К теории граничного поведения пространственных отображений
В работе сформулирован ряд теорем о непрерывной и гомеоморфной продолжимости Q-гомеоморфизмов на регулярные границы и, в частности, при мажоранте Q конечного среднего колебания в точках границы, доказано обобщение известной теоремы Геринга–Мартио о продолжении квазиконформных отображений на границу....
Saved in:
| Published in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Date: | 2006 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124549 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К теории граничного поведения пространственных отображений / А.А. Игнатьев, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 199-211. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860122113703149568 |
|---|---|
| author | Игнатьев, А.А. Рязанов, В.И. |
| author_facet | Игнатьев, А.А. Рязанов, В.И. |
| citation_txt | К теории граничного поведения пространственных отображений / А.А. Игнатьев, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 199-211. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | В работе сформулирован ряд теорем о непрерывной и гомеоморфной продолжимости Q-гомеоморфизмов на регулярные границы и, в частности, при мажоранте Q конечного среднего колебания в точках границы, доказано обобщение известной теоремы Геринга–Мартио о продолжении квазиконформных отображений на границу. Результаты применимы к различным классам отображений с конечным искажением, которые интенсивно исследуются в последние годы в работах многих ведущих специалистов по теории отображений и, в частности, к отображениям класса Соболева.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:39:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 199 – 211
К теории граничного поведения
пространственных отображений
Aндрей А. Игнатьев и Владимир И. Рязанов
(Представлена В. Я. Гутлянским)
Аннотация. В работе сформулирован ряд теорем о непрерывной
и гомеоморфной продолжимости Q-гомеоморфизмов на регулярные
границы и, в частности, при мажоранте Q конечного среднего ко-
лебания в точках границы, доказано обобщение известной теоремы
Геринга–Мартио о продолжении квазиконформных отображений на
границу. Результаты применимы к различным классам отображений
с конечным искажением, которые интенсивно исследуются в послед-
ние годы в работах многих ведущих специалистов по теории отобра-
жений и, в частности, к отображениям класса Соболева.
2000 MSC. 30C65, 30C75.
Ключевые слова и фразы. Отображение с конечным искажени-
ем, Q-гомеоморфизм, класс Соболева, конечное среднее колебание.
1. Введение
Данная статья является продолжением нашей предыдущей рабо-
ты [1], где были доказаны теоремы устранимости изолированных осо-
бенностей пространственных отображений, а также аналог теоремы
Пенлеве для аналитических функций об устранимости сингулярнос-
тей длины нуль. В указанной работе можно также найти предысто-
рию вопроса и дальнейшие ссылки. Здесь напомним только основные
определения, которые используются в дальнейшем.
Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, и пусть Q : D → [1,∞] — изме-
римая функция. Гомеоморфизм f : D → R
n = R
n
⋃
{∞} называется
Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x) (1.1)
Статья поступила в редакцию 28.11.2005
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
200 К теории граничного поведения...
для любого семейства Γ путей в D и любой допустимой функции ρ
для Γ. Здесь непрерывность отображений понимается относительно
сферической (хордальной) метрики s в R
n, s(x, y) = |π(x)−π(y)|, где
π — стереографическая проекция R
n на сферу Sn(1
2en+1,
1
2) в R
n+1:
s(x,∞) =
1
√
1 + |x|2
, s(x, y) =
|x− y|
√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y.
Напомним, что борелевская функция ρ : R
n → [0,∞] называется
допустимой для семейства кривых Γ в R
n, пишем ρ ∈ admΓ, если
∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1 (1.2)
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x) . (1.3)
Основной целью теории Q-гомеоморфизмов является изучение
взаимосвязей свойств отображения f со свойствами мажоранты Q(x).
По теореме 3.1 в [1] любой гомеоморфизм f : D → R
n класса W 1,n
loc
с f−1 ∈ W 1,n
loc является Q-гомеоморфизмом с Q(x) равной внутрен-
ней дилатации KI(x, f). В частности, таков любой гомеоморфизм
f : D → R
n класса W 1,n
loc с KI(x, f) ∈ L1
loc.
