Миноры линейной стохастической системы
Рассматриваются матричные линейные стохастические системы общего вида. Выводятся стохастические уравнения для миноров решений таких систем.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Український математичний вісник |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124591 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Миноры линейной стохастической системы / А.С. Чани // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 281-294. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859530298161627136 |
|---|---|
| author | Чани А.С. |
| author_facet | Чани А.С. |
| citation_txt | Миноры линейной стохастической системы / А.С. Чани // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 281-294. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Рассматриваются матричные линейные стохастические системы общего вида. Выводятся стохастические уравнения для миноров решений таких систем.
|
| first_indexed | 2025-11-25T22:43:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 2, 281 – 294
Миноры линейной стохастической системы
Александр С. Чани
(Представлена С. Я. Махно )
Аннотация. Рассматриваются матричные линейные стохастиче-
ские системы общего вида. Выводятся стохастические уравнения для
миноров решений таких систем.
2000 MSC. 60H25, 60H10, 60G20.
Ключевые слова и фразы. Линейная стохастическая система,
стохастический дифференциал, формула Ито, минор системы.
Пусть на вероятностном пространстве (Ω,F ,P) выделено неубы-
вающее семейство σ-алгебр Ft, 0 ≤ t ≤ T , удовлетворяющее условию
непрерывности справа. На Ω×[0, T ] определим Ft-измеримый процесс
Yt = At +Bt + Ft +Gt, Y0 = 0, (1)
принимающий значения в пространстве (L(Rn), M), n ≥ 1, где
L(Rn) — множество всех вещественных n×n-матриц, наделенное бо-
релевской σ-алгеброй M относительно евклидовой нормы ‖ · ‖. По
поводу компонент процесса Yt примем следующие соглашения:
1) At — непрерывный процесс ограниченной вариации;
2) Bt — непрерывный локальный мартингал с характеристиками
〈B〉t и 〈B ⊗B〉t, которые определяются из условий, что
B2
t − 〈B〉t
есть локальный Ft-мартингал со значениями в пространстве L(Rn),
а процесс
Bt ⊗Bt − 〈B ⊗B〉t
является локальным Ft-мартингалом со значениями в пространстве
L(L(Rn)), образованном всеми вещественными n2 ⊗ n2-матрицами
(символ ⊗ означает тензорное произведение матриц);
Статья поступила в редакцию 2.02.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
282 Миноры линейной стохастической системы
3) Ft =
∫ t
0
∫
f(s, U)µ(ds, dU) есть локальный мартингал, компен-
сирующий свои скачки; причем µ = ν−π; ν — квазинепрерывная мера
скачков; π — дуальная предсказуемая проекция ν; функция f(t, U)
Ft-согласована, непрерывна справа по t при фиксированном U , M-
измерима по U при фиксированном t и
t∫
0
∫
‖f(s, U)‖2π(ds, dU) <∞, t ∈ [0, T ];
4) Gt =
∫ t
0
∫
g(s, U)ν1(ds, dU) является процессом ограниченной
вариации; функция g(t, U) Ft-согласована и конечна; ν1 — мера скач-
ков, конечная с вероятностью 1 на [0, T ]×L(Rn) и не имеющая общих
атомов с мерой ν.
Рассмотрим линейную стохастическую систему вида
Xt = E +
t∫
0
dYsXs−, 0 ≤ t ≤ T, (2)
где E — единичная матрица из L(Rn). В работе [1] доказано, что при
выполнении соответствующих условий определитель решения урав-
нения (2) удовлетворяет линейному стохастическому дифференци-
альному уравнению
|Xt| = 1 +
t∫
0
|Xs−|[d Sp(As +Bs) + 2−1d(Sp〈B ⊗B〉s − Sp〈B〉s)+
+
∫
(|E + f(s, U)| − 1 − Sp f(s, U))π(ds, dU)+
+
∫
(|E + f(s, U)| − 1)µ(ds, dU)+
+
∫
(|E + g(s, U) − 1|)ν1(ds, dU)]. (3)
В данной работе получено стохастическое дифференциальное
уравнение для произвольного минора p-го порядка матрицы Xt. При
этом правая часть уравнения в отличие от правой части (3) наряду с
линейными членами содержит нелинейные слагаемые. Их появление
объясняется тем, что минор p-го порядка является существенно более
общим функционалом, нежели определитель.
