Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск
Изучены проблемы поиска оптимальных портфельных решений по соотношению вознаграждение риск в условиях риска и частичной неопределенности. Показано, каким образом подобные проблемы сводятся к задачам линейного программирования как для случая известных распределений случайных величин, так и для случая...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 85-103. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124699 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1246992025-02-23T20:26:12Z Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск Поліедральні когерентні міри ризику і оптимальні портфелі за співвідношенням винагорода-ризик Polyhedral coherent risk measures and optimal portfolios on the reward–-risk ratio Кирилюк, В.С. Системный анализ Изучены проблемы поиска оптимальных портфельных решений по соотношению вознаграждение риск в условиях риска и частичной неопределенности. Показано, каким образом подобные проблемы сводятся к задачам линейного программирования как для случая известных распределений случайных величин, так и для случая неточных вероятностей сценариев. Рассмотрены примеры применения описанного аппарата. Досліджено проблеми пошуку оптимальних портфельних рішень за співвідношенням винагорода ризик в умовах ризику і часткової невизначеності. Показано, яким чином подібні проблеми зводяться до задач лінійного програмування як у випадку відомих розподілів випадкових величин, так і у випадку неточних ймовірностей сценаріїв. Розглянуто набір прикладів застосування. The problems of finding the optimal portfolio decisions on the reward–risk ratio under conditions of risk and partial uncertainty are analyzed. It is shown how such problems can be reduced to linear programming problems, both in the case of known distributions of random variables and in the case of imprecise probabilities of scenarios. A set of application examples is considered. Работа выполнена при частичной поддержке Международного проекта в рамках сотрудничества с Международным институтом системного анализа (IIASA), распоряжение Президиума НАН Украины № 212 от 28.02.2012. 2014 Article Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 85-103. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124699 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Кирилюк, В.С. Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск Кибернетика и системный анализ |
| description |
Изучены проблемы поиска оптимальных портфельных решений по соотношению вознаграждение риск в условиях риска и частичной неопределенности. Показано, каким образом подобные проблемы сводятся к задачам линейного программирования как для случая известных распределений случайных величин, так и для случая неточных вероятностей сценариев. Рассмотрены примеры применения описанного аппарата. |
| format |
Article |
| author |
Кирилюк, В.С. |
| author_facet |
Кирилюк, В.С. |
| author_sort |
Кирилюк, В.С. |
| title |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| title_short |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| title_full |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| title_fullStr |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| title_full_unstemmed |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| title_sort |
полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124699 |
| citation_txt |
Полиэдральные когерентные меры риска и оптимальные портфели по соотношению вознаграждение–риск / В.С. Кирилюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 85-103. — Бібліогр.: 31 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kirilûkvs poliédralʹnyekogerentnyemeryriskaioptimalʹnyeportfeliposootnošeniûvoznagraždenierisk AT kirilûkvs políedralʹníkogerentnímíririzikuíoptimalʹníportfelízaspívvídnošennâmvinagorodarizik AT kirilûkvs polyhedralcoherentriskmeasuresandoptimalportfoliosontherewardriskratio |
| first_indexed |
2025-11-25T04:28:19Z |
| last_indexed |
2025-11-25T04:28:19Z |
| _version_ |
1849735159099686912 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Â.Ñ. ÊÈÐÈËÞÊ
ÏÎËÈÝÄÐÀËÜÍÛÅ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÅ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ
È ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÏÎÐÒÔÅËÈ ÏÎ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÞ
ÂÎÇÍÀÃÐÀÆÄÅÍÈÅ–ÐÈÑÊ
1
Àííîòàöèÿ. Èçó÷åíû ïðîáëåìû ïîèñêà îïòèìàëüíûõ ïîðòôåëüíûõ ðåøåíèé ïî ñîîòíî-
øåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê â óñëîâèÿõ ðèñêà è ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè. Ïîêàçàíî,
êàêèì îáðàçîì ïîäîáíûå ïðîáëåìû ñâîäÿòñÿ ê çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ êàê
äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òàê è äëÿ ñëó÷àÿ íåòî÷íûõ âå-
ðîÿòíîñòåé ñöåíàðèåâ. Ðàññìîòðåíû ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîãî àïïàðàòà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïîëèýäðàëüíàÿ êîãåðåíòíàÿ ìåðà ðèñêà, óñëîâíûé VaR, ñïåêòðàëüíàÿ
ìåðà ðèñêà, îïòèìèçàöèÿ ïîðòôåëÿ, ñîîòíîøåíèå âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê, ìåðà ýôôåêòèâíîñòè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 äàííîé ðàáîòå ñäåëàíà ïîïûòêà ñèñòåìàòèçèðîâàòü ïîäõîäû ê ïðèíÿòèþ ðå-
øåíèé ïî ñîîòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê â óñëîâèÿõ ðèñêà è íåîïðåäå-
ëåííîñòè. Ïîä óñëîâèÿìè ðèñêà ïîíèìàåòñÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà ëèöî, ïðèíèìàþ-
ùåå ðåøåíèÿ (ËÏÐ), çíàåò âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
(ñ.â.), âëèÿþùèõ íà âûáîð ðåøåíèÿ. Óñëîâèÿ ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè
ïîäðàçóìåâàþò íåïîëíóþ èíôîðìàöèþ î òàêèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ, íàïðèìåð,
â ñëó÷àå íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé ðàçâèòèå áóäóùèõ ñîáûòèé îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì
àëüòåðíàòèâíûõ ñöåíàðèåâ ñ ïîñöåíàðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâó-
þùèõ ñ.â., òèïè÷íà. Îäíàêî òî÷íî èäåíòèôèöèðîâàòü âåðîÿòíîñòè ñöåíàðèåâ
(îñîáåííî ìàëûå) äîñòàòî÷íî ñëîæíî. Çà÷àñòóþ èõ ìîæíî ëèøü îöåíèòü, íàïðè-
ìåð, ñâåðõó è ñíèçó. Åñëè âåðîÿòíîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. èçâåñòíû, òî ðåøå-
íèÿ ïðèíèìàþòñÿ ñ ó÷åòîì ýòîé èíôîðìàöèè. Åñëè äîñòóïíû òîëüêî íåêîòîðûå
îöåíêè ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé, òî åñòåñòâåííî ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ, èñõîäÿ èç
ðîáàñòíûõ ïîñòàíîâîê çàäà÷, ó÷èòûâàþùèõ ïîäîáíûå îáñòîÿòåëüñòâà.
 ñòîõàñòè÷åñêîì ïðîãðàììèðîâàíèè äàâíî èçâåñòåí ìèíèìàêñíûé (ðî-
áàñòíûé) ïîäõîä ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèé, çàêëþ÷àþùèéñÿ â èñïîëüçîâàíèè íàè-
õóäøåãî ñðåäíåãî îæèäàíèÿ ïî íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó ðàñïðåäåëåíèé [1]. Òàêîå
ìíîæåñòâî ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü íåîïðåäåëåííîñòü, îáóñëîâëåííóþ íåïîëíîòîé
èíôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè ñ.â., êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü çíà÷èòåëüíî
øèðå [2–4], ÷åì íåòî÷íûìè îöåíêàìè ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé (íàïðèìåð, èçâåñòíû
òîëüêî íåêîòîðûå ìîìåíòû ñ.â. [2]).
 ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ìåð ðèñêà èñïîëüçóåòñÿ ïîäõîä, îòëè÷àþùèéñÿ ëèøü
îáîñíîâàíèåì ïîäîáíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé. Åñëè èçâåñòíî ðàñïðåäå-
ëåíèå ñ.â., ïî íåìó èñêóññòâåííî ñòðîèòñÿ ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, íàè-
õóäøåå ñðåäíåå îæèäàíèå ïî êîòîðîìó èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ðèñêà. Â çàâèñè-
ìîñòè îò êîíñòðóêöèè ýòîãî ìíîæåñòâà ïîëó÷àåòñÿ òà èëè èíàÿ ìåðà ðèñêà, èñ-
ïîëüçóåìàÿ â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ âûáîðà ðåøåíèé. Ìîòèâèðîâàöèåé òàêîãî
ïîñòðîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íå íåïîëíîòà èíôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè, à æåëàíèå ïî-
ëó÷èòü áîëåå íàäåæíûå (ðîáàñòíûå) ðåøåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìè, êîòîðûå
îáóñëîâëåíû îöåíêîé ðèñêà ñ ïîìîùüþ ñðåäíèõ çíà÷åíèé ñ.â.
Åñëè èíôîðìàöèÿ î ðàñïðåäåëåíèè ñîäåðæèò íåîïðåäåëåííîñòü, òî îíà äî-
ïîëíèòåëüíî ó÷èòûâàåòñÿ â êîíñòðóêöèè óïîìÿíóòîãî ìíîæåñòâà âåðîÿòíîñòíûõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 85
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå Ìåæäóíàðîäíîãî ïðîåêòà â ðàìêàõ ñî-
òðóäíè÷åñòâà ñ Ìåæäóíàðîäíûì èíñòèòóòîì ñèñòåìíîãî àíàëèçà (IIASA), ðàñïîðÿæå-
íèå Ïðåçèäèóìà ÍÀÍ Óêðàèíû ¹ 212 îò 28.02.2012.
� Â.Ñ. Êèðèëþê, 2014
ìåð ïðè ïîñòðîåíèè ìåðû ðèñêà. ×òîáû íå âûõîäèòü çà ðàìêè ìàòåìàòè÷åñêîãî
àïïàðàòà äëÿ ìåð ðèñêà, ïðèìåíÿåìîãî ïðè èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ñ.â.,
èçó÷èì ïðè ó÷åòå ïîäîáíîé íåîïðåäåëåííîñòè òîëüêî ñëó÷àé íåòî÷íûõ
ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ïðè èçëîæåíèè îãðàíè÷èìñÿ òàêæå ñëó÷àåì êîíå÷íûõ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ
ñ.â., êîòîðûé ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ïîñòàíîâêè è ìåòîäû ðåøåíèÿ ôîðìóëèðóåìûõ çà-
äà÷ ñ ïîìîùüþ äîñòàòî÷íî ïðîñòîãî àïïàðàòà ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
 ðàáîòå ðàññìîòðåí àïïàðàò ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà
(ÏÊÌÐ), êîòîðûé çàòåì èñïîëüçóåòñÿ â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ êàê ïî
ñîîòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê (îïòèìèçàöèè îäíîãî êðèòåðèÿ ïðè îãðàíè-
÷åíèÿõ íà äðóãîé), òàê è ïî îòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê (îïòèìèçàöèè âîç-
íàãðàæäåíèÿ íà åäèíèöó ðèñêà). Ñôîðìóëèðîâàíû òåîðåìû, ïîçâîëÿþùèå ñâî-
äèòü òàêèå ïðîáëåìû ê ñîîòâåòñòâóþùèì çàäà÷àì ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
(ËÏ) êàê äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ.â., òàê è ïðè íåòî÷íûõ
ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ.
1. ÏÎËÈÝÄÐÀËÜÍÛÅ ÊÎÃÅÐÅÍÒÍÛÅ ÌÅÐÛ ÐÈÑÊÀ
1.1. Ñëó÷àé èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü íà âåðî-
ÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� � P0 çàäàíà ñ.â. X R(. ):� � , îïèñûâàþùàÿ íå-
êèé ôèíàíñîâûé ïîòîê. Â îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå [5] äëÿ îöåíêè ðèñêà ñ.â.
