Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление
В статье изучаются Q-отображения, допускающие наличие точек ветвления, пространственные отображения, удовлетворяющие модульным неравенствам. Доказано, что семейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений, опускающих множество положительной ёмкости, нормально при условии, что Q имеет конечное...
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2007 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124533 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 582-604. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860179463366508544 |
|---|---|
| author | Севостьянов, Е.А. |
| author_facet | Севостьянов, Е.А. |
| citation_txt | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 582-604. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В статье изучаются Q-отображения, допускающие наличие точек ветвления, пространственные отображения, удовлетворяющие модульным неравенствам. Доказано, что семейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений, опускающих множество положительной ёмкости, нормально при условии, что Q имеет конечное среднее колебание в каждой точке, либо имеет лишь логарифмические особенности порядка не выше, чем n − 1.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 4 (2007), № 4, 582 – 604
Теория модулей, ёмкостей и нормальные
семейства отображений, допускающих
ветвление
Евгений А. Севостьянов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В статье изучаются Q-отображения, допускающие на-
личие точек ветвления, — пространственные отображения, удовле-
творяющие модульным неравенствам. Доказано, что семейство отк-
рытых дискретных кольцевых Q-отображений, опускающих множе-
ство положительной ёмкости, нормально при условии, что Q имеет
конечное среднее колебание в каждой точке, либо имеет лишь лога-
рифмические особенности порядка не выше, чем n − 1.
2000 MSC. 30C65, 30C75.
Ключевые слова и фразы. Модуль, ёмкость, нормальные семей-
ства, отображения, Q-гомеоморфизмы.
1. Введение
Выдающийся математик современности, крупнейший специалист
в теории отображений Георгий Дмитриевич Суворов считал, что “се-
годня идеалом (и целью !) в теории функций можно считать дости-
жение такой ситуации, когда мы будем располагать большим числом
различных классов функций и для каждого класса иметь разработан-
ный каталог свойств (метрических и топологических)”. Данная рабо-
та посвящена исследованиям отображений с конечным искажением в
пространстве R
n, n ≥ 2, которые интенсивно изучаются в последнее
десятилетие в работах многих специалистов по теории отображений,
таких как К. Астала, Э. Вилламора, С. Водопьянова, Ф. Геринга,
В. Гутлянского, Т. Иванца, П. Коскела, В. Миклюкова, Дж. Ман-
фреди, Г. Мартина, О. Мартио, В. Рязанова, У. Сребро, П. Тамразо-
ва, Э. Якубова и других.
Статья поступила в редакцию 31.03.2007
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
Е. А. Севостьянов 583
Как известно, в основу определения квазиконформных отображе-
ний, заданных в области D из R
n, n ≥ 2, положено неравенство
M(fΓ) ≤ KM(Γ), (1.1)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области D, где M — мо-
дуль семейства кривых (внешняя мера, определённая на семействах
кривых в R
n), а K ≥ 1 — некоторая постоянная. Другими словами,
модуль любого семейства кривых искажается не более, чем в K раз.
На языке ёмкостей соотношение (1.1) означает, что отображение f
искажает ёмкость любого конденсатора в D не более, чем в K раз.
Предположим теперь, что в основе определения рассматриваемого
класса отображений, вместо соотношения (1.1) лежит неравенство
вида
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x),
где dm(x) — n-мерная мера Лебега, ρ — произвольная неотрицатель-
ная борелевская функция, такая что произвольная кривая γ семей-
ства Γ имеет длину, не меньшую 1 в метрике ρ, а Q : D → [1,∞] — фи-
ксированная вещественнозначная функция. В случае когда Q(x) ≤ K
п.в., мы снова приходим к неравенству (1.1). В общем случае после-
днее неравенство означает, что искажение модуля исходного семей-
ства Γ происходит с некоторым весом Q(x),
M(fΓ) ≤MQ(x)(Γ),
см. [22]. Можно также предполагать, что контролируемым образом
искажаются не все кривые семейства Γ, а, скажем, только некоторые.
Например, семейства кривых, которые соединяют концентрические
сферы с центром в каждой фиксированной точке заданной области.
И в том, и в другом случае речь идёт о классах пространственных
отображений, которые, в случае неограниченной функции Q(x), не
совпадают с классом квазиконформных отображений. Их изучению
в контексте получения оценок искажения расстояния посвящена эта
работа.
Приведём основные определения и обозначения, используемые в
дальнейшем. Всюду далее D — область в R
n, n ≥ 2. Отображение
f : D → R
n называется дискретным, если прообраз f−1 (y) каждой
точки y ∈ R
n состоит из изолированных точек и открытым, если
образ любого открытого множества U ⊆ D является открытым мно-
жеством в R
n. Везде далее запись f : D → R
n предполагает, что ото-
бражение f непрерывно в области задания. Мы также предполагаем,
584 Теория модулей...
что отображение f сохраняет ориентацию, т.е., топологический ин-
декс µ (y, f, G) > 0 для произвольной области G ⋐ D и произвольно-
го y ∈ f(G)\f(∂G). В дальнейшем B(x0, r) = {x ∈ R
n : |x− x0| < r} ,
B(r) = {x ∈ R
n : |x| < r} , B
n = {x ∈ R
n : |x| < 1} , dm(x) — n-мерная
мера Лебега.
Приведённые выше понятия естественным образом распростра-
няются на отображения f : D → Rn, где область D ⊂ R
n и Rn =
R
n ∪ {∞} — одноточечная компактификация R
n.
В 2001 г. О. Мартио предложил к рассмотрению следующее опре-
деление, см. также [1]. Пусть Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу
функция. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является Q-гомео-
морфизмом, если
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x) (1.2)
для любого семейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой фун-
кции ρ ∈ admΓ.
Напомним, что борелева функция ρ : R
n → [0,∞] называется
допустимой для семейства Γ кривых γ в R
n, если
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1
для всех путей γ ∈ Γ. В этом случае мы пишем: ρ ∈ admΓ.
Модулем семейства кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Определение Q-гомеоморфизма можно рассматривать как обоб-
щение геометрического определения квазиконформного отображения
Ю. Вяйсяля на весовые модули, см. [22,23]. Отметим, что оценки типа
(1.2) в случае Q(x) ≡ 1 характеризуют конформные отображения, а
при Q(x) ≤ q — квазиконформные, см., напр., [23, 8.1, 13.1, 34.3]. В
случае, когда непостоянное отображение f не является гомеоморфи-
змом, оценки вида (1.2) при ограниченной функции Q фактически
являются частью определения квазирегулярных отображений (ото-
бражений с ограниченным искажением).
