Зображення обкладинки

Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии

Для модели Крамера Лундберга со стохастическими премиями выводятся интегро-дифференциальные уравнения для вероятности неразорения на конечном и бесконечном промежутках времени функционирования страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Для вывода уравнений не требуется существования гладких плот...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Кибернетика и системный анализ
Дата:2014
Автори: Бондарев, Б.В., Болдырева, В.О.
Формат: Стаття
Мова:Російська
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Теми:
Системный анализ
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124701
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии / Б.В. Бондарев, В.О. Болдырева // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 113-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1860264986709852160
author Бондарев, Б.В.
Болдырева, В.О.
author_facet Бондарев, Б.В.
Болдырева, В.О.
citation_txt Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии / Б.В. Бондарев, В.О. Болдырева // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 113-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Кибернетика и системный анализ
description Для модели Крамера Лундберга со стохастическими премиями выводятся интегро-дифференциальные уравнения для вероятности неразорения на конечном и бесконечном промежутках времени функционирования страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Для вывода уравнений не требуется существования гладких плотностей распределения страховых премий и исков. Рассмотрены примеры, когда задача сведена к решению дифференциальных либо интегральных уравнений. Для моделі Крамера Лундберга зі стохастичними преміями виведено інтегро-диференціальні рівняння для ймовірності небанкрутства на скінченному та нескінченному інтервалах часу функціонування страхової компанії, що працює на (B, S)-ринку. Для виведення рівнянь не вимагається існування гладких щільностей розподілу страхових премій та вимог. The integral-differential equations for the survival probability, on finite and infinite time intervals, for the insurance company operating in the (B, S)-market are derived for the Cramer–Lundberg model with stochastic premiums. To derive the equations, smooth distribution densities of premiums and claims are not required.
first_indexed 2025-12-07T18:59:37Z
format Article
fulltext ÓÄÊ 519.21 Á.Â. ÁÎÍÄÀÐÅÂ, Â.Î. ÁÎËÄÛÐÅÂÀ ÂÛÂÎÄ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄËß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÍÅÐÀÇÎÐÅÍÈß ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÈ, ÐÀÁÎÒÀÞÙÅÉ ÍÀ ( , )B S -ÐÛÍÊÅ. ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÑÊÈ È ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÏÐÅÌÈÈ Àííîòàöèÿ. Äëÿ ìîäåëè Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè âûâîäÿòñÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ íà êîíå÷íîì è áåñêî- íå÷íîì ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, ðàáîòàþùåé íà ( , )B S -ðûíêå. Äëÿ âûâîäà óðàâíåíèé íå òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ãëàäêèõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðàõîâûõ ïðåìèé è èñêîâ. Ðàññìîòðåíû ïðèìåðû, êîãäà çàäà÷à ñâåäåíà ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ ëèáî èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëü Ï. Ñàìóýëüñîíà, âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ, ñòîõàñòè÷åñêèå ïðå- ìèè è èñêè, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà, óðàâíåíèå Èòî. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Îäíîé èç âàæíåéøèõ çàäà÷ àêòóàðíîé è ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè [1, 2] ÿâëÿåò- ñÿ íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, ïîñêîëüêó òàêàÿ äåÿòåëüíîñòü, êàê ñòðàõîâàíèå òðåáóåò íàèáîëåå ïîëíîãî ó÷åòà âëèÿíèÿ ðàç- ëè÷íûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ. ×òîáû ïîëó÷èòü ìîäåëü êîìïàíèè, ìàêñèìàëüíî ïðèáëèæåííóþ ê ðåàëüíûì óñëîâèÿì, èñïîëüçóþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèå ïðåìèè è èñêè, êîòîðûå ó÷èòûâàþò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð âðåìåíè è ðàçìåðîâ ïîñòóïà- þùèõ â êîìïàíèþ ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé è ïðåìèé. Òàêæå íåîáõîäèìî ó÷è- òûâàòü ñðåäñòâà, ïîëó÷àåìûå ñòðàõîâîé êîìïàíèåé îò âëîæåíèé ñâîáîäíûõ äåíåã íà áàíêîâñêèé ñ÷åò è â àêöèè. Âîïðîñ î íàõîæäåíèè âåðîÿòíîñòè íåðà- çîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïîëó÷èë ñâîå ðàçðåøåíèå äëÿ íåêîòîðûõ ïðî- ñòûõ ìîäåëåé ñ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ðàñïðåäåëåíèé.  îáùåì ñëó÷àå áûëè ïî- ëó÷åíû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîíå÷íîãî è áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëîâ âðåìåíè. Îòñóòñòâèå äèôôóçèîííîé ñîñòàâëÿþùåé â îñíîâíîì ïðîöåññå Ñàìóýëüñîíà òðåáîâàëî íàëè÷èÿ ãëàäêèõ ïëîòíîñòåé ðàñ- ïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ ïðåìèé, èñêîâ è öåí àêöèé, ÷òî íàêëàäûâàëî äîïîëíè- òåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ [3]. Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïîëó÷åíèå íîâîãî ñïîñîáà âûâåäåíèÿ óðàâíåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè. ÌÅÒÎÄ ÂÛÂÅÄÅÍÈß ÈÍÒÅÃÐÎ-ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÍÈÉ Ðàññìîòðèì ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè, ôóíêöèîíè- ðóþùåé íà ( , )B S -ðûíêå, ò.å. êîãäà èìåþùèåñÿ ñðåäñòâà ðàçìåùàþò íà áàí- êîâñêîì ñ÷åòó (áåçðèñêîâûé àêòèâ B), à òàêæå â ðèñêîâûé àêòèâ S — àêöèè. Îáîçíà÷èì �x t( ) êàïèòàë êîìïàíèè â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè óñëîâèè, ÷òî â íà- ÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè êàïèòàë êîìïàíèè ñîñòàâëÿåò �x x( )0 � . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñòóïàþùèå â êîìïàíèþ ñòðàõîâûå èñêè è ïðåìèè — ñòîõàñòè÷åñêèå. Êî- ëè÷åñòâî ïîñòóïàþùèõ èñêîâ ïîä÷èíÿåòñÿ ïóàññîíîâñêîìó çàêîíó ðàñïðåäåëå- íèÿ Z t( ), à êîëè÷åñòâî ïîñòóïàþùèõ ïðåìèé — ïóàññîíîâñêîìó çàêîíó ðàñïðå- äåëåíèÿ Z t1 ( ) . Ñóììàðíûå èñêè � k k Z t � � 1 ( ) (ñ÷èòàåì, ÷òî � k k � � � 0 1 0 ), ãäå � k — âå- ëè÷èíû èñêîâ, P x F xk( ) ( )� � � , ñîñòàâëÿþò ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì �, êîòîðûé ïðåäñòàâèì â âèäå ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà �� �( , )d ds t 00 � � �� [2], ãäå � �( , )d ds — ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà, à M d ds� �( , ) � � � �F d ds( ) , ãäå F d( )� — ìåðà èíòåðâàëà ( , )� � �� d . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 113 © Á.Â. Áîíäàðåâ, Â.Î. Áîëäûðåâà, 2014 Àíàëîãè÷íî ñóììàðíûå ïðåìèè � i i Z t � � 1 1( ) , ãäå � i — âåëè÷èíû ïðåìèé, P x G xi( ) ( )� � � , ÿâëÿþò ñîáîé ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðîì �1 è ïðåäñòàâèì â âèäå ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà �� �1 00 ( , )d ds t �� �� [2], ãäå � �1 ( , )d ds — ïóàññîíîâñêàÿ ìåðà, à M d ds G d ds� � � �1 1( , ) ( )� , ãäå G d( )� — ìåðà èíòåðâàëà ( , )� � �� d .  ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè êàïèòàë êîìïàíèè ðàçäåëÿåòñÿ íà äâå ÷àñòè: äîëÿ u , 0 1� �u , îòâîäèòñÿ íà ïîêóïêó àêöèé, äîëÿ 1 u — íà áàíêîâñêèé ñ÷åò ïîä ïðî- öåíòíóþ ñòàâêó r.  