Властивості псевдоквазінеперервності
В [17] встановлено, що поняття псевдоквазiнеперервностi та простої неперервностi означають одне i теж ослаблення неперервностi. Крiм огляду вiдомих результатiв про псевдоквазiнеперервнiсть, подано ряд нових властивостей цього поняття....
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124498 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Властивості псевдоквазінеперервності / В.В. Нестеренко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 2. — С. 243-256. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124498 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Нестеренко, В.В. 2017-09-27T20:18:39Z 2017-09-27T20:18:39Z 2015 Властивості псевдоквазінеперервності / В.В. Нестеренко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 2. — С. 243-256. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1810-3200 2010 MSC. 54C08, 26B05. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124498 В [17] встановлено, що поняття псевдоквазiнеперервностi та простої неперервностi означають одне i теж ослаблення неперервностi. Крiм огляду вiдомих результатiв про псевдоквазiнеперервнiсть, подано ряд нових властивостей цього поняття. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Властивості псевдоквазінеперервності Properties of pseudoquasicontinuity Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Властивості псевдоквазінеперервності |
| spellingShingle |
Властивості псевдоквазінеперервності Нестеренко, В.В. |
| title_short |
Властивості псевдоквазінеперервності |
| title_full |
Властивості псевдоквазінеперервності |
| title_fullStr |
Властивості псевдоквазінеперервності |
| title_full_unstemmed |
Властивості псевдоквазінеперервності |
| title_sort |
властивості псевдоквазінеперервності |
| author |
Нестеренко, В.В. |
| author_facet |
Нестеренко, В.В. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Properties of pseudoquasicontinuity |
| description |
В [17] встановлено, що поняття псевдоквазiнеперервностi та простої неперервностi означають одне i теж ослаблення неперервностi. Крiм огляду вiдомих результатiв про псевдоквазiнеперервнiсть, подано ряд нових властивостей цього поняття.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124498 |
| citation_txt |
Властивості псевдоквазінеперервності / В.В. Нестеренко // Український математичний вісник. — 2015. — Т. 12, № 2. — С. 243-256. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nesterenkovv vlastivostípsevdokvazíneperervností AT nesterenkovv propertiesofpseudoquasicontinuity |
| first_indexed |
2025-11-25T20:31:16Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:31:16Z |
| _version_ |
1850523758460141568 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 12 (2015), № 2, 243 – 256
Властивостi псевдоквазiнеперервностi
Василь В. Нестеренко
(Представлена М. М. Маламудом)
Анотацiя. В [17] встановлено, що поняття псевдоквазiнеперервнос-
тi та простої неперервностi означають одне i теж ослаблення не-
перервностi. Крiм огляду вiдомих результатiв про псевдоквазiнепе-
рервнiсть, подано ряд нових властивостей цього поняття.
2010 MSC. 54C08, 26B05.
Ключовi слова та фрази. Псевдоквазiнеперервнiсть, квазiнепе-
рервнiсть, клiковiсть, проста неперервнiсть, майже неперервнiсть,
точкова розривнiсть.
Вступ
За останнi сто рокiв було введено велику кiлькiсть рiзних осла-
блень неперервностi. Оскiльки вони вводилися рiзними авторами, то
деякi з них означають одну i ту ж властивiсть вiдображення, при-
наймнi для деяких типiв просторiв. Так в [12] Кемпiстий увiв поняття
квазiнеперервностi, а в [7] Бледзой вивчав еквiвалентну властивiсть.
Пiзнiше Левiн в [13] увiв поняття напiвнеперервностi, яке, як показа-
но в [16], еквiвалентне квазiнеперервностi.
У зв’язку з вивченням точок сукупної неперервностi вiдображень
f : X × Y → Z в [15] виникло поняття псевдо- квазiнеперервностi зни-
зу многозначного вiдображення. Там було встановлено, що кожне
квазiнеперервне знизу многозначне вiдображення є псевдоквазiнепе-
рервним знизу. Аналог поняття псевдоквазiнеперервностi знизу для
однозначних вiдображень привiв до вiдомого поняття простої непе-
рервностi [6].
В цiй роботi дослiджуються властивостi псевдоквазi-неперервностi
однозначних вiдображень. Буде проведено огляд результатiв, якi по-
в’язанi з псевдоквазiнеперервiнстю (= простою неперервнiстю). Та-
кож будуть вивченi нарiзнi i сукупнi властивостi псевдоквазiнепе-
рервностi вiдображень вiд двох змiнних.
Стаття надiйшла в редакцiю 24.04.2015
ISSN 1810 – 3200. c⃝ Iнститут математики НАН України
244 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
1. Основнi поняття
Вiдображення f : X → Y мiж двома топологiчними просторами
X та Y називається точково розривним, якщо множина C(f) точок
непрервностi вiдображення f є всюди щiльна в X. Нехай X — то-
пологiчний простiр, Y — метричний простiр. Позначимо через ωf (A)
коливання функцiї f на множинi A. Функцiя f : X → Y називається
клiковою в точцi x [18], якщо для кожного ε > 0 i довiльного околу U
точки x в X iснує вiдкрита непорожня множина G, така, що G ⊆ U
i ωf (G) < ε, i просто клiковою, якщо вона є такою в кожнiй точцi.
