Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры
Приведена математическая модель иерархической стохастической структуры и рассмотрен ряд задач статистического оценивания в условиях неполных наблюдений. Изложен метод построения состоятельных оценок параметров скрытой марковской модели, основанный на использовании структуры корреляционной зависимост...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124744 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 87-103. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124744 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Война, А.А. 2017-10-03T18:27:55Z 2017-10-03T18:27:55Z 2014 Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 87-103. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124744 519.21 Приведена математическая модель иерархической стохастической структуры и рассмотрен ряд задач статистического оценивания в условиях неполных наблюдений. Изложен метод построения состоятельных оценок параметров скрытой марковской модели, основанный на использовании структуры корреляционной зависимости цепи Маркова. Подобные модели встречаются в прикладных разделах теории случайных процессов: теории массового обслуживания, теории управления запасами, теории риска и др. Описаны конкретные примеры оценивания параметров для моделей из перечисленных областей. Наведено математичну модель ієрархічної стохастичної структури і розглянуто ряд задач статистичного оцінювання в умовах неповних спостережень. Викладено метод побудови спроможних оцінок параметрів прихованої марковської моделі, заснований на використанні структури кореляційної залежності ланцюга Маркова. Подібні моделі мають місце у прикладних розділах теорії випадкових процесів: теорії масового обслуговування, теорії управління запасами, теорії ризика та ін. Описано конкретні приклади оцінювання параметрів для моделей з перелічених областей. A mathematical model of some stochastic hierarchical structure is presented and several problems of the statistical estimations in the case of incomplete observations are considered. A method to construct consistent estimators of parameters for hidden Markov model using the structure of correlation dependence of Markov chains is explained. Such models often occur in applied fields of stochastic processes theory such as queuing theory, inventory control theory, risk theory, etc. The paper contains specific examples of parametric estimation for models in the above-mentioned scientific domains. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры Статистичне оцінювання в прихованій марковській моделі ієрархічної структури Statistical estimation in a hidden Markov model with hierarchical structure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| spellingShingle |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры Война, А.А. Системный анализ |
| title_short |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| title_full |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| title_fullStr |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| title_full_unstemmed |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| title_sort |
статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры |
| author |
Война, А.А. |
| author_facet |
Война, А.А. |
| topic |
Системный анализ |
| topic_facet |
Системный анализ |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Статистичне оцінювання в прихованій марковській моделі ієрархічної структури Statistical estimation in a hidden Markov model with hierarchical structure |
| description |
Приведена математическая модель иерархической стохастической структуры и рассмотрен ряд задач статистического оценивания в условиях неполных наблюдений. Изложен метод построения состоятельных оценок параметров скрытой марковской модели, основанный на использовании структуры корреляционной зависимости цепи Маркова. Подобные модели встречаются в прикладных разделах теории случайных процессов: теории массового обслуживания, теории управления запасами, теории риска и др. Описаны конкретные примеры оценивания параметров для моделей из перечисленных областей.
Наведено математичну модель ієрархічної стохастичної структури і розглянуто ряд задач статистичного оцінювання в умовах неповних спостережень. Викладено метод побудови спроможних оцінок параметрів прихованої марковської моделі, заснований на використанні структури кореляційної залежності ланцюга Маркова. Подібні моделі мають місце у прикладних розділах теорії випадкових процесів: теорії масового обслуговування, теорії управління запасами, теорії ризика та ін. Описано конкретні приклади оцінювання параметрів для моделей з перелічених областей.
A mathematical model of some stochastic hierarchical structure is presented and several problems of the statistical estimations in the case of incomplete observations are considered. A method to construct consistent estimators of parameters for hidden Markov model using the structure of correlation dependence of Markov chains is explained. Such models often occur in applied fields of stochastic processes theory such as queuing theory, inventory control theory, risk theory, etc. The paper contains specific examples of parametric estimation for models in the above-mentioned scientific domains.
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124744 |
| citation_txt |
Статистическое оценивание в скрытой марковской модели иерархической структуры / А.А. Война // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 87-103. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT voinaaa statističeskoeocenivanievskrytoimarkovskoimodeliierarhičeskoistruktury AT voinaaa statističneocínûvannâvprihovaníimarkovsʹkíimodelííêrarhíčnoístrukturi AT voinaaa statisticalestimationinahiddenmarkovmodelwithhierarchicalstructure |
| first_indexed |
2025-11-26T09:55:54Z |
| last_indexed |
2025-11-26T09:55:54Z |
| _version_ |
1850619932260171776 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.À. ÂÎÉÍÀ
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ Â ÑÊÐÛÒÎÉ ÌÀÐÊÎÂÑÊÎÉ
ÌÎÄÅËÈ ÈÅÐÀÐÕÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ
Àííîòàöèÿ. Ïðèâåäåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü èåðàðõè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ñòðóêòóðû
è ðàññìîòðåí ðÿä çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ â óñëîâèÿõ íåïîëíûõ íàáëþäåíèé.
Èçëîæåí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñêðûòîé ìàðêîâñêîé ìîäå-
ëè, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâàíèè ñòðóêòóðû êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè öåïè Ìàðêîâà.
Ïîäîáíûå ìîäåëè âñòðå÷àþòñÿ â ïðèêëàäíûõ ðàçäåëàõ òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ: òåî-
ðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, òåîðèè óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè, òåîðèè ðèñêà è äð. Îïèñàíû
êîíêðåòíûå ïðèìåðû îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ ìîäåëåé èç ïåðå÷èñëåííûõ îáëàñòåé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: öåïü Ìàðêîâà, ñêðûòàÿ ìàðêîâñêàÿ ìîäåëü, ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ,
ñòàòèñòè÷åñêîå îöåíèâàíèå, ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïðèìåíåíèþ òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ èç îá-
ëàñòè ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ÷àñòè÷íî íàáëþäàåìûõ ðàçðûâíûõ ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ ê èññëåäîâàíèþ êîíêðåòíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. Áèáëèîãðàôèÿ
ïî ïðîáëåìàì îïòèìàëüíîé íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè è èíòåðïîëÿöèè ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ â óñëîâèÿõ íåïîëíûõ íàáëþäåíèé äîñòàòî÷íî îáøèðíà [1].
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî áîëüøèíñòâî èññëåäîâàíèé êàñàåòñÿ íåïðåðûâíûõ
ïðîöåññîâ, â òî âðåìÿ êàê ìíîãèå ïðèêëàäíûå ìîäåëè èìåþò «ñòóïåí÷àòûå»
òðàåêòîðèè. Èõ îïèñàíèå âîçìîæíî òîëüêî ñ ïîìîùüþ ðàçðûâíûõ ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ. Ïîäîáíûå ìîäåëè âñòðå÷àþòñÿ â òàêèõ îáëàñòÿõ, êàê òåîðèÿ ìàññî-
âîãî îáñëóæèâàíèÿ, òåîðèÿ ñåòåé, òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ çàïàñàìè, òåîðèÿ ïðèíÿ-
òèÿ ðåøåíèé, òåîðèÿ ðèñêà è äð.
 ðàáîòàõ [2–5] ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, ñâÿçàííûå ñ ïîñòðîåíèåì êîíñòðóê-
òèâíûõ ìåòîäîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà äëÿ íåêîòîðûõ òèïîâ ÷àñòè÷íî íàáëþ-
äàåìûõ ðàçðûâíûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ. Â íàñòîÿùàåé ñòàòüå ïðèâåäåíî íå-
ñêîëüêî ïðèìåðîâ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïðåäëîæåííîãî â [3] ìåòîäà ñòà-
òèñòè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ â òàê íàçûâàåìîé ñêðûòîé ìàðêîâñêîé ìîäåëè (Hidden
Markov Models) [3, 6, 7].  ðàáîòå [7] ïîäîáíûå ìîäåëè ïðè÷èñëåíû ê ãëàâíûì
àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäàì, èñïîëüçóåìûì â ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ïî
èñêóññòâåííîìó èíòåëëåêòó.
Îñíîâíîé àêöåíò â äàííîé ñòàòüå ñäåëàí íà ïðàêòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè
ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ è êîììåíòàðèÿõ ê ïðèâîäèìûì ïðèìåðàì.
ÈÑÑËÅÄÓÅÌÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ
Ïóñòü x t( ), t � 0 1 2, , , îçíà÷àåò îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ äèñêðåòíûì âðåìå-
íåì, ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé E m� { }1 2, , ,� è ìàòðèöåé ïåðåõîä-
íûõ âåðîÿòíîñòåé çà îäèí øàã P pij� [ ] , i j E, � : p P x t j x t iij � � � �{ ( ) / ( ) }1 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè öåïè x t( ), t � 0 1 2, , , ... , èìåþò ñëå-
äóþùèé âèä:
p p11 12 1� � , ( ) ( )p p11 12 0� ,
p pii ii� �� �1 1 1 , ( ) ( )p pii ii� � �1 1 0, i m� �2 3 1, , ,� , (1)
p pmm mm� � �1 1 , ( ) ( )p pmm mm� �1 0.