äåíåæíîì ñîîòíîøåíèè: u tx� ( ) — êîëè÷åñòâî äåíåã, êîòî- ðîå îòâîäèòñÿ íà ïîêóïêó àêöèé, ( ) ( )1 u tx� — êîëè÷åñòâî äåíåã, êîòîðîå êëà- äåòñÿ íà áàíêîâñêèé ñ÷åò. Òîãäà íà ìîìåíò âðåìåíè t t� íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó áóäåò ( ) ( )( )1 1 �u t r tx� äåíåã. Ïóñòü öåíà ðèñêîâîãî àêòèâà îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ Ï. Ñàìóýëüñîíà: P t P t W t t( ) ( )exp ( ) ,� � � � � � � � � � � �� � � � �� �0 2 0 2 . Òîãäà ïî ôîðìóëå Èòî [1, 4] dP t P t dt dW t( ) ( )( ( ))� � . (1) Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (1) â âèäå P t t P t P t t W t( ) ( ) ( )( ( ))� � � , ãäå W t W t t W t( ) ( ) ( )� � . Îòñþäà ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íî ìàëûõ âûñ- øåãî ïîðÿäêà èìååì P t t P t t W t( ) ( )( ( ))� � � � 1 . Êîëè÷åñòâî àêöèé, êîòîðîå ìîæíî êóïèòü íà ñóììó u tx� ( ) ïî öåíå P t( ) çà àêöèþ, ñîñòàâëÿåò u t P t x� ( ) ( ) . Òîãäà íîâàÿ öåíà ïàêåòà àêöèé ê ìîìåíòó âðåìåíè t t� ðàâíà u t t W tx� ( )( ( ))1� � . Î÷åâèäíî, ÷òî ñîîòíîøåíèå äëÿ ýâîëþöèè êàïèòàëà êîìïàíèè èìååò âèä � � �x i i Z t Z t t k k Z t Z t t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � 1 1 � � � � �( ) ( )( ) ( )( ( ))1 1 1u t r t u t t W tx x� � . Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè t � 0 â âûðàæåíèè � �� � �� �x t t d t d t( ) ( , ) ( , )� � � � � � � � � 1 0 0 � � � � �( ) ( )( ) ( )( ( ))1 1 1u t r t u t t W tx x� � , ïîëó÷èì d t t u ur r dt u t dW tx x x� � �( ) ( )( ) ( ) ( )� � � � �� � �� �1 0 0 ( , ) ( , )d dt d dt � � � � � � . (2) Âîñïîëüçóåìñÿ èäåÿìè è ìåòîäàìè ðàáîò [1, 3, 5, 6]. Ïóñòü ïåðâûé ñêà÷îê êàïèòàëà ïðîèñõîäèò â ìîìåíò âðåìåíè � � s , à åãî âåëè÷èíà ðàâíà y. Äî ýòîãî ìîìåíòà óðàâíåíèå êàïèòàëà èìååò âèä d t t u ur r dt u t dW tx x x� � �( ) ( )( ) ( ) ( )� � � , ãäå �x x( )0 � . (3) Äàëåå ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñîñòàâèì óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè äëÿ áàëàíñîâîãî óðàâíåíèÿ (2) íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 t 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 � � �� �( , ) ( , , ) ( , ) (( ) x t e P x s dz z y t s dF y t s z � � � � � �� 0 0 0 1 ) � � � � � � � � � � �� � �� � � � 1 0 1( , ) ( ) ( ) z y t s dG y ds e t , (4) ãäå P x t A P t Ax( , , ) ( )� �{ }� — âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ïðîöåññà �x t( ) èç òî÷êè x çà âðåìÿ t � 0 â ìíîæåñòâî A. Ïîêàæåì, ÷òî ó âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ñóùåñòâóþò ïëîòíîñòü ( , , )x t z , à òàêæå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå � � ( , , )x t z x , � � 2 2 ( , , )x t z x , � � ( , , )x t z t . Äëÿ ýòîãî íàé- äåì ÿâíûé âèä ïëîòíîñòè. Ýòîò ôàêò âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ ðàññóæäåíèé. Âîñ- ïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Èòî, âûïèøåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) � x t x u u r u t u W t( ) exp ( ) ( )� � � � � � � � � � � � �� � � � � 1 2 2 2 � . (5) Ïóñòü u t x M f t M f x u u r u t ux( , ) ( ( )) exp ( )� � � � � � � � � �� 1 2 2 2 W t( ) � � � �� � � � �� � � � � � � , ãäå t x R� �0, , u x f x( , ) ( )0 � . Ôóíêöèÿ f C R� 2 0[ , ] ïðîèçâîëüíàÿ. Òîãäà u t x( , ) ÿâ- ëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è � � � � � � � � � u t x t u x u t x x u ur r x u t x x ( , ) ( , ) ( ) ( , ) , 1 2 2 2 2 2 2 u x f x( , ) ( )0 � . (6) Äàëåå ïîñòðîèì ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå, ò.å. íàéäåì ïëîòíîñòü âåðîÿò- íîñòè ïåðåõîäà ( , , )x t y äëÿ ïðîöåññà �x t( ) — òàêóþ ôóíêöèþ, ÷òî P x t A( , , ) � � � � �P t A x t y dyx A { }� ( ) ( , , ) . Âûïîëíèì ïîñòðîåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ñëåäóþùèì îáðàçîì [7, 8]: u t x M f x u ur r u t u W t( , ) exp ( )� � � � � � � � � � � � �� � � � 2 2 2 �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � � M f x u ur r u t u W t t texp ( ) 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �� � � 1 2 2 2 2 � f x u ur r u t u t yexp � � � � � � � � � � � �� � exp y dy 2 2 . (7) Ââåäåì çàìåíó y t k� . Òîãäà u t x t f x u ur r u t u k( , ) exp� � � � � � � � � � � � �� � � �1 2 2 2 2 � �� � � � � � � � �� � exp( ) k t dk 2 2 . (8) Ïðè ýòîì u t x f z x t z dz( , ) ( ) ( , , )� �� � 0 , (9) ãäå ( , , )x t z — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà ïðîöåññà �x t( ) èç ñîñòîÿíèÿ x â ñîñòîÿíèå z. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè ( , , )x t z , ïðèâåäåì (8) ê âèäó (9) è ñäåëàåì çàìåíó: x u ur r u t u k zexp � � � � � � � � � � � �� � � � �� � 2 2 2 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 115 Âûðàçèâ k u z x u ur r u t� � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 ln , ïîëó÷èì u t x tu f z z z x u ur r u ( , ) ( ) exp ln � � � � � � 1 2 1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � �� � t u t dz 2 2 2 0 2 , (10) îòêóäà � ( , , ) exp ln x t z tu z z x u ur r u � � � � � � � �1 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � t u t 2 2 22 . (11) Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåäèìñÿ â ñóùåñòâîâàíèè ïðîèçâîäíûõ è â òîì, ÷òî ( , , )x t z óäîâëåòâîðÿåò îáðàòíîìó óðàâíåíèþ Êîëìîãîðîâà � � � � � � � � ( , , ) ( , , ) ( ) ( ,t x z t u x t x z x u ur r x t x1 2 2 2 2 2 2 , )z x� , � � � � � � � � � ( , , ) exp ln x t z x tu zx z x u ur r u 1 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � t u t 2 2 22 � � � � � � � � ln z x u ur r u t u t 2 2 2 2 2 , (12) � � � � � � 2 2 3 3 3 2 1 2 � ( , , ) exp ln x t z x t u zx z x u ur r u t u t 2 2 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ln ln z x u ur r u t z x u ur r 2 2 2 1 u t u t 2 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � , (13) � � � � � � � � ( , , ) exp ln x t z t t u z z x u ur r u 1 2 2 3 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � t u t 2 2 22 � ! " " " � � � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 2 2 ln z x u ur r u t u t � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2 2 2 2 u ur r u t z x u ur r u ln � � � � � � � � � � � � � � # $ % % % t . (14) Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå ïðîèçâîäíûå (12)–(14) â óðàâíåíèå (6) âìåñòî ôóíê- öèè u t x( , ). Êàê âèäèì, ( , , )x t z îáëàäàåò ñâîéñòâàìè äåëüòà-ôóíêöèè è ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ. Äàëåå ñîîòíîøåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè �( , )x t ïåðåïèøåì â âèäå 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 � � �� �( , ) ( , , ) ( , ) ( )( ) x t e x s z z y t s dF y s t z � � � � � � �1 0 0 �� � 0 � � � � � � � �� � �� � � � 1 0 1( , ) ( ) ( ) z y t s dG y dzds e t . (15) Ïðîèíòåãðèðóåì (15) ïî ÷àñòÿì: � � � � �� � � � ( , ) ( , , ) ( , ) (( ) ( ) x t e e x t z z y dF t t � � � � 1 1 1 0 y z ) � � � �� �� 00 � � � � � � � � � �� �� � � � 1 0 1 0 1 ( , ) ( )z y dG y dz � � � � � �� � � 0 0 10 � � � �( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x z z y t dF y z y t dG y z 0 1 1 �� � � � � � � � �dz � � � � � � � � � � � �e x s z s z y t s dF y s t z ( ) ( , , ) ( , ) ( )� � � �1 0 00 � �� � � � � � � � �� �1 0 ( , ) ( )z y t s dG y dzds � � � � � � � � � 1 1 0 0 1 � � � �� � e x s z s z y t s dF y s t z ( ) ( , , ) ( , ) ( ) � �� � 0 � � � � � � � � �� �� � 1 0 s z y t s dG y dzds( , ) ( ) . (16) Ïîñêîëüêó ( , , )x t z ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (6) (ò.