Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞
Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников классов Бесова Br/p,θ периодических функций многих переменных в равномерной метрике.
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124588 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ / А.С. Романюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 201-218. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124588 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1245882025-02-05T20:28:18Z Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ Романюк, А.С. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников классов Бесова Br/p,θ периодических функций многих переменных в равномерной метрике. 2005 Article Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ / А.С. Романюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 201-218. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 41A46, 42A10 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124588 ru Український математичний вісник application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников классов Бесова Br/p,θ периодических функций многих переменных в равномерной метрике. |
| format |
Article |
| author |
Романюк, А.С. |
| spellingShingle |
Романюк, А.С. Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ Український математичний вісник |
| author_facet |
Романюк, А.С. |
| author_sort |
Романюк, А.С. |
| title |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ |
| title_short |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ |
| title_full |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ |
| title_fullStr |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ |
| title_full_unstemmed |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ |
| title_sort |
колмогоровские поперечники классов бесова br/p,θ в метрике пространства l∞ |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124588 |
| citation_txt |
Колмогоровские поперечники классов Бесова Br/p,θ в метрике пространства L∞ / А.С. Романюк // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 201-218. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT romanûkas kolmogorovskiepoperečnikiklassovbesovabrpthvmetrikeprostranstval |
| first_indexed |
2025-11-25T06:48:45Z |
| last_indexed |
2025-11-25T06:48:45Z |
| _version_ |
1849743991208148992 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 2, 201 – 218
Колмогоровские поперечники классов Бесова
B r
p, θ в метрике пространства L∞
Анатолий С. Романюк
(Представлена В. П. Моторным)
Аннотация. Получены порядковые оценки колмогоровских попе-
речников классов Бесова B r
p, θ периодических функций многих пере-
менных в равномерной метрике.
2000 MSC. 41A46, 42A10.
Ключевые слова и фразы. колмогоровский поперечник, классы
Бесова, сумма Фурье, периодическая функция, тригонометрический
полином.
Введение
В настоящей работе продолжаются (см. [1]–[3]) исследования кол-
могоровских поперечников классов Бесова B r
p, θ , периодических фун-
кций многих переменных в пространстве L q. Здесь мы устанавливаем
порядковые оценки колмогоровских поперечников классов B r
p, θ в рав-
номерной метрике. Для формулировки и доказательства полученных
результатов нам понадобится привести необходимые обозначения и
определения.
Пусть R d обозначает d — мерное пространство с элементами x =
(x1, . . . , xd), (x, y) = x1y1+. . .+xdyd, и Lp(πd); πd =
d∏
j=1
[−π;π], — про-
странство 2π-периодических по каждому аргументу функций f(x),
для которых
‖f‖p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |p dx
)1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)| <∞,
Статья поступила в редакцию 7.07.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
202 Колмогоровские поперечники классов Бесова
Lop(πd) =
{
f : f ∈ Lp(πd),
π∫
−π
f(x) dxj = 0, j = 1, d
}
.
Для функции f ∈ Lop(πd), 1 ≤ p ≤ ∞ рассмотрим разность первого
порядка по j-й переменной с шагом h
△h,jf(x) = f(x1, . . . , xj−1, xj + h, xj+1, . . . , xd) − f(x)
и определим разность l-го порядка
△l
h,jf(x) =
l︷ ︸︸ ︷
△h,j . . .△h,j f(x)
в точке xj с шагом h. Далее, если k = (k1, . . . , kd), kj ∈ N, j = 1, d, то
смешанная разность порядка k с векторным шагом h = (h1, . . . , hd)
определяется следующим образом:
△k
hf(x) = △k1
h1,1
. . .△kd
hd,d
f(x).
Пусть заданы вектор r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d и параметры
1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ ∞. Функция f ∈ Lop(πd) принадлежит классу
B r
p, θ, если
( ∫
πd
‖△k
hf(x)‖ θp
d∏
j=1
dhj
h
1+rjθ
j
)1/θ
≤ 1, 1 ≤ θ <∞,
sup
h
‖△k
hf(x)‖p
d∏
j=1
h
−rj
j ≤ 1, θ = ∞.
Отметим, что при этом для векторов k = (k1, . . . , kd) и r =
(r1, . . . , rd) предполагаются выполненными неравенства kj > rj , j =
1, d.
Классы B r
p, θ введены О. В. Бесовым [4]; при θ = ∞ B r
p,∞ = H r
p ,
где H r
p — классы, введенные С. М. Никольским (см., например, [5, с.
189]).
Ниже, при изложении результатов, нам будет удобнее пользова-
ться несколько другим определением классов B r
p, θ.
Для векторов k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z и s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N,
j = 1, d, положим
ρ(s) = {k : k = (k1, . . . , kd), 2 sj−1 ≤ |kj | < 2 sj}
А. С. Романюк 203
и для f ∈ Lop(πd) обозначим
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k) ei(k,x),
где f̂(k) = (2π)−d
∫
πd
f(t) e−i(k, t) dt — коэффициенты Фурье f(x).