Ïîäîáíóþ öåïü ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü íåêî-
òîðîé èåðàðõè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ñòðóêòóðû (ñèñòåìû). Åñëè ñîñòîÿíèÿ öåïè
èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíûå «ñòóïåíè» (óðîâíè) òàêîé ñòðóêòóðû, òî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 87
� À.À. Âîéíà, 2014
ñîñòîÿíèå { }1 �E ñëåäóåò ñ÷èòàòü åå ñàìîé íèçêîé «ñòóïåíüþ», à ñîñòîÿíèå
{ }m E� — ñàìîé âûñîêîé. Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì ïðåäïîëîæåíèÿì, ïîïàâ íà óðî-
âåíü { }1� �i m â ñðåäèíå èåðàðõè÷åñêîé «ëåñòíèöû», ñèñòåìà íà ñëåäóþùåì øàãå
èçìåíèò ñâîå ñîñòîÿíèå. Ïðè ýòîì èìåþòñÿ äâå âîçìîæíîñòè: ñïóñòèòüñÿ íà ñòó-
ïåíüêó íèæå (âåðîÿòíîñòü ýòîãî pii� �1 0) èëè ïîäíÿòüñÿ íà ñëåäóþùèé óðîâåíü
(âåðîÿòíîñòü òàêîãî èçìåíåíèÿ pii� �1 0). Ïîïàâ íà ñàìûé íèçêèé óðîâåíü { }1 èëè
íà ñàìûé âûñîêîé óðîâåíü { }m , ñèñòåìà íà ñëåäóþùåì øàãå ìîæåò ëèáî îñòàòüñÿ
â ýòîì ñîñòîÿíèè (ñ âåðîÿòíîñòüþ p11 0� äëÿ óðîâíÿ { }1 è ñ âåðîÿòíîñòüþ
pmm � 0 äëÿ óðîâíÿ { }m ), ëèáî èçìåíèòü åãî (ñ âåðîÿòíîñòüþ p12 0� äëÿ óðîâ-
íÿ { }1 è ñ âåðîÿòíîñòüþ pmm� �1 0 äëÿ óðîâíÿ { }m ).
Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ i E� îïðåäåëåíî íå çàâèñÿ-
ùóþ îò öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , , ... , ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {� i
k( ) ,
k � 0 1 2, , ,�} òàêèõ, ÷òî äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé èíäåêñà k âåëè÷èíû � i
k( ) íåçàâèñè-
ìû ìåæäó ñîáîé, à èõ ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò èíäåêñà k. Ââåäåì äâóìåðíûé
ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì ( ( ), ( ))x t t� , t � 0 1 2, , , ... , ïåðâàÿ êîîð-
äèíàòà êîòîðîãî (x t( ), t � 0 1 2, , ,�) ÿâëÿåòñÿ öåïüþ Ìàðêîâà, à âòîðàÿ
îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� �( )
( )
( )t
x t
t� , t � 0 1 2, , ,�
 ñòàòèñòè÷åñêîì àíàëèçå ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñêðûòîé ìàðêîâñêîé ìî-
äåëüþ [3, 6, 7] íàçûâàþò òàêîé ñïîñîá ïðîâåäåíèÿ íàáëþäåíèé, ïðè êîòîðîì
èìååòñÿ âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü òîëüêî çíà÷åíèÿ � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n
âòîðîé êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( ( ), ( ))x t t� , t � 0 1 2, , ,� Ïðè ýòîì ñîñòî-
ÿíèÿ x x x x x n� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � öåïè Ìàðêîâà íåäîñòóïíû äëÿ íàáëþäåíèÿ è
îñòàþòñÿ íåèçâåñòíûìè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè P pij� [ ] ,
i j E, � , öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , , ... , èçâåñòíû. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
F x P xi i i
l( , ) ( )� �� �{ }, i m�1 2, , ,� ,
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � i
l( ) äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ i E� çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà
� i i� , ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãî i E� ìíîæåñòâî i ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ïîä-
ìíîæåñòâîì ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íà îñíîâàíèè íà-
áëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n âòîðîé êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
( ( ), ( ))x t t� , t � 0 1 2, , ,� , ïîñòðîèòü ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà
� � � �� { }1 2, , ,� m .
ÀËÃÎÐÈÒÌ ÌÅÒÎÄÀ
Ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå [3], îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè ñòðóêòóðû êîð-
ðåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , è, óñëîâíî ãîâîðÿ,
ïðåäóñìàòðèâàåò ïîñòðîåíèå ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà
� � � �� { }1 2, , ,� m çà äâà øàãà. Íà ïåðâîì øàãå âûáèðàåì íåêîòîðóþ ôóíê-
öèþ h x x R( ), � 1, òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ ïðîèçâîëüíîãî i E� è ïðîèçâîëü-
íîãî � i i� áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
| ( )| ( , )h x dF xi i�
�
� �
, i E� .
Âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ ïîçâîëèò îïðåäåëèòü ôóíêöèè:
H i E h h x dF xi i
l
i i( , ) [ ( )] ( ) ( , )( )� � �� �
�
� , i E� .
88 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
Ââåäåì ñëåäóþùèå ñòàòèñòèêè:
H
n
h ln
l
n
�
�
�
1
1
( ( ))� ,
H k
n
h l h l kn
l
n
( ) ( ( )) ( ( ))� �
�
�
1
1
� � , k m�1 2, , ,� .
Îáîçíà÷èì P p i j Es
ij
s( ) ( )[ ], ,� � , p P x t s j x t iij
s( ) ( ) / ( )� � � �{ } ìàòðèöó ïåðå-
õîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , çà s øàãîâ. Ïóñòü òàêæå
âåêòîð � � � �� { }1 2, , ,� m îáîçíà÷àåò ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå öåïè Ìàð-
êîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� Ïåðâûé øàã ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ñîñòîÿ-
òåëüíóþ îöåíêó
H H H H mn n n n
m
*( ) *( ) *( ) *( )( ) ( , ), ( , ), , ( , )� � � �� { }1 21 2 �
âåêòîðà H H H H m m( ) ( , ), ( , ), , ( , )� � � �� { }1 21 2 � . Ýòó îöåíêó íàõîäèì ñðåäè
ðåøåíèé x x x xn n n
m
n*( ) *( ) *( ) *( ), , ,� { }
1 2
� ñèñòåìû óðàâíåíèé
�
�
i ij i j n
j
m
i
m
i ij i j n
j
m
i
p x x H
p x x H
�
�
��
��
��
�
( )
( )( )
1
2
11
2
11
11
m
i ij
m
i j n
j
m
i
m
p x x H m
�
�� �
�
�
�
�
�
� ��
�����������
� ( ) ( ).
�
�
�
�
(2)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óäàëîñü ðåøèòü ýòó íåëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé,
îïðåäåëèòü âñå åå ðåøåíèÿ x x x xn n n
m
n*( ) *( ) *( ) *( ), , ,� { }
1 2
� è âûáðàòü ñðåäè íèõ ñî-
ñòîÿòåëüíóþ îöåíêó H n*( ) ( )� âåêòîðà H ( )� . Ïåðåõîäèì òîãäà êî âòîðîìó øàãó
ìåòîäà è ñòðîèì ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó
� � � �n n n n m* * * *( ), ( ), , ( )� { }1 2 �
âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà � � � �� { }1 2, , ,� m . Ýòó îöåíêó íàõîäèì ñðåäè ðåøåíèé
ñèñòåìû óðàâíåíèé
H H
H H
H
n
n
( , ) ( , )
( , ) ( , )
(
*( )
*( )
1 1
2 2
1 1
2 2
� �
� �
�
�
����������
m H mm
n
m, ) ( , ).*( )� ��
�
�
�
�
�
�
(3)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âûáîð ôóíêöèè h x x R( ), � 1, íå âëèÿåò íà âèä ðåøå-
íèé x x x xn n n
m
n*( ) *( ) *( ) *( ), , ,� { }
1 2
� ñèñòåìû óðàâíåíèé (2). Äàííàÿ ñèñòåìà è âèä
åå ðåøåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé (à ñëåäîâàòåëü-
íî, è ñòðóêòóðîé êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè) öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,�
 ñâîþ î÷åðåäü, âûáîð ôóíêöèè h x x R( ), � 1, èìååò íåïîñðåäñòâåííîå âëèÿíèå íà
ñèñòåìó óðàâíåíèé (3) è, ñëåäîâàòåëüíî, íà îêîí÷àòåëüíûé âèä îöåíêè ïàðàìåò-
ðà � � � �� { }1 2, , ,� m . Òàêèì îáðàçîì, âûáèðàÿ ðàçíûå ôóíêöèè h x x R( ), � 1, ìî-
æåì ñòðîèòü â òåõ æå ñàìûõ óñëîâèÿõ ðàçíûå îöåíêè. Êîíêðåòíûé âèä h( )� è
ñâîéñòâà, êîòîðûìè äîëæíà îáëàäàòü äàííàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿò îò àíàëèçèðóåìîé
ìîäåëè. Èëëþñòðàöèåé ýòîìó ñëóæàò ïðèâåäåííûå â ñòàòüå ïðèìåðû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 89
ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÎÁÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÌÅÒÎÄÀ
Ïóñòü P pij� [ ] , i j E, � , — ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà
x t( ), t � 0 1 2, , ,� , çà îäèí øàã, � � � �� { }1 2, , ,� m — âåêòîð ñòàöèîíàðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� Îïðåäåëèì äèàãîíàëüíóþ ìàòðè-
öó �� ðàçìåðà m m� ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� ; ; ,� � diag{ }� � �1 2 � m .
