Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа
В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного стохастического уравнения параболического типа допускает расслоение.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124551 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 242-259. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124551 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Мельник, С.А. 2017-09-29T07:46:43Z 2017-09-29T07:46:43Z 2006 Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 242-259. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 60H15, 35R60. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124551 В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного стохастического уравнения параболического типа допускает расслоение. Автор выражает глубокую признательность рецензенту за внимание, проявленное к работе, и высказанные замечания. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| spellingShingle |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа Мельник, С.А. |
| title_short |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| title_full |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| title_fullStr |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| title_full_unstemmed |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| title_sort |
расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа |
| author |
Мельник, С.А. |
| author_facet |
Мельник, С.А. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Український математичний вісник |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
В работе получены условия, при которых обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного стохастического уравнения параболического типа допускает расслоение.
|
| issn |
1810-3200 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124551 |
| citation_txt |
Расслоение решения квазилинейного стохастического уравнения параболического типа / С.А. Мельник // Український математичний вісник. — 2006. — Т. 3, № 2. — С. 242-259. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT melʹniksa rassloenierešeniâkvazilineinogostohastičeskogouravneniâparaboličeskogotipa |
| first_indexed |
2025-11-27T04:24:13Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:24:13Z |
| _version_ |
1850796265382608896 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 3 (2006), № 2, 242 – 259
Расслоение решения квазилинейного
стохастического уравнения
параболического типа
Сергей А. Мельник
(Представлена С. Я. Махно)
Аннотация. В работе получены условия, при которых обобщенное
решение задачи Коши для квазилинейного стохастического уравне-
ния параболического типа допускает расслоение.
2000 MSC. 60H15, 35R60.
Ключевые слова и фразы. Стохастическое уравнение в частных
производных, амплитуда.
1. Определения, обозначения, постановка задачи
На полном вероятностном пространстве (Ω,F,P) рассмотрим сле-
дующую задачу Коши в R
1
du(t, x) = auxx(t, x) dt + b|u(t, x)|γ−1u(t, x) dw(t),
t ∈ [0; τ(ω)), x ∈ R
1,
u(0, x) = u0(x).
(1.1)
Здесь w(t) — стандартный винеровский процесс со значениями в R
1,
согласованный с потоком σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0; a, b — положительные
числа, γ > 1; τ(ω) — марковский момент остановки, согласованный
с потоком σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0; u0(x) — неслучайная неотрицатель-
ная функция, u0 ∈ W 1
2 (R1) ∩ Lγ+1(R
1). Буквенный индекс, стоящий
внизу возле знака функции, означает взятие частной производной по
соответствующей переменной.
Определение решения задачи (1.1) на случайном отрезке времени
[0; τ(ω)) дадим следуя аналогичному определению для обыкновенных
стохастических дифференциальных уравнений, сформулированному
в [1, c. 246].
Статья поступила в редакцию 28.10.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
С. А. Мельник 243
Определение 1.1. Решением задачи (1.1) будем называть случай-
ный процесс u(t, x), подчиненный потоку σ-алгебр {Ft}, t ≥ 0, для
которого существует марковский момент τ(ω) такой, что при лю-
бом 0 < T < +∞
M sup
t∈[0;T∧τ)
∫
|u(t, x)|2 dx < +∞,
M
T∧τ∫
0
∫
|ux(t, x)|2 dx dt < +∞,
M
T∧τ∫
0
(∫
|u(t, x)|γ+1dx
)2
dt < +∞
и ∀ g ∈ W 1
2 (R1)∩Lγ+1(R
1), ∀ t ∈ [0; τ) с вероятностью 1 справедливо
равенство
∫
u(t, x)g(x) dx −
∫
u0(x)g(x) dx
= −a
t∫
0
∫
ux(s, x)gx(x) dx ds
+ b
t∫
0
∫
|u(s, x)|γ−1u(s, x)g(x) dx dw(s).
Здесь и далее М — символ математического ожидания.
Далее в работе будут использоваться следующие обозначения:
p = ‖v‖2 =
∫
|v(y)|2 dy,
z = ‖vy‖2 =
∫
|vy(y)|2 dy,
q =
∣∣‖v‖
∣∣γ+1
=
∫
|v(y)|γ+1 dy;
f(u) =
1
2
‖u(t, ·)‖2 − 1
2
‖u(0, ·)‖2
+
a
2
t∫
0
‖ux(s, ·)‖2 ds − b
γ + 1
t∫
0
|‖u(s, ·)‖|γ+1 dw(s);
244 Расслоение решения...
M =
((γ + 1)(3 − γ)B
2b
) 1
γ−1
, N = 2A − (γ − 2)B2, µ =
2aM2(γ−1)
(γ − 3)N
.
Определение 1.2. Говорят, что процесс u(t, x) допускает расслое-
ние, если он может быть представлен в виде: u(t, x)=r(t)v(xrm(t)),
где r(t) — случайный процесс, который с вероятностью 1 принима-
ет положительные значения, m ∈ R
1, v ∈ W 1
2 (R1) ∩ Lγ+1(R
1). Про-
цесс r(t) называют амплитудой решения, функцию v(y) пространс-
твенной формой решения, точку xf (t) = {min x > 0 : v(xrm(t)) = 0}
точкой фронта решения.
