Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II
В работе даётся обзор результатов, связанных с построением теории приближений в произвольных линейных пространствах.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124519 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II / А.И. Степанец // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 265-305. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124519 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Степанец, А.И. 2017-09-28T13:45:36Z 2017-09-28T13:45:36Z 2007 Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II / А.И. Степанец // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 265-305. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 41A65. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124519 В работе даётся обзор результатов, связанных с построением теории приближений в произвольных линейных пространствах. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II |
| spellingShingle |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II Степанец, А.И. |
| title_short |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II |
| title_full |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II |
| title_fullStr |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II |
| title_full_unstemmed |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II |
| title_sort |
об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. часть ii |
| author |
Степанец, А.И. |
| author_facet |
Степанец, А.И. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе даётся обзор результатов, связанных с построением теории приближений в произвольных линейных пространствах.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124519 |
| citation_txt |
Об экстремальных задачах теории приближений в линейных пространствах. Часть II / А.И. Степанец // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 2. — С. 265-305. — Бібліогр.: 54 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT stepanecai obékstremalʹnyhzadačahteoriipribliženiivlineinyhprostranstvahčastʹii |
| first_indexed |
2025-11-24T02:27:50Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:27:50Z |
| _version_ |
1850412888640978944 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 2, 265 – 305
Об экстремальных задачах теории
приближений в линейных пространствах.
Часть II
1
Александр И. Степанец
Аннотация. В работе даётся обзор результатов, связанных с по-
строением теории приближений в произвольных линейных прост-
ранствах.
2000 MSC. 41A65.
Ключевые слова и фразы. Линейное пространство, наилучшее
приближение, поперечник по Колмогорову, наилучшее n-членное
приближение, базисные поперечники.
4.8. Наилучшие n-членные приближения
Пусть Sp,µϕ = Sp,µϕ (X) — пространство, определяющееся пространс-
твом X, системой ϕ, числом p > 0 и последовательностью µ. Пусть,
далее, f ∈ Sp,µϕ и Eγn(f)p, µ — величина наилучшего приближения эле-
мента f посредством полиномов, построенных по заданному набору
γn из n базисных векторов, определяемая равенством (4.41). Величи-
на
en(f)p, µ = inf
γn
E γn(f)p, µ (4.50)
называется наилучшим n-членным приближением элемента f в про-
странстве Sp,µϕ , а величина
en(N)p, µ = sup
f∈N
en(f)p, µ (4.51)
— наилучшим n-членным приближением подмножества N из Sp,µϕ в
пространстве Sp,µϕ . Ясно,что величины en(f)p, µ и en(N)p, µ соответ-
ствуют величинам (3.4) и (3.5).
Статья поступила в редакцию 17.01.2005
1Часть I данной статьи была представлена в предыдущем номере журнала
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
266 Об экстремальных задачах теории приближений...
Величины, аналогичные определяемым равенством (4.51), впер-
вые по-видимому, рассматривались С. Б. Стечкиным [37], и затем
изучались в теории приближений периодических функций многими
авторами (см., например, [38–50]).
В качестве множеств N будем рассматривать множества ψ U q,λϕ
ψ-интегралов всех элементов из единичных шаров в пространствах
Sq,λϕ , при условиях, обеспечивающих включение
Sq,λϕ ⊂ Sp,µϕ .
Теорема 4.7. Пусть числа p и q — действительные числа такие,
что p ≥ q > 0; ψ, µ и λ — последовательности, удовлетворяющие
условию (4.25). Тогда при любом n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q, λ
ϕ )p, µ = sup
l>n
(l−n)
( l∑
k=1
(ψ′
k)
−q
)− p
q
= (l∗ −n)
( l∗∑
k=1
(ψ′
k)
−q
)− p
q
,
где ψ′ = {ψ′
k}
∞
k=1 — перестановка в убывающем порядке последова-
тельности
|ψ′
k| =
∣∣∣ψk µk
λk
∣∣∣, k = 1, 2, . . . , (4.52)
а l∗ — некоторое натуральное число.
Эта теорема, а также следующая теорема 4.8, в случае, когда µk =
λk ≡ 1, k ∈ N, доказаны в работах [14] и [15] (см. также [18]). В общем
случае они получены в [20]. Существенной частью доказательства
теоремы 4.7 является следующее утверждение, доказанное в [14] (см.
также [18]).
Лемма 4.1. Пусть α = {αk}
∞
k=1, — невозрастающая последователь-
ность положительных чисел, αk ≥ 0, k ∈ N, для которой
lim
k→∞
αk = 0
и m = {mk}
∞
k=1 — последовательность неотрицательных чисел,
mk ≥ 0, k ∈ N, удовлетворяющая условию
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1.
Пусть, далее, r — любое число, r ≥ 1,
S(r)(m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k, S(r)
γn (m) =
∑
k∈γn
αkm
r
k,
А. И. Степанец 267
где γn — произвольный набор из n натуральных чисел,
En(m) = Eα ,rn (m) = S(r)(m) − sup
γn
S(r)
γn (m)
и
En = Eα, rn = sup
|m|≤1
Eα, rn (m).
Тогда для любого натурального n существует число l∗ > n такое,
что
En = (l∗ − n)
( l∗∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
.
Число l∗ определяется равенством
sup
l>n
(l − n)
( l∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
= (l∗ − n)
( l∗∑
k=1
α
−1/r
k
)−r
.
При этом для последовательности m′ = {m′
k}
∞
k=1, у которой
m′
k =
α
−1/r
k
( l∗∑
i=1
α
−1/r
i
)−r
, k = 1, 2, . . . , l∗,
0, k > l∗,
выполняется равенство
En(m
′) = (l∗ − n)
( l∗∑
i=1
α
−1/r
i
)−r
.
В случае, когда q < p, справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.8. Пусть p и q — произвольные числа, причем q > p > 0,
ψ, µ и λ — последовательности, для которых выполняется условие
(4.29). Тогда при любом n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q, λ
ϕ )p, µ = σ
− p
q
1
[
(s− n)
q
q−p + σ
q
q−p
1 σ2
] q−p
q ,
где
σ1 = σ1(s) =
s∑
k=1
(ψ′
k)
−q, σ2 = σ2(s) =
∞∑
k=s+1
(ψ′
k)
−pq/(q−p),
ψ′ = {ψ′
k}
∞
k=1 — перестановка в убывающем порядке последователь-
ности
|ψ′
k| =
∣∣∣ψk
µk
λk
∣∣∣, k = 1, 2, . . . ,
268 Об экстремальных задачах теории приближений...
а число s выбрано из условия
(ψ′
s)
−q ≤
1
s− n
s∑
k=1
(ψ′
k)
−q < (ψ′
s+1)
−q.
Такое число s всегда существует и единственно.
Доказательство этой теоремы опирается на следующий аналог
леммы 4.1, полученной в [16] (см. также [18]).
Лемма 4.2. Пусть α = {αk}
∞
k=1 — невозрастающая последователь-
ность положительных чисел, αk ≥ 0, k ∈ N, для которой при дан-
ном r ∈ (0, 1) ∑
k
α
1
1−r
k <∞,
и m = {mk}
∞
k=1 — последовательность неотрицательных чисел,
mk ≥ 0, n ∈ N, удовлетворяющая условию
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1.
Пусть, далее, S(r)(m), S
(r)
γn (m), En(m) и En — величины, определен-
ные в лемме 4.1
Тогда для любого натурального n
En = En(α; r) = σ−r1 (s)
[
(s− n)
1
1−r + σ
1
1−r
1 σ2(s)
]1−r
,
где
σ1(s) =
s∑
k=1
α
−1/r
k , σ2(s) =
s∑
k=s+1
α
1
1−r
k ,
число s выбрано из условия
a−1/r
s ≤
σ1(s)
s− n
≤ α
−1/r
s+1 , s > n.
Такое число s всегда существует и единственно.
Верхняя грань в соотношении
En = sup
|m|≤1
En(m)
реализуется последовательностью m = {mk}
∞
k=1, где
mk =
(
ts
αk
)1/r
, k = 1, 2, . . . , s,
1−t
1/r
s σ1(s)
σ2(s) α
1/(1−r)
k , k > s,
ts =
(
σ1(s) +
(σ1(s)
s− n
)1/(1−r)
σ2(s)
)−r
.
А. И. Степанец 269
4.9. Наилучшие n-членные приближения с ограничениями
Пусть Γn — множество всех наборов γn из n натуральных чисел.
В этом случае величина en(f)p, µ, определяемая равенством (4.50),
может быть записана в виде
en(f)p, µ = inf
γn∈Γn
Eγn(f)p, µ.
Наряду с en(f)p, µ можно рассматривать и величины
en(f ; Γ′
n)p, µ = inf
γn∈Γ′
n
Eγn(f)p, µ,
где Γ′
n — некоторое собственное подмножество из Γn. В связи с
этим величину en(f)p, µ удобно назвать абсолютным наилучшим n-
членным приближением, а величину en(f ; Γ′
n)p, µ — наилучшим n-
членным приближением с ограничениями, имея в виду, что здесь
термин “ограничение” относится к выбору подмножества Γ′
n.
В качестве Γ′
n будем рассматривать два подмножества Γ
(1)
n и Γ
(2)
n .
Через Γ
(1)
n обозначается множество наборов
γ(1)
n = {i n+ 1, i n+ 2, . . . (i+ 1)n}, i = 0, 1, . . . ,
а через Γ
(2)
n — множество наборов
γ(2)
n = {i+ 1, i+ 2, . . . i+ n}, i = 0, 1, . . . .
Ясно, что всегда
Γ(1)
n ⊂ Γ(2)
n ⊂ Γn,
и поэтому справедливы неравенства
en(f)p, µ ≤ en(f ; Γ(2)
n )p, µ ≤ en(f ; Γ(1)
n )p, µ.
Следовательно, если положить
en(N; Γ′
n) = sup
f∈N
en(f ; Γ′
n)p, µ,
где N — некоторое подмножество из Sp, µϕ , то будут выполняться
оценки
en(N)p, µ ≤ en(N; Γ(2)
n )p, µ ≤ en(N; Γ(1)
n )p, µ. (4.53)
Как и раньше, в качестве множеств N будут выступать множества
ψ U q, λϕ ψ-интегралов всех элементов единичного шара U q, λϕ в про-
странстве Sq, λϕ .
Сначала рассмотрим случай, когда p ≥ q > 0. Справедлива
270 Об экстремальных задачах теории приближений...
Теорема 4.9. Пусть p и q — действительные числа такие, что
p ≥ q > 0; ψ, µ и λ — последовательности, для которых величины
|ψ′
k| =
∣∣∣ψkµk
λk
∣∣∣, k = 1, 2, . . . ,
не возрастая, стремятся к нулю. Тогда при любом n ∈ N выполня-
ются равенства
en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1))p, µ = en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(2))p, µ
= (l∗ − 1)1/p
( l∗∑
k=1
|ψ′
(k−1)n+1|
−q
)−1/q
, (4.54)
где l∗ — натуральное число, для которого
sup
l>1
(l− 1)1/p
( l∑
k=1
|ψ′
(k−1)n+1|
−q
)−1/q
= (l∗− 1)
l∗∑
k=1
|ψ′
(k−1)n+1|
−q
)−1/q
.