X ââåäåíî ïîíÿòèå êîãåðåíòíîé ìåðû ðèñêà (ÊÌÐ). Åãî ñìûñë çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ìåðà ðèñêà äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ÷å-
òûðåì àêñèîìàì:
1) � �( ) ( )X a X a� � � — òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíà;
2) � � �( ) ( ) ( )X X X X1 2 1 2� � — ñóáàääèòèâíà;
3) � � �� �( ) ( ),X X�
0, — ïîëîæèòåëüíî îäíîðîäíà;
4) � �( ) ( ),X X X X1 2 1 2
, — ìîíîòîííà.
Çäåñü a — äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà (íàëè÷íûõ äåíåã), êîòîðàÿ ïðè äîáàâ-
ëåíèè ê ôèíàíñîâîìó ïîòîêó óìåíüøàåò íà äàííóþ âåëè÷èíó åãî ìåðó ðèñêà
(ïîòåíöèàëüíûå ïîòåðè), à îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèå äëÿ ñ.â. â ï. 4 ïîíèìàåòñÿ
â ñìûñëå ñòîõàñòè÷åñêîãî äîìèíèðîâàíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà (ïî ðàñïðåäåëåíèþ).
Ôóíêöèè ñ îïèñàííûìè ñâîéñòâàìè íàçâàíû ÊÌÐ. Äîêàçàíî, ÷òî íåîáõîäè-
ìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì âûïîëíåíèÿ ýòèõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå
ïîäîáíîé ìåðû â âèäå
�( ) sup{ [ ] : }X E X P QP� � � , (1)
ãäå EP [. ] — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïî âåðîÿòíîñòíîé ìåðå P, à Q — íåêî-
òîðîå âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. Íåòðóäíî âèäåòü,
÷òî òî÷íîå îïèñàíèå ìíîæåñòâà Q îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ÊÌÐ �(. ).
Òàêàÿ ìåðà ðèñêà îïèñûâàåò äëÿ ñ.â. ôèíàíñîâîãî ïîòîêà X äåòåðìèíèðî-
âàííóþ âåëè÷èíó åãî ïîòåíöèàëüíûõ ïîòåðü. Ýòî íàèìåíüøàÿ âåëè÷èíà (íàëè÷-
íûõ äåíåã), äîáàâëåíèå êîòîðîé ê ïîòîêó X äåëàåò åãî áåçðèñêîâûì.
 ðàáîòàõ [6, 7] ïðåäëîæåíà ìåðà Conditional Value-at-Risk (CVaR):
CVaR X q p dpX�
�
�
( ) ( )�
� �
1
1
1
,
ãäå q z F zX X( ) inf / ( )� ��
{ } — ôóíêöèÿ êâàíòèëÿ, à FX (. ) — ôóíêöèÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñ.â. X .
Ïî ñóòè CVaR� — ñðåäíåå çíà÷åíèå ïî ïðàâîìó ( )1�� -õâîñòó ðàñïðåäåëå-
íèÿ. Ïîñêîëüêó â ïðåäñòàâëåííîì âûøå âèäå CVaR ââîäèëàñü äëÿ îïèñàíèÿ ïî-
òåðü ñ.â. ïîòîêà X , êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ âåëè÷èíîé (– X ), äëÿ ïðèìåíåíèÿ äàí-
íîé ôîðìóëû òàêóþ ìåðó ðèñêà íàäî îáîçíà÷àòü CVaR X� ( )� . Âî èçáåæàíèå ýòî-
ãî â ñòàòüå èñïîëüçóåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå îïðåäåëåíèå èç [8] â âèäå
CVaR X q p dpX�
�
�
( ) ( )� �
�
�
�
1
1
0
1
.
86 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Îòìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà VaR X q X� �( ) ( )� � â ëèòåðàòóðå â îáëàñòè ôèíàí-
ñîâ íàçûâàåòñÿ Value-at-Risk (VaR). Îíà ÿâëÿåòñÿ ïîïóëÿðíîé ìåðîé ðèñêà â òåî-
ðèè ôèíàíñîâ, äàâíî èñïîëüçóåòñÿ è ëåãêî èíòåðïðåòèðóåòñÿ, îäíàêî ïðåíåáðå-
ãàåò óùåðáàìè íà ( )1�� -õâîñòå ðàñïðåäåëåíèÿ è íåñóáàääèòèâíà. Ýòî ñåðüåçíûé
íåäîñòàòîê â ïîðòôåëüíîé îïòèìèçàöèè.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî â òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ
CVaR X VaR X dpp�
�
�
( ) ( )�
�
�
�
1
1
0
1
,
ïîýòîìó îíà èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê èíòåãðàëüíàÿ VaR. Íûíå CVaR — íàèáîëåå
èçâåñòíûé ïðåäñòàâèòåëü êëàññà ÊÌÐ. Îòìåòèì, ÷òî ýòà ìåðà ðèñêà èçâåñòíà
è ïîä äðóãèìè íàçâàíèÿìè: Expected Shortfall [8, 9], Tail VaR [10], Averaged
VaR [11] è äð. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ îíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âàðèàíò äëÿ çàìå-
íû VaR â ôèíàíñîâûõ ïðèëîæåíèÿõ.
Äëÿ êîíå÷íûõ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â. â ðàáîòå [12] ââåäåí, à çàòåì
â [13] ïîäðîáíî èçó÷åí êëàññ ÏÊÌÐ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîäìíîæåñòâîì ÊÌÐ, ó êîòî-
ðûõ â ïðåäñòàâëåíèè (1) ìíîæåñòâî Q èìååò âèä âûïóêëîé îáîëî÷êè êîíå÷íîãî
÷èñëà òî÷åê.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîíå÷íûõ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â., ïðåäñòàâëåí-
íûõ â âèäå âåêòîðîâ çíà÷åíèé x x xn� ( , , )1 � è ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé
p p pn0 1
0 0� ( , , )� . Òîãäà òàêîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Q èìååò âèä
Q p i ki� �co { }: , ,1 � èëè
Q p Bp c p�
{ : , }0 , (2)
ãäå B è c — ìàòðèöà è âåêòîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé.
Ïîñêîëüêó Q — ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, åãî îïèñàíèå â (2) ñîäåðæèò
ñòàíäàðòíîå óñëîâèå pii
n
�
�
1
1
, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî äâóìÿ íåðàâåíñòâàìè:
pii
n
�
1
1
è � �
�
pii
n
1
1
.
Ðàçäåëèì îïèñàíèå ìíîæåñòâà Q â (2) íà ñòàíäàðòíóþ (îáÿçàòåëüíóþ) è ñî-
äåðæàòåëüíóþ ÷àñòè. Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó B è âåêòîð c êàê
B
B
B
c
c
c
�
�
�
��
�
�
�� �
�
�
��
�
�
��
0
1
0
1
, , (3)
ãäå B0 è ñ0 , îïèñûâàþùèå ïðèâåäåííûå âûøå íåðàâåíñòâà, ñòàíäàðòíû:
B c0 0
1 1
1 1
1
1
�
� �
�
�
��
�
�
�� �
�
�
�
��
�
�
��
�
�
, , (4)
à B1 è ñ1 îïèñûâàþò ñîäåðæàòåëüíóþ ÷àñòü â ñîîòíîøåíèè (3), êîòîðàÿ è
îïðåäåëÿåò ìåðó ðèñêà â âèäå ñîîòíîøåíèé (1)–(4).
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èäåíòèôèêàöèè ÏÊÌÐ â ïðåäñòàâëåíèè (1)–(4) äîñòà-
òî÷íî îïèñàòü ìàòðèöó B1 è âåêòîð c1.
Çàìå÷àíèå 1. Îòìåòèì, ÷òî íåçàâèñèìî îò ðàáîò [12, 13] Àéõîðí è Ðåìèø
ïðåäëîæèëè â [14] áëèçêîå îïðåäåëåíèå ïîëèýäðàëüíîé ìåðû ðèñêà, êîòîðîå çà-
òåì ïðèìåíÿëè è ðàçâèâàëè, íàïðèìåð, â [15–17]. Îíè ðàñïðîñòðàíèëè ýòî ïîíÿ-
òèå íà ìíîãîýòàïíûå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [15]. Îïðåäåëå-
íèå ââîäèëîñü èìè êàê íåêîòîðîå îáîáùåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ CVaR èç [6, 7]
â äâîéñòâåííîé ôîðìå, ïîýòîìó èñïîëüçóåìûå â íåì ìíîãîãðàííûå ìíîæåñòâà
ïîïàäàþò â äâîéñòâåííûå êîíå÷íîìåðíûå ïðîñòðàíñòâà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî
ïîçâîëÿåò ðàçðåøèòü òåõíè÷åñêóþ ñòîðîíó ïðîáëåìû ïðè ðàáîòå ñ íåïðåðûâíî
ðàñïðåäåëåííûìè ñ.â. â ïðîñòðàíñòâàõ L Pp ( , , )� � , 1 � �p . Îäíàêî, ïî ìíåíèþ
àâòîðà, îïðåäåëåíèÿ èç [12] âïîëíå äîñòàòî÷íî äëÿ ïðèëîæåíèé, ãäå îáû÷íî èñ-
ïîëüçóþòñÿ äèñêðåòíûå ñ.â., ðàñïðåäåëåííûå íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ñîáûòèé-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 87
ñöåíàðèåâ. Ê òîìó æå îíî ïîçâîëÿåò êîíñòðóèðîâàòü ðàçëè÷íûå ìåðû ðèñêà â èñ-
õîäíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ïåðåõîä ê òàêèì äâîéñòâåííûì ïðåäñòàâëåíèÿì áîëåå
åñòåñòâåíåí ïðè ïðåîáðàçîâàíèè èñõîäíûõ çàäà÷, ÷åì â èõ ïîñòàíîâêàõ.
Êëàññ ÏÊÌÐ äîñòàòî÷íî øèðîê, ïîñêîëüêó îí ñîäåðæèò öåëûé ðÿä èçâåñ-
òíûõ ìåð ðèñêà è èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé âûïóêëîé êîìáèíàöèè,
ôóíêöèé ìàêñèìóìà è èíôèìàëüíîé êîíâîëþöèè [13].
Ïðèìåð 1. Ìåðà CVaR� ÿâëÿåòñÿ ÏÊÌÐ è ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê (1)–(4), ãäå
ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1 èìåþò âèä:
B I1 � , c p1 0
1
1
�
��
, (5)
çäåñü I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, à p0 — âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ïðèìåð 2. Äëÿ íàèõóäøåãî ñëó÷àÿ (ïðè ìàêñèìàëüíûõ óáûòêàõ) Q ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð, ò.å. â îïèñàíèè Q
(3) íå èìååòñÿ ñîäåðæàòåëüíîé ÷àñòè, îïèñàííîé B1 è c1.
Ïðèìåð 3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîòåðü E XP0
[ ]� òàêæå ÿâëÿåòñÿ òðè-
âèàëüíûì ïðèìåðîì ïîäîáíîé ìåðû ðèñêà, äëÿ íåãî ìíîæåñòâî Q p� { }0 ñîäåð-
æèò âñåãî îäíó òî÷êó p0 .
