Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение
Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124471 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 447-479. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124471 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Дегтярев, С.П. 2017-09-26T17:14:11Z 2017-09-26T17:14:11Z 2014 Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 447-479. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 35R35, 35K65. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124471 Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость неизвестной границы. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение Elliptic-parabolic equation and the corresponding problem with free boundary II: A smooth solution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение |
| spellingShingle |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение Дегтярев, С.П. |
| title_short |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение |
| title_full |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение |
| title_fullStr |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение |
| title_full_unstemmed |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение |
| title_sort |
эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей ii: гладкое решение |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Elliptic-parabolic equation and the corresponding problem with free boundary II: A smooth solution |
| description |
Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллиптико-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтрацию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени доказано существование гладкого решения задачи, включая гладкость неизвестной границы.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124471 |
| citation_txt |
Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая задача со свободной границей II: гладкое решение / С.П. Дегтярев // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 447-479. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp élliptikoparaboličeskoeuravnenieisootvetstvuûŝaâzadačasosvobodnoigraniceiiigladkoerešenie AT degtârevsp ellipticparabolicequationandthecorrespondingproblemwithfreeboundaryiiasmoothsolution |
| first_indexed |
2025-11-27T09:25:46Z |
| last_indexed |
2025-11-27T09:25:46Z |
| _version_ |
1850809148317368320 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 4, 447 – 479
Эллиптико-параболическое уравнение и
соответствующая задача со свободной
границей II: гладкое решение
Сергей П. Дегтярев
(Представлена А. Е. Шишковым)
Аннотация. Рассмотрена задача с неизвестной границей раздела
областей параболичности и эллиптичности квазилинейного эллипти-
ко-параболического уравнения. Такая задача моделирует фильтра-
цию в частично насыщенной пористой среде. Локально по времени
доказано существование гладкого решения задачи, включая глад-
кость неизвестной границы.
2010 MSC. 35R35, 35K65.
Ключевые слова и фразы. Эллиптико-параболическое уравне-
ние, свободная граница, классическое решение, априорная оценка.
1. Постановка задачи и основной результат
Пусть Ω — область в RN , T > 0, ΩT = Ω × (0, T ). Пусть, далее,
g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ], u0(x), x ∈ Ω, f(x, t), (x, t) ∈ ΩT — задан-
ные функции, и пусть заданная функция c(u), u ∈ R1 — такова, что
c(u) ≡ 0 при u ≤ 0 и c′(u) > 0 при u ≥ 0 . Рассмотрим в области
ΩT следующую начально-краевую задачу для неизвестной функции
u(x, t):
∂
∂t
c(u)−∆u = 0, (x, t) ∈ ΩT , (1.1)
c(u(x, 0)) = c(u0(x)), (1.2)
u(x, t) = g(x, t), (x, t) ∈ ∂Ω× [0, T ]. (1.3)
Задача подобного типа возникает, в частности, в теории фильтрации,
см. по этому поводу [1–12] и имеющуюся там библиографию, а та-
кже в некоторых других областях. Так как в той области, где u > 0
Статья поступила в редакцию 3.06.2013
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
448 Эллиптико-параболическое уравнение...
уравнение (1.1) является параболическим, а в области, где u < 0
оно эллиптично, то задача (1.1)–(1.3) представляет собой эллиптико-
параболическую задачу. При этом уравнение (1.1) естественным обра-
зом порождает задачу со свободной границей — ключевыми неизве-
стными в рассматриваемой задаче являются сами области , где u < 0
или u > 0, а также граница раздела между ними, которая и пред-
ставляет собой свободную (неизвестную) границу.
В случае одной пространственной переменной, когда Ω представ-
ляет собой отрезок прямой, Ω = (a, b), задача вида (1.1)–(1.3) изу-
чалась в [2–10], где, при определенных предположениях на данные
задачи, было получено существование слабого решения, а также су-
ществование регулярной функции x = s(t) ∈ (a, b), разделяющей
области u > 0 и u < 0.
В работе [11] рассматриваемая задача изучалась в случае двумер-
ной фильтрации, когда Ω ⊂ R2, и при некоторых условиях типа моно-
тонности на данные задачи было установлено, что свободная граница
является непрерывной.
В многомерном же случае, когда Ω ⊂ RN , N ≥ 2, уравнение
(1.1) и задача (1.1)–(1.3) в обобщенной постановке рассматривались,
в частности, в [1] и в [12], причем в [12] задача рассматривалась в
терминах вязких решений и была доказана корректность задачи в
такой обобщенной постановке.
Классические решения многомерной задачи (1.1)–(1.3), включа-
ющие гладкость свободной границы, рассматривались в работе [13].
При этом в указанной работе решение уравнения (1.1) и неизвестная
поверхность раздела изучались в классах гладких функций, являю-
щихся модификациями анизотропных пространств Гельдера. В этих
пространствах для всех производных рассматриваемых функций
предполагались конечными двойные полунормы вида (1.16). Кроме
того, в эллиптической области уравнения (1.1) не доказывалась глад-
кость производной по времени от решения.
Кроме указанных работ, касающихся задач, подобных задаче
(1.1)–(1.3), не претендуя на полноту обзора, отметим также рабо-
ты [14–23].
Целью данной работы является рассмотреть задачу (1.1)–(1.3) в
общей многомерной постановке, Ω ⊂ RN , N ≥ 2, причем рассмотреть
задачу не в обобщенной постановке, а в классических терминах глад-
ких решений. При этом мы будем рассматривать квазилинейное урав-
нение (1.1) и задачу (1.1)–(1.3) как задачу со свободной границей и
сконцентрируем внимание на самой свободной границе. Важным яв-
ляется то, что, в отличие от работы [13], мы покажем, что свободная
граница и решение в параболической области принадлежат обычным
С. П. Дегтярев 449
анизотропным пространствам Гельдера C3+α, 3+α
2 (без дополнитель-
ной “экзотики”), а в эллиптической области решение принадлежит
“почти” классу C3+α, 3+α
2 — оно имеет в этой области производную по
времени из класса Гельдера. Мы считаем эти обстоятельства достато-
чно важными, так как применяемая в данной работе техника сопря-
жения эллиптической и параболической частей задачи позволяет рас-
смотреть и другие эллиптико-параболические задачи в стандартных
пространствах Гельдера. Отметим, что данная работа существенно
опирается на результаты работы [24].
Введем теперь некоторые обозначения, функциональные прост-
ранства и сформулируем задачу (1.1)–(1.3) в эквивалентной форму-
лировке, традиционной для задач со свободной границей.
Во-первых, пусть для простоты (как нетрудно видеть из приве-
денных ниже рассуждений, для нас на самом деле важно лишь, что
c′(u) > 0 при u ≥ 0)
c(u) =
{
0, u < 0,
u, u ≥ 0.
(1.4)
Пусть, далее, Ω — двусвязная область в RN с границей, состоящей
из двух непересекающихся поверхностей Γ+ и Γ−, ∂Ω = Γ+ ∪ Γ−.
Пусть Γ ⊂ Ω — гладкая поверхность, лежащая строго между Γ+ и
Γ− и разделяющая область Ω на две подобласти Ω+ и Ω− с границами
соответственно ∂Ω+ = Γ+ ∪ Γ и ∂Ω− = Γ− ∪ Γ. Мы обозначаем для
T > 0 : ΩT ≡ Ω× [0, T ], ΓT ≡ Γ× [0, T ], Γ±
T ≡ Γ± × [0, T ].
Пусть в областях Ω± заданы функции u±0 (x), такие, что
u+0 > 0 в Ω+, u−0 < 0 в Ω−, (1.5)
∂u+0
∂n
=
∂u−0
∂n
≥ γ > 0, u±0 (x) = 0, x ∈ Γ; ∆u−0 (x) = 0, x ∈ Ω−,
(1.6)
где −→n — нормаль к Γ, направленная в сторону Ω+, а через γ, ν, µ и
C мы будем обозначать все встречающиеся абсолютные константы,
либо константы, зависящие только от раз и навсегда зафиксирован-
ных данных задачи. Функции u±0 (x) — начальные данные для нашей
задачи, а поверхность Γ — начальное положение свободной границы,
которую мы также будем называть границей раздела фаз.
Введем теперь функцию, параметризующую неизвестную поверх-
ность раздела фаз в моменты времени t > 0, как это сделано в [25].
Для этого, предполагая Γ достаточно гладкой (точное требование
сформулировано ниже), введем в достаточно малой окрестности N
поверхности Γ координаты (ω, λ), где ω - локальные координаты на
450 Эллиптико-параболическое уравнение...
поверхности Γ, λ ∈ R, |λ| ≤ λ0, так что, если x ∈ N , то при фиксиро-
ванном выборе локальных координат ω единственным образом
x = xΓ(ω) + λ−→n (ω) = x(ω, λ), |λ| ≤ λ0, (1.7)
где xΓ(ω) ∈ Γ, а λ — отклонение точки x от поверхности Γ по нормали
−→n к Γ, направленной, напомним, внутрь Ω+.
Пусть ρ(x, t) — достаточно малая функция, определенная на ΓT =
Γ× [0, T ], ρ(x, 0) ≡ 0. Так как мы будем использовать локальные ко-
ординаты ω на Γ, то каждым таким локальным координатам ω и
функции ρ(x, t) естественным образом соответствует функция ρ(ω, t)
за которой мы сохраняем то же самое обозначение ρ. Тогда параме-
тризация
x = xΓ(ω) +
−→n (ω)ρ(ω, t)
при каждом t ∈ [0, T ] задает некоторую поверхность Γρ(t), разде-
ляющую область Ω на две подобласти Ω+
ρ и Ω−
ρ . Отметим, что эта
поверхность не зависит от того или иного выбора локальных ко-
ординат ω, а определяется только значениями функции ρ(x, t) на
поверхности ΓT . Обозначим поверхность в ΩT ≡ Ω × [0, T ] через
Γρ,T ≡ ∪t∈[0,T ]Γρ(t) × {t}. Обозначим также через Ω±
ρ,T те области,
на которые поверхность Γρ,T разбивает область ΩT .
Пусть еще на поверхностях Γ±
T ≡ Γ± × [0, T ] заданы функции
g±(x, t) такие, что
g+(x, t) > ν > 0 и g−(x, t) < −ν < 0 при (x, t) ∈ Γ±
T (1.8)
соответственно.
Рассмотрим задачу определения неизвестной функции ρ(ω, τ), оп-
ределенной на ΓT , и функций u±(y, τ), определенных в Ωρ,T из соо-
тношений (мы изменили обозначение точки (x, t) на (y, τ) ввиду по-
следующей замены переменных)
L+
0 u
+(y, τ) ≡ ∂u+(y, τ)
∂τ
−∆u+(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω+
ρ,T , (1.9)
L−
0 u
−(y, τ) ≡ −∆u+(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω−
ρ,T , (1.10)
u±(y, 0) = u±0 (y), y ∈ Ω±; ρ(ω, 0) = 0, ω ∈ Γ, (1.11)
u±(y, τ) = g±(y, τ), (y, τ) ∈ Γ±
T , (1.12)
u+(y, τ) = u−(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Γρ,T , (1.13)
∂u+(y, τ)
∂ντ
=
∂u−(y, τ)
∂ντ
, (y, τ) ∈ Γρ,T , (1.14)
С. П. Дегтярев 451
где ντ — нормаль к Γρ(τ), направленная в сторону Ω+
ρ,T .
