О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева
В работе исследованы вопросы полноты и базисности системы собственных и присоединенных векторов конечномерных возмущений вольтерровых операторов в пространстве Соболева Wmp [0, 1]....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124528 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева / Г.С. Ромащенко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 437-451. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124528 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ромащенко, Г.С. 2017-09-29T05:31:03Z 2017-09-29T05:31:03Z 2007 О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева / Г.С. Ромащенко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 437-451. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 81Q15, 47G10, 34L10, 47A55. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124528 В работе исследованы вопросы полноты и базисности системы собственных и присоединенных векторов конечномерных возмущений вольтерровых операторов в пространстве Соболева Wmp [0, 1]. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева |
| spellingShingle |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева Ромащенко, Г.С. |
| title_short |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева |
| title_full |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева |
| title_fullStr |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева |
| title_full_unstemmed |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева |
| title_sort |
о спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах соболева |
| author |
Ромащенко, Г.С. |
| author_facet |
Ромащенко, Г.С. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе исследованы вопросы полноты и базисности системы собственных и присоединенных векторов конечномерных возмущений вольтерровых операторов в пространстве Соболева Wmp [0, 1].
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124528 |
| citation_txt |
О спектре одномерных возмущений вольтерровых операторов в пространствах Соболева / Г.С. Ромащенко // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 3. — С. 437-451. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romaŝenkogs ospektreodnomernyhvozmuŝeniivolʹterrovyhoperatorovvprostranstvahsoboleva |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| _version_ |
1850603215459975168 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 3, 437 – 451
О спектре одномерных возмущений
вольтерровых операторов в пространствах
Соболева
Галина С. Ромащенко
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. В работе исследованы вопросы полноты и базисно-
сти системы собственных и присоединенных векторов конечномер-
ных возмущений вольтерровых операторов в пространстве Соболева
W m
p [0, 1].
2000 MSC. 81Q15, 47G10, 34L10, 47A55.
Ключевые слова и фразы. Вольтерровый оператор, оператор ин-
тегрирования, конечномерное возмущение, собственный вектор, пол-
нота системы собственных функций.
1. Введение
Одномерное возмущениe R1 = J + Q1 = J + (·, φ)ψ оператора
интегрирования
J : f →
x∫
0
f(t) dt (1.1)
изучалось множеством авторов: [7–10,13,15–17,19].
Так, в работе И. И. Кальмушевского [13] доказана полнота сис-
темы собственных и присоединенных векторов (СПВ) одномерного
возмущения оператора интегрирования (1.1) в терминах функций φ
и ψ. В работе М. М. Маламуда [17] найдены условия, при которых си-
стема СПВ оператораR1 образует базис Рисса в пространстве L2[0, 1].
Оказалось (см. [17]), что полнота и базисность системы СПВ опера-
тора R1 тесно связаны с полнотой и базисностью систем экспонент в
Статья поступила в редакцию 25.06.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
438 О спектре одномерных возмущений...
пространстве L2[0, 1]. Так, в [13] для доказательства теоремы исполь-
зован результат Ю. И. Любича о дефекте системы экспонент в про-
странстве C[−π, π], а в [17] для доказательства базисности системы
экспонент применялась теорема Левина–Головина [7, 14].
В дальнейшем одномерные возмущения оператора интегрирова-
ния изучались в работах Г. М. Губреева [9, 10]. В работах Г. М. Гу-
бреева и А. И. Коваленко [8], Г. М. Губреева [11] показано, что каждая
полная и минимальная система экспонент в пространстве L2[0, 1] сов-
падает с множеством собственных векторов оператора дифференци-
рования с подходящими обобщенными краевыми условиями.
Изучению спектральных свойств n-мерного возмущения более об-
щих вольтерровых операторов вида
Rnf := K +Qn =
x∫
0
k(x, t)f(t) dt+
n∑
i=1
l∫
0
f(t)φi(t) dtψi(x) (1.2)
посвящены работы М. М. Маламуда [17], Г. М. Губреева [10],
А. П. Хромова [19], М. М. Маламуда и Л. Л. Оридороги [18] и др.
(см. литературу в [18], [19]). Отметим также, что в работах [10, 17]
изучались одномерные возмущения степеней оператора интегрирова-
ния Jα.