Ïðèìåð 4. Ñïåêòðàëüíàÿ ÊÌÐ M � (. ), êîòîðàÿ ââîäèëàñü â [18] êàê
M X p q p dpX� �( ) ( ) ( )� ��
0
1
, (6)
ãäå ôóíêöèÿ �:[ , ]0 1 � R, íàçâàííàÿ ñïåêòðîì ðèñêà, èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
à) �(. )
0; á) �(. ) — óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ; â) �( )p dp �� 1
0
1
.
Äëÿ äèñêðåòíûõ ñ.â. íà ìíîæåñòâå ñ n ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè-ñöåíàðèÿ-
ìè ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêà M � (. ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå âûïóêëîé êîìáèíàöèè
CVaR� ïðè ðàçëè÷íûõ �:
M X CVaR Xi
i
n
i� ��( ) ( )�
�
1
, 0 1 � i , i n�1, ,� , � i
i
n
�
�
1
1
, (7)
ãäå ìîæíî òî÷íî óêàçàòü ïàðàìåòðû � i , � i , i n�1, ,� .
Óïîðÿäî÷èì ïîñöåíàðíûå çíà÷åíèÿ ñ.â. X â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ, ïåðåíóìåðîâàâ
â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïîðÿäêîì ñöåíàðèè è èõ âåðîÿòíîñòè. Îáîçíà÷èì ïîñëåäíèå
pi
* , i n�1, ,� .
Ïðåäñòàâèì M � (. ) â âèäå âûïóêëîé êîìáèíàöèè VaR� , ò.å.
M X VaR Xi
i
n
i� ��( ) ( )�
�
1
,
ãäå
� i j
j
i
p� �
�
1
1
* , i n�1, ,� ,
(8)
� �1
0
1
� � ( )
*
p dp
p
, � �2
1
1 2
�
�
� ( )
*
* *
p dp
p
p p
, � �i
p p
p p
p dp
i
i
�
� �
� �
�
� ( )
* *
* *
1 1
1
�
�
, i n� �3, , .
Ñðàâíèâàÿ ýòî îïèñàíèå M � (. ) ñ åãî ïðåäñòàâëåíèåì â (7) ïðè � i , i n�1, ,� ,
èç (8), ìîæåì ïåðåñ÷èòàòü � i , i n�1, ,� , èñïîëüçóÿ âåëè÷èíû � i , i n�1, ,� . Íå
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, â ðåçóëüòàòå òàêîãî ïåðåñ÷åòà ïîëó÷àåì
� � �i
i
i
i
i
i
i
p p
p
p
p
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
* *
*
*
*
�
, i n� �1 1, ,� , �
�
n
n
np
�
*
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
� � �1
0
1
2
1
1
1 2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
( ) ( )
*
*
* *
*
*
p dp
p
p
p dp
p
p
p p
, � �n
n p p
p
p dp
n
�
� � �
�
1
1 1
1
*
( )
* *
�
, (9)
� �i
i
i p p
p p
i
i
p p
p
p dp
p
p
i
i
�
� �
�
� �
� �
�
�
�
1
1
1 1
1* *
*
*
( )
* *
* *
�
�
�
*
( )
* *
* *
� p dp
p p
p p
i
i
1
1 1
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, i n� �2 1, , .� (10)
Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî � � �i i
i
n
i
n
p dp� � �
��
�
1 0
1
1
1( ) (ñâîéñòâî ñïåêòðà â)) è
0 1 �� i i n, , ,� (ñâîéñòâà ñïåêòðà à) è á)).
Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêà M � (. ) äëÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåí-
íîé ñ.â. X ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå (7)–(10).
 ñëó÷àå, êîãäà âåðîÿòíîñòè âñåõ ñöåíàðèåâ ðàâíû
1
n
, âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðà-
ìåòðîâ ïðåäñòàâëåíèÿ M � (. ) â (7)–(10) çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ:
� i
i
n
� �1 , i n�1, ,� ,
� � �i
i n
i n
i n
i n
i p dp p dp� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �( ) ( )
( )/
/
/
( )/
1
1
, i n� �1 1, ,� , � �n
n n
n p dp�
�
� ( )
( )/1
1
.
Çàìå÷àíèå 2.  îòëè÷èå îò ïðåäñòàâëåíèÿ ñïåêòðàëüíîé ìåðû ðèñêà M � (. )
â [18], ãäå � îáîçíà÷àåò øèðèíó õâîñòà äëÿ CVaR, â (7)–(10) øèðèíîé õâîñòà ÿâ-
ëÿåòñÿ âåëè÷èíà ( )1�� .
Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ CVaR äëÿ ñ.â. X :
� �i
i
k
CVaR X
i
( )
�
1
, 0 1 � i , i k�1, ,� , � i
i
k
�
�
1
1
. (11)
Óòâåðæäåíèå 1. Âûïóêëàÿ êîìáèíàöèÿ CVaR X
i� ( ) â (11) åñòü CVaR X�*
( ),
ãäå � * îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
1
1 11�
�
��
�
�
�*
i
ii
k
. (12)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì åãî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé îá
îïåðàöèÿõ íàä ïîäîáíûìè âûïóêëûìè ìíîãîãðàííèêàìè. Ðàññìîòðèì ïðåäñòàâ-
ëåíèå CVaR�1
â ôîðìå ÊÏÌÐ (1)–(5), ãäå ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî Q1 èç (1)
îïèñûâàåòñÿ êàê
Q Ip p e p e p Ip1
1
0
1
1
1 1 0�
�
� � � � � � �
�
�
�
�
�
��
, , , , , ,
(13)
èëè â êîìïàêòíîì âèäå
Q Ip p e p1
1
00
1
1
1�
�
� � �
�
�
�
�
�
��
, , ,
ãäå I — òîæäåñòâåííàÿ ìàòðèöà, e � ( , , )1 1� — åäèíè÷íûé âåêòîð.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 89
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà ìåðà ðèñêà èìååò âèä îïîðíîé ôóíêöèè
CVaR X W x x p p QQ�1 1 1( ) ( ) max , :� � � � � � �{ }
âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà Q1, êîòîðûé çàäàí â (13) ñ ïîìîùüþ 2 2n� íîð-
ìàëåé, ïðåäñòàâëåííûõ â ëåâûõ ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâ êîýôôèöèåíòàìè ìàòðèö I è �I ,
à òàêæå åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e è �e.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî Q1 çàäàåòñÿ îäíîçíà÷íî. Èçó÷èì åãî îïîðíóþ
ôóíêöèþ W õ( )� (ïî íàïðàâëåíèþ –õ). Êàê íåòðóäíî âèäåòü,
� � ��1 1 1 11 1
CVaR X W x x p p QQ( ) ( ) max , :� � � � � � � �{ }
� � � � � � � � � � � �max , : max , : ( ){ } { }x p p Q x p p Q W xQ� � �1 1 1 1 1 1
ÿâëÿåòñÿ îïîðíîé ôóíêöèåé ìíîãîãðàííèêà
�
�
�
�1 1
1
1
0 10
1
Q Ip p e p�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
, , , (14)
êîòîðûé ïîëó÷åí óìíîæåíèåì ìíîãîãðàííèêà Q1 íà êîýôôèöèåíò �1.
Àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ ìîæíî ïðîäåëàòü ñ ìíîãîãðàííèêîì Q2 :
�
�
�
�2 2
2
2
0 20
1
Q Ip p e p�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
, , . (15)
Êàê èçâåñòíî èç âûïóêëîãî àíàëèçà (ñì., íàïðèìåð, [19]), ñóììà îïîðíûõ
ôóíêöèé ìíîæåñòâ — îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ñóììû Ìèíêîâñêîãî òàêèõ ìíîæåñòâ, ò.å.
� �� � � � �1 21 2 1 1 2 2 1 1
CVaR X CVaR X W x W x WQ Q Q( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �2 2Q x( )� .
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà (14) è (15) ÿâëÿþòñÿ ïîäîáíûìè âûïóêëûìè ìíî-
ãîãðàííèêàìè, êîòîðûå çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ îäíîãî è òîãî æå ìíîæåñòâà íîðìà-
ëåé, èõ ñóììà Ìèíêîâñêîãî èìååò âèä
� �
�
�
�
�
� �1 1 2 2
1
1
2
1
0 1 20
1 1
Q Q Ip p e p� �
�
�
�
�
�
��
�
�
�� � � � �, ,
�
�
�
�
�
�
.
Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé âûïóêëîé êîìáèíà-
öèè CVaR� , ïîëó÷àåì
� � �
�
i
i
k
Q
Qi
k
CVaR X W x W x
i i i
i i
i
k( ) ( ) ( ) max
� �
� � �
� �
�
1 1
1
� � � �
�
�
�
��
�
�
�
���
x p p Qi i
i
k
, : ,�
1
(16)
ãäå ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà � i
i
k
�
�
1
1 èìååì
�
�
�
i i
i
k
i
ii
k
Q Ip p e p
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
��
�
1 1
00
1
1, , �
�
��
. (17)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (16), (17) îïèñûâàþò ÏÊÌÐ â âèäå (1)–(5), ãäå
B I c pi
ii
k
1 1
1
0
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
�
�
.
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà Â1 ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííîé, à âåêòîð ñ1 ïðîïîðöèî-
íàëåí âåêòîðó p0 . Â ñîîòâåòñòâèè ñ (5) ýòî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê CVaR�*
, ïàðà-
ìåòð êîòîðîãî � * îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
1
1 11�
�
��
�
�
�*
i
ii
k
.
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Çàìå÷àíèå 3. Ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü è â áîëåå îáùèõ
ïðîñòðàíñòâàõ. Òàê, óòâåðæäåíèå 1 èìååò ìåñòî â ïðîñòðàíñòâàõ L Pp ( , , )� � ,
1 � �p .
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñ.â. X L Pp(. ) ( , , )� � � ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íà
�-àëãåáðå � îïèñûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ìåðîé P (àíàëîã âåêòîðà p0), à CVaR X� ( )
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:
CVaR X x q dP q Q� � � �( ) ( ) ( ) ( ): (. )� � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�sup
�
1 ,
ãäå Q q L P q a s q dPp1 0
1
1
1� �
�
�
�
� � �(. ) ( , , ), (. ) . ., ( ) ( )� �
�
�
� �
�
��
�
�
�
��
,
1 1
1
p p
�
�
� .
 ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Q èç (1) îïèñûâàåòñÿ êàê
Q P P E q dP E q Qq q
E
� � � ��{ }: ( ) ( ) ( ), , (. )� � � 1 .
Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷àåì
� � � ��i
i
k
CVaR X x q dP q Q
i
( ) ( ) ( ) ( ) : (. )
�
�� � �
�
�
�
��
�
1
2sup
�
�
�
��
,
ãäå Q q L P q a s q dPp
i
ii
k
2
1
0
1
� �
��
�
(. ) ( , , ), (. ) . ., ( ) (� �
�
�
� �) �
�
�
�
��
�
�
�
��
� 1
�
.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1) ñ ìíîæåñòâîì
âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Q:
Q P P E q dP E q Qq q
E
� � � �
�
�
�
��
�
�
�
��
�: ( ) ( ) ( ), , (. )� � � 2 .
À ýòî íå ÷òî èíîå, êàê CVaR X�*
( ), ãäå �
*
îïèñûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì (12). Ñëå-
äîâàòåëüíî, óòâåðæäåíèå 1 èìååò ìåñòî â ïðîñòðàíñòâàõ L Pp ( , , )� � , 1 � �p .
