Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла
Розглянуто задачу з вiльною межею для стацiонарної системи теорiї пружностi. Доведено iснування класичного розв’язку за умови, що початковi данi є близькими до стацiонарного розв’язку....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124434 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла / М.В. Краснощок // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 537-556. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124434 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Краснощок, М.В. 2017-09-26T12:32:04Z 2017-09-26T12:32:04Z 2011 Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла / М.В. Краснощок // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 537-556. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 35R35. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124434 Розглянуто задачу з вiльною межею для стацiонарної системи теорiї пружностi. Доведено iснування класичного розв’язку за умови, що початковi данi є близькими до стацiонарного розв’язку. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| spellingShingle |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла Краснощок, М.В. |
| title_short |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| title_full |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| title_fullStr |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| title_full_unstemmed |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| title_sort |
розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла |
| author |
Краснощок, М.В. |
| author_facet |
Краснощок, М.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Розглянуто задачу з вiльною межею для стацiонарної системи теорiї пружностi. Доведено iснування класичного розв’язку за умови, що початковi данi є близькими до стацiонарного розв’язку.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124434 |
| citation_txt |
Розв'язність задачі з вільною межею для неоднорідного пружнього тіла / М.В. Краснощок // Український математичний вісник. — 2011. — Т. 8, № 4. — С. 537-556. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT krasnoŝokmv rozvâznístʹzadačízvílʹnoûmežeûdlâneodnorídnogopružnʹogotíla |
| first_indexed |
2025-11-24T21:31:42Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:31:42Z |
| _version_ |
1850498174818451456 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 8 (2011), № 4, 537 – 556
Розв’язнiсть задачi з вiльною межею для
неоднорiдного пружнього тiла
Микола В. Краснощок
(Представлена С. Д. Iвасишеним)
Анотацiя. Розглянуто задачу з вiльною межею для стацiонарної
системи теорiї пружностi. Доведено iснування класичного розв’язку
за умови, що початковi данi є близькими до стацiонарного розв’язку.
2010 MSC. 35R35.
Ключовi слова та фрази. Вiльна межа, класичний розв’язок, те-
орiя пружностi.
Вступ
У данiй роботi доведено iснування на довiльному вiдрiзку часу
[0, T ] класичного розв’язку однiєї задачi з вiльною (рухомою) межею
для стацiонарної системи теорiї пружностi за умови, що початкове
положення вiльної межi є достатньо близьким до плоского фронту
x2 = hst, який вiдповiдає стацiонарному розв’язку. Дану модель, по-
в’язану з геофiзичними процесами в неоднорiдному ґрунтi, було за-
пропоновано в роботi [1], де також дослiджувалася бiльш загальна
постановка задачi даного типу на фiзичному рiвнi строгостi.
Особливiсть даної задачi полягає в поєднаннi елiптичної системи
з додатковою, нестацiонарною граничною умовою. Такi задачi дослi-
джувалися ранiше переважно для рiзних модифiкацiй задачi Стефа-
на (див. [2–6]). Слiд вiдзначити також роботи [7,8] та наведену в них
бiблiографiю, де вивчалися задачi з вiльними межами для стацiонар-
ної задачi Нав’є–Стокса. Теоретичному дослiдженню нестацiонарних
задач теорiї пружностi з вiльними межами присвячено вiдносно неба-
гато робiт (див., наприклад, [9,10]). Значно бiльше уваги придiлялося
обчислювальним аспектам рiзних прикладних задач ([11–13]).
Стаття надiйшла в редакцiю 22.11.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
538 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Стаття складається з семи частин. У першiй частинi наведено по-
становку задачi, у другiй — визначено стацiонарний розв’язок u
(1)
st ,
u
(2)
st , hst та переформульовано вихiдну задачу в термiнах нових невi-
домих функцiй, що дорiвнюють u(1)−u
(1)
st , u(2)−u
(2)
st , h−hst. У третiй
частинi задачу з вiльною межею зведено до задачi в зафiксованих
областях за допомогою замiни x = θ(y, t). У четвертiй частинi вве-
дено основнi функцiональнi простори, сформульовано основний ре-
зультат роботи — теорему 4.1 та теорему 4.2 про iснування розв’язку
вiдповiдної лiнiйної задачi. У п’ятiй частинi доведено теорему 4.2, у
шостiй — побудовано розв’язок основної модельної задачi спряження
в площинi R
2. Сьома частина мiстить доведення теореми 4.1.
1. Постановка задачi
Нехай Π = {(x1, x2) : −H2 < x2 < H1}, де H1, H2 — додатнi ста-
лi; Σ1 : x2 = H1; Σ2 : x2 = −H2; крива Γ(t) : x2 = h(x1, t) дiлить
смугу Π на двi пiдобластi Π1(t) = {(x1, x2) : h(x1, t) < x2 < H1} i
Π2(t) = {(x1, x2) : −H2 < x2 < h(x1, t)}; n(x, t) = (n1(x, t), n2(x, t)) —
нормаль до Γ(t) спрямована до Π1(t); κ(x, t) — кривина Γ(t) в точцi
(x1, h(x1, t)). Область Πi(t), (i = 1, 2) заповнено пружнiм середови-
щем з модулем Юнга Ei, коефiцiєнтом Пуассона νi ∈ (0, 1/2) (iндекс
параметра вiдповiдає iндексу областi) та щiльнiстю ρ1 = ρ2 = ρ. По-
значимо через u(i)(x, t) = (u
(i)
1 (x, t), u
(i)
2 (x, t)), ǫ
(i)
kl (u), σ
(i)
kl (u) вiдповiд-
но перемiщення, компоненти тензора деформацiй та тензора напру-
жень в областi Πi(t) (i, k, l = 1, 2). Спiввiдношення мiж ними мають
вигляд:
ǫ
(i)
kl (u) =
1
2
(
∂u
(i)
k
∂xl
+
∂u
(i)
l
∂xk
)
, ǫ(i)(u) = ǫ
(i)
11 (u) + ǫ
(i)
22 (u),
σ
(i)
kl (u) =
Ei
1 + νi
(
ǫ
(i)
kl (u) +
νi
1 − 2νi
ǫ(i)(u)δkl
)
.
(1.1)
Пiдсумовуючи всюди далi за повторюваними iндексами (за винятком
iндексу i) вiд 1 до 2, позначимо також через σ
(i)
n (u) = (σ
(i)
1l (u))nl,
σ
(i)
2l (u))nl), (i = 1, 2) вектор напружень на кривiй Γ(t) з нормаллю n.
Через E(i)(u) = 1
2σ
(i)
kl (u)ǫ
(i)
kl (u) позначимо щiльнiсть енергiї деформа-
цiй.
