Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов
Доказаны теоремы о существовании и единственности сильного решения для вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве в случае, когда имеет место подкачка энергии системы (оператор диссипации энергии ограничен снизу), а система может быть неустойчива (опе...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124477 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов / Е.В. Сёмкина // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 574-585. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124477 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Сёмкина, Е.В. 2017-09-26T17:22:26Z 2017-09-26T17:22:26Z 2014 Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов / Е.В. Сёмкина // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 574-585. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 39B42, 39B99. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124477 Доказаны теоремы о существовании и единственности сильного решения для вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве в случае, когда имеет место подкачка энергии системы (оператор диссипации энергии ограничен снизу), а система может быть неустойчива (оператор потенциальной энергии ограничен снизу). Автор благодарит рецензента за ценные замечания, приведшие к существенному улучшению изложения текста статьи. Автор благодарит Н. Д. Копачевского за постановку задачи, а также за руководство работой. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов Volterra second-order integro-differential equations unresolved for the higher derivative. The case of semibounded operator coefficients Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| spellingShingle |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов Сёмкина, Е.В. |
| title_short |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| title_full |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| title_fullStr |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| title_full_unstemmed |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| title_sort |
интегродифференциальные уравнения вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. случай полуограниченных операторных коэффициентов |
| author |
Сёмкина, Е.В. |
| author_facet |
Сёмкина, Е.В. |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Volterra second-order integro-differential equations unresolved for the higher derivative. The case of semibounded operator coefficients |
| description |
Доказаны теоремы о существовании и единственности сильного решения для вольтерровых интегро-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве в случае, когда имеет место подкачка энергии системы (оператор диссипации энергии ограничен снизу), а система может быть неустойчива (оператор потенциальной энергии ограничен снизу).
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124477 |
| citation_txt |
Интегродифференциальные уравнения Вольтерра второго порядка, неразрешённые относительно старшей производной. Случай полуограниченных операторных коэффициентов / Е.В. Сёмкина // Український математичний вісник. — 2014. — Т. 11, № 4. — С. 574-585. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT semkinaev integrodifferencialʹnyeuravneniâvolʹterravtorogoporâdkanerazrešennyeotnositelʹnostaršeiproizvodnoislučaipoluograničennyhoperatornyhkoéfficientov AT semkinaev volterrasecondorderintegrodifferentialequationsunresolvedforthehigherderivativethecaseofsemiboundedoperatorcoefficients |
| first_indexed |
2025-11-25T20:40:26Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:40:26Z |
| _version_ |
1850526361189351424 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 11 (2014), № 4, 574 – 585
Интегродифференциальные уравнения
Вольтерра второго порядка, неразрешённые
относительно старшей производной.
Случай полуограниченных операторных
коэффициентов
Екатерина В. Сёмкина
(Представлена Н. Д. Копачевским)
Аннотация. Доказаны теоремы о существовании и единственности
сильного решения для вольтерровых интегро-дифференциальных
уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве в случае,
когда имеет место подкачка энергии системы (оператор диссипации
энергии ограничен снизу), а система может быть неустойчива (опе-
ратор потенциальной энергии ограничен снизу).
2010 MSC. 39B42, 39B99.
Ключевые слова и фразы. Интегро-дифференциальное уравне-
ние Вольтерра, самосопряжённый оператор.
1. Введение
Рассмотрим в гильбертовом пространстве H задачу Коши для
интегро-дифференциального уравнения второго порядка вида
A
d2u
dt2
+ F
du
dt
+Bu+
m∑
k=1
t∫
0
Gk(t, s)Cku(s) ds = f(t), (1.1)
u(0) = u0, u′(0) = u1.
Эта задача в случае самосопряжённых положительно определён-
ных операторов F (оператор диссипации) и B (оператор потенциаль-
ной энергии) изучена в [1]. В данной работе рассматривается вари-
ант, когда эти операторы лишь ограничены снизу, т.е. в исследуемой
Статья поступила в редакцию 27.11.2013
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
Е. В. Сёмкина 575
динамической системе возможна подкачка энергии, причём система
может быть статически неустойчива. Отметим, что в [2, 3] в случае
A = I изучены некоторые классы интегро-дифференциальных урав-
нений второго порядка с неограниченными операторными коэффи-
циентами, в случае, когда все коэффициенты являются функциями
одного из них.
Будем считать, что
0 < A = A∗ ∈ L(H), F = F ∗ > γF I, B = B∗ > γBI, γF , γB ∈ R,
(1.2)
а ограничения на Gk(t, s) и Ck сформулируем ниже.
