Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860114589618798592 |
|---|---|
| author | Філевич, П.В. Шеремета, М.М. |
| author_facet | Філевич, П.В. Шеремета, М.М. |
| citation_txt | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:35:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 187 – 198
Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне
поводження рядiв Дiрiхле
Петро В. Фiлевич та Мирослав М. Шеремета
Анотацiя. У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i
нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної
збiжностi.
2000 MSC. 30B50.
Ключовi слова та фрази. Ряд Дiрiхле, порядок, нижнiй порядок,
теорема Л. Сонс.
1. Вступ
Для цiлої функцiї
f(z) =
∞
∑
n=0
anzλn , z = reiθ, (1.1)
нехай Mf (r) = max{|f(z)| : |z| = r}, а
̺ = lim
r→+∞
ln lnMf (r)
ln r
, λ = lim
r→+∞
ln lnMf (r)
ln r
—
вiдповiдно її порядок та нижнiй порядок. Дж. Уiттекер [1] довiв, що
λ ≤ ̺β, β := lim
n→∞
lnλn
lnλn+1
. (1.2)
Для аналiтичної в крузi {z : |z| < 1} функцiї вигляду (1.1) порядок
̺0 i нижнiй порядок λ0 визначаються вiдповiдно рiвностями
̺0 = lim
r↑1
ln lnMf (r)
− ln(1 − r)
, λ0 = lim
r↑1
ln lnMf (r)
− ln(1 − r)
.
Стаття надiйшла в редакцiю 8.10.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
188 Про одну теорему Л. Сонс...
За умови ̺0 ∈ (0, +∞) у статтi [2] Л. Сонс стверджує, що
λ0 + 1 ≤ (̺0 + 1)β. (1.3)
Тут ми покажемо, що ця нерiвнiсть є неправильною, i доведемо, що
для аналiтичних в одиничному крузi функцiй правильним є повний
аналог нерiвностi Уiттекера.
Оскiльки ряди Дiрiхле з невiд’ємними зростаючими до +∞ показ-
никами є безпосереднiм узагальненням лакунарних степеневих рядiв
вигляду (1.1), то природно розглянути задачу про можливiсть уза-
гальнення теореми Уiттекера для рядiв Дiрiхле з довiльною абсци-
сою абсолютної збiжностi, а звiдси отримати рiзнi аналоги нерiвностi
(1.2) для степеневих рядiв, зокрема, для аналiтичних в одиничному
крузi функцiй вигляду (1.1).
Отже, нехай (λn) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть невiд’ємних
чисел (λ0 = 0), а ряд Дiрiхле
F (s) =
∞
∑
n=0
an exp{sλn}, s = σ + it (1.4)
має абсцису абсолютної збiжностi σa = A ∈ (−∞, +∞]. Для σ < A
нехай µ(σ, F ) = max{|an| exp (σλn) : n ≥ 0} — максимальний член
ряду (1.4), а M(σ, F ) = sup{|F (σ + it)| : t ∈ R}.
Через Ω(A) позначимо клас додатних, необмежених на (−∞, A)
функцiй Φ, для яких похiдна Φ′ є додатною, неперервно диференцi-
йовною i зростаючою до +∞ на (−∞, A) функцiю. Для Φ ∈ Ω(A)
нехай ϕ — функцiя, обернена до Φ′, а Ψ(σ) = σ − Φ(σ)/Φ′(σ) — фун-
кцiя, асоцiйована з Φ за Ньютоном. Тодi [3,4] функцiя Ψ є неперервно
диференцiйовною i зростаючою до A на (−∞, A), а функцiя ϕ є не-
перервно диференцiйовною i зростаючою до A на (0, +∞).
Для функцiї Φ ∈ Ω(A) i чисел 0 ≤ a < b < +∞ покладемо
G1(a, b,Φ) =
ab
b − a
b
∫
a
Φ(ϕ(t))
t2
dt, G2(a, b,Φ) = Φ
(
1
b − a
b
∫
a
ϕ(t) dt
)
.
Тодi [5] G1(a, b,Φ) < G2(a, b,Φ) i G2(λn, λn+1, Φ) = Φ(κn), де
κn =
1
λn+1 − λn
λn+1
∫
λn
ϕ(t) dt.
Основним результатом нашої статтi є таке твердження.