Пусть сначала 1 < p <∞ и r = (r1, . . . , rd), rj > 0, j = 1, d. Тогда
классы B r
p, θ можно определить следующим образом (см., например,
[6]):
B r
p, θ=
{
f(x) : ‖f‖B r
p, θ
=
(∑
s
2(s,r)θ ‖δs(f, x)‖θp
)1/θ
≤ 1
}
, 1 ≤ θ <∞,
B r
p,∞ =
{
f(x) : ‖f‖B r
p,∞ = sup
s
2(s,r) ‖δs(f, x)‖p ≤ 1
}
(1)
Для того, чтобы в этих определениях классов B r
p, θ охватить край-
ние значения p = 1 и p = ∞, нужно в (1) несколько видоизменить
“блоки” δs(f, x).
Пусть Vl(t), l ∈ N обозначает ядро Валле Пуссена порядка 2 l− 1:
Vl(t) = 1 + 2
l∑
k=1
cos kt+ 2
2l−1∑
k=l+1
(
1 − k − l
l
)
cos kt
Сопоставим каждому вектору s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d,
полином
As(x) =
d∏
j=1
(
V 2sj (xj) − V
2sj−1 (xj)
)
и для f ∈ Lop(πd) обозначим
As(f, x) = f(x) ∗ As(x),
где “∗” — операция свертки. Тогда при 1 ≤ p ≤ ∞, r = (r1, . . . , rd),
rj > 0, j = 1, d, классы B r
p, θ определяются следующим образом:
B r
p, θ=
{
f(x) : ‖f‖B r
p, θ
=
(∑
s
2(s,r)θ ‖As(f, x)‖ θp
)1/θ
≤ 1
}
, 1 ≤ θ <∞,
B r
p,∞ = {f(x) : ‖f‖B r
p,∞ = sup
s
2(s,r) ‖As(f, x)‖p ≤ 1}.
Всюду ниже будем предполагать, что координаты векторов r =
(r1, . . . , rd), участвующих в определениях классов, упорядочены в ви-
де 0 < r1 = r2 = . . . = rν < rν+1 ≤ . . . ≤ rd. Вектору r = (r1, . . . , rd)
204 Колмогоровские поперечники классов Бесова
сопоставим вектор γ = (γ1, . . . , γd), γj =
rj
r1
, j = 1, d, которому, в
свою очередь, сопоставляется вектор γ
′
= (γ1
′
, . . . , γ
′
d), где γj = γ
′
j
при j = 1, ν и 1 < γ
′
j < γj при j = ν + 1, d. Если A — конечное
множество, то |A | обозначает количество его элементов.
Напомним определение колмогоровского поперечника, который
будет нами исследоваться. Пусть Φ — центрально-симметричное мно-
жество банахова пространства X .
Тогда величина
dM (Φ,X ) = inf
LM
sup
f∈Φ
inf
a∈LM
‖f − a ‖X ,
где LM — подпространство размерности M пространства X , называ-
ется M — мерным колмогоровским поперечником множества Φ в про-
странстве X [7].
Полученные результаты будем формулировать в терминах поряд-
ковых соотношений: функции µ1(N) и µ2(N) называем функция-
ми одного порядка и пишем µ1 ≍ µ2, если существуют постоянные
0 < C1 ≤ C2 такие, что C1µ2(N) ≤ µ1(N) ≤ C2µ2(N). Аналогич-
но определяются порядковые неравенства µ1 ≪ µ2 и µ1 ≫ µ2. Все
постоянные Ci, i = 1, 2, . . . , которые будут встречаться в процессе
доказательств, могут зависеть только от параметров, определяющих
классы, от метрики, в которой измеряется погрешность приближе-
ния, и от размерности пространства R d.
1. Оценки величин dM(B r
p, θ, L∞)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, r1 > max{1
p ;
1
2}. Тогда при 1 ≤ θ <∞
имеет место оценка
(M−1 logν−1M)r1−( 1
p
− 1
2
)+(logν−1M)(
1
2
− 1
θ
)+ ≪ dM (B r
p, θ, L∞) ≪
≪ (M−1 logν−1M)
r1−( 1
p
− 1
2
)+(logν−1M)(
1
2
− 1
θ
)+
√
logM, (2)
где a+ = max{a; 0}.
Доказательство. Получим сначала оценку сверху в случае p = 2. С
этой целью определим множества векторов s = (s1, . . . , sd), si ∈ N,
i = 1, d вида
Sj =
{
s = (s1, . . . , sd), j ≤ (s, γ
′
) < j + 1, j ∈ N и j ≥ d
}
.
А. С. Романюк 205
Тогда для количества элементов множеств Qj =
⋃
s∈Sj
ρ(s), в силу
соотношения (см. [8, с. 11])
∑
(s, γ)≤n
2(s , δ) ≪ 2nnν−1,
1 = γ1 = δ1 = . . . = γν = δν , 1 < δj ≤ γj , j = ν + 1, d,
можем записать оценку
|Qj | =
∑
j≤(s,γ
′
)<j+1
2(s, 1) ≪ 2jjν−1.
Далее, по заданному натуральному числу M подберем l ∈ N та-
ким, чтобы выполнялось соотношение 2 l lν−1 ≍M и положим
Mj =
2
j
j ν−1, d ≤ j ≤ l,
[
2 l(r1+
1
2
)lν−12−j(r1−
1
2
)
]
+ 1, l + 1 ≤ j < αl,
где α =
r1+ 1
2
r1−
1
2
, а [ b ] — целая часть числа b.
