Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування
Вивчаються диференцiально-геометричнi та топологiчнi структури операторiв трансмутацiї Дельсарта та асоцiйованi з ними рiвняння типу Гельфанда–Левiтана–Марченка за допомогою диференцiальних узагальнених комплексiв де Рама–Ходжа–Скрипника. Встановлено вiдповiдностi мiж спектральною теорiєю та спецiал...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Український математичний вісник |
|---|---|
| Datum: | 2005 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124604 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування / Я.А. Прикарпатський, А.М. Самойленко, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 550-582. — Бібліогр.: 42 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859906355068928000 |
|---|---|
| author | Прикарпатський, Я.А. Самойленко, А.М. Прикарпатський, А.К. |
| author_facet | Прикарпатський, Я.А. Самойленко, А.М. Прикарпатський, А.К. |
| citation_txt | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування / Я.А. Прикарпатський, А.М. Самойленко, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 550-582. — Бібліогр.: 42 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Український математичний вісник |
| description | Вивчаються диференцiально-геометричнi та топологiчнi структури операторiв трансмутацiї Дельсарта та асоцiйованi з ними рiвняння типу Гельфанда–Левiтана–Марченка за допомогою диференцiальних узагальнених комплексiв де Рама–Ходжа–Скрипника. Встановлено вiдповiдностi мiж спектральною теорiєю та спецiальними властивостями конгруентностi типу Березанського для операторiв, перестановочних за Дельсартом. Наведено деякi застосування до спецiальних багатовимiрних диференцiальних операторiв, включаючи тривимiрний оператор Лапласа, двовимiрний класичний оператор Дiрака i його багатовимiрне афiнне розширення, асоцiйоване з самодуальними рiвняннями Янга–Мiлса. Обговорюються солiтоннi розв’язки асоцiйованої множини динамiчних систем.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:00:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 2 (2005), № 4, 550 – 582
Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–
Скрипника: диференцiально-геометричнi i
спектральнi аспекти та деякi застосування
Ярема А. Прикарпатський, Анатолiй М. Самойленко,
Анатолiй К. Прикарпатський
Анотацiя. Вивчаються диференцiально-геометричнi та топологiчнi
структури операторiв трансмутацiї Дельсарта та асоцiйованi з ними
рiвняння типу Гельфанда–Левiтана–Марченка за допомогою дифе-
ренцiальних узагальнених комплексiв де Рама–Ходжа–Скрипника.
Встановлено вiдповiдностi мiж спектральною теорiєю та спецiаль-
ними властивостями конгруентностi типу Березанського для опера-
торiв, перестановочних за Дельсартом. Наведено деякi застосування
до спецiальних багатовимiрних диференцiальних операторiв, вклю-
чаючи тривимiрний оператор Лапласа, двовимiрний класичний опе-
ратор Дiрака i його багатовимiрне афiнне розширення, асоцiйоване
з самодуальними рiвняннями Янга–Мiлса. Обговорюються солiтоннi
розв’язки асоцiйованої множини динамiчних систем.
2000 MSC. 34A30, 34B05, 34B15.
Ключовi слова та фрази. Оператори трансмутацiї Дельсарта, ди-
ференцiальний комплекс де Рама–Ходжа, перетворення Дарбу, рiв-
няння Гельфанда–Левiтана–Марченка, оператор Дiрака, оператор
Лапласа, солiтоноподiбнi розв’язки.
Автори присвячують свою працю пам’ятi видатного українського математика
академiка Iгоря В. Скрипника, чиє серце передчасно перестало битись 2 лютого
2005 року i чий унiкальний талант постiйно надихав багатьох учнiв, колег та
послiдовникiв i завжди буде надiйним супутником на шляху їх творчих звершень.
1. Аспекти узагальненої теорiї де Рама–Ходжа та
асоцiйованi бiнарнi перетворення типу
Дельсарта–Дарбу
Диференцiально-геометричний аналiз перетворень типу Дельсар-
та–Дарбу розвивається для диференцiальних операторних виразiв,
що дiють в функцiональному просторi H = L2(T;H), де T = R
2 i
Стаття надiйшла в редакцiю 22.02.2005
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 551
H := L2(R
2; C2), i якi, як виявилось, мають глибокий зв’язок з кла-
сичною теорiєю де Рама–Ходжа–Скрипника [30,34–38], розвинутою в
серединi минулого столiття для множини комутуючих операторiв, ви-
значених, взагалi, на гладкому компактному m-вимiрному метрично-
му просторi M . Для розгляду нашої проблеми опису диференцiально-
геометричної i спектральної структури трансмутацiй типу Дельсар-
та–Дарбу, що дiють в H, ми спочатку зупинимося на пiдставах уза-
гальненої теорiї де Рама–Ходжа, розвинутої ранiше I. В. Скрипни-
ком [34–37] для вивчення спецiальних диференцiальних комплексiв.
Розглянемо гладкий метричний простiр M , що є вiдповiдним чином
компактифованою формою простору R
m, m ∈ Z+. Тодi можна ви-
значити на MT := T × M стандартну алгебру Грасмана Λ(MT;H)
диференцiальних форм на T×M i розглянути оператор узагальне-
ного зовнiшнього анти-диференцiювання dL : Λ(MT;H) → Λ(MT;H),
який дiє наступним чином: для будь-яких β(k) ∈ Λk(MT;H), k = 0,m,
dLβ
(k) :=
2∑
j=1
dtj ∧ Lj(t;x|∂)β(k)+
+
m∑
i=1
dxi ∧ Ai(t;x; ∂)β(k) ∈ Λk+1(MT;H), (1.1)
де Ai ∈ C2(T;L(H)), i = 1,m, є деякi диференцiальнi операторнi
вiдображення i
Lj(t;x|∂) := ∂/∂tj − Lj(t;x|∂) (1.2)
j = 1, 2, є вiдповiдно визначенi лiнiйнi диференцiальнi оператори в
H, що комутують один з одним, тобто
[L1,L2] = 0, [Ak,Ai] = 0 та [Lj ,Ai] = 0 (1.3)
для всiх j = 1, 2 та i, k = 1,m. Ми покладемо, в загальному випадку,
що диференцiальнi вирази
Lj(t;x|∂) :=
nj(L)∑
|α|=0
a(j)
α (t;x)
∂|α|
∂xα
, (1.4)
з коефiцiєнтами a
(j)
α ∈ C1(T;C∞(M ; End C
N )), |α| = 0, nj(L), nj(L) ∈
Z+, j = 0, 1, є деякими замкненими нормальними щiльно визначени-
ми операторами в просторi Гiльберта H для будь-яких t ∈ T. Легко
зауважити, що анти-диференцiювання dL, визначене в (1.1) є узагаль-
ненням звичайного зовнiшнього анти-диференцiювання
d =
m∑
j=1
dxj ∧
∂
∂xj
+
2∑
s=1
dts ∧
∂
∂ts
(1.5)
552 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
для якого, очевидно, мають мiсце комутацiйнi умови
[ ∂
∂xj
,
∂
∂xk
]
= 0,
[ ∂
∂ts
,
∂
∂tl
]
= 0,
[ ∂
∂xj
,
∂
∂ts
]
= 0 (1.6)
для всiх j, k = 1,m та s, l = 1, 2. Якщо тепер пiдставити в (1.5)
∂/∂xj −→ Aj , ∂/∂ts −→ Ls, j = 1,m, s = 1, 2, то отримуємо анти-
диференцiювання
dA :=
m∑
j=1
dxj ∧ Aj(t;x|∂) +
2∑
j=1
dts ∧ Ls(t;x|∂), (1.7)
в якому диференцiальнi вирази Aj ,Ls : H −→ H для всiх j, k = 1,m
та s, l = 1, 2, задовольняють комутацiйнi спiввiдношення [Aj ,Ak] = 0,
[Ls,Ls] = 0, [Aj ,Ls] = 0, i тодi операцiя (1.7) визначає на Λ(MT;H)
антидиференцiювання по вiдношенню до якого коланцюговий ком-
плекс
H −→ Λ0(MT;H)
dA−→ Λ1(MT;H)
dA−→ · · · dA−→ Λm+2(MT;H)
dA−→ 0
(1.8)
є, очевидно, точним, тобто dAdA ≡ 0. Оскiльки антидиференцiювання
в (1.1) є частковим випадком (1.7), ми отримуємо, що вiдповiдний до
нього коланцюговий комплекс (1.8) є також точним.
Нижче ми скористаємося iдеями, розвинутими в [30,34–37]. Дифе-
ренцiальну форму β ∈ Λ(MT;H) називатимемо dA-замкненою, якщо
dAβ = 0, форму γ ∈ Λ(MT;H) назвемо точною або dA-гомологiчною
нулю, якщо iснує на MT така форма ω ∈ Λ(MT;H), що γ = dAω.
Розглянемо тепер стандартну [4,30,38,39] алгебраїчну ∗-операцiю
Ходжа
∗ : Λk(MT;H) −→ Λm+2−k(MT;H), (1.9)
k = 0,m+ 2, наступним чином: якщо форма β ∈ Λk(MT;H), тодi
форма ∗β ∈ Λm+2−k(MT;H) є така, що:
• (m−k+2)-вимiрний об’єм |∗β| форми ∗β дорiвнює k-вимiрному
об’єму |β| форми β;
• (m + 2)-вимiрна мiра β̄⊺ ∧ ∗β > 0 при фiксованiй орiєнтацiї на
MT.
Визначимо також на просторi Λ(MT;H) наступний природнiй
скалярний добуток: для будь-яких векторнозначних форм β, γ ∈
Λk(MT;H), k = 0,m,
(β, γ) :=
∫
MT
β̄⊺ ∗ γ. (1.10)
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 553
Маючи скалярний добуток (1.10), можна природнiм чином збудувати
гiльбертiв простiр
HΛ(MT) :=
m+2
⊕
k=0
Hk
Λ(MT), (1.11)
який буде корисним для нашого подальшого розгляду. Зазначимо тут,
що ∗-операцiя Ходжа задовольняє наступну властивiсть, яку легко
перевiрити: для будь-яких β, γ ∈ Hk
Λ(MT), k = 0,m,
(β, γ) = (∗β, ∗γ), (1.12)
тобто операцiя Ходжа ∗ : HΛ(MT) −→ HΛ(MT) є унiтарною i стан-
дартна спряжена до неї операцiя по вiдношенню до скалярного добу-
тку (1.10) задовольняє умову (∗)′ = (∗)−1.
Позначимо через d′L формально спряжений вираз до слабої дифе-
ренцiальної операцiї (1.1). З допомогою операцiй d′L i dL в HΛ(MT)
можна природньо визначити [4, 30, 34, 38, 39] узагальнений оператор
Лапласа-Ходжа ∆L : HL(MT) −→ HL(MT) як
∆L = d′LdL + d′LdL. (1.13)
Вiзьмемо форму β ∈ HΛ(MT), що задовольняє рiвнiсть
∆Lβ = 0. (1.14)
Таку форму називають [4,30,34,39] гармонiчною. Можна перевiрити,
що гармонiчна форма β ∈ HΛ(MT) задовольняє наступнi двi спряженi
умови:
d′Lβ = 0, dLβ = 0, (1.15)
що легко слiдує з (1.13) та (1.14).
Легко перевiрити, що наступнi диференцiальнi оператори в
HΛ(MT)
d∗L := ∗d′L(∗)−1 (1.16)
також визначають нову зовнiшню операцiю антидиференцiювання в
HΛ(MT).
Лема 1.1. Вiдповiдний дуальний до (1.8) коланцюговий комплекс
H −→ Λ0(MT;H)
d∗L−→ Λ1(MT;H)
d∗L−→ · · · d∗L−→ Λm+2(MT;H)
d∗L−→ 0
(1.17)
є точним.
Доведення. Доведення слiдує завдяки властивостi d∗Ld
∗
L = 0, що ви-
конується згiдно з визначенням (1.16).
554 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
Позначимо надалi через Hk
Λ(L)(MT), k = 0,m+ 2, групи когомоло-
гiй dL-замкнених i через Hk
Λ(L∗)(MT), k = 0,m+ 2, k = 0,m+ 2, групи
когомологiй d∗L-замкнених диференцiальних форм, вiдповiдно, i через
Hk
Λ(L∗L)(MT), k = 0,m+ 2, абелевi групи гармонiчних диференцiаль-
них форм у гiльбертових пiдпросторах Hk
Λ(MT), k = 0,m+ 2.