Ñëåäñòâèå 1. Ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêà M � (. ) èç (6), ïðåäñòàâëåííàÿ äëÿ
äèñêðåòíûõ ñ.â. ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñöåíàðèåâ-ñîáûòèé â âèäå (7)–(10), ÿâ-
ëÿåòñÿ CVaR X�
*
( ), ãäå �
*
îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
1
1 11�
�
��
�
�
�
*
i
ii
n
, (18)
â êîòîðîì � i , � i , i n�1, ,� , îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè (8)–(10).
Ïðèìåð 5. Ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè èíâàðèàíòíûõ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ÊÌÐ
[20, 21] èìååò âèä
max ( )
( , , )� �
��
1 1� n
ii
i
n
CVaR X
� �
,
(19)
ãäå — âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ,
ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 1.
Ñëåäñòâèå 2. Ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè (19) åñòü íå ÷òî èíîå, êàê CVaR X�
*
( ),
ãäå � * îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
1
1 11 1�
�
�� �
�
�
�� �
*
( , , )
max
� n
i
ii
n
. (20)
Ïîêàæåì ýòî. Êàê ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 1, âûïóêëûå êîìáèíàöèè
CVaR X
i� ( ), ñòîÿùèå ïîä çíàêîì ìàêñèìóìà, ÿâëÿþòñÿ òàêæå íåêîòîðûìè CVaR.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 91
Íà ìíîæåñòâå òàêèõ ìåð èìååòñÿ î÷åâèäíîå îòíîøåíèå ïîðÿäêà: CVaR X�1
( )
CVaR X�2
( ) äëÿ
1
1
1
11 2
1 2
�
�
!
� �
� � .
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ìåðà ðèñêà èç (19) ñòàíîâèòñÿ ìàêñèìàëüíîé äëÿ � * èç
ñîîòíîøåíèÿ (20).
Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ ÏÊÌÐ ìàòðèöà B1 è âåêòîð c1, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãóò áûòü
ïðîèçâîëüíûìè. Èõ âûáîð äîëæåí îñíîâûâàòüñÿ íà ðàçóìíîé (ñîäåðæàòåëüíîé)
àðãóìåíòàöèè.
1.2. Ñëó÷àé íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ. Ðàññìîò-
ðèì ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííîé ïî ñîáûòèÿì-ñöåíàðèÿì
ñ.â. X èçâåñòíû, à âåêòîð ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p p pn0 1
0 0� ( , , )� òî÷íî íå
èäåíòèôèöèðîâàí. Áóäåì åãî îáîçíà÷àòü P0 , åñëè îí òðàêòóåòñÿ êàê âåðîÿòíîñòíàÿ
ìåðà ñîîòâåòñòâóþùåãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïðèìåð, äàííûé âåêòîð
äîïóñêàåò ëèøü íåêîòîðûå îöåíêè â âèäå ïðèíàäëåæíîñòè ê ìíîæåñòâó
P PU0 � , (21)
ãäå PU — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð.
Çàìå÷àíèå 5. Èíîãäà îïèñàííàÿ íåîïðåäåëåííîñòü â âåðîÿòíîñòÿõ ìíîæåñ-
òâà ñöåíàðèåâ ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîñòàíîâêàõ çàäà÷ â ÿâíîì âèäå. Íàïðèìåð, ïðè
îöåíêå ðèñêà íàâîäíåíèé, êîãäà èìååòñÿ ôèêñèðîâàííûé íàáîð áàçîâûõ ñöåíà-
ðèåâ âîçíèêíîâåíèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàâîäíåíèé, äëÿ êîòîðûõ òðóäíî èäåíòè-
ôèöèðîâàòü ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñòè [22, 23].
Äëÿ êàæäîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ( , )X P0 , ãäå P PU0 � , ìîæíî îïðåäåëèòü ÏÊÌÐ
â âèäå (1), (2), â êîòîðîé êîíñòðóêöèÿ ìíîæåñòâà Q èç (2), âîîáùå ãîâîðÿ, çàâè-
ñèò îò èñõîäíîé ìåðû P0 . Òàêèì îáðàçîì, Q — óæå íå ìíîæåñòâî, à ìíîãîçíà÷-
íîå îòîáðàæåíèå (ì.î.) ñ ìíîãîãðàííûìè îáðàçàìè, êîòîðîå îïðåäåëÿåò ìåðó
ðèñêà �(. ) â çàâèñèìîñòè îò èñõîäíîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðû P0 êàê Q P( )0 [13], ò.å.
�( ) { [ ]: ( )}X E X P Q PP� � �sup 0 .
Ýòî îïèñàíî â ïðèìåðàõ 1 è 3. Òàê, CVaR� ïðåäñòàâëåíà â (1)–(5), ãäå P0 èñ-
ïîëüçóåòñÿ â (5) â ÿâíîì âèäå ïðè îïèñàíèè c P1 0( ) , à äëÿ ñðåäíèõ ïîòåðü
Q P P( )0 0� { }.
Íà îñíîâàíèè òàêèõ ðàññóæäåíèé ìîæíî îïðåäåëèòü ìåðó ðèñêà íà ìíîæåñòâå
íåîïðåäåëåííîñòè PU âèäà (21) ïî èñõîäíîé ìåðå ðèñêà � 0 (. ) (îïèñàííîé ì.î.
Q �0
(. )) ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé ðîáàñòíîé êîíñòðóêöèè [24]:
� � �0 0, ( ) [ ]: ( )P P UU
X E X P Q P� � �sup{ }, (22)
ãäå Q P Q PU
P PU
� �0
0
0 0( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
co � , co — âûïóêëàÿ çàìêíóòàÿ îáîëî÷êà.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òàêàÿ êîíñòðóêöèÿ îöåíèâàåò ðèñê íàèáîëüøèì çíà÷å-
íèåì èñõîäíîé ìåðû � 0 (. ), îáóñëîâëåííûì ìíîæåñòâîì íåîïðåäåëåííîñòè PU .
Çàìå÷àíèå 6. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ìíîãîãðàííûõ ìíîæåñòâ PU îïðåäåëå-
íèå (22) íå âûâîäèò ìåðû ðèñêà � �0, (. )PU
èç êëàññà èñõîäíîé ìåðû � 0 (. ). Åñëè
� 0 (. ) ÿâëÿëàñü ÏÊÌÐ, òî è ïîñòðîåííàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (22) � �0, (. )PU
îñòàåòñÿ
ÏÊÌÐ.
Çàìå÷àíèå 7. Äëÿ êëàññà ÏÊÌÐ ïðåäñòàâëåíèå � �0, (. )PU
â âèäå (1)–(4) òðå-
áóåò ïåðåñ÷åòà ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèöû B1 è âåêòîðà c1 äëÿ � �0, (. )PU
ïî èñ-
õîäíûì B1, c1 äëÿ � 0 (. ) è ìíîæåñòâó PU . Âîîáùå ãîâîðÿ, òàêîé ïåðåñ÷åò íå ÿâ-
ëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì, õîòÿ è íå âûõîäèò çà ðàìêè àïïàðàòà ëèíåéíîãî ïðîãðàì-
ìèðîâàíèÿ (ËÏ).
Èíîãäà íåîáõîäèìûå ìàòðèöà è âåêòîð âûïèñûâàþòñÿ ñðàçó. Ýòî ñâÿçàíî
ñ äîñòàòî÷íî ïðîñòîé ñòðóêòóðîé èñõîäíûõ ìíîæåñòâà PU è ì.î. Q �0
(. ) [24].
Íàïðèìåð, ýòî èìååò ìåñòî ïðè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ.
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Íåòî÷íûå ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü äëÿ âåêòîðà ñöåíàðíûõ âåðîÿò-
íîñòåé p0 èçâåñòíû òîëüêî ïîêîîðäèíàòíûå îöåíêè ñâåðõó è ñíèçó â âèäå ñîîò-
âåòñòâóþùèõ âåêòîðîâ pl è pu , à èìåííî
P p p p p p pU i l u
i
n
�
�
�
�
�
��
�
�
�
���
: , ,0 1
1
. (23)
Ïðèìåð 6. Ïðè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ ðèñê îöåíèâàåòñÿ ñðåä-
íèìè ïîòåðÿìè E XP0
[ ]� . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Q P PE ( )0 0� { }, èìååì
Q P p p p p p pE U i l u
i
n
( ) : , ,�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
0 1
1
�
� � �
�
�
�
��
�
�
�
���
p p p Ip p Ip pi l u
i
n
: , , ,0 1
1
.
Ñëåäîâàòåëüíî, � E PU, (. ) îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (1)–(4), ãäå
B
I
I
1 �
��
�
��
�
�
�� , c
p
p
l
u
1 �
��
�
��
�
�
�� . (24)
Ïðèìåð 7. Ïðè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòÿõ ðèñê îöåíèâàåòñÿ CVaR�
*
. Ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèé (2)–(5) äëÿ CVaR�
*
ñîîòâåòñòâóþùåå ì.î. QCVaR�
*
(. ) èìååò âèä
Q p p p p Ip
p
CVaR i
i
n
� �*
( ) : , ,
*
0
0
1
0 1
1
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
���
.
Ó÷èòûâàÿ (23), îêîí÷àòåëüíî èìååì
Q P p p p Ip
p
CVaR U i
i
n
� �*
( ) : , ,
*
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
co 0 1
1
0
1p p pl u 0
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
���
p p p Ip
p
i
u
i
n
: , ,
*
0 1
11 �
.
Òàêèì îáðàçîì, ÏÊÌÐ �
�CVaR PU*
, (. ) ìîæíî îïèñàòü ñîîòíîøåíèÿìè (1)–(4), ãäå
B I c
pu
1 1
1
� �
�
,
*�
. (25)
Ïðèìåð 8. Ïðè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòÿõ ðèñê îöåíèâàåòñÿ ñïåêòðàëüíîé ìå-
ðîé ðèñêà (7)–(10). Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1 ýòîé ìåðîé ðèñêà ÿâëÿåòñÿ CVaR, îïè-
ñàííàÿ â (1)–(5), (18), (8)–(10), äëÿ êîòîðîé ïðèìåíèì ðåçóëüòàò ïðèìåðà 7. Â
èòîãå ïîëó÷èì ìåðó ðèñêà â âèäå (1)–(4), (25), ãäå èñïîëüçóåìûå â (25) ïàðàìåò-
ðû � * âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ (18), (8)–(10).
Òàêèì îáðàçîì, òàêàÿ ìåðà îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (1)–(4), (25), (18),
(8)–(10).
Ïðèìåð 9. Ïðè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòÿõ ðèñê îöåíèâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì
Êóñóîêè â âèäå (19). Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 2 ýòîé ìåðîé ðèñêà ÿâëÿåòñÿ CVaR,
îïèñàííàÿ êàê (1)–(5), (20). Ïðèìåíÿÿ ðåçóëüòàò èç ïðèìåðà 7, ïîëó÷àåì ìåðó
ðèñêà â âèäå (1)–(4), (25), (20).
