Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья
В работе построен стохастический интеграл и преобразование Фурье–Винера для функционалов от потока Арратья.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2007 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124521 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья / А.А. Дороговцев // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 333-354. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859678835769868288 |
|---|---|
| author | Дороговцев, А.А. |
| author_facet | Дороговцев, А.А. |
| citation_txt | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья / А.А. Дороговцев // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 333-354. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В работе построен стохастический интеграл и преобразование Фурье–Винера для функционалов от потока Арратья.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:57:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 3, 333 – 354
Преобразование Фурье–Винера функционалов
от потока Арратья
Андрей А. Дороговцев
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. В работе построен стохастический интеграл и пре-
образование Фурье–Винера для функционалов от потока Арратья.
2000 MSC. 60H70, 60H10.
Ключевые слова и фразы. Преобразование Фурье–Винера, сто-
хастический поток, теорема Гирсанова.
Настоящая работа посвящена построению и исследованию свойств
аналога преобразования Фурье–Винера от потока Арратья склеива-
ющихся броуновских частиц. Поток Арратья является существенно
негауссовским объектом (см., например, [1], где исследуется поток σ-
алгебр, порожденный потоком Арратья), однако наследует некоторые
черты, присущие гауссовскому случаю. Так, например, в работах [2,3]
показано, что имеют место аналоги теоремы Кларка об интегральном
представлении винеровских функционалов [4] и теоремы Гирсанова
об абсолютной непрерывности распределения броуновского движе-
ния со сносом и виде плотности [4]. В этой статье продолжается линия
работ [2,3], а именно, строится аналог преобразования Фурье–Винера
для функционалов от потока Арратья. Работа состоит из двух частей.
В первой приведено описание потока Арратья и сходных объектов,
построенных с помощью склеивания независимых винеровских про-
цессов, а также описывается конструкция стохастического интеграла
по потоку Арратья, введенного в [2] для получения аналога теоре-
мы Гирсанова. Вторая часть содержит определение преобразования
Фурье–Винера и исследование его свойств.
Статья поступила в редакцию 16.08.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
334 Преобразование Фурье–Винера...
1. Стохастический интеграл по потоку Арратья
Исходным объектом в данной работе является случайное поле
x(u, t), u ∈ R, t ∈ [0; 1], которое, с точностью до распределения, одно-
значно задается следующими свойствами [5]. Для произвольного ко-
нечного набора u1 < · · · < un
1) x(u1, ·) — стандартный винеровский процесс, начинающийся в
точке u1,
2) для произвольного t ∈ [0; 1]
x(u1, t) ≤ x(u2, t),
3) сужение распределения (x(u1, ·), . . . , x(un, ·)) в C([0; 1],Rn) на
множество функций
{f : fk(0) = uk, k = 1, . . . , n, f1(t) < f2(t) < · · · < fn(t), t ∈ [0; 1]}
совпадает с сужением на то же множество распределения стандартно-
го n-мерного винеровского процесса, стартовавшего из (u1, . . . , un).
Замечание 1.1. Из приведенного описания следует, что для каждых
u1 < u2 случайные процессы x(u1, ·), x(u2, ·) ведут себя как незави-
симые винеровские процессы до момента встречи, а затем движутся
вместе. Последнее вытекает из того, что момент встречи координат
является марковским моментом для двумерного винеровского про-
цесса, строго марковского свойства [4] для винеровского процесса и
условий 1) и 2), сформулированных выше.
Говоря неформально, поток Арратья состоит из броуновских ча-
стиц, начинающих движение независимым образом из каждой точки
прямой и движущихся вместе после встречи. Как слабый предел под-
ходящим образом шкалированных семейств случайных блужданий
такой поток возникает в первоначальной работе [6]. В дальнейшем
схемы взаимодействия таких блужданий усложнялись (см., напри-
мер, [7] и имеющиеся там ссылки). В работе [5] поток Арратья полу-
чен как слабый предел гладких стохастических потоков, отвечающих
стохастическим дифференциальным уравнениям. Много интересных
свойств потока Арратья и исследование им порожденных σ-алгебр
содержится в [1]. Для нас будут представлять интерес функционалы
от всего потока Арратья, его сужения на некоторый отрезок, а также
наборов случайных процессов вида {x(uk, ·); k ≥ 1}, {x(k, ·); k ∈ Z},
где {uk; k ≥ 1} — последовательность плотная в R или на некото-
ром отрезке. В работе [8] было показано, что будучи рассмотрен как
А. А. Дороговцев 335
случайный процесс в C([0; 1]) x(u, ·), u ∈ R является марковским про-
цессом, имеющим модификацию, непрерывную справа и с пределами
слева в каждой точке. Далее рассматривается именно эта модифи-
кация. Отметим, что в [8] показано, что x(u, ·), u ∈ R не является
непрерывным процессом в C([0; 1]). Тем не менее, справедливо сле-
дующее утверждение.
Лемма 1.1. Для произвольного u0 ∈ R x непрерывен в u0 (как
C([0; 1])-значная функция) с вероятностью 1.
Доказательство. Достаточно заметить, что, как слабый предел ви-
неровских процессов, процесс x(u0−, ·) является стандартным вине-
ровским, начинающимся в u0 и, при этом,
∀ t ∈ [0; 1] : x(u0−, t) ≤ x(u0, t).
Так как в приведенном неравенстве возможен только знак равенства,
то утверждение леммы справедливо.
