Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле

У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Український математичний вісник
Datum:2006
Hauptverfasser: Філевич, П.В., Шеремета, М.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainisch
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2006
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860114589618798592
author Філевич, П.В.
Шеремета, М.М.
author_facet Філевич, П.В.
Шеремета, М.М.
citation_txt Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
collection DSpace DC
container_title Український математичний вісник
description У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.
first_indexed 2025-12-07T17:35:47Z
format Article
fulltext Український математичний вiсник Том 3 (2006), № 2, 187 – 198 Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядiв Дiрiхле Петро В. Фiлевич та Мирослав М. Шеремета Анотацiя. У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi. 2000 MSC. 30B50. Ключовi слова та фрази. Ряд Дiрiхле, порядок, нижнiй порядок, теорема Л. Сонс. 1. Вступ Для цiлої функцiї f(z) = ∞ ∑ n=0 anzλn , z = reiθ, (1.1) нехай Mf (r) = max{|f(z)| : |z| = r}, а ̺ = lim r→+∞ ln lnMf (r) ln r , λ = lim r→+∞ ln lnMf (r) ln r — вiдповiдно її порядок та нижнiй порядок. Дж. Уiттекер [1] довiв, що λ ≤ ̺β, β := lim n→∞ lnλn lnλn+1 . (1.2) Для аналiтичної в крузi {z : |z| < 1} функцiї вигляду (1.1) порядок ̺0 i нижнiй порядок λ0 визначаються вiдповiдно рiвностями ̺0 = lim r↑1 ln lnMf (r) − ln(1 − r) , λ0 = lim r↑1 ln lnMf (r) − ln(1 − r) . Стаття надiйшла в редакцiю 8.10.2004 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 188 Про одну теорему Л. Сонс... За умови ̺0 ∈ (0, +∞) у статтi [2] Л. Сонс стверджує, що λ0 + 1 ≤ (̺0 + 1)β. (1.3) Тут ми покажемо, що ця нерiвнiсть є неправильною, i доведемо, що для аналiтичних в одиничному крузi функцiй правильним є повний аналог нерiвностi Уiттекера. Оскiльки ряди Дiрiхле з невiд’ємними зростаючими до +∞ показ- никами є безпосереднiм узагальненням лакунарних степеневих рядiв вигляду (1.1), то природно розглянути задачу про можливiсть уза- гальнення теореми Уiттекера для рядiв Дiрiхле з довiльною абсци- сою абсолютної збiжностi, а звiдси отримати рiзнi аналоги нерiвностi (1.2) для степеневих рядiв, зокрема, для аналiтичних в одиничному крузi функцiй вигляду (1.1). Отже, нехай (λn) — зростаюча до +∞ послiдовнiсть невiд’ємних чисел (λ0 = 0), а ряд Дiрiхле F (s) = ∞ ∑ n=0 an exp{sλn}, s = σ + it (1.4) має абсцису абсолютної збiжностi σa = A ∈ (−∞, +∞]. Для σ < A нехай µ(σ, F ) = max{|an| exp (σλn) : n ≥ 0} — максимальний член ряду (1.4), а M(σ, F ) = sup{|F (σ + it)| : t ∈ R}. Через Ω(A) позначимо клас додатних, необмежених