Нетрудно видеть, что, в силу условий (1.13) и (1.14), а также в
силу условий на g±(y, τ) и принципа максимума, задача (1.9)–(1.14)
полностью эквивалентна задаче (1.1)–(1.3) для квазилинейного урав-
нения (1.1) с определенной в (1.4) функцией c(u), причем функция
u(y, τ) ≡ u±(y, τ), (y, τ) ∈ Ω±
ρ,T , удовлетворяет уравнению (1.1) в клас-
сическом смысле (благодаря непрерывности самой функции и ее гра-
диента при переходе через поверхность раздела фаз).
Определим теперь нужные нам пространства гладких функций.
Для l > 0 нецелого H l(Ω) ≡ C l(Ω) означает стандартное пространс-
тво функций u(x), непрерывных в Ω по Гельдеру с показателем α =
l− [l] вместе со своими частными производными до порядка [l] вклю-
чительно с нормой |u|(l)
Ω
, H l,l/2(ΩT ) ≡ C l,l/2(ΩT ) — аналогичное про-
странство гладких функций u(x, t) с гладкостью до порядка l по пе-
ременным x и с гладкостью до порядка l/2 по переменной t с нормой
|u|(l)
ΩT
— см. определение этих пространств, например, в [26].
Для произвольной функции f(x, t) и для двух точек (x, t), (y, τ)
обозначим разности от функции f(x, t) по переменным x и t, соответ-
ственно:
∆x,yf(x, t) = f(x, t)− f(y, t), ∆t,τf(x, t) = f(x, t)− f(x, τ). (1.15)
Следуя работе [27], введем следующую полунорму для α, β ∈ (0, 1) и
функции u(x, t):
[u]
(α,β)
ΩT
= sup
(x,t),(y,τ)∈ΩT
|u(x, t)− u(y, t)− u(x, τ) + u(y, τ)|
|x− y|α |t− τ |β
= sup
(x,t),(y,τ)∈ΩT
|∆t,τ∆x,yu(x, t)|
|x− y|α |t− τ |β
. (1.16)
Определим банахово пространство гладких функций C3+α;3/2,α(ΩT )
как пространство, в котором конечна норма (α ∈ (0, 1)):
|u|(3+α;3/2,α)
ΩT
≡ |u|C3+α;3/2,α(ΩT )
≡ |u|(α)
ΩT
+
∑
|s|=1
|Ds
xu|
(2+α)
ΩT
+
∑
|s|=2
|Ds
xu|
(1+α)
ΩT
+
∑
|s|=3
|Ds
xu|
(α)
ΩT
+ |ut|(α)ΩT
+
∑
|s|=1
|Ds
xut|
(α)
ΩT
+ ⟨ut⟩(1/2)t,ΩT
+ [ut]
(α,1/2)
ΩT
, (1.17)
где
⟨v⟩(γ)
t,ΩT
≡ sup
(x,t),(x,t)∈ΩT
|v(x, t)− v(x, t)|
|t− t|γ
,
452 Эллиптико-параболическое уравнение...
⟨v⟩(γ)
x,ΩT
≡ sup
(x,t),(x,t)∈ΩT
|v(x, t)− v(x, t)|
|x− x|γ
,
являются константами Гельдера от функции v(x, t) по переменным t
и x соответственно. Мы используем также обозначение
|v|(0)
ΩT
= max
ΩT
|v(x, t)|.
Отметим, что пространство C3+α;3/2,α(ΩT ) шире пространства
C3+α 3+α
2 (ΩT ). Оно отличается от пространства C3+α 3+α
2 (ΩT ) тем, что
не содержит ⟨ut⟩
( 1+α
2
)
t,ΩT
с показателем 1+α
2 , а содержит только ⟨ut⟩(1/2)t,ΩT
с
показателем 1/2, но вместо этого дополнительно содержит [ut]
(α,1/2)
ΩT
(для функций из пространства C3+α 3+α
2 (ΩT ) последняя полунорма
также конечна). По поводу свойств пространства C3+α;3/2,α(ΩT ) см.
[24], отметим только, что производные от функций этого класса по
пространственным переменным принадлежат в точности тем же про-
странствам, что и соответствующие производные от функций из стан-
дартного класса C3+α 3+α
2 (ΩT ).
Аналогично, обычным образом с использованием локальной па-
раметризации определяются поверхности классов C l,l/2 и C3+α;3/2,α
и соответствующие классы функций, определенных на этих поверх-
ностях.
Кроме того, аналогично [26], мы используем пространства с “ну-
лем внизу”, то есть пространства C l,l/20 и C
3+α;3/2,α
0 . Эти пространс-
тва определяются как собственные подпространства соответствую-
щих пространств, состоящие из функций, обращающихся в ноль при
t = 0 вместе со всеми своими производными по переменной t, допу-
скаемым соответствующим пространством.
Относительно заданных функций в (1.9)–(1.14) мы, кроме условий
(1.6) и (1.8), предполагаем следующее.
Пусть α ∈ (0, 1) фиксировано. Поверхности Γ, Γ± и функции u±0 ,
g± принадлежат классам
Γ,Γ± ∈ C6+α, u±0 (y) ∈ C6+α(Ω
±
), g±(y, τ) ∈ C6+α(Γ±
T ). (1.18)
Кроме условий гладкости данных задачи, ввиду того, что мы хо-
тим получить гладкое решение, мы предполагаем выполненными
стандартные условия согласования граничных и начальных условий
до первого порядка включительно при τ = 0, y ∈ Γ,Γ±. Опишем эти
условия.
С. П. Дегтярев 453
Во-первых, должны выполняться условия согласования нулевого
порядка:
u±(y, 0)|Γ± = u±0 (y)|Γ± = g±(y, 0), u±(y, 0)|Γ = u±0 (y)|Γ = 0. (1.19)
Заметим, далее, что из задачи (1.9)–(1.14) определяются началь-
ные значения производных по времени от функций u+, u− и ρ, кото-
рые мы обозначим, соответственно,
u(1)+(y) =
∂u+
∂τ
(y, 0), u(1)−(y) =
∂u−
∂τ
(y, 0), ρ(1)(y) =
∂ρ
∂τ
(y, 0).
Функция u(1)+(y) определяется из уравнения (1.9):
u(1)+(y) =
∂u+
∂τ
(y, 0) = ∆u+(y, 0) = ∆u+0 (y) ∈ C4+α(Ω
+
).
Эта функция должна удовлетворять условию на Γ+
u(1)+(y)|y∈Γ+ =
∂u+
∂τ
(y, 0)|y∈Γ+ =
∂g+
∂τ
(y, 0). (1.20)
Определим теперь функцию ρ(1)(x) = ρ(1)(ω). Из условия (1.13)
следует, что при τ ≥ 0 и при (y, τ) ∈ Γρ,T , то есть при y = y(ω, τ) =
y(ω) +−→n (ω)ρ(ω, τ), выполнено
u+(y(ω) +−→n (ω)ρ(ω, τ), τ) = 0.
Дифференцируя это равенство по τ при τ = 0, ввиду определения
функций u(1)+ и ρ(1)(x), получаем
∂u+0
∂−→n
ρ(1)(x) + u(1)+(x) = 0, x ∈ Γ.
Отсюда
ρ(1)(x) = −u(1)+(x)/∂u
+
0
∂−→n
∈ C4(Γ). (1.21)
Рассмотрим функцию u(1)−(x). По условию задачи, функция
u−(y, τ) при τ ≥ 0 удовлетворяет задаче
−△u−(y, τ) = 0, (y, τ) ∈ Ω−
ρ,T ,
u−(y, τ)|Γ−
T
= g−(y, τ), u−(y, τ)|Γρ,T
= 0. (1.22)
Дифференцируя первые два из этих соотношений по τ при τ = 0,
причем понимая производную от уравнения Лапласа в смысле рас-
пределений, получаем соотношения
−△u−τ (y, 0) = 0, y ∈ Ω−, (1.23)
454 Эллиптико-параболическое уравнение...
u−τ (y, 0)|Γ− = g−τ (y, 0), (1.24)
где уравнение понимается в обобщенном смысле. Так как при (y, τ) ∈
Γρ,T выполнено y = y(ω, τ) = y(ω) +−→n (ω)ρ(ω, τ), то третье условие в
(1.22) имеет вид
u−(y(ω) +−→n (ω)ρ(ω, τ), τ) = 0.
Дифференцируя это соотношение по τ , получаем⟨
∇yu
−(y(ω) +−→n (ω)ρ(ω, τ), τ)ρτ (ω, τ),
−→n (ω)
⟩
+ u−τ (y(ω) +
−→n (ω)ρ(ω, τ), τ) = 0. (1.25)
Полагая в этом соотношении τ = 0, получаем, что
u−τ (y, 0)|Γ = −∂u
−
0 (y)
∂−→n
ρτ (ω, 0) = −∂u
−
0 (y)
∂−→n
ρ(1)(ω). (1.26)
Таким образом, функция u(1)−(y) = u−τ (y, 0) однозначно определяе-
тся из задачи (1.23), (1.24), (1.26), причем, ввиду наших предположе-
ний о гладкости данных задачи, u(1)−(y) ∈ C4+α(Ω
−
).
Приведем, наконец, еще одно условие согласования на поверхно-
сти Γ при τ = 0, которое является необходимым следствием условия
(1.14). Полагая в этом условии, как и выше, y = y(ω, τ) = y(ω) +
−→n (ω)ρ(ω, τ), дифференцируя полученное соотношение по τ при τ = 0,
используя условие (1.6) (благодаря которому сокращаются слагаемые
с ∂ντ
∂τ ), ввиду определения функций u(1)+, u(1)− и ρ(1), получаем
(
∂2u−0
∂−→n 2
− ∂2u+0
∂−→n 2
)
ρ(1)(x) +
(
∂u(1)−
∂−→n
− ∂u(1)+
∂−→n
)
≡ 0, x ∈ Γ. (1.27)
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 1.1. Пусть в задаче (1.9)–(1.14) выполнены условия (1.5),
(1.6), (1.8), (1.18), (1.19), (1.20), (1.27). Тогда для некоторого T > 0
задача (1.9)–(1.14) (а тем самым и задача (1.1)–(1.3)) имеет един-
ственное гладкое решение для τ ∈ [0, T ], причем
|ρ|(3+α)ΓT
+
∣∣u+∣∣(3+α)
Ω
+
ρ,T
+
∣∣u−∣∣(3+α;3/2,α)
Ω
−
ρ,T
≤ C0(T ),
то есть, в частности, граница раздела фаз является гладкой по-
верхностью.
С. П. Дегтярев 455
Доказательство этой теоремы будет дано в последующих пара-
графах статьи и базируется на методе, изложенном в [13, 28–30], где
неизвестные функции удовлетворяют иным условиям на свободной
границе, причем этот метод представляет собой, по существу, метод
Ньютона решения нелинейных уравнений.