Тогда
∞∑
j=d
Mj ≪
l∑
j=d
2j j ν−1 +
∑
l<j≤α l
2 l(r1+
1
2
) l ν−1 2−j(r1−
1
2
) ≪
≪ 2 l l ν−1 + 2 l(r1+ 1
2
) l ν−1
∑
l<j≤αl
2−j(r1−
1
2
) ≪
≪ 2 l l ν−1 + 2 l(r1+ 1
2
) l ν−12−l(r1−
1
2
) = 2 l l ν−1 + 2 l l ν−1 ≍ 2 l l ν−1 ≍M.
Пусть f ∈ B r
2, θ, 1 ≤ θ ≤ 2. В таком случае согласно неравенству
[9, с. 43]
( ∑
k
| ak|µ2
)1/µ2
≤
( ∑
k
| ak|µ1
)1/µ1
, 1 ≤ µ1 ≤ µ2 <∞,
можем записать
∥∥∥∥
∑
s∈Sj
δs(f, x)
∥∥∥∥
2
=
( ∑
s∈Sj
‖δs(f, x)‖
2
2
)1/2
≤
≤ 2−j r1
( ∑
s∈Sj
2( s,r)θ‖ δs(f, x)‖
θ
2
)1/θ
≪ 2−jr1‖f ‖
B r
2, θ
≤ 2−j r1 (3)
206 Колмогоровские поперечники классов Бесова
Если же 2 < θ < ∞, то воспользовавшись сначала неравенством
Гельдера с показателем θ/2, а затем соотношением
∑
(s,γ
′
)≥n
2−α(s γ) ≍ 2−αnn ν−1, α > 0, (4)
(см. [8, с. 11]), будем иметь
∥∥∥∥
∑
s∈Sj
δs(f, x)
∥∥∥∥
2
=
( ∑
s∈Sj
‖ δs(f, x)‖
2
2
) 1
2
≤
≤
( ∑
s∈Sj
2( s, r)θ‖ δs(f, x)‖
θ
2
) 1
θ
( ∑
s∈Sj
2−2( s, r)θ/(θ−2)
) 1
2
− 1
θ
≪
≪
( ∑
s∈Sj
2−2( s, r)θ/(θ−2)
) 1
2
− 1
θ
‖f ‖
B r
2, θ
≪ 2−j r1 j (ν−1)( 1
2
− 1
θ
). (5)
Таким образом, для f ∈ B r
2, θ, 1 ≤ θ < ∞, согласно (3) и (5),
можем записать
∥∥∥∥
∑
s∈Sj
δs(f, x)
∥∥∥∥
2
≪ 2−j r1 j (ν−1)( 1
2
− 1
θ
)+ . (6)
Далее подмножество тригонометрических полиномов вида
t(x) =
∑
s∈Sj
δs(f, x),
для которых выполняется (6), будем обозначать B r
2, θ(j).
В последующих рассуждениях нам понадобится оценка величины
J =
∥∥∥∥
∑
(s,γ
′
)≥α l
δs(f, x)
∥∥∥∥
∞
, f ∈ B r
2, θ,
при установлении которой используется неравенство разных метрик,
доказанное С. М. Никольским [10]. Для удобства приведем соответ-
ствующее утверждение.
Теорема А. Пусть n = (n1, . . . , nd), nj — целые неотрицательные
числа, j = 1, d и
t(x) =
∑
|kj |≤nj
ck e
i (k, x).
А. С. Романюк 207
Тогда при 1 ≤ q < p ≤ ∞ имеет место неравенство
‖ t ‖p ≤ 2 d
d∏
j=1
n
( 1
q
− 1
p
)
j ‖ t ‖ q. (7)
Итак, пусть 1 < θ <∞. Тогда, применив к δs(f, x), как к полиному
степени 2 sj по переменной xj неравенство (7), и затем, воспользовав-
шись неравенством Гельдера и соотношением (4), будем иметь
J =
∥∥∥∥
∑
(s,γ
′
)≥α l
δs(f, x)
∥∥∥∥
∞
≤
∑
(s,γ
′
)≥α l
‖δs(f, x)‖∞ ≪
≪
∑
(s,γ
′
)≥α l
2
‖s‖1
2 ‖δs(f, x)‖2 =
∑
(s,γ
′
)≥α l
2‖s‖1 r1‖δs(f, x)‖22
‖s‖1 ( 1
2
−r1) ≤
≤
( ∑
(s, γ
′
)≥α l
2( s,r)θ‖δs(f, x)‖
θ
2
) 1
θ
( ∑
(s, γ
′
)≥α l
2‖s‖1 ( 1
2
−r1)θ
′
) 1
θ
′
≤
≤ ‖f‖
B r
2, θ
( ∑
(s, γ
′
)≥α l
2‖s‖1 ( 1
2
−r1)θ
′
) 1
θ
′
≤ 2−α l(r1−
1
2
) l (ν−1)(1− 1
θ
), (8)
где 1
θ + 1
θ
′ = 1.
