О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами

Для стохастической задачи Коши неавтономного стохастического уравнения в частных производных с непрерывным марковским процессом в качестве параметра доказано существование второго момента сильного решения. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратичном с помощью сто...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Донец, Н.П., Юрченко, И.В., Ясинский, В.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124746
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами / Н.П. Донец, И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 122-131. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124746
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1247462025-02-23T17:18:28Z О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами Про поведінку в середньому квадратичному сильного розв’язку лінійного неавтономного стохастичного рівняння в частинних похідних з марковськими параметрами Mean square behavior of the strong solution of a linear non-autonomous stochastic partial differential equation with Markov parameters Донец, Н.П. Юрченко, И.В. Ясинский, В.К. Системный анализ Для стохастической задачи Коши неавтономного стохастического уравнения в частных производных с непрерывным марковским процессом в качестве параметра доказано существование второго момента сильного решения. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратичном с помощью стохастической функции Ляпунова. Для стохастичної задачі Коші неавтономного стохастичного рівняння в частинних похідних, в якому неперервний марковський процес є параметром, доведено існування другого моменту сильного розв’язку. Отримано достатні умови асимптотичної стійкості в середньому квадратичному за допомогою стохастичної функції Ляпунова. The existence of the second moment of the strong solution for the stochastic Cauchy problem for the non-autonomous stochastic partial differential equation with continuous Markov process as a parameter is proved. The sufficient conditions are obtained for the asymptotic stability in the mean square with the use of the Lyapunov function. 2014 Article О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами / Н.П. Донец, И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 122-131. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124746 519.21 ru Кибернетика и системный анализ application/pdf Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Донец, Н.П. Юрченко, И.В. Ясинский, В.К. О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами Кибернетика и системный анализ
description	Для стохастической задачи Коши неавтономного стохастического уравнения в частных производных с непрерывным марковским процессом в качестве параметра доказано существование второго момента сильного решения. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости в среднем квадратичном с помощью стохастической функции Ляпунова.
format	Article
author	Донец, Н.П. Юрченко, И.В. Ясинский, В.К.
author_facet	Донец, Н.П. Юрченко, И.В. Ясинский, В.К.
author_sort	Донец, Н.П.
title	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
title_short	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
title_full	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
title_fullStr	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
title_full_unstemmed	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
title_sort	о поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Системный анализ
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124746
citation_txt	О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами / Н.П. Донец, И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 6. — С. 122-131. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT donecnp opovedeniivsrednemkvadratičnomsilʹnogorešeniâlinejnogoneavtonomnogostohastičeskogouravneniâvčastnyhproizvodnyhsmarkovskimiparametrami AT ûrčenkoiv opovedeniivsrednemkvadratičnomsilʹnogorešeniâlinejnogoneavtonomnogostohastičeskogouravneniâvčastnyhproizvodnyhsmarkovskimiparametrami AT âsinskijvk opovedeniivsrednemkvadratičnomsilʹnogorešeniâlinejnogoneavtonomnogostohastičeskogouravneniâvčastnyhproizvodnyhsmarkovskimiparametrami AT donecnp propovedínkuvserednʹomukvadratičnomusilʹnogorozvâzkulíníjnogoneavtonomnogostohastičnogorívnânnâvčastinnihpohídnihzmarkovsʹkimiparametrami AT ûrčenkoiv propovedínkuvserednʹomukvadratičnomusilʹnogorozvâzkulíníjnogoneavtonomnogostohastičnogorívnânnâvčastinnihpohídnihzmarkovsʹkimiparametrami AT âsinskijvk propovedínkuvserednʹomukvadratičnomusilʹnogorozvâzkulíníjnogoneavtonomnogostohastičnogorívnânnâvčastinnihpohídnihzmarkovsʹkimiparametrami AT donecnp meansquarebehaviorofthestrongsolutionofalinearnonautonomousstochasticpartialdifferentialequationwithmarkovparameters AT ûrčenkoiv meansquarebehaviorofthestrongsolutionofalinearnonautonomousstochasticpartialdifferentialequationwithmarkovparameters AT âsinskijvk meansquarebehaviorofthestrongsolutionofalinearnonautonomousstochasticpartialdifferentialequationwithmarkovparameters