Ïóñòü
A P� �� �� � 1. (4)
Ïîñòðîèì îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó U , ñîñòàâëåííóþ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ
ìàòðèöû A:
UU U U ET T� � ,
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Òåîðåìà 1. Åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà { }� � �1 2, , ,� m ìàòðèöû P — äåé-
ñòâèòåëüíûå, îòëè÷íûå îò íóëÿ, ðàçíûå ÷èñëà, òî ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñòðåìÿùåéñÿ
ê åäèíèöå, ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ñèñòåìà óðàâíåíèé (2) ñîâìåñòíà.
Ðåøåíèÿ x x x xn n n
m
n*( ) *( ) *( ) *( ), , ,� { }
1 2
� ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) èìåþò âèä
x y Un*( ) * �� �� 1,
ãäå âåêòîð y y y ym* , , ,* * *� { }1 2 � îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: y si i
* �
èëè y s i mi i
* , , , ,� � �1 2 � .
 ñâîþ î÷åðåäü, âåêòîð s s s sm� { }1 2, , ,� îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
[ ] [ ]s W H n
T T� �1 ,
H H H H mn n n n� { }( ), ( ), , ( )1 2 � ,
ãäå W — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m� âèäà
W wij j
i� �[ ] [( ) ]� , i m�1, ,� , j m�1, ,� .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ïðîâåäåì â íåñêîëüêî ýòàïîâ. Äîêàæåì íåêîòîðûå
âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ, òàêæå ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè P pij� [ ] , i j E, � , çà îäèí øàã
îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì (1). Òîãäà öåïü Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , ÿâëÿåòñÿ ýð-
ãîäè÷åñêîé. Åñëè
� � � �� { }1 2, , ,� m
îçíà÷àåò âåêòîð ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� ,
òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñîñòîÿíèé i E� è j E� âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
�
� �
� �
�
k
i j
ki kj
k
m
i j
k
ik jk
k
m
p p p p
� �
� ��
1 1
. (5)
Îòìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 îñíîâûâàåòñÿ íà óòâåðæäåíèè òåî-
ðåìû 2. Áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî äëÿ öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � �0 1 2, , , , âûïîëíÿåòñÿ
ñâîéñòâî (5), ìîæíî ïðåäëîæèòü ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) è çàïè-
ñàòü â ÿâíîì âèäå âñå åå ðåøåíèÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ñâîéñòâîì (5) îáëàäàþò,
íàïðèìåð, îáðàòèìûå öåïè Ìàðêîâà [8, §5.3] è ýòîò ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü
ïðè èõ èçó÷åíèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Öåïü Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , ñ ìàòðèöåé ïåðåõîäíûõ âå-
ðîÿòíîñòåé çà îäèí øàã P pij� [ ] , i j E, � , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (1),
ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé, íåïðèâîäèìîé è íåïåðèîäè÷åñêîé, ÷òî ãàðàíòèðóåò åå ýðãî-
90 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
äè÷íîñòü [9]. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âèä ìàòðèöû P pij� [ ] , i j E, � , ïåðåõîäíûõ
âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî åå
ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå � � � �� { }1 2, , ,� m áóäåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì
ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé:
� � �
� � �
1 11 2 21 1
1 1 1 1
2
p p
p p
k
k k k k k k k
� �
� �
�
� � � �
�����������
, , ,
.
4 1
11 2
�
�����������
�
m
m
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
(6)
Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, óáåæäàåìñÿ, ÷òî äëÿ ïðîèç-
âîëüíîãî k m� 2 3, , ,� âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
�
�
k
k
k k
k k
p
p�
�
�
�
1
1
1
. (7)
Êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , åñëè i �1, j �1 ,
i m� , j m� è | |i j� � 2, òî
�
� �
� �
�
k
i j
ki kj
k
m
i j
k
ik jk
k
m
p p p p
� �
� �� �
1 1
0.
 ñïðàâåäëèâîñòè (5) óáåæäàåìñÿ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé, èñïîëüçóÿ ðà-
âåíñòâî (7) è ðàññìàòðèâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñëó÷àè: i �1, j �1; 2 1� � � �i j m ;
i m� , j m� ; 1� �i m, | |i j� � 2; i �1 , j � 3; i m� –1, j m� . Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìå-
ðå ñëó÷àÿ 1� �i m, j i� � 2:
�
� �
�
�
�
�
k
i j
ki kj
k
m
k
i
k
j
ki kj
k
m
p p p p
� �
� �� �
1 1
� �
�
�
�
� �
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
k
i
k
i
ki ki
k
m
i
i
i
i
i i i ip p p p
2
2
1
1 1
2
1 1 2 �
� ��
�
� �
� �
� � � � �
p
p
p
p
p p p p pii
i i
i i
i i
i i i i ii i i i
1
1
2 1
1 2
1 1 2 1 1 � � � �2 1 1 2i i ip .
 òî æå âðåìÿ
� �
�
�
�
�
�
i j
k
ik jk
k
m
i
k
j
k
ik jk
k
m
p p p p
� �
� �� �
1 1
� ��
�
� �
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
i
k
i
k
ik i k
k
m
i
i
i
i
ii i ip p p p2
2
1 1
2
1
1 2 1 �
� ��
�
� �
� �
� � � � �
p
p
p
p
p p p p pi i
ii i
i i
i i
ii i i ii i i i
1 1 2
2 1
1 2 1 1 1 � � � �2 1 1 2i i ip .
Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåì ýòî ðàâåíñòâî â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ëåììà 1. Ïóñòü C cij� [ ], i m�1, ,� , j m�1, , ,� — ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàò-
ðèöà ðàçìåðà m m� , b b b bm� { }1 2, , ,� — ïðîèçâîëüíàÿ âåêòîð-ñòðîêà ðàçìåðà m. Ðàñ-
ñìîòðèì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó � ; ; ,B b b bm� diag { }1 2 � è ìàòðèöó D BC B� �� � 1.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 91
Åñëè À ij� [ ]� , i m�1, ,� , j m�1, ,� , — ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì
A DD� T , òî
� ij
i j
k
ik jk
k
m b b
b
c c i m� �
�
�
1
1, , ,� , j m�1, ,� .
Åñëè B i mij� �[ ], , ,� 1 � , j m�1, ,� , — ìàòðèöà, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì
B D D� T , òî
� ij
k
i j
ki kj
k
m b
b b
c c i m� �
�
�
1
1, , ,� , j m�1, ,� .
Äåéñòâèòåëüíî, ýëåìåíò dij ìàòðèöû D îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
d
b
b
c i mij
i
j
ij� �, , ,1 � , j m�1, ,� .
Òîãäà ýëåìåíò dij
( )T ìàòðèöû D dij i m
j mT T�
�
�
[ ]( )
, ,
, ,
1
1
�
�
ðàâåí
d
b
b
c i mij
T j
i
ji
( ) , , ,� �1 � , j m�1, ,� .
Ïîýòîìó ýëåìåíò � ij ìàòðèöû A DD� T èìååò âèä
� ij ik kj
k
m
i
k
ik
j
k
jk
k
m
d d
b
b
c
b
b
c� �
� �
� �( )T
1 1
, i m�1, ,� , j m�1, ,� .
Ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíò � ij ìàòðèöû B D D� T ðàâåí
� ij ik
T
kj
k
m
k
ik
m
ki
k
j
kjd d
b
b
c
b
b
c� �
� �
� �( )
1 1
, i m j m� �1 1, , , , ,� � .
Ëåììà 2. Óñëîâèå (5) òåîðåìû 2 ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:
A A A AT T� , ãäå ìàòðèöà A îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì (4).
