Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи
Исследовано влияние возмущений в исходных данных на решения векторной задачи оптимизации со многими линейными критериями. Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена стр...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124697 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 71-77. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859743265507508224 |
|---|---|
| author | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| author_facet | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| citation_txt | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 71-77. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Исследовано влияние возмущений в исходных данных на решения векторной задачи оптимизации со многими линейными критериями. Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возмущенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям параметра возмущений исходных данных задачи.
Досліджено вплив збурень у вхідних даних на розв'язки векторної оптимізаційної задачі з багатьма лінійними критеріями. Проведено аналіз властивостей збурених конусів, що частково впорядковують множину допустимих розв'язків задачі векторної оптимізації відносно лінійних цільових функцій. Вивчено структуру всієї сукупності спеціальним чином збурених упорядковуючих конусів, що відповідають різним значенням параметра збурень вхідних даних задачі.
The influence of perturbations of the initial data on the solutions of multicriteria optimization problems is considered. The properties of perturbed cones, which partially order the feasible domain of the vector optimization problem with respect to the linear objective functions are analyzed. The structure of the set of specific perturbed ordering cones with different values of the parameter of perturbations of initial data is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T19:45:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ò.Ò. ËÅÁÅÄÅÂÀ, Í.Â. ÑÅÌÅÍÎÂÀ, Ò.È. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ
ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ ÊÎÍÓÑÎÂ,
ÓÏÎÐßÄÎ×ÈÂÀÞÙÈÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ ÄÎÏÓÑÒÈÌÛÕ
ÐÅØÅÍÈÉ ÂÅÊÒÎÐÍÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÎÍÍÎÉ ÇÀÄÀ×È1
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå âîçìóùåíèé â èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèÿ âåêòîðíîé
çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñî ìíîãèìè ëèíåéíûìè êðèòåðèÿìè. Ïðîâåäåí àíàëèç ñâîéñòâ âîçìó-
ùåííûõ êîíóñîâ, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è
âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ öåëåâûõ ôóíêöèé. Èçó÷åíà ñòðóêòóðà
âñåé ñîâîêóïíîñòè ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âîçìóùåííûõ óïîðÿäî÷èâàþùèõ êîíóñîâ, ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàäà÷è âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè, âîçìóùåíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ, âîçìó-
ùåííûå óïîðÿäî÷èâàþùèå êîíóñû.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóåòñÿ âëèÿíèå íåîïðåäåëåííîñòè â èñõîäíûõ äàí-
íûõ íà ðåøåíèÿ çàäà÷ âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè ñî ìíîãèìè ëèíåéíûìè êðèòå-
ðèÿìè. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå èñòî÷íèêè íåîïðåäåëåííîñòè: èçìåíåíèå äàííûõ
âî âðåìåíè, íåòî÷íûå èñõîäíûå äàííûå, ñóáúåêòèâíûå äàííûå, íåïîëíûå äàí-
íûå, îøèáêè èçìåðåíèÿ.  çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè, îñîáåííî òåõ, â êîòîðûõ
ïðèñóòñòâóþò ïåðåìåííûå, ïðèíèìàþùèå äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ, ìàëûå âîçìó-
ùåíèÿ â èñõîäíûõ äàííûõ ìîãóò ïðèâåñòè ê ðåøåíèÿì, ñèëüíî îòëè÷àþùèìñÿ
îò èñòèííûõ. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ äàæå ïðè íåçíà÷èòåëüíûõ èçìå-
íåíèÿõ â èñõîäíûõ äàííûõ ÷àñòî íåïðåäñêàçóåìû.  ñâÿçè ñ ýòèì àêòóàëüíîé
ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà èíñòðóìåíòàðèÿ äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ âëèÿíèÿ âîçìóùå-
íèé â èñõîäíûõ äàííûõ íà ïîëó÷àåìûå ðåçóëüòàòû. Ïðîâåäåííûå èññëåäîâà-
íèÿ íàïðàâëåíû íà ðàñøèðåíèå âîçìîæíîñòåé èñïîëüçîâàíèÿ âûïóêëûõ êîíó-
ñîâ, êîòîðûå óïîðÿäî÷èâàþò ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷ âåêòîðíîé
îïòèìèçàöèè îòíîñèòåëüíî ÷àñòíûõ êðèòåðèåâ, äëÿ àíàëèçà âëèÿíèÿ âîçìóùå-
íèé â èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè
Z M C X Cx x X( ( , )) : max | }{ � , (1)
êîòîðàÿ ñîñòîèò â ïîèñêå ýëåìåíòîâ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà îïòèìàëüíûõ ðåøå-
íèé M C X C X( , ) ( , )�M , ãäå M � { }Sl C X P C X Sm C X( , ), ( , ), ( , ) , P C X( , ) —
ìíîæåñòâî ïàðåòî-îïòèìàëüíûõ (ýôôåêòèâíûõ) ðåøåíèé çàäà÷è, Sl C X( , ) — ìíî-
æåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ñëåéòåðó (ñëàáî ýôôåêòèâíûõ) ðåøåíèé, Sm C X( , ) —
ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ïî Ñìåéëó (ñòðîãî ýôôåêòèâíûõ) ðåøåíèé [1, 2],
M C X x X x M C X( , ) | ( , ( , ))� � � �{ }� , �( , ( , )) | ,x P C X z X Cz Cx Cz Cx� � � �{ },
�( , ( , )) |x Sl C X z X Cz Cx� � �{ }, �( , ( , )) | ,x Sm C X z X z x Cz Cx� � � �{ }, C �
� � �[ ]c Rij
n� — ìàòðèöà, â êîòîðîé ñòðîêè c c ci i in� ( )1 � ïðåäñòàâëÿþò ñî-
áîé íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíûõ öåëåâûõ ôóíêöèé
�c xi , , i �{ }1, ..., � ,
ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðíûé êðèòåðèé çàäà÷è (1), X R n� — äîïóñòèìîå ìíî-
æåñòâî ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðû.