Çàìå÷àíèå 8. Ìíîæåñòâà íåîïðåäåëåííîñòåé PU áûâàþò áîëåå ñëîæíûìè,
÷åì îöåíêè âåðîÿòíîñòåé ñâåðõó è ñíèçó, íàïðèìåð, ìîãóò çàäàâàòüñÿ â âèäå ëè-
íåéíûõ íåðàâåíñòâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 93
2. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÎÐÒÔÅËß ÏÎ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÞ ÂÎÇÍÀÃÐÀÆÄÅÍÈÅ–ÐÈÑÊ
Èñïîëüçîâàííûé ðàíåå òåðìèí «ìåðà ðèñêà» ïî ñóòè îáîçíà÷àåò íåêóþ ôóíê-
öèþ ðèñêà, îöåíèâàþùóþ åãî êîëè÷åñòâåííî.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå áóäåì
íàçûâàòü åå òàêæå, ðàññìàòðèâàÿ íàðÿäó ñ íåé è ôóíêöèþ âîçíàãðàæäåíèÿ äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíûõ ðåøåíèé ïî ñîîòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê.
Òðàäèöèîííî òàêîé ïîäõîä ïðåäëàãàë Ìàðêîâèö â îñíîâîïîëàãàþùèõ ðàáî-
òàõ ïî ïîðòôåëüíîé òåîðèè.  [25] îí â êà÷åñòâå ôóíêöèè âîçíàãðàæäåíèÿ èñ-
ïîëüçîâàë ñðåäíþþ äîõîäíîñòü E X[ ] ôèíàíñîâîãî àêòèâà X , à â êà÷åñòâå ôóíê-
öèè ðèñêà — åãî äèñïåðñèþ � 2 ( )X . Çàòåì â [26] Ìàðêîâèö ïðåäëîæèë äëÿ îöåí-
êè ðèñêà ïðèìåíÿòü ïîëóäèñïåðñèþ �� �� �2 2( ) [( [ ]) ]X E X E X , ó÷èòûâàþùóþ
òîëüêî îòêëîíåíèå âíèç.
Îòíîøåíèå ïðåäïî÷òåíèÿ çàäàäèì ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ ôóíêöèé âîç-
íàãðàæäåíèÿ–ðèñêà. Ïîñòðîèì òàêèå ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêöèé, áëèçêèõ
ê ÏÊÌÐ.
 êà÷åñòâå ôóíêöèè âîçíàãðàæäåíèÿ r( )" ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
r X E X P QP r( ) min { [ ] : }� � , (26)
ãäå Qr — íåêîòîðîå ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð:
Q p B p c pr r r�
{ : }, 0 . (27)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òàêàÿ ôóíêöèÿ èìååò ñâîéñòâà, ïîäîáíûå ïðèâåäåí-
íûì â ïï. 1–4 ðàçä. 1 äëÿ ÊÌÐ, à èìåííî:
1�) r X a r X a( ) ( )� � � ;
2�) r X X r X r X( ) ( ) ( )1 2 1 2�
� ;
3�) r X r X( ) ( ),� � ��
0 ;
4�) r X r X( ) ( )1 2
, X X1 2
.
Îòìåòèì âîãíóòîñòü ôóíêöèè, êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî äèâåðñèôèêàöèÿ àêòè-
âîâ íå óìåíüøàåò ïîòåíöèàëüíîãî (ãàðàíòèðîâàííîãî) âîçíàãðàæäåíèÿ. Ïðåä-
ñòàâëåíèå (26) îïèñûâàåò âîçíàãðàæäåíèå r(. ) êàê íàèõóäøóþ ïî íåêîòîðîìó
ìíîæåñòâó âåðîÿòíîñòíûõ ìåð îæèäàåìóþ äîõîäíîñòü.
 êà÷åñòâå ôóíêöèè ðèñêà ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ÏÊÌÐ �(. ):
� �( ) max { [ ] : }X E X P QP� � � , (28)
ãäå Q � — íåêîòîðîå ïîëèýäðàëüíîå ìíîæåñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð,
Q p B p c p� � ��
{ : , }0 . (29)
Íàïîìíèì, ÷òî B Br , � è c cr , � — ìàòðèöû è âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàç-
ìåðíîñòåé.
Ïîíÿòíî, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, Qr è Q � äîëæíû áûòü ðàçíûìè ìíîæåñòâàìè,
ïîñêîëüêó èõ ñîâïàäåíèå îçíà÷àåò èñïîëüçîâàíèå îäíîãî è òîãî æå êðèòåðèÿ
(ñ ðàçíûìè çíàêàìè äëÿ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé).
Êàê è ðàíåå, ðàçäåëèì îïèñàíèå ìíîæåñòâ Qr è Q � íà ñòàíäàðòíóþ è ñîäåð-
æàòåëüíóþ ÷àñòè, ò.å.
B
B
B
r
r
�
�
�
��
�
�
��
0
1
, c
c
c r
1
0
1
�
�
�
��
�
�
�� , (30)
B
B
B
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
1
, c
c
c
2
0
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, (31)
â êîòîðûõ B0 è ñ0 ñòàíäàðòíûå:
B0
1 1
1 1
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
, c0
1
1
�
�
�
�
��
�
�
�� . (32)
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
Ïðèìåð 10. Ðàññìîòðèì ïðåäïî÷òåíèå ïî ñîîòíîøåíèþ ñðåäíÿÿ äîõîä-
íîñòü–ÏÊÌÐ. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî r X E XP( ) [ ]� �
0
äëÿ Q p1 0� { }, à �(. ) ÿâëÿåò-
ñÿ ÏÊÌÐ, åñëè Q � çàäàíî â âèäå (29), (31), (32). Èõ ñîîòíîøåíèå è áóäåò îïðåäå-
ëÿòü ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäïî÷òåíèå.
Çàìå÷àíèå 9.  [24] â êà÷åñòâå àíàëîãà ôóíêöèè r(. ) èñïîëüçîâàëàñü îòëè÷-
íàÿ îò (26) êîíñòðóêöèÿ. Îíà ïðèìåíÿëàñü òàì äëÿ îöåíêè ñâåðõó ïîòåíöèàëüíûõ
ãðàíèö ñðåäíåé äîõîäíîñòè, ïîýòîìó ó÷èòûâàëà îïòèìèñòè÷åñêèé âàðèàíò íå-
îïðåäåëåííîñòè.  (26) êàê â ðîáàñòíîé êîíñòðóêöèè ó÷èòûâàåòñÿ åå ïåññèìèñ-
òè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ.
Ïîäîáíîå çàäàíèå ôóíêöèè r(. ) ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ðîáàñòíîå ïðåä-
ñòàâëåíèå ñðåäíåé äîõîäíîñòè â âèäå åå ãàðàíòèðîâàííîé îöåíêè ïî ìíîæåñòâó
(íåîïðåäåëåííîñòè) ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé Qr .
Ïðèìåð 11. Ðàññìîòðèì ðîáàñòíîå ïðåäïî÷òåíèå ïî ñîîòíîøåíèþ ñðåäíÿÿ
äîõîäíîñòü–ÏÊÌÐ ïðè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòÿõ.
Ïóñòü, êàê è ðàíåå, íåòî÷íûå ñöåíàðíûå âåðîÿòíîñòè çàäàíû ñâîèìè îöåíêà-
ìè ñíèçó è ñâåðõó â âèäå (23). Ïðåäñòàâèì ñîîòíîøåíèÿ
B
I
I
c
p
p
r r
l
u
1 1�
��
�
��
�
�
�� �
��
�
��
�
�
��, . (33)
Òîãäà ôóíêöèÿ âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) îïèñûâàåòñÿ â âèäå (26), ãäå ìíîæåñòâî
Qr ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê (27), (30), (32), (33).
Ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèÿ ðèñêà ��, ( )PU
X èìååò âèä êîíñòðóêöèè (22), êîòî-
ðàÿ ñòðîèòñÿ ïî èñõîäíîé ÏÊÌÐ (28), (29), (31), (32) è ìíîæåñòâó PU èç (23).
Ïðåäñòàâèì ñîîòíîøåíèÿ
B I c
pu
1 1
1
� �
�
� �
�
, .
(34)
Ïðèìåð 12. Åñëè â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå â êà÷åñòâå ÏÊÌÐ èñïîëüçîâàëàñü
CVaR� , òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ ðèñêà �
�CVaR PU
X, ( ) îïèñûâàëàñü â âèäå
(28), ãäå ìíîæåñòâî Q � ïðåäñòàâëÿëîñü êàê (29), (31), (32), (34).
Ñôîðìóëèðóåì ïðîáëåìó îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî ñîîòíîøåíèþ âîçíàã-
ðàæäåíèå–ðèñê, êîòîðîå çàäàíî ôóíêöèÿìè r(. ) è �(. ) èç (26), (27), (30), (32)
è (28), (29), (31), (32) ñîîòâåòñòâåííî.
Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ èçëîæåíèÿ çàäà÷ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ
ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê. Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå äîõîäíîñòè êîìïîíåíò
ïîðòôåëÿ z j , j k� �1, , , îïèñûâàåòñÿ ìàòðèöåé H ðàçìåðíîñòè n k# , ãäå j-é ñòîë-
áåö ïðåäñòàâëÿåò ðàñïðåäåëåíèå j-é êîìïîíåíòû. Âåêòîð u u uk� �( , , )1 , îïèñû-
âàþùèé ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ, ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðåìåííàÿ, ãäå ui
k
�
1
1
,
ui
0, i k� �1, , . Íåîáõîäèìî íàéòè òàêóþ ñòðóêòóðó ïîðòôåëÿ u, êîòîðàÿ îïòè-
ìèçèðóåò åãî ñîâîêóïíûé ðåçóëüòàò ïî ñîîòíîøåíèþ äîõîäíîñòü–ðèñê.
Íà÷íåì èçëîæåíèå ñ áîëåå ïðîñòîãî ñëó÷àÿ èçâåñòíûõ ïîñöåíàðíûõ ðàñïðå-
äåëåíèé äîõîäíîñòåé êîìïîíåíò ïîðòôåëÿ, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ìàòðèöåé H
(ñòðîêè — ñöåíàðèè, ñòîëáöû — êîìïîíåíòû) è âåêòîðîì ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñ-
òåé p p pn0 1
0 0� ( , , )� .  êà÷åñòâå âîçíàãðàæäåíèÿ ðàññìîòðèì ñðåäíþþ äîõîä-
íîñòü, â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà — íåêîòîðóþ ÏÊÌÐ.
2.1. Îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè: ñëó÷àé èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ñôîðìó-
ëèðóåì äâå âçàèìîñâÿçàííûå çàäà÷è.
Ìèíèìèçàöèÿ ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ ïðè ãàðàíòèðîâàííîé ñðåäíåé äîõîä-
íîñòè. Îáîçíà÷èì � , äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ
E HuP0
[ ] , à �( )Hu — âûáðàííóþ ÏÊÌÐ, çàäàííóþ â âèäå (1)–(4). Ìèíèìèçèðóåì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 95
âòîðóþ âåëè÷èíó ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ïåðâóþ
min ( ).
,
[ ]
�
�
Hu
u u
E Hu
i
k
p
�
1 0
1
00
(35)
Ìàêñèìèçàöèÿ ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà
ÏÊÌÐ. Îáîçíà÷èì � 0 äîïóñòèìîå çíà÷åíèå ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ �( )Hu . Ìàêñèìè-
çèðóåì äîõîäíîñòü E HuP0
[ ] ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ìåðó ðèñêà �( )Hu , çàäàííóþ
â âèäå (1)–(4):
max [ ].