Треба визначити функцiї u(i)(x, t) = (u
(i)
1 (x, t), u
(i)
2 (x, t)), h(x1, t),
(i = 1, 2) за умовами
М. В. Краснощок 539
1
1 − 2νi
∇ div u(i) + ∆u(i) = 0, x ∈ Πi(t), t ≥ 0, i = 1, 2,
σ
(1)
12 = 0, σ
(1)
22 = −σ0, x ∈ Σ1, t ≥ 0,
u(2) = 0, x ∈ Σ2, t ≥ 0,
[u] = 0, [σn(u)] = −γκn, x ∈ Γ(t), t ≥ 0,
(1.2)
LVn = u
(1)
l nl +
K
ρ
([E ] + γρκ) , x ∈ Γ(t), t ≥ 0,
h(x1, 0) = h0(x1), x ∈ R
1,
(1.3)
де σ0, γ, K, L — додатнi сталi, Vn — швидкiсть руху вiльної межi
Γ(t) у напрямку нормалi n, крiм того, [u] = u(1) − u(2), [σn(u)] =
σ
(1)
n (u) − σ
(2)
n (u), [E(u)] = E(1)(u) − E(2)(u).
Вважаємо, що функцiя h0 є перiодичною за змiнною x1 з перiо-
дом, що дорiвнює одиницi, i, вiдповiдно, невiдомi функцiї u(1)(x, t),
u(2)(x, t), h(x1, t), є також перiодичними за змiнною x1 з перiодом 1.
Пiдкреслимо, що початковi данi для перемiщень знаходяться з
крайової задачi (1.2) iз заданою функцiєю h0 у вiдповiдних областях
Π1(0) та Π2(0). Iснування класичного розв’язку цiєї задачi випливає
з результатiв робiт [17,18].
2. Стацiонарний розв’язок.
Замiна невiдомих функцiй
Безпосередньою пiдстановкою можна переконатися, що функцiї
u
(i)
st = (0, Ai(x2 − hst) + u), hst = −H2 +
K
ρ
σ0(A1/A2 − 1),
є стацiонарним розв’язком задачi (1.2)–(1.3), де Ai = −σ0
(1+νi)(1−2νi)
(1−νi)Ei
,
i = 1, 2; u = K
ρ
σ0(A1 −A2) . Цей розв’язок iснує (−H2 < hst < H1) за
умов
A1/A2 > 1, H1 +H2 >
K
ρ
σ0(A1/A2 − 1).
Першу вимогу буде виконано, якщо, наприклад E2 > E1, ν1 = ν2, що
узгоджується з одним iз варiантiв, розглянутих у [1]. Друга вимога
означає, що загальна товщина H1 +H2 пружного шару має бути до-
статньо великою. Для зручностi наведемо також вiдповiднi значення
компонент тензорiв деформацiї та напружень
‖ǫ
(i)
kl (ust)‖k, l=1,2 =
(
0 0
0 Ai
)
;
‖σ
(i)
kl (ust)‖k, l=1,2 =
(
− σ0νi
1−νi
0
0 −σ0
)
, i = 1, 2.
(2.1)
540 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Далi шукаємо розв’язок (1.2), (1.3) у виглядi u(i)(x, t) = u
(i)
st (x, t)+
v(i)(x, t) при x ∈ Πi(t), t ≥ 0, (i = 1, 2), h(x1, t) = hst + r(x1, t). Зазна-
чимо, що функцiї u
(1)
st , u
(2)
st є визначеними для всiх x ∈ Π. Для точок
Γ(t) маємо (див. (2.1))
[
E(i)(u)
]
= [E(ust)] − σ0
[
ν
1 − ν
ǫ11(v) + ǫ22(v)
]
+ [E(v)] ,
де
[
ν
1 − ν
ǫ11(v) + ǫ22(v)
]
=
ν1
1 − ν1
ǫ
(1)
11 (v) + ǫ
(1)
22 (v) −
(
ν2
1 − ν2
ǫ
(2)
11 (v) + ǫ
(2)
22 (v)
)
.
Маємо також
[u1] = [v1] , [u2] = [A] r + [v2] , де [A] = A1 −A2.
Враховуючи, що nst =(0, 1), n=
(
−
hx1
Dr
, 1
Dr
)
, Vn = ht
Dr
, деDr =
√
1 + h2
x1
,
маємо
nr = n− nst =
(
−
hx1
Dr
,−
h2
x1
Dr(1 +Dr)
)
.
Для нових невiдомих функцiй v(1), v(2), r отримуємо наступнi спiв-
вiдношення:
1
1 − 2νi
∇ div v(i) + ∆v(i) = 0, x ∈ Πi(t), t ≥ 0, i = 1, 2,
σ
(1)
12 (v) = 0, σ
(1)
22 (v) = 0, x ∈ Σ1, t ≥ 0,
v(2) = 0, x ∈ Σ2, t ≥ 0,
[v1] = 0, [v2] + [A] r = 0, x ∈ Γ(t), t ≥ 0,
[σi2(v)] + [σij(ust)nr.j ] + [σij(v)nr.j ] = −γκ(nst.i + nr.i),
i = 1, 2, x ∈ Γ(t), t ≥ 0,
Lrt = Dr
(
v
(1)
2 + v
(1)
l nr.l +A1r + (A1r + u)nr.2
+
K
ρ
(
− σ0
[ ν
1 − ν
ǫ11(v) + ǫ22(v)
]
+ [E(v)] + γρκ
))
,
x ∈ Γ(t), t ≥ 0,
r(x1, 0) = r0(x1) ≡ h0(x1) − hst, x ∈ R
1.
(2.2)
М. В. Краснощок 541
3. Перехiд до зафiксованих областей
Нехай δ̂ додатна стала така, що −H2 < hst − δ̂ < hst + δ̂ < H1.
Нехай χ(λ) ∈ C∞(R1) дорiвнює одиницi при |λ−hst| < δ̂/2 i нулю при
|λ− hst| > 3δ̂/4. Позначимо cχ = |χ|
(3+α)
([−H2,H1]).
Задача (1.2), (1.3) зводиться до задачi в зафiксованих межах за
допомогою замiни x = θ(y, t), де x1 = y1, x2 = y2 +r(y1, t)χ(y2). Якщо
sup
0≤t≤T
|r(x, ·)|
(1)
Γ0
≤ δH ≡ min
{ δ̂
2
,
1
4cχ
}
, (3.1)
то для кожного t ≥ 0 функцiя θ(y, t) взаємно однозначно вiдображає
Π1(t) i Π2(t), вiдповiдно, на Ω(1) = {(y1, y2) : −hst < y2 < H1} i
Ω(2) = {(y1, y2) : −H2 < y2 < hst}, Γ(t) — на Γ0 : y2 = hst, а точки
прямих Σ1, Σ2 залишаються нерухомими.