на (−∞, A) функцiй Φ, для яких похiдна Φ′ є додатною, неперервно диференцi- йовною i зростаючою до +∞ на (−∞, A) функцiю. Для Φ ∈ Ω(A) нехай ϕ — функцiя, обернена до Φ′, а Ψ(σ) = σ − Φ(σ)/Φ′(σ) — фун- кцiя, асоцiйована з Φ за Ньютоном. Тодi [3,4] функцiя Ψ є неперервно диференцiйовною i зростаючою до A на (−∞, A), а функцiя ϕ є не- перервно диференцiйовною i зростаючою до A на (0, +∞). Для функцiї Φ ∈ Ω(A) i чисел 0 ≤ a < b < +∞ покладемо G1(a, b,Φ) = ab b − a b ∫ a Φ(ϕ(t)) t2 dt, G2(a, b,Φ) = Φ ( 1 b − a b ∫ a ϕ(t) dt ) . Тодi [5] G1(a, b,Φ) < G2(a, b,Φ) i G2(λn, λn+1, Φ) = Φ(κn), де κn = 1 λn+1 − λn λn+1 ∫ λn ϕ(t) dt. Основним результатом нашої статтi є таке твердження. П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 189 Теорема 1.1. Нехай ряд Дiрiхле (1.4) має абсцису абсолютної збi- жностi σa = A ∈ (−∞, +∞] i lnµ(σ, F ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ∈ [σ0, A), де Φ ∈ Ω(A). Тодi lim σ↑A lnµ(σ, F ) Φ(σ) ≤ lim n→∞ G1(λn, λn+1, Φ) G2(λn, λn+1, Φ) . (1.5) Якщо, крiм того, функцiя Φ ∈ Ω(A) задовольняє умову Q(σ) + (Φ′′(σ)Φ(σ) Φ′(σ)2 − 1 ) lnΦ(σ) ≥ q > −∞, σ ∈ [σ0, A), (1.6) де Q(σ) ≡ 0, якщо A < +∞, i Q ≡ lnσ, якщо A = ∞, то lim σ↑0 ln lnµ(σ, F ) lnΦ(σ) ≤ lim n→∞ lnG1(λn, λn+1, Φ) lnG2(λn, λn+1, Φ) . (1.7) 2. Спростування теореми Л. Сонс Нехай µf (r) = max{|an|rλn : n ≥ 1} — максимальний член ряду (1.1). Оскiльки ln r = −(1 + o(1))(1 − r), r ↑ 1, i для аналiтичної в {z : |z| < 1} функцiї (1.1) виконуються нерiвностi µf (r) ≤ Mf (r) ≤ 1 + r 1 − r µf (r + 1 2 ) , то ̺0 = lim r↑1 ln lnµf (r) ln(1/| ln r|) , λ0 = lim r↑1 ln lnµf (r) ln(1/| ln r|) . Для спростування нерiвностi (1.3) розглянемо степеневий ряд (1.1) з довiльною послiдовнiстю натуральних показникiв (λn) i коефiцiєн- тами an = exp{ √ λn}. Зрозумiло, що радiус збiжностi такого ряду дорiвнює 1, lnµf (r) ≤ max{√x + x ln r : x ≥ 0} = 1/(4| ln r|), тобто ̺0 ≤ 1. З iншого боку, для rn = exp{−1/(2 √ λn)} маємо ̺0 ≥ lim n→+∞ ln(ln an + λn ln rn) ln(1/| ln rn|) = lim n→+∞ ln( √ λn − √ λn/2) ln(2 √ λn) = 1, так що ̺0 = 1. Далi, κn = ln |an| − ln |an+1| λn+1 − λn = − 1 √ λn+1 + √ λn ↑ 0, n → ∞, i тому lnµf (r) = ln an + λn ln r = √ λn + λn ln r для r ∈ [eκn−1 , eκn ]. Для таких r розглянемо функцiю B(ln r) = ln lnµf (r) ln(1/| ln r|) − ln 4 = ln( √ λn + λn ln r) ln(1/| ln r|) − ln 4 . 