Если отображение f : D → R
n имеет первые частные производные
в точке x ∈ D, то внутренняя дилатация отображения f в точке x
определяется равенством
KI(x, f) =
{
|J(x,f)|
l(f ′(x))n , если J(x, f) 6= 0,
1, если f ′(x) = 0
(1.4)
и KI(x, f) = ∞ в остальных случаях. Аналогично, внешняя дилата-
ция отображения f в точке x определяется равенством
KO(x, f) =
{
|f ′(x)|n
|J(x,f)| , если J(x, f) 6= 0,
1, если f ′(x) = 0
(1.5)
и KO(x, f) = ∞ в остальных случаях. Максимальная дилатация, или
просто дилатация, отображения f в точке x есть величина
K(x, f) = max (KO(x),KI(x)) . (1.6)
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 201
Здесь, как обычно, f ′(x) — якобиева матрица отображения f, J(x, f)
= det f ′(x) — его якобиан, |f ′(x)| — операторная норма f ′(x), т.е.
|f ′(x)| = max { |f ′(x)h| : h ∈ R
n, |h| = 1 } ,
и
l(f ′(x)) = min { |f ′(x)h| : h ∈ R
n, |h| = 1 } .
Отметим, что
KI(x, f) ≤ Kn−1
O (x, f) , KO(x, f) ≤ Kn−1
I (x, f) (1.7)
и, в частности, KO(x, f),KI(x, f) и K(x, f) одновременно конечны
или бесконечны. Неравенство K(x, f) < ∞ эквивалентно условию,
что det f ′(x) 6= 0 или f ′(x) = 0.
Отображение f : D → R
n называется отображением с конечным
искажением, если f ∈ W 1,n
loc , J(x, f) ≥ 0 и KO(x, f) < ∞ п.в. Иногда
в литературе условие f ∈ W 1,n
loc заменяется на более слабое условие
f ∈W 1,1
loc . Если к тому же дилатация KO(x, f) ограничена константой
п.в., то мы получаем отображения с ограниченным искажением по
Решетняку или, в других терминах, квазирегулярные отображения.
Напомним, что по Джону–Ниренбергу вещественная функция ϕ ∈
L1
loc(D) называется функцией ограниченного среднего колебания в D,
пишем ϕ ∈ BMO(D) или просто ϕ ∈ BMO, если
‖ϕ‖∗ = sup
B⊂D
∫
B
− |ϕ(x) − ϕB| dm(x) <∞, (1.8)
где супремум берется по всем шарам B в D и где
ϕB =
∫
B
− ϕ(x) dm(x) =
1
|B|
∫
B
ϕ(x) dm(x) — (1.9)
среднее значение функции ϕ по шару B. Известно, что L∞(D) ⊂
BMO(D) ⊂ Lp
loc(D) для любого 1 ≤ p < ∞. BMO функции связа-
ны во многих отношениях с квазиконформными и квазирегулярными
отображениями.
Пусть теперь D — область в R
n, n ≥ 1. Будем говорить, что фун-
кция ϕ : D → R имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ D,
пишем ϕ ∈ FMO в x0, если
lim
ε→0
−
∫
D(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε(x0)| dm(x) < ∞, (1.10)
202 К теории граничного поведения...
где для малых ε > 0
ϕε(x0) = −
∫
D(x0,ε)
ϕ(x) dm(x) =
1
|D(x0, ε)|
∫
D(x0,ε)
ϕ(x) dm(x) — (1.11)
среднее значение функции ϕ(x) по множеству
D(x0, ε) = D
⋂
B(x0, ε), (1.12)
где
B(x0, ε) = {x ∈ R
n : |x− x0| < ε}
и предполагается, что ϕ(x) интегрируема по множеству D(x0, ε) для
малых ε > 0.