Пусть D — область в Rn, n ≥ 2, E, F ⊆ Rn — произвольные
множества. Обозначим через Γ(E,F,D) семейство всех кривых γ :
[a, b] → Rn, которые соединяют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и
γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b). Положим Γ(E,F ) = Γ(E,F,Rn), если D = Rn.
Е. А. Севостьянов 585
Напомним, что кольцом в Rn называется область R, дополнение к
которой в Rn состоит из двух связных компонент, скажем, C1 и C2.
Коротко это записывают так: R = R(C1, C2). Пусть R = R(C1, C2) —
кольцо в Rn, тогда ёмкость capR кольца R может быть определена
соотношением
capR = M (Γ (C1, C2)) ,
см., напр., теорему 1 главы 2 в [2] и теорему 11.3 в [23].
Следующее понятие, мотивированное кольцевым определением
квазиконформности по Герингу, см. [3], и представляющее собой обоб-
щение и локализацию понятия Q-отображения, впервые было вве-
дено В. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым на плоскости, см.,
напр., [17, 18]. Пусть r0 = dist(x0, ∂D) и пусть Q : D → [0,∞] —
измеримая по Лебегу функция. Положим
A(r1, r2, x0) = {x ∈ R
n : r1 < |x− x0| < r2},
S i = S(x0, ri) = {x ∈ R
n : |x− x0| = ri}, i = 1, 2.
Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является кольцевым Q-гоме-
оморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M (f (Γ (S1, S2, A))) ≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (1.3)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < r0 и
для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1.
Если (1.3) выполнено для каждой точки x0 ∈ D, то f называется
кольцевым Q-гомеоморфизмом.
Следует отметить, что в случае ограниченной функции Q(x) оп-
ределения кольцевого Q-гомеоморфизма и Q-гомеоморфизма экви-
валентны, и, фактически, генерируют собой определение квазикон-
формных отображений, см. знаменитую работу Геринга [3]. В общем
случае каждый Q-гомеоморфизм является кольцевым, но не наобо-
рот: в работе [17] приведены примеры кольцевых Q-гомеоморфизмов
в фиксированной точке x0, таких что Q(x) ∈ (0, 1) на некотором
множестве, для которого x0 является точкой плотности. Мы не бу-
дем здесь останавливаться на указанных связях более детально.
586 Теория модулей...
Пусть D ⊂ R
n, n ≥ 2, и пусть Q : D → [0,∞] — измеримая
по Лебегу функция. Назовём непрерывное сохраняющее ориентацию
отображение f : D → Rn кольцевым Q-отображением в области D,
если соотношение (1.3) выполнено для любого x0 ∈ D. Из определе-
ния ясно, что класс Q-отображений (непрерывных сохраняющих ори-
ентацию отображений, удовлетворяющих модульному условию (1.2))
включается в класс кольцевых Q-отображений. Основным объектом
данной работы с этого момента являются именно кольцевые Q-отоб-
ражения, поскольку все полученные результаты, в силу сказанного,
переносятся на Q-отображения, как тривиальные следствия.
Пусть (X, d) и (X ′, d ′) — метрические пространства с расстоянием
d и d ′ соответственно. Семейство F непрерывных отображений f :
X → X ′ называется нормальным, если из любой последовательности
отображений fm ∈ F можно выделить подпоследовательность fmk
,
которая сходится локально равномерно в X к непрерывной функции
f : X → X ′.
Введенное понятие очень тесно связано со следующим. Семейство
F отображений f : X → X ′ называется равностепенно непрерывным
в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что
d ′(f(x), f(x0)) < ε для всех x с d(x, x0) < δ и для всех f ∈ F. Говорят,
что F равностепенно непрерывно, если F равностепенно непрерывно
в каждой точке из X.
Ниже мы формулируем одну из версий теоремы Арцела–Асколи,
см. [23, 20.4].
Предложение 1.1. Если (X, d) — сепарабельное метрическое про-
странство, а (X ′, d ′) — компактное метрическое пространство, то
семейство F отображений f : X → X ′ нормально тогда и только
тогда, когда F равностепенно непрерывно.
Вопрос об оценках искажения и нормальности семейств для ква-
зиконформных отображений и их обобщений исследовался многими
авторами, такими как Л. Альфорс, П. Белинский, С. Водопьянов,
М. Вуоринен, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринг, В. Гутлянский, С. Крушкаль,
М. Лаврентьев, О. Лехто, В. Миклюков, А. Мори, И. Овчинников,
И. Песин, Ю. Решетняк, С. Рикман, В. Рязанов, Г. Суворов, Б. Ша-
бат и др. Необходимо также отметить вклад в развитие модульной
техники, теории квазиконформных отображений, Q-гомеоморфизмов
и их аналогов в работах С. Водопьянова, В. Гутлянского, А. Игнатье-
ва, О. Мартио, В. Миклюкова, В. Рязанова, У. Сребро, П. Тамразова
и Э. Якубова, см., напр., [1, 4, 6, 11–13,17,18,22,24].
Е. А. Севостьянов 587
В последнее время теория Q-гомеоморфизмов, в основном, разви-
валась, когда функция Q принадлежала известному классу BMO
(ограниченного среднего колебания по Джону–Ниренбергу), см. [11,
12]. В контексте изучения нормальных семейств, автором были сде-
ланы некоторые продвижения, см. [19,20]. В этих работах некоторые
теоремы, аналогичные изложенным в этой статье, получены для го-
меоморфизмов. Основные результаты этой работы сформулированы
в секциях 4, 5 и 6. Отметим, что техника исследования отображений
с ветвлением во многом отличается.
2. Предварительные сведения
В дальнейшем нам понадобятся понятия конденсатора и ёмкости
конденсатора, см., напр., [9, § 5] или раздел 10 главы 2 в [16]. Конден-
сатором называют пару E = (A, C) , где A — открытое множество
в R
n, а C — компактное подмножество A. Конденсатор E называют
кольцевым, если A \ C является кольцом.
Пусть E = (A, C) — конденсатор. Ёмкостью конденсатора E на-
зывается следующая величина:
capE = cap (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|n dm(x), (2.1)
где W0(E) = W0 (A, C) — семейство неотрицательных непрерывных
функций u : A → R с компактным носителем в A, таких что u(x) ≥
1 при x ∈ C и u ∈ ACL. В формуле выше, как обычно, |∇u| =
(
∑n
i=1 (∂iu)
2)
1/2
.