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ëåììû 1.
Ëåììà 3. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k �1 2, ,� ñïðàâåäëèâî ðà-
âåíñòâî
A Pk k� �� �� � 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñ-
êîé èíäóêöèè.
Äëÿ k �1 ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (4), êîòîðîå îïðåäåëÿåò ìàòðèöó A.
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
A Pk k� �� �� � 1. Òîãäà
A A À P P P P Pk k k k k� � � � �� � � �1 1 1 1 1( � � )( � � ) ( � � ) ( � �� � � � � � � ��1 ) ,
÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó 3.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1. Îáîçíà÷èì { }� � �1 2, , ,� m ñîáñòâåííûå ÷èñëà
ìàòðèöû P. Íà îñíîâàíèè [10] { }� � �1 2, , ,� m ÿâëÿþòñÿ òàêæå ñîáñòâåííûìè
÷èñëàìè ìàòðèöû A. Ïóñòü � � � �� { }1 2, , ,� m — âåêòîð ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� Îïðåäåëèì äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó
� � diag{ }� � �1 2; ; ..., m . Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (2) â ìàòðè÷íîé çàïèñè ïðèíè-
ìàåò âèä
x P x H
x P x H
x P x H m
n
n
m
n
�
�
�
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
T
T
T
�
�
�
1
22
���������
,
�
�
�
�
�
�
92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
ãäå x x x xm� { }1 2, , ,� — âåêòîð íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûõ. Âûïîëíèì â ñèñòåìå
óðàâíåíèé (2) çàìåíó ïåðåìåííûõ, ââîäÿ íîâûå ïåðåìåííûå z z z zm� { }1 2, , ,�
ñëåäóþùèì îáðàçîì: [ ] � [ ]z xT T� � èëè [ ] � [ ]x zT T� �� 1 . Ïîñêîëüêó � ��� � � ,
â ðåçóëüòàòå òàêîé çàìåíû íà îñíîâàíèè ëåììû 3 ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé
z A z H
z A z H
z A z H m
n
n
m
n
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( ).
T
T
T
�
�
�
�
�
1
22
��������
�
�
�
�
(8)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà { }� � �1 2, , ,� m ìàòðèöû P (à ñëåäî-
âàòåëüíî, è ìàòðèöû A) — äåéñòâèòåëüíûå, îòëè÷íûå îò íóëÿ, ðàçíûå ÷èñëà. Âûáå-
ðåì m ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ïðàâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ( , , , )( ) ( ) ( )a a a m1 2
�
ìàòðèöû A:
A a ak
k
k[ ] [ ]( ) ( )T T� � , k m�1 2, , ,� ,
ãäå a a a ak k k
m
k( ) ( ) ( ) ( )( , , , )�
1 2
� , k m�1 2, , ,� . Îñóùåñòâèâ îðòîãîíàëèçàöèþ
ñèñòåìû âåêòîðîâ ( , , , )( ) ( ) ( )a a a m1 2
� , ïðåîáðàçóåì èõ â îðòîíîðìèðîâàííóþ
ñèñòåìó ( , , , )( ) ( ) ( )u u u m1 2
� ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A:
A u uk
k
k[ ] [ ]( ) ( )T T� � , k m�1 2, , ,� ,
ïðè ýòîì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî k m�1 2, , ,� è ïðîèçâîëüíûõ k l� , k m�1 2, , ,� ,
l m�1 2, , ,� èìååì
( )( )ui
k
i
m
2
1
1
�
� � , u ui
k
i
l
i
m
( ) ( )
�
� �
1
0.
Îïðåäåëèì ìàòðèöó U uij� [ ] , i m�1, ,� , j m�1, ,� , ðàçìåðà m m� , ñòðîêà-
ìè êîòîðîé áóäóò ñîáñòâåííûå âåêòîðû ( , , , )( ) ( ) ( )u u u m1 2
� ìàòðèöû A:
u uij j
i� ( ) , i m�1, ,� , j m�1, ,� .
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà âåêòîðîâ ( , , , )( ) ( ) ( )u u u m1 2
� ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàí-
íîé, ìàòðèöàU îðòîãîíàëüíà. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2.10.2 [10] ìàòðèöà A áóäåò
îðòîãîíàëüíî ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå �, íà ãëàâíîé äèàãîíàëè êîòîðîé
íàõîäÿòñÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà { }� � �1 2, , ,� m ìàòðèöû A:
UAU T � �,
ãäå � � diag { }� � �1 2; ; ..., m .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îðòîãîíàëüíîñòü ìàòðèöû U , ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè-
÷åñêîé èíäóêöèè óñòàíàâëèâàåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
UA Uk kT � � .
Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ â ñèñòåìå óðàâíåíèé (8), îïðåäåëÿÿ íîâûå
ïåðåìåííûå y y y ym� { }1 2, , ,� ñëåäóþùèì îáðàçîì: [ ] [ ]y U zT T� èëè
[ ] [ ]z U yT T T� . Ñèñòåìà óðàâíåíèé (8) ïðèìåò òàêîé âèä:
y y H
y y H
y y H m
n
n
m
n
�
�
�
[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( ).
T
T
T
�
�
�
�
�
1
22
��������
�
�
�
�
(9)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 93
Îáîçíà÷èâ s yi i� 2 , i m�1 2, , ,� (èëè y si i� , i m�1 2, , ,� ), ââåäÿ êâàäðàò-
íóþ ìàòðèöó W j
i
i m
j m�
�
�
[( ) ]
, ,
, ,�
1
1
�
�
è âåêòîð H H H H mn n n n� { }( ), ( ), , ( )1 2 � , îêîí-
÷àòåëüíî çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (9) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
W s H n[ ] [ ]T T� . (10)
 òî æå âðåìÿ, êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [3], èç îáùèõ ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ
ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëåííûõ íà öåïÿõ Ìàðêîâà, âûòåêàåò, ÷òî äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî k m�1 2, , ,� ñòàòèñòèêà H kn ( ) ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê âåëè-
÷èíå H k( ), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
H k H k p H i H jn
n
P
i ij
k
i j
j
m
i
m
( ) ( ) ( , ) ( , )( )� �
�
��
�� � � �
11
, k m�1 2, , ,� .
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
ÏÐÈÌÅÐÛ
Ñðåäè ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé (2), ÿâíûé âèä êîòîðûõ ïðè-
âåäåí â òåîðåìå 1, èìååòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà H n*( ) ( )� âåêòîðà H ( )� , íå-
îáõîäèìàÿ â ñèñòåìå óðàâíåíèé (3) äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê
� � ( ), � ( ), , � ( )� � � �n n n n m� { }1 2 � âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà � � � �� { }1 2, , ,� m . Ïîýòî-
ìó âîçíèêàåò ïðîáëåìà âûáîðà ñðåäè 2m âîçìîæíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâ-
íåíèé (2) ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ.
Ðåøèòü åå ìîæíî ëèáî ýìïèðè÷åñêèì ïóòåì, ñòðîÿ è àíàëèçèðóÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ñòàòèñòèêè [3], ëèáî àíàëèòè÷åñêèì, îòñåèâàÿ íà îñíîâàíèè àíàëèçà
äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè î ñâîéñòâàõ ìîäåëè çàâåäîìî «ïîñòîðîííèå» ðåøå-
íèÿ. Êàê ïîêàçûâàåò ïðàêòèêà ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðèêëàäíûõ ìîäåëåé,
íàèáîëåå ðàöèîíàëüíî êîìáèíèðîâàíèå äâóõ ïîäõîäîâ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî
íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ. Çàìåòèì, ÷òî ïðèìåðû ïîäîáíîãî àíàëèçà ïðèâåäåíû
òàêæå â ðàáîòàõ [2, 3, 11], ãäå ðàññìîòðåíî çàäà÷ó íåïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâà-
íèÿ â ìîäåëè Êîêñà [12], çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëå-
íèÿ äëÿ ñëîæíîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, óïðàâëÿåìîãî ïðîñòûì ìàðêîâñêèì
ïðîöåññîì ðåãåíåðàöèè [13], à òàêæå çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ ñìåùåíèÿ
â ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ ïðè íåïîëíûõ íàáëþäåíèÿõ.
Ïðèìåð 1.1. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷ó ïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ äëÿ
ìîäåëè Êîêñà, èëè ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ìîäåëè (1), â êîòîðîì m � 2. Ìàòðèöà ïåðå-
õîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , çà îäèí øàã â ýòîì ñëó÷àå
èìååò âèä
P
p p
p p
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
,
à âåêòîð � � �� { }1 2, ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè ñîîòâåòñòâåííî
� �
� �
�
�
�
�
p
p p
p
p p
21
12 21
12
12 21
; .
