Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях

В классе S однолистных аналитических функций в единичном круге дано решение экстремальной задачи о точных оценках произвольного функционала, зависящего от аргумента производной и углового смещения в фиксированной точке. Решение основано на дифференциальном уравнении Левнера и редукции задачи в извес...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Український математичний вісник
Datum:	2004
Hauptverfasser:	Гутлянский, В.Я., Мартио, О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124614
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях / В.Я. Гутлянский, О. Мартио // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 147-171. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124614
record_format	dspace
spelling	Гутлянский, В.Я. Мартио, О. 2017-09-30T09:58:37Z 2017-09-30T09:58:37Z 2004 Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях / В.Я. Гутлянский, О. Мартио // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 147-171. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 30C55, 30C60. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124614 В классе S однолистных аналитических функций в единичном круге дано решение экстремальной задачи о точных оценках произвольного функционала, зависящего от аргумента производной и углового смещения в фиксированной точке. Решение основано на дифференциальном уравнении Левнера и редукции задачи в известный класс Каратеодори. Установлены новые оценки типа Ф. Джона–П. П. Белинского для вращения радиальных сегментов при квазиконформных отображениях на плоскости. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Український математичний вісник Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
spellingShingle	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях Гутлянский, В.Я. Мартио, О.
title_short	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
title_full	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
title_fullStr	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
title_full_unstemmed	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
title_sort	оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях
author	Гутлянский, В.Я. Мартио, О.
author_facet	Гутлянский, В.Я. Мартио, О.
publishDate	2004
language	Russian
container_title	Український математичний вісник
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	В классе S однолистных аналитических функций в единичном круге дано решение экстремальной задачи о точных оценках произвольного функционала, зависящего от аргумента производной и углового смещения в фиксированной точке. Решение основано на дифференциальном уравнении Левнера и редукции задачи в известный класс Каратеодори. Установлены новые оценки типа Ф. Джона–П. П. Белинского для вращения радиальных сегментов при квазиконформных отображениях на плоскости.
issn	1810-3200
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124614
citation_txt	Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях / В.Я. Гутлянский, О. Мартио // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 2. — С. 147-171. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gutlânskiivâ ocenkivraŝeniâprikonformnyhikvazikonformnyhotobraženiâh AT martioo ocenkivraŝeniâprikonformnyhikvazikonformnyhotobraženiâh
first_indexed	2025-11-27T05:44:51Z
last_indexed	2025-11-27T05:44:51Z
_version_	1850803001446367232
fulltext	Український математичний вiсник Том 1 (2004), № 2, 147 – 171 Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях В.Я. Гутлянский, О. Мартио Аннотация. В классе S однолистных аналитических функций в единичном круге дано решение экстремальной задачи о точных оцен- ках произвольного функционала, зависящего от аргумента произво- дной и углового смещения в фиксированной точке. Решение осно- вано на дифференциальном уравнении Левнера и редукции задачи в известный класс Каратеодори. Установлены новые оценки типа Ф. Джона–П.П. Белинского для вращения радиальных сегментов при квазиконформных отображениях на плоскости. 2000 MSC. 30C55, 30C60. Ключевые слова и фразы. Вращение, угловое смещение, кон- формные и квазиконформные отображения. 1. Введение Оценки углового смещения и вращения при конформных и более общих отображениях играют важную роль в геометрической теории функций и являются предметом интенсивных исследований, см., на- пример, [3], [6], [7], [14], [17], [21], [24]. Пусть S обозначает семейство функций f(z), однолистных и ана- литических в единичном круге D с центром в начале координат и нормированных условиями f(0) = 0, f ′(0) = 1. В 1919 году Л. Бибербах [5] установил первоначальную форму теоремы вращения доказав, что в классе S при фиксированном z ∈ D справедливо неравенство \| arg f ′(z)\| ≤ 2 log 1 + \|z\| 1 − \|z\| , Статья поступила в редакцию 1.12.2003 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України 148 Оценки вращения где рассматривается ветвь arg f ′(z), принимающая в начале коорди- нат нулевое значение. Название теоремы происходит от хорошо