190 Про одну теорему Л. Сонс... Легко перевiрити, що для σ ∈ (κn−1, κn) B′(σ) = λn|σ|(ln(1/|σ|) − ln 4) − ( √ λn + σλn) ln( √ λn + σλn) |σ|( √ λn + σλn)(ln(1/|σ|) − ln 4)2 = P (σ) Q(σ) . Оскiльки κn−1 < σn = ln rn = −1/(2 √ λn) < κn, P (σn) = 0 i P ′(σ) = −λn(ln(1/|σ|)− ln 4 + ln( √ λn + σλn)) < 0, то функцiя B на [κn−1, κn] має єдину точку екстремуму (максимуму) σ = σn, а min{B(σ) : σ ∈ [κn−1, κn]}= min{B(κn−1), B(κn)}. Звiдси випливає, що limσ↑0 B(σ)= limn→∞ B(κn) i, отже, λ0 = lim r↑1 ln lnµf (r) ln(1/| ln r|) − ln 4 = lim r↑1 B(ln r) = lim n→∞ ln lnµf (exp{κn}) ln(1/| ln κn|) = lim n→∞ ln( √ λn + λn exp{−1/(λn+1 + λn)}) ln(λn+1 + λn) = lim n→∞ lnλn lnλn+1 = β. Якби нерiвнiсть (1.3) була правильною, то для побудованої функцiї ми мали б нерiвнiсть β + 1 ≤ 2β, що можливо тiльки за умови β = 1. Отже, наведена Л. Сонс нерiвнiсть (1.3) неправильна. 3. Порiвняльний ряд Дiрiхле i доведення теореми Для функцiї Φ ∈ Ω(A) з A ∈ (−∞, +∞] порiвняльним рядом Дi- рiхле будемо називати ряд Fc(s) = ∞ ∑ n=0 exp{−λnΨ(ϕ(λn)) + sλn}. (3.1) Ряд (3.1), взагалi кажучи, є формальним, тобто абсциса його абсо- лютної збiжностi може бути меншою вiд A i навiть дорiвнювати −∞, проте його максимальний член iснує для будь-якого σ < A. Правильнiсть теореми отримаємо, використовуючи наступну ле- му. Лема 3.1. Для порiвняльного ряду правильнi наступнi рiвностi lim σ↑A lnµ(σ, Fc) Φ(σ) = 1, lim σ↑A ln lnµ(σ, Fc) lnΦ(σ) = 1, (3.2) lim σ↑A lnµ(σ, Fc) Φ(σ) = lim n→∞ G1(λn, λn+1, Φ) G2(λn, λn+1, Φ) , (3.3) а якщо ln lnµ(σ, Fc) + (Φ′′(σ)Φ(σ) Φ′(σ)2 − 1 ) lnΦ(σ) ≥ 0, σ ∈ [σ0, A), (3.4) П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 191 то lim σ↑0 ln lnµ(σ, Fc) lnΦ(σ) = lim n→∞ lnG1(λn, λn+1, Φ) lnG2(λn, λn+1, Φ) . (3.5) Доведення. Рiвностi (3.2) легко випливають з наступного твердження [3,4]: для того, щоб lnµ(σ, F ) ≤ Φ(σ) для всiх σ ∈ [σ0, A), необхiдно i досить, щоб ln |an| ≤ −λnΨ(ϕ(λn)) для всiх n ≥ n0. Далi, оскiльки (tΨ(ϕ(t)))′ = (tϕ(t) − Φ(ϕ(t)))′ = ϕ(t), то для ряду (3.1) ln |an| − ln |an+1| λn+1 − λn = κn = 1 λn+1 − λn λn+1 ∫ λn ϕ(t) dt ↑ A, n → ∞. Тому lnµ(σ, Fc) = −λnΨ(ϕ(λn)) + σλn для σ ∈ [κn−1, κn]. Для σ ∈ (κn−1, κn) маємо ( lnµ(σ, Fc) Φ(σ) )′ = λnΦ(σ) − Φ′(σ)(−λnΨ(ϕ(λn)) + σλn) Φ2(σ) = λnΦ′(σ) Φ2(σ) ( Φ(σ) Φ′(σ) + Ψ(ϕ(λn)) − σ ) = λnΦ′(σ) Φ2(σ) (Ψ(ϕ(λn)) − Ψ(σ)). Оскiльки ϕ(λn) ∈ (κn−1, κn) i Ψ(ϕ(λn)) − Ψ(σ) є спадною функцiєю, то max { lnµ(σ, Fc) Φ(σ) : σ ∈ [κn−1, κn] } = lnµ(ϕ(λn), Fc) Φ(ϕ(λn)) = 1, а min { lnµ(σ, Fc) Φ(σ) : σ∈ [κn−1, κn] } = min { lnµ(κn−1, Fc) Φ(κn−1) , lnµ(κn, Fc) Φ(κn) } , тобто lim σ↑A lnµ(σ, Fc) Φ(σ) = lim n→∞ lnµ(κn, Fc) Φ(κn) . (3.6) Оскiльки Φ(κn) = G2(λn, λn+1, Φ), а lnµ(κn, Fc) = −λnΨ(ϕ(λn)) + λn+1Ψ(ϕ(λn+1)) − λnΨ(ϕ(λn)) λn+1 − λn λn = λnλn+1 λn+1 − λn Ψ(ϕ(x)) ∣ ∣ ∣ λn+1 λn , 192 Про одну теорему Л. Сонс... i λn+1 ∫ λn Φ(ϕ(t) t2 dt = λn+1 ∫ λn Φ(ϕ(x) d ( −1 x ) = ( −Φ(ϕ(x)) t + ϕ(x) ) ∣ ∣ ∣ λn+1 λn = Ψ(ϕ(x)) ∣ ∣ ∣ λn+1 λn , то, з огляду на означення G1(λn, λn+1, Φ), з (3.6) отримуємо (3.3). Нарештi, для σ ∈ (κn−1, κn) ( ln lnµ(σ, Fc) lnΦ(σ) )′ = λn ln Φ(σ) −λnΨ(ϕ(λn))+σλn − Φ′(σ) Φ(σ) ln(−λnΨ(ϕ(λn)) + σλn) ln2 