В случае θ = 1 имеем
J ≤
∑
(s,γ
′
)≥α l
‖δs(f, x)‖∞ ≪
≪
∑
(s,γ
′
)≥α l
2(s,r)‖δs(f, x)‖22
‖s‖1 ( 1
2
−r1) ≪
≪ 2−α l(r1−
1
2
) ‖f ‖
B r2, 1
≤ 2−α l(r1−
1
2
). (9)
Принимая во внимание значение α, из (8) и (9) приходим к оценке
∥∥∥∥
∑
(s,γ
′
)≥α l
δs(f, x)
∥∥∥∥
∞
≪ 2−l (r1+ 1
2
) l
(ν−1)(1− 1
θ
)
, 1 ≤ θ <∞. (10)
Таким образом, согласно определению колмогоровского попереч-
ника, выбору чисел Mj и оценке (10) можем записать
dM (B r
2, θ, L∞) ≪
∑
d≤j<α l
dMj
(B r
2, θ(j), L∞) + 2−l (r1+ 1
2
) l
(ν−1)(1− 1
θ
)
. (11)
208 Колмогоровские поперечники классов Бесова
Для последующей оценки правой части (11) понадобится вспомо-
гательное утверждение, которое нам будет удобно сформулировать,
несколько видоизменив определение колмогоровского поперечника.
Пусть X и Y банаховы пространства, BX — единичный шар в
X и S — компактный оператор, действующий из X в Y. Обозначим
через LM (Y) множество всех линейных подпространств размерности
не более M данного банахова пространства Y. Тогда (см. например,
[11, с. 123]) величины
dM (S;X ,Y) = inf
LM (Y)
sup
x∈BX
inf
y∈LM (Y)
‖Sx− y‖Y
называются поперечниками по Колмогорову.
Пусть далее Lq(ΩN ) — банахово пространство, состоящее из три-
гонометрических полиномов вида
T (ΩN ;x) =
N∑
k=1
ck e
i(nk,x)
с вещественными коэффициентами по заданному набору из N экспо-
нент, и
‖T (ΩN ;x)‖ = ‖T (ΩN ;x)‖Lq(π d).
В [12], как следствие одного более общего результата, получено
следующее
Предложение. Пусть S — оператор вложения из L2(ΩN) в L∞(ΩN).
Тогда
dM (S;L2(ΩN ), L∞(ΩN )) ≪
√
N M−1 log(degT (ΩN ;x)), (12)
где degT (ΩN ;x) обозначает наибольшую из степеней экспонент,
входящих в T (ΩN ;x), а deg ei(n,x) = max
j
|nj |.
Таким образом, переходя непосредственно к оценке первого сла-
гаемого в правой части в (11) заметим, что согласно определению
чисел Mj
dMj
(B r
2, θ(j), L∞) = 0, d ≤ j ≤ l.
Поэтому, воспользовавшись оценкой (12), будем иметь
∑
d≤j<α l
dMj
(B r
2, θ(j), L∞) ≪
[α l ]+1∑
j=l+1
M
− 1
2
j 2−j (r1−
1
2
) j (ν−1)( 1
2
− 1
θ
)+j
ν
2 ≤
А. С. Романюк 209
≤ 2
− l
2 (r1+1
2 )
l
− v−1
2
[α l ]+1∑
j=l+1
2− j
2
(r1−
1
2
) j (ν−1)( 1
2
− 1
θ
)+ j
ν
2 ≪
≪ 2
−l r1
l
(ν−1)( 1
2− 1
θ
)+
l
1
2 (13)
Подставляя (13) в (11) и учитывая, что M ≍ 2 l lν−1, приходим к
искомой оценке
dM (B r
2, θ, L∞) ≪ 2
−l r1
l
(ν−1)( 1
2− 1
θ
)+
l
1
2 ≍
≍M−r1 (logν−1M)r1+( 1
2
− 1
θ
)+
√
log M. (14)
Теперь, воспользовавшись оценкой (14), легко получить оценку
поперечника dM (B r
p, θ, L∞), 1 ≤ p ≤ ∞. Пусть сначала 1 ≤ p < 2 и
f ∈ B r
p, θ. Тогда применив к As(f, x), как к полиному степени 2sj по
переменной xj , неравенство разных метрик (теорема А), будем иметь
‖f‖B r
p, θ
=
( ∑
s
2( s, r)θ‖As(f, x)‖
θ
p
) 1
θ
≫
≫
( ∑
s
2( s, r)θ2
( s, 1)( 1
2
− 1
p
)‖As(f, x)‖
θ
2
) 1
θ
=
=
( ∑
s
2
( s, r− 1
p
+ 1
2
) θ‖As(f, x)‖
θ
2
) 1
θ
= ‖f‖
B
r− 1
p+1
2
2, θ
, (15)
где r − 1
p + 1
2 обозначает вектор с координатами rj − 1
p + 1
2 , j = 1, d.
Следовательно, из (15) заключаем, что B r
p, θ
⊂ B
r− 1
p
+ 1
2
2,θ , 1 ≤ p < 2, и
согласно (14) приходим к оценке
dM (B r
p, θ, L∞) ≪ dM (B
r− 1
p
+ 1
2
2, θ , L∞) ≪
≪ (M−1 log ν−1M)
r1−
1
p
+ 1
2 (log ν−1M)(
1
2
− 1
θ
)+
√
log M.