Сформулируем, как и в [1], следующее
Замечание 1.1. Будем считать, что оператор A действует не в H,
а в шкале пространств Eα, построенной по оператору A−1 с первона-
чальной областью определения D(A−1) = R(A) ⊂ H, тогда
H = E0, D(A−1) = E1, D(A−1/2) = E1/2,
причём A−1/2 : Eα/2 → E(α−1)/2 — ограниченный оператор.
Замечание 1.2. Далее под D(A−1/2B) будем понимать множество
D(A−1/2B) = D(A−1/2Bc) = R(B−1
c A1/2) ⊂ H,
Bc := (B − γBI) + cI, ∀c > 0, D(Bc) = D(B).
Аналогично определяется множество
D(A−1/2BA−1/2) := D(A−1/2BcA
−1/2).
С учётом этих замечаний дадим определение сильного решения
задачи (1.1) со значениями в пространстве E1/2 = D(A−1/2).
Определение 1.1. Назовём сильным решением задачи Коши (1.1)
на отрезке [0, T ] такую функцию u(t) со значениями в пространстве
E1/2 = D(A−1/2), для которой выполнены следующие условия:
1◦. u(t) ∈ C([0, T ];D(A−1/2B));
2◦. u′(t)∈C([0, T ];D(|B|1/2))∩C([0, T ];D(A−1/2F )), |B| := (B2)1/2;
3◦. Au′′(t) ∈ C([0, T ];D(A−1/2));
4◦. все слагаемые в уравнении (1.1) непрерывны по t и принадле-
жат пространству C([0, T ];D(A−1/2));
5◦. при любом t ∈ [0, T ] выполнено уравнение (1.1);
6◦. выполнены начальные условия u(0) = u0, u′(0) = u1.
576 Вольтерровы интегродифференциальные уравнения
Необходимыми условиями существования сильного решения за-
дачи (1.1), (1.2) являются, очевидно, условия
u0 ∈ D(A−1/2B), u1 ∈ D(|B|1/2) ∩ D(A−1/2F ),
f(t) ∈ C([0, T ];D(A−1/2)).
Цель данной работы — выяснить ограничения на операторы F ,
B, Ck и оператор-функции Gk(t, s), k = 1,m, при которых имеет
место утверждение о существовании сильного решения задачи (1.1)
со значениями в D(A−1/2) = E1/2.
2. Предварительные преобразования
Будем считать, что задача (1.1) имеет сильное решение u(t)
в смысле определения 1.1, и осуществим, как и в работе [1], пе-
реход от этой задачи к задаче Коши для системы двух интегро-
дифференциальных уравнений первого порядка. Осуществляя в (1.1)
замену A1/2u =: v и применяя слева оператор A−1/2 (это можно сде-
лать для сильного решения), приходим к задаче:
d2v
dt2
+A−1/2FA−1/2dv
dt
+A−1/2BA−1/2v
+
m∑
k=1
t∫
0
A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2v(s) ds = A−1/2f(t), (2.1)
v(0) = A1/2u0, v′(0) = A1/2u1.
Здесь все слагаемые в уравнении являются элементами из C([0, T ];
H).
Прежде чем перейти к задаче Коши для интегро-
дифференциального уравнения первого порядка, сформулируем
ряд вспомогательных утверждений.
Определение 2.1. Будем говорить, что оператор F = F ∗ имеет
дискретный спектр σ(F ) = σd(F ), если:
1) σ(F ) состоит из изолированных конечнократных веществен-
ных собственных значений с предельной точкой +∞;
2) система соответствующих собственных элементов образует
ортогональный базис в H.
Е. В. Сёмкина 577
Лемма 2.1. Пусть X > γI, γ ∈ R, самосопряжённый опера-
тор с дискретным спектром, имеющий конечное число κ (с
учётом кратностей) отрицательных собственных значений. Пусть
A ограниченный положительный оператор. Тогда спектр оператора
A−1/2XA−1/2 имеет ровно κ отрицательных собственных значений
и минимальное из них
λmin(A
−1/2XA−1/2) = −1
/(
min
u:(Xu,u)<0
(Au, u)
(−Xu, u)
)
. (2.2)
Доказательство. По теореме 2.1 из [4, c. 38] положительная часть
спектра линейного операторного пучка
M(µ) := −µX −A
состоит из κ собственных значений 0 < µ1 6 µ2 6 · · · 6 µκ, причём
µ1 = min
u:(Xu,u)<0
(Au, u)
(−Xu, u)
(2.3)
Заметив, что задача M(µ)v = 0 равносильна спектральной зада-
че A−1/2XA−1/2u = λu, где λ = −1/µ, A1/2v = u, получаем, что
отрицательная часть спектра оператора A−1/2XA−1/2 состоит из κ
собственных значений λk := −1/µk, k = 1,κ. Отсюда следует, что
λ1 6 λ2 6 · · · 6 λκ < 0, и с учётом (2.3) приходим к формуле (2.2).