Приведем теперь конструкции интегралов по потоку Арратья,
используемые далее. Впервые эти конструкции были предложены в
работах автора [2, 3].
Пусть {x(u, t), u ∈ R, t ∈ [0; 1]} — поток Арратья. Рассмотрим
отрезок [0, U ] ⊂ R и последовательность различных точек {un;n ≥ 1}
из этого отрезка. Определим случайные моменты времени
τ1 = 1,
τk = inf
{
1; t :
k−1∏
j=1
(x(uk, t)− x(uj , t)) = 0
}
,
k ≥ 2.
(1.1)
Случайное время τk можно интерпретировать как время свободного
пробега частицы, стартовавшей из uk до момента ее приклеивания к
какой-нибудь из частиц, стартовавших из точки с меньшим номером
или до 1, если такое склеивание не состоялось. Покажем, что
∞∑
n=1
τn < +∞ п.н. (1.2)
Так как случайные величины τn неотрицательны, то достаточно про-
верить, что
∞∑
n=1
Mτn < +∞. (1.3)
Начнем со следующей простой леммы.
336 Преобразование Фурье–Винера...
Лемма 1.2. Пусть {w(t); t ∈ [0; 1]} — стандартный винеровский
процесс на [0; 1], начинающийся в 0. Обозначим для u > 0
τu = inf{1, t : w(t) = u}.
Тогда
Mτu ∼
2
√
2√
π
u, u→ 0 + .
Доказательство. Так как ∀ t ∈ [0; 1] :
P{τu ≥ t} =
u∫
−u
pt(v) dv,
где pt — плотность распределения w(t), то
Mτu =
1∫
0
P{τu ≥ t} dt =
√
1
2π
1∫
0
u∫
−u
e−
v2
2t√
t
dv dt
=
√
1
2π
u∫
−u
1∫
0
e−
v2
2t√
t
dt dv.
Так как
lim
v→0
1∫
0
e−
v2
2t√
t
dt =
1∫
0
dt√
t
= 2,
то
Mτu ∼
2
√
2√
π
u, u→ 0 + .
Лемма доказана.
Следствие 1.1. Из доказанного соотношения следует, что суще-
ствует такая положительная постоянная C, что для всех u > 0
Mτn ≤ C · u.
Рассмотрим теперь частичную сумму ряда (1.3). Отметим, что
для каждого n ≥ 1
n∑
k=1
τk =
n∑
k=1
σk,
А. А. Дороговцев 337
где
σ1 = τ1 = 1,
σk = inf{1, t : x(u(k), t) = x(u(k−1), t)},
k = 2, . . . , n.
Здесь u(1) < u(2) < · · · < u(n) — упорядоченные в порядке возрастания
точки u1, . . . , un. Согласно следствию из леммы 1.2
M
n∑
k=1
σk ≤ C
n∑
k=2
(u(k) − u(k−1)) ≤ C · U.
Таким образом, ряд (1.3) сходится и, следовательно, ряд (1.2) сходи-
тся почти наверное.
Заметим, что в том случае, когда {un;n ≥ 1} плотна в [0;U ],
M
n∑
k=1
τk = M
n∑
k=1
σk → 2
√
2U + 1, n→∞. (1.4)
Для двух последовательностей {un;n ≥ 1} и {vn;n ≥ 1}, плотных в
[0;U ], совпадают не только суммы в (1.3), но и суммы в (1.2). Чтобы
убедиться в этом, заметим, что в силу леммы 1.2
∣∣∣∣M
n∑
k=1
σk −
2√
π
U + 1
∣∣∣∣ ≤ ϕ
(
max
k=1,...,n−1
u(k+1) − u(k)
)
,
где ϕ : [0; +∞)→ [0; +∞) — функция, такая, что
ϕ(r)→ 0, r → 0 + .
Поэтому, две суммы времен свободного пробега для частиц, старто-
вавших из u1, . . . , un и v1, . . . , vn близки к такой же сумме, построен-
ной по объединению этих двух множеств при достаточно большом n.
Получающуюся сумму (1.2) для какой-либо плотной в [0;U ] последо-
вательности {un;n ≥ 1} назовем суммарным свободным пробегом и
обозначим через S(U). Значение S(U) можно получить и по-другому.
Для каждого n ≥ 1
n∑
k=1
τk =
1∫
0
νn(t) dt,
где νn(t) — количество различных чисел среди x(u1, t), . . . , x(un, t).
Заметим теперь, что при каждом t x(·, t) — возрастающая функция
338 Преобразование Фурье–Винера...
по u. Следовательно, νn(t)→ ν(t), n→∞, где ν(t) на единицу прево-
сходит количество скачков x(·, t) на [0;U ]. В силу теоремы Лебега о
монотонной сходимости
S(U) =
∞∑
k=1
τk =
1∫
0
ν(t) dt. (1.5)
В частности, ν(t) конечно почти наверное, что означает, что образ
каждого отрезка при отображении x(·, t) является конечным множе-
ством. Таким образом, x(·, t) — монотонно неубывающая ступенчатая
функция, имеющая конечное число скачков на любом отрезке.
Пусть a : R→ R — ограниченная измеримая функция, множество
{un;n ≥ 1} плотно в [0;U ], содержит 0 и U, а случайные моменты
{τn;n ≥ 1} определены так же, как раньше.