В [16] вопрос о полноте системы СПВ оператора Rn вида (1.2) с
помощью результатов о подобии оператору дробного интегрирования
Jα : f →
x∫
0
(x− t)α−1
Γ(α)
f(t) dt, α > 0 (1.3)
сведен к изучению полноты системы СПВ оператора Jα +Qn.
В настоящей работе мы распространяем результаты М. М. Мала-
муда из [17] случай операторов, действующих в пространствах Собо-
леваWm
2 [0, 1]. При этом вместо теоремы Левина–Головина мы исполь-
зуем результаты В. В. Власова и С. А. Иванова [6]. Сначала мы
показываем, что система СПВ оператора R1 не является полной, в
отличие от случая пространства L2[0, 1]. Ее дефект равен m. После
соответствующего добавления m векторов она образует базис Рисса
в Wm
2 [0, 1].
Автор благодарит своего научного руководителя М. М. Маламуда
и Л. Л. Оридорогу за оказанную помощь в подготовке работы.
Г. С. Ромащенко 439
2. Обозначения и предварительные результаты
2.1. Пространства Лиувилля–Соболева
Обозначим Wm
p [0, 1] — пространство Соболева функций f , име-
ющих m − 1 абсолютно непрерывную производную, причем f (m) ∈
Lp[0, 1].
Обозначим Lsp[0, 1] — пространство Лиувилля-Соболева. По опре-
делению, f ∈ Lsp[0, 1], если f имеет обобщенную дробную произво-
дную f (s−[s]) порядка s−[s] и f (s−[s]) ∈W [s]
p [0, 1]. Функции f ∈ Lsp[0, 1]
характеризуются следующим интегральным представлением:
f(x) =
[s]+1∑
m=1
cm
xs−m
Γ(s−m+ 1)
+
1
Γ(s)
x∫
0
(x− t)s−1g(t) dt, (2.1)
где cm = f (s−m)(0) и g(x) = f (s)(x), (см. [12]).
Положим Lsp,0[0, 1] := {f ∈ Lsp[0, 1] : f (s−m)(0) = 0, 1 ≤ m ≤ [s] + 1}
и L0
p,0[0, 1] := L0
p[0, 1] := Lp[0, 1].
2.2. Базисность систем экспонент в пространстве Соболева
Напомним некоторые факты, касающиеся полноты и базисности
систем экспонент в пространствах Wm
2 [0, 1].
Впервые базисность Рисса системы экспонент в пространстве Со-
болева Wm
2 [0, 1] при целых m была исследована Д. Л. Расселом в [5].
Им получен следующий результат:
Теорема 2.1. Пусть семейство экспонент {eλnt} образует базис
Рисса в пространстве L2[0, 1]. Тогда, добавляя к нему m экспонент
{eµkt}, где µk ∈ C \ {λ1, λ2, . . . } и все µk различные, и проводя со-
ответствующую нормировку, получим базис Рисса в пространстве
Wm
2 [0, 1].
Начиная с работ Б. Я. Левина [14] и В. Д. Головина [7], базис-
ность системы экспонент {eλnt}∞i=1 формулируют в терминах целой
функции с корнями {λn}∞i=1, которые являются показателями экспо-
нент. Такая функция называется порождающей для системы {λn}∞i=1.
В работе [6] рассмотрены следующие порождающие функции
L(λ) =
p∑
j=0
n∑
k=0
akjλ
je−λhk +
m∑
j=0
h∫
0
Bj(τ)e
−λτ dτ.
440 О спектре одномерных возмущений...
Здесь 0 = h0 < h1 < · · · < hn = h, Bj(τ) ∈ L2(0, h). Пусть Λ = {λi} —
нули функции L(λ) с кратностями νi. Для произвольного λ ∈ Λ обо-
значимDλ(r) — круг радиуса r с центром в точке λ. Далее, обозначим
G(q)(r), q = 1, 2, . . . — компоненту связности множества
⋃
λ∈ΛDλ(r).
Пусть Λ(q)(r) — последовательность точек из Λ, лежащих в G(q)(r),
а L(q)(r) — подпространство, образованное соответствующими экспо-
нентами xneλx, λ ∈ Λ(q)(r), n ∈ {0, 1, . . . , kλ − 1}. Впоследствии нам
будет необходима следующая теорема, доказанная в [6].
Теорема 2.2 (см. [6]). Пусть a0m 6= 0 и anm 6= 0. Тогда семей-
ство подпространств {L(q)(r)} образует базис Рисса в пространст-
ве Wm
2 [−h, 0].