å. â òî÷êå t � 0 ÿâëÿåòñÿ äåëüòà-ôóíêöèåé), ïîëó÷èì � � � � � � � ( , ) ( ) ( ) x t e et t � � � � � 1 1 1 � � � � ��� �� � � � �( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x t z z y dF y z y dG y z 0 0 00 1 0 �� � � � � � �dz � � � � � ��� �� 1 0 1 00 1 � � � � � �( , , ) ( , ) ( ) ( , )x z z y t dF y z y t z dG y dz( ) 0 �� � � � � � � � � � � � � � � � 1 21 0 2 2 2 2 2 1 � � � � e u x x s z x u ur r x s t ( ) ( , , ) ( ) ( , , )x s z x� � � � � � � � �� � 0 � � � � � � � � �� � �� � � � �( , ) ( ) ( , ) ( )z y t s dF y z y t s dG y z 0 1 0 dzds� � � � � � � � � � 1 1 0 0 1 � � � �� � e x s z s z y t s dF y s t z ( ) ( , , ) ( , ) ( ) � �� � 0 � � � � � � � � �� �� � 1 0 s z y t s dG y dzds( , ) ( ) . (17) Çàìåòèì, ÷òî e x s z s z y t s dF y s t z � �� � �� � � � � ( ) ( , , ) ( , ) ( )� � � � 1 0 00 � � � � � � � � � �� �� � 1 0 s z y t s dG y dzds( , ) ( ) � � � � � � � � �e t x s z z y t s dF y s t z ( ) ( , , ) ( , ) ( )� � � �1 0 00 �� �� � � � � � � � � �1 0 ( , ) ( ) .z y t s dG y dzds ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 117 Äëÿ âûðàæåíèÿ (15) íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ïî t: � � � � �� � � � �( , ) ( ) ( )x t t e t 1 1 � � � � � �� ��e x t z z y dF y z t z ( ) ( , , ) ( , ) ( ) (� � � � � �1 0 00 1 y dG y dz, ) ( )0 0 �� � � � � � � � � � � � � � �e t x s z z y t s dF y s t z ( ) ( , , ) ( , ) ( )� � � �1 0 00 � � � � � � � � �� �� �1 0 ( , ) ( )z y t s dG y dzds . (18) Ïðèáàâèâ ê âûðàæåíèþ (18) âûðàæåíèå (17), óìíîæåííîå íà ( )� �1 � , ïîëó÷èì ( ) ( , ) ( , ) � � � � 1 � � � � �x t x t t � � � � ��� �� � � � �( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x z z y t dF y z y t dG y z 0 00 1 0 �� � � � � � �dz � � � � � � � � e u x x s z x u ur r x xs t ( ) ( , , ) ( ) ( ,� � 1 0 2 2 2 2 2 1 2 s z x , ) � � � � � � � � �� � 0 � � � � � � � � �� � �� � � � �( , ) ( ) ( , ) ( )z y t s dF y z y t s dG y z 0 1 0 dzds . Ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )� � � � � �1 0 � � � � � ��x t x t t x y t dF y x � � � � � � � �� �� � � 1 0 2 2 2 2 2 1 2 ( , ) ( ) ( , ) ( )x y t dG y u x x t x u ur r x x t x � � �( , ) . Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ �( , )x t ïðè ôèêñèðîâàííîì x ñ ðîñòîì t íå âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó íóëåì, òî ïðè t � � ôóíêöèÿ �( , )x t èìååò ïðåäåë è lim ( , ) t x t t�� � � � � 0 . Óñòðåìèâ t ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ áåñêîíå÷íîãî èíòåðâà- ëà ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êîìïàíèè ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �1 0 1 0 � � � � �� � �� x x y dF y x y dG y x � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 2 u x x x u ur r x x x � �( ) ( ) ( ) . Çàìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, åñëè êîìïàíèÿ íå ðàáîòàåò íà ( , )B S -ðûíêå, ò.å. r u� �0 0, , ïîëó÷èì óæå èçâåñòíûé ðåçóëüòàò [9] äëÿ êîíå÷íîãî èíòåðâàëà âðåìåíè ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ,� � � � � � � �1 0 1� � � � � � ��x t x t t x y t dF y x y t x ) ( )dG y 0 �� � è äëÿ áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà âðåìåíè ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �1 0 1 0 � � � � � � �� � x x t x y dF y x y dG y x � � . 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 Òàêèì îáðàçîì, íàéäåííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü â âèäå ñëåäó- þùèõ òåîðåì. Òåîðåìà 1. Íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , ]0 t ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðà- õîâîé êîìïàíèè ñ ýâîëþöèåé êàïèòàëà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì (2), âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )� � � � � �1 0 � � � � � ��x t x t t x y t dF y x � � � � � � � �� �� � � 1 0 2 2 2 2 2 1 2 ( , ) ( ) ( , ) ( )x y t dG y u x x t x u ur r x x t x � � �( , ) . (19) Òåîðåìà 2. Íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ , )0 � ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñ ýâîëþöèåé êàïèòàëà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì (2), âåðîÿò- íîñòü íåðàçîðåíèÿ óäîâëåòâîðÿåò èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �1 0 1 0 � � � � �� � �� x x y dF y x y dG y x � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 2 u x x x u ur r x x x � �( ) ( ) ( ) . (20) ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÑËÓ×ÀßÕ Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ìåòîäû ñâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (20) ê âèäó, áîëåå ïðèâû÷- íîìó äëÿ ìàòåìàòèêîâ. Áåñêîíå÷íûé ñëó÷àé. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåëè÷èíû èñêîâ è ñòðàõîâûõ ïðåìèé ðàñïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ ýêñïîíåíöè- àëüíîãî çàêîíà. Ïóñòü F x e G x e a bax bx( ) , ( ) ( , )� � � 1 1 0 . Òîãäà ïîëó÷èì óðàâíåíèå ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �1 0 1 0 � � � � � �� � �x x y ae dy x y be dyay x by � && � � & 1 2 2 2 2u x x u ur r x x � �( ) ( ) ( ) . (21) Ïðîäèôôåðåíöèðóåì äâàæäû óðàâíåíèå ïî x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �1 1 0 � & � � � �x b a x a x y ae dyay x � � � &&& � � �� �� � � �1 0 2 2 21 2 b x y be dy u x x u ur rby( ) ( ) ( ) ' (x) � � && � � &&u x x u ur r x x2 2 � �( ) ( ) ( ) ; (22) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �1 1 1 2 2� && � & � � �x b a x b a x � � � � �� � �� � � �a x y ae dy b x y be dyay x by2 0 1 2 0 ( ) ( ) � � � � &&& � 1 2 22 2 2 2 2u x x x u u ur r xIV � �( ) ( ) ( ) � � � &&( ) ( )2 2 2u u ur r x � . (23) Òåïåðü íàéäåì ñóììó âûðàæåíèÿ (21), óìíîæåííîãî íà ab, è âûðàæåíèÿ (22), óìíîæåííîãî íà ( )b a , è âû÷òåì èç íåå âûðàæåíèå (23). Ïîëó÷èì äèôôåðåí- öèàëüíîå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2u x x x u u ur r b a u xIV � ( ) ( )� � � ! " # $ % &&& �� ( )x ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 119 � ! " � � � � 2 2 2 1u u ur r b a u ur r � � ( ) ( )( ) � # $ % && �( ) ( )b a u x abu x x2 2 2 2 21 2 � � & � � �� � � ( )[ ( ) ( )( )]x b a u ur r abx b a u ur r1 0. (24) Êðàåâûå óñëîâèÿ: � � � � � � � � � � ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( � � � � � & � �� � 1 0 0 1 1 0 1 y be dyby 1 1 0 1 0 0b a b y be dy u ur rby � � � & � �� �� � � � � � � ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) && � & � � � � � � � � � � � � � 0 0 01 1 2 2 1 2 b a b a b y be bydy u u ur r 0 2 22 0 �� � � � � && � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( ). � (25) Óðàâíåíèå (24) ñ ïîìîùüþ çàìåíû & �� ( ) ( )x z x ñâîäèòñÿ ê äèôôåðåíöèàëü- íîìó ëèíåéíîìó îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ òðåòüåé ñòåïåíè ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè: 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2u x z x x u u ur r b a u x &&& � � � ! " # $ % &( ) ( ) & �z x( ) � ! " � � � � 2 2 2 1u u ur r b a u ur r � � ( ) ( )( ) � # $ % & �( ) ( )b a u x abu x z x2 2 2 2 21 2 � � � �z x b a u ur r abx b a u ur r( )[ ( ) ( )( )]� � 1 0 . (26) Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ. Èçíà÷àëüíîå óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå � � � � � � �2 2 1x x x x x&& � & � �( ) ( ) ( ) ( ) � � �� ��� � � �( ) ( ) ( ) ( )x y dF y x y dG y x 1 00 . (27) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà íàéäåì âíà÷àëå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ � � � � � � �2 2 1 0x x x x x&& � & � �( ) ( ) ( ) ( ) . Ðåøåíèå áóäåì íàõîäèòü â âèäå � �( )x cx� : � � � � � � �� � �2 2 2 1 11 0x c x xc x cx( ) ( ) � � � ; cx � � � � � � � �( ( ) ( ))2 2 2 1 0� � � ; D � � � �( ) ( )� � � � �2 2 2 14 0 . Îòñþäà � � � � � � � � 1 2 2 2 2 22 2 � � � D D , . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé � � � � � � � � � 1 1 4 2 2 2 2 2 1 2 � � � � c x ( ) ( ) , � � � � � � � � � 2 2 4 2 2 2 2 2 1 2 � � � c x ( ) ( ) . 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 Ñòðîèì ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ (27): g x x x x( , ) ( ) ( ) (� � � � � � � � � � � � � � �� � sign 2 2 2 2 1 12 1 1 2 2 1 ) . Çàìåòèì, ÷òî g x x( , ) � 0, & �g x x x x ( , ) 1 2 2 2� ïðè x � � . Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãðèíà ïîëó÷èì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ âåðîÿò- íîñòè íåðàçîðåíèÿ � � � � � � � � � ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )x g x y dF y y dG y� � ! " " #�� �� 1 00 $ % % � d x � 0 . (28) Óðàâíåíèå (28) äàëåå ìîæíî ðåøàòü ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Êàê ïðåäñòàâëÿåòñÿ àâòîðàì, ðåøåíèå óðàâíåíèé (26) è (28) ÿâëÿåòñÿ äëÿ ìà- òåìàòèêîâ áîëåå èçâåñòíîé çàäà÷åé, ÷åì ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (20). ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Äëÿ ìîäåëè ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, ôóíêöèîíèðó- þùåé íà ( , )B S -ðûíêå, áûëè âûâåäåíû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà êîíå÷íîì è áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëàõ âðåìåíè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ. Ïîëó÷åí- íûå ðåçóëüòàòû ïðîâåðåíû äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ: ìîäåëè ñòðàõîâîé êîìïàíèè ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè, êîòîðàÿ íå ðàçìåùàåò ñâîè ñâîáîäíûå ñðåäñòâà íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó è íå âêëàäûâàåò èõ â àêöèè ëèáî äðóãèå ðèñêîâûå àêòèâû. Çàìåòèì, ÷òî òàêîé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðå- íèÿ íå íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèé íà ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêèõ ïëîòíîñòåé ðàñïðå- äåëåíèÿ äëÿ âåëè÷èí ñòðàõîâûõ èñêîâ è ïðåìèé, êàê â ðàáîòàõ [3, 6], à òàêæå ïîäòâåðæäàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíûõ äëÿ âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î  . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É . Òåîðåòè- êî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Ê.: ²íôîðì- òåõí³êà, 1995. — 380 ñ. 2. Á î í ä à ð å â Á .  . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè â ñòðàõîâàíèè. — Äîíåöê: ÀÏÅÊÑ, 2002. — 117 ñ. 3. Á î í ä à ð å â Á .  . , Ð à ã ó ë è í à Å . Þ . Î âåðîÿòíîñòè íåðàçîðåíèÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè íà êîíå÷- íîì èíòåðâàëå âðåìåíè ïðè èíâåñòèðîâàíèè êàïèòàëà íà ôèíàíñîâîì ( , )B S -ðûíêå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2012. — ¹ 5. — Ñ. 112–124. 4. Ê à ì ê å Ý . Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. — Ì.: Íàóêà, Ãë. ðåä. ôèç-ìàò. ëèò., 1971. — 576 ñ. 5. Ð à ã ó ë ³ í à Î . Þ . Ïðî äèôåðåíö³éîâí³ñòü ³ìîâ³ðíîñò³ íåáàíêðóòñòâà ñòðàõîâî¿ êîìïàí³¿ â ìîäåëÿõ ç³ ñòàëîþ â³äñîòêîâîþ ñòàâêîþ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ô³íàíñîâà ìàòåìàòèêà. — 2010. — ¹ 1–2. — Ñ. 82–116. 6. Pe r v o z v a n s k y A . A . , J r . Equation for survival probability in a finite time interval in case of non-zero real interest force // Insurance: Mathematics and Economics. — 1998. — 23, Issue 3. — P. 287–295. 7. Î ê ñ å í ä à ë ü Á . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ââåäåíèå â òåîðèþ è ïðèëîæåíèÿ: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ìèð, OOO «Èçäàòåëüñòâî ÀÑÒ», 2003. — 408 ñ. 8. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1971. — 664 ñ. 9. Á î é ê î â À .  . Ìîäåëü Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè ïðåìèÿìè // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 2002. — 47, âûï. 3. — Ñ. 549–553. Ïîñòóïèëà 21.11.2013 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 121
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124701
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0023-1274
language Russian
last_indexed 2025-12-07T18:59:37Z
publishDate 2014
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
record_format dspace
spelling Бондарев, Б.В.