Теорема 1.1 ([2, 3]). Ряд
∞∑
n=0
τn∫
0
a(x(un, s)) dx(un, s) (1.6)
сходится в среднем квадратическом, а его сумма не зависит от
выбора последовательности {un;n ≥ 1}.
Доказательство. Заметим, что в (1.6) слагаемые некоррелированы.
Действительно, при фиксированном N ≥ 1 моменты τ1, . . . , τN и слу-
чайные процессы x(u1, t), . . . , x(uN , t), t ∈ [0; 1] могут быть описаны
следующим образом. Пусть w1, . . . , wN — независимые стандартные
винеровские процессы, начинающиеся в u1, . . . , uN соответственно.
Положим y1(t) = w1(t), t ∈ [0; 1], σ1 = 1. Пусть
σ2 = inf{1; t : w2(t) = w1(t)},
и
y2(t) =
{
w2(t), t ≤ σ2
w1(t), t ≥ σ2.
Далее
σ3 = inf{1; t : w3(t) = y2(t) или w3(t) = y1(t)},
y3(t) =
{
w3(t), t ≤ σ3
y2(t) или y1(t), t ≥ σ3.
Поступая аналогичным образом, получим последовательность слу-
чайных процессов y1, . . . , yN и моментов σ1, . . . , σN . При этом набор
А. А. Дороговцев 339
y1, . . . , yN совпадает по распределению с набором x(u1, ·), . . . , x(uN , ·),
а моменты σi определены аналогично моментам τi. Поэтому, для
произвольных 1 ≤ k < l ≤ N
M
τk∫
0
a(x(uk, s)) dx(uk, s) = M
σk∫
0
a(yk(s)) dyk(s),
M
τk∫
0
a(x(uk, s)) dx(uk, s)
τl∫
0
a(x(ul, s)) dx(ul, s)
= M
σk∫
0
a(yk(s)) dyk(s)
σl∫
0
a(yl(s)) dyl(s).
Отметим теперь, что wk являются независимыми винеровскими про-
цессами и σk — момент остановки относительно их совместного пото-
ка σ-алгебр. Поэтому,
M
σk∫
0
a(yk(s)) dyk(s) = M
σk∫
0
a(wk(s)) dwk(s) = 0.
Аналогично
M
( σk∫
0
a(yk(s)) dyk(s)
)2
= M
σk∫
0
a2(yk(s)) ds,
M
σk∫
0
a(yk(s)) dyk(s)
σl∫
0
a(yl(s)) dyl(s) = 0.
Таким образом, сходимость в среднем квадратическом ряда (1.6) рав-
носильна сходимости ряда
∞∑
n=1
M
τn∫
0
a2(x(un, s)) ds, (1.7)
который, в силу ограниченности функции a, мажорируется рядом
(1.3). То, что сумма в (1.6) не зависит от выбора последовательности
{un;n ≥ 1}, проверяется аналогично доказательству такого же факта
для (1.2). Теорема доказана.
340 Преобразование Фурье–Винера...
Отметим, что ряд (1.6) сходится иногда и для неограниченной
функции a.
Пример 1.1. Докажем, что утверждение теоремы 1.1 справедливо
для ряда
∞∑
n=1
∫
∆m(τn)
d~x(un, s), (1.8)
где
∆m(t) = {0 ≤ s1 ≤ · · · ≤ sm ≤ t},
а символ d~x(u, s) соответствует m дифференциалам dx(u, s1) ×
dx(u, s2) · · · dx(u, sm). Действительно, в силу известного соотношения
для произвольного t ∈ [0; 1] справедливо равенство
( ∫
∆m(t)
d~x(un, s)
)2
=
t∫
0
ξ(s) dx(un, s) +
tm
m!
с некоторой квадратично интегрируемой случайной функцией ξ, со-
гласованной с потоком x(un, ·). Поэтому
M
( ∫
∆m(τn)
d~x(un, s)
)2
=
1
m!
Mτmn .
Кроме того, как и в (1.6), слагаемые в (1.8) ортогональны. Таким
образом, сходимость в среднем квадратическом ряда (1.8) равносиль-
на сходимости ряда
∞∑
n=1
Mτmn ,
который сейчас мажорируется сходящимся рядом (1.3). Независи-
мость суммы от выбора {un;n ≥ 1} проверяется так же, как и раньше.
Определение 1.1. Сумма (1.6) называется интегралом от функ-
ции a относительно потока Арратья по отрезку [0;U ].
Обозначать такой интеграл в дальнейшем будем
U∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) dx(u, s).
А. А. Дороговцев 341
В этом обозначении τ(u) больше не является моментом встречи ви-
неровского процесса, вышедшего из u с каким-то еще, а только под-
черкивает, что интеграл получился в результате суммирования стоха-
стических интегралов по кускам траекторий до случайных моментов
времени. Также, два знака интеграла и только один знак дифферен-
циала соответствуют тому, что малыми становятся сами стохастиче-
ские интегралы. Следующее свойство введенного интеграла исполь-
зуется далее. Обозначим для U ≥ 0
GU = σ(x(u, ·);u ∈ [0;U ]).
Лемма 1.3. Случайный процесс
U∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) dx(u, s)
является (GU )-мартингалом.