П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 189
Теорема 1.1. Нехай ряд Дiрiхле (1.4) має абсцису абсолютної збi-
жностi σa = A ∈ (−∞, +∞] i lnµ(σ, F ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ∈ [σ0, A),
де Φ ∈ Ω(A). Тодi
lim
σ↑A
lnµ(σ, F )
Φ(σ)
≤ lim
n→∞
G1(λn, λn+1, Φ)
G2(λn, λn+1, Φ)
. (1.5)
Якщо, крiм того, функцiя Φ ∈ Ω(A) задовольняє умову
Q(σ) +
(Φ′′(σ)Φ(σ)
Φ′(σ)2
− 1
)
lnΦ(σ) ≥ q > −∞, σ ∈ [σ0, A), (1.6)
де Q(σ) ≡ 0, якщо A < +∞, i Q ≡ lnσ, якщо A = ∞, то
lim
σ↑0
ln lnµ(σ, F )
lnΦ(σ)
≤ lim
n→∞
lnG1(λn, λn+1, Φ)
lnG2(λn, λn+1, Φ)
. (1.7)
2. Спростування теореми Л. Сонс
Нехай µf (r) = max{|an|rλn : n ≥ 1} — максимальний член ряду
(1.1). Оскiльки ln r = −(1 + o(1))(1 − r), r ↑ 1, i для аналiтичної в
{z : |z| < 1} функцiї (1.1) виконуються нерiвностi
µf (r) ≤ Mf (r) ≤ 1 + r
1 − r
µf
(r + 1
2
)
,
то
̺0 = lim
r↑1
ln lnµf (r)
ln(1/| ln r|) , λ0 = lim
r↑1
ln lnµf (r)
ln(1/| ln r|) .
Для спростування нерiвностi (1.3) розглянемо степеневий ряд (1.1)
з довiльною послiдовнiстю натуральних показникiв (λn) i коефiцiєн-
тами an = exp{
√
λn}. Зрозумiло, що радiус збiжностi такого ряду
дорiвнює 1, lnµf (r) ≤ max{√x + x ln r : x ≥ 0} = 1/(4| ln r|), тобто
̺0 ≤ 1. З iншого боку, для rn = exp{−1/(2
√
λn)} маємо
̺0 ≥ lim
n→+∞
ln(ln an + λn ln rn)
ln(1/| ln rn|)
= lim
n→+∞
ln(
√
λn −
√
λn/2)
ln(2
√
λn)
= 1,
так що ̺0 = 1. Далi,
κn =
ln |an| − ln |an+1|
λn+1 − λn
= − 1
√
λn+1 +
√
λn
↑ 0, n → ∞,
i тому lnµf (r) = ln an + λn ln r =
√
λn + λn ln r для r ∈ [eκn−1 , eκn ].
Для таких r розглянемо функцiю
B(ln r) =
ln lnµf (r)
ln(1/| ln r|) − ln 4
=
ln(
√
λn + λn ln r)
ln(1/| ln r|) − ln 4
.
190 Про одну теорему Л. Сонс...
Легко перевiрити, що для σ ∈ (κn−1, κn)
B′(σ) =
λn|σ|(ln(1/|σ|) − ln 4) − (
√
λn + σλn) ln(
√
λn + σλn)
|σ|(
√
λn + σλn)(ln(1/|σ|) − ln 4)2
=
P (σ)
Q(σ)
.
Оскiльки κn−1 < σn = ln rn = −1/(2
√
λn) < κn, P (σn) = 0 i P ′(σ) =
−λn(ln(1/|σ|)− ln 4 + ln(
√
λn + σλn)) < 0, то функцiя B на [κn−1, κn]
має єдину точку екстремуму (максимуму) σ = σn, а min{B(σ) : σ ∈
[κn−1, κn]}= min{B(κn−1), B(κn)}. Звiдси випливає, що limσ↑0 B(σ)=
limn→∞ B(κn) i, отже,
λ0 = lim
r↑1
ln lnµf (r)
ln(1/| ln r|) − ln 4
= lim
r↑1
B(ln r) = lim
n→∞
ln lnµf (exp{κn})
ln(1/| ln κn|)
= lim
n→∞
ln(
√
λn + λn exp{−1/(λn+1 + λn)})
ln(λn+1 + λn)
= lim
n→∞
lnλn
lnλn+1
= β.
Якби нерiвнiсть (1.3) була правильною, то для побудованої функцiї
ми мали б нерiвнiсть β + 1 ≤ 2β, що можливо тiльки за умови β = 1.
