Buchumschlag

О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа

Для широкого класса дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств с wλ₀ -псевдомонотонными отображениями, включая отображения псевдомонотонного типа, получена теорема о разрешимости. Теорема доказана при помощи метода эллиптической регуляризации и метода штрафа. Рассмо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний вісник
Datum:2007
Hauptverfasser: Касьянов, П.О., Мельник, В.С.
Format: Artikel
Sprache:Russisch
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124532
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов, В.С. Мельник // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 535-581. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860024403762348032
author Касьянов, П.О.
Мельник, В.С.
author_facet Касьянов, П.О.
Мельник, В.С.
citation_txt О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов, В.С. Мельник // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 535-581. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Український математичний вісник
description Для широкого класса дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств с wλ₀ -псевдомонотонными отображениями, включая отображения псевдомонотонного типа, получена теорема о разрешимости. Теорема доказана при помощи метода эллиптической регуляризации и метода штрафа. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
first_indexed 2025-12-07T16:49:44Z
format Article
fulltext Український математичний вiсник Том 4 (2007), № 4, 535 – 581 О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ0 -псевдомонотонного типа Павел О. Касьянов, Валерий С. Мельник (Представлена А. Е. Шишковым) Аннотация. Для широкого класса дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств с wλ0 -псевдо- монотонными отображениями, включая отображения псевдомоно- тонного типа, получена теорема о разрешимости. Теорема доказана при помощи метода эллиптической регуляризации и метода штрафа. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие полученные результаты. 2000 MSC. 35K55, 58C06, 34A40, 34A60. Ключевые слова и фразы. Дифференциально-операторные вклю- чения, эволюционные вариационные неравенства, псевдомонотонные отображения, многозначный оператор вариационного исчисления, многозначный метод штрафа. Введение Цель этой работы состоит в изучении существования решений абстрактных дифференциально-операторных включений и эволюци- онных вариационных неравенств для широкого класса операторов, включая, как частный случай, псевдомонотонные операторы. Дифференциально-операторные включения и эволюцион- ные вариационные неравенства исследуются многими авторами: И. В. Скрыпник, J.-P. Aubin, S. Carl, H. Frankowska, М. И. Камен- ский, П. O. Касьянов, П. И. Когут, А. А. Ковалевский, В. С. Мельник, D. Motreanu, В. В. Обуховский, N. S. Papageorgiou, O. M. Солонуха, Статья поступила в редакцию 23.02.2007 Частично поддержано ДФФД, грант Б-Ф25/539-2007 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України 536 О разрешимости включений... А. А. Толстоногов, Ю. И. Уманский, А. Н. Вакуленко, М. З. Згуров- ский и другими в работах [1–33] и т.п. При изучении нелинейных эволюционных уравнений использую- тся некоторые стандартные методы: метод аппроксимаций Фаэдо– Галеркина, метод сингулярных возмущений, метод разностных ап- проксимаций, метод нелинейных полугрупп операторов и другие (см. напр. [3, 17]). Применение этих подходов к дифференциально-опера- торным включениям и эволюционным вариационным неравенствам наталкивается на ряд технических трудностей. Метод нелинейных по- лугрупп операторов в банаховых пространствах был развит для эво- люционных включений в работах A. A. Толстоногова [28], A. A. Тол- стоногова и Ю. И. Уманского [29], V. Barbu [3] и в других. Метод аппроксимаций Фаэдо–Галеркина был применен П. O. Касьяновым [12–14], тогда как метод сингулярных возмущений (см. H. Brezis [4], Ю. И. Дубинский [9], A. Н. Вакуленко и В. С. Мельник [31–33]) не был реализован для эволюционных вариационных неравенств с мно- гозначными отображениями wλ0 -псевдомонотонного типа. В этой работе обосновывается метод сингулярных возмущений для дифференциально-операторных включений с wλ0 -псевдомонотон- ными, ослаблено +-коэрцитивными отображениями, который являе- тся известным методом для дифференциально-операторных уравне- ний [17]. Распространяя таким образом известные результаты для более широкого класса отображений, обосновывается существование решений для дифференциально-операторных включений. Используя полученные результаты, в работе разрабатывается многозначный ме- тод штрафа для эволюционных вариационных неравенств на телесно выпуклых множествах. В работе также рассматриваются основные свойства классов многозначных отображений wλ0 -псевдомонотонного типа, в частности, исследуются многозначные операторы вариацион- ного исчисления. В заключительной части работы рассматриваются некоторые при- ложения полученных результатов к некоторым конкретным диффе- ренциальным включениям и эволюционным вариационным неравен- ствам. 1. Постановка задачи Пусть Xi — некоторое рефлексивное банахово пространство, не- прерывно и плотно вложенное в некоторое банахово пространство Y , i = 1, 2; X∗ i — топологически сопряженное пространство к Xi и 〈·, ·〉Xi : X∗ i × Xi → R — некоторая форма двойственности. Пусть X = X1 ∩X2, тогда X∗ = X∗ 1 +X∗ 2 . На X∗ ×X мы рассмотрим спа- П. О. Касьянов, В. С. Мельник 537 ривание 〈·, ·〉X : X∗ × X → R. Заметим, что для каждого f ∈ X∗ существуют fi ∈ X∗ i , i = 1, 2, такие что f = f1 + f2 и 〈f, x〉X = 〈f1, x〉X1 + 〈f2, x〉X2 ∀x ∈ X. Пусть L : D(L) ⊂ X → X∗ — линейный плотно определенный максимально монотонный оператор с линейной областью определе- ния D(L). На D(L) мы рассмотрим норму графика ‖y‖D(L) = ‖y‖X + ‖Ly‖X∗ для каждого y ∈ D(L). Заметим, что (D(L), ‖ · ‖D(L)) — ре- флексивное банахово пространство, непрерывно вложенное в X, X1, X2. Теперь пусть A : X1 ⇉ X∗ 1 , B : X2 ⇉ X∗ 2 , N : Y ⇉ Y ∗ — некото- рые многозначные отображения. Рассмотрим следующую задачу: 〈Ly, ω − y〉X + [A(y), ω − y]+ + +[B(y), ω − y]+ + [N(y), ω − y]+ ≥ 〈f, ω − y〉X ∀ω ∈ D(L) ∩K, y ∈ D(L)∩K,    (1.1) для некоторого фиксированного f ∈ X∗ и выпуклого тела K ⊂ X. Здесь [C,ω]+ = supd∈〈d, ω〉X для C ⊂ X∗, ω ∈ X, C 6= ∅. Нашей целью является доказательство существования решений задачи (1.1), комбинируя метод сингулярных возмущений и метод штрафа (см. [17]). 2. Классы многозначных отображений. Предварительные результаты Введем некоторые условные обозначения. Пусть X — некоторое (рефлексивное или сепарабельное) банахово пространство, X∗ — его топологически сопряженное, 〈·, ·〉X : X∗ × X → R — форма двой- ственности. В качестве co∗(B) := clσ(X∗;X)(co(B)) обозначим ∗-слабо замкнутую оболочку непустого подмножества B ⊂ X∗. Для много- значного отображения A : X ⇉ X∗ определим верхнюю [A(y), ω]+ = supd∈A(y)〈d, ω〉X и нижнюю [A(y), ω]_ = infd∈A(y)〈d, ω〉X опорные функции, где y, ω ∈ X, а также, верхнюю ‖A(y)‖+ = supd∈A(y) ‖d‖X∗ и нижнюю ‖A(y)‖_ = infd∈A(y) ‖d‖X∗ нормы. Свойства данных ото- бражений рассмотрены в работах [18,19,22]. Далее yn ⇀ y в X будет означать, что yn сходится слабо к y в пространстве X. Если про- странство X рефлексивно, то yn ⇀ y в X∗ будет означать, что yn сходится слабо к y в пространстве X∗, если нет, то yn сходится к y ∗-слабо в пространстве X∗. В качестве Cv(X ∗) обозначим совокупность всех непустых, выпу- клых, ограниченных, ∗-слабо замкнутых подмножеств пространства 538 О разрешимости включений... X∗, A : X ⇉ X∗ будет означать, что A отображает X в 2X∗ \ ∅, т.е. A — многозначное отображение с непустыми значениями. Предложение 2.1. Пусть A,B,C : X ⇉ X∗. Тогда для всех y, v, v1, v2 ∈ X справедливы следующие результаты: 1) пусть a(· , · ) : D ⊂ X × X → R = R ∪ {+∞}. Для каждого y ∈ D ⊂ X функционал X ∋ ω 7→ a(y, ω) — положительно однородный выпуклый и полунепрерывный снизу тогда и толь- ко тогда, когда существует многозначное отображение E : D(E) ⊂ X → 2X∗ такое, что D(E) = D и a(y, ω) = [E(y), ω]+ ∀ y ∈ D(E), ω ∈ X; 2) [A(y), v1 + v2]+ ≤ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]+, [A(y), v1 + v2]− ≥ [A(y), v1]− + [A(y), v2]−, [A(y), v1 + v2]+ ≥ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]−, [A(y), v1 + v2]− ≤ [A(y), v1]+ + [A(y), v2]−; 3) [A(y) +B(y), v]+ = [A(y), v]+ + [B(y), v]+, [A(y) +B(y), v]− = [A(y), v]− + [B(y), v]−; 4) [A(y), v]+ ≤ ‖A(y)‖+‖v‖X , [A(y), v]− ≤ ‖A(y)‖−‖v‖X ; 5) [A (y) , v]+ = [co∗A (y) , v]+ , [A (y) , v]− = [co∗A (y) , v]− ; 6) ‖A(y) −B(y)‖+ ≥ ∣∣∣‖A(y)‖+ − ‖B(y)‖− ∣∣∣, ‖A(y) −B(y)‖− ≥ ‖A(y)‖− − ‖B(y)‖+; 7) d ∈ co∗A(y) ⇔ ∀ω ∈ X [A(y), ω]+ ≥ 〈d, ω〉X ; 8) dH(A(y), B(y)) ≥ |‖A(y)‖+ − ‖B(y)‖+|, где dH — хаусдорфова метрика; 9) dist(A(y) +B(y), C(y)) ≤ dist(A(y), C(y)) + dist(B(y), 0), dist(C(y), A(y) +B(y)) ≤ dist(C(y), A(y)) + dist(0, B(y)), dH(A(y) +B(y), C(y)) ≤ dH(A(y), C(y)) + dH(B(y), 0), где dist(G,F ) = supa∈G infb∈F ‖a − b‖X∗ для непустых G,F ⊂ X∗; 10) для непустого G ⊂ X∗ и F ∈ Cv(X ∗) dist(G,F ) = dist(co∗G,F ). П. О. Касьянов, В. С. Мельник 539 Доказательство. Свойства 2), 3), 4), 6), 8), 9) доказываются непо- средственно. Свойство 5) известно. Рассмотрим свойство 7). Пусть d ∈ co∗A(y), тогда ∀ v ∈ X из определения [·, ·]+ следует, что 〈d, v〉X ≤ [co∗A(y), v]+ = [A(y), v]+. Теперь пусть справедливо неравенство [A(y), v]+ ≥ 〈d, v〉X ∀ v ∈ X и при этом d /∈ co∗A(y). Множество co∗A(y) — выпуклое и за- мкнутое в σ(X∗;X)-топологии пространства X∗. Следовательно, из теоремы об отделимости существует v0 ∈ X такое, что [A(y), v0]+ = [co∗A(y), v0]+ < 〈d, v0〉X . Противоречие. Теперь рассмотрим свойство 1). Пусть A : D(A) ⊂ X → 2X∗ . То- гда для каждого y ∈ D(A) функционал X ∋ v 7→ a(y, v) = [A(y), v]+ положительно однороден и полуадитивен. Это следует из его опреде- ления. Следовательно, он является выпуклым. Полунепрерывность снизу очевидна. Теперь пусть X ∋ v 7→ a(y, v) — положительно однородный выпу- клый и полунепрерывный снизу функционал, y ∈ D ⊂ X. Поскольку a(y, 0) = 0, он является верхним поточечным пределом некоторого семейства непрерывных линейных функционалов. Обозначим это се- мейство как A(y) ⊂ X∗. Поэтому, a(y, v) = [A(y), v]+. В заключение рассмотрим свойство 10). Докажем, что dist(E,F )= dist(coE, F ). Так как E ⊂ coE, то dist(E,F ) ≤ dist(coE, F ). Далее, ∀ ξ ∈ coE ∃ y1, . . . , yn ∈ E и α1, . . . , αn ≥ 0 ( ∑n i=1 αi = 1) такие, что ξ = ∑n i=1 αiyi. Тогда ∀ v ∈ F dist(ξ, F ) ≤ ‖ξ − v‖X∗ . Множество F ограниченно и ∗-слабо замкнуто в X∗, функционал X∗ ∋ −v 7→ ‖y − v‖X∗ ∀ y ∈ X ∗ — ∗-слабо полунепрерывен снизу [25]. Следовательно, в силу аналога теоремы Вейерштрасса [30], для каждого yi ∈ E существует элемент vi ∈ F такой, что dist(yi, F ) = ‖yi − vi‖X∗ . Благодаря выпуклости множества F получаем, что для v = ∑n i=1 αivi dist(ξ, F ) ≤ ‖ξ − v‖X∗ ≤ n∑ i=1 αi · ‖yi − vi‖X∗ = n∑ i=1 αi dist(yi, F ) ≤ dist(E,F ). Так как элемент ξ ∈ coE произвольный, то dist(coE, F ) = dist(E,F ). Следовательно, dist(coE, F ) = dist(co∗E,F ). Для каждого ξ ∈ co∗E существует последовательность {yn} ∈ coE, которая сходится к ξ ∗-слабо в X∗. Докажем, что функцио- нал X∗ ∋ y 7→ dist(E,F ) ∗-слабо полукомпактен снизу, т.