Перед тим як формулювати наступнi результати, визначимо стан-
дартний ланцюг [1, 2] позитивного i негативного гiльбертових про-
сторiв диференцiальних форм, оснащених вкладеннями Гiльберта–
Шмiдта
Hk
Λ,+(MT) ⊂ Hk
Λ(MT) ⊂ Hk
Λ,−(MT), (1.18)
вiдповiдний спадковий оснащений ланцюг гармонiчних форм:
Hk
Λ(L∗L),+(MT) ⊂ Hk
Λ(L∗L)(MT) ⊂ Hk
Λ(L∗L),−(MT) (1.19)
та ланцюги вiдповiдних груп когомологiй:
Hk
Λ(L),+(MT) ⊂ Hk
Λ(L)(MT) ⊂ Hk
Λ(L),−(MT), (1.20)
Hk
Λ(L∗),+(MT) ⊂ Hk
Λ(L∗)(MT) ⊂ Hk
Λ(L∗),−(MT)
для всiх k = 0,m+ 2. Припустимо також, що оператор Лапласа–
Ходжа (1.13) є редукованим на простiр H0
Λ(M). Тепер, використо-
вуючи обгрунтування, подiбно як в [4, 30, 39], можна сформулювати
певне узагальнення [30,35–37] теореми де Рама–Ходжа.
Твердження 1.1. Групи гармонiчних форм Hk
Λ,+(MT), k = 0,m+ 2,
є, вiдповiдно, iзоморфними до груп когомологiй (Hk(MT; C))|Σ|, k =
0,m+ 2, де Hk(MT; C) є k-ю когомологiчною групою многовиду MT
з комплексними коефiцiєнтами, множина Σ ⊂ C
p, p ∈ Z+, є мно-
жиною вiдповiдних “спектральних” параметрiв, що визначають лi-
нiйний простiр незалежних d∗L-замкнених 0-форм з H0
Λ(L),−(MT), i,
тим бiльше, наступнi розклади на прямi суми
Hk
Λ,+(MT) = Hk
Λ(L∗L),+(MT) ⊕ ∆LHk
Λ,+(MT) =
= Hk
Λ(L∗L),+(MT) ⊕ dLHk−1
Λ,+(MT) ⊕ d′LHk+1
Λ,+(MT) (1.21)
справедливi для будь-яких k = 0,m+ 2.
Iнший варiант твердження, подiбного до поданого вище, був сфор-
мульований в [34,35] i є наступним узагальненням теореми де Рама–
Ходжа.
Теорема 1.1. Узагальненi групи когомологiй Hk
Λ(L),+(MT), k =
0,m+ 2, є iзоморфнi, вiдповiдно, до груп когомологiй (Hk(MT; C))|Σ|,
k = 0,m+ 2.
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 555
Доведення. Доведення цiєї теореми грунтується на деяких спецiаль-
них наслiдках [19,34–37] з тотожностей типу Лагранжа.
Визначимо наступний замкнений пiдпростiр
H∗
0 :=
{
ϕ(0)(η) ∈ H0
Λ(L∗),−(MT) : d∗Lϕ
(0)(η) = 0, ϕ(0)(η)|Γ = 0, η ∈ Σ
}
(1.22)
для деякої гладкої (m + 1)-вимiрної гiперповерхнi Γ ⊂ MT та Σ ⊂
(σ(L)∩ σ̄(L))×Σσ ⊂ C
p, де H0
Λ(L∗),−(MT) є, як вище, вiдповiдно осна-
щена [1, 2] група когомологiй нульового порядку з коланцюга, зада-
ного в (1.20), σ(L) i σ(L∗) є, вiдповiдно, взаємнi узагальненi спектри
множин диференцiальних операторiв L i L∗ в H при t = 0 ∈ T. Та-
ким чином, розмiрнiсть dimH∗
0 = cardΣ := |Σ| вважається вiдомою.
Наступна лема була вперше сформульована I. В. Скрипником [34,35]
i має фундаментальне значення для доведення теореми 1.1.
Лема 1.2. Iснує множина диференцiальних (k+1)-формZ(k+1)[ϕ(0)(η),
dLψ
(k)] ∈ Λk+1(MT; C), k = 0,m+ 2, i множина k-форм Z(k)[ϕ(0)(η),
ψ(k)] ∈ Λk(MT; C), k = 0,m+ 2, параметризованих множиною Σ ∋ η,
i якi є напiвлiнiйними за (ϕ(0)(η), ψ(k)) ∈ H∗
0 ×Hk
Λ,+(MT), що
Z(k+1)[ϕ(0)(η), dLψ
(k)] = dZk[φ(0)(η ), ψ(k)] (1.23)
для всiх k = 0,m+ 2 i η ∈ Σ.
Доведення. Доведення грунтується на наступнiй тотожностi типу Ла-
гранжа, яка узагальнює тотожнiсть з Частини 1, i яка справедлива
для будь-якої пари (ϕ0(η), ψ(k)) ∈ H∗
0 ×Hk
Λ,+(MT):
0 = 〈d∗Lφ(0)(η), ∗(ψ(k) ∧ γ)〉 = 〈∗d′L(∗)−1ϕ(0)(η), ∗(ψ(k) ∧ γ)〉 =
= 〈∗d′L(∗)−1φ(0)(x), ∗(ψ(k) ∧ γ)〉 =
= 〈(∗)−1ϕ(0)(η), dLψ
(k) ∧ γ〉 + Z(k+1)[ψ(0)(η), dLψ(k)] ∧ γ =
= 〈(∗)−1ϕ
(0)(η), dLψ
(k) ∧ γ〉 + dZ(k)[ϕ(0)(η), ψ(k)] ∧ γ, (1.24)
де Z(k+1)[ϕ(0)(η), dLψ
(k)] ∈ Λk+1(MT; C), k = 0,m+ 2, i Z(k)[ϕ(0)(η),
ψ(k)] ∈ Λk(MT; C), k = 0,m+ 2, є деякi напiвлiнiйнi дифе-
ренцiальнi форми на MT, параметризованi параметром λ ∈ Σ,
та γ ∈ Λm+1−k(MT; C) є довiльною постiйною (m + 1 − k)-
формою. Таким чином, напiвлiнiйнi диференцiальнi (k + 1)-форми
Z(k+1)[ϕ(0)(η), dLψ
(k)] ∈ Λk+1(MT; C) i k-форми Z(k)[ϕ(0)(η), ψ(k)] ∈
Λk(MT; C), k = 0,m+ 2, λ ∈ Σ, побудованi вище, є саме тими, якi
потрiбнi в лемi.
556 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
Грунтуючись на лемi 1.2, можна побудувати iзоморфiзм груп ко-
гомологiй, про який йдеться в теоремi 1.1, сформульованiй вище. А
саме, слiдуючи [34, 35], вiзьмемо деякий сингулярний симплiцiаль-
ний [30, 31, 38, 39] комплекс K(MT) нашого компактного метричного
просторуMT i введемо множину лiнiйних вiдображень B
(k)
λ : Hk
Λ,+MT
−→ Ck(MT; C), k = 0,m+ 2, λ ∈ Σ, де Ck(MT; C), k = 0,m+ 2, є до-
вiльною абелевою групою над полем C, що генерована, вiдповiдно,
всiма k-ланцюгами сингулярних симплексiв S(k) ⊂MT, k = 0,m+ 2,
з симплiцiального комплексу K(MT) наступним чином:
B
(k)
λ (ψ(k)) :=
∑
S(k)∈Ck(MT;C)
S(k)
∫
S(k)
Z(k)[ϕ(0)(λ), ψ(k)], (1.25)
де ψ(k) ∈ Hk
Λ,+(MT), k = 0,m+ 2. Справедлива наступна теорема
[34,35], що грунтується на побудованих вiдображеннях (1.25).
Теорема 1.2. Множина операторiв (1.25), параметризована пара-
метром λ ∈ Σ, реалiзує iзоморфiзм груп когомологiй, сформульова-
ний в теоремi 1.1
Доведення. Доведення цiєї теореми можна отримати, переходячи в
(1.25) до вiдповiдних когомологiчних Hk
Λ(L),+(MT) i гомологiчних
Hk(MT; C) груп тростору MT для кожного k = 0,m+ 2. Якщо взяти
елемент ψ(k) := ψ(k)(µ) ∈ Hk
Λ(L),+(MT), k = 0,m+ 2, який розв’язує
рiвняння dLψ
(k)(µ) = 0 з µ ∈ Σk, що є деякою множиною асоцiйо-
ваних “спектральних” параметрiв, що позначають елементи пiдпро-
стору Hk
Λ(L),−(MT), тодi легко отримати з (1.25) i тотожностi (1.23),
що dZ(k)[ϕ(0)(λ), ψ(k)(µ)] = 0 для всiх (λ, µ) ∈ Σ × Σk, k = 0,m+ 2.
Це, зокрема, означає, згiдно з лемою Пуанкаре [12,30,38], що iснують
диференцiальнi (k − 1)-форми Ω(k−1)[ϕ(0)(λ), ψ(k)(µ] ∈ Λk−1(M ; C),
k = 0,m+ 2, такi, що
Z(k)[ϕ(0)(λ), ψ(k)(µ)] = dΩ(k−1)[ϕ(0)(λ), ψ(k)(µ)] (1.26)
для всiх пар (ϕ(0)(λ), ψ(k)(µ)) ∈ H∗
0 × Hk
Λ(L),+(MT), параметризова-
них елементами (λ, µ) ∈ Σ × Σk, k = 0,m+ 2. Як результат переходу
в правiй частинi (1.25) до груп гомологiй Hk(MT; C), k = 0,m+ 2,
отримуємо, користуючись теоремою Стокса [12, 30, 38], що вiдобра-
ження
B
(k)
λ : Hk
Λ(L),+(MT) −→ Hk(MT; C) (1.27)
є iзоморфiзмами для кожного k = 0,m+ 2 та λ ∈ Σ. Користуючись
далi дуалiзмом Пуанкаре [4,30,38] мiж групами гомологiй Hk(MT; C),
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 557
k = 0,m+ 2, i групами когомологiй Hk(M ; C), k = 0,m+ 2, вiдповiд-
но, отримуємо твердження, про яке говориться в теоремi 1.2.
2. Спектральна структура операторiв трансмутацiї
типу Дельсарта–Дарбу в багатовимiрному випадку
Вiзьмемо до уваги тепер, що диференцiальнi оператори Lj : H →
H, j = 1, 2, мають спецiальний вигляд (1.2). Припустимо також, що
диференцiальнi вирази (1.4) є нормальними замкненими оператора-
ми, визначеними на щiльному пiдпросторi D(L) ⊂ L2(M ; CN ). Тодi,
згiдно з теоремою 1.2, можна знайти таку пару (ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ)dx) ∈
H∗
0 ×Hk
Λ(L),+(MT), параметризовану елементами (λ, µ) ∈ Σ×Σk, для
якої справедлива рiвнiсть
B
(m)
λ (ψ(0)(µ)dx) = S
(m)
(t;x)
∫
∂S
(m)
(t;x)
Ω(m−1)[ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx], (2.1)
де S
(m)
(t;x) ∈ Hm(MT; C) є деяким довiльним фiксованим елементом,
параметризованим довiльно вибраною точкою (t;x) ∈ MT ∩ ∂S
(m)
(t;x).
Розглянемо наступнi iнтегральнi вирази
Ω(t;x)(λ, µ) :=
∫
σ
(m−1)
(t;x)
Ω(m−1)[ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx],
Ω(t0;x0)(λ, µ) :=
∫
σ
(m−1)
(t0;x0)
Ω(m−1)[φ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx],
(2.2)
з точкою (t0;x0) ∈MT∩∂S(m)
(t0;x0), взятою фiксованою, межами σ
(m−1)
(t;x)
:= ∂S
(m)
t;x , σ
(m−1)
(t0;x0) := ∂S
(m)
t0;x0
, гомологiчними одна однiй (t;x0) −→
(t;x) ∈MT, (λ, µ) ∈ Σ×Σk, i проiнтерпретуємо їх як ядра [1,2,5] вiд-
повiдних оборотних iнтегральних операторiв типу Гiльберта–Шмiдта
Ω(t;x),Ω(t0;x0) : L
(ρ)
2 (Σ; C) −→ L
(ρ)
2 (Σ; C), де ρ є деякою фiнiтною боре-
лiвською мiрою на множинi параметрiв Σ. Визначимо тепер оборотнi
операторнi вирази
Ω± : ψ(0)(µ) −→ ψ̃(0)(µ) (2.3)
для ψ(0)(µ) dx ∈ Hm
Λ(L),+(MT) i деяких ψ̃(0)(µ) dx ∈ Hm
Λ(L),+(MT),
µ ∈ Σ, де, за визначенням, для будь-яких η ∈ Σ
ψ̃(0)(η) := ψ(0)(η) · Ω−1
(t;x) · Ω(t0;x0) =
558 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
=
∫
Σ
dρ(µ)
∫
Σ
dρ(ξ)ψ(0)(µ)Ω−1
(t;x)(µ, ξ)Ω(t0;x0)(ξ, η), (2.4)
будучи мотивованим виразом (2.1). А саме, розглянемо наступну дi-
аграму
Hm
Λ(L),+(MT)
Ω±−→ Hm
Λ(L̃),+
(MT),
B
(m)
λ ↓ ւ B̃
(m)
λ
Hm(MT; C)
(2.5)
яка, припускається, є комутативною для деякого iншого коланцюго-
вого комплексу
H −→ Λ0(MT;H)
dL̃−→ Λ1(MT;H)
dL̃−→ · · · dL̃−→ Λm+2(MT;H)
dL̃−→ 0.
