Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием
Изучается асимптотическое поведение экспоненциальных статистических экспериментов, задаваемых экспоненциальной симметрической статистикой. При этом предполагается свойство настойчивой линейной регрессии, означающее зависимость отдельных результатов эксперимента от усреднения предыдущих экспериментов...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124473 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием / Д.В. Королюк // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 497-507. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124473 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Королюк, Д.В. 2017-09-26T17:17:05Z 2017-09-26T17:17:05Z 2014 Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием / Д.В. Королюк // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 497-507. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 40N30, 60J70, 62F05. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124473 Изучается асимптотическое поведение экспоненциальных статистических экспериментов, задаваемых экспоненциальной симметрической статистикой. При этом предполагается свойство настойчивой линейной регрессии, означающее зависимость отдельных результатов эксперимента от усреднения предыдущих экспериментов. Для экспоненциальных статистических экспериментов в схеме серий (при N → ∞) установлен равновесный режим, а также построена аппроксимация экспоненциальным процессом нормальной авторегрессии. Автор благодарит рецензента за его замечания, которые помогли улучшить изложение материала. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием The exponential statistical experiments with persistent linear regression and equilibrium Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| spellingShingle |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием Королюк, Д.В. |
| title_short |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| title_full |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| title_fullStr |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| title_full_unstemmed |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| title_sort |
экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием |
| author |
Королюк, Д.В. |
| author_facet |
Королюк, Д.В. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The exponential statistical experiments with persistent linear regression and equilibrium |
| description |
Изучается асимптотическое поведение экспоненциальных статистических экспериментов, задаваемых экспоненциальной симметрической статистикой. При этом предполагается свойство настойчивой линейной регрессии, означающее зависимость отдельных результатов эксперимента от усреднения предыдущих экспериментов. Для экспоненциальных статистических экспериментов в схеме серий (при N → ∞) установлен равновесный режим, а также построена аппроксимация экспоненциальным процессом нормальной авторегрессии.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124473 |
| citation_txt |
Экспоненциальные статистические эксперименты с настойчивой линейной регрессией с равновесием / Д.В. Королюк // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 497-507. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT korolûkdv éksponencialʹnyestatističeskieéksperimentysnastoičivoilineinoiregressieisravnovesiem AT korolûkdv theexponentialstatisticalexperimentswithpersistentlinearregressionandequilibrium |
| first_indexed |
2025-11-25T22:20:38Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:20:38Z |
| _version_ |
1850563167332073472 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 4, 497 – 507
Экспоненциальные статистические
эксперименты с настойчивой линейной
регрессией с равновесием
Дмитрий В. Королюк
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. Изучается асимптотическое поведение экспоненци-
альных статистических экспериментов, задаваемых экспоненциаль-
ной симметрической статистикой. При этом предполагается свойство
настойчивой линейной регрессии, означающее зависимость отдель-
ных результатов эксперимента от усреднения предыдущих экспе-
риментов. Для экспоненциальных статистических экспериментов в
схеме серий (при N → ∞) установлен равновесный режим, а также
построена аппроксимация экспоненциальным процессом нормальной
авторегрессии.
2010 MSC. 40N30, 60J70, 62F05.
Ключевые слова и фразы. Экспоненциальные статистические эк-
сперименты, настойчивая линейная регрессия, равновесный режим,
стохастическая аппроксимация, экспоненциальный процесс нормаль-
ной авторегрессии.
Введение
В разнообразных задачах биологии и экономики возникают про-
блемы статистического анализа результатов наблюдений выборок, за-
данных совокупностью статистически независимых и одинаково ра-
спределённых случайных величин. При этом во многих динамиче-
ских совокупностях (финансовые инструменты [4], взаимодействие
молекул [5–8] и т.п.) наблюдается устойчивая зависимость динами-
ки совокупности от усреднённых характеристик модели. Наиболее
естественным и простым служит предположение о наличии условия
Статья поступила в редакцию 12.02.2013
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
498 Экспоненциальные статистические эксперименты...