,
( )
E Hu
u u
Hu
p
i
k
0
1 0
1
0
�
� �
(36)
Òåîðåìà 1 [13]. Åñëè çàäà÷è (35), (1)–(4) è (36), (1)–(4) ñîâìåñòíû, òî èõ
îïòèìàëüíûìè ïîðòôåëÿìè ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî êîìïîíåíòû u ðåøåíèé
( , )v u ñëåäóþùèõ ïðîáëåì ËÏ:
min , ,
,
( , )v u
i
k
c v
B v Hu
p Hu
u
v u
� �
� �
� �
�
T
T
0
1
0 0
0 0
1
�
max , ,
,
,
( , )v u
i
k
H p u
B v Hu
c v
u
v u
� �
� �
� �
�
T
T
0
0
1
0
1
0 0
� (37)
à çíà÷åíèÿ â ðåøåíèÿõ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò.
Çàìå÷àíèå 10. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ÏÊÌÐ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé CVaR� , ò.å. åå
ñîäåðæàòåëüíàÿ ÷àñòü èìååò âèä (5), óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 äëÿ çàäà÷è (35) ñî-
âïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ðåçóëüòàòîì èç [6]. Ôîðìàëüíîå îòëè÷èå ñîñòîèò
â òîì, ÷òî â [6] îïòèìèçèðîâàëñÿ ïàðàìåòð
�R, êîòîðûé ïðåäñòàâëåí â (37)
â âèäå
� �v v1 2 , ãäå v v R1 2, � � .
Ìîæíî òàêæå ñôîðìóëèðîâàòü ïðîáëåìó âèäà (36), â êîòîðîé çàäàíû îãðà-
íè÷åíèÿ äëÿ íåñêîëüêèõ ÏÊÌÐ. Òàê, ïóñòü èìåþòñÿ m ÏÊÌÐ
� i P iX E X P Q( ) max { [ ] : }� � � , Q p B p c pi i i�
{ : , }0 , i m�1, ,� . (38)
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è:
max [ ].
,
( ) , , ,
E Hu
u u
Hu i m
p
i
k
i i
0
1 0
1
1
0
�
�
� � �
(39)
Òåîðåìà 2 [13]. Åñëè çàäà÷à (39) ñîâìåñòíà, òî åå îïòèìàëüíûì ïîðòôåëåì
ÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòà u ðåøåíèÿ ( , , , )v v um1 � ñëåäóþùåé ïðîáëåìû ËÏ:
max , ,
,
( , , , )v v um
H p u
B v Hu
c v
1 0
1 1
1 1 1
0
0
�
�����
� �
� �
� �
T
T
�
��
�
� �
� �
�
B v Hu
c v
u u
v v
m m
m m m
i
k
m
T 0
1 0
0 0
0
1
1
,
,
, ,
�
(40)
à çíà÷åíèÿ â ðåøåíèÿõ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ ñîâïàäàþò.
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
2.2. Îïòèìàëüíûå ðîáàñòíûå ïîðòôåëè: ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ
âåðîÿòíîñòåé. Åñëè äëÿ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé äîñòóïíû ëèøü íåêîòîðûå
îöåíêè, òî íåòðóäíî ïðåäëîæèòü äëÿ òàêîãî ñëó÷àÿ àíàëîãè ïðåäñòàâëåííûõ
âûøå çàäà÷. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ îïèñàííûé ðàíåå ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò.
Òàê, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèìåðîì 11 ðîáàñòíûì àíàëîãîì ñðåäíåé äîõîäíîñòè
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) èç (26), (27), (30), (32), (33), à ðîáàñòíîé
ìåðîé ðèñêà — ôóíêöèÿ ðèñêà � �, (. )PU
èç (22), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî èñõîäíîé
ÏÊÌÐ (28), (29), (31), (32) è ìíîæåñòâó PU èç (23). Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü ñîîò-
âåòñòâóþùèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ.
Ðîáàñòíàÿ âåðñèÿ ìèíèìèçàöèè ÏÊÌÐ ïîðòôåëÿ ïðè ãàðàíòèðîâàííîé ñðåä-
íåé äîõîäíîñòè r0 èìååò âèä
min ( ).
,
( )
,� � P
i
k
U
Hu
u u
r Hu r
�
1 0
1
0
(41)
Ðîáàñòíàÿ âåðñèÿ ìàêñèìèçàöèÿ ñðåäíåé äîõîäíîñòè ïîðòôåëÿ ïðè îãðàíè-
÷åíèÿõ íà ÏÊÌÐ óðîâíåì � 0 ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê
max ( ).
,
( ),
r Hu
u u
Hu
i
k
PU
�
1 0
1
0� ��
(42)
Íåòðóäíî òàêæå ñôîðìóëèðîâàòü è ðîáàñòíóþ âåðñèþ ïðîáëåìû (39), ãäå
ðèñê ó÷èòûâàåòñÿ â âèäå îãðàíè÷åíèé äëÿ íåñêîëüêèõ ÏÊÌÐ
max ( ).
,
( ) , , ,,
r Hu
u u
Hu i m
i
k
P iU
�
�
1 0
1
1
0� �� �
(43)
Ïîêàæåì, êàê ïîèñê îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé ýòèõ çàäà÷ ìîæíî ñâåñòè ê ðåøå-
íèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîáëåì ËÏ.
Òåîðåìà 3. Åñëè ðåøåíèÿ çàäà÷ (41) è (42) ñ îïèñàííûìè ôóíêöèÿìè âîçíàã-
ðàæäåíèÿ r(. ) â âèäå (26), (27), (30), (32), (33) è ðèñêà � �, (. )PU
â âèäå (22), (28),
(29), (31), (32), (23) ñîâìåñòíû, òî èõ îïòèìàëüíûìè ïîðòôåëÿìè ÿâëÿþòñÿ ñîîò-
âåòñòâåííî êîìïîíåíòû ðåøåíèé ( , , )v u w ñëåäóþùèõ ïðîáëåì ËÏ:
min , ,
,
( , , )v u w
r
r
i
c v
B w Hu
c w r
B v Hu
u
� �
� �
� � �
� �
�
�
�
T
T
0
0
0
1 0
0 0
1
,
,
u
v w
k
(44)
max , ,
,
( , , )v u w r
r
i
c w
B w Hu
B v Hu
c v
u
� � �
� �
� �
� �
�
T
T
0
0
0
�
� �
1 0
0 0
1
,
,
u
v w
k
(45)
à çíà÷åíèÿ â ðåøåíèÿõ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 97
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì çàäà÷è (41) è (42) ñ îïèñàííûìè â ôîðìóëè-
ðîâêå òåîðåìû ôóíêöèÿìè âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) è ðèñêà � �, (. )PU
. Îíè èìåþò ñî-
îòâåòñòâåííî ñëåäóþùèé âèä:
min max , ,
, ,
min
,
� � �
�
Hu p
u u B p c pi
k
B p c pr r
2
1 2 21 0 0
1
� �
1 0
1 0
� �
Hu p r,
(46)
max min , .
, ,
max
,
� �
�
Hu p
u u B p c pi
k
r r
B p c p
1
1 1 11 0 0
2 2� �
� � �
0
2 0Hu p, �
(47)
Ïîñêîëüêó çàäà÷è ñîâìåñòíû, òàêæå ñîâìåñòíû è âíóòðåííèå ïîäçàäà÷è
max , ,
,
� � �
Hu p
B p c p
2
2 2 0� �
(48)
min , .
,
� �
Hu p
B p c pr r
1
1 1 0 (49)
Ê òîìó æå â ñèëó ñïåöèôè÷åñêèõ îãðàíè÷åíèé äàííûå çàäà÷è èìåþò êîíå÷-
íûå ðåøåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ýêâèâàëåíòíû ñâîèì äâîéñòâåííûì ïðîáëå-
ìàì (ñì., íàïðèìåð, [27]). Äâîéñòâåííûå çàäà÷è äëÿ (48) è (49) èìåþò
ñîîòâåòñòâåííî âèä
min , ,
,
� �
� �
c v
B v Hu v
�
�
T 0 0 (50)
max , .
,
� � �
� �
c w
B w Hu w
r
r
T 0 0 (51)
Ñäåëàâ çàìåíó çàäà÷ (48), (49) íà (50), (51) ñîîòâåòñòâåííî â ïðîáëåìàõ (46)
è (47), èìååì
min min , ,
, ,
max
� �
�
� �
� �
c v
u u B v Hu vi
k
B w Hur
�
�1 0 0 0
1
T
T 0 0
0
,
,
w
rc w r
� � �
(52)
max max , .
, ,
min
� � �
�
� �
� �
c w
u u B w Hu w
r
i
k
r
B v Hu
1 0 0 0
1
T
T
�
� �
0 0
0
,
,
v
c v� �
(53)
Íåòðóäíî âèäåòü òàêæå ýêâèâàëåíòíîñòü ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
max , : ,
,
� � �
!
$ � � �
� �
� �
c w r w c w r
B w Hu w B w Hu
r r
r r
0 0
0 0T T 0 0,
,
w
(54)
min , : ,
, ,
� �
!
$ � �
� �
� �
c v v c v
B v Hu v B v Hu
� �
� �
� �0 0
0 0 0T T v
0
.
(55)
Ñäåëàâ çàìåíó ëåâûõ óñëîâèé ñîîòíîøåíèé (54), (55) íà ýêâèâàëåíòíûå èì
ïðàâûå óñëîâèÿ â çàäà÷àõ (52), (53) ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
min min , ,
, ,
,
� �
�
� �
� � �
�
c v
u u B v Hu v
c w r
B
i
k
r
�
�1 0 0 0
1
0
T
r w Hu wT �
0 0,
(56)
max max , .
, ,
,
� � �
�
� �
� �
�
c w
u u B w Hu w
c v
B
r
i
k
r1 0 0 0
1
0
T
� �
�
T v Hu v�
0 0,
(57)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî çàäà÷è (56) è (57) åñòü íå ÷òî èíîå, êàê çàäà÷è (44) è (45)
ñîîòâåòñòâåííî.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ïðåîáðàçîâàíèÿ çàäà÷è (43) ê âèäó ïðîáëåìû ËÏ óòî÷íèì
îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü Q p B p c pr r r�
{ : , }0 , Q p B p c p
i i i� � ��
{ }: , 0 , i m�1, ,� ,
îáîçíà÷àþò ìíîãîãðàííûå ìíîæåñòâà, ïî êîòîðûì îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè
âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) è ðèñêà �i (. ) , i m�1, ,� , â âèäå (26) è (28) ñîîòâåòñòâåííî.
Ñôîðìóëèðóåì àíàëîã òåîðåìû 2.
Òåîðåìà 4. Åñëè çàäà÷à (43) ñîâìåñòíà, òî åå îïòèìàëüíûì ïîðòôåëåì ÿâëÿ-
åòñÿ êîìïîíåíòà u ðåøåíèÿ ( , , , , )v v u wm1 � ñëåäóþùåé ïðîáëåìû ËÏ:
max , ,( , , , , )v v u w r
r
m
c w
B w Hu
B v Hu
c
1
1
1
0
01
� � � �
� �
� �
�
T
T
�
� ,
,
,
v
B v Hu
c v
u u
m
m
m
m m
i
k
1 1
0
0
1
0
1 0
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�������
T
v v wm1 0 0 0
, , ,�
à çíà÷åíèÿ â ðåøåíèÿõ ïî ôóíêöèÿì ýòèõ çàäà÷ ñîâïàäàþò.