(2.6)
Тут, за визначенням, узагальнене антидиференцiювання dL̃ є
dL̃ :=
2∑
j=1
dtj ∧ L̃j(t;x|∂) (2.7)
з операторами
L̃j = ∂/∂tj − L̃j(t;x|∂),
L̃j(t;x|∂) :=
nj(L̃)∑
|α|=0
ã(j)
α (t;x)
∂|α|
∂xα
,
(2.8)
де коефiцiєнти ã
(j)
α ∈ C1(T;C∞(M ; End C
N ), |α| = 0, nj(L̃), nj(L̃) :=
nj(L) ∈ Z+, j = 1, 2. Вiдповiднi iзоморфiзми B̃
(m)
λ : Hm
Λ(L),+(MT) −→
Hm(MT; C), λ ∈ Σ, дiють, за визначенням, наступним чином:
B̃
(m)
λ (ψ̃(0)(µ) dx) = S
(m)
(t;x)
∫
∂S
(m)
(t;x)
Ω̃(m−1)[ϕ̃(0)(λ), ψ̃(0)(µ) dx], (2.9)
де ϕ̃(0)(λ) ∈ H̃∗
0 ⊂ H0
Λ(L∗),−(MT), λ ∈ (σ(L̃) ∩ σ̄(L̃∗)) × Σσ,
H̃∗
0 :=
{
ϕ̃(0)(λ) ∈ Hm
Λ(L∗),−(MT) : d∗
L̃
ϕ̃(0)(x) = 0, ϕ̃(0)(λ)|Γ̃ = 0, λ ∈ Σ
}
(2.10)
для деякої гiперповерхнi Γ̃ ⊂ MT. Вiдповiдно визначаємо наступний
замкнений пiдпростiр
H̃0 :=
{
ψ̃(0)(µ) ∈ H0
Λ(L∗),−(MT) : d∗
L̃
ψ̃(0)(λ) = 0, ψ̃(0)(µ)|Γ̃ = 0, µ ∈ Σ
}
(2.11)
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 559
для гiперповерхнi Γ̃ ⊂ MT, що введена вище.
Припустимо тепер, що елементи (2.4) належать до замкненого пiд-
простору (2.11), тобто
dL̃ψ̃
(0)(µ) = 0. (2.12)
Визначимо подiбно до (2.11) замкнений пiдпростiр H̃∗
0⊂Hm
Λ(L∗),−(MT)
наступним чином:
H0 :=
{
ψ(0)(λ) ∈ H0
Λ(L∗),−(MT) : dLψ
(0)(λ) = 0, ψ(0)(λ)|Γ = 0, λ ∈ Σ
}
(2.13)
для всiх µ ∈ Σ. Тодi, завдяки комутативностi дiаграми (2.5), iснують
вiдповiднi два оборотнi вiдображення
Ω± : H0 → H̃0, (2.14)
залежно вiд шляху їх розширення на весь простiр Гiльберта Hm
Λ,−(MT).
Розширимо тепер оператори (2.14) на весь гiльбертiв простiр
Hm
Λ,−(MT) за допомогою стандартного методу [27, 33] варiацiї ста-
лих, враховуючи, що ядра Ω(t;x)(λ, µ), Ω(t0;x0)(λ, µ) ∈ L
(p)
2 (Σ; C) ⊗
L
(p)
2 (Σ; C), λ, µ ∈ Σ. Можна записати наступнi спiввiдношення:
Ω(t;x)(λ, µ) − Ω(t0;x0)(λ, µ) =
∫
∂S
(m)
(t;x)
Ω(m−1)[ϕ(0)(x), ψ(0)(µ) dx]−
−
∫
∂S
(m)
(t0;x0)
Ω(m−1)[ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx] =
=
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x)
,σ
(m−1)
(t0;x0)
)
dΩ(m−1)[ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx] =
=
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x)
,σ
(m−1)
(t0;x0)
)
Z(m)[ϕ(0)(λ), ψ(0)(µ) dx], (2.15)
де, за визначенням, m-вимiрнi вiдкритi поверхнi S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x) , σ
(m−1)
(t0;x0)
)
⊂ MT є гладко напнутi без самоперетинiв мiж двома гомологiчними
циклами σ
(m−1)
(t;x) = ∂S
(m)
(t;x) i σ
(m−1)
(t0;x0) = ∂S
(m)
(t0;x0) ∈ Cm−1(MT; C) таким
чином, що границя ∂
(
S
(m)
+
(
σ
(m−1)
(t0;x0), σ
(m−1)
(t0;x0)
)
∪ S(m)
−
(
σ
(m−1)
(t;x) , σ
(m−1)
(t0;x0)
))
=
⊘. Використовуючи спiввiдношення (2.15), легко знайти наступнi iн-
тегральнi вирази в H−:
Ω± = 1 −
∫
Σ
dρ(η)ψ̃(0)(ξ)Ω−1
(t0;x0)(ξ, η)×
560 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
×
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x)
,σ
(m−1)
(t0;x0)
)
Z(m)[ϕ(0)(η), (·) dx], (2.16)
визначенi для фiксованих пар (ϕ(0)(ξ), ψ(0)(η)) ∈ H∗
0 × H0 i (ϕ̃(0)(ξ),
ψ̃(0)(µ)) ∈ H̃∗
0 × H̃0, λ, µ ∈ Σ, як обмеженi оборотнi оператори типу
Вольтерра [3, 5, 13, 21] у просторi Гiльберта H. Бiльше того, для ди-
ференцiальних операторiв L̃j : H −→ H, j = 1, 2, легко отримати
наступнi вирази:
L̃j = Ω±LjΩ
−1
± , (2.17)
де лiва частина (2.17) не залежить вiд знакiв “±” правої частини.
Таким чином, iнтегральнi оператори Вольтерра (2.16) є оператора-
ми трасмутацiї Дельсарта–Дарбу, що вiдображають задану множину
L диференцiальних операторiв в нову множину L̃ диференцiальних
операторiв, перетворених з допомогою виразiв Дельсарта (2.17).
Припустимо тепер, що всi диференцiальнi оператори Lj(t;x|∂),
j = 1, 2, розглянутi вище, не залежать вiд змiнної t ∈ T. Тодi, очевид-
но, можна взяти
H0 :=
{
ψ(0)
µ (ξ) ∈ L2.−(M ; CN ) : Ljψ
(0)
µ (ξ) = µjψ
(0)
µ (ξ), j = 1, 2,
ψ(0)
µ (ξ)|Γ̃ = 0, µ = (µ1, µ2) ∈ σ(L̃) ∩ σ(L∗), ξ ∈ Σσ
}
,
H̃0 :=
{
ψ̃(0)
µ (ξ) ∈ L2.−(M ; CN ) : L̃jψ̃
(0)
µ (ξ) = µjψ̃
(0)
µ (ξ), j = 1, 2,
ψ̃(0)
µ (ξ)|Γ̃ = 0, µ = (µ1, µ2) ∈ σ(L̃) ∩ σ(L∗), ξ ∈ Σσ
}
,
H∗
0 :=
{
ϕ
(0)
λ (η) ∈ L2.−(M ; CN ) : L∗
jϕ
(0)
λ (η) = λ̄jϕ
(0)
λ (η), j = 1, 2,
ϕ
(0)
λ (η)|Γ̃ = 0, λ = (λ1, λ2) ∈ σ(L̃) ∩ σ(L∗), η ∈ Σσ
}
,
H̃∗
0 :=
{
ϕ̃
(0)
λ (η) ∈ L2.−(M ; CN ) : L̃∗
j ϕ̃
(0)
λ (η) = λ̄jϕ
(0)
λ (η), j = 1, 2,
ϕ̃
(0)
λ (η)|Γ̃ = 0, λ = (λ1, λ2) ∈ σ(L̃) ∩ σ(L∗), η ∈ Σσ
}
,
(2.18)
i збудувати вiдповiднi оператори трансмутацiї Дельсарта–Дарбу
Ω± = 1 −
∫
σ(L̃)∩σ(L∗)
dρσ(λ)
∫
Σσ×Σσ
dρΣσ(ξ) dρΣσ(η)×
×
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t0;x0)
,σ
(m−1)
(t0;x0)
)
dx ψ̃
(0)
λ (ξ)Ω−1
x0
(λ; ξ; η)ϕ̄
(0),⊺
λ (η)(·), (2.19)
що дiють в просторi Гiльберта L2,+(M ; CN ), де для будь-яких пара-
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 561
метрiв (λ; ξ, η) ∈ (σ(L̃) ∩ σ(L∗) × Σ2
σ ядра
Ω(x0)(λ; ξ, η) :=
∫
σ
(m−1)
x0
Ω(m−1)[ϕ
(0)
λ (ξ), ψ
(0)
λ (η) dx] (2.20)
належать до L
(ρ)
2 (Σσ; C)⊗L(ρ)
2 (Σσ; C). Бiльше того, оскiльки ∂Ω±/∂tj
= 0, j = 1, 2, легко отримати множину диференцiальних виразiв
L̃j(x|∂) := Ω±Lj(x|∂)Ω−1
± , (2.21)
що комутують, очевидно, одне з одним.
Оператори Вольтерра (2.19) володiють деякими додатковими вла-
стивостями. А саме, визначимо наступний iнтегральний оператор ти-
пу Фредгольма в H :
Ω := Ω−1
+ Ω−, (2.22)
який можна записати в наступнiй формi:
Ω=1+Φ(Ω), (2.23)
де оператор Φ(Ω) ∈ B∞(H) є компактним. Бiльше того, враховую-
чи спiввiдношення (2.21), легко отримати, що мають мiсце наступнi
комутаторнi умови
[Ω, Lj ] = 0 (2.24)
для j = 1, 2.
Позначимо через Φ̂(Ω) ∈ H− ⊗ H− i K̂+(Ω), K̂−(Ω) ∈ H− ⊗ H−
ядра вiдповiдних [1, 2] операторiв Φ(Ω) ∈ B∞(H) i Ω± − 1 ∈ B∞(H).
Тодi, враховуючи факт, що suppK+(Ω) ∩ suppK−(Ω) = σ
(m−1)
x ∪
σ
(m−1)
x0 , отримуємо з (2.22) та (2.23) вiдоме лiнiйне iнтегральне рiв-
няння типу Гельфанда–Левiтана–Марченка
K̂+(Ω)+Φ̂(Ω)+K̂+(Ω)Φ̂(Ω) =K̂−(Ω), (2.25)
яке дозволяє знайти факторизуюче ядро оператора Фредгольма (2.22)
K̂+(Ω)(x; y) ∈ H−⊗H− для всiх y ∈ suppK+(Ω). Умови (2.24) можна
переписати наступним чином:
(Lj,ext ⊗ 1)Φ̂(Ω) = (1 ⊗ L∗
j,ext)Φ̂(Ω), (2.26)
де Lj,ext ∈ L(H−), j = 1, 2, i їх спряження L∗
j,ext ∈ L(H−), j = 1, 2, є
вiдповiдними розширеннями [1,2,28] диференцiальних операторiв Lj
i L∗
j ∈ L(H), j = 1, 2.
562 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
Беручи до уваги спiввiдношення (2.21), можна записати [1, 28]
умови на вiдповiднi ядра подiбно до (2.26):
(L̃j,ext ⊗ 1)K̂±(Ω) = (1 ⊗ L∗
j,ext)K̂±(Ω), (2.27)
де, як i вище, L̃j,ext ∈ L(H−), j = 1, 2, є вiдповiдно оснащенi розши-
рення диференцiальних операторiв L̃j ∈ L(H), j = 1, 2.