Доказательство леммы 1.3 мы проведем после обсуждения анало-
га теоремы Кларка для полученного стохастического интеграла. Как
известно [4], любая квадратично интегрируемая случайная величина
α, измеримая относительно винеровского процесса {w(t); t ∈ [0; 1]},
может быть единственным образом представлена в виде
α = Mα+
1∫
0
ξ(t) dw(t). (1.9)
В интеграле Ито (1.9) квадратично интегрируемая случайная фун-
кция ξ единственным образом строится по α. Поскольку поток Ар-
ратья построен по совокупности винеровских процессов, то можно
ожидать, что для функционалов от него также будет иметь место
аналог представления (1.9). Начнем со следующей леммы [2].
Лемма 1.4. Пусть {w(t); t ∈ [0; 1]} — стандартный винеровский
процесс, τ — момент остановки для него, квадратично интегриру-
емая величина α измерима относительно {w(t ∧ τ); t ∈ [0; 1]}. Тогда
α единственным образом представляется в виде
α = Mα+
τ∫
0
ξ(t) dw(t)
с интегралом Ито от квадратично интегрируемой случайной фун-
кции ξ в правой части.
342 Преобразование Фурье–Винера...
Полученное представление можно распространить и на функци-
оналы, зависящие от нескольких независимых винеровских процес-
сов. Пусть wk, k = 1, . . . , n — независимые винеровские процессы на
[0; 1]. Отметим, что случайную функцию ξ, измеримую относительно
wk, k = 1, . . . , n так, что при каждом t ∈ [0; 1] сужение ξ на [0; t]
измеримо относительно {wk(s); s ∈ [0; 1], k < n, wn(s); s ≤ t} можно
интегрировать по wn так же, как и при конструировании интеграла
Ито, и полученный интеграл обладает теми же свойствами. Про та-
кую случайную функцию далее будем говорить, что она измерима
относительно w1, . . . , wn−1 и согласована с потоком wn.
Лемма 1.5. Пусть при каждом k = 1, . . . , n τk — момент оста-
новки относительно потока, порожденного w1, . . . , wk, α — квадра-
тично интегрируемая величина, измеримая относительно {w1(t ∧
τ1), w2(t∧τ2), . . . , wn(t∧τn)}; t ∈ [0; 1]. Тогда α единственным образом
представляется в виде суммы
α = Mα+
n∑
k=1
τk∫
0
ξk(t) dwk(t),
где случайная функция ξk при k = 1, . . . , n измерима относительно
w1, . . . , wk−1 и согласована с потоком wk.
Доказательство. Пусть
w̃k(t) = wk(t ∧ τk).
Рассмотрим случайную величину
ζ = α−M(α/w̃1, . . . , w̃n−1).
По условию ζ является функцией от w̃1, . . . , w̃n. Поэтому ζ при фи-
ксированных w̃1, . . . , w̃n измерима относительно w̃n, и согласно пре-
дыдущей лемме, допускает представление
ζ =
τn∫
0
ξn(t) dwn(t),
где случайная функция ξn измерима относительно w1, . . . , wn−1 и со-
гласована с потоком wn. Применяя те же рассуждения к
M(α/w̃1, . . . , w̃n−1)−M(α/w̃1, . . . , w̃n−2),
получаем следующее слагаемое в представлении α и т.д. Единствен-
ность представления очевидна. Лемма доказана.
А. А. Дороговцев 343
Пусть теперь последовательность точек {un;n ≥ 0} плотна в от-
резке [0;U ] и содержит 0 и U в качестве членов. Для каждого n ≥ 0
определим момент остановки
τn = inf{1, t : x(un, t) ∈ {x(u0, t), . . . , x(un−1, t)}
и положим τ0 = 1. Так как x непрерывен справа как случайный про-
цесс в C([0; 1]), то σ-алгебра, порожденная x на [0;U ] совпадает с σ-
алгеброй, порожденной значениями x в точках {un;n ≥ 0} и, что то
же самое, с σ-алгеброй, порожденной процессами {x(un, τn∧·);n ≥ 0}.
Поэтому в качестве следствия леммы 1.5 и теоремы Леви [4] получаем
утверждение.
Лемма 1.6 ( [2]). Пусть случайная величина α интегрируема
с квадратом и измерима относительно σ-алгебры, порожденной x
на [0;U ]. Тогда α допускает представление
α = Mα+
∞∑
n=0
τn∫
0
ξn(t) dx(un, t), (1.10)
где при каждом n ≥ 0 случайная функция ξn измерима относитель-
но x(u0, τ0∧·), x(u1, τ1∧·), . . . , x(un−1, τn−1∧·) и согласована с потоком
x(un, ·).
Замечание 1.2. Отметим, что в (1.10) τn и ξn зависят от переста-
новки и выбора точек последовательности {un;n ≥ 0}.
Вернемся теперь к доказательству утверждения леммы 1.3.
Доказательство. Пусть α — квадратично интегрируемая случайная
величина, измеримая относительно σ-алгебры GU , порожденной x на
[0;U ′]. Для U ′′ > U ′ рассмотрим
Mα
U ′′∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) dx(u, s).
Выберем последовательность разбиений, участвующую в построении
интеграла, так, чтобы в нее всегда входила точка U ′. Тогда, используя
представление (1.9) для α, в котором в качестве последовательности
{un;n ≥ 0} взята совокупность всех точек разбиений, попадающих в
[0;U ′], получаем, что
Mα
U ′′∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) dx(u, s) = Mα
U ′∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) dx(u, s).
Лемма доказана.
344 Преобразование Фурье–Винера...
Аналогично построенному интегралу можно определить
U∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) ds.
