Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых
В данной работе изучаются вопросы приближения матричнозначными многочленами в пространствах Lp(M), p ∊ (0,∞), на жордановых кривых. In this work questions of approximation by matrix-valued polynomials in spaces Lp(M), p ∈ (0,∞), on Jordan curves are studied....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124507 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых / Л. Клёц, С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 1-20. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859480468497367040 |
|---|---|
| author | Клёц, Л. Загороднюк, С.М. |
| author_facet | Клёц, Л. Загороднюк, С.М. |
| citation_txt | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых / Л. Клёц, С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 1-20. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В данной работе изучаются вопросы приближения матричнозначными многочленами в пространствах Lp(M), p ∊ (0,∞), на жордановых кривых.
In this work questions of approximation by matrix-valued polynomials in
spaces Lp(M), p ∈ (0,∞), on Jordan curves are studied.
|
| first_indexed | 2025-11-24T12:26:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 1, 1 – 20
Приближение в среднем матричнозначными
многочленами на спрямляемых кривых
Люц Клёц, Сергей М. Загороднюк
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В данной работе изучаются вопросы приближения ма-
тричнозначными многочленами в пространствах Lp(M), p ∈ (0,∞),
на жордановых кривых. Для мер M полного ранга получены необ-
ходимые и достаточные условия плотности замыкания L
p
0
(M) мно-
жества матричных многочленов в Lp(M). Показано, что равенство
L
p
0
(M) = Lp(M) не зависит от сингулярной части меры M . При
L
p
0
(M) 6= Lp(M) для мер полного ранга решена задача описания про-
странства L
p
0
(M). Введено понятие линейно регулярного пространст-
ва Lp(M) и получены достаточные условия линейной регулярности
Lp(M). Показано, что для незамкнутой кривой Жордана, которая
может быть и не спрямляемой, равенство L
p
0
(M) = Lp(M) всегда
имеет место.
2000 MSC. 41A10, 30E10, 60-99.
Ключевые слова и фразы. Аппроксимация многочленами, жор-
данова кривая.
Введение
Пусть Γ есть замкнутая спрямляемая кривая Жордана в компле-
ксной плоскости и L(Γ) — σ-алгебра ее борелевских подмножеств.
Посредством Cn×n будем обозначать алгебру всех n × n-матриц с
комплексными элементами, а C
≥
n×n — конус всех неотрицательно-
определенных эрмитовых матриц из Cn×n, n ∈ N. Для C
≥
n×n-значной
меры M на L(Γ) можно ввести пространство Lp(M), p ∈ (0,∞)
всех измеримых Cn×n-значных функций (точнее, классов эквивален-
тности таких функций), которые p-интегрируемы относительно M ,
см. [1, 2], а также [3]. Насколько нам известно, для p = 2 впервые
пространства такого типа были введены И. С. Кацем [4] в связи со
спектральной теорией самосопряженных операторов. В том случае,
Статья поступила в редакцию 22.03.2006
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
2 Приближение в среднем...
когда Γ есть единичная окружность T := {z ∈ C : |z| = 1}, пространс-
тва L2(M) оказались очень полезными в качестве спектральных про-
странств n-мерных слабо стационарных последовательностей, см., на-
пример, [5] и [6]. При этом возникала задача описания подпространс-
тва L2
0(M), которое есть замыкание множества Pn×n всех Cn×n-знач-
ных многочленов в L2(M). В частности, интересуются вопросом, для
каких мер M имеет место равенство L2
0(M) = L2(M). Существует
обширная литература, посвященная подобным проблемам, причем
большинство результатов было получено уже в 1950-ые и 1960-ые
годы, см. [5, 7].
Для скалярного случая, т.е. при n = 1, следует упомянуть класси-
ческие теоремы Г. Сегё, А. Н. Колмогорова и М. Г. Крейна, которые
относятся к вопросам полноты многочленов в Lp(M) на окружности
для любого p ∈ (0,∞), см., например, [8, стр. 296–299]. Результаты
этих трех авторов были перенесены на случай замкнутой спрямляе-
мой кривой Жордана Я. Л. Геронимусом [9] для p ∈ [1,∞) и Г. Ц. Ту-
маркиным [10] для p ∈ (0,∞). При этом Я. Л. Геронимус использовал
теорию пространств Харди для произвольных областей, а Г. Ц. Ту-
маркин получил свои теоремы более прямым путем, используя со-
ответствующие результаты для единичной окружности и применяя
конформное отображение.
В матричном случае вопросы полноты матричных многочленов в
Lp(M) на единичной окружности для любого p ∈ (0,∞) изучались
в [11].
Настоящая работа посвящена некоторым задачам в пространс-
твах Lp(M) для любых n ∈ N, p ∈ (0,∞) и замкнутых спрямля-
емых кривых Жордана Γ. Параграфы 1–3 носят вспомогательный
характер. Для удобства читателя, в первом параграфе мы напомним
некоторые теоремы о Cn×n-значных внешних функциях, а во вто-
ром параграфе приведем некоторые результаты из теории конформ-
ных отображений. В третьем параграфе приводятся основные фа-
кты о пространствах Lp(M). Четвертый параграф посвящен вопро-
су плотности множества Pn×n в Lp(M). Мы покажем, что равенство
Lp0(M) = Lp(M) не зависит от сингулярной части меры M . В том
случае, когда M есть мера полного ранга, т.е., когда определитель
производной Радона–Никодима абсолютно непрерывной части меры
M не равняется нулю п.в., мы получим необходимое и достаточное
условие плотности Pn×n.
При Lp0(M) 6= Lp(M) возникает задача описания подпространства
Lp0(M). Для мер полного ранга она решается в пятом параграфе.
В шестом параграфе мы вкратце обсудим плотность множеств
вида JκPn×n, здесь κ ∈ Z, а J есть функция J(ζ) := ζIn, где ζ ∈ Γ,
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 3
In — единичная матрица n-го порядка.
По аналогии с понятием линейной регулярности слабо стационар-
ной случайной последовательности можно ввести понятие линейно
регулярного пространства Lp(M). Седьмой параграф содержит до-
статочные условия линейной регулярности пространства Lp(M).
В заключительном восьмом параграфе устанавливается, что для
незамкнутой кривой Жордана, которая может быть и не спрямляе-
мой, равенство Lp0(M) = Lp(M) всегда имеет место.
Обозначения. Посредством C,R,Z и N обозначаем, соответ-
ственно, множества комплексных, вещественных, целых и натураль-
ных чисел, N0 := N ∪ {0}. Помимо появившихся выше обозначений,
следует указать на следующее. Любой нулевой элемент обозначае-
тся 0. Всюду в работе n обозначает некоторое натуральное число.
Для X ∈ Cn×n обозначаем X∗,detX, trX соответственно сопряжен-
ную матрицу, определитель и след матрицы. Если X - обратима, то
X−1 — обратная матрица. Если X ∈ C
≥
n×n и r ∈ (0,∞), то Xr есть ма-
трица, определяемая функциональным исчислением для эрмитовых
матриц. In будет обозначать как единичную матрицу порядка n, так
и постоянную функцию с таким значением; D := {z ∈ C : |z| < 1}.