изве- стного геометрического смысла аргумента производной однолистной аналитической функции. Однако эта оценка оказалась не наилучшей. Спустя почти 17 лет, Г. М. Голузин [7] получил окончательное реше- ние проблемы вращения, доказав для функций класса S, ставшие теперь классическими, следующие точные оценки: \| arg f ′(z)\| ≤ { 4 arcsin \|z\|, \|z\| ≤ 1/ √ 2 π + log \|z\|2 1−\|z\|2 , 1/ √ 2 ≤ \|z\| < 1. (1.1) Следует отметить, что полный анализ знаков равенства был выпол- нен И. Е. Базилевичем [2]. Решение было получено на основе диффе- ренциального уравнения К. Левнера [22] и явилось одним из первых ярких примеров эффективности параметрического метода в теории функций и приложениях. В 1932 году Х. Грунский [10] установил точное неравенство в клас- се S ∣∣∣∣log f(z) z + log(1 − \|z\|2) ∣∣∣∣ ≤ log 1 + \|z\| 1 − \|z\| , где под log(f(z)/z) понимается непрерывная ветвь, стремящаяся к нулю при z → 0, и, как следствие, получил следующую точную оцен- ку углового смещения при конформном отображении ∣∣∣∣arg f(z) z ∣∣∣∣ ≤ log 1 + \|z\| 1 − \|z\| . Оценки угловых смещений, вращений и различных их комбина- ций играют важную роль при исследовании геометрических свойств конформных отображений. Например, точные оценки функционала на классе S \| arg f ′(z) − arg(f(z)/z)\| ≤ log 1 + \|z\| 1 − \|z\| , (1.2) доказанные в работе [10], позволили определить так называемый ра- диус звездности r∗ = eπ/2 − 1 eπ/2 + 1 = 0.655... для функций класса S. Последнее означает, что образ любого круга \|z\| < r < r∗ при отображении любой функцией класса S представ- ляет собой область звездообразную относительно начала координат. Точные оценки функционала \| arg f ′(z) − 2 arg(f(z)/z)\| ≤ − log(1 − \|z\|2), f ∈ S, (1.3) В.Я. Гутлянский, О. Мартио 149 привели к решению проблемы вращения в классе Σ, состоящим из всех мероморфных и однолистных функций F (z) в области \|z\| > 1 с разложением в ряд Лорана в окрестности z = ∞ вида F (z) = = z + a0 + a1/z + ..., см. [21]. Оценки других функционалов в клас- сах однолистных аналитических функций, содержащих arg f ′(z) и arg(f(z)/z)), и их приложения к изучению геометрии конформного отображения, можно найти, например, в работах [13], [16] и [19]. Задачи вращения несколько иного рода возникают при изучении более общих отображений, чем конформные. Одна из таких задач, из нелинейной теории упругости, восходит к Ф. Джону [17] и сводится к следующему. Пусть f : C → C определяет (1 + ε) — билипшицеву деформацию некоторого упругого тела на плоскости. Каковы преде- лы роста напряжения внутри кольца a < \|z\| < b, если круг \|z\| < a жестко повернуть на угол θ, а область \|z\| > b оставить неподвижной? Ф. Джон, привлекая созданную им и Л. Ниренбергом [18] теорию функций с ограниченным средним колебанием, доказал, что \|θ\| ≤ C (1 + log(b/a)) ε. Точное решение этой проблемы в равномерной и интегральной ме- трике получено в [14] на основе погружения класса билипшицевых деформаций в более общий класс квазиконформных отображений. Другой пример относится к оценкам вращения при квазиконформ- ных отображениях. Хорошо известно, что квазиконформное отобра- жение является регулярным, то есть дифференцируемым с отличным от нуля якобианом, лишь почти всюду в области определения. Напри- мер, гомеоморфизм комплексной плоскости вида f(z) = zei log \|z\| является билипшицевым, и стало быть, квазиконформным. Это ото- бражение не дифференцируемо в точке z = 0 и преобразует ради- альные лучи, выходящие из начала координат, в бесконечно нави- вающиеся вокруг начала координат логарифмические спирали. Та- ким образом, для квазиконформных отображений не следует ожи- дать локальных оценок вращения, подобных тем, которые имеют ме- сто в конформном случае. Здесь актуальными являются оценки угло- вых смещений и вращений радиальных сегментов. Одним из первых результатов в этом направлении является следующая лемма П. П. Белинского [3], см. также [4], с. 47. Пусть двусвязная область G, ограниченная кривыми Γ1 и Γ2, лежащими соответственно в кольцах r/(1 + ε) ≤ \|z\| ≤ r(1 + ε) и 1/(1 + ε) ≤ \|z\| ≤ (1 + ε), отображается по- средством функции w = f(z) квазиконформно на кольцо R ≤ \|w\| ≤ 1, 150 Оценки вращения f(1) = 1. Тогда справедливо неравенство min \|z\|=r ∣∣∣∣arg f(z) z ∣∣∣∣− max \|z\|=1 ∣∣∣∣arg f(z) z ∣∣∣∣ ≤ ≤ 1 2π ∫∫ G Kf (z) − 1 \|z\|2 dx dy + 2ε ( 1 + log r logR ) , где Kf (z) = (1 + \|µ(z)\|)/(1− \|µ(z)\|) — локальный коэффициент иска- жения отображения f в точке z, и под arg(f(z)/z) понимается та ветвь аргумента, которая получается при непрерывном переходе от точки z = 1 и соответственно ее образа в плоскости w, причем arg 1 = = 0. Отметим, что приведенное выше неравенство явилось одним из ключевых при доказательстве классической теоремы Тейхмюллера– Виттиха–Белинского о конформной дифференцируемости квазикон- формного отображения в фиксированной точке, см. [20], с. 232. Она гласит, что если f : C → C, f(0) = 0 — квазиконформное отображе- ние с комплексной дилатацией µ(z) и ∫ D \|µ(z)\| \|z\|2 dx dy <∞, то существует lim z→0 f(z) z = f ′(0) 6= 0,∞. В данной работе дано решение общей задачи вращения и угло- вого смещения в классе S и некоторых его подклассах на основе дифференциального уравнения Левнера и редукции задачи в изве- стный класс Каратеодори. Установлены новые теоремы о вращении радиальных сегментов при квазиконформных и более общих гомео- морфизмах плоских областей. На основе этих теорем получены инте- гральные оценки в задаче вращения Ф. Джона, зависящие от модуля и аргумента комплексной дилатации µ(z). 