Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу

За допомогою опуклих донизу функцiй означено клас псевдодиференцiальних сингулярних систем з цiлими аналiтичними символами, який мiстить у собi 2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь, тобто параболiчнi системи з оператором Бесселя, в яких кожна просторова змiнна має, взагалi кажучи, свою ваг...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Літовченко, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Назва видання:	Український математичний вісник
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124508
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 21-56. — Бібліогр.: 38 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124508
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1245082025-02-09T13:32:04Z Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу Cauchy problem for singular pseudo-differential systems of a parabolic type Літовченко, В.А. За допомогою опуклих донизу функцiй означено клас псевдодиференцiальних сингулярних систем з цiлими аналiтичними символами, який мiстить у собi 2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь, тобто параболiчнi системи з оператором Бесселя, в яких кожна просторова змiнна має, взагалi кажучи, свою вагу вiдносно часової змiнної. Дослiджено властивостi фундаментальної матрицi розв’язкiв таких систем та доведено теорему про коректну розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли початковi данi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв Жевре. Для окремого пiдкласу систем описано максимальнi класи початкових даних, при яких задача Кошi коректно розв’язна, а ї ї розв’язок має необхiднi властивостi. With the help convex to a bottom of functions the class pseudo-differential singular of systems with the whole analytical symbols is determined which contains in itself 2B-parabolic systems of the differential equations, that is parabolic systems with the operator Bessel in which spatial variable has, generally speaking, own weight according to temporary variable. Is investigated properties of a fundamental matrix of the decisions of a Cauchy problem in a case, when the initial data are by the generalized functions such as ultra distributions Jevre. For a separate subclass of systems is described the maximal classes of the initial data, at which the of a Cauchy problem is correct determination, and its decision has the necessary properties. 2007 Article Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 21-56. — Бібліогр.: 38 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 35G10, 35S30 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124508 uk Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	За допомогою опуклих донизу функцiй означено клас псевдодиференцiальних сингулярних систем з цiлими аналiтичними символами, який мiстить у собi 2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь, тобто параболiчнi системи з оператором Бесселя, в яких кожна просторова змiнна має, взагалi кажучи, свою вагу вiдносно часової змiнної. Дослiджено властивостi фундаментальної матрицi розв’язкiв таких систем та доведено теорему про коректну розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли початковi данi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв Жевре. Для окремого пiдкласу систем описано максимальнi класи початкових даних, при яких задача Кошi коректно розв’язна, а ї ї розв’язок має необхiднi властивостi.
format	Article
author	Літовченко, В.А.
spellingShingle	Літовченко, В.А. Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу Український математичний вісник
author_facet	Літовченко, В.А.
author_sort	Літовченко, В.А.
title	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
title_short	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
title_full	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
title_fullStr	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
title_full_unstemmed	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
title_sort	задача коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2007
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124508
citation_txt	Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу / В.А. Літовченко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 1. — С. 21-56. — Бібліогр.: 38 назв. — укр.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT lítovčenkova zadačakošídlâsingulârnihpsevdodiferencíalʹnihsistemparabolíčnogotipu AT lítovčenkova cauchyproblemforsingularpseudodifferentialsystemsofaparabolictype
first_indexed	2025-11-26T04:54:53Z
last_indexed	2025-11-26T04:54:53Z
_version_	1849827423820972032
fulltext	Український математичний вiсник Том 4 (2007), № 1, 21 – 56 Задача Кошi для сингулярних псевдодиференцiальних систем параболiчного типу Владислав А. Лiтовченко (Представлена С. Д. Iвасишеним) Анотацiя. За допомогою опуклих донизу функцiй означено клас псевдодиференцiальних сингулярних систем з цiлими аналiтични- ми символами, який мiстить у собi −→ 2B-параболiчнi системи дифе- ренцiальних рiвнянь, тобто параболiчнi системи з оператором Бес- селя, в яких кожна просторова змiнна має, взагалi кажучи, свою вагу вiдносно часової змiнної. Дослiджено властивостi фундамен- тальної матрицi розв’язкiв таких систем та доведено теорему про коректну розв’язнiсть задачi Кошi у випадку, коли початковi данi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв Жевре. Для окре- мого пiдкласу систем описано максимальнi класи початкових даних, при яких задача Кошi коректно розв’язна, а її розв’язок має необхi- днi властивостi. 2000 MSC. 35G10, 35S30. Ключовi слова та фрази. Задача Кошi, параболiчнi системи, псев- додиференцiальний оператор. Вступ Рiвняння з диференцiальним оператором Бесселя вiдносять до рiвнянь з виродженим за просторовою змiнною оператором (сингу- лярнi рiвняння) [1]. Такi рiвняння виникають при вивченнi темпе- ратурних полiв у симетричних середовищах. Вони описують явища тепломасообмiну, радiальнi коливання хвиль, зустрiчаються в кри- сталографiї, гiдродинамiцi та в задачах про взаємодiю тiл [2–4]. Дослiдженню задачi Кошi для параболiчних систем з операто- ром Бесселя присвячено багато праць (див. для прикладу [5–15]). Стаття надiйшла в редакцiю 26.06.2006 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 22 Задача Кошi... Зокрема, в [5] М. I. Матiйчук разом з В. В. Крехiвським поширю- ють поняття параболiчностi за Петровським на випадок систем рiв- нянь з частинними похiдними, якi за однiєю з просторових змiнних мiстять оператор Бесселя (B-параболiчнiсть). Згодом М. I. Матiй- чук дослiджує задачу Кошi вже для систем з оператором Бесселя, якi характеризуються аналогом параболiчностi за Ейдельманом ( −→ 2B- параболiчнiсть) [6]. Для таких систем будується теорiя класичних розв’язкiв задачi Кошi. Знаходженню зображення розв’язкiв рiвномiрно B-параболiчних систем першого порядку за часовою змiнною t у виглядi iнтегралiв Пуассона функцiй або узагальнених борельових мiр зi спецiальних вагових просторiв (що фактично є множинами початкових значень цих розв’язкiв) присвячена праця [12]. При дослiдженнi проблем, пов’язаних з вiдшуканням класiв єди- ностi та класiв коректностi задачi Кошi для класичних систем рiв- нянь у згортках, зокрема, для диференцiальних та диференцiально- рiзницевих систем з коефiцiєнтами, залежними лише вiд t, широко використовуються простори типу S Гельфанда й Шилова [16], а та- кож простори типу W Гуревича [17], якi одержанi ним унаслiдок уто- чнення вiдомих на той час класiв єдиностi розв’язкiв задачi Кошi для цих систем [13,18–24]. Зазначимо, що простори типу W (а саме WM , WM Ω ) є узагальненням просторiв типу S, елементи яких допускають аналiтичне продовження на весь комплексний простiр. Питання, пов’язанi з описом класiв коректностi задачi Кошi для лiнiйних систем першого порядку за t, в яких за просторовими змiн- ними дiють полiноми вiд диференцiальних операторiв Бесселя, ви- вчаються в [13]. Дослiдження проводяться в стилi, запропонованому I. М. Гельфандом i Г. Є. Шиловим [18]; базуються на використаннi узагальнених функцiй (типу розподiлiв) у поєднаннi з методом пере- творення Фур’є–Бесселя. У [14] анонсованi результати дослiджень задачi Кошi для парабо- лiчних у розумiннi Шилова систем рiвнянь iз частинними похiдни- ми зi сталими коефiцiєнтами, за останньою компонентою просторо- вої змiнної в яких дiють степенi оператора Бесселя. Для