
b) при x→ ∞ имеет место асимптотическое разложение
γ(α, x) = Γ(α)
−
xα−1
ex
( r∑
m=0
(1 − α)(2 − α) . . . (2 +m− α)
(−x)m
+O
( 1
xr
))
,
где r = 1, 2, . . . .
Заметим, что
1∫
1−ε
(
ln
1
ρ
)β−1 1
ρ
· Rβf(ρeit) dρ =
∑
k
ψε(εk)cke
ikt,
438 О модулях гладкости и K-функционалах...
где
ψε(x) = γ
(
β,−x ln(1 − ε)
1
ε
)
=
x
ε
ln 1
1−ε∫
0
tβ−1e−t dt.
В силу леммы 3.1 для доказательства леммы 5.1 достаточно показать,
что
sup
ε∈(0,1/2)
∥∥∥
ϕ
ψε
∥∥∥
Mp
<∞ и sup
ε∈(0,1/2)
∥∥∥
ψε
ϕ
∥∥∥
Mp
<∞, (5.6)
где ϕ(x) = (1 − e−x)β .
Введем функции
ξε =
ϕ
ψε
и ηε =
ψε
ϕ
.
Обозначим: ξε,j = h2
j · ξε, ηε,j = hj · ηε, где функции hj , j = 1, 2,
определены в доказательстве леммы 3.9 равенствами (3.12). Далее
все функции будем доопределять в нуле по непрерывности.
Рассмотрим сначала ξε,1 и ηε,1. Представим ξε,1 в следующем виде:
ξε,1 = ρ · σε,
где
ρ(x) =
ϕ(x)
xβ
и σε(x) =
h1(x)x
β
ψε(x)
.
Рассуждая по аналогии с доказательством (4.3), нетрудно проверить,
что функция ρ ∈ Mp. Для исследования функции σε воспользуемся
утверждением а) леммы 5.2. Имеем:
σε(x) = h1(x)
( ∞∑
ν=0
(−1)ν(1
ε ln 1
1−ε)
ν+βxν
ν!(β + ν)
)−1
. (5.7)
Применяя к (5.7) лемму 3.2, а также учитывая, что ρ ∈Mp, получаем,
что
sup
ε∈(0,1/2)
‖ξε,1‖Mp <∞. (5.8)
Далее, представим функцию ηε,1 в виде:
ηε,1 = ψ · χε,
где
ψ(x) =
h1(x)x
β
ϕ(x)
и χε(x) =
h1(x)ψε(x)
xβ
. (5.9)
Ю. С. Коломойцев 439
Рассуждая по аналогии с доказательством (5.8), используя при этом
лемму 3.2, а также равенства (5.9), получаем, что
sup
ε∈(0,1/2)
‖ηε,1‖Mp <∞. (5.10)
Рассмотрим теперь функции ξε,2 и ηε,2. Очевидно, что
ψε(∞) = lim
x→∞
ψε(x) = Γ(β)
и
1
ψε(x)
=
ψε(∞) − ψε(x)
ψε(∞)ψε(x)
+
1
ψε(∞)
,
ψε(x) = (ψε(x) − ψε(∞)) + ψε(∞).
Применяя лемму 3.2 к функциям
(h2(x))
2ψε(∞) − ψε(x)
ψε(∞)ψε(x)
и h2(x)(ψε(x) − ψε(∞)),
учитывая при этом утверждение b) леммы 5.2, а также принадле-
жность функций ϕ и h2(1 − ϕ)/ϕ пространству Mp, нетрудно прове-
рить, что
sup
ε∈(0,1/2)
‖ξε,2‖Mp <∞ и sup
ε∈(0,1/2)
‖ηε,2‖Mp <∞. (5.11)
Таким образом, из (5.8), (5.10) и (5.11) вытекает (5.6).
Лемма 5.1 доказана.
Из теоремы 2.2 и леммы 5.1 получаем:
Следствие 5.1. Пусть f ∈ Hp, 0 < p <∞, β > 0. Тогда
Kβ(f,R, ε)p ≍ ωβ(f,R, ε)p ≍ wβ(f, ε)Hp , ε ∈ (0, 1).