е. для лю- бой последовательности yn → y ∗-слабо в X∗ существует ее подпо- следовательность {yn′} такая, что limn′→∞ dist (yn′ , F ) ≥ dist(y, F ). 540 О разрешимости включений... Действительно, пусть yn → y ∗-слабо в X∗. Для каждого yn суще- ствует xn ∈ F такое, что dist(yn, F ) = ‖yn − xn‖X∗ . Множество F ∗-слабо компактно и последовательность {xn} содержит подпосле- довательность {xn′} такую, что xn′ → x ∗-слабо в X∗ и x ∈ F . Тогда последовательность zn′ = yn′ − xn′ → z = y − x *-слабо в X∗. Это означает, что limn′→∞ dist (yn′ , F ) = limn′→∞ ‖yn′ − xn′‖X∗ ≥ ‖y − x‖X∗ ≥ dist(y, F ). Отсюда следует (переходя при необходимо- сти к подпоследовательности), что dist(ξ, F ) ≤ limn→∞ dist (yn, F ) ≤ dist(coE, F ). Поскольку элемент ξ ∈ co∗E мы выбираем произвольно, то dist( ∗ coE, F ) ≤ dist(coE, F ) и необходимое равенство доказано. Замечание 2.1. Вместе с формами [·, ·]+, [·, ·]− рассмотрим формы [[A(y), ω]]+ = supd∈A(y) |〈d, ω〉| и [[A(y), ω]]_ = infd∈A(y) |〈d, ω〉|, ∀ y, ω ∈ X. Таким образом, очевидно, что [A(y), ω]+ ≤ | [A(y), ω]+| ≤ [[A(y), ω]]+ ≤ ‖A(y)‖+‖ω‖X , [A(y), ω]− ≤ | [A(y), ω]−| ≤ [[A(y), ω]]− ≤ ‖A(y)‖−‖ω‖X . Замечание 2.2. Функционал ‖ · ‖(+)− : Cv(X ∗) → R+ удовлетворяет следующим свойствам: 1. A = {0̄} (соответственно 0 ∈ A) ⇔ ‖A‖+ = 0 (соответственно ‖A‖− = 0), 2. ‖αA‖+(−) = |α‖|A‖+(−), ∀α ∈ R, 3. ‖A+B‖+(−) ≤ ‖A‖+(−) + ‖B‖+(−). Рассмотрим новые классы отображений псевдомонотонного типа. Как и раньше X — банахово пространство, X∗ — пространство то- пологически сопряженное к X, и пусть 〈·, ·〉X : X∗ ×X → R — фор- ма двойственности. Напомним, что многозначное отображение A : D(A) ⊂ X → 2X∗ называется монотонным, если 〈d1−d2, y1−y2〉X ≥ 0 ∀ y1, y2 ∈ D(A), ∀ d1 ∈ A(y1), d2 ∈ A(y2). Используя введенные выше скобки, очевидно, что многозначное отображение A : D(A) ⊂ X → 2X∗ монотонное тогда и только тогда, когда [A(y1), y1 − y2]− ≥ [A(y2), y1 − y2]+ ∀ y1, y2 ∈ D(A). Кроме обычной монотонности многозначных отображений будем рас- сматривать: П. О. Касьянов, В. С. Мельник 541 • N -монотонность, т.е. [A(y1), y1−y2]−≥ [A(y2), y1−y2]− ∀ y1, y2∈ D(A); • V -монотонность, т.е. [A(y1), y1−y2]+≥ [A(y2), y1−y2]+ ∀ y1, y2∈ D(A); • ω-монотонность, т.е. [A(y1), y1−y2]+≥ [A(y2), y1−y2]− ∀ y1, y2∈ D(A). Определение 2.1. Пусть D(A) — некоторое подмножество. Мно- гозначное отображение A : D(A) ⊂ X → 2X∗ называется: • +(−)-коэрцитивным , если ‖y‖−1 X [A(y), y]+(−) → +∞ при ‖y‖X → +∞, y ∈ D(A); • равномерно +(−)-коэрцитивным, если для некоторого c > 0 [A(y), y]+(−) − c‖A(y)‖+(−) ‖y‖X → +∞ при ‖y‖X → +∞, y ∈ D(A); • ограниченным, если для любого L > 0 существует l > 0 такое, что ‖A(y)‖+ ≤ l ∀ y ∈ D(A) ‖y‖X ≤ L; • локально ограниченным, если для любого фиксированного y ∈ D(A) существуют константы m > 0 и M > 0 такие, что ‖A(ξ)‖+ ≤M, когда ‖y − ξ‖X ≤ m, ξ ∈ D(A); • конечномерно локально ограниченным, если для каждого конеч- номерного подпространства F ⊂ D(A) A ∣∣ F — локально ограни- ченное на (F, ‖ · ‖X). Пусть также W — нормированное пространство с нормой ‖ · ‖W , непрерывно вложенное в X; C ∈ Φ, т.е. C(r1; · ) : R+ → R — непре- рывная функция для каждого r1 ≥ 0 и τ−1C(r1; τr2) → 0 при τ → 0+ ∀ r1, r2 ≥ 0, ‖· ‖′W — (полу-)норма на X, которая относительно ком- пактна на W и непрерывна на X, относительно нормы в X. Определение 2.2. Многозначное отображение A : D(A) ⊂ X → 2X∗ с выпуклой областью определения D(A) называется: • радиально полунепрерывным снизу, если для любых фиксиро- ванных y, ξ ∈ D(A), для которых существует t0 > 0 такое, что y + t0ξ ∈ D(A), имеем lim t→+0 [A(y + tξ), ξ]+ ≥ [A(y), ξ]−; 542 О разрешимости включений... • радиально непрерывным, если действительная функция [0, ε] ∋ t → [A(y + tξ), ξ]− непрерывна справа в точке t = 0 для любых фиксированных y, ξ ∈ D(A), для которых существует t0 > 0 такое, что y + t0ξ ∈ D(A); • радиально непрерывным сверху, если действительная функция [0, ε] ∋ t→ [A(y+tξ), ξ]+ полунепрерывна сверху справа в точке t = 0 для любых фиксированных y, ξ ∈ D(A), для которых существует t0 > 0 такое, что y + t0ξ ∈ D(A); • хеминепрерывным, если для каждого ω ∈ D(A) действитель- ная функция D(A) ∋ y → [A(y), ω]+ полунепрерывна сверху для любого фиксированного y ∈ D(A); • максимально монотонным на D(A), если A монотонно на D(A) и из неравенства 〈ω − d(u), v − u〉X ≥ 0 для любых u ∈ D(A), d(u) ∈ A(u) следует, что v ∈ D(A) и ω ∈ A(v); • оператором с полуограниченной вариацией на W (с (X,W )-по- луограниченной вариацией), если ∀R > 0, ∀ y1, y2 ∈ D(A) та- ких, что ‖y1‖X ≤ R, ‖y2‖X ≤ R выполняется [A(y1), y1 − y2]− ≥ [A(y2), y1 − y2]+ − C(R; ‖y1 − y2‖ ′ W ); • оператором с N -полуограниченной вариацией на W , если ∀R > 0, ∀ y1, y2 ∈ D(A) таких, что ‖y1‖X ≤ R, ‖y2‖X ≤ R выполняе- тся [A(y1), y1 − y2]− ≥ [A(y2), y1 − y2]− − C(R; ‖y1 − y2‖ ′ W ); • оператором с V -полуограниченной вариацией на W , если ∀R > 0, ∀ y1, y2 ∈ D(A) таких, что ‖y1‖X ≤ R, ‖y2‖X ≤ R выполняе- тся [A(y1), y1 − y2]+ ≥ [A(y2), y1 − y2]+ − C(R; ‖y1 − y2‖ ′ W ), • λ-псевдомонотонным на W (wλ-псевдомонотонным), если для каждой последовательности {yn}n≥0 ⊂ W ∩D(A) такой, что yn ⇀ y0 в W , из неравенства lim n→∞ 〈dn, yn − y0〉X ≤ 0, (2.1) где dn ∈ A(yn) ∀n ≥ 1, следует существование подпоследова- тельностей {ynk }k≥1 ⊂ {yn}n≥1 и {dnk }k≥1 ⊂ {dn}n≥1 таких, что lim k→∞ 〈dnk , ynk − ω〉X ≥ [A(y0), y0 − ω]− ∀ω ∈ D(A); (2.2) П. О. Касьянов, В. С. Мельник 543 • λ0-псевдомонотонным на W (wλ0 -псевдомонотонным), если для каждой последовательности {yn}n≥0 ⊂ W ∩ D(A) такой, что yn ⇀ y0 в W , dn ⇀ d0 в X∗, где dn ∈ A(yn) ∀n ≥ 1, из неравенства (2.1), следует существование подпоследователь- ностей {ynk }k≥1 ⊂ {yn}n≥1 и {dnk }k≥1 ⊂ {dn}n≥1, для которых справедливо неравенство (2.2). Вышеупомянутое многозначное отображение удовлетворяет: • свойство (κ)+(−), если для каждого ограниченного множества D в D(A) существует c ∈ R такое, что [A(v), v]+(−) ≥ −c‖v‖X ∀ v ∈ D \ {0̄}; • свойство (Π), если для фиксированных k > 0, y0 ∈ X, d ∈ A и ограниченного в X множества B ⊂ D(A), для которых 〈d(y), y − y0〉X ≤ k ∀ y ∈ B, существует C > 0 такое, что ‖d(y)‖X∗ ≤ C для любых y ∈ B. Замечание 2.3. Идея использования подпоследовательностей в оп- ределении 2.2 для однозначных псевдомонотонных отображений бы- ла предложена И. В. Скрыпником [27]. Замечание 2.4. Далее A : X ⇉ X∗ будет означать, что A — много- значное отображение с непустыми и ограниченными в X∗ значения- ми. Предложение 2.2. Пусть A : X ⇉ X∗ — +-коэрцитивное мно- гозначное отображение, а многозначное отображение F : X ⇉ X∗ такое, что [F (y1), y1 − y2]+ ≥ [F (y2), y1 − y2]− ∀ y1, y2 ∈ X. Тогда A+ F : X ⇉ X∗ — +-коэрцитивное отображение. Доказательство. Действительно, для каждого y ∈ X −[F (0), y]− ≤ ‖F (0)‖−‖y‖X . Тогда, в силу предложения 2.1, [A(y) + F (y), y]+ = [A(y), y]+ + [F (y), y]+ ≥ [A(y), y]+ + [F (0), y]− ≥ [A(y), y]+ − ‖F (0)‖−‖y‖X . Очевидно, что ‖F (0)‖− < +∞. Отсюда следует +-коэрцитивность отображения A+ F . Теперь пустьX = X1∩X2, где (X1, ‖·‖X1 ) и (X2, ‖·‖X2 ) — банаховы пространства. 544 О разрешимости включений... Определение 2.3. Пара многозначных отображений A : D(A) ⊂ X1 → 2X∗ 1 и B : D(B) ⊂ X2 → 2X∗ 2 называется s-взаимно ограни- ченной, если для каждого M > 0 существует K(M) > 0 такое, что из ‖y‖Y ≤M, y ∈ D(A) ∩D(B) и 〈d1(y), y〉X1 + 〈d2(y), y〉X2 ≤M следует, что либо ‖d1(y)‖X∗ 1 ≤ K(M), либо ‖d2(y)‖X∗ 2 ≤ K(M) для некоторых селекторов d1 ∈ A и d2 ∈ B. Лемма 2.1. Пусть A : X1 ⇉ X∗ 1 и B : X2 ⇉ X∗ 2 — некоторые многозначные +(−)-коэрцитивные отображения, удовлетворяющие условию (κ)+(−). Тогда многозначный оператор C := A+B : X ⇉ X∗ также +(−)-коэрцитивен. Доказательство. Проведем доказательство методом от противного. Пусть последовательность {yn}n≥1 ⊂ X такая, что ‖yn‖X = ‖yn‖X1 + ‖yn‖X2 → +∞ при n→ +∞, но при этом sup n≥1 [C(yn), yn]+(−) ‖yn‖X < +∞. (2.3) Случай 1. ‖yn‖X1 → +∞ при n → ∞, ‖yn‖X2 ≤ c ∀n ≥ 1. Положим γA(r) := inf ‖v‖X1 =r [A(v), v]+(−) ‖v‖X1 > −∞, γB(r) := inf ‖w‖X2 =r [B(w), w]+(−) ‖w‖X2 > −∞, r > 0. Заметим, что γA(r) → +∞, γB(r) → +∞ при r → +∞. Тогда ∀n ≥ 1 ‖yn‖ −1 X1 [A(yn), yn]+(−) ≥ γA(‖yn‖X1 )‖yn‖X1 и [A(yn), yn]+(−) ‖yn‖X ≥ γA(‖yn‖X1 ) ‖yn‖X1 ‖yn‖X → +∞ при ‖yn‖X1 → +∞ и ‖yn‖X2 ≤ c. В силу условия (κ)+(−) для каждого n ≥ 1 [B(yn), yn]+(−) ‖yn‖X ≥ γB(‖yn‖X2 ) ‖yn‖X2 ‖yn‖X ≥ −c1 ‖yn‖X2 ‖yn‖X → 0 при n→ ∞, П. О. Касьянов, В. С. Мельник 545 где c1 ∈ R — константа из условия (κ)+(−) с D = {y ∈ X2 | ‖y‖X2 ≤ c}. Очевидно, что [C(yn), yn]+(−) ‖yn‖X = [A(yn), yn]+(−) ‖yn‖X + [B(yn), yn]+(−) ‖yn‖X → +∞ при n→ ∞. Последнее противоречит (2.3). Случай 2. Случай, когда ‖yn‖X1 ≤ c ∀n ≥ 1 и ‖yn‖X2 → ∞ при n→ +∞ проверяется аналогично. Случай 3. Рассмотрим ситуацию, когда ‖yn‖X1 → +∞ и ‖yn‖X2 → +∞ при n→ +∞. Тогда + ∞ > sup n≥1 [C(yn), yn]+(−) ‖yn‖X ≥ γA(‖yn‖X1 )‖yn‖X1 + γB(‖yn‖X2 )‖yn‖X2 ‖yn‖X1 + ‖yn‖X2 ≥ min {γA(‖yn‖X1 ); γB(‖yn‖X2 )} → +∞ (2.4) при n→ +∞. Приходим к противоречию. Лемма 2.2. Каждый строгий многозначный оператор A : X → 2X∗ с (X;W )-полуограниченной вариацией ограниченнозначен (т.