Также будем говорить, что ϕ : D → R — функция конечного
среднего колебания в области D, пишем ϕ ∈ FMO(D), или просто
ϕ ∈ FMO, если ϕ имеет конечное среднее колебание в каждой точке
x ∈ D. Наконец, будем говорить, что функция ϕ : D → R — конечно-
го среднего колебания в замыкании D, пишем ϕ ∈ FMO(D), если ϕ
имеет конечное среднее колебание в каждой точке x ∈ D.
Заметим, что по предложению 2.1 в [1] функция ϕ имеет конечное
среднее колебание в точке x0, если для некоторого набора чисел ϕε ∈
R, ε ∈ (0, ε0]
lim
ε→0
−
∫
D(x0,ε)
|ϕ(x) − ϕε| dm(x) < ∞. (1.13)
В частности, если в точке x0 ∈ D
lim
ε→0
−
∫
D(x0,ε)
|ϕ(x)| dm(x) < ∞, (1.14)
то ϕ имеет конечное среднее колебание в точке x0.
Будем говорить, что область D ⊂ R
n, n ≥ 2 удовлетворяет усло-
вию удвоения меры (Лебега) в точке x0 ∈ D, если
|B(x0, 2ε) ∩D| ≤ c · |B(x0, ε) ∩D| (1.15)
для некоторого c > 0 и для всех достаточно малых ε > 0. Заметим,
что условию удвоения меры во всех граничных точках удовлетворя-
ют, в частности, области с гладкими границами, а также ограничен-
ные выпуклые области.
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 203
По лемме 2.1 в [1], если область D ⊂ R
n удовлетворяет условию
удвоения меры в 0 ∈ D и неотрицательная функция ϕ : D → R имеет
конечное среднее колебание в 0, то при n ≥ 3
∫
D(0,ε0)
ϕ(x) dm(x)
(
|x| log 1
|x|
)n < ∞ , (1.16)
т.е. указанный сингулярный интеграл сходится при некотором ε0 > 0,
а по следствию 2.3 при n ≥ 2
∫
D
⋂
A(ε,ε0)
ϕ(x) dm(x)
(
|x| log 1
|x|
)n = O
(
log log
1
ε
)
(1.17)
при ε→ 0 и некотором ε0 > 0, где
A(ε, ε0) = {x ∈ R
n : ε < |x| < ε0}. (1.18)
2. Основная лемма о продолжении Q-гомеоморфизмов
Пусть D ⊂ R
n, n ≥ 2, — область. ∂D называется сильно дости-
жимой, если для любых невырожденых континуумов E и F в D
M(∆(E,F ;D)) > 0 (2.1)
и слабо плоской, если для любых невырожденных континуумов E и
F в D с E ∩ F 6= ∅
M(∆(E,F ;D)) = ∞, (2.2)
где ∆(E,F ;D) — семейство всех путей, соединяющих E и F в D.
Известно, что любая слабо плоская граница является сильно дости-
жимой, см. лемму 5.6 в [2].
Область D ⊂ R
n, n ≥ 2, называется локально связной в точке
x0 ∈ ∂D, если x0 имеет сколь угодно малые окрестности U , для кото-
рых множества U ∩D связны. Известно, например, что любая жорда-
нова область D в R
n локально связна во всех точках своей границы
∂D, см. [3, с. 66].
Лемма 2.1. Пусть f : D → R
n, n ≥ 2, — Q-гомеоморфизм и пусть
область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, а область D′ = f(D)
имеет сильно достижимую границу. Если
∫
Dx0,ε
Q(x) · ψn
x0,ε(|x|) dm(x) = o(In
x0
(ε)) (2.3)
204 К теории граничного поведения...
при ε → 0, где Dx0,ε = {x ∈ D : ε < |x − x0| < ε0}, ε0 = δ(x0) <
diamD, и ψx0,ε(t) — неотрицательная измеримая (по Лебегу) функ-
ция на (0,∞) такая, что
0 < Ix0
(ε) =
ε0
∫
ε
ψx0,ε(t) dt < ∞ , ε ∈ (0, ε0) , (2.4)
то f может быть продолжен в x0 по непрерывности.