Такое число l∗ всегда существует.
Доказательство. Эта теорема в случае, когда µk ≡ λk ≡ 1, k ∈ N,
по существу, доказана в [20]. И в общем случае ее доказательство
получается фактически при помощи рассуждений из [20].
Прежде всего убедимся, что в рассматриваемом случае
ψ U q, λϕ ⊂ Sp, µϕ . (4.55)
Действительно, если f ∈ ψ U q, λϕ , то в силу (4.6) f̂ϕ(k) = ψkf̂
ψ
ϕ (k) и
‖f̂ ψ‖ q, λ =
∞∑
k=1
|f ψϕ (k)|q λqk ≤ 1. (4.56)
Поэтому с учетом неравенства Иенсена
‖f‖p, µ =
∞∑
k=1
|f̂ϕ(k)|p µpk =
∞∑
k=1
|ψ′
k|
p |f̂ ψ
ϕ (k)|p λpk ≤ |ψ′
1|
p,
откуда и следует включение (4.55).
Вследствие соотношения (4.53), для доказательства теоремы до-
статочно убедиться, что величина en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1))p, µ не больше, а ве-
личина en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(2))p, µ не меньше правой части (4.54).
В силу предложения 4.1 для любого набора γn ∈ Γn и любого
элемента f ∈ Sp, µϕ
Eγn(f)p, µ = Eγn(f)p, µ,
А. И. Степанец 271
поэтому для любого подмножества Γ′
n ⊂ Γn имеем
epn(f ; Γ′
n)p,µ = inf
γn∈Γ′
n
Epγn(f)p, µ
= inf
γn∈Γ′
n
‖f − Sγn(f)‖pp, µ = inf
γn∈Γ′
n
∑
k∈γn
|f̂ϕ(k)|p µpk
= inf
γn∈Γ′
n
( ∞∑
k=1
| f̂ϕ(k)|p µpk −
∑
k∈γn
|f̂ϕ(k)|p µpk
)
= ‖ f‖pp, µ − sup
γn∈Γ′
n
∑
k∈γn
| f̂ϕ(k)|p µpk. (4.57)
Следовательно, с учетом (4.6),
epn(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1)
n )p, µ
= sup
f∈ψ Uq, λϕ
( ∞∑
k=1
|ψk|
p |f̂ ψ
ϕ (k)|p µpk − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
|ψk|
p |f̂ ψ
ϕ (k)|p µpk
)
.
Отсюда, принимая во внимание (4.56) и полагая mk = | f̂ ψ
ϕ (k)λk|
q,
получаем
epn(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1)
n )p, µ ≤ sup
{ ∞∑
k=1
|ψ′
k|
pmr
k − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
|ψ′
k|
pmr
k,
r =
p
q
:
∞∑
k=1
mk ≤ 1, mk ≥ 0
}
. (4.58)
Для нахождения точного значения правой части (4.58), воспользуем-
ся следующей леммой, доказанной в [20].
Лемма 4.3. Пусть α = {αk}
∞
k=1 — невозрастающая последователь-
ность положительных чисел, для которой
lim
k→∞
αk = 0 (4.59)
и m = {mk}
∞
k=1 — последовательность неотрицательных чисел та-
кая, что
|m| =
∞∑
k=1
mk ≤ 1. (4.60)
(В этом случае записываем α ∈ A и , соответственно, m ∈ M).
272 Об экстремальных задачах теории приближений...
Пусть, далее, при каждом n ∈ N
Fn,r(α,m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k− sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k, α ∈ A, m ∈ M, r > 0,
и
σn,r(α) = sup
m∈M
Fn,r(α,m).
Тогда при любом r ≥ 1 и n ∈ N выполняется равенство
σn,r(α) = sup
q>1
(q − 1)
( q∑
i=1
α
−1/r
(i−1)n+1
)−r
. (4.61)
Верхняя грань в правой части (4.61) всегда достигается при некото-
ром значении q ∗. При этом для последовательности m′ = {m′
k}
∞
k=1
из M,
m′
k =
α
−1/r
(i−1)n+1
( q∗∑
j=1
α
−1/r
(j−1)n+1
)−1
, k = (i− 1)n+ 1, i = 1, 2, . . . q∗,
0 при остальных значениях k,
(4.62)
выполняется равенство
Fn,r(α,m
′) = (q ∗ − 1)
( q ∗∑
i=1
α
−1/r
(i−1)n+1
)−r
.
Полагая αk = |ψ′
k|
p, k ∈ N, видим, что для нахождения значений
правой части (4.58) применима лемма 4.3, согласно которой находим
epn(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1)
n )p, µ ≤ sup
l>1
(l − 1)
( l∑
i=1
|ψ′
(i−1)n+1|
−q
)− p
q
, (4.63)
при этом существует значение l∗, реализующее верхнюю грань пра-
вой части этого соотношения. Для завершения доказательства тео-
ремы остается показать, что величина en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(2))p, µ не меньше
правой части (4.63). Для этого покажем, что в множестве ψ U q, λϕ име-
ется элемент f∗, для которого
epn(f∗; Γ
(2)
n )p, µ = (l∗ − 1)
( l∗∑
i=1
|ψ′
(i−1)n+1|
−q
)−p/q
. (4.64)
С этой целью, исходя из соотношения (4.62), положим
h =
∞∑
k=1
ckϕk,
А. И. Степанец 273
где числа ck подобраны так, что
cqk =
|ψ′
(i−1)n+1
|−q
λq
(i−1)n+1
( l∗∑
j=1
|ψ′
(j−1)n+1|
−q
)−1
, k=(i− 1)n+1, i = 1, 2, . . . l∗;
0 при остальных значениях k.
(4.65)
Элемент h является линейной комбинацией конечного числа элемен-
тов системы ϕ, поэтому он принадлежит всем пространствам Spϕ при
любом p > 0, и так как
‖h‖qq,λ =
∞∑
k=1
cqk λ
q
k = 1,
то h ∈ U q, λϕ . Поэтому, полагая f∗ = J ψh, видим, что f∗ ∈ U q, λϕ и
fψ∗ = h. В то же время (см. (4.57))
epn(f∗; Γ
(2)
n )p, µ =
∞∑
k=1
|ψk|
p |f̂ ψ
∗ (k)|p µpk − sup
γn∈Γ
(2)
n
∑
k∈γn
|ψk|
p |f̂ ψ
∗ (k)|p µpk
=
∞∑
k=1
|ψk|
p cpk µ
p
k − sup
γn∈Γ
(2)
n
∑
k∈γn
|ψk|
p cpk µ
p
k.
Согласно (4.65)
cpk =
|ψ′
(i−1)n+1
|−p
λp
(i−1)n+1
( l∗∑
j=1
|ψ′
(j−1)n+1|
−q
)− p
q
, k=(i− 1)n+1, i=1, 2, . . . l∗;
0 при остальных значениях k.
(4.66)
Следовательно, учитывая, что множество γn ⊂ Γ
(1)
n может содержать
только одно число вида (i − 1)n + 1, i = 1, l∗, получаем равенство
(4.64):
epn(f∗; Γ
(2)
n )p, µ =
l∗∑
i=1
|ψ(i−1)n+1|
p cp(i−1)n+1 µ
p
(i−1)n+1
− max
1≤i≤l∗
|ψ(i−1)n+1|
p cp(i−1)n+1 µ
p
(i−1)n+1
= (l∗ − 1)
( l∗∑
i=1
|ψ′
(i−1)n+1|
−q
)−p/q
,
и поскольку при любом i, i = 1, l, согласно (4.66),
|ψ(i−1)n+1|
p cp(i−1)n+1 µ
p
(i−1)n+1 =
( l∗∑
j=1
|ψ′
(i−1)n+1|
−q
)−p/q
.
274 Об экстремальных задачах теории приближений...
Рассмотрим теперь случай, когда q > p > 0 и докажем следующее
утверждение.
Теорема 4.10. Пусть p и q — действительные числа такие, что
q > p > 0; ψ, µ и λ — последовательности, для которых величины
(4.54) не возрастая, стремятся к нулю и, кроме того, удовлетворя-
ют условию (4.29). Тогда при любом n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1)
n )p, µ = σ̃
− p
q
1 (s) [(s− 1)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)]
q−p
q , (4.67)
в котором
σ̃1(s) =
s∑
k=1
( k n∑
i=(k−1)n+1
|ψ′
i|
p q
q
)− q−p
q
, (4.68)
σ̃2(s) =
∞∑
k=s n+1
|ψ′
k|
p q
q−p . (4.69)
Число s выбрано из условия
( s n∑
k=(s−1)n+1
|ψ′
k|
p q
q−p
)− q−p
p
≤
σ̃1(s)
s− 1
<
( (s+1)n∑
k=s n+1
|ψ′
k|
p q
q−p
)− q−p
p
. (4.70)
Такое число s всегда существует и единственное.
Доказательство. Получим необходимую оценку сверху величины
en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ
(1)
n )p, µ.Для этого будем пользоваться неравенством (4.58),
которое справедливо и в рассматриваемом случае, а также следую-
щим аналогом леммы 4.3.
Лемма 4.4. Пусть α = {αk}
∞
k=1 — невозрастающая последователь-
ность положительных чисел, удовлетворяющая условию (4.59) и,
кроме того, при данном r ∈ (0, 1)
∞∑
k=1
α
1
1−r
k <∞,
а m = {mk}
∞
k=1 — последовательность неотрицательных чисел, для
которой выполняется условие (4.60). (В этом случае записываем
α ∈ Ar и, как и раньше, m ∈ M).
Пусть, далее, при каждом n ∈ N
Fn, r(α,m)=
∞∑
k=1
αkm
r
k− sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k, α ∈ Ar, m ∈ M, r ∈ (0, 1),
(4.71)
А. И. Степанец 275
и
σn, r(α) = sup
m∈M
Fn, r(α,m). (4.72)
Тогда при любых r ∈ (0, 1) и n ∈ N выполняется равенство
σn, r(α) = σ−r
1 (s) [(s− 1)
1
1−r + σ
r
1−r
1 (s)σ2(s)]
1−r, (4.73)
где
σ1(s) = σ1(α; s) =
s∑
k=1
( k n∑
i=(k−1)n+1
α
1
1−r
i
)− 1−r
r
, (4.74)
σ2(s) = σ2(α; s) =
∞∑
k=s n+1
α
1
1−r
i ,
число s выбрано из условия
a
− 1
r
s ≤
σ1(s)
s− 1
< a
− 1
r
s+1, aj =
( j n∑
i=(j−1)n+1
α
1
1−r
i
)1−r
, j = 1, 2, . . . ,
(4.75)
такое число s всегда существует и единственное.
Верхняя грань в (4.72) реализуется последовательностью m∗,
для которой
m∗
k = µ∗i α
1
1−r
k a
− 1
1−r
i , (i− 1)n+ 1 ≤ k ≤ i n, i = 1, 2, . . . , (4.76)
где
µ∗i =
(
ts
ai
)1/r
, i = 1, 2, . . . , s,
1−t
1
r
s σ1(s)
σ2(s) a
1
1−r
i , i > s,
ts =
(
σ1(s) +
(σ1(s)
s−1
) 1
1−r σ2(s)
)−r
.