Äîêàçàòåëüñòâî íåòðóäíî ïðîâåñòè ñ ïîìîùüþ ðàññóæäåíèé, àíàëîãè÷íûõ
èñïîëüçóåìûì ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3. Åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñîñòîèò
â òîì, ÷òî èõ íàäî ïðèìåíÿòü íå ê îäíîìó, à ê m îãðàíè÷åíèÿì íà ìåðû ðèñêà
� i (. ), i m�1, ,� .
Ñëåäñòâèå 3. Åñëè â çàäà÷àõ (41), (42) â êà÷åñòâå èñõîäíûõ ÏÊÌÐ èñïîëüçî-
âàëàñü CVaR� , òî ôóíêöèÿ ðèñêà �
�CVaR PU, (. ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñîîòíîøå-
íèé (28), (29), (31)–(33), â êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ êîíêðåòíûé âèä ìàòðèö B � è ñ�
èç ôîðìóëèðîâîê òåîðåì 3 è 4.
Çàìå÷àíèå 11. Òåîðåìû 1 è 2 íåòðóäíî ïîëó÷èòü êàê ñëåäñòâèÿ èç òåîðåì 3
è 4 ñîîòâåòñòâåííî.
Çàìå÷àíèå 12. Ïðîáëåìû ËÏ èç òåîðåì 3 è 4 äëÿ ðîáàñòíûõ ïîñòàíîâîê çà-
äà÷ ïðè íåòî÷íûõ âåðîÿòíîñòÿõ îòëè÷àþòñÿ îò èõ àíàëîãîâ â óñëîâèÿõ èçâåñòíûõ
ðàñïðåäåëåíèé èç òåîðåì 1 è 2 íàëè÷èåì äîïîëíèòåëüíûõ ðàçìåðíîñòåé. Âî-ïåð-
âûõ, äîáàâëÿåòñÿ ïåðåìåííàÿ w ðàçìåðíîñòè 2n (n — êîëè÷åñòâî ñöåíàðèåâ),
âî-âòîðûõ, ìîæåò âîçíèêíóòü äîïîëíèòåëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ïðè ïîñòðîåíèè
� �, (. )PU
â âèäå îïèñàííîé ðàíåå êîíñòðóêöèè (ñì. ïðèìåð 1, ñîîòíîøåíèÿ
(1)–(4), (24)). Ýòî, ñîáñòâåííî, ÿâëÿåòñÿ öåíîé çà ðîáàñòíîñòü ïîñòàíîâîê çàäà÷.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 99
Çàìå÷àíèå 13. Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäñòâèé ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ðåçóëüòàòû â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà â çàäà÷àõ (41), (42) â êà÷åñòâå èñõîäíûõ
ÏÊÌÐ èñïîëüçóþòñÿ ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêà (6) è ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè (19).
3. ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÎÐÒÔÅËß ÏÎ ÎÒÍÎØÅÍÈÞ ÂÎÇÍÀÃÐÀÆÄÅÍÈÅ–ÐÈÑÊ
 òåîðèè ïîðòôåëÿ ââåäåíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî òàê íàçûâàåìûõ ìåð ýôôåêòèâíîñòè,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êðèòåðèÿìè ïðè âûáîðå ïîðòôåëÿ. Îäèí èç ïåðâûõ êëàññè÷åñêèõ
òàêèõ êðèòåðèåâ — îòíîøåíèå Øàðïà, ââåäåííîå â [28] êàê � �( ) ( ) / ( )X E X X� ,
ò.å. êàê îòíîøåíèå ñðåäíåé äîõîäíîñòè ê ñòàíäàðòíîìó îòêëîíåíèþ.
Ýòî íå ÷òî èíîå, êàê îïèñàííîå ñîîòâåòñòâóþùèìè ôóíêöèÿìè îòíîøåíèå
âîçíàãðàæäåíèÿ ê ðèñêó, ò.å. âåëè÷èíà âîçíàãðàæäåíèÿ íà åäèíèöó ðèñêà.
Èñïîëüçóÿ ýòó òåðìèíîëîãèþ (ñì. òàêæå [29]), ðàññìîòðèì ïðîáëåìû îïòèìèçà-
öèè ïîðòôåëÿ ñ ó÷åòîì ïðåäëîæåííûõ ðàíåå êîíñòðóêöèé ôóíêöèé
âîçíàãðàæäåíèÿ è ðèñêà.
 êà÷åñòâå òàêîé ìåðû ýôôåêòèâíîñòè ðàññìîòðèì ââåäåííîå â [30] îòíîøåíèå
RR X E X X( ) ( ) / ( )� � , ãäå ðèñê îïèñûâàåòñÿ íåêîòîðîé ÏÊÌÐ �(. ). Îòìåòèì, ÷òî
÷àñòíûé ñëó÷àé «Stable tail-adjusted return ratio» òàêîé ìåðû, à èìåííî
RR X E X CVaR X( ) ( ) / ( )� � , èçó÷àëñÿ â [29, 31].
3.1. Ñëó÷àé èçâåñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ âîçíàãðàæ-
äåíèÿ îïèñûâàëàñü ñðåäíåé äîõîäíîñòüþ E p [. ] , à ôóíêöèÿ ðèñêà — íåêîòîðîé
ÏÊÌÐ �(. ). Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî îòíîøå-
íèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê èìååò âèä
max
[ ]
( )
,
,
E Hu
Hu
u u
p
i
k
0
1 0
1
�
�
(58)
ãäå ÏÊÌÐ �(. ) çàäàíà êàê (1), (2).
Ïðèìåì äîñòàòî÷íî ðàöèîíàëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî îáå ÷àñòè äðîáè
ïîëîæèòåëüíû. Ïåðåïèøåì çàäà÷ó (58) â áîëåå ïðèâû÷íîì äëÿ îïòèìèçàöèè âèäå
min
( )
[ ]
.
,
� Hu
E Hu
u u
p
i
k
0
1 0
1
�
(59)
Òåîðåìà 5. Åñëè çàäà÷à (59) ñîâìåñòíà, òî åå ðåøåíèå ïî ôóíêöèè ñîâïàäàåò
ñ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ïðîáëåìû ËÏ:
min , ~ ,
~
~ ~
~
~
(~,~, )u v t
i
k
c v
u t
B v Hu
p Hu
v
� �
�
� �
�
1
0
0
1
0
T
T
, ~ ,u t
0 0
(60)
à ñòðóêòóðà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ â (59) åñòü u u t� ~ / â ðåøåíèè (60).
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû íåñëîæíî äîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïðèåìà
ââåäåíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ
t
p Hu
�
� �
1
0 ,
, ~u ut� ,
è ïåðåõîäà ê äâîéñòâåííîé ïðîáëåìå â çàäà÷å âû÷èñëåíèÿ ìåðû �(. ) â âèäå (1), (2).
Ñëåäñòâèå 4. Åñëè â êà÷åñòâå ÏÊÌÐ �(. ) èñïîëüçóåòñÿ CVaR� (. ), òî ìàòðè-
öà B è âåêòîð ñ îïèñûâàþòñÿ â âèäå (3)–(5).
Ïîêàæåì äàëåå, êàê èñêàòü ðîáàñòíûå îïòèìàëüíûå ïîðòôåëè â óñëîâèÿõ íå-
òî÷íûõ âåðîÿòíîñòåé.
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
3.2. Ñëó÷àé íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé. Êàê îòìå÷åíî ðàíåå,
â ýòîì ñëó÷àå ðîáàñòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ñðåäíåé äîõîäíîñòè è ìåðû ðèñêà îïè-
ñûâàþòñÿ êîíñòðóêöèÿìè ôóíêöèé âîçíàãðàæäåíèÿ r(. ) è ðèñêà � �, (. )PU
â âèäå
(26), (27), (30), (32), (33) è (22), (28), (29), (31), (33) ñîîòâåòñòâåííî.
Èòàê, ïóñòü r(. ) îïèñûâàåòñÿ â âèäå (26), (27), à ìåðà ðèñêà �(. ) — â âèäå
(28), (29). Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðîáàñòíàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ïî îòíîøå-
íèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê èìååò âèä
max
( )
( )
.
,
r Hu
Hu
u ui
k
�
�
1 0
1
(61)
Êàê è ðàíåå, ïîëàãàåì, ÷òî îáå ÷àñòè äðîáè ïîëîæèòåëüíûå. Ïåðåïèøåì çà-
äà÷ó (61) â áîëåå ïðèâû÷íîì âèäå
min
( )
( )
.
,
� Hu
r Hu
u ui
k
�
1 0
1
(62)
Òåîðåìà 6. Åñëè çàäà÷à (62) ñîâìåñòíà, òî åå ðåøåíèå ïî ôóíêöèè ñîâïàäàåò
ñ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ïðîáëåìû ËÏ:
min , ~ ,
~
~ ~
~
(~,~, ~, )u v w t
i
k
r
c w
u t
B v Hu
B w
� �
�
� �
� �
�
�
1
0T
T Hu
c v
v u t
r
~
, ~
~ , ~ ,
� � � �
0
1
0 0 0
(63)
à ñòðóêòóðà îïòèìàëüíîãî ïîðòôåëÿ â (62) åñòü u u t� ~ / â ðåøåíèè (63).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàñïèøåì çàäà÷ó (62) ñ ó÷åòîì êîíñòðóêöèé ôóíêöèé âîç-
íàãðàæäåíèÿ r(. ) è ðèñêà �(. ):
min
,
max ,
,
min ,u u
Hu p
B p c p
Hu p
B p
i
k
r
�
� � �
� �
1 0
0
1
2
2 2
1
� �
1 1 0
c pr ,
. (64)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
min , .
,
� � �
Hu p
tB p c pr r
1
1 1
1
0
(65)
Ïîñêîëüêó çàäà÷à â ëåâîé ÷àñòè (65) ñîâìåñòíà, åå ìîæíî çàìåíèòü äâîéñòâåí-
íîé ïðîáëåìîé, ò.å.
max , .
,
� � � �
� �
c v
t
B v Hu v
r
r
1
0 0T
Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîäðàçóìåâàåò ðàâåíñòâî
� � � �c v
t
r ,
1
,
� �
B v Hu vr
T 0 0,
êîòîðîå ïðè ââåäåíèè ïåðåìåííûõ ~u ut� è ~v vt� ýêâèâàëåíòíî
� � � �c vr , ~ 1 .
� �
B v Hu vr
T ~ ~ , ~0 0 (66)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 101
Èñïîëüçóÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, çàìåíèì âíóòðåííþþ ïðîáëåìó èç ÷èñ-
ëèòåëÿ çàäà÷è (64) åå äâîéñòâåííîé
max , min , .
, ,
� � �
!
� �
� �
Hu p c w
B p c p B w Hu w
2
2 2 0 0 0
�
� � �
T
 ïåðåìåííûõ ~u ut� è ~w wt� òàêàÿ çàäà÷à èìååò âèä
min , ~ .
~ ~ , ~
� �
� �
c w
B w Hu w
�
�
T 0 0
Òàêèì îáðàçîì, â ïåðåìåííûõ ~u ut� , ~v vt� è ~w wt� ñ ó÷åòîì (65), (66) çàäà-
÷à (64) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé çàäà÷å:
min min , ~ .
~ ~ ~ , ~
~ ,
� �
� � �
�
c w
u t B w Hu w
u t B
i
k
r
�
�1
0 0
0 0
T
T ~ ~ , ~
, ~
v Hu v
c vr
�
� � � �
0 0
1
Ýòî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê çàäà÷à (63).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 5. Åñëè â êà÷åñòâå èñõîäíîé ÏÊÌÐ �(. ) èñïîëüçóåòñÿ CVaR� (. ),
òî ìàòðèöà B � è âåêòîð ñ� îïèñûâàþòñÿ â âèäå (3), (4), (25), à ìàòðèöà Br è âåê-
òîð ñr — â âèäå (3), (4), (24).