Напомним, что отображение f : D → R
n называется абсолютно
непрерывным на линиях, пишем f ∈ ACL, если в любом n-мерном па-
раллелепипеде P с рёбрами параллельными осям координат и таком,
что P ⊂ D, все координатные функции f = (f1, . . . , fn) абсолютно
непрерывны на почти всех прямых, параллельных осям координат.
Замечание 2.1. Согласно лемме 5.5 в [9],
capE = cap (A, C) = inf
u∈W∞
0 (E)
∫
A
|∇u|n dm(x), (2.2)
где W∞
0 (E) = W0(E) ∩ C∞
0 (A), а C∞
0 (A) — множество веществен-
нозначных, бесконечно дифференцируемых функций с компактным
носителем в A.
Более того, условие u(x) ≥ 1 для каждого x ∈ C может быть
заменено условием u(x) = 1 для каждого x ∈ C или даже условием
u(x) = 1 в некоторой окрестности C, см. замечание 2.2 в [10].
588 Теория модулей...
Замечание 2.2. Пусть E = (A, C) — кольцевой конденсатор. Тогда
capE = cap (A \ C) ,
где в левой части capE означает ёмкость конденсатора, определённая
соотношением (2.1), а в правой части cap (A \ C) — ёмкость кольца
в смысле Геринга, см. лемму 5.6 в [9], см. также [2].
Замечание 2.3. Понятие ёмкости конденсатора в R
n можно перене-
сти в Rn, см. раздел 2.1 в [10].
В дальнейшем в расширенном пространстве Rn = R
n
⋃
{∞} ис-
пользуется сферическая (хордальная) метрика h(x, y) = |π(x)−π(y)|,
где π — стереографическая проекция Rn на сферу Sn(1
2en+1,
1
2) в
R
n+1:
h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
, h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y.
Хордальным диаметром множества E ⊆ Rn называется величина
h(E) = sup
x,y∈E
h(x, y).
Кольцом Тейхмюллера называют кольцо
RT (t) = R([−1, 0], [t,∞]), t > 1.
Сформулируем теперь очень важный результат, принадлежащий Ге-
рингу, см. [2] или [25, 7.37]. Пусть R(E,F ) — произвольное кольцо.
Тогда
cap (R(E,F )) ≥ cap
(
RT
( 1
h (E) h (F )
))
. (2.3)
Как известно, cap (RT (t)) = ωn−1
{ log Φ(t)}n−1 , где ωn−1 — площадь еди-
ничной сферы Sn−1 в R
n, а функция Φ удовлетворяет условиям:
t+1 ≤ Φ(t) ≤ λ2
n·(t+1) < 2λ2
n·t, t > 1, λn ∈ [4, 2en−1), λ2 = 4, λ
1/n
n → e
при n → ∞, см., напр., [2, с. 225–226], (7.19) и (7.22) в [25]. Следова-
тельно, из соотношения (2.3) получаем следующую оценку ёмкости.
Лемма 2.1. Для любых континуумов E и F в Rn имеет место
соотношение:
cap (R(E,F )) ≥
ωn−1[
log 2λ2
n
h(E)h(F )
]n−1 .
Е. А. Севостьянов 589
Лемма 2.2. Предположим, что E = (A,C) — конденсатор, такой
что A ⊂ B(r) и что множество C связно. Тогда имеет место сле-
дующее соотношение:
capE ≥
ωn−1{
log 2λ2
n
h(C)h(Rn \B(r))
}n−1 ,
где ωn−1 — площадь сферы Sn−1 в R
n, λn ∈ [4, 2en−1), λ2 = 4 и λ1/n
n →
e при n→ ∞.
Доказательство. Обозначим через U неограниченную компоненту
множества Rn \ C. Пусть C1 — компакт Rn \ U. Ясно, что C ⊂ C1 и
C1 \ C — открытое множество, состоящее из всех компонент связно-
сти множества Rn \ C за исключением U. Кроме того, известно, что
C1 связно, см., напр., теорему 5, гл. 5, § 46, раздел III в [8, с. 149]. Из
последнего факта следует, что конденсатор E1 = (B(r), C1) является
кольцевым конденсатором, а связными компонентами дополнения со-
ответствующего кольца являются множества C1 и Rn \B(r).
Покажем, что capE ≥ capE 1. Предположим, что функция u ∈
W∞
0 (E) такая, что u(x) = 1 в некоторой окрестности C. Определим
функцию v(x) : R
n → R следующим образом: v(x) = 1 при x ∈ C1 и
v(x) = u(x) в противном случае.
Покажем, что v ∈ W∞
0 (E1). Заметим, что
Rn = U ∪ (C1 \ C) ∪ C.
Точки x0 ∈ U ∩ B(r) не могут быть особыми для функции v и её
производных, ибо U по построению является открытым множеством,
в точках которого v совпадает с u. Аналогично, множество C1 \ C
является открытым, в виду чего v(x) ≡ 1 в некоторой окрестности
каждой точки x0 ∈ C1 \C. Поэтому точки x0 ∈ C1 \C также не могут
быть особенностями функции v(x) и её производных. Наконец, точки
x0 ∈ C не могут быть особыми для v и её производных, поскольку в
некоторой окрестности C мы будем иметь u(x) = v(x) = 1.
Таким образом, v ∈ W∞
0 (E1), откуда, учитывая соотношение (2.2),
будем иметь
capE1 ≤
∫
B(r)
|∇v|n dm(x) ≤
∫
A
|∇u|n dm(x).
Принимая во внимание замечание 2.1, будем иметь capE1 ≤ capE.
Остальная часть доказательства непосредственно вытекает из того,
что E1 — кольцевой конденсатор, замечания 2.2 и леммы 2.1.
590 Теория модулей...
3. Основная лемма об оценке искажения
Следующее понятие можно найти в [16, с. 32], см. секцию 3 гла-
вы II.
Пусть f : D → R
n, n ≥ 2, — открытое дискретное отображение.
Пусть β : [a, b) → R
n — некоторая кривая и пусть x ∈ f−1 (β(a)) .
Кривая α : [a, c) → D называется максимальным поднятием кривой
β при отображении f с началом в точке x, если
(1) α(a) = x;
(2) f ◦ α = β|[a, c);
(3) если c < c′ ≤ b, то не существует кривой α′ : [a, c′) → D, такой
что α = α′|[a, c) и f ◦ α = β|[a, c′).
Пусть f — открытое дискретное отображение и x ∈ f−1 (β(a)) ,
тогда кривая β имеет максимальное поднятие при отображении f с
началом в точке x, см. следствие 3.3 главы 2 в [16]. Нам понадобится
следующее утверждение, см. предложение 10.2 главы II в [16].