Φ(σ) = λn(Φ(σ)/Φ′(s)) ln Φ(σ) − lnµ(σ, Fc) ln lnµ(σ, Fc) (Φ(σ)/P ′(s)) ln2 Φ(σ) ln µ(σ, Fc) = P (σ) Q(σ) , P (ϕ(λn)) = λn Φ(ϕ(λn)) Φ′(ϕ(λn)) ln Φ(ϕ(λn)) − lnµ(ϕ(λn), Fc) ln lnµ(ϕ(λn), Fc) = λn Φ(ϕ(λn)) λn lnΦ(ϕ(λn)) − Φ(ϕ(λn)) ln Φ(ϕ(λn)) = 0 i за умовою (3.4) P ′(σ) = λn Φ′(σ) ln Φ(σ) + Φ′(σ)Φ′(σ) − Φ′′(σ)Φ(σ) ln Φ(σ) Φ′(σ)2 − λn ln lnµ(σ, Fs) − λn = −λn { ln lnµ(σ, Fs) + (Φ′′(σ)Φ(σ) Φ′(σ)2 − 1 ) lnΦ(σ) } ≤ 0, σ ∈ [σ0, A). Тому, як вище, lim σ↑A ln lnµ(σ, Fc) ln Φ(σ) = lim n→∞ lnµ(ϕ(λn), Fc) Φ(ϕ(λn)) = 1 i lim σ↑A ln lnµ(σ, Fc) lnΦ(σ) = lim n→∞ ln lnµ(κn, Fc) lnΦ(κn) = lim n→∞ lnG1(λn, λn+1, Φ) lnG2(λn, λn+1, Φ) . Лему доведено. П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 193 Доведення теореми 1.1. За наведеним вище твердженням з [3, 4] з умови lnµ(σ, F )≤Φ(σ), σ∈ [σ0, A), випливає, що ln |an|≤−λnΨ(ϕ(λn)), n ≥ n0. Тому для всiх досить близьких до A значень σ < A маємо lnµ(σ, F ) ≤ lnµ(σ, Fc), а з (3.3) i (3.5) отримуємо (1.5) i (1.7). Залишилось показати, що з умови (1.6) випливає нерiвнiсть (3.4) для всiх досить близьких до A значень σ < A. Функцiя lnµ(σ, Fc) зростає на (−∞, A) i, з огляду на (3.2), lnµ(σ, Fc) → +∞, σ ↑ A. Тому у випадку, коли −∞ < A < +∞, з умови (1.6) випливає нерiвнiсть (3.4) для всiх досить близьких до A значень σ < A. Якщо ж A = ∞, то lnµ(σ, Fc)/σ → +∞ при σ → +∞, тобто ln lnµ(σ, Fc)− lnσ → +∞ при σ → +∞ i знову з (1.6) випливає (3.4) для всiх досить великих значень σ. Теорему доведено. Зауважимо, що умова (1.6) в теоремi виникла внаслiдок засто- сованого методу доведення. Вона не є обтяжливою у випадку, коли A < +∞. Так, наприклад, якщо A = 0, то (1.6) виконується, якщо Φ(σ) = B(1/|σ|) i B(x)B′′(x) B′(x)2 + 2B(x) xB′(x) ≥ 1, x ≥ x0, а остання умова є, фактично, умовою на гладкiсть функцiї B, а не на її швидкiсть зростання. Ситуацiя дещо iнша у випадку, коли A = +∞. Тепер умову (1.6) задовольняють, наприклад, функцiї Φ(σ) = σp з p > 1, Φ(σ) = e̺σ, але не задовольняють, взагалi кажучи, функцiї вигляду Φ(σ) = σl(σ), де l — повiльно зростаюча функцiя. Але для таких функцiй lnΦ(σ) = (1 + o(1)) lnσ, σ → +∞, i за умов теореми маємо lim σ↑0 ln lnµ(σ, F ) lnΦ(σ) = lim σ↑0 ln lnµ(σ, F ) lnΦ(σ) = 1, яка б не була послiдовнiсть (λn). До появи умови (1.6) спричиналась умова (3.4). Нам невiдомо, для яких функцiй Φ ∈ Ω(+∞) умова (3.4) не виконується. 