е. A : X ⇉ X∗), локально ограничен и обладает свойством (Π). Доказательство. Заметим, что для каждого y ∈ X X ∋ ω → [A(y), ω]+ ∈ R ∪ {+∞}, X ∋ ω → [A(y), ω]− ∈ R ∪ {−∞}. Поэтому, в силу определения полуограниченности вариации на (X,W ) получим, что для всех ω ∈ X, для некоторого R = R(ω, y) > 0 [A(y), ω]+ ≤ [A(y + ω), ω]− + CA(R; ‖ω‖′W ) < +∞. Из последнего, на основании теоремы Банаха-Штейнгауза, следует, что ‖A(y)‖+ < +∞ для каждого y ∈ X. Если A не является локально ограниченным, то для некоторо- го y ∈ X существует последовательность {yn}n≥1 ⊂ X такая, что yn → y в X и ‖A(yn)‖+ → +∞ при n → +∞. Положим αn = 1 + ‖A(yn)‖+‖yn − y‖X для каждого n ≥ 1. Тогда, в силу предло- жения 2.1, ∀ω ∈ X и некоторого R > 0 получим, что α−1 n [A(yn), ω]+ ≤ α−1 n { [A(yn), yn − y]+ + [A(yn), ω + y − yn]+ } ≤ α−1 n { [A(yn), yn − y]+ 546 О разрешимости включений... + [A(y + ω), y + ω − yn]+ + CA(R; ‖yn − y − ω‖′W ) } . Поскольку последовательность {α−1 n } ограничена и ‖yn − y−ω‖′W → ‖ω‖′W (согласно тому, что ‖ξ‖′W ≤ k‖ξ‖X для всех y ∈ X), в силу предложения 2.1, имеем ∀n ≥ 1 α−1 n [A(yn), ω]+ ≤ α−1 n { CA(R; ‖yn − y − ω‖′W ) + ‖A(y + ω)‖+ · ‖y + ω − yn‖X } + 1 ≤ N1, где N1 не зависит от n ≥ 1. Следовательно, supn≥1 ∣∣α−1 n [A(yn), ω]+ ∣∣ < +∞ ∀ω ∈ X. Поэтому, на основании теоремы Банаха–Штейнгауза, существует N > 0 такое, что ‖A(yn)‖+ ≤ Nαn = N (1 + ‖A(yn)‖+ · ‖yn − y‖X) ∀n ≥ 1. Выбирая n0 ≥ 1 из условияN‖yn−y‖ ≤ 1/2 ∀n ≥ n0 получим, что для каждого n ≥ n0 ‖A(yn)‖+ ≤ 2N , что противоречит предположению. Следовательно, локальная ограниченность доказана. Зафиксируем k > 0, y0 ∈ X, d ∈ A и ограниченное в X множество B ⊂ X такие, что 〈d(y), y − y0〉X ≤ k ∀ y ∈ B. В силу локальной ограниченности A существуют ε > 0 и Mε > 0 такие, что ‖A(ξ + y0)‖+ ≤Mε ∀ ‖ξ‖X ≤ ε. Это означает, что для некоторого R ≥ ε ‖d(y)‖X∗ = sup ‖ξ‖X≤ε 1 ε 〈d(y), ξ〉X ≤ sup ‖ξ‖X≤ε 1 ε { [A(y), ξ + y0 − y]+ + 〈d(y), y − y0〉X } ≤ sup ‖ξ‖X≤ε 1 ε { [A(ξ+y0), ξ+y0−y]−+〈d(y), y−y0〉X+CA(R; ‖y−y0−ξ‖ ′ W ) } ≤ sup ‖ξ‖X≤ε 1 ε { ‖A(ξ + y0)‖+ · ‖ξ + y0 − y‖X + 〈d(y), y − y0〉X + CA(R; ‖y − y0 − ξ‖′W ) } ≤ 1 ε (εMε + ‖B − y0‖+Mε + k + l) = C, где l = supy∈B sup‖ξ‖X≤εCA(R; ‖y− ξ−y0‖ ′ W ) < +∞, так как C(R; · ) : R+ → R — непрерывная функция и ‖· ‖′W непрерывна относительно ‖ · ‖X на X. Предложение 2.3. Каждое −-коэрцитивное многозначное отобра- жение A : X ⇉ X∗ является +-коэрцитивным; каждое монотон- ное +-коэрцитивное многозначное отображение является −-коэрци- тивным, равномерно −-коэрцитивным и равномерно +-коэрцитив- ным. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 547 Доказательство. Первая часть этого предложения является прямым следствием определений [·, ·]+ и [·, ·]−. Проверим вторую. Пусть A : X ⇉ X∗ — монотонное +(−)-коэрцитивное отображение. Докажем, что A является равномерно +(−)-коэрцитивным. Из леммы 2.2 сле- дует существование шара B̄r = {y ∈ X | ‖y‖X ≤ r} и такой константы c1 > 0, что ‖A(ω)‖+ ≤ c1 ∀ω ∈ B̄r. Следовательно, для любого y ∈ X ‖A(y)‖+ = sup d(y)∈A(y) sup ω∈B̄r 1 r 〈d(y), ω〉X = 1 r sup ω∈B̄r [A(y), ω]+ ≤ 1 r sup ω∈B̄r { [A(y), ω − y]+ + [A(y), y]+ } ≤ 1 r sup ω∈B̄r { [A(ω), ω − y]+ + [A(y), y]+ } ≤ 1 r { c1(r + ‖y‖X) + [A(y), y]+ } = 1 r [A(y), y]+ + c1 + c1 r ‖y‖X ; ‖A(y)‖− = inf d(y)∈A(y) sup ω∈B̄r 1 r 〈d(y), ω〉X = inf d(y)∈A(y) sup ω∈B̄r 1 r { 〈d(y), ω − y〉X + 〈d(y), y〉X } ≤ inf d(y)∈A(y) sup ω∈B̄r 1 r { 〈d(ω), ω − y〉X + 〈d(y), y〉X } ≤ 1 r inf d(y)∈A(y) { 〈d(ω), y〉X + c1(r + ‖y‖X) } = 1 r [A(y), y]− + c1 + c1 r ‖y‖X , т.е. ∀ y ∈ X ‖A(y)‖+(−) ≤ 1 r [A(y), y]+(−) + c1 + c1 r ‖y‖X . Поскольку c = r 2 > 0, то равномерная +(−)-коэрцитивность для A следует из следующих оценок: [A(y), y]+(−) − c‖A(y)‖+(−) ‖y‖X ≥ [A(y), y]+(−) − 1 2 [A(y), y]+(−) − rc1 2 − c1 2 ‖y‖X ‖y‖X = [A(y), y − 1 2y]− − rc1 2 − c1 2 ‖y‖X ‖y‖X 548 О разрешимости включений... ≥ [A(1 2y), y − 1 2y]+ − rc1 2 − c1 2 ‖y‖X ‖y‖X = [A(1 2y), 1 2y]+ 2‖1 2y‖X − c1 2 − rc1 2‖y‖X → +∞ при ‖y‖X → ∞. Чтобы закончить доказательство, достаточно пока- зать, что каждое монотонное +-коэрцитивное отображение является −-коэрцитивным. Это следует оценки: [A(y), y]− ‖y‖X = 2[A(y), y − 1 2y]− ‖y‖X ≥ 2[A(1 2y), y − 1 2y]+ ‖y‖X = [A(1 2y), 1 2y]+ ‖1 2y‖X → +∞ при ‖y‖X → +∞. Следствие 2.1. Пусть ϕ : X → R — выпуклый полунепрерывный снизу функционал такой, что ϕ(y) ‖y‖X → +∞ при ‖y‖X → ∞. Тогда его субдифференциал ∂ϕ(y) = {p ∈ X∗ | 〈p, ω − y〉X ≤ ϕ(ω) − ϕ(y) ∀ω ∈ X} 6= ∅, y ∈ X является +-коэрцитивным, и, следовательно, −-коэрцитивным, равномерно −-коэрцитивным и равномерно +-коэрцитивным. Доказательство. Благодаря монотонности отображения ∂ϕ : X ⇉ X∗ и предложению 2.3, достаточно доказать только то, что оно яв- ляется +-коэрцитивным. Это следует из того, что ‖y‖−1 X [∂ϕ(y), y]+ ≥ ‖y‖−1 X ϕ(y) − ‖y‖−1 X ϕ(0) → +∞ при ‖y‖X → +∞. Предложение 2.4. Если многозначный оператор A : X ⇉ X∗ обла- дает свойством (Π), то он обладает свойством (κ)+. Доказательство. Докажем это предложение методом от противного. ПустьD ⊂ X — ограниченное множество, такое, что для любого c > 0 существует vc ∈ D \ {0̄} такое, что [A(vc), vc]+ ≤ −c‖vc‖X < 0. Тогда, в силу свойства (Π), supc>0 ‖A(vc)‖+ =: d < +∞. Поэтому −c‖vc‖X ≥ [A(vc), vc]+ ≥ −‖A(vc)‖+‖vc‖X ≥ −d‖vc‖X и (d − c)‖vc‖X ≥ 0 для любого c > 0. Это противоречит тому, что vc 6= 0̄. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 549 Замечание 2.5. Очевидно, что если одно из отображений A,B : X ⇉ X∗ ограниченно, то пара (A;B) является s-взаимно ограничен- ной. Более того, если каждое из отображений A,B : X ⇉ X∗ облада- ет свойством (Π), то пара (A;B) является s-взаимно ограниченной и оператор C = A+B : X ⇉ X∗ обладает свойством (Π) и свойством (κ)+. Предложение 2.5. Пусть A : X ⇉ X∗ — полунепрерывный свер- ху оператор относительно сильной топологии пространства X и ∗-слабой топологии протранства X∗. Тогда A является радиально полунепрерывным. Доказательство. Известно, что A хеминепрерывный сверху [1], т.е., из xn → x сильно в X следует, что limn→∞ [A(xn), v]+ ≤ [A(x), v]+ , ∀ v ∈ X. Отметим, что хеминепрерывный сверху оператор является радиально непрерывным сверху, поэтому он является радиально по- лунепрерывным. Лемма 2.3. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. То- гда каждое λ-псевдомонотонное на W отображение является λ0- псевдомонотонным на W . Для ограниченных отображений справе- дливо обратное утверждение. Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Рассмотрим λ0-псевдомонотонное на W отображение A : X ⇉ X∗, yn → y слабо вW , справедливо (2.1), где dn ∈ ∗ coA(yn). Из ограничен- ности оператора A немедленно следует ограниченность ∗ coA и огра- ниченность последовательности {dn} в X∗. Следовательно, существу- ют подпоследовательности {dm} ⊂ {dn} и, соответственно, {ym} ⊂ {yn} такие, что dm → d слабо в X∗ и в то же время limm→∞〈dm, ym − v〉X ≤ limn→∞ 〈dn, yn − v〉X ≤ 0. Однако оператор A — λ0-псевдомо- нотонный на W , следовательно, существуют подпоследовательности {ynk }k≥1 ⊂ {ym} и {dnk }k≥1 ⊂ {dm}, для которых выполняется (2.2). Это доказывает данное утверждение. Замечание 2.6. Обратим внимание на тот факт, что для классиче- ских определений (не переходя к подпоследовательностям) это утвер- ждение не выполняется. В работе F. Browder, P. Hess [5] представлен класс обобщенно псев- домонотонных операторов. 550 О разрешимости включений... Определение 2.4. Оператор A : X → Cv(X ∗) называется обобщен- но псевдомонотонным на W , если для каждой пары последователь- ностей {yn}n≥1 ⊂W и {dn}n≥1 ⊂ X∗ таких, что dn ∈ A(yn), yn → y слабо в W , dn → d ∗-слабо в X∗, из неравенства lim n→∞ 〈dn, yn〉X ≤ 〈d, y〉X (2.5) следует, что d ∈ A(y) и 〈dn, yn〉X → 〈d, y〉X . Предложение 2.6. Каждый обобщенно псевдомонотонный на W оператор является λ0-псевдомонотонным на W . Доказательство. Пусть yn → y слабо в W , A(yn) ∋ dn → d ∗-слабо в X∗ и справедливо неравенство (2.5) (заметим, что в этом случае спра- ведливо неравенство (2.1)). Тогда, в силу обобщенной псевдомонотон- ности A, 〈dn, yn〉X → 〈d, y〉X , d ∈ A(y). Следовательно, в силу предло- жения 2.1, limn→∞ 〈dn, yn − v〉X = 〈d, y − v〉X ≥ [A(y), y − v]− ∀ v ∈ X. Предложение 2.7. Пусть A = A0 +A1 : X ⇉ X∗, где A0 : X ⇉ X∗ — монотонное отображение, а оператор A1 : X ⇉ X∗ обладает следующими свойствами: 1) существует линейное нормированное пространство Z, в ко- торое W компактно и плотно вложено, а вложение X ⊂ Z является непрерывным и плотным; 2) оператор A1 : Z ⇉ Z∗ однозначный и локально полиномиаль- ный, т.е. ∀R > 0 существует n = n(R) и полином PR(t) =∑ 0<α≤n λα(R)tα с непрерывными коэффициентами λα(R) ≥ 0, для которого справедлива оценка ‖A1(y1) −A1(y2)‖ (Z∗) + ≤ PR (‖y1 − y2‖Z) ∀ ‖yi‖Z ≤ R, i = 1, 2. Тогда A — оператор с полуограниченной вариацией на W . Предложение 2.8. Пусть в предыдущем предложении оператор A0 : X ⇉ X∗ — N -монотонный, и вместо условия 2) выполнено сле- дующее: 2′) отображение (многозначное) A1 : Z ⇉ Z∗ локально полиноми- альное в том смысле, что ∀R > 0 существует n = n(R) и полином PR(t), для которых dist (A1(y1), A1(y2)) ≤ PR (‖y1 − y2‖Z) ∀ ‖yi‖Z ≤ R, i = 1, 2. (2.6) П. О. Касьянов, В. С. Мельник 551 Тогда A = A0 + A1 — оператор с N -полуограниченной вариацией на W . Доказательство. Докажем предложение 2.8. Доказательство пред- ложения 2.7 аналогично. Поскольку для любых y1, y2 ∈ X [A0 (y1) , y1 − y2]− ≥ [A0 (y2) , y1 − y2]−, то необходимо оценить [A1 (y1) , y1 − y2]− − [A1 (y2) , y1 − y2]−. Для любых d1 ∈ A1 (y1) , d2 ∈ A1 (y2) нахо- дим, что 〈d2, y1 − y2〉X −〈d1, y1 − y2〉X = 〈d2, y1 − y2〉Z −〈d1, y1 − y2〉Z ≤ ‖d1 − d2‖Z∗ ‖y1 − y2‖Z . Следовательно, [A1 (y2) , y1 − y2]− − [A1 (y1) , y1 − y2]− ≤ dist (A1 (y1) , A1 (y2)) ‖y1 − y2‖Z . Отсюда и из оценки (2.6) для ‖yi‖Z ≤ R (i = 1, 2) (соответственно ‖yi‖X ≤ R̂, R = R(R̂)) получим [A1 (y1) , y1 − y2]− ≥ [A1 (y2) , y1 − y2]−−C(R̂; ‖y1 − y2‖ ′ W ). Здесь ‖·‖ ′ W = ‖·‖Z , C (R, t) = PR (t) t. Легко проверить, что C ∈ Φ. Предложение 2.9. Пусть выполняется одно из следующих усло- вий: 1) A : X ⇉ X∗ — радиально полунепрерывный снизу оператор с полуограниченной вариацией на W ; 2) A : X ⇉ X∗ — радиально непрерывный сверху оператор с N - полуограниченной вариацией на W и с компактными значени- ями в X∗. Тогда A является λ0-псевдомонотонным на W отображением. Доказательство. Пусть yn → y слабо в W , ∗ coA (yn) ∋ dn → d ∗-слабо в X∗ и справедливо (2.1). Используя свойство полуограни- ченности вариации на W оператора A, имеем, что для каждого v ∈ X 〈dn, yn − v〉X ≥ [A (yn) , yn − v]− ≥ [A (v) , yn − v]+ − C(R; ‖yn − v‖ ′ W ). ФункционалX ∋ w 7→ [A (v) , w]+ выпуклый и полунепрерывный сни- зу, поэтому он является слабо полунепрерывным снизу. Следователь- но, заменяя в последнем неравенстве v на y и переходя к пределу, в силу свойств функции C, получаем, что limn→∞ 〈dn, yn − y〉X ≥ 0, т.е. 