Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач
В работе найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений общих неоднородных краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений порядка n ∊ N на конечном интервале вместе со своими производными до порядка n−1 в равномерной норме, а также равномерной сходимости отвечающих этим...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124458 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 227-239. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124458 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. 2017-09-26T15:21:16Z 2017-09-26T15:21:16Z 2014 Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 227-239. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 34M03, 35F45. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124458 В работе найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений общих неоднородных краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений порядка n ∊ N на конечном интервале вместе со своими производными до порядка n−1 в равномерной норме, а также равномерной сходимости отвечающих этим задачам матриц Грина. Исследование первого автора поддержано грантом 03-01-12 совместных проектов НАН Украины и СО РАН. Авторы признательны А. М. Самойленко за внимание и интерес к работе. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| spellingShingle |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. |
| title_short |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| title_full |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| title_fullStr |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| title_full_unstemmed |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| title_sort |
предельные теоремы для общих одномерных краевых задач |
| author |
Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems |
| description |
В работе найдены достаточные условия непрерывности по параметру решений общих неоднородных краевых задач для систем линейных дифференциальных уравнений порядка n ∊ N на конечном интервале вместе со своими производными до порядка n−1 в равномерной норме, а также равномерной сходимости отвечающих этим задачам матриц Грина.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124458 |
| citation_txt |
Предельные теоремы для общих одномерных краевых задач / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 2. — С. 227-239. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mihailecva predelʹnyeteoremydlâobŝihodnomernyhkraevyhzadač AT čehanovaga predelʹnyeteoremydlâobŝihodnomernyhkraevyhzadač AT mihailecva limittheoremsforgeneralonedimensionalboundaryvalueproblems AT čehanovaga limittheoremsforgeneralonedimensionalboundaryvalueproblems |
| first_indexed |
2025-11-25T23:28:35Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:28:35Z |
| _version_ |
1850583752120467456 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 2, 227 – 239
Предельные теоремы для общих одномерных
краевых задач
Владимир А. Михайлец, Ганна А. Чеханова
(Представлена А. М. Самойленко)
Аннотация. В работе найдены достаточные условия непрерывно-
сти по параметру решений общих неоднородных краевых задач для
систем линейных дифференциальных уравнений порядка n ∈ N на
конечном интервале вместе со своими производными до порядка n−1
в равномерной норме, а также равномерной сходимости отвечающих
этим задачам матриц Грина.
2010 MSC. 34M03, 35F45.
Ключевые слова и фразы. Общая краевая задача, непрерывность
по параметру, равномерная сходимость вместе с производными, схо-
димость матриц Грина.
1. Введение
Вопросы предельного перехода в системах дифференциальных
уравнений присутствуют во многих задачах анализа. Существенный
вклад в развитие этого направления внесли работы И. И. Гихма-
на [1], М. А. Красносельского и С. Г. Крейна [2], Я. Курцвейля и
З. Вореля [3], А. М. Самойленко [4, 5] о зависимости решений диф-
ференциальных уравнений и систем от параметра. Часть их связана
с обоснованием известного принципа усреднения Н. Н. Боголюбова
и характеризуется общей точкой зрения на линейный и нелинейный
случаи. Применительно к линейным задачам Коши эти результаты
усилены в работах [6–10]. Более сложный случай общих линейных
краевых задач для систем уравнений порядка n = 1 изучен в [11–14].
В настоящей работе аналогичные вопросы исследуются для систем
уравнений произвольного порядка. Часть результатов являются но-
выми и при n = 1.
Статья поступила в редакцию 28.01.2014
Исследование первого автора поддержано грантом 03-01-12 совместных прое-
ктов НАН Украины и СО РАН
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
228 Предельные теоремы...