Îñíîâíîå ðàçëè÷èå ìåæäó ñêàëÿðíîé è âåêòîðíîé îïòèìèçàöèåé ñîñòîèò
â óïîðÿäî÷åíèè ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è.  îïòèìèçàöèè ñ îäíîé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 71
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ãîñóäàðñòâåííîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ
èññëåäîâàíèé Óêðàèíû (ïðîåêò Ô54.1/039).
© Ò.Ò. Ëåáåäåâà, Í.Â. Ñåìåíîâà, Ò.È. Ñåðãèåíêî, 2014
öåëåâîé ôóíêöèåé âîçìîæíî ïîëíîå óïîðÿäî÷åíèå äîïóñòèìîé îáëàñòè çàäà÷è
îòíîñèòåëüíî öåëåâîé ôóíêöèè. Â âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè ñ äâóìÿ èëè áîëåå öå-
ëåâûìè ôóíêöèÿìè äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü ëèøü ÷àñòè÷íî óïîðÿäî-
÷åíî. ×àñòè÷íûé ïîðÿäîê äîïóñòèìîé îáëàñòè îòíîñèòåëüíî öåëåé îïòèìèçàöèè
ìîæíî îïèñàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ êîíóñà. Ñîãëàñíî [3] ïîäìíîæåñòâî K
èç R n ÿâëÿåòñÿ êîíóñîì, åñëè �x K� äëÿ âñåõ x K� è � �R 1, � � 0 . Ñ ìàòåìàòè-
÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ âåêòîð x R n� ëó÷øå, ÷åì âåêòîð y R n� , òîãäà è òîëüêî òîã-
äà, êîãäà x y K
� , ãäå K — òàê íàçûâàåìûé óïîðÿäî÷èâàþùèé êîíóñ.
Óïîðÿäî÷èì äîïóñòèìóþ îáëàñòü çàäà÷è (1) ñ ïîìîùüþ ìíîãîãðàííîãî êîíóñà
K x R Cxn� � �{ }| 0 ,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ
K K K K� 0 1 2� � ,
ãäå K x R Cxn
0 0� � �{ }| , K x R Cxn
1 0� � �{ }| , K K K K2 0 1� \ ( )� . Òîãäà � �x X
x P C X x K K X� � � � �( , ) ( )1 2� � , x Sl C X x K X� � � � �( , ) ( )1 � , x Sm C X� �( , )
� � � �( ) \x K X x� { } .
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê: x X� è � � �x x s, ãäå s K� , âûïîëíÿ-
åòñÿ íåðàâåíñòâî Cx Cx� � . Ïîýòîìó ëþáîé ýëåìåíò s K� íàçîâåì ïåðñïåêòèâ-
íûì íàïðàâëåíèåì â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé çàäà÷è (1). Åñëè s K� 0 , òî Cx Cx� � ,
è â ýòîì ñëó÷àå s íàçîâåì íàïðàâëåíèåì ðàâíîâåñèÿ.