Для доказательства утверждения 2) в теореме 5.1 нам также по-
надобится следующая лемма.
Лемма 5.3 ([6]). Пусть f ∈ Hp, 0 < p < ∞, s = min(1, p), β > 0,
0 < r < 1. Тогда
∥∥∥∥∥
1∫
r
(1 − ρ)β−1|f(ρeit)| dρ
∥∥∥∥∥
s
p
≤ C
1∫
r
(1 − ρ)βs−1‖f(ρeit)‖s
p dρ, (5.12)
где C — константа, не зависящая от функции f и r.
440 О модулях гладкости и K-функционалах...
Доказательство теоремы 5.1. Докажем сначала утверждение 1).
Пусть g — произвольная функция такая, что Rβg∈Hp и s=min(1, p).
Используя лемму 3.6, находим:
(1 − r)sβ‖Rβf(reit)‖s
p
≤ (1 − r)sβ{‖Rβ(f(reit) − g(reit))‖s
p + ‖Rβg(reit)‖s
p}
≤ C1{‖f − g‖p + (1 − r)β‖Rβg‖p}
s. (5.13)
Из неравенства (5.13) имеем:
‖Rβf(reit)‖p ≤ C2(1 − r)−βKβ(f,R, 1 − r)p. (5.14)
Применяя к неравенству (5.14) теорему 2.2, получаем (5.1).
Докажем теперь утверждение 2). Далее ε ∈ (0, 1/2). Используя
теорему 5.1, лемму 5.3, а также условия (5.2) и (5.3), находим:
Kβ(f,R, ε)s
p ≤ C3
∥∥∥∥∥
1∫
1−ε
(
log
1
ρ
)β−1 1
ρ
· Rβf(ρeit) dρ
∥∥∥∥∥
s
p
≤ C4
1∫
1−ε
(1 − ρ)βs−1‖Rβf(ρeit)‖s
p dρ
≤ C5
1∫
1−ε
(1 − ρ)βs−1
(
ω(1 − ρ)
(1 − ρ)β
)s
dρ
≤ C6
ε∫
0
ωs(u)
u
du ≤ C7ω
s(ε). (5.15)
В последнем неравенстве мы воспользовались тем фактом, что (5.2)
эквивалентно неравенству
ε∫
0
ωs(u)
u
du ≤ Cωs(ε)
(см. замечание 3.2 в статье [8]). Таким образом, из (5.15) и теоремы 2.2
получаем (5.4).
Теорема 5.1 доказана.
Ю. С. Коломойцев 441
5.2. Аппроксимация функций обобщенными
средними Бохнера–Рисса
Пусть функция f ∈ Hp. Обобщенные средние Бохнера–Рисса Rβ, δ
ε
функции f определяются следующим образом:
Rβ, δ
ε (f, z) =
∞∑
k=0
(1 − (εk)β)δ
+ckz
k.
Отметим, что вопросы приближения средними Бохнера–Рисса изуча-
лись в работах [1,5,9,12,17,22,26,37]. В частности, в статье [26] было
доказано, что при 0 < p < 1, δ > 1/p− 1 и β ∈ N ∪ (1/p− 1,∞) имеет
место следующая оценка:
‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p ≍ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1).
Известно, что при 0 < p < 1 функция
ϕ(x) = (1 − xβ)δ
+ ∈Mp (5.16)
тогда и только тогда, когда δ > 1/p − 1 и β > 0 (см. примеры
в [14, c. 336]). Иначе говоря, средние Rβ, δ
ε сходятся в пространстве
Hp, 0 < p < 1, тогда и только тогда δ > 1/p − 1 и β > 0. Таким
образом, возникает задача — получить двусторонние оценки прибли-
жения функций обобщенными средними Бохнера–Рисса при любом
β > 0.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 5.2. Пусть f ∈ Hp, 0 < p < 1, β > 0 и δ > 1/p− 1. Тогда
‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p ≍ Kβ(f,R, ε)p, ε ∈ (0, 1).