Пусть числа m,n ∈ N, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Рассмотрим на конечном
интервале (a, b) ⊂ R векторное линейное дифференциальное уравне-
ние порядка n
y(n) +An−1(t)y
(n−1) + · · · +A0(t)y = f(t), (1.1)
где квадратные (m×m)-матрицы Aj−1(·) и вектор-функция f(·) сум-
мируемы на [a, b]. Решения уравнения (1.1) имеют абсолютно непре-
рывную производную порядка n− 1 и удовлетворяют равенству (1.1)
почти всюду. Вместе с уравнением (1.1) рассмотрим общие неодноро-
дные краевые условия
Bjy = cj , (1.2)
где векторы cj ∈ C
m, а линейные непрерывные операторы
Bj : C(n−1) ([a, b]; Cm) → C
m.
Из теоремы Ф. Рисса о линейных непрерывных функционалах на про-
странстве C([a, b],C) можно вывести, что каждый из этих операторов
допускает однозначное аналитическое представление
Bjy =
n−1∑
k=1
αjky
(k−1)(a) +
b∫
a
[dΦj(t)] y
(n−1)(t), (1.3)
где αjk — квадратные комплексные матрицы; Φj(t) — квадратная
матрица-функция, элементы которой непрерывны справа на интер-
вале (a, b) и имеют ограниченную вариацию на [a, b], Φj(a) = 0, а
интеграл понимается по Риману–Стилтьесу.
Дополнительные условия такого вида охватывают все классиче-
ские виды краевых условий. В частности, задачи Коши, двухточе-
чные и многоточечные, интегральные и смешанные краевые задачи.
Известно, что для однозначной везде разрешимости задачи (1.1)–
(1.2) необходимо и достаточно, чтобы соответствующая однородная
краевая задача имела лишь тривиальное решение. В этом случае ре-
шение полуоднородной краевой задачи допускает интегральное пред-
ставление
y(t) =
b∫
a
G(t, s)f(s) ds, (1.4)
где G(t, s) — матрица Грина однородной краевой задачи. Формула
обращения (1.4) определяет матрицу Грина неоднозначно. Мы будем
выделять среди них одну.
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 229
Пусть теперь коэффициенты дифференциального уравнения, опе-
раторы Bj и правые части равенств (1.1) и (1.2) зависят от параметра
ε, 0 ≤ ε < ε0. Тогда решения y(·) и матрицы Грина также зависят от
параметра. В данной работе найдены конструктивные достаточные
условия, при которых
‖y(·, ε) − y(·, 0)‖(n−1) → 0, (1.5)
‖G(·, ·; ε) −G(·, ·; 0)‖∞ → 0, (1.6)
где ε → 0+, ‖·‖(n−1) — норма в пространстве C(n−1) ([a, b]; Cm), а
‖·‖∞ — sup-норма.
2. Сходимость решений
Рассмотрим семейство общих неоднородных краевых задач:
y(n)(t, ε) +An−1(t, ε)y
(n−1)(t, ε) + · · · +A0(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε), (2.1)
Bj(ε)y(·, ε) = cj(ε), j ∈ [n] := {1, 2, . . . , n}, (2.2)
где при фиксированном значении параметра ε выполнены предполо-
жения о коэффициентах Aj(·, ε), операторах Bj(ε) и правых частях
f(·, ε) и cj(ε) задачи (1.1)–(1.2). Чтобы исследуемые задачи имели
смысл, будем всюду далее считать, что предельная однородная кра-
евая задача (ε = 0) имеет только тривиальное решение, т. е. не-
вырождена. В этом случае предельная неоднородная краевая задача
всегда имеет ровно одно решение.
Введем для краткости записи обозначения:
Rj−1(·, ε) := Aj−1(·, ε) −Aj−1(·, 0),
R∨(t, ε) :=
t∫
a
R(s, ε) ds, f∨(t, ε) :=
t∫
a
f(s, ε) ds,
‖·‖1 — норма в пространстве Лебега L1 (вектор-функций или матриц-
функций).