Отже, наведена Л. Сонс нерiвнiсть (1.3) неправильна.
3. Порiвняльний ряд Дiрiхле i доведення теореми
Для функцiї Φ ∈ Ω(A) з A ∈ (−∞, +∞] порiвняльним рядом Дi-
рiхле будемо називати ряд
Fc(s) =
∞
∑
n=0
exp{−λnΨ(ϕ(λn)) + sλn}. (3.1)
Ряд (3.1), взагалi кажучи, є формальним, тобто абсциса його абсо-
лютної збiжностi може бути меншою вiд A i навiть дорiвнювати −∞,
проте його максимальний член iснує для будь-якого σ < A.
Правильнiсть теореми отримаємо, використовуючи наступну ле-
му.
Лема 3.1. Для порiвняльного ряду правильнi наступнi рiвностi
lim
σ↑A
lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
= 1, lim
σ↑A
ln lnµ(σ, Fc)
lnΦ(σ)
= 1, (3.2)
lim
σ↑A
lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
= lim
n→∞
G1(λn, λn+1, Φ)
G2(λn, λn+1, Φ)
, (3.3)
а якщо
ln lnµ(σ, Fc) +
(Φ′′(σ)Φ(σ)
Φ′(σ)2
− 1
)
lnΦ(σ) ≥ 0, σ ∈ [σ0, A), (3.4)
П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 191
то
lim
σ↑0
ln lnµ(σ, Fc)
lnΦ(σ)
= lim
n→∞
lnG1(λn, λn+1, Φ)
lnG2(λn, λn+1, Φ)
. (3.5)
Доведення. Рiвностi (3.2) легко випливають з наступного твердження
[3,4]: для того, щоб lnµ(σ, F ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ∈ [σ0, A), необхiдно i
досить, щоб ln |an| ≤ −λnΨ(ϕ(λn)) для всiх n ≥ n0.
Далi, оскiльки (tΨ(ϕ(t)))′ = (tϕ(t) − Φ(ϕ(t)))′ = ϕ(t), то для ряду
(3.1)
ln |an| − ln |an+1|
λn+1 − λn
= κn =
1
λn+1 − λn
λn+1
∫
λn
ϕ(t) dt ↑ A, n → ∞.
Тому lnµ(σ, Fc) = −λnΨ(ϕ(λn)) + σλn для σ ∈ [κn−1, κn]. Для σ ∈
(κn−1, κn) маємо
( lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
)′
=
λnΦ(σ) − Φ′(σ)(−λnΨ(ϕ(λn)) + σλn)
Φ2(σ)
=
λnΦ′(σ)
Φ2(σ)
( Φ(σ)
Φ′(σ)
+ Ψ(ϕ(λn)) − σ
)
=
λnΦ′(σ)
Φ2(σ)
(Ψ(ϕ(λn)) − Ψ(σ)).
Оскiльки ϕ(λn) ∈ (κn−1, κn) i Ψ(ϕ(λn)) − Ψ(σ) є спадною функцiєю,
то
max
{
lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
: σ ∈ [κn−1, κn]
}
=
lnµ(ϕ(λn), Fc)
Φ(ϕ(λn))
= 1,
а
min
{
lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
: σ∈ [κn−1, κn]
}
= min
{
lnµ(κn−1, Fc)
Φ(κn−1)
,
lnµ(κn, Fc)
Φ(κn)
}
,
тобто
lim
σ↑A
lnµ(σ, Fc)
Φ(σ)
= lim
n→∞
lnµ(κn, Fc)
Φ(κn)
. (3.6)
Оскiльки Φ(κn) = G2(λn, λn+1, Φ), а
lnµ(κn, Fc) = −λnΨ(ϕ(λn))
+
λn+1Ψ(ϕ(λn+1)) − λnΨ(ϕ(λn))
λn+1 − λn
λn
=
λnλn+1
λn+1 − λn
Ψ(ϕ(x))
∣
∣
∣
λn+1
λn
,
192 Про одну теорему Л. Сонс...
i
λn+1
∫
λn
Φ(ϕ(t)
t2
dt =
λn+1
∫
λn
Φ(ϕ(x) d
(
−1
x
)
=
(
−Φ(ϕ(x))
t
+ ϕ(x)
)
∣
∣
∣
λn+1
λn
= Ψ(ϕ(x))
∣
∣
∣
λn+1
λn
,
то, з огляду на означення G1(λn, λn+1, Φ), з (3.6) отримуємо (3.3).