Доказательство леммы 4.4. Ясно, что при сделанных предположе-
ниях точная верхняя грань в (4.71) всегда достигается для некоторо-
го (возможно не единственного) набора γ′n ∈ Γ
(1)
n и равно некоторому
числу S:
sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k =
∑
k∈γ′n
αkm
r
k = S.
Отметив это, ряд в (4.71) при данной m ∈ M представим в виде
∞∑
k=1
αkm
r
k =
∞∑
i=1
Ai(α, m), Ai(α, m) =
i n∑
k=(i−1)n+1
αkm
r
k. (4.77)
276 Об экстремальных задачах теории приближений...
Для оценки сверху величины Ai(α,m) воспользуемся следующим ут-
верждением, которое легко следует из неравенства Гельдера (его до-
казательство имеется в [18, § 11.7]).
Утверждение 4.1. Если
fn(x) =
n∑
k=1
αk x
r
k, α ∈ Ar, 0 < r < 1, n ∈ N,
то
sup
{
fn(x) : xk ≥ 0,
n∑
k=1
xk ≤ c, c > 0
}
= fn(x
∗),
где
x∗k =
c α
1
1−r
k
∑n
k=1 α
1
1−r
k
.
Отсюда получаем
Следствие 4.1. Пусть µ = {µk}
∞
k=1, µk ≥ 0, и
Mi =
i n∑
j=(i−1)n+1
µj , i = 1, 2, . . . .
Тогда
Ai(α, µ) ≤ Ai(α, µ) =
i n∑
k=(i−1)n+1
αk µ
r
k,
где
µk = Mi α
1
1−r
k
( i n∑
k=(i−1)n+1
α
1
1−r
k
)−1
,
так что
Ai(α, µ ) = aiM
r
i , ai =
( i n∑
k=(i−1)n+1
α
1
1−r
k
)1−r
, i = 1, 2, . . . . (4.78)
Руководствуясь этим фактом для даннойm ∈ M, получим оценки
величин Ai(α, m). Пусть
Mi =
i n∑
j=(i−1)n+1
mj , i = 1, 2, . . . .
А. И. Степанец 277
Если для данного i будет aiM
r
i ≤ S, то положим M i = Mi; если
же будет aiM
r
i > S, то через M i обозначим число, для которого
aiM
r
i = S. В этом случае всегда M i ≤Mi, и следовательно,
∞∑
i=1
M i ≤
∞∑
i=1
Mi =
∞∑
k=1
mk = |m | ≤ 1.
В то же время
Ai(α, m ) ≤ aiM
r
i ,
поэтому и
∞∑
k=1
αkm
r
k ≤
∞∑
i=1
aiM
r
i . (4.79)
Рассмотрим выражение
∑
( a, M) =
∞∑
i=1
aiM
r
i − sup
i≥1
aiM
r
i . (4.80)
По построению
sup
i
aiM
r
i ≤ S,
следовательно, согласно (4.71) и (4.79), имеем
Fn, r(α,m) ≤
∑
(a, M),
и, значит,
sup
|m |≤1
Fn, r(α,m) ≤ sup
|M |≤1
∑
(a, M), |M | =
∞∑
i=1
Mi. (4.81)
Но в силу (4.80)
sup
|M |≤1
∑
(a, M) = sup
|µ |≤1
( ∞∑
k=1
ak µ
r
k − sup
k≥1
ak µ
r
k
)
= E1(a; r), (4.82)
где через E1(a; r) обозначена величина En(α; r) из леммы 4.2 при n = 1
и α = a.
Последовательность a, образованная числами ai из (4.78), удовле-
творяет всем требованиям леммы 4.2: числа ai не возрастают и ai > 0
при всех i ∈ N. Кроме того,
∞∑
i=1
a
1
1−r
i =
∞∑
i=1
∞∑
j=(i−1)n+1
α
1
1−r
j =
∞∑
i=1
α
1
1−r
i <∞.
278 Об экстремальных задачах теории приближений...
Применяя лемму 4.2, находим
E1(a; r) = σ−r1 (s)[(s− 1)
1
1−r + σ
r
1−r
1 (s)σ2(s)]
1−r, (4.83)
где число s выбрано из условия (4.75), а величины σ1(s) и σ2(s)
определены соотношениями (4.73) и (4.74). При этом точная верхняя
грань в (4.82) реализуется последовательностью µ∗, для которой
µ∗k =
(
ts
ak
)1/r
, k = 1, 2, . . . , s,
1−t
1
r
s σ1(s)
σ2(s) a
1
1−r
k , k > s,
ts =
(
σ1(s) +
(σ1(s)
s−1
) 1
1−r σ2(s)
)−r
.
(4.84)
Объединяя соотношения (4.72) и (4.81)–(4.83), получим
σn, r(α) ≤ σ−r1 (s) [(s− 1)
1
1−r + σ
− r
1−r
1 (s)σ2(s)]
1−r, (4.85)
и для завершения доказательства леммы остается показать, что ве-
личина Fn, r(α; m∗) равна правой части (4.85) и что m∗ ∈ M.
Согласно (4.71) и (4.77)
Fn, r(α, m
∗) =
∞∑
i=1
Ai(α, m
∗) − sup
i
Ai(α,m
∗)
и в силу (4.76)
Ai(α,m
∗) = ai µ
∗
i
r =
ts, i = 1, 2, . . . , s
(1−t
1
r
s σ1(s)
σ2(s)
)r
a
1
1−r
i , i > s.
(4.86)
Последовательность µ∗ является экстремальной в лемме 4.2 (при n =
1 и α = a) и, как показано при доказательстве этой леммы в [18],
обладает тем свойством, что числа ai µ
∗
i
r не возрастают. Поэтому из
(4.85) и (4.86) заключаем, что
Fn, r(α, m
∗) =
∞∑
i=2
Ai(α, m
∗) =
s∑
i=2
Ai(α,m
∗) +
∞∑
i=s+1
Ai(α,m
∗)
= (s− 1)ts + (1 − t1/rs σ1(s))
r (σ2(s))
1−r.
Подставляя сюда значение ts, убеждаемся в справедливости требуе-
мого равенства. Тот факт, чтоm∗ ∈ M, проверяется непосредственно:
m∗ ≥ 0, и согласно (4.76),
|m∗| =
∞∑
i=1
i n∑
k=(i−1)n+1
m∗
k =
∞∑
i=1
µ∗i = 1.
Лемма 4.4 доказана.
А. И. Степанец 279
Продолжим доказательство теоремы.
Полагая αk = |ψ′
k|
p, k ∈ N, замечаем, что для нахождения значе-
ний правой части (4.58) в рассматриваемом случае применима лем-
ма 4.4, в силу которой
en(ψ U
q, λ
ϕ ; Γ(1)
n )p, µ ≤ σ̃
−1/q
1 (s)[(s− 1)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)]
q−p
q p , (4.87)
где величины σ̃1(·), σ̃2(·) и число s определяются соотношениями
(4.67)–(4.70) и для завершения доказательства теоремы теперь сле-
дует показать, что в соотношении (4.87) строгого неравенства быть не
может. Понятно, что для этого достаточно показать, что при любом
ε > 0 во множестве ψ U q, λϕ есть элемент fε , для которого значение
en(fε; Γ
(1)
n ) отличается от правой части (4.87) не больше, чем на ε.
Выберем число s из условия (4.70). Поскольку σ̃(s) = σ1(|ψ
′|p; s),
где σ1(|ψ
′|p; s) — величина из (4.74) при α = |ψ′|p, то, согласно лем-
ме 4.4, такое число всегда существует и единственное.
При выбранном s найдем значение t̃s по формуле
t̃s =
(
σ̃1(s) +
( σ̃1(s)
s− 1
) q
q−p
σ̃2(s)
)− p
q
, (4.88)
где σ̃2(s) = σ2(|ψ′|p; s), и положим
µ̃i =
(
t̃s
ãk
) q
p , i = 1, 2, . . . , s,
1−t̃
q
p
s σ̃1(s)
σ̃2(s) ã
q
q−p
i , i > s,
(4.89)
где
ãi =
( i n∑
k=(i−1)n+1
|ψ′
k|
pq
q−p
) q−p
q
,
m̃k = µ̃i|ψ
′
k|
qp
q−p ã
− q
q−p
i , (i− 1)n+ 1 ≤ k ≤ i n, i = 1, 2 . . . . (4.90)
При каждых k0 ∈ N и n ∈ N рассмотрим элемент
hk0 =
k0 n∑
k=1
ck ϕk, (4.91)
у которого
ck =
m̃
1
q
k
λ
. (4.92)
Элемент hk0 , являясь линейной комбинацией конечного числа эле-
ментов ϕk, принадлежит всем пространствам Sp,µϕ и Sq,λϕ при любых
280 Об экстремальных задачах теории приближений...
значениях p > 0 и q > 0, и так как ‖hk0‖
q
q,λ =
∑k0
k=1 c
q
kλ
q
k =
∑k0
k=1 m̃k ≤
1, то hk0 ∈ U q,λϕ . Следовательно, если положим fk0 = J ψhk0 , то уви-
дим, что fk0 ∈ ψ U q,λϕ и ‖fψk0‖ ≤ 1.
Считая число k0 достаточно большим, пользуясь формулой (4.57),
найдем значение epn(fk0 ; Γ
(1)
n ). С учетом соотношений (4.88)–(4.92) име-
ем
epn(fk0 ; Γ
(1)
n )p, µ = ‖fk0‖
p
p, µ − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
|f̂k0(k)|
p µpk
=
∞∑
k=1
|ψk |
p |f̂ ψ
k0
(k)|p|µk|
p − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
|ψk|
p |f̂ ψ
k0
(k)|µpk
=
k0 n∑
k=1
|ψ′
k|
p m̃
p
q
k − sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
|ψ′
k|
p m̃
p
q
k
=
k0∑
i=1
i n∑
k=(i−1)n+1
|ψ′
k|
p m̃
p
q
k − sup
i≤k0
i n∑
j=(i−1)n+1
|ψ′
k|
p |m̃
p
q
k . (4.93)
Полагая
Ãi =
i n∑
k=(i−1)n+1
|ψ′
k|
p |m̃
p
q
k , (4.94)
с учетом формул (4.88)–(4.90), находим
Ãi = µ̃
p
q
i ã
− p
q−p
i
i n∑
k=(i−1)n+1
|ψ′
k|
p q
q−p = µ̃
p
q
i ãi, i = 1, 2, . . . k0.
Поэтому
Ãi =
t̃s, i = 1, 2, . . . , s,
(1−t̃
q
p
s σ̃1(s)
σ̃2(s)
) p
q ã
p
q−p
i , i = s+ 1, . . . k0.