Болдырева, В.О.
2017-10-02T18:30:14Z
2017-10-02T18:30:14Z
2014
Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии / Б.В. Бондарев, В.О. Болдырева // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 113-121. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
0023-1274
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124701
519.21
Для модели Крамера Лундберга со стохастическими премиями выводятся интегро-дифференциальные уравнения для вероятности неразорения на конечном и бесконечном промежутках времени функционирования страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Для вывода уравнений не требуется существования гладких плотностей распределения страховых премий и исков. Рассмотрены примеры, когда задача сведена к решению дифференциальных либо интегральных уравнений.
Для моделі Крамера Лундберга зі стохастичними преміями виведено інтегро-диференціальні рівняння для ймовірності небанкрутства на скінченному та нескінченному інтервалах часу функціонування страхової компанії, що працює на (B, S)-ринку. Для виведення рівнянь не вимагається існування гладких щільностей розподілу страхових премій та вимог.
The integral-differential equations for the survival probability, on finite and infinite time intervals, for the insurance company operating in the (B, S)-market are derived for the Cramer–Lundberg model with stochastic premiums. To derive the equations, smooth distribution densities of premiums and claims are not required.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
Виведення рівняння для ймовірності небанкрутства страхової компанії, що працює на (B, S)-ринку. Стохастичні позови та стохастичні премії
Deriving the equation for the survival probability of the insurance company in (B, S)-market. Stochastic claims and stochastic premiums
Article
published earlier
spellingShingle Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
Бондарев, Б.В.
Болдырева, В.О.
Системный анализ
title Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
title_alt Виведення рівняння для ймовірності небанкрутства страхової компанії, що працює на (B, S)-ринку. Стохастичні позови та стохастичні премії
Deriving the equation for the survival probability of the insurance company in (B, S)-market. Stochastic claims and stochastic premiums
title_full Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
title_fullStr Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
title_full_unstemmed Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
title_short Вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (B,S)-рынке. Стохастические иски и стохастические премии
title_sort вывод уравнения для вероятности неразорения страховой компании, работающей на (b,s)-рынке. стохастические иски и стохастические премии
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124701
work_keys_str_mv AT bondarevbv vyvoduravneniâdlâveroâtnostinerazoreniâstrahovoikompaniirabotaûŝeinabsrynkestohastičeskieiskiistohastičeskiepremii
AT boldyrevavo vyvoduravneniâdlâveroâtnostinerazoreniâstrahovoikompaniirabotaûŝeinabsrynkestohastičeskieiskiistohastičeskiepremii
AT bondarevbv vivedennârívnânnâdlâimovírnostínebankrutstvastrahovoíkompanííŝopracûênabsrinkustohastičnípozovitastohastičnípremíí
AT boldyrevavo vivedennârívnânnâdlâimovírnostínebankrutstvastrahovoíkompanííŝopracûênabsrinkustohastičnípozovitastohastičnípremíí
AT bondarevbv derivingtheequationforthesurvivalprobabilityoftheinsurancecompanyinbsmarketstochasticclaimsandstochasticpremiums
AT boldyrevavo derivingtheequationforthesurvivalprobabilityoftheinsurancecompanyinbsmarketstochasticclaimsandstochasticpremiums

Схожі ресурси