Доказательство. Докажем сначала следующие два неравенства:
‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p ≤ C1ε
β‖Rβf‖p, (5.17)
εβ‖RβRβ, δ
ε (f)‖p ≤ C2‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p, (5.18)
где константы C1 и C2 зависят только от p, β и δ. В силу принципа
сравнения (лемма 3.1) достаточно доказать, что после доопределения
в нуле по непрерывности функции
ξ(x) =
1 − ϕ(x)
xβ
∈Mp и η(x) =
xβϕ(x)
1 − ϕ(x)
∈Mp, (5.19)
где ϕ(x) = (1 − xβ)δ
+.
442 О модулях гладкости и K-функционалах...
Исследуем функцию ξ. Положим ξj = hj ·ξ, j = 1, 2, где hj — фун-
кции, определенные в доказательстве леммы 3.9 равенствами (3.12).
Представим функцию ξ1 в следующем виде:
ξ1 = ξ1,1 + ξ1,2,
где
ξ1,1(x) = h1(x)
∞∑
k=σ
(
δ
k
)
(−1)kxβ(k−1),
ξ1,2(x) =
σ−1∑
k=1
(
δ
k
)
(−1)kxβ(k−1)h1(x) (5.20)
и σ = [(1/p+1)/β]+2. Используя лемму 3.2, а также оценку (1.1), не-
трудно проверить, что ξ1,1 ∈Mp. Применяя лемму 3.7 к каждому сла-
гаемому суммы (5.20), а также используя очевидные свойства муль-
типликаторов, получаем, что и ξ1,2 ∈Mp. Таким образом, ξ1 ∈Mp.
Принадлежность функции ξ2 пространству Mp вытекает из того,
что 1 − ϕ(x) ∈ Mp и h2(x)x
−β ∈ Mp (cм. (5.16), а также примеры
в [37]). Таким образом, из элементарных свойств мультипликатора
следует, что ξ ∈Mp.
Покажем теперь, что функция η ∈ Mp. Снова используем разби-
ение единицы. Положим ηj = hj · η, j = 1, 2. Проверим сначала, что
η2 ∈Mp. Для этого представим η2 в виде суммы двух функций:
η2 = η2,1 + η2,2,
где
η2,1(x) = xβh2(x)
σ∑
k=1
ϕk(x), η2,2(x) = xβh2(x)
∞∑
k=σ+1
ϕk(x)
и σ = [(1/p+ 1)/δ] + 2. Используя лемму 3.2, получим, что η2,2 ∈Mp.
Функция η2,1 ∈Mp в силу (5.16) и леммы 3.2, примененной к функции
xβh2(x)h1(x/4).
Остается показать, что η1 ∈ Mp. Для этого, в силу (5.16), доста-
точно проверить, что
η1,1(x) =
xβh1(x)
1 − ϕ(x)
∈Mp. (5.21)
Введем в рассмотрение функцию
φ(x) =
xβ
1 − (1 − xβ)δ
+
−
λ∑
k=0
akx
βk,
Ю. С. Коломойцев 443
где λ = [(1/p + 1)/β] + 2. Положим также γ = φ · h1. Из леммы 3.7
следует, что γ − η1,1 ∈Mp. Таким образом, показав, что
γ ∈Mp, (5.22)
мы получим (5.21).
Заметим, что при t ∈ (0, 1) имеет место равенство
tβ
1 − (1 − tβ)δ
=
( ∞∑
k=0
dkt
βk
)−1
,
где d0 = δ 6= 0. Следовательно, числа {ak} в определении функции φ
можно выбрать так, чтобы
φ(x) =
∞∑
k=λ+1
bkx
βk ·
( ∞∑
ν=0
dνx
βν
)−1
. (5.23)
Применяя лемму 3.2 к функции γ = φ ·h1, учитывая при этом равен-
ство (5.23) и оценку (1.1), получаем (5.22).