Позначимо v̂(i) = v(i) ◦ θ, ǫ̂
(i)
kl (v̂) = ǫ
(i)
kl (v) ◦ θ, σ̂
(i)
kl (v̂) = σ
(i)
kl (v) ◦ θ,
причому, згiдно з (1.1), наприклад, ǫ
(i)
kl (v̂) = 1
2(
∂v̂
(i)
k
∂yl
+
∂v̂
(i)
l
∂yk
). Матриця
Якобi J = ∂(y1,y2)
∂(x1,x2) має вигляд:
J = I + Jr, Jr =
0 0
−
ry1χ
1+rχy2
−
rχy2
1+rχy2
, (3.2)
де I — одинична матриця. Зазначимо, що завдяки умовi (3.1), матри-
ця J є невиродженою. Для довiльної функцiї ŵ(y, t) = w(x, t) похiднi
за просторовими змiнними обчислюються за правилом
∂w
∂xk
= Jlk
∂ŵ
∂yl
=
∂ŵ
∂yk
+ Jr.lk
∂ŵ
∂yl
, k = 1, 2,
за аналогiєю
ǫ̂
(i)
kl (v̂) = ǫ
(i)
kl (v̂) + ǫ
(i)
r.kl(v̂), σ̂
(i)
kl (v̂) = σ
(i)
kl (v̂) + σ
(i)
r.kl(v̂). (3.3)
Зауваження 3.1. Для подальшого розгляду є суттєвим той факт,
що функцiї ǫ
(i)
r.kl(v̂), σ
(i)
r.kl(v̂) є сумою виразiв, що обов’язково мiстять
добутки похiдних v̂ на похiдну ry1 , або ж на саму функцiю r.
Щоби надати компактного вигляду системi (2.2) у нових змiнних
(y1, y2), позначимо
L
(i)
[r].kv̂ =
1
1 − 2νi
Jlk
∂
∂yl
(
Jmn
∂v̂
(i)
n
∂ym
)
+ Jlm
∂
∂yl
(
Jnm
∂v̂
(i)
k
∂yn
)
,
L
(i)
[r] v̂ =
(
L
(i)
[r].1v̂,L
(i)
[r].2v̂
)
.
(3.4)
542 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Зазначимо, що
L
(i)
[0].kv̂ =
1
1 − 2νi
∂
∂yk
div v̂(i) + ∆v̂
(i)
k ,
L
(i)
[0] v̂ =
1
1 − 2νi
∇ div v̂(i) + ∆v̂(i).
(3.5)
Оскiльки κ =
ry1y1
D3
r
, кривизну κ можна подати у виглядi
κ = ry1y1 + κr, де κr = −
ry1y1r
2
y1
(1 +Dr +D2
r)D
3
r(1 +Dr)
. (3.6)
Якщо, пiсля вказаної замiни аргументiв i функцiй, видiлити лiнiйнi
вiдносно v(1), v(2), r та їх похiдних члени, то, враховуючи (3.2)–(3.6),
задачу (2.2) можна переписати у виглядi
L
(i)
[0] v̂ = f̂ (i)(r, v̂), y ∈ Ω(i), t ≥ 0, i = 1, 2,
σ
(1)
12 (v̂) = 0, σ
(1)
22 (v̂) = 0, y ∈ Σ1, t ≥ 0,
v̂(2) = 0, y ∈ Σ2, t ≥ 0,
[v̂1] = 0 [v̂2] + [A] r = 0, y ∈ Γ0, t ≥ 0,
[σ12(v̂)] + σ0
[ ν
1 − ν
]
ry1 = ϕ̂1(r, v̂), y ∈ Γ0, t ≥ 0,
[σ22(v̂)] + γry1y1 = ϕ̂2(r, v̂), y ∈ Γ0, t ≥ 0,
Lrt −Kγry1y1 +
K
ρ
σ0
[ ν
1 − ν
ǫ11(v̂) + ǫ22(v̂)
]
−v̂
(1)
2 −A1r = ϕ̂3(r, v̂), y ∈ Γ0, t ≥ 0,
r(y1, 0) = r0(y1), y1 ∈ R1,
(3.7)
де
f̂ (i)(r, v̂) = L
(i)
[0] v̂ − L
(i)
[r] v̂, i = 1, 2
ϕ̂1(r, v̂) = − [σ̂r.12(v̂)] − [σ11(ust)(nr.1 − ry1)] − [σ̂1j(v̂)nr.j ] − γκnr.1,
ϕ̂2(r, v̂) = − [σ̂r.22(v̂)] − [σ̂2j(v̂)nr.j ] − γry1y1nr.2 − γκr(1 + nr.2),
ϕ̂3(r, v̂) = −
r2y1
1 +Dr
(
v̂
(1)
2 +A2r +
K
ρ
(
− σ0
[ ν
1 − ν
ǫ11(v̂) + ǫ22(v̂)
]
+ γρry1y1
))
+Dr
(
v̂
(1)
l nr.l + (A2r + u)nr.2
+
K
ρ
(
− σ0
[ ν
1 − ν
ǫ̂r.11(v̂) + ǫ̂r.22(v̂)
]
+
[
Ê(v̂)
]
+ γρκr
))
,
Ê(v̂) =
1
2
σ̂
(i)
kl (v̂) ǫ̂
(i)
kl (v̂).
М. В. Краснощок 543
4. Основний результат. Лiнiйна задача
Зауваження 4.1. Надалi пiд Q розумiємо одну з наступних множин
Ω(1), Ω(2), Γ0, Σ1, Σ2.
Визначимо Ck+α(Q), (k = 0, 1, . . . ; 0 ≤ α ≤ 1), як простiр функцiй
u, для яких є скiнченною норма
|u|Ck+α(Q) ≡ |v|
(k+α)
Q = |v|
(k)
Q + [v]
(k+α)
Q ,
де
|v|
(k)
Q = |v|
(k)
Q =
∑
|j|≤k
sup
x,y∈Q
∣∣Djv
∣∣ ,
[v]
(k+α)
Q =
∑
|j|=k
sup
x,y∈Q
∣∣Dj
xv(x) −Dj
yv(y)
∣∣
|x− y|α
.
Простiр функцiй v ∈ Ck+α(Q), що є перiодичними за змiнною x1
з перiодом 1 позначимо через Ck+α
1 (Q).
Для вектор-функцiї v(x, t) = (v1(x, t), v2(x, t)) позначимо
|v|
(k+α)
Q = |v1|
(k+α)
Q + |v2|
(k+α)
Q ,
i, для скорочення запису, будемо говорити, що v ∈ Ck+α(Q), якщо
vi ∈ Ck+α(Q), i = 1, 2.
Будемо розглядати також звуження перiодичних функцiй на мно-
жинi Q(1) = Q
⋂
{x ∈ R
2 : 0 < x1 < 1} та вiдповiдно простори фун-
кцiй L2(Q(1)), W l
p(Q(1)), означення яких можна знайти, наприклад,
у роздiлi II роботи [14].