Основным результатом этого раздела является
Теорема 2.1. Пусть при ε→ 0+ и j ∈ [n] выполнены условия:
(1) ‖Rn−1(·; ε)R∨
j−1(·; ε)‖1 → 0;
(2) ‖R∨
j−1(·; ε)‖∞ → 0;
(3) Bj(ε)y → Bj(0)y, y ∈ C(n−1) ([a, b]; Cm) ; cj(ε) → cj(0);
230 Предельные теоремы...
(4) ‖f(·; ε)‖1 = O(1); ‖f∨(·; ε) − f∨(·; 0)‖∞ → 0.
Тогда для достаточно малых ε решения y(·, ε) задачи (2.1)–(2.2) од-
нозначно определены и для них выполняется предельное равенство
(1.5).
Отметим, что условие (1) теоремы заведомо выполнено, если
‖Rn−1(·; ε)‖1 · ‖R∨
j−1(·; ε)‖∞ → 0.
В частности, если верно предположение (2) и
‖An−1(·; ε)‖1 = O(1).
При этом нет никаких ограничений на асимптотическое поведение
функций ‖Aj−1(·; ε)‖1 при j ∈ [n− 1].
Для доказательства теоремы 2.1 рассмотрим сначала случай n=1.
Тогда семейство исследуемых нами неоднородных краевых задач мо-
жно переписать в виде
x′(t, ε) = Ã(t, ε)x(t, ε) + f̃(t, ε), (2.3)
B̃(ε)x(·, ε) = c̃(ε), (2.4)
где линейный непрерывный оператор
B̃(ε) : C ([a, b]; Cr) → C
r, r ∈ N,
матрицы-функции Ã(·, ε) ∈ L1 ([a, b]; Cr×r), вектор-функции f̃(t, ε) ∈
L1 ([a, b]; Cr), векторы c̃(ε) ∈ C
r.
Обозначим через M = M(a, b; r) класс всех суммируемых по t
на [a, b] (r × r)-матричных функций R̃(t, ε), ε ∈ [0, ε0), для которых
матричное решение задачи Коши
Z ′(t, ε) = R̃(t, ε)Z(t, ε), Z(a, ε) = Ir, t ∈ (a, b)
удовлетворяет предельному соотношению
lim
ε→0+
‖Z(·, ε) − Ir‖∞ = 0,
где Ir — единичная (r × r)-матрица.
Для решений задачи (2.3)–(2.4) в работе [14] доказана
Теорема 2.2. Пусть при ε→ 0+ выполнены условия:
(i) R̃(t, ε) := Ã(t, ε) − Ã(t, 0) ∈ M;
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 231
(ii) B̃(ε)x→ B̃(0)x, x ∈ C ([a, b]; Cr) ; c̃(ε) → c̃(0);
(iii) ‖f̃(·, ε) − f̃(·, 0)‖1 = O(1); ‖f̃∨(·; ε) − f̃∨(·; 0)‖∞ → 0.
Тогда для достаточно малых ε решения задач (2.3)–(2.4) однозначно
определены и справедливо предельное равенство
‖x(·, ε) − x(·, 0)‖∞ → 0. (2.5)
Условие (i) теоремы 2.2 нельзя заменить более широким. Оно
является необходимым для выполнения асимптотического равенства
(2.5), если
B̃(ε)x = B̃(0)x = x(a), f̃(·, ε) = f̃(·, 0) = 0, c̃(ε) = c̃(0).
Используемый в этом условии класс M исследован пока недоста-
точно полно и, по-видимому, не допускает конструктивного описания.