Лемма 2.2. Пусть оператор X = X∗ > γI, γ ∈ R, имеет дискре-
тный спектр, а оператор A > 0 ограничен. Тогда для выполнения
условия
X + αA≫ 0, α > 0, (2.4)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
A−1/2XA−1/2 + αI ≫ 0. (2.5)
Доказательство. Убедимся сперва непосредственной проверкой, что
при условии (2.4) условие (2.5) также имеет место:(
(A−1/2XA−1/2 + αI)u, u
)
=
(
(X + αA)(A−1/2u), (A−1/2u)
)
> c1∥A−1/2u∥2 > c1c2∥u∥2,
u ∈ D(A−1/2XA−1/2) = R(A1/2X−1
c A1/2).
Здесь c1 > 0, c2 > 0 — константы положительной определённости
операторов X + αA и A−1/2 соответственно.
578 Вольтерровы интегродифференциальные уравнения
Пусть теперь условие (2.5) выполнено, тогда
((X + αA)u, u) :=
(
A1/2(A−1/2XA−1/2 + αI)A1/2u, u
)
=
(
(A−1/2XA−1/2+ αI) (A1/2u), (A1/2u)
)
> c3∥A1/2u∥2 > 0,
c3 > 0, u ∈ D(A−1/2XA−1/2)
то есть оператор X +αA неотрицателен. Но если ((X + αA)u, u) = 0,
то ∥A1/2u∥ = 0, а значит u = 0, откуда следует, что X+αA по крайней
мере положительный оператор.
Покажем, что на самом деле он положительно определён. В самом
деле, так какX имеет дискретный спектр, а A— ограничен, тоX+αA
тоже имеет дискретный спектр. Однако X+αA положителен. Значит
он положительно определён.
Будем далее считать, что операторы F и B в задаче (1.1) имеют
дискретные спектры.
Возвращаясь к задаче (2.1), представим оператор B в виде:
A−1/2BA−1/2 = A−1/2BA−1/2 + βI − βI =: Bβ − βI, β ∈ R+, (2.6)
и константу β выберем (см. лемму 2.1) из условия
β > λmin(A
−1/2BA−1/2) = 1
/(
min
u:(Bu,u)<0
(Au, u)
(−Bu, u)
)
, (2.7)
и тогда Bβ ≫ 0. Заметим, что при этом по лемме 2.2 вместе с Bβ
положительно определён и оператор B + βA =: B̃β .
При условиях (2.6), (2.7) задача (2.1) перепишется в виде
d2v
dt2
+A−1/2FA−1/2dv
dt
+A−1/2B̃βA
−1/2v
+
m∑
k=1
t∫
0
A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2v(s) ds = A−1/2f(t) + βv(t), (2.8)
v(0) = A1/2u0, v′(0) = A1/2u1,
где теперь в правую часть входит искомая функция v(t).
Для сильного решения задачи (2.8) проделаем те же преобразо-
вания, что и в работе [1]. Введём новую искомую функцию:
−iB̃1/2
β A−1/2v(t) =:
dw
dt
, w(0) = 0. (2.9)
Е. В. Сёмкина 579
В силу свойства 2◦ из определения 1.1 получаем, что d2w/dt2 ∈
∈ C([0, T ];H) и потому
d2w
dt2
+ iB̃
1/2
β A−1/2dv
dt
= 0, w′(0) = −iB̃1/2
β A−1/2v(0) = −iB̃1/2
β u0.
(2.10)
Преобразуем ещё интегральные слагаемые в (2.8), воспользовав-
шись формулами
v(s) =
s∫
0
v′(ξ)dξ + v(0)
и осуществив замену порядка интегрирования. Будем иметь
t∫
0
A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2
( s∫
0
v′(ξ) dξ + v(0)
)
ds
=
t∫
0
( t∫
ξ
A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2 ds
)
v′(ξ) dξ
+
t∫
0
A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2v(0) ds, k = 1,m.