1. Пространства Харди
Теория пространств Харди над D для скалярных функций изло-
жена, например, в книгах [12–14], перенесение на матричнозначные
или даже операторнозначные функции можно найти, например, в
[15, 16]. Пространство Харди из Cn×n-значных функций обозначим
Hp
n×n, p ∈ (0,∞], при этом для простоты пишем Hp
1×1 =: Hp. Банахо-
во пространство всех Cn×n-значных функций, аналитических на D и
непрерывных на D∪T будем обозначать An×n. Множество Pn×n обра-
зует плотное подмножество в An×n. Класс Смирнова Cn×n-значных
функций обозначим Dn×n. В обозначениях всех этих множеств фун-
кций мы будем опускать индексы при n = 1. Напомним, что класс
Dn×n состоит из всех функций вида ρ−1Φ, где Φ ∈ H∞
n×n, а ρ - внешняя
функция из H∞, см., например, теорему C в [15, стр. 78]. При этом C-
значная аналитическая функция ρ на D называется внешней, если она
допускает представление ρ(w) = eiα exp( 1
2πi
∫
T
z+w
z−w
ln g(z) dz), w ∈ D,
где α ∈ R и g — неотрицательная измеримая функция на T такая,
что ln g суммируем по мере Лебега λ на T. Из этого представления
непосредственно следует, что ρ не имеет нулей, ρ−1 — внешняя, а
произведение двух внешних функций есть внешняя функция. Следо-
вательно, произведение двух функций из Dn×n принадлежит Dn×n.
4 Приближение в среднем...
Отметим еще, что мы будем отождествлять, как это принято, фун-
кцию из Dn×n с ее граничной функцией на T.
Аналитическую Cn×n-значную функцию Φ на D назовем функци-
ей полного ранга, если det Φ(w) отличен от нуля хотя бы для одной
точки w ∈ D. Пусть Φ ∈ H∞
n×n есть функция полного ранга. Она
называется внешней функцией, если ΦH2
n×n плотно в H2
n×n, см. опре-
деление A(ii) в [15, стр. 94]. Поскольку такое условие эквивалентно
тому, что множество {ΦQ, Q ∈ Pn×n} плотно в H2
n×n, то применяя
теорему о внешних функциях [17, стр. 38] непосредственно получаем
следующий результат:
Лемма 1.1. Пусть Φ ∈ H∞
n×n есть функция полного ранга. Тогда
Φ — внешняя функция тогда и только тогда, когда det Φ — внешняя.
Пусть Φ есть Cn×n-значная аналитическая функция полного ран-
га. Она называется внешней функцией, если существует внешняя
функция ρ ∈ H∞ такая, что ρΦ ∈ H∞
n×n и ρΦ — внешняя, см. опре-
деление B в [15, стр. 94]. Из этого определения видно, что каждая
внешняя функция принадлежит классу Dn×n. Кроме того, оказыва-
ется, что при n = 1 определение совпадает с определением внешней
функции, данным выше для скалярных функций, см. теорему A в [15,
стр. 95].
Лемма 1.2. Если Φ есть Cn×n-значная внешняя функция полного
ранга, то Φ−1 — внешняя.
Доказательство. Пусть ρ ∈ H∞ такая внешняя функция, что ρΦ ∈
H∞
n×n есть внешняя. Тогда согласно леммы 1.1 функция det(ρΦ) —
внешняя, следовательно (det(ρΦ))−1 = det(ρΦ)−1 = ρ−n det Φ−1 —
внешняя и detΦ−1 = ρn(det(ρΦ))−1 — также внешняя. Вновь исполь-
зуя лемму 1.1 получаем, что Φ−1 — внешняя функция.
2. Замкнутая спрямляемая кривая Жордана
Пусть Γ есть замкнутая спрямляемая кривая Жордана в C. По
теореме Жордана она разделяет C\Γ на ограниченную (внутреннюю)
область ∆ и неограниченную (внешнюю) область. Пусть ϕ есть не-
которое конформное отображение D на ∆. По теореме Каратеодори
существует единственное непрерывное продолжение ϕ на D ∪ T, ко-
торое отображает D ∪ T взаимно-однозначно и взаимно-непрерывно
на ∆ ∪ Γ. Это продолжение, как и любое его сужение на некоторое
подмножество множества D ∪ T, обозначим также ϕ. Обратное к ϕ
отображение обозначим ψ. Функция ϕ имеет следующее свойство,
см., например, теорему 3.12 в [13, стр. 44]:
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 5
Лемма 2.1. Производная ϕ′ функции ϕ принадлежит пространст-
ву H1.
Внутренняя часть функции ϕ ∈ A зависит от взаимного располо-
жения точки 0 и кривой Γ и может быть описана явно.
Лемма 2.2. Если 0 ∈ C\∆, то ϕ есть внешняя функция. Если 0 ∈
∆, то внутренняя часть ϕi функции ϕ равна множителю Бляшке
вида
ϕi(z) =
z∗0
|z0|
z0 − z
1 − z∗0z
, z ∈ D, (2.1)
где z0 — некоторая точка из D.
Доказательство. Если 0 ∈ C\(∆ ∪ Γ), то ϕ−1 ∈ A, из чего следует,
что ϕ является внешней функцией, см., например, упражнение 12(a)
главы 5 в [14]. Если 0 ∈ ∆, то существует единственная точка z0 ∈ D
такая, что ϕ(z0) = 0. Отщепляя соответствующий множитель Бля-
шке, имеем ϕ = ϕiϕo, где ϕi имеет вид (2.1). Из рассуждений, анало-
гичных вышеприведенным, заключаем, что ϕo — внешняя функция.
Предположим, что 0 ∈ Γ и ϕ не является внешней функцией.
Тогда ϕi — обязательно сингулярная внутренняя функция. Но по-
скольку ϕ есть однолистная функция, то у нее нет нетривиальной
сингулярной внутренней части, см., например, [13, Теорема 3.17]. По-
лученное противоречие показывает, что ϕ является внешней функци-
ей.
Пусть γ есть мера длины дуги на L(Γ), а λ — мера длины дуги
на L(T). Для какой-то, вообще говоря, векторнозначной меры µ на
L(Γ) обозначим через ψµ ее образ при отображении ψ, т.е. (ψµ)(B) :=
µ(ϕ(B)), B ∈ L(T). Аналогично определяется ϕν для меры ν на L(T).
Следующий результат можно найти, например, в [12, стр. 179].
Лемма 2.3. Меры ϕλ и γ, как и меры λ и ψγ, эквивалентны.
Используя интегральную формулу для длины пути, можно легко
доказать, что производная Радона–Никодима d(ψγ)
dλ
равняется
d(ψγ)
dλ
= |ϕ′| λ-п.в. (2.2)
3. Пространства L
p(M)
Пустьm,n ∈ N, Cm×n — линейное пространство всехm×n-матриц
с элементами из C, ‖ · ‖ — некоторая норма в Cm×n. Пусть M есть
6 Приближение в среднем...