С одной стороны, полученный результат является естественным
обобщением уравнения для детерминанта стохастической полугруп-
пы как минора максимального порядка. При этом выясняется, что
А. С. Чани 283
уравнение для минора произвольного порядка в отличие от уравне-
ния (3) не имеет замкнутой формы, то есть коэффиценты уравнения
зависят не только от самого минора, но и от ряда других подматриц
стохастической полугруппы. С другой стороны, это обобщение мо-
жно рассматривать как первый шаг для вывода характеристическо-
го уравнения рассматриваемой стохастической полугруппы, так как
коэффициенты такого уравнения являются известными линейными
функционалами от миноров соответствующего порядка.
Для точной формулировки результата введем необходимые поня-
тия и обозначения.
Условимся элементы произвольной квадратной матрицы Q поряд-
ка n× n обозначать той же буквой с индексами вверху: Q = {Qij}n1 ,
а ее определитель |Q| рассматривать как функцию n2 аргументов,
каждый из которых является элементом матрицы Q.
Символом grad |Q| будем обозначать матрицу порядка n× n, для
которой (i, j)-элементом является |Q|′
Qij
. Для двух матриц Q1 и Q2
порядка n× n (Q1, Q2) означает их скалярное произведение
(Q1, Q2) =
n∑
i,j=1
Qij1 Q
ij
2 .
Если 1 ≤ k ≤ n, то Sk,n — совокупность всех строго возрастающих
последовательностей, составленных из чисел 1, 2, . . . , n по k чисел в
каждой. Пусть αk = (i1, i2, . . . , ik) ∈ Sk,n, βr = (j1, j2, . . . , jr) ∈ Sr,n.
Матрица, для которой (p, q)-элементом является Qipjq(p = 1, 2, . . . , k;
q = 1, 2, . . . , r), называется подматрицей матрицы Q, расположенной
в строках с номерами из αk и в столбцах с номерами из βr, и обозна-
чается символом Q[αk|βr]. Обозначение Q(αk|βr] используется для
подматрицы, составленной из строк, не перечисленных в αk, и столб-
цов βr матрицы Q. Аналогично этому, подматрица Q[αk|βr) содержит
строки из αk и не содержит столбцы из βr, а подматрица Q(αk|βr)
образована строками и столбцами, не указанными в αk и βr.
Пусть теперь αp и βp — произвольные элементы множества Sp,n.
При p = 1 мы имеем тривиальный случай
Xij
t = δij +
t∫
0
n∑
k=1
Xkj
s−d[A
ik
s +Bik
s +
s∫
0
∫
f ik(v, U)µ(dv, dU)+
+
s∫
0
∫
gik(v, U)ν1(dv, dU)], (4)
284 Миноры линейной стохастической системы
где δij — символ Кронекера. При этом правая часть уравнения за-
висит не только от Xij
t , а является функцией от всех одномерных
миноров матрицы Xt, находящихся в j-м столбце. Другими слова-
ми, при фиксированном j соотношения (4) нужно рассматривать как
систему уравнений, связывающую миноры {Xij
t , i = 1, 2, . . . , n}.
Для произвольного 1 ≤ p ≤ n в силу принятых обозначений из
уравнения (2) имеем
Xt[αp|βp] = E[αp|βp] +
( t∫
0
dYsXs−
)
[αp|βp] =
= E[αp|βp] +
t∫
0
dYs[αp|αn]Xs−[αn|βp] =
= E[αp|βp] +
t∫
0
dYs[αp|βp]Xs−[βp|αp] +
t∫
0
dYs[αp|βp)Xs−(βp|αp].
В частности, для главной подматрицы p-го порядка Xt[αp|αp] урав-
нение имеет вид
Xt[αp|αp] = E[αp|αp] +
t∫
0
dYs[αp|αp]Xs−[αp|αp]+
+
t∫
0
dYs[αp|αp)Xs−(αp|αp].
В отличие от (2) в его правой части присутствует третье дополни-
тельное слагаемое. Поэтому уже в этом частном случае нельзя полу-
чить уравнения для минора |Xt[αp|αp]| простым применением фор-
мулы (3).
Сначала мы дадим вывод соответствующего уравнения, а затем
сформулируем полученный результат в виде теоремы. Как и при
выводе уравнения (3) для вычисления d|Xt[αp|βp]| воспользуемся
формулой Ито ([2], с. 211, теорема 6). Условия применимости фор-
мулы Ито будут приведены в формулировке теоремы, а пока сделаем
формальные преобразования.