Построенные интегралы позволяют записать теорему Гирсанова
для стохастических потоков. Построим вначале аналог потока Арра-
тья со сносом. Пусть a — ограниченная функция на R, удовлетво-
ряющая условию Липшица. Рассмотрим стохастический поток в R
{y(u, t);u ∈ R, t ≥ 0}, удовлетворяющий следующим условиям. Для
произвольных u1 < · · · < un
1) y(u1, ·) — диффузионный процесс в R со сносом a и диффузией
1, стартовавший из u1,
2) для всякого t ≥ 0
y(u1, t) ≤ y(u2, t) ≤ · · · ≤ y(un, t),
3) для всякого t ≥ 0 сужение распределения случайного процесса
{(y(u1, s), . . . , y(un, s)) : s ∈ [0; t]} на множество функций
{~f ∈ C([0; t],Rn) : fi(0) = ui, i = 1, . . . , n,
f1(s) < · · · < fn(s), s ∈ [0; t]}
совпадает с сужением на то же множество распределения решения
следующей системы (или совокупности) стохастических дифферен-
циальных уравнений
{
dzi(s) = a(zi(s)) dt+ dwi(s),
zi(0) = ui, i = 1, . . . , n,
(1.11)
где w1, . . . , wn — независимые стандартные винеровские процессы.
На неформальном уровне поток y может быть описан как сово-
купность диффузионных частиц, имеющих снос a и диффузию 1,
движущихся независимым образом до момента встречи и продолжа-
ющих движение вместе после встречи.
Лемма 1.7. Поток y существует и определяется свойствами 1)–3)
однозначно.
Доказательство. Построим конечномерные распределения для y
(отвечающие конечным наборам u1 < · · · < un). Для этого рассмо-
трим набор случайных процессов z1, . . . , zn из (1.11). Положим
y(u1, t) = z1(t), t ∈ [0; 1].
А. А. Дороговцев 345
Пусть
τ1 = inf{1, t : z1(t) = z2(t)}.
Определим
y(u2, t) =
{
z2(t), t ≤ τ1,
y(u1, t), t ≥ τ1.
Так как τ1 является моментом остановки относительно потока σ-
алгебр, порожденного w1 и w2, а z2 обладает строго марковским свой-
ством относительно этого потока, то получившийся процесс y(u2, ·)
будет диффузионным со сносом a и единичной диффузией. Опреде-
лим далее τ2, как обрезанный единицей момент встречи z3 и y(u2, ·),
и построим y(u3, ·) так же, как y(u2, ·). Поступая аналогичным обра-
зом далее, получим набор y(u1, ·), . . . , y(un, ·), который удовлетворяет
всем требованиям 1)–3). Распределения полученных наборов согла-
сованы между собой и отвечают некоторому случайному процессу
y(u, ·), u ∈ R в C([0; 1]). Отметим также, что условия 1)–3) однозна-
чно задают конечномерные распределения y. Лемма доказана.
Цель настоящего пункта — доказательство абсолютной не-
прерывности распределения y относительно потока Арратья на
фиксированном интервале по переменной u. Аналогично [8] можно
показать, что y имеет модификацию с cádlág траекториями в C([0; 1]).
Поэтому σ-алгебра, порожденная y(x) на отрезке [0;U ] совпадает с
σ-алгеброй, порожденной значениями y(x) в точках вида{
kU
2n ; 0 ≤ k ≤ 2n, n ≥ 1
}
. Следовательно, достаточно проверить
абсолютную непрерывность распределения сужения y на это
множество относительно соответствующего сужения x. Справе-
длива следующая теорема [3], доказанная автором совместно с
Маловичко Т. В.
Теорема 1.2. Распределение процесса y абсолютно непрерывно
относительно распределения процесса x в пространстве D([0;U ],
C([0; 1])) с плотностью
p(x) = exp
{ U∫
0
τ(u)∫
0
a(x(u, s)) ds(u, s)− 1
2
U∫
0
τ(u)∫
0
a2(x(u, s)) ds
}
. (1.12)
Обозначим через Fs,t σ-алгебру, порожденную значениями x(u),
u ∈ [s; t].
Лемма 1.8. Fs,t непрерывно по t, т.е. ∀ s0 < t0 :
Fs0,t0 =
∨
s0≤t<t0
Fs0,t =
⋂
t0<t
Fs0,t = Fs0,t0+.
346 Преобразование Фурье–Винера...
Доказательство. Равенство
Fs0,t0 =
∨
s0≤t<t0
Fs0,t
следует из леммы 1.1. Пусть теперь интегрируемая с квадратом слу-
чайная величина α измерима относительно Fs0,t0+ и имеет нулевое
среднее. Для t > t0, согласно доказанной в [2] теореме Кларка, α
можно представить как предел в среднем квадратическом сумм
Sn =
n∑
k=0
τ(uk)∫
0
gk(r) dx(uk, r),
где s0 = u0 < · · · < un = t — разбиение [s0; t], τ(uk) определен
обычным образом при каждом k, случайная функция gk измерима
относительно x(u0), . . . , x(uk−1) и согласована с потоком σ-алгебр, по-
рожденным x(uk). Выберем разбиение так, чтобы некоторое uk сов-
падало с t0. Тогда
S′
n = Sn −M(Sn/Fs0,t0) =
n∑
k=k0+1
τ(uk)∫
0
gk(r) dx(uk, r).
При этом S′
n сходится с измельчением разбиения в среднем квадра-
тическом к α′ = α−M(α/Fs0,t0).