first_indexed	2025-11-24T02:27:54Z
last_indexed	2025-11-24T02:27:54Z
_version_	1849636971516788736
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Í.Ï. ÄÎÍÅÖ, È.Â. ÞÐ×ÅÍÊÎ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈÈ Â ÑÐÅÄÍÅÌ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÌ ÑÈËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÍÅÀÂÒÎÍÎÌÍÎÃÎ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß Â ×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ Ñ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ Àííîòàöèÿ. Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè íåàâòîíîìíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñò- íûõ ïðîèçâîäíûõ ñ íåïðåðûâíûì ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà äîêàçàíî ñóùåñò- âîâàíèå âòîðîãî ìîìåíòà ñèëüíîãî ðåøåíèÿ. Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìàðêîâñêèé ïàðàìåòð, óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì. Äîêàçàòåëüñòâó ñóùåñòâîâàíèÿ è àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðåøåíèé äåòåðìè- íèðîâàííûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïîñâÿùåíî äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ðà- áîò, ññûëêè íà êîòîðûå ìîæíî íàéòè â [1–3]. Ïîñëå ââåäåíèÿ ïîíÿòèé ñòîõàñòè- ÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà è èíòåãðàëà, çàìåíû ïåðåìåííûõ Èòî äëÿ ñòîõàñòè÷åñêî- ãî äèôôåðåíöèàëà, ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÑÄÓ) êàê èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ èíòåãðàëîì Èòî–Ñêîðîõîäà òàêèìè èçâåñòíûìè ó÷å- íûìè êàê È.È. Ãèõìàí, À.Â. Ñêîðîõîä, Ð.Ç. Õàñüìèíñêèé, Â.Á. Êîëìàíîâñêèé, Å.Ô. Öàðüêîâ (ñì. [4–9]) ñòàëî âîçìîæíûì èçó÷åíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ÑÄÓ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (ÑÄÓ â ×Ï) [10–14] è äð. Äëÿ äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ ÑÄÓ â ×Ï â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ðàññìàòðèâàëèñü ñëó÷àéíûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿëè áû áîëåå òî÷íóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ðåàëüíûõ ñëîæíûõ ñèñòåì [4, 5, 14, 22, 23 è äð.]. Â äàííîé ðàáîòå èññëåäóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñèëüíîãî ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî ÑÄÓ â ×Ï ñ ó÷åòîì íåïðåðûâíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà [14, 15]. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ( , , , , )� � �� { }t t 0 [3] ðàññìîò- ðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå- íèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (ËÑÄÓ â ×Ï) [14]: � � � � � � � � � � � � � � � � t Q A t t t x u t x Q B t t( , ( )), , ( , , ) ( , (� � � )), , ( , , ) � � � � � � � � � t x u t x � � � � � � � � � � � � � � � � � t Q C t t t x u t x dw t d ( , ( )), , ( , , ) ( , ) � � � t , (1) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè Q A t t t x u t x Qu t ( , ( )), , ( , , ) [ ]� � � � � � � � � � � �0 0 . (2) Çäåñü Q A q p a t t q pkj j m k n k j( ( ), , ) ( , ( ))� � �� 11 � , Q B q p b t t q pkj j m k n k j( ( ), , ) ( , ( ))� � �� 11 � , Q C q p c t t q pkj j m k n k j( ( , , ) ( , ( ))� � �� 11 � , ãäå A B C( ), ( ), ( )� � � — ìàòðèöû ðàçìåðà n m� , ñîäåðæàùèå ñîîòâåòñòâóþ- 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 © Í.Ï. Äîíåö, È.Â. Þð÷åíêî, Â.Ê. ßñèíñêèé, 2014 ùèå áåðîâñêèå ôóíêöèè, êîòîðûå çàâèñÿò îò t è � � �( ) ( , )t t� ��, äëÿ ïðîèç- âîëüíîãî t t� 0 , � �� — ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâíûé ôåëëåðîâñêèé ìàðêîâ- ñêèé ïðîöåññ ñ íåïðåðûâíûìè ñïðàâà ðåàëèçàöèÿìè íà êîìïàêòíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå � [15, 16]. Ïóñòü w t w t T( ) ( , ) :[ , ]� � �� 0 1� � — ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ, T � 0 [8], à dw t dt ( , )� — «áåëûé øóì» (ïðîèçâîäíàÿ îò w t( , )� ñ âåðîÿòíîñòüþ åäè- íèöà íå ñóùåñòâóåò [16, 17]). Äàëåå, MT — ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé u t x T( , , ) : [ , ]� 0 1 1� � �� , èçìå- ðèìûõ ïî t è x c âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà îòíîñèòåëüíî �-àëãåáðû áîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà �([ , ], )0 1T � , è äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íå- ñîáñòâåííûé èíòåãðàë � �� { }\| ( , , ) \|u t x dx� 2 (3) ïðè ëþáîì t T�[ , ]0 , �{ }� — çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ââåäåì íîðìû, ñâîéñòâà