Замечание 1.1. В данной работе за основу принят подход к изуче-
нию нелинейных уравнений в частных производных, предложенный
в работе [2].
Замечание 1.2. В теории детерминированных уравнений в частных
производных параболического типа со степенными нелинейностями
большую роль играют решения, пространственная форма которых
является дифференцируемой в нуле четной неотрицательной фун-
кцией, убывающей на положительной полуоси. В данной работе рас-
сматриваются решения с аналогичными свойствами.
Постановка задачи. Пусть исходные данные задачи (1.1) удовле-
творяют перечисленным выше ограничениям. Выясним, при каких
условиях решение задачи (1.1) допускает расслоение, а также по-
строим уравнения, которым удовлетворяют амплитуда и пространс-
твенная форма решения.
2. Основные результаты
Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия.
1) γ ∈ (1; 3) ∪ (3; +∞), N 6= 0, (3 − γ)B > 0.
2) r(t) является решением уравнения
dr(t) = Ar2γ−1(t) dt + Brγ(t) dw(t), r(0) > 0. (2.1)
3) v(y) является решением задачи
µ(p/q)2vyy(y) + (γ + 1)(p/q)vγ(y) − v(y) = 0, y ∈ R
1,
v(y) ≥ 0, v(−y) = v(y), vy(0) = 0, v(+∞) = 0.
(2.2)
4) u0(x) = r(0)M(p/q)1/(γ−1)v
(
xrγ−1(0)Mγ−1p/q
)
.
Тогда решение задачи (1.1) допускает расслоение следующего вида
u(t, x) = r(t)M(p/q)1/(γ−1)v
(
xrγ−1(t)Mγ−1p/q
)
.
С. А. Мельник 245
3. Вспомогательные результаты
В данном разделе предполагаются выполненными условия теоре-
мы 2.1.
Замечание 3.1. Согласно теореме 6 [1, c. 246] для любых действи-
тельных чисел A и B решение уравнения (2.1) существует и един-
ственно на некотором случайном отрезке времени [0; τ(ω)], причем
P{τ(ω) > 0} = 1 и P
{
sup
t∈[0;τ(ω)]
|r(t)| = +∞
}
= 1.
Кроме того, как показано в [3, c. 73] решение задачи (2.1) является
случайным процессом, который с вероятностью 1 при всех t ≥ 0 при-
нимает неотрицательные значения. Поэтому степенные выражения в
уравнении (2.1) определены.
Лемма 3.1. Пусть δ > 0. Задача
VY Y (Y ) + (γ + 1)δ|V (Y )|γ−1V (Y ) − V (Y ) = 0,
Y ≥ 0, VY (0) = 0, V (0) = V0 > (2δ)1/(1−γ)
(3.1)
имеет единственное обобщенное неотрицательное решение, кото-
рое обладает следующими свойствами:
1. Решение имеет конечную точку фронта
Y0 = inf {Y ≥ 0 : V (Y ) ≤ 0} < +∞
такую, что V (Y ) > 0, если Y ∈ (0; Y0) и V (Y ) = 0, если Y ≥ Y0.
2. VY Y (0) < 0.
3. Существует ǫ > 0 такое, что VY Y > 0, если Y ∈ (Y0 − ǫ; Y0).
Доказательство. Обозначим G(V ) = V − (γ + 1)δ|V |γ−1V . Функция
G(V ) локально липшицева. Действительно, если |V | ≤ R, то |GV | =
|1−γ(γ +1)δ|V |γ−1| ≤ 1+γ(γ +1)δRγ−1. Тогда по формуле конечных
приращений при любых |V1| ≤ R, |V2| ≤ R имеем неравенство
|G(V1) − G(V2)|
=
∣∣∣∣∣
1∫
0
(1 − γ(γ + 1)δ|V1 + θ(V2 − V1)|γ−1) dθ
∣∣∣∣∣|V1 − V2|
≤ (1 + γ(γ + 1)δRγ−1)|V1 − V2|.
246 Расслоение решения...
Согласно [4, c. 89] в любой области |V | ≤ R задача (3.1) имеет един-
ственное решение. Решение задачи (3.1) является непрерывной фун-
кцией и V (0) > 0. Значит, либо V (Y ) > 0 ∀Y ≥ 0, либо существует то-
чка Y0 > 0 такая, что Y0 = inf {Y ≥ 0 : V (Y ) ≤ 0} < +∞. В этом слу-
чае положим V (Y ) = 0 при Y ≥ Y0. В первом случае получим класси-
ческое неотрицательное решение задачи (3.1), во втором случае по-
лучим обобщенное неотрицательное решение задачи (3.1). Поэтому
далее знак модуля функции V (Y ) будет опускаться. Решение задачи
(3.1) не может быть константой, так как если V (Y ) ≡ C, то из урав-
нения (3.1) получим равенство C−(γ+1)δCγ = 0, то есть, либо C = 0,
либо C = ((γ+1)δ)1/(1−γ). Но V (0) > (2δ)1/(1−γ) > ((γ+1)δ)1/(1−γ) > 0.