Пусть Q
(
i1, . . . , ik
j1, . . . , jk
)
означает минор матрицы Q, образован-
ный строками i1 < i2 < · · · < ik и столбцами j1 < j2 < · · · < jk, а
А. С. Чани 285
Q
(
i1, . . . , ik
j1, . . . , jk
)
— его алгебраическое дополнение. Используя раз-
ложения Лапласа для определителя |Q|
n∑
i=1
Q
(
j
i
)
Q
(
k
i
)
=
n∑
i=1
Q
(
i
j
)
Q
(
i
k
)
=
{
0, если j 6= k;
|Q|, если j = k,
и
n∑
1≤j<r≤n
Q
(
i k
j r
)
Q
(
l p
j r
)
=
{
0, если i 6= l или k 6= p;
|Q|, если i = l и k = p,
легко посчитать частные производные первого и второго порядков
функции |Q|
|Q|′Qij = Q
(
i
j
)
; (5)
|Q|′′QijQkr =
0, если i = k или j = r;
Q
(
i k
j r
)
если i < k и j < r;
−Q
(
i k
j r
)
если i < k и r < j.
(6)
Для минора p-го порядка |Q[αp|βp]| формулы (5), (6) имеют вид
|Q[αp|βp]|′Qij =
{
0, если i 6∈ αp или j 6∈ βp;
Q[αp|βp]
(
i
j
)
, если i ∈ αp и j ∈ βp;
(7)
|Q[αp|βp]|′′QijQkr =
=
0, если {i, k} 6⊂ αp, или {j, r} 6⊂βp, или i = k, или j = r;
Q[αp|βp]
(
i k
j r
)
если {i, k}⊂αp, {j, r}⊂βp, i < k, j < r;
−Q[αp|βp]
(
i k
r j
)
если {i, k}⊂αp, {j, r}⊂βp, i < k, r < j.
(8)
В силу (4) дифференциал произвольного элемента матрицы
Xt[αp|βp] имеет вид
dXij
t [αp|βp] =
n∑
k=1
Xkj
t−d[A
ik
t +Bik
t +
t∫
0
∫
f ik(s, U)µ(ds, dU)+
+
t∫
0
∫
gik(s, U)ν1(ds, dU)], i ∈ αp, j ∈ βp.
286 Миноры линейной стохастической системы
По формуле Ито имеем
d|Xt[αp|βp]| =
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)∑
k
αn
Xkj
t−d(A
ik
t +Bik
t )+
+ 2−1
∑
i,k
αp∑
j,r
βp |Q[αp|βp]|′′QijQkr
∣∣∣
Q[αp|βp]=Xt−[αp|βp]
×
×
∑
l,m
αn
X
lj
t−X
mr
t− d〈Bil, Bkm〉t+
+
∫ (∣∣Xt−[αp|βp] + f(t, U)[αp|αn]Xt−[αn|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣−
−
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−
(
i
j
)∑
k
αn
Xkj
t−f
ik(t, U)
)
π(dt, dU)+
+
∫ (∣∣Xt−[αp|βp]+f(t, U)[αp|αn]Xt−[αn|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
µ(dt, dU)+
+
∫ (∣∣Xt−[αp|βp]+g(t, U)[αp|αn]Xt−[αn|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
ν1(dt, dU).
(9)
Здесь символы
∑αp ,
∑βp ,
∑αn означают суммирование по множе-
ствам индексов αp, βp, αn соответственно.
С помощью формул (7) и (8) преобразуем слагаемые в правой
части (9) (обозначим их σ1, σ2, σ3, σ4 и σ5 соответственно) к более
простому виду. Для первого слагаемого получим
σ1 =
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)∑
k
αp
Xkj
t−d(A
ik
t +Bik
t )+
+
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)(∑
k
αn −
∑
k
αp
)
Xkj
t−d(A
ik
t +Bik
t ) =
=
∑
i
αp
(∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)
Xt−
(
i
j
))
d(Aiit +Bii
t )+
+
∑
i
αp∑
k 6=i
αp
(∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)
Xt−
(
k
j
))
d(Aikt +Bik
t )+
+
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)(∑
k
αn −
∑
k
αp
)
Xt−
(
k
j
)
d(Aikt +Bik
t ).