Кроме того, если указанные условия выполнены в каждой точке
x0 ∈ ∂D и, кроме того, Q ∈ L1(D ∩ U) для некоторой окрестности
U границы D, то f имеет гомеоморфное продолжение в D.
Доказательство. Покажем, что предельное множество E = C(x0, f)
= {y ∈ Rn : y = limk→∞ f(xk), xk → x0, xk ∈ D} состоит из един-
ственной точки. Заметим, что E — континуум, поскольку область D
локально связна в точке x0. Предположим, что континуум E — не-
вырожденный.
Пусть Γε — семейство всех путей, соединяющих сферы Sε = {x ∈
R
n : |x−x0| = ε} и S0 = {x ∈ R
n : |x−x0| = ε0} в Dx0,ε. Пусть ψ∗
x0,ε —
борелевская функция, такая что ψ∗
x0,ε(t) = ψx0,ε(t) для п.в. t ∈ (0,∞).
Такая функция ψ∗
x0,ε существует по теореме Лузина, см., напр., 2.3.5.
в [4] или [5, с. 69]. Тогда функция
ρε(x) =
{
ψ∗
x0,ε(|x− x0|)/Ix0
(ε), x ∈ Dx0,ε,
0, x ∈ R
n\Dx0,ε
является допустимой для Γε и, следовательно,
M(fΓε) ≤
∫
D
Q(x) · ρε
n(|x|) dm(x) ,
т.e. M(fΓε) → 0 при ε→ 0 ввиду (2.3).
С другой стороны, M(fΓε) ≥M0 = M(∆(fS0, E;D′)) и мы имеем,
что M0 > 0 согласно условию сильной достижимости границы ∂D′.
Полученное противоречие опровергает предположение.
Наконец, утверждение о гомеоморфности продолжения следует
из леммы 5.20 в [2].
Следствие 2.1. Если область D является локально связной на ∂D
и условие (2.3) выполнено в каждой точке x0 ∈ ∂D, Q ∈ L1(D) и
∂D′ — слабо плоская, то f продолжается до гомеоморфизма f : D →
D′.
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 205
3. Области квазиэкстремальной длины
ОбластьD ⊂ R
n, n ≥ 2 называется областью квазиэкстремальной
длины, сокр. QED областью, если
M(∆(E,F ; Rn) ≤ K ·M(∆(E,F ;D)) (3.1)
для некоторогоK ≥ 1 и для любых непересекающих континуумов E и
F в D, см. [6]. Известно, что равенство (3.1) также выполнено в QED
области для каждой пары непересекающихся континуумов E и F вD,
см. лемму 6.11 в [7, с. 35] и теорему 2.8 в [8, с. 173]. Последнее также
влечет (3.1) для невырожденых пересекающихся континуумов E и F
в D. Следовательно, QED область имеет слабо плоскую границу, ср.
лемму 3.1 в [9, с. 196]. Любая QED область является квазивыпуклой,
т.e. каждую пару точек x1 и x2 ∈ D можно соединить спрямляемой
кривой γ в D такой, что
s(γ) ≤ a · |x1 − x2| , (3.2)
см. лемму 2.7 в [6, с. 184]. Поэтому любая QED область локально
связна на границе, ср. также лемму 2.11 в [6, с. 187], и [9, с. 190].
Область D ⊂ R
n, n ≥ 2 называется равномерной областью, если
неравенства (3.2) и
min
i=1,2
s(γ(xi, x)) ≤ b · d(x, ∂D) (3.3)
выполнены для некоторого γ и для всех x ∈ γ, где γ(xi, x) — часть
γ между xi и x, см. [10]. Любая равномерная область является QED
областью, но существуют QED области, которые не являются рав-
номерными, см. [6]. Ограниченные выпуклые области дают простые
примеры равномерных областей. Отметим, что QED области удов-
летворяют условию удвоения меры в любой своей граничной точке
R
n, см. лемму 2.13 в [6, с. 188]. Отметим также, что граница такой
области имеет нулевую меру Лебега, см. следствие 2.16 в [6, с. 189].