Якщо в областi Ω(i) задано функцiю v(i), i = 1, 2, визначимо фун-
кцiю v(x, t) наступним чином (t ∈ [0, T ])
v(x, t) =
{
v(1)(x, t), x ∈ Ω(1),
v(2)(x, t), x ∈ Ω(2).
В означеному сенсi будемо, наприклад, в (3.7) розумiти позначення
v̂, L[0]v̂, f̂(r, v̂).
Якщо v(i) ∈ C([0, T ];Ck+α
1 (Ω
(i)
)), то будемо говорити, що v ∈
C([0, T ];Ck+α
1 (Π)) i
544 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
|v|
(0,k+α)
Π×[0,T ] = sup
0≤τ≤T
|v(1)(·, τ)|
(k+α)
Ω(1) + sup
0≤τ≤T
|v(2)(·, τ)|
(k+α)
Ω(2) .
Якщо для набору функцiй Φ = (Φ1,Φ2,Φ3) кожна з функцiй на-
лежить до C([0, T ];C1+α
1 (Γ0)), то для нас це означатиме, що Φ ∈
C([0, T ];C1+α
1 (Γ0)) i
|Φ|
(0,1+α)
Γ0×[0,T ] =
3∑
i=1
sup
0≤τ≤t
|Φi(·, τ)|
(1+α)
Γ0
.
Для функцiй r ∈ C1([0, T ];C
(1+α)
1 (Γ0))
⋂
C([0, T ];C
(3+α)
1 (Γ0)) по-
значимо
|r|
(1,3+α)
Γ0×[0,T ] = sup
0≤τ≤T
|rτ (·, τ)|
(1+α)
Γ0
+ sup
0≤τ≤T
|r(·, τ)|
(3+α)
Γ0
,
i для пар функцiй (r, v) визначимо простiр
WT =
{
(r, v) : r ∈ C1([0, T ];C
(1+α)
1 (Γ0))
⋂
C([0, T ];C
(3+α)
1 (Γ0)),
v ∈ C([0, T ];C
(2+α)
1 (Π))
}
з нормою
NT [(r, v)] = |r|
(1,3+α)
Γ0×[0,T ] + |v|
(0,2+α)
Π×[0,T ].
Для функцiй F ∈ C([0, T ];Cα
1 (Π)), Φ ∈ C([0, T ];C1+α
1 (Γ0)) та r0 ∈
C3+α
1 (Γ0) введемо також позначення (τ ∈ [0, T ]):
FT [F,Φ, r0] = |F |
(0,α)
Π×[0,T ] + |Φ|
(0,1+α)
Γ0×[0,T ] + |r0|
3+α
Γ0
.
Зазначимо, що мають сенс також величини Nt [(r, v)] та Ft [F,Φ, r0]
з очевидною замiною [0, T ] на [0, t] у правих частинах вiдповiдних
означень.
Теорема 4.1 (основний результат). Для довiльного T > 0 можна
вибрати таке δ0 ∈ (0, δH), що для довiльної функцiї r0 : |r0|
3+α
Γ0
≤ δ0
iснує єдиний розв’язок (r, v̂) ∈ WT задачi (3.7).
Зауваження 4.2. Твердження даної теореми можна природно пере-
формулювати в термiнах задачi (1.2), (1.3) i вихiдних функцiй u, h.
Доведення теореми 4.1 засновано на використаннi принципу сти-
скувальних вiдображень та дослiдженнi вiдповiдної лiнiйної задачi:
знайти функцiї U (1)(x, t), U (2)(x, t), s(x1, t) за умовами
М. В. Краснощок 545
1
1 − 2νi
∇ divU (i) + ∆U (i) = F (i)(x, t), x ∈ Ωi, t ≥ 0, i = 1, 2,
σ
(1)
12 (U) = 0, σ
(1)
22 (U) = 0, x ∈ Σ1, t ≥ 0,
U (2) = 0, x ∈ Σ2, t ≥ 0,
[U1] = 0, [U2] + [A] s = 0, x ∈ Γ0, t ≥ 0,
[σ12(U)] + σ0
[ ν
1 − ν
]
sy1 = Φ1(x, t), x ∈ Γ0, t ≥ 0,
[σ22(U)] + γsx1x1 = Φ2(x, t), x ∈ Γ0, t ≥ 0,
(4.1)
st − a0sx1x1 + a1
[ ν
1 − ν
ǫ11(U) + ǫ22(U)
]
− U
(1)
2 − a2s
= Φ3(x, t), x ∈ Γ0, t ≥ 0,
s(x1, 0) = s0(x1), x ∈ Γ0.
(4.2)
Теорема 4.2. Нехай F ∈ C([0, T ];Cα
1 (Π)), Φ ∈ C([0, T ];C1+α
1 (Γ0)) i
r0 ∈ C3+α
1 (Γ0)), тодi iснує єдиний розв’язок (s, U) ∈ WT задачi (4.1),
(4.2) такий, що
NT [(s, U)] ≤ C(T )FT [F,Φ, r0] . (4.3)
5. Iснування розв’язку лiнiйної задачi
Замiсть (4.2) розглянемо спiввiдношення
st − a0sx1x1 + λ
(
a1
[ ν
1 − ν
ǫ11(U) + ǫ22(U)
]
− U
(1)
2 − a2s
)
= Φ3(x, t), x ∈ Γ0, t > 0,
s(x1, 0) = s0(x1), x ∈ Γ0.
(5.1)
i за допомогою теореми про продовження за параметром (див. теоре-
му 1 роботи [15, с. 154]), доведемо iснування розв’язку задачi (4.1),
(5.1) при λ = 1.
При λ = 0 задача (4.1), (5.1), “розпадається” на двi задачi: задачу
Кошi
st − a0sx1x1 = Φ3(x, t), x ∈ Γ0, t > 0,
s(x1, 0) = s0(x1), x ∈ Γ0.
(5.2)
та змiшану задачу (4.1) iз вже вiдомою функцiєю s.
Iснування єдиного розв’язку
s ∈ C1([0, T ];C1+α(Γ0)) ∩ C([0, T ];C3+α(Γ0))
546 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
задачi (5.2) та оцiнка
|s|
(1,3+α)
Γ0×[0,T ] ≤ c1|Φ3(·, t)|
(0,1+α)
Γ0×[0,T ]. (5.3)
випливають з теореми 5.1.4 роботи [16]. Зазначимо, що той самий
результат можна одержати за допомогою методiв теорiї потенцiалiв.
Iснування класичного розв’язку задачi (4.1) з вiдомою функцiєю s
для кожного значення t ∈ [0, T ] є наслiдком результатiв роботи [17]
(див. також [18]). Єдинiсть цього розв’язку обумовлено крайовою
умовою U (2) = 0, на Σ2 (див., наприклад, теорему 3.8 роботи [19, роз-
дiл I]).