êîòîðûõ ëåãêî ïðî- âåðèòü [18]: \|\| ( , , ) \|\| \| ( , , ) \|u t x u t x dx L R � � 2 2 2� �� , (4) \|\| ( , , ) \|\| \| ( , , ) \|u t x u t x dt T T � � 2 2 0 2� � , (5) � �u L t u t x u R ( ) \|\| ( , , ) \|\|� { } 2 2 . (6) Ïîä L R2 , L T2 áóäåì ïîíèìàòü ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé u t x( , , )� , èìåþùèå ñîîòâåòñòâóþùèå íîðìû (4), (5). Â ïðîñòðàíñòâå MT ââåäåì íîðìó ñîãëàñíî (6), à èìåííî: \|\| ( , , ) \|\| ( ) \| ( , , ) \|u t x t dt u t x dxu T T � �2 0 0 2� � � �� 2 dt. (7) Ïîä ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2) áóäåì ïîíèìàòü ñëó÷àé- íóþ ôóíêöèþ u t x u t x T( , ) ( , , ) :[ , ]� � � �� 0 1 1 � �� , ñîãëàñîâàííóþ ñ ôèëüòðà- öèåé { }�t t, � 0 [19], è òàêóþ, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè êàæäîì ( , )t x óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Q A t t t x u t x Qu Q B s s t ( , ( )), , ( , ) [ ] ( , ( ))� � � � � � � � � � � � �0 0 , , ( , ) � � � � � � � � � s x u s x ds � � � � � � � � �� 0 t Q C s s s x u s x dw s( , ( )), , ( , ) ( )� . (8) Îòìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ u t x( , ) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 íåïðåðûâíà ïî t T�[ , ]0 â ñèëó êîíñòðóêöèè Q t x � � � � � � � � �, , è íåïðåðûâíîñòè ïî t èíòåãðàëà Èòî è èíòåãðàëà Ðèìàíà êàê ôóíêöèé âåðõíåãî ïðåäåëà. 2. ÐÅØÅÍÈÅ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÇÀÄÀ×È ÊÎØÈ ÄËß ËÑÄÓ Â ×Ï (1), (2) Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (1), (2) â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì â ïðîñòðàíñòâå M M T T 1 � , äëÿ ýëåìåíòîâ êîòîðîãî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû A t y( , ) , y��, èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå Q A t y t x u t x T( , ), , ( , ) � � � � � � � � �M . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 123 Ëåììà 1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî x äëÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè u t x u t x( , ) ( , , )� � , à èìåííî � � � � � � ��( , ) ( , , ) ( , , )t t e u t x dxi x� � � �� 1 2 , (9) íå âûâîäèò åå èç ïðîñòðàíñòâà MT äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî 0� � �T ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå [20, 21] ñëåäóåò èç ïðèíàäëåæíîñòè u t x( , ) ïðîñòðàíñòâó L R2 äëÿ ïðîèç- âîëüíîãî t T�[ , ]0 , ïîñêîëüêó âåðíî íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà [16] � � � �: \| ( , , )\| ( ) u t x dx N t N u �� ! "! # $ ! %! & � 0 ïðè N � ��. Ïî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ [18] èìååì �� \| ( , , ) \| \| ( , , ) \|� � � � � �t d u t x dx2 21 2 , ò.å. � � � ( , ) \|\| ( , ) \| \|t u t xL LR R2 2 1 2 � . Çíà÷èò, \|\| ( , ) \|\| \|\| ( , ) \|\|� � � t u t x T TM M� 1 2 , ÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó 1. Òåîðåìà 1. Ïóñòü: 1) âûïîëíåíû òðåáîâàíèÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷è (1), (2) è óñëîâèÿ Ëèïøèöà íà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1); 2) áåðîâñêèå ôóíêöèè a t ykj ( , ), b t ykj ( , ) , c t ykj ( , ) , k n�1, ; j m�1, , óäîâëåòâî- ðÿþò ãëîáàëüíîìó óñëîâèþ îãðàíè÷åííîñòè ìîäóëåé \| ( , ) \| \| ( , ) \|a t y b t ykj kj 2 2� � � &\| ( , ) \|c t y Lkj 2 ' �y � ; 3) �{ }\|\| [ ] \|\|Qy K T l 0 M & ; l�1. Òîãäà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå ðåøåíèå ñòîõàñòè- ÷åñêîé çàäà÷è Êîøè u t x u t x( , ) ( , , )� � , ïðè÷åì ñóùåñòâóåò âòîðîé ìîìåíò �{ }\|\| ( , ) \|\|u t x K TM 2 1& , à äëÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè � � � � �( , ) ( , , )t t� (ñì. (9)) — l-é ìîìåíò (l�1) êàê ðåøåíèå çàäà÷è ÑÄÓ (10), (11) (ñì. íèæå). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíèâ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå [20] ïî ïåðåìåííîé x �� 1 ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿì ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2), ïîëó÷èì «ôîðìàëüíîå» ëè- íåéíîå ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íå ñîäåðæàùåå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, äëÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè � � � � �( , ) ( , , )t t� : d dt Q A t t d dt i t Q B t t( , ( )), , ( , ) ( , ( )),� � � � � � � � � � � � � � � d dt i t, ( , )� � � � � � � � � � � � �Q C t t d dt i t dw t dt ( , ( )), , ( , ) ( ) � � � � , (10) Q A t t d dt i t t Q t ( , ( )), , ( , ) ( , ) [ ]� � � � � � � � � � � � �0 0 . (11) Ïîëó÷åííóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ ËÑÄÓ (10), (11) ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ñòîõàñ- òè÷åñêîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå [6, 19] � � � � � � � �( , ) ( , ) ( ( , ( )), , ) ( , )t t Q B s s i s ds t � � � ��0 0 Q C s s i s dw s t ( ( , ( )), , ) ( , ) ( ) 0 � �� (12) 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (11). Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ñóùåñòâóåò ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñèëüíîå íåïðåðûâ- íîå ðåøåíèå � � � � �( , ) ( , , )t t� ïðè � ( 0 ËÑÄÓ (10), (11) ñ � { }\|\| ( , ) \|\|� �t T l M � � , l�1, [6, 9], à â ñèëó ëåììû 1 — ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ñèëüíîå íåïðåðûâíîå ðå- øåíèå u t x u t x( , ) ( , , )� � ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2) ñ �{ }\|\| ( , ) \|\|u t T � M 2 � � . 3. ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ ÒÐÈÂÈÀËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß ÐÀÑÑÌÀÒÐÈÂÀÅÌÛÕ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Âíà÷àëå îáñóäèì àñèìïòîòèêó ïîâåäåíèÿ ËÑÄÓ (12) òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ � �( , )t � 0 ïðè � ( 0 ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (11). Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è ðàçä. 1 áóäåì ïðèìåíÿòü ìåòîä ñòîõàñòè÷åñêîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà [4] äëÿ èññëåäîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì, l-óñòîé÷èâîñòè (l�1), ýêñïîíåíöèàëüíîé l-óñòîé÷èâîñòè, ãëîáàëüíîé ýêñïîíåí- öèàëüíîé l-óñòîé÷èâîñòè, ãëîáàëüíîé ýêñïîíåíöèàëüíîé l-óñòîé÷èâîñòè â öå- ëîì [16, ðàç. 8, ñ. 543–558]. Îïðåäåëèì óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ � �( , )t � 0, � ( 0 ÑÄÓ (10), (11) ñî ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè íà êîýôôèöèåíòû: Q B t y i t y t Q C t y i t ( ( , ), ) ( , ) , [ , ), ( ( , ), ) ( � � ' � � � � � � � � � � 0 � , ) , [ , ).� � ' � � �0 0y t� (13) Îïðåäåëåíèå 1. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå � �( , )t � 0 , � ( 0 çàäà÷è (10), (11) íàçîâåì: ) ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè ' ��1 0, �2 0� * �� 0, ÷òî èç íåðàâåíñòâà \| \|Q� �0 � äëÿ t0 0� , y�� ñëåäóåò íåðàâåíñòâî � � " � � # $ % � � � � � � � �:sup \| ( ( , ), , ) ( , ) \| t Q D t y i t 0 1 2 , (14) ãäå D èìååò êîíñòðóêöèþ D t d tkj k j n m( ( )) ( ( )) , ,� �� { } 1 , dkj ( )� — áåðîâñêèå ôóíêöèè; ) àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (14) è ñóùåñòâóåò òàêîå �1 0� , ÷òî äëÿ t0 0� , y�� è \| \|Q� �0 1� èìååò ìåñòî � � " � � # $ % � �� : lim \| ( ( , ), , ) ( , ) \| t Q D t y i t 0 1. (15) Îïðåäåëåíèå 2. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå � �( , )t � 0 , � ( 0 çàäà÷è (10), (11) íàçîâåì: ) l-óñòîé÷èâûì, åñëè lim sup \| ( ( , ), , ) ( , ) \| \| \|Q t t lQ D t y i t � � � � 0 0 0 0 0 � � � � ��{ } , (16) ) àñèìïòîòè÷åñêè l-óñòîé÷èâûì, åñëè ðåøåíèå l-óñòîé÷èâî è ñóùåñòâóåò òà- êîå � � 0, ÷òî lim \| \| ( ( , ), , ) ( , ) \| \| t lQ D y t i t �� { }� � � 0 (17) ' �t0 0, y�� è \| [ ] \|Q t� � 0 � . Îïðåäåëåíèå 3. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå � �( , )t � 0 , � ( 0 çàäà÷è (10), (11) íàçîâåì: ) ýêñïîíåíöèàëüíî l-óñòîé÷èâûì, åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå �� 0, M � 0 è � 0 , ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ t t� �0 0, y�� è \| [ ] \|Q t� � 0 � �{ }\| ( ( , ), , ) ( , ) \| ( ) \|[ ] \| Q D t y i t Mel t t Q l � & � �� 0 0 ; (18) ) ãëîáàëüíî ýêñïîíåíöèàëüíî l-óñòîé÷èâûì, åñëè (18) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ t t� �0 0, y�� è [ ]Q� 0 1�� . Äàëåå ðàññìîòðèì ñêàëÿðíóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà [7, 16] ïî âñåì ïåðåìåííûì: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 125 � � � � �: � � � �1 1, (19) äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ãëîáàëüíîå óñëîâèå Ëèïøèöà \| ( , , ) ( , , ) \| \| \|� �t y t y L� � � �1 2 1 2� & � (20) äëÿ âñåõ � �1 2 1, �� è óñëîâèå ãëîáàëüíîé îãðàíè÷åííîñòè ' �y � sup \| ( , , ) ( , , ) \| ( ) t t y t y y � � � � � 0 1 2� �� . (21) Îïðåäåëåíèå 4. Îïåðàòîð ( )( , , )�� s y� íàçîâåì ïðîèçâîäíîé Ëÿïóíîâà íà ðåøåíèÿõ ÑÄÓ (10), (11), åñëè ôóíêöèÿ � � � �: � � �1 íåïðåðûâíà ïî s y, ,� , îãðàíè÷åíà íà êàæäîì ìíîæåñòâå [ , ] ( )t t U1 2 0� �� , U t� � � �( ) \| ( , ) \|0 � � ; � ( 0 è âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå: ' �s 0, y�� è � �� 1 íàéäåòñÿ òàêîå + � 0 , ÷òî ñóùåñòâóåò sup \| ( , ( , ), ( )) ( , ( , ), ( )) 0 1 & & � � � t t s t s t t s s t + � � �{ � � � � � � }\|& � �K ðàâíîìåðíî ïî àðãóìåíòó �, à òàêæå ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim [ ( , ( , ), ( )) ( , , ) ] ( )( , t t s t s t y s s y s � � � � � 0 1 � � � �{ }� � � � �, )y . (22) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ 4 ââåäåì îáîçíà÷åíèå � �� ( )1 . Åñëè íåïðåðûâíûé ôóíê- öèîíàë � � � � �: � � � �1 1 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî âòîðîìó àðãó- ìåíòó � è óñëîâèþ ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó t, òî îïå- ðàòîð � ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâîé ÷àñòüþ ÑÄÓ (10) è ñëàáûì èíôèíèòåçè- ìàëüíûì îïåðàòîðîì ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà �( )t [15, 16] � � �� ~ ~ 1 2 , ãäå ( ~ )( , , ) ( )( , , ) ( ), ,�2� �s y s y Q B y d dt i� � �� , � � � �� , � � � � 1 2 2 2( )( , , ) ( ), ,� s y Q C y d dt � �� . (23) Çäåñü ,� — ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ , � ; , 2 � — âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ � �2 [16, c. 546–549]. Îïðåäåëåíèå 5. Îïåðàòîð �( )( , , )� s y� íàçîâåì ïðîèçâîäíîé Ëÿïóíîâà íà ðå- øåíèÿõ ÑÄÓ (10), (11), à çíà÷èò, â ñèëó ëåììû 1 — è íà ðåøåíèÿõ ÑÄÓ (1), (2), åñëè ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà � � � �( , , ) :s y� � � �1 íåïðåðûâíà ïî âñåì òðåì àðãó- ìåíòàì, îãðàíè÷åíà íà êàæäîì ìíîæåñòâå [ , ] ( )t t r1 2 0� �� è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 4, ãäå � �r r( ) : \| \| \| \|0 1� � �{ }� � , r � 0. Îáîçíà÷èì ýòî, êàê è ðàíåå, � �� ( ) . Îïðåäåëåíèå 6. Â óñëîâèÿõ îïðåäåëåíèÿ 5 âåðõíåé ïðîèçâîäíîé Ëÿïóíîâà [7] íàçîâåì ñîîòíîøåíèå lim sup [ ( , ( , ( ), ), ( )) ( , t t t s t s t u s y s s - � & � � � 0 0 1 + � � �{ }� � � �( ), )] ( )( , , )s y s y� �� , (24) åñëè äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî ìàëûõ + � 0 â êàæäîé îêðåñòíîñòè � �r ( )0 � âûïîë- íÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 1 + + + +\| ( , ( ), ( )) ( , , ) \| ( , , )� � �{ }s s s y g s yr� � � �� , (25) ãäå g s yr ( , , )� — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ è îãðàíè÷åíà ïî âòîðîìó àðãóìåíòó � â êàæäîé îêðåñòíîñòè � r ( )0 . Îòìåòèì, ÷òî ïðè íàëîæåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà � âû- ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Äûíêèíà [15]. Ëåììà 2 [15]. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ïî âñåì àðãóìåíòàì ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 �( , , )s y� óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (20), (21), òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Äûíêèíà � �{ ( ( ), ( ( ), ( , ( ), ( ( )))), ( ( ))s t s t s u s t tr r r r� �� )} & & � � � � �� ( , , ) ( )( , ( , ( ), ), ( )) ( ) s y s z s z u s y z dz r t � � � � � 0 ! "! # $ ! %! . (26) Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî â [16, c. 550, 551]. Èñõîäÿ èç âûøåóïîìÿíóòûõ æåñòêèõ óñëîâèé íà ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà � , ìîæíî óñòàíîâèòü ñëåäóþùèå âñïîìîãàòåëüíûå íåðàâåíñòâà äëÿ ðåøåíèÿ � � �( , , )t çàäà÷è Êîøè äëÿ ÑÄÓ (10), (11), à çíà÷èò, è äëÿ ðåøåíèÿ u t x( , , )� çàäà- ÷è Êîøè (1), (2) äëÿ ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2) ñîãëàñíî ëåììå 1 [16]. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè óñëîâèÿìè è íåðàâåíñòâîì Ãðîíóîëëà. Ëåììà 3 [16, c. 552, 553]. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ëîêàëüíûå óñëîâèÿ Ëèïøèöà íà êîýôôèöèåíòû äëÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ u t x( , , )� óðàâíåíèÿ (1), (2), à çíà÷èò, è íà êîýôôèöèåíòû äëÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ � � �( , , )t óðàâíåíèÿ (10), (11). Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11) ((1), (2)) äîïóñêàåò îöåíêó ' �T 0 , s � 0, y�� è � 0 1�� (u0 1�� ): sup \| ( , , , ) \| (\| \| \|\| ) 0 0 0 & & � � � t T KTt s s y KT e� � � , (27) sup \| ( , , , ) ( , , , ) \| , [ , ]t t s s T t s y t s y 1 2 2 0 1 0 � � � &� � � � & � � �K KT e t tKT[( \| \| ) ] \| \|� 0 2 1 , (28) ãäå â ëåììàõ 2, 3 � �( , , , )t s y0 îáîçíà÷àåò ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11) â ìîìåíò âðåìåíè t T�[ , ]0 , ñ÷èòàÿ íà÷àëüíûì ìîìåíò s, çíà÷åíèå ðåøåíèÿ � 0 è çíà÷å- íèå ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà y��. Èñõîäÿ èç ñâÿçè u çàäà÷è (1), (2) è � çàäà÷è (10), (11), äëÿ ðåøåíèÿ u çàäà÷è (1), (2) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà òèïà (27), (28). Òåîðåìà 2. Ïóñòü: 1) âûïîëíÿþòñÿ ëîêàëüíûå óñëîâèÿ Ëèïøèöà íà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (10), (11); 2) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè íà êîýôôèöèåíòû òàê íàçûâàåìîãî «ïîäëèíåéíîãî» ðîñòà; 3) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà �( , , )s y� ñ îöåíêîé ñíèçó è ñâåðõó c s y c l l 1 2 1 2\| \| ( , , ) \| \|� � �& &� (29) äëÿ âñåõ c c1 2 0, � , l l2 1 0� � , âñåõ s � �� , y��, � �� 1; 4) äëÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà �( , , )s y� â ñèëó ÑÄÓ (10), (11) âûïîëíÿåòñÿ íåðà- âåíñòâî ( )( , , ) \| \|�� s y c l� �& � 3 (30) äëÿ âñåõ s � 0, y�� è � �� 1. Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ÑÄÓ (10), (11) àñèìïòîòè÷åñ- êè l-óñòîé÷èâî (l�1), à òðèâèàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), (2) äëÿ ËÑÄÓ â ×Ï àñèì- ïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â l.i.m. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ëèíåéíîñòè ÑÄÓ (10) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå òîæäåñòâåííîãî ðàâåíñòâà íóëþ êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðè � � 0. Ïîýòîìó â òåîðåìå 2 è â ïðèâåäåííûõ íèæå óòâåðæäåíèÿõ áóäåò èññëåäî- âàòüñÿ íà óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå � � 0. Ïîñêîëüêó � � " � # $ % � � � �: lim ( ) r r t t 0 1 äëÿ âñåõ t � 0, â (26) âìåñòî �r t( ) ìîæíî èñïîëüçîâàòü t. Çíà÷èò, âìåñòå ñ íåðàâåíñòâîì Äûíêèíà (26) è íåðàâåíñòâîì (27) äëÿ t � � ìîæíî çàïèñàòü íåðàâåíñòâî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 127 c t s s y s t s t y s l 1 0 0 1� � �{ } {\| ( , , , ) \| \| ( , ( , , ), ( )) \|� � � � �� & � � } & & � � � &�c s y c s z s y dz l t l 2 0 3 0 2� �{ } { }\| ( , ) \| \| ( , , , ) \|,� � � � � � & � ��c l KT c s z s y dz l t l 2 0 2 3 0 2\| \| exp \| ( , , , ) \|� � � � { } { }� . Îòñþäà ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 3 ñëåäóåò l-óñòîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøå- íèÿ � � �( , , )t � 0 çàäà÷è (10), (11) äëÿ l l& 1 è ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà � � � � � � � � �{ }\| ( , , , ) \|s z s y dzl 0 . (31) Òàêèì îáðàçîì, èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (31) âûòåêàåò àñèìïòîòè÷åñêàÿ l-ñõîäèìîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (10), (11) ( )l�1 . Äàëåå, ñîãëàñíî ëåììå 1 ñóùåñòâóåò ñâÿçü (9) ìåæäó � �( , )t è u t x( , , )� , à çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå Ïëàíøåðåëÿ [18, 20] ïðè l � 2 àñèìïòîòè÷åñêàÿ 2-óñ- òîé÷èâîñòü òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (1), (2) ' �t y0 , � è � �� ( )0 . Òåîðåìà 3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 2 ñ l l l2 1 0� � � . Òîãäà òðè- âèàëüíîå ðåøåíèå � � �( , , )t � 0 çàäà÷è (10), (11), à òàêæå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå u t x( , , )� � 0 çàäà÷è Êîøè (1), (2) ãëîáàëüíî ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðåøåíèÿõ ÑÄÓ (10), (11) è ñ ïåðåõîäíîé âåðîÿòíîñòüþ p t y dz( , , ) ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà �( )t �� 1 îïðåäåëèì ëèíåéíûé îïåðàòîð [15] ( ( ) )( , , ) ( , ( , , ), ) ( , , )T t s y s t s t y z t y dz� � � � � � � �� { }0 (32) ñî ñâîéñòâàìè [15, 16], åñëè � íåïðåðûâíûé ïî âñåì ïåðåìåííûì. ) Ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ îïåðàòîðà T t( ) íà �( , , )t � � ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé ïî àðãóìåíòàì, ò.å. C C( ~ ) ( ~ )� �� , ãäå ~ [ , )� � �� 0 1 . ) Îïåðàòîð T t( ), t � 0, îáðàçóåò ïîëóãðóïïó T t t T t T t t t( ) ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2 0� � ' � . ) Ñåìüÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íà ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ~ � îïðåäåëÿåò ñòîõàñ- òè÷åñêè íåïðåðûâíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ C íåïðåðûâíûìè ñïðàâà ðåàëèçàöèÿìè. Îáîçíà÷èâ z t C t s y( ) ( ( ) ( , , ))� � � , ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî Äûíêèíà (26) â âèäå z t z t s t s t y t dt t t ( ) ( ) ( ( , ( , , ), ( )))2 1 0 1 2 & � � �� { }� � � � . (33) Åñëè � óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 2, òî èç íåðàâåíñòâà (33) è î÷åâèä- íûõ ñîîòíîøåíèé ( )( , , ) \| ( ) \| ( , , )�� s y c c c s yl� � �& � & �3 3 1 0 ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî z t z t c c z t dt t t ( ) ( ) ( )2 1 3 1 1 2 � & � � . Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ äîêàçàííîå âûøå íåðàâåíñòâî, áóäåì èìåòü öå- ïî÷êó òðèâèàëüíûõ íåðàâåíñòâ � � �{ } { }\| ( , , ) \| ( , ( , , ), ( )),� � � � �s t s y c s t s t y tl� & � � &0 1 0 1 & � � � � " # $ % & 1 1 0 3 1c s s y t c c t� �{ }( , ( , , ), ( )) exp ( )� � � � � � & � � " # $ % c c c c t p Kh l2 1 3 1 2 0exp ( ) exp \| \|� �{ } äëÿ âñåõ � 0 1�� , s � 0, y�� è t � �. 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 Î÷åâèäíî, ÷òî ñîãëàñíî ëåììå 1 ïðè l � 2 èìååì ýêñïîíåíöèàëüíóþ óñòîé÷è- âîñòü â l.i.m. òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ÑÄÓ â ×Ï (1), (2). Òåîðåìà 4. Ïóñòü: 1) âûïîëíåíû ëîêàëüíûå óñëîâèÿ Ëèïøèöà íà êîýôôèöèåíòû ËÑÄÓ â ×Ï (1); 2) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì 3), 4) òåîðåìû 2. Òîãäà íóëåâîå ðåøåíèå � �( , , )t � � 0 çàäà÷è Êîøè äëÿ ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2) àñèìïòîòè÷åñêè ñòîõàñòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü �r — ìîìåíò ïåðâîãî âûõîäà ðåøåíèÿ � �( , , )t x ËÑÄÓ (10) èç ñôåðû � r ( )0 . Òîãäà äëÿ ' �t 0 è ' �r 0 ïî ôîðìóëå Äûíêèíà [15] è îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî c s t s y s t s t sr l r r1 0� � �{ } {\| ( ( ), , , ) \| ( ( ), ( ( ), ,� � � � � �� & � � � � �0 ), ( ( )))r t } & & &�( , , ) \| \|s y c l� �0 1 0 . Ïîñêîëüêó lim ( ) t r t t � � 0 � , ñóùåñòâóåò � �{ }( , ( , , , ( )))s t s t s t� � � �� 0 äëÿ âñåõ t � 0, � �� 1, s � 0 è y��. Ïóñòü �t — ìèíèìàëüíàÿ �-àëãåáðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé èçìåðèìû âñå �( )s äëÿ s t�[ , ]0 . Òîãäà �( , ( , , , ), ( ))s t s t s y t� �� 0 òîæå �t -èçìåðèìî, à â ñèëó ìàðêîâñêîãî ñâîéñòâà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî z t�[ , ]0 âûïîëíÿåòñÿ îñíîâíîå ðà- âåíñòâî â îïðåäåëåíèè ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà � �{ }( , ( , , ), ( )) \|,s t s t s y t z � � �� 0 � � � � � � �� { }( ( ), ( ( ), , ), ( )),s t z s t z s h t z1 1 1� � � , ãäå ïðàâàÿ ÷àñòü äîëæíà áûòü âû÷èñëåíà ïðè s s z1 � � , h z� �( ), �1 � � �� ( , , , )s z s y0 . Äàëåå, èç íåðàâåíñòâà (30) ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî � � � �{ } {( , ( , , ), ( )) \| ( , ( , ,,s t s t s y t s z s z s z � � & � �� 0 0� , ), ( ))y t� }, à ýòî ïî îïðåäåëåíèþ ñóïåðìàðòèíãàëà [16] îçíà÷àåò, ÷òî �( , ( , , , ( )))s t s t s t� �� 0 — íåîòðèöàòåëüíûé ñóïåðìàðòèíãàë äëÿ t � 0 . Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim ( , ( , , , ), ( )) ( ) t s t s t s y t �� 0 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Äàëåå, èç íåðàâåíñòâ (29), (30) òåîðåìû 2 ìîæíî ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâà � �{ }( , ( , , , ), ( ))s t s t s y t� � &� � �0 & � � &�c c s s s y dsl t l 2 0 3 0 1 0 1\| \| \| ( , , , ) \|� � �� { } & � � ��c c c s s s s s y t dsl t 2 0 3 1 0 1 1 0 1\| \| ( , ( , , , ), ( )) \|� � � �� { } 1, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî � � �{ } { }� � � � �( ) lim ( , ( , , , ), ( ))� � � & ��t s t s t s y t0 c c c tl t 2 0 3 1 0\| \| lim exp� �� " # $ % � . Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò �{ }� � �: ( ) � �0 1. Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íóæíî ó÷åñòü îñíîâíîå íåðàâåíñòâî äëÿ ñó- ïåðìàðòèíãàëîâ [16, 20], êîòîðîå äàåò íåðàâåíñòâà ' �� 0 : � � " � � # $ % & � � � � �:sup \| ( , , , ) \| t T s t s y0 & � " � � � # $ % & � � �� :sup ( , ( , , , ), ( )) t T l T s t s t s y t 1 0 & � � & � 1 1 0 2 1c s T s T s y T c c c l l l� � � � � � � �{ }( , ( , , , ), ( )) \| \| exp 3 1c T � " # $ % ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 129 äëÿ âñåõ T � 0, �� 0, � 0 1�� , s� 0, y��. Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ïðåäåë ïðè T � � è òåîðåìà 4 äîêàçàíà. 4. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ËÑÄÓ Â ×Ï Ñ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÌÈ ÌÀÐÊÎÂÑÊÈÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ Äèñêðåòíûé ìàðêîâñêèé ïàðàìåòð ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2) ìîæåò âûñòóïàòü â òà- êèõ ñòðóêòóðíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ. Ðàññìîòðèì ñêàëÿðíûé ïðîöåññ �( )t ��, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé öåïüþ Ìàðêîâà ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñîñòîÿíèé � � { }y y yk1 2, , ,� , ïðè÷åì èç- âåñòíû ïàðàìåòðû qij ñ óñëîâèÿìè q qi ij j i � ( � , � { }� � �: ( ) \| ( ) ( )t t y t y q t o ti i ij� � � � �+ + + , � { }� � � � �: ( ) , \| ( ) ( )� & & � � � � �y t t t t y q t o ti i i+ + +1 . Ïóñòü ýòà öåïü Ìàðêîâà �( )t �� ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì çàäà÷è Êîøè äëÿ ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2). Äîïóñòèì, ÷òî â ìîìåíò �� 0 ñêà÷êîîáðàçíîé ñìåíû ñòðóêòóðû ôàçîâûé âåêòîð u( )� �� 1 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì, â êîòîðîì íàõîäèëàñü äè- íàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñìåíîé ñòðóêòóðû, âûçûâàåìîé ïå- ðåõîäîì èç ñîñòîÿíèÿ � �( )� �0 yi â ñîñòîÿíèå � �( ) � (y yj i . Ýòî îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà u u i jij( ) ( ( )),� � �� (0 , ãäå � ij u( )�� 1, ïðè÷åì � ij ( )0 0� . Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (23) â ñëó÷àå öåïè Ìàðêîâà ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð íà ðåøåíèÿõ ËÑÄÓ â ×Ï (10), (11) èìååò âèä [15, 18] ( )( , , ) ( , , ) ( )( , , ) ( , ), ,�� s y s y s s y Q B s y d ds i� � � �� , � � � �� , � � � �� 1 2 2 2( )( , , ) ( , ), ,� s y Q C s y d ds i� � � � ( �[ ( , ( ), ) ( , , )]� �s y s y q j i k ij j j ij� � � . Â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû òåîðåìû 2–4 îá óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðå- øåíèÿ çàäà÷è Êîøè ËÑÄÓ (10), (11), à, çíà÷èò, â ñèëó ëåììû 1 è óñòîé÷èâîñòè òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2). Ïóñòü �( )t �� — ÷èñòî ðàçðûâíûé ñêàëÿðíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ' �t t t[ , ]1 2 òàêîé, ÷òî äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå � { }� � � � � � � �: ( ) ( , ) \| ( ) ( , , ) ( )t t t p t t o t� � � � ( � �+ + + + , � { }� � � � � : ( ) , ( , ) \| ( ) ( , ) ( )� � � � � � �t t t p t t o t+ + +1 . Òîãäà ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð íà ðåøåíèÿõ ËÑÄÓ â ×Ï (10), (11) ïðèìåò âèä [15, 18] ( )( , , ( )) ( , , ( )) ( ( , , ( )) ( , )�� s s s s s s Q B s y� � � � � � �� , , , ) d ds i� � � � �� , � � � �� 1 2 2 2( )( , , ) ( , ), ,� s y Q C s y d ds i� � � �� [ ( , , ) ( , , )] ( , , )� �s s p t d � � � � � 1 2 . Çàìåòèì, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå èìåþò ìåñòî òåîðåìû 2–4 îá óñòîé÷èâîñòè 130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ � � �( , , )t � 0 ËÑÄÓ (10), (11). Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ëåì- ìû 1 ñïðàâåäëèâû òå æå óòâåðæäåíèÿ è äëÿ òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ u t x( , , )� � 0 ËÑÄÓ â ×Ï (1), (2). ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ì è õ ë è í Ñ . Ã . Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. — Ì.: Íàóêà, 1997. — 495 ñ. 2. Ñ ò å ï à í î â Â . Â . Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1978. — 521 ñ. 3. Ý é ä å ë ü ì à í Ñ . Ä . Ïàðàáîëè÷åñêèå ñèñòåìû. — Ì.: Íàóêà, 1964. — 445 ñ. 4. À í ä ð å å â à Å . À . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Å . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 333 ñ. 5. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1977. — 251 ñ. 6. Ã è õ ì à í È . È . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèëîæåíèå. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1982. — 612 ñ. 7. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Óñòîé÷èâîñòü ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. — Ì.: Íàóêà, 1969. — 367 ñ. 8. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ. — Ðèãà: Çèíàòíå, 1989. — 421 ñ. 9. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëü- íî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1992. — 301 ñ. 10. Ã è õ ì à í È . È . Î ñìåøàííîé çàäà÷å äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïà- ðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Óêð. ìàò. æóðí. — 1980. — 32, ¹ 3. — C. 367–377. 11. Ã è õ ì à í È . È . Ãðàíè÷íàÿ çàäà÷à äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà // Òàì æå. — 1979. — 31, ¹ 5. — C. 31–38. 12. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñò- íûìè ïðîèçâîäíûìè. Ñá. íàó÷í. òð. — Êèåâ: Èí-ò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ. — 1981. — Ñ. 25–59. 13. Ä î ð î ã î â ö å â À . ß . , È â à ñ è ø å í Ñ . Ä . , Ê ó ê ó ø À . Ã . Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ áåëûì øóìîì â ïðàâîé ÷àñòè // Óêð. ìàò. æóðí. — 1985. — 37, ¹ 1. — Ñ. 13–20. 14. Ï å ð ó í Ã . Ì . , ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . Èññëåäîâàíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíå- íèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ // Òàì æå. — 1993. — 45, ¹ 9. — C. 1773–1781. 15. Ä û í ê è í Å . Á . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç., 1969. — 859 ñ. 16. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Éìîâ³ðí³ñòü, ñòàòèñòèêà òà âè- ïàäêîâ³ ïðîöåñè. Òåîð³ÿ òà êîìï’þòåðíà ïðàêòèêà. Â 3-õ òîìàõ. Ò. 3: Âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Òåîð³ÿ òà êîìï’þòåðíà ïðàêòèêà. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2009. — 798 c. 17. Ò è õ î í î â Â . È . , Ì è ð î í î â Ì . À . Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1977. — 488 c. 18. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . , Ô î ì è í Ñ . Â . Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíà- ëèçà. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 541 ñ. 19. Á ó ë è í ñ ê è é À . Â . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Ôèçìàòëèò, 2005. — 408 ñ. 20. Á å ë ë ì à í Ð . , Ê ó ê Ê . Äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.: Ìèð, 1967. — 548 ñ. 21. Õ è ë ë å Ý . , Ô è ë ë è ï ñ Ð . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è ïîëóãðóïïû. — Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962. — 463 ñ. 22. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì òðèâèàëüíîãî ðå- øåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. — 1976. — Âûï. 4. — Ñ. 871–875. 23. ß ñ è í ñ ê à ÿ Ë . È . , ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè- ÷åñêîì òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíå- íèÿ // Óêð. ìàò. æóðí. — 1980. — 32, ¹ 1. — Ñ. 78–98. Ïîñòóïèëà 30.12.2013 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 6 131

О поведении в среднем квадратичном сильного решения линейного неавтономного стохастического уравнения в частных производных с марковскими параметрами

Репозитарії

Схожі ресурси