C
≥
n×n-значная мера на L(Γ). Она абсолютно непрерывна относитель-
но конечной неотрицательной меры τ := trM . Чтобы исключить
тривиальные случаи, мы предположим, что τ не является нулевой
мерой. Производная Радона–Никодима dM
dτ
есть C
≥
n×n-значная изме-
римая функция. Кроме того, tr dM
dτ
(ζ) = 1, следовательно, dM
dτ
(ζ) ока-
зывается сжатием для τ -п.в. ζ ∈ Γ.
Если p ∈ (0,∞), то через Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖) обозначается про-
странство (классов эквивалентности) функций F : Γ → Cm×n таких,
что функция F
(
dM
dτ
)
1
p измерима и
|||F |||p :=
(
∫
Γ
∥
∥
∥
F
(dM
dτ
)
1
p
∥
∥
∥
p
dτ
)
1
p
<∞.
Кроме того, пусть L∞(M ; Cm×n; ‖ · ‖) — пространство (классов экви-
валентности) функций F : Γ → Cm×n таких, что функция FPM изме-
рима и
|||F |||∞ := ess sup ‖FPM‖ <∞.
При этом PM (ζ) является ортопроектором на область значений опе-
ратора dM
dτ
(ζ) для τ -п.в. ζ ∈ Γ, а существенная верхняя грань берется
относительно меры τ .
Пространства такого типа были введены в [1] и [2], см. также [3].
Легко видеть, что их определение не зависит от выбора меры τ , т.е.,
вместо τ можно использовать любую регулярную неотрицательную
σ-конечную меру на L(Γ), относительно которой M абсолютно непре-
рывна.
Пространство Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖) есть левый Cm×n-модуль, т.е. из
X ∈ Cm×m и F ∈ Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖) следует XF ∈ Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖).
Кроме того, если p ∈ [1,∞], оно есть банахово пространство отно-
сительно нормы ||| · |||p, а если p ∈ (0, 1), оно является пространс-
твом Фреше относительно инвариантной метрики |||F −G|||pp, F,G ∈
Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖).
Вообще говоря, ||| · |||p зависит от выбора нормы ‖ · ‖. Но так как
все нормы в конечномерном пространстве Cm×n эквивалентны, то то-
пология пространства Lp(M ; Cm×n; ‖·‖) зависит только от M и p, а не
от выбора нормы ‖·‖. В настоящей работе мы занимаемся вопросами,
зависящими только от топологии пространства Lp(M ; Cm×n; ‖·‖). По-
этому при надобности мы можем выбрать какую-нибудь конкретную
норму ‖ · ‖, чтобы упростить вычисления.
Например, если в качестве ‖·‖ взять обычную операторную норму,
то для p, r ∈ (0,∞), p ≤ r, F ∈ Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖) имеем
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 7
∫
Γ
∥
∥
∥
F
(dM
dτ
)
1
p
∥
∥
∥
p
dτ =
∫
Γ
∥
∥
∥
F
(dM
dτ
)
1
r
(dM
dτ
)
1
p
− 1
r
∥
∥
∥
p
dτ
≤
∫
Γ
∥
∥
∥
F
(dM
dτ
)
1
r
∥
∥
∥
p
dτ ≤ τ(Γ)1−
p
r
(
∫
Γ
∥
∥
∥
F
(dM
dτ
)
1
r
∥
∥
∥
r
dτ
)
p
r
в силу того, что dM
dτ
является сжатием τ -п.в. и в силу неравенства
Йенсена. Если F ∈ L∞(M ; Cm×n; ‖ · ‖), то непосредственно получа-
ется
( ∫
Γ ‖F
(
dM
dτ
)
1
p ‖p dτ
)
1
p ≤ τ(Γ) ess sup ‖FPM‖. Учитывая еще, что
множество простых функций плотно в Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖), см. [1, Те-
орема 16], можно сформулировать следующую лемму:
Лемма 3.1. Пусть p, r ∈ (0,∞], p ≤ r, и пусть ‖ · ‖ — некоторая
норма в Cm×n. Тогда Lr(M ; Cm×n; ‖ · ‖) ⊆ Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖), причем
имеет место оценка
|||F |||p ≤ cp,r|||F |||r, F ∈ Lr(M ; Cm×n; ‖ · ‖)
с некоторой не зависящей от F постоянной cp,r. Если p <∞, тогда
Lr(M ; Cm×n; ‖ · ‖) является плотным подмножеством пространс-
тва Lp(M ; Cm×n; ‖ · ‖).
Оказывается, что евклидова норма ‖ · ‖E , ‖X‖E := (tr(XX∗))
1
2 ,
X ∈ Cm×n, во многих отношениях особенно удобна. Кроме того, с це-
лью упрощения изложения мы в дальнейшем примем m = n, но под-
черкнем, что для случая m 6= n можно доказать аналогичные резуль-
таты, хотя иногда необходимы несложные дополнительные выклад-
ки. Пространство Lp(M ; Cn×n; ‖ · ‖E) обозначим вкратце Lp(M), p ∈
(0,∞]. Поскольку dM
dτ
∈ C
≥
n×n τ -п.в., то для p ∈ (0,∞) существу-
ет Cn×n-значная измеримая функция N такая, что
(
dM
dτ
)
2
p = NN∗
τ -п.в. Имеет место следующая лемма, простое доказательство кото-
рой мы опускаем:
Лемма 3.2. Пусть p ∈ (0,∞). Отображение F → FN, F ∈ Lp(M),
осуществляет изометрический изоморфизм между пространства-
ми Lp(M) и Lp(PMdτ).
Отметим в связи с предыдущей леммой, что пространство
Lp(PMdτ) является обычным пространством Lp(Indτ), p ∈ (0,∞)
всех (классов эквивалентности) Cn×n-значных измеримых функций,
p-интегрируемых относительно τ , если det dM
dτ
6= 0 τ -п.в.
Пусть τ = τa + τs есть разложение меры τ на абсолютно непре-
рывную часть τa и сингулярную часть τs (относительно меры γ).
8 Приближение в среднем...
Пусть Ba, Bs ∈ L(Γ) такие множества, что Ba ∪ Bs = Γ, Ba ∩ Bs =
∅, τs(Ba) = 0, γ(Bs) = 0. Если мы определим Ma(B) := M(B ∩
Ba), Ms(B) := M(B ∩ Bs), B ∈ L(Γ), то получим аналогичное ра-
зложение M = Ma + Ms меры M . Производную Радона–Никодима
меры Ma относительно γ обозначим W , так, что dMa = Wdγ, где W
есть C
≥
n×n-значная измеримая функция. Обозначая 1B характеристи-
ческую функцию множества B и отождествляя Lp(Ma) с 1Ba
Lp(M) и
Lp(Ms) с 1Bs
Lp(M), мы можем рассматривать Lp(Ma) и Lp(Ms) как
подпространства пространства Lp(M) и представить Lp(M) в виде
прямой суммы Lp(M) = Lp(Ma) ∔ Lp(Ms).