Добре вiдомо [18], що коли простiр X берiвський, то кожна клiкова
функцiя f : X → Y є точково розривною.
Нехай тепер Y — довiльний топологiчний простiр. Вiдображення
f називається квазiнеперервним у точцi x ∈ X [12, 14], якщо для
кожного околу V точки y = f(x) в Y i для кожного околу U то-
чки x в X iснує вiдкрита непорожня множина G, така, що G ⊆ U
i f(G) ⊆ V . Якщо вiдображення f квазiнеперервне у кожнiй точцi
x ∈ X, то воно називається квазiнеперервним. Легко бачити, що ко-
жне квазiнеперервне вiдображення зi значеннями в метричному про-
сторi є клiковим. Обернене твердження не вiрне.
Добре вiдомою є наступна характеризацiя квазiнеперервностi
(див. [19]).
Теорема 1.1. Нехай X i Y — топологiчнi простори. Вiдображен-
ня f : X → Y буде квазiнеперервне тодi i тiльки тодi, коли для
довiльної вiдкритої непорожньої множини U в X та щiльної в U
множини E маємо, що f(U) ⊆ f(E).
Вiдображення f : X → Y називається псевдоквазiнеперервним,
якщо для довiльної вiдкритої множини U в X та довiльної множини
E в X, такої, що U ⊆ E iснує вiдкрита непорожня множина G в X,
така, що G ⊆ U i f(G) ⊆ f(E).
З теореми 1.1 легко випливає наступний результат.
Наслiдок 1.1. Нехай X i Y — топологiчнi простори i f : X → Y —
квазiнеперервне вiдображення. Тодi вiдображення f псевдоквазiнепе-
рервне.
Обернене твердження не вiрне.
Приклад 1.1. Функцiя f : R→ R, f(x) = 0 при x ̸= 0 i f(0) = 1, не
є квазiнеперервною в точцi x = 0, однак вона псевдоквазiнеперервна.
В. В. Нестеренко 245
2. Зв’язки мiж рiзними аналогами
точкової розривностi
Теорема 2.1. Нехай X — топологiчний простiр, простiр Y задо-
вольняє другу аксiому злiченностi i f : X → Y — псевдоквазiнепе-
рервне вiдображення. Тодi множина D(f) точок розриву функцiї f
першої категорiї.
Доведення. Будемо мiркувати вiд супротивного. Нехай множина
D(f) другої категорiї в X. Нехай {Vn : n ∈ N} — база простору Y .
Через Ux позначимо систему околiв точки x ∈ X.
Для кожного номера n розглянемо множини
An = {x ∈ D(f) : (f(x) ∈ Vn)(∀U ∈ Ux)(∃ux ∈ U)(f(ux) ⊆ Y \ Vn)}.
Зрозумiло, що
∪∞
n=1An = D(f). Оскiльки множина D(f) другої ка-
тегорiї, то iснує номер m, такий, що множина Am десь щiльна в X.
Нехай Am щiльна в деякiй вiдкритiй непорожнiй множинi U , тобто
U ⊆ Am.
Розглянемо множину E = {x ∈ U : f(x) ∈ Y \ Vm}. Покажемо,
що множина E щiльна в U . Вiзьмемо довiльну вiдкриту множину U ′
в X, таку, що U ′ ⊆ U . Оскiльки множина Am щiльна в U , то iснує
точка x′ ∈ U ′ ∩ Am ⊆ D(f). З визначення множини Am i того, що
U ′ є околом точки x′ випливає, що iснує точка ux′ ∈ U ′, така, що
f(ux′) ∈ Y \ Vm. Таким чином, ux′ ∈ U ′ ∩ E.
З псевдоквазiнеперервностi вiдображення f випливає, що iснує
вiдкрита непорожня множина G в X, така, що G ⊆ U i
f(G) ⊆ f(E) ⊆ Y \ Vm = Y \ Vm.
Вiзьмемо довiльну точку a ∈ G∩Am. Оскiльки a ∈ Am, то f(a) ∈ Vn.
З iншого ж боку f(a) ∈ f(G) ⊆ Y \ Vm. Одержали суперечнiсть. Наше
припущення хибне, отже, множина D(f) першої категорiї.
Як наслiдок одержуємо наступний результат.
Теорема 2.2. Нехай X — берiвський простiр, простiр Y задоволь-
няє другу аксiому злiченностi i f : X → Y — псевдоквазiнеперервне
вiдображення. Тодi вiдображення f точково розривне.
Наслiдок 2.1. Нехай X — берiвський простiр, Y — метричний се-
парабельний простiр i f : X → Y — псевдоквазiнеперервна функцiя.
Тодi функцiя f клiкова.
Доведення. Оскiльки точково розривна функцiя є клiковою, то з те-
ореми 2.2 випливає, що функцiя f є клiковою.
246 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
В [6, приклад 2] показано, що умова беровостi простору X в на-
слiдку 2.1 є iстотною.