Лемма 3.1. Пусть E = (A, C) — произвольный конденсатор в R
n и
пусть ΓE — семейство всех кривых вида γ : [a, b) → A с γ(a) ∈ C и
|γ| ∩ (A \ F ) 6= ∅ для произвольного компакта F ⊂ A. Тогда capE =
M (ΓE) .
Замечание 3.1. Отметим, что заключение леммы 3.1 остаётся спра-
ведливым для конденсаторов из Rn, см. замечание 10.8 главы II в [16].
Говорят, что семейство кривых Γ1 минорируется семейством Γ2,
пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1 существует под-
кривая, которая принадлежит семейству Γ2. Известно, что M(Γ1) ≤
M(Γ2) при Γ1 > Γ2, см., напр., теорему 6.4 в [23].
Лемма 3.2. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть f : D →
Rn — открытое дискретное кольцевое Q-отображение. Предполо-
жим, что
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) · ψn
ε (|x− x0|) dm(x) ≤ F (ε), ∀ ε ∈ (0, ε0), (3.1)
для некоторого x0 ∈ D и 0< ε0< dist(x0, ∂D), где ψε(t), ε ∈ (0, ε0) , —
семейство измеримых (по Лебегу) неотрицательных на (0,∞) фун-
кций, таких что
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψε(t) dt <∞ ∀ ε ∈ (0, ε0).
Е. А. Севостьянов 591
Тогда
cap fE ≤ F (ε)/In (ε) ∀ ε ∈ (0, ε0) , (3.2)
где E = (A, C) , A = B (x0, r0) , C = B(x0, ε), r0 = dist (x0, ∂D) .
Доказательство. Поскольку f — открытое и непрерывное отображе-
ние, то E′ = f E также является конденсатором. Если cap fE = 0, до-
казывать нечего. Пусть cap fE 6= 0. Обозначим через Γ∗
fE семейство
всех спрямляемых кривых ΓfE . Ясно, что кривые из Γ∗
fE не проходят
через ∞. Отметим, что M(Γ∗
fE) = M (ΓfE) = cap fE, см. лемму 3.1 и
замечание 3.1. Заметим также, что каждая кривая γ ∈ Γ∗
fE имеет ма-
ксимальное f -поднятие, лежащее в A с началом в C, см. следствие 3.3
главы 2 в [16]. Пусть Γ∗ — семейство максимальных f -поднятий кри-
вых Γ∗
fE . Покажем, что Γ∗ ⊂ ΓE .
Предположим противное, т.е., что существует кривая β : [a, b) →
R
n семейства Γ∗
fE , для которой соответствующее максимальное по-
днятие α : [a, c) → A лежит в некотором компакте K внутри A. Сле-
довательно, его замыкание α — компакт в A, см., напр., теорему 2
§ 45 в [8, с. 12]. Заметим, что c 6= b, поскольку в противном случае
β — компакт в fA, что противоречит условию β ∈ Γ∗
fE . Рассмотрим
множество
G =
{
x ∈ R
n : x = lim
k→∞
α(tk)
}
, tk ∈ [a, c), lim
k→∞
tk = c.
Проще говоря, G — предельное множество α(t) при t → c− 0. Отме-
тим, что переходя к подпоследовательностям, здесь можно ограни-
читься монотонными последовательностями tk. Для x ∈ G, в силу
непрерывности f, будем иметь f (α(tk)) → f(x) при k → ∞, где
tk ∈ [a, c), tk → c при k → ∞. Однако, f (α(tk)) = β(tk) → β(c)
при k → ∞. Отсюда заключаем, что f постоянна на G в A. С другой
стороны, по условию Кантора в компакте α, см. [8, с. 8–9],
G =
∞⋂
k=1
α ([tk, c)) = lim sup
k→∞
α ([tk, c)) = lim inf
k→∞
α ([tk, c)) 6= ∅
в виду монотонности относительно последовательности связных мно-
жеств α ([tk, c)) и, таким образом, G является связным по I (9.12)
в [26]. Таким образом, в силу дискретности f, G не может состоять
более чем из одной точки, и кривая α : [a, c) → A продолжается до
замкнутой кривой α : [a, c] → K ⊂ A и f (α(c)) = β(c). Снова по
следствию 3.3 главы II в [16] можно построить максимальное подня-
тие α ′ кривой β|[c, b) с началом в точке α(c). Объединяя поднятия α
и α ′, получаем новое поднятие α ′′ кривой β, которое определено на
[a, c′), c ′ ∈ (c, b), что противоречит максимальности поднятия α.
592 Теория модулей...
Таким образом, Γ∗ ⊂ ΓE . Заметим, что Γ∗
fE > fΓ∗, и, следова-
тельно,
M
(
Γ∗
fE
)
≤M (fΓ∗) . (3.3)
Рассмотрим
S ε = S(x0, ε) = {x ∈ R
n : |x− x0| = ε},
S ε0 = S(x0, ε0) = {x ∈ R
n : |x− x0| = ε0},
где ε0 — из условия леммы и ε ∈ (0, ε0) . Заметим, что, поскольку
Γ∗ ⊂ ΓE , то семейство кривых Γ (Sε, Sε0) минорирует семейство Γ∗ и,
следовательно, fΓ (Sε, Sε0) минорирует fΓ∗ и, потому
M (fΓ∗) ≤M (f (Γ (Sε, Sε0))) . (3.4)
Из соотношения (3.3) и (3.4) следует, что
M
(
Γ∗
fE
)
≤M (f (Γ (Sε, Sε0))) (3.5)
и, таким образом,
cap fE ≤M (f (Γ (Sε, Sε0))) . (3.6)
Рассмотрим семейство измеримых функций
ηε(t) = ψε(t)/I(ε), t ∈ (ε, ε0).
Заметим, что
ε0∫
ε
ηε(t) dt = 1.
Тогда по определению кольцевого Q-отображения
M (f (Γ (Sε, Sε0))) ≤
1
In(ε)
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) · ψn
ε (|x− x0|) dm(x). (3.7)
Наконец, из соотношений (3.1), (3.6) и (3.7) следует соотношение
(3.2). Лемма 3.2 доказана.
Аналоги следующей леммы доказывались в работах [19, 20] для
гомеоморфизмов.
Е. А. Севостьянов 593
Лемма 3.3. Пусть f : D → R
n, n ≥ 2, — открытое дискретное
кольцевое Q-отображение, такое что D ′ = f(D) ⊂ B(r) с h(Rn \
B(r)) ≥ δ > 0. Предположим, что для x0 ∈ D и 0 < ε0 < dist(x0, ∂D)
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) ·ψn
ε (|x−x0|) dm(x) ≤ K · Ip(ε), ∀ ε ∈ (0, ε0), (3.8)
где p ≤ n и ψε(t), ε ∈ (0, ε0) , — семейство измеримых (по Лебегу)
неотрицательных на (0,∞) функций, таких что
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψε(t) dt <∞, ∀ ε ∈ (0, ε0).