“настойчивой регрессии”, что означает зависимость усреднённых ха-
рактеристик с постоянной функцией регрессии. В нашей предыду-
щей работе [1] исследовано асимптотическое поведение линейных ста-
тистических экспериментов, задаваемых суммами отдельных резуль-
татов испытаний при неограниченном возрастании объёма выборки
N → ∞.
В настоящей работе аналогичная проблема изучается для экспо-
ненциальных статистических экспериментов (ЭСЭ), задаваемых
экспоненциальной симметрической статистикой, выбор которой обо-
сновывается широко известными фундаментальными результатами
по стохастической финансовой математике (например, (B,S)-рынки
[4, гл. 7, §11]). Устанавливаются условия равновесного режима (п. 3,
теорема 3.1) и строится аппроксимация ЭСЭ (при N → ∞) нор-
мальным процессом авторегрессии (п. 4, предложение 4.1), в которой
используется экспоненциальный процесс нормальной авторегрессии
(п. 4, теорема 4.1). В первых двух пунктах излагаются (в конспектив-
ном виде) результаты асимптотического анализа линейных стати-
стических экспериментов (СЭ) (теоремы 2.1, 2.2 и предложение 2.1).
1. Задание статистических экспериментов
Рассматриваются бинарные выборки δ(k) := (δr(k), 1 ≤ r ≤ N),
независимых в совокупности и одинаково распределённых при ка-
ждом k ≥ 0 случайных величин δr(k), принимающих два значения
±1.
Статистические Эксперименты (СЭ) задаются суммами выбо-
рочных значений
SN (k) :=
1
N
N∑
r=1
δr(k), k ≥ 0. (1.1)
Настойчивая линейная регрессия с равновесием означает, что
E[SN (k + 1)|SN (k) = s] = C(s), k ≥ 0. (1.2)
в котором функция регрессии C(s) имеет вид:
C(s) = (1− a)s+ aρ, |s| ≤ 1. (1.3)
Более того, предполагается, что случайные величины выборки
(δr(k), 1 ≤ r ≤ N) условно независимы в совокупности при каждом
k ≥ 0: для любой борелевской функции φ(s), |s| ≤ 1 имеет место
Д. В. Королюк 499
соотношение
E
[ N∏
r=1
φ(δr(k + 1))|SN (k) = s
]
=
N∏
r=1
E[φ(δr(k + 1))|SN (k) = s]. (1.4)
Направляющий параметр a и точка равновесия ρ удовлетворяют
следующим соотношениям:
0 < a < 1, |ρ| < 1.
Замечание 1.1. Задание СЭ с помощью функции регрессии (1.2)–
(1.4) означает, что вероятности выборочных значений определяются
формулами:
P{δr(k + 1) = ±1|SN (k) = s} =
1
2
[1± C(s)]. (1.5)
Функция регрессии (1.3) преобразуется к следующему виду:
C(s) = C0(s) + s, C0(s) = −a(s− ρ),
C(s) = Cρ(s) + ρ, Cρ(s) = (1− a)(s− ρ).
(1.6)
Заметим (и это будет использоваться в дальнейшем), что точка рав-
новесия ρ удовлетворяет соотношениям
C0(ρ) = Cρ(ρ) = 0. (1.7)
Кроме того, задание СЭ (1.1)–(1.3) обеспечивает явный вид условной
дисперсии
D[SN (k+ 1)|SN (k) = s] =
1
N
B(s), B(s) := 1−C2(s), k ≥ 0. (1.8)
Экспоненциальные Статистические Эксперименты (ЭСЭ) задаю-
тся симметрической экспоненциальной статистикой [2]
ΠN (λ, k + 1) :=
N∏
r=1
[1 + λδr(k + 1)]. (1.9)
Легко вычисляется условное математическое ожидание (см. (1.4)):
ΠN (λ, k) := E[ΠN (λ, k + 1)|SN (k)] = [1 + λC(SN (k))]
N , (1.10)
с функцией регрессии C(s), определённой в (3).