Перейдемо тепер до аналiзу питання про загальну диференцi-
альну структуру трансформованих операторних виразiв (2.17). Оче-
видно, що знайденi вище умови (2.25) та (2.26) на ядра K̂±(Ω) ∈
H− ⊗ H− операторiв трансмутацiї Дельсарта–Дарбу є необхiдними
для того, щоб iснували операторнi вирази (2.17) i були диференцi-
альними. Поставимо тепер питання, чи цi умови є достатнiми? Для
вивчення цього питання розглянемо оператори Вольтерра (2.16) та
(2.19) з ядрами, що задовольняють умови (2.25) та (2.26), вважаю-
чи, що вiдповiдно орiєнтованi поверхнi S
(m)
± (σ(t;x)(m−1) , σ(t0;x0)(m−1)) ∈
Cm(MT; C) заданi, наприклад, наступним чином:
S
(m)
+
(
σ
(m−1)
(t;x) , σ
(m−1)
(t0;x0)
)
=
{
(t′;x′)∈MT : t′=P (t;x|x′), t∈T
}
,
S
(m)
−
(
σ
(m−1)
(t;x) , σ
(m−1)
(t0;x0)
)
=
{
(t′;x′)∈MT : t′=P (t;x|x′)∈T\[t0, t]
}
,
(2.28)
де вiдображення P ∈ C∞(MT × M ; T) є гладким i таким, що ме-
жi ∂S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x) , σ
(m−1)
(t0;x0)
)
= ±
(
σ
(m−1)
(t;x) − σ
(m−1)
(t0;x0)
)
з циклами σ
(m−1)
(t;x) та
σ
(m−1)
(t0;x0) ∈ K(MT), гомологiчними одне одному для будь-яких вибра-
них точок (t0;x0) та (t;x) ∈ MT. Тодi легко бачити з допомогою
простих, але дещо громiздких обчислень, якi грунтуються на мiрку-
ваннях з [11] та [9], що результуючi вирази для правої частини
L̃ = L + [K±(Ω),L] · Ω−1
± (2.29)
є точно рiвними один одному диференцiальними виразами, якщо та-
ким був вираз для оператора L ∈ L(H).
Стосовно обернених операторiв Ω−1
± ∈ B(H), присутнiх в (2.29),
можна тут зауважити, що завдяки фукцiональнiй симетрiї мiж за-
мкненими пiдпросторами H0 та H̃0 ⊂ H̃−, визначаючi спiввiдноше-
ння (2.14) та (2.4) є зворотнiми, тобто iснують оберненi операторнi
вiдображення Ω−1
± : H̃0 → H0, такi, що
Ω−1
± : ψ̃(0)(λ) −→ ψ(0)(λ) := ψ̃(0)(λ) · Ω̃−1
(t;x)Ω̃(t;x) (2.30)
для деяких вiдповiдних ядер Ω̃(t;x)(λ, µ) i Ω̃(t0;x0)(λ, µ) ∈ L
(ρ)
2 (Σ; C)⊗
L
(ρ)
2 (Σ; C), природньо асоцiйованих з перетвореним диференцiальним
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 563
виразом L̃ ∈ L(H). Таким чином, завдяки виразам (2.30) можна за-
писати подiбно до (2.19) вiдповiднi оберненi iнтегральнi оператори:
Ω−1
± = 1 −
∫
Σ
dρ(ξ)
∫
Σ
dρ(η)ψ(0)(ξ)Ω̃−1
t0;x0
(ξ, η)×
×
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(t;x)
,σ
(m−1)
(t0;x0)
)
Z̃(m)[ϕ̃(0)(η), (·) dx], (2.31)
визначенi для фiксованих пар (ϕ̃(0)(ξ), ψ̃(0)(η)) ∈ H̃∗
0 × H̃0 i (ϕ(0)(ξ),
ψ(0)(η)) ∈ H∗
0 × H0, ξ, η ∈ Σ, i будучи обмеженими оборотними опе-
раторами типу Вольтерра в просторi Гiльберта H. А саме, умови су-
мiсностi Ω±Ω−1
± = 1 = Ω−1
± Ω± повиннi бути виконанi тотожньо в H,
тягнучи за собою деякi обмеження, що визначають мiру ρ та Σ, а та-
кож можливi асимптотичнi умови на коефiцiєнтнi функцiї диферен-
цiального виразу L ∈ L. Такого типу обмеження були вже вiдзначенi
ранiше в [16, 40, 41], де, зокрема, розглядалися зв’язки з локальною
та нелокальною проблемами Рiмана.
В рамках загальної конструкцiї, викладеної вище, можна дати
природню iнтерпретацiю так званих трансформацiй Беклунда для ко-
фiцiєнтних функцiй заданого диференцiального операторного виразу
L ∈ L(H). А саме, слiдуючи символiчному розгляду в [17], ми переiн-
терпретуємо пiдхiд, запропонований там, для побудови перетворень
Беклунда, використовуючи технiку, що грунтується на теорiї опера-
торiв трансмутацiї Дельсарта. Визначимо два рiзнi трансформованi
за Дельсартом–Дарбу диференцiальнi операторнi вирази
L1 = Ω1,±LΩ−1
1,±, L2 = Ω2,±LΩ−1
2,±, (2.32)
де Ω1,+,Ω2,− є деякими операторами Вольтерра трансмутацiй Дель-
сарта в H з борелiвськими спектральними мiрами ρ1 i ρ2 на Σ такими,
що справедливi наступнi умови
Ω−1
1,+Ω1,− = Ω = Ω−1
2,+Ω2,−. (2.33)
Використовуючи тепер умови (2.32) i спiввiдношення (2.33), легко
знайти, що оператор B := Ω2,−Ω−1
1,+ задовольняє наступнi операторнi
рiвняння
L2B = BL1, Ω2,±B = BΩ1,±, (2.34)
якi мотивують наступне визначення.
564 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
Означення 2.1. Оборотне символьне вiдображення B̂ : L(H) −→
L (H) будемо називати перетворенням Дарбу–Беклунда оператора
L1 ∈ L(H) в оператор L2 ∈ L(H), якщо справедлива умова
[QB̂,L1] = 0 (2.35)
для деякого лiнiйного диференцiального виразу Q ∈ L(H).
Умову (2.35) можна реалiзувати наступним чином. Вiзьмемо будь-
який диференцiальний вираз q ∈ L(H), що задовольняє символьне
рiвняння
[qB,L] = 0. (2.36)
Тодi, використовуючи перетворення, подiбне до (2.32), з (2.33) знахо-
димо, що
[QB̂,L1] = 0, (2.37)
де завдяки (2.34)
QB̂ := Ω1,+qB̂Ω−1
1,+ = Ω1,+qΩ−1
2,+B̂. (2.38)
Отже, вираз Q = Ω1,+qΩ
−1
2,+ виявляється теж диференцiальним зав-
дяки умовам (2.34).
Мiркування, що стосується символьного вiдображення B̂ : L(H)→
L(H), приводить до ефективного знаряддя для побудови автопере-
творення Беклунда для коефiцiєнтiв диференцiальних операторних
виразiв L1,L2 ∈ L(H), що має багато застосувань [5, 20, 25, 29, 33] в
спектральнiй i солiтоннiй теорiях.
Повернемось тепер до вивчення структури трансформацiй Дель-
сарта–Дарбу для пучкiв полiномiальних диференцiальних операторiв
L(λ;x|∂) :=
n(L)∑
j=0
Lj(x|∂)λj , (2.39)
де n(L) ∈ Z+ i λ ∈ C є комплекснозначним параметром. Потрiбно зна-
йти вiдповiднi до (2.39) перетворення Дельсарта–Дарбу Ωλ,±, λ ∈ C,
такi, що для деяких пучкiв полiномiальних диференцiальних опе-
раторiв L̃(λ;x|∂) ∈ L(H) справедливi наступнi трасмутацiйнi умови
Дельсарта–Лайонса [8]
L̃Ωλ,± = Ωλ,±L (2.40)
для майже всiх λ ∈ C. Для знаходження таких перетворень роз-
глянемо залежний вiд параметру τ ∈ R диференцiальний оператор
Lτ (x|∂) ∈ L(Hτ ), де
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 565
Lτ (x|∂) :=
n(L)∑
j=0
Lj(x|∂)∂j/∂τ j , (2.41)
дiє в функцiональному просторi Hτ = Cq(L)(Rτ ;H) для деякого q(L)∈
Z+. Тодi можна легко побудувати вiдповiднi перетворення Дельсар-
та–Дарбу Ωτ,± ∈ L(Hτ ) типу Вольтерра для деякого диференцiаль-
ного виразу
L̃τ (x|∂) :=
n(L)∑
j=0
L̃j(x|∂)∂j/∂τ j , (2.42)
якщо справджуються наступнi [8] перестановочнi умови Дельсарта–
Лiонса
L̃τΩτ,± = Ωτ,±Lτ (2.43)
в просторi Hτ . Отже, використовуючи результати, отриманi вище,
можна записати, що
Ωτ,± = 1 −
∫
Σ
dρΣ(ξ)
∫
Σ
dρΣ(η) ψ̃(0)
τ (λ; ξ)Ω−1
(τ0;x0)(λ; ξ, η)×
×
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(τ ;x)
,σ
(m−1)
(τ0;x0)
)
Z(m)[ϕ(0)
τ (λ; η), (·) dx], (2.44)
визначається за допомогою наступних замкнутих пiдпросторiв Hτ,0 ⊂
Hτ,− та H∗
τ,0 ⊂ H∗
τ,− :
Hτ,0 :=
{
ψ(0)
τ (λ; ξ) ∈ Hτ,− : Lτψ
(0)
τ (λ; ξ) = 0,
ψ(0)
τ (λ; ξ)|τ=0 = ψ(0)(λ; ξ) ∈ H, Lψ(0)(λ; ξ) = 0,
ψ(0)(λ; ξ)|Γ = 0, λ ∈ C, ξ ∈ Σ
}
,
H∗
τ,0 :=
{
ϕ(0)
τ (λ; η) ∈ H∗
τ,− : Lτϕ
(0)
τ (λ; η) = 0,
ϕ(0)
τ (λ; η)|τ=0 = ϕ(0)(λ; η) ∈ H∗, Lϕ(0)(λ; η) = 0,
ϕ(0)(λ; η)|Γ = 0, λ ∈ C, η ∈ Σ
}
.
(2.45)
Пригадуючи тепер, що оператори Lj ∈ L(H), j = 0, r(L), не залежать
вiд параметра τ ∈ R, можна з (2.44) легко визначити
Ω± = 1 −
∫
Σ
dρΣ(ξ)
∫
Σ
dρΣ(η) ψ̃(0)(λ; ξ)Ω−1
(x0)(λ; ξ, η)×
×
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(x)
,σ
(m−1)
(x0)
)
Z
(m)
0 [ϕ(0)(λ; η), (·) dx], (2.46)
566 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
де ми поклали σ
(m−1)
x := σ
(m−1)
(τ0;x)
, σ
(m−1)
x0 := σ
(m−1)
(τ0;x0) ∈ Cm−1(R
m; C) i
Z
(m)
0
[
ϕ(0)(λ; η), ψ(0)dx
]
:= Z(m)
[
ϕ(0)
τ (λ; η), ψ(0)
τ dx
]
|dτ=0. (2.47)
Вiдповiдно до (2.46) замкненi пiдпростори H0 ∈ H− i H∗
0 ∈ H∗
− зада-
ються наступним чином:
H0 :=
{
ψ(0)(λ; ξ) ∈ H− : Lψ(0)(λ; ξ) = 0,
ψ(0)(λ; ξ)|Γ = 0, λ ∈ C, ξ ∈ Σ
}
,
H∗
τ,0 :=
{
ϕ(0)(λ; η) ∈ H∗
− : Lϕ(0)(λ; η) = 0,
ϕ(0)(λ; η)|Γ = 0, λ ∈ C, η ∈ Σ
}
.
(2.48)
Тим самим, використовуючи вирази (2.46), можна побудувати пере-
творений за Дельсартом–Дарбу лiнiйний диференцiальний пучок L̃ ∈
L(H), коефiцiєнти якого пов’язанi з коефiцiєнтами пучка L ∈ L(H)
через деякi спiввiдношення типу Беклунда, якi кориснi для застосу-
вань (див. [15, 16,18,32,33]) в теорiї солiтонiв.