В дальнейшем q означает следующую зависящую от p величину:
q = p
p−1 , если p ∈ (1,∞), и q = ∞, если p = 1.
Лемма 3.3 (см. [1, Теорема 9] или [3, Теорема 2.5]). Пусть p
∈ [1,∞). Сопоставляя в соответствие каждому G ∈ Lq(M) ото-
бражение F → tr
∫
Γ F
dM
dτ
G∗dτ, F ∈ Lp(M), получим изометриче-
ский изоморфизм между пространством Lq(M) и пространством
непрерывных линейных функционалов на Lp(M).
Если F ∈ Lp(M) и G ∈ Lq(M) такие, что
∫
Γ F
dM
dτ
G∗dτ = 0, то
пишем F ⊥ G, а если S есть подмножество пространства Lp(M), то
определим S⊥ := {G ∈ Lq(M) : F ⊥ G для всех F ∈ S}, p ∈ [1,∞).
4. Плотность многочленов
Пусть S есть некоторое подмножество пространства Lp(M), p ∈
(0,∞]. Обозначим ∨S его левую Cn×n-линейную оболочку, т.е. мно-
жество всех функций вида
∑k
j=1XjFj , Xj ∈ Cn×n, Fj ∈ S, j =
1, 2, . . . , k, k ∈ N. Замыкание множества S относительно метрики
пространства Lp(M) обозначаем S. Если S есть подмножество неко-
торого другого метрического пространства, то его замыкание также
будет обозначаться S, но мы дополнительно укажем на метрику.
Введем функции Z(z) := zIn и Φ̂(z) := ϕ(z)In, z ∈ T, а также
J(ζ) := ζIn и Ψ̂(ζ) := ψ(ζ)In, ζ ∈ Γ. Пусть Lp0(M) := ∨{J l : l ∈ N0},
т.е. Lp0(M) := Pn×n, p ∈ (0,∞). Возникает вопрос, для каких мер M
имеет место равенство Lp0(M) = Lp(M). Следующие две простые, но
очень полезные леммы показывают, что (хотя бы частичный) ответ на
этот вопрос можно получить, используя соответствующие известные
результаты для мер на L(T).
Для p ∈ (0,∞] определим отображение V = Vϕ,p следующим обра-
зом: (V F )(·) := F (ϕ(·)), F ∈ Lp(M).
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 9
Лемма 4.1. Отображение V есть изометрический изоморфизм
между пространствами Lp(M) и Lp(ψM), p ∈ (0,∞].
Доказательство. Очевидно, V является изоморфизмом. Поскольку
ψτ = tr(ψM), имеем d(ψM)
d(ψτ) (·) = dM
dτ
(ϕ(·)). Путем замены переменной
в интеграле при p ∈ (0,∞) и при p = ∞ непосредственно можно
установить, что V есть изометрия из Lp(M) в Lp(ψM). Если G ∈
Lp(ψM), то аналогично заключаем, что F (·) := G(ψ(·)) ∈ Lp(M).
Поскольку V F = G, то V отображает на все пространство Lp(ψM).
Лемма 4.2. Для p ∈ (0,∞) имеет место равенство V Lp0(M) =
Lp0(ψM).
Доказательство. Из того, что V J l = Φ̂l, l ∈ N0, и из того, что Φ̂l, l ∈
N0, есть равномерный предел последовательности из Pn×n, получаем
V Lp0(M) ⊆ Lp0(ψM). (4.1)
С другой стороны, V −1Z l = Ψ̂l, l ∈ N0. Поскольку Ψ̂l, l ∈ N0, тоже
есть равномерный предел последовательности из Pn×n, см., напри-
мер, [18, стр. 100], получим V −1Lp0(ψM) ⊆ Lp0(M), что вместе с (4.1)
дает требуемое равенство.
Наш первый результат относительно плотности многочленов в
Lp(M) показывает, что для p ∈ (0,∞) выполнение равенства Lp0(M) =
Lp(M) не зависит от сингулярной части Ms меры M .
Лемма 4.3. Если p ∈ (0,∞), то Lp(Ms) ⊆ Lp0(M).
Доказательство. Пусть вначале p ∈ [1,∞). Тогда включение Lp(Ms)
⊆ Lp0(M) эквивалентно включению
Lp0(M)⊥ ⊆ Lp(Ms)
⊥. (4.2)
С помощью замены переменной получаем, что
∫
Γ F
dM
dτ
G∗dτ =
∫
T
(V F )d(ψM)
d(ψτ) (V G)∗d(ψτ), F ∈ Lp(M), G ∈ Lq(M). Это показывает,
что F ⊥ G эквивалентно V F ⊥ V G. Поэтому, применяя лемму 4.2,
получим V (Lp0(M)⊥) = Lp0(ψM)⊥. Тогда для G ∈ Lp0(M)⊥ имеет ме-
сто
∫
T
Z l d(ψM)
d(ψτ) (G(ϕ))∗d(ψτ) = 0, l ∈ N0. Из теоремы братьев Риссов
следует, что мера d(ψM)
d(ψτ) (G(ϕ))∗d(ψτ) абсолютно непрерывна относи-
тельно меры λ. Следовательно, в силу леммы 2.3 мера dM
dτ
G∗dτ абсо-
лютно непрерывна относительно γ, т.е.,
dM
dτ
G∗ = 0 τ -п.в. на Bs. (4.3)
10 Приближение в среднем...
Если F ∈ Lp(Ms), то F dM
dτ
= 0 τ -п.в. на Ba, что вместе с (4.3) влечет
∫
Γ F
dM
dτ
G∗dτ = 0. Таким образом, (4.2) установлено.
Пусть теперь p ∈ (0, 1). В силу леммы 3.1 любую функцию из
Lp(Ms) можно в Lp(Ms), а значит и в Lp(M), сколь угодно точно
приблизить функциями из L1(Ms). По уже доказанному, любую фун-
кцию из L1(Ms) можно в L1(M) сколь угодно точно приблизить фун-
кциями из Pn×n. Вновь применяя лемму 3.1, мы получим, что та-
кое приближение имеет место и относительно метрики пространства
Lp(M). Таким образом, Lp(Ms) ⊆ Lp0(M).
Следствие 4.1. Если мера M сингулярна относительно γ, то
Lp0(M) = Lp(M), p ∈ (0,∞).
Предыдущее следствие можно усилить:
Теорема 4.1. Пусть p ∈ (0,∞) и S есть некоторое подмножество
множества Lp(M) такое, что J l ∈ S, l ∈ N0. Тогда
∨S = ∨Sa ∔ ∨Ss = ∨Sa ∔ Lp(Ms), (4.4)
где Sa := 1Ba
S и Ss := 1Bs
S.
Доказательство. Очевидно, что
∨S ⊆ ∨Sa ∔ ∨Ss. (4.5)
С другой стороны, ∨Ss ⊆ Lp(Ms) в силу следствия 4.1 и Lp(Ms) ⊆ ∨S
в силу леммы 4.3, следовательно,
∨Ss ⊆ ∨S. (4.6)
Из (4.6), в частности, вытекает, что 1Ba
F = F − 1Bs
F ∈ ∨S для
каждой функции F ∈ S, а это дает ∨Sa ⊆ ∨S. Учитывая (4.6) и (4.5),
мы получаем утверждение теоремы.