(4.95)
Объединяя соотношения (4.92)–(4.95), имеем
epn(fk0 ; Γ
(1)
n )p, µ =
k0∑
i=1
ãi µ̃
p
q
i − sup
i≤k0
ãi µ̃
p
q
i
Если в формулах (4.88)–(4.90) положить |ψ′
k|
p = αk и p
q = r, то полу-
чим ãi = ai, t̃s = ts, и следовательно, µ̃ = µ∗i , где величины ai, ts и
µ∗i определяются равенствами (4.75) и (4.84).
А. И. Степанец 281
Числа ai µ
∗ r, как уже отмечалось, не возрастают. Следовательно,
epn(fk0 ; Γ
(1)
n )p, µ =
k0∑
i=2
ãi µ̃
p
q
i
= (s− 1)t̃s +
(1 − t̃
q
p
s σ̃1(s)
σ̃2(s)
) p
q
∞∑
i=s+1
ã
q
q−p
i −Rk0 ,
где
Rk0 =
(1 − t̃
q
p
s σ̃1(s)
σ̃2(s)
) p
q
∞∑
i=k0+1
ã
q
q−p
i .
Но
∞∑
i=s+1
ã
q
q−p
i =
∞∑
i=i+1
i n∑
k=(i−1)n+1
|ψ′
k|
p q
q−p =
∞∑
k=s n
|ψ′
k|
p q
q−p = σ̃2(s),
и значит,
∞∑
i=k0+1
ã
q
q−p
i = σ̃2(k0).
Таким образом,
epn(fk0 ; Γ
(1)
n )p, µ = (s− 1)t̃s + (1 − t̃
q
p
s σ2(s))σ
p
q
−1
2 −Rk0 , (4.96)
при этом Rk0 имеет вид
Rk0 =
(1 − t̃
q
p
s σ̃1(s)
σ̃2(s)
) p
q
σ̃2(k0).
Подставляя в (4.96) значения t̃s из (4.88) и замечая, что в силу (4.29)
и (4.69) величина σ̃2(k0) является остатком сходящегося ряда, при-
ходим к выводу, что при любом ε > 0 во множестве ψ U q, λϕ действи-
тельно имеется элемент fε, для которого выполняется равенство
epn(fε; Γ
(1)
n )p, µ = σ̃
− p
q
1 (s)[(s− 1)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)]
q−p
q − ε.
282 Об экстремальных задачах теории приближений...
4.10. Величины en(ψU
q,λ
ϕ ; Γ
(2)
n )p,µ при q > p > 0
Рассмотрим вопрос об аналоге теоремы 4.10 для величины
en(ψU
q,λ
ϕ ; Γ
(2)
n )p,µ. Прежде всего заметим, что при выполнении усло-
вий теоремы 4.10, в силу соотношений (4.53) и (4.67), справедливо
неравенство
en(ψU
q,λ
ϕ ; Γ(2)
n )p,µ ≤ σ̃
− 1
q
1 (s)
[
(s− 1)
q
q−p + σ̃
q
q−p
1 (s)σ̃2(s)
] q−p
qp . (4.97)
Если теперь показать, что при любом ε > 0 в множестве ψU q,λϕ найде-
тся элемент fε, для которого значение en(fε; Γ
(2)
n )p, µp, µ отличается
от правой части (4.97) не больше, чем на ε, то это будет означать,
что соотношение (4.97) на самом деле является равенством.
Ясно, что такой элемент fε удастся сконструировать подобно то-
му, как это делалось при завершении доказательства теоремы 4.10, по
крайней мере всякий раз, когда экстремальная последовательность
m∗, определяемая соотношением (4.76), будет реализовать верхнюю
грань не только в соотношении (4.72), но и в соотношении
σ′n,r(α) = sup
m∈M
F ′
n,r(α,m),
где
F ′
n,r(α,m) =
∞∑
k=1
αkm
r
k− sup
γn∈Γ
(2)
n
∑
k∈γn
αkm
r
k, α ∈ Ar, m ∈ M, r ∈ (0, 1),
причем в том случае, когда
sup
m∈M
F ′
n,r(α,m) = F ′
n,r(α,m
∗) = Fn,r(α,m
∗).
Последнее же равенство возможно тогда и только тогда, когда
en = sup
k′≥1
k′+n−1∑
k=k′
αkm
∗
k
r = sup
γn∈Γ
(1)
n
∑
k∈γn
αkm
∗
k
r =
n∑
k=1
αkm
∗
k
r. (4.98)
Для установления условий справедливости равенств (4.98), дока-
жем следующее утверждение.
Лемма 4.5. При выполнении предположений теоремы 4.10 доста-
точным условием справедливости равенств (4.98) является выпол-
нение неравенств
in∑
k=(i−1)n+1
αkm
∗
k
r ≥
ki+n−1∑
k=ki
αkm
∗
k
r, (i− 1)n ≤ ki ≤ in+ 1, (4.99)
А. И. Степанец 283
при всех натуральных значениях i.
Выполнение неравенств (4.99) при всех i ≤ s является также и
необходимым условием для справедливости равенств (4.98).
Доказательство. Ясно, что всегда
sup
γn∈Γ
(2)
n
∑
k∈γn
αkm
∗
k
r ≥
n∑
k=1
αkm
∗
k
r,
а из условий (4.99), если они выполняются при всех i ∈ N, следует,
что в этом соотношении строгого неравенства быть не может. Этим
достаточная часть утверждения леммы установлена.
В то же время, согласно (4.76),
in∑
k=(i−1)n+1
αkm
∗
k
r = µ∗i
ra
− r
1−r
i · a
1
1−r
i = aiµ
∗
i
r = ts, i = 1, 2, . . . s.
(4.100)
Поэтому, если бы при некотором i, i ≤ s, условие (4.99) не выпол-
нялось, то было бы справедливым неравенство en > ts, что вследствие
(4.100) противоречило бы равенству (4.98).
Теперь найдем достаточные условия на последовательности α ∈
Ar, при которых выполняется (4.99) для всех i ∈ N. Имеем
Ri(α) =
in∑
k=(i−1)n+1
αkm
∗
k
r −
ki+n−1∑
k=ki
αkm
∗
k
r
=
ki−1∑
k=(i−1)n+1
αkm
∗
k
r −
ki+n−1∑
k=in+1
αkm
∗
k
r. (4.101)
Пусть сначала i < s. В этом случае согласно (4.76)
αkm
∗
k
r = α
1
1−r
k tsa
− 1
1−r
i , k ∈ [(i− 1)n+ 1, ki],
и
αkm
∗
k
r = α
1
1−r
k tsa
− 1
1−r
i+1 , k ∈ [in+ 1, ki + n− 1].
Следовательно, с учетом (4.75),
Ri(α) = ts
(
a
− 1
1−r
i
ki−1∑
k=(i−1)n+1
α
1
1−r
k − a
− 1
1−r
i+1
ki+n−1∑
k=in+1
α
1
1−r
k
)
284 Об экстремальных задачах теории приближений...
= tsa
− 1
1−r
i
ki+n−1∑
k=in+1
α
1
1−r
k
(( ki+n−1∑
k=in+1
α
1
1−r
k
)−1
×
ki−1∑
k=(i−1)n+1
α
1
1−r
k −
(
ai
ai+1
) 1
1−r
)
.
Для сокращения записи положим α
1
1−r
k = xk и
( ki+n−1∑
k=in+1
xk
)−1 ki−1∑
k=(i−1)n+1
xk = fi,n(ki).
Тогда согласно (4.75)
( ai
ai+1
) 1
1−r
= fi,n(in+ 1)
и значит,
Ri(α) = tsa
− 1
1−r
i
ki+n−1∑
k=in+1
xk(fi,n(ki) − fi,n(in+ 1)).
Отсюда видим, что неравенство Ri(α) ≥ 0 при i < s эквивалентно
неравенству
fi,n(in+ 1) ≤ fi,n(ki), ki ∈ [(i− 1)n+ 1, in]. (4.102)
Пусть теперь i > s. Полагая
νs =
1 − t
1
r
s σ̃1(s)
σ̃2(s)
в этом случае, согласно (4.76), имеем
αkm
∗
k
r = νrs α
1
1−r
k , k > s. (4.103)
Поэтому, согласно (4.101),
Ri(α) = νrs
( ki−1∑
k=(i−1)n+1
α
1
1−r
k −
ki+n−1∑
k=in+1
α
1
1−r
k
)
.
Так как α ∈ Ar, то числа αk не возрастают. Значит,
Ri(α) ≥ 0, i > s.
А. И. Степанец 285
Пусть, наконец, i = s. Тогда в силу (4.76)
αkm
∗
k
r = α
1
1−r
k ts a
− 1
1−r
s , k ∈ [(s− 1)n+ 1, ks],
и, согласно (4.103),
αkm
∗
k
r = νrsα
1
1−r
k , k ∈ [sn+ 1, ks + n].
Поэтому
Ri(α) = tsa
− 1
1−r
s
ks−1∑
k=(s−1)n+1
α
1
1−r
k − νrs
ks+n−1∑
k=sn+1
α
1
1−r
k
= tsa
− 1
1−r
s
ks+n−1∑
k=sn+1
xk
(( ks+n−1∑
k=sn+1
xk
)−1 ks−1∑
k=(s−1)n+1
xk −
νrs
ts
a
1
1−r
s
)
.
Видим, что неравенство Rs(α) ≥ 0 эквивалентно соотношению
fs,n(ks) ≥
νrs
ts
a
1
1−r
s =
( σ̃1(s)
s− 1
) r
1−r
a
1
1−r
s . (4.104)
Резюмируем доказанное в виде следующего утверждения.
Теорема 4.11. При выполнении предположений теоремы 4.10 необ-
ходимым и достаточным условием справедливости неравенств
(4.99) при всех i ∈ N является выполнение неравенств (4.102) при
всех i = 1, 2, . . . s− 1 и неравенства (4.104) при i = s.
Если неравенства (4.102) и (4.104) выполняются, то справедливо
равенство
en(ψU
q,λ
ϕ ; Γ(2)
n )p,µ = σ̃
− 1
q
1 (s)
[
(s− 1)
q
q−p + σ̃
q
q−p
1 (s)σ̃2(s)
] q−p
qp . (4.105)
Отметим несколько простейших случаев, когда выполняются ус-
ловия (4.102) при i < s и неравенство (4.104). С этой целью заметим,
что в силу (4.75) ( σ̃1(s)
s− 1
) r
1−r
< a
− 1
1−r
s+1 .
Поэтому соотношение (4.104) следует из неравенства
fs,n(ks) ≥
( as
as+1
) 1
1−r
= fs,n(sn+ 1).
286 Об экстремальных задачах теории приближений...
Таким образом, достаточным условием для справедливости (4.105)
является выполнение неравенств (4.102) при всех i ≤ s, которые за-
ведомо будут иметь место в том случае, когда числа fi,n(ki) на про-
межутках [(i− 1)n+ 1, in], i = 1, 2, . . . , s, не возрастают.
Полагая
σ1 =
ki−1∑
k=(i−1)n+1
xk, σ2 =
ki−1∑
k=(i−1)n+1
xk+n,
имеем
fi,n(ki) − fi,n(ki + 1) =
σ1
σ2
−
σ1 + xki
σ2 + xki+n
=
σ1xki+n − σ2xki
σ2(σ2 + xki+n)
.
