Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени
Разработан эффективный алгоритм решения в квантовой модели вычислений обобщенной задачи дискретного логарифмирования с использованием сведения к абелевой задаче о скрытой подгруппе. Предложенный метод позволяет в квантовой модели вычислений эффективно решить частную задачу поиска сопрягающего элемен...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Series: | Кибернетика и системный анализ |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124708 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени / А.В. Фесенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 184-186. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124708 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1247082025-02-09T14:16:21Z Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени Вразливість в квантовій моделі обчислень криптопримітивів, що базуються на задачі пошуку елемента спряження та степеня Vulnerability in quantum computation model of cryptographic primitives based on the power conjugacy search problem Фесенко, А.В. Краткие сообщения Разработан эффективный алгоритм решения в квантовой модели вычислений обобщенной задачи дискретного логарифмирования с использованием сведения к абелевой задаче о скрытой подгруппе. Предложенный метод позволяет в квантовой модели вычислений эффективно решить частную задачу поиска сопрягающего элемента и степени, на сложности решения которой в отдельных группах основывается стойкость нескольких криптографических систем и протоколов. Розроблено ефективний алгоритм розв'язання в квантовій моделі обчислень узагальненої задач і дискретного логарифмування за допомогою зведення до абелевої задачі про приховану підгрупу. Запропонований метод дозволяє в квантовій моделі обчислень ефективно розв'язати часткову задачу пошуку елемента спряження та степеня, на складності розв'язання якої в деяких групах ґрунтується стійкість декількох криптографічних систем та протоколів The paper shows the existence of an efficient algorithm to solve the generalized discrete logarithm problem in quantum computing model by reducing it to the Abelian hidden subgroup problem. The proposed method can also efficiently solve the power conjugacy search subproblem in quantum computing model, on whose complexity in some groups the resistance of several cryptographic systems and protocols is based. 2014 Article Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени / А.В. Фесенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 184-186. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124708 512.54.05 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Краткие сообщения Краткие сообщения |
| spellingShingle |
Краткие сообщения Краткие сообщения Фесенко, А.В. Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени Кибернетика и системный анализ |
| description |
Разработан эффективный алгоритм решения в квантовой модели вычислений обобщенной задачи дискретного логарифмирования с использованием сведения к абелевой задаче о скрытой подгруппе. Предложенный метод позволяет в квантовой модели вычислений эффективно решить частную задачу поиска сопрягающего элемента и степени, на сложности решения которой в отдельных группах основывается стойкость нескольких криптографических систем и протоколов. |
| format |
Article |
| author |
Фесенко, А.В. |
| author_facet |
Фесенко, А.В. |
| author_sort |
Фесенко, А.В. |
| title |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| title_short |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| title_full |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| title_fullStr |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| title_full_unstemmed |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| title_sort |
уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Краткие сообщения |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124708 |
| citation_txt |