Следствие 4.2. Пусть p ∈ (0,∞) и S есть некоторое подмноже-
ство множества Lp(M) такое, что J l ∈ S, l ∈ N0. Тогда равен-
ства ∨S = Lp(M) и ∨Sa = Lp(Ma) эквивалентны. В частности,
Lp0(M) = Lp(M) тогда и только тогда, когда Lp0(Ma) = Lp(Ma).
Напомним, что мера dM = dMa + dMs = Wdγ + dMs на L(Γ)
называется мерой полного ранга, если detW 6= 0 γ-п.в. Поскольку в
силу (2.2) имеет место
d(ψMa)
dλ
=
d(ψMa)
d(ψγ)
d(ψγ)
dλ
= W (ϕ)|ϕ′| λ-п.в., (4.7)
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 11
то из леммы 2.1 следует, что M является мерой полного ранга на
L(Γ) тогда и только тогда, когда ψM есть мера полного ранга на
L(T). Следующий результат является обобщением результата в [10,
Теорема 8] и следствия из теоремы в [11]:
Теорема 4.2. Пусть p ∈ (0,∞) и пусть dM = Wdγ + dMs есть
мера полного ранга на L(Γ). Тогда равенство Lp0(M) = Lp(M) экви-
валентно равенству
∫
Γ
ln(detW )|ψ′| dγ = −∞. (4.8)
Доказательство. Из лемм 4.1 и 4.2 мы можем заключить, что Lp0(M)
= Lp(M) тогда и только тогда, когда
Lp0(ψM) = Lp(ψM). (4.9)
Учитывая, что ψM является мерой полного ранга, мы получим из
теоремы в [11], что (4.9) эквивалентно условию
∫
T
ln det
d(ψM)
dλ
dλ = −∞. (4.10)
Используя (4.7), (2.2), с помощью замены переменной получаем
∫
T
ln det
d(ψM)
dλ
dλ =
∫
T
ln det(W (ϕ)|ϕ′|) dλ
=
∫
T
ln(detW (ϕ))
1
|ϕ′|
d(ψγ) +
∫
T
n ln |ϕ′| dλ
=
∫
Γ
ln(detW )|ψ′| dγ + n
∫
T
ln |ϕ′| dλ.
Поскольку в силу леммы 2.1 выполняются неравенства
−∞ <
∫
T
ln |ϕ′| dλ <∞,
то (4.10) и (4.8) эквивалентны.
12 Приближение в среднем...
5. Описание пространства L
p
0(M)
Пусть dM = Wdγ + dMs есть мера полного ранга на L(Γ). Из
теоремы 4.2 следует, что при условии
∫
Γ
ln(detW )|ψ′| dγ > −∞ (5.1)
пространство Lp0(M) есть собственное подпространство пространства
Lp(M), p ∈ (0,∞). В этом случае возникает задача описания эле-
ментов пространства Lp0(M). Для n = 1 она была решена Г. Ц. Ту-
маркиным [10, Теорема 3]. Оказывается, что его рассуждения можно
перенести на матричный случай.
Рассмотрим вначале меры на L(T), т.е. предположим, что dM =
Wdλ + dMs является мерой полного ранга на L(T) и выполняется
условие
∫
T
ln(detW ) dλ > −∞. (5.2)
Пусть f+ обозначает неотрицательную часть некоторой веществен-
нозначной функции f .
Лемма 5.1. Для каждого p ∈ (0,∞) функции ln+‖W
2
p ‖ и ln+ ‖W− 2
p ‖
интегрируемы относительно λ.
Доказательство. Интегрируемость функции ln+‖W
2
p ‖ очевидна. Да-
лее, из (5.2) следует, что
∫
T
lnα(z)λ(dz) > −∞, (5.3)
где для λ-п.в. z ∈ T посредством α(z) обозначается наименьшее соб-
ственное значение матрицы W (z). Если выбрать в качестве нормы
‖ · ‖ обычную операторную норму, то ‖W− 2
p ‖ = α
− 2
p λ-п.в., так что
из (5.3) вытекает интегрируемость функции ln+ ‖W− 2
p ‖ относительно
λ.
Лемма 5.2. Пусть p ∈ (0,∞). Пусть мера M на L(T) абсолютно
непрерывна относительно λ, причем выполняется (5.2). Если функ-
ция F есть предел некоторой последовательности {Fj}j∈N ⊆(Lp(M)
∩Dn×n) относительно метрики пространства Lp(M), то F ∈ Dn×n
и {Fj}j∈N стремится к F равномерно на компактных подмноже-
ствах круга D.
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 13
Доказательство. Из теоремы 6.14 в [15] и из леммы 5.1 следует су-
ществование Cn×n-значной внешней функции полного ранга Φ̃ такой,
что W− 2
p = Φ̃∗Φ̃ λ-п.в. Значит выполнено
W
2
p = ΦΦ∗ λ-п.в., (5.4)
где Φ := Φ̃−1, которая в силу леммы 1.2 также является внешней фун-
кцией. Поскольку Φ ∈ Dn×n, то FjΦ ∈ Dn×n, а поскольку в силу лем-
мы 3.2 имеем FjΦ ∈ Lp(Indλ), то по теореме Полубариновой–Кочиной
(см. [12, стр. 114] для скалярного случая и теорема тривиально пе-
реносится на матричный случай, поскольку матричное Hp
n×n есть по
сути набор скалярных функций из Hp) FjΦ ∈ Hp
n×n, j ∈ N. Из той же
леммы 3.2 вытекает, что {FjΦ}j∈N есть последовательность Коши в
Lp(Indλ). Теперь аналогично доказательству Тумаркина [10, стр. 86–
87] можно установить, что {FjΦ}j∈N сходится равномерно на компа-
ктных подмножествах круга D, предельная функция Ψ принадлежит
Hp
n×n и что имеет место соотношение
lim
j→∞
∫
T
‖Ψ − FjΦ‖pE dλ = 0. (5.5)
Из (5.5),(5.4) и леммы 3.2 следует, что {Fj}j∈N стремится в Lp(M)
к функции ΨΦ−1. Поэтому ΨΦ−1 = F в Lp(M) или, эквивалентно,
ΨΦ−1 = F λ-п.в. В силу того, что Ψ ∈ Hp
n×n ⊆ Dn×n и Φ−1 как
внешняя функция тоже принадлежит Dn×n, получается F ∈ Dn×n.
Лемма 5.3. Пусть p и M такие же, как в лемме 5.2. Тогда
Lp0(M) = Lp(M) ∩Dn×n.
Доказательство. Включение
Lp0(M) ⊆ Lp(M) ∩Dn×n (5.6)
непосредственно вытекает из леммы 5.2. Пусть p ∈ [1,∞) и G ∈
Lp0(M)⊥, т.е.