Замечание 1.2. Так же, как и в работе [1], произвольные бинарные
выборки со значениями h± могут быть сведены линейным преобра-
зованием к симметрическим бинарным значениям ±1.
500 Экспоненциальные статистические эксперименты...
2. Линейные статистические эксперименты
В дальнейшем нам понадобятся результаты усреднения и нор-
мальной аппроксимации СЭ (1.1), полученные в работе [1], сформу-
лированные для стандартных бинарных выборочных значений ±1.
Условная дисперсия СЭ задаётся формулой (1.8).
Установившийся режим СЭ реализуется следующим предельным
соотношением
Теорема 2.1 (ср. [1, теорема 1]). В условиях сходимости начальных
условий:
SN (0)
п.н.−−→ ρ, N → ∞,
с вероятностью 1, имеет место сходимость статистических эк-
спериментов с вероятностью 1:
SN (k)
п.н.−−→ ρ, N → ∞,
при каждом конечном k > 0.
В работе [1] предложена аппроксимация СЭ (1.1) процессом нор-
мальной авторегрессии.
Предложение 2.1 (ср. [1, предложение 1]). Процесс нормальной ав-
торегрессии в дискретном времени k ≥ 0, задаётся соотношением
S̃N (k + 1) = C(S̃N (k)) + (σ/
√
N)W (k + 1), k ≥ 0, (2.1)
в котором предельная дисперсия
σ2 = 1− ρ2, (2.2)
a W (k + 1), k ≥ 0 — нормально распределённые стандартные слу-
чайные величины, независимые при разных k ≥ 1.
Аппроксимация СЭ (1.1) процессом нормальной авторегрессии
(1.6)–(1.7) обоснована следующей теоремой:
Теорема 2.2 (ср. [1, теорема 2]). При выполнении условия теоре-
мы 2.1 имеет место сходимость по распределению
√
N [SN (k + 1)− C(SN (k))]
d−→ σW (k + 1), N → ∞,
при каждом конечном k ≥ 0.
Замечание 2.1. Очевидно, что процесс нормальной авторегрессии
(2.1) сохраняет свойство настойчивой линейной регрессии
E[S̃N (k + 1)|S̃N (k)] = C(S̃N (k)), k ≥ 0,
c той же функцией регрессии (1.2), что и исходный СЭ (1.1)–(1.3).
Д. В. Королюк 501
3. Установившийся режим ЭСЭ
Как и в предыдущей работе [1], ЭСЭ (1.2) в схеме усреднения рас-
сматривается с λN = λ/N . Так что ЭСЭ в схеме усреднения задаётся
формулой
ΠN (λ/N, k + 1) =
N∏
r=1
[1 + λδr(k + 1)/N ], k ≥ 0. (3.1)
Его условное среднее значение имеет вид (ср. (1.3)):
ΠN (λ/N, k) = [1 + λC(SN (k))/N ]N , k ≥ 0. (3.2)
Введём экспоненциальный мартингал
µeN (λ/N, k + 1) = ΠN (λ/N, k + 1)/ΠN (λ/N, k), k ≥ 0.
Очевидно его мартингальное свойство:
E[µeN (λ/N, k + 1)|SN (k)] = 1, k ≥ 0.
Установившийся режим СЭ устанавливает следующая
Теорема 3.1. При условии сходимости с вероятностью 1 началь-
ных значений СЭ
SN (0)
п.н.−−→ ρ, N → ∞, (3.3)
имеет место сходимость по вероятности ЭСЭ (1.9)
ΠN (λ/N, k)
P−→ exp(λρ), N → ∞, k ≥ 0, (3.4)
и сходимость по вероятности его среднего значения (1.10)
ΠN (λ/N, k)
P−→ exp(λρ), N → ∞, k ≥ 0. (3.5)
Следствие 3.1. При условии (3.3)
µeN (λ/N, k + 1)
P−→ 1, N → ∞. (3.6)
Доказательство теоремы 3.1. Воспользуемся формулой аппрокси-
мации типа Ле Кама в следующей форме:
Лемма 3.1 (ср. [3, Lemma 6.3.1]). Пусть выполняется сходимость
по вероятности
max
1≤r≤N
|δr(k + 1)/N | P−→ 0, N → ∞, ∀ k ≥ 0. (3.7)
502 Экспоненциальные статистические эксперименты...