Позначимо через Q(f) множину точок квазiнеперервностi вiдоб-
раження f : X → Y . Зрозумiло, що Q(f) ⊇ C(f).
Наслiдок 2.2. Нехай X — топологiчний простiр, простiр Y задо-
вольняє другу аксiому злiченностi i f : X → Y — псевдоквазiнепе-
рервне вiдображення. Тодi множина X\Q(f) першої категорiї. Якщо
до того ж простiр X берiвський, то множина Q(f) всюди щiльна
в X.
Обернене твердження не вiрне.
Приклад 2.1. Нехай Q — множина рацiональних чисел. Визначимо
функцiю f : R→ R так:
f(x) =
{
1
n , x = m
n ∈ Q,
0, в iнших випадках.
Тодi C(f) = Q(f) = R \Q, але f не є псевдоквазiнеперервною.
Оскiльки функцiя з прикладу 2.1 є функцiєю першого класу Бера
(поточковою границею неперервних функцiй), то це означає, що не
кожна функцiя першого класу Бера є псевдоквазiнеперервною.
В [17, теорема 3.3] встановлено наступний результат.
Теорема 2.3. Нехай X i Y — топологiчнi простори, f : X → Y —
вiдображення i множина X \Q(f) нiде не щiльна в X. Тодi вiдобра-
ження f псевдоквазiнеперервне.
Обернене твердження не вiрне. Це слiдує з наступного прикладу,
який подано в [6, приклад 1].
Приклад 2.2. Нехай Q — множина рацiональних чисел. Визначимо
функцiю f : R→ R так:
f(x) =
{
x+ 1
n , x = m
n ∈ Q,
x, в iнших випадках.
Функцiя f є псевдоквазiнеперервною i R \Q(f) = R \ C(f) = Q.
Вiдображення f називається ледь неперервним у точцi x ∈ X [9],
якщо для кожного околу V точки f(x) в Y iснує вiдкрита непорожня
множина G в X, така, що f(G) ⊆ V . Позначимо через L(f) множину
точок ледь неперервностi вiдображення f .
В. В. Нестеренко 247
Теорема 2.4. Нехай X — берiвський простiр, простiр Y задоволь-
няє другу аксiому злiченностi i f : X → Y — псевдоквазiнеперервне
вiдображення. Тодi множина X \ L(f) нiде не щiльна в X.
Доведення. Припустимо, що множина E = X \ L(f) щiльна в деякiй
вiдкритiй непорожнiй множинi U в X. З теореми 2.2 випливає, що
множина C(f) теж щiльна в U . Тодi згiдно з псевдоквазiнеперервнi-
стю функцiї f маємо, що iснує вiдкрита непорожня в X множина G,
така, що G ⊆ U i f(G) ⊆ f(C(f)). Вiзьмемо довiльну точку x ∈ E∩G i
будь-який її вiдкритий окiл V в Y . Тодi V ∩f(C(f)) ̸= ∅. Отже, iснує
точка x0 ∈ C(f) та її окiл U0, такi, що f(x0) ∈ V i f(U0) ⊆ V . Це
суперечить тому, що вiдображення f не є ледь неперервним в точцi
x. Отже, припущення про десь щiльнiсть множини E є хибним.
Пiдмножина A простору X називається s-вiдкритою [1], якщо
A = U ∪ N , де U — вiдкрита множина в X, а множина N нiде не
щiльна. Ця умова рiвносильна тому, що intfr(A) = ∅, де fr(A) озна-
чає межу множини A. Вiдображення f : X → Y називається просто
неперервним [1], якщо для довiльної вiдкритої множини V в Y мно-
жина f−1(V ) = U ∪N є s-вiдкритою.
Наступний результат показує, що псевдоквазiнеперервнiсть та
проста неперервнiсть означають одну i ту ж властивiсть вiдображен-
ня. Цей результат встановлено в [17, теорема 3.2]. Через важливiсть
цього результата ми тут подамо його з доведенням.
Теорема 2.5. Нехай X i Y — топологiчнi простори. Вiдображення
f : X → Y буде псевдоквазiнеперервним тодi i тiльки тодi, коли
воно просто неперервне.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай вiдображення f псевдоквазiнеперервне,
але не є просто неперервним. Оскiльки вiдображення f не є просто
неперервним, то iснує вiдкрита непорожня множина V в Y , така, що
множина fr(f−1(V )) щiльна в деякiй вiдкритiй непорожнiй множинi
U в X. Тодi fr(f−1(V )) = fr(f−1(V )) ⊇ U . Оскiльки
fr(f−1(V )) = f−1(V ) ∩X \ f−1(V ),
то f−1(V ) ⊇ U i X \ f−1(V ) ⊇ U . З псевдоквазiнеперервностi f ви-
пливає, що iснує вiдкрита непорожня множина G вX, така, що G ⊆ U
i
f(G) ⊆ f(X \ f−1(V )) ⊆ Y \ V = Y \ V.
З iншого боку f(G) ∩ V ̸= ∅, бо f−1(V ) ⊇ U i G ⊆ U . Одержана
суперечнiсть завершує доведення необхiдностi.