Вместе с тем в работах [8, 9] установлена важная
Теорема 2.3. Если при ε→ 0+ выполнено любое из (попарно неэкви-
валентных) условий:
(α) ‖R̃(·; ε)‖1 = O(1);
(β) ‖R̃∨(·; ε)R̃(·; ε)‖1 → 0;
(γ) ‖R̃(·; ε)R̃∨(·; ε)‖1 → 0;
(δ) ‖R̃∨(·; ε)R̃(·; ε) − R̃(·; ε)R̃∨(·; ε)‖1 → 0,
то условие
Ã(·, ε) − Ã(·, 0) ∈ M (2.6)
равносильно условию
‖R̃∨(·; ε)‖∞ → 0. (2.7)
В работе [9] также показано, что само по себе условие (2.7) не яв-
ляется ни необходимым, ни достаточным для выполнения включения
(2.6). Условие (α), в отличие от остальных, является линейным. Из
условия (α) и соотношения (2.7) следует каждое из условий (β), (γ),
(δ).
Наше доказательство теоремы 2.1 состоит в ее редукции к теоре-
ме 2.2 на основе теоремы 2.3. Отметим сразу, что если использовать
условие (α) этой теоремы, то вместо условия (1) придется требовать,
чтобы ‖Aj−1(·, ε)‖1 = O(1) при всех j ∈ [n].
232 Предельные теоремы...
Дифференциальное уравнение (2.1) можно свести к уравнению
(2.3) с r = nm, если положить:
x(·, ε) =
(
y(·, ε), y′(·, ε), . . . , y(n−1)(·, ε)
)
,
f̃(·, ε) = (0, . . . , 0, f(·, ε)) ∈ L1 ([a, b]; Cnm) .
(2.8)
Каждый из операторов Bj(ε) в уравнении (2.2) допускает одно-
значное интегро-дифференциальное представление
Bj(ε)y :=
n−1∑
k=1
αjk(ε)y
(k−1)(a) +
b∫
a
[dΦj(t, ε)] y
(n−1)(t), (2.9)
где матрицы-функции Φj(t, ε) имеют ограниченное изменение на [a, b],
непрерывны справа на (a, b) и Φj(a, ε) = 0.
Определим, исходя из формул (2.9), n2 операторов Bjk(ε) :
C(n−1) ([a, b]; Cm) → C
m, положив для j, k ∈ [n]:
Bjk(ε)y := αjk(ε)y
(k−1)(a), k ∈ [n− 1],
Bjn(ε)y :=
b∫
a
[dΦj(t, ε)] y
(n−1)(t).
(2.10)
Положим
B̃(ε) :=
B11(ε) . . . B1n(ε)
...
...
...
Bn1(ε) . . . Bnn(ε)
,
c̃(ε) :=
(
c1(ε), . . . , cn(ε)
)
∈ C
nm.
(2.11)
Лемма 2.1. Неоднородная краевая задача (2.1)–(2.2) равносильна
неоднородной краевой задаче (2.3)–(2.4) для системы r = nm диф-
ференциальных уравнений первого порядка, где блочные матрицы-
функции
Ã(·, ε) =
0m Im 0m . . . 0m 0m
0m 0m Im . . . 0m 0m
...
...
...
...
...
...
−A0 −A1 −A2 . . . −An−2 −An−1
, (2.12)
операторы B̃(ε) и векторы c̃(ε) определены равенствами (2.11), а
x(·, ε) и f̃(·, ε) определены формулами (2.8).
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 233
Доказательство леммы 2.1 носит стандартный характер и его мо-
жно опустить.
Отметим, что если однородная предельная краевая задача вида
(2.1)–(2.2) имеет лишь тривиальное решение, то однородная краевая
задача вида (2.3)–(2.4) при ε = 0 также обладает этим свойством.
Переходя к доказательству теоремы 2.1, проверим выполнение
предположений теоремы 2.2 для систем (2.3)–(2.4), данные которых
задаются формулами (2.8)–(2.12).
Справедливость условия (iii) и c̃(ε) → c̃(0) в условии (ii) очевид-
на.