Введём здесь обозначения:
a) Ĝk(t, s) := A−1/2Gk(t, s)A
1/2, Ĉk := A−1/2CkA
−1/2,
Ĝk(t, s)Ĉk = A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2,
(2.11)
б) Ǧk(t, s) := A−1/2Gk(t, s), Čk := CkA
−1/2,
Ǧk(t, s)Čk = A−1/2Gk(t, s)CkA
−1/2,
(2.12)
и рассмотрим в дальнейшем два варианта, отвечающих случаям
(2.11) и (2.12).
Так, в варианте (2.11) задача (2.8) с учётом (2.9), (2.10) равносиль-
на задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения первого
порядка следующего вида:
dz
dt
+ F0z +
m∑
k=0
t∫
0
Ṽk(t, ξ)C̃kz(ξ) dξ = f̃0(t), (2.13)
z(0) = z0 := (A1/2u1;−iB̃1/2
β u0)τ , (2.14)
580 Вольтерровы интегродифференциальные уравнения
z(t) := (v′(t);w′(t))τ ∈ H̃ := H⊕H, (2.15)
f̃0(t) := (A−1/2f(t)−
m∑
k=1
t∫
0
A−1/2Gk(t, s)Cku
0 ds+βA1/2u0; 0)τ , (2.16)
F0 :=
(
A−1/2FA−1/2 iA−1/2B̃
1/2
β
iB̃
1/2
β A−1/2 0
)
, (2.17)
D(F0) := (D(A−1/2FA−1/2) ∩ D(B̃
1/2
β A−1/2))⊕D(A−1/2B̃
1/2
β ), (2.18)
а операторы Ṽk(t, ξ) и C̃k заданы формулами
Ṽk(t, ξ) := diag(V̂k(t, ξ); 0),
V̂k(t, ξ) :=
t∫
ξ
Ĝk(t, s) ds =
t∫
ξ
A−1/2Gk(t, s)A
1/2 ds, k = 1,m,
(2.19)
C̃k := diag(Ĉk; 0), D(C̃k) := D(Ĉk)⊕H, k = 1,m. (2.20)
Ṽ0(t, ξ)C̃0 = diag(−βI; 0). (2.21)
в случае (2.11) и формулами
Ṽk(t, ξ) := diag(V̌k(t, ξ); 0),
V̌k(t, ξ) :=
t∫
ξ
Ǧk(t, s) ds =
t∫
ξ
A−1/2Gk(t, s) ds,
(2.22)
C̃k := diag(Čk; 0), D(C̃k) := D(Čk)⊕H, k = 1,m, (2.23)
(2.21) в случае (2.12).
Осуществим ещё в (2.13) замену искомой функции
z(t) = eαty(t), α > 0. (2.24)
Константу α здесь выберем из условия (см. лемму 2.1)
α > λmin(A
−1/2FA−1/2) = 1
/(
min
u:(Fu,u)<0
(Au, u)
(−Fu, u)
)
,
чтобы Fα := A−1/2FA−1/2 + αI ≫ 0. Заметим, что при этом по лем-
ме 2.2 вместе с Fα положительно определён и оператор F +αA =: F̃α.
Е. В. Сёмкина 581
Тогда для новой искомой функции y(t) получим задачу Коши
dy
dt
+ Fαy +
m∑
k=0
t∫
0
W̃k(t, ξ)C̃ky(ξ) dξ = f̃α(t), (2.25)
y(0) = z(0) = (A1/2u1;−B̃1/2
β u0)τ , (2.26)
Fα := F0 + αI =
(
A−1/2F̃αA
−1/2 iA−1/2B̃
1/2
β
iB̃
1/2
β A−1/2 αI
)
,
F̃α := F + αA≫ 0,
(2.27)
D(Fα) = D(F0), (2.28)
f̃α(t) := e−αtf̃0(t), W̃k(t, ξ) := e−α(t−ξ)Ṽk(t, ξ), (2.29)
где функция f̃0(t) задана формулой (2.16), а Ṽk(t, ξ) и C̃k — форму-
лами (2.19), (2.20), (2.21) в обозначениях (2.11) и формулами (2.22),
(2.23), (2.21) в обозначениях (2.12).
Заметим теперь, что операторные коэффициенты в задаче Коши
(2.13) обладают теми же свойствами, что и операторные коэффици-
енты аналогичной задачи Коши (33), которая возникла в работе [1,
с. 61]. Поэтому дальнейшее исследование задачи (2.13) полностью по-
вторяет исследование, проведенное в [1].