Зафиксируем некоторое n. Затем повторим все построения для
t0 < t1 < uk0+1. Получим новую последовательность сумм {S′′
n}, по-
строенную по разбиениям отрезка [t0; t1] и также сходящуюся к α′.
Пусть
S′′
m =
m∑
j=1
τ(vj)∫
0
hm(r) dx(vj , r),
где t0 < v1 < · · · < vm = t1. Тогда
MS′
nS
′′
m =
m∑
j=1
M
τ(vj)∫
0
hm(r) dx(vj , r)
τ(uk0+1)∫
0
gk0+1(r) dx(uk0+1, r).
Здесь случайный момент τ(uk0+1) связан с разбиением {uk}. Таким
образом,
|MS′
nS
′′
m|
≤ (MS′′
m)
1
2 ·
(
M
( τ(uk0+1)∫
0
gk0+1(r) dx(uk0+1, r)1I{τ(uk0+1)=σ(t1)}
)2) 1
2
,
А. А. Дороговцев 347
где σ(t1) = inf{1; r : x(t1, r) = x(t0, r)}. Отметим, что
M1I{τ(uk0+1)=σ(t1)} → 0, t1 → t0 + .
Более того, при t0 < t′1 < t′′1 < uk0+1,
{τ(uk0+1) = σ(t′′1)} ⊃ {τ(uk0+1) = σ(t′1)}.
Таким образом, в силу теоремы Лебега о монотонной сходимости,
M
( τ(uk0+1)∫
0
gk0+1(r)dx(uk0+1, r)
)2
1I{τ(uk0+1)=σ(t1)} → 0,
t1 → t0 + .
Тем самым
M(α′)2 = 0.
Следовательно, ⋂
t>t0
Fs0,t = Fs0,t0 .
Лемма доказана.
Замечание 1.3. Аналогичные построения в обратном времени по-
казывают непрерывность Fs,t по первому аргументу.
Следствие 1.2. Справедливо равенство
⋂
t>s
Fs,t = Fs,s = σ(x(s, ·)).
2. Преобразование Фурье–Винера
Напомним некоторые факты, касающиеся преобразования Фурье–
Винера функционалов от винеровского процесса, в форме, удобной
для дальнейшего. Пусть {w(t); t ∈ [0; 1]} — стандартный винеров-
ский процесс, начинающийся в 0. Для произвольной случайной ве-
личины α, интегрируемой с квадратом и измеримой относительно w,
справедливо разложение Ито–Винера
α = a0 +
∞∑
k=1
1∫
k. . .
∫
0
ak(r1, . . . , rk) dw(r1) · · · dw(rk), (2.1)
348 Преобразование Фурье–Винера...
в котором a0 = Mα — симметричные по совокупности переменных
функции ak, интегрируемые с квадратом по [0; 1]k, k ≥ 1, а
1∫
k. . .
∫
0
ak(r1, . . . , rk) dw(r1) · · · dw(rk) —
удобная запись кратного интеграла Ито
k!
∫
∆k(1)
ak(r1, . . . , rk) dw(r1) · · · dw(rk).
Ряд (2.1) состоит из ортогональных слагаемых и
Mα2 = a2
0 +
∞∑
k=1
k!
1∫
k. . .
∫
0
a2
k(r1, . . . , rk) ds1 · · · dsk. (2.2)
Обозначим для ϕ ∈ L2([0; 1]) через Eϕ(t) стохастическую экспоненту
Eϕ(t) = e
∫ t
0 ϕ(s) dw(s)− 1
2
∫ t
0 ϕ
2(s) ds.
Отметим, что
MEϕ(t) = 1.
Поэтому
ME2
ϕ(t) < +∞.
Следовательно, определено математическое ожидание произведения
MαEϕ(1).
Так как для непрерывных ϕ
dEϕ(t) = ϕ(t)Eϕ(t) dw(t),
Eϕ(0) = 1,
то
Eϕ(1) = 1 +
∞∑
k=1
1
k!
1∫
k. . .
∫
0
ϕ(r1)ϕ(r2) · · ·ϕ(rk) dw(r1) · · · dw(rk).
Отсюда и из (2.2)
MαEϕ(1) = a0 +
∞∑
k=1
1∫
k. . .
∫
0
ak(r1, . . . , rk)ϕ(r1) · · ·ϕ(rk) dr1 · · · drk.
(2.3)
А. А. Дороговцев 349
Обозначим
Tα(ϕ) = MαEϕ(1).
Отметим, что (2.3) — аналитическая по ϕ функция на L2([0; 1]). Сле-
довательно, ядра {ak; k ≥ 0}, а значит и сама α, восстанавливаются
по Tα(·) однозначно.
Определение 2.1. Tα называется преобразованием Фурье–Винера
случайной величины α.
Замечание 2.1. Отметим, что в литературе чаще используется
ei
∫ t
0 ϕ(s) dw(s)+ 1
2
∫ t
0 ϕ
2(s) ds
вместо Eϕ(t). Однако для нас Eϕ(t) удобнее, т.к. является плотностью
распределения процесса w(·)+
∫ ·
0 ϕ(s) ds относительно распределения
w(·).