Ñîáñòâåííûå ÷èñëà { }� �1 2, ìàòðèöû P ðàâíû
�1 1� , � 2 12 211� � �( )p p .
Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà U uij� [ ] , i �1 2, , j �1 2, , èìååò âèä
U
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
21
12 21
12
12 21
12
12 21
21
12 21
�
�
�
�
�
�
�
.
94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
Ðåøåíèÿ { }s s1 2, ñèñòåìû óðàâíåíèé (10) èìåþò âèä
s
H p p H
p p
n n
1
12 21
12 21
2 1 1
�
� � �
�
( ) ( ) ( )
, s
H H
p p p p
n n
2
12 21 12 21
2 1
1
�
�
� � �
( ) ( )
( )( )
.
Ïîýòîìó ðåøåíèÿ x x xn n n*( ) *( ) *( ),� { }
1 2
ñèñòåìû óðàâíåíèé (2), ñðåäè êîòîðûõ
íàõîäèòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà H n*( ) ( )� âåêòîðà H ( )� , ïðèìóò âèä
x y y
p
p
n
1 1 2
12
21
*( ) * *� � , x y y
p
p
n
2 1 2
21
12
*( ) * *� � .
Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû âåêòîðà y y y* * *,� { }1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
y si i
* � èëè y si i
* � � , i �1 2, .
Íåîáõîäèìî ñðåäè ÷åòûðåõ âîçìîæíûõ ðåøåíèé âûáðàòü èñêîìîå. Ñîãëàñíî [3]
â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñàìîé ïðîñòîé ñòàòèñòèêîé H n , ïî-
ñòðîåííîé ïî íàáëþäåíèÿì � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n . Ïîêàæåì, ÷òî â ñëó÷àå
ìîäåëè Êîêñà ýòî íå ïðèâåäåò ê æåëàåìîìó ðåçóëüòàòó. Êàê ñëåäóåò èç îáùèõ
ïðåäåëüíûõ òåîðåì äëÿ ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëåííûõ íà öåïÿõ Ìàð-
êîâà, ïðè ( )n �
, ò.å. ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè êîëè÷åñòâà íàáëþäåíèé,
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü
1
1 2
1
1 1 2 2
n
h l H H
l
n
n
( ( )) ( , ) ( , )� � � � �
�
�
� � �
ï.í.
.
Ïóñòü, íàïðèìåð, ðåøåíèå x x xn n n*( ) *( ) *( ),� { }
1 2
áóäåò íåîáõîäèìîé ñîñòîÿòåëü-
íîé îöåíêîé âåêòîðà H H H( ) ( , ), ( , )� � �� { }1 21 2 . Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøî-
ãî êîëè÷åñòâà íàáëþäåíèé n çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè H n äîëæíî áûòü áëèçêèì
ê âåëè÷èíå � � � �1 1 2 21 2H H( , ) ( , )� . Èñïîëüçóÿ âèä ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëå-
íèÿ � � �� { }1 2, öåïè x t( ), t � 0 1 2, , ,� , è ïðèâåäåííûå âûøå âûðàæåíèÿ äëÿ
ðåøåíèé x x xn n n*( ) *( ) *( ),� { }
1 2
, ïîëó÷àåì
� �1 1 2 2
x xn n*( ) *( )� �
�
�
�
!
"
#
#
$
%
&
&
�
�
�
p
p p
y y
p
p
p
p p
y y21
12 21
1 2
12
21
12
12 21
1 2
* * * * p
p
y21
12
1
!
"
#
#
$
%
&
&
� * .
Ïîýòîìó ñòàòèñòèêà H n íå ïîçâîëÿåò ðàçëè÷èòü äâà ðàçíûõ ðåøåíèÿ, â êîòî-
ðûõ âûáðàíî ñîîòâåòñòâåííî y s2 2
* � è y s2 2
* � � . Äëÿ îêîí÷àòåëüíîãî âûáî-
ðà íóæíîãî ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïîñòðîåííûå íà îñíîâàíèè íà-
áëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n ñòàòèñòèêè áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ.
Ìîæíî òàêæå ñ ýòîé öåëüþ èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ î ñâîé-
ñòâàõ ìîäåëè. Ïðèìåðû ïîäîáíîãî àíàëèçà ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [2, 3, 11].
Ðàññìîòðèì ïðèìåð, êàñàþùèéñÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî îöåíèâàíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n
êîìïîíåíòû �( )t , t � 0 1 2, , ,� , ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( ( ), ( ))x t t� , t � 0 1 2, , ,� , íåîá-
õîäèìî îöåíèòü âòîðûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí [ , , , , , , ]( ){ }� i
l l i� �0 1 2 1 2� :
m E x dF xl
2 1
2 2
11( ) ( ) ( )( )� �
�
�� , m E x dF xl
2 2
2 2
22( ) ( ) ( )( )� �
�
�� .
Ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ ïðàêòè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîäîáíîé çà-
äà÷è. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ íàáëþäàåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 95
çíà÷åíèé � � �( ), ( ), ( ),0 1 2 � çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî â ìîìåíò íàáëþäåíèÿ t ñîñòî-
ÿíèÿ x t( ) öåïè Ìàðêîâà. Íåîáõîäèìî òîëüêî íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé
� � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n îöåíèòü òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ
öåïè Ìàðêîâà x t( ).  êà÷åñòâå ôóíêöèè h x( ), x R� 1, â ýòîì ñëó÷àå âûáåðåì ôóíêöèþ
h x x x R( ) ,� �2
1.
Òîãäà ñòàòèñòèêè H n ( )1 è H n ( )2 ïðèíèìàþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
H
n
l ln
l
n
( ) ( ( )) ( ( ))1
1
12 2
1
� �
�
� � � , H
n
l ln
l
n
( ) ( ( )) ( ( ))2
1
22 2
1
� �
�
� � � .
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
M p m i m ji ij
ji
2
1
2 2
1
2
1
2
( ) ( ) ( )�
��
�� � , (11)
M p m i m ji ij
ji
2
2 2
2 2
1
2
1
2
( ) ( ) ( ) ( )�
��
�� � . (12)
Î÷åâèäíî, ÷òî m m m2 2 21 2 0� '{ }( ), ( ) . Ïîýòîìó èññëåäóåì çíàêè ðåøåíèé
x x x* *, *� { }1 2 ñèñòåìû óðàâíåíèé
x P x M
x P x M
�
�
[ ]
[ ] ,
( )
( )
T
T
�
�
�
�
��
2
1
2
2
2
(13)
ãäå x x x� { }1 2, . Çàïèøåì ìàòðèöó P pij� [ ] , i j, ,�{ }1 2 , ñëåäóþùèì îáðàçîì:
P G p p G� � � �1 12 21 21( ) ,
ãäå
G
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
1
21
12 21
12
12 21
21
12 21
12
12 21
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, G
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
2
12
12 21
12
12 21
21
12 21
21
12 21
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
.
Òîãäà P G p p G2
1 12 21
2
21� � � �( ) . Ââåäåì ìàòðèöû:
�G
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
1
21
12 21
12
12 21
21
12 21
12
12 21
�
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, �G
p
p p
p
p p
p
p p
p
p p
2
12
12 21
12
12 21
21
12 21
21
12 21
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
à òàêæå âåêòîð � � ( ), ( )m m m m2 2 1 2 2 21 2� �� { }� � . Òîãäà ìàòðèöà A P� �� �� � 1
ïðèíèìàåò âèä A G p p G� � � �� ( ) �
1 12 21 21 , à ðàâåíñòâà (11), (12) ìîæíî çàïè-
ñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� [ � ( ) � ][ � ] ( )m G p p G m M2 1 12 21 2 2 2
11� � � �T , (14)
� [ � ( ) � ][ � ] ( )m G p p G m M2 1 12 21
2
2 2 2
21� � � �T . (15)
Îáîçíà÷èì:V m G m1 2 1 2� � � [ � ]T ,V m G m2 2 2 2� � � [ � ]T . Êîîðäèíàòû âåêòîðà �m2 ïîëî-
æèòåëüíû. Âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû �G1 òîæå ïîëîæèòåëüíû, à ñðåäè ýëåìåíòîâ ìàò-
ðèöû �G2 èìåþòñÿ îòðèöàòåëüíûå. Ïîýòîìó äëÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì V1 è V2 âûïîë-
96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî V V1 2' . Çàïèñûâàÿ ðàâåíñòâà (14), (15) â âèäå
V p p V M1 12 21 2 2
11� � � �( ) ( ) ,
V p p V M1 12 21
2
2 2
21� � � �( ) ( ) ,
ïîëó÷àåì
V
M M
p p p p
2
2
1
2
2
12 21 12 211
�
�
� � �
( ) ( )
( )( )
, V
M M p p
p p
1
2
2
2
1
12 21
12 21
1
�
� � �
�
( ) ( ) ( )
( )
.