Из теоремы Ф. Рисса (см., например, [15]) о необходимых и доста-
точных условиях слабой сходимости линейных непрерывных функци-
оналов на пространстве C[a, b] следует, что при выполнении условия
(3) теоремы 2.1
αjk(ε) → αjk(0), V b
aΦj(·, ε) = O(1),
Φ∨
j (t, ε) → Φ∨
j (t, 0), t ∈ (a, b],
Φj(b, ε) → Φj(b, 0), ε→ 0 + .
Отсюда, в силу той же теоремы вытекает, что
Bjk(ε)y → Bjk(0)y, y ∈ C(n−1) ([a, b]; Cm) , j, k ∈ [n].
Из чего следует, что операторы B̃(ε) сильно сходятся к оператору
B̃(0).
Из равенства (2.12) видно, что блочные матрицы-функции R̃(·, ε)
× R̃∨(·, ε) имеют вид
R̃(·, ε)R̃∨(·, ε)
=
0m 0m . . . 0m
0m 0m . . . 0m
...
...
...
...
Rn−1(·, ε)R∨
0 (·, ε) Rn−1(·, ε)R∨
1 (·, ε) . . . Rn−1(·, ε)R∨
n−1(·, ε)
.
Однако, в силу условий (1) и (2) теоремы 2.1
‖Rn−1(·, ε)R∨
j−1(·, ε)‖1 → 0.
Поэтому выполняется условие (γ) теоремы 2.3. Справедливость соот-
ношения (2.7) этой теоремы обеспечена условием (2) теоремы 2.1.
Теорема 2.1 доказана.
При n = 1 для более широких классов краевых задач аналог
теоремы 2.1 применительно к нормам каждого из соболевских про-
странств W s
p , s ∈ N, p ∈ [1,∞) доказан в работе [16].
234 Предельные теоремы...
3. Сходимость матриц Грина
Рассмотрим сначала краевую задачу (1.1)–(1.2) при n = 1. В этом
случае представление (1.3) оператора B1 имеет вид
B1y =
b∫
a
[dΦ1(t)] y(t).
Пусть Y (t) — матрицант системы, т. е. матричное решение задачи
Коши
Y ′(t) = A0(t)Y (t), Y (a) = Im.
Определим с помощью интеграла Римана–Стилтьеса матричную
функцию
HY (t) :=
t∫
a
[dΦ1(s)]Y (s).
Она может иметь разрывы в точках разрыва элементов матрицы-
функции Φ1(·). При этом, если однородная векторная краевая задача
y′(t) = A0(t)y(t), B1y = 0 (3.1)
имеет только тривиальное решение, то
detHY (b) 6= 0 (3.2)
и существует обратная матрица H−1
Y (b).
Как и в случае вещественнозначных функций (см., например, [17])
верна следующая
Лемма 3.1. Если выполнено неравенство (3.2), то матрица Грина
однородной краевой задачи (3.1) существует и представима в виде
G(t, s)
=
{
Y (t)Y −1(s) − Y (t)H−1
Y (b)HY (s)Y −1(s), a ≤ s ≤ t ≤ b
−Y (t)H−1
Y (b)HY (s)Y −1(s), a ≤ t < s ≤ b
(3.3)
Формула (3.3) по определению задает нормированную матрицу
Грина. Она определена однозначно.
Рассмотрим теперь параметрическое семейство краевых задач
(2.3)–(2.4) для систем дифференциальных уравнений первого поряд-
ка. Для них в работе [14] доказана
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 235
Теорема 3.1. Пусть выполнено условие (i) теоремы 2.2 и
(iv) ‖B̃(ε) − B̃(0)‖ → 0, ε→ 0 + .
Тогда для достаточно малых ε существуют нормированные матри-
цы Грина рассматриваемых задач и они удовлетворяют предельному
равенству (1.6).
Условие (iv) можно эквивалентным образом выразить в терминах
задающих операторы B̃(ε) матриц-функций ограниченной вариации
Φ̃(t, ε):
(iv′) V b
a
[
Φ̃(·, ε) − Φ̃(·, 0)
]
→ 0, ε→ 0 + .