Общая схема применяемого нами метода такова. С помощью неко-
торой описанной ниже замены переменных, зависящей от неизвестной
функции ρ, задача (1.9)–(1.14) сводится к задаче в известных фикси-
рованных областях для неизвестной тройки ψ = (u+, u−, ρ). При этом
вся задача может быть представлена в виде уравнения в некоторых
банаховых пространствах
A(ψ) = F (1.28)
с некоторым гладким по ψ нелинейным оператором A (точные опре-
деления будут даны ниже). Далее определяется элемент ψ0 = (w+,
w−, σ) как продолжение в область t > 0 начальных значений зада-
чи (1.9)-(1.14) таким образом, что, кроме того, ∂w±/∂t = ∂u±/∂t,
∂σ/∂t = ∂ρ/∂t при t = 0. При этом, ввиду требований повышенной
гладкости начальных данных, элемент ψ0 является более гладким,
чем произвольный элемент ψ из рассматриваемого пространства. За-
тем уравнение (1.28) представляется в виде
A′(ψ0)φ = [F −A(ψ0)]− [A(ψ0 + φ)−A(ψ0)−A′(ψ0)φ] ≡ F0 +R(φ),
(1.29)
где φ = ψ − ψ0, A′(ψ0) — линейный оператор, представляющий со-
бой производную Фреше оператора A(ψ) в точке ψ0, то есть главная
линейная часть оператора A(ψ) в точке ψ0. Ввиду повышенной глад-
кости элементов F и A(ψ0), а также ввиду гладкости оператора A(ψ)
по ψ, для правой части (1.29) при достаточно малых T и φ справедли-
вы оценки (так как оператор R(φ) содержит только “квадратичные”
по φ слагаемые)
∥F0∥ ≤ CT δ, ∥R(φ)∥ ≤ C ∥φ∥2 ,
∥R(φ2)−R(φ1)∥ ≤ Cmax
i
∥φi∥ ∥φ2 − φ1∥ .
(1.30)
Далее нашей задачей будет показать, что линейный оператор
A′(ψ0) имеет ограниченный обратный, и, следовательно, уравнение
(1.29) может быть записано в виде
φ = [A′(ψ0)]
−1F0 + [A′(ψ0)]
−1R(φ) ≡ K(φ). (1.31)
В силу соотношений (1.30) легко проверить, что при достаточно ма-
лом T > 0 оператор K(φ) в правой части последнего соотношения
456 Эллиптико-параболическое уравнение...
переводит достаточно малый шар Br = {φ : ∥φ∥ ≤ r} в себя и являе-
тся там сжимающим, то есть имеет в Br единственную неподвижную
точку, что и дает решение уравнения (1.23), а, тем самым, и задачи
(1.9)–(1.14).
Последующие параграфы статьи содержат конкретную реализа-
цию этой схемы.
2. Сведение задачи (1.9)–(1.14) к задаче
в фиксированных областях.
Линеаризация задачи
Пусть функция χ(λ) ∈ C∞ такова, что χ(0) = 1, 0 ≤ χ(λ) ≤ 1,
χ(λ) ≡ 0 при |λ| ≥ λ0, |χ′| ≤ 2/λ0, где λ0 — число из соотношения
(1.7). Пусть, далее, ρ(ω, t) — функция класса C3+α, 3+α
2 (ΓT ), такая,
что |ρ| ≤ λ0/4. Определим отображение (x, t) → (y, τ) области ΩT на
саму себя по формуле (определения координат (ω, λ) = (ω(x), λ(x)) и
окрестности N поверхности Γ даны выше в параграфе 1
eρ :
y =
xΓ(ω(x)) +
−→n (ω(x))(λ(x) + χ(λ(x))ρ(ω(x), t))
= x+−→n (ω(x))χ(λ(x))ρ(ω, t), x ∈ N ;
x, x /∈ N ,
τ = t.
(2.1)
Таким образом, в окрестности NT ≡ N × [0, T ] поверхности ΓT , в ко-
торой отображение eρ только и отличается от тождественного, про-
странственные координаты (ω, λ) точек y = y(x, t) и x связаны соо-
тношениями
ω(y) = ω(x), λ(y) = λ(x) + χ(λ(x))ρ(ω(x), t). (2.2)
Легко видеть, что отображение eρ взаимно однозначно переводит
области Ω
±
T на области Ω
±
ρ,T , а образом поверхности ΓT является иско-
мая поверхность Γρ,T . При этом, так как ρ(ω, 0) ≡ 0, то eρ(x, 0) ≡
(x, 0).
Отметим, что определение отображения eρ не зависит от выбора
тех или иных локальных координат ω на различных участках по-
верхности Γ, а определяется только значениями функции ρ(x, t) на
поверхности ΓT .
Функции u± после замены переменных будем для простоты обо-
значать тем же символом, то есть
u±(x, t) ≡ u±(y, τ) ◦ eρ(x, t),
С. П. Дегтярев 457
причем u±(x, t) определены уже в известных фиксированных обла-
стях Ω
±
T .
После замены переменных в (1.9)–(1.14), определяемой отображе-
нием eρ(x, t), задача (1.9)–(1.14) примет вид
L+
ρ u
+(x, t) ≡ ∂u+
∂t
−
−→
h ρ∇u+(x, t)−∇2
ρu
+ = 0, (x, t) ∈ Ω+
T , (2.3)
L−
ρ u
−(x, t) ≡ −∇2
ρu
− = 0, (x, t) ∈ Ω−
T , (2.4)
u±(x, 0) = u±0 (x), x ∈ Ω
±
; ρ(ω, 0) = 0, (2.5)
u±(x, t) = g±(x, t), (x, t) ∈ Γ±
T , (2.6)
u+(x, t) = u−(x, t) = 0, (x, t) ∈ ΓT , (2.7)
∂u+(x, t)
∂n
− ∂u−(x, t)
∂n
= 0, (x, t) ∈ ΓT , (2.8)
где L±
ρ — соответствующие дифференциальные операторы, получа-
ющиеся после замены переменных из L±
0 , с коэффициентами, гладко
зависящими от ρ (эта гладкость вытекает из построения отображе-
ния eρ и гладкости поверхности Γ), −→n — как и выше, нормаль к Γ,
направленная внутрь Ω+. Например, здесь
L+
ρ u
+ ≡ ∂u+
∂t
−
−→
h ρ∇u+ −∇2
ρu
+, L−
ρ u
− ≡ −∇2
ρu
−, (2.9)
где
−→
h ρ(x, t) ≡
{
∂x1
∂λ
, . . . ,
∂xN
∂λ
}
χ(λ(x))
1 + χ′(λ)ρ(ω(x), t)
∂ρ
∂t
, (2.10)
∇ρ ≡ Eρ(x, t)∇, ∇ ≡
( ∂
∂x1
, . . . ,
∂
∂xn
)
, (2.11)
Eρ(x, t) — матрица, обратная к матрице Якоби преобразования
eρ : x → y, причем, так как ρ ≡ 0 при t = 0, то при t = 0 выполнено
Eρ(x, 0) ≡ I, ∇ρ ≡ ∇. Отметим, что Eρ и
−→
h ρ гладко зависят от ρ вви-
ду гладкой зависимости от ρ самой замены переменных. Подробный
вывод полученных соотношений можно найти в [25,28].
Таким образом, нелинейный оператор A(ψ), ψ = (u+, u−, ρ), упо-
мянутый в параграфе 1, определяется левыми частями соотношений
(2.3)–(2.8).
Построим теперь тот элемент ψ0, на котором будет линеаризовано
уравнение A(ψ) = F , как это описано выше в параграфе 1.
458 Эллиптико-параболическое уравнение...
Продолжим функции u±0 (y), u
(1)±(y) с областей Ω
± на всю область
Ω с сохранением класса и тех же обозначений и построим, далее, та-
кие функции w±(y, τ), определенные в ΩT , и функцию σ(ω, t), опре-
деленную на ΓT , что
w±(y, 0) = u±0 (y),
∂w±
∂τ
(y, 0) = u(1)±(y) =
∂u±
∂τ
(y, 0), (2.12)
σ(ω, 0) = ρ(ω, 0) = 0,
∂σ
∂t
(ω, 0) = ρ(1)(ω) =
∂ρ
∂t
(ω, 0), (2.13)
w±(y, τ) = g±(y, τ) на Γ±
T . (2.14)
Способ построения таких функций, то есть продолжения через
поверхность Γ и в область t > 0 описан, например, в [26], причем
построенные функции сохраняют ту же норму, что и u±0 , то есть
|w±|(6+α)
ΩT
+ |σ|(6+α)ΓT
≤ C(|u+0 |
(6+α)
Ω
+ + |u−0 |
(6+α)
Ω
− + |g+|(6+α)
Γ+
T
+ |g−|(6+α)
Γ−
T
).
(2.15)
Введем в рассмотрение замену координат eσ, которая означает за-
мену (2.1) с ρ = σ, а также функции w±◦eσ. Тройка ψ0 = (w+◦eσ, w−◦
eσ, σ) и есть, по существу тот элемент, на котором будет линеаризова-
на задача (2.3)–(2.8). Однако, процедура линеаризации соотношений
(2.3)–(2.8), приведенная ниже, будет несколько отличаться от непо-
средственного нахождения производной Фреше от операторов в (2.3)–
(2.8) по переменной ψ = (u+, u−, ρ) в точке ψ0 = (w+ ◦ eσ, w− ◦ eσ, σ).
Данное отличие имеет целью упростить процедуру линеаризации и
получить в результате более простые соотношения. Так, в работах
[13, 28–30] было выяснено, что если после непосредственного нахо-
ждения главной линейной части (производной Фреше) соотношений
(2.3)–(2.8), вместо приращений (u± −w± ◦ eσ) ввести новые перемен-
ные
(u± − w± ◦ eσ)−
(
∂w±
∂λ
◦ eσ
)
χ(λ)(ρ− σ)
= u± −
[
w± ◦ eσ +
(
∂w±
∂λ
◦ eσ
)
χ(λ)(ρ− σ)
]
, (2.16)
то дифференциальные операторы в (2.3), (2.4) принимают прежний
простой вид. Это, по существу, связано с тем, что в наших обозна-
чениях u±(x, t) = u±(y, τ) ◦ eρ(x, t), так что “вариация” переменных
u±(y, τ) ◦ eρ(x, t) связана, по существу с изменением самих функций,
u±(y, τ) и с изменением отображения eρ(x, t). Отметим в этой связи,
С. П. Дегтярев 459
что для δ(ω, t) ∈ 3+α, 3+α
2 (ΓT ), как легко проверить,
lim
ε→0
w± ◦ eσ+εδ − w± ◦ eσ
ε
=
(
∂w±
∂λ
◦ eσ
)
χ(λ(x))δ(ω(x), t) (2.17)
является главной линейной частью отображения ρ → w± ◦ eρ при
ρ = σ. В работе [31] было замечено, что, если вместо вычитания в
(2.16) нулевой и линейной по (ρ − σ) частей отображения ρ → w± ◦
eρ, вычесть полное выражение w± ◦ eρ, то операция линеаризации
упрощается. В соответствии с этим, обозначим
v±(x, t) = u±(x, t)− w±(y, τ) ◦ eρ(x, t), δ(ω, t) = ρ(ω, t)− σ(ω, t).