Êàê ñëåäóåò èç ïðîâåäåííûõ ðàíåå ðàññóæäåíèé, âîçìîæíûå ðåøåíèÿ
x x x* * *,� { }1 2 ñèñòåìû óðàâíåíèé (13) èìåþò âèä
x V
p
p
V x V
p
p
V1 1
12
21
2 2 1
21
12
2
* *( ) ( ), ( ) ( )� ( � ( � ( � (
�
�
��
�
�
�
�
.
Äâà ðåøåíèÿ ñðåäè âîçìîæíûõ ÷åòûðåõ èìåþò îòðèöàòåëüíûå êîìïîíåíòû.
Ïîýòîìó íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü òîëüêî ðåøåíèÿ âèäà
x x V
p
p
V x V
p
p
V* * *( ) ( ) , ( )1 1 11 1
12
21
2 2 1
21
12
2� � � � �
�
�
��
�
�
�
�
,
x x V
p
p
V x V
p
p
V* * *( ) ( ) , ( )2 2 21 1
12
21
2 2 1
21
12
2� � � � �
�
�
��
�
�
�
�
,
êîòîðûå ìîãóò áûòü ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû. Î÷åâèäíî, ÷òî x1 1 0* ( ) ' è x2 2 0* ( ) ' .
Ïóñòü p p12 21� . Òîãäà x x V V2 1 1 21 2 0* *( ) ( )� � � ' è îáà ðåøåíèÿ
x x x* * *( ) ( ); ( )1 1 11 2� { }, x x x* ( ) ( ); ( )* *2 2 21 2� { }
ìîãóò áûòü âåêòîðîì m m m2 2 21 2� { }( ), ( ) . Ïðè ýòîì x x1 21 2* *( ) ( )� è x2 1* ( ) �
� x1 2* ( ). Ïîýòîìó â ñëó÷àå, êîãäà p p12 21� , íåâîçìîæíî òîëüêî ïî íàáëþäåíè-
ÿì � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n âòîðîé êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
( ( ), ( ))x t t� , t � 0 1 2, , ,� , óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå êîîðäèíàò âåêòîðîâ x * ( )1 è
x * ( )2 ñîñòîÿíèÿì öåïè Ìàðêîâà.
Ïóñòü òåïåðü p p12 21' . Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî x1 1 0* ( ) ' è x2 1 0* ( ) ' , ïîñêîëüêó
V V1 2' . Â òî æå âðåìÿ êîîðäèíàòà x1 2* ( ) âåêòîðà x * ( )2 ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíà.
È íàîáîðîò, åñëè p p12 21� , òî x1 2 0* ( ) ' è x2 2 0* ( ) ' , à êîîðäèíàòà x2 1* ( ) âåêòîðà
x * ( )1 ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíà. Ïîêàæåì, êàêèì îáðàçîì äîïîëíèòåëüíóþ èí-
ôîðìàöèþ î ñâîéñòâàõ ìîäåëè ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îêîí÷àòåëüíîãî âûáîðà
íóæíîãî ðåøåíèÿ.
Ïðèìåð 1.2. Ïóñòü, íàïðèìåð, p12 1� , ÷òî õàðàêòåðíî äëÿ ïîäîáíûõ èåðàð-
õè÷åñêèõ ìîäåëåé, âñòðå÷àþùèõñÿ â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ [11]. Òîãäà
äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé 0 121� �p ðåøåíèå x x x* * *( ) ( ); ( )1 1 1 01 2� '{ } âñåãäà
áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè êîîðäèíàòû x1 2* ( ) âåêòîðà
x * ( )2 ïðèíèìàåò âèä
p M M
M M
p
21 2
1
2
2 2
2
2
1
21
2
( ) ( )
( ) ( )
( )
� '
�
.
Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åíèå 0 121� �p , ïîëó÷àåì
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )p M p M M M M21
2
2
2
21 2
2
2
1
2
2
2
1 0� � � � ' .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 97
Ïóñòü
M
M M M M M M
M
�
� � � �( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
3
2
.
Ïîñêîëüêó ( )( ) ( )M M
2
2
2
1 0� ' , èìååì 0 1� �M .
 ñëó÷àå, êîãäà 0 21� �p M , åäèíñòâåííûì ïîëîæèòåëüíûì ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé (13) áóäåò ðåøåíèå x * ( )1 . Ïîýòîìó m x2 1� * ( ) è, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð
s
p
s s p s1
21
2 1 21 2
1
� �
�
�
��
�
�
�
�
, ,
ãäå { }s s1 2, — ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (10), ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé îöåí-
êîé âåêòîðà m m m2 2 21 2� { }( ), ( ) .
 ñëó÷àå, êîãäà M p� �21 1 , îáà ðåøåíèÿ, x * ( )1 } è x * ( )2 , ïîëîæèòåëüíû è
ïîýòîìó ìîãóò áûòü âåêòîðîì m m m2 2 21 2� { }( ), ( ) . Îêîí÷àòåëüíûé âûáîð ñîñòîÿ-
òåëüíîé îöåíêè âåêòîðà m2 ñðåäè ðåøåíèé
s
p
s s p s1
21
2 1 21 2
1
� �
�
�
��
�
�
�
�
, , s
p
s s p s1
21
2 1 21 2
1
� �
�
�
��
�
�
�
�
,
òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ èññëåäîâàíèé ñ ïðèìåíåíèåì ñòàòèñòèê áîëåå âûñî-
êèõ ïîðÿäêîâ [3], ïîñòðîåííûõ ïî íàáëþäåíèÿì � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n .
Çàìå÷àíèå 1. Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåííûé ìåòîä, ïðîäîëæèì àíàëèç èåðàðõè-
÷åñêèõ ìîäåëåé, âñòðå÷àþùèõñÿ â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, è ðàñ-
ñìîòðèì òðåõóðîâíåâóþ èåðàðõè÷åñêóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó: m � 3,
E � { }1 2 3, , . Ìàòðèöà P pij� [ ] , i j E, � , ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè Ìàðêîâà
x t( ), t � 0 1 2, , ,� , çà îäèí øàã èìååò âèä
P � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 0
0 1
0 1
� �
� �
, 0 1� �� , 0 1� �� .
Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ 0 1� �� è 0 1� �� ìàòðèöà P èìååò òðè ðàçíûõ, äåé-
ñòâèòåëüíûõ, îòëè÷íûõ îò íóëÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñëà { }� � �1 2 3, , :
�1 1� ; �
� � � �
2
2 4 1
2
�
� � � �( )
; �
� � � �
3
2 4 1
2
�
� � � �( )
.
Âåêòîð � � � �� { }1 2 3, , ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ öåïè x t( ), t � 0 1 2, , ,� ,
èìååò âèä
�
� �
� � �
1
1 1
�
� � �( ) ( )
; �
�
� � �
2
1 1
�
� � �( ) ( )
; �
�
� � �
3
1
1 1
�
�
� � �( ) ( )
.
Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 2. Ïîýòîìó ìîæíî â ÿâíîì
âèäå çàïèñàòü âñå ðåøåíèÿ x x x xn n n n*( ) *( ) *( ) *( ), ,� { }
1 2 3
ñèñòåìû óðàâíåíèé (2), ñðå-
äè êîòîðûõ èìååòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ îöåíêà H n*( ) ( )� âåêòîðà H ( )� . Âûáîð ñîîò-
âåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ ñðåäè 2 83 � âîçìîæíûõ ðåøåíèé ìîæíî ñäåëàòü, èñ-
ïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ, ïîäîáíûå ïðåäëîæåííûì â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå.
Ïðèìåð 2.1. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ äåôîðìàöèè â ñõå-
ìå íåïîëíûõ íàáëþäåíèé äëÿ èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Ïóñòü x t( ),
t � 0 1 2, , , ,� îçíà÷àåò îïèñàííóþ îäíîðîäíóþ öåïü Ìàðêîâà ñ äèñêðåòíûì âðåìå-
98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
íåì, ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé E m� { }1 2, , ,� , ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè
P pij� [ ] , i j E, � , êîòîðîé çà îäèí øàã îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì (1). Ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî âåêòîð íàáëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n èìååò ñòðóêòóðó
� � �( ) ( , )( ) ( )
( )t dx t x t
t� , t � 0 1 2, , ,� ,
ãäå { }� i
k k( ), , , ,� 0 1 2 � — ñîâîêóïíîñòü íå çàâèñÿùèõ îò öåïè Ìàðêîâà x t( ),
t � 0 1 2, , ,� , ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, òàêèõ, ÷òî äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé èíäåêñà k âå-
ëè÷èíû � i
k( ) íåçàâèñèìû ìåæäó ñîáîé, èìåþò èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, êîòî-
ðîå íå çàâèñèò îò èíäåêñà k è îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé
F x P x xi i
k( ) ,( )� � �
� �
{ }� , i m�1 2, , ,� .