Поскольку QED области локально связны на границе и имеют
слабо плоские границы и, следовательно, сильно достижимые грани-
цы, непосредственно из леммы 2.1 получаем приведенные ниже те-
оремы о непрерывной и гомеоморфной продолжимости на границу
Q-гомеоморфизмов между QED областями.
Теорема 3.1. Пусть f — Q-гомеоморфизм между QED областями
D и D′ в R
n, n ≥ 2, и условие (2.3) выполнено в точке x0 ∈ ∂D.
Тогда существует предел f(x) при x→ x0. Если дополнительно Q ∈
206 К теории граничного поведения...
L1(D ∩ U), где U некоторая окрестность ∂D, и (2.3) выполнено в
каждой точке x0 ∈ ∂D, то f допускает гомеоморфное продолжение
f : D → D′.
Теорема 3.1 представляет собой далеко идущее обобщение извест-
ной теоремы Геринга–Мартио о гомеоморфном продолжении на гра-
ницу для квазиконформных отображений между QED областями,
см. [6, с. 196], ср. также с теоремой 3.16 в [2] для Q-гомеоморфизмов
с мажорантойQ классаBMO(D). В частности, выбирая в (2.3) ψ(t) =
1/(t log 1
t
), имеем следующую теорему.
Теорема 3.2. Пусть f — Q-гомеоморфизм между QED областями
D и D′ в R
n, n ≥ 2. Если в каждой точке x ∈ ∂D
q(r) = O
(
[
log
1
r
]n−1
)
(3.4)
при r → 0, где q(r) — среднее значение Q(y) на пересечении сферы
|y − x| = r с областью D, то f продолжается до гомеоморфизма
f : D → D′.
Замечание 3.1. Теорема 3.2 остается в силе, если в качестве q(r)
взять средние Q(y) над всей сферой |y − x| = r, формально продле-
вая Q(y) нулем вне области D. Другие примеры критериев гомеомор-
фной продолжимости Q-гомеоморфизмов между QED областями на
границу могут быть получены из теоремы 3.1 при выборе функцио-
нального параметра ψ в виде 1/(t log 1
t
), 1/(t log 1
t
log log 1
t
) и т. д.
Один из наиболее важных случаев представлен функцией ψ(t) =
1/(t log 1
t
). QED области, области с гладкими границами и ограни-
ченные выпуклые области дают наиболее простые примеры областей,
удовлетворяющих условию удвоения меры (1.15) во всех граничных
точках. Ограничимся следующей теоремой, которая получается по
следствию 2.3 в [1], см. введение, и теореме 3.1.
Теорема 3.3. Пусть f — Q-гомеоморфизм между ограниченными
QED областями D и D′ в R
n, n ≥ 2. Если Q(x) имеет конечное
среднее колебание в каждой точке x0 ∈ ∂D, то f допускает гомео-
морфное продолжение f : D → D′.
4. Нуль-множества для экстремальных длин
Замкнутое множество X ⊂ R
n, n ≥ 2, называется нуль множе-
ством для экстремальных длин, сокр. NED множеством, если
M(∆(E,F ; Rn)) = M(∆(E,F ; Rn\X)) (4.1)
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 207
для любых двух непересекающихся континуумов E и F ⊂ R
n\X.
Замечание 4.1. Известно, что, если X ⊂ R
n является NED мно-
жеством, то
|X| = 0 , (4.2)
X локально не разбивает R
n, и
dim X ≤ n− 2 . (4.3)
Обратно, если множество X ⊂ R
n — замкнутое и
Λn−1(X) = 0 , (4.4)
то X — NED множество, см. [11].
Здесь Λn−1(X) обозначает (n− 1)-мерную хаусдорфову меру под-
множества X в R
n. Пусть f(X) обозначает предельное множество
отображения f на множестве X ⊂ ∂D, т.е.
C(X, f) = {y ∈ R
n : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0 ∈ X, xk ∈ D}.