2. Вращение при конформных отображениях Пусть I(f) = J(arg(f(z0)/z0), arg f ′(z0)) — произвольный непре- рывный функционал, зависящий от углового смещения arg(f(z0)/z0) и вращения arg f ′(z0) отображения f ∈ S в фиксированной точке z0 ∈ D. Обозначим через Ω∗ множество значений комплекснозначно- го функционала Z(f) ≡ arg f(z0) z0 + i arg f ′(z0) = U + iV, f ∈ S, В.Я. Гутлянский, О. Мартио 151 где z0 ∈ D и фиксировано. Тогда max S J(arg(f(z0)/z0), arg f ′(z0)) = max Ω∗ J(U, V ), и для решения общей задачи достаточно определить множество Ω∗. Очевидно, что вместо функционала Z(f) можно рассмотреть лю- бой другой линейный комплекснозначный функционал, зависящий от arg(f(z0)/z0) и arg f ′(z0), например, W (f) ≡ arg z2 0f ′(z0) f2(z0) + i arg f ′(z0) = X + iY, f ∈ S. Действительно, если обозначить через Ω множество значений функ- ционала W (f), то мы определим и Ω∗ как образ Ω при линейном отображении вида { U = −1 2 [X − Y ] V = Y. В заметке [11] был предложен новый подход к исследованию экст- ремальных задач для однолистных аналитических функций, основан- ный на дифференциальном уравнении Левнера и редукции задач в класс C - Каратеодори аналитических функций p(z) в круге D с поло- жительной вещественной частью и нормировкой p(0) = 1. Ниже мы исследуем этим методом задачу об определении множества Ω, геоме- трия которого, как мы увидим ниже, особенно простая. Напомним, что по теореме Рисса–Герглотца, класc C имеет инте- гральное представление p(z) = ∫ \|η\|=1 1 + zη 1 − zη dµ(η), где µ — вероятностная мера на единичной окружности. Этот класс функций является компактным в топологии локально равномерной сходимости в D и выпуклым подмножеством в пространстве всех ана- литических функций в единичном круге. Далее, пусть C(0, T ) обо- значает класс функций p(z, t), z ∈ D, t ∈ [0, T ), измеримых по t при фиксированном z и таких, что p(·, t) ∈ C для почти всех t ∈ [0, T ). Предложение 2.1. Определим линейное отображение L : C(0, 1) → → C по формуле L(p) = \|z0\|∫ 0 Im ( ρ 1 − ρ2 p′z(0, ρ) − p(ρ, ρ) ) dρ ρ + 152 Оценки вращения + i \|z0\|∫ 0 Im ( ρ 1 − ρ2 p′z(0, ρ) + p(ρ, ρ) ) dρ ρ . (2.1) Тогда справедливы следующие утверждения: 1) Для любого отображения f ∈ S существует функция p ∈ ∈ C(0, 1) такая, что W (f) = L(p); 2) Для каждой функции p ∈ C(0, 1) существует единcтвенное конформное отображение f ∈ S, такое что L(p) = W (f). При этом f определяется по формуле f(z) = lim t→∞ etω(z, t;h), где ω(z, t;h) — решение дифференциального уравнения Левнера dω dt = −ωh(ω, t) для п.в. t ∈ [0,∞) (2.2) с начальным условием ω\|t=0 = z, z ∈ D, (2.3) и правой частью вида h(ω, t) = p ( ρ−ωe−iθ 1−ρωe−iθ , ρ ) − iIm p(ρ, ρ) Re p(ρ, ρ) . (2.4) Здесь ρ и θ, как функции параметра t, определяются из уравнений t = r∫ 0 Re p(ρ, ρ)dρ ρ , θ = arg z0 + r∫ 0 Im p(ρ, ρ)dρ ρ ; (2.5) 3) Множество Ω значений функционала W (f) на классе S имеет представление Ω = L(C(0, 1)). Доказательство. Хорошо известна следующая связь между функци- ями классов S и C(0,∞) : f ∈ S ⇔ f = lim t→∞ etω(z, t;h), h ∈ C(0,∞), где ω(z, t;h) — решение дифференциального уравнения Левнера (2.2) с начальным условием (2.3), см., например, [23], гл. 6, [1], гл. 1, § 6. В.Я. Гутлянский, О. Мартио 153 Непосредственно из уравнения Левнера при фиксированном z0 ∈ D, z0 6= 0, следует, что arg f(z0) z0 = − ∞∫ 0 Imh(ω0, t) dt (2.6) и arg f ′(z0) = − ∞∫ 0 Im(ω0h ′ ω(ω0, t) + h(ω0, t)) dt, (2.7) где ω0 = ω(z0, t;h).Положим ρ(t) = \|ω(z0, t;h)\| и ω(z0, t;h) = ρ(t)eiθ(t), и заметим, что dρ(t) dt = −ρ(t)Reh(ω0(t), t) < 0 (2.8) для почти всех t ∈ [0,∞). Таким образом, ρ(t) — монотонно убыва- ющая функция переменной t. Это позволяет выполнить под знаками интегралов в соотношениях (2.6), (2.7) замену переменной t 7→ ρ. За- мечая, что ρ(0) = \|z0\| и limt→∞ ρ(t) = 0, получаем формулы arg f(z0) z0 = − \|z0\|∫ 0 Imh(ω0, t(ρ)) Reh(ω0, t(ρ)) dρ ρ (2.9) и arg f ′(z0) = − \|z0\|∫ 0 Im(ω0h ′ ω(ω0, t(ρ)) + h(ω0, t(ρ))) Reh(ω0, t(ρ)) dρ ρ . (2.10) Чтобы линеаризовать эти формулы, заметим, что если h(ω, t) ∈ ∈ C(0,∞), то функция p(ω, ρ) = h ( eiθ(t) ρ−ω1−ρω , t ) − iImh(ω0, t) Reh(ω0, t) , (2.11) где ω0 = ρeiθ(t), t = t(ρ), принадлежит классу C(0, 1). При этом фор- мулы обращения имеют вид h(ω, t) = p ( ρ−ωe−iθ 1−ρωe−iθ , ρ ) − iIm p(ρ, ρ) Re p(ρ, ρ) , где ρ и θ, как функции параметра t, определяются из уравнений t = r∫ 0 Re p(ρ, ρ)dρ ρ , θ = arg z0 + r∫ 0 Im p(ρ, ρ)dρ ρ . 