4. Наслiдки Розглядаючи ту чи iншу шкалу зростання, з доведеної теореми можна отримати ряд результатiв для рядiв Дiрiхле з довiльною аб- сцисою абсолютної збiжностi, а отже, для степеневих рядiв з довiль- ним радiусом збiжностi. Тут ми зупинимось на трьох випадках, якi найчастiше зустрiчаються у лiтературi. Найуживанiшими характери- стиками зростання цiлих (A = +∞) рядiв Дiрiхле (1.4) є R-порядок 194 Про одну теорему Л. Сонс... ̺R, нижнiй R-порядок λR i (за умови 0 < ̺R < +∞) R-тип TR та нижнiй R-тип tR, якi визначаються наступними формулами ̺R = lim σ→+∞ ln lnM(σ, F ) σ , λR = lim σ→+∞ ln lnM(σ, F ) σ , (4.1) TR = lim σ→+∞ lnM(σ, F ) exp{̺Rσ} , tR = lim σ→+∞ lnM(σ, F ) exp{̺Rσ} . (4.2) Добре вiдомо (див., наприклад, [7, c. 26–27]), що у рiвностях (4.1) за- мiсть lnM(σ, F ) можна поставити lnµ(σ, F ) за умови lnn=o(λn lnλn), n → ∞, а у рiвностях (4.2) — за умови lnn = o(λn), n → ∞. Тому, якщо ̺R < +∞ (TR < +∞), то lnµ(σ, F ) ≤ Te̺σ для σ ≥ σ0(ε), де або ̺ = ̺R +ε i T = 1, або ̺ = ̺R i T = TR +ε. Вiдомо [7], що для функцiї Φ ∈ Ω(+∞) такої, що Φ(σ) = Te̺σ, σ ≥ σ0, для n ≥ n0 правильнi рiвностi G1(λn, λn+1, Φ) = 1 ̺ λnλn+1 λn+1 − λn ln λn+1 λn , G2(λn, λn+1, Φ) = 1 e̺ exp { λn+1 lnλn+1 − λn lnλn λn+1 − λn } . Тому за теоремою, завдяки довiльностi ε, маємо tR ≤ eTR lim n→∞ λnλn+1 λn+1−λn ln λn+1 λn exp { λn+1 ln λn+1−λn ln λn λn+1−λn } (4.3) i λR ≤ ̺R lim n→∞ (λn+1 − λn) ln ( λnλn+1 λn+1−λn ln λn+1 λn ) λn+1 lnλn+1 − λn lnλn . (4.4) Якщо тепер β = lim n→∞ lnλn lnλn+1 < 1, то lnλnk < β∗ lnλnk+1 для β < β∗ < 1 i деякої пiдпослiдовностi (λnk ) послiдовностi (λn), тобто λnk = o(λnk+1), k → ∞. Тому з (4.4) дiстає- мо λR ≤ ̺R lim k→∞ (λnk+1 − λnk ) ln ( λnk+1λnk λnk+1−λnk ln λnk+1 λnk ) λnk+1 lnλnk+1 − λn lnλnk ≤ ̺R lim k→∞ lnλnk + o(1) + ln lnλnk+1 lnλnk+1 ≤ ̺Rβ∗, П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 195 тобто, завдяки довiльностi β∗, отримуємо нерiвнiсть λR ≤ ̺Rβ, яка є очевидною, якщо β = 1. Отже, доведено наступне узагальнення теореми Уiттекера. Наслiдок 4.1. Якщо показники цiлого ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного R-порядку ̺R i нижнього R-порядку λR задовольняють умову lnn = o(λn lnλn), n → ∞, то λR ≤ ̺Rβ. Припустимо тепер, що lim n→∞ λn λn+1 = γ. Якщо γ ∈ (0, 1), то λnk ∼ γλnk+1, k → ∞, для деякої пiдпослiдовностi (λnk ) послiдовностi (λn), i з (4.3) отримуємо tR ≤ eTR lim k→∞ λnk λnk+1 ln(λnk+1/λnk ) (λnk+1 − λnk ) exp { λnk+1 ln λnk+1−λn−k ln λnk λnk+1−λnk } = eTR lim k→∞ γ ln(1/γ)λnk+1 (1 − γ) exp{lnλnk+1 − γ ln γ/(1 − γ)} = TR γ 1 − γ ln 1 γ exp { 1 + γ ln γ 1 − γ } . (4.5) Оскiльки γ 1 − γ ln 1 γ exp { 1 + γ ln γ 1 − γ } → 1, γ → 1, то нерiвнiсть (4.5) стає очевидною для γ = 1. Нарештi, якщо γ = 0, то λnk = o(λnk+1), k → ∞, для деякої пiдпослiдовностi (λnk ) послi- довностi (λn) i з (4.3) отримуємо tR ≤ eTR lim k→∞ λnk (lnλnk+1 − lnλnk ) exp{lnλnk+1 + o(1)} = eTR lim k→∞ λnk λnk+1 ln λnk+1 λnk = 0, тобто i в цьому випадку нерiвнiсть (4.5) правильна. Отже, доведено наступний наслiдок. Наслiдок 4.2. Якщо показники цiлого ряду Дiрiхле (1.4) скiнченно- го R-типу TR i нижнього R-типу tR задовольняють умову lnn = o(λn), n → ∞, то tR ≤ TR γ 1 − γ ln 1 γ exp { 1 + γ ln γ 1 − γ } , γ = lim n→∞ λn λn+1 . 