248 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
Достатнiсть. Нехай вiдображення f просто неперервне, але не
є псевдоквазiнеперервним. Тодi iснує вiдкрита непорожня множина
U в X i щiльна в U множина E, така, що для довiльної вiдкритої
непорожньої множини G ⊆ U iснує точка xG ∈ G, така, що xG ̸∈ f(E).
Розглянемо вiдкриту множину V = Y \ f(E) i множину A = {xG :
G — вiдкрита множина, яка мiститься в G}. Тодi A ⊇ U i A∩E = ∅.
Оскiльки вiдображення f просто неперервне, то множина
fr(f−1(V )) = f−1(V ) ∩X \ f−1(V )
нiде не щiльна. Однак f−1(V ) ⊇ A i тому f−1(V ) ⊇ A ⊇ U . Крiм того,
X \ f−1(V ) ⊇ E i X \ f−1(V ) ⊇ E ⊇ U . Отже, fr(f−1(V )) ⊇ U ̸= ∅,
що неможливо, бо множина fr(f−1(V )) нiде не щiльна. Отже припу-
щення не вiрне.
Теорема 2.6. Якщо функцiя f : R → R має замкнений графiк, то
вона псевдоквазiнеперервна.
Доведення. Добре вiдомо [2], що множина D(f) нiде не щiльна. Тодi
згiдно з теоремою 2.3 функцiя f є псевдоквазiнеперервною.
Теорема 2.7. Iснує монотонна функцiя h : R→ R, яка не є псевдо-
квазiнеперервною.
Доведення. Покладемо Q = {rn : n ∈ N}. Розглянемо функцiї f, g, h :
R→ R, якi визначенi так:
f(x) =
∑
rn≤x
2−n,
g(x) =
{
2−n−1, x = rn ∈ Q,
0, x ̸∈ Q.
i h(x) = f(x) − g(x), x ∈ R. В [10] показано, що функцiя f монотон-
но зростає i неперервна справа (отже, квазiнеперервна). Функцiю h
можна записати так:
h(x) =
∑
rm<x
2−m + 2−n−1, x = rn ∈ Q,∑
rm<x
2−m, x ̸∈ Q.
Функцiя h строго зростає i при цьому вона не є квазiнеперервною
в кожнiй точцi з Q. Розглянемо вiдкриту множину
V =
∪
n=1
( ∑
rk<rn
2−k,
∑
rk≤rn
2−k
)
.
Тодi множина h−1(V ) = Q не є s-вiдкритою. Отже, h не є псевдоква-
зiнеперервною.
В. В. Нестеренко 249
3. Декомпозицiя неперервностi
Пiд декомпозицiєю неперервностi розумiють теореми, в яких вста-
новлюється неперервнiсть функцiї при виконаннi кiлькох iнших умов.
Вiдображення f : X → Y називається майже неперервним в то-
чцi x ∈ X [11], якщо для будь-якого околу V точки y = f(x) в Y iснує
множина A в X, така, що A — окiл точки x в X i f(A) ⊆ V . Якщо
вiдображення майже неперервне в кожнiй точцi, то воно називається
майже неперервним.
Теорема 3.1. Нехай X — топологiчний простiр, Y — регулярний
простiр. Тодi вiдображення f : X → Y неперервне тодi i тiльки
тодi, коли f майже неперервне i псевдоквазiнеперервне.
Доведення. Необхiднiсть очевидна. Доведемо достатнiсть. Будемо
мiркувати вiд супротивного. Нехай вiдображення f не є неперерв-
ним в деякiй точцi x0 ∈ X. Оскiльки простiр Y регулярний, то iснує
замкнений окiл V0 точки f(x0) в Y , такий, що для довiльного околу U
точки x0 в X маємо, що f(U) ̸⊆ V0. Оскiльки вiдображення f майже
неперервне в точцi x0, то iснують окiл U0 точки x0 в X i щiльна в U0
множина A0, такi, що f(A0) ⊆ V0. З розривностi вiдображення f в
точцi x0 випливає, що iснує точка x1 ∈ U0, така, що f(x1) ̸∈ V0, тобто
f(x1) ∈ Y \V0. Оскiльки вiдображення f майже неперервне в точцi x1
i множина Y \V0 є околом точки f(x1), то iснує множина A1, така, що
x1 ∈ intA1, A1 ⊆ U0 i f(A1) ⊆ Y \ V0. Скористаємося псевдоквазiне-
перервнiстю вiдображення f . Оскiльки intA1 ⊆ A, то iснує вiдкрита
непорожня множина G ⊆ intA1 ∩A, така, що f(G) ⊆ f(A) ⊆ V0 ⊆ V0.
Оскiльки G ⊆ intA1, то iснує точка a ∈ G ∩ A1. З того, що a ∈ A1
випливає, що f(a) ∈ Y \ V0. Оскiльки f(G) ⊆ V0, то одержуємо супе-
речнiсть. Отже, вiдображення f неперервне.