154 Оценки вращения Заменяя в формулах (2.9), (2.10) функцию h на p, приходим к следу- ющим выражениям для значений аргументов функции и ее производ- ной в фиксированной точке z0 круга D в терминах p(ω, t) : arg f(z0) z0 = \|z0\|∫ 0 Imp(ρ, ρ) dρ ρ , и arg f ′(z0) = \|z0\|∫ 0 Im ( ρ 1 − ρ2 p′ω(0, ρ) + p(ρ, ρ) ) dt t . Тогда W (f) = L(p), и мы завершаем доказательство первого утвер- ждения предложения 2.1. Второе утверждение вытекает из отмечен- ных выше формул обращения. Последнее утверждение является пря- мым следствием первых двух. Непосредственно из предложения 2.1 и сделанного выше замеча- ния о компактности и выпуклости класса C следует замкнутость, ограниченность и выпуклость множества Ω. Заметим, что вместе с функцией p(z, t), классу C(0, 1) принадлежит также функция вида p(z̄, t). При этом L(p(z̄, t)) = −L(p(z, t)). Следовательно, если точка (X,Y ) ∈ Ω, то множеству Ω принадлежит также точка (−X,−Y ). Более глубокий анализ предложения 2.1 поз- волит нам ниже установить симметрию множества Ω относительно обеих координатных осей. Вторая часть предложения 2.1 может быть использована при опре- делении экстремальных функций, см., например, [1], с. 137, [9]. Теорема 2.1. Пусть f ∈ S и z0 ∈ D. Тогда при любых веществен- ных значениях параметров A и B имеют место следующие точные оценки max f∈S [ A arg z2 0f ′(z0) f2(z0) +B arg f ′(z0) ] ≤ ≤ \|z0\|∫ 0 max p∈C Im [ mp(t) + δt 1 − t2 p′(0) ] dt t , (2.12) где m = B −A, δ = B +A. В.Я. Гутлянский, О. Мартио 155 При этом max p∈C Im [ mp(t) + δt 1 − t2 p′(0) ] = max \|η\|=1 Im [ m 1 + tη 1 − tη + 2δtη 1 − t2 ] = = ∣∣∣∣m+ δ x ∣∣∣∣ √ 2 1 + t2 1 − t2 x− x2 − 1, (2.13) где x = x(t) — наибольший при \|m\| > \|δ\|, и наименьший при \|m\| < \|δ\|, положительный корень уравнения mx3 − 1 + t2 1 − t2 mx2 + 1 + t2 1 − t2 δx− δ = 0. (2.14) Доказательство. Неравенство (2.12) является прямым следствием предложения 2.1. Далее, в силу формулы Рисса–Герглотца и изве- стных положений выпуклого анализа, при каждом фиксированном значении t ∈ [0, \|z0\|], max p∈C Im [ mp(t) + δt 1 − t2 p′(0) ] = max \|η\|=1 Im [ m 1 + tη 1 − tη + 2δtη 1 − t2 ] . Положим Re ( 1 + tη 1 − tη ) = x, заметив при этом, что при изменении параметра η на единичной окружности, новый параметр x принимает значения из промежутка R = [(1 − t)/(1 + t), (1 + t)/(1 − t)]. В терминах новой переменной x max \|η\|=1 Im [ m 1 + tη 1 − tη + 2δtη 1 − t2 ] = max x∈R ∣∣∣∣m+ δ x ∣∣∣∣ √ 2 1 + t2 1 − t2 x− x2 − 1. Элементарные вычисления показывают, что искомый максимум до- стигается в точке x0 = x0(t), где x0 — наибольший при \|m\| > \|δ\|, и наименьший при \|m\| < \|δ\|, корень уравнения (2.14). Замечание 2.1. Первое утверждение теоремы 2.1 редуцирует экст- ремальную задачу об оценке функционала max f∈S [ A arg z2 0f ′(z0) f2(z0) +B arg f ′(z0) ] на классе S к линейной экстремальной задаче max p∈C Im [ mp(t) + δt 1 − t2 p′(0) ] в классе C — Каратеодори. 156 Оценки вращения Теорема 2.2. На классе S при фиксированном z0, 0 < \|z0\| = r < 1 и произвольных вещественных A и B, справедливы точные оценки A arg z2 0f ′(z0) f2(z0) +B arg f ′(z) ≤ \|m\| 2 log 1 + \|m\|σ 1 − \|m\|σ + \|δ\| 2 log 1 + \|δ\|σ 1 − \|δ\|σ− √ \|mδ\| log 1 + σ √ \|mδ\| 1 − σ √ \|mδ\| + 2 √ \|mδ\| arctanσ √ \|mδ\|− δ +m 2 arctan σ(m2x2 − δ2) x(δ −m) + δ −m 2 arctan σ(m2x2 − δ2) x(δ +m) ≡ H(m, δ, r), где m = B −A, δ = B +A, σ = √ x2 − 1 m2x2 − δ2 и x — наибольший, если \|m\| ≥ \|δ\|, и наименьший, если \|m\| ≤ \|δ\|, положительный корень уравнения mx3 − 1 + r2 1 − r2 mx2 + 1 + r2 1 − r2 δx− δ = 0. Доказательство. Подставим (2.13) в (2.12) и выполним под знаком интеграла замену переменной t 7→ x по формуле 1 + t2 1 − t2 = δ −mx3 δx−mx2 , где x ≥ 1 при \|m\| > \|δ\| и x ≤ 1 при \|m\| < \|δ\|. Интегрирование завершает доказательство теоремы. Укажем некоторые следствия теоремы 2.2. Прежде всего отметим, что из этой теоремы немедленно выводится теорема вращения Г. М. Го- лузина и И. Е. Базилевича в классе S. Она получается при A = 0 и B = ±1. Далее, неравенство (1.2) также является очевидным след- ствием теоремы 2.2, если положить A = B = ±1/2. Выбрав A = ±1, B = 0, получаем точную оценку (1.3) в классе S. Используя теперь известную связь между функциями f и F классов S и Σ, приходим к теореме вращения Левнера [20] \| argF ′(z)\| ≤ log \|z\|2 \|z\|2 − 1 , \|z\| > 1, F ∈ Σ. Далее, если f(z) ∈ S, то функция Φ(z) = z √ f(zp) zp = z + ... В.Я. Гутлянский, О. Мартио 157 принадлежит подклассу Sp класса S функций, обладающих p-крат- ной симметрией вращения относительно начала координат, см [8], с. 50. Тогда arg Φ′(z0) = 1 − p p arg f(zp0) zp0 + arg f ′(zp0). Полагая в теореме 2.2 A = p− 1 2p , B = p+ 1 2p , и рассматривая функционал в точке zp0 , мы получаем решение задачи вращения в подклассах Sp [12]. Следствие 2.1. Пусть f ∈ Sp, p = 1, 2, ... и z, 0 < \|z\| = r < 1, фиксировано. Тогда справедлива точная оценка \| arg f ′(z)\| ≤ 2√ p arctan σ√ p + 1 + p 2p arctan py p− 1 + + 1 − p 2p arctan py p+ 1 + 1 2 log 1 + σ 1 − σ + + 1 2p log p+ σ p− σ − 1√ p log √ p+ σ √ p− σ , где σ = p √ x2 − 1 x2 − p2 , y = 1 px √ (x2 − 1)(x2 − p2), и x = x(r) — наименьший положительный корень уравнения x3 − ax2 + apx− p = 0, в котором a = (1 + r2p)/(1 − r2p). Замечание 2.2. В приложениях, при рассмотрении ряда частных случаев, теорема 2.1 может оказаться предпочтительнее ее ра- звернутого варианта, теоремы 2.2. Приведем два примера. Если по- ложить A = ∓1/2, B = ±1/2, то m = ±1, δ = 0, и непосредственно из теоремы 2.1 следует, что ∣∣∣∣arg f(z0) z0 ∣∣∣∣ ≤ \|z0\|∫ 0 max \|η\|=1 ∣∣∣∣Im [ 1 + tη 1 − tη ]∣∣∣∣ dt t = \|z0\|∫ 0 2dt 1 − t2 = log 1 + \|z0\| 1 − \|z0\| . 