196 Про одну теорему Л. Сонс... Аналогами порядку i нижнього порядку аналiтичної в одинично- му крузi функцiї для рядiв Дiрiхле (1.4) з нульовою абсцисою абсо- лютної збiжностi є величини ̺0 = lim σ↑0 ln lnM(σ, F ) ln(1/|σ|) , λ0 = lim σ↑0 ln lnM(σ, F ) ln(1/|σ|) . (4.6) За умови 0 < ̺0 < +∞ тип T0 i нижнiй тип t0 визначаються форму- лами T0 = lim σ↑0 |σ|̺0 lnM(σ, F ), t0 = lim σ↑0 |σ|̺0 lnM(σ, F ). (4.7) Вiдомо [8], що у рiвностях (4.6) замiсть lnM(σ, F ) можна постави- ти lnµ(σ, F ) за умови ln lnn = o(lnλn), n → ∞, а у рiвностях (4.7) — за умови lnn = o(λ ̺0/(̺0+1) n ), n → ∞. Тому, якщо ̺0 < +∞ (T0 < +∞), то lnµ(σ, F ) ≤ T/|σ|̺ для σ ∈ [σ0(ε), 0), де або ̺ = ̺0 + ε i T = 1, або ̺ = ̺0 i T = T0 + ε. Вiдомо [6], що для функцiї Φ ∈ Ω(0) такої, що Φ(σ) = T/|σ|̺, σ ∈ [σ0, 0), для n ≥ n0 правильнi рiвностi G1(λn, λn+1, Φ) = (̺ + 1)T 1/(̺+1)̺−̺/(̺+1) λnλn+1 λn+1 − λn ( 1 λ 1/(̺+1) n − 1 λ 1/(̺+1) n+1 ) , G2(λn, λn+1, Φ) = (̺ + 1)−̺T 1/(̺+1)̺̺2/(̺+1) ( λn+1 − λn λ ̺/(̺+1) n+1 − λ ̺/(̺+1) n )̺ . Тому за теоремою, завдяки довiльностi ε, маємо λ0 ≤ ̺0 lim n→∞ ln ( λnλn+1 λn+1−λn ( 1 λ 1/(̺+1) n − 1 λ 1/(̺+1) n+1 )) ̺ ln λn+1−λn λ ̺/(̺+1) n+1 −λ ̺/(̺+1) n (4.8) i t0 ≤ T0 (̺0 + 1)̺0+1 ̺̺0 0 lim n→∞ λnλn+1 (λn+1 − λn)̺0+1 × ( 1 λ 1/(̺0+1) n − 1 λ 1/(̺0+1) n+1 ) ( λ ̺0/(̺0+1) n+1 − λ̺0/(̺0+1) n )̺0 . (4.9) З нерiвностi (4.8), як у доведеннi наслiдку 4.1, легко отримати пра- вильнiсть наступного наслiдку. П. В. Фiлевич, М. М. Шеремета 197 Наслiдок 4.3. Якщо показники абсолютно збiжного у пiвплощинi {s : Re s < 0} ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного порядку ̺0 i нижнього порядку λ0 задовольняють умову ln lnn = o(lnλn), n → ∞, то λ0 ≤ ̺0β. Якщо в рядi (1.1) з одиничним радiусом збiжностi зробимо замiну z = es, то отримаємо ряд Дiрiхле (1.4) з нульовою абсцисою абсолют- ної збiжностi, причому σ = ln r, а lnMf (r) = lnM(σ, F ). Тому безпо- середньо з наслiдку 4.3 випливає наслiдок, який ще раз спростовує теорему Л. Сонс. Наслiдок 4.4. Якщо аналiтична в одиничному крузi функцiя (1.1) має скiнченний порядок ̺0 i нижнiй порядок λ0, то λ0 ≤ ̺0β. З нерiвностi (4.9), як у доведеннi наслiдку 4.2, легко отримати правильнiсть наступного наслiдку. Наслiдок 4.5. Якщо показники абсолютно збiжного у пiвплощинi {s : Re s < 0} ряду Дiрiхле (1.4) скiнченного типу T0 i нижнього типу t0 задовольняють умову lnn = o(λ ̺0/(1+̺0) n ), n → ∞, то t0 ≤ T0 (̺0 + 1)̺0+1 ̺̺0 0 γ̺0/(̺0+1) (1 − γ)̺0+1 (1 − γ1/(̺0+1))(1 − γ̺0/(̺0+1))̺0 , γ = lim n→∞ λn λn+1 . Лiтература [1] J. M. Whittaker, The lower order of integral functions // J. London Math. Soc. 8 (1933), 20–27. [2] L. R. Sons, Regularity of growth and gaps // J. Math. Anal. Appl. 24 (1968), 296–306. [3] М. Н. Шеремета, С. И. Федыняк, О производной ряда Дирихле // Cиб. матем. журн. 39 (1998), N 1, 206–223. [4] М. М. Шеремета, О. М. Cумик, Зв’язок мiж зростанням спряжених за Юн- гом функцiй // Матем. студiї. 