Лемма 2.1 ([6]). Пусть семейство
E = {eiλix, xeiλix, . . . , xνi−1eiλix}∞i=1
со спектром Λ = {λi}∞i=1 минимально в пространстве Wm
2 [−h, 0] и
его дефект равен 1. Тогда добавляя к семейству E элемент eµt, где
µ ∈ C \Λ, либо элемент treµqt (если элементы eµqt, teµqt, . . . , tr−1eµqt
уже лежат в E), получим полную в Wm
2 [−h, 0] систему.
3. Основные результаты
3.1. n-мерные возмущения вольтерровых операторов
Рассмотрим оператор Rn = K +Qn вида
Rn : f →
x∫
0
k(x, t)f(t) dt+
l∫
0
f(t)φ1(t) dt ψ1(x) + · · ·
+
l∫
0
f(t)φn(t) dt ψn(x). (3.1)
Следующая теорема распространяет теорему 1 из [17] на случай про-
странства Соболева Wm
2 [0, 1] и совпадает с ней при m = 0, т. е. в
случае пространства L2[0, 1].
Теорема 3.1. Пусть ядро k(x, t) удовлетворяет следующим услови-
ям:
1. k(x, x) = 1;
2. DtDxk(x, t) ∈Wm
p (Ω), где Ω = {(x, t) : 0 < t < x < 1};
Г. С. Ромащенко 441
а φi(t), ψi(t) ∈Wm
2 [0, 1].
Тогда оператор Rn вида (3.1) либо не имеет собственных чисел,
отличных от нуля, либо имеет их бесконечно много.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоре-
мы 1 из [17]. В [2] показано, что при выполнении условий теоремы
операторы K и J подобны в пространствах Соболева Wm
2 [0, 1]. Это
означает, что существует ограниченный и ограниченно обратимый в
пространстве Wm
2 [0, 1] оператор V , который сплетает операторы K и
J : V −1KV = J . Легко видеть, что
V −1RnV f = Jf+
l∫
0
f(t)φ̃1(t) dtψ̃1(x)+· · ·+
l∫
0
f(t)φ̃n(t) dtψ̃n(x), (3.2)
где функции φ̃i(x) := V ∗φ и ψ̃i(x) := V −1ψi принадлежат пространст-
ву Wm
2 [0, 1]. Следовательно, доказательство достаточно провести
для оператора интегрирования J (1.1). В дальнейшем вместо φ̃j и
ψ̃j в (3.2) мы будем просто писать φj и ψj , что не приведет к недора-
зумению.
Пусть Rnf = λf , т. е. (J − λI)f = −∑n
i=1 bi(f)ψi(x), откуда
f(x) =
n∑
k=1
bk(f)
λ
[
ψk(x) +
1
λ
x∫
0
ψk(t)e
(x−t)λ dt
]
, (3.3)
где bk(f) = (f, φk) =
∫ l
0 f(t)φk(t) dt. Отметим, что не все числа bk(f)
равны нулю. В противном случае из соотношения (3.3) следовало бы,
что f(x) = 0. Умножив последовательно равенство (3.3) скалярно на
φi(x) (i ∈ {1, 2, . . . , n}), получим систему уравнений
bi(f) =
n∑
k=1
bk(f)
[
aik
λ
+
1
λ2
l∫
0
et/λPik
]
, i ∈ {1, 2, . . . , n}. (3.4)
Здесь
Pik(t) :=
l∫
t
φi(x)ψk(x− t) dx, aik := (ψk, φi) =
l∫
0
φi(x)ψk(x) dx.
(3.5)
Система уравнений (3.4) имеет нетривиальное решение, посколь-
ку не все bk(f) (k ∈ {1, 2, . . . , n}) равны нулю и, следовательно, все
442 О спектре одномерных возмущений...