Вiдображення f називається майже квазiнеперервним у точцi
x ∈ X [5], якщо для кожного околу V точки y = f(x) в Y i для
кожного околу U точки x в X iснує множина A в X, така, що A ⊆ U ,
intA ̸= ∅ i f(A) ⊆ V , i просто майже квазiнеперервним, якщо воно
є таким у кожнiй точцi.
Теорема 3.2. Нехай X i Y — топологiчнi простори. Вiдображен-
ня f : X → Y квазiнеперервне тодi i тiльки тодi, коли f майже
квазiнеперервне i псевдоквазiнеперервне.
Доведення. Необхiднiсть випливає з теореми 1.1 i очевидного факту
про те, що квазiнеперервне вiдображення є майже квазiнеперервним.
250 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
Встановимо достатнiсть. Розглянемо довiльну точку x ∈ X, довiль-
ний окiл U точки x та довiльний вiдкритий окiл V точки f(x) в про-
сторi Y . Оскiльки вiдображення f майже квазiнеперервне в точцi x,
то iснує множина A в X, така, що A ⊆ U , intA ̸= ∅ i f(A) ⊆ V .
Покладемо U0 = intA. Зрозумiло, що U0 ⊆ U .
Покажемо, що iснує вiдкрита непорожня множина G в X, така,
що G ⊆ U0 i f(G) ⊆ V . Нехай це не так. Тодi iснує щiльна в U0 мно-
жина E, така, що f(E) ⊆ Y \ V . Згiдно з псевдоквазiнеперервнiстю
вiдображення f iснує вiдкрита непорожня множина G0 в X, така, що
G0 ⊆ E i f(G0) ⊆ f(E). Тодi
f(G0) ⊆ f(E) ⊆ Y \ V = Y \ V.
Однак G0 ∩ A ̸= ∅ i тому iснує точка a ∈ G0 ∩ A. Тодi з одного
боку f(a) ∈ V , бо a ∈ A, а з iншого боку f(a) ∈ Y \ V , бо a ∈ G0.
Одержали суперечнiсть. Отже, iснує вiдкрита непорожня множина G
в X, така, що G ⊆ U0 ⊆ U i f(G) ⊆ V . Це означає, що вiдображення
f квазiнеперервне в точцi x.
4. Арифмитичнi i ґратковi операцiї та
збiжнiсть псевдоквазiнеперервних функцiй
Сума двох псевдоквазiнеперервних функцiй не зобов’язана бути
псевдоквазiнеперервною (див. [4, лема 2]. Бiльше того, сума неперерв-
ної i псевдоквазiнеперервної функцiї може не бути псевдоквазiнепе-
рервною. Це демонструє наступний приклад.
Приклад 4.1. Нехай Q — множина рацiональних чисел. Розглянемо
двi функцiї f, g : R → R, якi визначаються так: g(x) = −x для всiх
x ∈ R, а
f(x) =
{
x+ 1
n , x = m
n ∈ Q,
x, в iнших випадках.
Функцiя g неперервна, а тому псевдоквазiнеперервна. З прикладу 2.2
випливає, що i функцiя f теж псевдоквазiнеперервна. Однак, фун-
кцiя h = f + g не є псевдоквазiнеперервна (див. приклад 2.1).
Добуток двох псевдоквазiнеперервних функцiй не зобовязаний бу-
ти псевдоквазiнеперервною функцiєю (див. [4, лема 3]).
В [3, теорема 1] встановлено, що максимум та мiнiмум псевдоква-
зiнеперервних функцiй з R в R є псевдоквазiнеперервними.
Теорема 4.1. Нехай простiр X задовольняє наступну умову:
В. В. Нестеренко 251
(⋆) якщо (Xn) покриття простору X, таке, що для M ⊆ N мно-
жина
∪
n∈M Xn є s-вiдкритою i G — вiдкрита непорожня пiд-
множина X, то G ∩ intXn ̸= ∅ для деякого n ∈ N.
Тодi max(f, g) i min(f, g) є псевдоквазiнеперервними функцiями для
довiльних псевдоквазiнеперервних функцiй f, g : X → R.
В [8, теорема 1] встановлено, що для досконалого берiвського про-
сторуX i сепарабельного метричного простору Y кожна клiкова фун-
кцiя f : X → Y є рiвномiрною границею послiдовностi псевдоквазi-
неперервних функцiй. Оскiльки функцiя з прикладу 2.1 є клiковою,
то звiдси випливає, що рiвномiрна границя послiдовностi псевдоква-
зiнеперервних функцiй не зобов’язана бути псевдоквазiнеперервною.
5. Композицiя та обернене вiдображення
Теорема 5.1. Нехай X, Y i Z — топологiчнi простори, вiдображен-
ня f : Y → Z неперервне i вiдображення g : X → Y псевдоквазiнепе-
рервне. Тодi вiдображення h = f ◦ g : X → Z псевдоквазiнеперервне.
Доведення. Розглянемо довiльну вiдкриту множину W в Z. Оскiль-
ки вiдображення f неперервне, то множина f−1(W ) вiдкрита в Y .
З псевдоквазiнеперервностi вiдображення g випливає, що множина
h−1(W ) = g−1(f−1(W )) є s-вiдкритою. Отже, згiдно з теоремою 2.5
вiдображення h псевдоквазiнеперервне.