В случае 2 < p ≤ ∞ искомая оценка следует из (14) согласно
включению B r
p, θ
⊂ B r
2,θ
, т.е.
dM (B r
p, θ, L∞) ≪ dM (B r
2, θ, L∞) ≪M−r1 (log ν−1M)r1+( 1
2
− 1
θ
)+
√
log M.
Оценка сверху в теореме установлена.
Переходя к доказательству в (2) оценки снизу, отметим, что ее
достаточно установить при ν = d. При этом нам потребуется рас-
смотреть несколько случаев. В первую очередь отметим, что в случае
210 Колмогоровские поперечники классов Бесова
1 < p ≤ 2 соответствующая оценка следует из оценки поперечника
dM (B r
p, θ, Lq), 1 < p < q ≤ 2 при q = 2 [1].
Пусть p = 1 и 2 ≤ θ < ∞. В этом случае мы будем пользова-
ться известным утверждением, для формулировки которого введем
соответствующее обозначение.
Пусть Lq(π2d
), q = (q1, q2) обозначает множество функций f(x, y),
x, y ∈ πd с конечной смешанной нормой
‖f(x, y)‖q1,q2 =
∥∥‖f(·, y)‖q1
∥∥
q2
,
где норма вычисляется сначала в пространстве Lq 1(πd) по переменной
x ∈ πd, а затем от результата – по переменной y ∈ πd в пространстве
Lq 2(πd).
В [13] Шмидтом получено утверждение, которое в несколько более
общей форме может быть сформулировано в виде (см., например, [8,
с. 10])
Теорема Б. Пусть функция f(x, y), x ∈ πd, y ∈ πd такова, что
‖f(x, y)‖2,2 <∞. Тогда
inf
ui(x),vi(y)
∥∥∥∥ f(x, y) −
M∑
i=1
ui(x) vi(y)
∥∥∥∥
2,2
=
( ∞∑
j=M+1
λj
) 1
2
,
где λj — невозрастающая последовательность собственных чисел
оператора G∗
f Gf , Gf — интегральный оператор с ядром f(x, y), а
G∗
f — сопряженный ему оператор.
Итак, по заданному натуральному числу М подберем n ∈ N та-
ким, чтобы для количества элементов множества Qn =
⋃
‖s‖1=n
ρ(s)
выполнялись соотношения:
a)|Qn| ≍ 2n nd−1;
b)|Qn| > 2M.
Рассмотрим функцию
g1(x) = C1n
− d−1
θ
∑
n≤(s,1)<n+d
∑
k∈ρ+(s)
d∏
j=1
k
−r1
j cos kjxj ,
где ρ+(s) = ρ(s) ∩ Zd+, C1 > 0 – некоторая постоянная.
Нетрудно убедиться,что эта функция, при соответствующем вы-
боре C1 > 0, принадлежит классу B r
1, θ
. Действительно, поскольку
функция
Fr1(x) =
∑
k>0
d∏
j=1
k
−r1
j cos kjxj
А. С. Романюк 211
принадлежит классу Hr
1 , r = (r1, . . . , r1) ∈ R d
+ (см., например, [8,
c. 53]) , то согласно теореме 1.1 (см. [8, c. 32]) выполняется соотноше-
ние
‖As(Fr1 , x)‖1 ≪ 2
−(s,r)
, s ∈ N d. (16)
Следовательно, в силу (16) будем иметь
‖g1‖B r
1, θ
≍ n
− d−1
θ
( ∑
n≤(s,1)<n+d
2( s,r)θ‖As(Fr1 , x)‖
θ
1
) 1
θ
≪
≪ n
− d−1
θ
( ∑
n≤(s,1)<n+d
1
) 1
θ
≍ n
− d−1
θ n
d−1
θ = 1,
т.е. g1 ∈ B r
1, θ.
Далее, пусть G — интегральный оператор
(Gf)(x) = (2π)−d
∫
πd
g1(x− y)f(y) dy,
G∗ — оператор сопряженный к G и λ l — собственные числа опера-
тора G∗G, которые расположены в невозрастающем порядке. Легко
видеть, что числа λ l совпадают с числами n
−2(d−1)
θ
d∏
j=1
k
−2 r1
j , располо-
женными в порядке невозрастания.
Пусть {ui(x)}Mi=1 — система функций из L2, такая, что для неко-
торого ε > 0 выполняется соотношение
sup
f∈ B r
1, θ
inf
vi
∥∥∥∥ f(x) −
M∑
i=1
vi ui(x)
∥∥∥∥
2
≤ dM (B r
1, θ
, L2) + ε. (17)
Тогда, с одной стороны имеем
I = sup
y
∥∥∥∥ g1(x− y) −
M∑
i=1
vi(y)ui(x)
∥∥∥∥
2
≤ dM (B r
1, θ
, L2) + 2 ε, (18)
и функции vi(y) можно считать непрерывными.