Значит V (Y ) не может быть константой. Понизим порядок уравне-
ния (3.1). Для этого умножим его на VY (Y ) и проинтегрируем. В
результате получим уравнение
VY (Y ) = −
√
C0 + V 2(Y ) − 2δV γ+1(Y ), (3.2)
где C0 = 2δV γ+1
0 − V 2
0 > 0. В правой части этого уравнения перед
знаком корня квадратного взят знак минус, так как согласно замеча-
нию 1.2 мы рассматриваем пространственные формы, которые явля-
ются убывающими функциями на положительной полуоси. Из (3.2)
следует, что если V → 0, то VY → −
√
C0 < 0. Значит, найдется точка
Y0 ∈ (0; +∞) такая, что V (Y0) = 0. Следовательно, задача (3.1) име-
ет обобщенное решение, которое является неотрицательной финитной
функцией.
Выясним характер выпуклости решения задачи (3.1) в окрестно-
сти точек Y = 0 и Y = Y0. Запишем уравнение (3.1) в следующем
виде VY Y (Y ) = V (Y ) − (γ + 1)δV γ(Y ). Тогда, VY Y (0) = V0
(
1 − (γ +
1)δV γ−1
0
)
< 0, так как V (0) > (2δ)1/(1−γ) > ((γ + 1)δ)1/(1−γ) > 0. В
окрестности точки фронта Y0 значения функции V (Y ) близки к нулю.
Значит, в этой окрестности VY Y (Y )=V (Y )
(
1 − (γ + 1)δV γ−1(Y )
)
>0.
Лемма 3.1 доказана.
Лемма 3.2. Если V0 > (2δ)1/(1−γ), то решение задачи (3.1) ограни-
чено снизу функцией
V̌ (Y ) =
{
V0 cos ĽY, 0 ≤ Y ≤ 0.5π/Ľ,
0, Y > 0.5π/Ľ,
где Ľ =
√
δ(γ + 1)V γ−1
0 − 1.
С. А. Мельник 247
Доказательство. Функция V̌ (y) является обобщенным решением за-
дачи
V̌Y (Y ) = −Ľ
√
V 2
0 − V̌ 2(Y ), Y ≥ 0, V̌ (0) = V0. (3.3)
Сравним правые части этого уравнения и уравнения (3.2). Докажем,
что при V ∈ [0;V0] имеет место неравенство Ľ2(V 2
0 −V 2) ≥ C0 + V 2 −
2δV γ+1. Найдем наименьшее значение выражения Ľ2(V 2
0 −V 2)−C0−
V 2 + 2δV γ+1 на отрезке V ∈ [0;V0]. Исследуем производную этого
выражения при V ∈ [0;V0].
[
Ľ2(V 2
0 − V 2) − C0 − V 2 + 2δV γ+1
]
V
= 2δ(γ + 1)V (V γ−1 − V γ−1
0 ) ≤ 0.
Значит, минимальное значение достигается при V = V0 и равно нулю.
Следовательно, правая часть уравнения (3.3) не превосходит правую
часть уравнения (3.2). Тогда, согласно теореме 3 [5, c. 39] решение
задачи (3.1) ограничено снизу решением задачи (3.3). Лемма 3.2 до-
казана.
Лемма 3.3. Если V0 > (2δ)1/(1−γ), то решение задачи (3.1) ограни-
чено сверху функцией
V̂ (Y ) =
{
V0 cos L̂Y, 0 ≤ Y ≤ 0.5π/L̂,
0, Y > 0.5π/L̂,
где L̂ =
√
2δV γ−1
0 − 1.
Доказательство. Функция V̂ (y) является обобщенным решением за-
дачи
V̂Y (Y ) = −L̂
√
V 2
0 − V̂ 2(Y ), Y ≥ 0, V̂ (0) = V0. (3.4)
Сравним правые части этого уравнения и уравнения (3.2). Докажем,
что при V ∈ [0;V0] имеет место неравенство L̂2(V 2
0 − V 2) ≤ C0 +
V 2 − 2δV γ+1. Найдем наименьшее значение выражения C0 + V 2 −
2δV γ+1 − L̂2(V 2
0 −V 2) на отрезке V ∈ [0;V0]. Исследуем производную
этого выражения при V ∈ [0;V0].
[
C0 + V 2 − 2δV γ+1 − L̂2(V 2
0 − V 2)
]
V
= 2δV (2V γ−1
0 − (γ + 1)V γ−1) = 0.
Корнями этого уравнения являются: V1 = 0 и V2 =
(
2
γ+1
)1/(γ−1)
V0 <
V0. Точка V2 является точкой максимума рассматриваемого выраже-
ния. Значит, минимальное значение достигается при V = V0 и равно
нулю. Следовательно, правая часть уравнения (3.4) не меньше пра-
вой части уравнения (3.2). Тогда, согласно теореме 3 [5, c. 39] решение
задачи (3.1) ограничено сверху решением задачи (3.4). Лемма 3.3 до-
казана.
248 Расслоение решения...
Следствие 3.1. Точка Y0, являющаяся точкой фронта решения за-
дачи (3.1), удовлетворяет следующему неравенству
π
2Ľ
≤ Y0 ≤ π
2L̂
.
Лемма 3.4. Пусть δ > 0. Задача
VY Y (Y ) − (γ + 1)δ|V (Y )|γ−1V (Y ) + V (Y ) = 0,
Y ≥ 0, VY (0) = 0, V (0) = V0 ∈
(
0; ((γ + 1)γδ)1/(1−γ)
) (3.5)
имеет единственное обобщенное неотрицательное решение, кото-
рое обладает следующими свойствами:
1. Решение имеет конечную точку фронта
Y0 = inf {Y ≥ 0 : V (Y ) ≤ 0} < +∞
такую, что V (Y ) > 0, если Y ∈ (0; Y0) и V (Y ) = 0, если Y ≥ Y0.