Теорема 5.2. Нехай X i Y — топологiчнi простори, причому про-
стiр X локально зв’язний, вiдображення f : R → Y псевдоквазiне-
перервне i вiдображення g : X → R неперервне. Тодi вiдображення
h = f ◦ g : X → Y псевдоквазiнеперервне.
Доведення. Розглянемо довiльну вiдкриту множину W в Y . Оскiльки
вiдображення f псевдоквазiнеперервне, то f−1(W ) = V ∪N , де мно-
жина V вiдкрита в R, а множина N нiде не щiльна в R. Розглянемо
множину g−1(V ∪N). Тодi g−1(V ∪N) = g−1(V ) ∪ g−1(N). Оскiльки
вiдображення g неперервне, то U = g−1(V ) — вiдкрита множина.
Покажемо, що g−1(N) = U1 ∪M , де множина U1 вiдкрита в X,
а множина M нiде не щiльна в X. Припустимо, що це не так. Тодi
iснують вiдкрита непорожня множина G в X та щiльнi в G множини
A1 i A2, такi, що g(A1) ⊆ N i g(A1) ⊆ R \ N . Оскiльки множина N
нiде не щiльна, то i множина N теж нiде не щiльна. З неперерв-
ностi вiдображення g випливає, що g−1(N) — замкнена множина,
i тому g−1(N) ⊇ G. Вiзьмемо довiльну вiдкриту зв’язну множину
O в X, таку, що O ⊆ G. Оскiльки при неперервному вiдображеннi
252 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
образ зв’язної множини є зв’язна множина, то множина g(O) зв’я-
зна i g(O) ⊆ N . З того, що множина N нiде не щiльна в R i мi-
стить зв’язну пiдмножину випливає, що iснує така точка b ∈ N , що
g(O) = {b}. Оскiльки O ⊆ G, то множини A1 i A2 щiльнi i в O. Тодi
{b} = g(O∩A1) ⊆ N i {b} = g(O∩A2) ⊆ R\N . Одержали суперечнiсть
з припущенням. Отже, g−1(N) = U1 ∪M , де множина U1 вiдкрита в
X, а множина M нiде не щiльна в X.
Тодi
h−1(W ) = g−1(f−1(W )) = g−1(V ∪N) = g−1(V )∪g−1(N) = U∪U1∪M,
де U,U1 — вiдкритi множини в X, а M — нiде не щiльна в X. Отже,
вiдображення h псевдоквазiнеперервне.
В [10] наведено приклад квазiнеперервної бiєкцiї f : R → R, для
якої функцiя f−1 не має властивостi Бера. Як вiдомо кожна клiкова
функцiя з R в R (а отже, i кожна псевдоквазiнеперервна функцiя)
має властивiсть Бера. Тому згаданий приклад з [10] показує, що для
псевдоквазiнеперервної бiєкцiї f : R→ R обернена функцiя f−1 не зо-
бов’язана бути псевдоквазiнеперервною. Крiм того, в [10] було вста-
новлено умови для бiєкцiї f : X → Y , при яких функцiї f i f−1 є
клiковими. Такий же результат має мiсце для псевдоквазiнеперерв-
ностi.
Теорема 5.3. Нехай X i Y — топологiчнi простори, f : X → Y —
бiєкцiя, f i f−1 — ледь неперервнi вiдображення. Тодi вiдображення
f i f−1 псевдоквазiнеперервнi.
Доведення. Покажемо, що вiдображення f псевдоквазiнеперервне.
Припустимо, що це не так. Тодi iснує iснують вiдкрита непорожня
множина U в X та щiльнi в U множини A1 i A2, такi, що f(A2) ⊆ Y \
f(A1). Оскiльки вiдображення f−1 ледь неперервне, то V =int f(U) ̸=
∅. Можливi двi альтернативи: або (Y \f(A1))∩V ̸= ∅, або V ⊆ f(A1).
Припустимо спочатку, що V1 = (Y \ f(A1)) ∩ V . Оскiльки вiд-
ображення f ледь неперервне, то G = intf−1(V1) ̸= ∅. Крiм то-
го, G ⊆ U . Оскiльки A1 ⊇ U , то A1 ⊇ G. Вiзьмемо довiльну то-
чку a ∈ A1 ∩ G. Тодi з одного боку f(a) ∈ f(A1), а з iншого боку
f(a) ⊆ f(G) ⊆ (Y \ f(A1))∩V i тому f(a) ̸∈ f(A1). Одержали супере-
чнiсть.
Нехай тепер V ⊆ f(A1). Оскiльки вiдображення f ледь неперерв-
не, то G = int f−1(V ) ̸= ∅. Крiм того, G ⊆ U . Оскiльки A2 ⊇ U , то
A2 ⊇ G. Вiзьмемо довiльну точку a ∈ A2 ∩ G. Тодi з одного боку
f(a) ∈ f(A2) ⊆ Y \ f(A1), а з iншого боку f(a) ⊆ f(G) ⊆ V ⊆ f(A1).
Одержали суперечнiсть.