С другой стороны,
I =
∥∥∥∥ g1(x− y) −
M∑
i=1
vi(y)ui(x)
∥∥∥∥
2,∞
≥
≥
∥∥∥∥ g1(x− y) −
M∑
i=1
vi(y)ui(x)
∥∥∥∥
2,2
= I1. (19)
212 Колмогоровские поперечники классов Бесова
Далее, воспользовавшись для оценки I1 теоремой Б, будем иметь
I1 ≥ inf
ui(x),vi(y)∈L2
∥∥∥∥ g1(x− y) −
M∑
i=1
vi(y)ui(x)
∥∥∥∥
2,2
=
=
( ∞∑
l=M+1
λ l
) 1
2
≥ n− d−1
θ
( ∑
(s,1)=n+d
d∏
j=1
2sj−1∑
kj=2sj−1
k
−2 r1
j
) 1
2
≍
≍ n− d−1
θ
( ∑
(s,1)=n+d
2
−‖ s ‖1(2 r1−1)
) 1
2
≍ 2−n(r1−
1
2
)n (d−1)( 1
2
− 1
θ
) ≍
≍M−(r1−
1
2
) (log
d−1
M)r1−
1
θ . (20)
Таким образом, сопоставив (17)–(20), приходим к искомой оценке.
Теперь рассмотрим случай p = 1, 1 ≤ θ < 2 и получим оценку
снизу поперечника dM (B r
1, θ, L 2). Пусть, по-прежнему, числа n и M
связаны соотношениями a) и b) из предыдущего случая. Обозначим
через Tn множество функций вида
Tn =
{
f : f(x) =
∑
(s,1)≤n
δs(f, x)
}
.
Из определения колмогоровского поперечника и ограниченности
оператора ортогонального проектирования на Tn (см., например, [8,
с. 7]) можем записать
dM (B r
1, θ, L 2) ≫ dM (B r
1, θ ∩ Tn, L 2 ∩ Tn). (21)
Пусть K = |Qn| и α1, . . . , αK — некоторая ортонормированная сис-
тема функций из Tn. Запишем разложение экспоненты ei(k,x), k ∈ Qn
по системе {αj(x)}
K
j=1
. Имеем
ek(x) = ei(k,x) =
K∑
j=1
ajk αj(x), k ∈ Qn,
и в силу ортонормированности систем функций {ek(x)}k∈Qn и {αj(x)}
K
j=1
K∑
j=1
| ajk|2 =
∑
k∈Qn
| ajk|2 = 1 (22)
Далее, рассмотрим приближение функции ek(x) ее M -ой суммой
Фурье M = [ K
2 ] по системе {αj(x)}
K
j=1
. Получим
R2
k =
∥∥∥∥ ek(x) −
M∑
j=1
ajk αj(x)
∥∥∥∥
2
2
=
∥∥∥∥
K∑
j=1
ajk αj(x) −
M∑
j=1
ajk αj(x)
∥∥∥∥
2
2
=
А. С. Романюк 213
=
∥∥∥∥
K∑
j=M+1
ajk αj(x)
∥∥∥∥
2
2
=
K∑
j=M+1
| ajk|
2
Отсюда, воспользовавшись (22), можем записать
∑
k∈Qn
R2
k =
∑
k∈Qn
K∑
j=M+1
| ajk|
2
=
∑
k∈Qn
( K∑
j=1
| ajk|
2 −
M∑
j=1
|ajk|
2
)
=
=
K∑
j=1
∑
k∈Qn
|ajk|
2 −
M∑
j=1
∑
k∈Qn
|ajk|
2
= K − M ≥ K
2
. (23)
Из (23) делаем заключение, что существует вектор s∗=(s∗1, . . . , s
∗
d),
(s∗, 1) = n, такой, что
∑
k∈ρ(s∗)
R2
k ≥
1
2
| ρ(s∗)|,
где | ρ(s∗)| — количество элементов множества ρ(s∗).
Рассмотрим функцию
g2(x) = C2
∑
k∈ρ(s∗)
d∏
j=1
|kj |
−r1
ei(k,x), C2 > 0.
Легко убедиться, что функция g2(x), с соответствующей постоян-
ной C2 > 0, принадлежит классу B r
1, θ
. Запишем уклонение функции
g2(x+ y), y ∈ πd от ее M-ой суммы Фурье SM (g2(x+ y), α) по системе
функций {αj(x)}
K
j=1
. Имеем
RM (x, y) = g2(x+ y) − SM (g2(x+ y), α) =
= C2
∑
k∈ρ(s∗)
d∏
l=1
|kl|
−r1
ei(k, y)
K∑
j=M+1
ajk αj(x)
и, следовательно,
‖RM (·, y)‖2
2
≍
K∑
j=M+1
∣∣∣∣
∑
k∈ρ(s∗)
d∏
l=1
|kl|
−r1
ajk e
i(k, y)
∣∣∣∣
2
. (24)
Далее, приняв во внимание,что
d∏
l=1
|k
l
|−r1 ≫ 2
− (s∗,1)r1
,
214 Колмогоровские поперечники классов Бесова
и воспользовавшись соотношениями (22)–(24), будем иметь
(2π)−d
∫
πd
‖RM (·, y)‖2
2
dy ≫ 2
− (s∗,1)2 r1
K∑
j=M+1
∑
k∈ρ(s∗)
| ajk |
2
=
= 2
− (s∗,1)2 r1
∑
k∈ρ(s∗)
K∑
j=M+1
| ajk |
2
= 2
− (s∗,1)2 r1
∑
k∈ρ(s∗)
R2
k ≥
≥ 2
− (s∗,1)2 r1 1
2
| ρ(s∗)|.