таких си- стем стверджується, що векторний простiр ( ◦ S 1/h γ )′ (певний аналог ве- кторного топологiчно спряженого простору до простору типу S), де γ = 1−µ/p, якщо 0 < µ ≤ 1, i γ = 1−µ/h при µ ≤ 0 (тут µ — рiд, p — точний порядок системи, а h — показник параболiчностi), є класом початкових даних задачi Кошi, при яких ця задача коректно розв’я- зна, а її розв’язок — диференцiйовна за t i нескiнченно диференцi- йовна за просторовою змiнною x звичайна вектор-функцiя. Сформу- В. А. Лiтовченко 23 льовано принцип локалiзацiї розв’язку задачi Кошi (тобто з’ясовано властивiсть локального посилення його збiжностi при t→ +0). Тако- го ж типу результати, але вже у вiдповiдних просторах ( ◦ Sα)′, анон- сованi в [15] для B-параболiчних систем зi змiнними коефiцiєнтами, якi є нескiнченно диференцiйовними за x i обмеженими разом зi всiма своїми похiдними. Деталi доведень зазначених результатiв, у випадку B-параболiчного рiвняння зi сталими коефiцiєнтами, наведено в [21]. Згодом з’ясувалося [25–29], що теорiя просторiв типу S i W є при- родним середовищем дослiдження задачi Кошi не тiльки для дифе- ренцiальних рiвнянь (систем рiвнянь) з частинними похiдними, але й для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь з гладкими симво- лами. У термiнах цих просторiв описуються класи початкових даних, при яких задача Кошi не лише коректно розв’язна, але її розв’язок за просторовою змiнною має такi ж властивостi гладкостi й пове- дiнку в околi нескiнченно вiддалених точок, що й фундаментальний розв’язок рiвняння. При цьому виявилося, що чим краще поводиться з функцiйної точки зору фундаментальний розв’язок рiвняння, тобто чим вужчим є простiр типу S чи W , в який потрапляє фундаменталь- ний розв’язок, тим ширшими є класи початкових даних вiдповiдної задачi Кошi. З метою розширення класiв початкових даних задачi Кошi (за рамки просторiв типу W ) В. В. Городецьким разом з Р. С. Колiсник були побудованi функцiйнi простори Cρ, C γ , Cγ ρ (названi ними про- сторами типу C), якi мiстять простори типу W як певнi пiдкласи [30]. Дослiджено топологiчну структуру таких просторiв, вивчено основнi операцiї над їх елементами та поширено теорiю перетворення Фур’є на цi простори. У [29] дослiджується задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь ви- гляду ∂tU(t, x) = (AϕU)(t, x), де Aϕ — оператор Бесселя нескiнченного порядку, побудований за цiлою аналiтичною функцiєю ϕ, яка є мультиплiкатором у просторi WM Ω i така, що eϕ ∈ WM Ω . З’ясувалося, що в цьому випадку Aϕ на елементах з WM Ω допускає зображення в класичнiй формi дробового диференцiювання (тобто в термiнах перетворень Фур’є–Бесселя). Це дало змогу, завдяки традицiйним методам дослiджень з використан- ням перетворення Фур’є–Бесселя, встановити коректну розв’язнiсть задачi Кошi для таких рiвнянь за умови, що узагальненi початковi данi є згортувачами в просторi Фур’є-образiв елементiв з WM Ω . Згодом розглядалися рiвняння з оператором Aϕ загальнiшого ви- гляду. У [28] Aϕ — комбiнований оператор диференцiювання — Бес- 24 Задача Кошi... селя нескiнченного порядку, побудований за функцiєю ϕ з такими самими, що i ранiше, властивостями, а в [31] Aϕ — оператор Бесселя нескiнченного порядку з коефiцiєнтами, залежними вiд часу (симво- лом диференцiювання цього оператора є залежна вiд t функцiя ϕ, яка диференцiйовна за t i така, що ϕ разом з ϕ′ t мають такi самi власти- востi в просторi Cγ ρ , що й символ ϕ з [29] у WM Ω ). У зазначених пра- цях анонсованi твердження про необхiднi й достатнi умови коректної розв’язностi задачi Кошi для вiдповiдних рiвнянь з початковими да- ними, якi є узагальненими функцiями типу ультрарозподiлiв Жевре. Пiзнiше наводяться деталi доведень цих результатiв (щоправда, лише у випадку тверджень достатнього характеру щодо коректної розв’я- зностi) [32]. Слiд зазначити, що специфiка проведених дослiджень у [31, 32] насправдi не виводить дослiдження задачi Кошi за рамки просторiв типу W . Дiйсно, фундаментальнi розв’язки розглядуваних еволюцiйних рiвнянь належать до просторiв Cγ ρ з вiдповiдними ρ та γ, причому такими, що для Ω(x) = − ln ρ(x + 1), M(x) = ln γ(x + 1) на [0; +∞) iснують двоїстi за Юнгом функцiї. Тодi, продовживши Ω(·), M(·) парно на (−∞; 0), з огляду на означення двоїстостi за Юн- гом [18], дiстанемо, що зазначенi Ω(·) та M(·) мають усi властиво- стi опуклих функцiй, за допомогою яких будуються простори типу W [18, c. 7]. Якщо зважити тепер ще й на саме означення просторiв Cγ ρ та WM Ω , то дiстанемо таку топологiчну рiвнiсть: Cγ ρ = WM Ω . Отже, на сьогоднi достатньо розвинена теорiя задачi Кошi для класичних параболiчних систем рiвнянь iз частинними похiдними, що мiстять оператори Бесселя; iнтенсивно розвивається теорiя задачi Кошi для еволюцiйних сингулярних рiвнянь. Проте досi залишаються нез’ясованими питання, пов’язанi з: розвитком методики дослiджень задачi Кошi для еволюцiйних сингулярних (у зазначеному сенсi) си- стем з гладкими символами псевдодиференцiювання у випадку, коли початковi данi належать до досить широких класiв функцiй; поши- ренням результатiв, що стосуються класiв початкових даних, з яки- ми задача Кошi є коректно розв’язною, на випадок −→ 2B-параболiчних класичних сингулярних систем iз частинними похiдними та описом максимальних множин iз цих класiв, при яких вiдповiднi розв’язки задачi Кошi мають необхiднi властивостi. У цiй статтi, за допомогою опуклих вектор-функцiй Ω(·) i M(·) означується клас систем сингулярних псевдодиференцiальних рiв- нянь iз незалежними вiд просторових змiнних аналiтичними симво- лами, якi неперервнi за t i при кожному фiксованому t є мультиплi- каторами в WM Ω . Власнi числа матричного символу (псевдодиферен- цiювання) пiдпорядкованi спецiальнiй умовi, що накладає обмеження В. А. Лiтовченко 25 на поведiнку в комплексному просторi їх дiйсних частин. Цей клас мiстить у собi −→ 2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними, в яких за просторовими змiнними можуть дiяти степенi операторiв Бесселя. Для таких систем вивчаються властивостi фундаментальної ма- трицi розв’язкiв (ф.м.р.) та дослiджується коректна розв’язнiсть за- дачi Кошi в рамках просторiв типу W . Для окремого пiдкласу систем знайдено сукупнiсть усiх початкових узагальнених функцiй, при яких класичний розв’язок вiдповiдної задачi Кошi за просторовою змiнною має такi ж властивостi гладкостi й поведiнку в околi особливих точок, що й ф.м.р. Цей результат одержано завдяки критерiю мультиплiка- тора в просторах типу W , сформульованого в термiнах матрицанта системи в образах Фур’є–Бесселя. 1. Необхiднi вiдомостi. Постановка задачi Нехай C n, R n — n-вимiрнi комплексний та дiйсний евклiдовi прос- тори; N — множина натуральних чисел, Z+ =N∪{0}, Nm ={1; . . . ;m}, m ∈ N; x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) — елементи з R n; \|ϕ(·)\| =∑n j=1 \|ϕj(·)\|, де ϕ(·) = (ϕ1(·); . . . ;ϕn(·)), зокрема \|z\| = ∑n j=1 \|zj \|, z ∈ C n; zq = ∏n j=1 z qj j , q ∈ Z n +, z ∈ C n; ‖(bij)l,m i=1,j=1‖ = maxi∈Nl,j∈Nm \|bij \|; C∞(L) — простiр усiх нескiнченно диференцiйовних функцiй, визна- чених на множинi L; S — простiр Шварца [16], а ωj(·), j ∈ Nn, — зро- стаючi, неперервнi й необмеженi на [0; +∞) функцiї, причому ωj(0) = 0. Покладемо для t ≥ 0 Ωj(t) = ∫ t 0 ωj(ξ) dξ, j ∈ Nn. При кожному j ∈ Nn функцiя Ωj(·) має такi властивостi (див. [18]): 1) вона диференцiйовна, зростаюча на [0; +∞); 2) Ωj(0) = 0, limt→+∞ Ωj(t) = +∞; 3) Ωj(·) — опукла (донизу) функцiя, тобто: а) ∀ {t1, t2} ⊂ [0; +∞) : Ωj(t1) + Ωj(t2) ≤ Ωj(t1 + t2); б) ∀ δ ≥ 1 ∀ t ∈ [0; +∞): Ωj(δt) ≥ δΩj(t); в) ∀ δ ∈ (0; 1) ∀ t ∈ [0; +∞) : Ωj(δt) ≤ δΩj(t). Продовжимо Ωj(·), j ∈ Nn, на (−∞, 0) парно i покладемо Ω(x) = {Ωj(xj), j ∈ Nn}, x ∈ R n. Поряд з Ω, подiбним способом, за функцiями µj(·), j ∈ Nn, з та- кими самими властивостями, що й ωj(·), визначимо вектор-функцiю M(x)={Mj(xj), j ∈ Nn}, x ∈ R n, i розглянемо простори [18]: WΩ = { ϕ ∈ C∞(Rn) ∣∣ ∃ δ > 0 ∀ q ∈ Z n + ∃ cq > 0 ∀x ∈ R n : \|Dqϕ(x)\| ≤ cq exp{−\|Ω(δx)\|} } ; 26 Задача Кошi... WM = { ϕ ∈ C∞(Cn) ∣∣ ∃ δ > 0 ∀ q ∈ Z n + ∃ cq > 0 ∀ z = x+ iy ∈ C n : \|zqϕ(z)\| ≤ cq exp{\|M(δy)\|} } ; WM Ω = { ϕ ∈ C∞(Cn) ∣∣ ∃ {c, δ1, δ2} ⊂ (0; +∞) ∀ z ∈ C n : \|ϕ(z)\| ≤ c exp{Q−(δ1, δ2; z)} } , де Q±(δ1, δ2; z) = ±\|Ω(δ1x)\| + \|M(δ2y)\|, z = x + iy. Як зазначено в [18, 33], WM Ω = WΩ ⋂ WM — об’єднання повних, досконалих злi- ченно нормованих просторiв, причому послiдовнiсть {ϕν , ν ≥ 1} ⊂ WM Ω збiгається в цьому просторi