отличные от нуля собственные числа оператора Rn удовлетворяют
уравнению
F (λ) = det ‖δij + cij(λ)‖ni,j=1 = 0, (3.6)
где δij — символ Кронекера и
cij(λ) := −
[
aij
λ
+
1
λ2
l∫
0
et/λPij(t) dt
]
. (3.7)
Докажем обратное, т. е. что все корни уравнения F (λ) = 0 (λ 6= 0)
являются собственными числами оператора J +Qn. Для этого заме-
тим, что если F (λ) = 0 для некоторого λ 6= 0, то система уравнений
(3.3) имеет нетривиальное решение bi(f) (i ∈ {1, 2, . . . , n}). Составим
вектор f =
∑n
k=1 bk(J − λE)−1ψk и покажем, что он будет собствен-
ным для оператора Rn. Обозначив для этого через Q̃i функционал
Q̃ig = (g, φi), получим
(Rn − λE)f = (J +Qn − λE)
( n∑
i=1
bi(J − λE)−1ψi
)
=
n∑
i=1
biψi +Qn
( n∑
k=1
bk(J − λE)−1ψk
)
=
n∑
i=1
biψi +
n∑
i=1
Q̃i
[ n∑
k=1
bk(J − λE)−1ψk
]
ψi
=
n∑
i=1
[
bi +
n∑
k=1
bk(Q̃i)(J − λE)−1ψk
]
ψi(x). (3.8)
Поскольку bi, i ∈ {1, 2, . . . , n}, определялись как решение системы
(3.4) и
Q̃i(J − λE)−1ψk = −aik
λ
− 1
λ2
l∫
0
Pik(t)e
t/λ dt, (3.9)
то из выражения (3.8) следует, что (Rn − λE)f = 0, чем и доказано
обратное утверждение. Используя абсолютную непрерывность фун-
кций ψ(x) (i ∈ {1, . . . , n}), проинтегрируем по частям выражение для
cik(λ) из (3.7), полагая z = 1/iλ. В результате найдем
Cik(z) = −iz
l∫
0
eiztuik(t) dt, (3.10)
Г. С. Ромащенко 443
где
uik(t) = ψk(0)φi(t) +
l∫
t
φi(x)ψ
′
k(x− t) dx. (3.11)
Рассмотрим матрицу
{uik(t)}ni,k=1 =
u11(t) u12(t) . . . u1n(t)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
un1(t) un2(t) . . . unn(t)
.
Обозначим через σk(t) сумму ее главных миноров k-го порядка, под-
считанную так, что под умножением двух функций f(t) и g(t) по-
нимается их свертка (f ∗ g)(t). Например, для матрицы {uik(t)}2i,k=1
второго порядка σ2(t) = (u11 ∗ u22)(t)− (u12 ∗ u21)(t).
Раскроем определитель в выражении (3.6), считая z = 1/iλ и
пользуясь выражением (3.10) для Cik(z):
F (1/iz) := F̃ (z) = 1 +
n∑
k=1
(−iz)k
kl∫
0
eiztσk(t) dt. (3.12)
Проинтегрировав по частям в выражении (3.11), убедимся, что uik(t)
∈ Wm
1 [0, l], так как φk, ψk ∈ Wm
2 [0, l] по условию. Можно показать,
что σk(t) ∈W k−1
1 [0, kl] и
σk(0) = σ′k(0) = · · · = σ
(k−2)
k (0)
= σk(kl) = σ′k(kl) = · · · = σ
(k−2)
k (kl) = 0. (3.13)
Таким образом, возможно интегрирование по частям в выражении
(3.12), которое с учетом последних соотношений дает
F̃ (z) = 1− iz
nl∫
0
eizt
[
σ1(t) + σ′2(t) + · · ·+ σ(n−1)
n (t)
]
dt. (3.14)
При этом, так как носитель функции σk(t) содержится в отрезке
[0, kl], считаем σk(t) продолженной нулем на отрезок.
Если F̃ (z) имеет хотя бы один корень z0 (F̃ (z0) = 0), то ее легко
преобразовать к виду F̃ (z) = (z − z0)G(z), где
G(z) = −i
nl∫
0
eizt
[
s(t) + iz0
nl∫
l
eiz0(ξ−t)s(ξ) dξ
]
dt, (3.15)
s(t) = σ1(t) + σ′2(t) + · · ·+ σ(n−1)
n (t). (3.16)
444 О спектре одномерных возмущений...
Целая функция G(z) имеет бесконечно много нулей. Таким образом,
оператор Rn либо не имеет собственных чисел, либо имеет их беско-
нечно много.