Ñîãëàñíî [4] îïðåäåëèì êîíóñ K * , äâîéñòâåííûé ê óïîðÿäî÷èâàþùåìó
ìíîãîãðàííîìó êîíóñó K, ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû
K x R x c kn
k k
k
k
* | , , , ...,� � � � �
�
�
�
�
�
��
� � �
1
0 1
�
� ,
êîòîðàÿ ýêâèâàëåíòíà áîëåå ïðèâû÷íîé ôîðìóëå
K y R x y x Kn* | ,� �
� � � �{ }0 . (2)
Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âîçìóùåííûõ çàäà÷
{ }Z M C X R( ( , )) |� � � 1 , ãäå M C X C X( , ) ( , )� ��M , êîòîðûå áàçèðóþòñÿ íà çà-
äà÷å (1) è â êîòîðûõ êàæäàÿ ñòðîêà ci
� , i �{ }1, ..., � , âîçìóùåííîé ìàòðèöû C �
èìååò âèä
c c ui i
� ��
, (3)
ãäå � �R 1 — ïàðàìåòð âîçìóùåíèé, u ri K� * — âåêòîð âîçìóùåíèé, u � 0,
u ci i
i
�
�
� �
1
�
, � i
i�
� �
1
1
�
, � i � 0, i �1, ..., � . (4)
Âîçìóùåííîé çàäà÷å Z M C X( ( , ))� , ãäå M C X C X( , ) ( , )� ��M , � �R 1, ïîñòàâèì
â ñîîòâåòñòâèå âîçìóùåííûé óïîðÿäî÷èâàþùèé êîíóñ K x R C xn� �� � �{ }| 0 ,
êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ
K K K K� � � ��
0 1 2
� � ,
ãäå K x R C xn
0
0� �� � �{ }| , K x R C xn
1
0� �� � �{ }| , K K K K
2 0 1
� � � �� \ ( )� . Î÷å-
âèäíî, ÷òî K K K K K K K K0
0
0
0 1
0
1 2
0
2� � � �, , , .
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
 äàííîé ðàáîòå ïðîäîëæåíû îïèñàííûå â [5–10] èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ óïîðÿ-
äî÷èâàþùèõ êîíóñîâ, âîçìóùåííûõ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìó-
ëàìè (3), (4). Îïèðàÿñü íà íåêîòîðûå èç ýòèõ ñâîéñòâ, ðàçðàáîòàí ïîäõîä [6, 8] ê ðå-
ãóëÿðèçàöèè âîçìîæíî íåóñòîé÷èâîé ê âîçìóùåíèÿì èñõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è
âèäà (1) ñ öåëî÷èñëåííûìè ïåðåìåííûìè. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ïîäõîäà îïðå-
äåëåííûì îáðàçîì èçìåíÿåòñÿ ÷àñòè÷íûé ïîðÿäîê â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé çàäà÷è
çà ñ÷åò ââåäåíèÿ ñïåöèàëüíûõ âîçìóùåíèé â èñõîäíûå äàííûå.  ðåçóëüòàòå îïòè-
ìàëüíûå ïî Ñëåéòåðó ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî èçìåíåííîé çàäà÷è ñ íåìíîãî ðàñøè-
ðåííûì (ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíûì) óïîðÿäî÷èâàþùèì êîíóñîì îêàçûâàþòñÿ ïà-
ðåòî-îïòèìàëüíûìè ðåøåíèÿìè èñõîäíîé çàäà÷è äàæå ïðè íàëè÷èè äîñòàòî÷íî
ìàëûõ îøèáîê â èñõîäíûõ äàííûõ.
Ñôîðìóëèðóåì ðÿä òåîðåì, õàðàêòåðèçóþùèõ çàêîíîìåðíîñòè èçìåíåíèÿ
ñâîéñòâ âîçìóùåííûõ óïîðÿäî÷èâàþùèõ êîíóñîâ è èõ ïîäìíîæåñòâ ïðè èçìåíå-
íèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �R 1. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò èñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðàçðàáîòêå òåîðèè êîððåêòíîñòè îïòèìèçàöèîííûõ ìíîãîêðè-
òåðèàëüíûõ çàäà÷ âèäà (1), â òîì ÷èñëå çàäà÷ ïîëíîñòüþ è ÷àñòè÷íî
öåëî÷èñëåííîé îïòèìèçàöèè.
Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �1ìîæíî ðàñ-
ñìàòðèâàòü êàê íåêèé ïîðîã, ïðè êîòîðîì âåêòîð âîçìóùåíèé u K� * , îïðåäåëåí-
íûé ïî ôîðìóëå (4), ñóùåñòâåííî èçìåíÿåò ñâîéñòâà âîçìóùåííûõ óïîðÿäî÷èâà-
þùèõ êîíóñîâ K � , ìåíÿÿ â ñâÿçè ñ ýòèì òàêæå îñîáåííîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ
âîçìóùåííûõ çàäà÷ Z M C X( ( , ))� . Cïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1 [10]. Åñëè �� 1, òî K x R u xn� � �
� �{ }| , 0 . Åñëè � �1, òî
K x R u xn� � �
� �{ }| , 0 .
Äàííàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì âàæíîãî ñâîéñòâà, êîòîðûì îáëàäàåò
âåêòîð âîçìóùåíèé u ri K� * , óäîâëåòâîðÿþùèé ôîðìóëàì (4): ïðè ëþáîì çíà÷å-
íèè ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �R 1 âåêòîð ( )1
� u, ëåæàùèé íà îäíîé ïðÿìîé
ñ âåêòîðîì âîçìóùåíèé u , âñåãäà íàõîäèòñÿ â îòíîñèòåëüíîé âíóòðåííîñòè êîíó-
ñà, äâîéñòâåííîãî ê âîçìóùåííîìó êîíóñó K x R c x in
i
� �� �
� � �{ }| , , , ...,0 1 � ,
ãäå âåêòîðû ci
� , i �{ }1, ..., � , îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ôîðìóëå (3). Òàêèì îáðàçîì,
� �
� �
�
�� � � � �R u c K
k
k k
1
1
1: ( ) ( )*
�
. (5)
Çíàê ÷èñëà ( )1
� , ìåíÿþùèéñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïî-
ðîãîâîå çíà÷åíèå � �1, îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå âåêòîðà ( )1
� u, êîòîðîå ëèáî
ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà u (ïðè �� 1), ëèáî ïðîòèâîïîëîæíî åìó
(ïðè � �1). Âûáðàâ ëþáóþ òî÷êó x K� � , ãäå � �R 1, è âîñïîëüçîâàâøèñü ôîð-
ìóëîé (2) äëÿ äâîéñòâåííîãî êîíóñà, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó ( ) ,1 0
� �� u x .
Àíàëèç ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ � ïðèâîäèò ê òåîðåìå 1.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå îïèñàííûõ íèæå ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ñâîéñòâ
ìíîæåñòâ { }K R� �| � 1 , { }K R
0
1� �| � , { }K R
1
1� �| � , { }K R
2
1� �| � ìû îïèðàëèñü íà
ëåììó î òîì, ÷òî ìíîæåñòâî K0 âñåõ íàïðàâëåíèé ðàâíîâåñèÿ èñõîäíîé çàäà÷è
Z M C X( ( , )) ïðèíàäëåæèò ãèïåðïëîñêîñòè { }x R u xn�
� �| , 0 , ðàçäåëÿþùåé
(â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1) äâå ñîâîêóïíîñòè âîçìóùåííûõ êîíóñîâ:
{ }K � �| � 1 è { }K � �| �1 .
Ëåììà. K x R u x Kn
� { }�
� � �| , 0 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàïðàâëåíèÿ y K� �
� { }x R u xn�
� �| , 0 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
� � �c y kk , , , ...,0 1 � , è
� �u y,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 73
� �
� �
� �
� �� �k k
k
k k
k
c y c y
1 1
0
� �
, , , îòêóäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâ �k � 0 ( , )k �1 � �
ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî Cy � 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, y K� 0 . Âûáðàâ ïðîèçâîëüíî
òî÷êó z K� 0 , ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâàì
� �
� �
�
�u z c zk k
k
, ,�
1
0
�
.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u K� * è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (2) èìååò
ìåñòî íåðàâåíñòâî
� �u x, 0 äëÿ âñåõ x K� , ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì òàêîå ñëåä-
ñòâèå äàííîé ëåììû.
Ñëåäñòâèå. K x R u x K Kn
� �{ | ,�
� � �0 1 2} .
Òåîðåìà 2 [8]. � � �� �R K K1
0 0
: .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ ó÷åòîì ëåììû äëÿ ëþáîé òî÷êè x K� 0 ïðè ïðîèçâîëü-
íîì çíà÷åíèè � �R 1 ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ
� �
�
� �c x c x u xi i
� �, , , 0
( , ..., )i �1 � , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x K�
0
� .
Òåîðåìà 3. � � �
� � �� �R K x R u x Kn1
00: | ,� { } .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó y K� �
�
� { }x R u xn�
� �| , 0 , ãäå � �R 1. Î÷åâèäíî, äëÿ òî÷êè y ïðè ëþáîì k �{ }1, ..., �
ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ 0 �
� �
� �
�c y c u y c y
k k k
� �, , , , îòêóäà ñëåäóåò
ïðèíàäëåæíîñòü y K� . Ñ ó÷åòîì ëåììû óòî÷íÿåì, ÷òî y K� 0 . Ïðèíèìàÿ âî âíè-
ìàíèå òåîðåìó 2 è ëåììó, ïðèõîäèì òàêæå ê âêëþ÷åíèÿì K K0 0
� �
�
� �{ } { }x R u x K x R u xn n�
� � � �
� �| , | ,0 0� , ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáîãî çíà-
÷åíèÿ � �R 1.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû,
ðåçóëüòàò, ïðèâåäåííûé â òåîðåìå 2, áûë óòî÷íåí.
Òåîðåìà 4 [9]. � � �� �R K K1
0 0
1\ :{ } .
Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (5) âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà
âûâîäîâ äëÿ ëþáîé òî÷êè x K�
0
� ïðè � �1:
� � � �
� �
� � �
�
�c x i u x c xi k k
k
� �� �, ( , ..., ) ( ) , ,0 1 1 0
1
�
�
u x, � � �0
� �i 1, ..., :�
� �
�
� �
�
� �
� � �c x c x c x c x c u x u xi i i i i, , , , , ,� � � 0 x K� 0 .
Î÷åâèäíûì ÿâëÿåòñÿ òàêîå ñëåäñòâèå òåîðåì 3 è 4.
Ñëåäñòâèå. � � �
� � �� � �R K x R u x Kn1
0
1 0\ : | ,{ } { }� .
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî íàïðàâëåíèé ðàâíîâåñèÿ èñõîäíîé çàäà÷è íå èçìå-
íÿåòñÿ ïðè âîçìóùåíèè åå èñõîäíûõ äàííûõ, åñëè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé
îòëè÷íû îò åäèíèöû. Äàííûé âûâîä ñ ó÷åòîì òåîðåìû 1 ïðèâîäèò íàñ ê ñëåäóþùå-
ìó íèæå óòâåðæäåíèþ, êîòîðîå îáîáùàåò ñëåäñòâèå 1 òåîðåìû 1 è óêàçûâàåò íà òî,
÷òî çà èñêëþ÷åíèåì íàïðàâëåíèé ðàâíîâåñèÿ âñå îñòàëüíûå ïåðñïåêòèâíûå íà-
ïðàâëåíèÿ çàäà÷è Z M C X( ( , ))� ïðè � �1 ëåæàò â îäíîì èç îòêðûòûõ ïîëóïðîñò-
ðàíñòâ: { }x R u xn�
� �| , 0 ïðè �� 1 è { }x R u xn�
� �| , 0 ïðè � �1.
Òåîðåìà 5. � � � � �
� �� � � �1 0
1 2
: | ,K K K x R u xn
� { }; � � �� � �1
1 2
: K K�
� �
� �K x R u xn�
� { }| , 0 .
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Îïèðàÿñü íà òåîðåìó 5, äîêàæåì ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ, õàðàêòåðèçóþ-
ùèå ìîíîòîííîñòü, ïðèñóùóþ èçìåíåíèÿì îòäåëüíûõ ïîäìíîæåñòâ âîçìóùåí-
íûõ óïîðÿäî÷èâàþùèõ êîíóñîâ çàäà÷è (1) ïðè èçìåíåíèÿõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
âîçìóùåíèé � â ñëó÷àå, êîãäà � �1.
Òåîðåìà 6. � � �� � �� �� �� � � � � � �, ( ) :1
1 2 1
K K K' ' ''
� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì çíà÷åíèÿ �� è ��� ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé �, êîòî-
ðûå ñâÿçàíû ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè 1� �� ��� � . Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáîãî íàïðàâëå-
íèÿ x K K�
1 2
� �' '
� âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
� �c x
k
� ', 0 , k �1, ..., � , à â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé 5 è íåðàâåíñòâî
� �u x, 0 . Ó÷èòûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà è èñïîëüçóÿ ñî-
îòíîøåíèÿ
� �
�� � �
�
��
� � �
�
�
c x c u x c x u x u x u
k k k
� � � � �'', , , , , , x � �
�
�
�
� � �
��
� �
� � �
��
c x u x u x c x uk k
, , ( ) , , ( ) ,� � � � �� ' x k� �, , ...,1 � ,
äëÿ îöåíêè âåëè÷èíû
�c x
k
� '', , ïðèõîäèì ê âûâîäó î ñïðàâåäëèâîñòè ñòðîãîãî
íåðàâåíñòâà
� �c x
k
� '', 0 äëÿ ëþáîãî k �1, ..., �, ÷òî è îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü
x K�
1
� '' .
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 7. � � �� �� ��� �� � � � � � �, ( ) :1
1 2 1
K K K'' '' '
� .
Î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì òåîðåì 4, 6 è 7 ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ îáîáùàþùàÿ òå-
îðåìà, îïèñûâàþùàÿ ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè, êîòîðûì îáëàäàþò ðàññìàòðèâàå-
ìûå çäåñü ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âîçìóùåííûå óïîðÿäî÷èâàþùèå êîíóñû ïðè
� �1 è êîòîðîå ñîñòîèò â ïîñòåïåííîì ðàñøèðåíèè ýòèõ êîíóñîâ â äâóõ ñëó÷àÿõ:
1) ïðè âîçðàñòàíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðà � îò 1 äî � � ; 2) ïðè óìåíüøåíèè
çíà÷åíèé ïàðàìåòðà � îò 1 äî
� .
Òåîðåìà 8. � � �� � � � �� �� � � � � � � �, ( :1 0 1K K K' '' ''
� ; � � �� � � �� �� � � �, ( ) :1 K K K� � �'' '� 0 1
' .�
Ñëåäñòâèå [10]. � � �� � � � �� �� � � � � �, ( ) :1 K K' '' ; � � �� � � �� � �� � � � � �, ( ) :1 K K'' ' .