Из приведенных выше рассуждений вытекает справедливость со-
отношений (5.19) и, следовательно, неравенств (5.17) и (5.18). Выве-
дем теперь из них оценки для K-функционала. Находим:
Kβ(f,R, ε)p ≤ ‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p + εβ‖RβRβ, δ
ε (f)‖p
≤ (1 + C2)‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p.
Докажем оценку снизу. При произвольной функции g такой, что
Rβg ∈ Hp, имеем:
‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p
p ≤ ‖(f − g) −Rβ, δ
ε (f − g)‖p
p + ‖g −Rβ, δ
ε (g)‖p
p
≤ (1 + ‖Rβ, δ
ε ‖Hp→Hp)‖f − g‖p
p + Cp
2ε
βp‖Rβg‖p
p.
Осталось перейти к нижней грани по g и учесть, что
sup
ε
‖Rβ, δ
ε ‖Hp→Hp = sup
ε
‖{ϕ(εk)}‖Mp = ‖ϕ‖Mp <∞.
Теорема доказана.
Из теорем 2.2 и 5.2 получаем следующее утверждение.
Следствие 5.2. Пусть f ∈ Hp, 0 < p < 1, β > 0 и δ > 1/p−1. Тогда
‖f −Rβ, δ
ε (f)‖p ≍ ωβ(f,R, ε)p, ε ∈ (0, 1).
444 О модулях гладкости и K-функционалах...
Литература
[1] E. S. Belinskii, Strong summability of Fourier series of the periodic functions from
Hp (0 < p ≤ 1) // Constr. Approx., 12 (1996), No. 2, 187–195.
[2] E. S. Belinsky, Strong summability for the Marcinkiewicz means in the integral
metric and related questions // J. Austral. Math. Soc. (Series A), 65 (1998),
303–312.
[3] E. Belinsky, E. Liflyand, Approximation properties in Lp, 0 < p < 1 // Functiones
et Approximatio, XXII (1993), 189–199.
[4] P. L. Butzer, H. Dyckhoff, E. Gorlich, R. L. Stens, Best trigonometric approxi-
mation, fractional order derivatives and Lipschitz classes // Canad. J. Math.,
XXIX (1977), No. 4, 781–793.
[5] L. Colzani, Jackson Theorems in Hardy Spaces and Approximation by Riesz
Means // J. Approx. Theory, 49 (1987), No. 3, 240–251.
[6] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Some properties of fractional integrals, II // Math.
Z., 34 (1932), 403–439.
[7] Z. Ditzian, V. Hristov, K. Ivanov, Moduli of smoothness and K-functional in Lp,
0 < p < 1 // Constr. Approx., 11 (1995), 67–83.
[8] Yu. Kryakin, W. Trebels, q-Moduli of Continuity in Hp(D), p > 0, and an
Inequality of Hardy and Littlewood // J. Approx. Theory, 115 (2002), No. 2,
238–259.
[9] P. Oswald, On some Approximation Properties of Real Hardy Spaces (0 < p ≤
1) // J. Approx. Theory, 40 (1984), No. 1, 45–65.
[10] M. Pavlovic, On the moduli of continuity of Hp functions with 0 < p < 1 // Proc.
Edinburgh Math. Soc., 35 (1992), 89–100.
[11] F. Riesz, Über die Randwerte einer analytischen Funktion // Math. Z., 18 (1932),
87–95.
[12] A. A. Solyanik, On the order of approximation to functions of Hp(R) (0 < p ≤ 1)
by certain means of Fourier integrals // Anal. Math., 12 (1986), 59–75.
[13] R. Taberski, Approximation in the Frechet spaces Lp (0 < p < 1) // Functiones
et Approximatio, VII (1979), 105–121.
[14] R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions,
Kluwer-Springer, 2004.
[15] A. Zygmund, Smooth functions // Duke Math. J., 34 (1945), No. 1, 47–76.
[16] Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Таблицы интегральных преобразований. Том 2, М.:
Наука, 1969.
[17] Э. С. Белинский, Сильная суммируемость периодических функций и теоре-
мы вложения // ДАН СССР, 332 (1993), No. 2, 133–134.