3. Оператори трансмутацiї Дельсарта–Дарбу для
спецiальних багатовимiрних диференцiальних
виразiв та їх застосування
3.1. Збурений самоспряжений оператор Лапласа в R
n
Розглянемо оператор Лапласа −∆m в H := L(Rm; C), збурений
оператором множення на функцiю q ∈W 2
2 (Rm; C), тобто оператор
L(x|∂) := −∆m + q(x), (3.1)
де x ∈ R
m. Оператор (3.1) є, очевидно, самоспряженим в H. Засто-
совуючи результати з роздiлу 1 до диференцiального виразу (3.1) в
просторi Гiльберта H, можна записати наступнi оборотнi оператори
трансмутацiї Дельсарта–Дарбу:
Ω± = 1 −
∫
σ(L)
dρσ(ξ)
∫
σ(L)
dρσ(ξ)
∫
Σσ
dρΣσ(ξ)
∫
Σσ
dρΣσ(η)×
× ψ̃(0)(λ; ξ)Ω−1
(x0)(λ; ξ, η)
(0)∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
(x)
,σ
(m−1)
(x0)
)
dy [ϕ̄(0)⊺(λ; η), (·)], (3.2)
де σ
(m−1)
x ∈ K(Rm) є тут замкнена, можливо не компактна, сим-
плiцiальна гiперповерхня в R
m, параметризована бiжучою точкою
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 567
x ∈ σ
(m−1)
x , i σ
(m−1)
x0 ∈ K(Rm) є вiдповiдна гомологiчна до σ
(m−1)
x
симплiцiальна гiперповерхня в R
m, параметризована точкою x0 ∈
σ
(m−1)
x0 . Iснують два m-вимiрнi пiдпростори, що пов’язують їх, ска-
жiмо S
(m)
±
(
σ
(m−1)
x , σ
(m−1)
x0
)
∈ K(Rm), i такi, що S
(m)
+
(
σ
(m−1)
x , σ
(m−1)
x0
)
∪
S
(m)
−
(
σ
(m−1)
x , σ
(m−1)
x0
)
=R
m. Беручи до уваги цi пiдпростори, можна пе-
реписати компактно оператори трансмутацiї Дельсарта–Дарбу (3.2)
для (3.1) як
Ω± = 1+
∫
S
(m)
±
(
σ
(m−1)
x ,σ
(m−1)
x0
)
dy K̂±(Ω)(x; y)(·), (3.3)
де, як i ранiше, x ∈ σ
(m−1)
x i ядра K̂±(Ω) ∈ H− ⊗H− задовольняють
рiвняння (2.27), або, еквiвалентно,
− ∆m(x; ∂)K̂±(Ω)(x; y) + ∆m(y; ∂)K̂±(Ω)(x; y) =
= (q(y) − q̃(x))K̂±(Ω)(x; y) (3.4)
для всiх x, y ∈ supp K̂±(Ω). Вiзьмемо для простоти не компактну
замкнену симплiцiальну гiперповерхню σ
(m−1)
x = σ
(m−1)
x,γ := {y ∈ R
m :
〈x−y, γ〉 = 0} i вироджений симплiцiальний цикл σ
(m−1)
x0 := x0 = ∞ ∈
R
m, де γ ∈ S
m−1 є довiльним версором, ‖γ‖ = 1. Тодi, очевидно,
S
(m)
±
(
σ(m−1)
x,γ , σ(m−1)
∞
)
:= S
(m)
±γ,x =
{
y ∈ R
m : 〈x− y,±γ〉 ≥ 0
}
(3.5)
i нашi оператори трансмутацiї (3.3) приймуть форму
Ω±γ = 1+
∫
S
(m)
±γ,x
dy K̂±γ(Ω)(x; y)(·), (3.6)
де supp K̂±γ(Ω) = S
(m)
±γ,x, S
(m)
+γ,x ∩ S
(m)
−γ,x = σ
(m−1)
x,γ ∪ σ
(m−1)
∞ i S
(m)
+γ,x ∪
S
(m)
−γ,x = R
m для будь-якого напрямку γ ∈ S
m−1.
Оборотнi оператори трансмутацiї Вольтерра, подiбнi до (3.6), бу-
ли побудованi ранiше Л. Д. Фаддєєвим [9] для самоспряженого збу-
реного оператора Лапласа (3.1) в R
3. Вiн назвав їх [9] операторами
перетворення з вольтеррiвським напрямком γ ∈ S
m−1. Легко бачи-
ти, що вирази Л. Д. Фаддєєва (3.6) є дуже спецiальним випадком
загального виразу (3.3), отриманого вище.
Визначимо тепер, використовуючи (3.3), наступний оператор Фре-
дгольма в просторi Гiльберта H :
Ω := (1+K+(Ω))−1(1+K−(Ω)) = 1+Φ(Ω) (3.7)
568 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
з компактною частиною Φ(Ω) ∈B∞(H). Тодi справедлива комутацiй-
на тотожнiсть
[L,Φ(Ω)] = 0 (3.8)
разом з рiвнянням типу Гельфанда–Левiтана–Марченка
K̂+(Ω)+Φ̂(Ω)+K̂+(Ω)Φ̂(Ω) =K̂−(Ω) (3.9)
для вiдповiдних ядер K̂±(Ω) та Φ̂(Ω) ∈H− ⊗H−.
В [9] була ретельно проаналiзована спектральна структура ядер
K̂±(Ω) ∈H−⊗H− в (3.6), використовуючи аналiтичнi властивостi вiд-
повiдних функцiй Грiна оператора (3.1). Як можна бачити з (3.2),
цi властивостi сильно залежать вiд структури спектральних мiр ρσ
на σ(L) i ρΣσ на Σσ i вiд аналiтичної поведiнки ядра Ω∞(λ; ξ, η) ∈
L
(ρ)
2 (Σσ; C) ⊗ L
(ρ)
2 (Σσ; C), ξ, η ∈ Σσ, для всiх λ ∈ σ(L). В [9] було
також встановлено для будь-якого напрямку γ ∈ S
m−1 залежнiсть
ядер K̂±(Ω) ∈H−⊗H− вiд регуляризованого визначника резольвенти
Rµ(L) ∈ B(H) оператора (3.1), де µ ∈ C/σ(L) є регулярною точкою.
Цю залежнiсть можна також прояснити, якщо використати пiдхiд
роздiлу 2.
3.2. Двовимiрний оператор Дiрака
Визначимо в H := L2(R
2; C2) двовимiрний оператор типу Дiрака
L̃1(x; ∂) :=
(
∂/∂x1 ũ1(x)
ũ2(x) ∂/∂x2
)
, (3.10)
де x := (x1, x2) ∈ R
2, i коефiцiєнти ũj ∈ W 1
2 (R2; C), j = 1, 2. Транс-
формацiйнi властивостi оператора (3.11) були вивченi в [23] ретельно
Л. П. Нижником. Зокрема, ним побудовано деякий спецiальний клас
операторiв трансмутацiї типу Дельсарта–Дарбу у виглядi
Ω± = 1+
∫
S
(2)
±
(
σ
(1)
x ,σ
(1)
∞
)
dy K̂±(Ω)(x; y)(·), (3.11)
де для двох ортонормованих версорiв γ1 та γ2 ∈ S
1, ‖γ1‖ = 1 = ‖γ2‖,
S
(2)
+
(
σ(1)
x , σ(1)
∞
)
:= {y ∈ R
2 : 〈x− y, γ1〉≥0} ∩ {y ∈ R
2 : 〈x− y, γ2〉≥0},
S
(2)
−
(
σ(1)
x , σ(1)
∞
)
:= {y ∈ R
2 : 〈x− y, γ1〉≤0} ∪ {y ∈ R
2 : 〈x− y, γ2〉≤0}.
(3.12)
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 569
У випадку, коли 〈x, γj〉 = xj ∈ R, j = 1, 2, вiдповiдне ядро
K̂+(Ω) =
(
K
(1)
+,11δ〈y−x,γ1〉 +K
(0)
+,11(x; y) K
(1)
+,12δ〈y−x,γ2〉 +K
(0)
+,12
K
(1)
+,21δ〈y−x,γ1〉 +K
(0)
+,21(x; y) K
(1)
+,22δ〈y−x,γ2〉 +K
(0)
+,22
)
(3.13)
є сингулярною з особливiстю типу дельта-функцiї Дiрака, локалiзо-
ваною на променях 〈y−x, γ2〉 = 0 i 〈y−x, γ1〉 = 0, з всiма регулярними
коефiцiєнтами K
(l)
+,ij ∈ C1(R2 × R
2; C) для всiх i, j = 1, 2 та l = 0, 1.
Така властивiсть трансмутацiйних ядер для випадку збуреного опе-
ратора Лапласа (3.1) спостерiгалася також в [9], де воно мотивувалось
необхiдними умовами диференцiальностi для перетвореного операто-
ра L̃(x; ∂) ∈ L(H). Як легко можна переконатися, цi самi причини
iснування сингулярностей мiстяться в (3.13).
Розглянемо тепер загальний вираз типу (3.3) для вiдповiдних
пiдпросторiв S
(2)
± (σ
(1)
x , σ
(1)
∞ ), що напинають замкнений некомпактний
цикл σ
(1)
x ∈ K(R2) i нескiнченну точку σ
(1)
∞ := ∞ ∈ K(R2). Бiжуча
точка x ∈ σ
(1)
x береться довiльною. Ядра K̂±(Ω) ∈ H− ×H− в (3.11)
задовольняють стандартнi умови (2.26) та (2.27), тобто
(L̃1,ext ⊗ 1)K̂±(Ω) = (1 ⊗ L∗
1,ext)K̂±(Ω),
[L1,Φ(Ω)] = 0
(3.14)
для деякого матричного диференцiального оператора Дiрака L1 ∈
L(H) в формi (3.11). Разом з цим оператором Дiрака в [23,24] вивчав-
ся наступний матричний диференцiальний оператор другого порядку
L̃2(x; ∂) := 1
∂
∂t
+
(
∂2
∂x2
1
± ∂2
∂x2
2
− ṽ2 −2∂ũ1
∂x2
−2∂ũ2
∂x1
∂2
∂x2
1
± ∂2
∂x2
2
− ṽ1
)
(3.15)
в параметричному просторi H := C1(R;H), для якого було розвинута
теорiя розсiяння i подане її застосування до побудови солiтоноподi-
бних точних розв’язкiв для так званої нелiнiйної динамiчної системи
Девi–Стюартсона з частковими похiдними. Останнє грунтувалося на
фактi, що два оператори L̃1 i L̃2 ∈ L(H) комутують один з одним.
А саме, розглянемо оператори Вольтерра Ω± ∈ L(H), що реалiзують
наступнi трансмутацiї Дельсарта–Дарбу:
L̃1Ω± = Ω±L1, L̃2Ω± = Ω±L2. (3.16)
570 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
Тут ми поклали
L1(x; ∂) :=
(
∂
∂x1
0
0 ∂
∂x2
)
,
L2(x; ∂) :=1
∂
∂t
+
(
∂2
∂x2
1
± ∂2
∂x2
2
− α2(x2) 0
0 ∂2
∂x2
1
± ∂2
∂x2
2
− α1(x1)
)
,
(3.17)
де αj ∈W 1
2 (R; C), j = 1, 2, є деякi заданi функцiї. Очевидно, що опе-
ратори (3.17) комутують один з одним. Тодi, якщо оператори Ω± ∈
L(H) iснують i задовольняють (3.16), то тодi також справджуються
наступнi комутацiйнi умови
[L̃1, L̃2] = 0, (3.18)
що стверджувалося вище i ефективно використовувалося ранiше в
[23,24].
Пригадаємо тепер, що для iснування оборотних операторiв Ω± ∈
L(H) мусять задовольнятися додатковi умови на ядра (3.14) i
(L̃2,ext ⊗ 1)K̂±(Ω) = (1 ⊗ L∗
2,ext)K̂±(Ω),
[L2,Φ(Ω)] = 0,
(3.19)
де, як i ранiше, оператор Φ(Ω) ∈B∞(H), визначений виразом (3.7) як
Ω := 1+Φ(Ω). (3.20)
Завдяки очевиднiй комутацiйнiй умовi (3.18) множина рiвнянь (3.14)
та (3.19) є сумiсна i приводить до виразу типу (3.11), де ядро K̂+(Ω) ∈
H−⊗H− задовольняє множину диференцiальних рiвнянь, що узагаль-
нють рiвняння з [23,24]:
∂K+,11
∂x1
+
∂K+,11
∂y1
+ ũ1K+,21 = 0,
∂K+,12
∂x1
+
∂K+,12
∂y1
+ ũ1K+,22 = 0,
∂K+,21
∂x2
+
∂K+,21
∂x1
+ ũ2K+,11 = 0,
∂K+,22
∂x2
+
∂K+,22
∂y2
+ ũ2K+,12 = 0,
(3.21)
± ∂ũ1
∂x2
K+,21 =
∂K+,11
∂t
+
[( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)]
K+,11
+ (α2(x2) − ṽ2(x))K+,11,
± ∂ũ1
∂x2
K+,21 =
∂K+,22
∂t
+
[( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)]
K+,22
+ (α1(x1) − ṽ1(x))K+,22,
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 571
∓ 2
∂ũ1
∂x2
K+,22 =
∂K+,12
∂t
+
[( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)]
K+,12
+ (α1(x1) − ṽ2(x))K+,22,
2
∂ũ2
∂x1
K+,22 =
∂K+,21
∂t
+
[( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)]
K+,21
+ (α2(x2) − ṽ1(x))K+,11.