(2.18)
Учитывая, что для любой функции f
(L±
0 f) ◦ eρ = L±
ρ (f ◦ eρ),
так что
L±
ρ (w
± ◦ eρ) = (L±
0 w
±) ◦ eρ,
представим соотношения (2.3)-(2.8) в виде (линеаризация):
L+
0 v
+ =
∂v+
∂t
−△v+
= −
{
(L+
σ − L+
0 )v
+
}
−
{
(L+
ρ − L+
σ )v
+
}
−
{
(L+
0 w
+) ◦ eρ
}
≡ −F+
1 (v+)− F+
2 (v+, δ)− F+
3 (δ), (x, t) ∈ Ω+
T , (2.19)
L−
0 v
− = △v− = −
{(
∇2
σ −∇2
)
v−
}
−
{(
∇2
ρ −∇2
σ
)
v−
}
− (△w−) ◦ eρ
≡ −F−
1 (v−)− F−
2 (v−, δ)− F−
3 (δ), (x, t) ∈ Ω−
T , (2.20)
v± +
∂u±0
∂n
δ = −
{
w± ◦ eρ − w± ◦ eσ −
[
∂w±
∂n
◦ eσ
]
δ
}
−
{[
∂w±
∂n
◦ eσ −
∂u±0
∂n
]
δ
}
≡ −F±
4 (δ)− F±
5 (δ), (x, t) ∈ ΓT , (2.21)
∂v+
∂n
− ∂v−
∂n
=
∂
∂n
(
w− ◦ eρ − w+ ◦ eρ
)
=
(
∂w−
∂λ
− ∂w+
∂λ
)
◦ eσ+δ ≡ F6(δ), (x, t) ∈ ΓT , (2.22)
460 Эллиптико-параболическое уравнение...
v±(x, t)|Γ±
T
= 0, (2.23)
v±(x, 0) = 0, x ∈ Ω±, δ(ω, 0) = 0. (2.24)
где мы учли, что χ(λ) ≡ 1 в окрестности Γ и отображения eρ и eσ
являются тождественными отображениями вне некоторой окрестно-
сти Γ.
Таким образом, исходная задача свелась к нахождению функций
v±(x, t) и δ(ω(x), t), удовлетворяющих соотношениям (2.19)–(2.24).
При этом функции v± и δ построены так, что v±(x, 0) ≡ 0, ∂v+(x,0)
∂t ≡
0, δ(ω, 0) ≡ 0, ∂δ(ω,0)
∂t ≡ 0 , то есть мы должны искать решение задачи
(2.19)–(2.24) в классах
v+ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (Ω
+
T ), v− ∈ C
3+α;3/2,α
0 (Ω
−
T ), δ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ),
где ноль внизу в обозначении пространства, напомним, означает, что
сама функция и все допускаемые классом производные по времени t
обращаются в 0 при t = 0. Принципиально важно то обстоятельство,
что для таких классов с нулем имеют место следующие неравенства.
Если u, v ∈ C
l,l/2
0 , то
|u|(l
′)
ΩT
≤ CT
l−l′
2 |u|(l)
ΩT
, l′ < l,
|uv|(l)
ΩT
≤ C
{
|u|([l])
ΩT
|v|(l)
ΩT
+ |u|(l)
ΩT
|v|([l])
ΩT
}
≤ CT
l−[l]
2 |u|(l)
ΩT
|v|(l)
ΩT
. (2.25)
Отметим, что второе из этих соотношений верно и для пространств
C
3+α;3/2,α
0 (ΩT ). Доказательство этих неравенств можно найти в [26,
32].
Отметим, далее, что из условий согласования (1.6), (1.19), (1.20),
(1.27) и из построения функций σ и w± следует, что если в правых
частях соотношений (2.19)–(2.22) зафиксировать некоторые заданные
функции v+ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (Ω
+
T ), v− ∈ C
3+α;3/2,α
0 (Ω
−
T ), δ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ),
то правые части становятся функциями из пространств с нулем вни-
зу:
F±
1 , F
±
2 , F
±
3 ∈ C
1+α, 1+α
2
0 (Ω
±
T ),
F±
4 , F
±
5 ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ), F6 ∈ C
2+α, 2+α
2
0 (ΓT ).
Определим пространство
H = C
3+α, 3+α
2
0 (Ω
+
T )× C
3+α;3/2,α
0 (Ω
−
T )× C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ) (2.26)
С. П. Дегтярев 461
с элементами
ψ = (v+, v−, δ) ∈ H.
Правые части соотношений (2.19)–(2.22) мы будем при этом обо-
значать как F±
i (ψ), F6(ψ), в частности, F±
i (0) = F±
i (ψ)|ψ=0, F6(0) =
F6(ψ)|ψ=0. Кроме того, обозначим через Br замкнутый шар в H ра-
диуса r с центром в нуле
Br = {ψ ∈ H : ∥ψ∥ ≤ r} . (2.27)
Сделаем еще замечание по поводу обозначений. Поскольку ото-
бражение eρ отлично от тождественного только в окрестности NT
поверхности ΓT , а в этой окрестности каждой пространственной коор-
динате x точки (x, t) ∈ NT однозначно соответствует точка ω(x) ∈ Γ
на поверхности Γ с теми или иными локальными координатами ω,
то мы можем считать функции ρ, σ, δ определенными не только
на ΓT но и во всей окрестности NT в соответствии с равенством
ρ(x, t) ≡ ρ(ω(x), t), которое, очевидно, не зависит от выбора тех или
иных локальных координат ω, а зависит только от значений указан-
ных функций на поверхности ΓT . При этом, так как Γ ∈ C6, то ото-
бражение x→ ω(x) принадлежит классу C5, так что
|ρ(x, t)|(3+α)NT
≤ C|ρ(ω, t)|(3+α)ΓT
.
Мы можем также считать функции ρ(x, t) ≡ ρ(ω(x), t) продолжен-
ными за пределы NT с сохранением класса — их значения вне NT не
влияют на отображение eρ и, следовательно, не участвуют ни в каких
из используемых соотношений.
Лемма 2.1. Для ψ ∈ H, ψ1, ψ2 ∈ Br функции F+
1 (ψ), F+
2 (ψ), F+
3 (ψ),
F±
4 (ψ), F±
5 (ψ), F6(ψ) обладают следующими свойствами. Все они
принадлежат пространствам с нулем внизу
F+
1 , F
+
2 , F
+
3 ∈ C
1+α, 1+α
2
0 (Ω
±
T ),
F±
4 , F
±
5 ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ), F6 ∈ C
2+α, 2+α
2
0 (ΓT ).
Кроме того, справедливы следующие оценки∣∣F+
1 (0)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
+
∣∣F+
2 (0)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
+
∣∣F+
3 (0)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
≤ CTµ, (2.28)
∣∣F±
4 (0)
∣∣(3+α)
ΓT
+
∣∣F±
5 (0)
∣∣(3+α)
ΓT
≤ CTµ, (2.29)
|F6(0)|(2+α)ΓT
≤ CTµ, (2.30)
462 Эллиптико-параболическое уравнение...
∣∣F+
1 (ψ2)− F+
1 (ψ1)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
≤ CrT
µ ∥ψ2 − ψ1∥ , (2.31)∣∣F+
2 (ψ2)− F+
2 (ψ1)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
≤ Crr ∥ψ2 − ψ1∥ , (2.32)∣∣F+
3 (ψ2)− F+
3 (ψ1)
∣∣(1+α)
Ω
+
T
≤ CrT
µ ∥ψ2 − ψ1∥ , (2.33)∣∣F±
4 (ψ2)− F±
4 (ψ1)
∣∣(3+α)
ΓT
≤ Crr ∥ψ2 − ψ1∥ , (2.34)∣∣F±
5 (ψ2)− F±
5 (ψ1)
∣∣(3+α)
ΓT
≤ CrT
µ ∥ψ2 − ψ1∥ , (2.35)
|F6(ψ2)− F6(ψ1)|(2+α)ΓT
≤ CrT
µ ∥ψ2 − ψ1∥ . (2.36)
Константа Cr в этих неравенствах остается ограниченной при
ограниченных r.
Мы не приводим подробное доказательство этой леммы, так как
оно полностью аналогично доказательству соответствующей леммы
в [28]. Поясним только, что утверждение данной леммы следует из
гладкой зависимости матрицы Eρ и вектора
−→
h ρ от ρ и того, что оце-
ниваемые выражения содержат только “квадратичные” и “более глад-
кие” слагаемые, причем последние обращаются в ноль при t = 0 в си-
лу условий согласования. Для оценки “более гладких” слагаемых мы
применяем неравенства (2.25), а для оценки “квадратичных” слагае-
мых мы, ввиду гладкости всех рассматриваемых выражений, просто
применяем теорему о среднем.
Рассмотрим теперь выражения F−
1 , F−
2 и F−
3 . Необходимость от-
дельного рассмотрения этих выражений связана с тем, что из элли-
птического уравнения (2.20) (в котором переменная t является толь-
ко параметром) нам необходимо получить его решение v− из класса
C3+α;3/2,α(Ω
−
T ) с гладкостью порядка 3/2 по переменной t, в то вре-
мя, как правая часть уравнения (2.20) принадлежит только классу
Cα,
α
2 (Ω
−
T ). Вообще говоря, это, очевидно, невозможно. Но в нашем
случае функции F−
1 , F−
2 и F−
3 имеют специальный вид комбинаций
производных по переменным x от некоторых функций, имеющих ну-
жную гладкость по переменной t.
