О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе
Исследованы условия равновесия открытой экономической системы c монополистами. Учтено, что потребители в экономической системе могут быть ненасыщающимися. Исследовано влияние на состояния равновесия зависимости структуры потребления товаров от цены. Доказано существование равновесия в такой экономич...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124776 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 52-61. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124776 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Махорт, А.Ф. 2017-10-05T06:22:07Z 2017-10-05T06:22:07Z 2015 О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 52-61. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124776 519.86 Исследованы условия равновесия открытой экономической системы c монополистами. Учтено, что потребители в экономической системе могут быть ненасыщающимися. Исследовано влияние на состояния равновесия зависимости структуры потребления товаров от цены. Доказано существование равновесия в такой экономической системе. Установлена связь между выбором стратегии налогообложения и реализацией конкретного состояния равновесия экономической системы. Досліджено умови рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів. Враховано, що споживачі в економічній системі можуть бути ненасичуваними. Досліджено вплив на стан рівноваги наявності залежності структури споживання від ціни. Доведено існування рівноваги в такій економічній системі. Встановлено зв'язок між вибором стратегії оподаткування та реалізацією конкретного стану рівноваги економічної системи. The equilibrium conditions of an open economy containing monopolies are investigated. The presence of non-insatiable consumers in the economy is considered. The influence of consumption structure depended prices on equilibrium states is investigated. The existence of equilibrium states in such economy is proved. The relation between selection of taxation strategy and realization of a particular equilibrium state is established ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Кибернетика О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе Про вплив залежності структури споживання товарів від ціни на рівновагу в економічній системі On the influence of consumption structure depended prices on the equilibrium of an economy Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| spellingShingle |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе Махорт, А.Ф. Кибернетика |
| title_short |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| title_full |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| title_fullStr |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| title_full_unstemmed |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| title_sort |
о влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе |
| author |
Махорт, А.Ф. |
| author_facet |
Махорт, А.Ф. |
| topic |
Кибернетика |
| topic_facet |
Кибернетика |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Кибернетика и системный анализ |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про вплив залежності структури споживання товарів від ціни на рівновагу в економічній системі On the influence of consumption structure depended prices on the equilibrium of an economy |
| description |
Исследованы условия равновесия открытой экономической системы c монополистами. Учтено, что потребители в экономической системе могут быть ненасыщающимися. Исследовано влияние на состояния равновесия зависимости структуры потребления товаров от цены. Доказано существование равновесия в такой экономической системе. Установлена связь между выбором стратегии налогообложения и реализацией конкретного состояния равновесия экономической системы.
Досліджено умови рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів. Враховано, що споживачі в економічній системі можуть бути ненасичуваними. Досліджено вплив на стан рівноваги наявності залежності структури споживання від ціни. Доведено існування рівноваги в такій економічній системі. Встановлено зв'язок між вибором стратегії оподаткування та реалізацією конкретного стану рівноваги економічної системи.
The equilibrium conditions of an open economy containing monopolies are investigated. The presence of non-insatiable consumers in the economy is considered. The influence of consumption structure depended prices on equilibrium states is investigated. The existence of equilibrium states in such economy is proved. The relation between selection of taxation strategy and realization of a particular equilibrium state is established
|
| issn |
0023-1274 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124776 |
| citation_txt |
О влиянии зависимости структуры потребления товаров от цены на равновесие в экономической системе / А.Ф. Махорт // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 2. — С. 52-61. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mahortaf ovliâniizavisimostistrukturypotrebleniâtovarovotcenynaravnovesievékonomičeskoisisteme AT mahortaf provplivzaležnostístrukturispoživannâtovarívvídcíninarívnovaguvekonomíčníisistemí AT mahortaf ontheinfluenceofconsumptionstructuredependedpricesontheequilibriumofaneconomy |
| first_indexed |
2025-11-27T00:37:27Z |
| last_indexed |
2025-11-27T00:37:27Z |
| _version_ |
1850788951375216640 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.86
À.Ô. ÌÀÕÎÐÒ
Î ÂËÈßÍÈÈ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ ÏÎÒÐÅÁËÅÍÈß ÒÎÂÀÐÎÂ
ÎÒ ÖÅÍÛ ÍÀ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈÅ Â ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÅ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíû óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ îòêðûòîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû c ìîíîïî-
ëèñòàìè. Ó÷òåíî, ÷òî ïîòðåáèòåëè â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå ìîãóò áûòü íåíàñûùàþùèìè-
ñÿ. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå íà ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ çàâèñèìîñòè ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ òî-
âàðîâ îò öåíû. Äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå ðàâíîâåñèÿ â òàêîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Óñòà-
íîâëåíà ñâÿçü ìåæäó âûáîðîì ñòðàòåãèè íàëîãîîáëîæåíèÿ è ðåàëèçàöèåé êîíêðåòíîãî
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêîíîìè÷åñêîå ðàâíîâåñèå, ñïðîñ, ïðåäëîæåíèå, ìîíîïîëèñòû, íàëî-