2. VY Y (0) < 0.
3. Существует ǫ > 0 такое, что VY Y < 0, если Y ∈ (Y0 − ǫ; Y0).
Доказательство. Доказательство существования и единственности
решения повторяет аналогичный этап в доказательстве леммы 3.1,
так как, если функция G(V ) локально липшицева, то и функция
−G(V ) локально липшицева. Решение задачи (3.5) не может быть
константой, так как если V (Y ) ≡ C, то из уравнения (3.5) полу-
чим равенство (γ + 1)δCγ − C = 0, то есть, либо C = 0, либо C =
((γ + 1)δ)1/(1−γ). Но 0 < V (0) < ((γ + 1)γδ)1/(1−γ) < ((γ + 1)δ)1/(1−γ).
Значит V (Y ) не может быть константой. Понизим порядок уравне-
ния (3.5). Для этого умножим его на VY (Y ) и проинтегрируем. В
результате получим уравнение
VY (Y ) = −
√
−C0 − V 2(Y ) + 2δV γ+1(Y ), (3.6)
где C0 = 2δV γ+1
0 − V 2
0 < 0. Рассуждая, как и в доказательстве лем-
мы 3.1, получим обобщенное финитное неотрицательное решение за-
дачи (3.5). Выясним характер выпуклости решения задачи (3.5) в
окрестности точек Y = 0 и Y = Y0. Запишем уравнение (3.5) в сле-
дующем виде VY Y (Y ) = (γ + 1)δV γ(Y ) − V (Y ). Тогда, VY Y (0) =
V0
(
(γ + 1)δV γ−1
0 − 1
)
< 0, поскольку V (0) < ((γ + 1)γδ)1/(1−γ) <
((γ + 1)δ)1/(1−γ). В окрестности точки фронта Y0 значения функции
V (Y ) близки к нулю. Значит, в этой окрестности VY Y (Y ) = V (Y )
(
(γ+
1)δV γ−1(Y ) − 1
)
< 0. Лемма 3.4 доказана.
С. А. Мельник 249
Лемма 3.5. Если V0 ∈
(
0; ((γ+1)γδ)1/(1−γ)
)
, то решение задачи (3.5)
ограничено снизу функцией
V̆ (Y ) =
{
V0 cos L̆Y, 0 ≤ Y ≤ 0.5π/L̆,
0, Y > 0.5π/L̆,
где L̆ =
√
1 − 2δV γ−1
0 .
Доказательство. Функция V̆ (Y ) является обобщенным решением
задачи
V̆Y (Y ) = −L̆
√
V 2
0 − V̆ 2(Y ), Y ≥ 0, V̆ (0) = V0. (3.7)
Сравним правые части уравнений (3.7) и (3.6). Докажем, что при
V ∈ [0;V0] имеет место неравенство L̆2(V 2
0 −V 2) ≥ −C0+2δV γ+1−V 2.
Найдем наименьшее значение выражения L̆2(V 2
0 −V 2)+C0−2δV γ+1+
V 2 на отрезке V ∈ [0;V0]. Исследуем производную этого выражения
на указанном отрезке.
[
2δV γ−1
0 V 2 − 2δV γ+1
]
V
= 2δV
[
2V γ−1
0 − (γ + 1)V γ−1
]
= 0.
Корнями этого уравнения являются V1 = 0 и V2 = (2/(γ + 1))1/(γ−1)V0
∈ [0;V0], причем, первая точка является точкой минимума, а вто-
рая — точкой максимума. Значит, исследуемое выражение достигает
наименьшего значения на концах отрезка и это значение равно ну-
лю. Таким образом, неравенство доказано и правая часть уравнения
(3.7) не превосходит правой части уравнения (3.6). Тогда, согласно
теореме 3 [5, c. 39] решение задачи (3.5) ограничено снизу решением
задачи (3.7). Лемма 3.5 доказана.
Лемма 3.6. Если V0 ∈
(
0; ((γ + 1)γδ)1/(1−γ)
)
, то решение задачи
(3.5) ограничено сверху функцией
V̂ (Y ) =
{
V0 − 0.25L̂2Y 2, 0 ≤ Y ≤ 2/L̂,
0, Y > 2/L̂,
где L̂ =
√
V0
(
1 − (γ + 1)γδV γ−1
0
)
.
Доказательство. Функция V̂ (y) является обобщенным решением за-
дачи
V̂Y (Y ) = −L̂
√
V0 − V̂ (Y ), Y ≥ 0, V̂ (0) = V0. (3.8)
250 Расслоение решения...
Сравним правые части уравнений (3.8) и (3.6). Докажем, что при
V ∈ [0;V0] имеет место неравенство L̂2(V0−V ) ≤ −C0+2δV γ+1−V 2. В
точке V = V0 левая и правая части этого неравенства равны. В точке
V = 0 левая часть меньше правой. На интервале V ∈ (0; V0) пра-
вая часть неравенства является выпуклой вверх функцией. Значит,
неравенство имеет место. Тогда, согласно теореме 3 [5, c. 39] реше-
ние задачи (3.5) ограничено сверху решением задачи (3.8). Лемма 3.6
доказана.