А именно, в зависимости от связей областей определения опера-
торов B̃1/2
β A−1/2 и A−1/2FA−1/2 необходимо рассмотреть три случая
1◦. Малая интенсивность внутренней диссипации:
D(B̃
1/2
β A−1/2) ⊂ D(A−1/2FA−1/2). (2.30)
2◦. Средняя интенсивность внутренней диссипации:
D(A−1/2BA−1/2)⊂D(A−1/2FA−1/2)⊂D(B̃
1/2
β A−1/2)⊂D(F̃ 1/2
α A−1/2).
(2.31)
3◦. Большая интенсивность внутренней диссипации:
D(A−1/2FA−1/2) ⊂ D(A−1/2BA−1/2) ⊂ D(B̃
1/2
β A−1/2). (2.32)
Для каждого из этих вариантов в работе [1] получены теоремы
o существовании и единственности сильного решения задачи (1.1) в
случае, когда F ≫ 0 и B ≫ 0.
В связи с тем, что рассуждения, которые необходимо провести
для исследования задачи (2.25), полностью повторяют рассуждения
проведенные в [1], сформулируем ниже без доказательства дальней-
шие утверждения.
582 Вольтерровы интегродифференциальные уравнения
3. Итоговые утверждения
Для случая малой интенсивности диссипации энергии системы
справедливы следующие факты.
Теорема 3.1. Пусть в задаче (1.1) операторы F и B имеют дискре-
тные спектры, и выполнены условия (2.30), (1.2), а также условия
D(B̃
1/2
β A−1/2) ⊂ D(A−1/2CkA
−1/2), k = 1,m. (3.1)
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(D(A−1/2))), k = 1,m. (3.2)
u0 ∈ D(A−1/2B), u1 ∈ D(B̃
1/2
β ). (3.3)
f(t) ∈ C1([0, T ];D(A−1/2)). (3.4)
Тогда эта задача имеет единственное сильное решение u(t) со зна-
чениями в D(A−1/2) = E1/2 на отрезке [0, T ].
Теорема 3.2. Пусть в задаче (1.1) операторы F и B имеют дискре-
тные спектры, и выполнены условия (2.30), (1.2), а также условия
D(B̃
1/2
β A−1/2) ⊂ D(CkA
−1/2), k = 1,m, (3.5)
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(H,D(A−1/2))), k = 1,m, (3.6)
(3.3), (3.4). Тогда эта задача имеет единственное сильное решение
u(t) со значениями в D(A−1/2) = E1/2 на отрезке [0, T ].
Для случая большой интенсивности диссипации энергии системы
справедливы следующие утверждения.
Теорема 3.3. Пусть в задаче (1.1) операторы F и B имеют дис-
кретные спектры, и выполнены условия (2.32), (1.2), и условия
u0 ∈ D(A−1/2F ) ⊂ D(A−1/2B), u1 ∈ D(A−1/2F ), (3.7)
f(t) ∈ C1([0, T ];D(A−1/2)), (3.8)
D(A−1/2CkA
−1/2) ⊃ D(F̃ 1/2
α A−1/2), k = 1,m, (3.9)
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(D(A−1/2))), k = 1,m. (3.10)
Тогда эта задача имеет на отрезке [0, T ] единственное сильное ре-
шение u(t) со значениями в D(A−1/2).
Е. В. Сёмкина 583
Теорема 3.4. Пусть в задаче (1.1) операторы F и B имеют дис-
кретные спектры, и выполнены условия (2.32), (1.2), (3.7), (3.8), а
также
D(CkA
−1/2) ⊃ D(F̃ 1/2
α A−1/2), k = 1,m,
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(H,D(A−1/2))), k = 1,m.
Тогда эта задача имеет на отрезке [0, T ] единственное сильное ре-
шение u(t) со значениями в D(A−1/2).
Для случая средней интенсивности диссипации энергии системы
теоремы о разрешимости удаётся получить лишь для так называемо-
го ассоциированного уравнения. Именно, назовём задачу Коши
A
d2u
dt2
+ FA−1/2
(
A1/2du
dt
+Q∗B̃
1/2
β u
)
− βAu+ αA1/2Q∗B̃
1/2
β
+
m∑
k=1
t∫
0
Gk(t, s)Cku(s) ds = f(t), (3.11)
u(0) = u0, u′(0) = u1,
где Q := B̃
1/2
β F̃−1
α A1/2, задачей, ассоциированной с исходной задачей
(1.1) в предположениях (1.2).