Оскiльки питання розв’язностi задачi при λ = 0 вже з’ясовано,
залишається отримати апрiорну оцiнку рiвномiрно вiдносно парамет-
ра λ.
Спочатку одержимо попереднi оцiнки максимумiв |U (i)(·, t)|
(0)
Ωi
,
(i = 1, 2).
З теореми 2 роботи [17] випливає оцiнка:
2∑
i=1
|U (i)(·, t)|W 2
2 (Ωi(1))
≤ c2
2∑
i=1
|F (i)(·, t)|L2(Ωi(1))
+ c3([A], σ0)|s(·, t)|W 3/2
2 (Γ0(1))
c4(γ)|s(·, t)|W 5/2
2 (Γ0(1))
+ c5
2∑
i=1
|Φi(·, t)|W 1/2
2 (Γ0(1))
, t ∈ [0, T ]. (5.4)
Продовжуючи дану нерiвнiсть влiво за допомогою теореми вкла-
дення (див. теорему 2.1 [14]) та ”огрубляючи” її вправо (нагадаємо,
що всi функцiї, що розглядаються, є перiодичними за змiнною x1),
маємо
2∑
i=1
|U (i)(·, t)|
(0)
Ωi
≤ c6
( 2∑
i=1
|F (i)(·, t)|
(0)
Ωi
+
2∑
i=1
|Φi(·, t)|
(1)
Γ0
|s(·, t)|
(3)
Γ0
)
,
t ∈ [0, T ]. (5.5)
Безпосередньо з рiвняння (5.1) одержуємо
|st(·, t)|
(1)
Γ0
≤ c7
(
|s(·, t)|
(3)
Γ0
+
2∑
i=1
|U (i)(·, t)|
(2)
Ωi
+ |Φ3(·, t)|
(1)
Γ0
)
, t ∈ [0, T ].
(5.6)
Далi перейдемо до оцiнок констант Гельдера невiдомих функцiй,
застосовуючи метод поточкових оцiнок Шаудера, а також пiдхiд, за-
пропонований у роботi [20].
М. В. Краснощок 547
Нехай ξ — довiльна точка областi Π. Позначимо через B̺(ξ) (̺ <
δ̂0) коло радiуса ̺ з центром в точцi ξ. Нехай ζ̺(x) — нескiнченно ди-
ференцiйовна функцiя така, що ζ̺(x) = 1 при |x| < ̺/4, ζ̺(x) = 0 при
|x| > ̺. Всюди далi у данiй частинi замiсть ζ̺(x) будемо писати ζ(x).
Безпосереднiми обчисленнями перевiримо, що функцiї W (x, t)(i) =
ζ(x)U (i)(x, t), i = 1, 2, S(x1, t) = ζ(x1, 0)s(x, t) задовольняють спiввiд-
ношенням:
1
1 − 2νi
∇ divW (i) + ∆W (i) = G(i)(x, t), x ∈ Ω
(i)
T , i = 1, 2, (5.7)
σ
(1)
i2 (W ) = 0, x ∈ Σ
(1)
T , t > 0, i = 1, 2, (5.8)
W (2) = 0, x ∈ Σ
(2)
T , (5.9)
[W1] = 0, [W2] = Υ,
[σ12(W )] = Ψ1, [σ22(W )] + γSx1x1 = Ψ2, x ∈ ΓT ,
(5.10)
St = a0Sx1x1 − λa1
[ ν
1 − ν
ǫ11(W ) + ǫ22(W )
]
+ Ψ3(x1, t),
x ∈ ΓT ,
S(x1, 0) = S0(x1), x ∈ Γ,
(5.11)
де
G(i) = ζF (i) +
1
1 − 2νi
(
∇(∇ζ) · U (i) + ∇ζ divU (i)
)
+ 2∇ζ∇U (i) + ∆ζU (i),
Υ = −[A]ζs,
Ψ1 = ζΦ1 +
E1
2(1 + ν1)
(
U
(1)
2 ζx1 + U
(1)
1 ζx2
)
−
E2
2(1 + ν2)
(
U
(2)
2 ζx1 + U
(2)
1 ζx2
)
+ σ0
[ ν
1 − ν
]
sx1ζ,
Ψ2 = ζΦ2 +
E1
1 + ν1
(
U
(1)
2 ζx2 +
ν1
1 − 2ν1
(U (1) · ∇ζ)
)
−
E2
1 + ν2
(
U
(2)
2 ζx2 +
ν2
1 − 2ν2
(U (2) · ∇ζ)
)
+ γ(2sx1ζx1 + sζx1x1),
Ψ3 = ζΦ3 + a0(2ζx1sx1 + ζx1x1s) − λ
(
a1
[ ν
1 − ν
U2ζx2 + v1ζx1
]
+ U
(1)
2 ζ + a2sζ
)
,
548 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
S0 = ζs0. (5.12)
Згiдно з методом Шаудера, необхiдно розглянути сукупнiсть мо-
дельних задач, основна з яких, що вiдображає сутнiсть розглядуваної
задачi, полягає ось в чому.
Нехай D(1) = {x ∈ R
2 : x2 > 0}, D(2) = {x ∈ R
2 : x2 < 0},
R1 = {x ∈ R
2 : x2 = 0}, треба вiдшукати функцiї w(1), w(2), p за
умовами
1
1 − 2νi
∇ divw(i) + ∆w(i) = f (i)(x, t),
x ∈ D(i), t ∈ [0, T ], i = 1, 2,
[w1] = φ1, [w2] = φ2, x ∈ R1, t ∈ [0, T ],
[σ12(w)] = ψ1, [σ22(w)] = −γpx1x1 + ψ2, x ∈ R1, t ∈ [0, T ],
w → 0, при |x| → ∞,
pt = a0px1x1 − λa1
[ ν
1 − ν
ǫ11(w) + ǫ22(w)
]
+ ψ3(x1, t),
x ∈ R1, t ∈ [0, T ],
p(x1, 0) = p0(x1), x1 ∈ R1.
(5.13)
Зазначимо, що для переходу вiд (5.7), (5.10), (5.11) до (5.13) по-
трiбне додаткове перенесення площини x→ (x− ξ).
Лема 5.1. Нехай f i ∈ C([0, T ];Cα(D(i))), ϕi ∈ C([0, T ];C2+α(R1)),
(i = 1, 2), ψj ∈ C([0, T ];C1+α(R1)), (j = 1, 2, 3), p0 ∈ C3+α(R1), тодi
iснує єдиний розв’язок (p, w) задачi (5.13) такий, що
2∑
i=1
sup
0≤t≤T
[w(i)(·, t)]
(2+α)
D(i) + sup
0≤t≤T
[pt(·, t)]
(1+α)
R1 + sup
0≤t≤T
[p(·, t)]
(3+α)
R1
≤ C(T )
( 2∑
i=1
sup
0≤t≤T
[f (i)(·, t)]
(α)
D(i) +
2∑
i=1
sup
0≤t≤T
[φi(·, t)]
(2+α)
R1
+
3∑
i=1
sup
0≤t≤T
[ψi(·, t)]
(1+α)
R1
+ [p0]
(3+α)
R1
)
. (5.14)
Дану лему доведено в наступному параграфi.