158 Оценки вращения Чтобы оценить arg f ′(z0), нужно положить A = 0, B = ±1. Тогда m = δ = ±1, и задача сводится, согласно теореме 2.1, к нахождению максимума функции y/x+ y на окружности (x− a(t))2 + y2 = b2(t), где a(t) = (1−t2)/(1−t2), b(t) = 2t/(1−t2), при всех 0 < t < \|z0\|. Эле- ментарные вычисления показывают, что эта функция принимает максимальное значение при x0 = 1, если 0 ≤ t ≤ 1/ √ 2, и в точке x0(t) = a(t) − 1 + √ (a(t) + 1)(a(t) − 3) 2 , если t ≥ 1/ √ 2 (a(t) ≥ 3). Тогда \| arg f ′(z0)\| ≤ \|z0\|∫ 0 (1 + 1/x0) √ 2a(t)x0 − x2 0 − 1 dt t . Интегрирование приводит к формулам (1.1). Обратимся теперь к задаче об описании множества Ω значений функционала W (f) на классе f. Поскольку Ω является выпуклым множеством, то для определения его границы достаточно найти опор- ную функцию HΩ(θ, r) = max f∈S Re { e−iθW (f) } при всех вещественных значениях параметра θ ∈ [0, 2π]. В силу тео- ремы 2.2, HΩ(θ, r) = H(m, δ, r), где m = sin θ − cos θ, δ = sin θ + cos θ. Замечание 2.3. Поскольку m(−θ) = −δ(θ) и δ(−θ) = −m(θ), то из (2.11)–(2.14) следует, что HΩ(θ, r) = HΩ(−θ, r), и мы приходим к заключению, что множество Ω симметрично относительно оси X. А поскольку множеству Ω принадлежат одновременно точки (X,Y ) и (−X,−Y ), то Ω симметрично и относительно оси Y. Зная опорную функцию к множеству Ω, теперь нетрудно дать описа- ние и самого множества Ω. Теорема 2.3. Область Ω значений комплекснозначного функциона- ла W (f) = arg z2 0f ′(z0) f2(z0) + i arg f ′(z) = X + iY, f ∈ S, 0 < \|z0\| = r < 1, В.Я. Гутлянский, О. Мартио 159 представляет собой замкнутое выпуклое множество, симметри- чное относительно координатных осей X и Y, граница ∂Ω которого зависит только от r и задается следующим образом. 1) При 0 < r < 1/ √ 2 множество ∂Ω состоит из двух вертикальных отрезков X = ± log 1 1 − r2 , \|Y \| ≤ log 1 1 − r2 + log(1 + r √ 2 − r2) + 2 arctan r√ 2 − r2 , соединенных гладким образом кривой с параметрическим уравнением ϕ(θ) = signm 1 + i 2 log 1 + \|m\|σ 1 − \|m\|σ + i signδ 2 log 1 + \|δ\|σ 1 − \|δ\|σ− − sign(mδ)[δ + i(m+ δ)] 2 √ \|mδ\| ( log 1 + σ √ \|mδ\| 1 − σ √ \|mδ\| − 2 arctanσ √ \|mδ\| ) − − 1 + 2i 2 arctan σ(m2x2 − δ2) x(δ −m) − 1 2 arctan σ(m2x2 − δ2) x(δ +m) , когда параметр θ изменяется в интервале 0 ≤ θ ≤ π, и ее зеркаль- ным отражением относительно оси X. 2) При 1/ √ 2 ≤ r < 1 граница ∂Ω состоит из двух, отмеченных выше, вертикальных отрезков, двух горизонтальных отрезков Y = ± { π + log r2 1 − r2 } , \|X\| ≤ log 1 1 − r2 + log(r2 + √ 2r2 − 1) − 2 arctan √ 2r2 − 1 и четырех дуг кривой ϕ(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π, соединяющих гладким обра- зом отрезки. Здесь σ = √ x2 − 1 m2x2 − δ2 и x — наибольший при π/2 < θ < π и 3π/2 < θ < 2π, и наименьший при 0 < θ < π/2 и π < θ < 3π/2, положительный корень уравнения mx3 − 1 + r2 1 − r2 mx2 + 1 + r2 1 − r2 δx− δ = 0. Доказательство. Напомним, что облась Ω выпукла, и обозначим че- рез θ угол между внешней нормалью к границе ∂Ω области Ω в точке ϕ(θ) и положительным направлением оси X. Тогда Re { e−iθϕ(θ) } = = HΩ(θ, r). Для завершения доказательства, достаточно воспользо- ваться теоремой 2.2 и правилом получения огибающей семейства пря- мых. 160 Оценки вращения 3. Вращение при квазиконформных отображениях В 1961 году Ф. Джон [16], изучая взаимосвязи между напряжени- ем и вращением внутри упругого тела, доказал, что если f : Q → R n осуществляет (1+ε) - билипшицево отображение куба Q ⊂ R n обьема m(Q), то f ′ принадлежит классу BMO(Q) функций с ограниченным средним колебанием. Другими словами, существует универсальная постоянная D, такая что для данного куба и любого параллельного вложенного куба R 1 m(R) ∫ R \|f ′(x) − fR ′\|dv ≤ Dε, где f ′R обозначает интегральное среднее f ′ по кубу R. Применив к компонентам вектора f ′ − f ′R фундаментальную лемму о функциях класса BMO, доказанную совместно с Л. Ниренбергом в работе [17], Ф. Джон показал, что для каждого M мера µ(M) тех x из R, для которых \|f ′(x) − f ′R\| ≥Mε, удовлетворяет неравенству µ(M) ≤ Ee−FMm(R) (3.1) с универсальными постоянными E и F. В качестве иллюстрации по- следнего результата, он установил следующую теорему вращения. Теорема. ([16], с. 411). Пусть f : C → C – (1 + ε) — билипшицево отображение комплексной плоскости, такое что f(z) = { z для \|z\| > b zeiθ для \|z\| < a < b и θ ∈ [0, π]. Тогда θ ≤ O(1 + log(b/a))ε. Для полноты рассуждений, приведем оригинальное доказатель- ство теоремы. Пусть R - квадрат \|x1\| < 2b, \|x2\| < 2b, z = x1 + ix2, и пусть fR ′ обозначает интегральное среднее от f ′ по квадрату R. Мы имеем f ′ = 1 for \|z\| > b, f ′ = eiθ для \|z\| < a. Если q = max(\|f ′R − 1\|, \|f ′R − eiθ\|), то q ≥ 1 2 \|eiθ − 1\| ≥ 1 π θ. В.