до функцiї ϕ з WM Ω (позначатимемо ϕν W M Ω−−−−→ ν→+∞ ϕ) тодi i тiльки тодi, коли: 1) ϕν(z) −−−−→ ν→+∞ ϕ(z) рiвномiрно щодо z на кожному компактi K з C n; 2) ∃ {c, δ1, δ2} ⊂ (0; +∞) ∀ ν ≥ 1 ∀ z ∈ C n: \|ϕν(z)\| ≤ c exp{Q−(δ1, δ2; z)}. Надалi вважатимемо, що компоненти вектор-функцiї Ω, крiм за- значених властивостей, мають ще й таку: Ωj(δt) ≥ g1(δ)Ωj(t) + g2(δ), δ ∈ (0; 1), t ∈ R, j ∈ Nn, де g1(·), g2(·) — деякi обмеженi на (0; 1) функцiї, причому перша з них додатна, а Ω̃, M̃ — вектор-функцiї, з якими Ω та M — взаємодвоїстi за Юнгом [18]. Далi, зафiксуємо r з множини {0; 1; . . . ;n} i позначимо через r WΩ, r W M , r W M Ω сукупностi всiх функцiй вiдповiдно з WΩ, WM та WM Ω , якi є парними за першими r компонентами своїх аргументiв. У r W Ω , r W M , r W M Ω (надалi називатимемо їх просторами типу r W ) традицiй- ним способом визначається топологiя [18], при цьому, якщо r = 0, то WΩ = 0 W Ω , WM = 0 W M , WM Ω = 0 W M Ω . Сукупностi функцiй, якi заданi на R n, допускають аналiтичне продовження на весь C n i як функцiї комплексної змiнної є елементами просторiв r W M , r W M Ω , позначати- мемо через r W M (Rn), r W M Ω (Rn). Фактично з [18,28] одержуємо, що в просторах типу r W (Rn) визна- ченi та неперервнi: 1) операцiї додавання, вiднiмання та множення; 2) оператор комбiнованого зсуву T h x,ν : (T h x,νϕ)(x) = bν ∫ [0;π] ϕ(η hj xj (ξj), . . . , η hj xj (ξj), µ hr+1 xr+1 , . . . , µhn xn ) × ( r∏ j=1 sin2νj ξj ) dξ, В. А. Лiтовченко 27 ν = {νj > −1/2, j ∈ Nr}, h ∈ R n−r, r 6= 0; (T h x,νϕ)(x) = ϕ(x− h), {h;x} ⊂ R n, r = 0, де ηh x(ξ) = √ x2 + h2 − 2xh cos ξ, µh x = x−h, [0;π] = [0;π]×· · ·×[0;π] ⊂ R r, bν = ∏r j=1 Γ(νj + 1)/(Γ(1/2)Γ(νj + 1/2)), а Γ(·) — гамма-функцiя Ейлера, при цьому T h x,ν є нескiнченно диференцiйовним оператором у цих просторах; 3) оператор комбiнованого диференцiювання Bq′ ν,x′D q′′ x′′ = ( r∏ j=1 B qj νj ,xj )( n∏ j=r+1 ∂ qj xj ) , x = (x′;x′′) ∈ R n, q = (q′; q′′) ∈ Z n +, де Bνj ,xj = ∂2/∂x2 j + (2νj + 1)/xj∂/∂xj — оператор Бесселя порядку νj > −1/2, який дiє за змiнною xj ; 4) оператори Фур’є–Бесселя FB, F−1 B : ψ(σ) = FB[ϕ](σ) = ∫ Rn +,r ϕ(x′, x′′) ( r∏ l=1 jνl (σlxl)x 2νl+1 l ) ei(x ′′,σ′′)dx, ϕ(x) = F−1 B [ψ](x) = cν ∫ Rn +,r ψ(σ′, σ′′) ( r∏ l=1 jνl (σlxl)σ 2νl+1 l ) e−i(x′′,σ′′)dσ, де cν = (2π)r−n ∏r j=1(2 2νjΓ2(νj + 1))−1, R n +,r = {x ∈ R n : xj ≥ 0, j ∈ Nr}, ξ′ ∈ R r, ξ′′ = (ξr+1, . . . , ξn) ∈ R n−r, (x′′, σ′′) = ∑n j=r+1 xjσj , jν(·) — нормована функцiя Бесселя ν-го порядку (тобто jν( √ λξ) є розв’язком рiвняння D2 ξu+(2ν + 1)/ξDξu+λu = 0 за умови, що u(0) = 1, u′(0) = 0); причому правильнi такi спiввiдношення: FB[ r W Ω ] = r W Ω̃ ; FB[ r W M Ω ] = r W Ω̃ M̃ . Згортку двох функцiй ϕ i ψ з простору типу r W (Rn) означимо формулою (ϕ ∗ ψ)(x) = ∫ Rn +,r (T ξ x,νϕ(x))ψ(ξ) ( r∏ j=1 ξ 2νj+1 j ) dξ. Неважко переконатися, що для зазначених функцiй ϕ й ψ виконує- ться рiвнiсть FB[ϕ ∗ ψ] = FB[ϕ] · FB[ψ]. 28 Задача Кошi... Через Φ′ позначимо простiр, топологiчно спряжений з Φ∈{ r WΩ(Rn), r W M (Rn), r W M Ω (Rn)}. Оскiльки в просторах типу r W визначений опе- ратор комбiнованого зсуву аргументу T h x,ν , то згортку узагальненої функцiї f ∈ Φ′ з основною функцiєю ϕ ∈ Φ задамо формулою (f ∗ ϕ)(x) = 〈fξ, T ξ x,νϕ(x)〉, x ∈ R n, (тут 〈fξ, ·〉 позначає дiю функцiонала f за змiнною ξ). Зазначимо, що (f ∗ ϕ)(·) ∈ C∞(Rn) (бо T h x,ν нескiнченно диференцiйовний в Φ). Елемент f з Φ′ назвемо згортувачем у просторi Φ, якщо: 1) ∀ϕ ∈ Φ : f ∗ ϕ ∈ Φ; 2) операцiя f∗ — неперервна в Φ. Перетворення Фур’є–Бесселя елемента f з Φ′ означимо за допо- могою спiввiдношення 〈FB[f ], FB[ϕ]〉 = 〈f, ϕ〉, ϕ ∈ Φ. Нехай LM Ω,r([0;T ]), 0 < T < +∞, — сукупнiсть усiх функцiй a: [0;T ] × R n → C таких, що: 1) a(t, (x1, . . . , xn)) — парна функцiя за кожною змiнною xj , j ∈ Nr, причому a(t, ·), t ∈ [0, T ], допускає ана- лiтичне продовження до цiлої функцiї на C n; 2) ∃ {δ; c} ⊂ [0; +∞) ∀ t ∈ [0;T ) ∃ η ∈ (0; 1) ∀ ε ∈ (0; η) ∃ ν(ε) = ν(t, ε) > 0, ν(ε) −−−−→ ε→+0 0, ∀ z ∈ C n: \|a(t + ε, z) − a(t, z)\| ≤ ν(ε)(Q+(1, δ; z) + c); 3) ∃ {δ1; δ2; c} ⊂ [0; +∞) ∀ z ∈ C n: supt∈[0;T ] \|a(t, z)\| ≤ Q+(δ1, δ2; z) + c. Клас LM Ω,r замкнений вiдносно операцiй додавання, вiднiмання та множення на неперервну функцiю b(t), t ∈ [0;T ]. Бiльше того, якщо Ω̂(·), M̂(·) — опуклi вектор-функцiї такi, що Ω̂j(t) ≤ Ωj(t), M̂j(t) ≤ Mj(t), t ∈ [0, T ], j ∈ Nn, то очевидно, що LM̂ Ω̂,r ([0, T ]) ⊂ LM Ω,r([0, T ]). Правильне таке твердження. Лема 1.1. Нехай a належить до класу LM Ω,r([0;T ]). Тодi при кожно- му фiксованому t з [0, T ] функцiя a(t, ·) — мультиплiкатор у про- сторi Ψ ∈ { r W Ω ; r W M Ω }. Доведення. Згiдно з означенням мультиплiкатора, досить перекона- тися у виконаннi таких умов: 1) (a(t, ·)ϕ) ∈ Ψ, t ∈ [0;T ], ϕ ∈ Ψ; 2) ∀ {ϕ;ϕν , ν ≥ 1} ⊂ Ψ, ϕν Ψ−−−→ ν→∞ ϕ, ∀ t ∈ [0;T ] : a(t, ·)ϕν Ψ−−−→ ν→∞ a(t, ·)ϕ. Нехай спочатку Ψ = r W M Ω . Тодi, скориставшись умовою 3) з опису класу LM Ω,r([0;T ]), властивостями вектор-функцiй Ω i M , а також тим, що ϕ ∈ r W M Ω , дiстанемо \|a(t, z)ϕ(z)\| ≤ c1(Q +(δ1, δ2; z) + c) exp{Q−(δ3, δ4; z)} В. А. Лiтовченко 29 ≤ c2 sup τ>0 {τe−τ} exp{Q−(δ5, δ6; z)}, t ∈ [0;T ], z ∈ C n, де c2, δ5, δ6 — додатнi сталi, не залежнi вiд z. Отже, умова 1) вико- нується. Виконання умови 2) також є очевидним, якщо зважити на означе- ння збiжностi в r W M Ω , властивостi функцiї a та на те, що ϕν r W M Ω−−−→ ν→∞ ϕ. Доведення леми 1.1 у випадку, коли Ψ = r W Ω реалiзується анало- гiчно. Вiзьмемо тепер a з L M Ω,r ([0;T ]) i побудуємо в просторi Ψ̃ ∈ { r W M̃ ; r W M̃ Ω̃ } оператор Ba за допомогою формули (Baϕ)(t, ·) = F−1 B [a(t, ξ)FB[ϕ](ξ)](t, ·), t ∈ [0;T ], ϕ ∈ Ψ̃. Цей оператор є лiнiйним i неперервним у Ψ̃ (при кожному фiксова- ному t з [0;T ]), оскiльки такими є оператори перетворення Фур’є– Бесселя. Бiльше того, згiдно з твердженням леми 1.1, Ba : Ψ̃ → Ψ̃, t ∈ [0;T ]. (1.1) Властивiсть (1.1) оператора Ba дозволяє означити спряжений опе- ратор B∗ a до Ba у просторi Ψ̃′ так: 〈B∗ af, ϕ〉 = 〈f,Baϕ〉, f ∈ Ψ̃′, ϕ ∈ Ψ̃. Наведемо приклади оператора Ba. 1 0. Нехай a(t, ξ) = b(t) ( r∏ j=1 (−ξ2j )qj )( n∏ j=r+1 (iξj) qj ) , q ∈ Z n +, ξ ∈ C n, t ∈ [0;T ], а b(·) — неперервна функцiя на [0;T ]. Тодi оператор Ba у просторi Ψ̃ збiгатиметься з комбiнованим оператором диференцiювання Bq′ ν,z′D q′′ z′′ з коефiцiєнтом b(·), де q = (q′; q′′) ∈ Z n +. 2 0. Оскiльки a(·, ·) ∈ LM Ω,r([0;T ]), то a(t, z) = +∞∑ l=0 ∑ \|q\|=l cq(a)z ′2q′ z′′ q′′ , t ∈ [0;T ], z ∈ (z′; z′′) ∈ C n, (1.2) де z′2q′= ∏r j=1 z 2qj j , z′′q ′′ = ∏n j=r+1 z qj j , а 30 Задача Кошi... cq(a) = (( r∏ j=1 (2qj) )( n∏ j=r+1 qj ))−1 ∂\|2q′\|+\|q′′\|a(t, z) ∂z2q1 1 . . . ∂z2qr r ∂z qr+1 r+1 . . . ∂z qn n ∣∣∣ z=0 , q = (q′; q′′) ∈ Z n +. (1.3) Скористаємося розкладом (1.2) для означення оператора a(t, iBν,z′Dz′′): a(t, iBν,z′Dz′′) = +∞∑ l=0 ∑ \|q\|=l cq(a) ( r∏ j=1 (−Bνj ,zj )qj )( n∏ j=r+1 (−i∂zj )qj ) , який назвемо оператором Поста дробового диференцiювання з сим- волом a(t, ·), t ∈ [0;T ], породженого операторами (−Bν,z′) та (−iDz′′) (детальнiше про узагальнене диференцiювання за Постом див., на- приклад, у [34,35]). Зваживши на результати, одержанi в [28, 31], приходимо до ви- сновку, що (a(t, iBν,z′ , Dz′′)ϕ)(t, z) = (Baϕ)(t, z), t ∈ [0;T ], z ∈ C n, ϕ ∈ r W Ω̃ ( r W Ω̃ M̃ ). З огляду на цi приклади, домовимося надалi оператор Ba назива- ти псевдодиференцiальним оператором iз символом a (залежним вiд параметра t). Позначимо через Φ i Φ′ — декартовi степенi (з натуральним пока- зникомm) просторiв Φ i Φ′ з покомпонентною збiжнiстю у, вiдповiдно, Φ та Φ′; P(Φ) — множину всiх квадратних матриць порядку m, ряд- ками яких є елементи з Φ (також з покомпонентною збiжнiстю в про- сторi Φ). Говоритимемо, що вектор-функцiя ϕ = (ϕ1; . . . ;ϕm) — муль- типлiкатор у просторi Φ, якщо: 1) ∀ p ∈ P(Φ): pϕ ∈ Φ; 2) ∀ {p; pν , ν ≥ 1} ⊂ PΦ, pν P(Φ)−−−−→ ν→+∞ p : pνϕ Φ−−−−→ ν→+∞ pϕ. Нехай B=(Baij )m,m i=1,j=1 — матричний псевдодиференцiальний опе- ратор у просторi Ψ̃ з параметром t ∈ [0;T ], побудований за матрицею- символом At(·) = (aij(t, ·))m,m i=1,j=1, кожен елемент якої належить до класу LM Ω,r([0;T ]), тобто — оператор, дiя якого на елементах ϕ з Ψ̃, при кожному фiксованому t ∈ [0;T ], задається таким способом: (Bϕ)(t, ·) = ( m∑ j=1 (Baij ϕj)(t, ·) )m i=1 , де Baij — псевдодиференцiальний оператор з символом aij (нагадає- мо, що Ψ̃ ∈ { r W M̃ ; r W M̃ Ω̃ }). В. А. Лiтовченко 31 Розглянемо систему ∂tu(t, x) = (Bu)(t, x), (t, x) ∈ Π=(0;T ] × R n +,r, (1.4) де u = col(u1; . . . ;um). Припустимо, що для (1.4) виконується така умова: ∃ {δ∗1 ; δ∗2} ⊂ (0; +∞) ∃ c∗ ∈ R ∀ t ∈ (0;T ] ∀ ξ ∈ C n : max j∈Nm Reλj(t, ξ) ≤ Q−(δ∗1 , δ ∗ 2; ξ) + c∗, (1.5) де λj , j ∈ Nm, — власнi числа матрицi At — символу матричного оператора B. Наведемо приклади системи (1.4), для якої виконується умова (1.5). 