Следствие 3.2. Точка Y0, являющаяся точкой фронта решения за-
дачи (3.5), удовлетворяет следующему неравенству 0.5π/L̆ ≤ Y0 ≤
0.5π/L̂.
Лемма 3.7. Существует такое v0 > 0, что задача
µ(p/q)2vyy(y) + (γ + 1)(p/q)vγ(y) − v(y) = 0, y ≥ 0,
vy(0) = 0, v(0) = v0
(3.9)
имеет единственное обобщенное неотрицательное решение, кото-
рое отлично от нуля лишь на интервале конечной длины.
Доказательство. Пусть (γ−3)N > 0. Тогда µ > 0. Рассмотрим фун-
кции V (Y ), V̌ (Y ) и V̂ (Y ), которые являются решениями задач (3.1),
(3.3) и (3.4) соответственно. Обозначим: p̌ = ‖V̌ ‖2, q̌ = |‖V̌ ‖|γ+1,
p = ‖V ‖2, q = |‖V ‖|γ+1, p̂ = ‖V̂ ‖2, q̂ = |‖V̂ ‖|γ+1. Так как согласно
лемме 3.2 и лемме 3.3 имеет место неравенство V̌ (Y ) ≤ V (Y ) ≤ V̂ (Y ),
то p̌/q̂ ≤ p/q ≤ p̂/q̌. Учитывая вид функций V̌ (Y ) и V̂ (Y ), получаем:
p̌ = 0.5πV 2
0 /Ľ, p̂ = 0.5πV 2
0 /L̂,
q̌ =
√
πV γ+1
0 Γ(0.5γ + 1)
ĽΓ(0.5γ + 1.5)
, q̂ =
√
πV γ+1
0 Γ(0.5γ + 1)
L̂Γ(0.5γ + 1.5)
.
Здесь Γ — символ гамма-функции. Тогда справедливо неравенство
√
πL̂Γ(0.5γ + 1.5)V 1−γ
0
2ĽΓ(0.5γ + 1)
≤ p
q
≤
√
πĽΓ(0.5γ + 1.5)V 1−γ
0
2L̂Γ(0.5γ + 1)
.
Если V0 изменяется от (2δ)1/(1−γ) до +∞, то правая часть этого не-
равенства пробегает все значения от +∞ до 0. Значит, существует
δ > 0, для которого можно так выбрать V0, что выполнится равен-
ство p/q = δ. Тогда уравнение (3.1) принимает вид
VY Y (Y ) + (γ + 1)(p/q)V γ(Y ) − V (Y ) = 0.
С. А. Мельник 251
Произведем замену переменных Y = yq/(p
√
µ), v(y) = V (yq/(p
√
µ)).
При этом учтем, что p = pq(p
√
µ), q = qq/(p
√
µ), p/q = p/q. Тог-
да введенная функция v(y) удовлетворяет уравнению (3.9). Так как
V (Y ) ≥ 0, VY (0) = 0, V (0) = V0, то v(y) ≥ 0, vy(0) = 0, v(0) =
V0. Поскольку V (Y ) имеет ограниченный носитель, то и v(y) имеет
ограниченный носитель. При этом её точка фронта y0 удовлетворяет
неравенству
π
√
µp
2qĽ
≤ y0 ≤ π
√
µp
2qL̂
.
Пусть теперь (γ − 3)N < 0. Тогда µ < 0. Используя леммы 3.5 и 3.6 с
помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше, получаем
утверждение леммы. Лемма 3.7 доказана.
Следствие 3.3. Четная функция v(y), которая при y ≥ 0 совпадает
с решением задачи (3.9), является решением задачи (2.2).
Доказательство. Решение задачи (3.9) является финитной диффе-
ренцируемой в нуле функцией и её производная в этой точке равна
нулю. Кроме того, эта функция положительна при 0 ≤ y < y0 и равна
нулю при y ≥ y0. Отразив эту функцию симметрично относительно
оси 0v, получим решение задачи (2.2). Следствие доказано.
Замечание 3.2. В силу неотрицательности функций r(t), v(y) и
V (Y ) далее знаки их модулей будут опускаться.
4. Доказательство теоремы 2.1
Функционал f(u), введённый в разделе 1, определён на прост-
ранстве L2
(
[0;T ) × Ω; W 1
2 (R1)
)
. Докажем, что функционал f(u) диф-
ференцируем по Гато по подпространству W 1
2 (R1) в среднем квадра-
тическом и его дифференциал по подпространству равен
Df(u) =
∫
u(t, x)g(x) dx
−
∫
u(0, x)g(x) dx + a
t∫
0
∫
ux(s, x)gx(x) dx ds
− b
t∫
0
∫
|u(s, x)|γ−1u(s, x)g(x) dx dw(s). (4.1)
252 Расслоение решения...
Здесь g ∈ W 1
2 (R1). Согласно [6, c. 118] функционал f(u) называется
дифференцируемым в точке u по подпространству W 1
2 (R1), если фун-
кционал F (h) = f(u + h) дифференцируем по h ∈ W 1
2 (R1) в точке 0.