Знак этой разности совпадает со знаком величины
ri = σ1xki+n − σ2xki =
ki−1∑
k=(i−1)n+1
(xkxki+n − xk+nxki),
поэтому отсюда заключаем, что числа fi,n(ki) на указанных проме-
жутках действительно не возрастают, если будут выполняться нера-
венства
xkxki+n−xk+nxki ≥ 0, k = 1, 2, . . . ki−1, ki ∈ [(i−1)n+1, in], i = 1, s.
(4.106)
Теперь докажем следующее утверждение.
Лемма 4.6. Обозначим через N′ множество выпуклых вниз при
всех t ≥ 1 функций ϕ(·), для которых
lim
t→∞
ϕ(t) = 0, (4.107)
и, кроме того, таких, что функция
ξ(t) = −
ϕ′(t)
ϕ(t)
, ϕ(t)
df
=ϕ′(t+ 0), (4.108)
на множестве t > 1 не возрастает. Тогда при любых натуральных
n > 1 и i ≥ 1 выполняются соотношения
△k,i = ϕ(k)ϕ(ki + n) − ϕ(k + n)ϕ(ki) ≥ 0, (4.109)
k = 1, 2, . . . ki − 1, ki ∈ [(i− 1)n+ 1, in].
А. И. Степанец 287
Доказательство. Имеем
d
dt
lnϕ(t) = −ξ(t).
Отсюда
ϕ(t) = exp
(
−
t∫
1
ξ(t) dτ + C
)
, C = lnϕ(1).
Следовательно,
△k,i = exp
[
−
( k∫
1
+
ki+n∫
1
)
ξ(t) dt+C
]
−exp
[
−
( k+n∫
1
+
ki∫
1
)
ξ(t) dt+C
]
,
и тогда неравенство △k,i ≥ 0 будет эквивалентно соотношению
( k∫
1
+
ki+n∫
1
)
ξ(t) dt ≤
( k+n∫
1
+
ki∫
1
)
ξ(t) dt,
или соотношению
−
ki∫
k
ξ(t) dt+
ki+n∫
k+n
ξ(t) dt ≤ 0, (4.110)
которое выполняется для любой невозрастающей функции ξ(t), отку-
да и следует утверждение леммы.
Будем говорить, что последовательность ϕ = {ϕk}
∞
k=1 принадле-
жит множеству N′, если существует в N′ функция ϕ = ϕ(t) такая,
что ϕ(k) = ϕk при всех k ∈ N. В этом случае из леммы 4.6 заключа-
ем, что если последовательность ϕ = {α
1
1−r
k }∞k=1 принадлежит к N′,
то соотношения (4.106) выполняются.
Теперь заметим, что последовательности α = {αk}
∞
k=1 и αs =
{αsk}
∞
k=1 при любом s > 0 принадлежат к N′ одновременно. Действи-
тельно, пусть функция α = α(t) такая, что α(k) = αk, k ∈ N, и
ϕ(t) = αs(t). Тогда
ϕ′(t)
ϕ(t)
= s
α′(t)
α(t)
и, следовательно, функции ϕ′(t)/ϕ(t) и α′(t)/α(t) не возрастают одно-
временно. Отсюда заключаем, что соотношения (4.106) будут выпол-
ненными для любой α ∈ N′. Таким образом, на основании теоремы
4.11 получаем следующее утверждение.
288 Об экстремальных задачах теории приближений...
Теорема 4.11′. Пусть p и q — действительные числа такие, что
q > p > 0; ψ, µ и λ — последовательности, для которых величины
νk = |ψ′
k| =
∣∣∣ψkµk
λk
∣∣∣, k = 1, 2, . . . ,
не возрастая, стремятся к нулю,
∞∑
k=1
ν
pq/(q−p)
k <∞,
и последовательность ν = {νk}
∞
k=1 принадлежит к N′. Тогда при
любом натуральном n выполняется равенство (4.105).
По сравнению с теоремой 4.10, эта теорема имеет дополнительное
условие: ν ∈ N′. Отправляясь от определения, заключаем, что к мно-
жеству N′ принадлежат функции ϕ(t) = t−s, t ≥ 1, при любом s > 0;
ϕ(t) = t−s lnr(t + e), t ≥ 1, при любых действительных r и любых
s > 0. Функция ϕr(t) = exp(−αtr), t ≥ 1, принадлежит к N′ при
любых α > 0 и r ∈ (0, 1] и не принадлежат N′, если r > 1, поскольку
ϕ′
r(t)
ϕr(t)
= −αrtr−1.
Таким образом, если, к примеру,
νk = k−s lnr(k + e), k ∈ N, s > 0, r ∈ R1,
или же
νk = exp(−αkr), k ∈ N, α > 0, r ∈ (0, 1],
то равенство (4.105) согласно теореме 4.11′ выполняется.
Условие принадлежности последовательности νk к множеству N′,
являясь достаточным для выполнения неравенств (4.102), а следова-
тельно, и для гарантии равенства (4.105), являются также в следую-
щем смысле и необходимым.
Пусть N′′ — множество выпуклых вниз при всех t ≥ 1 функций
ϕ(t), удовлетворяющих условию (4.107), для которых функция ξ(t),
определяемая формулой (4.108), строго возрастает. Если ϕ ∈ N′′,
то для неё знак в соотношении (4.110), а следовательно, и в (4.109)
поменяется на противоположный. Поэтому, если α ∈ N′′, то вместо
соотношения (4.102) будет неравенство
fi,n(in+ 1) > fi,n(ki), ki ∈ [(i− 1)n+ 1, in], i = 1, 2, . . . , s− 1,
что, в свою очередь, приведет к невыполнению неравенств (4.99), по
крайней мере, для случая, когда i = 1 и k1 = 2, а значит, и к наруше-
нию равенства (4.98). Заметим, что функция ϕr(t) при r > 1 как раз
А. И. Степанец 289
и принадлежит к ϕ ∈ N′′. Впрочем, это ещё не означает, что если
ν ∈ N′′, то равенство (4.105) не выполняется. Вопрос о выяснении
условий, обеспечивающих выполнение равенства (4.105), и тем более,
вопрос о нахождении значений величины en(ψU
q,λ
ϕ ; Γ
(2)
n )p,µ в общем
случае остается открытым.
5. Приближение индивидуальных элементов
в пространствах S
p
Φ
В §4 рассматривались экстремальные задачи для различных ап-
проксимационных характеристик множеств ψ Up, µϕ . В данном же ра-
зделе приводятся результаты для наилучших приближений индиви-
дуальных элементов из пространств SpΦ.
Пусть, как и в п. 4.3,
En(f) = En(f)ψ, p, µ = inf
ck
∥∥∥∥ f −
∑
k∈gψn−1
ck ϕk
∥∥∥∥
p, µ
(5.1)
— наилучшее приближение элемента f ∈ ψ Sp, µϕ полиномами, постро-
енными по областям gψn−1. В случае, когда последовательность µ та-
кова, что µk ≡ 1, индекс µ во всех рассматриваемых объектах усло-
вимся опускать. При таких обозначениях в [16] доказаны следующие
утверждения.
Теорема 5.1. Пусть f ∈ Spϕ, p > 0, и последовательность ψ =
{ψk}
∞
k=1 удовлетворяет условию (4.7). Тогда ряд
∞∑
k=2
( εpk − εpk−1)E
p
k(f)ψ,p
сходится, и при любом n ∈ N справедливо равенство
Epn(f)ψ,p = εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p, (5.2)
в котором величины En(x)ψ,p определяются равенством (5.1), а εk,
k = 1, 2, . . . , — элементы характеристической последовательности
ε(ψ).
Теорема 5.2. Пусть f ∈ Spϕ, p > 0, и последовательность ψ =
{ψk}
∞
k=1 удовлетворяет условию (4.7). Пусть, далее,
lim
k→∞
ε−1
k Ek(f)ψ,p = 0.
290 Об экстремальных задачах теории приближений...
Тогда для того, чтобы выполнялось включение
f ∈ Spϕ,
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
∞∑
k=2
( ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p.
Если этот ряд сходится, то при любом n ∈ N выполняется равен-
ство
Epn(f)ψ,p = ε−pn Epn(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p ,
в котором величины En(x)ψ,p и εk имеют тот же смысл, что и в
теореме (5.1).
Теорема 5.1 устанавливает связь между наилучшим приближени-
ем элемента f и наилучшими приближениями его производных. По-
добные утверждения в теории приближений, как хорошо известно,
принято называть прямыми теоремами. Теорема 5.2 в этом смысле
является обратной: в ней по свойствам наилучшего приближения эле-
мента f указывается о наличии у него производных и дается инфор-
мация о наилучшем приближении этих производных.
Величины εn строго убывают, поэтому из (5.2) следует оценка
Epn(f)ψ,p ≤ εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p ∀ f ∈ ψ Spϕ, ∀n ∈ N. (5.3)
Заметим, что в силу предложения 4.1 всегда
lim
n→∞
Epn(f
ψ)ψ,p = 0.
На важных подмножествах N из ψ Spϕ соотношение (5.3) дает точный
результат. Отметим один из таких случаев.
Возьмем в качестве N множество ψ U qϕ при 0 < q < p. Если
f ∈ ψ U qϕ, то fψ ∈ U qϕ и, тем более, fψ ∈ Upϕ. Значит, ‖fψ‖p ≤ 1.
Следовательно, и Epn(fψ)ψ,p ≤ 1. Поэтому
Epn(f)ψ,p ≤ εpn ∀ f ∈ ψ U qϕ, 0 < q ≤ p. (5.4)
С другой стороны, пусть k′ — любая точка из множества gψn \ gψn−1
и f∗ = ψk ′ ϕk ′ (ψk ′ 6= 0). Так как f ψ∗ = ϕk ′ , то при любом q > 0
‖fψ∗ ‖q = 1. Следовательно, f∗ ∈ ψ U qϕ при любом q > 0. Но ясно, что
En(f∗)ψ,p = ‖f∗‖ϕ,p = ψk ′ = εn. (5.5)
А. И. Степанец 291
Таким образом, объединяя соотношения (5.4) и (5.5) и полагая
En(ψ U
q
ϕ)ψ,p = sup
f∈ψ Uqϕ
En(f)ψ,p, En(ψ U
q
ϕ)ψ,p = sup
f∈ψ Uqϕ
En(f)ψ,p,
приходим к следующему утверждению.
Теорема 5.3. Пусть ψ = {ψk}
∞
k=1 — система чисел, удовлетворяю-
щая условиям (4.7) и (4.15). Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p <∞
справедливы равенства
En(ψ U
q
ϕ)ψ,p = En(ψ U
q
ϕ)ψ,p = εn,
где εn − n-й член характеристической последовательности ε(ψ).
Заметим, что это утверждение является частным случаем теоре-
мы 4.1.
6. Приложения полученных результатов
к задачам приближения периодических
функций многих переменных
Рассмотрим одну из возможных конкретизаций пространств Spϕ =
Spϕ(X), позволяющую из полученных в §4 и §5 общих результатов
получать утверждения о приближениях периодических функций.