Тогда
h(f(x), f(x0)) ≤
αn
δ
exp{−βnI
γn,p(|x− x0|)}
для всех x ∈ B(x0, ε0), где
αn = 2λ2
n, βn =
(ωn−1
K
) 1
n−1
, γn,p = 1 −
p− 1
n− 1
, (3.9)
λn ∈ [4, 2en−1), λ2 = 4 и λ
1/n
n → e при n→ ∞.
Доказательство. Рассмотрим конденсатор E = (A, C), где A =
B(x0, r0), C = B(x0, ε), ε < ε0. По лемме 3.2 будем иметь
cap fE ≤ K · Ip−n (ε) . (3.10)
Поскольку fA ⊂ B(r), в силу леммы 2.2, примененной к конден-
сатору fE, будем иметь
cap fE ≥
ωn−1{
log 2λ2
n
h(fC)h(Rn \B(r))
}n−1 , (3.11)
где ωn−1 — площадь сферы Sn−1 в R
n, λn ∈ [4, 2en−1), λ2 = 4 и
λ
1/n
n → e при n → ∞. Поскольку по условию h
(
Rn \B(r)
)
≥ δ, из
(3.10) и (3.11) будем иметь
h (fC) ≤
2λ2
n
δ
exp
{
−
(ωn−1
K
) 1
n−1
(I(ε))
p−n
n−1
}
.
Принимая обозначения αn = 2λ2
n, βn =
(ωn−1
K
) 1
n−1 , γn,p = 1 − p−1
n−1 ,
получим
h (fC) ≤
αn
δ
exp {−βnI
γn,p(ε)}. (3.12)
594 Теория модулей...
Пусть теперь x ∈ D такое, что |x − x0| = ε, 0 < ε < ε0. Тогда
x ∈ B (x0, ε) и f(x) ∈ f(B (x0, ε)) = fC и из (3.12) имеем оценку
h (f(x), f(x0)) ≤
αn
δ
exp {−βnI
γn,p(|x− x0|)} ∀ ε ∈ (0, ε0). (3.13)
В силу произвольности ε ∈ (0, ε0) , (3.13) имеет место во всём шаре
B(x0, ε0).
Следствие 3.1. В условиях леммы 3.3, при p = 1
h(f(x), f(x0)) ≤
αn
δ
exp{−βnI(|x− x0|)}.
4. Оценки искажения расстояния при
кольцевых Q-отображениях
Теорема 4.1. Пусть f : D → B
n, n ≥ 2, — открытое дискретное
кольцевое Q-отображение. Если
qx0(r) ≤
[
log
1
r
]n−1
(4.1)
для r < ε0 = ε(x0) < r0 = dist(x0, ∂D), где qx0(r) — среднее инте-
гральное значение Q над сферой |x− x0| = r, то
h(f(x), f(x0)) ≤ αn
log 1
ε(x0)
log 1
|x−x0|
(4.2)
для всех x ∈ B(x0, ε(x0)).
Доказательство. Заметим, что
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) dm(x)(
|x− x0| log 1
|x−x0|
)n
=
ε0∫
ε
( ∫
|x−x0|=r
Q(x) dm(x)(
|x− x0| log 1
|x−x0|
)n dS
)
dr
≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
r log 1
r
= ωn−1 log
log 1
ε
log 1
ε0
= ωn−1 · I(ε).
Таким образом, соотношение (4.2) следует из леммы 3.3 при p = 1,
K = ωn−1 и ψε(t) ≡
1
t log 1
t
, ε ∈ (0, ε0) .
Е. А. Севостьянов 595
Следствие 4.1. В частности, если
Q(x) ≤
[
log
1
|x− x0|
]n−1
, ∀x ∈ B(x0, ε(x0)), (4.3)
то соотношение (4.2) имеет место в шаре B(x0, ε(x0)).
Замечание 4.1. Если вместо соотношений (4.1) и, соответственно,
(4.3) выполнены соотношения qx0(r) ≤ c · [log 1
r ]
n−1
и, соответственно,
Q(x) ≤ c ·
[
log 1
|x−x0|
]n−1
, то
h(f(x), f(x0)) ≤
αn
δ
[ log 1
ε(x0)
log 1
|x−x0|
]1/c1/(n−1)
.
Говорят, что функция ϕ : D → R с ϕ ∈ L1
loc(D) имеет ограничен-
ное среднее колебание в области D, ϕ ∈ BMO, если
‖ϕ‖∗ = sup
B⊂D
1
|B|
∫
B
|ϕ(x) − ϕB| dm(x) <∞,
где точная верхняя грань берётся по всем шарам B ⊂ D и ϕB =
1
|B|
∫
B ϕ(x) dm(x) — среднее значение функции ϕ на шаре B, см.,
напр., [7].
С целью упрощения записи, мы обозначаем в дальнейшем
−
∫
A
f(x) dm(x) :=
1
|A|
∫
A
f(x) dm(x),
где, как обычно, |A| обозначает лебегову меру множества A ⊆ R
n.
Хорошо известно, что L∞(D) ⊂ BMO(D) ⊂ Lp
loc(D), см., напр., [7].
Следуя работе [6], введём следующие определения.
Будем говорить, что функция ϕ : D → R имеет конечное среднее
колебание в точке x0 ∈ D, пишем ϕ ∈ FMO(x0), если
lim sup
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x) − ϕε| dm(x) <∞, (4.4)
где ϕε = −
∫
B(x0, ε) ϕ(x) dm(x). Заметим, что при выполнении условия
(4.4) возможна ситуация, когда ϕε → ∞ при ε → 0. Также будем
говорить, что ϕ : D → R – функция конечного среднего колебания
в области D, пишем ϕ ∈ FMO(D), или ϕ ∈ FMO, если ϕ имеет
596 Теория модулей...
конечное среднее колебание в каждой точке x ∈ D. В частности, если
в точке x0 ∈ D выполнено соотношение
lim sup
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
|ϕ(x)| dm(x) <∞,
то функция ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0. Очеви-
дно, BMO ⊂ FMO. Заметим, что FMO 6= BMOloc, см. [18]. Версию
следующей леммы см., напр., в [6], см. [19,20].