Нарештi, для σ ∈ (κn−1, κn)
( ln lnµ(σ, Fc)
lnΦ(σ)
)′
=
λn ln Φ(σ)
−λnΨ(ϕ(λn))+σλn
− Φ′(σ)
Φ(σ) ln(−λnΨ(ϕ(λn)) + σλn)
ln2 Φ(σ)
=
λn(Φ(σ)/Φ′(s)) ln Φ(σ) − lnµ(σ, Fc) ln lnµ(σ, Fc)
(Φ(σ)/P ′(s)) ln2 Φ(σ) ln µ(σ, Fc)
=
P (σ)
Q(σ)
,
P (ϕ(λn)) = λn
Φ(ϕ(λn))
Φ′(ϕ(λn))
ln Φ(ϕ(λn))
− lnµ(ϕ(λn), Fc) ln lnµ(ϕ(λn), Fc)
= λn
Φ(ϕ(λn))
λn
lnΦ(ϕ(λn)) − Φ(ϕ(λn)) ln Φ(ϕ(λn)) = 0
i за умовою (3.4)
P ′(σ) = λn
Φ′(σ) ln Φ(σ) + Φ′(σ)Φ′(σ) − Φ′′(σ)Φ(σ) ln Φ(σ)
Φ′(σ)2
− λn ln lnµ(σ, Fs) − λn
= −λn
{
ln lnµ(σ, Fs) +
(Φ′′(σ)Φ(σ)
Φ′(σ)2
− 1
)
lnΦ(σ)
}
≤ 0,
σ ∈ [σ0, A).
Тому, як вище,
lim
σ↑A
ln lnµ(σ, Fc)
ln Φ(σ)
= lim
n→∞
lnµ(ϕ(λn), Fc)
Φ(ϕ(λn))
= 1
i
lim
σ↑A
ln lnµ(σ, Fc)
lnΦ(σ)
= lim
n→∞
ln lnµ(κn, Fc)
lnΦ(κn)
= lim
n→∞
lnG1(λn, λn+1, Φ)
lnG2(λn, λn+1, Φ)
.
Лему доведено.
П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 193
Доведення теореми 1.1. За наведеним вище твердженням з [3, 4] з
умови lnµ(σ, F )≤Φ(σ), σ∈ [σ0, A), випливає, що ln |an|≤−λnΨ(ϕ(λn)),
n ≥ n0. Тому для всiх досить близьких до A значень σ < A маємо
lnµ(σ, F ) ≤ lnµ(σ, Fc), а з (3.3) i (3.5) отримуємо (1.5) i (1.7).
Залишилось показати, що з умови (1.6) випливає нерiвнiсть (3.4)
для всiх досить близьких до A значень σ < A.
Функцiя lnµ(σ, Fc) зростає на (−∞, A) i, з огляду на (3.2),
lnµ(σ, Fc) → +∞, σ ↑ A. Тому у випадку, коли −∞ < A < +∞, з
умови (1.6) випливає нерiвнiсть (3.4) для всiх досить близьких до A
значень σ < A. Якщо ж A = ∞, то lnµ(σ, Fc)/σ → +∞ при σ → +∞,
тобто ln lnµ(σ, Fc)− lnσ → +∞ при σ → +∞ i знову з (1.6) випливає
(3.4) для всiх досить великих значень σ. Теорему доведено.
Зауважимо, що умова (1.6) в теоремi виникла внаслiдок засто-
сованого методу доведення. Вона не є обтяжливою у випадку, коли
A < +∞. Так, наприклад, якщо A = 0, то (1.6) виконується, якщо
Φ(σ) = B(1/|σ|) i
B(x)B′′(x)
B′(x)2
+
2B(x)
xB′(x)
≥ 1, x ≥ x0,
а остання умова є, фактично, умовою на гладкiсть функцiї B, а не
на її швидкiсть зростання.
Ситуацiя дещо iнша у випадку, коли A = +∞. Тепер умову (1.6)
задовольняють, наприклад, функцiї Φ(σ) = σp з p > 1, Φ(σ) = e̺σ,
але не задовольняють, взагалi кажучи, функцiї вигляду Φ(σ) = σl(σ),
де l — повiльно зростаюча функцiя. Але для таких функцiй lnΦ(σ) =
(1 + o(1)) lnσ, σ → +∞, i за умов теореми маємо
lim
σ↑0
ln lnµ(σ, F )
lnΦ(σ)
= lim
σ↑0
ln lnµ(σ, F )
lnΦ(σ)
= 1,
яка б не була послiдовнiсть (λn). До появи умови (1.6) спричиналась
умова (3.4). Нам невiдомо, для яких функцiй Φ ∈ Ω(+∞) умова (3.4)
не виконується.