Уязвимость в квантовой модели вычислений криптопримитивов, основанных на задаче поиска сопрягающего элемента и степени / А.В. Фесенко // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 5. — С. 184-186. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT fesenkoav uâzvimostʹvkvantovojmodelivyčislenijkriptoprimitivovosnovannyhnazadačepoiskasoprâgaûŝegoélementaistepeni AT fesenkoav vrazlivístʹvkvantovíjmodelíobčislenʹkriptoprimítivívŝobazuûtʹsânazadačípošukuelementasprâžennâtastepenâ AT fesenkoav vulnerabilityinquantumcomputationmodelofcryptographicprimitivesbasedonthepowerconjugacysearchproblem |
| first_indexed |
2025-11-26T17:41:06Z |
| last_indexed |
2025-11-26T17:41:06Z |
| _version_ |
1849875620612276224 |
| fulltext |
À.Â. ÔÅÑÅÍÊÎ
ÓÄÊ 512.54.05 ÓßÇÂÈÌÎÑÒÜ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÎÄÅËÈ
ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ ÊÐÈÏÒÎÏÐÈÌÈÒÈÂÎÂ,
ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÕ ÍÀ ÇÀÄÀ×Å ÏÎÈÑÊÀ
ÑÎÏÐßÃÀÞÙÅÃÎ ÝËÅÌÅÍÒÀ È ÑÒÅÏÅÍÈ
Àííîòàöèÿ. Ðàçðàáîòàí ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé
îáîáùåííîé çàäà÷è äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâåäåíèÿ ê àáåëå-
âîé çàäà÷å î ñêðûòîé ïîäãðóïïå. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò â êâàíòîâîé ìîäåëè
âû÷èñëåíèé ýôôåêòèâíî ðåøèòü ÷àñòíóþ çàäà÷ó ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïå-
íè, íà ñëîæíîñòè ðåøåíèÿ êîòîðîé â îòäåëüíûõ ãðóïïàõ îñíîâûâàåòñÿ ñòîéêîñòü íå-
ñêîëüêèõ êðèïòîãðàôè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðîòîêîëîâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êâàíòîâàÿ ìîäåëü âû÷èñëåíèé, çàäà÷à ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà
è ñòåïåíè, êðèïòîãðàôèÿ, îñíîâàííàÿ íà ãðóïïàõ.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îäíèì èç ñîâðåìåííûõ íàïðàâëåíèé êðèïòîãðàôèè ÿâëÿåòñÿ êðèïòîãðàôèÿ,
îñíîâàííàÿ íà ãðóïïàõ [1]. Â îñíîâå ñòîéêîñòè ïîäîáíûõ ñèñòåì ëåæàò òðóä-
íîðåøàåìûå àëãîðèòìè÷åñêèå ïðîáëåìû òåîðèè ãðóïï. Ýòî íàïðàâëåíèå ñ÷è-
òàåòñÿ îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòîéêèõ ïîñòêâàíòîâûõ êðèï-
òîñèñòåì. Îäíàêî â ïîñëåäíåå âðåìÿ â êà÷åñòâå âûáðàííîé ãðóïïû äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìû, òàê íàçûâàåìîé ãðóïïû-ïëàòôîðìû,
èñïîëüçóþòñÿ êîíå÷íûå íåêîììóòàòèâíûå ãðóïïû. Ïðè ýòîì òàêæå îæèäàåòñÿ
ïîñòêâàíòîâàÿ ñòîéêîñòü òàêèõ ñèñòåì.
 äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåíà çàäà÷à ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïå-
íè, íà òðóäíîðåøàåìîñòè êîòîðîé îñíîâûâàåòñÿ, íàïðèìåð, ñòîéêîñòü êðèïòî-
ñèñòåìû â [2]. Ïîëó÷åí ðÿä ðåçóëüòàòîâ, êîòîðûå ïîêàçûâàþò, ÷òî âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíî ðåøåíà â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëå-
íèé äëÿ êîíå÷íûõ íåêîììóòàòèâíûõ ãðóïï.  ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâ-
íûé êâàíòîâûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äëÿ ãðóïïû-ïëàòôîðìû èç [2].
ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÛÅ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈÉ
Êâàíòîâàÿ ìîäåëü âû÷èñëåíèé íå ïðåäîñòàâëÿåò ïðèíèöèïèàëüíî íîâûõ âû-
÷èñëèìûõ ôóíêöèé, íî íåêîòîðûå çàäà÷è â íåé ìîæíî ðåøèòü áûñòðåå, ÷åì
â êëàññè÷åñêîé ìîäåëè. Íà äàííûé ìîìåíò ïðàêòè÷åñêè âñå èçâåñòíûå êà÷åñò-
âåííî áîëåå ýôôåêòèâíûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ
çàäà÷è î ñêðûòîé ïîäãðóïïå.
Çàäà÷à 1 (çàäà÷à î ñêðûòîé ïîäãðóïïå). Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâî îáðàçóþ-
ùèõ ýëåìåíòîâ ãðóïïû G, íåêîòîðîå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî S è ôóíêöèÿ f G S: �
ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì: ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîäãðóïïà H G� , ÷òî äëÿ
184 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
© À.Â. Ôåñåíêî, 2014
� �g g G1 2, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f g f g( ) ( )1 2� òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
g H g H1 2� . Íåîáõîäèìî íàéòè ìíîæåñòâî îáðàçóþùèõ ýëåìåíòîâ ïîäãðóïïû H ,
èñïîëüçóÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè f .