ãîîáëîæåíèå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Îïèñàíèå ðåàêöèè ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì íà âëèÿíèÿ ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ —
âàæíàÿ ïðîáëåìà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî ýêîíîìè÷åñ-
êàÿ ñèñòåìà ýâîëþöèîíèðóåò îò îäíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ê äðóãîìó. Ïîñ-
ëåäîâàòåëüíîñòü ðåàëèçàöèé ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ â îáùåì ñëó÷àå
íå óïîðÿäî÷åíà âî âðåìåíè, ÷òî ïðèâîäèò ê òðóäíîñòÿì ïðèåìëåìîãî âûáîðà
óðàâíåíèé äèíàìèêè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Îäíàêî äëÿ øèðîêîãî êëàññà çà-
äà÷ äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ëèøü îïèñàíèåì ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, íå ó÷è-
òûâàÿ äèíàìèêè ïåðåõîäîâ ìåæäó íèìè. Äàííûé ïîäõîä îñîáåííî ýôôåêòè-
âåí, åñëè íóæíî óêàçàòü óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå ðåàëèçàöèþ ñîñòîÿíèé ðàâ-
íîâåñèÿ ñ çàäàííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè. Ïîñëåäíèå ìîãóò çàäàâàòü ñîñòîÿíèÿ,
ïðèåìëåìûå ñ òî÷êè çðåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ. Äëÿ ýêîíîìè-
÷åñêèõ ñèñòåì âàæíî îïðåäåëèòü íàèáîëåå ýôôåêòèâíîå èëè áëèçêîå ê íåìó
ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ è óêàçàòü, êàê åãî äîñòè÷ü.  ðàìêàõ òàêîãî ïîäõîäà äî-
ïóñòèìî ðàññìàòðèâàòü çàäà÷è, â êîòîðûõ èññëåäóþòñÿ óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ àð-
áèòðàæà â ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ [1], à èìåííî â ñëó÷àå ðàâíîâåñèÿ Âàëüðà-
ñîâîãî òèïà [2]. Îáúåì èíôîðìàöèè, ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ,
áóäåò äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîâåäåíèå ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì
è âûÿñíèòü, êàê èçáåæàòü èëè êîìïåíñèðîâàòü äåéñòâèå äåñòàáèëèçèðóþùèõ
ôàêòîðîâ íà ôóíêöèîíèðîâàíèå ïðîöåññîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ê äåñòàáèëèçèðóþùèì ôàêòîðàì ìîæíî îòíåñòè ìîíîïîëüíûå ÿâëåíèÿ
â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü óïðàâ-
ëåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìîé ñ ïîìîùüþ âûáîðà ñòðàòåãèè íàëîãîîáëîæåíèÿ
äëÿ êîìïåíñàöèè íåãàòèâíîãî ïðîÿâëåíèÿ ìîíîïîëèçìà. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå
çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ ñóáúåêòàìè ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû îò âåêòîðà öåí íà ðåàëèçàöèþ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ýêîíî-
ìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ôàêòîð òàêîé çàâèñèìîñòè ìîæåò ñóùåñòâåííî âëèÿòü íà
öåíîîáðàçîâàíèå â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå, à âåêòîð öåí — îäíà èç ãëàâíûõ
õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Êîýôôèöèåíòû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ äîëæíû îòîáðàæàòü ïðåäïî÷òåíèÿ åãî
âûáîðà ñóáúåêòàìè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Ïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû àíàëèçà
âîçìîæíûõ ñöåíàðèåâ ðàçâèòèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì ïîëó÷åíû ñ ó÷åòîì ïðè-
áëèæåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåðåñîâ ïîòðåáèòåëåé [1, 3]. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè êîýô-
ôèöèåíòû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ íå çàâèñÿò îò âåêòîðà öåí. Îäíàêî
â äåéñòâèòåëüíîñòè èíòåðåñ ïîòðåáèòåëÿ ê òîâàðó ìîæåò íåçíà÷èòåëüíî (à äëÿ
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2
© À.Ô. Ìàõîðò, 2015
íåêîòîðûõ òîâàðîâ è ñóùåñòâåííî) çàâèñåòü îò åãî öåíû. Íàïðèìåð, îïðåäåëåí-
íûå òîâàðû èç èíòåðåñóþùåãî ïîòðåáèòåëÿ íàáîðà ìîãóò ïîäðàçäåëÿòüñÿ èì íà
áîëåå è ìåíåå ïðèîðèòåòíûå. Ñëåäîâàòåëüíî, öåíà íà òîâàð ÿâëÿåòñÿ âàæíîé ñî-
ñòàâëÿþùåé âûáîðà, ÷òî îñîáåííî ñèëüíî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè óìåíüøåíèè âðåìåí-
íîãî èíòåðâàëà, â êîòîðîì ïðåäïîëàãàåòñÿ èññëåäîâàòü ýêîíîìè÷åñêóþ ñèñòåìó.
Äëÿ êîðîòêèõ âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñ-
òåìû, êîãäà ïîòðåáíîñòü â íåêîòîðûõ òîâàðàõ ñ÷èòàåòñÿ ìåíåå êðèòè÷íîé è èõ
ïðèîáðåòåíèå ìîæíî îòëîæèòü íà áîëåå ïîçäíèé ñðîê, ïîòðåáèòåëþ ñâîéñòâåííî
ñòàâèòü â çàâèñèìîñòü ñâîé èíòåðåñ ê òîâàðàì îò äîïîëíèòåëüíûõ ôàêòîðîâ.
Êðîìå òîãî, ìîäåëèðîâàíèå çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòîâ ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ îò
âåêòîðà öåí ïîçâîëèò âûÿñíèòü õàðàêòåð âëèÿíèÿ íà ýêîíîìè÷åñêóþ ñèñòåìó
îòäåëüíûõ åå ñîñòàâëÿþùèõ.
ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÝÊÎÍÎÌÈÊÈ
Ðàññìîòðèì îòêðûòóþ ýêîíîìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç l ñóáúåêòîâ,
â êîòîðîé èìååòñÿ n òîâàðîâ. Âñå ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ
ïîòðåáèòåëÿìè òîâàðîâ. Ïóñòü p pi i
n=
=
{ }
1
— âåêòîð öåí â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñ-
òåìå. Ñòðóêòóðó ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ îõàðàêòåðèçóåì ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû
ñïðîñà èëè íåïðîèçâîäñòâåííîãî ïîòðåáëåíèÿ C p c pkj k j
n l
( ) || ( ) ||
,
,=
= =1 1
. Ýëåìåí-
òû ýòîé ìàòðèöû çàäàþò ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð òîâàðîâ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû, êîòîðûé îíè âûáèðàþò, îñíîâûâàÿñü íà èíôîðìàöèè î âåê-
òîðå öåí p . Èçâåñòíî, ÷òî ñ ðîñòîì öåíû òîâàð ñòàíîâèòñÿ, êàê ïðàâèëî, ìå-
íåå ïðèâëåêàòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ðîñòîì çíà÷åíèé êîìïîíåíò âåêòîðà p
çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C p( ) áóäóò óìåíüøàòüñÿ. Ìàêñèìàëüíûé çàïëà-
íèðîâàííûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð òîâàðîâ îïðåäåëèì ìàòðèöåé
C c
kj k j
n l0 0
1 1
=
= =
|| ||
,
,
. Äàííûé óðîâåíü ïîòðåáëåíèÿ ìîæåò ñîõðàíÿòüñÿ è äëÿ íå-
êîòîðîãî äèàïàçîíà âîçðàñòàíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà p . Ñ÷èòàåì, ÷òî ïîòðåáè-
òåëè â èññëåäóåìîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå áóäóò íåíàñûùàþùèìèñÿ.  ýòîì
ñëó÷àå ñòðàòåãèè èõ ïîâåäåíèÿ òàêîâû, ÷òî âñÿ âîçìîæíàÿ ïðèáûëü òðàòèòñÿ
íà ïîòðåáëåíèå íîâûõ òîâàðîâ. Òîãäà îòíîñèòåëüíî ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C p( )
êîððåêòíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé êîìïîíåíò
âåêòîðà öåí, äàëüíåéøåå èõ âîçðàñòàíèå íå ïðèâåäåò ê óìåíüøåíèþ ìàòðè÷-
íûõ ýëåìåíòîâ, ò.å. íàñòóïèò ñòàáèëèçàöèÿ ïîòðåáëåíèÿ íà óðîâíå
C c
kj k j
n l1 1
1 1
=
= =
|| ||
,
,
. Ïðè÷åì ìàòðèöà ñïðîñà C
1 íå äîëæíà ñîäåðæàòü íóëåâûõ
ñòîëáöîâ èëè ñòðî÷åê.  ðåçóëüòàòå äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C p( ) áóäåì èìåòü
îöåíêè c c p c
kj kj kj
1 0£ £( ) .