〈dn, yn − y〉X → 0. Для любых h ∈ X и τ ∈ [0, 1] пусть ωτ = τh + (1 − τ) y. Тогда 〈dn, yn − ωτ 〉X ≥ [A (ωτ ) , yn − ωτ ]+ − C(R; ‖yn − ωτ‖ ′ W ) или, перейдя к пределу при n → ∞, τ limn→∞ 〈dn, y − h〉X ≥ τ [A (wτ ) , y − h]+ − C(R; τ ‖y − h‖ ′ W ). Разделив последнее неравенство на τ и перейдя к 552 О разрешимости включений... пределу при τ → 0+, в силу радиальной полунепрерывности снизу оператора A и свойств функции C, получим, что для любого h ∈ X limn→∞ 〈dn, y − h〉X ≥ limτ→+0 [A (ωτ ) , y − h]+ +limτ→+0 1 τ C(R; τ‖y− h‖ ′ W ) ≥ [A (y) , y − h]−. Более того, поскольку 〈dn, yn − y〉X → 0, то limn→∞ 〈dn, yn − h〉X = limn→∞ 〈dn, y − h〉X ≥ [A (y) , y − h]− ∀h ∈ X, что и доказывает первое утверждение предложения 2.9. Теперь остановимся на базовых моментах доказательства второго утверждения. Из N -полуограниченности вариации оператора A по- лучаем, что lim n→∞ 〈dn, yn − v〉X ≥ lim n→∞ [A (yn) , yn − v]− ≥ lim n→∞ [A (v) , yn − v]− − C ( R; ‖y − v‖ ′ W ) . (2.7) Оценим первый член правой части (2.7). Докажем, что функцио- налX ∋ h 7→ [A (v) , h]− является слабо полунепрерывным снизу ∀ v ∈ X. Пусть zn → z слабо в X. Тогда для каждого n ≥ 1 следует суще- ствование ξn ∈ ∗ coA (v) такого, что [A (v) , zn]− = 〈ξn, zn〉X . Из после- довательности {ξn; zn} выделим подпоследовательность {ξm; zm} та- кую, что limn→∞ [A (v) , zn]− = limn→∞ 〈ξn, zn〉X = limm→∞ 〈ξm, zm〉X и, благодаря компактности множества ∗ coA (v) находим, что ξm → ξ сильно в X∗ с ξ ∈ ∗ coA (v). Следовательно, limn→∞ [A (v) , zn]− = limn→∞ 〈ξm, zm〉X = 〈ξ, z〉X = [A (v) , z]−, что и доказывает слабую полунепрерывность снизу функционала h 7→ [A (v) , h]−. Поэтому, из (2.7) получим, что lim n→∞ 〈dn, yn − v〉X ≥ lim n→∞ [A (yn) , yn − v]− ≥ [A (v) , y − v]− − C ( R; ‖y − v‖′W ) . Тогда, заменяя в последнем неравенстве v на y, получим, что 〈dn, yn− y〉X → 0. Следовательно, lim n→∞ 〈dn, yn − v〉X ≥ [A (v) , v − w]− − C ( R; ‖y − v‖ ′ X ) ∀ v ∈ X. Заменяя в последнем неравенстве v на tw + (1 − t) y, где w ∈ X, t ∈ [0, 1], разделив результат на t и переходя к пределу при t→ +0, в силу радиальной полунепрерывности сверху отображения A, находим, что limn→∞ 〈dn, yn − w〉X ≥ [A (y) , y − w]− ∀ w ∈ X. Предложение доказано. Определение 2.5. Многозначное отображение A : X ⇉ X∗ называ- ется: П. О. Касьянов, В. С. Мельник 553 • s-радиально полунепрерывным снизу на W , если для фиксиро- ванных y, ξ ∈W и для любого селектора d ∈ co∗A limt→+0〈d(y− tξ), ξ〉X ≥ [A(y), ξ]−; • sλ0 -псевдомонотонным на W , если для каждой {yn}n≥0 ⊂ W такой, что yn ⇀ y0 в W , co∗A(yn) ∋ dn ⇀ d0 в X∗, из не- равенства (2.1) следует существование {ynk }k≥1 из {yn}n≥1 и {dnk }k≥1 из {dn}n≥1 таких, что 〈dnk , ynk −y0〉X → 0 при k → ∞ и d0 ∈ co∗A(y). Определение 2.6. Многозначное отображение A : X ⇉ X∗ называ- ется оператором вариационного исчисления на W , если оно пред- ставляется в форме A(y) = Â(y, y), где отображение Â : X ×X ⇉ X∗ обладает следующими свойствами: a) ∀ ξ ∈ W Â(ξ, ·) : X ⇉ X∗ — s-радиально полунепрерывный снизу оператор с (X;W )-полуограниченной вариацией ((X;W )- п.о.в.); b) ∀ ξ ∈ W отображение W ∋ y → Â(y, ξ) ⊂ X∗ слабо пред- компактно, т.е. для каждого множества B, ограниченного в W , множество co∗Â(B,ω) компактно в σ(X∗;X)-топологии пространства X (следовательно, если {yn} любая ограничен- ная в W последовательность, d ∈ co∗Â(·, ω) — некоторый се- лектор (dn = d(yn, ω) ∈ co∗Â(yn, ω)), тогда можно выделить такие подпоследовательности {ym} ⊂ {yn} и {dm} ⊂ {dn}, что dm = d(ym, ω) → æ(ω) ∗-слабо в X∗); c) пусть yn → y слабо в W и для некоторого селектора d ∈ co∗Â выполняется 〈d(yn, yn) − d(yn, y), yn − y〉X → 0, где d(yn, yn) ∈ co∗Â(yn, yn), d(yn, y) ∈ co∗Â(yn, y). Тогда существует {ym} ⊂ {yn} такая, что ∀ ξ ∈ W d(ym, ξ) → χ ∗-слабо в X∗, где χ ∈ co∗Â(y, ω); d) если yn → y слабо в W и для некоторого ξ ∈ W d(yn, ξ) → χ ∗-слабо в X∗, где d(yn, ξ) ∈ co∗Â(yn, ξ), тогда 〈d(yn, ξ), yn〉X → 〈χ, y〉X . Предложение 2.10. Для многозначного отображения A : X ⇉ X∗ справедливы такие импликации: “A — s-радиально полунепрерывный снизу оператор с (X;W )-п.о.в.” 1 ⇒ “A является оператором вариа- ционного исчисления на W ” 2 ⇒ “A является λ-псевдомонотонным на W ” 3 ⇒“A является λ0-псевдомонотонным на W ” 4 ⇒ “A является sλ0 -псевдомонотонным на W ” 5 ⇒ “A удовлетворяет условию (M) на W [23]”. 554 О разрешимости включений... Доказательство. Рассмотрим первую импликацию. Пусть Â : X × X ⇉ X∗ определяется соотношениями: Â(v, y) = Â(ω, y), Â(y, y) = A(y) ∀ v, ω, y ∈ X, т.е. он является постоянным отображением по первому аргументу, при фиксированном втором. Проверим условия определения 2.6. Условие a) очевидно. Условие b) следует из того, что Â(·, ω) : W ⇉ X∗ — постоянное отображение для каждого ω ∈ W . Следовательно, Â(B,ω) = A(ω) — ограниченное множество вX∗ для каждого B ⊂W . Следовательно, в силу теоремы Банаха–Алаоглу, co∗Â(B,ω) — ком- пактное множество в ∗-слабой топологии пространства X∗. Проверим условие c). Пусть yn ⇀ y вW и d(yn, yn)−d(yn, y), yn−y〉X → 0 с неко- торым селектором d ∈ co∗Â, где для каждого ω ∈W æ(v) = d(yn, v) ∈ co∗Â(yn, v) = co∗A(v). Следовательно, существует подпоследователь- ность {ym} ⊂ {yn} такая, что æ(v) = d(yn, v) → æ(v) ∗-слабо в X∗. Более того, æ(v) △ = d(y, v) ∈ co∗Â(y, v) = co∗A(v). Условие d). Пусть yn ⇀ y в W и для каждого v ∈W , для каждо- го селектора d ∈ co∗A æ(v) = d(yn, v) ∈ co∗Â(yn, v), т.е. d(yn, v) → æ(v) ∗-слабо в X∗. Следовательно, 〈d(yn, v), yn〉X = 〈æ(v), yn〉X = 〈æ(v), y〉X , что доказывает первую импликацию. Теперь рассмотрим вторую импликацию. Пусть yn ⇀ y в W и lim n→∞ 〈dn, yn − y〉X ≤ 0, (2.8) где dn = g(yn), g ∈ co∗A — некоторый селектор, и A(y) = Â(y, y), Â : X ×X ⇉ X∗. В силу условия b) существует подпоследовательность {ym} ⊂ {yn} такая, что g(ym, y) → f(y) ∗-слабо в X∗. По условию d) 〈g(ym, y), ym〉X → 〈f(y), y〉X . Следовательно, 〈g(ym, y), ym − y〉X → 0. (2.9) Из (2.8) находим, что limm→∞〈dm, ym − y〉X ≤ limn→∞〈dn, yn − y〉X ≤ 0, т.е. lim m→∞ 〈dm − g(ym, y), ym − y〉X = lim m→∞ 〈g(ym, ym) − g(ym, y), ym − y〉X . (2.10) В силу условия a) 〈g(ym, ym), ym − y〉X ≥ 〈g(ym, y), ym − y〉X − C(R; ‖ym−y‖′W ). Следовательно, из (2.9) и из свойств действительной фун- кции C, получаем оценку limm→∞〈g(ym, ym)− g(ym, y), ym − y〉X ≥ 0. Неравенство (2.10) дает 〈g(ym, ym) − g(ym, y), ym − y〉X → 0. (2.11) П. О. Касьянов, В. С. Мельник 555 В силу условия c) для каждого v ∈ W g(ym, v) → æ(y, v) ∈ co∗Â(y, v) ∗-слабо в X∗. Благодаря условию d) получаем 〈g(ym, v), ym − y〉X → 0, (2.12) поскольку 〈g(ym, v), ym〉X → 〈æ(y, v), y〉X . Далее, для любых ω ∈ W и τ ∈ [0, 1] пусть v(τ) = y + τ(ω − y). Тогда из условия a) τ〈g(ym, ym), y − v〉X ≥ [Â(ym, v(τ)), ym − v(τ)]+ − 〈g(ym, ym), ym − y〉X − C(R; ‖ym − v(τ)‖′W ) ≥ [Â(ym, v(τ)), ym − y]− + τ [Â(ym, v(τ)), y − ω]+ − 〈g(ym, ym), ym − y〉X − C(R; ‖ym − v(τ)‖′W ). (2.13) Для каждого m существует ξm ∈ co∗Â(ym, v(τ)) такое, что [Â(ym, v(τ)), ym − y]− = 〈ξm, ym − y〉X , т.е. существует селектор r ∈ co∗Â та- кой, что ξm = r(ym, v(τ)). К тому же, (условие b)) мы можем заклю- чить, что r(ym, v(τ)) → ξ(y, v(τ)) ∗-слабо в X∗ (иначе мы переходим к подпоследовательности) и также (условие d)) 〈r(ym, v(τ)), ym−y〉X → 0 или [Â(ym, v(τ)), ym − y]− → 0. Следовательно, переходя к пределу в (2.13) при m→ ∞, получим τ lim m→∞ 〈g(ym, ym), y − v〉X ≥ τ lim m→∞ [Â(ym, v(τ)), y − ω]+ − C(R; τ‖y − ω‖′W ), соответственно, благодаря (2.11), τ lim m→∞ 〈g(ym, ym), ym − v〉X ≥ τ lim m→∞ [Â(ym, v(τ)), y − ω]+ − C(R; τ‖y − ω‖′W ) ≥ τ lim m→∞ 〈g(ym, v(τ)), y − v〉X − C(R; τ‖y − ω‖′W ). Благодаря условиям b) и c) можем считать, что g(ym, v(τ)) → æ(y, v(t)) ∈ co∗Â(y, v(τ)) ∗-слабо в X∗. Поэтому, τ lim m→∞ 〈g(ym, ym), ym − v〉X ≥ τ〈æ(y, v(t)), y − v〉X − C(R; τ‖y − ω‖′W ). Если мы поделим последнее неравенство на τ и перейдем к пределу при τ → 0+, в силу s-радиальной полунепрерывности снизу операто- ра Â(y, ·) : W ⇉ W ∗, в результате получим 556 О разрешимости включений... lim m→∞ 〈dm, ym − ω〉X = lim m→∞ 〈g(ym, ym), ym − ω〉X ≥ [Â(y, y), y − ω]− = [A(y), y − ω]− ∀ω ∈W, что доказывает вторую импликацию. Третья импликация очевидна. Рассмотрим четвертую имплика- цию. Пусть yn ⇀ y в W , co∗A(yn) ∋ dn → d ∗-слабо в X∗ и limn→∞〈dn, yn − y〉X ≤ 0. Тогда, в силу λ0-псевдомонотонности A на W суще- ствуют такие подпоследовательности {ym} ⊂ {yn} и {dm} ⊂ {dn}, что выполняется неравенство (2.2). Следовательно, limm→∞〈dm, ym− y〉X = 0, или limm→∞〈dm, ym〉X = 〈d, y〉X . К тому же, из (2.2) находим 〈d, y − v〉X = lim n→∞ 〈dn, yn − v〉X ≥ [A(y), y − v]− ∀ v ∈ X, т.е. 〈d, ω〉X ≥ [A(y), ω]− ∀ω ∈ X. Поскольку множество A(y) ограни- ченно в X∗, то d ∈ co∗A(y). Импликация 5 проверяется непосредственно. Предложение дока- зано. Предложение 2.11. Пусть A : X ⇉ X∗ — λ0-псевдомонотонный на W оператор, и пусть отображение B : X ⇉ X∗ обладает следу- ющими свойствами: 1. Отображение co∗B : W ⇉ X∗ компактно, т.е. образ ограни- ченного множества в W является предкомпактным в X∗; 2. График co∗B замкнут в Ww × X∗ (т.е. относительно слабой топологии в W и сильной топологии в X∗). Тогда отображение C = A+B — λ0-псевдомонотонное на W . Доказательство. Пусть yn → y слабо в W , dn ∈ co∗C(yn), dn → d ∗-слабо в X∗ и lim n→∞ 〈dn, yn − y〉X ≤ 0. Так как оператор B : W ⇉ X∗ ограничен, то co∗C = co∗A + co∗B. Следовательно dn = d′n + d′′n, d′n ∈ co∗A(yn), d′′n ∈ co∗B(yn). В силу ограниченности B, получим, что d ′′ n → d ′′ ∗-слабо в X∗, так что d′n → d ′ = d− d ′′ ∗-слабо в X∗. Из неравенства (2.1), переходя к подпоследовательности {ym} ⊂ {yn}, находим 0 ≥ lim n→∞ 〈dn, yn − y〉X ≥ lim n→∞ 〈 d′n, yn − y 〉 X + lim n→∞ 〈 d′′n, yn − y 〉 X П. О. Касьянов, В. С. Мельник 557 ≥ lim m→∞ 〈d ′ m, ym − y〉X + lim m→∞ 〈d′′m, ym − y〉X . (2.14) Поскольку отображение co∗B — компактное, а график замкнут в Ww × X∗, мы можем считать, что d ′′ m → d ′′ сильно в X∗ и, более того, d ′′ ∈ co∗B(y). Тогда limm→∞〈d ′ m, ym − y〉X ≤ 0. Снова, переходя к подпоследовательностям, так как A — λ0-псевдомонотонный, мы получим limm→∞〈d ′ m, ym − v〉X ≥ [A(y), y − v]−, ∀ v ∈ X, и тогда limm→∞〈dm, ym−v〉X = limm→∞〈d′m, ym−v〉X+limm→∞〈d′′m, ym−v〉X ≥ [co∗A(y), y − v]− + 〈d′′, y − v〉X ≥ [co∗C(y), y − v]−, ∀ v ∈ X. Предложение 2.12. Пусть A : X ⇉ X∗ — λ0-псевдомонотонный оператор на W , вложение W в банахово пространство Y компа- ктное и плотное, вложение X в Y непрерывное и плотное, и пусть co∗B : Y ⇉ Y ∗ — локально ограниченное отображение такое, что график co∗B замкнут в Y × Y ∗ w (т.е. относительно сильной то- пологии в Y и ∗-слабой топологии в Y ∗). Тогда C = A + B — λ0- псевдомонотонное на W отображение. Доказательство. Пусть выполняется (2.1). Оператор co∗B локаль- но ограничен, т.е. для всех y ∈ Y существуют N > 0 и ε > 0 такие, что ‖co∗B(ξ)‖+ ≤ N , при ‖ξ − y‖Y ≤ ε. Очевидно, что ло- кально ограниченный оператор имеет ограниченные значения. К то- му же, co∗C(y) = co∗A(y) + co∗B(y) и dn = d′n + d′′n, d′n ∈ co∗A(yn), d′′n ∈ co∗B(yn). Поскольку вложение W ⊂ Y компактно, имеем, что yn → y сильно в Y и, в силу локальной ограниченности co∗B, по- следовательность {d′′n} ограничена в Y ∗ (следовательно, и в X∗ ). Это означает, что найдется подпоследовательность {d′′m} ⊂ {d′′n} та- кая, что d′′m → d′′ ∗-слабо в Y ∗. Оператор вложения I∗ : Y ∗ → X∗ непрерывный, поэтому I∗ остается непрерывным и в ∗-слабых то- пологиях [25]. Следовательно, d′′m → d′′ ∗-слабо в X∗, d′m = dm − d′′m → d ′ = d − d′′ ∗-слабо в X∗. К тому же 〈d′′m, ym − y〉X → 0. Тогда из (2.14) получим limm→∞ 〈d′m, ym − v〉X ≤ 0. После перехода к подпоследовательностям получим, что limmk→∞ 〈 d′mk , ymk − v 〉 X ≥ [co∗A(y, y − v)]− , ∀ v ∈ X. Далее, поскольку оператор co∗B замкнут в Y × Y ∗ w , то d′′ ∈ co∗B(y) и lim mk→∞ 〈dmk , ymk − v〉X = lim mk→∞ 〈 d′mk , ymk − v 〉 X + lim mk→∞ 〈 d′′mk , ymk − v 〉 X ≥ [co∗A(y), y − v]− + [co∗B(y), y − v]− = [co∗C(y), y − v]− , ∀ v ∈ X. Предложение доказано. 