Позначимо через Mt [W,S] суму старших пiвнорм
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
[
W (i)(·, τ)
](2+α)
D(i) + sup
0≤τ≤t
[S(·, τ)]
(3+α)
R1 + sup
0≤τ≤t
[Sτ (·, τ)]
(1+α)
R1 .
М. В. Краснощок 549
Враховуючи оцiнку (5.14), маємо
Mt [W,S] ≤ C(T )
( 2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
[
G(i)(·, τ)
](2+α)
D(i) + sup
0≤τ≤t
[Υ(·, τ)]
(2+α)
Γ0
+
3∑
i=1
sup
0≤τ≤t
[Ψi(·, τ)]
(1+α)
Γ0
+ [S0]
(3+α)
Γ0
)
.
У свою чергу, використовуючи представлення (5.12) функцiй G(i),
(i = 1, 2), Υ, Ψj (j = 1, 3), продовжимо останню нерiвнiсть наступним
чином
Mt [W,S] ≤ c8(T )
( 2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
[
F (i)(·, τ)
](2+α)
D(i)
+
3∑
i=1
sup
0≤τ≤t
[Φi(·, τ)]
(1+α)
Γ0
+
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
∣∣U (i)(·, τ)
∣∣(2)
Ω(i) + sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(3)
R1
)
.
Завдяки результатам роботи [21] можна одержати оцiнки, анало-
гiчнi (5.14), у випадку, коли ξ /∈ Γ0, тобто для розв’язкiв модельних
задач для системи теорiї пружностi у пiвплощинi з граничною умо-
вою (5.8) або (5.9). Поєднуючи цi оцiнки, маємо
Mt [U, s] ≤ c9(T )(Ft [F,Φ, s0]
+
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
∣∣U (i)(·, τ)
∣∣(2)
Ω(i) + sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(3)
R1 ).
Звiдси отримуємо
Nt [U, s] ≤ c10(T )(Ft [F,Φ, s0] +
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
∣∣U (i)(·, τ)
∣∣(2)
Ω(i)
+ sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(3)
R1 + sup
0≤τ≤t
|sτ (·, τ)|
(1)
R1 ).
Далi, завдяки (5.6),
Nt [U, s] ≤ c11(T )(Ft [F,Φ, s0]
+
2∑
i=1
sup
0≤τ≤t
∣∣U (i)(·, τ)
∣∣(2)
Ω(i) + sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(3)
R1 ).
550 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Iнтерполяцiйна нерiвнiсть (див. лему 3.2 монографiї [14])
∣∣U (i)
∣∣(2)
Ω(i)(1)
≤ ε
∣∣U (i)
∣∣(2+α)
Ω(i)(1)
+ cε
∣∣U (i)
∣∣(0)
Ω(i)(1)
, i = 1, 2.
i оцiнка (5.5) дозволяють перейти до нерiвностi
Nt [U, s] ≤ c12(T )(Ft [F,Φ, s0] + sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(3)
R1 ). (5.15)
На пiдставi вже згадуваної iнтерполяцiйної нерiвностi
|s|
(3)
R1(1)
≤ ε|s|
(3+α)
R1(1)
+ cε|s|
(0)
R1(1)
, i = 1, 2,
з (5.15) випливає нерiвнiсть
Nt [U, s] ≤ c13(T )(Ft [F,Φ, s0] + sup
0≤τ≤t
|s(·, τ)|
(0)
R1
≤ c14(T )(Ft [F,Φ, s0] + |s0|
(0)
R1 +
t∫
0
Nτ [U, s] dτ)),
до якої застосовуємо лему Гронуолла i отримуємо оцiнку (4.3).
6. Основна модельна задача
При розглядi основної модельної задачi (5.13), використовуючи
результати робiт [17, 18], можна обмежитися випадком f (i) = 0, ψi =
0, φi = 0, i = 1, 2. За допомогою перетворення Фур’є вiдносно змiнної
x1, одержуємо систему звичайних диференцiальних рiвнянь
iξ
1 − 2νk
(
iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
)
+
d2w̃
(k)
1
dx2
2
− ξ2w̃
(k)
k = 0,
1
1 − 2νk
d
dx2
(
iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
)
+
d2w̃
(k)
2
dx2
2
− ξ2w̃
(k)
2 = 0,
(6.1)
де k = 1 при x2 > 0 i k = 2 при x2 < 0, з граничними умовами
w̃ → 0, при |x| → ∞, (6.2)
[w̃1] = 0, [w̃2] = 0,
1
2
[
Ek
1 + νk
(
iξw̃
(k)
2 +
dw̃
(k)
1
dx2
)]k=1
k=2
= 0, x2 = 0,
[
Ek
1 + νk
(
dw̃
(k)
2
dx2
+
ν
1 − 2νk
(
iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
))]k=1
k=2
= γξ2p̃,
(6.3)
М. В. Краснощок 551
p̃t = −a0ξ
2p̃− λa1
[
νk
1 + νk
iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
]k=1
k=2
+ ψ̃3, x2 = 0,
p̃(ξ, 0) = p̃(ξ, 0) = p̃0(ξ).
(6.4)
де знаком ∼ зверху помiчено образ вiдповiдної функцiї при перетво-
реннi Фур’є. Спочатку розглянемо задачу (6.1)–(6.3) за припущен-
ням, що невiдому функцiю p̃ вже знайдено, а потiм пiдставимо фун-
кцiю w̃ в (6.4) i, таким чином, знайдемо p̃.
Загальний розв’язок системи (6.1), що задовольняє умову (6.2),
має вигляд
w̃
(1)
1 = iξ
(
−
z1
|ξ|
− z2x2 + (3 − 4ν1)
z2
|ξ|
)
e−|ξ|x2 ,
w̃
(1)
2 = (z1 + z2|ξ|x2) e
−|ξ|x2 , x2 > 0,
w̃
(2)
1 = iξ
( z3
|ξ|
− z4x2 − (3 − 4ν2)
z4
|ξ|
)
e|ξ|x2 ,
w̃
(2)
2 = (z3 − z4|ξ|x2) e
|ξ|x2 , x2 < 0,
(6.5)
де z1, z2, z3, z4 — невiдомi сталi.
Якщо пiдставити (6.5) в умови (6.3), тодi отримуємо систему:
Rz = B,
де
R =
−1 3 − 4ν1 −1 3 − 4ν2
1 0 −1 0
E1
2(1+ν1) −E1(1−ν1)
1+ν1
− E2
2(1+ν2)
E2(1−ν2)
1+ν2
− E1
1+ν1
E1(1−2ν1)
1+ν1
− E2
1+ν2
E2(1−2ν2)
1+ν2
;
z =
z1
z2
z3
z4
; B =
0
0
0
γ|ξ|p̃
.