Следствие 3.1. Пусть φ(t), ψ(t) ∈ Wm
2 [0, 1]. Тогда оператор R1f =
(J+Q1)f = Jf+(f, φ)ψ, (Q1 6= 0) не имеет собственных чисел тогда
и только тогда, когда
u(t) = ψ(0)φ(t) +
l∫
t
φ(x)ψ′(x− t) dx ≡ 1. (3.17)
Доказательство. В доказательстве предыдущей теоремы было пока-
зано, что отсутствие у оператора R1 собственных чисел эквивалентно
отсутствию корней у функции F̃ (z). При n = 1 из общего вида (3.14)
следует, что функция F̃ (z) не будет иметь корней в том и только том
случае, если u(t) ≡ 0 (F̃ (z) = 1) либо u(t) ≡ −1 (F̃ (z) = eizt). Пока-
жем, что первый случай невозможен. Если ψ(0) 6= 0, то из равенства
u(t) = ψ(0)φ(t) +
l∫
t
φ(x)ψ′(x− t) dx = 0 (3.18)
имеем φ(t) ≡ 0. Если ψ(0) = 0, то, применяя теорему Тичмарша,
из равенства (3.18) получаем ψ′(x) = 0 (0 ≤ x ≤ α) и φ(x) = 0
(α ≤ x ≤ l). Но тогда ψ(x) ≡ 0 (0 ≤ x ≤ α), так как ψ(0) = 0 и
ψ(x) ∈Wm
2 [0, 1], а отсюда Q1 = 0, т. е. R1 = J .
3.2. Одномерные возмущения оператора Jα
Теорема 3.2. Пусть k(x) ∈ Lα+m−2
2 [0, 1] при некотором вещест-
венном α, которое удовлетворяет условию α > m− 1/2 либо α ∈ N,
k(x) ∈ Lα2,0[0, 1]∩Lα+1
1 [0, 1], k(α−1)(0) = 1. φ(x), ψ(x) ∈Wm
2 [0, 1]. Тогда
оператор
Rf = (K +Q)f =
x∫
0
k(x− t)f(t) dt+
1∫
0
f(t)φ(t) dtψ(x) (3.19)
имеет в Wm
2 [0, 1] бесконечно много собственных чисел, если Q 6= 0.
Доказательство. Согласно теореме 3.5 из [4], оператор K подобен
оператору Jα (α > 1) в пространстве Wm
2 [0, 1] . Поэтому достаточно
доказать теорему для оператора R1 := Jα + Q. Пусть R1f = λf
Г. С. Ромащенко 445
(λ 6= 0). Тогда (Jα − λE) = −Qf , откуда f = −(Jα − λE)−1Qf . Но
Qf = cψ, где c = (f, φ), причем c 6= 0, иначе бы f(x) = 0. Итак, если
λ (λ 6= 0) — собственное значение оператора R1, то отвечающий ему
собственный вектор пропорционален (Jα − λE)−1ψ. Отсюда
0 = (Jα +Q− λE)(Jα − λE)−1ψ
= ψ(x) +Q(Jα − λE)−1ψ
= ψ(x) + [Q̃(Jα − λE)−1ψ]ψ(x)
= [1 + Q̃(Jα − λE)−1ψ]ψ(x), (3.20)
где Q̃ — функционал вида Q̃f = (f, φ) =
∫ l
0 f(t)φ(t) dt. Учитывая, что
ψ(x) 6≡ 0, из выражения (3.20) для собственных чисел оператора R1
получаем уравнение
F (λ) = 1 + Q̃(Jα − λE)−1ψ = 0. (3.21)
Наоборот, пусть λ0 — корень уравнения (3.21), т. е. F (λ0) = 0. Тогда
из равенств (3.20) получаем g(x) = (Jα − λ0E)−1ψ(x) — собственный
вектор оператора R1, отвечающий числу λ0. Так нули F (λ) (λ 6= 0)
и только они суть собственные числа оператора R1. Распишем F (z)
(z = 1/λ) более подробно:
F (z) = 1− zQ̃(E − zJα)−1ψ
= 1− z
l∫
0
ψ(x)φ(x) dx− z2
l∫
0
φ(x) dx
x∫
0
H(x− t, λ)ψ(t) dt
= 1− za− z2
l∫
0
H(t, λ)q(t) dt, (3.22)
где
a = (ψ, φ); q(t) =
l∫
t
ψ(x− t)φ(x) dx;
H(x− t, λ) =
∞∑
k=1
λk−1(x− t)kα−1
Γ(kα)
= (x− t)α−1E1/α(λ(x− t)α;α).