Поэтому, для некоторого y∗ ∈ πd справедливо соотношение
‖RM (·, y∗)‖2
2
≫ |ρ(s∗)| 2− (s∗,1)2 r1 ≍ 2
(s∗,1)
2
− (s∗,1)2 r1
= 2
(s∗,1)(1−2 r1)
.
Отсюда находим
‖RM (·, y∗)‖2 ≫ 2
−‖ s∗ ‖1( r1− 1
2 )
. (25)
Таким образом, согласно (21) и (25) и соотношению M ≍ 2n nd−1,
приходим к оценке
dM (B r
1, θ, L2) ≫ 2
−‖ s∗ ‖1( r1− 1
2 )
= 2−n( r1−
1
2
) ≍ (M−1 log d−1 M) r1−
1
2 .
Для завершения доказательства теоремы осталось получить оцен-
ку снизу в случае p > 2. Заметим, что поскольку при p > 2 B r
∞, θ
⊂
B r
p,θ
, то достаточно получить необходимую оценку поперечника
dM (B r
∞, θ, L2). Здесь мы также рассмотрим отдельно случаи 1 ≤ θ ≤ 2
и 2 < θ <∞.
Итак, предположим, что 1 ≤ θ ≤ 2 и числа M и n связаны соо-
тношениями |Qn| ≍M и |Qn| > 2M .
Рассмотрим M функций ϕ1, . . . , ϕM , которые будем считать орто-
нормированными. Исследуем приближение экспонент ei(k,x) , k ∈ Qn в
пространстве L 2 их частными суммами Фурье порядка М по системе
функций {ϕj(x)}
M
j=1
. Полагая αjk = (ϕj , ei(k,x)), в силу ортонормиро-
ванности систем функций {ei(k,x)}k∈Qn и {ϕj(x)}
M
j=1
, получим
∑
k∈Qn
|α jk | 2 ≤ 1,
и, следовательно,
M∑
j=1
∑
k∈Qn
|α jk | 2 =
∑
k∈Qn
M∑
j=1
|α jk | 2 ≤M.
А. С. Романюк 215
Отсюда заключаем, что существует вектор k
0
= (k
0
1, . . . , k
0
d) ∈ Qn,
такой, что
M∑
j=1
|α j
k
0 | 2 ≤ 1
2
и
‖ei(k 0, x) −
M∑
j=1
αjk ϕj(x)‖
2
2
≥ 1
2
. (26)
Рассмотрим функцию
g3(x) = 2
− (s0,r)
ei(k
0, x),
где s
0
= (s
0
1, . . . , s
0
d) — вектор, координаты которого удовлетворяют
соотношению 2
s 0
j −1
≤ |kj | < 2
s 0
j
, j = 1, d. Нетрудно проверить,что
g3(x) ∈ B r
∞, θ
. Таким образом, воспользовавшись (26), получим
inf
cj
‖g3(x) −
M∑
j=1
cj ϕj(x)‖2 >
1√
2
2
− (s0,r) ≫ 2
−n r1 ≍M−r1(log d−1M)r1 .
Отсюда следует искомая оценка снизу в случае 1 ≤ θ ≤ 2.
Пусть теперь 2 < θ < ∞. Положим Sn = {s : (s, 1) = n, sj —
четные числа}, Qn =
⋃
s∈Sn
ρ+(s) и T (Qn) — множество полиномов с
“номерами” гармоник из Qn.
В [14] В. Н. Темляковым установлена следующая оценка
dM (H r
∞ ∩ T (Qn), Lq) ≫M−r1 (logd−1M)r1+ 1
2 , (27)
1 < q <∞, M ≍ 2n nd−1.
Воспользовавшись этой оценкой нетрудно получить соответству-
ющую оценку поперечника dM (B r
p, θ, L∞). Действительно, пусть f ∈
H r
∞ ∩ T (Qn). Тогда согласно теореме 1.1 [8, c. 32]
‖As(f, x)‖∞ ≪ 2
−(s,r)
, s ∈ Sn
и, следовательно,
‖ f ‖B r
∞, θ
∩T (Qn) =
( ∑
s∈Sn
2
(s,r) θ‖As(f, x)‖θ∞
) 1
θ
≪
≪
( ∑
s∈Sn
1
) 1
θ
≍ n
d−1
θ . (28)
216 Колмогоровские поперечники классов Бесова
Из (28) заключаем,что если f ∈ H r
∞ ∩ T (Qn), то функция g4(x) =
C3 n
− d−1
θ f(x), C3 > 0 принадлежит классу B r
∞, θ
∩ T (Qn). Таким обра-
зом, согласно (27) имеем
dM
(
B r
p, θ, L∞
)
≥ dM
(
B r
∞, θ ∩ T (Qn), L∞
)
≫
≫ dM
(
H r
∞ ∩ T (Qn), Lq
)
n
− d−1
θ ≫
≫
(
M−1 log d−1M
)r1( log d−1M
) 1
2
− 1
θ .
Оценки снизу во всех случаях установлены. Теорема доказана.
В завершение получим точную по порядку оценку колмогоровско-
го поперечника класса B r
∞, 1
в пространстве L∞.