Èñõîäÿ èç ýêîíîìè÷åñêîãî ñìûñëà ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C p( ), ïðèáûëü ïî-
òðåáèòåëåé çà âû÷åòîì íàëîãîâ îïðåäåëèì âûðàæåíèåì
~
( ) ( )D p y c p pj j sj
s
n
s=
=
å
1
, j l=1, . (1)
Çäåñü y yi i
l=
=
{ }
1
— âåêòîð ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé, åãî
êîìïîíåíòû çàäàþò, â êàêîé ìåðå óðîâåíü ïðèáûëè êîíêðåòíîãî ïîòðåáèòåëÿ
ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü åìó ïîòðåáëåíèå òðåáóåìûõ òîâàðîâ. Ïîýòîìó êîìïîíåí-
òû ýòîãî âåêòîðà äîëæíû íàõîäèòüñÿ â èíòåðâàëå ( , ]0 1 . Ðàññìîòðèì ñëó÷àé,
êîãäà âåêòîð y çàäàí.
Èñòî÷íèêîì ïðèáûëè ïîòðåáèòåëåé ìîæåò áûòü èëè âíåøíåå ôèíàíñèðîâà-
íèå, èëè ñîáñòâåííàÿ ïðîèçâîäñòâåííàÿ äåÿòåëüíîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ýêî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 53
íîìè÷åñêîé ñèñòåìå èìååòñÿ n ïðîèçâîäèòåëåé, â òîì ÷èñëå n t- ìîíîïîëèñòîâ,
à îñòàëüíûå l n- ñóáúåêòîâ ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïîòðåáèòåëÿìè è ôóíêöèîíèðóþò
ëèøü çà ñ÷åò âíåøíåãî ôèíàíñèðîâàíèÿ, íàïðèìåð çà ñ÷åò ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ íà-
ëîãîâ, âçÿòûõ ó ïðîèçâîäèòåëåé. Ïóñòü x xi i
n=
=
{ }
1
— âåêòîð îáúåìîâ âûïóñêà òî-
âàðîâ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Ñòðóêòóðó ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ îïèøåì ñ ïî-
ìîùüþ òåõíîëîãè÷åñêîé ìàòðèöû || / ||
,
a b xkj kj j k j
n+
=1
. Åå ýëåìåíòû îïðåäåëÿþò
çàòðàòû ïðîèçâîäñòâà íà åäèíèöó âûïóñêà òîâàðà â íàòóðàëüíûõ ïîêàçàòåëÿõ
êàæäîãî ïðîèçâîäèòåëÿ. Òîãäà ïðèáûëü ïðîèçâîäèòåëåé ìîæíî çàïèñàòü è
â äðóãîì âèäå
~
( )D p x p a p b p bj j j j kj k
k
n
j kj k
k
n
j k
= -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
- +
= =
å åp p p
1 1
j k
k
n
p
1
1=
å , j n=1, , (2)
ãäå p p=
=
{ }i i
n
1
— âåêòîð íàëîãîîáëîæåíèÿ, à ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû b
kj
1 îïðåäå-
ëÿþò çàïàñ k-ãî òîâàðà, èìåþùèéñÿ ó j-ãî ïðîèçâîäèòåëÿ. Îòìåòèì, ÷òî åñëè
k-é òîâàð — ýòî îäèí èç òîâàðîâ ìîíîïîëèñòîâ, òî b
kj
1 0= äëÿ j k¹ , èíà÷å ìî-
æåò ïîÿâèòüñÿ íåñîãëàñîâàííîñòü â îïðåäåëåíèè ñòàòóñà ìîíîïîëèñòîâ.
×òîáû â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå óñòàíîâèëîñü ðàâíîâåñèå, ñïðîñ íå äîëæåí
ïðåâûøàòü ïðåäëîæåíèÿ. Ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû — ïðîèçâîäèòåëè, ñî-
çäàþò ïðåäëîæåíèå òîâàðîâ â íåé. Èñõîäÿ èç âûðàæåíèÿ äëÿ ïðèáûëè ïðîèçâîäèòå-
ëåé çà âû÷åòîì íàëîãîâ (2), à òàêæå ó÷èòûâàÿ èçäåðæêè íà ïðîèçâîäñòâî è âçàèìî-
äåéñòâèå ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ âíåøíèì îêðóæåíèåì, äëÿ ïðåäëîæåíèÿ k-ãî
òîâàðà â îòêðûòîé ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå Yk çàïèøåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
Yk k ki i
i
n
ki
i
n
ki
i
n
k kx a x b b e i= - - + - +
= = =
å å å
1 1
1
1
, k n=1, , (3)
ãäå { }ei i
n
=1
è { }ii i
n
=1
— âåêòîðû ýêñïîðòà è èìïîðòà ñîîòâåòñòâåííî. Â òî æå
âðåìÿ ñóáúåêòû ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû — ïîòðåáèòåëè, ñîçäàþò òàêæå ñïðîñ
íà òîâàðû. Ñïðîñ êîíêðåòíîãî i-ãî ïîòðåáèòåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ åãî âîçìîæíîé
ïðèáûëüþ
~
( )D pi è âåêòîðîì ñïðîñà L Li ik k
n=
=
{ }
1
. Ñîãëàñíî ýêîíîìè÷åñêîìó
ñìûñëó ýëåìåíòîâ ìàòðèöû C p( ) äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ñïðîñà ïîòðåáèòå-
ëåé â ñëó÷àå, åñëè îíè áóäóò íåíàñûùàþùèìèñÿ, ìîæíî çàïèñàòü
L ik
ki k
si s
s
n
p
c p p
c p p
( )
( )
( )
=
=
å
1
, i l=1, , k n=1, .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðîñ íà k-é òîâàð â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå Fk èìååò âèä
F Lk
k
ik i
i
l
p
p D p=
=
å
1
1
( )
~
( ), k n=1, . (4)
Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïðèâåäåò ê ñèñòåìå íåðàâåíñòâ, îïèñûâàþùåé âñå âîç-
ìîæíûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì çàäàííûå è íåèçâåñòíûå ýêîíîìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìîäåëè.