В. В. Нестеренко 253
6. Нарiзнi та сукупнi властивостi
В цьому пунктi ми уточнимо результати з [17, теореми 5.1 i 5.2].
Нехай A — деяка система десь щiльних множин в X×Y . Вiдобра-
ження f : X × Y → Z називається A-псевдоквазiнеперервним, якщо
для довiльної множини A ∈ A iснують вiдкритi непорожнi множини
U в X та V в Y , такi, що G × H ⊆ A i f(G × H) ⊆ f(A). Якщо
A = {A ⊆ X × Y : intA ̸= ∅}, то A-псевдоквазiнеперервнiсть означає
звичайну псевдоквазiнеперервнiсть вiдображення вiд двох змiнних.
Нехай M — множина другої категорiї в X i V — вiдкрита непоро-
жня множина в Y . Нехай для кожного x ∈M iснує множина Bx ⊆ Y ,
така, що V ⊆ Bx. Розглянемо множину A =
∪
x∈M ({x} × Bx). Через
M позначимо систему таких пiдмножин A.
Теорема 6.1. Нехай X та Y — берiвськi простори, причому про-
стiр Y має злiченну псевдобазу i Z — сепарабельний метризовний
простiр. Вiдображення f : X × Y → Z псевдоквазiнеперервне тодi i
тiльки тодi, коли воно є M-псевдоквазiнеперервним.
Доведення. Ми будемо використовувати теорему 2.5. Оскiльки про-
стiр Z метризовний сепарабельний, то вiн регулярний i задовольняє
другу аксiому злiченностi. Нехай {Vn : n ∈ N} — псевдобаза простору
Y , {Wk : k ∈ N} — база простору Z.
Доведення необхiдностi є очевидним враховуючи той факт, що
множина
∪
x∈M ({x} ×Bx) щiльна в intM × V .
Достатнiсть будемо доводити методом вiд супротивного. Нехай
вiдображення f не є сукупно псевдоквазiнеперервним. Тодi iснують
вiдкритi непорожнi множини U i V та множина E ⊆ X × Y щiльна в
U × V , такi, що для довiльних вiдкритих непорожнiх множин G в X
та H в Y , таких, що G×H ⊆ U × V маємо, що f(G×H) ̸⊆ f(E).
Розглянемо множину
A = {x ∈ U : (∃Bx ⊆ V, V \Bx — першої категорiї)
(∀y ∈ Bx)(f(x, y) ̸∈ f(E))}
i покажемо, що вона другої категорiї. Припустимо, що це не так, нехай
множина в A першої категорiї. Тодi U \A — множина другої категорiї,
бо простiр X берiвський. Для кожного n ∈ N розглянемо множини
An = {x ∈ U \A : (∃Dx ⊆ V,Dx ⊇ Vn)(∀y ∈ Dx)(f(x, y) ∈ f(E))}.
Зрозумiло, що
∪∞
n=1An ⊇ U \ A. Оскiльки множина U \ A другої ка-
тегорiї, то iснує номер k, такий, що множина Ak другої категорiї. З
254 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
M-псевдоквазiнеперервностi випливає, що iснують вiдкритi непоро-
жнi множини G в X та H в Y , такi, що
G×H ⊆ intAk × Vk ⊆ U × V
i
f(G×H) ⊆ f
( ∪
x∈Ak
({x} ×Dx)
)
⊆ f(E) = f(E).
Одержали суперечнiсть. Отже, множина A другої категорiї.
Оскiльки простiр Y берiвський, то для кожного x ∈ A множинаBx
другої категорiї. Для кожного x ∈ A iснують номери nx i mx, такi, що
для кожного y ∈ Bx∩Vnx маємо, що f(x, y) ∈Wmx i Wmx ∩ f(E) = ∅.
Розглянемо множини
An,m = {x ∈ A : nx = n,mx = m}.
Зрозумiло, що A =
∪∞
m,n=1An,m. Оскiльки множина A другої кате-
горiї, то iснують номери n0 та m0, такi, що множина An0,m0 другої
категорiї.
Тепер знову скориставшись M-псевдоквазiнеперервнiстю маємо,
що iснують вiдкритi непорожнi множини G в X та H в Y , такi, що
G×H ⊆ intAn0,m0 × Vn0 ⊆ U × V
i
f(G×H) ⊆ f
( ∪
x∈An0,m0
({x} × (Bx ∩ Vn0))
)
.
Тому
f(G×H) ⊆ f
( ∪
x∈An0,m0
({x} × (Bx ∩ Vn0))
)
⊆Wm0 .
Оскiльки Wm0∩f(E) = ∅, то f(G×H)∩f(E) = ∅. Але це суперечить
тому, що E щiльна в U × V . Отже, наше припущення не вiрне i тому
вiдображення f псевдоквазiнеперервне.
Нехай B = {A× V : intA ̸= ∅, V = intV ̸= ∅} — система пiдмно-
жин в X × Y .