1 0. −→ 2B-параболiчнi системи диференцiальних рiвнянь з операто- ром Бесселя i неперервними коефiцiєнтами, залежними лише вiд ча- су [6]. У цьому випадку Ω(ζ) = {ζ2Bj j , j ∈ Nn}, M(η) = {η2Bj j , j ∈ Nn}, де Bj , j ∈ Nn, — натуральнi компоненти вектора −→ B ; елементами кла- су LM Ω,1([0;T ]) є вирази вигляду ∑ bq(t) (∏r j=1(−ξ2j )qj )(∏n j=r+1(iξj) qj ) з неперервними функцiями bq(·) на множинi [0;T ] (тут знак суми по- ширюється на всi q з Z n + такi, що ∑r j=1 qj/Bj + ∑n j=r+1 qj/(2Bj) ≤ 1). 2 0. Нехай Bϕ — комбiнований оператор диференцiювання нескiн- ченного порядку в просторi r W Ω̃ M̃ , побудований за функцiєю ϕ(ξ) = +∞∑ l=0 ∑ \|q\|=l cq(ϕ)ξ′ 2q′ ξ′′ q′′ , ξ ∈ C n, (тут cq(ϕ) визначається рiвнiстю (1.3)), яка належить до класу PM Ω — сукупностi цiлих однозначних функцiй ϕ : C n → C, якi є мультиплi- каторами в r W M Ω i такi, що eϕ ∈ r W M Ω [28, 31]): (Bϕf)(x) = +∞∑ l=0 ∑ \|q\|=l cq(ϕ) (( r∏ j=1 (−Bνj ,xj )qj ) × ( n∏ j=r+1 (−i∂xj )qj )) f(x), x ∈ R n, f ∈ r W Ω̃ M̃ . Розглянемо систему { ∂tu1(t, x) = a(Bϕu1)(t, x) + t2u2(t, x), ∂tu2(t, x) = −u1(t, x) + a(Bϕu2)(t, x), (t;x) ∈ Π, a ∈ R. 32 Задача Кошi... Якщо розв’язок цiєї системи шукати лише серед елементiв класу r W Ω̃ M̃ , то At(ξ) = ( aϕ(ξ) t2 −1 aϕ(ξ) ) , ξ ∈ C n, (тут враховано те, що Bϕf = F−1 B [ϕFB[f ]], f ∈ r W Ω̃ M̃ (див. [28])). Звiд- си одержуємо, що λ1,2(t, ξ) = aϕ(ξ) ± it, ξ ∈ C n, t ∈ (0;T ]. Отже, Reλ1 = Reλ2 = aReϕ. З iншого боку, оскiльки ϕ ∈ PM Ω , то eϕ ∈ r W M Ω , тобто ∃ {c; δ1; δ2} ⊂ (0; +∞) ∀ t ∈ (0;T ] ∀ ξ ∈ C n : \|eϕ(ξ)\| = eRe ϕ(ξ) ≤ c exp{Q−(δ1, δ2; ξ)}, або, що те ж саме, Reϕ(ξ) ≤ Q−(δ1, δ2; ξ) + c1, c1 = max{1; c}. Таким чином, дана система рiвнянь з оператором комбiнованого диференцiювання нескiнченного порядку, є системою (1.4), для якої виконується умова (1.5), лише при a > 0. Якщо для системи (1.4) задати крайовi умови ∂xl u ∣∣ xl=0 = 0, l ∈ Nr, (1.6) та початкову умову u(t, ·) ∣∣ t=0 = f, f ∈ Ψ̃ ′, (1.7) то пiд розв’язком задачi Кошi (1.4), (1.6), (1.7) (надалi, задача Кошi (1.4)) розумiтимемо таку вектор-функцiю u, яка диференцiйовна за t на (0;T ], при кожному фiксованому t з (0;T ] належить до областi визначення оператора B, задовольняє систему (1.4) та крайовi умо- ви (1.6) у звичайному розумiннi, а початкову умову (1.7) — у сенсi збiжностi в просторi Ψ̃ ′. В. А. Лiтовченко 33 2. Розв’язування задачi Кошi Подiємо формально на систему (1.4) перетворенням Фур’є–Бессе- ля вiдносно x, а вiдтак поширимо результат за просторовою змiнною ξ на увесь комплексний простiр C n. Одержимо лiнiйну систему зви- чайних диференцiальних рiвнянь з параметром ξ ∂tv(t, ξ) = (Atv)(t, ξ), (t, ξ) ∈ (0;T ] × C n, (2.1) де v = col(v1; . . . ; vm). Нехай θ(t; ξ, τ) = (θij(t; ξ, τ))m,m i=1,j=1 для всiх τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i ξ ∈ C n, є розв’язком системи (2.1), що задовольняє початкову умову θ(t; ξ, τ) ∣∣ t=τ = E (2.2) у звичайному розумiннi (тут E — одинична матриця), тобто матри- цант системи (2.1). Зазначимо, що зробленi припущення на елемен- ти матрицi At забезпечують iснування такого матрицанта, причому будь-який iнший розв’язок системи (2.1) має вигляд v = θC, де C — деяка матриця-стовпець з елементами, залежними лише вiд ξ (див., наприклад, у [36]). Наступнi допомiжнi твердження характеризують властивостi θ. Лема 2.1. Для кожного τ ∈ [0;T ) iснує ε ∈ (0; 1) таке, що для всiх t ∈ (τ ; τ + ε] i ξ ∈ C n ‖θ(t; ξ, τ)‖ ≤ c exp{((t− τ)/4)(Q−(δ∗1 , δ 0 2; ξ) + g∗)}, де c, δ02, g ∗ — додатнi сталi, не залежнi вiд τ , t, ε i ξ. Доведення. Запишемо (2.1) у виглядi ∂tθ = At∗(ξ)θ + q(t, ξ), (2.3) де q(t, ξ) = (At(ξ) −At∗(ξ))θ(t; ξ, τ), a t∗ — довiльно фiксована точка з [τ ;T ]. Розв’язавши задачу Кошi (2.2), (2.3), прийдемо до такого зображення матрицанта системи (2.1): θ(t; ξ, τ) = e(t−τ)At∗ (ξ) + t∫ τ e(t−σ)At∗(ξ)q(σ, ξ) dσ, де e(t−τ)At∗ = E + ∑∞ j=1((t− τ)At∗) j/j!. 34 Задача Кошi... Згiдно з твердженням вiдповiдної леми з [18, c. 78] ‖e(t−τ)At∗(ξ)‖ ≤ ce(t−τ)maxj∈Nm Reλj(t ∗,ξ) ( 1 + m−1∑ j=1 (2(t− τ)‖At∗(ξ)‖)j ) , для всiх t ∈ [τ ;T ] i ξ ∈ C n, де c — додатна стала, не залежна вiд t, τ i ξ. Звiдси, скориставшись умовою (1.5), властивостями вектор-функ- цiї Ω та елементами матрицi At∗ i поклавши δk = maxi∈Nm,j∈Nm (mδij k ), k ∈ N2; c 0 = maxi∈Nm,j∈Nm (mcij), де δij k , cij — сталi з оцiнок елементiв aij матрицi At (див. умову 3) з означення класу LM Ω,r([0;T ])), одержи- мо, що ‖e(t−τ)At∗ (ξ)‖ ≤ c22(m−1) ( 1 + m−1∑ j=1 sup z>0 {zje−z} ) × exp{((t− τ)/2)[Q−(δ∗1 , 2δ ∗ 2 + δ2; ξ) + (2c∗ + c0)]} при δ∗1 ≥ δ1, i ‖e(t−τ)At∗ (ξ)‖ ≤ c(4/ ⌣ g 1) m−1 ( 1 + m−1∑ j=1 sup z>0 {zje−z} ) × exp { ((t− τ)/2)[Q−(δ∗1 , 2δ ∗ 2 + ⌢ g 1; ξ) + 2c∗ + ⌢ g 1c 0 − ⌢ g 2] } , ⌣ g 1 = min{1; g1(y ∗)}, ⌢ g 1 = max{1; g1(y ∗)}, ⌢ g 2 = { 0, g2(y ∗) ≥ 0, g2(y ∗), g2(y ∗) < 0, y∗ = δ∗1/δ1, якщо δ∗1 < δ1. Таким чином, iснують додатнi сталi c, δ0, не залежнi вiд t∗, t, τ i ξ, такi, що ‖e(t−τ)At∗ (ξ)‖ ≤ c exp{((t− τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)}, (2.4) для всiх τ ∈ [0;T ), {t∗; t} ⊂ [τ ;T ] i ξ ∈ C n, де g = 2c∗ + ⌢ g 1c 0 − ⌢ g 2. Використовуючи нерiвнiсть (2.4), знайдемо ‖θ(t; ξ, τ)‖ ≤ c exp{((t− τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)} + cm t∫ τ exp{((t− σ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)}‖q(σ, ξ)‖ dσ. (2.5) В. А. Лiтовченко 35 Оскiльки ‖q(t, ξ)‖ ≤ m‖At(ξ)−At∗(ξ)‖ ‖θ(t; ξ, τ)‖, то зваживши на властивостi елементiв матрицi At щодо змiнної t i поклавши t∗ = τ , для всiх t з (τ ; τ + ε] i ξ ∈ C n одержимо ‖q(t, ξ)‖ ≤ mν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01)‖θ(t; ξ, τ)‖, де δ0 = maxi∈Nm,j∈Nm {δij}, c01 = maxi∈Nm,j∈Nm {cij}; ν(·), δij й cij — вiдповiднi величини з властивостi 2) елемента aij матрицi At (див. опис класу LM Ω,r). Звiдси, а також з нерiвностi (2.5), дiстанемо ‖θ(t; ξ, τ)‖ exp{−((t− τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)} ≤ c+ cm2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01) × t∫ τ exp{−((σ − τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)}‖θ(σ; ξ, τ)‖ dσ, t ∈ (τ ; τ + ε], τ ∈ [0;T ), ξ ∈ C n. Тепер, поклавши ϕ(t) = ‖θ(t; ξ, τ)‖ exp{−((t− τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)}, φ(t) = c, χ(t) = cm2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01) i врахувавши твердження леми 2 з [37, c. 300], прийдемо до ϕ(t) ≤ φ(t) + t∫ τ χ(σ)φ(σ) exp { t∫ σ χ(ρ) dρ } dσ ≤ c+ (cm)2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01) × t∫ τ exp{(t− σ)cm2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01)} dσ ≤ c(1 + J(t; ξ, τ)), де J(t; ξ, τ) = exp{2cm2ν(ε)(t− τ)(Q+(1, δ0; ξ) + c01)}. Далi, при δ∗1 ≥ 1 J(t; ξ, τ) ≤ exp{((t− τ)/4)(8cm2ν(ε))(Q+(δ∗1 , δ 0; ξ) + c01)}, якщо ж 0 < δ∗1 < 1, то J(t; ξ, τ) ≤ exp{((t−τ)/4)(8cm2ν(ε)(g′1) −1)(Q+(δ∗1, g ′′ 1δ 0; ξ)+g′′1c 0 1−g′′2)}, 36 Задача Кошi... де g′1 = min{1; g1(δ ∗ 1)}, g′′1 = max{1; g1(δ ∗ 1)}, а g′′2 = { 0, g2(δ ∗ 1) ≥ 0, g2(δ ∗ 1), g2(δ ∗ 1) < 0; оскiльки Ωj(ζj) ≤ (Ωj(δ ∗ 1ζj) − g2(δ ∗ 1))/g1(δ ∗ 1), ζj ∈ R, j ∈ Nm. Зафiксуємо тепер ε > 0 так, щоб 8cm2ν(ε) ≤ g′1. Тодi, врахувавши те, що exp{((t− τ)/2)(Q−(δ∗1 , δ0; ξ) + g)} ≤ exp { ((τ − t)/4) n∑ j=1 Ωj(δ ∗ 1Re ξj) } × exp{((t− τ)/4)(Q−(δ∗1 , 2δ0; ξ) + 2g)}, для τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ; τ + ε] i ξ ∈ C n, дiстанемо таку оцiнку матрицан- та θ: ‖θ(t; ξ, τ)‖ ≤ c exp{((t− τ)/4)(Q−(δ∗1 , δ 0 2; ξ) + g∗)}, (2.6) де c, δ02 — додатнi сталi, не залежнi вiд τ , t, ξ i ε, а g∗ = 2g + g′′1c 0 1 − g′′2 . Лема 2.2. Iснують додатнi сталi c, δ∗1, δ 0 2 i g∗ такi, що для всiх t ∈ (τ ;T ] i ξ ∈ C n ‖θt(ξ)‖ ≤ c exp{(t/4)(Q−(δ∗1 , δ 0 2; ξ) + g∗)}, θt(·) = θ(t; ·, 0). (2.7) Дане твердження стає очевидним, якщо зважити на те, що згiдно з лемою 2.1 iснує таке розбиття {tj}k j=1 промiжку (0; t], t ∈ (0;T ], на кожному елементi (tj ; tj+1] якого для матрицанта θ виконується нерiвнiсть (2.6) зi сталими, не залежними вiд t, tj , tj+1 i ξ, а також на одну з вiдомих властивостей матрицанта [36]: θ(t; ·, t0) = θ(t; ·, t1)θ(t1; ·, t0), {t0; t1; t} ⊂ (0;T ]. Наслiдок 2.1. При кожному фiксованому t з (0;T ] θt(·) належить до класу P(Ψ). Лема 2.3. Кожен елемент матрицанта θt(·) диференцiйовний за t ∈ (0;T ] у