Çàìå÷àíèå 14. Íåòðóäíî ñôîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñëåäñòâèÿ äëÿ
òåõ ñëó÷àåâ, êîãäà â êà÷åñòâå èñõîäíîé ÏÊÌÐ âìåñòî CVaR (. ) èñïîëüçóåòñÿ
ñïåêòðàëüíàÿ ìåðà ðèñêà (6) èëè ïðåäñòàâëåíèå Êóñóîêè (19).
Çàìå÷àíèå 15. Ñðàâíèâàÿ çàäà÷ó (63) ñ (60), íåñëîæíî âèäåòü åå îòíîñèòåëü-
íî áîëüøóþ ðàçìåðíîñòü, à òàêæå áîëåå íèçêîå îòíîøåíèå âîçíàãðàæäåíèÿ
ê ðèñêó. Ýòî îáóñëîâëåíî ðîáàñòíîñòüþ êîíñòðóêöèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé.
Çàìå÷àíèå 16.  òåîðåìàõ îá îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ â êà÷åñòâå óñëîâèÿ âû-
ïîëíåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîâìåñòíîñòü èñõîäíîé çàäà÷è, ñâÿçàííàÿ ñ êîððåêòíû-
ìè ôîðìóëèðîâêàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ îãðàíè÷åíèé â ïîñòàíîâêàõ. Ýòî ìîòèâè-
ðîâàíî òåì, ÷òî â ïðîöåññå äîêàçàòåëüñòâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê äâîéñòâåí-
íûì çàäà÷àì, ïîñêîëüêó â ñëó÷àå íåêîððåêòíûõ èñõîäíûõ ïîñòàíîâîê òàêîé
ïåðåõîä íå ïðèâîäèò ê ýêâèâàëåíòíûì çàäà÷àì. Èíäèêàòîðîì íåêîððåêòíîñòè
ïîñòàíîâîê ìîæåò ÿâëÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííîñòü â ðåøåíèè èëè íåñîâìåñòíîñòü çà-
äà÷ ËÏ, íà êîòîðûå ïðåäëàãàåòñÿ çàìåíèòü èñõîäíûå çàäà÷è.
Çàìå÷àíèå 17. Çà÷àñòóþ â ðàçëè÷íûõ ïîðòôåëüíûõ ïîñòàíîâêàõ ïîÿâëÿþòñÿ
íåêîòîðûå òåõíè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñ-
òè âûáîðà ïîðòôåëüíûõ êîìïîíåíò ui . Îíè ôîðìóëèðóþòñÿ â âèäå ëèíåéíûõ íåðà-
âåíñòâ, ïîýòîìó èõ äîáàâëåíèå â ïîñòàíîâêè ïðîáëåì îñóùåñòâëÿåòñÿ åñòåñòâåííî.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ðàáîòå îïèñàí íåêîòîðûé ñèñòåìàòè÷åñêèé ïîäõîä ê ïîèñêó îïòèìàëüíûõ
ïîðòôåëüíûõ ðåøåíèé ïî ñîîòíîøåíèþ âîçíàãðàæäåíèå–ðèñê â óñëîâèÿõ ðèñ-
êà è ÷àñòè÷íîé íåîïðåäåëåííîñòè. Èçëîæåíèå îãðàíè÷åíî ñëó÷àåì êîíå÷íûõ
äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ ñ.â., êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííîé äèñêðåòèçàöè-
åé ñ.â. â ðàçíîîáðàçíûõ ïðèëîæåíèÿõ.
Äëÿ ôèíàíñîâûõ ïðèëîæåíèé îïòèìàëüíûå (ýôôåêòèâíûå) ðåøåíèÿ ôîðìó-
ëèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé âîçíàãðàæäåíèÿ è ðèñêà. Ïðîáëåìû ïîèñêà îïòè-
ìàëüíûõ ïîðòôåëåé ïî ñîîòíîøåíèþ ôóíêöèé âîçíàãðàæäåíèÿ è ðèñêà, à òàêæå
ïî îòíîøåíèþ ýòèõ ôóíêöèé ñâåäåíû ê ïðîáëåìàì ËÏ êàê äëÿ ñëó÷àÿ èçâåñòíûõ
ðàñïðåäåëåíèé ñ.â., òàê è ïðè íåòî÷íûõ ñöåíàðíûõ âåðîÿòíîñòÿõ.
 êà÷åñòâå àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, ïðèìåíÿåìîãî äëÿ ñâåäå-
íèÿ çàäà÷ ïîèñêà îïòèìàëüíûõ ïîðòôåëüíûõ ðåøåíèé äëÿ ðàññìîòðåííîãî êëàñ-
ñà çàäà÷ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîáëåìàì ËÏ, èñïîëüçîâàí àïïàðàò ÏÊÌÐ. Ïðèâå-
äåíû ïðèìåðû åãî ïðèìåíåíèÿ.
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Z a c k o v a J . On minimax solutions of stochastic linear programming problems // Cas. Pest. Mat.
— 1966. — 91. — P. 423–430.
2. à î ë î ä í è ê î â À . Í . , Ñ ò î é ê î â à Ë . Ñ . ×èñëåííûé ìåòîä îöåíêè íåêîòîðûõ ôóíêöèî-
íàëîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ íàäåæíîñòü // Êèáåðíåòèêà. — 1978. — ¹ 2. — Ñ. 73–77.
3. E r m o l i e v Y u . , G a i v o r o n s k i A . , N e d e v a C . Stochastic optimization problems with
incomplete information on distribution functions // SIAM J. Control and Optimiz. — 1985. — 23(5). — P. 697–708.
4. D u p a c o v a J . The minimax approach to stochastic programming and an illustrative application //
Stochastic. — 1987. — 20. — P. 73–88.
5. C o h e r e n t measures of risk / P. Artzner, F. Delbaen, J.M. Eber, D. Heath // Math. Finance. —
1999. — 9. — P. 203–228.
6. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Optimization of conditional value-at-risk // J. Risk. —
2000. — 2. — P. 21–41.
7. R o c k a f e l l a r R . T . , U r y a s e v S . Conditional value-at-risk for general loss distribution //
J. Banking & Finance. — 2002. — 26. — P. 1443–1471.
8. A c e r b i C . , T a s c h e D . On the coherence of expected shortfall // J. Banking & Finance. —
2002. — 26(7). — P. 1487–1503.
9. T a s c h e D . Expected shortfall and beyond // J. Banking & Finance. — 2002. — 26(7). —
P. 1519–1533.
10. C h e r n y A . S . Weighted V@R and its properties // Finance and Stochastics. — 2006. — 10. —
P. 367–393.
11. F o l l m e r H . , S c h i e d A . Stochastic finance: An introduction in discrete time. — Berlin:
Walter de Gruyter, 2004. — 459 p.
12. Ê è ð è ë þ ê B . C . Î êîãåðåíòíûõ ìåðàõ ðèñêà è çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ // Òåîð³ÿ îïòèìàëü-
íèõ ð³øåíü. — Ê: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì.Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2003. — Âèï. 2. — Ñ. 111–119.
13. Ê è ð è ë þ ê B . C . Î êëàññå ïîëèýäðàëüíûõ êîãåðåíòíûõ ìåð ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. — 2004. — ¹ 4. — C. 155–167.
14. E i c h h o r n A . , R o m i s h W . , W e g n e r I . Polyhedral risk measures in electricity portfolio
optimization // PAMM Proc. Appl. Math. Mech. — 2004. — 4. — P. 7–10.
15. E i c h h o r n A . , R o m i s h W . Polyhedral risk measures in stochastic programming // SIAM
J. on Optimiz. — 2005. — 16(1). — P. 69–95.
16. E i c h h o r n A . , R o m i s h W . Stability of multistage stochastic programs incorporating
polyhedral risk measures // Optimiz. — 2008. — 57. — P. 295–318.
17. G u i g u e s V . , R o m i s h W . Sampling-based decomposition methods for multistage stochastic programs
based on extended polyhedral risk measures // SIAM J. on Optimiz. — 2012. — 22(2). — P. 286–312.
18. A c e r b i C . Spectral measuers of risk: a coherent representation of subjective risk aversion //
J. Banking & Finance. — 2002. — 26(7). — P. 1505–1518.
19. Ð î ê à ô å ë ë à ð Ð . Ò . Âûïóêëûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1973. — 472 ñ.
20. K u s u o k a S . On law invariant coherent risk measures / Kusuoka S., Maruyama T. (eds.).
Advances in Mathematical Economics. — Tokyo: Springer, 2001. — 3. — P. 83–95.
21. B e r t s i m a s D . , B r o w n D . B . Constructing uncertainty sets for robust linear optimization //
Operations Research. — 2009. — 57(6). — P. 1483–1495.
22. K i r i l y u k V . Polyhedral coherent risk measures, portfolio optimization and investment allocation
problems: (Interim Rep.) / IIASA. — N IR-07-030. — Laxenburg, 2007. — 21 p.
23. K i r i l y u k V . , N o r k i n V . Polyhedral coherent risk measures and their application to
investment decision support under catastrophic flood risks // Intelligent Data Proc. in Global
Monitoring for Environment and Security. — Sofia; Kiev: ITHEA, 2011. — P. 277–299.
24. Ê è ð è ë þ ê Â . Ñ . Ïîëèýäðàëüíûå êîãåðåíòíûå ìåðû ðèñêà è îïòèìèçàöèÿ èíâåñòèöèîííîãî
ïîðòôåëÿ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 2. — C. 120–133.
25. M a r k o w i t z H . M . Portfolio selection // J. Finance. — 1952. — 7(1). — P. 77–91.
26. M a r k o w i t z H . M . Portfolio selection: Efficient diversification of investments. — New York:
Wiley, 1959. — 344 p.
27. Þ ä è í Ä . Á . , Ã î ë ü ø ò å é í Å . Ã . Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå (òåîðèÿ, ìåòîäû è ïðèëî-
æåíèÿ). — Ì.: Íàóêà, 1969. — 424 ñ.
28. S h a r p e W . F . Mutual funds performance // J. Business January. — 1966. — 39(S1) . — P. 119–138.
29. R a c h e v S . T . , S t o y a n o v S . V . , F a b o z z i F . J . Advanced stochastic models, risk
assessment, and portfolio optimization. The ideal risk, uncertainty, and performance measures. —
New York: Wiley, 2008. — 382 p.
30. Ê è ð è ë þ ê  . Ñ . Îïòèìàëüí³ ð³øåííÿ â óìîâàõ ðèçèêó íà îñíîâ³ àïàðàòà áàãàòîçíà÷íèõ
â³äîáðàæåíü. Äèñ. ... äîêò. ô³ç.-ìàò. íàóê: 24.06.2006/²Ê ÍÀÍÓ. — Êè¿â, 2006. — 307 ñ.
31. S t a b l e etl optimal portfolios and extreme risk management, in Risk Assessment. Decisions in
Banking and Finance / S.T. Rachev, D. Martin, B. Racheva-Iotova, and S.T. Stoyanov —
Heidelberg: Physica-Verlag, 2009. — P. 235–262.
Ïîñòóïèëà 21.05.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 103
|