Лемма 4.1. Пусть ϕ : D → R, n ≥ 2, — неотрицательная функция,
имеющая конечное среднее колебание в точке 0 ∈ D. Тогда
∫
ε<|x|<ε0
ϕ(x) dm(x)(
|x| log 1
|x|
)n = O
(
log log
1
ε
)
при ε→ 0 и для некоторого ε0 ≤ dist (0, ∂D).
Теорема 4.2. Пусть f : D → B
n, n ≥ 2, — открытое дискретное
кольцевое Q-отображение. Если функция Q(x) имеет конечное сре-
днее колебание в точке x0 ∈ D, то
h(f(x), f(x0)) ≤ αn ·
{
log 1
ε0
log 1
|x−x0|
}β0
для x ∈ B (x0, ε0) при некотором ε0 < dist(x0, ∂D), где αn зависит
только от n и β0 > 0 зависит только от функции Q.
Доказательство. Пусть ε0 < min{e−1, dist(x0, ∂D)}. Предположим,
что функция Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈
D. Тогда на основании леммы 4.1, для функции ψ(t) = 1
t log 1
t
будем
иметь, что
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) · ψn(|x− x0|) dm(x)
=
∫
ε<|y|<ε0
Q(x0 + y) · ψn(|y|) dm(y)
=
∫
ε<|y|<ε0
Q(x0 + y)(
|y| log 1
|y|
)n dm(y) = O
(
log log
1
ε
)
. (4.5)
Здесь мы воспользовались тем, что функция Q1(y) := Q(y+x0) имеет
конечное среднее колебание в точке 0.
Е. А. Севостьянов 597
Заметим, что
I(ε) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt = log
(
c log
1
ε
)
, (4.6)
где c = 1
log 1
ε0
. На основании соотношений (4.5) и (4.6) теперь получа-
ем, что для выбранной функции ψ в точности выполнено соотноше-
ние (3.8) с p = 1. Оставшаяся часть утверждения следует теперь из
леммы 3.3.
Замечание 4.2. Пусть f : D → B
n, n ≥ 2, — открытое дискретное
кольцевое Q-отображение и пусть дополнительно Q(x) ≥ 1 п.в. в D.
Тогда для каждой точки x ∈ B(x0, ε(x0)), ε(x0) < dist(x0, ∂D), и для
любого β ≥ 1/(n− 1)
h(f(x), f(x0)) ≤ αn · exp
{
−
ε(x0)∫
|x−x0|
dr
rqβ
x0(r)
}
, (4.7)
где αn задаётся соотношением (3.9) и qx0(r) — среднее интегральное
значение функции Q(x) над сферой |x− x0| = r.
Действительно, обозначая ε0 = ε(x0) и
ψ(t) =
1
tqβ
x0
(t)
, t ∈ (0, ε0),
0, t ∈ [ε0,∞),
получаем при Q(x) ≥ 1 п.в. оценку
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) · ψn(|x− x0|) dm(x) ≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
rqβ
x0(r)
,
и заключение теоремы следует из леммы 3.3 с p = 1 и K = ωn−1.
Конечно, среднее значение qx0(r) функции Q(x) на некоторых
сферах |x−x0| = r может быть бесконечно. Однако, скажем, по теоре-
ме Фубини, см., напр., [21], qx0(r) измерима по параметру r, поскольку
Q(x) измерима по x. Более того,
∫ ε(x0)
|x−x0|
dr
rqβ
x0
(r)
< ∞ для x 6= x0, т.к.
qx0(r) ≥ 1. Интеграл в (4.7) может быть равен 0, если qx0(r) = ∞ п.в.,
но в таком случае неравенство (4.7) очевидно, ибо αn ≥ 32 и δ ≤ 1,
а h(f(x), f(x0)) не превосходит 1.
598 Теория модулей...
Обозначим через FQ(D) класс всех открытых дискретных коль-
цевых Q-отображений f : D → B
n, n ≥ 2.
Теорема 4.3. Класс FQ(D) образует нормальное семейство отобра-
жений в Rn, если выполнено одно из следующих условий:
1) Q ∈ FMO(D);
2) для каждого x0 ∈ D, lim sup
ε→0
−
∫
B(x0, ε)Q(x) dm(x) <∞;
3) каждая точка x0 ∈ D является точкой Лебега функции Q(x);
4) Q(x) ≥ 1 п.в. и условие расходимости интеграла
∫ ε(x0)
0
dr
rqβ
x0
(r)
=
∞ при некотором β ≥ 1/(n−1), например, при β = 1 в каждой
точке x0 ∈ D, где ε(x0) < dist(x0, ∂D), а qx0(r) обозначает
среднее интегральное значение функции Q(x) над сферой |x −
x0| = r;
5) Q(x) имеет особенности логарифмического типа порядка не
выше, чем n− 1, в каждой точке x ∈ D.
5. Равностепенная непрерывность и нормальность
семейств в случае неограниченной области
Здесь нам понадобится понятие множества нулевой ёмкости, см.,
напр., [10] или [16].
Говорят, что компактное множество E в R
n, n ≥ 2, имеет нулевую
ёмкость, пишем capE = 0, если существует ограниченное открытое
множество A с E ⊂ A такое, что cap(A,E) = 0. Ю. Решетняк доказал,
см. [14], что в последнем случае и для любого другого ограниченного
открытого A, содержащего E, выполнено cap(A,E) = 0. В противном
случае, если существует открытое множество A с E ⊂ A такое, что
ёмкость cap(A,E) > 0, полагаем capE > 0. Легко видеть, что если E
является одноточечным множеством, E = {a} , то оно имеет ёмкость
нуль.
Аналогично тому, как последнее определение введено в R
n, можно
определить понятие множества ёмкости нуль в Rn, см., напр., раздел
2.12 в [10]. Следующая лемма, см. лемму 3.11 в [10] или лемму 2.6
главы III в [16], играет одну из ключевых ролей во всех дальнейших
рассуждениях.
Лемма 5.1. Предположим, что E — компактное собственное под-
множество Rn, такое что capE > 0. Тогда для каждого a > 0
Е. А. Севостьянов 599
существует положительное число δ > 0 такое, что
cap
(
Rn \ E, C
)
≥ δ (5.1)
где C — континуум в Rn \ E с h(C) ≥ a.
Лемма 5.2. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть E ⊂ Rn —
компактное множество положительной ёмкости. Пусть FQ — се-
мейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений f : D →
Rn \ E. Предположим, что
∫
ε<|x−x0|<ε0
Q(x) ·ψn
ε (|x−x0|) dm(x) = o (In (ε)) , ∀ ε ∈ (0, ε0) (5.2)
для некоторой точки x0 ∈ D, 0 < ε0 < dist(x0, ∂D), где ψε(t) —
семейство измеримых (по Лебегу) неотрицательных на (0,∞) функ-
ций, таких что
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψε(t) dt <∞, ∀ ε ∈ (0, ε0).