[18] Ю. А. Брудный, И. Е. Гопенгауз, Обобщение одной теоремы Харди и Лит-
тльвуда // Матем. сб., 52(94) (1960), No. 3, 891–894.
[19] Вит. В. Волчков, Неравенсто Бернштейна в пространствах Харди Hp, 0 <
p < 1 // Ряди Фур’є: теорiя i застосування (Каменец-Подольский, 1997), Пр.
Iнст. Мат. Нац. Акад. Наук Укр. Мат. Застос., 20 (1998), 77–84.
[20] В. И. Иванов, Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике
Lp для 0 < p < 1 // Матем. заметки, 18 (1975), No. 5, 641–658.
Ю. С. Коломойцев 445
[21] Ю. С. Коломойцев, Неравенства типа Никольского–Стечкина–Боаса с дро-
бной производной в Lp, 0 < p < 1 // Труды ИПММ НАН Украины, 15 (2007),
115–119.
[22] О. И. Кузнецова, Р. М. Тригуб, Двусторонние оценки приближения функций
средними Рисса и Марцинкевича // ДАН СССР, 251 (1980), 34–36.
[23] И. Р. Лифлянд, Р. М. Тригуб, О представлении функции в виде абсолютно
сходящегося интеграла Фурье // Тр. МИАН, 269 (2010), 153–166.
[24] А. А. Пекарский, Неравенства тира Бернштейна для производных раци-
ональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации //
Матем. сб., 124(166) (1984), No. 4(8), 571–588.
[25] С. Г. Прибегин, Об одном методе приближения в Hp, 0 < p < 1 // Матем.
сб., 192 (2001), No. 11, 123–136.
[26] С. Г. Прибегин, Приближение функций из Hp, 0 < p ≤ 1, обобщенными
средними Рисса с дробным показателем // Матем. сб., 197 (2006), No. 7,
77–86.
[27] С. Г. Прибегин, О некоторых методах суммирования степенных рядов для
функций из Hp(Dn), 0 < p < ∞ // Матем. сб., 200 (2009), No. 2, 89–106.
[28] И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций, М.-Л.: Госте-
хиздат, 1950.
[29] С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их приложения, Минск: Наука и техника, 1987.
[30] И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций,
М.: Мир, 1973.
[31] Э. А. Стороженко, Приближение функций класса Hp, 0 < p < 1 // Докл. АН
Арм. ССР, 66 (1978), No. 3, 145–149.
[32] Э. А. Стороженко, Об одной задаче Харди и Литтльвуда // Матем. сб., 119
(1982), No. 4, 564–583.
[33] Э. А. Стороженко, В. Г. Кротов, П. Освальд, Прямые и обратные теоремы
типа Джексона в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Матем. сб., 98(140)
(1975), No. 3(11), 395–415.
[34] П. М. Тамразов, Гладкости и полиномиальные приближения, Киев: Наукова
думка, 1975.
[35] А. В. Товстолис, Р. М. Тригуб, Эквивалентность разных модулей гладко-
сти в пространствах Харди // Теория приближения функций. Труды Ин-та
прикл. матем. и мех., 3 (1998), 201—210.
[36] Р. М. Тригуб, Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость
рядов Фурье и приближение полиномами функций на торе // Изв. АН СС-
СР. Сер. матем., 44 (1980), No. 6, 1378–1409.
[37] Р. М. Тригуб, Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(Dm) при p ∈
(0, 1] и аппроксимативные свойства методов суммирования степенных ря-
дов // Матем. сб., 188 (1997), No. 4, 145–160.
[38] Р. М. Тригуб, Мультипликаторы Фурье и K-функционалы гладких фун-
кций // Укр. матем. вiсник, 2 (2005), No. 2, 236–280.
[39] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды. Том 1, М.: Мир, 1965.
446 О модулях гладкости и K-функционалах...
Сведения об авторах
Юрий Сергеевич
Коломойцев
Институт прикладной математики и
механики НАН Украины
ул. Р. Люксембург 74,
83114 Донецк
Украина
E-Mail: kolomus1@mail.ru
|