Заметим, что дополнения NED множеств в R
n, n ≥ 2, являю-
тся весьма частным случаем QED областей, рассмотренных в преды-
дущей секции. Таким образом, рассуждая локально, получаем из лем-
мы 2.1 следующее утверждение.
Предложение 4.1. Пусть X ⊂ D и f : D\X → R
n, n ≥ 2, являет-
ся Q-гомеоморфизмом. Предположим, что X и C(X, f) являются
NED множествами и Q интегрируема в окрестности множества
X. Если условие (2.3) выполнено в каждой точке x0 ∈ X, то f имеет
гомеоморфное продолжение на D.
Отсюда, имеем следующую теорему при ψ(t) = 1/(t log 1/t) в (2.3)
в качестве одного из наиболее важных следствий предложения 4.1.
Теорема 4.1. Если Q ∈ L1
loc(D) имеет конечное среднее колебание в
каждой точке NED множества X ⊂ D, то любой Q-гомеоморфизм
f : D\X → R
n, n ≥ 2, с NED множеством C(X, f) имеет гомео-
морфное продолжение на D.
В силу замечания 4.1 имеем следующее заключение из теоре-
мы 4.1.
208 К теории граничного поведения...
Следствие 4.1. Q-гомеоморфизм f : D\X → Rn гомеоморфно про-
должим в D, если
Λn−1(X) = Λn−1(C(X, f)) = 0 (4.5)
и Q ∈ L1
loc(D) имеет конечное среднее колебание в каждой точке
замкнутого множества X ⊂ D.
В частности, Q-гомеоморфизм f : D\X → R
n гомеоморфно про-
должим в D, если все точки замкнутого множества X ⊂ D с условием
(4.5) являются точками Лебега для функции Q ∈ L1
loc(D) или, более
общо, если
lim
ε→0
−
∫
B(x, ε)
Q(y) dm(x) <∞ ∀x ∈ X. (4.6)
Другими словами, используя известный термин теории аналити-
ческих функций, данные типы сингулярностей Q-гомеоморфизмов
f : D\X → R
n являются несущественными, т.е. f продолжается
на X по непрерывности до гомеоморфизма в D.
5. Отображения с конечным искажением
Приведенные выше результаты применимы, в частности, к так
называемым BMO-квазиконформным отображениям, гомеоморфиз-
мам конечного искажения длины, см. [2] и [12, 13], и к отображени-
ям, квазиконформным в среднем. Результаты работы имеют также
множество соответствующих следствий для других классов отобра-
жений с конечным искажением. Сформулируем некоторые из них в
явном виде. Все они основаны на теореме 3.1 в [1], см. Введение.
Напомним, что сингулярные множества (n−1)-мерной хаусдорфовой
нулевой меры являются устранимыми для класса Соболева W 1,n, см.,
напр., [14, с. 16].
Начнем с изолированных особенностей гомеоморфизмов из ло-
кальных классов Соболева W 1,n
loc . Непосредственно из теорем 3.1, 4.1
и следствия 3.1 в [1] приходим к следующей теореме.
Следствие 5.1. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, x0 ∈ D, и f :
D\{x0} → R
n — гомеоморфизм класса W 1,n
loc и пусть его внутренняя
дилатация KI(x, f) мажорируется функцией Q(x) с конечным сре-
дним колебанием в точке x0. Тогда f имеет гомеоморфное продол-
жение на D.
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 209
В частности, заключение следствия 5.1 имеет место, если x0 —
точка Лебега KI(x, f) или если, более общо,
lim
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
KI(x, f) dm(x) < ∞ . (5.1)
Аналоги известной теоремы Пенлеве также имеют место для го-
меоморфизмов класса W 1,n
loc , ср. [15]. Следующее утверждение выте-
кает непосредственно из теорем 3.1, 6.1 и следствия 5.2 в [1].