Дифференцируемость интегралов Лебега, входящих в f(u), является
известным фактом [7, c. 316]. Докажем, что стохастический инте-
грал, входящий в f(u), дифференцируем по Гато по подпространству
W 1
2 (R1) в среднем квадратическом и его дифференциал по подпро-
странству равен:
(γ + 1)
t∫
0
∫
|u(s, x)|γ−1u(s, x)g(x) dx dw(s),
т.е. докажем справедливость равенства
lim
h→0
M
∣∣∣∣∣
1
h
t∫
0
∫ (
|u + hg|γ+1 − |u|γ+1
)
dx dw(s)
− (γ + 1)
t∫
0
∫
|u|γ−1ug dx dw(s)
∣∣∣∣∣
2
= 0. (4.2)
Применив формулу конечных приращений, получаем
M
∣∣∣∣∣
t∫
0
∫ (1
h
(
|u + hg|γ+1 − |u|γ+1
)
− (γ + 1)|u|γ−1ug
)
dx dw(s)
∣∣∣∣∣
2
= (γ+1)2M
t∫
0
(∫ 1∫
0
(
|u + θhg|γ−1(u + θhg) − |u|γ−1u
)
dθg(x) dx
)2
ds
≤ (γ+1)2M
t∫
0
∫ 1∫
0
(
|u + θhg|γ−1(u + θhg) − |u|γ−1u
)2
dθ dx ds·‖g‖2.
По теореме Лебега [8, c. 284] в правой части этого неравенства мо-
жно перейти к пределу по h → 0 под знаком интеграла и получить
соотношение (4.2). Итак, доказано, что функционал f(u) дифферен-
цируем по Гато по подпространству W 1
2 (R1) в среднем квадратиче-
ском и его дифференциал имеет вид (4.1). Заметим, что два предела
в среднем квадратическом одной и той же последовательности совпа-
дают с вероятностью 1. Таким образом, обобщенное решение задачи
(1.1) является точкой, в которой дифференциал функционала f по
подпространству W 1
2 (R1) обращается в нуль.
С. А. Мельник 253
Докажем, что функционал f(u) имеет критическую точку, допу-
скающую расслоение. Подставим в f(u) вместо u следующее выра-
жение u(t, x) = r(t)φ(p, q)v(y), где r(t) — решение уравнения (2.1) с
некоторыми действительными A, B и положительным r(0), φ(p, q) —
некоторая неотрицательная дифференцируемая функция, v(y) — ре-
шение задачи (2.2), y = xrγ−1(t)φγ−1(p, q). Согласно замечанию 3.1
процесс r(t) существует, единственен и принимает неотрицательные
значения. Согласно следствию из леммы 3.7 функция v(y) может
быть построена. Тогда для f(u) получим представление
f(u) =
1
2
pφ3−γ(p, q)
(
r3−γ(t) − r3−γ(0)
)
+
az
2
φγ+1(p, q)
t∫
0
rγ+1(s) ds − bq
γ + 1
φ2(p, q)
t∫
0
r2(s) dw(s).
Выберем функцию φ(p, q) так, чтобы выполнилось равенство
1
2
pφ3−γ(p, q) =
bq
(γ + 1)(3 − γ)B
φ2(p, q).
Тогда φ(p, q) = M(p/q)1/(γ−1) и функционал f(u) принимает вид
f(u) =
p
2
M3−γ
(p
q
) 3−γ
γ−1
(
r3−γ(t) − r3−γ(0) − (3 − γ)B
t∫
0
r2(s) dw(s)
)
+
az
2
Mγ+1
(p
q
) γ+1
γ−1
t∫
0
rγ+1(s) ds.
Поскольку процесс r(t) является решением задачи (2.1), то согласно
формуле Ито
r3−γ(t) − r3−γ(0) =
(3 − γ)N
2
t∫
0
rγ+1(s) ds + (3 − γ)B
t∫
0
r2(s) dw(s).
Следовательно
f(u) =
M3−γ(3 − γ)N
4
t∫
0
rγ+1(s) ds
[
p
2
γ−1 q
3−γ
1−γ − µzp
γ+1
γ−1 q
γ+1
1−γ
]
.
254 Расслоение решения...
Поскольку имеют место равенства
‖u(s, ·)‖2 = r3−γ(s)M3−γp
2
γ−1 q
γ−3
γ−1 ,
‖ux(s, ·)‖2 = rγ+1(s)Mγ+1p
γ+1
γ−1 q
γ+1
1−γ z,
|‖u(s, ·)‖|γ+1 = r2(s)M2p
2
γ−1 q
γ−3
γ−1 ,
(4.3)
то функционал f(u) можно записать в виде
f(u) =
(3 − γ)N
4
M2(1−γ)
t∫
0
[ |‖u(s, ·)‖|2(γ+1)
‖u(s, ·)‖2
− µ‖ux(s, ·)‖2
]
ds.
Вычислим дифференциал Гато функционала f(u) по подпространс-
тву W 1
2 (R1):
Df(u) =
(3 − γ)N
2
M2(1−γ)
t∫
0
∫ [ |‖u(s, ·)‖|γ+1
‖u(s, ·)‖2
(γ + 1)uγ(s, x)
− |‖u(s, ·)‖|2(γ+1)
‖u(s, ·)‖4
u(s, x) + µuxx
]
g(x) dx ds.
Используя равенства (4.3), вновь перейдем от функции u к фун-
кции v.