Тогда семейство отображений FQ равностепенно непрерывно в точ-
ке x0.
Доказательство. Выберем произвольно число a > 0. Для этого чи-
сла найдётся число δ = δ(a), для которого выполнено условие лем-
мы 5.1. Рассмотрим конденсатор E = (A, C), A = B (x0, r0) , C =
B(x0, ε), а r0 = dist (x0, ∂D) . Используя оценку (3.2) из леммы 3.2,
из условия (5.2) получаем
cap fE ≤ α(ε) ∀ ε ∈ (0, ε0),
где α(ε) → 0 при ε → 0. Тогда для числа δ = δ(a) найдётся ε∗ = ε∗(a)
такое, что
cap fE ≤ δ ∀ ε ∈ (0, ε∗(a)) . (5.3)
Используя соотношение (5.3), будем иметь
cap
(
Rn \ E, f
(
B(x0, ε)
))
≤ cap
(
f (B(x0, r0)) f
(
B(x0, ε)
))
≤ δ (5.4)
при ε ∈ (0, ε∗(a)) .
Тогда из леммы 5.1 следует, что h
(
f
(
B(x0, ε)
))
< a. Окончатель-
но, для любого a > 0 существует ε∗ = ε∗(a) такое, что h
(
f
(
B(x0, ε)
))
< a как только ε ∈ (0, ε∗(a)) . Лемма доказана.
600 Теория модулей...
Сформулируем теперь две важнейших теоремы этой работы, спра-
ведливость которых теперь легко следует из леммы 5.2.
Теорема 5.1. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть E ⊂ Rn —
компактное множество положительной ёмкости. Пусть FQ — се-
мейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений f : D →
Rn \ E с Q ∈ FMO(D). Тогда FQ образует нормальное семейство
отображений.
Доказательство. Зафиксируем точку x0 ∈ D и положим ψ(t) =
1
t log 1
t
. Тогда из леммы 4.1 следует, что в каждой точке x0 ∈ D для
функции Q(x) выполнено условие (5.2) из леммы 5.2. Нормальность
семейства FQ следует теперь из версии теоремы Арцела–Асколи,
сформулированной в предложении 1.1.
Теорема 5.2. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть E ⊂ Rn —
компактное множество положительной ёмкости. Пусть FQ — се-
мейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений f : D →
Rn \ E. Предположим, что
qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1)
при r → 0 для произвольного x0 ∈ D. Тогда FQ образует нормальное
семейство отображений.
Доказательство. Выбирая в лемме 5.2 ψε(t) ≡ 1
t log 1
t
, получаем
справедливость утверждения по предложению 1.1.
6. Об отображениях с конечным искажением длины
Напомним некоторые определения. Пусть D — область в R
n, n ≥
2. Отображение f : D → R
n называется отображением с ограничен-
ным искажением, если f непрерывно, f ∈ W 1,n
loc , якобиан J(x, f) не
меняет знак в D и
‖f ′ (x) ‖
n
≤ K · |J (x, f) | п.в. (6.1)
для некоторого числа K ≥ 1, см. [9, 14, 15]. Если условие (6.1) заме-
нить более общим условием ‖f ′ (x) ‖n ≤ K(x)·|J (x, f) | п.в. с конечной
функцией K(x), то получится одно из определений отображения с
конечным искажением, см. [5].
Е. А. Севостьянов 601
Следуя [11], говорим, что непрерывное отображение f : D →
R
n, n ≥ 2, является отображением с конечным метрическим иска-
жением, пишем f ∈ FMD, если f обладает (N)-свойством Лузина
и
0 < l (x, f) ≤ L (x, f) <∞ п.в.,
где
L (x, f) = lim sup
y→x, y∈D
|f (x) − f (y) |
|y − x|
, l (x, f) = lim inf
y→x, y∈D
|f (x) − f (y) |
|y − x|
.
Напомним, что отображение f : X → Y между пространствами с ме-
рой (X,Σ, µ) и (X ′,Σ′, µ′) обладает (N)-свойством, если µ′ (f (S)) = 0
как только µ (S) = 0. Аналогично, f обладает
(
N−1
)
-свойством, если
µ (S) = 0 как только µ′ (f (S)) = 0.
Пусть ∆ ⊆ R — открытый интервал числовой прямой, γ : ∆ →
R
n — локально спрямляемая кривая. Тогда существует единствен-
ная неубывающая функция длины lγ : ∆ → ∆γ ⊆ R с условием
lγ(t0) = 0, t0 ∈ ∆, такая что значение lγ(t) равно длине подкривой
γ |[t0, t] кривой γ, если t > t0 и −l
(
γ |[t, t0]
)
, если t < t0, t ∈ ∆. Пусть
g : |γ| → R
n — непрерывное отображение, где |γ| = γ(∆) ⊆ R
n .
Предположим, что кривая γ̃ = g ◦ γ также локально спрямляема. То-
гда существует единственная неубывающая функция Lγ, g : ∆γ → ∆γ̃
такая, что Lγ, g (lγ (t)) = lγ̃ (t) ∀ t ∈ ∆. Будем говорить, что отображе-
ние f : D → R
n обладает (L)-свойством, если выполнены следующие
условия:
(L1) для п.в. кривых γ ∈ D кривая γ̃ = f ◦γ локально спрямляема
и функция Lγ, f обладает (N)-свойством;
(L2) для п.в. кривых γ̃ ∈ f (D) каждое поднятие γ кривой γ̃ ло-
кально спрямляемо и функция Lγ, f обладает
(
N−1
)
-свойством.
Здесь кривая γ ∈ D называется поднятием кривой γ̃ ∈ R
n при
отображении f : D → R
n, если γ̃ = f◦γ. Говорят, что некоторое свой-
ство выполнено для почти всех кривых области D, если оно имеет
место для всех кривых, лежащих в D, кроме, быть может, некоторого
их семейства, модуль которого равен нулю.
Следуя [11], говорим, что отображение f : D → R
n, n ≥ 2, являе-
тся отображением с конечным искажением длины, пишем f ∈ FLD,
если f ∈ FMD и обладает (L)-свойством.
Заметим, что развитая выше теория применима к семействам ото-
бражений f : D → R
n с конечным искажением длины, посколь-
ку отображения класса FLD являются Q-отображениями с Q(x) =
KI(x, f), где KI(x, f) — внутренняя дилатация отображения f в то-
чке x ∈ D, см. теорему 6.10 в [11, ].