Так как для любого индекса k из αp, не равного i,
∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)
Xt−
(
k
j
)
= 0,
А. С. Чани 287
и для любого i ∈ αp
∑
j
βp
Xt−[αp|βp]
(
i
j
)
Xt−
(
i
j
)
= |Xt−[αp|βp]|,
то
σ1 = |Xt−[αp|βp]|d Sp(At[αp|βp] +Bt[αp|βp])+
+
(
grad |Xt−[αp|βp]|, d(At +Bt)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
)
.
Преобразование σ2 проведем в несколько этапов. Сначала заме-
тим, что в σ2 слагаемые по индексам i, j, k, r при i = k или j = r
равны нулю в силу равенства нулю вторых производных функции
|Q|. Оставшиеся слагаемые по тем же индексам сгруппируем следу-
ющим образом:
σ2 =
1
2
∑
i6=k
αp∑
j 6=r
βp
=
1
2
[∑
i<k
αp
(∑
j<r
βp
+
∑
j>r
βp
)
+
∑
i>k
αp
(∑
j>r
βp
+
∑
j<r
βp
)]
.
Отсюда в силу (7), (8) имеем
∑
i<k
αp
(∑
j<r
βp
+
∑
j>r
βp
)
=
∑
i<k
αp∑
l,m
αn
[∑
j<r
βp
Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
X lj
t−X
mr
t− −
−
∑
j>r
βp
Xt−[αp|βp]
(
i k
r j
)
X lj
t−X
mr
t−
]
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∑
i<k
αp∑
l,m
αn
[∑
j<r
βp
Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
×
×
(
X lj
t−X
mr
t− −X lr
t−X
mj
t−
)]
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∑
i<k
αp∑
l<m
αn∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t−
−
∑
i<k
αp∑
l>m
αn∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t = σ21 − σ22. (10)
288 Миноры линейной стохастической системы
В свою очередь
σ21 =
∑
i<k
αp∑
l<m
αp∑
j<r
βp
Xt−[αp|βp]
(
l m
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t+
+
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i<k
αp
d〈Bii, Bkk〉t +
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)
×
×
∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t.
Аналогичным образом преобразуем σ22. Получим
σ22 =
∑
i<k
αp∑
l>m
αp∑
j<r
βp
Xt−[αp|βp]
(
m l
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t+
+
∑
i<k
αp
(∑
l>m
αn −
∑
l>m
αp
)∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i<k
αp
d〈Bik, Bki〉t +
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)
×
×
∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d〈Bim, Bkl〉t.
Подставляя найденные выражения для σ21 и σ22 в правую часть
равенства (10), находим
∑
i<k
αp
(∑
j<r
βp
+
∑
j>r
βp
)
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i<k
αp(
d〈Bii, Bkk〉t−d〈Bik, Bki〉t
)
+
+
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn−
∑
l<m
αp
)∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)
×
А. С. Чани 289
×
(
d〈Bil, Bkm〉t − d〈Bim, Bkl〉t).
Теперь преобразуем вторую группу слагаемых из σ2
∑
i>k
αp
(∑
j>r
βp
+
∑
j<r
βp
)
=
∑
i>k
αp∑
l,m
αn
[∑
j>r
βp
Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
×
×X lj
t−X
mr
t− −
∑
j<r
βp
Xt−[αp|βp]
(
k i
j r
)
X lj
t−X
mr
t−
]
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∑
i>k
αp∑
l,m
αn
[∑
j>r
βp
Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
×
×
(
X lj
t−X
mr
t− −X lr
t−X
mj
t−
)]
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∑
i>k
αp∑
l>m
αn∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
r j
)
Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
×
× d〈Bil, Bkm〉t −
∑
i>k
αp∑
l<m
αn∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t = σ23 − σ24.