Df(u) =
(3 − γ)N
4
(p
q
) 1
γ−1
t∫
0
r2γ−1(s) ds
×
∫ [
(γ + 1)
p
q
vγ(y) − v(y) + µ
(p
q
)2
vyy(y)
]
g(x) dx.
Так как функция v(y) является решением задачи (2.2), то Df(u) = 0
и функция
u(t, x) = r(t)M(p/q)1/(γ−1)v
(
xrγ−1(t)Mγ−1p/q
)
является критической точкой функционала f(u). Значит, она явля-
ется обобщенным решением задачи (1.1). Согласно определению 1.2
построенное решение допускает расслоение. Теорема 2.1 доказана.
5. Применение расслоения к изучению
динамики решения задачи (1.1)
Согласно доказанной теореме 2.1 пространственная форма v(y) и
амплитуда r(t) определяют решение задачи (1.1). Исследуем предель-
ное поведение процесса u(t, x) при t → +∞.
С. А. Мельник 255
Динамика решения задачи (1.1) как функции от времени полно-
стью описывается процессом r(t). Исследуем предельное поведение
процесса r(t), который является решением задачи (2.1).
Теорема 5.1. Если 2A < B2, то
P
{
lim
t→+∞
r(t) = 0
}
= 1.
Если 2A > B2, то
P
{
lim
t→+∞
r(t) = +∞
}
= 1.
Доказательство. Обозначим P (r) — вероятность выхода процесса
r(t) через один из концов интервала (ǫ; N). Будем считать, что r(0) =
r ∈ (ǫ; N). Искомая вероятность является решением задачи
0.5B2r2γPrr + Ar2γ−1Pr = 0, r ∈ (ǫ; N),
P (ǫ) = α, P (N) = 1 − α.
Если α = 1, то получим вероятность выхода через левый конец, если
α = 0, то получим вероятность выхода через правый конец. Если
2A 6= B2, то P (r) = C1r
λ/λ + C2, где λ = 1 − 2AB−2.
Пусть 2A < B2. Положим α = 1. Тогда P (r) = (rλ−Nλ)/(ǫλ−Nλ).
В этом случае λ > 0. Значит, lim ǫ→0,
N→+∞
P (r) = 1. Это означает, что в
этом случае процесс r(t) с вероятностью 1 достигнет значения 0.
Пусть 2A > B2. Положим α = 0. Тогда P (r) = (rλ − ǫλ)/(Nλ −
ǫλ). В этом случае λ < 0. Значит, lim ǫ→0,
N→+∞
P (r) = 1. Кроме того,
limǫ→0 P (r) = 1, ∀N > ǫ. Это означает, что в этом случае процесс
r(t) с вероятностью 1 выйдет из интервала (ǫ; N) через правый конец
при любом N , т.е.
P
{
lim
t→+∞
r(t) = +∞
}
= 1.
Теорема 5.1 доказана.
Замечание 5.1. Если A = 0.5γB2, то уравнение (2.1) имеет решение
r(t) =
(
r1−γ(0) + (1 − γ)Bw(t)
)1/(1−γ)
и в этом случае момент τ(ω) — это момент достижения винеровским
процессом w(t) уровня r1−γ(0)/((1− γ)B), т.е. момент обострения ре-
шения. Согласно [9, c. 499] распределение величины τ(ω) задается
известной плотностью и P{0 < τ(ω) < +∞} = 1.
256 Расслоение решения...
Как видим, поведение решения уравнения (1.1) существенно за-
висит от коэффициентов A и B уравнения (2.1). Выясним, как вли-
яют значения этих коэффициентов на амплитуду и пространствен-
ную форму решения. Прежде всего, заметим, что если в уравне-
нии (2.1) произвести замену времени t = B−2s, то новый процесс
r̃(s) = r(B−2s) будет решением задачи
dr̃(s) = AB−2r̃2γ−1(s) ds + sgn Br̃γ(s) dw̃(s), r̃(0) = r(0),
где w̃(s) = |B|w(B−2s). Таким образом, изменение |B| приводит ли-
шь к изменению масштаба на оси времени. Так что, не ограничивая
общности, можно считать |B| = 1. Знак числа B также не являе-
тся существенным, так как заменив процесс w(t) на −w(t), получим
уравнение типа (2.1), но с положительным коэффициентом в стоха-
стическом слагаемом. Однако, при этом запись условий теоремы 2.1
становится более громоздкой. Из проведенных рассуждений, а также
из условий теоремы 2.1 следует, что определяющее влияние на u(t, x)
имеет величина AB−2.
Рассмотрим расслоение решения задачи (1.1)
u(t, x) = r(t)
((γ + 1)(3 − γ)Bp
2bq
) 1
γ−1
v
(
xrγ−1(t)
p
q
(γ + 1)(3 − γ)B
2b
)
.
(5.1)
Согласно теореме 2.1 представление (5.1) возможно, если (γ −
3)N 6= 0 и (3 − γ)B > 0. Если в (5.1) положить t = 0, то получим
начальное условие u0(x), при котором решение задачи (1.1) имеет
вид (5.1)
u0(x) = r(0)
((γ + 1)(3 − γ)Bp
2bq
) 1
γ−1
v
(
xrγ−1(0)
p
q
(γ + 1)(3 − γ)B
2b
)
.