розумiннi топологiї простору Ψ. В. А. Лiтовченко 37 Доведення. Досить переконатися в тому, що граничне спiввiдношен- ня θ̂∆t(t, ·)=(θ(t+∆t)(·) − θt(·))/∆t −−−−→ ∆t→0 At(·)θt(·) виконується в сенсi збiжностi в класi P(Ψ). Зазначимо, що матрицант θt диференцiйовний за t ∈ (0;T ] у зви- чайному розумiннi [36], тому згiдно з теоремою про скiнченнi приро- сти θ̂∆t(t, ·) = ∂tθ(t+ε∆t)(·), {t, t+ ε∆t} ⊂ (0;T ], ε ∈ (0; 1), тобто θ̂∆t(t, ·) = A(t+ε∆t)(·)θ(t+ε∆t)(·) (бо θτ (·) — звичайний розв’язок системи (2.1) для всiх τ з (0;T ]). Розглянемо спочатку випадок, коли ∆t ≥ 0. Тодi θ(t+ε∆t)(·) = θ(t+ ε∆t; ·, t)θt(·). Отже, A(t+ε∆t)θ(t+ε∆t) −Atθt = (At+ε∆tθ(t+ ε∆t; ·, t) −At)θt. Зваживши на властивостi елементiв матрицi At, а також на структу- ру матрицанта θ [36] θ(t; ξ, τ) = E + t∫ τ At1(ξ) dt1 + t∫ τ At1(ξ) t1∫ τ At2(ξ) dt2 dt1 + . . . , t ∈ [τ ;T ], ξ ∈ C n, (2.8) прийдемо до того, що A(t+ε∆t)(ξ) −−−−→ ∆t→0 At(ξ), θ(t+ ε∆t; ξ, t) −−−−→ ∆t→0 E рiвномiрно щодо ξ на кожнiй компактнiй множинi K ⊂ C n; а вiдтак — i до рiвномiрної збiжностi щодо ξ ∈ K матрицi θ̂∆t(t, ξ) до At(ξ)θt(ξ) при ∆t→ +0, для всiх t ∈ (0;T ]. Далi, нехай ∆t < 0, \|∆t\| < t/2, тодi A(t+ε∆t)θ(t+ε∆t) −Atθt = (A(t+ε∆t)θ(t+ ε∆t; ·, t/2) −Atθ(t; ·, t/2))θt/2. Звiдси, за аналогiєю з попереднiм випадком, одержуємо, що θ̂∆t(t, ξ) −−−−→ ∆t→0 At(ξ)θt(ξ), t ∈ (0;T ], 38 Задача Кошi... рiвномiрно щодо ξ на кожному компактi K з C n. Доведемо тепер, що кожний елемент матрицi θ̂∆t рiвномiрно обме- жений у просторi Ψ = r W M Ω щодо ∆t (для достатньо малих \|∆t\|). Дiйсно, ‖θ̂∆t(t, ·)‖ ≤ m‖A(t+ε∆t)(ξ)‖ ‖θ(t+ε∆t)(ξ)‖ ≤ mc(Q+(δ1, δ1; ξ) + c0) exp{((t+ ε∆t)/4)(Q−(δ∗1 , δ 0 2; ξ) + g∗)} ≤ c1 exp{Q−(δ∗1, δ 0 2; ξ) + g′}, c1 6= c1(∆t), δi 6= δi(∆t), i ∈ N2, g ′ 6= g′(∆t), (тут враховано властивостi елементiв матрицi At, твердження ле- ми 2.2, а також те, що (t+ ε∆t) ∈ [t/2; 3t/2] при \|∆t\| < t/2). Зазначена обмеженiсть матрицi θ̂∆t у випадку, коли Ψ = r W Ω пе- ревiряється аналогiчно. Зважаючи на те, що обернений оператор Фур’є–Бесселя F−1 B є неперервним у просторi Ψ, з твердження леми 2.3 дiстаємо такий наслiдок. Наслiдок 2.2. F−1 B [∂tθt(·)] = ∂tF −1 B [θt(·)], t ∈ (0;T ]. Лема 2.4. θt(·)ϕ(·) Ψ−−−→ t→+0 ϕ(·), ϕ ∈ Ψ. Доведення. Достатньо встановити виконання таких умов: 1) θt(ξ) −−−→ t→+0 E рiвномiрно щодо ξ на кожному компактi K ⊂ C n; 2) обме- женiсть вектор-функцiї θtϕ за t для достатньо малих t > 0 у класi Ψ при кожному ϕ ∈ Ψ. Зазначимо, що умова 2) стає очевидною, якщо врахувати оцiнку (2.7) матрицанта θ, а також те, що компоненти вектора ϕ належать до простору Ψ. Переконаємося у виконаннi умови 1). Для цього скористаємося структурою (2.8) матрицанта θt(·). Вiдомо [36], що матричний ряд (2.8) збiгається абсолютно й рiвномiрно щодо (t; ξ) на кожнiй множинi вигляду [a, b] × K, де [a, b] ⊂ (0;T ], а K — компакт iз C n. Звiдси вже, зваживши на вигляд кожного доданка ряду (2.8) (починаючи з другого) та властивостi елементiв матрицi At, дiстанемо виконання умови 1). Одержанi властивостi матрицанта θ системи (2.1) дозволяють сформулювати таке твердження про коректну розв’язнiсть задачi Ко- шi (1.4). В. А. Лiтовченко 39 Теорема 2.1. Нехай елемент f з Ψ̃ ′ такий, що FB[f ] — мультиплi- катор у класi Ψ. Тодi для задачi Кошi (1.4) iснує єдиний розв’язок u, який неперервно залежить вiд початкових даних i такий, що для всiх t з (0;T ]: 1) u(t, ·) ∈ Ψ̃; 2) FB[∂tu(t, ·)] = ∂tFB[u(t, ·)]; 3) u(t, ·) = Gt(·) ∗ f , де Gt(·) = F−1 B [θt(ξ)](t, ·), а p ∗ g = 〈g, T ξ x,νp〉 =( ∑m j=1〈gj , T ξ x,νpij〉 )m i=1 , p ∈ P(Ψ̃), g ∈ Ψ ′. Доведення. Оскiльки нас цiкавлять розв’язки системи (1.4), якi при кожному фiксованому t з (0;T ] є елементами простору Ψ̃ i по t за- довольняють умову 2) даної теореми, то зваживши на те, що вiд- ображення FB(F−1 B ) : Ψ̃ → Ψ є взаємно однозначним i неперервним, одержуємо рiвносильнiсть системи (1.4) з системою ∂tV (t, ξ) = (AtV )(t, ξ), (t, ξ) ∈ Π. (2.9) Причому початкова умова (1.7) виконуватиметься тодi й лише тодi, коли V (t, ·) Ψ′ −−−→ t→+0 FB[f ] (2.10) (див. означення перетворення Фур’є–Бесселя узагальненої функцiї). Отже, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (1.4) у про- сторi Ψ̃′ початкових даних рiвносильне питанню про коректну розв’я- знiсть задачi Кошi (2.9), (2.10) у просторi Ψ′ початкових даних (щодо крайових умов (1.6), то вони завжди виконуватимуться в цьому ви- падку, оскiльки j′νl (0) = 0, l ∈ Nr). Як уже зазначалося, система (2.9) є лiнiйною системою звичайних диференцiальних рiвнянь з параметром, загальний розв’язок якої має вигляд V (t, ξ) = θt(ξ)C(ξ), (t, ξ) ∈ Π. (2.11) З початкової умови (2.10), зваживши на (2.11) та на твердження ле- ми 2.4, одержимо 〈vj(t, ·), ϕj〉 = m∑ k=1 〈ck, θjk t (·)ϕj〉 −−−→ t→+0 〈cj , ϕj〉 = 〈FB[fj ], ϕj〉, ϕj ∈ Ψ, j ∈ Nm, (тут (·) позначає комплексну спряженiсть, а C = (ck) m k=1, θt = (θjk t )m,m j=1,k=1). 40 Задача Кошi... Отже, V (t, ·) = θt(·)FB[f ], t ∈ (0;T ], — розв’язок задачi Кошi (2.9), (2.10). Оскiльки FB[f ] — мультиплiкатор у Ψ, а матрицант θt(·) при кожному t з (0;T ] належить до P(Ψ) (див. наслiдок 2.1), то V (t, ·) ∈ Ψ, t ∈ (0;T ]. Доведемо тепер, що знайдений розв’язок єдиний в просторi Ψ. Для цього припустимо, що в цьому просторi iснує ще один розв’я- зок V1 задачi Кошi (2.9), (2.10). Виходячи зi структури загального розв’язку (2.11) системи (2.9), маємо V1(t, ·) = θt(·)C1(·), t ∈ (0;T ]. Оскiльки V1(t, ·) ∈ Ψ, t ∈ (0;T ], то компоненти вектора C1(·) — цiлi аналiтичнi функцiї на C n, якi є мультиплiкаторами в Ψ. Розгляне- мо вектор-функцiю V2(t, ·) = V1(t, ·) − V (t, ·), t ∈ (0;T ], яка також є розв’язком системи (2.9) i, як неважко переконатися, задовольняє нульову початкову умову: V2(t, ·) Ψ−−−→ t→+0 0. З цiєї умови дiстанемо, що 〈(C1 − FB[f ]), ϕ〉 = 〈0, ϕ〉, ϕ ∈ Ψ. (2.12) Зваживши на те, що θjj t (ξ) −−−→ t→+0 1 рiвномiрно щодо ξ на кожному компактi K ⊂ C n (див. доведення леми 2.4), прийдемо до iснування такого (достатньо малого) t0 > 0, що θjj t0 (ξ) 6= 0, ξ ∈ C n, j ∈ Nm. По- клавши тепер ϕj = (c1j − FB[fj ])(θ jj t0 (·))2, з (2.12) прийдемо до таких рiвностей: ∫ Rn +,r ( (c1j − FB[fj ])θ jj t (ξ) )2 ( r∏ k=1 ξ2νk+1 k ) dξ = 0, j ∈ Nm. Звiдси вже, врахувавши гладкiсть C1(·) i FB[f ](·), одержуємо рiв- нiсть цих вектор-функцiй на R n +,r. Таким чином, V1(t, ξ) ≡ V (t, ξ), (t, ξ) ∈ Π. Це й доводить єдинiсть розв’язку задачi Кошi (2.9), (2.10) у просторi Ψ. Щодо умови 2) цiєї теореми, то виконання її стає очевидним, якщо взяти до уваги наслiдок 2.2. Нарештi, з огляду на те, що u(t, ·) = F−1 B [V ](t, ·) = F−1 B [θt(ξ)FB[f ]](t, ·), t ∈ (0;T ], а також на аналог твердження теореми 1 з [38], одержимо, що u(t, ·) = Gt(·) ∗ f , t ∈ (0;T ]. Розв’язок u задачi Кошi (1.4) неперервно залежить вiд початкових даних задачi, оскiльки вiдповiдний розв’язок V має таку властивiсть, а F−1 B є неперервним оператором з Ψ у Ψ̃. В. А. Лiтовченко 41 Нехай далi для (1.4), крiм умови (1.5), виконується ще й така умова: ∃ {δ−1 ; δ−2 } ⊂ (0; +∞) ∃ c− ∈ R ∀ t ∈ [0;T ]∀ ξ ∈ C n : min j∈Nm Reλj(t, ξ) ≥ −(Q+(δ−1 , δ − 2 ; ξ) + c−). (2.13) Прикладом такої системи знову можуть бути −→ 2B-параболiчнi за Ейдельманом сингулярнi системи рiвнянь iз частинними похiдними. Виявляється, що в цьому випадку умови коректної розв’язностi задачi Кошi (1.4), сформульованi в теоремi 2.1, є не лише достатнiми, але й необхiдними. Для доведення цього факту нам знадобляться наступнi допомiжнi твердження. Лема 2.5. Нехай θ−1(t; ·, τ) — обернена матриця до матрицанта θ(t; ·, τ) системи (2.1) при τ ∈ [0;T ) i t ∈ (τ ;T ]. Тодi iснують додатнi сталi c, δ1, δ2 i g такi, що для всiх t ∈ (0;T ] i ξ ∈ C n ‖θ−1 t (ξ)‖ ≤ c exp{t(Q+(δ1, δ2; ξ) + g)}, θ−1 t (·) = θ−1(t; ·, 0). Доведення. Перш за все зазначимо, що θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t), t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0, T ). Дiйсно, згiдно з вiдповiдними властивостями ма- трицанта [36] E = θ(τ ; ·, τ) = θ(τ ; ·, t)θ(t; ·; τ), t ∈ (τ ;T ]. Отже, θ−1(t; ·, τ) — нормований розв’язок такої задачi Кошi: ∂τθ −1(t; ξ, τ) = Aτ (ξ)θ −1(t; ξ, τ), (τ, ξ) ∈ [0; t) × C n, θ−1(t; ·, τ)\|τ=t = E. (2.14) Далi дiятимемо так, як i при доведеннi леми 1.2. Зафiксуємо до- вiльне τ∗ з [0; t] i запишемо систему з (2.14) у виглядi ∂τθ −1 = Aτ∗(ξ)θ−1 + q(τ, ξ), де q(τ, ·) = (Aτ (·) −Aτ∗(·))θ−1(t; ·, τ). Тодi θ−1(t; ·, τ) = e(τ−t)Aτ∗ (·) + τ∫ t e(τ−σ)Aτ∗(·)q(σ, ·) dσ, причому правильнi такi нерiвностi: ‖e(τ−t)Aτ∗(ξ)‖ ≤ c e(τ−t)minj∈Nm Reλj(τ ∗,ξ) ( 1 + m−1∑ j=1 (2(t− τ)‖Aτ∗(ξ)‖)j ) 42 Задача Кошi... ≤ c ( 1 + 2m−1 m−1∑ j=1 ((t− τ)(Q+(δ1, δ2; ξ) + c0))j ) × exp{(t− τ)[Q+(δ−1 , δ − 2 ; ξ) + c−]} ≤ c2mm! exp{(t− τ)[Q+(δ−1 + δ1, δ − 2 + δ2; ξ) + c− + c0]}, τ ∈ [0; t). (2.15) Звiдси вже, зваживши на те, що при τ∗ = t для всiх τ з [t− ε, t), ε ∈ (0; 1), i ξ ∈ C n ‖q(τ, ξ)‖ ≤ mν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01)‖θ−1(t; ξ, τ)‖, дiстанемо ‖θ−1(t; ξ, τ)‖ exp{(τ − t)(Q+(δ1, δ2; ξ) + c+)} ≤ c+ cm2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01) × τ∫ t exp{(σ − t)(Q+(δ1, δ2; ξ) + c+)}‖θ−1(t; ξ, σ)‖ dσ, де c, δ1, δ2 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, τ , ξ i ε. Тепер скористаємося аналогом леми 2 з [37, c. 300] i прийдемо до нерiвностей ‖θ−1(t; ξ, τ)‖ exp{(τ − t)(Q+(δ1, δ2; ξ) + c+)} ≤ c+ (cm)2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01) × (t− τ) exp{(t− τ)cm2ν(ε)(Q+(δ1, δ2; ξ) + c01)} ≤ c(1 + exp{(t− τ)2cm2ν(ε)(Q+(1, δ0; ξ) + c01)}), або, що те ж саме, ‖θ−1(t; ξ, τ)‖ ≤ c exp{(τ − t)(1/2 + 3cm2ν(ε))(Q+(δ3, δ4; ξ) + c2)}, де δ3 = max{1; 2δ1}, δ4 = max{δ2; 2δ0}, c2 = max{c01; 2c+}, ξ ∈ C n, τ ∈ [t− ε, t), t ∈ (0;T ]. Зафiксуємо ε > 0 так, щоб t − ε ≥ 0 i виконувалася нерiвнiсть 6cm2ν(ε) ≤ 1, тодi для всiх t ∈ (0;T ], τ ∈ [t− ε, t) i ξ ∈ C n маємо ‖θ−1(t; ξ, τ)‖ ≤ c exp{(τ − t)(Q+(δ3, δ4; ξ) + c2)}, (2.16) де c, δ3, δ4 i c2 — додатнi сталi, не залежнi вiд t, τ , ξ i ε. На завершення зазначимо, що мiркуючи аналогiчно тому, як i при обґрунтуваннi твердження леми 2.2, за допомогою рiвностi θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t), оцiнку (2.16) можна легко поширити по змiннiй τ на весь промiжок [0, t) для кожного фiксованого t з (0, T ]. В. А. Лiтовченко 43 Лема 2.6. Для кожного елемента P (·) з P(Ψ) iснує число t0 ∈ (0; 1) таке, що для всiх t ∈ (0; t0) добуток P (·)θ−1 t (·) належить до класу P(Ψ). Доведення. Нехай спочатку Ψ = r W M Ω . Оскiльки матриця P нале- жить до P(Ψ), то ∃ {c1, δ3, δ4} ⊂ (0; +∞) ∀ ξ ∈ C n : ‖P (ξ)‖ ≤ c1 exp{Q−(δ3, δ4; ξ)}. Звiдси, зваживши на твердження леми 2.5 та на властивостi Ω(·) й M(·), одержимо ‖P (ξ)θ−1 t (ξ))‖ ≤ m2cc1e t·g exp { m∑ j=1 (tΩj(δ1Reξj) − Ωj(δ3Reξj) +Mj((δ2 + δ4)Imξj)) } ≤ m2cc1e g−g2(δ+) exp { m∑ j=1 ((t−g1(δ+))Ωj(δ1Reξj)+Mj((δ2+δ4)Imξj)) } , δ+ = min{1/2; δ3/δ1}, t ∈ (0; 1), ξ ∈ C n. Отже, для всiх t<g1(δ +) з iнтервалу (0;T ] i ξ∈C n добуток P (ξ)θ−1 t (ξ) належить до P(Ψ). Випадок Ψ = r W Ω реалiзується аналогiчно. Теорема 2.2 (критерiй мультиплiкатора). Для того, щоб век- тор-функцiя ϕ(·) була мультиплiкатором у Ψ, необхiдно й доста- тньо, щоб для кожного досить малого t ∈ (0; 1) добуток θt(·)ϕ на- лежав до простору Ψ. Доведення. Необхiднiсть очевидна, оскiльки матрицант θt(·) нале- жить до P(Ψ) для всiх t ∈ (0;T ] (див. наслiдок 2.1). Доведемо достатнiсть. Для цього зафiксуємо довiльно матрицю P (·) з P(Ψ) i розглянемо добуток Pϕ, який подамо в такому виглядi: P (·)ϕ(·) = (P (·)θ−1 t (·))(θt(·)ϕ(·)), t ∈ (0; 1). (2.17) На пiдставi твердження леми 2.6 одержуємо, що (Pϕ)(·) ∈ P(Ψ). От- же, умова 1) з означення мультиплiкатора в Ψ виконується (див. п. 1). Переконаємося тепер у виконаннi умови 2) з цього означення. Не- хай послiдовнiсть {P ;Pν , ν ≥ 1} ⊂ P(Ψ) така, що Pν P(Ψ)−−−−→ ν→+∞ P . Тодi досить довести, що Pνϕ Ψ−−−−→ ν→+∞ Pϕ, тобто: а) (Pν(ξ)−P (ξ))ϕ(ξ)−−−−→ ν→+∞ 44 Задача Кошi... 0 рiвномiрно щодо ξ на кожному компактi K ⊂ C n; б) послiдовнiсть {(Pνϕ)(·), ν ≥ 1} обмежена в Ψ. Зазначимо, що умова а) одержується безпосередньо зi збiжностi {Pν , ν ≥ 1} до P у класi P(Ψ) та з рiвномiрної обмеженостi ϕ на кожному компактi K ⊂ C n. Щодо умови б), то вона також стає очевидною, якщо зважити на рiвнiсть (2.17), лему 2.6 та збiжнiсть {Pν , ν ≥ 1} у P(Ψ). Основний результат цього пункту сформулюємо у виглядi насту- пного твердження. Теорема 2.3. Якщо для системи (1.4), крiм умови (1.5), виконує- ться умова (2.13), то для того, щоб вiдповiдна задача Кошi (1.4) була коректно розв’язною i: 1) її розв’язок u(t, ·) при кожному фi- ксованому t ∈ (0;T ] належав до простору Ψ̃; 2) ∂tFB[u] = FB[∂tu], t ∈ (0;T ], необхiдно й достатньо, щоб FB[f ] був мультиплiкатором у Ψ. При цьому завжди виконуватиметься рiвнiсть u(t, x) = Gt(x) ∗ f, (t, x) ∈ Π. Доведення. Достатнiсть одержується з теореми 2.1. Доведемо необхi- днiсть. Як уже зазначалося при доведеннi теореми 2.1, питання про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (1.4) у просторi Ψ̃ ′ початкових даних рiвносильне питанню про коректну розв’язнiсть задачi Кошi (2.9), (2.10) у просторi початкових даних Ψ ′. Тому достатньо вста- новити, що якщо задача Кошi (2.9), (2.10) коректно розв’язна, то FB[f ] — мультиплiкатор у Ψ. Оскiльки V (t, ·) = θt(·)C(·) ∈ Ψ при кожному фiксованому t з (0;T ] (див. (2.11)), то згiдно з теоремою 2.2, функцiя C(·) — муль- типлiкатор у Ψ. Зважаючи на твердження леми 2.4, з умови (2.10) одержуємо, що 〈C(·), ϕ(·)〉 = 〈FB[f ](·), ϕ(·)〉, ϕ ∈ Ψ. Звiдси, на пiдставi єдиностi розв’язку задачi Кошi (2.9), (2.10), при- ходимо до того, що FB[f ] — регулярний вектор-функцiонал, породже- ний мультиплiкатором у просторi Ψ. Наслiдок 2.3. Сукупнiсть усiх згортувачiв у класi Ψ̃ є максималь- ним класом початкових даних, при яких вiдповiдна задача Кошi для системи (1.4) коректно розв’язна, причому компоненти її розв’язку мають такi самi властивостi за просторовою змiнною, що й еле- менти ф.м.р. цiєї системи. В. А. Лiтовченко 45 3. Класичний випадок системи (1.4) Зафiксуємо довiльно вектор −→ B = {Bi ∈ N, i ∈ Nn} i розглянемо псевдодиференцiальний оператор B з таким матричним символом: At(ξ) = ( alj(t, ξ) = ∑ r−→ B (q)≤1 bljq (t) ( r∏ j=1 (−ξ2j )qj )( n∏ j=r+1 (iξj) qj ))m,m l=1,j=1 , де bljq (·) — неперервнi на [0;T ] функцiї, а r−→ B (q) = ∑r j=1 qj/Bj +∑n j=r+1 qj/(2Bj), q ∈ Z n +. Елементи матрицi At(·) належать до класу LM Ω,r з Ω(ξ) = {ξ2Bj j , j ∈ Nn}, M(η) = {η2Bj j , j ∈ Nn}. Зазначимо, що з такими вектор-функцiями Ω й M простiр WM Ω збiгається з простором Sβ α, α = {1/(2Bj), j ∈ Nn}, β = {1 − 1/(2Bj), j ∈ Nn} (тобто з просто- ром типу S) [16]. Надалi при таких Ω,M простiр r W M Ω позначатимемо r S β α . У цьому випадку система (1.4) набуде вигляду ∂tuj(t, x) = m∑ l=1 ∑ r−→ B (q)≤1 bjlq (t)Bq′ ν,x′D q′′ x′′ul(t, x), (t, x) ∈ Π, j ∈ Nm. (3.1) Вважатимемо, що для цiєї системи виконується вiдповiдна умова (1.5). Ця умова гарантує рiвномiрну щодо t −→ 2B-параболiчнiсть (у сенсi Шилова) системи (3.1), тобто: ∃ δ > 0 ∀ t ∈ (0;T ] ∀x ∈ R n : max j∈Nm Reλj(t, x) ≤ −δ n∑ j=1 x 2Bj j (3.2) (тут λj , j ∈ Nm, — власнi числа матрицi At(·)). З’ясуємо, чи з (3.2) ви- пливатиме (1.5). Розглянемо спочатку випадок незалежностi матрицi At(·) вiд змiнної t: At(·) ≡ A(·). Як зазначено фактично у [18, c. 133], умова (3.2) виконуватиметься для (3.1) тодi й тiльки тодi, коли ‖θt(x)‖ ≤ c ( 1 + n∑ j=1 x 2Bj j )m−1 exp { − at n∑ j=1 x 2Bj j } , c > 0, a > 0, (t, x) ∈ Π. (3.3) Крiм цього, є правильною оцiнка ‖θt(z)‖ ≤ c1 exp { bt n∑ j=1 ( x 2Bj j + y 2Bj j )} , c1 > 0, b > 0, (3.4) 46 Задача Кошi... для t ∈ (0, T ] i z = x + iy ∈ C n. Звiдси, з допомогою теорем типу Фрагмена–Лiндельофа [16, c. 247–249, 285], одержуємо, що ∃ δ > 0 ∀ t ∈ (0;T ] ∃ c > 0 ∀ z = x+ iy ∈ C n : ‖θt(z)‖ ≤ c exp { − δt n∑ j=1 ( x 2Bj j − y 2Bj j )} . (3.5) Тодi, скориставшись нерiвнiстю [18, c. 77] e t( max j∈Nm Reλj(t,z)) ≤ ‖etA(z)‖, t ∈ (0, T ], z ∈ C n, прийдемо до умови (1.5). Випадок залежностi матрицi At(·) вiд t (у вказаному сенсi) ре- алiзується складно. Тому тут зазначимо лише еквiвалентнiсть умов (1.5) i (3.2) у тому розумiннi, що кожна з них однаково характеризує поведiнку матрицанта θt у комплексному просторi C n. Дiйсно, згiдно з твердженням леми 2.2, для матрицанта θt двоїстої за Фур’є систе- ми до (3.1), для якої виконується умова (1.5), справджується оцiнка типу (3.5). Проте таку оцiнку легко одержати й завдяки зазначеним теоремам типу Фрагмена–Лiндельофа, виходячи лише з умови (3.2). Зваживши на те, що оцiнка (3.5) разом iз властивостями елементiв класу LM Ω,r([0, T ]) є достатнiми для виконання тверджень лем 2.2– 2.4, то твердження теореми 2.1 виконуватиметься й у випадку задачi Кошi для рiвномiрно щодо t −→ 2B-параболiчної (у розумiннi Шилова) системи (3.1). Припустимо тепер, що для (3.1) виконується ще й умова (2.13) при зазначених Ω та M . Тодi звуження (2.13) на R n буде таким: ∃ δ > 0 ∀ t ∈ (0;T ] ∀x ∈ R n : min j∈Nm Reλj(t, x) ≥ −δ n∑ j=1 x 2Bj j . (3.6) Як i в попередньому випадку, використовуючи вже θ−1 t , переконує- мося, що умова (3.6) забезпечує виконання твердження леми 6, а при незалежностi коефiцiєнтiв bljq (t) системи (3.1) вiд змiнної t — у рiв- носильностi умов (2.13) i (3.6) (тут iстотним є зображення θ−1 t (·) = e−tA(·)). Слiд також зазначити, що класична технiка дослiдження ф.