Как показано в [14], условие (iv) в теореме 3.1 нельзя заменить
более слабым условием сильной сходимости операторов B̃(ε) к B̃(0).
Корректным расширением теоремы 3.1 является
Теорема 3.2. Пусть выполнено условие (i) теоремы 2.2 и при ε →
0+
(v) V b
a Φ̃(·, ε) = O(1), ‖Φ̃(·, ε) − Φ̃(·, 0)‖∞ → 0.
Тогда справедливо утверждение теоремы 3.1.
Используя теорему Ф. Рисса, нетрудно убедиться, что условие (v)
влечет за собою сильную сходимость операторов B̃(ε) → B̃(0).
Доказательство. Формулу (3.3) удобно переписать в виде G(t, s) =
G1(t, s) +G2(t, s), где
G1(t, s) = −Y (t)H−1
Y (b)HY (s)Y −1(s),
G2(t, s) =
{
Y (t)Y −1(s), a ≤ s ≤ t ≤ b,
0, a ≤ t < s ≤ b.
Теперь нам достаточно показать, что при ε→ 0+
‖Gi(t, s; ε) −Gi(t, s; 0)‖∞ → 0, i = 1, 2. (3.4)
В работе [14] показано, что предельные равенства (3.4) верны,
если
detHY (b, ε) 6= 0 (3.5)
для достаточно малых ε и при ε→ 0+
‖Y (·, ε) − Y (·, 0)‖∞ → 0, ‖Y −1(·, ε) − Y −1(·, 0)‖∞ → 0, (3.6)
236 Предельные теоремы...
‖HY (·, ε) −HY (·, 0)‖∞ → 0. (3.7)
Как показано в [14], соотношения (3.6) равносильны условию (i)
теоремы 2.2. Там же установлено, что неравенство (3.5) вытекает из
(3.6) и условия сильной сходимости операторов B̃(ε) → B̃(0). После-
днее условие, как отмечалось, вытекает из условия (v).
Переходя к соотношению (3.7), имеем
‖HY (t, ε) −HY (t, 0)‖∞
=
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
dΦ̃(s, ε)
]
Y (s, ε) −
t∫
a
[
dΦ̃(s, 0)
]
Y (s, 0)
∥∥∥∥∥
∞
≤
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
dΦ̃(s, ε)
]
[Y (s, ε) − Y (s, 0)]
∥∥∥∥∥
∞
+
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
dΦ̃(s, ε) − dΦ̃(s, 0)
]
Y (s, 0)
∥∥∥∥∥
∞
.
Оценим каждое слагаемое в правой части неравенства.
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
dΦ̃(s, ε)
]
[Y (s, ε) − Y (s, 0)]
∥∥∥∥∥
∞
≤ V b
a Φ̃(s, ε) · ‖Y (·, ε) − Y (·, 0)‖∞ → 0.
Оценим теперь второе слагаемое, используя формулу интегрирования
по частям для интеграла Римана–Стилтьеса
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
dΦ̃(s, ε) − dΦ̃(s, 0)
]
Y (s, 0)
∥∥∥∥∥
∞
≤
∥∥∥∥∥
t∫
a
[
Φ̃(s, ε) − Φ̃(s, 0)
]
Y ′(s, 0) ds
∥∥∥∥∥
∞
+
∥∥∥
[
Φ̃(t, ε) − Φ̃(t, 0)
]
Y (t, 0)
∥∥∥
∞
≤ ‖Φ̃(·, ε) − Φ̃(·, 0)‖∞ ·
(
‖Y ′(·, 0)‖1 + ‖Y (·, 0)‖∞
)
→ 0.
Теорема 3.2 доказана.