558 О разрешимости включений... Теперь рассмотрим функционал ϕ : X 7→ R. Определение 2.7. Функционал ϕ является локально липшицевым, если для любого x0 ∈ X существуют r, c > 0 такие, что |ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ c‖x−y‖X ∀ x, y ∈ Br(x0) = {x ∈ X | ‖x−x0‖X < r}. Для локально липшицевых функционалов ϕ, определенных в ба- наховом пространстве X, рассмотрим верхнюю производную Клар- ка [7] ϕ↑ Cl(x, h) = lim v→x, αց0+ 1 α (ϕ(v + αh) − ϕ(v)) ∈ R, x, h ∈ X и обобщенный градиент Кларка ∂Clϕ(x) = { p ∈ X∗ | 〈p, v − x〉X ≤ ϕ↑ Cl(x, v − x) ∀ v ∈ X } , x ∈ X. Предложение 2.13. Пусть W — банахово пространство, компа- ктно вложенное в некоторое банахово пространство Y , ϕ : Y 7→ R — локально липшицевый функционал. Тогда обобщенный градиент Кларка ∂Clϕ : Y ⇉ Y ∗ является λ0-псевдомонотонным на W . Доказательство. Из исчисления обобщенного градиента Кларка (см. [7, гл. 2]) следует, что ∂Clϕ(x) непустое, замкнутое, ограниченное и выпуклое множество. Следовательно, для каждого x ∈ Y ∂Clϕ(x) ∈ Cv(Y ∗). Теперь пусть {yn}n≥0 ⊂W – такая последовательность, что yn ⇀ y0 в W , dn ⇀ d0 в Y ∗, где dn ∈ ∂Clϕ(yn) ∀n ≥ 1 и справедливо неравенство (2.1). В силу компактного вложения W ⊂ Y заключа- ем, что yn → y0 в Y . Поскольку график отображения ∂Clϕ : Y ⇉ Y ∗ замкнут в Y × Y ∗ w (см. [7, с. 29]), то d0 ∈ ∂Clϕ(y0). Поэтому, limn→∞〈dn, yn − ω〉Y ≥ limn→∞〈dn, yn − y0〉Y + limn→∞〈dn, y0 − ω〉Y = 0 + 〈d0, y0 − ω〉Y ≥ [∂Clϕ(y0), y0 − ω]− ∀ω ∈ Y , что завершает доказа- тельство. Теперь пусть W = W1 ∩ W2, где (W1, ‖ · ‖W1 ) и (W2, ‖ · ‖W2 ) — банаховы пространства такие, что вложение Wi ⊂ Xi непрерывно. Лемма 2.4. Пусть X1, X2 — рефлексивные банаховы пространства, A : X1 → Cv(X ∗ 1 ) и B : X2 → Cv(X ∗ 2 ) — s-взаимно ограничены λ0- псевдомонотонные соответственно на W1 и на W2 многозначные отображения. Тогда C := A+B : X → Cv(X ∗) — λ0-псевдомонотон- ное на W отображение. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 559 Доказательство. Сначала проверим, что ∀ y ∈ X C(y) ∈ Cv(X ∗). Выпуклость C(y) следует из такого же свойства для A(y) и B(y). В силу теоремы Мазура, достаточно доказать, что множество C(y) слабо замкнуто. Пусть c — предельная точка C(y) относительно то- пологии σ(X∗;X∗∗) = σ(X∗;X) (пространство X — рефлексивное). Тогда ∃ , {cm}m≥1 ⊂ C(y): cm → c слабо в X∗ при m→ +∞. Отсюда, поскольку отображения A и B имеют ограниченные значения, то, в силу теоремы Банаха–Алаоглу, можем предположить, что для каждо- гоm ≥ 1 существуют vm ∈ A(y) и wm ∈ B(y) такие, что vm+wm = cm. Переходя (если это необходимо) к подпоследовательностям, получим, что vm ⇀ v в X∗ 1 и wm ⇀ w в X∗ 2 для некоторых v ∈ A(y) и w ∈ B(y). Следовательно, c = v + w ∈ C(y). Таким образом доказано, что мно- жество C(y) слабо замкнуто в X∗. Теперь пусть yn ⇀ y0 в W (отсюда следует, что yn ⇀ y0 в W1 и yn ⇀ y0 в W2), C(yn) ∋ d(yn) ⇀ d0 в X∗ и выполняется не- равенство (2.1). Следовательно, dA(yn) ∈ A(yn) и dB(yn) ∈ B(yn): dA(yn) + dB(yn) = d(yn). Поскольку пара (A;B) является s-взаимно ограниченной, то из оценки 〈d(yn), yn〉X = 〈dA(yn) + dB(yn), yn〉X = 〈dA(yn), yn〉X1 + 〈dB(yn), yn〉X2 ≤ k имеем, что либо ‖dA(yn)‖X∗ 1 ≤ C, либо ‖dB(yn)‖X∗ 2 ≤ C. Тогда, в силу рефлексивности X1 и X2, переходя (если это необходимо) к подпо- следовательности, получим dA(yn) ⇀ d′0 в X∗ 1 и dB(yn) ⇀ d′′0 в X∗ 2 . (2.15) Из неравенства (2.1) заключаем lim n→∞ 〈dB(yn), yn − y0〉X2 + lim n→∞ 〈dA(yn), yn − y0〉X1 ≤ lim n→∞ 〈d(yn), yn − y0〉X ≤ 0, или симметрично lim n→∞ 〈dA(yn), yn − y0〉X1 + lim n→∞ 〈dB(yn), yn − y0〉X2 ≤ lim n→∞ 〈d(yn), yn − y0〉X ≤ 0. Рассмотрим последнее неравенство. Очевидно, что существует под- последовательность {ym}m ⊂ {yn}n≥1 такая, что 560 О разрешимости включений... 0 ≥ lim n→∞ 〈dB(yn), yn − y0〉X2 + lim n→∞ 〈dA(yn), yn − y0〉X1 ≥ lim m→∞ 〈dB(ym), ym − y0〉X2 + lim m→∞ 〈dA(ym), ym − y0〉X1 . (2.16) Отсюда мы получим: или lim m→∞ 〈dA(ym), ym − y0〉X1 ≤ 0, или lim m→∞ 〈dB(ym), ym − y0〉X2 ≤ 0. Не теряя общности,предположим, что limm→∞〈dA(ym), ym−y0〉X1 ≤ 0. Тогда, вследствие (2.15) и λ0-псевдомонотонности A на W1, существу- ет подпоследовательность {ymk }k≥1 ⊂ {ym}m такая, что lim k→∞ 〈dA(ymk ), ymk − v〉X1 ≥ [A(y0), y0 − v]− ∀ v ∈ X1. (2.17) Заменяя в последнем соотношении v на y0, придем к: 〈dA(ymk ), ymk − y0〉X1 → 0 при k → +∞. Следовательно, принимая во вни- мание (2.16), имеем limk→∞〈dB(ymk ), ymk − y0〉X2 ≤ 0. В силу λ0- псевдомонотонности B на W2, переходя к подпоследовательности {ym′ k } ⊂ {ymk }k≥1, находим lim k→∞ 〈dB(ym′ k ), ym′ k − w〉X2 ≥ [B(y0), y0 − w]− ∀w ∈ X2. (2.18) Поэтому, из соотношений (2.17) и (2.18), мы окончательно получаем: lim k→∞ 〈d(ym′ k ), ym′ k − x〉X ≥ lim k→∞ 〈dA(ym′ k ), ym′ k − x〉X1 + lim k→∞ 〈dB(ym′ k ), ym′ k − x〉X2 ≥ [A(y0), y0 − x]− + [B(y0), y0 − x]− = [C(y0), y0 − x]− ∀x ∈ X. Замечание 2.7. Если пара (A;B) не является s-взаимно ограничен- ной, то последняя лемма справедлива только для λ-псевдомонотон- ных (соответственно на W1 и на W2) отображений. 3. Метод сингулярных возмущений для эволюционных включений Пусть X — рефлексивное банахово пространство, X∗ — тополо- гически сопряженное к X, 〈·, ·〉X : X∗ × X → R — каноническое спаривание. Предположим, что X1;X2 — интерполяционная пара ре- флексивных банаховых пространств такая, что X = X1 ∩X2. Тогда, П. О. Касьянов, В. С. Мельник 561 X∗ = X∗ 1 + X∗ 2 , 〈f, y〉X = 〈f1, y〉X1 + 〈f2, y〉X2 ∀ f ∈ X∗ ∀ y ∈ X, где f = f1 + f2, fi ∈ X∗ i , i = 1, 2. Пусть L : D(L) ⊂ X → X∗ — линейный, плотно определенный, максимально монотонный на D(L) оператор, A : X1 → Cv(X ∗ 1 ), B : X2 → Cv(X ∗ 2 ) — многозначные отображения. Рассмотрим задачу: Ly +A(y) +B(y) ∋ f, y ∈ D(L), (3.1) где f ∈ X∗. Замечание 3.1. D(L) — рефлексивное банахово пространство с нор- мой графика ‖y‖D(L) = ‖y‖X + ‖Ly‖X∗ ∀ y ∈ D(L). Это условие обе- спечивает максимальная монотонность L на D(L) и рефлексивность X. Рассмотрим двойственное отображение J(y) = { ξ ∈ X∗ | 〈ξ, y〉X = ‖ξ‖2 X∗ = ‖y‖2 X } ∈ Cv(X ∗) ∀ y ∈ X, т.е. J(y) = ∂(‖·‖2 X/2)(y) ∀ y ∈ X. Это отображение определено на X и является максимально монотонным. Более того, для каждого f ∈ X∗ определено многозначное, в общем случае, отображение J−1(f) = {y ∈ X | f ∈ J(y)} = { y ∈ X | 〈f, y〉X = ‖f‖2 X∗ = ‖y‖2 X } ∈ Cv(X). (3.2) J−1 : X∗ → Cv(X) является максимально монотонным многозначным отображением. Будем приближать решения включения из (3.1) решениями сле- дующих включений: εL∗J−1(Lyε) + Lyε +A(yε) +B(yε) ∋ f. (3.3) Определение 3.1. Будем говорить, что решение (3.1) (y ∈ D(L)) получено методом сингулярных возмущений, если y является сла- бым пределом подпоследовательности {yεnk }k≥1 из {yεn}n≥1 (εn ց 0+ при n → ∞) в D(L), где для каждого n ≥ 1 D(L) ∋ yεn являе- тся решением задачи (3.3) с соответствующим ε = εn. Теорема 3.1. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, L : D(L) ⊂ X → X∗ — линейный, плотно определенный, максималь- но монотонный на D(L) оператор, A : X1 → Cv(X ∗ 1 ) и B : X2 → Cv(X ∗ 2 ) — конечномерно локально ограниченные, λ0-псевдомонотон- ные на D(L) многозначные отображения, удовлетворяющие условию (Π). Кроме того, для f ∈ X∗ существует R > 0 такое, что [A(y), y]+ + [B(y), y]+ − 〈f, y〉X ≥ 0 ∀ y ∈ X : ‖y‖X = R. (3.4) 562 О разрешимости включений... Тогда существует по крайней мере одно решение (3.1), полученное методом сингулярных возмущений. Доказательство. Докажем, что для каждого ε > 0 задача (3.3) име- ет по крайней мере одно решение в D(L). Для каждых y, ω ∈ D(L) пусть Πε(y, ω) = ε [ Lω, J−1(Ly) ] + + 〈Ly, ω〉X + [A(y), ω]+ + [B(y), ω]+ − 〈f, ω〉X . (3.5) Для каждого y ∈ D(L) форма D(L) ∋ ω → Πε(y, ω) положительно однородна, выпукла и полунепрерывна снизу на D(L). Следователь- но, из предложения 2.1 очевидно, что для каждого ε > 0 существует Bε(y) : D(L) → Cv ( (D(L))∗ ) такое, что Πε(y, ω) = [Bε(y), ω]+ для любых y, ω ∈ D(L). (3.6) Покажем, что для каждого ε > 0 многозначное отображение Bε : D(L) → Cv ( (D(L))∗ ) является конечномерно локально ограничен- ным и λ0-псевдомонотонным на D(L). Действительно, для каждого y ∈ D(L) форма D(L) ∋ ω → ε[Lω, J−1(Ly)]+ + 〈Ly, ω〉X положительно однородная, выпуклая и полуне- прерывная снизу на D(L). Тогда, в силу предложения 2.1, корректно определено многозначное отображение Mε : D(L) → Cv ( (D(L))∗ ) . Оно задается по правилу [Mε(y), v]+ = ε[Lv, J−1(Ly)]+ + 〈Ly, v〉X ∀ y, v ∈ D(L). (3.7) Заметим, что Mε имеет ограниченные значения, потому что для любых y, v ∈ D(L) правая часть последнего равенства ограничена сверху. Покажем, что для каждого ε > 0 многозначное отображение Mε монотонное, ограниченное и хеминепрерывное на D(L). Сначала докажем монотонность Mε. Из равенства (3.7) и предло- жения 2.1, для любых y1, y2 ∈ D(L) получим: [Mε(y1), y1 − y2]− = ε [ Ly1 − Ly2, J −1(Ly1) ] − + 〈Ly1, y1 − y2〉X , [Mε(y2), y1 − y2]+ = ε [ Ly1 − Ly2, J −1(Ly2) ] + + 〈Ly2, y1 − y2〉X . Поскольку J−1 монотонное отображение и L положительное, то, срав- нивая последние два равенства, получим [Mε(y1), y1 − y2]− ≥ [Mε(y2), y1 − y2]+ ∀ y1, y2 ∈ D(L), П. О. Касьянов, В. С. Мельник 563 откуда следует монотонность Mε на D(L). Теперь докажем хеминепрерывность Mε на D(L). Получим это утверждение методом от противного. Пусть ω ∈ D(L), yn → y в D(L) и β > 0 такие, что ∀n ≥ 1 [Mε(yn), ω]+ ≥ β + [Mε(y), ω]+ . (3.8) Заметим, что [Mε(yn), ω]+ = 〈Lyn, ω〉X +ε [ Lω, J−1(Lyn) ] + ∀n ≥ 1. В силу предложения 2.1 для каждого n ≥ 1 существует ln = ln(ω) ∈ J−1(Lyn) такое, что [ Lω, J−1(Lyn) ] + = 〈Lω, ln〉X . Следовательно, для каждого n ≥ 1 существует mεn = mεn(ω) ∈ Mε(yn) такое, что 〈mεn, ω〉D(L) = 〈Lyn, ω〉X + ε〈Lω, ln〉X = [Mε(yn), ω]+. В силу ограни- ченности J−1 и предложения 2.1, Lyn → Ly в X∗ при m→ ∞. (3.9) Поэтому, в силу теоремы Банаха–Алаоглу, существует подпоследова- тельность {lnm}m≥1 ⊂ {ln}n≥1 такая, что lnm ⇀ l в X при n→ ∞ для некоторого l ∈ X. (3.10) Это означает, что limm→∞ [ Lω, J−1(Lynm) ] + = 〈Lω, l〉X . Теперь дока- жем, что l ∈ J−1(Ly). Поскольку lnm ∈ J−1(ynm), то из (3.2) следует, что для каждого m ≥ 1 〈Lynm , lnm〉X = ‖Lynm‖2 X∗ = ‖lnm‖2 X . Отсю- да, переходя к пределу при m → ∞, в силу (3.9) и (3.10), получим, что 〈Ly, l〉X = ‖Ly‖2 X∗ ≥ ‖l‖2 X , но 〈Ly, l〉X ≤ ‖Ly‖X∗‖l‖X . Поэтому, ‖Ly‖2 X∗ = ‖l‖2 X = 〈Ly, l〉X . В силу (3.2) это означает, что l ∈ J−1(Ly). Тогда, lim m→∞ [ Lω, J−1 (Lynm) ] + = 〈Lω, l〉X ≤ [ Lω, J−1 (Ly) ] + и lim m→∞ [Mε (ynm) , ω]+ = 〈Ly, ω〉X + ε〈Lω, l〉X ≤ 〈Ly, ω〉X + ε [ Lω, J−1 (Ly) ] + = [Mε (y) , ω]+ . Это противоречит неравенству (3.8). Осталось доказать ограниченность Mε на D(L). В силу (3.7) и (3.2) для любого ограниченного в D(L) множества D ⊂ D(L), для любых y ∈ D и v ∈ D(L) [Mε(y), v]+ ≤ ε‖Lv‖X∗‖J−1(Ly)‖+ + ‖Ly‖X∗‖v‖X ≤ ε‖v‖D(L)‖Ly‖X∗ + ‖y‖D(L)‖v‖D(L) ≤ (ε+ 1)‖y‖D(L)‖v‖D(L) ≤ (ε+ 1)‖D‖+‖v‖D(L) < +∞. 