Позначимо α1 = E1
1+ν1
, α2 = E2
1+ν2
. Маємо
detR = −
1
2
(α2(3 − 4ν1) + α1)(α1(3 − 4ν2) + α2) 6= 0.
Розв’язуючи систему (z = R−1B), знаходимо
z1 = z3 = (α2(1 − ν2)(3 − 4ν1) + α1(1 − ν1)(3 − 4ν2))
γ
detR
|ξ|p̃,
z2 = (α1(3 − 4ν2) + α2)
γ
2 detR
|ξ|p̃,
z4 = (α2(3 − 4ν1) + α1)
γ
2 detR
|ξ|p̃.
(6.6)
552 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Для зручностi, спочатку обчислимо другий вираз у правiй частинi
рiвняння (6.4) з урахуванням (6.5) та (6.6):
a1
[
νk
1 + νk
iξw̃
(k)
1 +
dw̃
(k)
2
dx2
]k=1
k=2
∣∣∣∣
x2=0
= a1|ξ|
(1 − 2ν1
1 − ν1
((1 − 2ν1)z2 − z1)
−
1 − 2ν2
1 − ν2
(z3 − (1 − 2ν2)z4)
)
= a∗|ξ|
2p̃,
де
a∗ =
γ(α1β1 + α2β2)a1
(α2(3 − 4ν1) + α1)(α1(3 − 4ν2) + α2)(1 − ν1)(1 − ν2)
,
β1 = (1 − 2ν1)(3 − 4ν2)(1 − 2ν2) + 4(1 − 2ν2)(1 − ν2)(1 − ν1)
2
+ (1 − 2ν2)
2(1 − 2ν1)(1 − ν1),
β2 = (1 − 2ν2)(3 − 4ν1)(1 − 2ν1) + 4(1 − 2ν1)(1 − ν1)(1 − ν2)
2
+ (1 − 2ν1)
2(1 − 2ν2)(1 − ν2).
Важливо, що a∗ > 0. Таким чином, задача (6.4) набуває вигляду:
p̃t = −(a0 + λa∗)ξ
2p̃+ ψ̃3, p(ξ, 0) = p̃0(ξ).
Звiдси
p(x1, t) =
+∞∫
−∞
G(x1 − y1, t)p0(y1, τ) dy1
+
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
G(x1 − y1, t− τ)ψ3(y1, τ) dy1,
де G(x1, t) = 1
2
√
πtaλ
exp
(
−
x2
1
4aλt
)
, aλ = a0 +λa∗, тобто можна вважати,
що функцiя p(x1, t) є розв’язком задачi Кошi
pt − aλpx1x1 = ψ3(x, t), x ∈ Γ0, t > 0,
p(x1, 0) = p0(x1), x ∈ R
1.
М. В. Краснощок 553
Оскiльки a0 ≤ a0+λa∗ ≤ a0+a∗, знову використовуючи теорему 5.1.4
роботи [16], маємо
sup
0≤τ≤T
[pτ (·, τ)]
(1+α)
R1 + sup
0≤τ≤T
[p(·, τ)]
(3+α)
R1 ≤ C sup
0<τ<T
[ψ3(·, τ)]
(1+α)
Γ0
. (6.7)
Робота [17] гарантує оцiнку
2∑
i=1
[w(i)(·, τ)]
(2+α)
D(i) ≤ C [p(·, t)]
(3+α)
R1
, для всiх t ∈ [0, T ]. (6.8)
З оцiнок (6.7), (6.8) випливає (5.14).
Для доведення єдиностi розв’язку задачi можна використати ме-
тод, запропонований у роботi [20]. Нехай w1
∗, w
2
∗, p∗ — ненульовий
розв’язок однорiдної задачi (5.13) з нульовою початковою умовою
(p0(x1) = 0). Помножимо спiввiдношення (5.13) на функцiю ζN (x).
Далi усi члени, що мiстять похiднi ζN (x) перенесемо у правi части-
ни, якi тепер мають компактнi носiї. Отже, для функцiй w
(1)
∗ ζN (x),
w
(2)
∗ ζN (x), p∗ζN (x) можна застосувати оцiнку (5.14). Якщо N прямує
до нескiнченностi, то w
(1)
∗ ζN , w
(2)
∗ ζN , p∗ζN наближаються до w
(1)
∗ , w
(2)
∗ ,
p∗, i, як легко переконатися, у свою чергу вiдповiднi норми правих
частин наближаються до нуля, тому w
(1)
∗ = 0, w
(2)
∗ = 0, p∗ = 0.
7. Доведення теореми 4.1
Позначимо
A(r, v̂) =
[
L[0]v̂, σ
(1)
12 (v̂)
∣∣
Σ1
, σ
(1)
12 (v̂)Σ1 , ṽ
(2)
Σ2
, [v̂1]
∣∣
Γ0
, ([v̂2] + [A]r)
∣∣
Γ0
,
(
[σ12](v̂) − σ0
[ ν
1 − ν
]
ry1
)∣∣∣
Γ0
, ([σ22] + γry1y1)
∣∣
Γ0
,
(
Lrt −Kγry1y1 +
K
ρ
σ0
[ ν
1 − ν
ǫ11(v̂) + ǫ22(v̂)
]
− v̂
(1)
2 −A2r
)
|Γ0 , r|t=0
]
,
G(r, v̂) = [f̂(r, v̂), 0, 0, 0, 0, 0, φ̂1(r, v̂), φ̂2(r, v̂), φ̂3(r, v̂), 0],
H = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, r0],
тобто через A(r, v̂) i G(r, v̂) позначено вiдповiдно лiвi i правi частини
спiввiдношень (3.7). Таким чином, в операторнiй формi дана задача
набуває вигляду
A(r, v̂) = G(r, v̂) + H. (7.1)
554 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
Iз розв’язностi задачi (4.1), (4.2) випливає, що у оператора A iснує
обмежений оператор A−1. Застосовуючи його до обох частин (7.1),
приходимо до рiвняння
(r, v̂) = A−1(G(r, v̂) + H) = Yr0(r, v̂).
Покажемо, що для достатньо малих δ0 ∈ (0, δH) i довiльної поча-
ткової функцiї r0 ∈ C3+α
1 (Γ0) такої, що |r0|
(3+α)
Γ0
≤ δ0 оператор Yr0 є
стиском i вiдображає кулю
B(0, δ) = {(r, v̂) : |(r, v̂)|WT
≤ δ}
достатньо малого радiуса δ в себе.