Ãëàâíûì çàäàíèåì êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è î ñêðû-
òîé ïîäãðóïïå ÿâëÿåòñÿ óìåíüøåíèå ñëîæíîñòè äî íåêîòîðîãî ïîëèíîìà îò âåëè-
÷èíû O G(log | | ), êîòîðóþ ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ðàçìåðîì âõîäíûõ äàííûõ äëÿ ýòîé
çàäà÷è, ñ ó÷åòîì êîëè÷åñòâà âû÷èñëåíèé ôóíêöèè è ëþáîé êëàññè÷åñêîé îáðàáîò-
êè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ. Òàêîé ïîëèíîìèàëüíî îãðàíè-
÷åííûé ïî ðåñóðñàì êâàíòîâûé àëãîðèòì áóäåì íàçûâàòü ýôôåêòèâíûì.
Óòâåðæäåíèå 1 [3]. Åñëè ôóíêöèÿ f ýôôåêòèâíî âû÷èñëèìà â êëàññè÷åñêîé
ìîäåëè âû÷èñëåíèé, à ãðóïïà G — àáåëåâà, òî â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé
ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ îáðàçóþùèõ ýëåìåíòîâ ñêðûòîé
ïîäãðóïïû H .
 äàííîé ðàáîòå äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà â êâàíòî-
âîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé ðåøåíèÿ íåêîòîðîé çàäà÷è èñêëþ÷èòåëüíî ìåòîäîì åå
ñâåäåíèÿ ê àáåëåâîìó ñëó÷àþ çàäà÷è î ñêðûòîé ïîäãðóïïå.
×ÀÑÒÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È ÏÎÈÑÊÀ ÑÎÏÐßÃÀÞÙÅÃÎ ÝËÅÌÅÍÒÀ È ÑÒÅÏÅÍÈ
Äëÿ àíàëèçà çàäà÷è ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè âîñïîëüçóåìñÿ
åå îïèñàíèåì èç [2]. Ïóñòü çàäàíû êîíå÷íàÿ íåêîììóòàòèâíàÿ ãðóïïà G, à òàê-
æå ýëåìåíòû R Q G, � ñ èçâåñòíûìè äîñòàòî÷íî áîëüøèìè ïðîñòûìè ïîðÿäêà-
ìè r è q ñîîòâåòñòâåííî. Äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå, ÷òî
RQR Q QRQR� �
�
1 1, è èçâåñòåí ýëåìåíò Y R Q Rw x w
�
� äëÿ íåêîòîðûõ çíà÷å-
íèé 0
w r è 1
x q . Èñêîìûì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ïàðà çíà÷åíèé ( , )w x .
Èìåííî òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè áó-
äåò ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ äàííîé ðàáîòû.
Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé èìååò ýôôåêòèâíîå
ðåøåíèå îáîáùåííàÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå çàäà÷à äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü çàäàí ýëåìåíò A G� ñ èçâåñòíûì ïîðÿäêîì a è èçâåñòåí
òàêîé ýëåìåíò B G� , ÷òî A B BAn n
� äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ n Za� , n � 0. Òîãäà ñó-
ùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé êâàíòîâûé àëãîðèòì, êîòîðûé ïî çàäàííîìó çíà÷åíèþ
K A Zx
� , ãäå x Za� — íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå, à Z — íåèçâåñòíûé ýëåìåíò èç ïå-
ðåñå÷åíèÿ Z A Z BG G( ) ( )� , ìîæåò âîññòàíîâèòü çíà÷åíèå x è ýëåìåíò Z .
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 1, íåñëîæíî äîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåãî óò-
âåðæäåíèÿ.
Óòâåðæäåíèå 2. Äîïîëíèòåëüíî èçâåñòíûé ýëåìåíò Q x èëè R w ïîçâîëÿåò ýô-
ôåêòèâíî âû÷èñëèòü èñêîìóþ ïàðó çíà÷åíèé ( , )w x â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé.
Ðàññìîòðèì äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå, êîòîðîå ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ðå-
øèòü çàäà÷ó ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà W Z RG� ( ) èç ñîîòíîøåíèÿ
[ , ]WQW Q�
�
1 1 ñëåäóåò, ÷òî W Z QG� ( ). Ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû [ , ]XY R �
� �
�1 11[ , ]X YX Q ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî íàéòè èñêîìóþ ïàðó çíà÷åíèé ( , )w x
â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé.