Теорема 6.2. Нехай X та Y — берiвськi простори, причому про-
стiр Y має злiченну псевдобазу i Z — сепарабельний метризовний
простiр, вiдображення f : X × Y → Z є B-псевдоквазiнеперервним i
E = {x ∈ X : fx — псевдоквазiнеперервне} — залишкова множина в
X. Тодi вiдображення f псевдоквазiнеперервне.
В. В. Нестеренко 255
Доведення. Скористаємося теоремою 6.1. Вiзьмемо довiльнi вiдкритi
непорожнi множини U в X та V в Y , довiльну множину M другої
категорiї в X, таку, що M ⊆ U i для кожної точки x ∈M розглянемо
множини Bx в Y , такi, що V ⊆ Bx. Нехай {Vn : n ∈ N} — псевдобаза
простору Y . Для кожного n ∈ N розглянемо множини
An = {x ∈M ∩E : fx(Vn) ⊆ fx(Bx)}.
Зауважимо, що множинаM∩E другої категорiї. Оскiльки для кожної
точки x ∈ M вiдображення fx псевдоквазiнеперервне, то
∪∞
n=1An =
M ∩E. З того що множина M ∩E другої категорiї випливає, що iснує
номер m такий, що множина Am десь щiльна. Нехай множина Am
щiльна в деякiй вiдкритiй непорожнiй множинi U0, тобто U0 ⊆ Am. З
B-псевдоквазiнеперервностi випливає, що iснують вiдкритi непорожнi
множини G в X та H в Y , такi, що G ×H ⊆ U0 × Vm i f(G ×H) ⊆
f(Am × Vm). Тодi G×H ⊆ U0 × Vm ⊆ U × V i
f(G×H) ⊆ f(Am × Vm) ⊆ f
( ∪
x∈Am
({x} × Vm)
)
=
∪
x∈Am
f({x} × Vm)
=
∪
x∈Am
fx(Vm) ⊆
∪
x∈Am
fx(Bx) ⊆
∪
x∈Am
fx(Bx) =
∪
x∈Am
fx(Bx)
= f
( ∪
x∈Am
({x} ×Bx)
)
⊆ f
( ∪
x∈M
({x} ×Bx)
)
.
Тодi згiдно з теоремою 6.1 вiдображення f псевдоквазiнеперервне за
сукупнiстю змiнних.
Лiтература
[1] N. Biswas, On some mappings in topological spaces // Bull. Cal. Math. Soc., 61
(1969), 127–135.
[2] J. Doboš, On the set of points of discontinuity for functions with closed graphs //
Čas. Pěst. Mat., 110 (1985), 60–68.
[3] J. Borśik, Maxima and minima of simply continuous and quasicontinuous functi-
ons // Math. Slovaca, 46 (1996), 261–268.
[4] J. Borśik, Products of simply continuous and quasicontinuous functions // Math.
Slovaca, 45 (1995), 445–452.
[5] J. Borśik, J. Doboš, On decomposition of quasicontinuity // Real Anal. Exch., 16
(1991), 292–305.
[6] J. Borśik, J. Doboš, On simple continuity points // Real Anal. Exch., 16 (1991),
No. 2, 552–558.
[7] W. W. Bledsoe, Neighbourly functions // Proc. Amer. Math. Soc., 3 (1952), 114–
115.
256 Властивостi псевдоквазiнеперервностi
[8] J. Ewert, Note on limits of simply continuous and cliquish functions // Internat.
J. Math. Math. Sci., 17 (1994), 447–450.
[9] Z. Frolik, Remarks concerning the invariance of Baire spaces under mappings //
Czech. Math. J. II, 86 (1961), 38–385.
[10] Z. Grande, T. Natkaniec, On quasi-continuous bijections // Acta Math. Univ.
Comenianae, 60 (1991), No. 1, 31–34.
[11] T. Husain, Almost continuous mappings // Prace Math., 10 (1966), 1–7.
[12] S. Kempisty, Sur les fonctions quasicontinues // Fund. Math., 19 (1932), 184–
197.
[13] N. Levine, Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces // Amer.
Math. Monthly, 70 (1963), 36–43.
[14] S. Marcus, Sur les fonctions quasicontinues an sens de S. Kempisty // Colloq.
Math., 8 (1961), 47–53.
[15] V. K. Maslyuchenko, V.V. Nesterenko, A new generalization of Calbrix-Troallic’s
theorem // Topology Appl., 164 (2014), 162–169.
[16] A. Neubrunnová, On certain generalizations of the notion of continuity // Mat.
Cas., 23 (1973), No. 4, 374–380.
[17] V. Nesterenko, Separate and joint properties of some analogues of pointwise di-
scontinuity // Tatra Mt. Math. Publ., 58 (2014), 155–167.
[18] H. P. Thielman, Types of functions // Amer. Math. Monthly, 60 (1953), 156–161.
[19] В. К. Маслюченко, Нарiзно неперервнi вiдображення i простори Кете:
дис. ... докт. фiз.-мат. наук: 01.01.01, Чернiвцi, 1999, 345 с.
Вiдомостi про авторiв
Василь В.
Нестеренко
Чернiвецький нацiональний унiверситет
iменi Юрiя Федьковича
E-Mail: math.analysis.chnu@gmail.com
|