Пусть теперь функция ϕ ∈ C([0;U ]× [0; 1]). Интегралы
mϕ((U) =
U∫
0
τ(u)∫
0
ϕ(u, s) dx(u, s),
aϕ(U) =
U∫
0
τ(u)∫
0
ϕ2(u, s) ds
определены так же, как и ранее. Обозначим через Eϕ(U) аналог сто-
хастической экспоненты
Eϕ(U) = exp
{
mϕ(U)− 1
2
aϕ(U)
}
.
Пусть LU2 — пространство интегрируемых с квадратом случайных
величин, измеримых относительно F0,U .
Теорема 2.1. Линейные комбинации {Eϕ(U)} плотны в LU2 .
Доказательство. Достаточно проверить, что из соотношения
MαEϕ(U) = 0, ϕ ∈ C([0;U ]× [0; 1])
следует равенство α = 0 для α ∈ LU2 . Заметим, что F0,U порождена
значениями потока x, отвечающими начальным точкам {uk; k ≥ 1},
образующим всюду плотное подмножество [0;U ]. Учитывая приве-
денные выше построения конечномерных распределений x, можно
350 Преобразование Фурье–Винера...
считать, что набор процессов {x(uk, ·); k ≥ 1} получен из набора
независимых винеровских процессов {wk; k ≥ 1}, стартующих из
{uk; k ≥ 1} таким образом, что x(uk, ·) совпадает с wk до момента
встречи с одним из процессов {x(u1, ·), . . . , x(uk−1, ·)}. Пусть α изме-
рима относительно {x(u1, ·), . . . , x(un, ·)}. Тогда
MαEϕ(U)
= lim
m→∞
Mα exp
{
m∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s) dx(uk, s)−
1
2
m∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s)
2 ds
}
= Mα exp
{
n∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s) dx(uk, s)−
1
2
n∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s)
2 ds
}
= Mα exp
{
n∑
k=1
1∫
0
ϕ(uk, s) dw(s)− 1
2
n∑
k=1
1∫
0
ϕ(uk, s)
2 ds
}
. (2.4)
Здесь использованы равенство нулю взаимной характеристики про-
цессов x(ui, ·) и x(uj , ·), i 6= j до момента встречи и мартингальное
свойство стохастической экспоненты. Согласно (2.4) из соотношения
MαEϕ(U) = 0, ϕ ∈ C([0;U ]× [0; 1])
следует, что α = 0. Таким образом, α лежит в замыкании линейной
оболочки {Eϕ(U)}. Теперь утверждение теоремы следует из теоремы
Леви и того факта, что сейчас
F0,U =
∞∨
n=1
σ(x(u1, ·), . . . , x(un, ·)).
Теорема доказана.
Введем следующее определение.
Определение 2.2. Для случайной величины α, интегрируемой с
квадратом и измеримой относительно F0,U , ее преобразованием
Фурье–Винера называется функционал
Tα(ϕ) = MαEϕ(U),
определенный на C([0;U ]× [0; 1]).
Следствием теоремы является следующий факт.
А. А. Дороговцев 351
Теорема 2.2. Преобразование Фурье–Винера однозначно определяет
случайную величину α.
В некоторых случаях преобразование T для функционалов от по-
тока Арратья можно вычислить в явном виде.
Пример 2.1. Рассмотрим случайную величину α из примера 1
α =
U∫
0
∫
∆m(τ(u))
d~x(u, ·).
Для нее преобразование T
MαEϕ(U) = lim
n→∞
M
(
n∑
k=1
∫
∆m(τ(u))
d~x(u, ·)
)
× exp
{
n∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s) dx(uk, s)−
1
2
n∑
k=1
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s)
2 ds
}
= lim
n→∞
n∑
k=1
M
∫
∆m(τ(uk))
d~x(uk, ·)
× · exp
{ τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s) dx(uk, s)−
1
2
τ(uk)∫
0
ϕ(uk, s)
2 ds
}
= lim
n→∞
n∑
k=1
M
∫
∆m(τ(uk))
ϕ(uk, s1) · · ·ϕ(uk, sm) ds1 · · · dsm
= lim
n→∞
n∑
k=1
1
m!
1∫
m. . .
∫
0
ϕ(uk, s1) · · ·ϕ(uk, sm)P{τ(uk) ≥ s∗} ds1 · · · dsm
=
2
m!
U∫
0
1∫
m. . .
∫
0
ϕ(u, s1) . . . ϕ(u, sm)
√
1
πs∗
ds1 · · · dsm du.
Здесь s∗ = maxk=1,...,m sk.
Пусть теперь g ограниченная измеримая функция на R. Рассмо-
трим следующий интегральный функционал от x
A(U) =
U∫
0
τ(u)∫
0
g(x(u, t)) dx(u, t).
352 Преобразование Фурье–Винера...
Знак + в нижнем пределе интегрирования означает, что в суммах,
использующихся при определении интеграла, отсутствует слагаемое,
отвечающее точке 0.
Функционал A является мартингалом по U, а его приращения
задают однородный аддитивный функционал от x. A определяется
функцией g. Покажем, что g можно восстановить однозначно по пре-
образованию Фурье–Винера функционала A.
Теорема 2.3. Функция g однозначно определяется по набору {A(U),
U ≥ 0}.
Доказательство. Пусть ϕ ∈ C2([0; 1]). Определим, как и ранее, сто-
хастическую экспоненту равенством
Eϕ(U) = exp
{ U∫
0
τ(u)∫
0
ϕ(t) dx(u, t)− 1
2
U∫
0
τ(u)∫
0
ϕ2(t) dt
}
.