Èñõîäíûå óñëîâèÿ, â êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà â ìîìåíò èñ-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 54
ñëåäîâàíèÿ, ò.å. ñòðóêòóðà ïðîèçâîäñòâà è ãðàíè÷íûå ïîòðåáëåíèÿ â íåé òîâà-
ðîâ, îïèñûâàþòñÿ ìàòðèöàìè ñïðîñà C
0 , C
1 è ñîñòàâëÿþùèìè òåõíîëîãè÷åñ-
êîé ìàòðèöû || ||
,
akj k j
n
=1
, || ||
,
bkj k j
n
=1
, êîòîðûå ñîîòâåòñòâåííî çàäàþò âåëè÷èíó
çàòðàò íåïîñðåäñòâåííî íà èçãîòîâëåíèå ïðîäóêöèè è ïîñòîÿííûõ çàòðàò, íà-
ïðàâëåííûõ íà ïîääåðæêó ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïðîèçâîäñòâà. Íà÷àëüíûé çàïàñ
òîâàðîâ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû îïðåäåëåí ýëåìåíòàìè ìàòðèöû
|| ||
,
b
kj k j
n1
1=
. Âåêòîð ( , , )p p
1
0 0
K t îïèñûâàåò ñòðàòåãèþ íàëîãîîáëîæåíèÿ â ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Èçâåñòíû òàêæå óðîâíè ïîòðåáëåíèÿ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû, çàäàííûå êîìïîíåíòàìè âåêòîðà y . Êðîìå òîãî, ñðåäè ïðîèç-
âîäèòåëåé èìåþòñÿ ìîíîïîëèñòû, ñïîñîáíûå íåïîñðåäñòâåííî âëèÿòü íà ôîð-
ìèðîâàíèå öåí ñâîèõ òîâàðîâ íà ðûíêå. Ïîýòîìó ñ÷èòàåì, ÷òî öåíû íà
òîâàðû ìîíîïîëèñòîâ ( , , )p p
t n+1
0 0
K èçâåñòíû.
Îñòàëüíûå ýêîíîìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ìîäåëè íåèçâåñòíû. Èõ çíà÷åíèÿ
çàâèñÿò îò òîãî, â êàêîì ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ íàõîäèòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòå-
ìà. Ñëåäîâàòåëüíî, íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ
ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
c p
D p
c p p
x a x bkj
j
sj s
s
n
j
l
k ki i
i
n
ki
i
( )
~
( )
( )
=
= = =å
å å£ - -
1
1 1 1
1
1
n
ki
i
n
k kb e iå å+ - +
=
, k n=1, . (5)
Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (5) íåëèíåéíàÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà öåí
p p p p pt t n=
+
( , , , , , )1 1
0 0
K K , è ðåøåíèé (ñîîòâåòñòâåííî è ñîñòîÿíèé ðàâíîâå-
ñèÿ) ìîæåò áûòü ìíîãî. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðè êîòîðûõ ïðîèçâîäñòâî ñóáú-
åêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû óáûòî÷íî, ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì. Ýòî çíà÷èò,
÷òî âñå ðåøåíèÿ (5) íà îñíîâàíèè âûðàæåíèÿ (2) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äîïîë-
íèòåëüíîìó óñëîâèþ
x p a p b p bj j kj k
k
n
kj k
k
n
ki
i
n
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
- + ³
= = =
å å å
1 1
1
1
0 , j n=1, . (6)
Îòìåòèì, ÷òî äàííîå òðåáîâàíèå íåëüçÿ óäîâëåòâîðèòü òîëüêî çà ñ÷åò íàëè÷èÿ
äîñòàòî÷íîãî êîëè÷åñòâà çàïàñà òîâàðîâ, îïèñàííîãî ìàòðèöåé || ||
,
b
kj k j
n1
1=
, èíà-
÷å íå áûëî áû ñìûñëà ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîäñòâî òîâàðîâ, à äëÿ èññëåäîâà-
íèÿ áîëåå ïîäõîäèëà áû ìîäåëü îáìåíà. Óñëîâèå (6) ìîæíî ó÷åñòü, åñëè
â âûðàæåíèè (5) ïåðåéòè ê ðàâåíñòâàì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì òîëüêî òå ñîñòî-
ÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, äëÿ êîòîðûõ óñëîâèå íåóáûòî÷íîñòè áóäåò âûïîëíÿòüñÿ [1].
Ñ ó÷åòîì ýòîãî èç âûðàæåíèé äëÿ ïðåäëîæåíèÿ (3) è ñïðîñà (4), à òàêæå èç
ôîðìóë äëÿ ïðèáûëè çà âû÷åòîì íàëîãîâ (1) è (2) ïîëó÷èì
c p y x a x b b ekj j
j
l
k ki i
i
n
ki
i
n
ki
i
n
k( )
= = = =
å å å å= - - + - +
1 1 1
1
1
ik , k n=1, , (7)
p p pj j j kj k
k
n
j kj k
k
n
j kj k
k
x p a p b p b p-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
- +
= = =
å å
1 1
1
1
n
j sj s
s
n
y c p på å=
=
( )
1
, j n=1, . (8)
Ñèñòåìà íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (7), (8) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü íåèçâåñòíûå
ýêîíîìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, à èìåííî âåêòîðû { }pi i
t
=1
, { }xi i
n
=1
, è îïèñàòü
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 55
äîïóñòèìûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî
âåëè÷èíû öåí è îáúåìîâ âûïóñêîâ òîâàðîâ íå ìîãóò áûòü îòðèöàòåëüíûìè. Ïîý-
òîìó ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé
(7), (8).  ðåçóëüòàòå ìîæíî ïîëó÷èòü íàáîð íåêîòîðûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ,
îïèñûâàþùèõ âîçìîæíûå ñöåíàðèè ðàçâèòèÿ ñèòóàöèè. Îïðåäåëèâ ïðèåìëåìûå
äëÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ êàæäîãî ñóáúåêòà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ñîñòîÿíèÿ
ðàâíîâåñèÿ, âàæíî óêàçàòü è óñëîâèÿ èõ ðåàëèçàöèè.
ÀËÃÎÐÈÒÌ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×È
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû A a jk j k
n=
=
|| ||
, 1
áûë ìåíüøå
åäèíèöû.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìó óðàâíåíèé (7) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
x E A c p y E A e i bk ks sj j
j
l
s
n
ks s s sj= - + - - + --
==
-åå ( ) ( ) ( )1
11
1
bsi
i
n
j
n
s
n
1
111 ===
ååå
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
, (9)
k n=1, .
Ïóñòü
( ) ( )E A c y e i b b
ks sj j
j
l
s s sj sj
j
n
- + - + -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
= =
å å1 1
1
1
1s
n
=
å >
1
0 , k n=1, . (10)
Òîãäà èç âûðàæåíèÿ (9) ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëîæèòåëüíûå ðàâíîâåñíûå îáúå-
ìû âûïóñêà òîâàðîâ ñóáúåêòàìè ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, ïðè êîòîðûõ ïðîèç-
âîäñòâî áóäåò îïòèìàëüíûì.  ñëó÷àå âûïóñêà òîâàðîâ èìåííî â òàêîì êîëè-
÷åñòâå êàæäûé ïðîèçâîäèòåëü ñìîæåò ïîëíîñòüþ ðåàëèçîâàòü âñþ ñâîþ èçãî-
òîâëåííóþ ïðîäóêöèþ. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ î çàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ
ìàòðèöû C p( ) îò âåêòîðà öåí, åñëè â âûðàæåíèå (9) âìåñòî ìàòðè÷íûõ ýëå-
ìåíòîâ c psj ( ) ïîäñòàâèòü csj
0 èëè csj
1 , òî ïîëó÷èì ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ âåêòî-
ðà îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ x x
M
i
M
i
n=
=
{ }
1
èëè x x
m
i
m
i
n=
=
{ }
1
, x x xi
m
i i
M£ £ .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà öåí èç âûðàæåíèÿ (8) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå îïåðà-
òîðíîå óðàâíåíèå:
p P pk k= ( ) , k t=1, , (11)
P p E A a p
y
x
c p pk jk sj s
s t
n
j
j j
sj s
s
n
( ) ( ) ( )= - + +-
= + =
å å1 0
1 1
1
p x
b b p
j
sj si s
s
n
j
t
( )-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú==
åå 1
11
,
k t=1, .
Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
y
c b b
j
j
sj sj sj
p
1 1 0+ - ³ , j t s t= =1 1, , , .
(12)
Èñõîäÿ èç ýêîíîìè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé íåðàâåíñòâà (12) ïðèåìëåìû, ïîñêîëü-
êó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû íå äîëæíî áûòü
áîëüøîãî çàïàñà òîâàðîâ. Ïîñëåäíåå ïðèâîäèò ê îãðàíè÷åíèþ èõ ïðîèçâîäñòâà
(äàæå òîâàðîâ, äîñòàòî÷íî çàòðåáîâàííûõ íà ðûíêå), à ýòî, êàê èçâåñòíî, ïî-
òåíöèàëüíî íåáëàãîïðèÿòíûé ôàêòîð äëÿ ýôôåêòèâíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 56
Òåîðåìà. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (12) è óñëîâèå
( ) max
[ , ]
E A
x
y
c b b
jk
j
m s t
j
j
sj sj sj
j
- + -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
Î=
1
1
0 11
p11
1
t
k
t
åå
=
< , (13)
ãäå
x E A c y E A e i b b
k
m
ks sj j
j
l
s
n
ks s s sj= - + - - + --
==
-åå ( ) ( )1 1
11
1
si
i
n
j
n
s
n
1
111 ===
ååå
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
, k n=1, .
Òîãäà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñóììó P pk
k
t
( )
=
å
1
. Ñïðàâåäëèâû îöåíêè
P p E A a p
y
x
c pk
k
t
jk sj s
s t
n
j
j j
sj s
s
n
( ) ( )
=
-
= + =
å å£ - +
1
1 0
1
0
1p
å ååå + -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
£
===
1 1
111 x
b b p
j
sj sj s
s
n
j
t
k
t
( )
£ - + +-
= + =
å å( ) (E A a p
y
x
c p
x
b
jk sj s
s t
n
j
j j
m sj s
s
n
j
m s
1 0
1
0
1
1
p
j sj s
s
n
j
t
k
t
b p-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
£
===
ååå 1
111
)
£ - + +-
= + = +
å å( )E A a p
y
x
c p
x
jk sj s
s t
n
j
j j
m sj s
s t
n
j
m
1 0
1
0 0
1
1
p
b psj s
s t
n
j
t
k
t
0
111 = +==
ååå
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
+ - + -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
Î
( ) max
[ , ]
E A
x
y
c b b p
jk
j
m s t
j
j
sj sj sj
1
1
0 11
p
s
s
t
j
t
k
t
===
ååå
111
,
à òàêæå âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ïàðàìåòð r 0 0> , äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî
öåïî÷êà íåðàâåíñòâ
P p E A a p
y
x
c p
x
k jk sj s
s t
n
j
j j
sj s
s
n
j
( ) ( )³ - + +-
= + =
å å1 0
1
1
1
1
p
( )b b psj sj s
s
n
j
t
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
³
==
åå 1
11
³ - + +-
= + =
å å( ) (E A a p
y
x
c p
x
b
jk sj s
s t
n
j
j j
M sj s
s
n
j
M s
1 0
1
1
1
1
p
j sj s
s
n
j
t
b p-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
³
==
åå 1
11
)
³ - + +-
= + = +
å å( )E A a p
y
x
c p
x
jk sj s
s t
n
j
j j
M sj s
s t
n
j
M
1 0
1
1 0
1
1
p
b psj s
s t
n
j
t
0
11 = +=
åå
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
+ - + -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
==
år
p
0
1 1 1
11
1
( )E A
x
y
c b b
jk
j
M
j
j
sj sj sj
s
t
j
t
å ³ r 0 , k t=1, .
Ïîýòîìó, åñëè âûáðàòü
( )E A
x
x a p
y
c p b
jk
j
m j
m
sj s
s t
n
j
j
sj s
s t
n
- + +-
= + = +
å å1 0
1
0 0
1
1
p
sj s
s t
n
j
t
k
t
jk
j
m s
p
E A
x
0
111
11
1
= +==
-
Î
ååå
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
- -( ) max
[ , ]1
1 1
11 t
j
j
sj sj sj
j
t
k
t y
c b b
p
r
+ -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
£
==
åå
,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 57
îïåðàòîð { }P pk k
t( )
=1
ïåðåâîäèò êîìïàêòíîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî
pk ³
ì
í
ï
îï
r 0 , k t=1, , pk
k
t
=
å £
ü
ý
þ1
r
ñàìî â ñåáÿ. Ïîñëåäíåå ñîãëàñíî ïðèíöèïó Øàóäåðà [3] îçíà÷àåò ñóùåñòâîâà-
íèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé îá óñëîâèè (13) ñ òî÷êè çðåíèÿ òîãî, íàñêîëü-
êî ñèëüíî è âûïîëíèìî ýòî îãðàíè÷åíèå íà çàäàííûå õàðàêòåðèñòèêè ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû. Áóäåì èñõîäèòü èç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ. Ïóñòü
â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå óñòàíîâèëîñü ðàâíîâåñèå, òîãäà äëÿ õàðàêòåðèñòèê
ìîäåëè ñîãëàñíî (7), (8) ìîæíî çàïèñàòü
p G n x pk sk s
s
n
=
=
å ( , )
1
, k n=1, ,
ãäå
G x E A
y
x
c p
x
b bsk jk
j
j j
sj
j
sj sj( , ) ( ) ( ) ( )a
p
= - + -
é
ë
ê
ê
ù
û
-1 11
ú
ú=
å
j 1
a
, s k n, ,=1 .