Нелiнiйнi члени f̂(r, v̂), φ̂(r, v̂) мiстять множники r, ry1 або ry1y1 i
лiнiйнi вiдносно функцiй v̂ i r та їх похiдних. Застосовуючи формулу
скiнченних рiзниць та очевидну нерiвнiсть
|uv|
(α)
Q ≤ |u|
(α)
Q |v|
(0)
Q + |u|
(0)
Q |v|
(α)
Q
для довiльних функцiй u i v та вiдповiдної областi Q (див. зауважен-
ня 3.1, 4.1), отримуємо наступну лему.
Лема 7.1. Нехай δ ∈ (0, δH), тодi iснують сталi C1, C2, якi за-
лежать вiд T , δH такi, що для довiльних елементiв (r, v̂), (r′, v̂′)
простору WT : |(r, v̂)|WT
≤ δ, |(r′, v̂′)|WT
≤ δ виконуються нерiвнос-
тi:
|f̂(r, v̂)|
(0,α)
Π×[0,T ] +
3∑
j=1
|φ̂(r, v̂)|
(0,1+α)
Γ0×[0,T ] ≤ C1(|(r, v̂)|WT
)2, (7.2)
|f̂(r, v̂) − f̂(r′, v̂′)|(0,α)
Π×[0,T ] +
3∑
j=1
|φ̂j(r, v̂) − φ̂j(r
′, v̂′)|(0,1+α)
Γ0×[0,T ]
≤ C2δ|(r − r′, v̂ − v̂′)|WT
. (7.3)
Лема 7.2. Справедливi оцiнки
|Yr0(r, v̂)|WT
≤ C3(T, δH)
(
(|(r, v̂)|WT
)2 + |r0|
(3+α)
Γ0
)
, (7.4)
|Yr0(r, v̂) −Fr0(r
′, v̂′)|WT
≤ C4(T, δH)δ|(r − r′, v̂ − v̂′)|WT
. (7.5)
М. В. Краснощок 555
Дана лема є безпосереднiм наслiдком леми 7.1 та оцiнки (4.3).
Отже, оператор Yr0(r, v̂) є стиском, якщо
δ ≤
1
2C4
, (7.6)
i вiдображає кулю B(0, δ) в себе, насамперед, якщо
δ0 < δ, (7.7)
а також за умови
C3(δ
2 + δ0) ≤ δ.
Остання нерiвнiсть виконується, якщо, наприклад, маємо
δ ≤
1
4C3
та δ0 ≤
δ
4C3
. (7.8)
Покажемо тепер, що сукупнiсть умов (7.6)–(7.8) є сумiсною. Спо-
чатку виберемо δ ∈ (0, δH) за умовою (7.6), та першою умовою (7.8):
δ = min
{
1
4C4
,
1
8C3
,
δH
2
}
,
а потiм δ0, що задовольняє умовам (7.7) та другiй умовi (7.8):
δ0 =
1
2 max{4C3, 1}
min
{
1
4C4
,
1
8C3
,
δH
2
}
.
Лiтература
[1] L. Angheluta, E. Jettestuen, J. Mathiesen, The thermodynamics and roughening
of solid-solid interfaces // Physical review. E, Statistical, nonlinear, and soft
matter physics, 79 (2009), 7–25.
[2] В. Н. Гусаков, С. П. Дегтярев, Существование гладкого решения в одной
задаче фильтрации // Укр. матем. журнал, 41 (1989), No. 9, 1192–1198.
[3] Б. В. Базалий, Задача Cтефана для уравнения Лапласа с учетом кривизны
свободной границы // Укр. матем. журнал, 49 (1997), No. 10, 1299–1315.
[4] Е. Фролова, Квазистационарное приближение для задачи Стефана // Про-
блемы мат. анализа, 31 (2005), 167–179.
[5] S. N. Antontsev, C. R. Gonçalves, and A. M. Meirmanov Exact estimates for
the classical solutions to the free boundary problem in the Hele-Shaw cell // Adv.
Diff. Eq., 8 (2003), No. 10, 1259-1280.
[6] B. V. Bazaliy, N. Vasylyeva, The transmission problem in domains with a corner
point for the Laplace operator in weighted Holder spaces // J. Differ. Equations,
249 (2010), No. 10, 2476–2499.
[7] A. Friedman, F. Reitich, Quasi-static motion of a capillary drop, I: the two-
dimensional case // Journal of Differential Equations, 178 (2002), 212–263.
556 Розв’язнiсть задачi з вiльною межею...
[8] M. Gunther, G. Prokert, On Stokes flow with variable and degenerate surface
tension coefficient. // Nonlinear Differ. Equ. Appl., 12 (2005), No. 1, 21–60.
[9] A. Friedman, Bei Hu, J.J.L. Velazquez, The evolution of stress intensity factors
and the propagation of cracks in elastic media // Arch. Ration. Mech. Anal., 152
(2000), No. 2, 103–139.
[10] B. Ja Jin Estimates of the solutions of the elastic system in a moving domain
with free upper interface // Nonlinear Analysis, 51 (2002), 1009—1029.
[11] K. Thornton, J. Agren, P. W. Voorhees, Modelling the evolution of phase
boundaries in solids at the meso- and nano-scales // Acta Materialia, 51 (2002),
5675–5710.
[12] J. W. Barrett, H. Garcke, R. Nürnberg, Finite element approximation of a phase
field model for surface diffusion of void in a stressed solid // Mathematics of
Computation, 75 (2005), 7–41.
[13] M. Siegel, M. J. Miksis, P. W. Voorhees, Evolution of material voids for highly
anisotropic surface energy // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 52
(2004), 1319–1353.
[14] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, Москва: Наука, 1967.
[15] В. А. Треногин, Функциональный анализ, Москва: Наука, 1980.
[16] A. Lunardi, Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems,
Birkhäuser, 1995.
[17] З. Г. Шефтель, Общая теория граничных задач для эллиптических систем
с разрывными коэффициентами // Укр. матем. журнал, 18 (1966), No. 3,
132–136.
[18] З. Г. Шефтель, Эллиптические неравенства и общие граничные задачи для
эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами // Сиб. матем.
журнал, VI (1965), No. 3, 636–668.
[19] О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, А. С. Шамаев, Математические задачи
теории сильно неоднородных упругих сред, Москва: Издательство МГУ, 1990.
[20] В. А. Солонников, Оценки решения второй начально-краевой задачи для си-
стемы Стокса в пространствах функций с непрерывными по Гельдеру прои-
зводными по пространственных переменных // Записки ПОМИ, 259 (1999),
254–279.
[21] S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of
elliptic partial differential equations satisfying general boundary condition, II //
Comm. Pure Apll. Math., 17 (1964), 35–92.
Вiдомостi про авторiв
Микола
Валерiйович
Краснощок
Iнститут прикладної математики i
механiки НАН України,
вул. Р. Люксембург, 74
83114, Донецьк
Україна
E-Mail: krasnoschok@iamm.ac.donetsk.ua
|