Я. Гутлянский, О. Мартио 161 Положим M = q/ε. Тогда, либо внутри меньшего круга, либо в обла- сти R ∩ {\|z\| > b}, выполняется неравенство \|f ′ − f ′R\| ≥ Mε. Следо- вательно, мера µ(M) части R, где \|f ′ − f ′R\| ≥ Mε должна быть не меньше, чем min[(16 − π)b2, πa2] = πa2. C другой стороны, в силу неравенства (3.1), µ(M) ≤ EeFq/ε16b2. Отсюда следует, что θ ≤ O(1 + log b a )ε. (3.2) Оценка (3.2) не является оптимальной. Оказывается, что точное решение задачи следует искать в классе квазиконформных отобра- жений, который включает в себя билипшицевы отображения. Более того, такой подход ведет к точным интегральным оценкам вращения в терминах локальных коэффициентов искажения. Прежде чем при- вести формулировки результатов, напомним некоторые определения и обозначения. Пусть G — область в комплексной плоскости C. Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f : G → C называется Q — квазикон- формным, Q ≥ 1, если f ∈W 1,2 loc (G) и если \|\|f ′(z)\|\|2 ≤ QJf (z) почти везде в G. Здесь Jf (z) — якобиан отображения f(z) и \|\|f ′(z)\|\| = \|fz(z)\|+ \|fz̄(z)\|. Для почти всех z ∈ G мы определим коэффициент искажения Kf (z) отображения f в точке z и комплексную дилатацию µ(z) по формулам Kf (z) = \|\|f ′(z)\|\|2 Jf (z) , µ(z) = fz̄(z) fz(z) . Гомеоморфизм f : G → C называется L - билипшицевым, если он удовлетворяет следующему двойному неравенству 1 L \|z − z′\| ≤ \|f(z) − f(z′)\| ≤ L\|z − z′\| для любых z, z′ ∈ G. Наименьшее из L ≥ 1, для которой это не- равенство имеет место, называется изометрическим коэффициентом искажения отображения f. Заметим, что каждое L - билипшицево отображение f является L2 - квазиконформным. Точное решение задачи Ф. Джона выводится из следующего ре- зультата, установленного в работе [14]. Пусть f представляет собой 162 Оценки вращения Q — квазиконформное отображение кругового кольца R(a, b) : a ≤ ≤ \|z\| ≤ b, с комплексной дилатацией µ(z) и такое, что f(z) = z для \|z\| = b и f(z) = zeiθ для \|z\| = a. Тогда для любой непрерывной неубывающей выпуклой функции Φ справедливы точные оценки ∫∫ R(a,b) Φ(Kf (z)) dxdy \|z\|2 ≥ ∫∫ R(a,b) Φ(Kf∗(z)) dxdy \|z\|2 . (3.3) Экстремальное отображение f∗ имеет вид f∗(z) = bsk(z/b), k = −θ/ log(b/a), где sk(z) = zeik log \|z\|. Действительно, полагая в неравенстве (3.3) Φ(u) = u, мы получа- ем, что \|θ\| ( \|θ\| 2 log(b/a) + √ 1 + θ2 4 log2(b/a) ) ≤ 1 2π ∫∫ R(a,b) Kf (z) − 1 \|z\|2 dxdy. (3.4) Оценка является точной и знак равенства реализуется для функции f∗(z). Поскольку, как уже было отмечено выше, L - билипшицево отображение является одновременно L2 - квазиконформным, то мы приходим к точному неравенству в теореме Ф. Джона. Теорема 3.1. [14]. Пусть f — L-билипшицево отображение круго- вого кольца R(a, b) : a ≤ \|z\| ≤ b, такое, что f(z) = z для \|z\| = b и f(z) = zeiθ для \|z\| = a. Тогда имеет место следующая точная оценка \|θ\| ≤ (L− 1/L) log(b/a). В частности, если L = 1 + ε, то \|θ\| ≤ ε 2 + ε 1 + ε log b a . Приведенные выше оценки вращения записаны либо в терминах максимальной дилатации отображения, либо в терминах интеграль- ных средних, зависящих только от \|µ(z)\|. Следующий результат поз- воляет учитывать влияние аргумента комплексной дилатации µ(z) на вращение при квазиконформных отображениях. Пусть µ(z) — произвольная измеримая функция в комплексной плоскости C, удовлетворяющая условию \|\|µ\|\|∞ ≤ k < 1. Положим Dµ(z) = \|1 − µ(z)z̄/z\|2 1 − \|µ(z)\|2 В.Я. Гутлянский, О. Мартио 163 и заметим, что если через f : C → C обозначить квазиконформный гомеоморфизм с комплексной дилатацией µ(z), то почти всюду спра- ведливы соотношения Dµ(z) = \|∂θf(teiθ)\|2 t2Jf (teiθ) , z = teiθ, и D−µ(z) = \|∂tf(teiθ)\|2 Jf (teiθ) . Теорема 3.2. Пусть f — квазиконформный автоморфизм кругово- го кольца A(r,R) с комплексной дилатацией µ(z) и h : A(r,R) → → A(r,R) — произвольный квазиконформный автоморфизм, сохра- няющий объемы. Тогда справедливо следующее неравенство 1 2π 2π∫ 0 \|df◦h(reiθ) − df◦h(Re iθ)\|dθ ≤ ≤ log R r + 1 2π ∫∫ A(r,R) D−κ(z)/2 − 1 \|z\|2 dxdy. (3.5) Здесь через κ обозначена комплексная дилатация отображения f ◦h. Доказательство. Фиксируем в кольце A(r,R) радиальный сегмент γ(t) = teiθ, r ≤ t ≤ R, и сохраняющий объемы автоморфизм h : A(r,R) → A(r,R) и заметим, что ∫ f◦h◦γ \|dw\| \|w\| ≥ ( ∆2 f◦h(θ) + log2 R r )1/2 . (3.6) Здесь ∆f◦h(θ) = \|df◦h(Reiθ) − df◦h(re iθ)\| — угловое колебание отображения ϕ(z) = f(h(z)) в концевых точках сегмента γ(t). В силу неравенства Минковского   2π∫ 0 ( ∆2 f◦h(θ) + log2 R r )1/2 dθ   2 ≥ ≥   2π∫ 0 ∆f◦h(θ) dθ   2 +   2π∫ 0 log(R/r) dθ   2 . (3.7) 164 Оценки вращения С другой стороны, ∫ f◦h◦γ \|dw\| \|w\| = R∫ r \|ϕt(teiθ)\| \|ϕ(teiθ)\| dt = R∫ r D 1/2 −κ (teiθ) · J1/2 ϕ (teiθ) \|ϕ(teiθ)\| dt для почти всех θ ∈ [0, 2π]. Здесь κ(z) обозначают комплексную дила- тацию отображения ϕ(z). Обозначая ∫ f◦h◦γ \|dw\| \|w\| = ℓ(θ), и применяя неравенство Шварца, мы получаем ℓ2(θ) ≤ R∫ r D−κ(te iθ) dt t · R∫ r Jϕ(teiθ) \|ϕ(teiθ)\|2 t dt, и следовательно ℓ2(θ) ψκ(θ) ≤ R∫ r Jϕ(teiθ) \|ϕ(teiθ)\|2 t dt для почти всех θ ∈ [0, 2π], где функция ψκ(θ) определена формулой ψκ(θ) = R∫ r D−κ(te iθ) dt t . Интегрируя обе части последнего неравенства по θ от 0 до 2π и при- меняя теорему Фубини, мы приходим к неравенству 2π∫ 0 ℓ2f◦h(θ) ψκ(θ) dθ ≤ ∫∫ A(r,R) Jϕ(z) \|ϕ(z)\|2 dxdy. Принимая во внимание тот факт, что h(A(r,R) = A(r,R) и отобра- жение h сохраняет объемы, то есть якобиан Jh(z) = 1 для почти всех z ∈ A(r,R), мы видим, что ∫∫ A(r,R) Jϕ(z) \|ϕ(z)\|2dxdy = ∫∫ A(r,R) Jf (z) \|f(z)\|2 dxdy = ∫∫ A(r,R) dudv \|w\|2 = 2π log(R/r). (3.8) Таким образом, 2π∫ 0 ℓ2(θ) ψκ(θ) dθ ≤ 2π log(R/r), В.