Бiльше того, виконуються наступнi умови
ũ1(x) = −K(0)
+,12
∣∣
y=x
, ũ2(x) = −K(0)
+,21
∣∣
y=x
,
ṽ2(x)|x1=−∞ = α2(x2), ṽ1(x)|x2=−∞ = α1(x1)
(3.22)
для всiх x ∈ R
2 та y ∈ supp K̂+(Ω), де ми врахували розклад
K̂+(Ω) =
p(K+)∑
s=0
K
(s)
+ δ
(s−1)
σ
(1)
x
(3.23)
для деякого скiнченного цiлого p(K+) ∈ Z+ стосовно функцiї Дiрака
δ
σ
(1)
x
: W q
2 (R2; C) → R, q ∈ Z+, та її похiдних, з носiєм (див. [11,
Роздiл 3]), що збiгається iз замкненим циклом σ
(1)
x ∈ K(R2).
Зауваження 3.1. Стосовно спецiального випадку (3.13), обговоре-
ного ранiше в [23, 24], то легко отримується, що p(K+) = 1 i σ
(1)
x =
∂(∩j=1,2 {y ∈ R
2 : 〈y − x, γj〉 = 0}) ⊂ supp K̂+(Ω). Ранiше було також
показано, що рiвняння типу (3.21) i (3.22) мають розв’язки, якщо має
розв’язки рiвняння Гельфанда–Левiтана–Марченка (2.25).
Використовуючи тепер точнi форми “одягнених” операторiв L1 i
L2 ∈ L(H), легко отримати з (3.14) та (3.19) вiдповiдну множину
диференцiальних рiвнянь для компонент ядра Φ̂(Ω) ∈ H− ⊗H− :
∂Φ11
∂x1
+
∂Φ11
∂y1
= 0,
∂Φ12
∂x1
+
∂Φ12
∂y1
= 0,
∂Φ21
∂x2
+
∂Φ21
∂y2
= 0,
∂Φ22
∂x2
+
∂Φ22
∂y2
= 0,
(3.24)
∂Φ11
∂t
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)
Φ11 + (α2(y2) − α2(x2))Φ11 = 0,
∂Φ12
∂t
±
( ∂2
∂x2
2
− ∂2
∂y2
2
)
Φ12 + (α1(y1) − α2(x2))Φ12 = 0,
572 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
∂Φ21
∂t
+
( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
Φ21 + (α2(y2) − α1(x1))Φ21 = 0,
∂Φ22
∂t
+
( ∂2
∂x2
1
− ∂2
∂y2
1
)
Φ22 + (α1(y1) − α1(x1))Φ22 = 0
для всiх (x, y) ∈ R
2 × R
2. Отриманi вище рiвняння (3.24) узагальню-
ють рiвняння, знайденi ранiше в [23, 24] i використанi для iнтегру-
вання добре вiдомого диференцiального рiвняння Девi–Стюартсона
[10, 25, 40] i знаходження так званих солiтонних розв’язкiв. Стосовно
нашого узагальненого випадку, ядро (3.23) є розв’язком наступних
рiвнянь типу Гельфанда–Левiтана–Марченка:
K
(0)
+ (x; y) + Φ(0)(x; y) +
∫
S
(2)
+
(
σ
(1)
x ,σ
(1)
∞
)
K
(0)
+ (x; ξ)Φ(0)(ξ; y) dξ+
+
∫
σ
(1)
x
K
(1)
+ (x; ξ)Φ(0)(ξ; y) dσ(1)
x = 0,
(3.25)
K
(1)
+ (x; y) + Φ(1)(x; y) +
∫
S
(2)
+
(
σ
(1)
x ,σ
(1)
∞
)
K
(0)
+ (x; ξ)Φ(1)(ξ; y) dξ+
+
∫
σ
(1)
x
K
(1)
+ (x; ξ)Φ(1)(ξ; y) dσ(1)
x = 0,
де y ∈ S
(2)
+ (σ
(1)
x , σ
(1)
∞ ) для всiх x ∈ R
2 i, за означенням,
Φ̂(Ω) := Φ(0) + Φ(1)δ
σ
(1)
x
(3.26)
є вiдповiдним до (3.23) розкладом ядра . Оскiльки ядро (3.26) є син-
гулярним, диференцiальнi рiвняння (3.24) мусять бути трактованi в
сенсi розподiлiв [11].
Беручи до уваги точну форму “одягнених” диференцiальних опе-
раторiв Lj ∈ L(H), j = 1, 2, заданих через (3.11) i (3.15), легко отри-
муємо, що умова комутативностi (3.18) приводить до умови кому-
тативностi L̃j ∈ L(H), j = 1, 2, є еквiвалентною до згаданої вище
динамiчної системи Девi–Стюартсона
dũ1/dt = −(ũ1,xx + ũ1,yy) + 2(ṽ1 − ṽ2),
dũ2/dt = ũ2,xx + ũ2,yy + 2(ṽ2 − ṽ1),
ṽ1,x = (ũ1ũ2)y, ṽ2,x = (ũ1ũ2)x
(3.27)
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 573
на функцiональному нескiнченно-вимiрному многовидi Mu⊂S(R2; C).
Точнi солiтоноподiбнi розв’язки для (3.27) задаються виразами (3.22),
де ядро K
(1)
+ (Ω) розв’язує систему лiнiйних рiвнянь (3.25). З iншого
боку, iснує точний вираз (2.4), який розв’язує множину “одягнених”
рiвнянь
L̃1ψ̃
(0)(η) = 0, L̃2ψ̃
(0)(η) = 0. (3.28)
Оскiльки ядра Ω(λ, µ) ∈ L
(ρ)
2 (Σ; C) ⊗ L
(ρ)
2 (Σ; C) для λ, µ ∈ Σ, (t;x) ∈
MT∩ S(2)
+ (σ
(1)
x , σ
(1)
∞ ) заданi за допомогою точних виразiв (2.2), то мож-
на знайти з допомогою простих обчислень вiдповiднi аналiтичнi ви-
рази для функцiй (ũ1, ũ2) ∈ Mu, що розв’язують динамiчну систе-
му (3.27). Цю процедуру часто називають перетворенням типу Дар-
бу i яку було використано в [33] як частковий випадок конструкцiї
вище для знаходження солiтоноподiбних розв’язкiв динамiчної си-
стеми Девi–Стюартсона (3.27) i асоцiйованого з нею модифiковано-
го двовимiрного потоку Кортевега–де Фрiза на Mu. Бiльше того, як
це можна зауважити з технiки, використаної для побудови операто-
рiв трасмутацiї Дельсарта–Дарбу Ω± ∈ L(H), множина розв’язкiв
(3.27), отримана за допомогою перетворень Дарбу, збiгається повнi-
стю з вiдповiдною множиною розв’язкiв, отриманих за допомогою
розв’язку асоцiйованої множини iнтегральних рiвнянь Гельфанда–
Левiтана–Марченка (3.24) та (3.25).
3.3. Узагальнений афiнний диференцiальний комплекс
де Рама–Ходжа i асоцiйованi узагальненi
самодуальнi потоки Янга–Мiлса
Розглянемо наступну множину афiнних диференцiальних виразiв
в H := C1(Rm+1;H), H := L2(R
m; CN ) :
Li(λ) := 1
∂
∂pi
− λ
∂
∂xi
+Ai(x; p|t), (3.29)
де x ∈ R
m, (t, p) ∈ R
m+1, матрицi Ai ∈ C1(Rm+1;S(Rm; End C
N )),
i = 1,m, i параметр λ ∈ C. Можна тепер легко побудувати точний
узагальнений диференцiальний комплекс де Рама-Ходжа на MT :=
R
m+1×R
m як
H −→ Λ(MT;H)
dL(λ)−→ Λ1(MT;H) −→
dL(λ)· · · −→ Λ2m+1(MT;H)
dL(λ)−→ 0,
(3.30)
де, за означенням, диференцiювання
dL(λ) := dt ∧ B(λ) +
m∑
i=1
dpi ∧ Li(λ) (3.31)
574 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
i афiнна матриця
B(λ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
Bs(x; p|t)λn(B)−s (3.32)
з матрицями Bs ∈ C1(Rm+1;S(Rm; End C
N )), s = 0, n(B) + q, n(B),
q ∈ Z+. Диференцiальний комплекс (3.30) буде точним для всiх λ ∈ C
тодi i тiльки тодi, коли справедливi наступнi [15] узагальненi самоду-
альнi рiвняння Янга–Мiлса
∂Ai/∂pj − ∂Aj/∂pi − [Ai, Aj ] = 0, ∂Ai/∂xj − ∂Aj/∂xi = 0,
∂B0/∂xi = 0, ∂Bn(B)+q/∂pi = 0,
∂Bs/∂xi = ∂Bs−1/∂pi + [Ai, Bs−1] = 0,
∂Ai/∂t+ ∂Bn(B)/∂pi − ∂Bn(B)+1/∂xi + [Ai, Bn(B)] = 0
(3.33)
для всiх i, j = 1,m i s = 0, n(B) ∨ n(B) + q, n(B) + 2. Припусти-
мо тепер, що виконанi умови (3.33) на MT. Тодi, роблячи замiну
C ∋λ → ∂/∂τ : H → H, τ ∈ R, знаходимо наступну множину чис-
то диференцiальних виразiв
Li(τ) := 1
∂
∂pi
− ∂2
∂τ∂xi
+Ai(x; p|t),
B(τ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
Bs(x; p|t)
( ∂
∂τ
)n(B)−s
,
(3.34)
де матрицi Ai, i = 1,m, i Bs, s = 0, n(B) + q, не залежать вiд змiнної
τ ∈ R. З допомогою операторних виразiв (3.34) можна тепер побу-
дувати новий диференцiальний комплекс, пов’язаний з комплексом
(3.30):
H(τ) −→ Λ(MT,τ ;H(τ))
dL−→ Λ1(MT,τ ;H(τ)) −→
dL· · · −→
−→ Λ2m+2(MT,τ ;H(τ))
dL−→ 0, (3.35)
де, за означенням, H(τ) := C1(Rm+1;H(τ)), H(τ) := L2(R
m × Rτ ; C
N ) i
dL := dt ∧ B(τ) +
m∑
i=1
dpi ∧ Li(τ). (3.36)
Завдяки умовi (3.33) справедлива наступна важлива лема.
Лема 3.1. Диференцiальний комплекс (3.35) є точним.