Имеет место
Теорема 2. Пусть r1 > 0. Тогда справедлива оценка
dM (B r
∞, 1, L∞) ≍ (M−1 logν−1M)r1 . (29)
Доказательство. Чтобы доказать в (29) оценку сверху рассмотрим
для f ∈ B r
∞, 1 приближающий полином
tn(f, x) =
∑
(s,γ)≤n
As(f, x),
где число n подобрано по заданному M из соотношения M ≍ 2nnν−1.
Тогда
‖f(x) − tn(f, x)‖∞ =
∥∥∥∥
∑
(s,γ )>n
As(f, x)
∥∥∥∥
∞
≤
≤
∑
(s,γ )>n
‖As(f, x)‖∞ =
∑
(s,γ )>n
2(s, r)‖As(f, x)‖∞ 2−(s, r) ≤
≤ 2−n r1
∑
(s,γ )>n
2(s, r)‖As(f, x)‖∞ ≤ 2−n r1‖f‖B r
∞, 1
≤ 2−n r1 .
Отсюда, принимая во внимание , что M ≍ 2n nν−1, находим
dM (B r
∞, 1, L∞) ≪ (M−1 logν−1M)r1 .
Что касается в (29) оценки снизу, то она была установлена при
доказательстве теоремы 1. Теорема доказана.
А. С. Романюк 217
Пусть Fr(x, α), r = (r1, . . . , rd) обозначают многомерные аналоги
ядер Бернулли, т.е.
Fr(x, α) = 2 d
∑
k
d∏
j=1
k
−rj
j cos
(
kj xj −
αj π
2
)
, rj > 0, αj ∈ R,
и в сумме участвуют только те векторы k = (k1, . . . , kd), для которых
kj > 0, j = 1, d. Обозначим (см., например, [8, с. 31]) через W r
p,α класс
функций f(x), представимых в виде
f(x) = ϕ(x) ∗ Fr(x, α) = (2π)−d
∫
πd
ϕ(y)Fr(x− y, α) dy,
где ϕ ∈ Lp(πd), ‖ϕ‖p ≤ 1.
Замечание. Порядковые оценки колмогоровских поперечников
dM (W r
p, α, L∞) и dM (H r
p , L∞) при 1 ≤ p ≤ ∞ и r1 > max{1
p ;
1
2} имеют
вид
(
M−1 logν−1M
)r1−( 1
p
− 1
2
)
+ ≪ dM (W r
p, α, L∞) ≪
≪
(
M−1 logν−1M
)r1−( 1
p
− 1
2
)
+
√
log M
и
(
M−1 logν−1M
)r1−( 1
p
− 1
2
)
+
(
logν−1M
)1/2 ≪ dM (H r
p , L∞) ≪
≪
(
M−1 logν−1M
)r1−( 1
p
− 1
2
)
+ log
ν
2 M.
Оценки сверху в этих соотношениях получены Э. С. Белинским [12],
а снизу они являются следствием соответствующих оценок попереч-
ников dM (W r
p, α, L 2) и dM (H r
p , L 2), которые установлены В. Н. Тем-
ляковым (см., например, [8, с. 69 и с. 76]).
Литература
[1] А. С. Романюк, Приближение классов Бесова периодических функций многих
переменных в пространстве Lq // Укр. матем. журн., 43 (1991), No 10, 1398–
1408.
[2] А. С. Романюк, О наилучших тригонометрических приближениях и колмо-
горовских поперечниках классов Бесова функций многих переменных // Укр.
матем. журн. 45 (1993), No 5, 663–675.
[3] Э. М. Галеев, Поперечники классов Бесова Brp,θ(T
d) // Матем. заметки, 69
(2001), No 5, 656–665.
[4] О. В. Бесов, О некотором семействе функциональных пространств. Теоре-
мы вложения и продолжения // Докл. АН СССР, 126 (1959), No 6, 1163–
1165.
218 Колмогоровские поперечники классов Бесова
[5] С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы
вложения. М.: Наука, 1969.
[6] П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, Пространства функций смешанной глад-
кости с декомпозиционной точки зрения // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стек-
лова АН СССР, 187 (1989), 143–161.
[7] A. Kolmogoroff, Über die beste Annäherung von funktionen einer gegeben Funkti-
onenklasse // Ann. Math. 37 (1936), 107–111.
[8] В. Н. Темляков, Приближение функций с ограниченной смешанной производ-
ной // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 178 (1986), 1–112.
[9] Г. Харди, Д. Литтлвуд, Г. Полиа, Неравенства. М.: ИЛ, 1948.
[10] С. М. Никольский, Неравенства для целых функций конечной степени и их
применение в теории дифференцируемых функций многих переменных //
Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 38 (1951), 244–278.
[11] Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, диффе-
ренциальные операторы. М.: Мир, 1980.
[12] Э. С. Белинский, Асимптотические характеристики классов функций с
условиями на смешанную производную (смешанную разность) // Исследова-
ния по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: Яро-
слав. ун-т. (1990), 22–37.
[13] E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I //
Math. Ann. (1907), Bd. 63, 433–476.
[14] В. Н. Темляков, Оценки асимптотических характеристик классов функций
с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. Матем. ин-та
им. В. А. Стеклова АН СССР, 189 (1989), 138–168.
Сведения об авторах
Анатолий
Сергеевич
Романюк
Институт математики НАН Украины,
ул. Терещенковская, 3
01601 Киев,
Украина
E-Mail: funct@imath.kiev.ua
|