Здесь E1/α(λ(x−t)α;α) — функция Миттаг–Леффлера. Если q(t) 6≡ 0,
то F (z) имеет бесконечно много нулей, так как это целая функция
порядка роста 1/α (α > 1). Если q(t) ≡ 0, то из теоремы Титчмарша
получаем ψ(x) = 0 (0 ≤ x ≤ γ) и φ(x) = 0 (l−β ≤ x ≤ l), где γ+β ≥ l.
Но тогда Q = 0, т. е. R1 = K.
446 О спектре одномерных возмущений...
3.3. Одномерные возмущения оператора J .
Базисность системы СПВ
Следующая теорема является основным результатом данной рабо-
ты. Ее доказательство аналогично доказательству теоремы 3 из [16].
Теорема 3.3. Пусть φ(t), ψ(t) ∈ Wm
2 [0, l], причем u(l) 6= 0, u(0) 6=
−1, где u(t) определяется равенством
u(t) = ψ(0)φ(t) +
l∫
t
φ(x)ψ′(x− t) dx. (3.23)
Тогда:
(i) система собственных и присоединенных векторов F оператора
R1f = (J +Q)f =
x∫
0
f(t) dt+
l∫
0
f(t)φ(t) dt ψ(x) (3.24)
образует базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки в
Wm
2 [0, l]. Ее дефект равен m.
(ii) После добавления к семейству СПВ оператора R1 некоторого
семейства {hi}mi=1 из m векторов полученная система F ∪{hi}
образует базис Рисса в пространстве Wm
2 [0, 1].
Доказательство. (i) Пусть {λi}∞i=1 — последовательность собствен-
ных чисел оператора R1 и
ki = dim span {(R1 − λi)j : j ∈ Z+}.
Из доказательства теоремы 2.2 следует, что все корни порождающей
функции F (λ) вида (3.21) (α = 1) являются собственными числами
оператора R1 и наоборот.
Покажем, что кратность k(λi) произвольного нуля λi 6= 0 фун-
кции F (λ) совпадает с размерностью ki корневого подпространства
оператора R1, соответствующего числу λi. Действительно, если λi —
нуль кратности k(λi) для F (λ), то F (p)(λi) = p!Q(Jα−λiE)−(p+1)ψ = 0
(1 ≤ p ≤ k(λi)). Отсюда по индукции получаем, что вектор (Jα −
λiE)−(p+1)ψ является присоединенным вектором p-го порядка опера-
тора R1. Действительно, для p = 0 это следует из равенства (3.20) и
Г. С. Ромащенко 447
вида (3.21) порождающей функции F (λ). Предполагая, что это верно
для 0 ≤ p ≤ m < ki, докажем его для p = m+ 1. Имеем
(Jα +Q− λiE)m+1(Jα − λiE)−(m+1)ψ
= (Jα − λiE +Q)m[(Jα − λiE)−mψ +Q(Jα − λiE)−(m+1)ψ]
= (Jα − λiE +Q)m(Jα − λiE)−mψ = 0. (3.25)
Учитывая линейную независимость векторов (Jα − λiE)−(p+1)ψ (0 ≤
p ≤ ki), получаем k(λi) ≤ ki. Обращая доказательство, получим обра-
тное неравенство.
Таким образом, λi — корень функции F (λ) кратности ki.
Пусть, F = {fn, f (1)
n , . . . , f
(kn−1)
n }∞n=1 — система собственных и
присоединенных векторов оператора R1. Полагая λ−1 = iz, получаем
f (p−1)
n (x) = (J − λnE)−pψ
= (izn)
p
[
ψ(x) +
p∑
k=1
Ckp (izn)
k
x∫
0
eiznt
(k − 1)!
ψ(x− t) dt
]
= (izn)
p
[
ψ(x) +
p∑
k=1
Ckpαk−1(x, izn)ψ(0)
−
p∑
k=1
Ckpαk−1(0, izn)ψ(x) +
p∑
k=1
Ckp
x∫
0
αk−1(x, izn)ψ
′(x− t) dt
]
= (ψ(0)E +G)
{ p∑
k=1
Ckpαk−1(x, izn)
}
, (3.26)
где
αk(x, iz) =
k∑
m=0
(−1)m
tk−m(iz)k−m
(k −m)!
eizt (3.27)
и введен оператор
(ψ(0)E +G)f = ψ(0)f(x) +
x∫
0
ψ′(x− t)f(t) dt. (3.28)
Из (3.26) следует, что присоединенный вектор g
(p−1)
n (x) p-го по-
рядка, который не является присоединенным вектором порядка p−1,
448 О спектре одномерных возмущений...