564 О разрешимости включений... Используя теорему Банаха–Штейнгауза, получим ‖Mε(D)‖+ ≤ (ε + 1)‖D‖+ < +∞. Поскольку любое хеминепрерывное монотонное на D(L) много- значное отображение является λ0-псевдомонотонным на D(L) (см. предложение 2.9), то многозначное отображение Mε является также λ0-псевдомонотонным на D(L). Следовательно, в силу леммы 2.4 из s-взаимной ограниченности (A,B) на X, то же утверждение верно для Bε. Конечномерная локальная ограниченность Bε следует из то- го же свойства для A, B и Mε и из (3.5) и (3.6). В силу леммы 2.4 и замечания 2.5, многозначное отображение A+B : X ⇉ X∗ является λ0-псевдомонотонным на D(L) и удовле- творяет условию (Π) на X. В силу (3.7) и (3.2) для любых ε > 0 и y ∈ D(L) [Mε(y), y]+ = ε[Ly, J−1(Ly)]+ + 〈Ly, y〉X ≥ ε‖Ly‖2 X∗ ≥ 0. Следовательно, вследствие предложения 2.1 и (3.4), для каждого ε > 0 [Bε(y), y]+ = ε [ Ly, J−1(Ly) ] + + 〈Ly, y〉X + [A(y), y]+ + [B(y), y]+ − 〈f, y〉X ≥ 0 ∀ y ∈ D(L) : ‖y‖X = R. (3.11) Покажем, что для каждого ε > 0 существует по крайней мере одно решение задачи 0̄ ∈ Bε(yε), yε ∈ D(L), ‖yε‖X ≤ R. (3.12) Пусть F — фильтр всех конечномерных подпространств прост- ранства D(L). На каждом F ∈ F рассмотрим норму ‖ · ‖F = ‖ · ‖X ∣∣ F . Теперь зафиксируем произвольное ε > 0 и докажем, что для каждого F ∈ F существует по крайней мере одно решение задачи [Bε(yεF ), h]+ ≥ 0 ∀h ∈ F (3.13) yεF ∈ F такое, что ‖yεF ‖X ≤ R. Зафиксируем произвольное подпространство F ∈ F . Поскольку F конечномерное сепарабельное банахово пространство с нормой ‖ · ‖F , то существует некоторая плотная в F система векторов {vi}i≥1 ⊂ F . Приблизим решения (3.13) решениями конечных систем неравенств [Bε(yεFm), vi]− ≤ 0 ≤ [Bε(yεFm), vi]+, i = 1,m, (3.14) где m ≥ 1 и yεFm ∈ F , yεFm = ∑m j=1 α j,F ε,mvj . Покажем, что для каждого m ≥ 1 задача (3.14) имеет по крайней мере одно решение ᾱm ε,F =(αj,F ε,m)m j=1 ∈ R m такое, что для yεFm(ᾱm ε,F ) = ∑m j=1 α j,F ε,mvj ‖yεFm(ᾱm ε,F )‖X ≤ R. Кроме того, множество П. О. Касьянов, В. С. Мельник 565 GεF (m) = { yεFm(ᾱm ε,F ) ∈ F | yεFm(ᾱm ε,F ) удовлетворяет (3.14), ‖yεFm(ᾱm ε,F )‖X ≤ R } компактно в F . Для фиксированного m ≥ 1 рассмотрим многозначное отображе- ние B : R m → Cv(R m), определенное так: ∀ ᾱ ∈ R m B(ᾱ) = (Bi(ᾱ))m i=1, где для каждого i = 1,m Bi(ᾱ) = [ [Bε(y(ᾱ)), vi]−, [Bε(y(ᾱ)), vi]+ ] ∈ Cv(R), ᾱ = (αi) m i=1. На R m рассмотрим норму ‖ᾱ‖Rm = ‖y(ᾱ)‖X = ∥∥∥∥ m∑ i=1 αivi ∥∥∥∥ X ∀ ᾱ = (αi) m i=1 ∈ R m и спаривание 〈ᾱ, β̄〉 = m∑ i=1 αiβi ∀ ᾱ = (αi) m i=1 ∈ R m, β̄ = (βi) m i=1 ∈ R m. Вследствие предложения 2.1 и (3.11), для каждого ᾱ = (αi) m i=1 ∈ R m [B(ᾱ), ᾱ]+ = sup { m∑ i=1 biαi ∣∣∣∣ bi ∈ Bi(ᾱ), i = 1, n } ≥ m∑ i=1 [Bε(y(ᾱ)), vi]+αi = m∑ i=1 [Bε(y(ᾱ)), αivi]+ ≥ [ Bε(y(ᾱ)), m∑ i=1 αivi ] + = [Bε(y(ᾱ)), y(ᾱ)]+ ≥ 0, при ‖ᾱ‖Rm = ‖y(ᾱ)‖X = R. Следовательно, [B(ᾱ), ᾱ]+ ≥ 0 ∀ ᾱ ∈ R m : ‖ᾱ‖Rm = R. (3.15) Аналогично, для каждого ᾱ = (αi) m i=1 ∈ R m и β̄ = (βi) m i=1 ∈ R m [B(ᾱ), β̄]+ = sup { m∑ i=1 biβi ∣∣∣∣ bi ∈ Bi(ᾱ), i = 1, n } = m∑ i=1 ( max{[Bε(y(ᾱ)), vi]+, [Bε(y(ᾱ)),−vi]+} ) · |βi|. 566 О разрешимости включений... Полунепрерывность сверху отображения R m ∋ ᾱ→ max { [Bε(y(ᾱ)), vi]+, [Bε(y(ᾱ)),−vi]+ } ∀ i = 1,m следует из того же утверждения для отображений R m ∋ ᾱ→ [Bε(y(ᾱ)), vi]+ и R m ∋ ᾱ→ [Bε(y(ᾱ)),−vi]+ i = 1,m. (3.16) Последнее следует из конечномерной локальной ограниченности и λ0- псевдомонотонности Bε на D(L). Действительно, в силу леммы 2.3 получим, что Bε является λ-псевдомонотонным и локально ограни- ченным на F . Следовательно, в силу [18, лемма 1, с. 1516] и [1, пре- дложение 2, с. 127] для каждого β̄ ∈ R m отображение (3.16) является полунепрерывным сверху. Поэтому, R m ∋ ᾱ → [B(ᾱ), β̄]+ является полунепрерывным сверху. Следовательно, в силу теоремы Кастеня ([1, с. 132]) B является полунепрерывным сверху на R m. В силу (3.15) для задачи (3.14) можем применить [21, следствие 3.2]. Отсюда следу- ет, что для каждого m ≥ 1 существует по крайней мере одно решение (3.14) ᾱm εF = (αj,F ε,m)m j=1 ∈ R m такое, что ‖ᾱm εF ‖Rm ≤ R. Поэтому, для yεFm = ∑m j=1 α j,F ε vj справедлива оценка ‖yεFm‖X ≤ R. Компактность GεF (m) непосредственно следует из ограниченно- сти GεF (m) и хеминепреывности B на R m. Рассмотрим множество GεF = ⋂ m≥1GεF (m). Оно непусто, по- скольку для каждого m ≥ 1 GεF (m + 1) ⊂ GεF (m) и GεF (m) — компакт (т.е. семейство {GεF (m)}m≥1 центрировано в F ). Следова- тельно, ∃ yεF ∈ GεF : ‖yεF ‖X ≤ R и [Bε(yεF ), vi]+ ≥ 0 ∀ i ≥ 1. Посколь- ку система {vi}i≥1 плотна в пространстве F , то тогда для yεF ∈ F выполняется (3.13). Для каждого ε > 0 и F ∈ F рассмотрим непустое множество GεF = {yεF ∈ F | yεF удовлетворяет (3.13) и ‖yεF ‖X ≤ R } и докажем, что оно ограничено в D(L) равномерно по F для фикси- рованного ε > 0. Из неравенств (3.13), (3.5), (3.6) и (3.2) получим, что для каждого ε > 0, F ∈ F и yεF ∈ GεF ε‖(LyεF )‖X∗ + 〈LyεF , yεF 〉X + [A(yεF ), yεF ]+ + [B(yεF ), yεF ]+ − 〈f, yεF 〉X ≥ 0 ≥ ε‖(LyεF )‖X∗ + 〈LyεF , yεF 〉X + [A(yεF ), yεF ]− + [B(yεF ), yεF ]− − 〈f, yεF 〉X . Из определений нижней и верхней опорных функций существуют d′(yεF ) ∈ A(yεF ) и d′′(yεF ) ∈ B(yεF ) такие,что П. О. Касьянов, В. С. Мельник 567 ε‖LyεF ‖ 2 X∗ + 〈LyεF , yεF 〉X + 〈d′(yεF ), yεF 〉X1 + 〈d′′(yεF ), yεF 〉X2 = 〈f, yεF 〉X . (3.17) Из неравенства (3.17) и того, что L ≥ 0 получим, что 〈d′(yεF ), yεF 〉X1 + 〈d′′(yεF ), yεF 〉X2 ≤ ‖f‖X∗R. В силу условия (Π) для A+B : X → Cv(X ∗) существует C1 > 0 такое, что ‖d′(yεF ) + d′′(yεF )‖X∗ ≤ C1 ∀ ε > 0, F ∈ F , yεF ∈ GεF . (3.18) Из оценок (3.17) и (3.18) мы также получаем, что для каждого ε > 0 ε‖LyεF ‖ 2 X∗ ≤ (C1 + ‖f‖X∗)R для каждого F ∈ F и yεF ∈ GεF . Отсюда, для любого фиксирован- ного ε > 0 sup F∈F ‖GεF ‖ (D(L)) + ≤ R+ 1 ε (C1 + ‖f‖X∗)R =: C2, (3.19) где ‖GεF ‖ (D(L)) + = supy∈GεF ‖y‖D(L). Заметим, что C2 зависит от ε > 0. Из неравенства (3.13) и предложения 2.1 для любых ε > 0, F ∈ F , yεF ∈ GεF следует существование β(yεF ) ∈ Bε(yεF ) такого, что 〈β(yεF ), hF 〉D(L) = 0 ∀hF ∈ F. (3.20) Докажем ограниченность {β(yεF )}F∈F в (D(L))∗ ∀ ε > 0. В силу (3.6), (3.5), (3.2), (3.18), (3.19), из определений GεF и ‖ · ‖D(L) для каждого F ∈ F , yεF ∈ GεF и ω ∈ D(L) следует, что 〈β(yεF ), ω〉D(L) ≤ [Bε(yεF ), ω]+ ≤ ε‖Lω‖X∗‖LyεF ‖X∗ + ‖LyεF ‖X∗‖ω‖X + C1‖ω‖X + ‖f‖X∗‖yεF ‖X ≤ (1 + ε)‖ω‖D(L)‖yεF ‖D(L) + C1‖ω‖D(L) + ‖f‖X∗‖yεF ‖D(L) ≤ (1 + ε)‖ω‖D(L)‖GεF ‖+ + C1‖ω‖D(L) + ‖f‖X∗‖GεF ‖+. Следовательно, для каждого ω ∈ D(L) sup F∈F sup yεF∈GεF 〈β(yεF ), ω〉D(L) ≤ sup F∈F [Bε(GεF ), ω]+ ≤ (1 + ε)‖ω‖D(L)‖GεF ‖+ + C1‖ω‖D(L) + ‖f‖X∗‖GεF ‖+ < +∞. 568 О разрешимости включений... Поэтому, в силу теоремы Банаха-Штейнгауза, существует C3 > 0 та- кое, что ∀F ∈ F , yεF ∈ GεF ‖β(yεF )‖(D(L))∗ ≤ C3. (3.21) Заметим, что C3 зависит от ε > 0. Для каждого F0 ∈ F положим KεF0 = ⋃ F∈F :F⊃F0 GεF . Из (3.19) следует, что supF∈F ‖KεF ‖ (D(L)) + ≤ C3. Для любого семейства под- пространств {Fj} n j=1 ⊂ F и любого F ∈ F таких, что F ⊃ ⋃n j=1 Fj , имеем: ∅ 6= KεF ⊂ ⋂n j=1KεFj . Следовательно, в силу теоремы Банаха- Алаоглу, {K ω εF }F∈F — центрированная система слабо компактных множеств, где K ω εF слабое замыкание KεF в D(L). Поэтому, в си- лу [25, с. 98] ∃ y0 ∈ ⋂ F∈F K ω εF . Теперь докажем, что y0 удовлетворяет (3.12). Получим это утвер- ждение методом от противного. Если 0̄ 6∈ Bε(y0), тогда, в силу [26, те- орема 3.4, с. 70], существует ω0 ∈ D(L) такое, что [Bε(y0), ω0]− > 0. (3.22) Пусть F0 ∈ F : y0, ω0 ∈ F0. Тогда существуют последовательности {yn}n≥1 ⊂ KεF0 и {Fn}n≥1 ⊂ F ( F0 ⊂ ⋂ n≥1 Fn ) такие, что GεFn ∋ yn ⇀ y0 в D(L) при n→ ∞. (3.23) Из (3.21), в силу теоремы Банаха–Алаоглу, получим, что для некото- рого β ∈ (D(L))∗ Bε(yn) ∋ β(yn) ⇀ β в (D(L))∗ при n→ ∞. (3.24) Если в (3.20) положить hFn = yn − y0 ∈ Fn, то 0 = 〈β(yn), yn − y0〉D(L) → 0 при n→ ∞. Следовательно, вследствие (3.23) и (3.24), к Bε можем применить λ0-псевдомонотонность на D(L). Поэтому, существуют подпоследо- вательности {ynm}m≥1 ⊂ {yn}n≥1, {βnm}m≥1 ⊂ {βn}n≥1 такие, что [Bε(y0), y0 − ω]− ≤ lim m→∞ 〈β(ynm), ynm − ω〉D(L) ≤ 〈β, y0 − ω〉D(L) ∀ω ∈ D(L). Если мы положим в последнем ω = y0 − ω0, то [Bε(y0), ω0]− ≤ 〈β, ω0〉D(L) = lim m→∞ 〈β(ynm), ω0〉D(L) = lim m→∞ 0 = 0. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 569 Это противоречит (3.22). Следовательно, y0 ∈ D(L) — решение зада- чи (3.12). Заметим, что для каждого n ≥ 1 ‖yn‖X ≤ R. Из (3.23) и из не- прерывности вложения D(L) ⊂ X следует, что yn ⇀ y0 в X. Таким образом, R ≥ limn→∞ ‖yn‖X ≥ ‖y0‖X . В силу (3.5)–(3.7), из предложения 2.1 имеем, что для любого ε > 0 существуют d′(yε) ∈ A(yε), d ′′(yε) ∈ B(yε) и mε(yε) ∈ Mε(yε) такие, что 〈mε(yε), h〉D(L) +〈d′(yε), h〉X1 +〈d′′(yε), h〉X2 −〈f, h〉X = 0 ∀h ∈ D(L), (3.25) и, благодаря (3.2), 〈mε(yε), yε〉D(L) = ε‖Lyε‖ 2 X∗ + 〈Lyε, yε〉X . В силу (3.25) получим, что ε‖Lyε‖ 2 X∗ + 〈Lyε, yε〉X + 〈d′(yε), yε〉X1 + 〈d′′(yε), yε〉X2 = 〈f, yε〉X . Поскольку L ≥ 0, то 〈d′(yε), yε〉X1 + 〈d′′(yε), yε〉X2 ≤ ‖f‖X∗R ∀ ε > 0. Отображение A (соответственно B) обладает свойством (Π) на X1 (соответственно на X2). Тогда существуют C4, C5 > 0 такие, что ‖d′(yε)‖X∗ 1 ≤ C4, ‖d′′(yε)‖X∗ 2 ≤ C5 ∀ ε > 0. (3.26) Из (3.25) и (3.7) следует, что для каждого h ∈ D(L) ε[Lh, J−1(Lyε)]++〈Lyε, h〉X +〈d′(yε), h〉X1 +〈d′′(yε), h〉X2 −〈f, h〉X ≥ 0. (3.27) Для каждого ε > 0, вследствие предложения 2.1 (пространство X рефлексивно), возьмем hε ∈ J−1(Lyε) из (3.27) такое, что ε〈Lh, hε〉X + 〈Lyε, h〉X + 〈d′(yε), h〉X1 + 〈d′′(yε), h〉X2 − 〈f, h〉X = 0 ∀h ∈ D(L). (3.28) Форма D(L) ∋ h→ 〈Lh, hε〉X = 1 ε (〈f, h〉X2 − 〈Lyε, h〉X − 〈d′(yε), h〉X1 − 〈d′′(yε), h〉X2 ) непрерывна в индуцированной (из X на D(L)) топологии. Следова- тельно, hε ∈ D(L∗) и 〈Lhε, hε〉X = 〈L∗hε, hε〉X . 570 О разрешимости включений... Из (3.28) следует, что ε〈L∗hε, h〉X + 〈Lyε, h〉X + 〈d′(yε), h〉X1 + 〈d′′(yε), h〉X2 − 〈f, h〉X = 〈εL∗hε + Lyε + d′(yε) + d′′(yε) − f, h〉X = 0 ∀h ∈ D(L), т.