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 575
Таким чином, можна побудувати стандартний узагальнений роз-
клад типу де Рама–Ходжа простору Гiльберта
HΛ(MT,τ ) :=
k=2m+2
⊕
k=0
Hk
Λ(MT,τ ), (3.37)
а також вiдповiдний ланцюжок Гельфанда, оснащений за Гiльбер-
том–Шмiдтом
HΛ,+(MT,τ ) ⊂ HΛ(MT,τ ) ⊂ HΛ,−(MT,τ ). (3.38)
Використовуючи тепер результати, отриманi в роздiлi 1, можна ви-
значити замкненi пiдпростори Дельсарта H0(τ) i H̃0(τ) ⊂ H(τ)−, асо-
цiйованi з точним комплексом (3.35):
H0(τ) :=
{
ψ
(0)
(τ)(ξ) ∈ H0
Λ,−(MT,τ ) : Lj(τ)ψ
(0)
(τ)(ξ) = 0, B(τ)ψ
(0)
(τ)(ξ) = 0,
ψ
(0)
(τ)(ξ)|Γ = 0, ψ
(0)
(τ)(ξ)|t=0 = eλτψ
(0)
λ (η) ∈ H0
Λ,−(MRm,τ ),
Lj(λ)ψ
(0)
λ (η) = 0, ξ = (λ; η) ∈ Σ : = C × Σ
(m)
C
}
,
H̃0(τ) :=
{
ψ̃
(0)
(τ)(ξ) ∈ H0
Λ,−(MT,τ ) : L̃
(0)
j(τ)ψ̃
(0)
(τ)(ξ) = 0, B̃(τ)ψ̃
(0)
(τ)(ξ) = 0,
ψ̃
(0)
(τ)(ξ)|Γ̃ = 0, ψ̃
(0)
(τ)(ξ)|t=0 = eλτ ψ̃
(0)
λ (η) ∈ H0
Λ,−(MRm,τ ),
L̃j(λ)ψ̃
(0)
λ (η) = 0, ξ = (λ; η) ∈ Σ : = C × Σ
(m)
C
}
,
(3.39)
де Γ i Γ̃ ⊂ MT,τ є деякими гладкими гiперповерхнями. Подiбнi ви-
рази вiдповiдають також спряженим замкненим пiдпросторам H∗
0(τ)
i H̃∗
0(τ) ⊂ H∗
τ,−:
H̃0(τ) :=
{
ϕ
(0)
(τ)(ξ) ∈ H0
Λ,−(MT,τ ) : L∗
j(τ)ϕ
(0)
(τ)(ξ) = 0, B(τ)ϕ
(0)
(τ)(ξ) = 0,
ϕ
(0)
(τ)(ξ)|Γ = 0, ϕ
(0)
(τ)(ξ)|t=0 = e−λ̄τϕ
(0)
λ (η) ∈ H0
Λ,−(MRm,τ ),
L∗
j (λ)ϕ
(0)
λ (η) = 0, ξ = (λ; η) ∈ Σ : = C × Σ
(m)
C
}
,
H̃0(τ) :=
{
ϕ̃
(0)
(τ)(ξ) ∈ H0
Λ,−(MT,τ ) : L̃∗
j(τ)ϕ̃
(0)
(τ)(ξ) = 0, B̃∗
(τ)ϕ̃
(0)
(τ)(ξ) = 0,
ϕ̃
(0)
(τ)(ξ)|Γ̃ = 0, ϕ̃
(0)
(τ)(ξ)|t=0 = e−λ̄τ ϕ̃
(0)
λ (η) ∈ H0
Λ,−(MRm,τ ),
L̃∗
j (λ)ϕ̃
(0)
λ (η) = 0, ξ = (λ; η) ∈ Σ : = C × Σ
(m)
C
}
.
(3.40)
Враховуючи замкненi пiдпростори (3.40) i (3.39), можна вiдповiдно
побудувати ядро типу Дарбу Ω̃(t,x;τ)(η, ξ)∈L(ρ)
2 (Σ
(m)
C
; C)⊗L(ρ)
2 (Σ
(m)
C
; C),
576 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
η, ξ ∈ Σ
(m)
C
, i далi вiдповiднi вiдображення трансмутацiй Дельсарта
Ω± ∈ L(H(τ)). А саме, припустимо, що справедливi наступнi умови
ψ
(0)
(τ)(ξ) := ψ̃
(0)
(τ)(ξ) · Ω̃
−1
(t,p;x;τ)Ω̃(t0,p0,x0;τ) (3.41)
для будь-якого ξ ∈ C×Σ
(m)
C
, де
Ω̃(t,x;τ)(µ, ξ) :=
∫
σ(t;x;τ)
Ω̃
(2m+1)
(τ) [e−λ̄τ ϕ̃(0)(µ), eλτ ψ̃(0)(η) dx ∧ dp ∧ dt],
Z̃
(2m+1)
(τ)
[
e−λ̄τ ϕ̃(0)(µ),
m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(ξ(i)) ∧ dτ ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
]
:=
:= dΩ̃
(2m)
(τ)
[
e−λ̄τ ϕ̃(0)(µ),
m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(ξ(i)) ∧ dτ ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
]
,
(3.42)
i, вiдповiдно до (1.24), справедливе спiввiдношення
〈
d∗
L̃
ϕ̃(0)(µ)e−λ̄τ , ∗
m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(ξ(i)) dt ∧ dτ ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
〉
=
=
〈
(∗)−1ϕ̃(0)(µ)e−λ̄τ , dL̃
( m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(ξ(i)) dt ∧ dτ ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
)〉
+
+ dZ̃
(2m+1)
(τ)
[
ϕ̃(0)(µ)e−λ̄τ ,
m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(ξ(i)) dt ∧ dτ ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
]
, (3.43)
що визначає точну (2m+1)-форму Z̃
(2m+1)
(τ) ∈ Λ2m+1(MT,τ ; C). Обчис-
лимо тепер трансформованi за Дельсартом диференцiальнi вирази
Lj(τ) := Ω̂−1
(τ)±L̃j(τ)Ω̂(τ)±, B(τ) := Ω̂−1
(τ)±B̃(τ)Ω̂(τ)± (3.44)
для кожного j = 1,m, де, за визначенням,
L̃j(τ) := 1
∂
∂pj
− ∂2
∂τ∂xj
+ Āj ,
B̃(τ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
B̄s
( ∂
∂τ
)n(B)−s
(3.45)
з усiма матрицями Āj ∈ End C
m, j = 1,m, i B̄s ∈ End C
m, s =
0, n(B) + q, що є константами. Це означає, зокрема, що справедли-
вi комутацiйнi спiввiдношення
[L̃j(τ), L̃i(τ)] = 0, [L̃j(τ), B̃(τ)] = 0 (3.46)
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 577
для всiх i, j = 1,m. Завдяки виразам (3.44), мають мiсце iндукованi
комутацiйнi спiввiдношення
[Lj(τ),Li(τ)] = 0, [Lj(τ),B(τ)] = 0, (3.47)
що точно збiгаються з спiввiдношеннями (3.33). Бiльше того, редуку-
ючи нашi диференцiальнi вирази (3.44) на функцiональнi пiдпросто-
ри H(λ) := eλτH, λ ∈ C, отримуємо множину афiнних диференцiаль-
них виразiв (3.29) та (3.32). Запишемо тепер вiдповiдно зредукованi
оператори трансмутацiї Дельсарта
Ω̂± = 1−
∫
Σ
(m)
C
dρ
Σ
(m)
C
(ν)
∫
Σ
(m)
C
dρ
Σ
(m)
C
(η)ψ(0)(λ; ν)Ω̃−1
(t0,p0;x0)(λ; ν, η)×
×
∫
S
(2m+1)
±
(
σ
(2m)
(t,p;x)
,σ
(2m)
(tt0,p0;x0)
)
Z̃(2m+1)
[
ϕ̃(0)(λ; ν), (·)
m∑
i=1
dt ∧ dx m∧
j 6=i
dpj
]
,
(3.48)
де σ
(2m)
(t,p;x) i σ
(2m)
(tt0,p0;x0) ∈ K(MT) є деякi 2m-вимiрнi замкненi сингулярнi
сiмплекси, i, за визначенням,
Z̃(2m+1)
[
ϕ̃(0)(λ; ν),
m∑
i=1
ψ̃(0)(λ; η(i)) dt ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
]
:=
:= Z̃
(2m+1)
(τ)
[
e−λ̄τ ϕ̃(0)(λ; ν),
m∑
i=1
eλτ ψ̃(0)(λ; η(i)) dτ∧dt∧dx
m∧
j 6=i
dpj
]∣∣∣∣
dτ=0
,
dΩ̃(t,p;x)(λ; ν, η) := Z̃(2m+1)
[
ϕ̃(0)(λ; ν),
m∑
i=1
ψ̃(0)(λ; η(i))dt ∧ dx
m∧
j 6=i
dpj
]
,
(3.49)
оскiльки (2m + 1)-форма (3.49) є, завдяки (3.43), теж точною для
будь-яких (λ; ν, η) ∈ C × (Σ
(m)
C
× Σ
(m)
C
). Таким чином, операторний
вираз (3.48), якщо його застосувати до оператора (3.45), зредукова-
ного на функцiональний пiдпростiр H(λ) ≃ H, λ ∈ C, приводить до
диференцiальних виразiв
Lj(λ) := Ω̂−1
± L̃j(λ)Ω̂±, B(λ) := Ω̂−1
± B̃(λ)Ω̂±, (3.50)
де Lj(λ)H(λ) = Lj(τ)H(λ), B(λ)H(λ) = B(τ)(λ)H(λ), j = 1,m, що збiгаю-
ться з афiнними диференцiальними виразами (3.29) i (3.32). Стосов-
но застосування цих результатiв до знаходження точних солiтонопо-
дiбних розв’язкiв самодуальних рiвнянь Янга–Мiлса (3.33), то дос-
татньо згадати, що спiввiдношення (3.41), зредуковане на пiдпростiр
578 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
H(λ) ≃ H, λ ∈ C, приводить до наступного вiдображення:
ψ(0)(λ; η) := ψ̃(0)(λ; η) · Ω̃−1
(t,p;x)Ω̃(t0,p0;x0), (3.51)
де ядра Ω̃(t,p;x;τ)(λ; η, ξ) ∈ L
(ρ)
2 (Σ
(m)
C
; C) ⊗ L
(ρ)
2 (Σ
(m)
C
; C), η, ξ ∈ Σ
(m)
C
,
для всiх (t, p;x) ∈ MT i λ ∈ C. Оскiльки елемент ψ(0)(λ; η) ∈ H− для
будь-яких (λ; ξ) ∈ C×Σ
(m)
C
задовольняє множину диференцiальних
рiвнянь
Li(λ)ψ(0)(λ; η) = 0, B(λ)ψ(0)(λ; η) = 0 (3.52)
для всiх i = 1,m, з (3.51) та (3.52) знаходимо точнi вирази для вiд-
повiдних матриць Aj i Bs ∈ C1(R × R
m+1;S(Rm; End C
N )), j = 1,m,
s = 0, n(B) + q, якi задовольняють самодуальнi рiвняння Янга–Мiлса
(3.33). Таким чином, має мiсце наступна теорема.
Теорема 3.1. Iнтегральнi вирази (3.48) в H є операторами транс-
мутацiї Дельсарта, що вiдповiдають афiнним диференцiальним ви-
разам (3.29), (3.33) i константним операторам
L̃i(λ) := 1
∂
∂pi
− λ
∂
∂xi
+ Ā, B̃(λ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
B̄sλ
n(B)−s (3.53)
для будь-яких λ∈C. Вiдображення (3.51) реалiзує iзоморфiзми (3.48)
мiж замкненими пiдпросторами
H0 :=
{
ψ(0)(λ; η) ∈ H− : dL̃(λ)ψ
(0)(λ; η) = 0, ψ(0)(λ; η)|t=0 =
= ψ
(0)
λ (η) ∈ H−, ψ
(0)(λ; η)|Γ = 0, (λ; η) ∈ C × Σ
(m)
C
}
(3.54)
та
H̃0 :=
{
ψ̃(0)(λ; η) ∈ H− : d
(0)
L̃(λ)
ψ̃(λ; η) = 0, ψ̃(0)(λ; η)|t=0 =
= ψ̃
(0)
λ (η) ∈ H−, ψ̃
(0)(λ; η)|Γ̃ = 0, (λ; η) ∈ C×Σ
(m)
C
}
(3.55)
для будь-якого параметра λ ∈ C. Бiльше того, вирази (3.51) поро-
джують стандартнi перетворення типу Дарбу для множини опе-
раторiв (3.53) та (3.29), (3.32) за допомогою вiдповiдної множини
лiнiйних рiвнянь (3.52), тим самим продукуючи точнi солiтонопо-
дiбнi розв’язки самодуальних рiвнянь Янга–Мiлса (3.33).
Як простий частковий наслiдок з теореми 3.1 вiдтворюються всi
результати, отриманi ранiше в [15], де вiдображення Дельсарта–Дар-
бу (3.51) було вибране апрiорi без будь-якого доведення i мотивацiї в
формi деякого афiнного калiбрувального перетворення.
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 579
Результати, подiбнi до отриманих вище, можуть бути з невели-
кими змiнами застосованi також до узагальненого диференцiально-
го комплексу де Рама-Ходжа (3.30) з зовнiшнiм диференцiюванням
(3.31), де
Li(λ) := 1
∂
∂pi
−
( ni(L)∑
k=0
aikλ
k+1
)
∂
∂xi
+
ni(L)∑
k=0
Aikλ
k,
B̃(λ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
B̄sλ
n(B)−s,
(3.56)
або
Li(λ) := 1
∂
∂pi
−
( ni(L)∑
k=0
a
(j)
ik λ
k+1
)
∂
∂xj
+
ni(L)∑
k=0
Aikλ
k,
B̃(λ) := ∂/∂t−
n(B)+q∑
s=0
B̄sλ
n(B)−s,
(3.57)
для i = 1,m, λ ∈ C. Випадок (3.56) був проаналiзований недавно в [18]
за допомогою вiдповiдного афiнного перетворення калiбрувального
типу, яке було використане ранiше в [15]. На жаль, отриманi там ре-
зультати є надто складними i заплутаними, тому потрiбно використа-
ти бiльш мотивованi математично, зрозумiлi i менш громiздкi технiки
для знаходження перетворень типу Дельсарта–Дарбу i асоцiйованих
з ними точних солiтоноподiбних розв’язкiв.