Определение 3.1. Сильным решением ассоциированной задачи
(3.11) на отрезке [0, T ] назовём функцию u(t) со значениями в
D(A−1/2) ⊂ H, для которой выполнены следующие условия:
1◦. u(t) ∈ D(B̃
1/2
β ) и B̃
1/2
β u(t) ∈ C([0, T ];H);
2◦. A1/2du/dt+Q∗B̃
1/2
β u ∈ D(A−1/2FA−1/2)
и FA−1/2(A1/2(du/dt) +Q∗B̃
1/2
β u(t)) ∈ C([0, T ];D(A−1/2));
3◦. Au(t) ∈ C2([0, T ];D(A−1/2));
4◦. для любого t ∈ [0, T ] выполнено уравнение (3.11), где все сла-
гаемые являются элементами из C([0, T ];D(A−1/2)), и начальные
условия.
Здесь, как и в [1], справедливо следующее утверждение, объясня-
ющее термин “ассоциированное уравнение”.
Лемма 3.1. Если сильное решение u(t) ассоциированной задачи
(3.11) обладает дополнительными свойствами гладкости
u(t) ∈ D(B), Bu(t) ∈ C([0, T ];D(A−1/2)), (3.12)
то оно является сильным решением задачи (1.1), (1.2) в смысле
определения 1.1, то есть на отрезке [0, T ] и со значениями в
D(A−1/2).
584 Вольтерровы интегродифференциальные уравнения
Для ассоциированного уравнения справедливы следующие ре-
зультаты.
Теорема 3.5. Пусть операторы F и B имеют дискретные спектры,
и выполнены условия (2.31), (1.2), а также условия
u0 ∈ D(A−1/2B), u1 ∈ D(A−1/2F ), f(t) ∈ C1([0, T ];D(A−1/2));
(3.13)
D(A−1/2CkA
−1/2) ⊃ D(B̃
1/2
β A−1/2), k = 1,m; (3.14)
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(D(A−1/2))), k = 1,m. (3.15)
Тогда ассоциированная задача (3.11) имеет на отрезке [0, T ] един-
ственное сильное (в смысле определения 3.1) решение со значениями
в D(A−1/2).
Теорема 3.6. Пусть операторы F и B имеют дискретные спектры,
и выполнены условия (2.31), (1.2), (3.13), а также условия
D(CkA
−1/2) ⊃ D(B̃
1/2
β A−1/2), k = 1,m;
Gk(t, s), ∂Gk(t, s)/∂t ∈ C(∆T ;L(H,D(A−1/2))), k = 1,m.
Тогда ассоциированная задача (3.11) имеет на отрезке [0, T ] един-
ственное сильное (в смысле определения 3.1) решение u(t) со значе-
ниями в D(A−1/2).
Автор благодарит рецензента за ценные замечания, приведшие к
существенному улучшению изложения текста статьи.
Благодарности. Автор благодарит Н. Д. Копачевского за постанов-
ку задачи, а также за руководство работой.
Литература
[1] Н. Д. Копачевский, Е. В. Сёмкина, Об интегро-дифференциальных уравне-
ниях Вольтерра второго порядка, неразрешённых относительно старшей
производной // Ученые записки Таврического национального университета
им. В. И. Вернадского, Сер. «Физико-математические науки», 26(65) (2013),
No. 1, 52–79.
[2] В. В. Власов, Д. А. Медведев, Н. А. Раутиан, Функционально-
дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и их спектраль-
ный анализ // Современные проблемы математики и механики, Математика,
VIII (2011), No. 1, 8–306.
[3] В. В. Власов, Н. А. Раутиан, А. С. Шамаев, Исследование операторных мо-
делей, возникающих в задачах наследственной механики // Труды Шестой
Международной конференции по дифференциальным и функционально-
дифференциальным уравнениям (Москва, 14–21 августа, 2011). Часть 1, Сов-
ременная математика. Фундаментальные направления, 45 (2012), 43–61.
Е. В. Сёмкина 585
[4] T. Ya. Azizov, N. D. Kopachevsky, L. I. Sukhocheva, On eigenvalues pencils with a
parameter // Proceedings of the 16th Conference on Operator Theory Timisoara
(Romania) July 2–10, (1996), 37–50.
Сведения об авторах
Екатерина В.
Сёмкина
Факультет математики и информатики,
Таврический национальный университет
им. В. И. Вернадского,
пр. aкад. Вернадского 4,
Симферополь, 95007,
Россия
E-Mail: kozirno@gmail.com
|