4. Наслiдки
Розглядаючи ту чи iншу шкалу зростання, з доведеної теореми
можна отримати ряд результатiв для рядiв Дiрiхле з довiльною аб-
сцисою абсолютної збiжностi, а отже, для степеневих рядiв з довiль-
ним радiусом збiжностi. Тут ми зупинимось на трьох випадках, якi
найчастiше зустрiчаються у лiтературi. Найуживанiшими характери-
стиками зростання цiлих (A = +∞) рядiв Дiрiхле (1.4) є R-порядок
194 Про одну теорему Л. Сонс...
̺R, нижнiй R-порядок λR i (за умови 0 < ̺R < +∞) R-тип TR та
нижнiй R-тип tR, якi визначаються наступними формулами
̺R = lim
σ→+∞
ln lnM(σ, F )
σ
, λR = lim
σ→+∞
ln lnM(σ, F )
σ
, (4.1)
TR = lim
σ→+∞
lnM(σ, F )
exp{̺Rσ} , tR = lim
σ→+∞
lnM(σ, F )
exp{̺Rσ} . (4.2)
Добре вiдомо (див., наприклад, [7, c. 26–27]), що у рiвностях (4.1) за-
мiсть lnM(σ, F ) можна поставити lnµ(σ, F ) за умови lnn=o(λn lnλn),
n → ∞, а у рiвностях (4.2) — за умови lnn = o(λn), n → ∞. Тому,
якщо ̺R < +∞ (TR < +∞), то lnµ(σ, F ) ≤ Te̺σ для σ ≥ σ0(ε), де або
̺ = ̺R +ε i T = 1, або ̺ = ̺R i T = TR +ε. Вiдомо [7], що для функцiї
Φ ∈ Ω(+∞) такої, що Φ(σ) = Te̺σ, σ ≥ σ0, для n ≥ n0 правильнi
рiвностi
G1(λn, λn+1, Φ) =
1
̺
λnλn+1
λn+1 − λn
ln
λn+1
λn
,
G2(λn, λn+1, Φ) =
1
e̺
exp
{
λn+1 lnλn+1 − λn lnλn
λn+1 − λn
}
.
Тому за теоремою, завдяки довiльностi ε, маємо
tR ≤ eTR lim
n→∞
λnλn+1
λn+1−λn
ln λn+1
λn
exp
{
λn+1 ln λn+1−λn ln λn
λn+1−λn
} (4.3)
i
λR ≤ ̺R lim
n→∞
(λn+1 − λn) ln
(
λnλn+1
λn+1−λn
ln λn+1
λn
)
λn+1 lnλn+1 − λn lnλn
. (4.4)
Якщо тепер
β = lim
n→∞
lnλn
lnλn+1
< 1,
то lnλnk
< β∗ lnλnk+1 для β < β∗ < 1 i деякої пiдпослiдовностi (λnk
)
послiдовностi (λn), тобто λnk
= o(λnk+1), k → ∞. Тому з (4.4) дiстає-
мо
λR ≤ ̺R lim
k→∞
(λnk+1 − λnk
) ln
(
λnk+1λnk
λnk+1−λnk
ln
λnk+1
λnk
)
λnk+1 lnλnk+1 − λn lnλnk
≤ ̺R lim
k→∞
lnλnk
+ o(1) + ln lnλnk+1
lnλnk+1
≤ ̺Rβ∗,
П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 195
тобто, завдяки довiльностi β∗, отримуємо нерiвнiсть λR ≤ ̺Rβ, яка
є очевидною, якщо β = 1. Отже, доведено наступне узагальнення
теореми Уiттекера.
Наслiдок 4.1. Якщо показники цiлого ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного
R-порядку ̺R i нижнього R-порядку λR задовольняють умову lnn =
o(λn lnλn), n → ∞, то λR ≤ ̺Rβ.
Припустимо тепер, що
lim
n→∞
λn
λn+1
= γ.