Рассмотрим теперь параметрическое семейство краевых задач
(2.1)–(2.2) с произвольным n ∈ N. Из доказательства теоремы 2.1
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 237
следует, что при выполнении ее условий на коэффициенты Aj−1(·, ε)
и операторы Bj(ε) краевые задачи (2.1)–(2.2) однозначно разрешимы,
если ε достаточно мало. Поэтому существуют заданные на квадрате
[a, b]2 матрицы Грина соответствующих однородных краевых задач.
Каждая из них определяется из формулы обращения однозначно ли-
шь с точностью до своих значений на подмножестве меры нуль. Это
может изменить величину sup-нормы. В связи с этим вопрос о справе-
дливости асимптотического равенства (1.6) нуждается в уточнении.
Оно состоит в том, что среди всех матриц Грина краевой задачи спе-
циальным образом выделяется одна, которая именуется нормирован-
ной. При n = 1 она задается формулой (3.3). Общий случай можно
свести к уже рассмотренному.
При каждом фиксированном ε в силу леммы 2.1 однородная крае-
вая задача вида (2.1)–(2.2) равносильна однородной системе nm диф-
ференциальных уравнений первого порядка с коэффициентом Ã(·, ε)
и матричным оператором B̃(ε) вида (2.10)–(2.11). Для этих систем
нормированные матрицы Грина G̃(·, ·; ε) уже определены. Каждая из
них является матричной функцией размера n× n, элементы которой
сами являются матрицами-функциями размера m×m, т. е.
G̃(·, ·; ε) =
G̃11(·, ·; ε) . . . G̃1n(·, ·; ε)
...
...
...
G̃n1(·, ·; ε) . . . G̃nn(·, ·; ε)
.
Условимся называть нормированной матрицей Грина однородной
краевой задачи вида (2.1)–(2.2) (m×m)-матрицу-функцию
G(·, ·; ε) := G̃1n(·, ·; ε). (3.8)
Это определение оправдано тем, что для каждой вектор-функции
f(·, ε) ∈ L1 ([a, b]; Cm) интеграл
y(t, ε) =
b∫
a
G(t, s; ε)f(s, ε) ds
существует и задает решение уравнения (2.1) с однородными крае-
выми условиями Bj(ε)y(·, ε) = 0. Этот факт следует из леммы 2.1 и
формул (2.12), (2.10), (2.11).
Из равенства (3.8) и уже доказанных теорем вытекает, что верна
Теорема 3.3. Пусть при ε→ 0+ и j ∈ [n] выполнены условия:
(1) ‖Rn−1(·; ε)R∨
j−1(·; ε)‖1 → 0;
238 Предельные теоремы...
(2) ‖R∨
j−1(·; ε)‖∞ → 0;
(3) ‖Bj(ε) −Bj(0)‖ → 0.
Тогда для достаточно малых ε определены нормированные матрицы
Грина рассматриваемых задач и для них справедливо асимптотиче-
ское равенство (1.6).
Замечание 3.1. Условия теоремы 3.3 можно ослабить, заменив пред-
положения (1) и (2) на Ã(·, ε) − Ã(·, 0) ∈ M(a, b;nm), а условие (3)
на предположение (v) теоремы 3.2. Однако в такой форме теорема
теряет свой конструктивный характер.
Примеры показывают, что матрицы-функции G(·, ·; ε) − G(·, ·; 0)
могут иметь разрывы. Их нельзя устранить переопределением мат-
риц-функций на подмножестве меры нуль, в частности, иной норми-
ровкой матрицы Грина.
В более слабой форме предельное соотношение (1.6), где вместо
равномерной нормы присутствует норма пространства Лебега L∞,
использовалось в [18, 19] при исследовании равномерной резольвен-
тной аппроксимации операторов Штурма–Лиувилля с потенциалами-
распределениями операторами с гладкими потенциалами. Такие опе-
раторы возникают в задачах современной математической физики.
Относительно дифференциальных операторов высокого порядка см.