∫
T
Z lWG∗dλ = 0, l ∈ N0. Следовательно, имеем
WG∗ ∈ ZH1
n×n. (5.7)
Если F — любая функция из Lp(M) ∩ Dn×n, то FWG∗ ∈ Dn×n
и FWG∗ интегрируема относительно λ. Пользуясь теоремой Полу-
бариновой–Кочиной и (5.7), получим, что FWG∗ ∈ ZH1
n×n, и зна-
чит
∫
T
FWG∗dλ = 0. Таким образом, получено Lp0(M)⊥ ⊆ (Lp(M) ∩
Dn×n)
⊥, что вместе с (5.6) дает требуемое равенство. Доказательство
для случая p ∈ (0, 1) аналогично доказательству Тумаркина в ска-
лярном случае [10, стр. 98–101] и опускается.
14 Приближение в среднем...
Комбинируя лемму 5.3 и теорему 4.1, мы непосредственно полу-
чим следующий результат:
Теорема 5.1. Пусть p ∈ (0,∞) и M есть мера полного ранга на
L(T), причем выполняется (5.2). Тогда пространство Lp0(M) совпа-
дает с множеством всех тех функций из Lp(M), которые λ-п.в.
равны граничным функциям из Dn×n.
Используя свойства конформного отображения ϕ, в частности
леммы 2.1 и 2.3, предыдущую теорему можно обобщить на меры пол-
ного ранга на L(Γ). Мы сформулируем соответствующий результат,
но опускаем его доказательство, так как оно только очевидными де-
талями отличается от подробного доказательства Тумаркина в ска-
лярном случае, см. доказательство теоремы 7 в [10].
Теорема 5.2. Пусть p ∈ (0,∞). Пусть M есть мера полного ранга
на L(Γ), причем выполняется (5.1). Тогда функция из Lp(M) при-
надлежит Lp0(M) тогда и только тогда, когда она есть граничная
функция такой аналитической функции Φ на ∆, что Φ(ϕ) ∈ Dn×n.
6. Пространства L
p
κ(M)
Пусть теперь M снова любая C
≥
n×n-значная мера на L(Γ). Для
κ ∈ Z введем пространство Lpκ(M) := ∨{J l : l ∈ (κ+ N0)}, p ∈ (0,∞).
Конечно, если 0 ∈ Γ и κ < 0, то может случиться, что Jκ /∈ Lp(M).
Поэтому при определении пространства Lpκ(M) мы предположим, что
заведомо выполнено
Jκ ∈ Lp(M). (6.1)
Из (6.1) следует, что J l ∈ Lp(M), l ∈ (κ + N0), и таким образом,
Lpκ(M) определено корректно. В настоящем параграфе мы обсудим
вкратце вопрос выполнения равенства Lpκ(M) = Lp(M).
Очевидно, если 0 /∈ Γ, то умножение на J есть гомеоморфизм
пространства Lp(M), причем JLpκ(M) = Lpκ+1(M). Следовательно,
если 0 /∈ Γ, то равенство Lpκ(M) = Lp(M) имеет место для некоторого
κ ∈ Z тогда и только тогда, когда оно выполняется для всех κ ∈ Z.
Пусть 0 ∈ Γ. Если точечная масса M({0}) меры M в точке 0 не
равна нулю, то Lpκ(M) 6= Lp(M) для κ ∈ N, а (6.1) не выполняется для
κ ∈ (−N). Таким образом, мы можем предположить, что M({0}) = 0.
В таком случае, множество всех тех функций из Lp(M), для кото-
рых существует (вообще говоря, зависящая от функции) окрестность
точки 0, где они равны нулю, является плотным подмножеством про-
странства Lp(M). Поскольку оператор умножения на J отображает
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 15
это множество на себя, то для любого l ∈ N множество J lLp(M) пло-
тно в Lp(M). Далее, если κ̃ ∈ Z, κ̃ ≥ κ, то J κ̃−κLpκ(M) ⊆ Lpκ̃(M) в
силу непрерывности оператора умножения на J . Поэтому из равен-
ства Lpκ(M) = Lp(M) следует равенство Lpκ̃(M) = Lp(M). Принимая
еще во внимание включение Lpκ̃(M) ⊆ Lpκ(M), мы получим следую-
щую теорему:
Теорема 6.1. Пусть p ∈ (0,∞), κ ∈ Z и выполнено (6.1). Предпо-
ложим, что 0 /∈ Γ или 0 ∈ Γ и M({0}) = 0. При таких условиях
Lpκ̃(M) = Lp(M) для некоторого κ̃ ≥ κ тогда и только тогда, когда
это равенство имеет место для всех κ̃ ≥ κ, κ̃ ∈ Z.
Следствие 6.1. В условиях предыдущей теоремы равенство Lpκ(M)
= Lp(M) эквивалентно равенству Lpκ(Ma) = Lp(Ma).
Доказательство. Равенство Lpκ(M) = Lp(M) эквивалентно равен-
ству Lp0(M) = Lp(M) в силу теоремы 6.1, Lp0(M) = Lp(M) эквива-
лентно Lp0(Ma) = Lp(Ma) в силу следствия 4.2, а Lp0(Ma) = Lp(Ma)
эквивалентно Lpκ(Ma) = Lp(Ma) снова в силу теоремы 6.1.
7. Линейная регулярность пространств L
p(M)
Если M есть C
≥
n×n-значная мера на L(T), то пространство L2(M)
может служить спектральным пространством n-мерной слабо стаци-
онарной случайной последовательности, а равенство L2
0(M) = L2(M)
означает, что эта последовательность линейно сингулярна. Другой
важный класс стационарных последовательностей образуют линейно
регулярные последовательности. В связи с этим мы даем следующее
определение:
Определение 7.1. Пусть p ∈ (0,∞) и M есть C
≥
n×n-значная ме-
ра на L(Γ). Пространство Lp(M) называется линейно регулярным,
если
⋂
κ∈N
Lpκ(M) = {0}. (7.1)
Если 0 ∈ Γ, то, очевидно, пространства Lp(M) и Lp(M −M({0}))
одновременно линейно регулярны или не линейно регулярны. Поэто-
му мы можем предположить, что M({0}) = 0. Но тогда из теоре-
мы 6.1 и следствия 4.1 следует, что независимо от того, где точка
0 расположена относительно кривой Γ, пространство Lp(M) не мо-
жет быть линейно регулярным, если Ms 6= 0. Таким образом, можно
принять, что мера M абсолютно непрерывна относительно γ, т.е. M
имеет вид dM = Wdγ.
16 Приближение в среднем...
Лемма 7.1. Пусть p ∈ (0,∞). Пространство Lp(M) = Lp(Wdγ)
линейно регулярно тогда и только тогда, когда
⋂
κ∈N
ϕκLp0(ψM) = {0}, (7.2)
где замыкание берется в Lp(ψM).