имеет вид
g(p−1)
n (x) = (ψ(0)E +G)
{
xp−1eiznx
(p− 1)!
}
= ψ(0)
xp−1eiznx
(p− 1)!
+
x∫
0
ψ′(x− t) t
p−1eiznt
(p− 1)!
dt. (3.29)
Поскольку ψ(0) 6= 0, то оператор ψ(0)E +G ограничен и имеет огра-
ниченный обратный в Wm
2 [0, 1]. Следовательно, для доказательства
теоремы необходимо установить, что система
E = {eizix, xeizix, . . . , xki−1eizix}∞i=1 (3.30)
порождает базис Рисса в L2[0, l].
Отметим, что zn — корни функции
F (z) = 1− iz
l∫
0
eiztu(t) dt. (3.31)
Здесь u(t) определяется равенством (3.23). Поскольку u(t) ∈Wm
1 [0, 1]
вместе в φ(x) и ψ(x), то возможно интегрирование по частям:
F (z) = 1 + u(0)− u(l)eizt −
l∫
0
eiztu′(t) dt. (3.32)
Применяя теорему 2.2 при m = 0 и учитывая, что u(0) 6= −1 и
u(l) 6= 0, получаем что система E вида (3.30) образует базис Рисса в
пространстве L2[0, l]. Из теоремы 2.1 следует, что система F образует
базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки в Wm
2 [0, 1], и ее
дефект в Wm
2 [0, 1] равен m.
(ii) Применим лемму 2.1 к системе E, т.е. пополним ее набором
экспонент вида eµit, где µi ∈ C \ Λ, µi 6= µk при i 6= k. По теореме
Д. Л. Рассела 2.1 новая система экспонент E1 := E ∪ {eµit}mi=1 обра-
зует базис Рисса в пространстве Wm
2 [0, 1]. После чего применяя к по-
лученной системе ограниченный оператор (ψ(0)E+G)−1 и используя
формулу (3.29), получим систему векторов, которая образует базис
Рисса в Wm
2 [0, 1].
Замечание 3.1. Из равенства (3.32) следует, что оператор R1 имеет
конечное число кратных собственных значений.
Г. С. Ромащенко 449
3.4. Одномерные возмущения вольтеррова оператора
Следствие 3.2. Пусть ядро k(x, t) оператора
Rf :=
x∫
0
k(x, t)f(t) dt+ ε
l∫
0
f(t)φ(t) dtψ(x) (3.33)
удовлетворяет следующим условиям:
1. k(x, x) = 1;
2. DtDxk(x, t) ∈Wm
p (Ω), где Ω = {(x, t) : 0 < t < x < 1},
а φ(t), ψ(t) ∈ Wm
2 [0, 1], причем u(l) 6= 0, где u(t) определяется равен-
ством (3.23). Тогда
(i) при всех ε 6= 0, кроме, быть может, одного, система F соб-
ственных и присоединенных векторов оператора R вида (3.33)
образует базис Рисса в замыкании своей линейной оболочки в
Wm
2 [0, l]. Ее дефект равен m.
(ii) После добавления к семейству СПВ оператора R некоторого
семейства {hi}mi=1 из m векторов полученная система F ∪{hi}
образует базис Рисса в пространстве Wm
2 [0, 1].
Доказательство. При выполнении условий 1 и 2 на ядро k(x, t) опе-
раторы K и J подобны в пространствах Соболева Wm
2 [0, 1] (см. [2]).
Это означает, что существует ограниченный и ограниченно обрати-
мый в пространстве Wm
2 [0, 1] треугольный оператор V следующего
вида:
V : f → e(
∫ x
0 Dxk(t,t)dt)
(
f(x) +
x∫
0
N(x, t)f(t) dt
)
, (3.34)
который сплетает операторы K и J : V −1KV = J . Тогда
V −1RV f = Jf +
l∫
0
f(t)φ̃(t) dtψ̃(x), (3.35)
причем φ̃(x) := V ∗φ, ψ̃(x) := εV −1ψi ∈ Wm
2 [0, 1]. Из общего вида опе-
ратора преобразования V находим: ψ̃(0) = εψ(0) и φ̃(l) = φ(l), следо-
вательно, выполнено условие u(l) = ψ̃(0)φ̃(l) 6= 0, где u(t) определено
равенством (3.23).