Âûïîëíåíèå óñëîâèé (12) ãàðàíòèðóåò ïîëîæèòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ìàòðèöû
|| ( , )||
,
G n xsk k s
n
=1
, à ñîãëàñíî òåîðåìå Ïåððîíà åå ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ äîëæåí
ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. Â òî æå âðåìÿ èç ñâîéñòâ íåîòðèöàòåëüíûõ ìàòðèö ñëåäó-
åò [4], ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû || ( , )||
,
G n xsk k s
t
=1
äîëæåí áûòü ìåíüøå
åäèíèöû. Äàííîå òðåáîâàíèå ãàðàíòèðîâàííî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè íîðìà òà-
êîé ìàòðèöû ìåíüøå åäèíèöû. Íåðàâåíñòâî (13) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê
îöåíêó íîðìû ìàòðèöû || ( , )||
,
G t xsk
m
k s
t
=1
, çàïèñàííóþ äëÿ îäíîãî èç âîçìîæíûõ
ïðåäñòàâëåíèé ìàòðè÷íîé íîðìû. Ó÷òåì òàêæå, ÷òî G n x G t xsk sk( , ) ( , )> ,
k s t, ,=1 . Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (13) íåëüçÿ ñ÷èòàòü ñèëüíûì
äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèåì. Ïî ñìûñëó îíî áëèçêî ê íåîáõîäèìûì
óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Ñîãëàñíî èñõîäíûì óðàâíåíèÿì (7), (8) ðàâíîâåñíûå öåíû äîëæíû óäîâëåò-
âîðÿòü ñîîòíîøåíèþ
p E G t x E A a G t x pk jk ij si
i
t
sj= - - +
é
ë
ê
ù
û
ú
- -
=
å( ( , )) ( ) ( , )1 1
1
s
s t
n
j
t
0
11 = +=
åå , k t=1, .
Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû G t xsk ( , ) , k t=1, , s n=1, , çàâèñÿò îò âåêòîðà öåí.  òî
æå âðåìÿ íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâû îöåíêè G t x
sk
M m( , ) ³
³ ³G t x G t xsk sk
m M( , ) ( , ) , k s t, ,=1 , ãäå
G t x E A
y
x
c
x
b b
sk
M m
jk
j
j j
m sj
j
m sj sj( , ) ( ) ( )= - + -
é
ë
ê
ê
-1 0 11
p
ù
û
ú
ú=
å
j
t
1
, s k n, ,=1 ,
G t x E A
y
x
c
x
b b
sk
m M
jk
j
j j
M sj
j
M sj sj( , ) ( ) ( )= - + -
é
ë
ê
ê
-1 1 11
p
ù
û
ú
ú=
å
j
t
1
, s k n, ,=1 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 58
Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû G t x
sk
m M( , ) è G t x k s t
sk
M m( , ), , ,=1 , óæå íå çàâèñÿò îò
âåêòîðà öåí, à èñõîäÿ èç óñëîâèÿ (13) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íîðìû ìàò-
ðèö G G t x
M
sk
M m
k s
t=
=
|| ( , )||
, 1
è G G t x
m
sk
m M
k s
t=
=
|| ( , )||
, 1
ìåíüøå åäèíèöû. Ýòîò
ôàêò ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ãðàíè÷íûå îöåíêè çíà÷åíèé âñåõ âîçìîæíûõ ðàâíî-
âåñíûõ öåí â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå p p p k t
k
M
k k
m³ ³ =, ,1 , ãäå
p E G E A a G t x p
k
M M
jk ij si
i
t
sk
M m
s= - - +
é
ë
ê
ù
û
ú
- -
=
å( ) ( ) ( , )1 1
1
0
11 s t
n
j
t
= +=
åå , k t=1, ,
p E G E A a G t x p
k
m m
jk ij si
i
t
sk
m M
s= - - +
é
ë
ê
ù
û
ú
- -
=
å( ) ( ) ( , )1 1
1
0
11 s t
n
j
t
= +=
åå , k t=1, .
Ïîëó÷åííûå çäåñü ãðàíè÷íûå îöåíêè îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ ïðîèçâîäèòå-
ëÿìè x xi
m
i
M, , i n=1, , è öåí íà òîâàðû p pj
m
j
M, , j t=1, , èíôîðìàòèâíû è ïî-
çâîëÿþò âûÿñíèòü èíòåðâàë çíà÷åíèé ðàâíîâåñíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ðåàëèçî-
âàòüñÿ ìîæåò îäíî èç âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ è âàæíî ïîëó÷èòü
ïðåäñòàâëåíèå î äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ îñíîâíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Òðåáîâàíèÿ òåîðåìû íå îáåñïå÷èâàþò åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ; ñëåäîâà-
òåëüíî, èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (11) ìîæíî îïðåäåëèòü íåêîòîðûé íàáîð âîçìîæ-
íûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
êàæäîãî îòäåëüíîãî ñóáúåêòà ýòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýêâèâàëåíòíû, ïîñêîëü-
êó ñîîòâåòñòâóþò îäíèì è òåì æå çàäàííûì çíà÷åíèÿì êîìïîíåíò âåêòîðà ñòåïå-
íåé óäîâëåòâîðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y yi i
l=
=
{ }
1
. Ðåàëèçàöèþ êîíêðåòíîãî ñî-
ñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîæíî îáåñïå÷èòü çà ñ÷åò âûáîðà ñòðàòåãèè
íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ. À èìåííî èç âûðàæåíèÿ (8) ïîëó÷èì
p j
sj j s
s
t
sj j s
s t
n
j j kj j
c p y p c p y p
p x a x
=
+
- +
= = +
å å( ) ( )
(
1
0
1
0
b b p a x b pkj kj k
k
t
kj j kj k
k t
n
- - +
= = +
å å1
1
0
1
) ( )
, j t n= +1, ,
ãäå p pi i
t=
=
{ }
1
— ýòî ðåøåíèå îïåðàòîðíîãî óðàâíåíèÿ (11), à êîìïîíåíòû
âåêòîðà { }xi i
n
=1
îïðåäåëÿþòñÿ ïî âåêòîðó p ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (9). Äàííîå
âûðàæåíèå îïèñûâàåò âçàèìîñâÿçü óðîâíåé íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ è
âåëè÷èíû óäîâëåòâîðåíèÿ èõ ïîòðåáíîñòåé. Âûáîð ñòåïåíåé óäîâëåòâîðåíèÿ
íóæä ïîòðåáèòåëåé — ýòî íàðÿäó ñ âûáîðîì ñòðàòåãèè íàëîãîîáëîæåíèÿ îäèí
èç èíñòðóìåíòîâ óïðàâëåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìîé. Ïî õàðàêòåðèñòèêàì
x x i ni
m
i
M, , ,=1 , è p pj
m
j
M, , j t=1, , ìîæíî ïîëó÷èòü ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ óðîâ-
íåé íàëîãîîáëîæåíèÿ ìîíîïîëèñòîâ
p j
m
sj j s
m
s
t
sj j s
s t
n
j j
M
kj j
M
c y p c y p
p x a x
=
+
- +
= = +
å å1
1
1 0
1
0 ( b b p a x b pkj kj k
m
k
t
kj j
M
kj k
k t
n
- - +
= = +
å å1
1
0
1
) ( )
, j t n= +1, ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 59
p j
M
sj j s
M
s
t
sj j s
s t
n
j j
m
kj j
m
c y p c y p
p x a x
=
+
- +
= = +
å å0
1
0 0
1
0 ( b b p a x b pkj kj k
M
k
t
kj j
m
kj k
k t
n
- - +
= = +
å å1
1
0
1
) ( )
, j t n= +1, .