[20,21].
Благодарности. Авторы признательны А. М. Самойленко за вни-
мание и интерес к работе.
Литература
[1] И. И. Гихман, По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова // Укр. мат.
журн., 4 (1952), No. 2, 215–219.
[2] М. А. Красносельский, С. Г. Крейн, О принципе усреднения в нелинейной
механике // Успехи мат. наук., 10 (1955), вып. 3, 147–153.
[3] Я. Курцвейль, З. Ворел, О непрерывной зависимости решений дифференци-
альных уравнений от параметра // Чех. мат. журн., 7 (1957), No. 4, 568–583.
[4] А. М. Самойленко, Про неперервну залежнiсть розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь вiд параметра // Доп. АН УРСР, Сер. А., (1962), No. 10, 1290–1293.
[5] А. М. Самойленко, Об одном случае непрерывной зависимости решений диф-
ференциальных уравнений от параметра // Укр. мат. журн., 14 (1962), No. 3,
289–298.
[6] W. T. Reid, Some limit theorems for ordinary differential systems // J. Different.
Equat., 3 (1967), No. 3, 423–439.
[7] Z. Opial, Continuous parameter dependence in linear systems of differential
equations // J. Different. Equat., 3 (1967), No. 4, 571–579.
В. А. Михайлец, Г. А. Чеханова 239
[8] А. Ю. Левин, Предельный переход для несингулярных систем Ẋ = An(t)X //
Докл. АН СССР, 176 (1967), No. 4, 774–777.
[9] А. Ю. Левин, Вопросы теории обыкновенного линейного дифференциального
уравнения. I // Вестн. Ярослав. ун-та, (1973), вып. 5, 105–132.
[10] Нгуен Тхе Хоан, О зависимости от параметра решений линейной системы
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 29 (1993), No. 6,
970–975.
[11] И. Т. Кигурадзе, Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений // Совр. пробл. математики. Новейшие достижения / ВИНИ-
ТИ, 30 (1987), 3–103.
[12] M. Ashordia, Criteria of correctness of linear boundary value problems for systems
of generalized differential equations // Czechoslovak Math. J., 46 (1996), No. 3,
385–404.
[13] В. А. Михайлец, Н. В. Рева, Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности
линейных краевых задач // Доп. НАН України, (2008), No. 9, 23–27.
[14] T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, N. V. Reva, Limit theorems for one-dimensional
boundary-value problems // Ukr. Math. J., 65 (2013), No. 1, 77–90.
[15] С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. II, издание четвертое,
Москва: Наука, 1991, 544 с.
[16] T. I. Kodlyuk, V. A. Mikhailets, Solutions of one-dimensional boundary-value
problems with a parameter in Sobolev spaces // Journal of Mathematical Sciences,
190 (2013), No. 4, 589–599.
[17] И. Т. Кигурадзе, Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений, Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975, 352 с.
[18] A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets, Resolvent convergence of Sturm–Liouville
operators with singular potentials // Math. Notes, 87 (2010), No. 2, 287–292.
[19] A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets, Regularization of singular Sturm–Liouville
equations // Meth. Funct. Anal. and Top., 16 (2010), No. 2, 120–130.
[20] A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets, Regularization of two-term differential equations
with singular coefficients by quasiderivatives // Ukr. Math. J., 63 (2012), No. 9,
1361–1378.
[21] A. S. Goriunov, V. A. Mikhailets, K. Pankrashkin, Formally self-adjoint quasi-
differential operators and boundary-value problems // Electron. J. Diff. Equ.,
(2013), No. 101, 1–16.
Сведения об авторах
Владимир
Андреевич
Михайлец,
Ганна Алексеевна
Чеханова
Институт математики НАН Украины,
ул. Терещенковская 3,
01601, Киев-4,
Украина
E-Mail: mikhailets@imath.kiev.ua,
anna0024@web.de
|