Пусть Rm — m-мерное, m ≥ 1, евклидово пространство, x =
(x1, . . . , xm) — его элементы, Zm — целочисленная решетка в Rm —
множество векторов k = (k1, . . . , km) с целочисленными координата-
ми, x y = x1 y1 + . . . + xm ym, |x| =
√
(x, x) и, в частности, k x =
k1 x1 + . . .+ km xm, |k| =
√
k2
1 + . . .+ k2
m.
Пусть, далее, L = L(Rm) — множество всех 2π-периодических по
каждой их переменных функций f(x) = f(x1, . . . , xm), суммируемых
на кубе периодов Qm,
Qm = {x : x ∈ Rm, −π ≤ xk ≤ π, k = 1, . . . ,m}.
Если f ∈ L, то через S[f ] обозначается ряд Фурье функции f по
тригонометрической системе
(2π)−m/2 eikx, k ∈ Zm, (6.1)
т.е.
S[f ] = (2π)−m/2
∑
k∈Zm
f̂(k) eikx, f̂(k) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) eikt dt.
(6.2)
292 Об экстремальных задачах теории приближений...
Если считать неразличимыми функции, эквивалентные относительно
меры Лебега, то в качестве X можно взять пространство L(Rm), а в
качестве системы ϕ — тригонометрическую систему τ = {τs}, s ∈ N,
где
τs = (2π)−m/2 eiks x, ks ∈ Zm, s = 1, 2, . . . , (6.3)
полученную из системы (1.6) путем произвольной фиксированной ну-
мерации ее элементов; скалярное произведение в этом случае задае-
тся известным образом:
(f, τs) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) e−iks t dt = f̂(ks) = f̂τ (ks). (6.4)
При фиксированном p ∈ (0,∞) согласно (1.6) положим
Spτ = Spτ (L(Rm)) =
{
f ∈ L(Rm)) :
∞∑
S=1
|f̂(ks)|
p ≤ ∞
}
. (6.5)
“ϕ-норма” в пространстве Spτ вводится согласно (1.7):
‖ f ‖p,τ =
( ∞∑
S=1
∣∣f̂(ks)
∣∣p
) 1
p
. (6.6)
В силу равенств (6.5) и (6.6), величины ‖ · ‖p,τ и сами пространства
Spτ не зависят от нумерации системы (6.1) и поэтому в дальнейшем
полагаем Spτ = Sp.
Пусть теперь ψ = {ψ(k)}k∈Zm — произвольная система компле-
ксных чисел — кратная последовательность. Для функций f ∈ L
наряду с (6.2) рассмотрим ряд
(2π)−m/2
∑
k∈Zm
ψ(k) f̂(k) eikx. (6.6′)
Если этот ряд для данной функции f и системы ψ является рядом
Фурье некоторой функции F из L, то F назовем ψ-интегралом фун-
кции f и будем писать F (x) = J ψ(f ;x). При этом иногда удобно
функцию f называть ψ-производной функции F и писать f(x) =
Dψ(F ;x) = Fψ(x). Множество ψ-интегралов всех функций f ∈ L
обозначается через Lψ. Если N — некоторое подмножество из L, то
Lψ N будет обозначать множество ψ-интегралов всех функций из N.
Ясно, что если f ∈ Lψ, то коэффициенты Фурье функций f и fψ
связаны соотношением
f̂(k) = ψ(k) f̂ ψ(k), k ∈ Zm. (6.7)
А. И. Степанец 293
Будем рассматривать в качестве N единичный шар Up в пространстве
Sp:
Up = {f : f ∈ Sp, ‖f‖p ≤ 1}. (6.8)
В этом случае полагаем Lψ Up = Lψp = Lψp (Rm). Относительно систе-
мы ψ предполагается, что
lim
|k|→∞
ψ(k) = 0. (6.9)
Заметим, что если f ∈ LψSp и |ψ(k)| ≤ C, k ∈ Zm, C > 0, то f ∈ Sp,
т.е. условие (6.9) всегда гарантирует включение Lψp ⊂ Sp.
Определим характеристические последовательности ε(ψ), g(ψ) и
δ(ψ) следующим образом: ε(ψ) = ε1, ε2, . . . — множество значений
величин |ψ(k)|, k ∈ Zm, упорядоченное по их убыванию; g(ψ) =
{gn}
∞
n=1, где
gn = gψn = {k ∈ Zm : |ψ(k)| ≥ εn},
δ(ψ) = {δn}
∞
n=1, где δn = δψn = |gn| — количество чисел k ∈ Zm,
принадлежащих множеству gn.
Ввиду условия (6.9), в рассматриваемом случае последовательно-
сти ε(ψ) и g(ψ), определяются как и в п. 4.3, с учетом того, что на
этот раз k ∈ Zm. Как и раньше считается, что g0 = gψ0 есть пустое
множество и что δ0 = δψ0 = 0.
В качестве приближающих агрегатов для функций f ∈ Lψ рас-
смотрим тригонометрические полиномы — аналоги сумм (4.9):
Sn(f ;x) = S
gψn
(f ;x) = (2π)−m/2
∑
k∈gψn
f̂(k) eikx, n ∈ N, (6.10)
S0(f ;x) = 0,
где gψn — элементы последовательности g(ψ).
Пусть p и q — произвольные числа, p, q > 0,
En(f)ψ,p = ‖f(x) − Sn−1(f ;x)‖Sp , (6.11)
En(L
ψ
q )p = sup
f∈Lψq
E(f)ψ,p, n = 1, 2, . . . . (6.12)
En(f)ψ,p = inf
ak
∥∥∥∥f(x) − (2π)−m/2
∑
k∈gψn−1
ak e
ikx
∥∥∥∥
Sp
(6.13)
и
En(L
ψ
q )
p
= sup
f∈Lψq
En(f)ψ,p, n = 1, 2, . . . . (6.14)
294 Об экстремальных задачах теории приближений...
Пусть, далее,
dn(L
ψ
p )p = inf
Fn∈Gn
sup
f∈Lψp
inf
u∈Fn
‖f − u‖Sp , n ∈ N,
d0(L
ψ
p )p
df
= sup
f∈Lψp
‖f‖Sp ,
(6.15)
где Gn — множество всех n-мерных подпространств в Sp, — попере-
чники по Колмогорову классов Lψp и
en(L
ψ
q )p = sup
f∈Lψq
inf
ak,γn
∥∥∥∥f(x) − (2π)−m/2
∑
k∈γn
ak e
ikx
∥∥∥∥
Sp
, (6.16)
где γn — произвольный набор из n векторов k ∈ Zm, — величина
наилучшего n-членного приближения класса Lψq в пространстве Sp.
В принятых обозначениях справедливы следующие утвержде-
ния — аналоги, а по существу — частные случаи теорем, доказанных
в §§ 4 и 5.
Теорема 6.1. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворя-
ющих условиям (6.9) и таких, что
ψ(k) 6= 0 ∀ k ∈ Zm. (6.17)
Тогда при любых n ∈ N и 0 < q ≤ p <∞ справедливы равенства
En(L
ψ
q )p = En(L
ψ
q )p = εn , (6.18)
en(L
ψ
q )p = sup
l>n
(l − n)
( l∑
k=1
ψ
−q
k
)− p
q
= (l∗ − n)
( l∗∑
k=1
ψ
−q
k
)− p
q
, (6.19)
где ψ = {ψk}
∞
k=1 — последовательность, определяющаяся соотноше-
ниями
ψk = εn при k ∈ (δn−1, δn], n = 1, 2, . . . , (6.20)
εn и δn — члены характеристических последовательностей системы
ψ, а l∗ — некоторое натуральное число, которое в условиях теоремы
всегда существует.
Аналогами теорем 5.1 и 5.2 являются следующие утверждения.
Теорема 6.2. Пусть f ∈ Lψp , p > 0, и ψ = {ψk}k∈Zm — система
чисел, удовлетворяющая условиям (6.9). Тогда ряд
∞∑
k=1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p
А. И. Степанец 295
сходится и при любых n ∈ N справедливо равенство
Epn(f)ψ,p = εpnE
p
n(f
ψ)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(εpk − εpk−1)E
p
k(f
ψ)ψ,p,
где величины Eν(·)ψ,p определяются равенством (6.13), а εk — эле-
менты характеристической последовательности ε(ψ) системы ψ.
Теорема 6.3. Пусть f ∈ Sp, p > 0, и система ψ = {ψk}k∈Zm удов-
летворяет условию (6.13). Пусть, далее,
lim
k→∞
ε−1
k Ek(f)ψ,p = 0.
Тогда для того, чтобы выполнялось включение f ∈ Lψp необходимо и
достаточно, чтобы сходился ряд
∞∑
k=1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p.
Если этот ряд сходится, то при любом n ∈ N справедливо равен-
ство
Epn(f
ψ)ψ,p = ε−pn Epn(f)ψ,p +
∞∑
k=n+1
(ε−pk − ε−pk−1)E
p
k(f)ψ,p,
в котором величины En(·)ψ,p и εk имеют тот же смысл, что и в
теореме 6.2.
Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — произвольная система чисел, удовлетво-
ряющая условию (6.9). Перенумеруем все векторы k ∈ Zm в каком-
нибудь порядке, используя натуральный индекс s. Будем говорить,
что система ψ принадлежит множеству Ap,q при некоторых зна-
чениях p и q, q > p > 0, если
∞∑
s=1
|ψ(ks)|
p q
q−p <∞. (6.21)
Ясно, что множества A p, q не зависят от способа нумерации чисел
k ∈ Zm, а полностью определяются величинами |ψ(k)| и числами p
и q.
Теорема 6.4. Пусть система ψ = {ψk}k∈Zm при данных p и q, q >
p > 0, принадлежит множеству Ap,q. Тогда
En(L
ψ
q )p = En(L
ψ
q )p =
( ∞∑
k=δn−1+1
ψ
p q
q−p
) q−p
p q
, n = 1, 2, . . . , (6.22)
296 Об экстремальных задачах теории приближений...
и
epn(L
ψ
q )p = σ̃
− p
q
1 (s)[(s− n)
q
q−p + σ̃
p
q−p
1 (s) σ̃2(s)]
q−p
q , (6.23)
где
σ̃1(s) =
s∑
k=1
ψ
−q
k , σ̃2(s) =
∞∑
k=s+1
ψ
p q
q−p
k ,
ψ = {ψk}
∞
k=1 — последовательность, для которой
ψk = εk при k ∈ (δn−1, δn], n = 1, 2, . . . , (6.24)
εn и δn — члены характеристических последовательностей ε(ψ) и
δψ; число s в (6.19) выбрано из условия
ψ
−q
s ≤
1
s− n
s∑
k=1
ψ
−q
k < ψ
−q
s+1. (6.25)
Такое число s всегда существует и единственно.
Доказательства этих теорем получаются из соответствующих те-
орем предыдущих параграфов следующим образом.