е. в силу плотности D(L) в X, yε удовлетворяет включению (3.3). Положим в (3.28) h = hε. Отсюда получим, что ε〈Lhε, hε〉X + 〈Lyε, hε〉X + 〈d′(yε), hε〉X1 + 〈d′′(yε), hε〉X2 = 〈f, hε〉X . В силу того, что L ≥ 0, из (3.2) и из (3.26) получим, что ‖Lyε‖ 2 X∗ ≤ (C4 + C5 + ‖f‖X∗) · ‖Lyε‖X∗ ∀ ε > 0. Отсюда следует существование C6 > 0 такого, что ‖Lyε‖X∗ ≤ C6 ∀ ε > 0. Поэтому, благодаря предложению 2.1, в силу оценок (3.26) и по- следнего неравенства, из теоремы Банаха–Алаоглу, переходя при не- обходимости к подпоследовательностям, мы утверждаем, что yε ⇀ y0 в D(L), A(yε) +B(yε) ∋ d′(yε) + d′′(yε) =: d(yε) ⇀ d0 в X∗ (3.29) для некоторых y0 ∈ D(L) и d0 ∈ X∗. Обозначим эти подпоследова- тельности соответственно {yε} и {dε}. Докажем, что lim ε→0+ 〈d(yε), yε − y0〉X ≤ 0. (3.30) Действительно, ввиду (3.27)–(3.29) (так как L ≥ 0) получим, что lim ε→0+ 〈d(yε), yε − y0〉X ≤ lim ε→0+ 2C6Rε + lim ε→0+ 〈Ly0, yε − y0〉X + lim ε→0+ 〈f, yε − y0〉X ≤ 0. Теперь докажем, что y0 ∈ D(L) удовлетворяет (3.1). Благодаря λ0-псевдомонотонности A+B на D(L), (3.29) и (3.30), переходя (если это необходимо) к подпоследовательностям, получим: 〈d0, y0 − ω〉X ≥ lim ε→0+ 〈d(yε), yε − y0〉X + lim ε→0+ 〈d(yε), y0 − ω〉X ≥ lim ε→0+ 〈d(yε), yε − ω〉X ≥ [(A+B)(y0), y0 − ω]− ∀ω ∈ D(L). (3.31) Если положить в (3.27) h = ω − y0, то П. О. Касьянов, В. С. Мельник 571 〈d0, y0 − ω〉X = lim ε→0+ 〈d(yε), y0 − ω〉X ≤ lim ε→0+ (C6 + ‖ω‖X)Rε+ lim ε→0+ 〈Lyε, ω − y0〉X + lim ε→0+ 〈f, yε − ω〉X = 〈f − Ly0, y0 − ω〉X ∀ω ∈ D(L). Следовательно, в силу (3.31), для любого ω ∈ D(L) 〈f − Ly0, ω〉X ≤ [(A+B)(y0), ω]+. Это означает, что для каждого ω ∈ D(L) 〈Ly0, ω〉X + [A(y0), ω]+ + [B(y0), ω]+ ≥ 〈f, ω〉X , т.е., ввиду плотности D(L) в X, y0 ∈ D(L) – решение (3.1). Теорема доказана. Следствие 3.1. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, L : D(L) ⊂ X → X∗ — линейный, плотно определенный, максимально монотонный на D(L) оператор, A : X1 → Cv(X ∗ 1 ) и B : X2 → Cv(X ∗ 2 ) — конечномер- но локально ограниченные, λ0-псевдомонотонные на D(L) многозна- чные отображения, удовлетворяющие условию (Π). Предположим, что вложение D(L) в некоторое банахово пространство Y компа- ктно и плотно, вложение X в Y плотно и непрерывно и пусть N : Y ⇉ Y ∗ — локально ограниченное многозначное отображение такое, что график N замкнут в Y × Y ∗ w (т.е. относительно силь- ной топологии в Y и ∗-слабой в Y ∗) и удовлетворяет условию (Π). Кроме того, для f ∈ X∗ существует R > 0 такое, что [A(y), y]+ + [B(y), y]+ + [N(y), y]+ − 〈f, y〉X ≥ 0 ∀ y ∈ X : ‖y‖X = R. (3.32) Тогда существует по крайней мере одно решение задачи Ly +A(y) +B(y) +N(y) ∋ f, y ∈ D(L), (3.33) полученное методом сингулярных возмущений. Доказательство. Положим C(y) = B(y)+N(y) для каждого y ∈ X ⊂ Y . В силу непрерывности вложения X ⊂ Y и замечания 2.5, следует, что C удовлетворяет условию (Π) на X. Конечномерная локальная ограниченность C очевидна. В силу предложения 2.12, отображение C является λ0-псевдомонотонным на D(L). Поэтому, мы применим теорему 3.1 для A, C, L. Следовательно, задача (3.33) имеет по край- ней мере одно решение, полученное методом сингулярных возмуще- ний. Замечание 3.2. В разделе 2, в частности, в предложении 2.10 рас- смотрены возможные классы многозначных λ0-псевдомонотонных на D(L) отображений. 572 О разрешимости включений... 4. Многозначный метод штрафа для эволюционных вариационных неравенств с wλ0 -псевдомонотонными отображениями Рассмотрим операторы A, L и выпуклое множество K такое, что оператор L : D(L) ⊂ X → X∗ является максимально монотонным на D(L), линейным и плотно определенным; (4.1) K является выпуклым, замкнутым подмножеством из X таким, что ∃β0 ∈ K ∩D(L) : ⋃ t>0 t(K − β0) = X; (4.2) многозначное отображение A : X → Cv(X ∗) является λ0-псевдомонотонным на D(L), локально конечномерно ограниченным, удовлетворяет условию (Π) и для некоторого y0 ∈ K ∩D(L) [A(y), y − y0]+ ‖y‖X → +∞ при ‖y‖X → ∞; (4.3) β : X → Cv(X ∗) является монотонным, ограниченным, радиально полунепрерывным многозначным оператором “штрафа”, который соответствует множеству K, т.е. K = {y ∈ X |β(y) ∋ 0̄}; (4.4) Замечание 4.1. Достаточным условием для (4.2) является: K — выпуклое, замкнутое подмножество из X такое, что D(L)∩ intK 6= ∅. Теорема 4.1. Пусть выполняются условия (4.1)–(4.4), f ∈ X∗. То- гда для каждого ε > 0 задача Lyε +A(yε) + 1 ε β(yε) ∋ f, yε ∈ D(L)    (4.5) имеет решение. Более того, существует последовательность {yε}ε ⊂ D(L) такая,что a) для каждого ε > 0 yε — решение задачи (4.5); b) существует подпоследовательность {yτ}τ ⊂ {yε}ε такая, что для некоторого y ∈ D(L) yτ → y слабо в X, Lyn → Ly слабо в X∗; П. О. Касьянов, В. С. Мельник 573 c) y — решение следующей задачи: 〈Ly, v − y〉X + [A(y), v − y]+ ≥ 〈f, v − y〉X ∀ v ∈ K ∩D(L), y ∈ K ∩D(L). } (4.6) Доказательство. По аналогии с [17, с. 396], не теряя общности, мо- жем предположить, что y0 = 0̄ ∈ K. Другими словами, отображения Ã(·) = A(· − y0), f̃ = f −Ly0, L̃ = L, множество K̃ = K − y0, ỹ0 = 0̄ и β̃0 = β0 − y0 удовлетворяют условиям (4.1)–(4.4). Для каждого ε > 0 введем новое многозначное отображение: Aε(y) := A(y) + 1 ε β(y), y ∈ X. В силу предложения 2.9 и леммы 2.4, Aε : X → Cv(X ∗) — λ0-псевдо- монотонное на D(L). Ввиду ограниченности β, благодаря условию (Π) и конечномерной локальной ограниченности для A следует, что Aε — конечномерно локально ограниченное и удовлетворяет условию (Π). Теперь используем свойство коэрцитивности. Из (4.3) следует су- ществование R > 0 такого, что [A(y) − f, y]+ ≥ 0 ∀ y ∈ X : ‖y‖X = R. Тогда для каждого ε > 0 [Aε(y) − f, y]+ ≥ [A(y) − f, y]+ + 1 ε [β(y), y − 0̄]− ≥ [A(y) − f, y]+ + 1 ε [β(0̄), y]+ = [A(y) − f, y]+ ≥ 0 ∀ ‖y‖X = R. Следовательно, мы можем применить теорему 3.1 для X1 = X2 = X, D(L) = D(L), L = L, A ≡ 0̄, B = Aε, f = f, R = R. Тогда, получаем, что для каждого ε > 0 существует yε ∈ X такое, что yε — решение (4.5), ‖yε‖X ≤ R. (4.7) Заметим, что константа R не зависит от ε > 0. Из (4.7) следует, существование dε ∈ A(yε), bε ∈ β(yε) таких, что Lyε + dε + 1 ε bε = f. (4.8) 574 О разрешимости включений... Благодаря монотонности L и β и тому, что 0̄ ∈ K ∩D(L), имеем: 〈dε, yε〉X ≤ −〈Lyε, yε〉X + 1 ε 〈bε, 0̄ − yε〉X + 〈f, yε〉X ≤ ‖f‖X∗R < +∞. В силу свойства (Π) для A и из (4.7), следует существование c1 > 0 такого, что ‖dε‖X∗ ≤ c1 ∀ ε > 0. (4.9) Более того, из (4.8) и (4.9) следует, что 0 ≤ 〈bε, yε − β0〉X = ε〈f − dε − Lyε, yε − β0〉X ≤ ε(‖f‖X∗ + c1 + ‖Lβ0‖X∗)(R+ ‖β0‖X) =: c2 · ε→ 0 при εց 0 + . (4.10) Из монотонности β, из (4.10) и из (4.2) следует, что для каждого ω ∈ X ∃ , t > 0: tω + β0 ∈ K и 1 ε 〈bε, ω〉X = 1 tε 〈bε, tω − yε〉X + 1 tε 〈bε, yε〉X ≤ 1 tε [β(yε), tω − yε]+ + 1 t c2 ≤ 1 tε [β(ω), tω − yε]− + 1 t c2 ≤ 1 t c2. Следовательно, в силу теоремы Банаха–Штейнгауза, существует c3 > 0 такое, что ‖bε‖X∗ ≤ εc3 ∀ ε ∈ (0, ε0), (4.11) для некоторого ε0 > 0. Условия (4.1), (4.8) и (4.11) означают, что для каждого ω ∈ X |〈Lyε, ω〉X | ≤ (‖f‖X∗ + c2 + c3)‖ω‖X ∀ ε ∈ (0, ε0). Следовательно, существует c4 > 0 такое, что ‖Lyε‖X∗ ≤ c4 ∀ ε ∈ (0, ε0). (4.12) Переход к пределу. Из оценок (4.7), (4.9), (4.12), благодаря теоре- ме Банаха–Алаоглу, следует существование подпоследовательности {yτ}τ ⊂ {yε}ε такой, что для некоторых y ∈ D(L), d ∈ X∗ yτ ⇀ y в D(L), Lyτ ⇀ y в X, dτ ⇀ d в X∗, bτ ⇀ 0̄ в X∗ при τ ց 0 + . (4.13) В силу предложения 2.9, отображение β является λ0-псевдомонотон- ным на X. Более того, благодаря (4.10) и (4.13), имеем: lim τց0+ 〈bτ , yτ − y〉X = lim τց0+ 〈bτ , yτ − y〉X ≤ 0. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 575 Следовательно, с точностью к подпоследовательности, для каждого ω ∈ X 0 = lim τց0+ 〈bτ , yτ − ω〉X ≥ [β(y), y − ω]−. Последнее соотношение эквивалентно 0̄ ∈ β(y). Следовательно, в си- лу (4.4), получим, что y ∈ K. Теперь, покажем, что lim τց0+ 〈dτ , yτ − y〉X ≤ 0. (4.14) Действительно, из (4.8) и из (4.4) следует, что для каждого v ∈ D(L)∩ K 〈dτ , yτ − v〉X = 1 ε 〈bτ , v − yτ 〉X + 〈f, yτ − v〉X + 〈Lyτ , v − yτ 〉X ≤ 1 ε [β(yτ ), v − yτ ]+ + 〈f, yτ − v〉X + 〈Lyτ , v − yτ 〉X ≤ 1 ε [β(v), v − yτ ]− + 〈f, yτ − v〉X + 〈Lyτ , v − yτ 〉X ≤ 〈f, yτ − v〉X + 〈Lyτ , v − y〉X + 〈Ly, y − yτ 〉X ≤ 〈f, yτ − v〉X + 〈Lv, v − yτ 〉X , при 0̄ ∈ β(v). Поэтому, lim τց0+ 〈dτ , yτ 〉X ≤ 〈d, v〉X + 〈f, y − v〉X + 〈Lv, v − y〉X ∀ v ∈ D(L) ∩K. В силу (4.13), если мы положим в последнем соотношении v = y, то получим: lim τց0+ 〈dτ , yτ 〉X ≤ 〈d, y〉X . Следовательно, в силу (4.13), выполняется неравенство (4.14). Используем λ0-псевдомонотонность A. Из (4.13) и (4.14) следу- ет существование подпоследовательностей {yν}ν ⊂ {yτ}τ и {dν}ν ⊂ {dτ}τ таких, что lim νց0+ 〈dν , yν − v〉X ≥ [A(y), y − v]− ∀ v ∈ X, (4.15) в частности, из неравенства (4.14) следует, что lim νց0+ 〈dν , yν − y〉X = 0. Следовательно, в силу (4.13), (4.14) и (4.15), 〈Ly, v − y〉X + [A(y), y − v]− ≤ 〈f, y − v〉X ∀ v ∈ K ∩D(L), что эквивалентно, в силу предложения 2.1, неравенству (4.6). Теорема доказана. 576 О разрешимости включений... Следствие 4.1. Пусть выполняются условия (4.1), (4.2), (4.4), A : X1 → Cv(X ∗ 1 ) и B : X2 → Cv(X ∗ 2 ) — конечномерно локально ограни- ченные, λ0-псевдомонотонные на D(L) многозначные отображения, которые удовлетворяют условию (Π). Предположим, что вложение D(L) в некоторое банахово пространство Y компактно и плотно, вложение X в Y плотно и непрерывно и пусть N : Y ⇉ Y ∗ — ло- кально ограниченное многозначное отображение, такое, что график N замкнут в Y × Y ∗ w (т.е. относительно сильной топологии Y и ∗-слабой в Y ∗) и которое удовлетворяет условию (Π). Кроме того, для некоторого y0 ∈ K ∩D(L) пусть [A(y), y − y0]+ ‖y‖X1 → +∞ при ‖y‖X1 → ∞, [B(y), y − y0]+ ‖y‖X2 → +∞ при ‖y‖X2 → ∞, lim ‖y‖X→∞ [N(y), y − y0]+ ‖y‖X > −∞, (4.16) f ∈ X∗. Тогда для каждого ε > 0 задача Lyε +A(yε) +B(yε) +N(yε) + 1 ε β(yε) ∋ f, yε ∈ D(L)    (4.17) имеет решение. Более того, существует последовательность {yε}ε ⊂ D(L) такая, что a) для каждого ε > 0 yε — решение задачи (4.17); b) существует подпоследовательность {yτ}τ ⊂ {yε}ε такая, что для некоторого y ∈ D(L) yτ ⇀ y в D(L); c) y — решение задачи (1.1). Замечание 4.2. Достаточным условием для (4.16) является: ∃C1, C2 > 0 : ‖N(y)‖+ ≤ C1 + C2‖y‖X ∀ y ∈ X. Доказательство. Положим C(y) = A(y) + B(y) + N(y) для каждо- го y ∈ X ⊂ Y . В силу непрерывности вложения X ⊂ Y и замеча- ния 2.5, следует, что C удовлетворяет условию (Π) на X. Конечно- мерная локальная ограниченность C очевидна. Благодаря предло- жению 2.12 отображение C является λ0-псевдомонотонным на D(L). +-коэрцитивность C(·+y0) на X непосредственно следует из предло- жения 2.4, из леммы 2.1 для A и B и из условия (4.16). Поэтому, П. О. Касьянов, В. С. Мельник 577 мы можем применить теорему 4.1 с C, L, K. Следовательно, зада- ча (1.1) имеет по крайней мере одно решение, полученное методом штрафа. 