11 (1999), N 1, 41–47. [5] М. В. Заболоцький, М. М. Шеремета, Узагальнення теореми Лiндельофа // Укр. матем. журн. 50 (1998), N 1, 1177–1192. [6] М. М. Шеремета, Цiлi ряди Дiрiхле. К.: IСДО, 1993, 168 с. [7] О. М. Cумык, М. Н. Шеремета, Оценки максимального члена ряда Дирихле снизу // Изв. вузов. Матем. (2001), N 4, 53–57. [8] В. С. Бойчук, О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Ди- рихле. В кн.: Математический сборник. К.: Наукова думка, 1976, 238–240. 198 Про одну теорему Л. Сонс... Вiдомостi про авторiв Петро Васильович Фiлевич, Мирослав Миколайович Шеремета Львiвський нацiональний унiверситет вул. Унiверситетська 1 79000, Львiв Україна E-Mail: filevych@mail.ru, m_m_sheremeta@list.ru
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124548
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 1810-3200
language Ukrainian
last_indexed 2025-12-07T17:35:47Z
publishDate 2006
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format dspace
spelling Філевич, П.В.
Шеремета, М.М.
2017-09-29T07:43:25Z
2017-09-29T07:43:25Z
2006
Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле / П.В. Філевич, М.М. Шеремета // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 187-198. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
1810-3200
2000 MSC. 30B50.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548
У роботi встановлено спiввiдношення мiж порядком i нижнiм порядком для ряду Дiрiхле з довiльною абсцисою абсолютної збiжностi.
uk
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Український математичний вісник
Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
Article
published earlier
spellingShingle Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
Філевич, П.В.
Шеремета, М.М.
title Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
title_full Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
title_fullStr Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
title_full_unstemmed Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
title_short Про одну теорему Л. Сонс та асимптотичне поводження рядів Діріхле
title_sort про одну теорему л. сонс та асимптотичне поводження рядів діріхле
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124548
work_keys_str_mv AT fílevičpv proodnuteoremulsonstaasimptotičnepovodžennârâdívdíríhle
AT šeremetamm proodnuteoremulsonstaasimptotičnepovodžennârâdívdíríhle