На завершення один з авторiв (А. П.) виражає сердечну вдячнiсть
за обговорення та цiннi уваги багатьом учасникам засiдання Київ-
ського мiського математичного семiнару “Нелiнiйний аналiз” (14 квi-
тня 2004), керованого академiком I. В. Скрипником, i який був пiоне-
ром та iнiцiатором дослiджень багатьох аспектiв узагальненої теорiї
де Рама–Ходжа та її застосувань до сучасних проблем математичної
фiзики.
Лiтература
[1] Yu. M. Berezansky, Eigenfunctions expansions related with selfadjoint operators.
Kiev, Nauk. Dumka Publ., 1965 (in Russian).
[2] F. A. Berezin and M. A. Shubin, Schrodinger equation. Moscow, the Moscow
University Publisher, 1983 (in Russian).
[3] A. L. Bukhgeim, Volterra equations and inverse problems. Moscow, Nauka, 1983
(in Russian).
[4] S. S. Chern, Complex manifolds. Chicago University Publ., USA, 1956.
580 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
[5] N. Danford and J. T. Schwartz, Linear operators, v. 2. InterSci. Publ., NY, 1963.
[6] B. N. Datta, and D. R. Sarkissian, Feedback control in distributed parameter
gyroscopic systems: a solution of the partial eigenvalue assignment problem //
Mechanical Systems and Signal Processing, 16 (2002), N 1, 3–17.
[7] J. Delsarte, Sur certaines transformations fonctionelles relative aux equations li-
neaires aux derives partielles du second ordre // C. R. Acad. Sci. Paris, 206
(1938), 178–182.
[8] J. Delsarte and J. Lions, Transmutations d’operateurs differentielles dans le
domain complex // Comment. Math. Helv., 52 (1957), 113–128.
[9] L. D. Faddeev, Quantum inverse scattering problem. II in Modern problems of
mathematics, M: VINITI Publ., 3 (1974), 93–180 (in Russian).
[10] L. D. Faddeev and L. A. Takhtadjyan, Hamiltonian approach to soliton theory.
Moscow, Nauka, 1986 (in Russian).
[11] I. M. Gelfand and G. E. Shilov, Generalized functions and actions upon them.
Second edition. Moscow, Nauka Publisher, 1959 (un Russian).
[12] C. Godbillon, Geometrie differentielle et mechanique analytique. Paris, Hermann,
1969.
[13] I. C. Gokhberg and M. G. Krein, Theory of Volterra operators in Hilbert spaces
and its applications. Moscow, Nauka, 1967 (in Russian).
[14] J. Golenia, Y. A. Prykarpatsky, A. M. Samoilenko, and A. K. Prykarpatsky, The
general differential-geometric structure of multidimensional Delsarte transmutati-
on operators in parametric functional spaces and their applications in soliton
theory. Part 2 // Opuscula Mathematica, (2004), N 24 /arXiv: math-ph/0403056
v 1 29 Mar 2004/.
[15] C. H. Gu, Generalized self-dual Yahg-Mills flows, explicit solutions and reductions.
Acta Applicandae Mathem. // 39 (1995), 349–360.
[16] B. G. Konopelchenko, On the integrable equations and degenerate dispersiopn
laws in multidimensional soaces // J. Phys. A: Math. and Gen., 16 (1983), p.
L311–L316.
[17] D. Levi, L. Pilloni, and P. M. Santini, Backlund transformations for nonlinear
evolution equations in (2 + 1)-dimensions // Phys. Lett, 81A (1981), N 8, 419–
423.
[18] Wen. Liu, Darboux transformations for a Lax integrable systems in 2n-
dimensions // arXive:solve-int/9605002 v1 15 may 1996.
[19] Y. B. Lopatynski, On harmonic fields on Riemannian manifolds // Ukr. Math.
Journal, 2 (1950), 56–60 (in Russian).
[20] V. B. Matveev and M. I. Salle, Darboux-Backlund transformations and applicati-
ons. NY, Springer, 1993.
[21] Ya. V. Mykytiuk, Factorization of Fredholmian operators // Mathematical Studii,
Proceedings of Lviv Mathematical Society, 20 (2003), N 2, 185–199 (in Ukraini-
an).
[22] J. C. C. Nimmo, Darboux tarnsformations from reductions of the KP-hierarchy.
Preprint of the Dept. of Mathem. at the University of Glasgow, November 8,
2002, 11 p.
[23] L. P. Nizhnik, Inverse scattering problems for hyperbolic equations. Kiev, Nauk.
Dumka Publ., 1991 (in Russian).
Я.А.Прикарпатський, А.М.Самойленко, А.К.Прикарпатський 581
[24] L. P. Nizhnik and M. D. Pochynaiko, The integration of a spatially two-
dimensional Schrodinger equation by the inverse problem method // Func. Anal.
and Appl., 16 (1982), N 1, 80–82 (in Russian).
[25] S. P. Novikov (Editor), Theory of solitons. Moscow, Nauka Publ., 1980 (in Russi-
an).
[26] M. D. Pochynaiko and Yu. M. Sydorenko, Integrating some (2 + 1)-dimensional
integrable systems by methods of inverse scattering problem and binary Darboux
transformations // Matematychni Studii, (2003), N 20, 119–132.
[27] A. K. Prykarpatsky, A. M. Samoilenko, and Y. A. Prykarpatsky, The
multi-dimensional Delsarte transmutation operators, their differential-geometric
structure and applications. Part 1 // Opuscula Mathematica, (2003), N 23, 71–
80 /arXiv:math-ph/0403054 v1 29 Mar 2004/.
[28] Y. A. Prykarpatsky, A. M. Samoilenko, A. K. Prykarpatsky, and V. Hr.
Samoylenko, The Delsarte-Darboux type binary transformations and their
differenetial-geometric and operator staructure // arXiv: math-ph/0403055 v 1
29 Mar 2004.
[29] A. K. Prykarpatsky and I. V. Mykytiuk, Algebraic integrability of nonlinear
dynamical systems on manifolds: classical and quantum aspects. Kluwer Acad.
Publishers, the Netherlands, 1998.
[30] G. De Rham, Varietes differentielles. Hermann,Paris, 1955.
[31] G. De Rham, Sur la theorie des formes differentielles harmoniques // Ann. Univ.
Grenoble, 22 (1946), 135–152.
[32] A. M. Samoilenko, Y. A. Prykarpatsky, and V. G. Samoylenko, The structure of
Darboux-type binary transformations and their applications in soliton theory //
Ukr. Mat. Zhurnal, 55 (2003), N 12, 1704–1723 (in Ukrainian).
[33] A. M. Samoilenko and Y. A. Prykarpatsky, Algebraic-analytic aspects of
completely integrable dynamical systems and their perturbations // Kyiv, NAS,
Inst. Mathem. Publisher, 41 (2002) (in Ukrainian).
[34] I. V. Skrypnik, Periods of A-closed forms // Proceedings of the USSR Academy
of Sciences, 160 (1965), N 4, 772–773 (in Russian).
[35] I. V. Skrypnik, A harmonique fields with peculiarities // Ukr. Math. Journal, 17
(1965), N 4, 130–133 (in Russian).
[36] I. V. Skrypnik, The generalized De Rham theorem // Proceed. of UkrSSR Acad.
of Sci., (1965), N 1, 18–19 (in Ukrainian).
[37] I. V. Skrypnik, A harmonic forms on a compact Riemannian space // Proceed.
of UkrSSR Acad. of Sci., N 2, 174–175 (in Ukrainian).
[38] R. Teleman, Elemente de topologie si varietati diferentiabile. Bucuresti Publ.,
Romania, 1964.
[39] F. Warner, Foundations of differential manifolds and Lie groups. Academic Press,
NY, 1971.
[40] V. E. Zakharov and A. B. Shabat, A scheme of integration of nonlinear equations
of mathematical physics via the inverse scattering problem. Part 1 // Func. Anal.
and it Appl., 8 (1974), N 3, 43–53; Part 2 // 13 (1979), N 3, 13–32 (in Russian).
[41] V. E. Zakharov, Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes in
Phys., 153 (1982), 190–216.
582 Узагальнена теорiя де Рама–Ходжа–Скрипника...
[42] V. E. Zakharov and S. V. Manakov, On a generalization of the inverse scattering
problem // Theoret. Mathem. Physics, 27 (1976), N 3 283–287.
Вiдомостi про авторiв
Ярема
Анатолiйович
Прикарпатський
Iнститут математики НАН України,
вул. Терещенкiвська 3,
Київ, 01601,
Україна
AGH University of Science and Technology,
Al. Mickiewicza 30,
30-059 Krakow,
Poland
E-Mail: yarchyk@imath.kiev.ua
Анатолiй
Михайлович
Самойленко
Iнститут математики НАН України,
вул. Терещенкiвська 3,
Київ, 01601,
Україна
E-Mail: sam@imath.kiev.ua
URL: http://www.imath.kiev.ua/~sam
Анатолiй
Карлович
Прикарпатський
AGH University of Science and Technology,
Al. Mickiewicza 30,
30-059 Krakow,
Poland
Iнститут прикладних проблем механiки
та математики НАН України,
Львiв, 79601,
Україна
E-Mail: pryk.anat@ua.fm
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124604 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3200 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:00:05Z |
| publishDate | 2005 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Прикарпатський, Я.А. Самойленко, А.М. Прикарпатський, А.К. 2017-09-29T16:44:13Z 2017-09-29T16:44:13Z 2005 Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування / Я.А. Прикарпатський, А.М. Самойленко, А.К. Прикарпатський // Український математичний вісник. — 2005. — Т. 2, № 4. — С. 550-582. — Бібліогр.: 42 назв. — укр. 1810-3200 2000 MSC. 34A30, 34B05, 34B15. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124604 Вивчаються диференцiально-геометричнi та топологiчнi структури операторiв трансмутацiї Дельсарта та асоцiйованi з ними рiвняння типу Гельфанда–Левiтана–Марченка за допомогою диференцiальних узагальнених комплексiв де Рама–Ходжа–Скрипника. Встановлено вiдповiдностi мiж спектральною теорiєю та спецiальними властивостями конгруентностi типу Березанського для операторiв, перестановочних за Дельсартом. Наведено деякi застосування до спецiальних багатовимiрних диференцiальних операторiв, включаючи тривимiрний оператор Лапласа, двовимiрний класичний оператор Дiрака i його багатовимiрне афiнне розширення, асоцiйоване з самодуальними рiвняннями Янга–Мiлса. Обговорюються солiтоннi розв’язки асоцiйованої множини динамiчних систем. Один з авторiв (А. П.) виражає сердечну вдячнiсть за обговорення та цiннi уваги багатьом учасникам засiдання Київського мiського математичного семiнару “Нелiнiйний аналiз” (14 квiтня 2004), керованого академiком I. В. Скрипником, i який був пiонером та iнiцiатором дослiджень багатьох аспектiв узагальненої теорiї де Рама–Ходжа та її застосувань до сучасних проблем математичної фiзики. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування Article published earlier |
| spellingShingle | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування Прикарпатський, Я.А. Самойленко, А.М. Прикарпатський, А.К. |
| title | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| title_full | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| title_fullStr | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| title_full_unstemmed | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| title_short | Узагальнена теорія де Рама-Ходжа-Скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| title_sort | узагальнена теорія де рама-ходжа-скрипника: диференціально-геометричні і спектральні аспекти та деякі застосування |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124604 |
| work_keys_str_mv | AT prikarpatsʹkiiâa uzagalʹnenateoríâderamahodžaskripnikadiferencíalʹnogeometričnííspektralʹníaspektitadeâkízastosuvannâ AT samoilenkoam uzagalʹnenateoríâderamahodžaskripnikadiferencíalʹnogeometričnííspektralʹníaspektitadeâkízastosuvannâ AT prikarpatsʹkiiak uzagalʹnenateoríâderamahodžaskripnikadiferencíalʹnogeometričnííspektralʹníaspektitadeâkízastosuvannâ |