Отправляясь от заданных систем ψ, фигурирующих в этих утвер-
ждениях, перенумеруем все векторы k ∈ Zm так, чтобы числами s
при s ∈ (δn−1, δn] были перенумерованы все векторы k из множеств
gψn \ gψn−1 в каком-нибудь фиксированном порядке. Затем определим
последовательность ψ′ = {ψs}
∞
s=1, положив
ψ′
s = ψ(ks), s = 1, 2, . . . . (6.26)
Тогда
S[f ] = (2π)−m/2
∑
k∈Zm
f̂(k) eikx = (2π)−m/2
∞∑
s=1
f̂(ks) e
i ks x, (6.27)
и, согласно (6.26),
J ψ′
(f ;x) = (2π)−m/2
∞∑
s=1
ψ(ks)f̂(ks) e
i ks x = J (f ;x) ∀ f ∈ L. (6.28)
Следовательно, Lψ
′
= Lψ. Заметим далее, что Lψ
′
p = ψ′Up, где ψ′Up —
множество, определяющееся согласно равенству (4.8′):
ψ′Up = {f ∈ L : f ψ
′
∈ Up},
А. И. Степанец 297
в котором Up = Upϕ и ϕ = {2π−m/2ei ks x}∞s=1. Кроме того, последова-
тельности ε(ψ′) и ε(ψ), а также δ(ψ′) и δ(ψ) совпадают и справедливы
равенства
S
gψ
′
n
(f) = S
gψn
(f ;x), En(f)ψ′,p = En(f)ψ,p, En(ψ
′U q)p = En(L
ψ
q )p,
En(f)ψ′,p = En(f), En(ψ
′U q)p = En(L
ψ
q )p,
в которых левые части определяются равенствами (4.9), (4.10), а пра-
вые — соотношениями (6.10)–(6.14) соответственно. Ясно также, что
и en(L
ψ
q )p = en(ψ
′U q) и ψ′ = ψ. Отсюда заключаем, что равенство
(6.18) следует из (4.14); равенство (6.19) — из теоремы 4.7; теоремы
6.2 и 6.3 вытекают из теорем 5.1 и 5.2; теорема 6.4 следует из теорем
4.4 и 4.8.
Ради полноты изложения, приведем здесь переформулировку ут-
верждения теоремы 4.2 для колмогоровских поперечников множеств
Lψp .
Теорема 6.5. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворя-
ющая условиям (6.9) и (6.17), и p ∈ [1,∞). Тогда при любом n ∈ N
dδn−1(L
ψ
p ;Sp) = dδn−1+1(L
ψ
p ;Sp) = · · · = dδn−1(L
ψ
p ;Sp) = En(L
ψ
p )p = εn,
(6.29)
где εn и δn — члены характеристических последовательностей ε(ψ)
и δ(ψ).
7. Замечания
1. О последовательностях Ψ. Во всех предыдущих построениях
центральное место отводится последовательностям ψ: они определя-
ют приближаемые множества, по ним строится аппарат приближения
и через них выражаются аппроксимационные характеристики. Кро-
ме условий вида (6.9) и (6.21), без которых рассмотрения становятся
почти бессодержательными, в настоящей работе на последовательно-
сти ψ никаких ограничений не налагается. Поэтому сами системы ψ,
а с ними и их характеристические последовательности ε(ψ), g(ψ) и
δ(ψ) в общем случае могут быть достаточно сложными.
В многомерном случае, по-видимому, наиболее простыми и есте-
ственными являются системы ψ, у которых числа ψ(k) представляю-
тся произведениями
ψ(k) = ψ(k1, . . . , km) =
m∏
j=1
ψj(kj), kj ∈ Z1, j = 1,m, (7.1)
298 Об экстремальных задачах теории приближений...
значений одномерных последовательностей ψj = {ψj(kj)}
∞
kj=1. Если
к тому же
ψ(−kj) = ψj(kj), j = 1,m,
(через z обозначено число, комплексно сопряженное с z), то множе-
ства gψn будут симметричными относительно всех координатных пло-
скостей и, как нетрудно убедиться,
∑
k∈Zm
ψ(k) eikt =
∑
k∈Zm+
2m−q(k)
m∏
j=1
|ψj(kj)| cos(kjtj −
βkjπ
2
), (7.2)
где Zm+ = {k ∈ Zm, ki ≥ 0, i = 1,m}, q(k) — количество координат
вектора k, равных нулю, а числа βkj определяются равенствами
cos
βkjπ
2
=
Reψj(kj)
|ψj(kj)|
, sin
βkjπ
2
=
Imψj(kj)
|ψj(kj)|
.
В этом случае множество Lψ— ψ-интегралов действительных фун-
кций ϕ из L(Rm) — состоит из действительных функций f и если
при этом ряд в (7.2) является рядом Фурье некоторой суммируемой
функции Dψ(t), то необходимым и достаточным условием включения
f ∈ Lψ N является возможность представления f сверткой вида
f(x) = (2π)−m
∫
Qm
ϕ(x− t)Dψ(t) dt,
в которой ϕ ∈ N и почти всюду ϕ(x) = fψ(x). Это, в частности,
означает, что классы LψN охватывают классы функций, представи-
мых свертками с фиксированными суммируемыми ядрами (см., на-
пример, [51, §1.9]).
2. О связи между пространствами Sp и Lp. Пусть Lp =
Lp(R
m), p ∈ [1,∞), — пространство функций f ∈ L с конечной нор-
мой ‖ · ‖Lp ,
‖f‖Lp =
( ∫
Qm
|f(t)|p dt
)1/p
. (7.3)
Связь между множествами Lp и Sp устанавливает известная теорема
Хаусдорфа–Юнга (см., например, [52, п. XII.2]), утверждающая, что
(I) Если f ∈ Lp, p ∈ (1, 2], и f̂(k) — коэффициенты Фурье фун-
кции f, определяемые формулой
f̂(k) = (2π)−m/2
∫
Qm
f(t) e−iktdt, (7.4)
А. И. Степанец 299
то ( ∑
k∈Zm
|f̂(k)|p
′
)1/p′
≤ (2π)
m( 1
2
− 1
p
) ‖f‖Lp ,
1
p
+
1
p′
= 1.
(II) Пусть {ck}k∈Zm — последовательность комплексных чисел,
для которой ∑
k∈Zm
|ck|
p <∞, p ∈ (1, 2].
Тогда существует функция f ∈ Lp ′ , для которой f̂(k) = ck и
‖f‖L′
p
≤ (2π)
m( 1
2
− 1
p
)
( ∑
k∈Zm
|ck|
p
)1/p
,
1
p
+
1
p′
= 1.
Из этой теоремы следует, что если p ∈ (1, 2], то
Lp ⊂ Sp
′
и ‖f‖Sp ′ ≤ (2π)
m( 1
2
− 1
p
) ‖f‖Lp , (7.5)
Sp ⊂ Lp ′ и ‖f‖L′
p
≤ (2π)
m( 1
2
− 1
p
) ‖f‖Sp . (7.6)
В частности, при p = p ′ = 2 справедливы равенства
L2 = S2 и ‖ · ‖L2 = ‖ · ‖S2 . (7.7)
В силу соотношений (7.5) и (7.6), теоремы, доказанные для прост-
ранств Sp, содержат информацию и для пространств Lp, которая яв-
ляется более полной вследствие (7.7) в случае, когда p = 2.
Ввиду особой важности этого случая, приведем точные формули-
ровки соответствующих утверждений.
Пусть, как и раньше, ψ = {ψk}k∈Zm — произвольная система
комплексных чисел и LψN — множество ψ-интегралов всех функций
f ∈ N, где N — некоторое подмножество из L = L(Rm), m ≥ 1.
Возьмем в качестве N единичный шар UL2 в пространстве L2:
UL2 = {f : f ∈ L2, ‖f‖L2 ≤ 1}. (7.8)
Здесь норма ‖ · ‖L2 определяется равенством (7.3) при p = 2. В этом
случае положим LψUL2 = UψL2
.
Считая выполненным условие (6.9), определим характеристичес-
кие последовательности ε(ψ), g(ψ) и δ(ψ), а также полиномы Sn(f ;x)
согласно формул (6.10) и для f ∈ UψL2
положим
Eψn (f)L2 = ‖f(x) − Sn−1(f ;x)‖L2 , En(U
ψ
L2
)L2 = sup
f∈UψL2
Eψn (f)L2 ,
300 Об экстремальных задачах теории приближений...
Eψn (f)L2 = inf
ak
∥∥∥∥f(x) − (2π)−m/2
∑
k∈gψn−1
ak e
ikx
∥∥∥∥
L2
и
En(U
ψ
L2
)L2 = sup
f∈UψL2
Eψn (f)L2 .
Пусть еще
dn(U
ψ
L2
)L2 = inf
Fn∈Gn
sup
f∈Lψp
inf
u∈Fn
‖f − u‖L2 , n ∈ N,
do(U
ψ
L2
) = sup
f∈UψL2
‖f‖L2 ,
где Gn — множество всех n-мерных подпространств в L2 и
en(U
ψ
L2
)L2 = sup
f∈UψL2
inf
ak,γn
∥∥∥∥f(x) − (2π)−m/2
∑
k∈γn
ak e
ikx
∥∥∥∥
L2
,
где γn — произвольный набор из n векторов k ∈ Zm — величина
наилучшего n-членного приближения класса UψL2
в пространстве L2.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.1. Пусть ψ = {ψk}k∈Zm — система чисел, удовлетворя-
ющая условиям (6.5) и (6.13). Тогда при любых n ∈ N выполняются
равенства
En(U
ψ
L2
)L2 = En(U
ψ
L2
)L2 = εn, (7.9)
dδn−1(U
ψ
L2
)L2 = dδn−1+1(U
ψ
L2
) = · · · = dδn−1(U
ψ
L2
)L2 = En(U
ψ
L2
)L2 = εn,
(7.10)
e2n(U
ψ
L2
)L2 = sup
l>n
(q − n)/
l∑
s=1
ψ
−2
s = (l∗ − n)/
l∗∑
s=1
ψ
−2
s . (7.11)
В этих равенствах εs и δs — элементы характеристических после-
довательностей ε(ψ) и δ(ψ), δ0 = 0, l∗ — некоторое натуральное
число и
ψs = εn, δn−1 < s < δn, n = 1, 2, . . . .
Доказательство. В силу (7.7) и (7.8) видим, что UL2 = U2 и, следо-
вательно, UψL2
= Lψ2 . Поэтому справедливы равенства
En(U
ψ
L2
)L2 = En(L
ψ
2 )2, En(U
ψ
L2
)L2 = En(L
ψ
2 )2, dn(U
ψ
L2
)L2 = dn(L
ψ
2 )2
и
en(U
ψ
L2
)L2 = en(L
ψ
2 )2, n = 1, 2, . . . .
Отсюда заключаем, что равенства (7.9)–(7.11) следуют из соотноше-
ний (6.18), (6.25) и (6.19).
А. И. Степанец 301
Отметим, что равенства (7.9) и (7.10) в одномерном случае, т.е.
при m = 1 в несколько другой терминологии были получены еще в
1936 г. в известной работе А. Н. Колмогорова [53], положившей нача-
ло исследованию поперечников различных функциональных классов.
В общем случае эти равенства можно получить и путем анализа ре-
зультатов и рассуждений §4.4 книги В. М. Тихомирова [54].
Равенство (7.11), по-видимому, является новым даже и в одномер-
ном случае.