450 О спектре одномерных возмущений...
Исключим из рассмотрения то значение ε0, при котором u(0) =
−1. Покажем, что таких ε0 не более одного. Действительно, из равен-
ства
u(0) = εψ(0)φ(0) + ε
l∫
0
φ(x)ψ′(x) dx = −1
следует, что либо
ε = −
(
ψ(0)φ(0) +
l∫
0
φ(x)ψ′(x) dx
)−1
,
либо
ψ(0)φ(0) +
l∫
0
φ(x)ψ′(x) dx = 0,
и такого ε не существует.
Далее доказательство повторяет ход доказательства теоремы 3.3
для оператора J + (·, φ̃)ψ̃.
Литература
[1] S. A. Avdonin, S. A. Ivanov, The Levin-Golovin Theorem for Sobolev Spaces //
Math. Notes, 68 (2000), N 2, 145–153.
[2] G. S. Dud’eva, On similarity of Volterra operators in Sobolev spaces // Methods
of Funct. Analysis and Topology, 5 (1999), N 2, 1–11.
[3] R. Paley, N. Wiener, Fourier Transforms in the Complex Domain. Publ. Amer.
Mat. Soc., New York, 1934.
[4] G. S. Romashchenko, On similarity of convolution Volterra operators in Sobolev
spaces // Methods of Funct. Analysis and Topology, 12 (2006), N 3, 286–295.
[5] D. L. Russel, Nonharmonic Fourier series in the control theory of distributed
parameter systems // J. Math. Anal., 18 (1967), N 3, 542–559.
[6] V. V. Vlasov, S. A. Ivanov, Sobolev space estimates for solutions of equations with
delay, and the basis of divided differences // St. Petersburg Math. J., 15 (2004),
545–561.
[7] В. Д. Головин, О биортогональных разложениях в L2 // Зап. мех.-мат. ф-та
ХГУ и Харьк. мат. о-ва, 30 (1964), N 4, 18–29.
[8] Г. М. Губреев, А. И. Коваленко, Критерий полноты корневых подпро-
странств оператора дифференцирования с абстрактными краевыми усло-
виями // Мат. зам., 30 (1981), N 4, 543–552.
[9] Г. М. Губреев, Об одном классе безусловных базисов гильбертовых про-
странств и о проблеме подобия диссипативных вольтерровых операторов //
Матем. сб., 183 (1992), N 9, 105–146.
Г. С. Ромащенко 451
[10] Г. М. Губреев, О спектральном разложении конечномерных возмущений дис-
сипативных операторов // Труды ММО, М., УРСС, 64 (2003), 90–140.
[11] Г. М. Губреев, Спектральный анализ биортогональных разложений функций
в ряды экспонент // Изв. РАН. Сер. матем., 53 (1989), N 6, 1236–1268.
[12] М. М. Джрбашян, Интегральные преобразования и представления функций
в комплексной области. М.: Наука, 1966.
[13] И. И. Кальмушевский, О полноте собственных и присоединенных функций
некоторых операторов в L2[0, 1] // Изв. вузов, (1970), N 1, 60–64.
[14] Б. Я. Левин, О базисах из показательных функций в L2 // Зап. мех.-мат.
ф-та ХГУ и Харьк. мат. о-ва, 27 (1961), N 4, 39–48.
[15] Ю. И. Любич, О собственных и присоединенных функциях оператора дифе-
ренцирования // Изв. вузов, (1959), N 4, 94–103.
[16] М. М. Маламуд, Об одномерных возмущениях вольтерровых операторов //
Докл. АН УССР, сер. А, (1980), N 7, 26–29.
[17] М. М. Маламуд, Замечания о спектре одномерных возмущений вольтерро-
вых операторов // Математ. физика, 32 (1982), 99–105.
[18] M. M. Malamud, L. L. Oridoroga, Analog of the Birkhoff Theorem and the
Completeness Results for Fractional Order Differential Equations // Russian J.
Math. Phys., 8 (3) (2001), 287—308.
[19] А. П. Хромов, О порождающих функциях вольтерровых операторов // Мат.
сб., 102 (1977), N 3, 457–472.
Сведения об авторах
Галина С.
Ромащенко
Донецкий национальный университет
ул. Университетская 24,
83055, Донецк,
Украина
E-Mail: gal_romash@mail.ru
|