Îñíîâûâàÿñü íà ýòèõ çíà÷åíèÿõ, ìîæíî âûÿñíèòü, êàê äîñòè÷ü áîëåå ïîäõîäÿ-
ùåãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ ýôôåêòèâíîñòè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìû, ÷òîáû íàëîãîîáëîæåíèå ìîíîïîëèñòîâ áûëî áîëüøèì, ÷åì
ó äðóãèõ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì áóäóò ñòèìóëèðî-
âàòüñÿ êîíêóðåíòíûå îòíîøåíèÿ, à ìîíîïîëèñòû, êàê ïîòåíöèàëüíûé èñòî÷íèê
íåãàòèâíûõ âëèÿíèé, áóäóò íàõîäèòüñÿ â ìåíåå âûãîäíîì ïîëîæåíèè ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ òåì, êîòîðîå èçíà÷àëüíî ïðåäïîëàãàë èõ ñòàòóñ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî îïèñàòü ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ ýêî-
íîìè÷åñêîé ñèñòåìû â ñëó÷àå çàâèñèìîñòè ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ òîâàðîâ îò öåí.
Çàâèñèìîñòü ñòðóêòóðû ïîòðåáëåíèÿ îò âåêòîðà öåí C p c pkj k j
n l
( ) || ( ) ||
,
,=
= =1 1
âûáðàíà â îáùåì ñëó÷àå. Ïðåäïîëîæåíèå î íåâîçðàñòàíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû
C p( ) ïî êîìïîíåíòàì âåêòîðà öåí îáóñëîâëåíî ýêîíîìè÷åñêèìè ðåàëèÿìè. Îãðà-
íè÷åíèå c p ckj kj
( ) £ 0 ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì, à äîïóùåíèå îöåíêè c c p
kj kj
1 £ ( ) ñî-
ãëàñóåòñÿ ñ âûáîðîì ñòðàòåãèé ïîâåäåíèÿ ïîòðåáèòåëåé, à èìåííî èõ íåíàñûùà-
åìîñòè. Áîëåå òîãî, óðîâíè ïîòðåáëåíèÿ, çàäàííûå âåêòîðîì ñòåïåíåé óäîâëåòâî-
ðåíèÿ íóæä ïîòðåáèòåëåé y, ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè; ñëåäîâàòåëüíî, ñóáúåêòû
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ìîãóò ïîçâîëèòü ñåáå íåêîòîðûé ìèíèìàëüíî äîïóñòè-
ìûé äëÿ íèõ íàáîð òîâàðîâ.
 ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ âûÿñíåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýêîíîìè÷åñêàÿ
ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, ïðèåìëåìîì äëÿ âñåõ åå ñóáú-
åêòîâ. Ïðåäëîæåí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ.
Èíòåðâàë çíà÷åíèé ðàâíîâåñíûõ öåí â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå ìîæíî îöå-
íèòü ïî ãðàíè÷íûì îöåíêàì pi
m è pi
M , i t=1, , äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åíà àíàëèòè÷åñ-
êàÿ çàâèñèìîñòü îò ìîíîïîëüíûõ öåí. Âûñîêèå ìîíîïîëüíûå öåíû ïðèâîäÿò
ê âûñîêîìó óðîâíþ öåí â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå. Äëÿ íåêîòîðîé ãðóïïû òîâà-
ðîâ (âîçìîæíî, äîñòàòî÷íî øèðîêîé) óñòàíîâèâøèéñÿ óðîâåíü öåí ìîæåò ïðåâû-
øàòü öåíû ïîäîáíûõ òîâàðîâ, êîòîðûå èçãîòîâëÿþòñÿ âíå ýêîíîìè÷åñêîé ñèñ-
òåìû. Ïîòåíöèàëüíî òàêèå ñöåíàðèè íåáëàãîïðèÿòíû ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ ÷àñòè
ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòü èõ òîâàðîâ
ñíèçèòñÿ. Äåìîíîïîëèçàöèÿ ýêîíîìèêè ñïîñîáñòâóåò ïðåäîòâðàùåíèþ ðåàëèçàöèè
äàííûõ íåæåëàòåëüíûõ ñöåíàðèåâ. Âûáîð ñòðàòåãèè íàëîãîîáëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
âàæíûì ýëåìåíòîì âëèÿíèÿ íà ìîíîïîëèñòîâ. Ââåäÿ äîïîëíèòåëüíûå øòðàôíûå
ñàíêöèè (÷òî ïî ñóòè åñòü îäíîé èç ôîðì íàëîãîîáëîæåíèÿ), ìîæíî âîçäåéñòâî-
âàòü íà ïðèíÿòèå ðåøåíèé ìîíîïîëèñòîâ. Ñòðàòåãèÿ íàëîãîâîãî äàâëåíèÿ íà ìîíî-
ïîëèñòîâ, êîãäà óäîâëåòâîðåíèå èõ ïîòðåáíîñòåé íàõîäèòñÿ íà óðîâíå, íèçøåì,
÷åì ó äðóãèõ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, — îäèí èç ïóòåé äîñòèæåíèÿ íå-
îáõîäèìîãî ðåçóëüòàòà îãðàíè÷åíèÿ âëèÿíèÿ ìîíîïîëüíûõ ÿâëåíèé.
Àíàëèòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ãðàíè÷íûõ îöåíîê pi
m è pi
M , i t=1, , îò ìîíî-
ïîëüíûõ öåí ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå äëÿ èññëåäîâàíèÿ íåãàòèâíîãî âëèÿíèÿ
îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû íà îñòàëüíûå åå ñóáúåêòû.
Ïîêàçàòåëåí ñëó÷àé, êîãäà ìîíîïîëüíàÿ öåíà óñòàíàâëèâàåòñÿ âíå ýêîíîìè÷åñ-
êîé ñèñòåìû è òàêèå âíóòðåííèå ðû÷àãè âëèÿíèÿ, êàê ñèñòåìà íàëîãîîáëîæåíèÿ,
îãðàíè÷åíû. Ïðèìåðîì äàííîé ñèòóàöèè ÿâëÿåòñÿ îáåñïå÷åíèå ýíåðãîðåñóðñàìè
ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû. Äëÿ îïëàòû èõ ïîñòàâîê íåîáõîäèìî îáåñïå÷èâàòü òîð-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 60
ãîâûé áàëàíñ ñ âíåøíèì îêðóæåíèåì, è ñëåäîâàòåëüíî, èìåòü êîíêóðåíòîñïî-
ñîáíûå òîâàðû äëÿ ýêñïîðòà. Ïðè ýòîì öåíà òîâàðà ìîæåò îêàçàòüñÿ âàæíîé ñî-
ñòàâëÿþùåé êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè è óñïåøíîé åãî ðåàëèçàöèè.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ýêîíîìèêå Óêðàèíû îòìåòèì âûñîêóþ öåíó èìïîðòèðóå-
ìîãî ãàçà, êîòîðàÿ ñòàâèò åãî ïîòðåáèòåëåé â ñëîæíîå ïîëîæåíèå íà ðûíêå.