602 Теория модулей...
Для отображения f : D → R
n, имеющего в D частные произво-
дные почти всюду, пусть f ′(x) — якобиева матрица отображения f в
точке x, J(x, f) — якобиан отображения f в точке x, т.е. детерминант
f ′(x). Пусть, кроме того, l (f ′(x)) = minh∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h| . Напомним,
что внутренняя дилатация отображения f в точке x есть величина
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))n ,
если J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в
остальных точках.
Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть E ⊂ R
n — компактное
множество положительной ёмкости. Обозначим через LQ,E(D) семей-
ство всех открытых дискретных отображений конечного искажения
длины f : D → R
n \ E, таких, что KI (x, f) ≤ Q(x) п.в.
Теорема 6.1. Если Q ∈ FMO(D), то семейство отображений
LQ,E(D) нормально в Rn.
Следствие 6.1. Семейство отображений LQ,E(D) нормально в Rn,
если
lim sup
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Q(x) dm(x) <∞, ∀x0 ∈ D.
Теорема 6.2. Семейство LQ,E(D) нормально в Rn, если при r → 0
qx0(r) = O
((
log
1
r
)n−1)
, ∀x0 ∈ D,
где qx0(r) — среднее интегральное значение Q над сферой |x−x0| = r.
Следствие 6.2. Семейство отображений LQ,E(D) нормально в Rn,
если функция Q(x) имеет в каждой точке x0 ∈ D только логари-
фмические особенности порядка не выше, чем n− 1.
Литература
[1] C. J. Bishop, V. Ya. Gutlyanskii, O. Martio, M. Vuorinen, On conformal dilatation
in space // Intern. Journ. Math. and Math. Scie., 22 (2003), 1397–1420.
[2] F. W. Gehring, Quasiconformal mappings, Complex Analysis and its Applicati-
ons, V. 2., International Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
[3] F. W. Gehring, Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer.
Math. Soc., 103 (1962), 353–393.
[4] В. Я. Гутлянский, В. И. Рязанов, К теории локального поведения квазикон-
формных отображений // Известия РАН. Сер. Мат., 59 (1995), N 3, 31–58.
Е. А. Севостьянов 603
[5] T. Iwaniec and G. Martin, Geometrical Function Theory and Non-Linear
Analysis, Oxford: Clarendon Press, 2001.
[6] А. Игнатьев и В. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории отображе-
ний // Укр. матем. вестник, 2 (2005), N 3, 395–417.
[7] F. John, and L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation // Comm.
Pure Appl. Math., 14 (1961), 415–426.
[8] К. Куратовский, Топология, т. 2. М.: Мир, 1969, 624 с.
[9] O. Martio, S. Rickman, and J. Vaisala, Definitions for quasiregular mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 448 (1969), 1–40.
[10] O. Martio, S. Rickman, and J. Vaisala, Distortion and singularities of quasiregular
mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 465 (1970), 1–13.
[11] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, Mappings with finite length
distortion // J. d’Anal. Math., 93 (2004), 215–236.
[12] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, On Q-homeomorphisms //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1, 30 (2005), N 1, 49–69.
[13] В. М. Миклюков, Относительное расстояние М.А. Лаврентьева и про-
стые концы на непараметрических поверхностях // Укр. матем. вестник, 1
(2004), N 3, 349–372.
[14] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искаже-
нием // Сиб. матем. ж., 8 (1967), N 3, 629–658.
[15] Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искаже-
нием, Новосибирск: Наука, 1982.
[16] S. Rickman, Quasiregular mappings, Results in Mathematic and Related Areas
(3), 26. Berlin: Springer-Verlag, 1993.
[17] V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, On ring solutions of Beltrami equati-
ons // J. d’Anal. Math., 96 (2005), 117–150.
[18] V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, The Beltrami equation and ring
homeomorphisms // Ukrain. Math. Bull., 4 (2007), N 1, 79–115.
[19] В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, Равностепенно непрерывные классы коль-
цевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. матем. ж., 48 (2007), N 6, 1361–1376.
[20] В. И. Рязанов и Е. А. Севостьянов, Нормальные семейства пространствен-
ных отображений // Сиб. электр. матем. известия, www.math.semr.nsc.ru, 3
(2006), 216–231.
[21] S. Saks, Theory of the integral, New York: Dover Publ. Inc., 1937.
[22] П. М. Тамразов, Модули и экстремальные метрики в неориентированных
и скрученных римановых многообразиях // Укр. матем. ж., 50 (1998), N 10,
1388–1398.
[23] J. Vaisala, Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings, Lecture Notes
in Math. 229. Berlin etc.: Springer–Verlag, 1971.
[24] С. К. Водопьянов, Отображения с ограниченным и конечным искажением
на группах Карно // Сиб. матем. ж., 40 (1999), N 4, 768–804.
[25] M. Vuorinen, Conformal Geometry and Quasiregular Mappings, Lecture Notes in
Math. 1319. Berlin etc.: Springer–Verlag, 1988.
[26] G. T. Whyburn, Analytic topology, American Mathematical Society, Rhode
Island, 1942.
604 Теория модулей...
Сведения об авторах
Евгений
Александрович
Севостьянов
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины
ул. Розы Люксембург, 74
83114, Донецк
Украина
E-Mail: sevostyanov@skif.net,
e_sevostyanov@rambler.ru,
sevostyanov@iamm.ac.donetsk.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124533 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:59Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Севостьянов, Е.А. 2017-09-29T05:54:00Z 2017-09-29T05:54:00Z 2007 Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление / Е.А. Севостьянов // Український математичний вісник. — 2007. — Т. 4, № 4. — С. 582-604. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30C65, 30C75. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124533 В статье изучаются Q-отображения, допускающие наличие точек ветвления, пространственные отображения, удовлетворяющие модульным неравенствам. Доказано, что семейство открытых дискретных кольцевых Q-отображений, опускающих множество положительной ёмкости, нормально при условии, что Q имеет конечное среднее колебание в каждой точке, либо имеет лишь логарифмические особенности порядка не выше, чем n − 1. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление Article published earlier |
| spellingShingle | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление Севостьянов, Е.А. |
| title | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| title_full | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| title_fullStr | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| title_full_unstemmed | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| title_short | Теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| title_sort | теория модулей, ёмкостей и нормальные семейства отображений, допускающих ветвление |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124533 |
| work_keys_str_mv | AT sevostʹânovea teoriâmoduleiemkosteiinormalʹnyesemeistvaotobraženiidopuskaûŝihvetvlenie |