Теперь рассмотрим пространственную форму v(y). Как показано
в доказательстве леммы 3.7 функция v(y) связана с решением задачи
(3.1) равенством
v(y) = V
(
M1−γ |B|
√
|γ − 3|
a
∣∣∣
A
B2
− γ − 2
2
∣∣∣
q
p
y
)
.
Заметим, что функция V (Y ) является решением задачи (3.1), пара-
метры которой не зависят от A и B. Значит, изменение величины
AB−2 приводит лишь к перемещению точки y0, которая является
точкой фронта функции v(y). Если 2AB−2 → γ − 2, то y0 → +∞.
Если |AB−2| → +∞, то y0 → 0. В расслоении решения задачи (1.1)
С. А. Мельник 257
перейдём от функции v к функции V .
u(t, x) = r(t)
((γ + 1)(3 − γ)Bp
2bq
) 1
γ−1
× V
(
xrγ−1(t)|B|
√
|γ − 3|
a
∣∣∣
A
B2
− γ − 2
2
∣∣∣
)
.
При t = 0 получаем
u0(x) = r0
((γ + 1)(3 − γ)Bp
2bq
) 1
γ−1
× V
(
xrγ−1
0 |B|
√
|γ − 3|
a
∣∣∣
A
B2
− γ − 2
2
∣∣∣
)
.
Варьируя в допустимых пределах параметры r0, V0, A и B, мы можем
придать амплитуде и фронту начальной функции u0(x) любые поло-
жительные значения. Зафиксировав значения этих параметров, мы
задаём начальное условие u0(x) и однозначно определяем решение
задачи (1.1), соответствующее выбранному u0(x).
Заключение
Из доказанного следует, что поведение решения задачи (1.1) с те-
чением времени зависит от того γ ∈ (1; 3) или γ ∈ (3; +∞).
Пусть γ ∈ (1; 3). Выбрав 2A < B2, получим согласно теореме 5.1,
что амплитуда решения стремится к нулю с вероятностью 1, а фронт
решения стремится к +∞, то есть решение с течением времени угаса-
ет, растекаясь по всему пространству. Так как в этом случае N < 0,
то получим первый тип пространственной формы, указанный в лем-
ме 3.1. Выбрав 2A > B2, получим согласно теореме 5.1, что ампли-
туда решения с вероятностью 1 за конечное время неограниченно во-
зрастает, а фронт решения устремляется к нулю, то есть возникает
режим с обострением. Так как в этом случае N > 0, то получаем
второй тип пространственной формы, указанный в лемме 3.4.
В случае γ ∈ (3; +∞) картина аналогичная, но при 2A > B2 про-
странственная форма будет иметь первый тип, а при 2A < B2 —
второй тип.
Сравним полученные результаты с аналогичными результатами
для детерминированных уравнений. В классических задачах нели-
нейной теплопроводности ([5, 10]) нелинейное слагаемое, как прави-
ло, имеет фиксированный знак: оно положительно, если описывает
источник тепла, и отрицательно, если описывает поглотитель тепла.
258 Расслоение решения...
Для стохастических уравнений вида (1.1) знак нелинейного слагаемо-
го не определен и с течением времени меняется случайным образом в
зависимости от поведения винеровского процесса w(t). Для детерми-
нированных уравнений с источником при γ > 1 решение развивается
в режиме с обострением того или иного вида (см. [10, c. 221]). Для сто-
хастических уравнений возникновение или невозникновение режима
с обострением зависит не только от величины параметра γ, но и от
типа пространственной формы начальной функции u0(x).
В заключение заметим, что как в детерминированном случае, так
и для стохастических уравнений случай γ = 3 является особым. Для
детерминированных уравнений этот случай описан в [5, c. 260–262].
Для стохастических уравнений вида (1.1) автору не удалось получить
уравнение для процесса r(t).
Благодарности. Автор выражает глубокую признательность ре-
цензенту за внимание, проявленное к работе, и высказанные замеча-
ния.
Литература
[1] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Стохастические дифференциальные уравне-
ния и их приложения. Киев, Наук. думка, 1982, 536 с.
[2] С. И. Похожаев, Об одном подходе к нелинейным уравнениям // ДАН СССР.
Математика, 241.6 (1979), 1327–1331.
[3] S. A. Melnik, The group analysis of stochastic differential equations // Ann. Uni.
Sci. Budapest, 21 (2002), 69–79.
[4] Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Москва, Наука, 1971, 576 с.
[5] А. А. Самарский, В. П. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов, Ре-
жимы с обострениями в задачах для квазилинейных параболических урав-
нений. Москва, Наука, 1987, 475 с.
[6] Х.-С. Го, Гауссовские меры в банаховых пространствах. Москва, Мир, 1979,
176 с.
[7] С. Г. Крейн, Функциональный анализ. Москва, Наука, 1972, 544 с.
[8] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. Москва, Наука, 1972, 496 с.
[9] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Введение в теорию случайных процессов. Мо-
сква, Наука, 1977, 567 с.
[10] С. П. Курдюмов, Собственные функции горения нелинейной среды и кон-
структивные законы построения ее организации // Современные проблемы
математики, физики и вычислительной техники. Москва, Наука, (1982), 217–
243.
С. А. Мельник 259
Сведения об авторах
Сергей
Анатольевич
Мельник
Донецкий национальный университет,
ул. Университетская, 24,
83055, Донецк
Украина
E-Mail: melnik@matfak.dongu.donetsk.ua
|