Тогда имеет место сходимость по вероятности
N∑
r=1
ln[1 + λδr(k + 1)/N ]− λSN (k + 1)
P−→ 0, N → ∞. (3.8)
Здесь
SN (k + 1) :=
1
N
N∑
r=1
δr(k + 1), N → ∞.
В нашем случае условие (3.3) теоремы 3.1 выполнено. Согласно
теореме 2.1 работы [1]
SN (k + 1)
п.н.−−→ ρ, N → ∞. (3.9)
Перепишем сходимость (3.4) с учётом очевидного тождества Π =
exp lnΠ :
exp
{ N∑
r=1
ln[1 + λδr(k + 1)/N ]− λSN (k + 1)
}
P−→ 1, N → ∞.
Или иначе, с учётом сходимости (3.9), имеется предел по вероятности
P · lim
N→∞
ΠN (λ/N, k + 1)
= P · lim
N→∞
exp
N∑
r=1
ln[1 + λδr(k + 1)/N ] = exp(λρ).
Последняя сходимость совпадает с утверждением (3.4) теоремы 3.1.
Аналогичным образом доказывается сходимость (3.5) для среднего
значения (3.2). Сходимость (3.6) следует из (3.4) и (3.5). Теорема 3.1
доказана.
4. Аппроксимация процессом экспоненциальной
нормальной авторегрессии
Так же, как и в предыдущей работе [1] ЭСЭ рассматриваются в
схеме серий с параметром серии λN = λ/
√
N . Так что
ΠN (λ/
√
N, k + 1) =
N∏
r=1
[1 + λδr(k + 1)/
√
N ], k ≥ 0. (4.1)
Кроме того, среднее значение ЭСЭ (3.2) (ср. (1.10))
ΠN (λ/
√
N, k) = [1 + λC(SN (k))/
√
N ]N , k ≥ 0. (4.2)
Д. В. Королюк 503
Введём экспоненциальный мартингал
µeN (λN , k + 1) := ΠN (λ/
√
N, k + 1)/ΠN (λ/
√
N, k), k ≥ 0. (4.3)
Очевидно мартингальное свойство:
E[µeN (λN , k + 1)|SN (k)] = 1, k ≥ 0.
Теорема 4.1 (аппроксимация ЭСЭ). В условиях теоремы 3.1 имеет
место сходимость по распределению
µeN (λ/
√
N, k+1)
d−→ exp[λσW (k+1)−λ2σ2/2], N → ∞, k ≥ 0, (4.4)
σ2 = 1− ρ2. (4.5)
Замечание 4.1. Экспоненциальный мартингал (4.3), заданный ЭСЭ
(4.1)–(4.2) в схеме серий, сходится по распределению, при N → ∞,
к экспоненциальному процессу нормальной авторегрессии (4.3). При
этом, очевидно,
E exp[λσW (k + 1)− λ2σ2/2] = 1, k ≥ 0.
Доказательство теоремы 4.1. Так же, как и при доказательстве те-
оремы 3.1, воспользуемся тождеством Π = exp lnΠ, а также леммой
аппроксимации Ле Кама
Лемма 4.1 (аппроксимация Ле Кама [3, Lemma 6.3.1]). Пусть выпол-
няется сходимость по вероятности
max
1≤r≤N
|δr(k + 1)/
√
N | P−→ 0, N → ∞,
а также суммы
VN (k + 1) :=
1
N
N∑
r=1
(δr(k + 1))2,
ограничены по вероятности. Тогда имеет место сходимость по ве-
роятности
N∑
r=1
ln[1+λδr(k+1)/
√
N ]−λ
√
NSN (k+1)+λ2VN (k+1)/2
P−→ 0, N → ∞.