Якщо γ ∈ (0, 1), то λnk
∼ γλnk+1, k → ∞, для деякої пiдпослiдовностi
(λnk
) послiдовностi (λn), i з (4.3) отримуємо
tR ≤ eTR lim
k→∞
λnk
λnk+1 ln(λnk+1/λnk
)
(λnk+1 − λnk
) exp
{
λnk+1 ln λnk+1−λn−k ln λnk
λnk+1−λnk
}
= eTR lim
k→∞
γ ln(1/γ)λnk+1
(1 − γ) exp{lnλnk+1 − γ ln γ/(1 − γ)}
= TR
γ
1 − γ
ln
1
γ
exp
{
1 +
γ ln γ
1 − γ
}
. (4.5)
Оскiльки
γ
1 − γ
ln
1
γ
exp
{
1 +
γ ln γ
1 − γ
}
→ 1, γ → 1,
то нерiвнiсть (4.5) стає очевидною для γ = 1. Нарештi, якщо γ = 0,
то λnk
= o(λnk+1), k → ∞, для деякої пiдпослiдовностi (λnk
) послi-
довностi (λn) i з (4.3) отримуємо
tR ≤ eTR lim
k→∞
λnk
(lnλnk+1 − lnλnk
)
exp{lnλnk+1 + o(1)} = eTR lim
k→∞
λnk
λnk+1
ln
λnk+1
λnk
= 0,
тобто i в цьому випадку нерiвнiсть (4.5) правильна. Отже, доведено
наступний наслiдок.
Наслiдок 4.2. Якщо показники цiлого ряду Дiрiхле (1.4) скiнченно-
го R-типу TR i нижнього R-типу tR задовольняють умову lnn =
o(λn), n → ∞, то
tR ≤ TR
γ
1 − γ
ln
1
γ
exp
{
1 +
γ ln γ
1 − γ
}
, γ = lim
n→∞
λn
λn+1
.
196 Про одну теорему Л. Сонс...
Аналогами порядку i нижнього порядку аналiтичної в одинично-
му крузi функцiї для рядiв Дiрiхле (1.4) з нульовою абсцисою абсо-
лютної збiжностi є величини
̺0 = lim
σ↑0
ln lnM(σ, F )
ln(1/|σ|) , λ0 = lim
σ↑0
ln lnM(σ, F )
ln(1/|σ|) . (4.6)
За умови 0 < ̺0 < +∞ тип T0 i нижнiй тип t0 визначаються форму-
лами
T0 = lim
σ↑0
|σ|̺0 lnM(σ, F ), t0 = lim
σ↑0
|σ|̺0 lnM(σ, F ). (4.7)
Вiдомо [8], що у рiвностях (4.6) замiсть lnM(σ, F ) можна постави-
ти lnµ(σ, F ) за умови ln lnn = o(lnλn), n → ∞, а у рiвностях (4.7) —
за умови lnn = o(λ
̺0/(̺0+1)
n ), n → ∞. Тому, якщо ̺0 < +∞ (T0 < +∞),
то lnµ(σ, F ) ≤ T/|σ|̺ для σ ∈ [σ0(ε), 0), де або ̺ = ̺0 + ε i T = 1, або
̺ = ̺0 i T = T0 + ε. Вiдомо [6], що для функцiї Φ ∈ Ω(0) такої, що
Φ(σ) = T/|σ|̺, σ ∈ [σ0, 0), для n ≥ n0 правильнi рiвностi
G1(λn, λn+1, Φ)
= (̺ + 1)T 1/(̺+1)̺−̺/(̺+1) λnλn+1
λn+1 − λn
(
1
λ
1/(̺+1)
n
− 1
λ
1/(̺+1)
n+1
)
,
G2(λn, λn+1, Φ) = (̺ + 1)−̺T 1/(̺+1)̺̺2/(̺+1)
(
λn+1 − λn
λ
̺/(̺+1)
n+1 − λ
̺/(̺+1)
n
)̺
.
Тому за теоремою, завдяки довiльностi ε, маємо
λ0 ≤ ̺0 lim
n→∞
ln
(
λnλn+1
λn+1−λn
(
1
λ
1/(̺+1)
n
− 1
λ
1/(̺+1)
n+1
))
̺ ln λn+1−λn
λ
̺/(̺+1)
n+1 −λ
̺/(̺+1)
n
(4.8)
i
t0 ≤ T0
(̺0 + 1)̺0+1
̺̺0
0
lim
n→∞
λnλn+1
(λn+1 − λn)̺0+1
×
(
1
λ
1/(̺0+1)
n
− 1
λ
1/(̺0+1)
n+1
)
(
λ
̺0/(̺0+1)
n+1 − λ̺0/(̺0+1)
n
)̺0 . (4.9)
З нерiвностi (4.8), як у доведеннi наслiдку 4.1, легко отримати пра-
вильнiсть наступного наслiдку.