Далее
σ23 =
∑
i>k
αp∑
l>m
αp∑
j>r
βp
Xt−[αp|βp]
(
m l
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t+
+
∑
i>k
αp
(∑
l>m
αn −
∑
l>m
αp
)∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i>k
αp
d〈Bii, Bkk〉t+
+
∑
i>k
αp
(∑
l>m
αn −
∑
l>m
αp
)∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t. (11)
290 Миноры линейной стохастической системы
Аналогичным образом
σ24 =
∑
i>k
αp∑
l<m
αp∑
j>r
βp
Xt−[αp|βp]
(
l m
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t+
+
∑
i>k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bil, Bkm〉t =
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i>k
αp
d〈Bik, Bki〉t +
∑
i>k
αp
(∑
l>m
αn −
∑
l>m
αp
)
×
×
∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
r j
)
Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)
d〈Bim, Bkl〉t. (12)
Из (11) и (12) следует, что
∑
i>k
αp
(∑
j>r
βp
+
∑
j<r
βp
)
=
=
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i>k
αp(
d〈Bii, Bkk〉t − d〈Bik, Bki〉t
)
+
+
∑
i>k
αp
(∑
l>m
αn −
∑
l>m
αp
)∑
j>r
βp
Xt−[αn|βp]
(
m l
r j
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
k i
r j
)(
d〈Bil, Bkm〉t − d〈Bim, Bkl〉t
)
.
Окончательно для σ2 получаем следующее представление:
σ2 = 2−1
[∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i,k
αp(
d〈Bii, Bkk〉t − d〈Bik, Bki〉t
)
+
+ 2
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)∑
j<r
βp
Xt−[αn|βp]
(
l m
j r
)
×
×Xt−[αp|βp]
(
i k
j r
)(
d〈Bil, Bkm〉t − d〈Bim, Bkl〉t
)]
=
= 2−1
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣d
(
Sp〈B[αp, βp] ⊗B[αp|βp]〉t − Sp〈B[αp|βp]〉t
)
+
+ dΦt(αp, βp).
А. С. Чани 291
Для третьего слагаемого имеем
σ3 =
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣−
−
∑
i
αp∑
k
αp
(∑
j
βp
Xt−
(
k
j
)
Xt−
(
i
j
))
f ik(t, U)−
−
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−
(
i
j
)(∑
k
αp −
∑
k
αp
)
Xt−
(
k
j
)
f ik(t, U)
)
π(dt, dU) =
=
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣∑
i
αp
f ii(t, U)−
−
∑
i
αp∑
j
βp
Xt−
(
i
j
)(
f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
)(i
j
))
π(dt, dU) =
=
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣(1 + Sp f(t, U)[αp|αp]
)
−
−
(
grad
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣, f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
))
π(dt, dU).
Для σ4 и σ5 аналогично находим
σ4 =
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
µ(dt, dU),
σ5 =
∫ (∣∣(E[αp|αp] + g(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ g(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
ν1(dt, dU).
Выражения, полученные для σi, i = 1, 2, 3, 4, 5, дают возможность
записать формулу (9) в следующем виде
d
∣∣Xt[αp|βp]
∣∣ =
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣d Sp(At +Bt)[αp|βp]+
+
(
grad
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣, d(At +Bt)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
)
+
+ 2−1
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣d
(
Sp〈B[αp|βp] ⊗B[αp|βp]〉t − Sp〈B[αp|βp]〉t
)
+
+ dΦt(αp, βp) +
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
292 Миноры линейной стохастической системы
+ f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣(1 + Sp f(t, U)[αp|αp]
)
−
−
(
grad
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣, f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
))
π(dt, dU)+
+
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ f(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
µ(dt, dU)+
+
∫ (∣∣(E[αp|αp] + g(t, U)[αp|αp]
)
Xt−[αp|βp]+
+ g(t, U)[αp|αp)Xt−(αp|βp]
∣∣−
∣∣Xt−[αp|βp]
∣∣
)
ν1(dt, dU).
Для применимости формулы Ито достаточно потребовать, чтобы
для любого t ∈ [0, T ] с вероятностью 1
t∫
0
∫ (∣∣∣(E[αp|αp] + f(s, U)[αp|αp])Xs−[αp|βp]+
+ f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
∣∣∣−
∣∣Xs−[αp|βp]
∣∣
)2
π(ds, dU) <∞ (13)
и
t∫
0
∫ ∣∣∣
∣∣(E[αp|αp] + f(s, U)[αp|αp])Xs−[αp|βp]+
+ f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
∣∣− |Xs−[αp|βp]|(1 + Sp f(s, U)[αp|αp])−
−
(
grad |Xs−[αp|βp]|, f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
)∣∣∣π(ds, dU) <∞. (14)
Условия (13) и (14) являются записью условий (16) и (17) на с. 201
и 202 в [2], при которых имеет место формула Ито для функции
|Q[αp|βp]| и процесса Xt.