Лемма 2.2. Выражения F−
1 (ψ), F−
2 (ψ) и F−
3 (ψ) обладают следую-
щими свойствами:
F−
1 (0) = F−
2 (0) ≡ 0, (x, t) ∈ Ω
−
T , (2.37)∣∣F−
3 (0)
∣∣(3+α)
Ω
−
T
≤ CTµ, (2.38)
С. П. Дегтярев 463
выражение F−
1 (ψ) представимо в виде
F−
1 (ψ) =
N∑
i=1
ai(x, t)
∂v−
∂xi
+
N∑
i,j=1
aij(x, t)
∂2v−
∂xi∂xj
, (2.39)
где
N∑
i=1
|ai|(3+α)
Ω
−
T
+
N∑
i,j=1
|aij |(4+α)
Ω
−
T
≤ C, (2.40)
ai(x, 0) ≡ 0, aij(x, 0) ≡ 0, i, j = 1, N, (2.41)
соответственно для ψ1, ψ2 ∈ Br
F−
1 (ψ2)−F−
1 (ψ1) =
N∑
i=1
ai(x, t)
∂
(
v−2 − v−1
)
∂xi
+
N∑
i,j=1
aij(x, t)
∂2
(
v−2 − v−1
)
∂xi∂xj
;
(2.42)
выражение F−
2 (ψ2)− F−
2 (ψ1) представимо в виде
F−
2 (ψ2)− F−
2 (ψ1)
= δ2
[ N∑
i=1
b
(0)
i
∂
(
v−2 − v−1
)
∂xi
+
N∑
i,j=1
b
(0)
ij
∂2
(
v−2 − v−1
)
∂xi∂xj
]
+
N∑
k=1
∂δ2
∂xk
[ N∑
i=1
b
(k)
i
∂
(
v−2 − v−1
)
∂xi
+
N∑
i,j=1
b
(k)
ij
∂2
(
v−2 − v−1
)
∂xi∂xj
]
+
N∑
k,l=1
∂2δ2
∂xk∂xl
[ N∑
i=1
b
(k,l)
i
∂
(
v−2 − v−1
)
∂xi
]
+ (δ2 − δ1)
[ N∑
i=1
d
(0)
i
∂v−1
∂xi
+
N∑
i,j=1
d
(0)
ij
∂2v−1
∂xi∂xj
]
+
N∑
k=1
∂(δ2 − δ1)
∂xk
[ N∑
i=1
d
(k)
i
∂v−1
∂xi
+
N∑
i,j=1
d
(k)
ij
∂2v−1
∂xi∂xj
]
+
N∑
k,l=1
∂2(δ2 − δ1)
∂xk∂xl
[ N∑
i=1
d
(k,l)
i
∂v−1
∂xi
]
, (2.43)
с некоторыми функциями
b
(k)
i = b
(k)
i (x, δ2,∇δ2), b
(k)
ij = b
(k)
ij (x, δ2,∇δ2), k = 0, N, i, j = 1, N,
b
(k,l)
i = b
(k,l)
i (x, δ2,∇δ2), k, l = 1, N, i = 1, N,
464 Эллиптико-параболическое уравнение...
d
(k)
i = d
(k)
i (x, δ1, δ2,∇δ1,∇δ2), d
(k)
ij = d
(k)
ij (x, δ1, δ2,∇δ1,∇δ2),
k = 0, N, i, j = 1, N,
d
(k,l)
i = d
(k,l)
i (x, δ1, δ2,∇δ1,∇δ2), k, l = 1, N, i = 1, N.
причем функции b
(k)
i , b
(k)
ij , b
(k,l)
i , d
(k)
i , d
(k)
ij , d
(k,l)
i принадлежат классу
C4 по своим аргументам и их C4-нормы ограничены константой
C(r), остающейся ограниченной при ограниченных r; выражение
F−
3 (ψ2)− F−
3 (ψ1) можно представить в виде
F−
3 (ψ2)− F−
3 (ψ1) = F−
3 (δ2)− F−
3 (δ1) = B(x, t)(δ2 − δ1), (2.44)
где
|B(x, t)|(3+α)
Ω
−
T
≤ C(r), B(x, 0) ≡ 0. (2.45)
Доказательство. Соотношение (2.37) очевидно. Далее,
F−
3 (0) =
(
△w−) ◦ eσ ∈ C4+α, 4+α
2 (Ω
−
T ) ⊂ C3+α′, 3+α′
2 (Ω
−
T ), α′ ∈ (α, 1),
и, кроме того,
F−
3 (0)|t=0 =
(
△w−) ◦ eσ|t=0 = △u−0 ≡ 0,
∂F−
3 (0)
∂t
∣∣∣∣
t=0
=
(
∂
∂λ
△u−0
)
ρ(1) +△u(1)− ≡ 0
по построению функций w− и σ. Поэтому, оценка (2.38) следует из
неравенства (2.25).
Соотношения (2.39) и (2.40), (2.41) легко следуют из гладкости
функции σ и того, что при t = 0 выполнено σ(x, 0) ≡ 0, так что
при t = 0 выполнено ∇2
σ ≡ ∇2. Поэтому коэффициенты оператора
(∇2
σ − ∇2) обращаются в ноль при t = 0. Соотношение (2.42) есть
следствие линейности выражения F−
1 по v−.
Далее, несколько громоздкое соотношение (2.43) следует из двух
следующих соотношений (ψi = (v+i , v
−
i , δi)):
F−
2 (ψ2)− F−
2 (ψ1) =
(
∇2
ρ2 −∇2
σ
) (
v−2 − v−1
)
+
(
∇2
ρ2 −∇2
ρ1
)
v−1 , (2.46)
где ∇ρ = Eρ∇, Eρ = E(x, ρ,∇ρ),
Eρ2 − Eρ1
=
[ 1∫
0
∂E
∂ρ
(x, ρ1 + ω(δ2 − δ1),∇ρ1 + ω∇(δ2 − δ1)) dω
]
(δ2 − δ1)
С. П. Дегтярев 465
+
N∑
k=1
[ 1∫
0
∂E
∂ρxk
(x, ρ1 + ω(δ2 − δ1),∇ρ1 + ω∇(δ2 − δ1)) dω
]
× ∂
∂xk
(δ2 − δ1), (2.47)
и аналогичное представление для Eρ2−Eσ с учетом того, что ρ2−σ =
δ2. Подставляя соотношения (2.47) в (2.46), получаем соотношение
(2.43). Гладкость же указанных в (2.43) коэффициентов следует из
гладкости исходных данных задачи, в частности, из гладкой зависи-
мости матрицы Eρ от ρ и ∇ρ.
Соотношение (2.44) получается аналогично:
F−
3 (ψ2)− F−
3 (ψ1) =
(
△w−) ◦ eρ2 − (△w−) ◦ eρ1
=
[ 1∫
0
∂△w−
∂λ
◦ eρ1+ω(δ2−δ1)dω
]
(δ2 − δ1) ≡ B(x, t)(δ2 − δ1).
При этом отметим, что, так как при t = 0 отображение eρ1+ω(δ2−δ1)
является тождественным отображением при любом ω ∈ [0, 1] и так
как
△w−(x, 0) = △u−0 (x, 0) ≡ 0,
то B(x, 0) ≡ 0. Гладкость функции B(x, t) следует из гладкости фун-
кции w− и гладкости отображения eρ.
На этом мы завершим доказательство леммы.
Замечание 2.1. Из леммы 2.2 следует, что правые части соотноше-
ния (2.20) удовлетворяют условиям теорем 8–10 работы [24] .
3. Модельная эллиптико-параболическая
задача в полупространствах
Пусть
RN+ =
{
x = (x′, xN ) ∈ RN : xN ≥ 0
}
,
RN− =
{
x = (x′, xN ) ∈ RN : xN ≤ 0
}
,
RN−1 =
{
x = (x′, xN ) ∈ RN : xN = 0
}
, RN±,T = RN± × [0, T ],
RN±,∞ = RN± × [0,∞), RN−1
T = RN−1 × [0, T ],
RN−1
∞ = RN−1 × [0,∞), A+, A− = const > 0, k, l ∈ {1, 2, . . . , N}.
466 Эллиптико-параболическое уравнение...
Рассмотрим следующую задача для нахождения неизвестных фун-
кций u+(x, t), u−(x, t) и ρ(x′, t), определенных в RN+,∞, RN+,∞ и RN−1
∞
соответственно и удовлетворяющих следующим соотношениям
∂u+
∂t
−△u+ = f+1 (x, t), (x, t) ∈ RN+,∞, (3.1)
−△u− = S(x, f
−(1)
1 (x, t),∇f−(1)
1 )
∂f
−(2)
1
∂xi
∂f
−(3)
1
∂xj
∂2f
−(4)
1
∂xk∂xl
,
(x, t) ∈ RN−,∞, (3.2)
u±(x′, 0, t) +A±ρ(x′, t) = f±2 (x′, t), xN = 0, t ≥ 0, (3.3)
∂u+
∂xN
(x′, 0, t)− ∂u−
∂xN
(x′, 0, t) = f(x′, t), xN = 0, t ≥ 0, (3.4)
u±(x′, xN , t) → 0, |xN | → ∞, (3.5)
u+(x, 0) = 0, u−(x, 0) = 0, ρ(x′, 0) = 0. (3.6)
Функции, входящие в правые части соотношений (3.1)–(3.4) предпо-
лагаются финитными с носителями в QR,T = {(x, t) : |x| ≤ R, 0 ≤ t ≤
T} и принадлежащими следующим классам
f+1 (x, t) ∈ C1+α
0 (RN+,∞),
f
−(i)
1 (x, t) ∈ C3+α;3/2,α(RN−,∞), i = 1, 4,
|f−(1)
1 |(3+α;3/2,α)
RN
−,∞
≤M,
f±2 (x, t) ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (RN−1
∞ ), f(x, t) ∈ C
2+α, 2+α
2
0 (RN−1
∞ ),
S(x, z, ξ) ∈ C4(RN− × [−M,M ]× [−M,M ]N ),
∥S(x, z, ξ)∥C4 ≤ S0,
(3.7)
причем или хотя бы одна из функций f
−(i)
1 , i = 2, 3, 4, принадлежит
классу с нулем C
3+α;3/2,α
0 (RN−,∞) или хотя бы две из этих функций
обращаются в ноль при t = 0.
Отметим, что, поскольку все правые части соотношений (3.1)–
(3.4) обращаются в ноль при t = 0, и ввиду условий (3.6), для зада-
чи (3.1)–(3.6) выполнены условия согласования до первого порядка
включительно при xN = 0, t = 0.
С. П. Дегтярев 467
Лемма 3.1. При выполнении условий (3.7) задача (3.1)–(3.6) име-
ет единственное решение из класса u+ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (RN+,∞), u− ∈
C
3+α;3/2,α
0 (RN−,∞), ρ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (RN−1
∞ ), причем справедлива оценка
∣∣u+∣∣(3+α)
RN
+,T
+
∣∣u−∣∣(3+α;3/2,α)
RN
−,T
+ |ρ|(3+α)
RN−1
T
≤ C(S0,M, T )NT
≡ C(S0,M, T )
( ∣∣f+1 ∣∣(1+α)RN
+,T
+
4∏
r=2
∣∣∣f−(r)
1
∣∣∣(3+α;3/2,α)
RN
−,T
+
∣∣f+2 ∣∣(3+α)RN−1
T
+
∣∣f−2 ∣∣(3+α)RN−1
T
+ |f |(2+α)
RN−1
T
)
. (3.8)
Мы не приводим подробного доказательства данной леммы, так
как оно полностью аналогично доказательству соответствующей лем-
мы в [13] и получается посредством нахождения явного решения с
помощью применения преобразований Лапласа и Фурье. При этом
задача (3.1)–(3.6) может быть сведена к случаю, когда только f(x, t)
в (3.4) отлична от тождественного нуля — посредством представле-
ния неизвестных в виде суммы функций. Ключевым моментом явля-
ется снятие правой части в эллиптическом уравнении (3.2), что дела-
ется на основании теоремы 10 работы [24]. В частности, для функции
ρ(x′, t) в [13] получено представление
ρ(x′, t) =
t∫
0
dτ
∫
RN−1
G(x′ − y, t− τ)f(y, τ) dy, (3.9)
где G(x′, t) имеет явный вид
G(x′, t) = C1t
−N
2
∞∫
1
ω−N+2
2
[
(N − 1)− 2
(x′)2
4t
]
exp
(
− (x′)2
4tω
)
dω
+ C2t
−N
2 exp
(
− (x′)2
4t
)
.
Дальнейшие рассуждения полностью аналогичны работе [13] и
даже проще, так как в нашем случае функция f(x, t) в (3.4) прина-
длежит обычному классу. �
468 Эллиптико-параболическое уравнение...