504 Экспоненциальные статистические эксперименты...
Следовательно имеет место сходимость по вероятности с допол-
нительным множителем:
ΠN (λ/
√
N, k + 1) exp[−λ
√
NSN (k + 1) + λ2VN (k + 1)/2]
P−→ 1,
N → ∞, k ≥ 0. (4.6)
Заметим, что в данном случае
VN (k + 1) =
1
N
N∑
r=1
(δr(k + 1))2 = 1.
Так что сходимость (4.6) эквивалентна сходимости
ΠN (λ/
√
N, k + 1) exp[−λ
√
NSN (k + 1)]
P−→ exp[−λ2/2],
N → ∞, k ≥ 0. (4.7)
Аналогично условия леммы 4.1 позволяют получить сходимость по
вероятности (при N → ∞) для среднего значения (4.2):
ΠN (λ/
√
N, k) exp[−λ
√
NC(SN (k))]
P−→ exp[−λ2ρ2/2],
N → ∞, k ≥ 0. (4.8)
Здесь мы воспользовались сходимостью согласно теоремы 1 работы
[1]:
C(SN (k))
п.н.−−→ C(ρ) = ρ, N → ∞, k ≥ 0.
Так что
C2(SN (k))
п.н.−−→ ρ2, N → ∞, k ≥ 0.
Исходный экспоненциальный мартингал (4.3) может быть представ-
лен следующим образом:
µeN (λ/
√
N, k + 1)
= [Π0
N (λ/
√
N, k+1)/Π0
N (λ/
√
N, k)] exp{λ
√
N [SN (k+1)−C(SN (k))]},
k ≥ 0. (4.9)
Здесь, по определению,
Π0
N (λ/
√
N, k + 1) := ΠN (λ/
√
N, k + 1) exp[−λ
√
NSN (k + 1)], k ≥ 0,
Π0
N (λ/
√
N, k) := ΠN (λ/
√
N, k) exp[−λ
√
NC(SN (k))], k ≥ 0. (4.10)
По теореме 2 работы [1] имеет место сходимость по распределению:
√
N [SN (k + 1)− C(SN (k))]
d−→ σW (k + 1), N → ∞, k ≥ 0. (4.11)
Так что сходимости (4.7), (4.8) и (4.11) обеспечивают сходимость эк-
споненциального мартингала (4.4). Теорема доказана.
Д. В. Королюк 505
Предельная теорема 4.1, а также выражение (4.3) для экспонен-
циального мартингала дают возможность представить ЭСЭ (3.1) в
схеме серий в следующем виде:
ΠN (λ/N, k + 1) = ΠN (λ/N, k)µ
e
N (λ/N, k + 1). (4.12)
Согласно (4.10), представление ЭСЭ (4.11) преобразуется к виду
ΠN (λ/N, k + 1) = Π0
N (λ/N, k) exp[λC(SN (k))]µ
e
N (λ/N, k + 1). (4.13)
Теперь воспользуемся асимптотическими соотношениями для перво-
го и третьего сомножителей в (4.13). Всюду далее в формулах оста-
точный член RN → 0 при N → ∞.
Π0
N (λ/N, k) = exp[−λ2ρ2/2N ]eRN ,
а также (ср. (4.4))
µeN (λ/N, k + 1)
d≈ exp[λ(σ/
√
N)W (k + 1)− λ2σ2/2N ].