Сформулируем полученный результат.
Теорема. Пусть Xt является решением уравнения (2), в котором
процесс Yt имеет вид (1) с компонентами, удовлетворяющими усло-
виям 1)–4). Если для любого t ∈ [0, T ] с вероятностью 1 выполня-
ются неравенства (13) и (14), то минор p-го порядка |Xt[αp|βp]| с
номерами строк αp и с номерами столбцов βp удовлетворяет урав-
нению
|Xt[αp|βp]| = |E[αp|βp]| +
t∫
0
{
|Xs−[αp|βp]|d Sp(As +Bs)[αp|βp]+
+
(
grad |Xs−[αp|βp]|, d(As +Bs)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
)
+
А. С. Чани 293
+ 2−1|Xs−[αp|βp]|d
(
Sp〈B[αp|βp] ⊗B[αp|βp]〉s − Sp〈B[αp|βp]〉s
)
+
+
∑
i<k
αp
(∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
)∑
j<r
βp
Xs−[αn|βp]
(
l m
j r
)
×
×Xs−[αp|βp]
(
i k
j r
)
d
(
〈Bil, Bkm〉s − 〈Bim, Bkl〉s
)}
+
+
t∫
0
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(s, U)[αp|αp]
)
Xs−[αp|βp]+
+ f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
∣∣− |Xs−[αp|βp]|
(
1 + Sp f(s, U)[αp|αp]
)
−
−
(
grad |Xs−[αp|βp]|, f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
))
π(ds, dU)+
+
t∫
0
∫ (∣∣(E[αp|αp] + f(s, U)[αp|αp]
)
Xs−[αp|βp]+
+ f(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
∣∣− |Xs−[αp|βp]|
)
µ(ds, dU)+
+
t∫
0
∫ (∣∣(E[αp|αp] + g(s, U)[αp|αp]
)
Xs−[αp|βp]+
+ g(s, U)[αp|αp)Xs−(αp|βp]
∣∣− |Xs−[αp|βp]|
)
ν1(ds, dU). (15)
Замечание 1. В частном случае при p = n
E[αp|βp] = E, Xt[αp|βp] = Xt, Xt(αp|βp] = 0,
∑
l<m
αn −
∑
l<m
αp
= 0,
в силу чего из уравнения (15) получаем уравнение (3) для определи-
теля |Xt|.
Замечание 2. Условия (13) и (14), вообще говоря, не достаточны для
того, чтобы имело место соответствующее уравнение для какого-либо
другого минора стохастической полугруппы. Так, например, если у
матрицы f(s, U) первые две строки нулевые, то для любого минора
второго порядка, построенного по этим двум строкам, неравенства
(13) и (14) имеют место, так как левые части этих неравенств рав-
ны нулю. Для любого другого минора второго или более высокого
порядка это уже не так.
294 Миноры линейной стохастической системы
Литература
[1] А. С. Чани, Определитель линейной стохастической системы, Сб. науч. тр.
Теория случайных процессов и ее приложения, Наукова думка, Киев, 1990,
148–155.
[2] И. И. Гихман, А. В. Скороход, Стохастические дифференциальные уравне-
ния и их приложения, 1982, 612 с.
Сведения об авторах
Александр
Семёнович
Чани
Институт прикладной математики
и механики НАН Украины,
Розы Люксембург 74,
83114, Донецк,
Украина
E-Mail: chani@iamm.ac.donetsk.ua
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124591 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T22:43:40Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чани А.С. 2017-09-29T15:05:18Z 2017-09-29T15:05:18Z 2005 Миноры линейной стохастической системы / А.С. Чани // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 2. — С. 281-294. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 60H25, 60H10, 60G20. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124591 Рассматриваются матричные линейные стохастические системы общего вида. Выводятся стохастические уравнения для миноров решений таких систем. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Миноры линейной стохастической системы Article published earlier |
| spellingShingle | Миноры линейной стохастической системы Чани А.С. |
| title | Миноры линейной стохастической системы |
| title_full | Миноры линейной стохастической системы |
| title_fullStr | Миноры линейной стохастической системы |
| title_full_unstemmed | Миноры линейной стохастической системы |
| title_short | Миноры линейной стохастической системы |
| title_sort | миноры линейной стохастической системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124591 |
| work_keys_str_mv | AT čanias minorylineinoistohastičeskoisistemy |