5. Пример Рассмотрим ограниченную область Ω ⊂ R n с достаточно гладкой границей ∂Ω, S = [0, T ], Q = Ω × (0;T ), ΓT = ∂Ω × (0;T ). Пусть, при i = 1, 2, mi ∈ N, N i 1 (соответственно N i 2) — число дифференци- рований по переменной x порядка ≤ mi − 1 (соответственно mi) и{ Ai α(x, t, η, ξ) } |α|≤mi — семейство действительных функций, опреде- ленных в Q× R N i 1 × R N i 2 . Пусть Dku = {Dβu, |β| = k} — дифференцирование по x, δiu = {u, Du, . . . ,Dmi−1u}, Ai α(x, t, δiu,D miv) : x, t→ Ai α(x, t, δiu(x, t), D miv(x, t)). Пусть ψ : R → R — некоторая локально липшицева действитель- ная функция и ее обобщенный градиент Кларка Φ = ∂Clψ : R ⇉ R удовлетворяет условию роста ∃ p3 ≥ 2, C > 0 : ‖Φ(t)‖+ ≤ C(1 + |t|p3−1) ∀ t ∈ R. (5.1) Рассмотрим следующую задачу с краевыми условиями Дирихле: ∂y(x, t) ∂t + ∑ |α|≤m1 (−1)|α|Dα(A1 α(x, t, δ1y,D m1y)) + ∑ |α|≤m2 (−1)|α|Dα(A2 α(x, t, δ2y,D m2y)) + Φ(y(x, t)) ∋ f(x, t) в Q, (5.2) Dαy(x, t) = 0 на ΓT при |α| ≤ mi − 1 и i = 1, 2 (5.3) и y(x, 0) = 0 в Ω. (5.4) Положим для i = 1, 3 qi > 1: p−1 i +q−1 i = 1,H = L2(Ω), V3 = Lp3 (Ω) и Vi = Wmi,pi 0 (Ω) с pi > 1, mi = 0, 1, 2, . . . такие, что Vi ⊂ H непре- рывно, i = 1, 2. Рассмотрим функцию ϕ : Lp3 (Q) → R, определенную как ϕ(y) = ∫ Q ψ(y(x, t)) dx dt ∀ y ∈ Lp3 (Q). 578 О разрешимости включений... Используя условие роста (5.1) и теорему Лебурга о среднем значении, отметим, что функция ϕ определена коректно и является липшиц- непрерывной на ограниченных множествах из Lp3 (Q). Следователь- но, она локально липшицева. Таким образом, коректно определен обобщенный градиент Кларка ∂Clϕ : Lp3 (Q) ⇉ Lq3 (Q). Более того, теорема Обена–Кларка (см. [7, с. 83]) гарантирует то, что для ка- ждого y ∈ Lp3 (Q) p ∈ ∂Clϕ(y) ⇒ p ∈ Lq3 (Q) с p(x, t) ∈ ∂Clψ(y(x, t)) для п.в (x, t) ∈ Q. При соответствующих условиях на коэффициенты Ai α, данная за- дача может быть переписана в виде: y′ +A1(y) +A2(y) + ∂Clϕ(y) ∋ f, y(0) = 0̄, (5.5) где f ∈ X∗ = Lq1 (S;W−m1,q1(Ω)) + Lq2 (S;W−m2,q2(Ω)) + Lq3 (Q). Каждый элемент y ∈W, удовлетворяющий (5.5), называется обоб- щенным решением задачи (5.2)–(5.4). Определение операторов Ai. Пусть Ai α(x, t, η, ξ), определены в Q× R N i 1 × R N i 2 и удовлетворяют условиям [17]: почти для каждого x, t ∈ Q отображение η, ξ → Ai α(x, t, η, ξ) не- прерывно на R N i 1 × R N i 2 ; для всех η, ξ отображение x, t→ Ai α(x, t, η, ξ) измеримо на Q, (5.6) для всех u, v ∈ Lpi(0, T ;Vi) =: Vi Ai α(x, t, δiu,D miu) ∈ Lqi(Q). (5.7) Тогда для каждого u ∈ Vi отображение w → ai(u,w) = ∑ |α|≤mi ∫ Q Ai α(x, t, δiu,D miu)Dαw dxdt, непрерывно на Vi и тогда существует Ai(u) ∈ V∗ i такое, что ai(u,w) = 〈Ai(u), w〉. (5.8) Условия на Ai. Как и в [17, разделы 2.2.5, 2.2.6, 3.2.1], имеем Ai(u) = Ai(u, u), Ai(u, v) = Ai1(u, v) +Ai2(u), где 〈Ai1(u, v), w〉 = ∑ |α|=mi ∫ Q Ai α(x, t, δiu,D miv)Dαw dxdt, П. О. Касьянов, В. С. Мельник 579 〈Ai2(u), w〉 = ∑ |α|≤mi−1 ∫ Q Ai α(x, t, δiu,D miu)Dαw dxdt. Добавим следующие условия: 〈Ai1(u, u), u− v〉 − 〈Ai1(u, v), u− v〉 ≥ 0 ∀u, v ∈ Vi; (5.9) если uj ⇀ u в Vi, u′j ⇀ u′ в V∗ i и если 〈Ai1(uj , uj) −Ai1(uj , u), uj − u〉 → 0, тогда Ai α(x, t, δuj , D miuj) ⇀ Ai α(x, t, δu,Dmiu) в Lqi(Q); (5.10) коэрцитивность. (5.11) Замечание 5.1. Как и в [17, теорема 2.2.8] достаточными условиями для (5.9), (5.10) являются такие: ∑ |α|=mi Ai α(x, t, η, ξ)ξα 1 |ξ| + |ξ|pi−1 → +∞ при |ξ| → ∞ для почти всех x, t ∈ Q и ограниченных |η|; ∑ |α|=mi (Ai α(x, t, η, ξ) −Ai α(x, t, η, ξ∗))(ξα − ξ∗α) > 0 при ξ 6= ξ∗ почти для всех x, t ∈ Q и ∀ η. Следующее условие достаточно для коэрцитивности: ∑ |α|=mi Ai α(x, t, η, ξ)ξα ≥ c|ξ|pi для достаточно больших |ξ|. Достаточным условием для (5.7) (см. [17, с. 332]) является: |Ai α(x, t, η, ξ)| ≤ c[|η|pi−1 + |ξ|pi−1 + k(x, t)], k ∈ Lqi (Q). (5.12) Повторяя доказательства [17, теорема 3.2.1] и [17, 2, утвержде- ние 2.2.6], получим следующее предложение Предложение 5.1. Пусть оператор Ai : Vi → V∗ i (i = 1, 2), опреде- ленный в (5.8), удовлетворяет (5.6), (5.7), (5.9), (5.10) и (5.11). То- гда Ai является псевдомонотонным на Wi (в классическом смысле). Более того, он ограниченный, если выполняется (5.12). При выполнении описанных выше условий, для каждого f ∈ X∗ существует обобщенное решение задачи (5.2)–(5.4) y ∈W , полученное методом сингулярных возмущений. 580 О разрешимости включений... Литература [1] J.-P. Aubin, I. Ekeland, Applied Nonlinear Analysis, Mir, Moscow, 1988. [2] J.-P. Aubin, H. Frankowska, Set-valued analysis, Birkhauser, 1990. [3] V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Edi- tura Acad., Bucuresti, 1976. [4] H. Brezis, Problems unilatéraux // J. Math. Pures Appl., 51 (1972), 1–168. [5] F. E. Browder, P. Hess, Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces // J. Funct. Anal., 11 (1972), 251–294. [6] S. Carl, D. Motreanu, Extremal solutions of quasilinear parabolic inclusions with generalized Clarke’s gradient // Electronic J. Differential Equations, 191 (2003), 206—233. [7] F. H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia, 1990. [8] Z. Denkowski, S. Migorski and N.S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis. Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston, Dordrecht, London, 2003. [9] Yu. A. Dubinski, Weak convergence in non-linear elliptic and parabolic equati- ons // Mat. Sb., 67 (1965), 609–642. (translated in Am. Math. Soc., II, Ser. 67, (1968), 226–258). [10] I. R. Ekeland, R. Temam, Convex analysis and variational problems, North- Holland, Amsterdam, 1976. [11] M. I. Kamenskii, V. V. Obukhovskii, P. Zecca, On semilinear differential inclusi- ons with lower semicontinuous nonlinearities // Annali di Matem. pura ed appl.(IV) (1999), CLXXV. [12] P. O. Kasyanov, Galerkin method for a class of differential-operator inclusions with set-valued mappings of pseudomonotone type // Naukovi visti NTUU “KPI” (2005), N 2, 139–151. [13] P. O. Kasyanov, Galerkin’s method for one class of differential-operator inclusi- ons // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. (2005), N 9, 20–24. [14] P. O. Kasyanov, V. S. Melnik, Faedo-Galerkin method differential-operator inclusions in Banach spaces with maps of wλ0 -pseudomonotone type // Nats. Acad. Sci. Ukr., Kiev, Inst. Math. 2 (2005), N 1, 82–105. [15] P. I. Kogut, O. V. Musejko, On the S-homogenization of variational inequalities in Banach spaces // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., Mat. Pryr. Tekh. Nauky (2001), N 5, 73–76. [16] A. A. Kovalevsky, Fr. Nicolosi, Boundedness of solutions of variational inequalities with nonlinear degenerated elliptic operators of high order // Appl. Anal. 65 (1997), N 3–4, 225–249. [17] J. L. Lions, Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non li- neaires, Dunod Gauthier-Villars, Paris, 1969. [18] V. S. Melnik, Multivariational inequalities and operational inclusions in Banach spaces with maps of a class (S)+ // Ukr. Mat. Zh. 52 (2000), 1513–1523. [19] V. S. Melnik, About critical points of some classes multivalued maps // Cyberneti- cs and Systems Analysis (1997), N 2, 87–98. [20] V. S. Melnik, On operational inclusions in Banach spaces with densely defined operators // System Research & Information Technologies (2003), N 3, 120–126. П. О. Касьянов, В. С. Мельник 581 [21] V. S. Melnik, The topological methods in the theory of operator inclusions in Banach spaces // Ukr. Mat. Zh. 58 (2006), N 2,4. [22] V. S. Melnik, M. Z. Zgurovsky, Ky Fan inequality and operational inclusions in Banach spaces // Cybernetics and Systems Analysis (2002), N 2, 70–85. [23] V. S. Melnik, M. Z. Zgurovsky, Nonlinear Analysis and Control of Physical Processes and Fields, Springer, Berlin, 2004. [24] B. Pshenichniy, Convex analysis and extremal problems, Nauka, Moscow, 1980. [25] M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics 1: Functional Analysis, Academic Press, New York, 1980. [26] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, New York, 1973. [27] I. V. Skrypnik, Methods of investigation of nonlinear elliptic boundary problems, Nauka, Moscow, 1990. [28] A. A. Tolstonogov, About solutions of evolutionary inclusions 1 // Siberian Math. J. 33 (1992), 145–162. [29] A. A. Tolstonogov, J. I. Umanski, About solutions of evolutionary inclusions 2 // Siberian Math. J. 33 (1992), 163–174. [30] M. M. Vainberg, Variational methods and method of monotone operators, Wiley, New York, 1973. [31] A. N. Vakulenko, V. S. Melnik, On solvability and properties of solutions of one class of operator inclusions in Banach spaces // Naukovi visti NTUU “KPI” (1999), N 3, 105–112. [32] A. N. Vakulenko, V. S. Melnik, On a class of operator inclusions in Banach spaces // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. (1998), N 8, 20–25. [33] A. N. Vakulenko, V. S. Melnik, On topological method in operator inclusions whith densely defined mappings in Banach spaces // Nonlinear Boundary Value Probl. (2000), N 10, 125–142. Сведения об авторах Павел О. Касьянов Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка вул. Володимирська, 64 01033 Киев, Украина E-Mail: kasyanov@univ.kiev.ua
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124532
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1810-3200
language Russian
last_indexed 2025-12-07T16:49:44Z
publishDate 2007
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format dspace
spelling Касьянов, П.О.
Мельник, В.С.
2017-09-29T05:52:55Z
2017-09-29T05:52:55Z
2007
О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа / П.О. Касьянов, В.С. Мельник // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 535-581. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
1810-3200
2000 MSC. 35K55, 58C06, 34A40, 34A60
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124532
Для широкого класса дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств с wλ₀ -псевдомонотонными отображениями, включая отображения псевдомонотонного типа, получена теорема о разрешимости. Теорема доказана при помощи метода эллиптической регуляризации и метода штрафа. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Український математичний вісник
О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
Article
published earlier
spellingShingle О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
Касьянов, П.О.
Мельник, В.С.
title О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
title_full О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
title_fullStr О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
title_full_unstemmed О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
title_short О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
title_sort о разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ₀-псевдомонотонного типа
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124532
work_keys_str_mv AT kasʹânovpo orazrešimostidifferencialʹnooperatornyhvklûčeniiiévolûcionnyhvariacionnyhneravenstvporoždennyhotobraženiâmiwλ0psevdomonotonnogotipa
AT melʹnikvs orazrešimostidifferencialʹnooperatornyhvklûčeniiiévolûcionnyhvariacionnyhneravenstvporoždennyhotobraženiâmiwλ0psevdomonotonnogotipa

Ähnliche Einträge