4. Линейная эллиптико-параболическая
задача в ограниченных областях
Рассмотрим в области ΩT = Ω+
T ∪ Ω−
T следующую задачу для на-
хождения неизвестных функций u+(x, t), u−(x, t) и ρ(ω, t):
∂u+(x, t)
∂t
−△u+(x, t) = f+1 (x, t), (x, t) ∈ Ω+
T , (4.1)
−△u−(x, t) = S(x, f−11,∇f
−
11)
∂f−12
∂xi
∂f−13
∂xk
∂2f−14
∂xl∂xm
+a(x, t)
∂F−
1
∂xj
∂2F−
2
∂xn∂xr
,
(x, t) ∈ Ω+
T , (4.2)
u±|Γ±
T
= f±0 (x, t), (4.3)
u±|ΓT
+A±(x)ρ = f±2 (x, t), (x, t) ∈ ΓT , (4.4)(
∂u+
∂n
− ∂u−
∂n
)∣∣∣∣
ΓT
= f3(x, t), (x, t) ∈ ΓT , (4.5)
u±(x, 0) = 0, ρ(ω, 0) = 0. (4.6)
Здесь A±(x) ∈ C3+α(Γ) — заданные функции только от перемен-
ных x,
ν ≤ A±(x) ≤ ν−1. (4.7)
Правые части соотношений (4.1)–(4.6) предполагаются принадлежа-
щими следующим классам
f+1 ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (Ω+
T ), f−1i ∈ C3+α;3/2,α(Ω−
T ), i = 1, 4,
F−
1 , F
−
2 ∈ C3+α;3/2,α(Ω−
T ),
f±2 ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ), f+0 ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ),
f−0 ∈ C
3+α;3/2,α
0 (ΓT ), f3 ∈ C
2+α, 2+α
2
0 (ΓT ),
S(x, z, ξ) ∈ C4(Ω
− × [−M,M ]× [−M,M ]N ), ∥S∥C4 ≤ S0,∣∣f−11∣∣(3+α;3/2,α)Ω
−
T
≤M, a(x, 0) = 0,
(4.8)
и хотя бы одна из функций F−
1 , F−
2 обращается в ноль при t = 0, а та-
кже или хотя бы одна из функций f−1i , i = 2, 3, 4, принадлежит классу
с нулем C
3+α;3/2,α
0 (Ω−
T ) или хотя бы две из этих функций обращаются
в ноль при t = 0.
С. П. Дегтярев 469
Теорема 4.1. При выполнении (4.8) для решения (u+, u−, ρ) задачи
(4.1)–(4.6) из классов
u+ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (Ω+
T ), u− ∈ C
3+α;3/2,α
0 (Ω−
T ), ρ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ) (4.9)
справедлива следующая априорная оценка∣∣u+∣∣(3+α)
Ω
+
T
+
∣∣u−∣∣(3+α;3/2,α)
Ω
−
T
+ |ρ|(3+α)ΓT
≤ CT,S0,M (NT + TµMT )
≡ CT,S0,M
( ∣∣f+1 ∣∣(1+α)Ω
+
T
+
4∏
r=2
∣∣f−1r∣∣(3+α;3/2,α)Ω
−
T
+
∣∣f+2 ∣∣(3+α)ΓT
+
∣∣f−2 ∣∣(3+α)ΓT
+ |f3|(2+α)ΓT
+
∣∣f+0 ∣∣(3+α)Γ+
T
+
∣∣f−0 ∣∣(3+α;3/2,α)Γ−
T
)
+ CT,S0,MT
µ |a|(3+α;3/2,α)
Ω
−
T
|F1|(3+α;3/2,α)
Ω
−
T
|F2|(3+α;3/2,α)
Ω
−
T
. (4.10)
Доказательство. Априорная оценка (4.10) получается по стандар-
тной схеме получения априорных оценок Шаудера (см., например,
[33], [34]) с использованием оценки эллиптико-параболической мо-
дельной задачи предыдущего параграфа. Отметим только, что при-
менение стандартной техники априорных оценок дает сначала, вме-
сто (4.10), оценку∣∣u+∣∣(3+α)
Ω
+
T
+
∣∣u−∣∣(3+α;3/2,α)
Ω
−
T
+ |ρ|(3+α)ΓT
≤ CT,S0,M
(
NT +T
µMT + ⟨u−⟩(1/2)
t,Ω
−
T
)
(4.11)
со слагаемым ⟨u−⟩(1/2)
t,Ω
−
T
в правой части, т.к. эта величина не может быть
интерполирована, ввиду особенности пространства C3+α;3/2,α(Ω
−
T ).
Эта величина оценивается из эллиптической части задачи (4.2)–(4.4)
для u−. Из этой задачи, полностью аналогично оценкам работы [24],
получается оценка
⟨u−⟩(1/2)
t,Ω
−
T
≤ CT,S0,M
(
NT + TµMT + ⟨ρ⟩(1/2)t,ΓT
)
.
Однако,
⟨ρ⟩(1/2)t,ΓT
≤ Tα/2⟨ρ⟩(
1+α
2
)
t,ΓT
≤ Tα/2 |ρ|(3+α)ΓT
.
Считая величину T достаточно малой, подставляя последнее неравен-
ство в предыдущие неравенство, а затем в (4.11) и перенося величи-
ну с малым параметром Tα/2 |ρ|(3+α)ΓT
в левую часть (4.11), получаем
оценку (4.10) при T достаточно малом. Двигаясь затем вверх по оси
Ot с шагом T/2, как это сделано в [26, гл. IV], получаем оценку (4.10)
на любом конечном интервале времени [0, T ].
470 Эллиптико-параболическое уравнение...
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия (4.8). Тогда задача (4.1)–
(4.6) имеет единственное решение из классов
u+ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (Ω+
T ), u− ∈ C
3+α;3/2,α
0 (Ω−
T ), ρ ∈ C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ),
(4.12)
причем справедлива оценка (4.10).
Доказательство. Во первых, единственность решения из указанного
класса следует из оценки (4.10), которая уже доказана в теореме 4.1.
Поэтому докажем существование решения.
Далее, как и в случае модельной задачи в параграфе 3, не огра-
ничивая общности, можно считать, что в задаче (4.1)–(4.6) отлична
от тождественного нуля только функция f3(x, t). Действительно, об-
щий случай сводится к указанному заменой неизвестных функций
u± → v±
u±(x, t) = v±(x, t) + w±(x, t),
w+ — решение уравнения (4.1) с граничными условиями
w+(x, t)|ΓT
= f+2 , w+(x, t)|Γ+
T
= f+0 ,
а w− — решение уравнения (4.2) с граничными условиями
w−(x, t)|ΓT
= f−2 , w−(x, t)|Γ−
T
= f−0 .
Нужные свойства и оценка (4.10) функции w+ следуют из, например,
[26], а свойства и оценка (4.10) для функции w− следуют из теорем 8–
10 работы [24]. Поэтому ниже в данном доказательстве мы считаем
отличной только функцию f3(x, t).
Схема доказательства разрешимости задачи (4.1)–(4.6) состоит в
следующем. Во первых, мы можем считать функцию продолженной
с сохранением класса нулем в область t < 0 и продолженной с сохра-
нением класса в область t > T до функции, равной тождественному
нулю при t > 2T . Мы произведем сглаживание функции f3(x, t) по
переменной t, совершим в задаче (4.1)–(4.6) преобразование Лапласа
по t и сведем ее к эллиптической задаче с параметром p — перемен-
ная преобразования Лапласа функции f̃3(x, p). Далее, мы исключим
из условия (4.4) неизвестное ρ̃ (преобразование Лапласа от ρ — пре-
образованные функции мы обозначаем волной сверху) и получим для
ũ± хорошо известную задачу сопряжения. Получим оценку решения
этой задачи в зависимости от параметра p и совершим в найденном
решении обратное преобразование Лапласа. Полученные функции,
по построению, дадут решение задачи (4.1)–(4.6) со сглаженной пра-
вой частью. Так как для полученного решения справедлива оценка
С. П. Дегтярев 471
(4.10), то решение исходной задачи получается предельным перехо-
дом по параметру сглаживания.
Итак, пусть f3(x, t) продолжена для всех значений переменной t
до финитной по t функции, как указано в предыдущем абзаце. Пусть
h ∈ (0, 1/2) и пусть
gh(x, t) =
∞∫
−∞
ωh(t− τ)f3(x, τ − 3h) dτ, (4.13)
где ωh(t) — семейство сглаживающих δ-образных функций класса C∞
с параметром h ∈ (0, 1/2) и с носителями в интервале
supp(ωh(t)) ⊂ [−h, h]. (4.14)
Из того, что f3 ≡ 0 при t ≤ 0 и из условия (4.14) следует, что
gh(x, t) ≡ 0, t ≤ h. (4.15)
Кроме того, так как f3 ∈ C
2+α, 2+α
2
0 (ΓT ), то несложная проверка пока-
зывает, что при любом γ ∈ (0, 1) выполнено f3(x, t − 3h) → f3(x, t) в
пространстве Cγ,γ/2(ΓT ) при h→ 0, то есть
|f3(x, t− 3h)− f3(x, t)|(γ)ΓT
→ 0, h→ 0. (4.16)
Поэтому таким же свойством обладают и функции gh(x, t)
|gh(x, t)− f3(x, t)|(γ)ΓT
→ 0, h→ 0. (4.17)
Из свойства (4.15) функций gh(x, t) следует также, что
∂k
∂tk
gh(x, 0) ≡ 0, k = 1, 2, . . . . (4.18)
Кроме того, в силу того, что f3(x, t) принадлежит пространству с
нулем C
2+α, 2+α
2
0 (ΓT ), то (и это важный момент доказательства) рав-
номерно по h
|f3(x, t− 3h)|(2+α)ΓT
≤ |f3(x, t)|(2+α)ΓT
, (4.19)
|gh(x, t)|
(2+α)
ΓT
≤ |f3(x, t− 3h)|(2+α)ΓT
≤ |f3(x, t)|(2+α)ΓT
. (4.20)
Рассмотрим задачу (4.1)–(4.6) с заменой f3 на gh из (4.13). Совершим
в этой задаче преобразование Лапласа по переменной t (обоснован-
ность этой операции будет видна из приведенных ниже оценок) и обо-
значим преобразованные функции волной сверху, то есть при p ∈ C,
472 Эллиптико-параболическое уравнение...
Rep > 0,
ũ±(x, p) =
∞∫
0
e−ptu±(x, t) dt, Re p > 0.
Тогда задача (4.1)–(4.6) примет вид
−△ũ+(x, p) + pũ+(x, p) = 0, x ∈ Ω+, (4.21)
−△ũ−(x, p) = 0, x ∈ Ω−, (4.22)
ũ±(x, p)|Γ± = 0, (4.23)
ũ±|Γ +A±(x)ρ = 0, x ∈ Γ, (4.24)(
∂ũ+
∂n
− ∂ũ−
∂n
)∣∣∣∣
ΓT
= g̃h(x, p), x ∈ Γ, (4.25)
где при каждом фиксированном p выполнено g̃h ∈ C2+α(Γ).