П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 197
Наслiдок 4.3. Якщо показники абсолютно збiжного у пiвплощинi
{s : Re s < 0} ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного порядку ̺0 i нижнього
порядку λ0 задовольняють умову ln lnn = o(lnλn), n → ∞, то λ0 ≤
̺0β.
Якщо в рядi (1.1) з одиничним радiусом збiжностi зробимо замiну
z = es, то отримаємо ряд Дiрiхле (1.4) з нульовою абсцисою абсолют-
ної збiжностi, причому σ = ln r, а lnMf (r) = lnM(σ, F ). Тому безпо-
середньо з наслiдку 4.3 випливає наслiдок, який ще раз спростовує
теорему Л. Сонс.
Наслiдок 4.4. Якщо аналiтична в одиничному крузi функцiя (1.1)
має скiнченний порядок ̺0 i нижнiй порядок λ0, то λ0 ≤ ̺0β.
З нерiвностi (4.9), як у доведеннi наслiдку 4.2, легко отримати
правильнiсть наступного наслiдку.
Наслiдок 4.5. Якщо показники абсолютно збiжного у пiвплощинi
{s : Re s < 0} ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного типу T0 i нижнього
типу t0 задовольняють умову lnn = o(λ
̺0/(1+̺0)
n ), n → ∞, то
t0 ≤ T0
(̺0 + 1)̺0+1
̺̺0
0
γ̺0/(̺0+1)
(1 − γ)̺0+1
(1 − γ1/(̺0+1))(1 − γ̺0/(̺0+1))̺0 ,
γ = lim
n→∞
λn
λn+1
.
Лiтература
[1] J. M. Whittaker, The lower order of integral functions // J. London Math. Soc.
8 (1933), 20–27.
[2] L. R. Sons, Regularity of growth and gaps // J. Math. Anal. Appl. 24 (1968),
296–306.
[3] М. Н. Шеремета, С. И. Федыняк, О производной ряда Дирихле // Cиб. матем.
журн. 39 (1998), N 1, 206–223.
[4] М. М. Шеремета, О. М. Cумик, Зв’язок мiж зростанням спряжених за Юн-
гом функцiй // Матем. студiї. 11 (1999), N 1, 41–47.
[5] М. В. Заболоцький, М. М. Шеремета, Узагальнення теореми Лiндельофа //
Укр. матем. журн. 50 (1998), N 1, 1177–1192.
[6] М. М. Шеремета, Цiлi ряди Дiрiхле. К.: IСДО, 1993, 168 с.
[7] О. М. Cумык, М. Н. Шеремета, Оценки максимального члена ряда Дирихле
снизу // Изв. вузов. Матем. (2001), N 4, 53–57.
[8] В. С. Бойчук, О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Ди-
рихле. В кн.: Математический сборник. К.: Наукова думка, 1976, 238–240.
198 Про одну теорему Л. Сонс...
Вiдомостi про авторiв
Петро Васильович
Фiлевич,
Мирослав
Миколайович
Шеремета
Львiвський нацiональний унiверситет
вул. Унiверситетська 1
79000, Львiв
Україна
E-Mail: filevych@mail.ru,
m_m_sheremeta@list.ru
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124548 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:35:47Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Філевич, П.В. Шеремета, М.М. 2017-09-29T07:43:25Z 2017-09-29T07:43:25Z 2006 Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 30B50. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548 У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле Article published earlier |
| spellingShingle | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле Філевич, П.В. Шеремета, М.М. |
| title | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле |
| title_full | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле |
| title_fullStr | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле |
| title_full_unstemmed | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле |
| title_short | Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле |
| title_sort | про одну теорему л. сонс та асимптотичне поводження рядів діріхле |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548 |
| work_keys_str_mv | AT fílevičpv proodnuteoremulsonstaasimptotičnepovodžennârâdívdíríhle AT šeremetamm proodnuteoremulsonstaasimptotičnepovodžennârâdívdíríhle |