Ãðóïïà-ïëàòôîðìà èç [2] — ãðóïïà îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ îáîáùåííîé àë-
ãåáðû êâàòåðíèîíîâ íàä ïîëåì GF p( ) , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû 2. Ñîîò-
âåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå êâàäðàòè÷íûõ ñðàâíå-
íèé ïî ìîäóëþ p. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå 2 êðèïòîïðèìèòèâ èç [2] íå
ìîæåò áûòü ñòîéêèì â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé. Ýòîò æå âûâîä ïîëó÷åí
â [4], íî ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ îñîáåííîñòåé âûáðàííîé ãðóïïû-ïëàòôîð-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5 185
ìû. Èñïîëüçóÿ ãðóïïîâóþ îïåðàöèþ, íåñëîæíî âû÷èñëèòü ýëåìåíò
Y R Q Rk w xk w
�
� äëÿ ëþáîãî k Zq� . Íî åñëè ñóùåñòâóåò ìåòîä ïîëó÷åíèÿ, íà-
ïðèìåð, çíà÷åíèÿ Y R Q Rx w x w
�
�
2
, íå çíàÿ ñàìîãî çíà÷åíèÿ x, òî ýòî òîæå ïîçâî-
ëÿåò ýôôåêòèâíî ðåøèòü çàäà÷ó ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè.
Òåîðåìà 3. Ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíûé êâàíòîâûé àëãîðèòì, êîòîðûé ïî èç-
âåñòíûì ýëåìåíòàì Y R Q Rk
w x wk
�
� , Y R Q Rl
w x wl
�
� è èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ
l k� (k l Zq, *
� — íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ) âû÷èñëÿåò íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ w Zr�
è x Zq�
* ïðè óñëîâèè, ÷òî Y Yk l� è GCD l k q( , )� � �1 1.
Ñëåäñòâèå. Äëÿ ýôôåêòèâíîãî àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé w Zr� è x Zq�
*
â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé ïî èçâåñòíûì ýëåìåíòàì R Q, è Y R Q Rw x w
�
�
äîñòàòî÷íî çíàòü ýëåìåíò Y R Q Rw x w
�
�
2
.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíû ýôôåêòèâíûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîèñêà
ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè, à òàêæå ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå îáîáùåííîé
çàäà÷è äèñêðåòíîãî ëîãàðèôìèðîâàíèÿ â êâàíòîâîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé ïóòåì
ñâåäåíèÿ ê àáåëåâîìó ñëó÷àþ çàäà÷è î ñêðûòîé ïîäãðóïïå. Ïîëó÷åííûå ðå-
øåíèÿ ïîäòâåðæäàþò îòñóòñòâèå ïîñòêâàíòîâîé ñòîéêîñòè ó íåêîòîðûõ êðèï-
òîïðèìèòèâîâ íà îñíîâå çàäà÷è ïîèñêà ñîïðÿãàþùåãî ýëåìåíòà è ñòåïåíè, òà-
êèõ êàê â [2 è 5].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. M y a s n i k o v A . , S h p i l r a i n V . , U s h a k o v A . Group-based cryptography. — Advances courses
in Math. — CRM, Barselona. — Basel; Berlin; New York: Birkhauser Verlag, 2008. — 183 p.
2. M o l d o v y a n D . N . , M o l d o v y a n N . A . A new hard problem over non-commutative finite groups
for cryptographic protocols // Lecture Notes in Comput. Sci. — 2010. — 6258. — P. 183–194.
3. K i t a e v A . Quantum computations: algorithms and error correction // Rus. Mathemat. Surveys. — 1997.
— 52, N 6. — P. 53–112.
4. Ô å ñ å í ê î À . Â . Îöåíêà ñòîéêîñòè êîììóòàòèâíîãî êðèïòîïðèìèòèâà, ïîñòðîåííîãî íà íåêîììóòà-
òèâíîé ãðóïïå îáðàòèìûõ ìíîãîìåðíûõ âåêòîðîâ // Êèáåðíåòèêà è âû÷èñë. òåõíèêà. — 2011. —
Âûï. 165. — Ñ. 47–62.
5. K a h r o b a e i D . , K h a n B . A non-commutative generalization of ElGamal key exchange using
polycyclic groups // Global Telecom. Conf. — 2006, GLOBECOM’06, IEEE. — P. 1–5.
Ïîñòóïèëà 06.05.2014
186 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 5
|