Следствие 5.2. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, X — замкнутое
подмножество D нулевой длины и пусть f : D\X → R
n — гомео-
морфизм класса W 1,n
loc (D\X). Если KI(x, f) ≤ Q(x) и мажоранта
Q(x) имеет конечное среднее колебание в любой точке x0 ∈ X, то f
допускает гомеоморфное продолжение на D.
В частности, заключение следствия 5.2 имеет место, если условие
(5.1) выполнено для каждой точки x0 ∈ X.
Замечание 5.1. Как ясно из известного примера (Жуковского) кон-
формного отображения f дополнения отрезка на дополнение замкну-
того единичного круга в C, условие нулевой длины для сингулярных
множеств является существенным, и результаты не могут быть рас-
пространены (без дополнительных геометрических условий) на син-
гулярные множества конечной положительной длины даже при наи-
лучшей возможной дилатации K(x, f) ≡ 1.
В этом контексте отметим интересную работу [16], где доказа-
на устранимость для ограниченных квазиконформных отображений
замкнутых множеств с нулевыми (n − 1)-мерными проекциями на
координатные гиперплоскости, которые могут быть положительной
длины. Однако, это становится возможно только благодаря дополни-
тельному условию о нулевых проекциях.
Результаты о гомеоморфной продолжимости Q-гомеоморфизмов
могут быть распространены на сингулярные множества X положи-
тельной длины при дополнительных условиях на размер предельного
множества C(X, f).
Следующее утверждение получается непосредственно из теоре-
мы 3.1 в [1] и следствия 4.1, см. также замечание 4.1.
Следствие 5.3. Пусть D — область в R
n, n ≥ 2, f : D\X → R
n —
гомеоморфизм класса W 1,n
loc (D\X) и пусть X — замкнутое подмно-
жество D c
Λn−1(X) = Λn−1(C(X, f)) = 0 . (5.2)
210 К теории граничного поведения...
Если KI(x, f) ≤ Q(x) и мажоранта Q(x) ∈ L1
loc(D) имеет конечное
среднее колебание в каждой точке x0 ∈ X, то f допускает гомео-
морфное продолжение на D.
Заключение следствия 5.3 имеет место, в частности, при условии
(5.1) в каждой точке x0 ∈ X.
Наконец, комбинируя теорему 3.1 в [1] и теорему 3.3, получаем
следующee обобщение результата Геринга–Мартио о квазиконформ-
ных отображениях, см. [5, с. 196], ср. также [12].
Следствие 5.4. Пусть f ∈ W 1,n
loc (D) — гомеоморфизм между огра-
ниченными QED областями D и D′ в R
n, n ≥ 2. Если KI(x, f) ≤
Q(x), где Q(x) ∈ L1(D) имеет конечное среднее колебание в каждой
точке x0 ∈ ∂D, то f имеет гомеоморфное продолжение f : D → D′.
Здесь также можно использовать условия типа (3.4), см. замеча-
ние 3.1.
Следствие 5.5. Если гомеоморфизм f ∈ W 1,n единичного шара B
n,
n ≥ 2, на себя с f(0) = 0 удовлетворяет условию
lim
ε→0
∫
B∗(x0,ε)
− KI(x, f) dm(x) <∞ ∀x0 ∈ ∂B
n, (5.3)
где B∗(x0, ε) = B(x0, ε)∩B
n, то гомеоморфизм f продолжим по отра-
жению через ∂B
n до гомеоморфизма R
n класса f ∈W 1,n
loc .
Благодарности. Исследование было частично поддержано гран-
тами Хельсинского университета и Израильского института техноло-
гий, а также грантом 01.07/00241 Государственного фонда фундамен-
тальных исследований Украины.
Постскриптум. Работа посвящена светлой памяти Андрея, ко-
торый умер 3 апреля 2004 года от рака в возрасте 25 лет. Здесь под-
водится итог нашим с ним совместным исследованиям по теории гра-
ничного поведения пространственных отображений.
Литература
[1] А. Игнатьев и В. Рязанов, Конечное среднее колебание в теории отображе-
ний // Украинский математический вестник 2 (2005) N 3, 395–417.