Èçâåñòíà òàêæå âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ
D x d x d x d xm( , ) ( , ), ( , ), , ( , )� � � �� { }1 2 � ,
çàâèñÿùàÿ îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà � � � �� � ){ }1 2, ,� r rR , ãäå — îò-
êðûòîå ïîäìíîæåñòâî â Rr . Íàçîâåì D x( , )� ôóíêöèåé äåôîðìàöèè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ ( ( ), ( ), ( ), , ( ))x x x x n0 1 2 � ñîñòîÿíèé öåïè Ìàð-
êîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , íåäîñòóïíû äëÿ íàáëþäåíèÿ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû
òîëüêî íà îñíîâàíèè íàáëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n ïîñòðîèòü ñîñòîÿ-
òåëüíûå îöåíêè äëÿ íåèçâåñòíûõ çíà÷åíèé � � � �( ) ( ) ( ) ( ), , ,0
1
0
2
0 0� { }� r ïàðàìåòðà �.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî m � 2, äëÿ ôóíêöèè D x( , )� , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó
âåêòîðà íàáëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n , âûáðàíà ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ôóíêöèÿ h x( ). Íà îñíîâàíèè ôóíêöèè h x( ) îïðåäåëåíû êîîðäèíàòû H ( , )1 � è
H ( , )2 � âåêòîðà H ( )� è ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàòèñòèêè H n ( )1 è H n ( )2 . Â íåêîòîðûõ
ìîäåëÿõ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � i
k( ) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê âðåìÿ ïðåáûâà-
íèÿ èåðàðõè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ñòðóêòóðû íà ñîîòâåòñòâóþùåì óðîâíå i. Ïî-
ýòîìó ïàðàìåòðû äåôîðìàöèè ìîæíî âîñïðèíèìàòü êàê ïàðàìåòðû «ñìåùåíèÿ»
èëè «çàïàçäûâàíèÿ» â ðåãèñòðèðîâàíèè èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñòðóêòóðû. Ýòó äî-
ïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ î ôóíêöèè D x( , )� ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè âûáîðå
íóæíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé (2). Äëÿ êîíêðåòèçàöèè ýòîãî óòâåðæäåíèÿ
ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ «ñìåùåíèÿ» äëÿ ïðîöåññà ãèáåëè
è ðàçìíîæåíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F xi ( ), i �1 2, , ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí [ , , , , , , ]( ){ }� i
k k i� �0 1 2 1 2� è ìàòðèöà ïåðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé öåïè
Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
F t P t
e t
t
k
t
1 1
1 0
0
( )
, ,
,
( )� � �
� � �
�
�
�
�
{ }
åñëè
åñëè 0,
�
�
F t P t
e t
t
k
t
2 2
1 0
0
( )
, ,
,
( )
( )
� � �
� � �
�
�
� �
{ }
åñëè
åñëè 0,
�
�
�
P �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
�
�
�
.
Ïîäîáíàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû îáñëó-
æèâàíèÿ M M/ / /1 0. Ïóñòü ïðîöåññ
( )t îïèñûâàåò êîëè÷åñòâî òðåáîâàíèé
â ñèñòåìå â ìîìåíò âðåìåíè t, ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå { }1 ñîîòâåòñòâóåò êîëè÷åñòâó
( )t � 0, à ñîñòîÿíèå { }2 — êîëè÷åñòâó
( )t �1. Îáîçíà÷èì s s sk1 2, , ,� � îáúåäè-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 99
íåííûé ïîòîê ìîìåíòîâ ïîñòóïëåíèÿ â ñèñòåìó è óõîäà èç íåå òðåáîâàíèé (âìåñ-
òå ñ ìîìåíòàìè èõ ïîòåðè â ñëó÷àå ïîñòóïëåíèÿ â çàíÿòóþ ñèñòåìó). Åñëè èíòåí-
ñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî � è ,
òî äëÿ öåïè Ìàðêîâà x k( ), k �1 2, , ,� îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâîì x k sk( ) ( )�
,
k �1 2, , ,� èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
P
s s t
x k i
F tk k
i
� �
� �
�
�
�
�
��1
1( )
( ), i �1 2, .
Ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëåíèåì öåïè x k( ), k �1 2, , ,� áóäåò âåêòîð � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 2 2
; . Ñîáñòâåííûå ÷èñëà { }� �1 2, ìàòðèöû P ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
�1 1� è �
�
2 � �
�
. Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöàU uij� [ ] , i �1 2, , j �1 2, , èìååò âèä
U �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2
2 2
.
Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç ðàññóæäåíèé, ïðèâåäåííûõ â îïèñàíèè àëãîðèòìà
ìåòîäà, íåçàâèñèìî îò êîíêðåòíîãî âèäà ôóíêöèè äåôîðìàöèè D x( , )� è êîí-
êðåòíîãî âèäà ôóíêöèè h x( ) ñèñòåìà óðàâíåíèé
x P x H
x P x H
n
n
�
�
[ ] ( )
[ ] ( )
T
T
�
�
�
�
1
22
èìååò ðåøåíèÿ x x xn n n*( ) *( ) *( ),� { }
1 2
, ãäå
x z zn
1 1 2
*( ) * *� �
��
, x z zn
2 1 2
*( ) * *� �
�
�
,
à êîîðäèíàòû âåêòîðà z z z* * *,� { }1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
z Hi i
* *� èëè z Hi i
* *� � , i �1 2, . Ïðè ýòîì
H H Hn n1
2
2
2
1* ( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
, H H Hn n2
2
2
2 1* ( )
( )
( ( ) ( ))�
�
�
�
�
�
.
Åñëè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå èíòåðïðåòàöèþ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, ïðåäïî-
ëîæèòü, ÷òî êîîðäèíàòû H ( , )1 � è H ( , )2 � âåêòîðà H ( )� ïîëîæèòåëüíû, òî
z H1 1
* *� , ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðèìåðîì 1.2, â êîòîðîì ñëåäóåò ïðèíÿòü
p21 �
�
�
, p22 �
�
�
�
. Âûáîð ñîîòâåòñòâóþùåãî çíàêà äëÿ êîîðäèíàòû z2
*
â êîíêðåòíûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðîèçâåñòè, èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ èç ïðèìåðà 1.2.
Ïðèìåð 2.2. Îïðåäåëèì áîëåå ïîäðîáíî ñòðóêòóðó ôóíêöèè D x( , )� . Ðàñ-
ñìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü:
� �( ) ( ) ( )
( )t ax t x t
t� � , t � 0 1 2, , ,� ,
m � 2, d x a a x1 1 1( , ) � � , d x a a x2 1 2( , ) � � , � � � ){ }a a R1 2 2, .
 êà÷åñòâå ôóíêöèè h x( ) âûáåðåì ôóíêöèþ
h x x( ) � , x R� 1.
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
Òîãäà ñòàòèñòèêè H n ( )1 è H n ( )2 ïðèíèìàþò ñîîòâåòñòâåííî âèä
H
n
l ln
l
n
( ) ( ) ( )1
1
1
1
� �
�
� � � , H
n
l ln
l
n
( ) ( ) ( )2
1
2
1
� �
�
� � � .
Îáîçíà÷èì: m E k
1 1
� ( )( )� , m E k
2 2
� ( )( )� . Òîãäà
H E a a mk( , ) [ ]( )1 1 1 1 1� �� � � � , H E a a mk( , ) [ ]( )2 2 2 2 2� �� � � � .
 ýòîì ñëó÷àå «äåôîðìàöèÿ» îçíà÷àåò çàïàçäûâàíèå â ðåãèñòðèðîâàíèè èçìå-
íåíèÿ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, îöåíèâàåìûå âåëè-
÷èíû { }a a1 2, ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûìè: a1 0' , a2 0' .
 ñâîþ î÷åðåäü, êîîðäèíàòà �( )k âåêòîðà íàáëþäåíèé � áóäåò ñòîõàñòè÷åñêè
ýêâèâàëåíòíà çíà÷åíèþ �( )k ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà � �( ) ( ( ))( )k x kk� , k �1 2, ,� ,
â êîòîðîì x t( ), t � 0 1 2, , ,� , — öåïü Ìàðêîâà ñ ìàòðèöåé ïåðåõîäíûõ
âåðîÿòíîñòåé çà îäèí øàã:
P �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1
�
�
�
.