Тогда, как и при доказательстве теоремы 2.1, можно проверить, что
MA(U)Eϕ = M
U∫
0
τ(u)∫
0
g(x(u, s))ϕ(s)
× exp
{ s∫
0
ϕ(t) dx(u, t)− 1
2
s∫
0
ϕ2(t) dt
}
ds.
Докажем, что существует
lim
U→0+
1
u
MA(U)Eϕ
при ϕ = const . Рассмотрим, как и ранее, u1 < u2,
τ(u2) = inf{1, t : x(u2, t) = x(u1, t)}.
Найдем асимптотику при u2 → u1+ математического ожидания
I(u2) = M
τ(u2)∫
0
g(x(u2, s)) exp
{
λ(x(u2, s)− u2)−
λ2s
2
}
ds.
А. А. Дороговцев 353
Пусть w1, w2 — независимые стандартные винеровские процессы. То-
гда
I(u2) = M
σ(u2)∫
0
g
(
u2 +
1√
2
w1(s) +
1√
2
w2(s)
)
× exp
{ λ√
2
w1(s) +
λ√
2
w2(s)−
λ2s
2
}
ds,
где
σ(u2) = inf
{
1, t : w1(t) =
u2 − u1√
2
}
.
Поэтому,
I(u2) =
1∫
0
Mg̃
(
λ, s, u2 +
1√
2
w1(s)
)
e
λ√
2
w1(s)−λ2s
4 1I{σ(u2)≥s} ds.
Здесь
g̃(λ, s, r) = Mg
(
r +
1√
2
w2(s)
)
e
λ√
2
w2(s)−λ2s
4 .
Следовательно,
I(u2) =
1∫
0
+∞∫
0
g̃
(
λ, s, u2 +
1√
2
v
)
e
λ√
2
v−λ2s
4
×
(
ps
(u2 − u1√
2
− v
)
− ps
(u2 − u1√
2
+ v
))
dv ds.
Таким образом,
lim
u2→u1
1
u2 − u1
I(u2)
=
√
2
1∫
0
+∞∫
0
g̃
(
λ, s, u1 +
1√
2
v
)
· e
λ√
2
v−λ2s
4
v
s
ps(v) dv ds. (2.5)
Используя определение A(u) и соотношение (2.5), получаем, что для
ϕ ≡ λ
lim
U→0+
1
U
MA(U)Eϕ =
√
2
1∫
0
+∞∫
0
g̃
(
λ, s,
1√
2
v
)
e
λ√
2
v−λ2s
4
v
s
ps(v) dv ds.
354 Преобразование Фурье–Винера...
Отметим, что аналогичные вычисления могли быть проведены
для ϕ = λ1I[0;t]. Знание соответствующих пределов дает возможность
найти
+∞∫
0
g̃
(
λ, s,
1√
2
v
)
e
λ√
2
v−λ2s
4 vps(v) dv ds
при s ∈ (0; 1]. Нетрудно видеть, что g однозначно восстанавливается
по значениям полученных интегралов при фиксированном s. Теорема
доказана.
Приведенное в этой теореме свойство функционала A является
аналогом возможности восстановления неотрицательного аддитивно-
го функционала по его характеристике.
Литература
[1] Le Jan Yves, Raimond Olivier, Flows, coalescence and noise // The Annals of
Probability, 32 (2004), N 2, 1247–1315.
[2] A. A. Dorogovtsev, One version of the Clark representation theorem for Arratia
flow // Theory of stochastic processes, 11(27) (2005), N 3–4, 63–70.
[3] А. А. Дороговцев, Стохастический интеграл по потоку Арратья // Докла-
ды Академии Наук, 410 (2006), N 2.
[4] Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев, Статистика случайных процессов. М.: Наука,
1974, 696 с.
[5] A. A. Dorogovtsev, One Brownian stochastic flow // Theory of Stochastic
Processes, 10 (26), (2004) N 3–4, 21–25.
[6] R. A. Arratia, Brownian motion on the line. Ph.D dissertation. Univ. Wisconsin,
Madison, 1979.
[7] C. M. Newman, K. Ravishankar, R. Sun, Convergence of coalescing nonsimple
random walks to the Brownian web // Electron. J. Probab. 10 (2005), N 2, 21–60
(electronic).
[8] А. А. Дороговцев, Некоторые замечания о винеровских процессах со склеи-
ванием // Укр. мат. журн. 57 (2005), N 10, 1327–1333.
Сведения об авторах
Андрей
Анатольевич
Дороговцев
Институт математики НАН Украины
ул. Терещенковская 3,
01601, Киев-4,
Украина
E-Mail: adoro@imath.kiev.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124521 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:57:55Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Дороговцев, А.А. 2017-09-29T05:19:22Z 2017-09-29T05:19:22Z 2007 Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья / А.А. Дороговцев // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 333-354. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 60H70, 60H10. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124521 В работе построен стохастический интеграл и преобразование Фурье–Винера для функционалов от потока Арратья. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья Article published earlier |
| spellingShingle | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья Дороговцев, А.А. |
| title | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья |
| title_full | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья |
| title_fullStr | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья |
| title_full_unstemmed | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья |
| title_short | Преобразование Фурье--Винера функционалов от потока Арратья |
| title_sort | преобразование фурье--винера функционалов от потока арратья |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124521 |
| work_keys_str_mv | AT dorogovcevaa preobrazovaniefurʹevinerafunkcionalovotpotokaarratʹâ |