Отметим также, что, как следует из равенств (7.9) и (7.10), в
пространстве L2 значения поперечников множеств UψL2
реализуют
приближения суммами (6.10), т.е. полиномами, которые являются
наилучшими в смысле поперечников в пространствах Sp при всех
p ∈ [1,∞) для классов Lψp . Это позволяет предположить, что именно
суммы (6.10) будут наилучшим аппаратом приближения (опять-таки
в смысле колмогоровских поперечников) и в пространствах Lp при
всех p ≥ 1 для соответствующих множеств UψLp ,
UψLp = LψULp , ULp = {f : f ∈ Lp, ‖f‖Lp ≤ 1},
являющихся прямым обобщением известных пространств Соболева,
которые получаются из UψLp , если взять ψ(k) в виде (7.1) в случае,
когда
ψj(kj) =
{
1, kj = 0,
(ikj)
rj , kj 6= 0, j = 1,m
(7.12)
где rj — некоторые действительные числа.
Пусть m = 2 и последовательности ψ1(k1) и ψ2(k2) заданы равен-
ствами (7.12) при условии r1 = r2 = r > 0.
Классы UψL2
, определяющиеся такими последовательностями, с то-
чки зрения нахождения их поперечников впервые рассматривались
К. И. Бабенко в [1, 2]. Им в этом случае фактически было получено
и соотношение (7.10).
В данной ситуации характеристическая последовательность ε(ψ)
состоит из элементов εn = n−r, n ∈ N, множества gψn — множества
векторов k = (k1, k2) ∈ Z2, удовлетворяющих условию
k ′
1k
′
2 ≤ n,
где
k ′
j =
{
1, kj = 0,
|kj |, kj 6= 0, j = 1, 2.
Такие множества впервые появились в упомянутых работах К. И. Ба-
бенко и сейчас их принято называть гиперболическими крестами.
302 Об экстремальных задачах теории приближений...
Все эти комментарии приведены автором в [15]. Там же имеются
и более детальные результаты для периодического случая — вплоть
до конкретных численных примеров.
Литература
[1] К. И. Бабенко, О приближении периодических функций многих переменных
тригонометрическими полиномами // ДОКЛ. АН СССР. 132 (1960), N 2,
247–250.
[2] К. И. Бабенко, О приближении одного класса периодических функций многих
переменных тригонометрическими полиномами // ДАН СССР. 132 (1960),
N 5, 982–985.
[3] С. А. Теляковский, Об оценках производных тригонометрических полиномов
многих переменных // Сиб. мат. журн. 4 (1963), N 6, 1404–1411.
[4] С. А. Теляковский, Некоторые оценки для тригонометрических рядов с ква-
зивыпуклыми коэффициентами // Мат. сборник. 63(105) (1964), 426–444.
[5] Я. С. Бугров, Приближение класса функций с доминирующей смешанной
производной // Мат. сборник. 64 (106) (1964), 410–418.
[6] Н. С. Никольская, Приближение дифференцируемых функций многих пере-
менных суммами Фурье в метрике Lp // ДОКЛ. АН СССР. 208 (1973), N 5,
1283–1285.
[7] Н. С. Никольская, Приближение периодических функций класса SHr
p∗ сум-
мами Фурье // Сиб. мат. журн. 16 (1975), N 4, 761–780.
[8] Э. М. Галеев, Приближение некоторых классов периодических функций мно-
гих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Успехи мат. наук. 32 (1977),
N 4, 251–252.
[9] Э. М. Галеев, Приближение сумами Фурье классов функций с несколькими
ограниченными производными // Мат. заметки. 23 (1978), N 2, 197–212.
[10] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной произво-
дной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 178 (1986), 1–112.
[11] П. В. Задерей, Приближение (ψ, β)-дифференцируемых периодических фун-
кций многих переменных // Укр. мат. журн. 45 (1993), N 3, 367–377.
[12] А. С. Романюк, О приближении классов периодических функций многих пе-
ременных // Укр. мат. журн. 44 (1992), N 5, 662–672.
[13] А. С. Романюк, Приближение классов Бесова периодических функций многих
переменных в пространстве Lq // Укр. мат. журн. 43 (1991), N 10, 1398–1408.
[14] А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Spϕ. Ки-
ев, 2001, 85 с. (Препр./ НАН Украины, Ин-т математики; 2001.2).
[15] А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Spϕ //
Укр. мат. журн. 53 (2001), N 3, 392–416.
[16] А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Spϕ в ра-
зных метриках // Укр. мат. журн. 53 (2001), N 8, 1121–1146.
[17] А. И. Степанец, А. С. Сердюк, Прямые и обратные теоремы теории при-
ближений функций в пространстве Sp // Укр. мат. журн. 54 (2002), N 1,
106–124.
А. И. Степанец 303
[18] А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН Украини. 40, Київ: Iн–т математики НАН Украини, 2002, ч. II,
468 c.
[19] А. И. Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств Sp //
Теорiя наближень та гармонiйний аналiз: Працi Українського математичного
конгресу, 2001. Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. С. 208–226.
[20] А. И. Степанец, В. И. Рукасов, Пространства Sp с несимметричной метри-
кой // Укр. мат. журн. 54 (2003), N 2, 264–277.
[21] А. И. Степанец, В. И. Рукасов, Наилучшие “сплошные” n-членные прибли-
жения в пространствах Spϕ // Укр. мат. журн. 55 (2003), N 5, 663–670.
[22] А. И. Степанец, А. Л. Шидлич, Наилучшие n-членные приближения Λ-
методами в пространствах Spϕ // Укр. мат. журн. 55 (2003), N 8, 1107–1126.
[23] А. И. Степанец, Экстремальные задачи теории приближений в линейных
пространствах // Укр. мат. журн. 55 (2003), N 10, 1392–1423.
[24] А. И. Степанец, Наилучшие приближения q-эллипсоидов в пространствах
Sp, µϕ // Укр. мат. журн. 56 (2004), N 10, 1378–1383.
[25] А. С. Сердюк, Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються
модулями неперервностi їх ψ-похiдних. Екстремальнi задачi теорiї функцiй
та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. Київ: Iн-т мате-
матики НАН України, 2003, Т. 46, c. 229–248.
[26] В. Р. Войцеховський, Поперечники деяких класiв з простору Sp. Екстремаль-
нi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн–ту математики НАН
України. Київ: Iн-т математики НАН України, 2003, Т. 46, c. 17–26.
[27] С. Б. Вакарчук, Неравенство типа Джексона и точные значения попере-
чников классов функций в пространствах Sp, 1 ≤ p <∞ // Укр. мат. журн.
56 (2004), N 5, 595–605.
[28] С. Б. Вакарчук, О некоторых экстремальных задачах теории аппроксима-
ции в пространствах Sp (1 ≤ p < ∞) // Воронеж.зим. мат.школа “Совре-
менные методы теории фунций и смежные проблемы” (Воронеж, 26 января–2
февраля, 2003 г.). Воронеж: Воронеж.ун-т, 2003, 47–48.
[29] В. Р. Войцеховський, Нерiвностi типу Джексона при наближеннi функцiй
з простору Sp сумами Зигмунда // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi
питання: Працi Iн–ту математики НАН України. Київ: Iн-т математики НАН
України, 35 (2002), 33–46.
[30] А. Л. Шидлiч, Насичення лiнiйних методiв пiдсумовування рядiв Фур’є в
просторах Spϕ // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-
ту математики НАН України. Київ: Iн-т математики НАН України, 35 (2002),
215–232.
[31] А. Л. Шидлiч, Найкращi n-членнi наближення Λ-методами в просторах
Spϕ // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту
математики НАН України. Київ: Iн-т математики НАН України, 46 (2003),
283–306.
[32] В. И. Рукасов, Наилучшие n-членные приближения в пространствах с не-
симметричной метрикой // Укр. мат. журн. 55 (2003), N 6, 806–816.
[33] И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых про-
странствах. М.: Изд-во “Мир”, 1974, 333 с.
304 Об экстремальных задачах теории приближений...
[34] Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации. М.: Изд-во “Наука”, 1965,
407 с.
[35] Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуд, Г. Полиа, Неравенства. М.: Изд-во Иностранной
литературы, 1948, 456 с.
[36] Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения. М.: Изд-во
“Наука”, 1976, 320 с.
[37] С. Б. Стечкин, Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл.
АН СССР. 102 (1955), N 1, 37-40
[38] К. И. Осколков, Аппроксимационные свойства суммируемых функций на
множествах полной меры // Матем. сб. 103 (1977), N 4, 563–589.
[39] В. Е. Майоров, О линейных поперечниках соболевских классов // Докл. АН
СССР. 243 (1978), N 5, 1127–1130.
[40] G. Y. Macovoz, On trigonometric n-widths and their generalization // J.
Approxim. Theory. 41 (1984), N 4, 361–366.
[41] Б.С. Кашин, Об аппроксимационных свойствах полных ортонормированных
систем // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 172 (1985), 187–191.
[42] Э. С. Белинский, Приближение периодических функций многих переменных
“плавающей” системой экспонент и тригонометрические поперечники //
ДОКЛ. АН СССР. 284 (1985), N 6. 1294–1297.
[43] Б. С. Кашин, В. Н. Темляков, О наилучших m-членных приближениях и
энтропии множеств в пространстве L // Матем. заметки. 56 (1994), N 5,
57–86.
[44] В. Н. Темляков, Нелинейные поперечники по Колмогорову // Матем. заметки.
63 (1998), N 6, 891–902.
[45] V. N. Temlyakov, Greedy Algorithm and m-Term Trigonometric Approximati-
on // Constructive Approx. 14 (1998), 569–587.
[46] Dinh Dung, Continuons Algorithms in n-Term Approximation and Non-Linear
Widths // J. Approxim. Theory. 102 (2000), 217–242.
[47] А. С. Романюк, Наилучшие M-членные тригонометрические приближения
классов Бесова периодических функций многих переменных // Изв. РАН.
Сер. матем. 67 (2003), N 2, 61–100.
[48] R. A. De Vore, V. N. Temlyakov, Nonlinear Approximation in Finite-Dimensional
Spaces // J. of Comlexity. 13 (1997), 489–508.
[49] R. A. De Vore, Nonlinear Approximation // Acta Numerica. (1998), 51–150.
[50] V. N. Temlyakov, Nonlinear Methods of Approximation // Found. Comput. Math.
3 (2003), 33–107.
[51] А. И. Степанец, Методы теории приближений: в 2 ч. // Працi Iн-ту мате-
матики НАН України. Київ: Iн-т математики НАН України, 40 (2002), ч. I,
426 c.
[52] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды: в 2 ч. М.: Изд-во “Мир”, 1965, Т. 2,
537 с.
[53] А. Н. Колмогоров, Über die beste Annaäherung von Functiionen einer gegebenen
Functionenkklass // Ann. of Math. 37 (1936), N 1, 107–110.
[54] В. М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1976, 307 с.
А. И. Степанец 305
Сведения об авторах
Александр
Иванович
Степанец
Институт математики НАН Украины
ул. Терещенковская 3,
01601, Киев-4,
Украина
E-Mail: step@imath.kiev.ua
|