м.р. параболiчних систем (з коефiцiєнтами, не залежними вiд просторової змiнної) [37], придатна й для дослiдження θ−1 (оскiльки θ−1(t; ·, τ) = θ(τ ; ·, t) — нормований розв’язок вiдповiдної системи (2.14)), причому вже для доведення леми 2.5 досить вимагати виконання умови (3.6) В. А. Лiтовченко 47 лише для λj = λ̃j — власних чисел матрицi A0 t (x) = ( ∑ r−→ B (q)=1 bljq (t) ( r∏ j=1 (−x2 j ) qj )( n∏ j=r+1 (ixj) qj ))m l,j=1 . Ця умова завжди виконується для −→ 2B-параболiчних (у розумiннi Ей- дельмана) систем (3.1). Тому, з огляду на доведення теореми 2.3, при- ходимо до висновку, що твердження цiєї теореми завжди справджу- ватиметься для −→ 2B-параболiчної (у сенсi Ейдельмана) системи (3.1), а також, коли виконуватимуться одночасно умови (3.2) i (3.6). Правильнi такi допомiжнi твердження. Лема 3.1. Нехай f ∈ ( r W Ω̃ M̃ )′, ϕ ∈ r W Ω̃ M̃ , а ρ(·)=(f∗ϕ)(·). Тодi функцiя ρ(·) — нескiнченно диференцiйовна на R n +,r, причому правильна така рiвнiсть: (Bq′ ν,x′D q′′ x′′ρ)(x) = 〈fξ, (B q′ ν,x′D q′′ x′′T ξ x,νϕ)(x, ξ)〉, q = (q′, q′′) ∈ Z n +, x = (x′, x′′) ∈ R n +,r. (3.7) Доведення. Нескiнченна диференцiйовнiсть на R n +,r функцiї ρ(·) без- посередньо випливає з означення згортки, нескiнченної диференцi- йовностi в просторi r W Ω̃ M̃ оператора комбiнованого зсуву T ξ x,ν [16, 32] та неперервностi функцiонала f . Звiдси, зокрема, зваживши на стру- ктуру оператора Бесселя й на лiнiйнiсть функцiонала f одержуємо, що Bq′ ν,x′D q′′ x′′〈fξ, T ξ x,νϕ〉 = 〈fξ, (B q′ ν,x′D q′′ x′′T ξ x,νϕ)(x, ξ)〉, (3.8) для всiх xj 6= 0 при j ∈ Nr таких, що вiдповiднi qj 6= 0 (тобто — виконання рiвностi (3.7) для зазначених x). Отже, для доведення рiвностi (3.7) в цiлому, достатньо перекона- тися в її виконаннi, наприклад, при x1 = 0 й q1 = 1 (решта випадкiв легко реалiзується аналогiчно завдяки iндукцiї). Як уже зазначалося в п.1, оператор комбiнованого зсуву T ξ x,ν та оператор Bq′ ν,x′D q′′ x′′ є неперервними в r W Ω̃ M̃ , тому Bν1,x1 Dq′′ x′′T ξ x,νϕ ∣∣ x1=0 = lim x1→0 (Bν1,x1 Dq′′ x′′T ξ x,νϕ), ϕ ∈ r W Ω̃ M̃ . (3.9) Оскiльки Dq′′ x′′T ξ x,νϕ(x) = T ξ x,νD q′′ x′′ϕ(x), x ∈ R n +,r, то, поклавши η(·) = (Dq′′ x′′ϕ)(·) i скориставшись рiвнiстю (3.9), одер- жимо, що при x1 = 0 48 Задача Кошi... 〈 FB[fξ](σ),−σ2 1 ( r∏ l=2 jνl (xlσl) ) ei(x ′′,σ′′)FB[η](σ) 〉 = 〈fξ, Bν1,0T ξ x,νη(x)〉 = 〈fξ, lim x1→0 (Bν1,x1 T ξ x,νη(x))〉 = 〈FB[fξ](σ), lim x1→0 FB[Bν1,x1 T ξ x,νη(x)](σ, x)〉 = 〈 FB[fξ](σ), lim x1→0 ( − σ2 1 ( r∏ l=1 jνl (xlσl) ) ei(x ′′,σ′′)FB[η](σ) )〉 (тут ми скористалися означенням перетворення Фур’є-Бесселя уза- гальненої функцiї, неперервнiстю оператора FB[·] у просторах типу r W , а також тим, що jν1 (0) = 1). Доведемо тепер, що при кожних фiксованих x′′ ∈ R n−r та xj ≥ 0, j ∈ {2; . . . ; r}, Rx(σ)= − σ2 1 ( r∏ l=1 jνl (xlσl) ) ei(x ′′,σ′′)FB[η](σ) r W M Ω−−−→ x1→0 Rx̂(σ), де x̂=(0, x2, . . . , xn). Для цього, згiдно з означенням збiжностi в r W M Ω , досить встановити виконання таких умов: а) Rx(σ) −−−→ x1→0 Rx̂(σ) рiв- номiрно щодо σ iз будь-якого компакта K ⊂ C n при фiксованих x′′ ∈ R n−r i xj ≥ 0, j ∈ {2; . . . ; r}; б) ∀xj ≥ 0, j ∈ {2; . . . ; r}, ∀x′′ ∈ R n−r ∃ {δ1, δ2, c} ⊂ (0; +∞) ∀x1 ∈ [0; 1) ∀σ ∈ C n : \|Rx(σ)\| ≤ c exp{Q−(δ1, δ2;σ)}. Зазначимо, що Rx̂(σ) = −σ2 1FB[T ξ x̂,νη](x̂, σ) ∈ r W M Ω , x̂ ∈ R n +,r, (3.10) (як функцiя змiнної σ), тому при кожному фiксованому x̂ функцiя Rx̂(σ) обмежена по σ за модулем на кожному компактi K ⊂ C n. Таким чином, доведення умови а) звелося до доведення рiвномiрної збiжно- стi \|jν1 (x1σ1) − jν1 (0)\| −−−→ x1→0 0. Скориставшись iнтегральною формулою Пуассона для нормова- ної функцiї Бесселя jν1 (ξ) = cν1 π/2∫ 0 cos(ξ cos τ) sin2ν1 τ dτ, ν1 > −1/2, ξ ∈ C, cν1 = 2Γ(ν1 + 1)/( √ πΓ(ν1 + 1/2)), (3.11) В. А. Лiтовченко 49 дiстанемо \|jν1 (x1σ1)−jν1 (0)\| ≤ \|cν1 \| π/2∫ 0 \| cos((x1σ1) cos τ)−1\| sin2ν1 τ dτ, σ1 ∈ C. Далi, згiдно з теоремою Лагранжа про скiнченнi прирости, \| cos(x1(σ1 cos τ)) − 1\| = \| sin(ζx1(σ1 cos τ))\| \|σ1 cos τ \|x1, ζ ∈ (0; 1), x1 ≥ 0, σ1 ∈ C. Звiдси, врахувавши те, що \| sin(ζx1σ1 cos τ)\| = 1 2 ∣∣eiζx1σ1 cos τ − e−iζx1σ1 cos τ ∣∣ ≤ e\|x1\| \|Imσ1\| ≤ e\|x1σ1\|, приходимо до оцiнки \|jν1 (x1σ1) − jν1 (0)\| ≤ x1\|cν1 \| \|σ1\|ex1\|σ1\| π/2∫ 0 sin2ν1 τ dτ = x1\|cν1 \| \|σ1\|(2ν1 + 1)−1ex1\|σ1\|, x1 ≥ 0, σ1 ∈ C, а вiдтак — i до виконання умови а). Доведемо тепер умову б). Безпосередньо з (3.10) одержуємо, що ∀xj ≥ 0, j ∈ {2; . . . ; r}, ∀x′′ ∈ R n−r ∃ {δ1, δ2, c1} ⊂ (0; +∞) ∀σ ∈ C n : ∣∣∣∣σ 2 1 r∏ l=2 jνl (xlνl)e i(x′′,σ′′)FB[η](σ) ∣∣∣∣ ≤ c1 exp{Q−(δ1, δ2;σ)}. Якщо взяти до уваги ще й оцiнку \|jν1 (x1σ1)\| = π/2\|cν1 sin2ν1 τ0\| \| cos(x1σ1 cos τ0)\| ≤ π/2\|cν1 sin2ν1 τ0\|e\|Imσ1\|, σ1 ∈ C, x1 ∈ [0; 1], τ0 ∈ (0;π/2), яка одержується фактично з формули (3.11) та теореми про середнє значення, то виконання умови б) стає очевидним. Таким чином, 〈fξ, Bν1,0T ξ x,νη(x)〉 = lim x1→0 〈 FB[fξ](σ),−σ2 1 ( r∏ l=1 jνl (xlσl) ) ei(x ′′,σ′′)FB[η](σ) 〉 50 Задача Кошi... = lim x1→0 〈fξ, Bν1,x1 T ξ x,νη(x)〉 = lim x1→0 Bν1,x1 〈fξ, T ξ x,νη(x))〉 = Bν,0〈fξ, T ξ x,νη(x)〉, x′′ ∈ R n−r, xj ≥ 0, j ∈ {2; . . . ; r}, (тут ми скористалися рiвнiстю (3.8)). Лема 3.2. Для кожної узагальненої вектор-функцiї f з ( r S α β )′ пра- вильна рiвнiсть ∂t(Gt ∗ f)(t, x) = (∂tGt ∗ f)(t, x), (t, x) ∈ Π, (тут i надалi Gt(·) — фундаментальна матриця розв’язкiв системи (3.1), а ( r S α β )′ — простiр, топологiчно спряжений до r S α β ). Доведення. Виходячи з означення згортки, достатньо довести, що граничне спiввiдношення Ĝ∆t(t, x)=(T ξ x,νG(t+∆t)(x) − T ξ x,νGt(x))/∆t −−−−→ ∆t→0 T ξ x,ν∂tGt(x), (t, x) ∈ Π, (3.12) виконується в розумiннi збiжностi в класi P( r S α β ). Але оскiльки FB[ r S β α ] = r S α β , причому перетворення Фур’є–Бесселя FB неперервне [21], то граничне спiввiдношення (3.12) у класi P( r S α β ) рiвносильне тому, що FB[Ĝ∆t(t, x)] P( r S β α ) −−−−→ ∆t→0 FB[T ξ x,ν∂tGt(x)], або, що те ж саме, ( r∏ l=1 jνl (ξlσl) ) ei(ξ ′′,σ′′)(θ̂∆t(t, σ) −At(σ)θt(σ))/∆t P( r S β α ) −−−−→ ∆t→0 0. Звiдси, зваживши на те, що функцiя ( ∏r l=1 jνl (ξlσl)) e i(ξ′′,σ′′) є му- льтиплiкатором у просторi r S β α (по кожнiй iз змiнних), а також — на лему 2.3, приходимо до твердження леми 3.2. Лема 3.3. Нехай f ∈ ( r S α β )′, тодi граничне спiввiдношення (Gt ∗ f)(t, ·) −−−→ t→+0 f виконується в класi ( r S α β )′. В. А. Лiтовченко 51 Доведення. Згiдно з означенням збiжностi в класi ( r S α β )′, необхiдно довести, що ∫ Rn +,r ( 〈fξ, T ξ x,νGt(ξ)〉ϕ(x) r∏ l=1 x2νl+1 l ) dx −−−→ t→+0 〈f, ϕ〉, ϕ ∈ r S α β , (тут враховано те, що Gt ∗ f — регулярний вектор-функцiонал (див. лему 3.1)), де 〈f, ϕ〉 = (〈f1, ϕ〉; . . . ; 〈fm, ϕ〉). Оскiльки кожний елемент функцiональної матрицi T ξ x,νGt(x) є неперервною абстрактною фун- кцiєю аргументу x у досконалому просторi r S α β , то, як випливає iз загальної теорiї iнтегрування неперервних абстрактних функцiй за параметром [16], ∫ Rn +,r (〈fξ, T ξ x,νGt(x)〉ϕ(x) r∏ l=1 x2νl+1 l ) dx = 〈 fξ, ∫ Rn +,r T ξ x,νGt(x)ϕ(x) r∏ l=1 x2νl+1 l dx 〉 = 〈fξ, Ǧt(ξ)〉, ϕ ∈ r S α β , де Ǧt(ξ)= ∫ Rn +,r T ξ x,νGt(x)ϕ(x) r∏ l=1 x2νl+1 l dx. Звiдси вже, згiдно з неперервнiстю векторного функцiонала f , стає зрозумiло, що для доведення леми 3.3 достатньо довести Ǧj,t(·) r S α β−−−→ t→+0 ϕ, j ∈ Nm, (3.13) де col(Ǧ1,t(·); . . . ; Ǧm,t(·)) = Ǧt(·). Зважаючи на те, що Ǧj,t(·) = m∑ i=1 (Gji t ∗ ϕ)(t, ·), Gt(·) = (Gij t (·))m,m i=1,j=1, причому FB[Ǧj,t](t, ·) = m∑ i=1 θji t (·)FB[ϕ](·), θt(·) = (θij t (·))m,m i=1,j=1, 52 Задача Кошi... а перетворення Фур’є–Бесселя взаємно однозначно й неперервно вiд- ображає простiр r S α β в r S β α , то граничнi спiввiдношення (3.13) доцiльно звести до вiдповiдних еквiвалентних: θij t (·)FB[ϕ](·) r S β α−−−→ t→+0 FB[ϕ](·), {i, j} ⊂ Nm. (3.14) На завершення зазначимо, що виконання спiввiдношень (3.14) без- посередньо випливає з твердження леми 2.4. Наступна теорема характеризує коректну розв’язнiсть задачi Ко- шi для системи (3.1). Теорема 3.1. Якщо початкова вектор-функцiя f належить до ( r S α β )′, то вiдповiдна задача Кошi для системи (3.1) коректно розв’я- зна. Її розв’язок диференцiйовний за t, нескiнченно диференцiйовний за x i зображається у виглядi u(t, x) = (Gt ∗ f)(t, x), f ∈ ( r S α β )′, (t, x) ∈ Π. Доведення. Диференцiйовнiсть за t й нескiнченна диференцiйовнiсть за x вектор-функцiї (Gt∗f)(t, x), (t, x) ∈ Π, безпосередньо випливають з лем 3.1, 3.2. Оскiльки ф.