Àíàëèç ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé pi
m è pi
M , i t=1, , äîñòàòî÷íî èíôîðìàòèâåí. Îñîáåí-
íî êðèòè÷íû íèæíèå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ. Åñëè ïðåâûøåíèå âåðõíèìè ãðàíè÷-
íûìè îöåíêàìè pi
M , i t=1, , öåí, óñòàíîâèâøèõñÿ âíå ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû,
íà àíàëîãè÷íóþ ïðîäóêöèþ ñêîðåå ïðåäóïðåæäàåò î âåðîÿòíîñòè ïðîáëåì ñ ýêñ-
ïîðòîì òàêèõ òîâàðîâ, òî ïðåâûøåíèå ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé pi
m , i t=1, , áóäåò óæå
êîíñòàòèðîâàòü íàëè÷èå ïðîáëåì. Òî÷íîñòü êîëè÷åñòâåííûõ îöåíîê çàâèñèò îò
èìåþùèõñÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ, íî âûâîäû, ñäåëàííûå íà
îñíîâàíèè âûðàæåíèé äëÿ ãðàíè÷íûõ îöåíîê, êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþòñÿ ñ äåé-
ñòâèòåëüíîñòüþ.
Íàëè÷èå ìîíîïîëèñòîâ è èõ âîçìîæíîå íåãàòèâíîå âëèÿíèå òàêæå ïðîÿâëÿ-
åòñÿ â çàâèñèìîñòè ïîòðåáèòåëüñêîãî íàáîðà òîâàðîâ ñóáúåêòîâ ýêîíîìè÷åñêîé
ñèñòåìû îò öåí íà òîâàðû, ñëåäîâàòåëüíî, è îò ìîíîïîëüíûõ öåí. Êàê ñëåäñòâèå,
ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü îò ìîíîïîëüíûõ öåí íå òîëüêî ìàñøòàáà öåí â ýêîíîìè-
÷åñêîé ñèñòåìå, íî è ðàâíîâåñíûõ îáúåìîâ âûïóñêà òîâàðîâ. Ýòîò ôàêò î÷åíü âà-
æåí, òàê êàê âåðîÿòíà ñèòóàöèÿ, êîãäà èíòåðâàë çíà÷åíèé [ , ]x xi
m
i
M , i n=1, , áó-
äåò äîñòàòî÷íî áîëüøèì. Ïðîèçâîäèòåëè â ñâîåì òåõíîëîãè÷åñêîì ïðîöåññå
îðèåíòèðóþòñÿ íà íåêîòîðûé ïðîãíîçèðîâàííûé íà÷àëüíûé îáúåì âûïóñêà òî-
âàðîâ ñ âîçìîæíîñòüþ åãî äàëüíåéøåãî óâåëè÷åíèÿ. Äàííûé îáúåì ìîæåò áûòü
âûáðàí íà óðîâíå x
m , åñëè äëÿ ïîäíÿòèÿ åãî äî óðîâíÿ âûïóñêà x
M ïðîèçâîäèòå-
ëÿì íå ïîòðåáóåòñÿ ñóùåñòâåííûõ äîïîëíèòåëüíûõ ðåñóðñîâ. Òîãäà ñ ó÷åòîì íà-
÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ xi
m
i -ìó ïðîèçâîäèòåëþ íå ñëîæíî áóäåò äîñòè÷ü íåîáõîäèìî-
ãî ðàâíîâåñíîãî çíà÷åíèÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ýòà ñèòóàöèÿ áîëåå âåðîÿòíà äëÿ
áîëüøèõ èíòåðâàëîâ [ , ]x xi
m
i
M ) ïðîèçâîäèòåëþ ñëåäóåò îðèåíòèðîâàòüñÿ íà óâå-
ëè÷åíèå îáúåìà ïðîãíîçèðîâàííûõ âûïóñêîâ, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ïðîèçâî-
äèòü òîâàðû íà óðîâíå xi
M . À ðàâíîâåñíîå çíà÷åíèå îáúåìà âûïóñêà ìîæåò îêà-
çàòüñÿ íèæå ïðîãíîçèðîâàííîãî, ñëåäîâàòåëüíî, âåñü ïðîèçâåäåííûé òîâàð íå áó-
äåò âîñòðåáîâàí. Â ðåçóëüòàòå ýôôåêòèâíîñòü ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñíèçèòñÿ.
Ðåàëèçàöèÿ êîíêðåòíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ äîñòèãàåòñÿ âûáîðîì ñòðàòå-
ãèè íàëîãîîáëîæåíèÿ. Êàê ýëåìåíò óïðàâëåíèÿ ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû ñòðàòåãèÿ
íàëîãîîáëîæåíèÿ — íàèáîëåå åñòåñòâåííûé è àäåêâàòíûé èíñòðóìåíò âëèÿíèÿ.
Îïèñàííóþ ìîäåëü ìîæíî ïðèìåíèòü, íàïðèìåð, êàê ýòî ñäåëàíî â [3], ãäå
ìîäåëüíûå ýêîíîìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñîãëàñîâàíû ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè äàí-
íûìè, ñîáðàííûìè íà îñíîâå îáùåïðèíÿòîé ìåòîäèêè îïèñàíèÿ ýêîíîìèê ñ ïî-
ìîùüþ ñèñòåìû íàöèîíàëüíûõ ñ÷åòîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. à î í ÷ à ð Ì . Ñ . Ìàòåìàòè÷í³ îñíîâè ³íôîðìàö³éíî¿ åêîíîì³êè. — Ê.: ²í-ò òåîðåò. ô³çèêè, 2007. —
464 ñ.
2. D e b r e u G . Existence of competitive equilibrium // Handbook of Mathematical Economics / Ed. by
K.J. Arrow and M.D. Intriligator. — Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1982. — Vol. II. — P. 698–742.
3. Ì à õ î ð ò À . Ô . Âëèÿíèå ðàâíîìåðíîãî íàëîãîîáëîæåíèÿ è ìîíîïîëüíûõ ÿâëåíèé íà äîñòèæåíèå
ðàâíîâåñèÿ â ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 4. —
Ñ. 152–164.
4. Ê à í ò î ð î â è ÷ Ë . Â . , À ê è ë î â Ã . Ï . Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì.: Íàóêà, 1977. — 442 ñ.
5. Ã à í ò ì à õ å ð Ô . Ð . Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì.: Íàóêà, 1966, — 576 ñ.
Ïîñòóïèëà 10.06.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 2 61
|