Ðàññìîòðèì âîçìóùåííûé óïîðÿäî÷èâàþùèé êîíóñ K � çàäà÷è (1) â ñëó÷àå,
êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �1.
Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 9 [9]. K K
0
1 1� .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî K K1
0
1� .
Äëÿ ýòîãî ïðîèçâîëüíî âûáåðåì òî÷êó x èç K 1. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (5) äëÿ íåå ñïðà-
âåäëèâû ðàâåíñòâà � �k k
k
c x u x1
1
1 0, ( ) ,
�
� �
� �
�
, îòêóäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå,
÷òî � �
� � �k c x
k k{ }1 0 01, ..., : , ,� � , çàêëþ÷àåì, ÷òî � �
� �k c x
k
{ }1 01, ..., : ,�
è, ñëåäîâàòåëüíî, x K�
0
1.
 äàëüíåéøåì ïîíàäîáèòñÿ òàêîå î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå òåîðåìû 9.
Ñëåäñòâèå. � �
�z K z K1 1: ( ) .
Íàïîìíèì, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå 2 K K0 0
1� . Îäíàêî ðàâåíñòâî K K0 0
� � ,
î êîòîðîì èäåò ðå÷ü â òåîðåìå 4 äëÿ ñëó÷àÿ � �1, íå îáÿçàòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ ïðè
� �1, òàê êàê âîçìîæíî, ÷òî K K
0
1
0\ � �. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 3, ïîñëåäíåå íåðàâåí-
ñòâî îçíà÷àåò, ÷òî íå âñå òî÷êè ìíîæåñòâà K K1
0
1� (ñì. òåîðåìó 9) ïðèíàäëåæàò ãè-
ïåðïëîñêîñòè { }x R u xn�
� �| , 0 : K K x R u x x R u xn n1
0 0 0\ | , | ,� �
� � �
� �{ } { }� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 75
 äîïîëíåíèå ê òåîðåìàì 4, 6–8, õàðàêòåðèçóþùèì ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè,
ïðèñóùåå âîçìóùåííûì óïîðÿäî÷èâàþùèì êîíóñàì çàäà÷è (1) ïðè çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �1, ïðåäëàãàåì åùå äâå òåîðåìû, â êîòîðûõ â ðàññìîò-
ðåíèå ââîäèòñÿ òàêæå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �1, äîïîëíÿÿ òåì ñà-
ìûì îïèñàíèå âçàèìîñâÿçåé ìåæäó ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà { }K R� �| � 1 .
Òåîðåìà 10. �
� � � �
� � �� � �( ) : | ,1 01
1
K x R u x Kn
� { } .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó y K x R u xn� �
� �1 0� { }| , .
Äëÿ íåå ñ ó÷åòîì òåîðåìû 9 èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ � �k 1, ..., :�
0 1�
� �
�c y c u yk k, , è, ñëåäîâàòåëüíî,
� �
� �c y u yk , , 0. Âûáåðåì çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � â èíòåðâàëå ( , )
� 1 è äëÿ ëþáîãî k �{ }1, ..., � îöå-
íèì âåëè÷èíó
�c y
k
� , :
� �
� �
�
� �
�
� �c y c u y c y u y u y u y
k k k
� � � �, , , , , ,
�
� �( ) ,1 0� u y . Òàêèì îáðàçîì, � �
� �� �( , ) :1
1
y K .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü è ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 11. � � � � � �
� � �� � �( ) : | ,1 01
1
K x R u x Kn
� { } .
Àíàëèçèðóÿ ïðèâåäåííûå âûøå ðåçóëüòàòû, îïèñûâàþùèå ñòðóêòóðó âñåé
ñîâîêóïíîñòè âîçìóùåííûõ óïîðÿäî÷èâàþùèõ êîíóñîâ çàäà÷è (1) ïðè âñåâîç-
ìîæíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé � �R 1, ïðèõîäèì òàêæå ê ñëåäóþùèì
âûâîäàì, äîïîëíÿþùèì ýòî îïèñàíèå.
Èç òåîðåì 1 è 3 âûòåêàåò óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 1. � � �� �� � �� �� � � � � �, ( ) :1 0K K K' ''
� .
Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ìíîæåñòâà íàïðàâëåíèé ðàâíîâå-
ñèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ñ àíàëîãè÷íûì ìíîæåñòâîì âîçìóùåííîé çàäà÷è ïðè � �1.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè � � �� �1 0: K K , òî K K1
0� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèÿ � � �� �1 0: K K èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî K K1
0� . Ñ ó÷åòîì âêëþ÷åíèÿ
K K0
1� , âûòåêàþùåãî èç òåîðåìû 2, ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
K K1
0\ � �. Ñ ó÷åòîì òåîðåìû 3 ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî K K1
0\ �
� �
� � �
� �{ } { }x R u x x R u xn n| , | ,0 0� . Âûáåðåì òî÷êó y K K� 1
0\ , óäîâëåò-
âîðÿþùóþ ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: åñëè �� 1, òî y x R u xn� �
� �{ }| , 0 , åñëè æå
� �1, òî y x R u xn� �
� �{ }| , 0 . Ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ 4 òàêîé âûáîð âñåãäà âîçìî-
æåí. Îäíàêî â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìàìè 10 è 11 òî÷êà y ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó
K
1
� , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ óòâåðæäåíèÿ 2. Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîì òåîðåìû 4
ñîãëàñíî ýòîìó óñëîâèþ èìååì K K� ��
0
, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî K
1
� � � .
Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñîâïàäåíèÿ ìíîæåñòâà íàïðàâëåíèé
ðàâíîâåñèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ñ âîçìóùåííûìè óïîðÿäî÷èâàþùèìè êîíóñàìè.
Óòâåðæäåíèå 3. Åñëè � �� �� �1 0: 'K K , òî � � � �� � �[ , ] :1 0K K .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü � �� �� �1 0: 'K K . Âûáåðåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âîç-
ìóùåíèé �, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì �� �� � 1.  ýòîì ñëó÷àå, ïðèâëåêàÿ
ñëåäñòâèå 3, ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè âêëþ÷åíèÿ K K K� �� �'
0 . Èíà÷å ñ ó÷åòîì
òåîðåìû 4 çàêëþ÷àåì, ÷òî K K K0 0
� �� � . Ñëåäîâàòåëüíî, � � � �� � �[ , ) :1 0K K .
Êðîìå òîãî, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2 K K1
0� .
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü òàêîå óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 4. Åñëè � � � �� �1 0: K K' , òî � � � �� � �[ , ] :1 0K K .
76 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Óòâåðæäåíèå 5.
�� �
� �
� �
�
�
1
1 0� �K K x R u xn{ }| , .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñ îäíîé ñòîðîíû, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1 èìååì
�� �
� �
� �
�
�
1
0� K x R u xn{ }| , , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
�� �
�
�
�
1
1
� �K K
� { }x R u xn�
� �| , 0 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó÷èòûâàÿ òåîðåìû 3 è 10, èìåþò ìåñòî
âêëþ÷åíèÿ K x R u x K K Kn1
0 1
0� �{ }�
� � � �| , � � äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïàðàìåò-
ðà � èç èíòåðâàëà ( , )
� 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, K x R u x Kn1
1
0� �{ }�
� � �
�� �
| ,
�
� ,
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ òåîðåìû 3 è 11, ìîæíî äîêàçàòü òàêîå
óòâåðæäåíèå.
Óòâåðæäåíèå 6.
1
1 0
� ���
� �
� �
�
�
� �K K x R u xn{ }| , .
Àíàëèçèðóÿ óòâåðæäåíèÿ 5 è 6 è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òåîðåìó 3, ïðèõî-
äèì ê òàêîìó âûâîäó.
Óòâåðæäåíèå 7 [10].
�
�
�
�
R
K K
1
0� .
Èññëåäîâàíî âëèÿíèå âîçìóùåíèé â èñõîäíûõ äàííûõ íà ðåøåíèå âåêòîð-
íîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñ ëèíåéíûìè êðèòåðèÿìè. Ïðîâåäåí àíàëèç ñâîéñòâ âîç-
ìóùåííûõ êîíóñîâ, ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷èâàþùèõ ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøå-
íèé çàäà÷è îòíîñèòåëüíî âåêòîðíîãî êðèòåðèÿ. Èçó÷åíà ñòðóêòóðà âñåé ñîâîêóï-
íîñòè ñïåöèàëüíûì îáðàçîì âîçìóùåííûõ óïîðÿäî÷èâàþùèõ êîíóñîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà âîçìóùåíèé èñõîäíûõ äàí-
íûõ çàäà÷è. Èçëîæåííûå ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ïîçâîëÿþò ñó-
ùåñòâåííî ðàñøèðèòü ïðåäñòàâëåíèå î ñâîéñòâàõ è ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà ñïåöè-
àëüíûì îáðàçîì âîçìóùåííûõ êîíóñîâ, óïîðÿäî÷èâàþùèõ ìíîæåñòâà äîïóñòè-
ìûõ ðåøåíèé âåêòîðíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Í î ã è í Â . Ä . Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëü-
íûõ çàäà÷. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 256 ñ.
2. S m a l e S . Global analysis and economics, V. Pareto theory with constraints // J. Math. Econ. —
1974. — N 1. — P. 213–221.
3. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Âûïóêëûé àíàëèç . — Ì.: Ìèð, 1973. — 470 ñ.
4. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . , Ä à í è ë è í Þ . Ì . ×èñëåííûå ìåòîäû â ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷àõ. —
Ì.: Íàóêà, 1975. — 320 ñ.
5. Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ë å á å ä å â à Ò . Ò . , Ñ å ð ã è å í ê î Ò . È . Çàäà÷à ÷àñòè÷íî öåëî÷èñëåí-
íîé âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè: âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè // Êèáåðíåòèêà. — 1991. — ¹ 1. — Ñ. 58–61.
6. Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ë å á å ä å â à Ò . Ò . , Ñ å ð ã è å í ê î Ò . È . Î ðåãóëÿðèçàöèè çàäà÷ öå-
ëî÷èñëåííîé âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1993. — ¹ 3. —
Ñ. 172–176.
7. Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . Çàäà÷è âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè: óñòîé÷èâîñòü, â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé
è â ïðîñòðàíñòâå àëüòåðíàòèâ // Òàì æå. — 1994. — ¹ 6. — C. 122–133.
8. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ë å á å ä å â à Ò . Ò . Èññëåäîâàíèå óñòîé÷è-
âîñòè è ïàðàìåòðè÷åñêèé àíàëèç äèñêðåòíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà,
1995. — 170 ñ.
9. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ê î í î í î â à À . À . Óñòîé÷èâîñòü è íåîãðàíè-
÷åííîñòü çàäà÷ âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé. àíàëèç. — 1997. — ¹ 1.
— C. 3–10.
10. K o z e r a t s k a L . , F o r b e s J . F . , G o e b e l R . J . , K r e s t a J . V . Perturbed cones for ana-
lysis of uncertain multi-criteria optimization problems // Linear Algebra and its Appl. — 2004. —
378. — P. 203–229.
Ïîñòóïèëà 24.02.2014
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 77
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124697 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T19:45:13Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. 2017-10-02T18:29:39Z 2017-10-02T18:29:39Z 2014 Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 71-77. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124697 519.8 Исследовано влияние возмущений в исходных данных на решения векторной задачи оптимизации со многими линейными критериями. Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возмущенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям параметра возмущений исходных данных задачи. Досліджено вплив збурень у вхідних даних на розв'язки векторної оптимізаційної задачі з багатьма лінійними критеріями. Проведено аналіз властивостей збурених конусів, що частково впорядковують множину допустимих розв'язків задачі векторної оптимізації відносно лінійних цільових функцій. Вивчено структуру всієї сукупності спеціальним чином збурених упорядковуючих конусів, що відповідають різним значенням параметра збурень вхідних даних задачі. The influence of perturbations of the initial data on the solutions of multicriteria optimization problems is considered. The properties of perturbed cones, which partially order the feasible domain of the vector optimization problem with respect to the linear objective functions are analyzed. The structure of the set of specific perturbed ordering cones with different values of the parameter of perturbations of initial data is investigated. Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (проект Ф54.1/039). ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи Властивості збурених конусів, упорядковуючих множину допустимих розв язків векторної оптимізаційної задачі Properties of perturbed cones that order the feasible domain of vector optimization problem Article published earlier |
| spellingShingle | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. Системный анализ |
| title | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| title_alt | Властивості збурених конусів, упорядковуючих множину допустимих розв язків векторної оптимізаційної задачі Properties of perturbed cones that order the feasible domain of vector optimization problem |
| title_full | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| title_fullStr | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| title_full_unstemmed | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| title_short | Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| title_sort | свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124697 |
| work_keys_str_mv | AT lebedevatt svoistvavozmuŝennyhkonusovuporâdočivaûŝihmnožestvodopustimyhrešeniivektornoioptimizacionnoizadači AT semenovanv svoistvavozmuŝennyhkonusovuporâdočivaûŝihmnožestvodopustimyhrešeniivektornoioptimizacionnoizadači AT sergienkoti svoistvavozmuŝennyhkonusovuporâdočivaûŝihmnožestvodopustimyhrešeniivektornoioptimizacionnoizadači AT lebedevatt vlastivostízburenihkonusívuporâdkovuûčihmnožinudopustimihrozvâzkívvektornoíoptimízacíinoízadačí AT semenovanv vlastivostízburenihkonusívuporâdkovuûčihmnožinudopustimihrozvâzkívvektornoíoptimízacíinoízadačí AT sergienkoti vlastivostízburenihkonusívuporâdkovuûčihmnožinudopustimihrozvâzkívvektornoíoptimízacíinoízadačí AT lebedevatt propertiesofperturbedconesthatorderthefeasibledomainofvectoroptimizationproblem AT semenovanv propertiesofperturbedconesthatorderthefeasibledomainofvectoroptimizationproblem AT sergienkoti propertiesofperturbedconesthatorderthefeasibledomainofvectoroptimizationproblem |