В результате получаем следующее асимптотическое представление
ЭСЭ:
ΠN (λ/N, k + 1)
d≈ exp[λC(SN (k))− λ2ρ2/2N ]
× exp[λ(σ/
√
N)W (k + 1)− λ2σ2/2N ], (4.14)
Или иначе с учётом (4.5)
ΠN (λ/N, k+1)
d
≈ exp{λ[C(SN (k))+(σ/
√
N)W (k+1)]−λ2/2N}. (4.15)
Асимптотические формулы (4.14) и (4.15) дают основание для следу-
ющей аппроксимации ЭСЭ нормальным процессом авторегрессии.
Предложение 4.1. Экспоненциальные статистические экспери-
менты (3.1) аппроксимируются нормальным процессом авторегрес-
сии
N∏
r=1
[1 + λδ̃r(k + 1)/N ] = exp[λC(S̃N (k))− λ2ρ2/2N ]
× exp[λ(σ/
√
N)W (k + 1)− λ2σ2/2N ], (4.16)
или, эквивалентно,
N∏
r=1
[1 + λδ̃r(k + 1)/N ]
= exp{λ[C(S̃N (k)) + (σ/
√
N)W (k + 1)]− λ2/2N}. (4.17)
506 Экспоненциальные статистические эксперименты...
Замечание 4.2. Важным основанием для применения аппроксима-
ции нормальным процессом авторегрессии (4.16) или (4.17) служит
тот факт, что условное математическое ожидание нормального про-
цесса авторегрессии (4.16) (или (4.17)) асимптотически совпадает с
функцией регрессии (условным математическим ожиданием) исхо-
дных ЭСЭ (3.1), а именно (см. (4.15))
E
[ N∏
r=1
[1 + λδ̃r(k + 1)/N ]|S̃N (k)
]
= exp[λC(S̃N (k))− λ2ρ2/2N ]
= ΠN (λ/N, k)e
RN . (4.18)
Заключение
Аппроксимация нормальным процессом авторегрессии (4.16) (или
(4.17)) экспоненциальных статистических экспериментов с использо-
ванием процесса нормальной авторегрессии (4.4), полученного в тео-
реме 4.1, создаёт разнообразные перспективы в приложениях моделей
статистических экспериментов, обладающих свойством настойчивой
линейной регрессии (1.4), в экономике и биологии. Прежде всего во-
зникают проблемы статистической оценки основных параметров СЭ
p и a, а также сопутствующих им ρ и σ.
Благодарности. Автор благодарит рецензента за его замечания, ко-
торые помогли улучшить изложение материала.
Литература
[1] Д. В. Королюк, Бинарные повторяющиеся статистические эксперименты
с настойчивой линейной регрессией // УМВ 10 (2013), No. 4, 497–506.
[2] Yu. V. Borovskikh, V. S. Korolyuk, Random Permanents, VSP Utrecht, 1994.
[3] Yu. V. Borovskikh, V. S. Korolyuk, Martingale Approximation, VSP, 1997.
[4] А. Н. Ширяев, Вероятность-2, М., МЦНМО, 2004.
[5] M. Abundo, L. Accardi, N. Rosato, A Markovian model for cooperative interaction
in Proteins // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 5 (1995),
No. 6 835–863.
[6] M. Abundo, L. Accardi, Agro’A. Finazzi, G. Mei, N. Rosato, A stochastic model
for the sigmoidal behaviour of cooperative biological systems // Biophysical Chemi-
stry, 58 (1996), 313–323.
[7] D. Koroliuk, V. S. Koroliuk, Diffusion approximation of Markov chains for
cooperative interaction in proteins // Volterra Proc. UTV, (1993), No. 156.
[8] D. Koroliuk, V. S. Koroliuk, Diffusion approximation of stochastic Markov models
with persistent regression // Ukr. Math. Journ., 47 (1995), No. 7, 928–935.
Д. В. Королюк 507
Сведения об авторах
Дмитрий
Владимирович
Королюк
Институт телекоммуникаций и
глобального информационного
пространства НАН Украины
Чоколовский бульвар, 13,
Киев, 03110
Украина
E-Mail: dimitri.koroliouk@ukr.net
|