Ñîîòâåòñòâåííî { }� ( ) ( ), , , ,k k1 0 1 2� � è { }� ( ) ( ), , , ,k k2 0 1 2� � — íå çàâèñÿùèå
îò öåïè Ìàðêîâà x t( ), t � 0 1 2, , ,� , ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêèõ,
÷òî äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé èíäåêñà k âåëè÷èíû � ( ) ( )k i , i �1 2, , íåçàâèñèìû ìåæ-
äó ñîáîé, à èõ ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò èíäåêñà k è îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè:
U t P t
e a t
t
k
t a
1
11
1
0
1
( ) ( )
, ,
,
( )
( )
� � �
� � �
�
� �
{ }
åñëè
åñëè
�
�
a1;
�
�
��
U t P t
e a tk
t a
2
22
1
0
2
( ) ( )
, ,
,
( )
( )( )
� � �
� � �
� �
{ }
åñëè
åñ
�
��
ëè t a�
�
�
�� 2 .
Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîð íàáëþäåíèé � � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n .
Ïîëîæèì òàêæå h x x( ) � , x R� 1. Òîãäà
� ( ) [ ( )]( )h E ak
1 11
1
� �
�
� � � ; � ( ) [ ( )]( )h E ak
2 22
1
� �
�
� � �
�
,
à ñòàòèñòèêè An ( )1 è An ( )2 , ñîîòâåòñòâóþùèå ñòàòèñòèêàì H n ( )1 è H n ( )2 , èìå-
þò âèä
A
n
l ln
l
n
( ) ( ) ( )1
1
1
1
� �
�
� � � , A
n
l ln
l
n
( ) ( ) ( )2
1
2
1
� �
�
� � � .
Ñòàòèñòèêè h h hn n
* * *( ); ( )� { }1 2 , íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ñòðîèòñÿ ñîñòîÿòåëü-
íàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà � � { }a a1 2, , èìåþò âèä
h z zn
* * *( )1 1 2� �
��
; h z zn
* * *( )2 1 2� �
�
�
.
Ïðè ýòîì êîîðäèíàòû âåêòîðà z z z* ,* *� { }1 2 îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: z Ai i
* *� èëè z Ai i
* *� � , i �1 2, , ãäå
A A An n1
2
2
2
1* ( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
�
; A A An n2
2
2
2 1* ( )
( )
( ( ) ( ))�
�
�
�
�
�
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 101
Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü
� ( ) � ( ) ( )
( )
h h a a2 1 2 1� �
� �
� � � �
�
.
 òî æå âðåìÿ
h h zn n
* * *( ) ( )
( )
2 1
2
2� �
�
�
�
�
èëè
z h hn n2
2
2 1* * *( )
( ( ) ( ))�
�
�
�
�
�
.
Ïîñêîëüêó çíàê ÷èñëà, îïðåäåëÿþùåãî ðàçíîñòü ( ( ) ( ))* *h hn n2 1� , ñîâïàäàåò ñî
çíàêîì ðàçíîñòè ( � ( ) � ( ))h h2 1� �� , òî çíàê âåëè÷èíû z2
* îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âåëè-
÷èíû ( )
( )
a a2 1� �
�
� �
. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèÿì ïàðàìåòðû ( , )� ñèñòåìû
îáñëóæèâàíèÿ èçâåñòíû. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíûé âûáîð çíàêà äëÿ z2
* ñâîäèòñÿ
ê èññëåäîâàíèþ âçàèìîîòíîøåíèÿ äëèòåëüíîñòåé çàïàçäûâàíèÿ a1 è a2 . Êàê ñëå-
äóåò èç ïðîâåäåííûõ ðàññóæäåíèé, ñîñòîÿòåëüíûìè îöåíêàìè ïàðàìåòðîâ
( , )a a1 2 ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòèêè:
a hn n
* *( ) ( ) ;1 1
1
� �
�
a hn n
* *( ) ( )2 2
1
� �
��
.
Çàìå÷àíèå 2. Ïðàêòè÷åñêè íè÷åãî íå èçìåíèòñÿ â ðàññóæäåíèÿõ, ïðîâåäåí-
íûõ â ïðèìåðå 2.2, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ôóíêöèÿ äåôîðìàöèè
D x d x d x( , ) ( , ), ( , )� � �� { }1 2 îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
� � � ){ }b b R1 2 2, , d x b x1 1( , )� � ; d x b x2 2( , )� � .
Âûáèðàÿ ñíîâà h x x x R( ) ,� � 1, ïîëó÷àåì
� ( ) [ ( , )]h E d b b xe dx
bx
1 1 1 1 1
0
1� � �
�
�� � ��
� ,
� ( ) [ ( , )] ( ) ( )h E d b b xe dx
bx
2 2 2 2 2
0
2� � �
�
� � � � �
�
� �
� .
Ïîýòîìó ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðîâ ( , )b b1 2 èìåþò âèä
b hn n
* *( ) ( )1 1� � ; b hn n
* *( ) ( ) ( )2 2� �� .
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî ñòðîèòü îöåíêè ïàðàìåòðîâ
áîëåå ñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, íàïðèìåð:
� � � ){ }c c R1 2 2, , d x c x
k
1 1
1( , )� � ; d x c x
k
2 2
2( , )� � ,
ãäå ( , )k k1 2 — èçâåñòíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ( , )c c1 2 — íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå âûïîëíÿòü äåòàëüíûé àíàëèç ìîäåëè
ñ ïîìîùüþ ôîðìàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñðåäñòâ íåöåëåñîîáðàçíî. Ðàññìîò-
ðåííûå ïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî íóæíî ìàêñèìàëüíî èñïîëüçîâàòü êîíêðåò-
íûå óñëîâèÿ â êàæäîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè, ÷òî ïîìîãàåò îòñåÿòü çàâåäîìî
íåïîäõîäÿùèå ðåøåíèÿ è ñóùåñòâåííûì îáðàçîì óïðîùàåò çàäà÷ó âûáîðà èñ-
êîìîãî ðåøåíèÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîñëå îòñåèâàíèÿ çàâåäîìî ëèøíèõ ðåøå-
íèé îêîí÷àòåëüíûé âûáîð ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê íåîáõîäèìî îñóùåñòâëÿòü,
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6
êîìáèíèðóÿ àíàëèòè÷åñêèå è ýìïèðè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ, ò.å. àíàëè-
çèðóÿ ôîðìàëüíûìè ìåòîäàìè âèä îñòàâøèõñÿ ðåøåíèé è ïðîâåðÿÿ èõ
ñ ïîìîùüþ äîïîëíèòåëüíûõ ñòàòèñòèê âåêòîðà íåïîëíûõ íàáëþäåíèé
� � � � �� ( ( ), ( ), ( ), , ( ))0 1 2 � n .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ë è ï ö å ð Ð . Ø . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1974. —
696 ñ.
2. V o i n a O . A . Nonparametric estimation for a compound Poisson process governed by a Markov
chain // Theor. Probab. and Math. Statist. — 2013. — N 85. — P. 41–52.
3. V o i n a A . A . Statistical estimation in a scheme of random variables on Markov chains, with
incomplete observations // Ibid. — 1988. — N 37. — P. 19–28.
4. V o i n a O . A . Conditional distributions of diskontinuous processes in a random medium // Ibid. —
1997. — N 55. — P. 37–47.
5. V o i n a O . A . Interpolation equation for some classes of Markov processes // Ibid. — 1998. —
N 57. — P. 19–31.
6. R a b i n e r L . R . , J u a n g B . H . An introduction to Hidden Markov Models // IEEE ASSP Mag.
— 1986. — 3, N 1. — P. 4–16.
7. J o n e s M . T . Al application programming. — Hingham (Mass.): Charles River Media, 2003
(Ì.Ò. Äæîíñ. Ïðîãðàììèðîâàíèå èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà â ïðèëîæåíèÿõ. — Ì.: ÄÌÊ
Ïðåññ., 2006. — 312 ñ.).
8. K e m e n y J . G . , S n e l l J . L . Finite Markov chains. — Princeton (N.J.): Van Nostrand, 1960.
— 300 p.
9. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1971. —
Ò. 1. — 664 ñ.; 1973. — Ò. 2. — 670 ñ.
10. L a n c a s t e r P . Theory of matrices. — New York: Acad. Press, 1969. — 250 p.
11. V o i n a O . A . , C z a p l a E . An application of the correlation structure of a Markov chain for the
estimation of shift parameters in queuing systems // Theor. Probab. and Math. Statist. — 2005. —
N 71. — P. 53–61.
12. Ê î ê ñ Ä . , Ë ü þ è ñ Ï . Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñîáûòèé. — Ì.: Ìèð,
1969. — 312 ñ.
13.  î é í à À . À . Àñèìïòîòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïîñòðîåííûõ íà
îñíîâàíèè ñëîæíîãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2011.
— ¹ 4. — Ñ. 165–175.
Ïîñòóïèëà 19.12.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 103
|