[2] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, On Q-homeomorphisms //
Ann. Acad. Sci. Fenn. 30 (2005), N 1, 1–21.
[3] R. L. Wilder, Topology of Manifolds, AMS, New York, 1949.
[4] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer, Berlin etc., 1969.
А. А. Игнатьев, В. И. Рязанов 211
[5] S. Saks, Theory of the Integral, New York, Dover Publ. Inc., 1964.
[6] F. W. Gehring and O. Martio, Quasiextremal distance domains and extension of
quasiconformal mappings // J. Analyse Math. 24 (1985), 181–206.
[7] O. Martio and M. Vuorinen, Whitney cubes, p−capacity and Minkowski content //
Expo. Math. 5 (1987), 17–40.
[8] D. A. Herron and P. Koskela, Quasiextremal distance domains and quasiconformal
mappings onto circle domains // Complex Variables Theory Appl. 15 (1990), N 3,
167–179.
[9] D. A. Herron and P. Koskela, Locally uniform domains and quasiconformal mappi-
ngs // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI. Math. 20 (1995), 187–206.
[10] O. Martio and J. Sarvas, Injectivity theorems in plane and space // Ann. Acad.
Sci. Fenn. Ser. AI. Math. 4 (1978/1979), 383–401.
[11] J. Vaisala, On the null-sets for extremal distances // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser.
AI. 322 (1962), 1–12.
[12] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, Q−homeomorphisms //
Contemporary Math. 364 (2004), 193–203.
[13] O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, and E. Yakubov, Mappings with finite length
distortion // J. d’Anal. Math. 93 (2004), 215–236.
[14] V. G. Maz’ya and S. V. Poborchi, Differentiable Functions on Bad Domains,
Singapure etc., World Sci., 1997.
[15] A. S. Besicovitch, On sufficient conditions for a function to be analytic // Proc.
London Math. Soc. 32 (1932), 1–9.
[16] V. M. Mikljukov, Removable singularities of quasiconformal mappings in space //
Dokl. Akad. Nauk SSSR 188 (1969), 525–527.
Сведения об авторах
Владимир Ильич
Рязанов
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Р. Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: ryazanov@www.math.helsinki.fi,
ryaz@iamm.ac.donetsk.ua,
ryazanov@iamm.ac.donetsk.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124549 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:39:59Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Игнатьев, А.А. Рязанов, В.И. 2017-09-29T07:44:40Z 2017-09-29T07:44:40Z 2006 К теории граничного поведения пространственных отображений / А.А. Игнатьев, В.И. Рязанов // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 199-211. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30C65, 30C75. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124549 В работе сформулирован ряд теорем о непрерывной и гомеоморфной продолжимости Q-гомеоморфизмов на регулярные границы и, в частности, при мажоранте Q конечного среднего колебания в точках границы, доказано обобщение известной теоремы Геринга–Мартио о продолжении квазиконформных отображений на границу. Результаты применимы к различным классам отображений с конечным искажением, которые интенсивно исследуются в последние годы в работах многих ведущих специалистов по теории отображений и, в частности, к отображениям класса Соболева. Исследование было частично поддержано грантами Хельсинского университета и Израильского института технологий, а также грантом 01.07/00241 Государственного фонда фундаментальных исследований Украины. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник К теории граничного поведения пространственных отображений Article published earlier |
| spellingShingle | К теории граничного поведения пространственных отображений Игнатьев, А.А. Рязанов, В.И. |
| title | К теории граничного поведения пространственных отображений |
| title_full | К теории граничного поведения пространственных отображений |
| title_fullStr | К теории граничного поведения пространственных отображений |
| title_full_unstemmed | К теории граничного поведения пространственных отображений |
| title_short | К теории граничного поведения пространственных отображений |
| title_sort | к теории граничного поведения пространственных отображений |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124549 |
| work_keys_str_mv | AT ignatʹevaa kteoriigraničnogopovedeniâprostranstvennyhotobraženii AT râzanovvi kteoriigraničnogopovedeniâprostranstvennyhotobraženii |