Исключим из задачи (4.21)–(4.25) неизвестное ρ̃, воспользовав-
шись соотношениями (4.24). Из этих соотношений следует, что
a(x)ũ+ − ũ− = 0, x ∈ Γ. (4.26)
a(x) =
A+(x)
A−(x)
∈ C3+α(Γ), ν ≤ a(x) ≤ ν−1, (4.27)
Заменяя условия (4.24) одним условием (4.26), получаем задачу со-
пряжения (задачу дифракции) (4.21)–(4.23), (4.25), (4.26) для неизве-
стных функций ũ±. Из результатов, например, [35–39], следует, что
при каждом p, Re p > 0, ввиду свойств функции gh(x, t), эта задача
имеет единственное решение ũ±(x, p) ∈ C3+α(Ω
±
), причем∣∣ũ+(·, p)∣∣(3+α)
Ω
+ +
∣∣ũ−(·, p)∣∣(3+α)
Ω
− ≤ C(p) |g̃h|
(2+α)
Γ , (4.28)
а также для любого q > 1∥∥ũ+∥∥
W 2
q (Ω
+)
+
∥∥ũ−∥∥
W 2
q (Ω
−)
≤ C(p) |g̃h|
(2+α)
Γ . (4.29)
Отметим здесь, что, в силу того, что gh(x, t) бесконечно дифферен-
цируема по переменной t, и благодаря условиям (4.15), (4.18), ее пре-
образование Лапласа g̃h при |p| > 1, Re p > 1 обладает свойствами
|g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ ≤ C(h, k) |p|−k , k = 1, 2, . . . . (4.30)
то есть |g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ убывает быстрее любой степени |p| при |p| → ∞.
Отсюда следует, что если мы покажем, что константа C(p) в (4.28) ра-
стет не быстрее определенной степени |p| при |p| → ∞, то мы сможем
С. П. Дегтярев 473
совершить обратное преобразование Лапласа в функциях ũ±(x, p) в
силу оценки (4.28). После этого, для нахождения функции ρ(x, t) до-
статочно будет, в силу (4.26), просто положить
ρ(x, t) = − u+
A+
∣∣∣∣
ΓT
= − u−
A−
∣∣∣∣
ΓT
. (4.31)
Итак, оценим сначала ∥ũ±(x, p)∥L2(Ω±). Продолжим функцию a(x)
с границы Γ на все области Ω
± с сохранением класса C2+α так, что
|a(x)|(2+α)
Ω
± ≤ C |a(x)|(2+α)Γ , ν ≤ a(x) ≤ ν−1. (4.32)
Умножим уравнение (4.21) на a(x)ũ+ (черта сверху означает ком-
плексное сопряжение), а уравнение (4.22) — на ũ− и проинтегрируем
по областям Ω± соответственно. В результате получим (нормаль −→n ,
напомним, направлена внутрь Ω+)∫
Ω+
a
∣∣∇ũ+∣∣2 dx+
∫
Γ
∂ũ+
∂n
aũ+dS + p
∫
Ω+
a
∣∣ũ+∣∣2 dx = −
∫
Ω+
∇ũ+∇aũ+dx,
(4.33)∫
Ω−
∣∣∇ũ−∣∣2 dx−
∫
Γ
∂ũ−
∂n
ũ−dS = 0. (4.34)
Сложим эти два соотношения. Учитывая, что ũ− = aũ+ = aũ+ на Γ,
и учитывая соотношение (4.25), получим∫
Ω+
a
∣∣∇ũ+∣∣2 dx+
∫
Ω−
∣∣∇ũ−∣∣2 dx+ p
∫
Ω+
a
∣∣ũ+∣∣2 dx
= −
∫
Γ
g̃haũ+dS −
∫
Ω+
∇ũ+∇aũ+dx. (4.35)
Поскольку все выражения в левой части последнего неравенства, кро-
ме p, вещественны, и поскольку для любого комплексного числа z
выполнено Re z ≤ |z|, то из (4.35), с учетом (4.32), получаем, что∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣2 dx+
∫
Ω−
∣∣∇ũ−∣∣2 dx+Re p
∫
Ω+
∣∣ũ+∣∣2 dx
≤ C
∫
Γ
|g̃h|
∣∣ũ+∣∣ dS + C
∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣ ∣∣ũ+∣∣ dx ≡ I1 + I2. (4.36)
474 Эллиптико-параболическое уравнение...
Оценим интегралы I1 и I2 отдельно.
Применяя для оценки I1 неравенство Коши с ε, получаем
I1 ≤ ε
∫
Γ
∣∣ũ+∣∣2 dS + Cε
∫
Γ
|g̃h|2 dS. (4.37)
Учитывая непрерывность (и даже компактность) вложения L2(Γ) в
пространство следов на Γ функций из пространства W 1
2 (Ω
+), имеем
неравенство ∫
Γ
∣∣ũ+∣∣2 dS ≤ C
∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣2 dx+ C
∫
Ω+
∣∣ũ+∣∣2 dx.
Из последнего неравенства и (4.37) при достаточно малом ε следует,
что
I1 ≤
1
4
∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣2 + C1
∫
Ω+
∣∣ũ+∣∣2 dx+ C
∫
Γ
|g̃h|2 dS. (4.38)
с некоторой константой C1 = C1(a). Применяя теперь для оценки I2
неравенство Коши с ε, аналогично I1, получаем с некоторой констан-
той C2
I2 ≤
1
4
∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣2 + C2
∫
Ω+
∣∣ũ+∣∣2 dx. (4.39)
Теперь, из (4.36), с учетом (4.38), (4.39), следует, что при Re p ≥
2(C1 + C2) ≡ b0∫
Ω+
∣∣∇ũ+∣∣2 + ∫
Ω−
∣∣∇ũ−∣∣2 dx+
Re p
2
∫
Ω+
∣∣ũ+∣∣2 dx ≤ C
∫
Γ
|g̃h|2 dS. (4.40)
Так как ũ± равны нулю на Γ±, то из (4.40) и неравенства Пуанкаре
вытекает оценка∥∥ũ+(x, p)∥∥
L2(Ω+)
+
∥∥ũ−(x, p)∥∥
L2(Ω−)
≤ C
∫
Γ
|g̃h|2 dS ≤ C |g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ .
(4.41)
Таким образом, L2-нормы решений ũ±(x, p) оценены независимо от p
при Re p ≥ b0.
Перенесем теперь слагаемое pũ+ в правую часть соотношения
(4.21) и снова рассмотрим задачу сопряжения (4.21)–(4.23), (4.25),
(4.26). Полностью аналогично оценке (4.28), справедливы оценки∣∣ũ+∣∣(3+α)
Ω
+ +
∣∣ũ−∣∣(3+α)
Ω
− ≤ C |g̃h|
(2+α)
Γ + C |p|
∣∣ũ+∣∣(α)
Ω
+ , (4.42)
С. П. Дегтярев 475
∥∥ũ+∥∥
W 2
q (Ω
+)
+
∥∥ũ−∥∥
W 2
q (Ω
−)
≤ Cq |g̃h|
(2+α)
Γ + Cq |p|
∥∥ũ+∥∥
Lq(Ω+)
. (4.43)
Выберем и зафиксируем q > 1 настолько большим, что выполнено
вложение ∣∣ũ+∣∣(α)
Ω
+ ≤ C
∥∥ũ+∥∥
W 1
q (Ω
+)
≤ C
∥∥ũ+∥∥
W 2
q (Ω
+)
. (4.44)
Далее, воспользуемся известным неравенством Соболева–Ниренбер-
га–Гальярдо:∥∥ũ+∥∥
Lq(Ω+)
≤ C
(∥∥ũ+∥∥
W 1
q (Ω
+)
)ω (∥∥ũ+∥∥
L2(Ω+)
)1−ω
, ω = ωq ∈ (0, 1).
(4.45)
Применяя для оценки величины Cq |p| ∥ũ+∥Lq(Ω+) в правой части
(4.43) сначала неравенство (4.45), а затем неравенство Юнга с ε, и
учитывая, что ∥ũ+∥W 1
q (Ω
+) ≤ ∥ũ+∥W 2
q (Ω
+), получаем, ввиду (4.41),
Cq |p|
∥∥ũ+∥∥
Lq(Ω+)
≤ C
(∥∥ũ+∥∥
W 1
q (Ω
+)
)ω (
|p|
1
1−ω
∥∥ũ+∥∥
L2(Ω+)
)1−ω
≤ 1
2
∥∥ũ+∥∥
W 1
q (Ω
+)
+ C |p|
1
1−ω
∥∥ũ+∥∥
L2(Ω+)
≤ 1
2
∥∥ũ+∥∥
W 2
q (Ω
+)
+ C |p|
1
1−ω |g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ . (4.46)
Из (4.46) и (4.43) следует, что∥∥ũ+∥∥
W 2
q (Ω
+)
≤ C |g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ
(
1 + |p|
1
1−ω
)
. (4.47)
А тогда, ввиду (4.44), из (4.42) получаем, что при Re p ≥ b0∣∣ũ+∣∣(3+α)
Ω
+ +
∣∣ũ−∣∣(3+α)
Ω
− ≤ C |p|1+
1
1−ω |g̃h(·, p)|
(2+α)
Γ . (4.48)
Наконец, применение к неравенству (4.48) неравенства (4.30), дает
при достаточно большом k > 0∣∣ũ+(·, p)∣∣(3+α)
Ω
+ +
∣∣ũ−(·, p)∣∣(3+α)
Ω
− ≤ Ch,k |p|−(k−
2−ω
1−ω ) . (4.49)
Оценка (4.49) позволяет совершить в функциях ũ±(x, p) обратное
преобразование Лапласа и получить функции u±(x, t), ρ(x, t), ко-
торые бесконечно дифференцируемы по переменной t и принадле-
жат C3+α по переменным x. Кроме того, так как функции ũ±(x, p) и
ρ̃ удовлетворяют соотношениям (4.21)–(4.25), то функции u±(x, t) и
ρ(x, t), в силу свойств преобразования Лапласа, удовлетворяют усло-
виям (4.1)–(4.6). Заметим, что условие (4.6) также следует из свойств
476 Эллиптико-параболическое уравнение...