м.р. Gt(·) задовольняє систему (3.1), то за допомогою тверджень iз зазначених лем дiстанемо, що {∂t − B}(Gt ∗ f)(t, x) = {∂tGt(x) − (BGt)(x)} ∗ f = 0, (t, x) ∈ Π. Отже, вектор-функцiя u задовольняє систему (3.1) у звичайному розумiннi. З твердження леми 3.3 випливає, що u задовольняє початкову умову (1.7) у сенсi збiжностi в класi ( r S α β )′. Доведемо тепер, що вказаний розв’язок задачi Кошi для (3.1) єди- ний i вiн неперервно залежить вiд початкової вектор-функцiї f ∈ ( r S α β )′. Для цього скористаємося аналогом загальної теореми єдиностi з [18, с. 41]. Розглянемо спряжену задачу Кошi до задачi (1.6), (1.7), (3.1): ∂tV (τ, ξ) = −(B∗V )(τ, ξ), (τ, ξ) ∈ [0; t1) × R n +,r, t1 ∈ (0;T ], ∂ξl V ∣∣ ξl=0 = 0, l ∈ Nr, V (τ, ·) r S α β−−−−−→ τ→t1−0 ϕ(·), ϕ ∈ r S α β , (3.15) В. А. Лiтовченко 53 де B ∗ — матричний спряжений оператор до B системи (3.1), тобто оператор B ∗, побудований за матрицею-символом A∗ t = (At) T (тут iндексом T позначено операцiю транспонування). Згiдно з указаною теоремою iз [18], розв’язок задачi Кошi для (3.1) буде єдиним i непе- рервно залежатиме вiд f ∈ ( r S α β )′, якщо задача Кошi (3.15) розв’язна для довiльних t1 ∈ (0;T ] i ϕ ∈ r S α β . Зазначимо, що, мiркуючи так, як i у випадку Gt(·), можна дове- сти, що ф.м.р. G∗ τ (·) системи з (3.15) належить до класу P( r S α β ) при кожному τ < t1. Тодi класичний розв’язок задачi Кошi (3.15) зобра- жується формулою V (τ, ξ) = (G∗ τ ∗ ϕ)(τ, ξ), (τ, ξ) ∈ [0; t1) × R n +,r, i оскiльки ϕ ∈ r S α β , то V (τ, ·) також належить до r S α β для всiх τ < t1. Далi, перевiримо виконання початкової умови з (3.15) для знайде- ного розв’язку. Оскiльки перетворення Фур’є-Бесселя взаємно одно- значно й неперервно переводять простiр r S α β в r S β α , то граничне спiв- вiдношення з (3.15) еквiвалентне такому: FB[G∗ τ ](τ, ·)FB[ϕ](·) r S β α−−−−−→ τ→t1−0 FB[ϕ](·). (3.16) Проте у виконаннi (3.16) не важко переконатися, якщо дiяти так, як i при доведеннi леми 2.4. Щодо крайових умов iз (3.15), то вони також виконуються завдя- ки рiвностям j′νl (0) = 0, l ∈ Nr, а також тому, що V (τ, ·) = F−1 B [FB[V ]](τ, ·), τ ∈ [0; t1). Лiтература [1] М. И. Ключанцев, Интегралы дробного порядка и сингулярные краевые зада- чи // Дифференц. уравнения. ХII (1976), N 6, 983–990. [2] А. И. Егоров, Оптимальное управление тепловыми и диффузионными про- цессами. М.: Наука, 1978, 463 с. [3] П. К. Конаков, Т. Е. Веревочкин, Тепломассообмен при изучении монокри- сталлов. М.: Металлургия, 1971, 387 с. [4] А. В. Лыков Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978, 480 с. [5] В. В. Крехивский, М. И. Матийчук, Фундаментальные решения задачи Коши для линейных параболических систем с оператором Бесселя // Докл. АН СССР. 181 (1968), N 6, 1320–1323. 54 Задача Кошi... [6] М. И. Матийчук, Задача Коши для одного класса вырождающихся параболи- ческих систем // Укр. мат. журн. 36 (1984), N 3, 321–327. [7] М. И. Матийчук, Об одном методе решения задачи Коши для сингулярных параболических уравнений // Укр. мат. журн. 44 (1992), N 1, 135–134. [8] М. I. Матiйчук, Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. Київ: Iн-т матем. НАН України, 1999, 176 с. [9] В. В. Крехивский, Теоремы единственности решений задачи Коши для урав- нений с оператором Бесселя // Математическое моделирование физических процессов. К.: Ин-т матем. АН УССР, (1989), 82–86. [10] В. В. Крехiвський, Коректнiсть задачi Кошi для параболiчних систем ди- ференцiальних рiвнянь з оператором Бесселя // Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями: Зб. наук. пр. Чернiвцi, (1990), 96–103. [11] И. И. Веренич, М. И. Матийчук, О свойствах решений параболических си- стем с оператором Бесселя. // Матем. сборник. К.: Наук. думка, 1976, 151– 154. [12] С. Д. Ивасишен, В. П. Лавренчук, Об интегральном представлении реше- ний параболической системы с оператором Бесселя // Нелинейн. граничн. задачи. (1992), вып. 4, 19–25. [13] Я. И. Житомирский, Задача Коши для систем линейных уравнений в ча- стных производных с дифференциальным оператором Бесселя // Матем. сб. 36 (1955), N 2, 299–310. [14] В. В. Городецький, I. В. Житарюк, Задача Кошi для одного класу парабо- лiчних систем з оператором Бесселя в просторах узагальнених функцiй // Доп. АН УРСР. (1991), N 7, 20–23. [15] В. В. Городецький, Про гладкi розв’язки В-параболiчних рiвнянь та множи- ни їх початкових значень // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. праць. Київ: Iн-т матем. НАН України, (1996), вип. 12, 268–272. [16] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщенных фун- кций. М.: Физматгиз, 1958, 307 с. [17] Б. Л. Гуревич, Некоторые пространства основных и обобщенных функций и проблема Коши для конечно-разностных систем // Докл. АН СССР. 99 (1954), N 6, 893–896. [18] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958, 274 с. [19] М. Л. Горбачук, П. И. Дудников, О начальных данных задачи Коши для параболических уравнений, при которых решения бесконечно дифференциру- емы // Докл. АН УССР. Сер. А. (1981), N 4, 9–11. [20] О. Г. Возняк, С. Д. Iвасишен, Однозначна розв’язнiсть i властивiсть локалi- зацiї розв’язкiв задачi Кошi для одного класу вироджених рiвнянь з узагаль- неними початковими даними // Мат. методи та фiз.-мех. поля. 44 (2001), N 4, 27–39. [21] В. В. Городецький, Граничнi властивостi гладких у шарi розв’язкiв рiвнянь параболiчного типу. Чернiвцi: Рута, 1998, 225 с. [22] О. I. Кашпiровський, Аналiтичне зображення узагальнених функцiй типу S // Доп. АН УРСР. Сер. А. (1980), N 4, 12–14. В. А. Лiтовченко 55 [23] В. А. Лiтовченко, Цiлковита розв’язнiсть задачi Кошi у просторах типу S для рiвнянь, параболiчних за Петровським // Укр. мат. журн. 54 (2002), N 11, 1467–1479. [24] В. А. Литовченко, Задача Коши для {−→p , −→ h }-параболических уравнений с ко- эффициентами, зависящими от времени // Мат. заметки. 77 (2005), вып. 3, 395–411. [25] В. В. Городецький, О. М. Ленюк, Про дробове диференцiювання у просторах типу S′ // Доп. НАН України, (1998), N 11, 20–24. [26] В. А. Лiтовченко, Повна розв’язнiсть задачi Кошi для одного псевдодифе- ренцiального рiвняння у просторах типу S // Математичнi студiї. Львiв. 17 (2002), N 2, 189–198. [27] В. А. Лiтовченко, Коректна розв’язнiсть задачi Кошi для рiвняння з псев- додиференцiальним оператором Бесселя // Доп. НАН України. (2003), N 2, 21–25. [28] В. В. Городецький, О. В. Мартинюк, Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з операторами диференцiювання та Бесселя нескiнченного порядку // Доп. НАН України. (2003), N 9, 18–24. [29] О. В. Мартинюк, Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь з оператором Бессе- ля нескiнченного порядку // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 134. Математика. Чернiвцi: Рута, (2002), 71–83. [30] В. В. Городецький, Р. С. Колiсник, Про одне узагальнення просторiв типу W // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 134. Математика. Чернiвцi: Рута, (2002), 30–37. [31] В. В. Городецький, С. С. Дрiнь, Задача Кошi для еволюцiйних сингулярних рiвнянь нескiнченного порядку // Доп. НАН України. (2003), N 11, 12–17. [32] В. В. Городецький, Задача Кошi для еволюцiйних рiвнянь нескiнченного по- рядку. Чернiвцi: Рута, 2005, 291 с. [33] Т. I. Готинчан, Р. Н. Атаманюк, Рiзнi форми означення просторiв типу W // Наук. вiсник Чернiвецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 111. Математика. Чер- нiвцi: Рута, (2001), 21–26. [34] С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 688 с. [35] В. А. Лiтовченко, Зображення узагальненого диференцiювання за Е. Постом у класичнiй формi дробового диференцiювання // Наук. вiсн. Чернiвецького ун-ту. Матем. (2000), вип. 76, 54–58. [36] Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц. 4-е изд. М.: Наука, 1988, 552 с. [37] А. Фридман, Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968, 427 с. [38] В. М. Борок, Решение задачи Коши для некоторых типов систем линейных уравнений в частных производных // Докл. АН СССР. XCVII (1954), N 6, 949–952. 56 Задача Кошi... Вiдомостi про авторiв Владислав Антонович Лiтовченко Чернiвецький нацiональний унiверситет iм. Юрiя Федьковича вул. Коцюбинського 2, 58012, Чернiвцi Україна E-Mail: vladlit@chnu.cv.ua

Задача Коші для сингулярних псевдодиференціальних систем параболічного типу

Репозитарії

Схожі ресурси