Доказательство. Пусть U обозначает оператор умножения на фун-
кцию J в пространстве Lp(M). Из непрерывности оператора U легко
следует, что UκLp0(M) = Lpκ(M), κ ∈ N. С другой стороны, если V
есть изометрия из леммы 4.1, то V UV −1 является оператором умно-
жения на ϕ в пространстве Lp(ψM). Принимая еще во внимание лем-
му 4.2, мы видим, что условия (7.1) и (7.2) эквивалентны.
Теорема 7.1. Пусть p ∈ (0,∞). Если выполнено условие:
ϕ не является внешней функцией (7.3)
и (W (ϕ))
2
p допускает факторизацию
(W (ϕ))
2
p = ΦΦ∗ (7.4)
с некоторой функцией Φ ∈ Dn×n, то Lp(M) = Lp(Wdγ) линейно
регулярно.
Доказательство. Пусть ϕ̃ есть внешняя часть функции ϕ′ и пусть
Φ̃ := ϕ̃Φ. Функция Φ̃ принадлежит Dn×n. В силу (4.7) получаем
(
d(ψM)
dλ
)
2
p
= (W (ϕ)|ϕ′|)
2
p = (W (ϕ)|ϕ̃|)
2
p = Φ̃Φ̃∗, причем из этого ра-
венства видно, что Φ̃ ∈ Hp
n×n. Учитывая лемму 3.2, получим, что
отображение F → F Φ̃, F ∈ Lp(ψM), отображает Lp0(ψM) на некото-
рое подпространство H̃p
n×n пространства Hp
n×n, т.е. (7.2) выполняется
тогда и только тогда, когда
⋂
κ∈N
ϕκH̃p
n×n = {0}, (7.5)
при этом замыкание берется в Hp
n×n. Но если ϕ не является внешней
функцией, то (7.5) имеет место. Поэтому применение леммы 7.1 за-
вершает доказательство.
Возникает вопрос, необходимы ли условия предыдущей теоремы
для линейной регулярности пространства Lp(M). При p = 2 и для
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 17
Γ = T условие (7.4) действительно необходимо, см., например, тео-
рему 4.1 в [5, с. 74]. Заметим, что для мер полного ранга представ-
ление (7.4) существует тогда и только тогда, когда (detW (ϕ))
2
p до-
пускает аналогичную факторизацию, что легко следует из [15, Те-
орема 6.14]. И поскольку факторизуемость скалярных функций не
зависит от p, то эта же независимость имеет место для представле-
ния (7.4), если M — мера полного ранга. Что касается условия (7.3),
то мы покажем, что оно в самом деле необходимо.
Для z0 ∈ T определим Pn×n(z0) := {Q ∈ Pn×n : Q(z0) = 0}.
Лемма 7.2. Пусть M есть C
≥
n×n-значная мера на L(T), которая
абсолютно непрерывна относительно λ, т.е. dM = Wdλ. Если ϕ
является внешней функцией, то ϕLp0(Wdλ) = Lp0(Wdλ), p ∈ (0,∞).
Доказательство. Доказательство распадается на несколько шагов:
(i): Поскольку Φ̂Z l можно на T равномерно приблизить Cn×n-
значными многочленами, то Φ̂Z l ∈ Lp0(Wdλ), l ∈ N0. Следовательно,
ϕLp0(Wdλ) ⊆ Lp0(Wdλ) (7.6)
из-за непрерывности оператора умножения на ϕ и из-за замкнуто-
сти множества Lp0(Wdλ). Если ϕ не имеет нулей, то применяя (7.6) к
ϕ−1, получим ϕ−1Lp0(Wdλ) ⊆ Lp0(Wdλ) или Lp0(Wdλ) ⊆ ϕLp0(Wdλ) ⊆
ϕLp0(Wdλ), что вместе с (7.6) дает требуемый результат. Будем те-
перь предполагать, что ϕ имеет единственный нуль в некоторой точке
z0 ∈ T.
(ii): Если функция
z → (z − z0)
−1In, z ∈ T, (7.7)
принадлежит Lp(Wdλ), то она принадлежит и Lp0(Wdλ). В самом де-
ле, поскольку |z − z0|
−1 ≥ |z − j+1
j
z0|
−1, z ∈ T, j ∈ N, то по теореме
Лебега о мажорируемой сходимости имеем limj→∞
∫
T
‖((z− z0)
−1In−
(z − j+1
j
z0)
−1In)(W (z))
1
p ‖pEλ(dz) = 0. Очевидно, что все функции
z → (z − j+1
j
z0)
−1In, z ∈ T, j ∈ N, принадлежат Lp0(Wdλ), поэто-
му функция из (7.7) также принадлежит Lp0(Wdλ).
(iii): Применяя результат (ii) к мере |z−z0|pW (z)λ(dz), z ∈ T, мы
можем из равенства
∫
T
‖(In−(z−z0)Q(z))(W (z))
1
p ‖pEλ(dz) =
∫
T
‖((z−
z0)
−1In − Q(z))(|z − z0|
pW (z))
1
p ‖pEλ(dz), Q ∈ Pn×n, получить, что
постоянные принадлежат Pn×n(z0). Поэтому
Lp0(Wdλ) ⊆ Pn×n(z0). (7.8)
18 Приближение в среднем...
(iv): Легко видеть, что замыкание ϕP в A есть замкнутый иде-
ал. Точка z0 есть единственный совместный нуль всех функций этого
идеала. Поскольку, кроме того, внешняя функция ϕ принадлежит
этому идеалу, то из теоремы в [14, стр. 124] следует, что замыка-
ние множества ϕP в A совпадает с множеством всех f ∈ A таких,
что f(z0) = 0. Следовательно, замыкание множества ϕPn×n в An×n
совпадает с множеством всех F ∈ An×n таких, что F (z0) = 0. В ча-
стности, Pn×n(z0) есть подмножество замыкания множества ϕPn×n в
An×n, что приводит к включению
Pn×n(z0) ⊆ ϕLp0(Wdλ). (7.9)
Сравнение (7.6), (7.8) и (7.9) завершает доказательство.
Применяя лемму 7.2 к функции ϕκ, κ ∈ N, и учитывая лемму 7.1
и рассуждения перед ней, получаем следующую теорему:
Теорема 7.2. Пусть p ∈ (0,∞) и пусть M есть C
≥
n×n-значная ме-
ра на L(Γ), которая абсолютно непрерывна относительно γ. Если
функция ϕ является внешней, то Lp(M) не может быть линейно
регулярным.
Если p и M такие, как в предыдущей теореме, а 0 ∈ C\∆, то из
леммы 2.2 и этой теоремы следует, что пространство Lp(M) не мо-
жет быть линейно регулярным. Это можно увидеть и непосредствен-
но, т.к. в этом случае все функции J l, l ∈ Z, аналитичны, а значит
принадлежат пространству Lpκ(M) для любого κ ∈ N.
8. Незамкнутая кривая Жордана
Рассмотрим вкратце ситуацию, когда Γ является незамкнутой
кривой Жордана, которая может быть и не спрямляемой. Как не-
прерывный образ компактного множества T, кривая Γ есть компа-
ктное множество. Пусть Cn×n(Γ) — банахово пространство всех Cn×n-
значных непрерывных на Γ функций F с нормой |||F |||Cn×n
:=
maxt∈Γ ‖F (t)‖E . Из теоремы Лаврентьева, см., например, [18, стр. 104],
следует, что Pn×n плотно в Cn×n(Γ).