обратного преобразования Лапласа и (4.49). Действительно, при M >
b0 + 1
∣∣u±(x, 0)∣∣ = ∣∣∣∣∣
M+i∞∫
M−i∞
eptũ±(x, p) dp
∣∣∣∣∣
t=0
≤ Ck
∞∫
−∞
(M + |y|)−2dy → 0, M → ∞. (4.50)
А также, совершенно аналогично,
∣∣∣∣∂u±(x, 0)∂t
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
M+i∞∫
M−i∞
eptpũ±(x, p) dp
∣∣∣∣∣
t=0
≤ Ck+1
∞∫
−∞
(M + |y|)−2dy → 0, M → ∞. (4.51)
Таким образом, доказано существование гладкого решения задачи
(4.1)–(4.6) с правой частью gh(x, t) в соотношении (4.5). При этом
равномерно по h для полученного решения u±h , ρh задачи (4.1)–(4.6),
ввиду теоремы 4.1, справедлива оценка (4.10)∣∣u+h ∣∣(3+α)Ω
+
T
+
∣∣u−h ∣∣(3+α;3/2,α)Ω
−
T
+ |ρh|
(3+α)
ΓT
≤ CT,S0,M (NT + TµMT ) . (4.52)
Пусть 0 < β < α. Ввиду компактности вложения пространств Гель-
дера Cα ⊂ Cβ и в силу равномерной по h оценки (4.52), из множества
решений (u+h , u
−
h , ρh) можно выделить последовательность с индексом
hn → 0, n → ∞, такую, что последовательность (u+hn , u
−
hn
, ρhn) схо-
дится к некоторой тройке (u+, u−, ρ) в пространстве (0 < ε ≪ 1/2)
C
3+β, 3+β
2
0 (Ω+
T )× C
3+β;1+(1/2−ε),β
0 (Ω−
T )× C
3+β, 3+β
2
0 (ΓT ), то есть
∣∣u+hn − u+
∣∣(3+β)
Ω
+
T
+
∣∣u−hn − u−
∣∣(3+β;1+(1/2−ε),β)
Ω
−
T
+ |ρhn − ρ|(3+β)ΓT
→ 0,
n→ ∞, (4.53)
где пространство C3+β;1+(1/2−ε),β
0 (Ω−
T ) определяется точно так же, как
пространство C3+β;3/2,β
0 (Ω−
T ), с единственным отличием, что полунор-
ма [u−t ]
(β,1/2)
Ω−
T
заменяется на более слабую полунорму [u−t ]
(β,1/2−ε)
Ω−
T
. При
этом функции ghn(x, t), в силу (4.17), сходятся к функции f3(x, t) в
С. П. Дегтярев 477
пространстве Cγ,γ/2(ΓT ). Ввиду наличия указанной сходимости, пере-
ходя к пределу при hn → 0 в соотношениях (4.1)–(4.6), мы получаем,
что предельная тройка (u+, u−, ρ) удовлетворяет задаче (4.1)–(4.6).
Кроме того, из оценки (4.52) и из (4.53) следует, что предельная трой-
ка функций (u+, u−, ρ) принадлежит пространству C
3+α, 3+α
2
0 (Ω+
T ) ×
C
3+α;3/2,α
0 (Ω−
T ) × C
3+α, 3+α
2
0 (ΓT ) и для нее справедлива оценка (4.10).
Тем самым теорема 4.2 доказана.
5. Завершение доказательства теоремы 1.1
Доказательство теоремы 1.1 завершается по схеме, описанной в
параграфе 1. Определим на шаре Br ⊂ H оператор K(ψ), который
каждому элементу ψ ∈ Br, заданному в правых частях соотношений
(2.19)–(2.24), ставит в соответствие элемент K(ψ) ∈ H — решение
(v+, v−, δ) = K(ψ) задачи (2.19)–(2.24) с заданными правыми частя-
ми. Из лемм 2.1, 2.2 вместе с теоремами 4.1 и 4.2 следует, что такой
оператор корректно определен и обладает свойствами
∥K (0)∥ ≤ CTµ, ∥K (ψ2)−K (ψ1)∥ ≤ C(Tµ + r) ∥ψ2 − ψ1∥ . (5.1)
Выбирая T и r достаточно малыми, получаем, что оператор K являе-
тся сжимающим на Br, а затем, уменьшая, если нужно, T , получаем,
что K отображает Br в себя. Единственная неподвижная точка этого
оператора и дает, очевидно, решение нелинейной задачи (2.19)–(2.24),
а, следовательно, и задач (2.3)–(2.8), (1.9)–(1.14), (1.1)–(1.3).
Литература
[1] H. W. Alt, S. Luckhaus, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations //
Math. Z., 183 (1983), No. 1, 311–341.
[2] C. J. Van Duyn, L. A. Peletier, Nonstationary filtration in partially saturated
porous media // Arch. Rational Mech. Anal., 78 (1982), No. 2, 173–198.
[3] M. Bertsch, J. Hulshof, Regularity results for an elliptic-parabolic free boundary
problem // Trans. Amer. Math. Soc., 297 (1986), No. 1, 337–350.
[4] E. Di Benedetto, R. Gariepy, Local behavior of solutions of an elliptic-parabolic
equation // Arch. Rational. Mech. Anal., 97 (1987), No. 1, 1–17.
[5] A. Fasano, M. Primicerio, Nonstationary filtration in partially saturated porous
media // J. Inst. Math. Appl., 23 (1979), No. 4, 503–517.
[6] J. Hulshof, An elliptic-parabolic free boundary problem: continuity of the
interface // Proc. Royal Soc. Edinburg, 106A (1987), No. 3, 327–339.
[7] J. Hulshof, L. A. Peletier, An elliptic-parabolic free boundary problem // Nonlinear
Anal: Theory, Method Appl., 10 (1986), No. 12, 1327–1346.
[8] C. J. Van Duyn, Nonstationary filtration in partially saturated porous media:
contunuity of the free boundary // Arch. Rational Mech. Anal., 79 (1982), No. 3,
261–265.
478 Эллиптико-параболическое уравнение...
[9] C. J. Van Duyn, J. Hulshof, An elliptic-parabolic with a nonlocal boundary condi-
tion // Arch. Rational Mech. Anal., 99 (1987), No. 1, 61–73.
[10] R. Gianni, P. Mannucci, A free boundary problem for a degenerate parabolic equati-
on: Regularity of the solution // Adv. Math. Sci. Appl., 9 (1999), No. 1, 557–569.
[11] X. Chen, A. Friedman and T. Kimura, Nonstationary filtration in partially
saturated porous media // Eur. J. Appl. Math., 5 (1994), No. 3, 405–429.
[12] P. Mannucci, J. L. Vazquez, Viscosity solutions for elliptic-parabolic problems //
Nonlinear Differ. Equ. Appl., 14 (2007), No. 1–2, 75–90.
[13] B. V. Bazaliy, S. P. Degtyarev, Classical solutions of many-dimensional elliptic-
parabolic free boundary problems // NoDEA Nonlinear Differential Equations
Appl., 16 (2009), No. 4, 421–443.
[14] F. Andreu, N. Igbida, J. M. Mazón, J. Toledo, A degenerate elliptic-parabolic
problem with nonlinear dynamical boundary conditions // Interfaces Free Bound.,
8 (2006), No. 4, 447–479.
[15] F. Andreu, N. Igbida, J. M. Mazón, J. Toledo, Renormalized solutions for
degenerate elliptic-parabolic problems with nonlinear dynamical boundary conditi-
ons and L1-data // J. Differential Equations, 244 (2008), No. 11, 2764–2803.
[16] A. L. Amadori, J. L. Va’zquez, Singular free boundary problem from image
processing // Math. Models Methods Appl. Sci., 15 (2005), No. 5, 689–715.
[17] E. Maitre, P. Witomski, A pseudo-monotonicity adapted to doubly nonlinear
elliptic-parabolic equations // Nonlinear Anal., 50 (2002), No. 2, Ser. A: Theory
Methods, 223–250.
[18] J. I. Díaz, M. B. Lerena, J. F. Padial and J. M. Rakotoson, An elliptic-
parabolic equation with a nonlocal term for the transient regime of a plasma in a
stellarator // J. Differential Equations, 198 (2004), No. 2, 321–355.
[19] R. Gianni, R. Ricci, An elliptic-parabolic problem in Bingham fluid motion //
Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 28 (1996), No. 1–2, 247–261.
[20] F. Otto, L1-contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equati-
ons // J. Differential Equations, 131 (1996), No. 1, 20–38.
[21] B. Andreianov, P. Wittbold, Convergence of approximate solutions to an elli-
ptic–parabolic equation without the structure condition // NoDEA Nonlinear Di-
fferential Equations Appl., 19 (2012), No. 6, 695–717.
[22] Chang Shou Lin, Kaising Tso, On regular solutions of second order degenerate
elliptic-parabolic equations // Comm. Partial Differential Equations, 15 (1990),
No. 9, 1329–1360.
[23] Lian Jun An, The infiltration problem with large constant surface flux in partially
saturated porous media, International workshop on applied differential equations
(Beijing, 1985), 177–198, World Sci. Publishing, Singapore, 1986.
[24] С. П. Дегтярев, Эллиптико-параболическое уравнение и соответствующая
задача со свободной границей I: Эллиптическая задача с параметром // Укр.
матем. вестник, 11 (2014), No. 1, 15–48.
[25] E.-I. Hanzawa, Classical solutions of the Stefan problem // Tohoku Math.Journ.,
33 (1981), 297–335.
[26] О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева, Линейные и квази-
линейные уравнения параболического типа, М.: Наука, 1967.
С. П. Дегтярев 479
[27] В. А. Солонников, Разрешимость задачи о движении вязкой несжимаемой
жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Изв. АН СССР, сер.
мат., 41 (1977), No. 6, 1388–1424.
[28] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, О классической разрешимости многомерной
задачи Стефана при конвективном движении вязкой несжимаемой жидко-
сти // Мат. сборник, 132(174) (1987), No. 1, 3–19.
[29] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, Разрешимость задачи с неизвестной грани-
цей между областями определения параболического и эллиптического урав-
нений // Укр. мат. журнал, 41 (1989), No. 10, 1343–1349.
[30] Б. В. Базалий, С. П. Дегтярев, О задаче Стефана с кинематическим и клас-
сическим условием на свободной границе // Укр. мат. журнал, 44 (1992),
No. 2, 155–166.
[31] М. В. Краснощок, Розв’язнiсть задачi з вiльною межею для неоднорiдного
пружнього тiла // Українский математичний вiсник, 8 (2011), No. 4, 537–
556.
[32] Г. И. Бижанова Исследование разрешимости многомерных двухфазных задач
Стефана и нестационарной фильтрации Флорина для параболических урав-
нений второго порядка в весовых гельдеровских пространствах функций //
Зап. научн. семин. ПОМИ, 213 (1994), 14–47.
[33] Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с
частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989.
[34] Г. И. Бижанова, В. А. Солонников, О задачах со свободными границами для
параболических уравнений второго порядка // Алгебра и анализ, 12 (2000),
No. 6, 98–139.
[35] В. А. Солонников, Об общих краевых задачах для систем, эллиптических
в смысле А. Даглиса–Л. Ниренберга. I // Изв. АН СССР. Сер. матем., 28
(1964), No. 3, 665–706
[36] В. А. Солонников, Об общих краевых задачах для систем, эллиптических
в смысле А. Даглиса–Л. Ниренберга. II // Краевые задачи математической
физики. 4, Тр. МИАН СССР, 92 (1966), 233–297.
[37] О. А. Олейник, Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и
параболического типа с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР.
Сер. матем., 25 (1961), No. 1, 3–20.
[38] О. А. Ладыженская, В. Я. Ривкинд, Н. Н. Уральцева, О классической ра-
зрешимости задачи дифракции // Труды мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 92
(1966), 116–146.
[39] Н. В. Житарашу, Априорные оценки и разрешимость общих краевых задач
для общих эллиптических систем с разрывными коэффициентами // ДАН
СССР, 165 (1965), No. 1, 24–27.
Сведения об авторах
Сергей Петрович
Дегтярев
Институт прикладной математики
и механики НАНУ,
ул. Розы Люксембург, 74,
Донецк, 83114
E-Mail: degtyar@i.ua
|