Я. Гутлянский, О. Мартио 165 и в силу неравенства Шварца   2π∫ 0 ℓ(θ) dθ   2 ≤ 2π∫ 0 ℓ2f◦h(θ) ψκ(θ) dθ · 2π∫ 0 ψκ(θ)dθ ≤ ≤ 2π(log(R/r)) ∫∫ A(r,R) D−κ(z) dxdy \|z\|2 . Объединяя последнее неравенство с неравенствами (3.6) и (3.7), мы получаем   1 2π 2π∫ 0 ∆f◦h(θ) dθ   2 + log2(R/r) ≤ log(R/r) 2π ∫∫ A(r,R) D−κ(z) dxdy \|z\|2 . Отсюда, в силу элементарного неравенства a2 +b2 ≥ 2ab, следует, что 1 2π 2π∫ 0 ∆f◦h(θ)dθ ≤ log(R/r) + 1 2π ∫∫ r<\|z\|<R D−κ(z)/2 − 1 \|z\|2 dxdy. Теорема доказана. Выбирая допустимый автоморфизм h надлежащим образом, можно получить различные следствия теоремы 3.2. Следствие 3.1. Пусть f : A(r,R) → A(r,R) — квазиконформный автоморфизм с комплексной дилатацией µ(z). Тогда 1 2π 2π∫ 0 ∣∣∣df (h+(reiθ)) − df (Re iθ) + log(R/r) ∣∣∣ dθ ≤ ≤ log(R/r) + 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 − Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 , (3.9) где h+(z) = zei log(R/\|z\|). Доказательство. Положим h(z) = h+(z). Это отображение являе- тся билипшицевым, сохраняет объемы, отображает кольцо A(r,R) на себя и тождественно на окружности \|z\| = R. Тогда ∆f◦h+(θ) = \|df (h+(reiθ)) − df (Re iθ) + log(R/r)\|. 166 Оценки вращения Далее, вычисления h+ t (z) = h+(z)(1 − i)/t, h̄+ t (z) = h̄+(z)(1 + i)/t, \|h+(z)\| = t, показывают, что D−κ(z) = \| ∂∂tf(h+(z))\|2 Jf◦h+(z) = = 2\|fz(h+) + ifz̄(h +)h̄+/h+\|2 Jf (h+) = 2D−iµ(h +(z)), где z = teiθ. Следовательно, 1 2π ∫∫ A(r,R) D−κ(z)/2 − 1 \|z\|2 dxdy = 1 2π ∫∫ A(r,R) D−iµ(h +(z)) − 1 \|z\|2 dxdy. Выполняя под знаком интеграла замену переменных по формуле z 7→ h+(z), и принимая во внимание тот факт, что \|h+(z)\| = \|z\| и Jh+(z) = 1, мы получаем 1 2π ∫∫ A(r,R) D−iµ(h +(z)) − 1 \|z\|2 dxdy = 1 2π ∫∫ A(r,R) D−iµ(z) − 1 \|z\|2 dxdy = = 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 − Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 . Теперь неравенство (3.5) принимает вид (3.9) и мы завершаем дока- зательство следствия 3.1. Следствие 3.2. Пусть f : A(r,R) → A(r,R) — квазиконформный автоморфизм с комплексной дилатацией µ(z). Тогда 1 2π 2π∫ 0 ∣∣∣df (Reiθ) − df (h −(reiθ)) + log(R/r) ∣∣∣ dθ ≤ ≤ log(R/r) + 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 + Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 , (3.10) где h−(z) = ze−i log(R/\|z\|). В.Я. Гутлянский, О. Мартио 167 Положим в тереме 3.2 h = h−(z). Тогда ∆f◦h−(θ) = \|df (Reiθ) − df (h −(reiθ)) + log(R/r)\|. Вычисления h−t (z) = h−(z)(1 + i)/t, h̄−t (z) = h̄−(z)(1 − i)/t, \|h−(z)\| = t, показывают, что D−κ(z) = \| ∂∂tf(h−(z))\|2 Jf◦h−(z) = 2Diµ(h −(z)), где z = teiθ. Следовательно, 1 2π ∫∫ A(r,R) D−κ(z)/2 − 1 \|z\|2 dxdy = 1 2π ∫∫ A(r,R) Diµ(h −(z)) − 1 \|z\|2 dxdy. Выполняя замену переменных под знаком интеграла по формуле z 7→ h−(z), и принимая во внимание соотношения \|h−(z)\| = \|z\| и Jh−(z) = 1, мы получаем 1 2π ∫∫ A(r,R) Diµ(h −(z)) − 1 \|z\|2 dxdy = 1 2π ∫ A Diµ(z) − 1 \|z\|2 dxdy = = 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 + Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 и, тем самым, завершаем доказательство. В задаче Ф. Джона df (ae iϕ) = θ, df (be iϕ) = 0 для всех 0 ≤ ϕ ≤ 2π и мы приходим к следующим двусторонним оценкам вращения. Следствие 3.3. Пусть f : C → C — квазиконформное отображение комплексной плоскости с комплексной дилатацией µ(z), такое что f(z) = { z для \|z\| ≥ b zeiθ для \|z\| ≤ a < b. Тогда − 1 π ∫∫ A(a,b) \|µ\|2 + Im(µz̄/z) 1 − \|µ\|2 · dxdy\|z\|2 ≤ θ ≤ 1 π ∫∫ A(a,b) \|µ\|2 − Im(µz̄/z) 1 − \|µ\|2 · dxdy\|z\|2 . Таким образом, \|θ\| ≤ max ∣∣∣∣∣∣∣ 1 π ∫∫ A(a,b) \|µ\|2 ± Im(µz̄/z) 1 − \|µ\|2 · dxdy\|z\|2 ∣∣∣∣∣∣∣ . 168 Оценки вращения Если еще заметить, что ∣∣∣∣∣∣∣ 1 π ∫∫ A(a,b) \|µ\|2 ± Im(µz̄/z) 1 − \|µ\|2 · dxdy\|z\|2 ∣∣∣∣∣∣∣ ≤ 1 π ∫∫ A(a,b) \|µ\| 1 − \|µ\| dxdy \|z\|2 = = 1 2π ∫∫ A(a,b) Kf (z) − 1 \|z\|2 dxdy, тогда \|θ\| ≤ 1 2π ∫∫ A(a,b) Kf (z) − 1 \|z\|2 dxdy, ср. с формулой (3.4). Замечание 3.1. Основные неравенства, доказанные в этом парагра- фе, не зависят от максимальной дилатации квазиконформных ото- бражений и они остаются в силе для более общих гомеоморфизмов класса Соболева W 1,1 loc при надлежащих условиях на существование несобственных интегралов. Теорема 3.2 допускает следующее обобщение, ср. [3]. Теорема 3.3. Пусть f : A(r,R) → G представляет собой Q — ква- зиконформное отображение с комплексной дилатацией µ(z). Если G содержит кольцо A(r(1 + ε), R/(1 + ε)) и содержится в кольце A(r/(1+ ε), R(1+ ε)), то для любого сохраняющего объемы квазикон- формного автоморфизма h кольца A(r,R) справедливо неравенство 1 2π 2π∫ 0 \|df◦h(reiθ) − df◦h(Re iθ)\|dθ ≤ log(R/r)+ + 1 2π ∫∫ A(r,R) D−κ(z)/2 − 1 \|z\|2 dxdy + 2ε(1 +Q). (3.11) Здесь κ обозначает комплексную дилатацию отображения f ◦ h. Доказательство. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы 3.2, заметим что теперь неравенство (3.5) должно быть заменено не- равенством ∫ f◦h◦γ \|dw\| \|w\| ≥ ( ∆2 f◦h(θ) + log2 \|f(Reiθ)\| \|f(reiθ)\| )1/2 ≥ В.Я. Гутлянский, О. Мартио 169 ≥   2π∫ 0 ∆f◦h(θ)dθ   2 + 4π2(log(R/r) − 2ε)2, поскольку A(r(1 + ε), R/(1 + ε)) ⊂ f(A(r,R)), и значит log2 \|f(Reiθ)\| \|f(reiθ)\| ≥ (log(R/r) − 2ε)2, а соотношение (3.8) — неравенством ∫∫ A(r,R) Jϕ(z) \|ϕ(z)\|2dxdy = ∫∫ A(r,R) Jf (z) \|f(z)\|2dxdy = = ∫∫ f(A(r,R)) dudv \|w\|2 ≤ 2π(log(R/r) + 2ε), так как f(A(r,R)) ⊂ A(r/(1 + ε), R(1 + ε)). После элементарных пре- образований мы получаем неравенство (3.11). Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве след- ствий 3.1 и 3.2, приходим к следующему утверждению. Следствие 3.4. В условиях теоремы 3.3 справедливы оценки 1 2π 2π∫ 0 ∣∣∣df (h+(reiθ)) − df (Re iθ) + log(R/r) ∣∣∣ dθ ≤ ≤ log(R/r) + 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 − Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 + 2ε(1 +Q), 1 2π 2π∫ 0 ∣∣∣df (Reiθ) − df (h −(reiθ)) + log(R/r) ∣∣∣ dθ ≤ ≤ log(R/r) + 1 π ∫∫ r<\|z\|<R \|µ(z)\|2 + Im(µ(z)z̄/z) 1 − \|µ(z)\|2 · dxdy\|z\|2 + 2ε(1 +Q), где h± = ze±i log(R/\|z\|). В заключение отметим, что близкие по смыслу теоремы вращения для пространственных квазиконформных отображений содержатся в работе [15]. 170 Оценки вращения Литература [1] Александров И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976, 44 с. [2] Базилевич И. Е. Sur les théorémes de Koebe–Bieberbach. 1 (1936), 283–292. [3] Белинский П. П. Поведение квазиконформного отображение в изолирован- ной особой точке // Уч. записки Львовского ун-та, сер. мех.-матем. 29 (1954), №1 , 58–70. [4] Белинский П. П. Общие свойства квазиконформных отображений. Новоси- бирск: Наука, 1974, 100 с. [5] Bieberbach L. Aufstellung und Beweis des Drehugssatzes für schlichte konforme Abbildungen // Math. Z. 4 (1919), 295–305. [6] Brakalova M. and Jenkins J. A. On the local behavior of certain homeomorphisms Kodai Math. J. 17 (1994), 201–213. [7] Голузин Г. М. Sur les théorémes de rotation dans la théorie des fonctions uni- valetes // Матем. сб. 1 (1936), 293–296. [8] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966, 628 с. [9] Горяйнов В. В. Об экстремалях в оценках функционалов, зависящих от зна- чений однолистной функции и ее производной. В кн. Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983, 38–49. [10] Grunsky H. Neue Abschätzungen zur konformen Abbildungen ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche // Schr. Math. Seminars u. Inst. f. angew. Math. Univ. Berlin. 1 (1932), 93–140. [11] Гутлянский В. Я. Параметрическое представление однолистных функций // ДАН СССР. 194(1970), №4 — C. 750–753. [12] Гутлянский В. Я. Теорема вращения в классе однолистных p-симметричных функций // Матем. заметки. 10 (1971), 239–242. [13] Гутлянский В. Я., Горяйнов В. В. Об экстремальных задачах в классе SM . В кн. Математический сборник. Киев: Наукова думка, 1976, 242–246. [14] Gutlyanskǐı V. and Martio O., Rotation estimates and spirals // Conform. Geom. Dyn. 5 (2001), 6–20. [15] Gutlyanskǐı V. and Martio O. On rotation estimates for space quasiconformal mappings // Доповiдi Нац. Акад. Наук Укрӓıни. Матем. Природозн. Технiчнi Науки. 1 (2002), 7–12. [16] Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. М.: Ин. Лит., 1962, 266 с. [17] John F. Rotation and strain // Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 391–413. [18] John F. and Nirenberg L. On functions of bounded mean oscilation // Comm. Pure Appl. Math. 14 (1961), 415–426. [19] Лебедев Н. А. Мажорантная область для выражения I = log{zkf ′(z)1−λ/f(z)λ} в классе S // Вестник ЛГУ. 8 (1955), 29–41. [20] Lehto O. and Virtanen K. Qvasiconformal mappings in the plane. — Berlin etc.: Springer–Verlag, 1973, 258 с. [21] Löwner K. Über Extremumsätze bei der Konformen Abbildungen des aüβeren des Einheitskreises // Math. Z. 3 (1919), 65–77. В.Я. Гутлянский, О. Мартио 171 [22] Löwner K. Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskrei- ses // J. Math. Ann. 89 (1923), 103–121. [23] Pommerenke Ch. Univalent functions. Vandenhoeck u. Ruprecht, Gottingen, 1975, 376 p. [24] Reich E. and Walczak H. On the behavior of quasiconformal mappings at a point // Trans. Amer. Math. Soc. 117 (1965), 338–351. Сведения об авторах В.Я. Гутлянский Институт прикладной математики и механики НАН Украины, ул. Р. Люксембург, 74, 83114, Донецк Украина E-Mail: gut@iamm.ac.donetsk.ua Olli Martio Department of Mathematics, P.O. Box 4 (Yliopistonkatu 5), FIN-00014, University of Helsinki, FINLAND E-Mail: martio@cc.helsinki.fi

Оценки вращения при конформных и квазиконформных отображениях

Institution

Ähnliche Einträge