Теорема 8.1. Если Γ есть незамкнутая кривая Жордана, то Lp0(M)
= Lp(M) для любой C
≥
n×n-значной меры M на L(Γ) и для любого
p ∈ (0,∞).
Л. Клёц, С. М. Загороднюк 19
Доказательство. Пусть p ∈ [1,∞) и G ∈ Lp0(M)⊥. Тогда
∫
ΓQ
dM
dτ
G∗dτ
= 0 для Q ∈ Pn×n, следовательно, для любой F ∈ Cn×n(Γ) имеет
место
∫
Γ
F
dM
dτ
G∗dτ = 0 (8.1)
в силу плотности Pn×n в Cn×n(Γ). Из следствия 2 в [19, стр. 387]
можно легко вывести, что существует взаимно однозначное соответ-
ствие между пространством всех Cn×n-значных мер на L(Γ) и про-
странством всех непрерывных линейных функционалов на Cn×n(Γ).
Оно получается, если каждой такой мере M̃ поставить в соответствие
функционал F → tr
∫
Γ F
dM̃
dσ̃
dσ̃, F ∈ Cn×n(Γ), причем σ̃ является
какой-то σ-конечной неотрицательной мерой на L(Γ), относительно
которой все элементы меры M̃ абсолютно непрерывны. Поэтому из
(8.1) следует dM
dτ
G∗ = 0 τ -п.в., что дает G = 0 в Lq(M). Таким обра-
зом, Lp0(M)⊥ = {0}, а это эквивалентно Lp0(M) = Lp(M), p ∈ [1,∞).
Но тогда из леммы 3.1 следует, что такое равенство имеет место для
всех p ∈ (0,∞).
Простыми следствиями предыдущей теоремы являются аналоги-
чные результаты для пространств Lpκ(M), κ ∈ Z. А именно, посколь-
ку Lp0(M) ⊆ Lpκ(M) для κ ∈ (−N), мы можем предположить, что
κ ∈ N. Тогда мы, очевидно, имеем Lpκ(M) 6= Lp(M), если 0 ∈ Γ и
M({0}) 6= 0. А в случаях 0 /∈ Γ или 0 ∈ Γ и M({0}) = 0, равен-
ство Lpκ(M) = Lp(M) получается аналогично к доказательству тео-
ремы 6.1.
Литература
[1] L. Klotz, Some Banach spaces of measurable operator-valued functions // Probab.
Math. Statist. (1991), N 12, 85–97.
[2] L. Klotz, Inclusion relations for some Lp-spaces of operator-valued functions //
Math. Nachr. (1991), N 150, 119–126.
[3] A. J. Duran, P. Lopez-Rodriguez, The Lp-space of a positive definite matrix of
measures and density of matrix polynomials in L1 // J. Approx. Theory, (1997),
N 90, 299–318.
[4] И. С. Кац, О гильбертовых пространствах, порождаемых монотонными
эрмитовыми матрицами-функциями // Записки НИИ математики и меха-
ники ХГУ им. Горького и ХМО, 22 (1950), 95–113.
[5] Ю. А. Розанов, Стационарные случайные процессы. Москва, “Наука”, 1990.
[6] M. Rosenberg, The square-integrability of matrix-valued functions with respect to
a non-negative Hermitian measure // Duke Math. J. (1964), N 31, 291–298.
[7] H. Helson, D. Lowdenslager, Prediction theory and Fourier series in several vari-
ables // Acta Math. (1958), N 99, 165–202.
[8] Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации. Москва, “Наука”, 1965.
20 Приближение в среднем...
[9] Я. Л. Геронимус, О замкнутости некоторых систем функций в пространс-
тве Lp
σ // Записки НИИ математики и механики ХГУ им. Горького и ХМО,
21 (1949), 24–45.
[10] Г. Ц. Тумаркин, Приближение в среднем функций на спрямляемых кри-
вых // Мат. сборник, 42(84) (1957), N 1, 79–128.
[11] L. Klotz, A matrix generalization of a theorem of Szegö // Anal. Math. (1992),
N 18, 63–72.
[12] И. И. Привалов, Граничные свойства аналитических функций. Гос. изд-во
тех.-теор. литературы, Москва Ленинград, 1950.
[13] P. L. Duren, Theory of Hp Spaces. Academic Press, New York and London, 1970.
[14] К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций. Издат-во
иностр. лит-ры, Москва, 1963.
[15] M. Rosenblum, J. Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory. Oxford Uni-
versity Press, New York, Clarendon Press, Oxford, 1985.
[16] Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш, Гармонический анализ операторов в гильбер-
товом пространстве. “Мир”, Москва, 1970.
[17] Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига. “Наука”, Москва, 1980.
[18] А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций. Том 2. “Наука”, Москва,
1968.
[19] N. Dinculeanu, Vector Measures. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften.
Berlin, 1966.
[20] В. Н. Засухин, К теории многомерных стационарных процессов // ДАН
СССР (1941), N 33, 435–437.
Сведения об авторах
Люц Клёц Fachbereich Mathematik Universität
D-7010 Leipzig
Deutschland
Сергей
Михайлович
Загороднюк
Механико-математический факультет
Харьковский национальный
университет им. Каразина,
пл. Свободы 4,
Харьков 61077
Украина
E-Mail: zagorodnyuk@univer.kharkov.ua,
Sergey.M.Zagorodnyuk@univer.kharkov.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124507 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T12:26:39Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клёц, Л. Загороднюк, С.М. 2017-09-28T06:25:30Z 2017-09-28T06:25:30Z 2007 Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых / Л. Клёц, С.М. Загороднюк // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 1-20. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 41A10, 30E10, 60-99. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124507 В данной работе изучаются вопросы приближения матричнозначными многочленами в пространствах Lp(M), p ∊ (0,∞), на жордановых кривых. In this work questions of approximation by matrix-valued polynomials in spaces Lp(M), p ∈ (0,∞), on Jordan curves are studied. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых Approximation in the mean by matrix-valued polynomials on rectifiable curves Article published earlier |
| spellingShingle | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых Клёц, Л. Загороднюк, С.М. |
| title | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| title_alt | Approximation in the mean by matrix-valued polynomials on rectifiable curves |
| title_full | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| title_fullStr | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| title_full_unstemmed | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| title_short | Приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| title_sort | приближение в среднем матричнозначными многочленами на спрямляемых кривых |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124507 |
| work_keys_str_mv | AT klecl približenievsrednemmatričnoznačnymimnogočlenaminasprâmlâemyhkrivyh AT zagorodnûksm približenievsrednemmatričnoznačnymimnogočlenaminasprâmlâemyhkrivyh AT klecl approximationinthemeanbymatrixvaluedpolynomialsonrectifiablecurves AT zagorodnûksm approximationinthemeanbymatrixvaluedpolynomialsonrectifiablecurves |